Full text of "Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik"

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VORLESUNGEN

ÜBER

GESCHICHTE DER MATHEMATIK.

VORLESUNGEN

ÜBER

GESCHICHTE DER MATHEMATIK

MORITZ CANTOR.

ERSTER BAND.

VON DEN ÄLTESTEN ZEITEN BIS ZUM JAHRE 1200 N. CHR.
MIT 114 FIGUREN IM TEXT UND 1 LITHOGR. TAFEL.

ZWEITE AUFLAGE.

LEIPZIG,

DRUCK UND VERLAG VON B. C. TEUBNER.

1894.

ALLE EECHTE,
EINSCHLIESSLICH DES ÜBEESETZUNGSEECHTS, VOEBEHALTEN

Vor wort.

Langsamer, als es ursprüuglicli in meiner Absicht lag, ist der
zweite Band meiner Vorlesungen über Geschichte der Mathematik
dem ersten Bande nachgefolgt. Rascher, als ich es hoffen konnte,
folgte dem Erscheinen des zweiten Bandes die Nothwendigkeit den
ersten Band in neuer Auflage zum Drucke zu bringen, und ihr zu
Liebe musste ich die Arbeit an dem dritten Bande, dessen erster bis
zum Jahre 1700 reichender Abschnitt niedergeschrieben ist, unter-
brechen. In den 13 Jahren, welche nunmehr verflossen sind, seit der
erste Abdruck des ersten Bandes der Oeffentlichkeit übergeben wurde,
haben zahlreiche LTntersuchungen zum Theil von altbewährten Mit-
arbeitern auf dem geschichtlichen Gebiete, zum anderen Theile von
neu auftretenden jüngeren Forschern ausgeführt, gar manche früher
zweifelhafte Dinge bereinigt, wie auch neue Zweifel an ehedem für
gewiss Erachtetes heraufbeschAvoren. Es ist vielleicht nicht ganz
unberechtigt, wenn mit der Freude über solche Förderung auf dem
Wissensgebiete, dessen Bearbeitung mir Lebenszweck geworden ist,
ein gewisser Stolz sich vereinigt, wenn ich mir einbilde, meifte eigenen
Arbeiten hätten den Anstoss zu der so plötzlich erwachten regeren
Thätigkeit gegeben. Doch sei dem, wie da wolle, eine Ueberzeugung
wird der Leser dieser neuen Auflage gewinnen: dass ich bestrebt
gewesen bin, alles mir zugänglich Gemachte aus den letzten 13 Jahren,
zum Theile bis in die Druckzeit selbst, zu verwerthen, bald indem
ich die neuen Ergebnisse einfach übernahm, bald indem ich sie,
ohne mich ihnen anzuschliessen, nur*erwähute.

Darf ich mit einer Bitte und einem Wunsche schliessen, so gehe
erstere dahin, es mögen Gegner und Anhänger auch die neue Auf-
lage unbefangen zu würdigen suchen, letzterer daiiin, dass abermals
neue und immer neue Mitarbeiter das Feld umzugraben und zu be-
bauen sich finden mögen. Noch ist es bei Weitem nicht . erschöpft,
noch lohnt auf ihm die Arbeit.

Heidelberg, December 1893.

Moritz Cautor.

Inhaltsverzeichniss.

Seite

Einleitung • . . 1 — 16

I. Aegypter , 17 — 72

1. Kapitel. Die Aegypter. Arithmetisches 19

2. Kapitel. Die Aegypter. Geometrisches 52

IL Babylonier 73—104

3. Kapitel. Die Babylonier 75

III. Griechen 105—482

4. Kapitel. Die Griechen. Zahlzeichen. Pingerrechnen. Rechenbrett 107

5. Kapitel. Thaies und tlie älteste griechische Geometrie ... 124

6. Kapitel. Pythagoras und die Pythagoräer. Arithmetik . . . 137

7. Kapitel. Pythagoras und die Pythagoräer. Geometrie . . . 159

8. Kapitel. Mathematiker ausserhalb der pythagoreischen Schule 175
. 'J.Kapitel. Mathematiker ausserhalb der pythagoräischeu Schule.

Hippokrates von Chios 188

10. Kapitel. Piaton 201

11. Kapitel. Die Akademie. Aristoteles 222

12. Kapitel. Alexan dria. Die Elemente des Euklid 244

13. Kapitel. Die übrigen Schriften des Euklid ....*..•..* 263

14. Kapitel. ' Archimedes und seine geometrischen Leistungen 280

15. Kapitel. Die übrigen Leistungen des Archimedes 295

16. Kapitel. Eratosthenes. Apollonius von Pergä 312

17. Kapitel. Die Epigonen der grossen Mathematiker 333

18. Kapitel. Heron von Alexandria 347

19. Kapitel. Heron von Alexandria (Fortsetzung) 361

20. Kapitel. Geometrie und Trigonometrie bis zu Ptolemäus . . 378

21. Kapitel. Neupythagoräische Arithmetiker. Nikomachus. Theon 398

22. Kapitel. Sextus Julius Ai'ricanus. Pappus von Alexandria • 409

23. Kapitel. Die Neuplatoniker. Diophantus von Alexandria . . 427

24. Kapitel. Die griechische Mathematik in ihrer Entartung . . 457

IV. Römer 483—552

25. Kapitel. Aelteste Rechenkunst und Feldmesäung 485

26. Kapitel. Die lUüthezeit der römischen Geometrie. Die Agri-
mensoren 502

27. Kapitel. Die spätere mathematische Literatur der Römer . 522

V. Inder 553— G18

28. Kapitel. Einleitendes. Elementare Rechenkunst 565

29. Kapitel. Höhere Rechenkunst. Algebra 573

30. Kapitel. Geometrie und Trigonometrie 595

Inllaltsverzeiclmi^8. VII

Seite

VI. Chinesen 619-648

31. Kapitel. Die Mathematik der Chinesen 621

VII. Araber 649—768

32. Kapitel. Einleitendes. Arabische Uebersetzer 651

33. Kapitel. Arabische Zahlzeichen. Muhamnietl ihn Müsä
Alchwarizmi ^ 665

34. Kapitel. Die Mathematiker unter den Abbasiden. Die Geo-
meter unter den Bujiden 690

35. Kapitel. Zahlentheoretiker, Rtchner, geometrische Algebraiker

von 950 etwa bis 1100 707

36. Kapitel. Der Niedergang der ostarabischen Maithematik.
Aegyptische Mathematiker 733

37. Kapitel. Die Mathematik der Westaraber 746

VIII. Klostergelehrsamkeit des Mittelalters . 769 — 857

38. Kapitel. Klostergelehrsamkeit bis zum Ausgange des X. Jahr-

hunderts 771

39. Kapitel. Gerbert 797

40. Kapitel. Abacisten und Algorithraiker 824

Einleitiiiig.

Caktor, Geschichte der Mathematik 1. 2. Aufl.

Längst war der Erdball so weit erkaltet, dass auf der festge-
wordenen Oberfläche Organismen sich entwickeln konnten. In Zeit-
räumen, deren jeder weitaus die Spanne übertrifft, welche wir mit
dem stolzen Namen der Geschichte belegen — als ob nur durch den
Menschen Etwas geschehen könnte! — hatten neue und neue Arten
lebender Wesen sich abgelöst. Jetzt erschien der Mensch, ausge-
zeichnet durch Entwicklungsfähigkeit vor allen anderen Geschöpfen,
hilflos wie keines in das Leben tretend, mächtig' wie keines auf dem
Gipfel seiner Ausbildung.

Der einzelne Mensch liefert nur das verkleinerte Bild des Menschen-
geschlechtes. Die Entwicklung des Menschengeistes hat in den, Völker
genannten, Gesammtheiten stattgefunden, und ihre auf einanderfolgen-
den Stufen zu vergleichen ist von spannender Anziehung.

Eines dürfen wir freilich bei Anerkennung der Aehnlichkeit der
Entwicklung des Einzelmenschen mit der des Menschengeschlechtes
nicht ausser Augen lassen. Das Kind lernt vom Tage seiner Geburt
an durch Menschen. Das Menschengeschlecht begann damit von
niedrigeren Geschöpfen lernen zu« müssen. Werden doch wohl Thiere
sein Vorbild gewesen sein, aus deren Beispiel er entnahm, wie mau
den Durst, den Hunger stille, wie man in Höhlen Schutz suche vor
der Unbill der Witterung, wie man zur Wehr sich setze gegen feind-
lichen Angriff. Aber der Mensch war schwächeren Körpers als seine
Lehrmeister. Ihm war nicht eine dichtere Behaarung während der
kälteren Jahreszeiten gegeben. Er konnte nicht mit Händen und
Zähnen des Bären oder der Hyäne Herr werden, denen er, die ihm
den Aufenthalt streitig machten. Und seine Schwäche wurde seine
Stärke. Er musste denken! Er musste erfinden, wenn er leben wollte.
Er musste von der ihm äusserlich gebotenen Erfahrung weiter schreiten.
Das Thier führte ihn zum Baume der Erkenntniss, die Frucht des-
selben pflückte er selbst.

Mit dem Gedanken war das Bedürfniss der Mittheilung derselben
erwacht, die Sprache entstand. Der Mensch lernte den Menschen
verstehen, nicht nur in dem Sinne wie das Thier das Thier versteht,
nicht nur, wo es den Ausdruck besonders starker Empfindungen durch
Tonbildung galt, sondern wo bestimmte Ereignisse oder gar Begriffe.

4 Einleitung.

zur Kenntniss des Anderen gebracht werden sollten. Freilich begann
die Sprachbildimg nicht erst, als die Begriffsbildung abgeschlossen
war. Ist doch Erstere wie Letztere bis auf den heutigen Tag noch
im Flusse. Die beiden Thätigkeiten gingen offenbar neben einander
einher, und selbst Begriffe, welche einer und derselben Gedanken-
reihe entstammen, sind mit ihrer lautlichen Versinnlichung als zu
verschiedenen Zeiten entstanden zu denken. Für das Sprachliche an
dieser Behauptung ist es nicht schwer den Beweis zu führen, auch
nur unter Zuziehung solcher Wörter, die dem Mathematiker von
ältester und hervorragendster Wichtigkeit sind; wir meinen die
Z ahlwörter.

Zählen, insofern damit nur das bewusste Zusammenfassen be-
stimmter Einzelwesen gemeint ist, bildet, wie scharfsinnig hervor-
gehoben worden ist^), keine menschliche Eigenthümlichkeit; auch die
Ente zählt ihre Jungen. Diesem niedersten Standpunkte ziemlich
nahe bleibt das, was von einem südafrikanischen Stamme berichtet
wird^), dass während wenige weiter zählen können als zehn, dessen
ungeachtet ihre Vorstellung von der Grösse einer Heerde Vieh so
bestimmt ist, dass nicht ein Stück daran fehlen darf, ohne dass sie es
sogleich merkten. „Wenn Heerden von 400 bis 500 Rindern zu Hause
getrieben werden, sieht der Besitzer sie hereinkommen und weiss be-
stimmt ob einige fehlen, wie viel und sogar welche. Wahrscheinlich
haben sie eine Art zu zählen, bei welcher sie keine Worte brauchen
und wovon sie nicht Rechenschaft zu geben wissen, oder ihr Gedächt-
niss erlangt für diesen einzelnen Gegenstand durch die Uebung eine
so ungemeine Stärke." Ohne nach so fernen Gegenden unseren Blick
zu richten, können wir ähnliche Erfahrungen täglich an ganz kleinen
Kindern machen, welche ' sofort wissen, wenn von Dominosteinen etwa,
mit denen sie zu spielen gewohnt sind, ein einzelner fehlt, während
sie sich und anderen über die Anzahl ihrer Steine noch nicht Rechen-
schaft- zu geben wissen. Sie kennen eben die Einzel-Individuen als
einzelne, nicht als Theile einer Gesammtheit, und ihr Gedächtniss ist
für die Erinnerung an Angeschautes um so treuer, je weniger andere
Eindrücke es zu bewahren hat. In der Sprache drückt sich diese
Individualisirung nicht selten dadurch aus, dass dieselbe Anzahl je nach

*) H. Hanke 1, Zur Geschiebte der Mathematik im Alterthum und Mittel-
alter. Leipzig, 1874. S. 7, Wir citiren dieses Buch künftig immer als Hankel.
-) Pott, Die quinärc und vigesimale Zilhlmethode bei Völkern aller Weltth eile.
Halle, 1847. S. 17. Dieses Buch citiren wir in der ganzen Einleitung als Pottl,
wiVhrend Pott II die- Schrift desselben Verfassers: Pott, die Sprachverschieden-
beit in Europa an den Zahlwörtern nachgewiesen, sowie die quinäre und vige-
simale Zählmethode. Halle, 1868. bedeuten soll.

Einleitung. 5

den gezählten Dingen einen anderen Namen führt, wie es bei manchen
oceanischen Völkerstämmen, aber auch für Sammelwörter im Deutschen
vorkommt, wenn man von einer Heerde Schaafe, von einem Rudel
Hirsche, von einer Flucht Tauben, von einer Kette Feldhühner, von
einem Zug Schnepfen, von einem Schwärm Bienen zu reden pflegt^).
Das eigentliche Zählen, das menschliche Zählen, wenn man so
sagen darf, setzt voraus, dass die Gegenstände als solche gleichgiltig
geworden sind, dass nur das getrennte Vorhandensein unterschiedener
Dinge begrifflich erfasst, dann sprachlich bezeichnet werden soll.
Es liegt darin bereits eine keineswegs unbedeutende Aeusserung der
Fähigkeit zu verallgemeinern, zugleich auch eine ihrer frühsten Aeusse-
rungen, denn die Zahlwörter gehören zu den ältesten Theilen des
menschlichen Sprachschatzes. In ihnen lassen sich oft noch Aehnlich-
keiten, mithin Beweise alter Stammesgemeinschaft später getrennter
•Völker auffinden, während kaum andere Wörter auf die gleiche Zeit
eines gemeinsamen Ursprunges zurückd^uten. Und was war nun der
ursprüngliche Sinn dieser ältesten, der Entstehungszeit wie dem Inhalte
nach ersten Zahlwörter? Die Annahme hat gewiss viel für sich, dass
sie anfänglich nicht Zahlen, sondern ganz bestimmte Gegenstände be-
deuteten, sei es nun, dass man von der eigenen, von der augeredeten,
von der besprochenen Persönlichkeit, also von den Wörtern: ich, du,
er ausging, um aus ihnen den Urklang für: eins, zwei, drei zu ge-
winnen^), sei es, dass man von Gliedmaassen seines Körpers deren
Anzahl entnahm^): „Es war dem Menschen ohne Zweifel ein eben
so interessantes Bewusstsein fünf Finger als zwei Hände oder zwei
Augen zu haben; und das Interesse an dieser Kenntuiss, welche ein-
mal einer Entdeckung bedurfte, war ihm der Schöpfung eines zu deren
Zählung eigens verwendbaren Ausdruckes wohl werth; von hier aus
mag der Gebrauch auf andere zu zählende Dinge übertragen worden
sein, zunächst auf solche, bei denen es auffallen mochte, dass sie in
ebenso grosser Zahl vorhanden waren, als die Hand Finger hat." W^ir
wiederholen es, solche Annahmen haben viel für sich, sie tragen ihre
beste Empfehlung in sich selbst, aber leider auch ihre einzige. Die
Sprachforschung hat nicht vermocht deren Bestätigung zu liefern,
oder vielmehr Jeder, der mit der Deutung der Zahlwörter sich be-
fasste, hat aus ihnen diejenigen Zusammenhänge zu erkennen gewusst,
welche seiner Annahme entsprachen, lauter vollgelungene Beweise,
wenn man den Einen hört, sich gegenseitig vernichtend, wenn man
bei Mehreren sich Rath holt, und dieser Mehreren sind obendrein

') Pott r, S. 126. 2) Pott I, S. 119. =') L. Geiger, Ursprung und Ent-
wickelung der menschlichen Sprache und Vernunft. 1868. Bd. I, S. 319.

g Einleitung.

recht viele. Sind demuach die eigentlichen Fachmänner über Ursprung
der ältesten einfachen Zahlwörter im Hader, so müssen wir um so
mehr darauf verzichten, auf die noch keineswegs erledigten Fragen
hier einzugehen. Einige Sicherheit tritt erst bei Besprechung der
abgeleiteten, also jüngeren Zahlwörter hervor. .

Es ist leicht begreiflich, dass auch die regste Einbildungskraft,
das stärkste Gedächtniss es nicht vermochten, für alle auf einander
folgenden Zahlen immer neue Wörter zu bilden, zu behalten. Man
musste mit Nothwendigkeit sehr bald zu gewissen Zusammensetzungen
schreiten, welchen die Entstehungs weise einer Zahl aus anderen zu
Grunde liegt, welche uns aber damit auch schon einen unumstöss-
lichen Beweis für die hochwichtige Thatsache liefern: dass zur Zeit,
als die meisten Zahlwörter erfunden wurden, der Mensch von dem
einfachsten Zählen bereits zum Rechnen vorgeschritten war.

Das älteste Rechnen dürfte durch ein gewisses Anordnen ver-
mittelt worden sein, sei es der Gegenstände selbst, denen zu Liebe
man die Rechnung austeilte, sei es anderer leichter zu handhabender
Dinge. Kleine Stein chen, kleine Muscheln können die Vertretung
übernommen haben, wie sie es noch heute bei manchen Völkerschaften
thun, und diese Marken, diese Rechenpfennige würde man heute sagen,
Averden in kleinere oder grössere Häufchen gebracht, in Reihen ge-
legt das Zusammenzählen ebenso wie das Theilen einer gegebenen
Menge wesentlich erleichtert haben. So lange man es nur mit kleinen
Zahlen zu thun hatte, trug man sogar das leichteste Versinnlichungs-
mittel stets bei sich: die Finger der Hände, die Zehen der Füsse.
Man reichte freilich unmittelbar damit nicht weit, und Völkerschaften
des südlichen Afrika zeigen uns gegenwärtig noch, wie genossen-
schaftliches Zusammenwirken die Schwierigkeit besiegt, mit nur zehn
Fingern grössere Anzahlen sich zu versinnlichen ^) : „Beim Aufzählen,
wenn es über Hundert geht, müssen in der Regel immer drei Mann
zusammen die schwere Arbeit verrichten. Einer zählt dann an den
Fingern, welche er einen nach dem andern aufhebt und damit den
zu zählenden Gegenstand andeutet oder Avomöglich berührt, die Ein-
heiten. Der Zweite hebt seine Finger auf (immer mit dem kleinen
Finger der linken Hand beginnend und fortlaufend bis zum
kleinen Finger der Rechten) für die Zehner, so wie sie voll
Averden. Der Dritte figurirt für die Hunderte."

Die hierbei festgehaltene Ordnung der Finger mag mag nun er-
klären wollen, wie es auch sei'), sie findet statt und wird uns im Ver-

*) Schrumpf in der Zeitschrift der deutschen morgcnländischen Gesell
Schaft XVI, 463. '-) Pott II, S. 46, aber auch S. 31 und 42.

Einleitung. 7

laufe der Untersuchimgeii als Grundlage des sogen. Fing er reck iiens
noch mehr als einmal begegnen. Sie wird sogar abwechselnd mit
der entgegengesetzten Ordnung benutzt, um einem Einzelnen zu er-
möglichen beliebig viele Gegenstände abzuzählen. Ist nämlich mit
dem kleinen Finger der rechten Hand die Zehn erfüllt worden, so
beginnt mit eben demselben allein aufgehoben die nächste Zehnzahl,
um diesesmal nach links sich fortzusetzen, d. h. der kleine Finacer
der linken Hand vollendet die Zwanzig und wird zugleich auch wieder
Anfang der nächsten Zehnzahl u. s. f. Natürlich muss bei dieser
Zahlenangabe, wenn es nicht um ein allmäliges Entstehen, sondern
um ein einmaliges Ausdrücken einer Zahl sich handelt, besonders an-
gedeutet werden, dass und wie oft Zehn vollendet wurde, was etwa
so geschehen kann wie bei den Zulukaffern^), die in solchem Falle beide
Hände mit ausgestreckten Fingern wiederholt zusammenschlagen.

Es ist wohl zu beachten, dass diese letztere Methode der Ver-
sijnilichuiig einer Zahl, einfacher in so weit als sie nur die Hände
eines Einzigen beschäftigt , begrifflich weit unter jener anderen
Methode steht, die unmittelbar vorher gekennzeichnet wurde und drei
oder gar noch mehrere Darsteller einer Zahl erfordert. Der Einzelne
kommt durch die Zehnzahl der menschlichen Finger allerdings dazu,
die Gruppe Zehn als eine besonders hervortretende zu erkennen, aber
wie oft diese Gruppe selbst auch erzeugt werde, jede Neuerzeugung
ist für ihn der anderen ebenbürtig. Ganz anders bei der Methode
stufenmässiger Darstellung durch mehrere Personen. Wie der Erste
so hat der Zweite, der Dritte nur je zehn Finger, und so erscheint
die Gruppirung von zehn Einern zwar zunächst, aber in gleicher
Weise auch die von zehn Zehnern, von zehn Hundertern. Das schein-
bar umständlichere Verfahren führt zu dem einfacheren Gedanken,
zum Zahlensystem. Wemi von einem Schriftsteller-) darauf hin-
gewiesen worden ist, dass die Wiederholung der Zehnzahl bis zu

10 mal 10 sich bei Erfüllung der nächsten 10 eben so wohl zu

11 mal 10 als zu 10 mal 10 und 10, in Worten eben so wohl zu
elfzig als zu hundertzehn fortsetzen konnte, und dass es ein besonders
glücklicher Griff war, der fast allen Völkern der Erde gelang, so weit
ihre Fassungskraft überhaupt bis zum Bewusstswerden bestimmter '
höherer Zahlen ausreicht, gerade die Wahl zu treffen, welche dem
Zahlensystem seine Grundlage gab, so ist diese feine Bemerkung
vielleicht dahin zu ergänzen, dass auf eine der hier erörterten nahe
stehende Weise jene glückliche Wahl eingeleitet worden sein mag.

Ueber die Grundzahlen solcher Zahlensvsteme werden wir so-

1) Pott II, S. 47. 2) Hankel, S. 10—11.

3 Einleitung.

gleich nöcli reden. Für's Erste halten wir daran fest, dass Zahlen-
systeme eine allgemein menschliche Erfindung darstellen, in allen
bekannt gewordenen Sprachen zu einer Grundlage der Bildung von
bald mehr bald weniger Zahlwörtern benutzt, indem höhere Zahlen
durch Vervielfältigung von niedrigeren zusammengesetzt werden und
bei Benennmig der Zwischenzahlen auch Hinzufügungen noch noth-
wendig erscheinen. Multiplication und Addition sind also
zwei Rechnungsverfahren so alt wie die Bildung der Zahl-
wörter.

Das Zahlensystem, welches wir in seinem Entstehen uns zu ver-
gegenwärtigen suchten, wurde, sofern es auf der Grmidzahl zehn
fusste, zum Decimal System, heute wie unserem Zifferrecknen so
auch in unseren Maassen, Gewichten, Münzen fast der ganzen ge-
bildeten Erdbevölkerung unentbehrlich. Wir haben als wahrscheinlich
erkannt, dass es nach der Zahl der Finger sich bildete, aber eben
vermöge dieses Ursprunges war es nicht das allein mögliche. Wie
man sämmtliche Finger durchzählen konnte, um eine Einheit höheren
Ranges zu gewinnen, so konnte man Halt machen nach den Fingern
nur einer Hand, man konnte neben den Fingern der Hände die Zehen
der Füsse benutzten. In dem einen Falle blieb man beim Quinar-
systeme, in dem anderen ging man zum Vigesimalsystem über.

Ein strenges Quinarsystem würde, wie leicht ersichtlich, 5 mal
5 oder 25, 5 mal 5 mal 5 oder 125 u. s. w. als Einheiten höheren
Ranges nächst der 5 selbst besitzen müssen, welche durch einfache
oder auch zusammengesetzte Namen bezeichnet mit .den Namen der
Zahlen 1, 2, 3, 4 sich vereinigen, um so alle zwischenliegende Zahlen
zu benennen. Ein solches strenges Quinarsystem gibt es nicht ^).
Dagegen gibt es Quinarsysteme in beschränkterem Sinne des Wortes,
wenn zur Benutzung dieses Wortes schon der Umstand als genügend
erachtet wird, dass die fünf bei allmäliger Zahleubildung einen Ruhe-
punkt gewähre, von dem aus eine weitere Zählung wieder anhebt.

Was dem entsprechend von einem strengen Vigesimalsysteme zu
verlangen ist, leuchtet gleichfalls ein: ein solches muss die Grund-
zahl 20 durchhören lassen, muss die Einheit höheren Ranges 20 mal
20 oder 400, vielleicht auch noch höhere Einheiten unter besonderen
Namen besitzen. Sprachen, in welchen dieses System massgebend
ist, hat man mehrfach gefunden. Die Mayas in Yukatan'"^) haben
eigene Wörter für 20, 400, 8000, 160000. Die Azteken in Mexiko '^
hatten wenigstens besondere Wörter für 20, 400, 8000 mit der Ur-

') Pott II, S. .^5 und IG in den Anmerkungen. -) Tott I, S. 93. ^) Pott I,
S. 07 - 98.

Einleitung. 9

bedeutung: das Gezählte, das Haar, der Beutel, wobei auffallend er-
scheinen mag, dass das Haar eine verhältnissmässig niedrige Zahlen-
bedeutung hat, während es in caraibischen Sprachen^) weit überein-
stimmender mit der Wirklichkeit eine sehr grosse Zahl auszudrücken
bestimmt ist. Noch andere Beispiele, eines bemerkbaren mehr oder
minder durchgeführten Vigesimalsystems hat vornehmlich Pott, dem
wir hi€r fast durchweg folgen, in Fülle gesammelt. -Wir erwähnen
davon nur als den Meisten unserer Leser zweifellos bekannt die
Ueberreste eines keltischen Vigesimalsystems in der französischen
Sprache in Wörtern wie quatrevingts, sixvingts, quinzevingta'^). Von
dänischen Ueberresten eines Systems, in welchem Vielfache von 20
eine Rolle spielen, ist weiter unten in etwas anderem Zusammenhange
die Rede.

Den Ursprung der drei Systeme, deren Grundzahlen 5, 10, 20
heissen, haben wir oben in die Finger und Zehen des Menschen ver-
legt. Auch dafür sind sprachliche Anklänge vorhanden. Zwischen
den Wörtern für 5 und für Hand ist in manchen Sprachen völlige
Gleichheit, in anderen nahe Verwandtschaft^). Alsdann darf man
aber wohl ami-ehmen, dass es früher wünschenswerth war die Glieder
des eigenen Körpers zu benennen, als Zahlwörter zu bilden, dass also
5 von Hand abgeleitet wurde, nicht umgekehrt. Das Wort für 10
heilst in der Corasprache*) (einem amerikanischen Idiome) so viel
wie Darreichung der Hände, und dass ein und dasselbe Wort 20 und
Mensch bedeutet kommt mehrfach vor''). Ob freilich, wie Manche
wollen, auch das deutsche zehn mit den Zehen, das lateinische decem
mit digiti in Verbindung gebracht werden darf, darüber gehen die
Meinungen weit auseinander, und Pott, unser Gewährsmann, steht
auf der Seite der Verneinenden. Jedenfalls ist aber schon durch die
erwähnten Beispiele ein innerer Zusammenhang der drei genannten
Systeme unter einander und mit den menschlichen Extremitäten hin-
länglich unterstützt. Gibt es nun Sprachen, in welchen auch andere
Grundzahlen als 5, 10 oder 20 sich nachweisen lassen?

Wenn man gesagt haf), dass kein Volk auf der ganzen Erde
je von einer anderen Grundzahl, als einer der genannten aus, sein
Zahlensystem mit einiger Consequenz ausgebildet habe, so ist dieser
Ausspruch entschieden allzu verneinend, selbst wenn man eiüeu be-

1) Pott II, S. 68. ') Pott i, S. 88. ^) Pott I, S. 27 ^gg. und S. 128
flgg. führt Beispiele aus oceanischen Sprachen, aus dem Sanskrit und dem Heb-
räischen an, wenn er auch den letzteren gegenüber, die von Benary und Ewald
herrühren, sich ziemlich skeptisch verhält. ■») Pott I, S. 90. "•) Pott I, S. 92.
«)• Hankel, S. 19.

\() Einleitung.

sonderen Nachdruck auf das Wort Consequeuz legt, dem gegenüber
die Frage erhoben werden möchte, wo demi folgerichtige Anwendung
des Quinarsystems sich finde?

Allerdings hat man einige Gattungen von Zahlensysteitien nur
mit Unrecht nachweisen zu können geglaubt. Falsch war es, wenn
Leibniz bei den Chinesen ein Binarsystem annahm^). Falsch scheint
Kohl den Osseten im Kaukasus ein Octodecimalsystem zugeschrieben
zu haben'''). Dagegen sind andere Angaben doch zu wohl beglaubigt,
um sie ohne Weiteres leugnen oder todtschweigeu zu dürfen. Die
Neuseeländer mit ihrem merkwürdigen Undecimalsysteme^), welches
besondere Wörter für 11, für 11 mal 11 oder 121, für 11 mal 11 mal
11 oder 1331 besitzt, welches 12 durch 11 mit 1, 13 durch 11 mit 2,
22 durch 2 mal 11, 33 durch 3 mal 11 u. s. w. ausdrückt, lassen
sich nicht vornehm bei Seite schieben. Ob der Zeitraum von 110
Jahren, nach welchen, wie Höraz im 21. und 22. Verse seines Carmen
saccidarc berichtet, die römische Erinuerungsfeier wiederkehrte, der
man den Namen der saeculareu beilegte, mit einer Vermengung deci-
maler und undecimaler Zähl weise zusammenhängt, bleilie dahingestellt.
Das Wort trioiiech oder 3 mal 6 für 18 in der Sprache der Nieder-
bretagner ist neben dem dennaiv oder 2 mal 9 der Welschen'') für
eben dieselbe Zahl nun einmal vorhanden. Die Bolaner oder Bura-
maner an der Westküste Afrikas^) lassen, wenn sie G und 1 für 7,
wenn sie 2 mal 6 für 12, wenn sie 4 mal G für 24 sagen, die Grund-
zahl 6 gleichfalls durchhören. Einige assyrische Zahlwörter (7 und 8),
auf welche wir im 3. Kapitel zurückkommen werden, zeigen dieselbe
Abhängigkeit von 6. Und wenn der Altfriese 120 mit den Worten
tolf'tich benannte *"), so ist das sogar ein Hinweis darauf, dass auch
das vorhin als menschlichem Geiste im Allgemeinen fremdverpönte
elfzig seine Analogien besitzt, ist es zugleich ein Beispiel für ein
eigenthümlich gemischtes System mit Decimal- und Duodecimalstufen
wie Skandinaven und Angelsachsen es theilweise besassen'), wie eine
verhältnissmässig spätere Wissenschaft es in Babylon einbürgerte,
von wo es als Sexagesimalsystem das astronomische Rechnen aller
Völker durch Jahrhunderte beherrscht. Die Vermengung decimalen
und duodecimalen Zählens könnte auch als Stütze der Möglichkeit
dienen, welche oben für decimale und undecimale Zahlen beansprucht
wurde.

') M. Cantor, Mathematisclie Beiträge zum Kulturleben der Völker.
Halle, 1863. S. 48 flgg., auch S. 44. Wir citiren dieses Buch künftig immer
als: Math, ßeitr. Kulturl. ^) Kohl, Reisen in Südrussland. Bd. II, S. 216 und
Pott I, S. 81. =') Pott I, S. 75 ^gg. ■') Pott II, S. 33. ^) Pott II, S. 80.
«) Pott II, S. 38. ') Math. Beitr. Kulturl. S. 147.

Einleitung. 1 1

Das Vorliandensein von Zahlensystemen, deren Grundzahl nicht
5 oder Vielfaches von 5 ist, dürfte daniit nachgewiesen sein.
Aber allerdings bilden dieselben nur Ausnahmen von seltenem, ver-
einzeltem Vorkommen. Auch eine andere Gattung von Ausnahmen
gegen früher Erwähntes müssen wir kurz berühren. Wir haben
hervorgehoben, dass die Zwischenzahlen zAvischen den Einheiten
aufeinander folgenden Ranges multiplikativ und additiv gebildet
werden; wir haben daraus auf das hohe Alter dieser Rechnungs-
verfahren geschlossen. Es gibt jum Sprachen, welche die Bildung
der Zahlwörter auf Subtraktionen und Divisionen stützen, wo-
durch das hohe Alter auch dieser Rechnungsverfahren wenigstens
bei den Völkern, denen jene Sprachen angehören, gleichfalls zur
Möglichkeit gelangt.

Die Subtraktion wird am häufigsten bezüglich der Zahlwörter
eins und zwei geübt ^). Dieses entspricht z. B. in der lateinischen
Sprache durchweg dem Gebrauch bei den Zehnern. Man sagt duodc-
viginti, d. h. 2 von 20 für 18, ebenso tindecentum 1 von 100 für 09 u. s. w.
Auch im Griechischen wex'den 1 und 2 bei den Zehnern zuweilen ab-
gezogen, wozu das Zeitwort dstv in seiner transitiven wie in seiner
intransitiven Bedeutung als bedürfen und als fehlen angewandt
wird. So drückt man 58 aus durch dvotv dsovTss ii-^icovra = 60
welche 2 bedürfen, 49 durch ivbg Ösovrog TtEVTtjxovra = 50 woran
1 fehlt, und ein vereinzeltes Vorkommen von 9700 = 10 000, welche
oOO bedürfen tQiuxoöi'at' ciTiodBovtu [ivQia wird aus den Schriften des
Thukydides angeführt^). In der gemeinsamen Stammsprache, im
Sanskrit, ist gleichfalls eine Subtraktion mittelst des Wortes iina
(vermindert, weniger) im Gebrauch. Sei es nun, dass das una selbst
allein einem Zahlwort vorgesetzt wird, und man im Gedanken cka
eins hinzuhören muss, z. B. imavingsati , vermindertes 20 statt 19,
oder dass das cIm wirklich ausgesprochen wird und sich dabei mit
una zu ekona zusammensetzt, z. B, ekonasclmsclita, um 1 vermindertes
60 statt 59, oder dass andere Zahlen als 1 abgezogen Averden, z. B.
pantsclionangsatam, um 5 vermindertes 100 statt 95.

Am seltensten dient die Division zur sprachlichen Bildung der
Zahlwörter. Hier kommen neben den sofort verständlichen Theilungen:
ein viertel Hundert, ein halbes Tausend u. s. w. namentlich solche
Wörter in Betracht, welche eine nicht voll vorhandene Einheit zur
Theilung bringen. Anderthalb, dritthalb, sechsthalb besagen, dass
das Andere, d. h. Zweite, dass das Dritte, dass das Sechste halb zu
nehmen sei, die Existenz des Ersten, der 2, der 5 Vorhergehenden

1) Math. Beitr. Kulturl. S. 157. ") Pott I, S. 181, Anmerkung.

12 Einleitung.

als selbstverstandeu vorausgesetzt. Verwandte Bildungeu sind iu
lateinisclier und in griechisclier Spraclie sesquialtcr = iTiidevTSQog
= 1 V2, sesquitertnis = inCxQixog = 1 y^, sesquioctavus = iTcöydoog = V/^
u. s. w. Besonderer Hervorhebung seheint es vrerth, dass die dänische
Sprache in Europa und im fernen Süden und Osten die Sprache der
Dajacken und Malaien auf den nächsten Zwanziger beziehungsweise
Zehner übergreift, um ihn hälftig vorweg zu nehmen^). Ein altes
Vigesimalsystem in deutlichen Spuren verrathend (S. 9) sagt die dänische
Sprache nicht bloss tresindstyve oder 3 mal 20 für 60, ßresindstyve
oder 4 mal 20 für 80, sondern auch Jialvtredsinstyve , halvfirdsindstyve
für 50 und 70, d. h. der dritte, der vierte Zwanziger, welcher bei 60,
bei 80 voll vorhanden ist, kommt hier nur zur Hälfte in Rechnung.
Ja man hat sogar halvfemsindstyve oder fünfthalb Zwanziger für 90,
während 100 nur durch hundrede und nie durch femsindstyve aus-
gedrückt wird. Bei den Malaien heisst halb dreissig, halb sechzig es
solle von dem letzten, also hier von dem dritten, sechsten Zehner
nur die Hälfte genommen werden, man meine also 25, 55.

x\lle diese Theilungen in sich schliessende Ausdrücke sind ge-
Aviss merkwürdig, eine genaue Einsicht in das Alter der Division ver-
glichen mit dem Alter der Sprachbildung geben sie uns deshalb
doch nicht. Es sind eben Wörter mit Zahlenbedeutung, aber es sind
nicht die Zahlwörter! Neben ihnen und statt ihrer sind auch andere
möglicherweise viel ältere Ausdrücke in Gebrauch und lassen die Ent-
stehungszeit der jüngeren Benennung im dichtesten Dunkel. Nicht
anders verhält es sich mit den vorerwähnten subtraktiven Bildungen,
zu welchen als weiteres Beispiel bestimmter Grenzpunkte, auf welche
Vorhergehendes ebenso wie Folgendes belogen wird, die Kalender-
bezeichnung der Römer mit ihren Calenden, Nonen und Iden treten
mag. Entscheidend dagegen sind die subtraktiven Zahlwörter einiger
Sprachen, z. B. der Kräheuindianer in Nordamerika^). Bei ihnen
heissen 8 und 9 nie anders als nöpape, mnätajK', d. h. wörtlich 2 da-
von, 1 davon, und das Wort Zehn, d. h. die Anzahl von welcher 2,
beziehungsweise 1 weggenommen werden sollen, ist als selbstverständ-
lich weggelassen. Hier kann ein Zweifel kaum walten: die Namen
der 8 und 9 sind erst entstanden, nachdem der Begriff der 10 sich
gebildet hatte, nachdem das Rechnungsverfahren der Subtraktion er-
funden war. Mit dieser Bemerkung kehren wir zu unserer früheren
Behauptung zurück (S. 4), zu deren Begründung wir die ganze Er-
örterung über Zahlwörter und über die ersten Anfänge des Rechnens
gleich hier anknüpfen durften. Die Sprache hielt in ihrer Entstehung

') Pott 1, S. 103 und II, S. 88. ^) Pott II, ö. 65.

Einleitung. 13

nicht immer gleichen Schritt mit der Entstehung der Begriffe. . Das
aufeinander folgende Zählen wurde unterbrochen durch das Bewusst-
sein nothwendiger Zahlen Verknüpfungen, Sprünge in der Erfindung
der Zahlwörter sind nahezu sicher.

Und wieder machte der menschliche Erfindungsgeist einen Schritt
vorwärts, einen Schritt, zu welchem er auch nicht die geringste An-
regung von aussen erhielt, der ganz aus eigenem Antriebe erfolgend
mindestens ebenso sehr vsde die künstliche Entfachung des Feuers als
wesentlich menschlich, als keinem anderen Geschöpfe möglich aner-
kaimt werden muss: er erfand die Schrift. Bilderschrift, so nimmt
man gegenwärtig wohl ziemlich allgemein an, war die erste, Avelche
dem Spiegel der Rede (wie bei einem Negervolke das Geschriebene
heisst)^) den Ursprung gab. Aber mit Bildern allein kam man nicht
aus. Neben wirklichen Gegenständen mussten Thätigkeiten , Eigen-
schaften, Empfindungen dem künftigen Wissen aufbewahrt werden.
Die Nothwendigkeit symbolischer oder willkürlich eingeführter Zeichen
für diese nicht gegenständlichen Begriffe zwang zur Abhilfe. So
müssen Begriffszeichen entstanden sein, gemeinsam mit den früheren
Bildern eine Wortschrift herstellend. Jetzt erst — aber wer weiss
in wie langer Zeit? — konnte man dahin gelangen in dem Ge-
sprochenen nicht nur den ganzen Klang, sondern die einzelnen Laute,
aus welchen er sich zusammensetzt, zu verstehen, und diese Einzel-
laute dem Auge zu versinnlichen. Die Silben- mid Buchstabenschrift
entstand. Für die Zahlen behielt man allgemein das Verfahren bei,
welches in anderer Beziehung sich überlebt hatte. Inmitten der
Silben-, der Buchstabenschrift treten Zahlzeichen, d. h. Wort-
zeichen auf, und wer ein Freund philosophischen Grübelns ist, mag
darüber sinnen, warum grade hier eine Ausnahme sich aufdrängte.
Warum hat grade das mathematische Denken von jeher durch Wort-
zeichen, sei es durch Zahlzeichen, sei es durch andere sogenannte
mathematische Zeichen, Unterstützung, Erleichterung und Förderung
gefunden? Wir stellen die Frage, wir wagen nicht sie zu beant-
worten. Aber die Thatsache, an welche wir die Frage knüpften,
steht fest, ebenso wie es fest steht, dass ein Zahlenschreiben in älteste
Kulturzeiten hinaufreicht, wo dessen Zeichen inmitten geschichtlicher
Inschriften vorkommen.

Die Verschiedenheit der Zahlzeichen ist eine gewaltige. Wir
werden in mannigfachen Kapiteln dieses Bandes von solchen zu reden
haben und wünschen nicht vorzugreifen. Aber ein Frincip der Zahlen-
schreibung hat sich fast überall Bahn gebrochen, dessen Entdeckung

») Pott I, S. 18.

1 4 Einleitung.

dem Scharfsinne Hankel's') um so grössere Ebre macht, als es -trotz
seiner grossen Einfachheit stets übersehen worden war. Es ist das
Gesetz der Grössenfolge, wie wir, um eine kürzere Redeweise
zu besitzen, es künftig nennen wollen, und besteht darin, dass bei
allen additiv vereinigten Zahlen das Mehr stets dem We-
nio-er vorausgeht"). Natürlich ist die Richtung der Schrift bei
Prüfung dieses Gesetzes wohl zu beachten, und wenn bei der von
links nach rechts gehenden Schrift des Abendlandes der Haupttheil
der Zahl links auftreten muss, so ist die Stellung bei Zahlendarstellungen
semitischen Ursprunges entgegengesetzt, und wieder eine andere,
wenn, wie bei den Chinesen, die Schrift in von oben nach unten
gerichteten Reihen verläuft.

Die mathematischen Begriffe, bei denen wir in unserer flüchtigen
Betrachtung der Anfänge menschlicher Kulturentwickelung, Anfänge,
welche selbst Jahrtausende in Anspruch genommen haben mögen, zu
verweilen Gelegenheit nahmen, gehören sämmtlich dem einen Zweige
der Grössenlehre an, welcher über das Wieviel? der neben einander
auftretenden Dinge das Was? derselben vernachlässigt. Es ist aber
wohl keinem Zweifel unterworfen, dass neben Kenntniss und ein-
fachster Verbindung der Zahlen einfache astronomische wie geo-
metrische Begriffe wach geworden sein müssen.

Wir werden der Geschichte der Astronomie grundsätzlich fern
bleiben, um nicht den schon so für uns fast unbezwingbar sich ge-
staltenden Gegenstand unserer Darstellung ohne Noth zu vergrössern,
aber zwei Bemerkungen können wir hier nicht unterdrücken. Auf-
gang und Untergang der Soime waren gewiss schon in den Zeiten
nomadischen Wanderns die beiden Marksteine, die Zeit und Raum
in Grenzen schlössen. Morgen und Abend, Ost und West waren
Begriffepaare, deren Entstehung wohl nicht früh genug angenommen
werden können. Und als beim Ansässigwerden der Völker die Soime
zwar immer noch ihre Uhr, aber nicht ihren täglichen Wegweiser
bildete, nach deren Stande sie sich zu richten pflegten, war das
Orientirungsgefühl doch noch geblieben, hatte womöglich an Genauig-
keit noch zugenommen. Am Südende des Pfäffiker-Sees in der Schweiz
sind Pfahlbauten beobachtet worden, welche genau nach den Himmels-
gegenden gerichtet sind"), und jene Bauten reichen jenseits der soge-
naimten Bronzezeit in eine Periode hinauf, welche nach geologischer

') Haukel, S. '32. *) Uelter Abweichungen von diesem Gesetze vergl.
Kapitel 4. •'') Diese Beobachtung- rührt von Professor Quincke her, der uns
freundlichst gestattete, von dieser seiner mündlichen Mittheilung Gebrauch zu
machen.

Einleitung. 15

Schätzung etwa 4000 Jahre vor Christi Geburt lag. Von ähnlichen
Orientirungen werden wir verschiedentlich zu reden haben. Die Rich-
tung nach den Himmelsgegenden selbst wird uns niemals als Beweis
der Üebertragung von Begriifen von einem Volke zum andern gelten
dürfen. Nur die Ermittlungsweise dieser Richtung wird zum ge-
nannten Zwecke tauglich erscheinen.

Auch geometrische Begriffe, sagten wir, müssen frühzeitig ent-
standen sein. Körjper und Figuren mit geradliniger, mit krummliniger
Begrenzung müssen dem Auge des Menschen aufgefallen sein, so-
bald er anfing nicht bloss zu sehen, sondern um sich zu schauen.
Die Zahl der Ecken, in welchen jene Flächen, jene Linien aneinander
stossen, wird ihm der Bemerkung werth gewesen sein, wird ihn heraus-
gefordert haben jenen Gebilden Namen zu geben. Vielleicht ist auch
in ältesten Zeiten und in gegenseitiger Unabhängigkeit an vielen
Orten zugleich beachtet worden, dafs der Arm beim Biegen am Ellen-
bogen, das Bein beim Biegen am Knie, dafs die beiden Beine beim
Ausschreiten einen Winkel bilden, und der Name jeder von zwei
einen Winkel bildenden Linien als öxskog bei den Griechen, cnis bei
den Römern, Schenkel bei den Deutschen, leg bei den Engländern,
Jambe bei den Franzosen, huhu, d. h. Arm bei den Indern, koii, d. h.
Hüfte bei den Chinesen, der Zusammenhang ycövog Winkel mit yovv
Knie, dieses und ähnliches braucht nicht in allen Fällen Üeber-
tragung zu sein. Die genannten modernen Namen werden allerdings
kaum anders als durch Uebersetzung aus dem Lateinischen, wenn
nicht aus dem Griechischen entstanden sein, aber die antiken Wörter
können sehr wohl uraltes Ero-ebniss mehrfacher Selbstbeobachtuno-
sein, uraltes Wissen.

Ist nun uraltes Wissen auch uralte Wissenschaft? Muss eine
Geschichte der Mathematik so weit zurückgreifen, als sie noch hoffen
darf mathematischen Begriffen zu begegnen?

Wir haben unsere Auffassung, unsere Beantwortung dieser Fragen
darzulegen geglaubt, indem wir diese Einleitung vorausschickten.
Kein Erzähler hat das Recht das Brechen, das Zusammentraten der
ersten Bausteine, aus welchen Jahrhunderte dann ein stolzes Gebäude
aufgerichtet haben, ganz unbeachtet zu lassen; aber die Bausteine
sind noch nicht das Gebäude. Die Wissenschaft beginnt erzählbar
erst dann zu werden, wenn sie Wissenschaftslehre geworden ist. Erst
von diesem Zeitpunkte an kann man hoffen wirkliche Ueberreste von
Regeln und Vorschriften zu finden, welche es erlauben mit einiger
Sicherheit und nicht in Allem und Jedem dem eigenen Gedanken-
fluge vertrauend Bericht zu erstatten. Mögen Schriftsteller früherer
Jahrhunderte ihre eigentlichen historisch - mathematischen Unter-

IQ Einleitung.

suchungen mit der Schöpfung begouiien haben den Worten der
Schrift folgend: Aber du hast alles geordnet mit Maass, Zahl und
Gewicht^). Uns beginnt eine wirkliche Geschichte der Mathe-
matik mit dem ersten Schriftdenkmal, welches auf Rechnung und
Figurenvergleichung Bezug hat.

') Weisheit Salomo's XI, 22.

I. Aegypter.

Cantor. Geschichte der Mathematik I. i. Aufl.

1. Kapitel.
Die Aegypter. Arithmetisches.

Die älteste Literatur, welche gegenwärtig in einigermasseu aus-
giebigen üeberresten bekannt ist, ist die ägyptische, und ihr gehört
auch das erste mathematische Handbuch an, mit welchem wir uns
zu beschäftigen haben. Aegypten sei ein Geschenk des Nils, sagt
Herodot^), und derselbe Schriftsteller leitet an einer anderen Stelle'''),
die uns noch beschäftigen wird, die Erfindung der Geometrie aus der
Nothwendigkeit her, die in Folge der Nijüberschwemmungen verloren
gegangenen Begrenzungen wieder herzustellen. Wirklich ist die Kultur
des Landes, wie das Land selbst ohne jenen Strom, der das Erdreich
herabgeschwemmt hat aus den Hochlanden des inneren Afrikas, nicht
denkbar. Die alljährlich wiederkehrende Wasserfülle bringt in gleicher
Regelmässigkeit grosse Schlammmassen mit sich, die sie dort, wo
der Absturz des Stromes an Steilheit abnimmt, wo das Bett der
Ueberfluthung offener ist, fallen las st. Die Wasser verlaufen sich,
und die Sonne Afrikas härtet den neuen Boden. Auf «das mögliche
Alterthum des bewohnten und angebauten Schwemmlandes wirft es
ein gewisses Licht, dass man aus dem gegenwärtig noch wahrnehm-
baren und messbaren Schlammabsatze berechnet hat, dass unter gleichen
Bedingungen weit über 70 Jahrtausende nothwendig wären, um die
Entstehung Aegypteus in seiner jetzigen Ausdehnung zu erklären^).
Nehme man immerhin an, dass ehemals eine viel schnellere Ver-
grösserung stattfand, es bleibt unter allen Umständen eine Zahl übrig,
welche nur mit der sagenmässigen Vergangenheit chaldäischer und
chinesischer Astronomie in Vergleich zu bringen ist.

Das so alte Land gewann seine Bevölkerung nach der durch
Diodor*) überlieferten Meinung von Süden her aus Aethiopien, wäh-
rend der biblische Berichterstatter Mizraim'') den Stammvater der
Aegypter, einen Enkel Noahs, aus Chaldäa einwandern lässt. Die

1) Herodot II, 5. ^) Herodot II, 109. s) Q Maspero's Geschichte der
morgenländischen Völker im Alterthum nach der zweiten Auflage des Originals
und unter Mitwirkung des Verfassers übersetzt von Dr. Richard Pietsch-
mann. Leipzig, 1877, S. 7. Wir citiren dieses vielfach von uns benutzte Buch
als: Maspero-Pietschmann. ") Diodor III, 3-8. ^) 1. Moses 10, G.

20 1- Kapitel.

neuere Forschung^) liat auf Grundlage ägyptischer Denkmäler selbst
dem östliclieu Ursprünge Sicherheit verliehen, hat erkannt, dass die
Kultur jedenfalls in nordsüdlicher Richtung nilaufwärts sich ver-
breitete, nicht umgekehrt. Die ägyptische Sprache hält man gegen-
wärtig für eine ältere Schwester der semitischen Sprachen. Freilich
muss die Treimung erfolgt sein, als beide in ihrer Entwickelung noch
sehr zurück waren, und der semitische Stamm muss als der für
Sprachbildung befähigtere angesehen werden.

Das ägyptische Reich wurde durch XXX auf einander folgende
Dynastien beherrscht. Der Gründer der I. Dynastie Mena, Menes
der Griechen, wird auf das Jahr 4455 vor Christi Geburt etwa gesetzt,
wobei allerdings nicht unbemerkt bleiben darf, dass bei diesen ältesten
Datirungen eine Unsicherheit von 100, auch von 200 Jahren als selbst-
verständlich gilt und als Abweichung in den Angaben der verschie-
denen Gelehrten, welche sich daran versucht haben, kenntlich wird.
Mena's Sohn Teta wird schon als Gelehrter, als Verfasser anato-
mischer Schriften^), genannt, und Nebka, griechisch Tosorthros,
der zweite König der III. Dynastie um 3800, trat in Teta's Fuss-
stapfen und verfasste medizinische Abhandlungen, welche 4 Jahr-
tausende nach seiner Regierung noch bekannt waren und ihn mit dem
griechischen Gotte der Heilkunst, mit Asklepios, in eine Persönlich-
keit vereinigen Hessen^). Die Könige der IV. Dynastie, seit 3686 am
Ruder, sind die bekannten Pyramidenbauer Chufu, Chafrä, Menkarä.
Schon in ihrer Zeit muss es Baumeister gegeben haben, deren Aus-
bildung nicht zu unterschätzen ist. Wie in den ältesten monumen-
talen Grabesräumen der Aegypter stets nach Osten zu eine Denk-
säule steht ■*), so sind insbesondere die Pyramiden so scharf orientirt,
dass man unter den maimigfachen Vermuthungen, welche frühere und
spätere Schriftsteller über diese riesigen Königsgräber auszusprechen
sich bemüssigt fanden, auch derjenigen begegnet, die Pyramiden seien
in der Absicht erbaut worden mittels ihrer Grundlinien die Himmels-
richtungen festzuhalten. Zufall ist es jedenfalls nicht gewesen, wenn
der Orientirungsgedanke damals bereits so genau zur Ausführung
gebracht wurde. Zufall möchten wir ebensowenig in dem Umstände
erkennen, dass in fast allen alten Pyramiden der Winkel, welchen
die Seitenwand der Pyramide mit der Grundfläche bildet, wenig oder
gar nicht von 52'' abweicht''). Das setzt, wie gesagt, ausgebildete

^) Maspero-Pietschmann S. LS und 16. ^) Ebenda S. 54. ^) Ebenda
S. .')9. '') Ebenda S. 60. ^) Ein mathematisches Handbuch der alten Aegypter
(Papyrus Rhind des British Museum), übersetzt und erklärt von Aug. Eisenlohr.
Leipzig, 1877, S. 1.S7. Wir citiren künftig diese Ilauptquelle für ägyptische
Mathematik als Eisenlohr, Papyrus.

Die Aegypter. Arithmetisches. 21

Baumeister, das setzt mathematisclie Hilfswissenschaften der Baukunst
voraus, sei es, dass die Regeln von Mund zu Mund sich fortpflanzten,
sei es sogar, dass man sie niederschrieb. Steht es doch fest, dass
die Aufbewahrung vererbten Wissens, dass das Sammeln von Bücher-
rollen zu den Sitten der ältesten Dynastien gehört haben muss, wenn
bereits am Anfange der VT. Dynastie eigene Beamten ernannt wurden,
deren Titel „Verwalter des Bücherhauses" in ihren Grabschriften sich
erhalten hat^). Ein Jahrtausend etwa überspringend, nennen wir aus
der XII. Dynastie Amenemhat III., einen Fürsten von 42jähriger
wohlbeglaubigter Regierung, wenn auch ihre Datirung weniger gesichert
ist als ihre Dauer"). Er war der Erbauer des grossartigen Tempel-
palastes unweit vom Mörissee, aus dessen Namen Lope-ro-hunt
• = Tempel am Eingang zum See das Wort Labyrinth entstand. Man
hat für Amenemhat III. verschiedene Beinamen in Anspruch ge-
nommen^), nämlich Petesuchet = Gabe der Suchet, Aasuchet = Spröss-
ling der Suchet und Sasuchet = Sohn der Suchet. Wäre diese
Annahme gesichert, so könnte man in ihm die Persönlichkeiten er-
kennen, welche unter verwandten Namen bei mehreren Schriftstellern
auftretend bei anderen Aegyptologen als unserem Gewährsmanne
nicht verschmolzen zu werden pflegten. Amenemhat III. wäre als-
dann der Gesetzgeber Asychis des Herodot^), der König Pete-
suchis, der das Labyrinth erbaute, des Plinius''), endlich der durch
Verstand hervorragende König Sasyches, der die Geometrie erfand,
des Diodor*'). Bereits während der XII. Dynastie begamien von Osten
über die Landenge von Suez her die Einfälle plünderungssüchtiger
Wüstenstämme, welche sich selbst als Shus, Shasu = Räuber be-
zeichneten. Aber 200 Jahre und mehr waren nöthig bis Asses,
ein Hik-Shus, d. h. ein Fürst jener Räuber die XV. ägyptische Dy-
nastie stürzen und sich an deren Stelle setzen konnte. Die zwei
folgenden Dynastien gehören gewissermassen den Hiksoskönigen an,
wie man in Nachbildung jenes eben erläuterten Titels zu sagen sich
gewöhnt hat, imd erst mit Ahmes, dem Gründer der XVIII. Dynastie
um 1700, gelang es einem Sohne uralter ägyptischer Abstammung
die Eindringlinge zu vertreiben. Unter den Hiksoskönigen war es,
dass das mathematische Handbuch niedergeschrieben wurde, zu
dessen genauer Inhaltsangabe wir ims nun wenden müssen. •

^) Maspero-Piet schmann S. 74. ^) Nach Lepsius regierte Amenem-
hat III. von 2221 bis 2179; nach Lauth dagegen (vergl. dessen Aufsatz „Der
geometrische Papyras" in der Beilage zur Allgemeinen Zeitung vom 20. Sep-
tember 1877, Nr. 263) von 2425 bis 2383. ^) Vergl. Lauth 1. c. ^eine Gründe
hängen mit seinen chronologischen Annahmen auf's Engste zusammen. *) He-
rodot II, 136. ">) Plinius, Histor. natur. XXXVI, 13. s) Diodor I, 94.

22 1- Kapitel.

Die Anfangsworte lauten'): „Vorsclirift zu gelangen zur Kenntniss
aller dunklen Dinge .... aller Geheimnisse, welche enthalten sind
in den Gegenständen. Verfasst wurde dieses Buch im Jahre 33, Me-
sori Tag . . unter dem König von Ober- und Unterägypten Ra-ä-us
Leben gebend, nach dem Vorbild von alten Schriften, die verfertigt
wurden in den Zeiten des Königs [Ra-en-m]ät' durch den Schreiber
Ahmes verfasst diese Schrift."

Aus dieser Angabe, dass an einem ursprüglich angegebenen,
jetzt durch einen Riss verloren gegangenen Tage des Monats Mesori
des 33. Regierungsjahres Königs Ra-ä-us' der Schreiber Ahmes das
Buch verfasst habe, ist eine so bestimmte Datirung möglich, als sie
überhaupt für so weit zurückliegende Zeiten Fhunlich ist. Ra-ä-us
ist nämlich, wie aus einem dem ägyptischen Süden, dem sogenannten"
Fayum, entstammenden Holzfragmente des berliner ägyptischen Mu-
seums erkannt worden ist"). Niemand anders als der Hiksoskönig
Apepa, der Apophis der Griechen. Alle Zweifel, welche an die Zeit
und Dauer der Hiksosherrschaft sich knüpfen, in Rechnung gebracht
irrt man gewiss nicht, wenn man Ra-ä-us zwischen die Jahre 2000
und 1700 V. Chr. setzt, und da überdies das Aeussere des Papyrus,
die Schrift etc. dieser Zeit genau entspricht, so ist damit eine Ver-
muthung über dessen Alter gewonnen, in welcher die sonst nicht
immer übereinstimmenden Kenner ägyptischer Sprache sich sämrntlich
begegnen. Wenn auch nicht ganz das Gleiche mit Bezug auf den
Namen jenes Königs stattfindet, unter welchem die alten als Vorbild
dienenden Schriften verfasst worden waren, so ergänzt man doch
meistens diese Lücke durch Raenmat^), und das ist kein anderer
als König Amenemhat IIL Ist diese Ergänzung richtig, und hat
man in Amenemhat wirklich auch Sasyches zu erkennen, so könnte
Diodors Angabe über den Erfinder der Geometrie in Beziehung auf
unsern Papyrus 'gedeutet werden. Das Original zu der Bearbeitung
des Ahmes würde dann viele Jahrhunderte hindurch in der Ueber-
lieferung fortlebend sich mythisch mit der Erfindung der Geometrie
vereinigt haben'*). Und wenn diese genaue Beziehung sich nicht fest-
halten Hesse, so ist doch merkwürdigerweise die Zeit der XIL Dy-
nastie auch durch ein anderes Schriftstück als Blüthezeit ägyptischer

') Eisenlohr, Papyrus S. 27—29. -) Die Entdeckung stammt von Herrn
Dr. Ludwig Stern, det^sen brieflichen Mittheilungen wir diese Thatsaclic ent-
nehmen. ^) G. Ebers in einer Recension von Eisenlohr, Papyrus im Lite-
rarischen Centralblatt vom 12. October 1878 hält diese Ergänzung für zweifel-
haft. Dagegen stimmt er durchaus damit iibei'ein , der Papyrus könne nach
allen üut^seren Anzeichen nur in def Zeit zwischen der XVI 1. und der XVIII.
Dynastie geschrieben sein. ') Vergl. Lauth 1. c.

Die Aegypter. Arithmetisches. 23

Recheiikimst bestätigt. In Kahiin, südlich von der Pyramide von
lllahim, die auf Usertesen IL aus der SIL Dynastie zurückgeht,
wurden 1880 und 1890 zwei mathematische Papyri aufgefunden^),
welche, ohne mit dem Papyrus des Ahmes übereinzustimmen, hoch-
bedeutsame Aehnlichkeiten mit demselben aufweisen. So ist dort

2 1

eine Anzahl von Bruchzerlegungen vorhanden, wie z. B. tö =^ 7S

-j- ^ + . .7 und ähnliche , von denen wir gleich zu reden haben

werden.

Ein weiterer mathematischer Papyrus, von dessen Inhalt leider
nicht einmal Andeutungen bekannt sind, gehört Herrn Wladimir
Goleuischeff an, Conservator der kaiserlichen Sammlung in der Ere-
mitage in Petersburg. Unbedeutende Papyrustheile mit Hau-Rech-
nungen — wir werden bald sehen, was das ist — sind im Besitze
des Aegyptischen Museums in Berlin^).

üeber einen in einem koptischen Grabe aufgefundenen Papyrus
in griechischer Sprache berichten wir im 24. Kapitel. Von den alten
Schriften ist bisher nur das Rechenbuch des Ahmes der Oeffent-
lichkeit übergeben, und zu ihm kehren wir zurück.

„Vorschrift zu gelangen zur Kenntniss aller dunklen Dinge", so
lauten die Anfangsworte des Papyrus. Später spricht Ahmes von
einer „Vorschrift der Ergänzung", von einer „Vorschrift zu berechnen
ein rundes Fruchthaus", von einer „Vorschrift zu berechnen Felder",
von einer „Vorschrift zu machen einen Schmuck" und dergl. mehr.
Wer aber aus diesen Ueberschriften den Schluss ziehen wollte, es
seien hier überall wirkliche Vorschriften gegeben. Regeln gelehrt,
wie man zu verfahren habe, der würde in einem gewaltigen Irrthume
befangen sein. Einzelne Vorschriften in unserem heutigen Sinne des
Wortes kommen allerdings vor, aber weitaus in einer überwiegenden
Zahl von Fällen begnügt sich Ahmes damit mehrere Aufgaben gleicher
Gattung nach einander zu behandeln. Eine Induction aus diesen
Aufgaben und ihrer Lösung auf allgemeine Regeln ist nicht gerade
schwierig, allein Ahmes vollzieht sie nicht. Er überlässt diese Folge-
rungen, dem Leser oder dem mündlichen Unterrichte des Lehrers,
ohne welchen die Benutzung des Handbuches kaum gedacht werden
kann. Das häufige Auftreten des Wortes „Vorschrift" entspricht nur
der ägyptischen Gewohnheit der Gedächtnissübuug, wie sie gradezu
als Grundlage jeder Unterweisung beigeblieben ist^"'). Lassen sich

1) "W. M. Flinders Petrie, Illahun, Kahiin and Gurob. London 1891,
pag. 486. -) Alle Notizen über mathematische Papyri verdanken wir Herrn
Prof. August Eisenlohr. ^) Herodot II, 77.

24 1- Kapitel.

doch regelmässig wiederkelirende Ausdrücke am leiclitesteu einprägen.
Gewiss entstammen noch andere gleichfalls unaufhörlich sich wieder-
holende Redensarten bei Ahmes derselben Rücksicht auf das Gedächt-
niss des Schülers. So heisst es bei ihm: „gesagt ist dir", oder „wenn
dir sagt der Schreiber", oder „wenn dir gegeben" ist" und „mache,
wie geschieht", oder „mache es also", wo ein Schriftsteller unserer
Zeit: Aufgabe und Auflösung sagen würde.

Die Zahlen, mit welchen gerechnet wird, sind theils ganze
Zahlen, theils und zwar grösstentheils Brüche, woraus sich von
selbst ergibt, dass der Leserkreis, für welchen Ahmes schrieb, als
ein in der Rechenkunst schon vorgeschrittener gedacht werden muss.
Ein Handbuch für Anfänger müsste und musste zu allen Zeiten sich
namentlich am Anfange auf den Gebrauch ganzer Zahlen beschränken.
Ueber die Zeichen, deren Ahmes sich für ganze und für gebrochene
Zahlen bedient, werden wir zwar noch in diesem Kapitel aber in
einem anderen Zusammenhange reden. Für jetzt muss eine Bemerkung
über die Art der vorkommenden Brüche und über deren Bezeichnung
unter Voraussetzung gegebener Zeichen für ganze Zahlen genügen.
Ahmes benutzt nämlich nicht Brüche in dem allgemeinsten Sinne des
Wortes, d. h. angedeutete Theilungen, wobei der Zähler wie der
Nenner von beliebiger Grösse sein können, sondern nur Stamm-
brüche, d. h. solche, die bei ganzzahligem Nenner die Einheit als
Zähler haben und die er dadurch anzeigte, dass er die Zahl des
Nenners hinschrieb und ein Pünktchen darüber setzte.
Brüche mit anderem Zähler konnte er wohl denken, wie aus dem
ganzen Charakter seiner Aufgaben zur Genüge hervorgeht, er konnte
sie aber nur dann schreiben, wenn mehrere derselben mit gemein-
samem Nenner in Zwischenrechnungen auftraten. Er begnügte sich
sonst jeden beliebigen Bruch als Summe von Stammbrüchen auzu-

112

schreiben, z. B. — .. statt — , wenn das blosse Nebeneiuandersetzen

' ö 15 5 '

zweier Stammbrüche deren additive Zusammenfassung bezeichnen soll.
Eine einzige Ausnahme bildet von dem hier Ausgesprochenen der

2 ..11

Bruch — • Ahmes weiss ganz genau, dass derselbe eigentlich -^ —

ist und versteht diese Zerlegung vortrefflich zu benutzen, aber daneben

hat er ein eigenes Zeichen für — , so dass auch dieser Bruch in

seinen Rechnungen mitten unter Stammbrüchen vielfältig vorkommt
und uneigentlich zu denselben gezählt werden mag.

Nach dieser Bemerkung lässt sich sofort erkennen, dass es eine
Aufgabe gab, welche Ahmes unbedingt an die Spitze stellen musste,
mit deren Lösung der Schüler vertraut sein musste, bevor er an

Die Aegjpter. Arithmetisches.

irgend eiue andere Reclinung ging, die Aufgabe: einen beliebigen
Bruch als Summe von Stammbrüchen darzustellen. Das
scheint uns denn auch die Bedeutung einer Tabelle zu sein, deren
Entwickeluug die ersten Blätter des Papyrus füllt. Allerdings ist
diese Bedeutung nicht unmittelbar aus dem Wortlaute zu erkennen.
Dieser heisst vielmehr zuerst'): „Theile 2 durch 3", dann „durch 5"
später wieder z. B. „theile 2 durch 17", kurzum es handelt sich um
die Darstellung von

2n 4- 1
(wo n der Reihe nach die ganzen Zahlen von 1 bis 49 bedeutet, als
Divisoren mithin alle ungeraden Zahlen von 3 bis 99 erscheinen), als
Summe von 2, 3 oder gar 4 Stammbrüchen. Tabellarisch geordnet
unter Weglassung aller Zwischenrechnungen gewinnt Ahmes folgende
Zerlegungen^):

2 2

~3~ y

2 1
31 20

.124

1
155

2 _ 1

y ~ y

2 _ 1

33 22

2 _ 1

T ~ T

2 1-

35 30

1
42

2 1

y ~~ y

1
lÖ

2 _ 1
37 ~" 24

1
111

1
296

2 1

n ~~ 6

1
66

2 _ 1
39 ~ 26

2 1

13 ~ y

1
52

1
104

2 _ 1

41 ~~ 24

246

1
328

2 1
15 ~~ 10

1
30

2 1

43 "~ 42

1 1

129 301

2 1
17 12

1
51

1
68

2 1

45 3Ö

1
90

2 1

19 ~~ 12

114

47 ~" 30

141

470

2 _ 1
21 " 14

1
42

2 1

49 ~~ 28

1
196

2 _ 1

2 1

23 ~ 12

276

51 ~" 34

102

2 1

25 15

53 30

318

795

2 1

2^7 ~~ 18

2 _ 1
55 30

1
330

2 1

2'9 24

1 1
174 232

2 _ l'

1 57 38

1
114

') Eisenlohr, Papyrus S. 36—4^. ") Ebenda S. 46 48.

1. Kapitel.

59 "^

236

531

162

61 ~

1
40

1
244

1
448

6To

_ 1

~~ 60

1
332

1
4T5

1
498

63 ~

l¥6

255

2
65 "~

1
195

2
87

~ 58

174

2
67 ~

1
40

335

536

~ 60

1
356

1
534

1
890

2 _
69 "~

138

2
91

_ 1

"~ 70

1
130

2
71 "^

568

1
710

2
93

1
~~ 62

1
186

73 "~

219

292

365

~~ 60

380

570

75 "~

150

~~ 56

679

776

77 ~

308

~ 66

198

79 ~"

6Ö

237

316

79Ö

Es ist einleuchtend, djiss unter wiederholter Anwendung dieser
Tabelle ein Bruch, dessen Zähler auch die 2 übersteigt, wenn er nur
seinem Nenner nach in der Tabelle sich findet, in Stammbrüche zer-

7
legt werden kann. Zeigen wir versuchsweise an - , wie wir dieses

Verfahren uns denken. Zunächst ist 7 = l+2-|-2 + 2

^ ^^ 29 29 "•" \24 58 174 232/ "^ \24 58 174 232/ ' \21 58 174 232/

1
58

1
174

1
232

+ (

2 2
24 58

■2 2)

174 232/

1 1

174

232

87 116

174

232

116

1 1

174

232

174

232 12

116

174

232

116

ri6

116

Die Aegypter. Aritlimetisclies. 27

1 .

r74

■29

17l

174

232

174

•>

174

232

87 24 58 232 6

oder besser geordnet ^o = -^ ^ 7^ ^ ^^ir^ • Niemand wird behaupten

wollen, diese Zerlegungs weise sei besonders elegant, oder sie führe
besonders schnell zum Ziele. Aber sie führt doch dazu, sie ist aus-
reichend, vorausgesetzt wenigstens, dass im Verlaufe der Rechnung
kein mit dem Zähler 2 versehener Bruch auftrete, dessen ungerader
Nenner die Zahl 100 überschreitet, widrigenfalls von einer grösseren
Ausdehnung der Tabelle nicht abgesehen werden könnte.

Drei Bemerkungen drängen sich von selbst auf. Die eine geht
dahin, dass es nicht bloss eine Zerlegung eines Bruches gibt, sondern
dass man die Auswahl zwischen man kann fast sagen beliebig vielen

7 111

Zerlegungen hat. So ist z. B. auch ,,„ = -^ ^ ttt neben der oben

° " 29 5. 29 145

erhaltenen Zerlegung. So ist — = — 7^- = — ^^ 77- neben dem in

" " 29 15 4d5 16 232 464

der Tabelle angegebenen Werthe u. s. w. Daran knüpft sich die
zweite Bemerkung, dass für die complicirteren Fälle allmäliger Zer-
legung, deren wir einen l^j behandelt haben, es sich als zweck-
dienlich erweist, wenn die Nenner der in der Tabelle als erste Zer-
legungsergebnisse vorhandenen Stammbrüche grade Zahlen sind, weil
dadurch ein Aufheben durch 2 vielfach ermöglicht wird. Der ägyp-
tische Rechner war nämlich, und das ist unsere dritte Bemerkung,
gewöhnt wenn auch muthmasslich nicht die Theilbarkeit einer Zahl durch
irgend eine andere, doch jedenfalls ihre Theilbarkeit durch 2
sofort zu erkennen. Das geht ohne die Möglichkeit eines Zweifels

2 1

aus der Tabelle selbst hervor. Nur wenn die Verwandlungen "-==-,

-^ = — , == — ii. s. w. von vorn herein klar waren, ist deren folge-
richtige Ausschliessung aus der Tabelle erklärlich.

28 1. Kapitel.

Aber auch eiua Frage drängt sich auf: wie ist die Tabelle
entstandeu^)? Wie wäre ihre Fortsetzimg zu beschaffen^ welche doch
wie wir sahen, bei Zerlegung von Brüchen, deren Zähler die 2 über-
steigen, unter umständen nothwendig wird? Die Vermuthung dürfte
eine nicht allzugewagte sein, dass die Tabelle, ein altes Erbstück
schon zur Zeit des Ahmes, wohl niemals auf einen Schlag gebildet
worden ist. Eine allmälige Entstehung, so dass die Zerlegung bald
dieses bald jenes Bruches, bald dieser bald jener Gruppe von Brüchen
gelang, dass die gewonnenen Erfahrungen aufbewahrt und gesammelt
wurden, dürfte der Wahrheit so nahe kommen, dass man sich be-
rechtigt fühlen möchte, die Mathematik ihrem geschichtlichen Ur-
sprimge nach und ohne in die Streitfragen nach der philosophischen
Begründung ihrer einfachsten Begriffe einzutreten eine Erfahrungs-
wissenschaft zu nennen. Jedenfalls kann man auch mit Bezug auf
die uns gegenwärtig beschäftigende Tabelle nicht Vorsicht genug
gegen die Versuchung üben, allgemeine Methoden aus gegebenen
Fällen herauszudeuten, damit mau sie nicht vielmehr hineindeute.

Eine allgemeine Methode weist allerdings der Text des Papyrus
selbst durch eine der seltenen Stellen, in welchen eine wirkliche
Vorschrift gegeben ist, auf. Wir meinen die Aufgabe 61. nach der
Nummerirung, mit welcher der Herausgeber des Papyrus die auf die

Tabelle folgenden Aufgaben versehen hat. Dort heifst es^): „— zu

2 1

machen von einem Bruch. Wenn dir gesagt ist: was ist — von — ?

so mache du sein Doppeltes und sein Sechsfaches, das ist sein zwei
Drittel. Also ist es zu machen in gleicher Weise für jeden ge-
brochenen Theil, welcher vorkommt."

Um diese Vorschrift zu verstehen, müssen wir uns erinnern, dass
zum Anschreiben eines Stammbruches (S. 24) der mit einem Pünktchen
versehene Nenner genügte. „Sein Doppeltes" von einem Bruche gesagt
heisst demnach: der doppelte Nenner, selbst mit einem Punkte darüber,
und ist dem Werthe nach nicht ein Doppeltes sondern ein Halbes.
Die erwähnte Vorschrift zeigt also erstlich, dass, wie wir früher vor-

2 11

greifend gesagt haben, die Zerlegung = — bekannt war, wenn
sie auch in der Tabelle nicht enthalten ist. Sie zeigt ferner, dass
man „für jeden gebrochenen Theil, welcher vorkommt", für jedes —

') Eisenlohr, Papyrus S. 30—34 hat sich eingehend mit dieser Frage
bcschiiftigt. Unsere Auseinandersetzung trifft in vielen Punkten mit der dort
gegebenen überein, weicht aber auch in einigen nicht ganz nebensächlichen
Dingen davon ab. '^) Ebenda S. 150.

Die Aegypter. Arithmetiaches. 29

in ffleiclier Weise - x ~ = -— — - rechnete. Aber ein Anderes ist
^ S a 2a Qa

2 1

immerhin — von — zu nehmen, ein Anderes 2 durch 3r/ zu theilen!

.1 a '

Wir sind nicht Ijerechtigt ohne Weiteres vorauszusetzen, dass man

.212 211

gewusst habe, es sei - x — == -- also auch -~ = -~ ^ ■ Die Tabelle

beweist uns das Vorhandensein dieser Kenntniss, denn sie liefert aus-
nahmslos bei jedem durch 3 theilbaren Nenner grade diese Zerlegung

2 11 2 11 2 11

9 "^ 6^ 18' 45 30 90 ' 93 62 FSG ^' ^' ^'

Bezieht sich etwa das „also ist es zu machen für jeden ge-
brochenen Theil, welcher vorkommt" wie auf den Bruch — so auch
' a

2 .

auf —, oder mit anderen Worten ist auch^ wenn p eine von 3 ver-
schiedene Primzahl bedeutet, in der Tabelle eine Verwerthung der

2 . 2 . .

Zerlegung von bei der Zerlegung von — ersichtlich? Gibt es

2 2 11

ferner eine Zerlegung von — selbst, welche zur Zerlegung — = —

eine geistige Verwandtschaft besitzt?

Die zweite dieser Fragen lässt sich sofort bejahend beantworten.
Wenn p eine Primzahl ist (und zwar selbstverständlich eine von 2

verschiedene Primzahl), so muss — „ — eine ganze Zahl sein. Nun

2 1 1

ist — = — r^ H r^-^ , und dieser Zerlegungsformel, deren ge-

p P -\- 1 ' P -\- 1 ' OÖ 7 o

.___ -^~xp

schichtliche Berechtigung freilich- erst im 41. Kapitel im folgenden

Bande dieses Werkes zur Sprache kommen kann, entspricht ^ = -^ j '

Ihr folgen ebenso die Zerlegungen der Tabelle unter Annahme von

..... „^ .2 11 2 11 2 £1 A_^_L

P — ^7 ^ 11, ^ö mit - — jY^, ^ — ^-—, 11 — 6 66' 23 ~ 12 276'

aber p = 13, 17, 19, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,
83, 89, 97, oder eine Mehrheit von neunzehn Primzahlen gegen fünf
beweist, dass es irrig wäre anzunehmen, diese Zerlegungsart sei als
Gesetz vorhanden gewesen. Noch weniger fügt sich die Zerlegung

der Brüche — einem Gesetze. Wie -^- = 7r~w-, hätte man y-=^-^— ^y-
pa 3a 2« 6a' oa 3al5a

ZU erwarten. Diese Erwartung erfüllt sich nur bei a = 5, 13, 17.

2 11

Die Zerlegung -- = -— -— - findet nur statt bei a = 1 , 11. Die
«= => 7a 4a 28a '

2 11

Zerlegung t^— - = - ~ rr^— , sollte man vermuthen, könne nur bei « > 1 1
'=' " IIa 6a 66a ' '

eintreten, also die Ausdehnung der Tabelle überschreiten. Statt
dessen gilt sie für a = 5, so dass 55 als Vielfaches seines grösseren

30 1- Kapitel.

Faktors 11, nicht seines kleineren Faktors 5 behandelt ist. Noch

2 11 2 11

auffallender ist die Ausnahmestellung, welche — == ^^ ^^ und ^ = ^igQ-

einnehmen. Die erstere Zerlegung kümmert sich, nach unserer bis-
herigen Auffassung betrachtet, weder um den Faktor 5 noch um
den Faktor 7 von 35, die letztere um keinen der Faktoren 7 oder
13 von 91. Und doch lassen sich diese Zerlegungen in unter sich
gleicher Weise aus jenen Faktoren herleiten. Wenn p und q zwei

ungerade Zahlen sind, 'T demnach ganzzahlig ausfallen muss, so

ist = 1 1 -; — , und setzt man nun p = 7,

9X - 2 -^^^^ 2

q = b beziehungsweise p=13, q = " , so erhält man obige Zer-
legungen. Und dieses Zusammentreffen scheint kein Zufall zu sein.
Wenigstens lässt sich in byzantinischer Zeit die hier ausgesprochene
Entstehung mit aller Bestimmtheit nachweisen, wie im 24. Kapitel
sich zeigen wird.

Aber grade das Vorhandensein der beiden Zerlegungsformeln,
welche wir mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit zu ent-
hüllen iiu Stande waren, nöthigt uns die gleiche Folgerung wieder-
holt auszusprechen, die vorgreifend an die Spitze gestellt ward. Nur
eine allmälige Entstehung der Tabelle lässt sich denken! Es will
nicht in Abrede gestellt werden, dass an einem guten Theile der
Zerlegungen mehr oder weniger bewusst gewisse Regeln zur Aus-
übung gelangten, aber grade deren ebenmässiges, gleichberechtigtes
Vorhandensein schliesst wieder rückwärts jede Möglichkeit eines ein-
heitlichen Grundgedankens aus, und sei es nur auch eines solchen
wie der, dass wenn thunlich Stammbrüche mit geradem Nenner er-
scheinen sollen ').

Wir schalten noch eine Bemerkung ein, deren Bedeutung erst
im 33. Kapitel uns hervortreten wird. Die Aufgabe „theile 2 durch 3"
beziehungsweise durch 5, durch 17 u. s. w. lautet ägyptisch nas 2
Xent 3, oder wie der Divisor heissen mag. Von den beiden Kunst-
Wörtern^) nas und x^''^^ bedeutet das letztere so viel wie in, unter,
zwischen. Das erstere nas mit dem Determinativ eines die Hand

') Wenn Herr Gino Loria in der Bibliotheca mathematica 1892 pag. Ü7
bis 109 sich in scharfsinnigen Vermuthungen ergeht, wie die Zerfällung in 2,
3, 4 Stammbrüche stattgefunden haben möge, so bleibt er doch jede Antwort
auf die Frage schuldig, an welcher wir auch gescheitert sind, und die wir für
die wichtigste halten: warum im Einzelfalle die Zerlegung grade in diese An-
zahl von Stammbrüchen stattfand? -) Die hier ausgeHprochene Vermuthung ist
Rigenthum des Herrn Leon Rodet, der sie uns brieflich unter dem 10. Juli
1879 mittheilte und deren Benutzung in diesem Werke gütigst gestattet hat.

Die Aegypter. Arithmetisches, 3i

ausstreckenden Mannes bedeutet anrufen, Ijeten. Ahmes hat aber als
Determinativ einen den Finger an den Mund legenden Maini benutzt.
Dadurch könnte die Bedeutung „aussprechbar macheu" gerechtfertigt
werden und es hiesse nas 2 ;^cm^ 17 so viel wie „mache 2 aussprech-
bar 'in 17". Damit wäre mittelbar behauptet, der Aegyi)ter habe
leicht aussprechbare Formen nur für Stammbrüche besessen, während

ein Bruch wie -rz oder allgemeiner -- ihm Schwierigkeiten sogar

grammatikalischer Natur bereitete; eine Vermuthung, welche noch
ihrer Bestätigung harret.

Wir haben die Anwendung der Tabelle zur Zerlegung von Brüchen,
deren Zähler grösser als 2 sind, deutlich zu machen gesucht, haben
erkannt, dass diese Anwendung begrifflich leicht in der Ausführung
misslich ist. Um so wüuschenswerther musste es sein, die Zerlegung

7 DD

von Brüchen mit einem besonders oft vorkommenden Nenner ein für
alle Mal vorräthig zu haben. Ein solcher Nenner war die bei den
Fruchtmaasseu und der Feldereintheilung der Aegypter sehr beliebte
Zahl 10, und deshalb wohl ist der grossen Tabelle eine zweite klei-
nere angeschlossen gewesen, aus deren allerdings sehr lückenhaften
Ueberresteu ^) man die Zerlegung der verschiedenen Zehntel in Stamm-
brüche entziffert hat.

Wir kehren nochmals zur grossen Tabelle zurück. Wenn gleich
eine Anleitung zu ihrer Herstellung von uns vermisst wurde, so ist
doch ein Beweis der Richtigkeit der einzelnen angegebenen Zer-
legungen unter dem Namen Smot, Ausrechnung, geführt. Ist etwa

2 . . . 11
die Zerlegung von , in die beiden Stammbrüche angegeben, so

D D y| ^^ j^ D O ?

zeigt die Ausrechnung, dass ^-^-1 • A oder mit anderen Worten

der «jte und der u^ie Theil von A zusammen die 2 geben. Der
Grundgedanke von dieser Ausführung besteht darin, dass zuerst all-
mälig die immer kleineren aliquoten Theile von A ermittelt werden,
und dass ein kleiner Strich, im Drucke durch den Herausgeber über-
sichtlicher durch ein Sternchen ersetzt, diejenigen Zahlen hervorhebt,
welche zusammen die 2 liefern sollen.

2 11.

So heisst z. B. bei _- = -- die Ausrechnung^):

■ I 3i 1 7

, \ lU 2 14

* 4 28 ^ 4 28

') Eisenlohr, Papyrus S. 49—53. -) Ebenda S. ;JC.

32 1- Kapitel.

Der Sinn dieser Ausreclinung besteht darin, dass man mit dem Um-
wege über die Erkenntniss, dass die Hälfte von sieben 3— beträgt, zu
— X 7 == 1 gelangt. Nicht als ob der Aegypter nicht im

Stande gewesen wäre sofort den vierten Theil von 7 zu erkennen,
aber die Absicht war offenbar in erster Linie zu zeigen, dass die

Hälfte von 7 mehr als 2 beträgt, dass also der Stammbruch — bei

2 .

der Zerlegung von — nicht vorkommen kann. Dagegen liefert

" X 7 nicht die ganzen 2, sondern nur ^yT' ^™ Kopfe wird jetzt

111
die Subtraktion 2 — 1-- -ir == ~r vollzogen und erwogen, dass dieser

2 4 4 " o 7

Rest durch 7 mal einem zweiten Stammbruche erzeugt werden muss,
dessen Nenner folglich 7 mal 4 oder 4 mal 7 sein muss. Das ist
die Bedeutung der an zweiter Stelle auftretenden Multiplikation
1x7 = 7, 2 X 7 = 14, 4 X 7 = 28.

Man könnte freilich, namentlich mit Beziehuug auf die von uns
als im Kopfe ausgeführt behauptete Subtraktion 2 — 1— - zweifel-
haft sein, ob wir hier nicht Dinge hineinlesen, an welche Ahmes

2 2 2 2 2
nicht dachte, wenn nicht die Zerlegungen von t^, v^, -^, jv , y» als

i.4 1«/ 0( 4:1 Oö

Bestätigungen unserer Darstellung erschienen. Dort wo die Zer-
legung der Tabelle drei Stammbrüche gibt, enthält die Ausrechnung
ffanz ähnliche Subtraktionen mit ausdrücklicher Erwähnung derselben.

.2111.
Ueberzeugeu wir uns bei 7^ = ts ^ (^ • Die Ausrechnung hat folgende

Gestalt ^) :

1 17 1

3 4

^ 2-' ' * 4

G ^^2 3 * ^

* 12 ^i I ^^^'^ I T
wo die Worte „Rest - — " bedeuten, dass — X 1 7 von den verlangten

•

3 4 ' 12

1
3 T

2 abgezogen noch — — zum Reste lassen

') Ebenda S. 37.

Die Aegypter. Arithmetisches. 33

Statt des so beseitigten Einwurfes droht uns ein zweiter, der die
Ausreclmung selbst, den auftretenden Rest, die durcli denselben er-
zwungenen ergänzenden Stammbrüche in Widerspruch setzen möchte
gegen unsere Behauptung, eine Ableitungsmethode der Tabelle sei
nicht ersichtlich. Und dennoch können wir diese Behauptung auf-
recht erhalten. Mag immerhin, wenn der erste Theilbruch der Zer-
legung gegeben war, auf den oder die anderen Theilbrüche durch
eine Restrechnung geschlossen worden sein, die Wahl des ersten
Theilbruches selbst war davon unbeeinflusst, und auf sie kam Alles

an. So gibt z. B. die Tabelle j^ = 42 86 129 301 " ^^^^^^ ™^^ ^^^
ersten Theilbrüche nur einen solchen wählen, dessen 43faches unter-
halb der 2, aber nahe bei ihr lag, so hinderte nichts folgende Rech-
nung anzustellen, der wir zum Vergleiche mit den übrigen eine ganz
ägyptische Anordnung geben:

28|

•

. ~6

* 24

11^,11

T 24 ^^'^ IT 24

129

* 6

258

516

*24

1032

2 111

und man hätte -„ = 24 258 1032 g^^^^*^^^- ^^^ Rechner muss doch

irgend eine Veranlassung gehabt haben mit ^ statt etwa, wie es hier

gezeigt wurde, mit -- zu beginnen, und welches diese Veranlassung

war, wissen wir eben nicht. Das heisst wir kennen nicht die 'Ab-
leitung der Tabelle.

Man fasse übrigens die Ausrechnung auf, wie immer man wolle,
der Umstand bleibt jedenfalls bemerkenswerth, dass ein Rest bei ihr
zur Rede kommt, dass also eine gegebene Zahl von einer anderen
(hier von der Zahl 2) abgezogen wurde, dass man diesem Rest ent-
sprechend eine Ergänzung durch Vervielfachung wieder einer ge-

2
gebene;i Zahl (des Nenners des zu zerlegenden Bruches -j^) mit zu

suchenden Stammbrüchen zu beschaffen hatte. So sehen wir die
Möglichkeit, wenn nicht die Nothwendigkeit einer eigentlichen Er-
gänzungs- oder Volleudungsrech nung, und eine solche unter

Cantoh, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 3

34 1. Kapitel.

dem ägyptischen Namen Seqem scHiesst sich mit 17 Beispielen un-
mittelbar an die grosse und die auf letztere folgende kleine Zer-
legungstabelle an^). Die Seqemreclmung bat es mit multiplikativen
und additiven Ergänzungen zu tbun, d. b. es wird in den ersten Bei-
spielen gelehrt, womit eine bald aus Brüchen allein, bald aus mit
Brüchen verbundenen Ganzen bestehende gegebene Zahl vervielfacht
werden muss, es wird in späteren Beispielen gelehrt, wie viel zu einer
ähnlichen gegebenen Zahl hinzugefügt werden muss, um einen ge-
gebenen Werth hervorzubringen. Wir könnten kürzer sagen: es wird
mit einer gegebenen Zahl in eine andere dividirt, oder aber sie wird
von einer anderen subtrahirt, wenn nicht dadurch der Zweck wie
die Verfahrungs weise des Aegypters durchaus verwischt würde.

Das Verfahren besteht wesentlich in einer Zurück führung der
gegebenen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, die als
Hilfsrechnung durch andersfarbige (rothe) Schriftzüge sich hervorhebt,
und wobei gewissermassen über unsere moderne Anwendung von
Greneralnennern hinausgegangen wird, indem man sich nicht versagt,
auch solche gemeinsame Nenner zu wählen, in welchen die Nenner
der gegebenen Stammbrüche nicht eine ganzzahlige Anzahl von Malen
enthalten sind. Maassgebend ist nur, dass jener Generalnenner zur
Aufgabe selbst oder zu der bis dahin geführten Rechnung in Be-
ziehung stehe, und nicht etwa Scheu vor zu grossen Generalnennern
bestimmt die Wahl desselben. Eine solche Scheu kannte man that-
sächlich nicht, wie Aufgabe No. 33. beweist, in welcher 5432 als
Generalnenner vorkommt-). Zwei von den Seqemrechnungen, No. 2.'5.
und No. 13., mögen jene die additive, diese die multiplikative Er-
gänzung erkennen lassen.

In No. 23. soll— -— -T — — additiv zu 1 ergänzt werden. General-
nenner wird 45, allerdings ohne dass ein Wort davon verlautete. Es
werden eben nur die genannten Stammbrüche durch die Zahlen

11 -T-, 5-^-^, 4-r-, 1—, 1 ersetzt, und damit ist für den Sachkundigen

hinlänglich erklärt, dass Fünfundvierzigstel gemeint sind. Deren

111 • . • .2

Summe '^'^ -^-t-et Fünfundvierzigstel bedarf zur Ergänzung auf —

noch tI = TV jf = -;r t;^ ; dann fehlt noch -— , mithin ist die ganze
45 45 4p 9 40 ' 6 ' °

Ergänzung -^1^.

In No. 13. soll — — ^ multiplikativ zu y ergänzt werden. Wohl

') Ebenda S. 53 - 60. «) Ebeiula S. 73.

Die Aegypter. Aritlunetisches. 35

mit Rücksiclit darauf, dass 112 = 7 x: 16, wird ein gerades Vielfaclies

i 1 J '
von 7, nämlicli 28, zum Generalneuner gewählt, also — = -^,

-7- == ^ und deren Summe = „- gesetzt. Diese soll zu - ^ „| ge-

2
macht werden, und das geschieht, indem man die — selbst, deren

1 . . ? . . .

Hälfte ^— und die Hälfte dieser Hälfte ^ vereinigt. Mit anderen

Worten -t^^-k wird durch Vervielfachung mit 1 -— zu — vollendet.

16 112 ° 2 4 8

Unsere Darstellung des letzten Beispieles gibt uns nicht bloss
einen Einblick in eine Seqemaufgabe, sondern in das Dividiren der
Aegypter überhaupt, wie es im ganzen Papyrus an den verschie-
densten Stellen wiederkehrt, stets den Weg mittelbarer Vervielfältigung
wählend, in verwickeiteren Fällen zunächst mit einem angenäherten
Ergebnisse sich begnügend, welches dann selbst noch nachträglich
eine Ergänzung nothwendig macht.

Wenn es in No. 58. heisst^): Mache du vervielfältigen die Zahl
93y um zu finden 70. Vervielfältige die Zahl 93y, ihre Hälfte 46| ,

ihr Viertel 23— . Mache du -- x " so ist die Meinung keine andere,

2 . . .1

als die, dass jene Hälfte mit 46^ und jenes Viertel mit 23- zu-

sammen die verlangten 70 geben.

Wenn No. 32. verlangt l-5-x ^^ ^ ^^ machen-), so vervielfältigt

2111

Ahmes die gegebene Zahl zmiächst mit "5" "c" 7o (wobei der Umweg

2 1

erst — und dann noch — der Zahl statt dieser selbst zu nehmen nur

0 o

durch den Wunsch erklärt werden kann, bei' der weiteren Arbeit
möglich viele Multiplikationsergebnisse von 1 „ -— zu kennen) und

bringt die Summe aller dieser Theilprodukte in die Form 1 ,. t^ X 1^^ —

285 288

= 7-,-7 • Er will aber 2 = ^-rr erhalten, zu deren Ergänzung noch
144 144 ' » ^

77T = rr^TTT erforderlich sind. Nun war bei der Gewinnung des an-
144 72 144 ^

11. . 228

genäherten Produktes l^-r- in die Form — rr gebracht worden. Dar-

aus geht hervor, dass -r^ X 1^ -, = 7^7 sein muss und -7- X 1— —

^ ' 228 3 4 144 144 6 4

= " • Der gesammte gesuchte Quotient ist daher -^r ^^ ^~r jö 144 228 '

^) Ebenda S. 144. -) Ebenda S. 70.

36 1- Kapitel.

Wir sind fast unverantwortlicli ausfülirlicli in der Darstellung
dieser Reclinungs verfahren und ihrer tabellarischen Hilfsmittel ge-
wesen. Möge es uns gelungen sein dem Leser die Denkweise eines
ägyptischen Rechners einigermassen zu vergegenwärtigen. Das wäre
freilich unmöglich, wenn unsere Auffassung eine so durchaus irrige
wäre, als behauptet worden ist'). Zunächst soll in den Seqemrech-
nuugen von einem gemeinschaftlichen Nenner keine Rede sein. Das
ist vollständig wahr, wenn man den Nachdruck auf das Wort selbst
legt. Ahmes hat dem Nenner, auf welchen die vorkommenden
Brüche zurückgeführt werden, keinen Namen gegeben. Die Operation
der Zurückführung als solche ist auch nicht geschildert. Aber als
Mittel zur Hauptrechnung, welche Seqcm heisst, wird sie fortwährend
geübt, wie wir an der Hand der Beispiele gezeigt haben.

Ferner soll auch der Zweck der Seqemrechnungen nicht der von
uns angegebene sein. Ahmes beweise vielmehr unter dem Namen
Seqem den Satz, dass wenn mau verschiedene Zahlengrössen dem
gleichen Rechnungsverfahren unterwerfe, die Ergebnisse im gleichen
Verhältnisse sich ändern, wie die Zahlengrössen, von denen man
ausging. Indem wir unsere Leser auch mit dieser Auffassung be-
kannt machen, verschweigen wir allerdings nicht, dass unserer Mei-
nung nach hier Dinge in Ahmes hineingelesen werden, an die er nie
dachte. Ein Wort, welches mit Verhältnis s übersetzt werden
könnte, kommt überhaupt nicht vor. Richtig ist nur das Eine, und
das war übersehen worden, bis unser Herr Gegner darauf aufmerk-
sam machte j dass in den Seqemrechnungen die zu erreichende Zahl
meistens das Siebenviertelfache der Ausgangszahl ist, so dass diese
ganz, zur Hälfte und zum Viertel genommen und so vereinigt
werden muss.

Sei aber bei dem Umstände, dass Ahmes nur das Wort Seqem
gebraucht, ohne es irgend zu erklären, ein Zweifel über Sinn und
Absicht gestattet, sei darum die eine oder die andere Deutung vor-
zuziehen, oder gar eine dritte, deren Enthüllung die Zukunft bringen
könnte, die eine Wahrheit wird wohl sicherlich genügend zu Tage
getreten sein, dass Ahmes dieses Handbuch nicht für den ersten
Besten, sondern nur für die Ersten und Besten der Rechnungs-
verständigen seiner Zeit schrieb. Sein Werk setzt das geraeine
Rechnen mit ganzen Zahlen durchaus voraus. Es schliesst nicht
aus, dass die Zwischenrechnungen unter Anwendung von Hilfsmitteln

') Les pretendus problfemes d'algebre du manuel du calculateur lÖgyptien
(,Papyrns Rhind) par M. Leon Rodet im Journal Asiatique für 1892. Die
122 Seiten starke Abhandlung ist auch im Separatabdruck erschienen.

Die Aegypter. Arithmetisches. 37

ausgeführt wurden, von welchen Ahmes nicht redet. Wenden wir
uns nunmehr zu den eigentlichen Aufgaben des Papyrus, welchen
wir gleichfalls den Stempel eines verhältnissmässig höheren Wissens
aufgeprägt finden.

- An der Spitze dieser Aufgaben stehen die ITaw- Rechnungen^),
die dem Inhalte nach nichts anderes sind, als was die heutige Algebra
Gleichungen ersten Grades mif einer Unbekannten nennt.
Die unbekannte Grösse heisst Hau, der Haufen, und mit diesem
Worte wird nicht bloss bis zu einem gewissen Grade gerechnet, es
kommen sogar mathematische Zeichen vor, welche von den gegen-
wärtig gebräuchlichen sich nur in so weit unterscheiden, als sie ohne
Anwendung von zugleich mit ihnen auftretenden Wörtern nicht aus-
reichen einen nicht misszuverstehenden Sinn herzustellen. Als solche
mathematische Hieroglyphen dürfen wir ausschreitende Beine für
Addition und Subtraktion nennen. Die Addition wird durch dieselben
bezeichnet, wenn die Beine der Zeichnung der Füsse gemäss eben
nach der Richtung gehen, wohin auch die Köpfe der Vögel, der
Menschen u. s. w. in den dergleichen darstellenden Hieroglyphen
schauen, die Subtraktion im entgegengesetzten Falle. Wir nennen
ferner ein aus drei horizontalen parallelen Pfeilen bestehendes Zeichen
für Differenz. Wir neimen endlich das Zeichen ^ in der Bedeutung
„das macht zusammen" oder „gleich". Stellen wir einige dieser Auf-
gaben in ihrem Wortlaute zusammen, welchen wir die Schreibweise
als Gleichungen folgen lassen.

No. 24. Haufen, sein Siebentel, sein Ganzes, es macht 19.
D. h.

■ T

-\-x

19.

No.

28.

hinzu,

hinwf

-(.

+ 1

= 10.

No.

29.

hinzu.

hinzu

D. h, [x -f- Y x)

~ hinweg (?) bleibt 10 übrig. D. h.

{^ + I ^) + !(*■ + I ^) - T [(^ + 3- ^) + 1 (^ + 1 ^)

= 10.

No. 31. Haufen, sein — , sein y, sein y, sein Ganzes, es be-
trägt 33. D. h. y a; -f y + y + a; = 33.

Das Wesen einer Gleichung besteht nun allerdings weit weniger
in dem Wortlaute als in der Auflösung, und so müssen wir, um die
Berechtigung unseres Vergleichs zu prüfen, zusehen, wie Ahmes seine

1) Eisenlohr, Papyrus S. 60 88.

38 1- Kapitel.

Haurechnungeu vollzieht. Er gelit dabei ganz methodiscli zu Werke,
indem er die Glieder, welche, wie man heute sagen würde, links vom
Gleichheitszeichen stehen, zunächst in eins vereinigt. Freilich thut
er das in doppelter Weise, bald so, dass die Vereinigung im Neben-
einanderschreiben der betreffenden Stammbrüche bestehend nur eine

2 11-
formelle ist, z. B. No. 31.: 1 '"— - -^r- a; = 33 : bald so, dass durch

o 2 7

Zurückführung" auf einen Generalnenner wirkliche Addition vorge-

Q in

nommen ist, z. B. No. 24.: y a; = 10; No. 28.: y x == 10; No. 20.:

X = 10. Im erstgenannten Falle wird sofort durch den Coeffi-

cienten der unbekannten Grösse in die gegebene Zahl dividirt, vtde
eben der Aegypter zu dividiren pflegt, d. h. bei No. 31. man verviel-

2 11

fältigt X-^--^ so lange bis 33 herauskommen und findet so den
»327 °

freilich nichts weniger als übersichtlichen Werth des Haufens

144-^^679 4 1^388' ^^^ welchem wir nur zu bemerken geben,

111 2

dass i77;7n^v„^ der aus der Tabelle herrührende Werth von ;„ ist.

OD 67» 77o y?

Der zweite Fall eröffnet wieder zwei Möglichkeiten. Entweder man

n ..... (7

löst j- X = C indem die Division — vollzogen und deren Quotient

mit h vervielfacht wird; so in No. 24., wo zuerst 8 in 19 als 2—-^

mal enthalten und dann 7 mal 2—— als 16— „ gefunden wird. Oder

4 8 2 8^

aber man dividirt mit -,- in 1 und vervielfacht diesen Quotienten mit C;
so wahrscheinlich in den Aufgaben No. 28. und 29. Li No. 28. wird
nämlich — von 10 gesucht und von 10 abgezogen um den Haufen 9

19 1

ZU finden; wir fassen das so auf, es sei =.iö = ^ — To gewonnen

und dann 1 — j^ mal 10 ermittelt worden. Bei No. 29. wird -^

27 . 11

oder - im Werthe von \-rT7 berechnet und dieses 10 mal genommen,

20 4 10 o /

so dass 13- als der Haufen erscheint.

Auch hier sollen wir^) eine durchaus irrige Darstellung gegeben
haben. Nicht als Gleichungen seien die Haurechnungen aufzufassen,
sondern als Anwendungen der hier erstmalig auftretenden Methode

') Rodet, Les pr^tcndus problcmcs d'algöbre du mauuel du calculateur
Egyptien.

Die Aegypter. Arithmetisches. 39

des falsclieii Ansatzes. Ahmes wälile, wenn eine Aufgabe von der
Form y- a; = C vorgelegt sei, für x zunächst den bequemen, wenn

auch falschen Werth h. Durch ihn wird freilich , x nicht C son-

dern a, und der richtige Werth von x wird sodann gefunden, indem

man von h zu ihm dasselbe Verhältniss obwalten lässt, wie von ti

zu C. Der Sache nach stimmt diese Methode des falschen Ansatzes

und die der Gleichungsauflösung offenbar übereiu, und bei fehlendem

Zwischentexte ist es beinahe Geschmackssache, ob man das Eine, ob

man das Andere erkennen will.

Dass die Vorstellung eines Hindurchgehens durch einen falschen
Ansatz den Aegyptern nicht fremd war, haben wir immer behauptet,
wie sich bei der Besprechung der Aufgabe No. 40. zeigen wird.

Dass aber die Aegypter auch mit dem Gleichungsbegriffe ver-
traut waren, und dass ihnen also Fremdartiges nicht untergeschoben
wird, wenn man, wie wir es gethan haben, die Haurechnungen
Gleichungsauflösungen nennt und als solche behandelt, das zeigen
vorzugsweise andere Aufgaben, welche im Papyrus räumlich von den
Haurechnungen getrennt von No. 62. an auftreten^). Diese Aufgaben
würden in modernen Uebungsbüchern, in welchen sich regelmässig
verwandte Dinge behandelt finden, unter dem Namen der Gesell-
schaftsrechnungen erscheinen. Die deutlichste derselben, No. 63.,
hat nach zweifellos richtig hergestelltem Text folgenden Wortlaut:

„Vorschrift zu vertheilen 700 Brode unter vier Personen, ^ füi' Einen,
- für den Zweiten, — für den Dritten, -— für den Vierten". Als

2 111

Gleichung geschrieben wäre hier -^ x -\- t^x -{- x -{- -— x = 700
oder l ~— X = 700. Nun wird zwar nicht in ägyptischer Weise

mit 1 V A ^^ ^ dividirt, aber doch das Ergebniss ., . sofort hin-
geschrieben, ein Ergebniss, welches der Seqemaufgabe No. 9. ent-
nommen sein kami^), woraus zugleich ein weiterer Nutzen dieser
Ergänzungsrechnungen und damit eine weitere Begründung der Noth-
wendigkeit ihrer besonderen frühzeitigen Einübung hervorgeht. Der
Wortlaut ist nämlich anknüpfend an den der Aufgabe: „Addire du

7r-^»-r, das gibt nun 1^--. Theile du 1 durch l ^ -r , das
3234' ö 24 24'

gibt nun ^ -- . Mache du — /, von 700, das ist 400." Wie könnte
o 2 14 2 14 '

^) Eisenlohr, Papyrus S. 151 — 174; insbesondere S. 159 für die Auf-
gabe No. 63. und S. 165—166 für die Aufgabe No. 66. ^) Ebenda S. 55.

40 1- Kapitel.

man bei dieser Reclmung von einem falschen Ausatze reden? Nein,
es ist vollständige Gleichungsauf lösung. Von -r- x = C ist weiter
gescKlossen auf x = (l : -j-j C, genau so wie wir oben es auch für
die Aufgaben No. 28. und 29. wahrscheinlicli zu machen versuchten.

Unter den Aufgaben der letzterwähnten Gruppe ist No. 66 nicht
ohne« sachliches Interesse, wo aus dem Fettertrage eines Jahres der
tägliche Durchschnittsertrag mit Hilfe der Theilung durch 365 er-
mittelt wird- Die Länge des Jahres zu 365 Tagen führt in Aegypteu
auf eine sagenhafte Urzeit noch vor König Mena zurück'). Der Gott
Thot soll der Mondgöttin im Brettspiele 5 Tage abgewonnen haben,
die er den bis dahin in der Zahl von 360 üblichen Tagen des Jahres
zulegte. Und wie die Aegypter mindestens als Mitbewerber zu
anderen ältesten Kulturvölkern um den Vorrang der Kenntniss der
Jahreslänge von 365 Tagen auftreten, so gebührt ihnen ganz gewiss
das Erstlingsrecht in der Einführung des Schaltjahres von 366 Tagen,
welches je nach drei gewöhnlichen Jahren eintretend eine Ausgleichung
der Jahresdaten mit den wirklichen Jahreszeiten zum Zwecke hat.
Das Edikt von Kanopus vom 7. März 238 v. Chr. führte diese
Eim'ichtung ein, wenn sie auch bald wieder in Vergessenheit gerieth^).

Dem Inhalte und der Art des Auftretens nach hochbedeutsam
sind die Aufgaben No. 40. 64. 79 des Papyrus. Ihr getrenntes
Vorkommen scheint darauf hinzuweisen, dass der mathematische Zu-
sammenhang derselben für Ahmes nicht deutlich, oder nicht erheblich
genug war um die Anordnung der Aufgaben zu beeinflussen. Ihr
Gegenstand ist der Lehre von den arithmetischen und den geome-
trischen Reihen entnommen.

No. 40. „Brode 100 au Personen 5: - von 3 ersten das von

77 7 7

Personen 2 letzten. Was ist der Unterschied?"^) Ahmes will eine
arithmetische Reihe von 5 Gliedern gebildet haben, deren grösstes
Anfangsglied «, deren negative Differenz — d sei, und welche der Be-
dingung entspricht, dass ^ — ^ = (a- — Sd) -\- (a — 4d),

oder 11 (a — 4d) = 2d, beziehungsweise ^ = 5 „ X (a — 4<^) sei.
Mit anderen Werten: der Unterschied def Glieder muss das 5— fache
des niedersten Gliedes betragen, damit der einen ausgesprochenen

1) Maspero-Pietschmann S. 76—77. -) Ueber das im April 1866 auf-
gefundene Edikt von Kanopus vergl. K. Lepsius, das bilingue Dekret von
Kanopus. Berlin 1866. Bd. I. =") Eisenlohr, Papyrus S. 90—92.

Die Aegypter. Arithmetisches. 41

Bedingung genügt werde, und Ahmes kleidet dieses ohne jede Be-
gründung in die Worte: „Mache wie geschieht, der Unterschied Sy"
worauf er die Reihe hinschreibt, welche die 1 als letztes Glied be-
sitzt: 23, ITy, 12, ej , 1. Allein die Summe s dieser Reihe ist
nur 60,. während sie nach der anderen ausgesprochenen Bedingung

100 sein soll. Nun ist 100 das 1^ fache von 60, man braucht also

■ 2
nur jedes Reihenglied 1— mal zu nehmen um beiden Bedingungen

zugleich gerecht zu werden. Bei Ahmes heisst dieses wieder ohne

2
weitere Begründung „mache du vervielfältigen die Zahl lymal", wu-

1 1 Ä 2 1 2

durch er zu der richtigen Reihe 38 - , 29y , 20, lOy -j , ly gelangt.

Hier hat Ahmes in der That zuerst einen falschen Ansatz ver-
sucht, um ihn nachträglich zu verbessern, und wir werden uns dieses
Verfahren für später zu bemerken haben.

No. 64. „Vorschrift des " Ab theilens Unterschiede. Wenn gesagt
dir Getreide Maass 10 an Personen 10. Der Unterschied Von Person

jeder zu ihrer zweiten beträgt an Getreide Maass -g- , ist er.'' ^) Hier

ist aus der Summe s, der wieder negativ gewählten Differenz — cl,
und der Gliederzahl n das Anfangsglied a der fallenden arithmeti-
schen Reihe zu suchen. Nun ist a + (a — d)-\ [- (^ — (n — 1) d) =

s = na — ^ ^^^ ~ ^^ d und daraus a = — -\- (n — 1) • — und genau

nach dieser Formel lässt Ahmes rechnen. Der Wortlaut mag diese
Behauptung begründen. Ahmes schreibt vor: „Ich theile in der

Mitte [d. h. ich bilde den mittleren Durchschnitt ^J d. i. 1 Maass.

Ziehe ab 1 von 10 Rest 9 [d. h. bilde n — 1]. Mache die Hälfte

des Unterschiedes [d. h. mache -jj d. i. jg • Nimm es mal 9 [d. i.

nimm -^ X 0^ — l)!? ^^^^ gi^^ ^®i ^i^' Yie' ^^^^ ^^ hinzu zur Thei-
lung mittleren [d. h. vollziehe die Addition -^ + y X (»* + 1)J- Ziehe
ab du Maass ^ für Person jede um zu erreichen das Ende."

In beiden Aufgaben bedurfte es von uns der Erläuterungen, um
die betreffenden Auflösungsmethoden zu rechtfertigen. Ahmes setzt
kein Wort von^ dieser Art hinzu. Das beweist doch mit aller Be-
stimmtheit, dass die nothwendigen Formeln aus einem anderen Lehr-

1) Ebenda S. 159—162.

42 1- Kapitel.

buche hergenommen sein mussteu, oder aber, dass der mündliebe
Unterriebt für die nötbige Erklärung bei soleben Sebülern sorgte,
die zur Frage: warum macbt man das so? reif waren. Keinenfalls
konnte der ägyptisebe Mathematiker, wenn die Anwendung dieses
Wortes gestattet ist, in seinem Wissen von arithmetischen Reihen
auf die unbewiesenen, ungerechtfertigten Formeln beschränkt gewesen
sein, von denen in No. 40. und 64. Gebrauch gemacht ist. Dafür
spricht noch weiter das Vorhandensein eines besonderen Ausdruckes
Tunnu, die Erhebung, für den Unterschied zweier auf einander
folgender Glieder der Reihe.

Wir haben uns auch noch auf die Aufgabe No. 79. für Kennt-
nisse in der Lehre von den geometrischen Reihen bezogen. Wie
weit sieh diese erstreckten, ist freilieh viel zweifelhafter als bei den
arithmetischen Reihen. In der genannten Aufgabe^) ist von einer
Leiter, Sutek, die Rede, welche aus den Gliedern 7, 49, 343,
2401, 16807 bestehe. Neben diesen Zahlen, offenbar neben den
5 ersten Potenzen von 7, stehen Wörter, die auf deutsch Bild,
Katze, Maus, Gerste, Maass heissen. Der Sinn dieser Aufgabe
war durch die mehrerwähnte Eigenthümliehkeit des Handbuches,
nirgend verbindende oder erklärende Worte zwischen die Zahlen-
angaben einzuschieben, unverständlich und musste es bleiben, bis es
gelang bei einem Schriftsteller, der fast 3000 Jahre nach Ahmes
.lebte, eine Aufgabe aufzufinden, von welcher im 41. Kapitel im
folgenden Bande die Rede sein wird, und welche den Schlüssel
lieferte.^) Der fehlende Wortlaut der Aufgabe No. 79 ist demnach
folgendermaassen herzustellen: 7 Personen besitzen je 7 Katzen; jede
Katze vertilgt 7 Mäuse; jede Maus frisst 7 Aehren Gerste; aus jeder
Aehre können 7 Maass Getreidekörner entstehen; wie heissen die
Glieder der nach diesen Angaben zu bildenden Zahlenreihe, und wie gross
ist ihre Summe? Ahmes bildet die Glieder wirklich. Er addirt sie
zu 19607 und findet in einer Nebenrechnung die gleiche Zahl 19607
als Produkt von 7 mal 2801. Allerdings ist nicht gesagt, wie
Ahmes grade zu dem Faktor 2801 gelangte, aber andrerseits ist auch

1 fiS07 1

nicht in Abrede zu stellen, dass 2801 = 7 _ i j ^^^^ ^^^^ mög-
licherweise hier die Kenntniss der Summirungsformel für die geome-

^n j

trische Reihe a + a^ + • • • + «° = \ X « durchschimmert, wenn

' ' ' a — 1 '

auch von einer Gewissheit keine Rede sein kann.

Das wäre etwa der Inhalt des Uebuugsbuches d^ Ahmes, soweit

') Ebenda S. 202 — 204. *) Rodet, Los pretendus problemes d'algebre du
manuel du calculateur ^figyptien pag. 111—113 der Sonderausgabe.

Die Aegypter. Arithmetisches. 43

er für die Rechenkunst von Wichtigkeit ist. Bevor wir den geome-
tri»chen Theil der Aufgaben zur Sprache bringen und des Metro-
logischen im Vorbeigehen gedenken, schalten wir hier Erörterungen
ein, die sich auf die schriftliche Bezeichnung der Zahlen bei den
Aegyptern und auf das Rechnen derselben beziehen.

Dass die Schrift der Aegypter ihren ursprünglichen Charakter
als Bilderschrift in den Zeichen, welche zur monumentalen Anwen-
dung kamen, am Reinsten bewahrt hat, braucht gewiss kaum gesagt
zu werden. Die Hieroglyphen, eingehauen in die Obelisken und
Gedenksteine, aufgemalt auf die Wände der Tempel und der Grabes-
kammern lassen auf den ersten Blick sich als Zeichnungen von
Menschen, von Thieren, von Gliedmaassen, von Gegenständen des
täglichen Gebrauches erkennen, wenn sie auch allmälig mit Silben-
oder Buchstabenaussprache versehen wurden, welche mit dem dar-
gestellten Bilde oft nur lautlich zusammenhängen. Bei rascherem
Schreiben veränderten "sich selbstverständlich die Zeichen. Absicht-
lich oder zufällig abgerundet verschwammen sie bis zur ünerkenn-
barkeit ihres Ursprunges in rasch hinzuwerfende Züge der hiera-
tischen Schrift. Endlich ist als letzte Erscheinungsweise dieses
Abhandenkommens der ersten Umrisse die demotische Schrift zu
erwähnen, heute noch die meisten Schwierigkeiten bereitend, l)ei
denen wir uns glücklicherweise nicht aufzuhalten brauchen, da die-
jenigen Schriftstücke, von denen allein die Rede sein muss, theils in
Hieroglyphen an verschiedenen noch zu neunenden Tempelwänden,
theils in hieratischer Schrift — so besonders das bisher besprochene
Werk des Ahmes — erhalten sind.

Die Richtung der Schrift ist bei Hieroglyphen wechselnd.
Man pflegte nämlich auf die Richtung, in welcher der Lesende vor-
überschreitend gedacht war, Rücksicht zu nehmen, und so musste
bei Inschriften auf zwei Parallelwänden nothwendigerweise auf der
Wand zur Rechten des Hindurchgehenden die Schrift von rechts
nach links fortschreiten, auf der anderen Wand von links nach rechts.
Sämmtliche Hieroglyphen kommen daher bald in einer Form vor,
bald in der durch Spiegelung aus jener entstehenden zweiten Form.
Man hat sich gewöhnt bei der Wiedergabe der Hieroglyphen im
Drucke stets die Form anzuwenden, welche dem Lesen von links
nach rechts entspricht. Die hieratische Schrift dagegen führt immer
von rechts nach links ^j.

Sollten in hieroglyphischen Inschriften Zahlen dargestellt werden,
so standen dazu verschiedene Mittel zu Gebote'-^). Bald wiederholte

») Maspero-Pietscbmanu S. 590. *] Mathem. Beitr. Kulturl. S. 15.

44 1. Kapitel.

man das zu Zählende, wie z. B. in einer Inschrift von Karnak, wo
„9 Götter" in der Weise geschrieben ist, dass das Zeichen für Gott
neunfach nebeneinander abgebildet ist. Bald schrieb man die Zahl-
wörter alphabetisch aus, ein höchst wichtiges Vorkommen, da hieraus
' die Kenntniss des Wortlautes wenigstens in einigen Fällen zu ge-
winnen war, wozu alsdann Ergänzungen theils aus der Benutzung
von Zahlzeichen in Silbenbedeutung, theils . aus der koptischen
Sprache u. s. w. kamen, so dass man gegenwärtig über eine ziem-
liche Menge von ägyptischen Zahlwörtern verfügt^). Bei weitem am
häufigsten gebrauchten aber die Aegypter bestimmte Zahlzeichen,
denen der Franzose Jomard schon während der ägyptischen Expe-
dition 1799 auf die Spur kam, und die er 1812 bekannt machte. Sie
stammen meistens aus dem sogenannten „Grabe der Zahlen", das
Champollion unweit der Pyramiden von Gizeh auffand, und in welchem
deni reichen Besitzer seine Heerden mit Angabe der einzelnen Thier-
gattungen vorgezählt werden, als 834 Ochsen, »220 Kühe, 3234 Ziegen,
760 Esel, 974 Schaafe.

Die Zeichen sind ihrer Bedeutung nach 1 (I), 10 ( fl ), 100 ((^),

1000 (^\ , 10000 (f\ ; auch ein Zeichen für 100000 ( ^ ) ; für

Million (^), sogar für 10 Million (Q) ist bekannt geworden^).

Was die Zeichen darstellen, ist nicht bis zur vollen Sicherheit klar.
Dass 1 durch einen senkrechten Stab, 10 000 durch einen deutenden
Finger, 100 000 durch eine Kaulquappe, Million durch einen sich ver-
wundernden Mann zu erklären sei, darin mögen wohl Alle einig sein.
Die vier übrigen Zeichen dagegen für 10, 100, 1000^ 10 Million sind
bald so, bald so gedeutet worden. So hat man beispielsweise in dem
Zeichen für 100 bald einen Palmstengel, bald einen Priesterstab,
in dem für 1000 bald eine Lotusblume, bald eine Lampe erkennen
wollen. Wir sehen von dieser Einzeldeutung als uns nicht berührend
ab und schildern nur die Methode, nach welcher mittels dieser
Zeichen die Zahlen geschrieben wurden. ,

Sie ist eine rein additive durch Nebeneinanderstellung oder
Juxtaposition, indem das Zeichen der Einheit einer jeden Ord-
nung so oft wiederholt wird als sie vorkommen sollte. Der leichteren
Uebersicht wird dadurch Vorschub geleistet, dass Zeichen derselben
Art, wenn mehr als vier derselben auftreten sollten, in Gruppen zer-
legt zu werden pflegten, so dass nicht mehr als höchstens vier Zeichen

') Eisenlohr, Papyrus S. 13 — 21. ^) Hieroglyphische Grammatik von
H. Brugsch. Leipzig, 1872, S. 33.

Die Aegypter. Arithmetisclies. 45

derselben Art diclit nebeneinander gesebrieben wurden. Eine der-
artige Grupjjirung scbeint übrigens fast aller Orten sich früh-
zeitig eingebürgert zu haben, selbst bei solchen Völkern, die in
ihren mit lauter einfachen Strichen versehenen Kerbhölzern zu
der niedrigsten Form eines schriftlichen Festhaltens einer Zahl allein
sich aufzuschwingen vermochten^). Die Reihenfolge der Zeichen
überhaupt und, bei Zeichen derselben Art, der Gruppen gehorcht dem
Gesetze der Grössenfolge, welches wir in der Einleitung erläutert
haben. Bei den von links nach rechts verlaufenden Hieroglyphen-
texten steht demnach das Zeichen, beziehungSAveise die Gruppe
höchster Zahlenbedeutung immer links von den anderen, und um-
gekehrt verhält es sich bei den Texten entgegengesetzten Verlaufs.
Kamen neben den Ganzen auch Brüche vor, so wurden diese selbst-
verständlich nach den Ganzen geschrieben. Die Bezeichnung der
Stammbrüche findet so statt, dass der Nenner in gewöhnlicher Weise
geschrieben wird, darüber aber das Zeichen <r:> Platz findet, welches

ro ausgesprochen wird. Nur statt ^ schreibt mau / und statt des

uneigentlicheu Stammbruches " *>? oder <n>.

Die hieratischen Zahlzeichen wurden fast ebenso frühzeitig wie
die hieroglyphischen bekannt, indem Champollion zwischen 1824 und
1826 aus der überaus reichen ägyptischen Sammlung zu Turin und
den Papyrusrollen des Vatikan die Grundlage zu ihrer Eutziiferung
gewann. Dass auch hier das Gesetz der Grössenfolge für ganze Zahlen
wie für Brüche maassgebend ist, dass der Richtung der hieratischen
Schrift entsprechend das Grössere ausnahmslos rechts von dem Klei-
neren steht, braucht kaum gesagt zu werden. Zum Schreiben der
ganzen Zahlen benutzt die hieratische Schrift beträchtlich mehr
Zeichen als die hieroglyphische, weil sie von der Juxtaposition unter
sich gleicher Zeichen Abstand nimmt, vielmehr für die neun mög-
lichen Einer, für die ebensovielen Zehner, Hunderter, Tausender sich
lauter besonderer von einander leicht unterscheidbarer Zeichen be-
dient. Sie spart an Raum und stellt dafür höhere Anforderungen
an das Wissen des Schreibenden oder Lesenden. Nicht als ob jene
Zeichen insgesammt von einander unabhängig wären. Ein Blick auf
die Tafel am Schlüsse dieses Bandes genügt, um zu erkennen, dass
die Einer mit geringen Ausnahmen sich aus der Vereinigung der
betreffenden Anzahl von Punkten zu Strichen und aus der Verbindung
solcher Striche zusammengesetzt haben '•^), dass die Hunderter und

1) Pott I, S. 8—9; II, S. 53. ^) R. Lepsius, Die altägjptische Elle und
ihre Eiutheiluug (Abhiuidlungen der Berliner Akademie 1860) S. 42.

46 1. Kapitel.

Tausender aus den Zeiclieu für 100 und 1000 mit den sie verviel-
fachenden Einern Entstanden sind, dass jene Zeichen für 1000, für
100, auch für 10 den Hieroglyphen entstammen, unter Beachtimg
des Gegensatzes zwischen einer rechtsläufigen und einer linksläufigen
Schrift. Die übrigen Zehner fordern jedoch den Scharfsinn des Er-
klärers so weit- heraus, dass wir darauf verzichten auch nur einen
Versuch in dieser Beziehung anzustellen.

Die Hieroglyphe für 10 hat sich, wie man bemerken wird, bei
der hieratischen Schrift oben zugespitzt, und so bestätigt sich der
Bericht eines wahrscheinlich in Aegypten geborenen griechischen
Schriftstellers aus dem Anfange des V. Jahrhunderts nach Chr.,
Horapollon^ welcher mittheilt'), die 10 werde durch eine gerade
Linie dargestellt, an welche eine zweite sich anlehne. Derselbe Schrift-
steller sagt auch'^), die 5 werde durch einen Stern dargestellt, wie
gleichfalls von der neueren Forschung bestätigt worden ist, wenn
auch dieses Zeichen weniger Zahlzeichen als eigentliche Worthiero-
glyphe gewesen zu sein scheint.

Bei der hieratischen Schreibweise der Brüche hat das hierogly-
phische ro sich zu dem Punkte verdichtet, der, wie wir schon wissen,
über die ganze Zahl des Nenners gesetzt den Stammbruch erkennen

2 1

Hess. (S. 24.) Den Hieroglyphen von " und - entsprechen gleich-
falls aus ihnen abgeleitete Zeichen. Ausserdem gibt es .noch beson-

dere hieratische Zeichen für -- und — , deren Ursprung nicht wohl

ersichtlich ist , es müsste denn bei dem Zeichen für -- an die Vier-

theilung der Ebene durch zwei sich kreuzende Linien gedacht
worden sein?

Die hieratische Schreibweise der ganzen Zahlen insbesondere war
nicht systemlos. Sie konnte das Rechnen, namentlich das Multipli-
ciren bedeutend unterstützen, vorausgesetzt, dass man nur eine Kennt-
niss dessen besass, was als Ergebniss der Vervielfachung der Einer
unter einander und der Einheiten verschiedener Ordnung erscheint.
Aber eine solche Einmaleinstabelle haben die Aegypter
muthmasslich nie besessen. Der Beweis dafür liegt in der That-
sache, dass sie Multiplikationen so gut wie nie auf einen Schlag voll-
zogen und auch bei der Ermittelung der Theilprodukte den Multipli-
kator keineswegs nach dekadisch unterschiedenen Theilen zu zerlegen
pflegten. Wollte man z. B. das 13 fache einer Zahl bilden, so suchte

') Ilorapollon, Hieroglypbica Lib. II. cap. 30. "-') Horapollon,
Hieroglyphica Lib. I, cap. 13.

Die Aegypter. Arithmetisches. 47

man nicht etwa das 3 fache und lOfache, sondern das 1 fache, 2 fache,
4fache, 8 fache durch wiederholte Verdoppelung und vereinigte dann
das 1 fache, 4 fache, 8 fache zum gewünschten Produkte. Der gleiche
Kunstgriff reichte aus, wenn Stammbrüche mit Stammbrüchen ver-
vielfacht werden sollten, da vermöge der Schreibart der Brüche hier
die Gleichartigkeit mit der Vervielfachung ganzer Zahlen unter einander
auf der Hand lag, so dass wir in dieser Bezeichnung der Brüche
selbst entweder eine geniale Erfindung oder einen glücklichen Griff,
wahrscheinlich das Letztere, zu rühmen haben.

Wir haben an den früher besprochenen Beispielen die Methoden
allmäliger Vervielfachung ganzer und gebrochener Zahlen sowohl zum
Zwecke eigentlicher Multiplikation, als indirekter Divison zur Genüge
kennen gelernt. Wir haben (S. 36) hervorgehoben, dass das Hand-
buch des Ahmes nur für Geübtere geschrieben sein kann, und mögen
auch seine Schlussworte ^): „Fange Ungeziefer, Mäuse, Unkraut frisches.
Spinnen zahlreiche. Bitte Ra um Wärme, Wind, Wasser hohes" sich
an einen Landmann wenden, mögen die Aufgaben selbst vielfach an
die Beschäftigungen eines Landmannes erinnern. Niemand wird des-
halb glauben wollen, dass ein gewöhnlicher Landmaim Hau- und
Tunnurechnungen zu bewältigen im Stande gewesen sei. Neben dem
höheren, dem wissenschaftlichen Rechnen kann daher und muss viel-
leicht an ein Elementarrechnen gedacht werden, dessen Spuren wir
anderwärts als in dem Papyrus des Ahmes aufzusuchen hal)en. üas
Meiste, was die Wissenschaft erfand, sickert im Laufe der Jahre,

wenn nicht der Jahrhunderte durch die verschiedeilen Volksklassen

hindurch, allgemeine Verbreitung erst dann erlangend, wenn höhere

Bildung schon weit darüber hinaus gegangen ist, oder gar es als
falsch erkannt hat. So muss es auch mit dem Rechnen gegangen
sein in dem Lande, wo es vielleicht zu Hause war.

Auf die ägyptische Herkunft der Rechenkunst weisen
Volkssagen hin, welche von griechischen Schriftstellern uns aufbe-
wahrt wurden. „Die Aegypter", so sagt uns der Eine"), erzählen,
sie hätten das Feldmessen, die Sternkunde und die Arithmetik er-
funden." Ein anderer hat gehört ''), der Gott Thot der Aegypter
habe zuerst die Zahl und das Rechnen und Geometrie und Astronomie
erfunden. Ein dritter*) führt die ganze Mathematik auf Aegypten
zurück, denn dort, meint er, war es dem Priesterstande vergöjmt
Müsse zu haben. Und wenn Josephus, sei es seinem Nationalstolze

') Eisenlohr, Papyrus S. 223 — 225. ^) Diogenes Laertius prooem.
s. 11. ^) Piaton, Phaedros pag. 274 m. *) Aristoteles, Metaphys. I,
1 in fine.

48 '1. Kapitel.

eine Genugtliuung verscliaffend, sei es zum Tbeil wenigstens der Wahr-
heit die Ehre gebend, behauptet, die Aegypter hätten die Arithmetik
von Abraham erlernt, der sie gleich der Astronomie aus Chaldäa
nach Aegypten mitbrachte, so fügt er doch hinzu, die Aegypter
seien die Lehrer der Hellenen in dieser Wissenschaft gewesen^).

Die Frage ist nun, wie das älteste elementare Rechnen der Aegypter
beschaffen war, dasjenige, welches nach unserer Auffassung auch zur
Zeit des Ahmes und später noch das allgemein übliche war? Zur
Beantwortung dieser Frage stehen uns theils Yei'J^^^^hungen, theils
eine bestimmte Aussage eines zuverlässigen Berichterstatters zu
Gebote, und bald auf die einen, bald auf die andere uns stützend
glauben wir an ein Finger rechnen, wissen wir von einem instrumen-
talen Rechnen der Aegypter.

Das Rechnen an den Fingern, nicht nur so wie es unwill-
kürlich das Kind schon ausführt, welches zu addirende Zahlen durch
ebensoviele ausgestreckte Finger sich versinnlicht, um die Summe vor
Augen zu haben, sondern unter einigermassen künstlicher Ausbildung
mit bestimmtem Werthe der einzelnen Finger ist (S. 6) bei Völkern
nachgewiesen worden, für die wir kaum mehr als die ersten Anfönge
von Bildung in Anspruch nehmen dürfen. Wir wollen keinerlei Ge-
wicht darauf legen, dass die Völker, von denen an jener Stelle die
Rede war, dem Inneren und dem Süden Afrikas angehören, dass so-
mit bei der nordsüdlichen Richtung, welche auf jenem Erdtheile die
Bildung eingehalten zu haben scheint, bei der geringen geistigen Be-
gabung der Negerrassen hier ein solches Durchsickern altägyptischer
Methoden, wie wir es eben als naturgemäss schilderten, so langsam
von Statten gegangen sein könnte, dass sie erst nach Jahrtausenden
in sehr viel südlicheren Breiten ankamen. Derartige Vermuthungen
auszusprechen, ist nicht ohne Reiz, sie können ein vereinzeltes Mal
glücken, aber sie haben darum noch keine Berechtigung. Dagegen
war in Aegypten selbst in der ersten Hälfte des V. nachchristlichen
Jahrhunderts die Ueberlieferung voll einer Zahlenbedeutung des
Ringfingers noch vorhanden. Allein umgebogen, während alle
anderen Finger gestreckt blieben, habe er den Werth 6 dargestellt,
die erste vollkommene ZaW), sei darum auch selbst der Vollkommen-
heit theilhaftig worden und habe das Vorrecht erhalten, Ringe zu
tragen''). Zu dieser Sage kommen noch alterhaltene Denkmäler. In
einer Pariser Sammlung ägyptischer Alterthümer"^) findet sich eine

') Josephos, Antiquit. I, cap. 8, § 2. ^) Ueber den Be^iff der voll-
kommenen Zahl vergl. im G. Kapitel. ■') Macrobius, Convivia Saturnalia
Lib. Vll. cap. 13. ■*) Claude du Molinet, le cabinet de la hihUölMque de St.
Genevüve. Paris, 1G92. Tab 9 p 16. Auf diese sehr interessante Andeutung

Die Aegypter. Arithmetisches. 49

rechte Hand, an welcher die zwei letzten Finger umgelegt sind.
Das kann wenigstens eine Zahlenbedeutung gehabt haben. lieber die
Möglichkeit hinaus bis beinahe zur Gewissheit führen aber Bezeich-
nungen altägyptischer Ellen^), welche in mehreren Exemplaren
vorhanden sind. Die Zahlen von 1 bis 5 sind durch die fünf Finger
der linken Hand, welche allmälig vom kleinen Finger anfangend aus-
gestreckt werden — wenigstens wird der Daumen zuletzt ausgestreckt
— dargestellt. Zur Bezeichnung der Zahl 6 dient alsdann die rechte
Hand mit ausgestrecktem Daumen bei im Uebrigen geschlossenen
Fingern, allerdings eine fast überraschende Uebereinstimmung mit
der oben berührten ' Sitte jener von links nach rechts an den Fingern
zählenden Negerstämme. Dagegen dürfen wir nicht verschweigen, dass
nach diesen sechs Bildern, die an Deutlichkeit nichts zu wünschen
übrig lassen, wieder an verschiedenen Exemplaren sich bestätigend
zwei weitere Bilder auftreten, jedes 4 ausgestreckte Finger ohne
Daumen darstellend, welche unserer Deutung nicht ferner zu Hilfe
kommen, wenn sie derselben auch nicht geradezu widersprechen.
Dieser letzten Bilder wegen sahen wir uns zu dem behutsameren
„beinahe" veranlasst, welches die Gewissheit des Fingerrechnens als
durch die Fingerzahlen auf den Ellen bezeugt einschränken musste.

Mit aller Gewissheit ist uns von dem instrumentalen Rechnen
der Aegypter Nachricht zugegangen. „Die Aegypter", so erzählt uns
Herodot^), der Land und Leute aus eigener Anschauung genau kannte,
und der stets unterscheidet, wenn er nur ihm selbst Berichtetes und
nicht Erlebtes mittheilt, „schreiben Schriftzüge und rechnen mit
Steinen, indem sie die Hand von rechts nach links bringen, während
die Hellenen sie von links nach rechts führen." Diese Erzählung ist
nicht misszuverstehen. Als richtig von uns erkennbar, wo sie der
hieratischen Schriftfolge der Aegypter von rechts nach links gedenkt,
gewährleistet sie ein Rechnen mit Steinen muthmasslich auf einem
Rechenbrette etwa für das Jahr 460 v. Chr. Sie gewährleistet es,
was wir in einem späteren Kapitel in Erinnerung bringen werden,
für die Griechen mit derselben Sicherheit wie für die Aegypter.

Der Begriff des Rechenbrettes, auf welchem mit Steinen ge-
rechnet wird, ist, wenn auch unter bedeutsamen Veränderungen, ein
räumlich und zeitlich ungemein verbreiteter. Man kann das Gemein-
same desselben darin finden, dass auf irgend eine Weise unterschiedene
Räume hergestellt werden, welche auf irgend eine Weise bezeichnet

hat Heinr. Stoy, Zur Geschichte des ßechenunterrichtes 1. Theil, S. 40, Note 3
(Jenaer Habilitationsschrift von 1876) zuerst hingewiesen. ^) Die Abbildungen
bei R. Lepsius, die altägyptische Elle und ihre Eintheilung (Abhandlungen
der Berliner Akademie 1865). ^) Herodot II, 36.

Cantoh, Geschiebte der Mathematik I. 2. Aufl. 4

50 1. Kapitel.

werden, worauf jedes Zeichen einen Erinnerungswertb erhält, ab-
hängig sowohl von dem Zeichen selbst als von dem Orte, wo es sich
findet. Es ist, kann man sagen, ein mnemonisches Benutzen zweier
Dimensionen.

In dieser weitesten Bedeutung kann man schon die Quipu oder
Knotenschnüre der alten Peruaner^) dem Begriffe unterordnen. Die
Schnüre waren oft von verschiedener Farbe. Die rothe Schnur be-
deutete alsdann Soldaten, die weisse Silber, die grüne Getreide u. s. w.,
und die Knoten an den Schnüren bedeuteten, je nachdem sie einfach,
doppelt, oder noch mehrfach verschlungen waren, 10, 100, 1000 u. s. w.
Mehrere Knoten neben einander auf derselben Schnur wurden addirt.
Aehnlicher Knotenschnüre bedienten sich die Chinesen, und ihre
durch Zeichnung auf Papier übertragene Gestalt bildete die oft miss-
verstandenen Kua's^). Sollen wir alten Einrichtungen, in welchen
das genannte Princip zur Erscheinung kam, ganz neue an die Seite
stellen, so haben wohl manche unserer Leser eigenthümlich zurecht-
geschnittene Kärtchen oder Holztäfelchen gesehen, deren man beson-
ders in Frankreich sich bedient, um bei gewissen Spielen, die auf
einem Zählen beruhen und folglich voraussetzen, dass die bei jeder
einzelnen Tour erlangten Zahlen aufgeschrieben (markirt) werden,
dieses Geschäft durch Umklappen betreffender Abtheilungen zu be-
sorgen^). Wirkliche Rechenbretter sind freilich jene Schnüre und
Kärtchen noch nicht.

Das Rechenbrett im engeren Sinne des Wortes setzt voraus, dass
der Werth, welchen eine einheitliche Bezeichnung, sei es ein Strich
oder ein Steinchen oder was auch immer, an unterschiedenen leicht
erkennbaren Stellen erhält, sich nach den auf einander folgenden
Stufen des zu Grunde gelegten Zahlensystems verändert, dass also im
Decimalsysteme bei wagrechter oder senkrechter Anordung der Reihen,
in welchen die Steinchen gelegt werden, jedes solches Steinchen einer
Verzehnfachung unterworfen wird, sofern es von einer Horizontal-
reihe, beziehungsweise von einer Vertikalreihe, in die benachbarte
Reihe gleicher Art verschoben wird. Nur bei Horizontalreihen kann
ein Hinauf- oder Herunterrücken, nur bei Vertikalreihen eine Ver-
rückung nach Rechts oder nach Links diese Wirkung üben, und diese

') Pott II, S. 54. *) Duhalde, Ausführliche Beschreibung des chine-
sischen Reiches und der grossen Tartarei; übersetzt von Mosheim. Rostock,
1747 Bd. 11, S. 338. Ferner vergl. Le Chouking un des livres sacres chinois tra-
duit par le P. Gaubil revu et corrige par M. de Guignes. Paris, 1770 an sehr
verschiedenen Stellen, die im Register s. v. Koua zu entnehmen sind; die Ab-
bildung S. 352. ^) Auf die Analogie solcher Zählkilrtchen zu Rechenbrettern
hat wohl zuerst Vincent in der Revue archeologique III, 204 hingewiesen.

Die Aegypter. Arithiuetisclies. 51

auf der Hand liegende Nothwendio-keit lehrt uns der erwähnten Aeusse-
ruug Herodots den Beweis entnehmen, dass die Griechen wie die
Aegypter sich Rechenbretter mit senkrechten Reihen be-
dienten. Wie wir die Werthfolge dieser senkrechten Reihen uns
zu denken haben, ob in dem Ausspruche Herodots auch darüber
nicht misszuverstehende Andeutungen enthalten sind oder nicht, das
ist eine Frage höchst untergeordneter Bedeutung gegenüber von der
gegen den Rechner senkrechten Gestalt der Reihen, die von geschicht-
lich grosser Tragweite sich erweisen wird. Es ist klar, dass bei
einem eigentlichen Rechenbrette auf dekadischer Grundlage in jeder
Reihe höchstens 9 Steinchen Platz finden können, da deren 10 durch
1 Steiuchen in der folgenden Reihe ersetzt werden mussten. Dar-
nach ist wohl nicht ganz mit Recht zur festeren Begründimg der
Thatsache, dass die Aegypter eines Rechenbrettes sich bedienten, auf
eine alte Zeichnung Bezug genommen worden. Auf einem bekannten
Papyrus hat sich eine Rechnung aus der Zeit des Königs Menephtah I. ^)
erhalten, bei welcher die nachfolgende Figur abgebildet ist^). Der

O ^J Oogoco

G C.^CoOo«^° CO

Oo OGO oO o
o c cc

Fig. l.

O Cr - °^

erste Anblick scheint ja dafür zu sprechen, dass ein Rechenbrett mit
seinen Steinchen dargestellt werden sollte, werni nicht der Umstand,
dass wiederholt 10 Pünktchen in einer Vertikalreihe (ebenso wie auch
in einer Horizontalreihe) auftreten, die bedenklichsten Zweifel wach-
rufen müsste. Abbildungen von Rechnern finden sich unter den fast
unzähligen ägyptischen Wandgemälden unseres Wissens nicht. Man
stösst wiederholt auf Leute, die sich mit dem Moraspiele beschäf-

') Er gehörte der XIX. Dynastie an und regierte Lepsius zufolge 1341
bis 1321. *) Die Figur stammt von der Rückseite des Papyrus Sallier IV.
Aufsätze über den begleitenden Text von Goodwin (Zeitschrift für ägyptische
Sprache und Alterthumskunde, Jahrgang 1867 S. 57 flgg.) und von De Rouge
(ebenda Jahrgang 1868 S. 129 ilgg.) enthalten kein Wort über die Figur.

•1*

52 -'• Kapitel.

tigen^) und zu diesem Zwecke Finger beider Hände in die Höbe
heben, aber weder das Fingerreehnen, noch das Tafelrechnen scheint
veröffentlichende Wiedergabe gefunden zu haben, dürfte also wohl
kaum auf bisher entdeckten Gemälden erkannt worden sein.

2. Kapitel.
Die Äegypter. Geometrisches.

Wir kehren zu dem Papyrus des Ahmes zurück. Er hat sich
als unschätzbare Fundgrube nicht bloss für die Kenntniss des alge-
braischen Wissens der Aegypter bewährt, auch vieles Andere hat aus
ihm geschöpft werden können, worüber hier, wenn auch nicht in
gleicher Ausführlichkeit aller Berichte, gesprochen werden muss. Nur
• mit kurzen Worten können wir das Metrologische berühren. Die
vergleichende Untersuchung der Maasssysteme, welche den einzelnen
Völkern des Alterthums gedient haben, ist gewiss ein Gegenstand von
hoher Wichtigkeit und auch dem Mathematiker bis zu einem gewissen
Grade sympathisch, allein wie wir Astronomisches von unserer Auf-
gabe ausgeschlossen haben, so auch verwahren wir uns gegen die
Verpflichtung Metrologisches aufzunehmen. Wir müssen uns daran
genügen lassen im Vorübergehen zu bemerken, dass nicht bloss die
Rechnungsbeispiele vielfache Angaben enthalten, aus welchen das
Verhältuiss der ägyptischen Maasse in nicht anzuzweifelnder weil
durch allzuzahlreiche Beispiele zu prüfender Gewissheit sich ergeben
hat, dass sogar in zwei aufeinanderfolgenden Paragraphen, Nr. 80.
und 81., die Umrechnung von einem Maasssysteme in ein anderes
gradezu gelehrt wird^). Die spätem Nachahmer des Ahmes haben,
wie wir sehen werden, ähnliche Maassvergleichungen jederzeit in ihre
Schriften aufgenommen.

Unsere eingehendste Beachtung gebührt dagegen den geome-
trischen Aufgaben des Ahmes, deren Erörterung wir eine vielleicht
überflüssige, jedenfalls nicht imwichtige Bemerkung vorausschicken.
Uebungsbücher der höheren Rechenkunst von der ältesten bis auf die
neueste Zeit herab enthalten fast ausnahmslos neben anderen mannig-
fachen Beispielen auch solche aus der Geometrie und Stereometrie.
Diese erheischen zu ihrer Berechnung gewisse Formeln, und diese
Formeln sind als gegeben zu betrachten. An eine Ableitung derselben

') Wilkinson, Manners and customs of the ancient Egyplicms. Loiulon,
18.37. Vol. I pag. 44 fig. a und Vol. II pag. 417 flg. 29'2. ") Eisenlohr, Pa-
pyrus S. 204— '211.

Die Aegypter. Geometrisches. 53

ZU denken, oder gar weil die Ableitung nicht mitgetheilt ist zu arg-
wöhnen, es habe eine solche überhaupt nicht gegeben, als das Uebungs-
buch verfasst wurde, fällt Niemand ein. Wir dürfen dem Handbuche
des Ahmes mit keiner Anforderung gegenübertreten, die wir sonst
unbillig fänden. Wenn Ahmes sich geometrischer Regeln bedient,
so müssen wir auch zu ihm das Zutrauen haben, er werde sie irgend-
woher genommen haben, wo auch seine Schüler sich Raths erholen
konnten, wir werden also an ein anderes geometrisches Buch glauben,
das uns unmittelbar nicht bekannt ist, dessen einstmaliges Vorhanden-
sein aber grade durch jene Formeln mittelbar erwiesen ist, gleichwie
die Formeln für Summirung arithmetischer und vielleicht geome-
trischer Reihen, deren Ahmes sich bedient, uns einen Rückschluss
auf in seinem Papyrus übergangene Ableitungsverfahren gestatteten.

Die geometrischen Beispiele des Ahmes lassen zunächst den
Flächenraum von Feldstücken finden, deren einschliessende Seiten
gegeben sind. Solcher Aufgaben konnte man am Ersten von einem
ägyptischen Schriftsteller sich versehen, da, wie wir weiter unten
zu zeigen haben, grade die eigentliche Feldmessung in Aegypten
zu Hause gewesen sein soll. Damit ist aber freilich nicht gesagt,
dass jede Feldmessung von vorn herein eine geometrische gewesen
sein muss.

Mag die Nothwendigkeit die Gleichwerthigkeit oder Ungleich-
Averthiffkeit von Feldstücken zu schätzen mit den ersten Streitigkeiten
über das Mein und Dein des urbar gemachten Bodens, also mit der
Einführung individuellen Grundbesitzes sich ergeben haben, diese
Werthvergleichung konnte in mannigfacher Weise erfolgen. Man
konnte die Zeit messen, welche zur Bebauung eines Feldstückes nöthig
war, das Getreide wägen, welches auf demselben Avuchs oder zur
Einsaat in dasselbe zu verwenden war, und unsere deutschen Benen-
nungen Morgen^) und Scheffel") als Feidmaasse sind Zeugnisse
dafür, dass man solche Methoden nicht immer verschmäht hat. Dem
Wunsche einer Feldervergleichuug mag in anderen Gegenden die
Sitte entsprungen sein, den einzelnen Aeckern stets die gleiche Form,
die gleiche Grösse zu geben, und ein weiterer Schritt auf diesem
Wege der Geistesentwickelung war es, wenn man der Gestalt der
Aecker entsprechend Flächenmaasse einführte, die, so viel uns bekannt
ist, nirgend eine andere Figur darstellten als die eines Vierecks mit
vier rechten Winkeln und in einem einfachen Zahlenverhältnisse zu
einander stehenden, wenn auch nicht nothwendig gleichen Seiten,

') Pott I, S. 124. ^) R. Lepsin s, Ueber eine hieroglyphische Inschrift
am Tempel von Edfu (Abhandlungen der Berliner Akademie 1855) S. 77.

54 2. Kapitel.

wiewolil an sich ein dreieckiges Maass z. B. ebenso gut zu denken
war. Auch aus Aegypten wird uns allerdings aus der verhältniss-
mässig späten Zeit von mindestens drei Jahrhunderten nach Ahmes
Aehnliches gemeldet. Herodot erzählt^), der König Sesostris habe
die Aecker vertheilt und jedem ein gleich grosses Viereck überwiesen,
auch darnach die jährliche Abgabe bestimmt. Sesostris ist Niemand
anders als König Ramses II. aus der XIX. Dynastie, der etwa 1407
bis 1341 lebte.

Aber eine irgendwie gestaltete Bodenfläche als Raumgebilde zu
betrachten, sie unmittelbar aus ihren Grenzlinien messen zu wollen,
das setzte schon gradezu mathematische Gedanken voraus, das war
selbst eine mathematische That. In Aegypten hat man diese That
vollzogen, muthmasslich zuerst vollzogen, und im Gefolge dieser That
muss nothwendig eine mehr oder weniger entwickelte Kenntniss der
Eigenschaften der verschiedenartigen Figuren, gewissermassen eine
theoretische Geometrie, entstanden sein, mag auch für lange Zeit nur
die praktische Feldmessung ihr eigentliches Endziel gewesen . sein.

Die Feldstücke, welche Ahmes ausmessen lässt, sind geradlinig
oder kreisförmig begrenzt, und die ihrer Genauigkeit nach nicht ganz
aus freier Hand, sondern mit Benutzung eines Lineals aber
ohne Zirkel angefertigten Figuren lassen deutlich erkennen, dass
an geradlinigen Figuren nur gleichschenklige Dreiecke, Rechtecke und
gleichschenklige Paralleltrapeze in Betracht gezogen werden sollen.

Das Rechteck bietet in seiner Ausrechnung am wenigsten Aus-
beute. Es ist mehr als nur wahrscheinlich, dass, wie die Fläche des
Quadrates von 10 Einheiten im Beispiele No. 44. zu 100 Flächen-
einheiten erkannt war'-), auch bei ungleichen Seiten des Rechtecks
eine Vervielfältigung der beiden Ausmessungen stattfinden musste,
aber das Beispiel No. 40., welches auf ein Rechteck von 10 Ruthen
zu 2 Ruthen Bezug hat, lässt solches nicht erkennen, da wie es scheint
durch ein Versehen des Ahmes zu dieser Aufgabe die Auflösung einer
ganz anderen sich gesellt hat^).

Ein gleichschenkliges Dreieck von 10 Ruthen an seinem
Merit, von 4 Ruthen an seinem Tepro bildet den Gegenstand des
Beispiels No. 51. Die Hälfte von 4 oder 2 wird mit 10 vervielfältigt.
„Sein Flächeninhalt ist es"^). Auffallend ist hier die Lage des bei-
gezeichneten gleichschenkligen Dreiecks, auffallend sind die gebrauchten
Kunstausdrttcke, nicht am wenigsten auffallejid ist die Rechnung.
Während wir die Gewohnheit haben die Figuren dem sie Anschauen-

') Herodot II, 109. *) Eisenlohr, Papyrus S. 110. •'') Ebenda S. 122
bis 123. *) Ebenda S. 125.

Die Aegypter. Geometrisches. 55

den so symmetrisch als möglich vorzulegen, also bei einem gleich-
schenkligen Dreiecke die eine ungleiche Seite als Grundlinie unten,
die beiden gleichen Schenkel nach aufwärts gerichtet zu zeichnen,
hat Ahmes die Strecke 4 vertikal gezeichnet und von deren End-
punkten aus die beiden gleichen Schenkel in der Länge 10 gegen die
Richtung der Schriftzeilen, also mit der Spitze nach rechts, zu-
sammentreffen lassen. Die Seite von 4 Ruthen heisst ihm, wie schon
angeführt, Tepro, die von 10 Ruthen Merit. Tepro oder der Mund
für die Weite der Entfernung der Endpunkte zweier an der Feder des
Schreibenden vereinigten, von da aus sich öffnenden Geraden ist ein-
leuchtend. Ob aber der Name Merit oder der Hafen auf die Gleich-
heit der beiden anderen Schenkel, ob er auf die durch die Zeichnung
gegebene Lage als obere Linie der Figur, als Scheitellinie sich
beziehen soll, kann als ausgemacht hier wenigstens nicht gelten,
da weder die eine noch die andere Beziehung eine Erklärung der
Wahl gerade dieses Wortes liefert. Wir werden indessen später
sehen, dass vermuthlich die Scheitellage mit Merit bezeichnet werden
soll. Rücksichtlich der Figur haben wir noch zu bemerken, dass in
No. 51. wie in anderen Aufgaben die Zahlen, welche die Längen der
auftretenden Strecken messen, an diese, der Inhalt mitunter in die
Figur geschrieben erscheint. Das Rechnungsverfahreu besteht darin,
dass, wenn wir den Dreiecksinhalt A, die Dreiecksseiten n, a, h
nennen wollen, hier

A = 4 X «

gesetzt ist. Das ist nun allerdings nicht richtig; es müsste vielmehr

A Ö 1 / '> Ö"^

heissen, aber zwei Dinge fordern unsere Ueberlegung heraus. Erst-
lich ist zu erwägen, dass die Ausziehung einer Quadratwurzel eine
Rechnungsaufgabe ist, die bei Ahmes nirgend vorkommt, ihm also
muthmasslich unbekannt war. so dass die genaue Berechnung unseres
Flächeninhalts ihm geradezu unmöglich war; zweitens dann auch,
dass der Fehler, welcher begangen wird, sofern h gegen a nur einiger-
massen klein ist, kaum in Anschlag kommt. Im Beispiele No. 51.
ist die Dreiecksfläche mit 20 Quadratruthen angesetzt. Der richtige
Werth ist fast genau 19,6 Quadratruthen. Der Fehler beträgt nicht
mehr als 2 Procent. Dieses dürfte, natürlich nicht dem Ahmes und
seiner Zeit, aber einer späteren Nachkommenschaft wohl als genügende
Entschuldigung erschienen sein an einem Verfahren festzuhalten,
welches in der Rechnung so ungemein bequem und leicht, im Ergeb-

56 ■-'• Kapitel.

niss kaum als falscli zii bezeiclinen Avar. Wenn der ägyptische Feld-
messer, wie wir in diesem Kapitel noch sehen werden, selbst andert-
halb Jahrtausende nach Ahmes sich der altfränkischen Flächenformel
fortwährend bediente, so konnte er der nicht ganz unbegründeten
Meinung sein sich ihrer bedienen zu dürfen.

Die Dreiecksformel A == — X « einmal vorausgesetzt Hess mit

mathematischer Strenge eine zweite Formel für die Fläche eines
gleichschenkligen Paralleltrapezes folgen. Waren dessen beide
unter sich gleiche nicht parallele Seiten je a, die parallelen Seiten &j
und h^, so musste die Fläche

^1 + h

sein, und dies ist die Formel, nach welcher in No. ö2. die Rechnung
geführt ist^). Sie setzt nur voraus, dass das Trapez als abgeschnittenes
Dreieck beziehungsweise als Unterschied zweier Dreiecke entstanden
gedacht ist, und mit dieser Entstehungsweise stimmt die Zeichnung
wie die Benennung der einzelnen Strecken ttberein. Wieder liegt
das Trapez so, dass ein a Scheitellinie ist und den Namen Merit
führt; wieder heisst die grössere links befindliche Parallele Tepro;
und die kleinere Parallele, welche rechts vertikal die Figur abschliesst,
führt den unsere Voraussetzung bestätigenden Namen Hak oder
Abschnitt.

Wir müssen, um nicht, missverstandeu zu werden, hier eine
kleine Bemerkung einschalten. Wir sagten, die Formel für die Fläche
des gleichschenkligen Paralleltrapezes folge mit mathematischer Strenge

aus A = — X rt. Wir meinen das nicht etwa so, dass wir Ahmes

das Bewusstsein dieser Folgerung zutrauten. Die alten Aegypter
werden Avohl eine vollständige Lehre von der Aehnlichkeit der Figuren,
welche zur Führung des Beweises für den Zusammenhang der beiden
Inhaltsformelu unentbehrlich ist, kaum besessen haben. Ihnen war
vielleicht ein enger Zusammenhang der beiden Formeln, welche sie
selbständig für richtig hielten, nie in Gedanken gekommen. Nur
den späten Nachkommen soll mit jener Ableitbarkeit der Trapez-
formel aus der Dreiecksformel wieder eine Entschuldigung dafür
verschafft werden, dass sie im einen Falle so wenig als im anderen
von der Gewohnheit der Väter abwichen.

Die im Papyrus sich nun anschliessenden Aufgaben"") No. 53.,
54., 55. beziehen sich auf die Theilung von Feldern, stimmen aber
mit der einzigen beigegebenen Figur so absolut jiicht überein, dass

') Ebenda ö. 127—128. ^) Ebenda ö. 130-133.

Die Aegypter. Geometrisches. 57

wir ein Errathen der eigentlichen Meinung des Verfassers für ein sehr
schwieriges Problem halten, dessen Lösung noch nicht gelungen ist.
Von Interesse dürfte, falls die Enträthselung überhaupt möglich ist,
die Richtung, des in der Figur gezeichneten Dreiecks sein, dessen
Spitze nach links hin steht., während sie in den früheren Beispielen
rechts war. Ausserdem werden sicherlich die zwei vertikal gezogenen
Parallelen von Wichtigkeit sein, welche das ursprüngliche Dreieck
in ein Dreieck und zwei Paralleltrapeze zerlegen.

Die Ausmessung des Kreises wird schon in No. 50. vorge-
nommen^). Sie ist eine wirkliche Quadratur zu nennen, indem sie
lehrt ein Quadrat zu linden, welches dem Kreise flächengleich sei,

und zwar wird als Seite des Quadrates der um - seiner Länge ver-
minderte Kreisdurchmesser gewählt. Wie man zu dieser Vorschrift
gekommen sein mag ist nicht entfernt zu errathen. Gesichert ist sie
durch wiederholtes Auftreten, gesichert ist auch ihre ziemlich gute
Anwendbarkeit, denn sie entspricht einem Werthe

^ = (VT = 3,1604 ....

für die Verhältnisszahl der Kreisperipherie zum Durchmesser, der
weitaus nicht der schlechteste ist, dessen Mathematiker sich bedient
haben.

Neben den geometrischen Aufgaben hat Ahmes seinen Lesern
auch stereometrische vorgelegt. Es handelt sich dabei um den
Rauminhalt von Fruchtspeichern und deren Fassungsvermögen
für Getreide^). Diese Aufgaben stehen noch vor den eben be-
sprochenen geometrischen und geben dadurch deutlich zu erkennen,
was wir einleitend in diesem Kapitel berührt haben: dass das Geo-
metrische im üebungsbuche des Ahmes niemals selbst Zweck der
Darstellung, sondern nur Eiukleidungsform von Rechenaufgaben ist,
demi sonst würde unmöglich die Flächenausmessung des Kreises
später erscheinen als die Berechnung des Rauminhaltes eines runden
Fruchthauses, bei welcher jene bereits xA.nwendung findet. In diesen
körperlichen Inhaltsaufgaben ist Manches noch unklar. Die eigent-
liche Gestalt der Fruchthäuser, welche der Berechnung unterworfen
werden, ist nichts weniger als genau bekannt, und wenn auch bienen-
korbartige Zeichnungen von Fruchthäusern in ägyptischen Wandge-
mälden etwas zur Verdeutlichung beitragen, sie genügen keineswegs,
so lange eine geometrische Interpretation jener Zeichnungen fehlt.
Soll der Bienenkorb als Halbkugel auf einen Cylinder aufgesetzt, soll

^) Ebenda S. 124, vergl. aber auch die Aufgaben No. 41., 42., vielleicht 43.,
endlich 48. auf S. 100—109 und S. 117. '') Ebenda S. 101—116.

58 2. Kapitel.

er als eine Art von Umdreliuugsparaboloid gedacht sein? Ist seine
Grundfläclie überhaupt kein Kreis sondern eine Ellipse? Das sind
Fragen, deren Beantwortung aus den genannten Abbildungen nicht
entnommen werden kann und doch auf die Rechnungsweise einen ent-
scheidenden Eiufluss ausüben muss. Hier ist also wieder zukünftiger
Forschung noch manches Räthsel aufbewahrt, kaum zu lösen, wenn
es nicht gelingt, weiteres Material aufzufinden. Bis dahin besteht
der Vortheil, den wir aus diesen Beispielen zu ziehen vermögen, nur
in den von uns schon angerufenen Bestätigungen der gewonnenen
Ansichten über Inhaltsbestimmung des Rechteckes und des Kreises
und in der Kenntnissnahme eines AYortes, welches den Aegyptologen
auch sonst mannigfach begegnet ist. Eine der Abmessungen, welche
bei den Fruchthäusern in Rechnung treten, heisst nämlich Qa, eigent-
lich die Höhe, wofür auch die Hieroglyphe — ein den Arm hoch-
streckender Mann — zeugt, dann aber in zweiter abgeleiteter Bedeu-
tung die Richtung grösster Ausdehnung^).

Endlich bietet der Papyrus noch eine Gruppe von 5 geometrischen
Aufgaben^), No. 56. bis 60., welche dem heutigen Leser am über-
raschendsten sein dürften, wenn er in ihnen die Vergleichung von
Liniengrössen erkennt, so weit sie zu einem und demselben Winkel
gehören, also eine Art von Aehnlichkeitslehre, wenn nicht ein
Kapitel aus der Trigonometrie. Es handelt sich um Pyramiden, aber
keineswegs um deren körperlichen Inhalt, sondern um den Quotienten
der Hälfte einer an der Pyramide vorgenommenen Abmessung ge-
theilt durch eine zweite, und dieser Quotient heisst Seqt, nach aller
Wahrscheinlichkeit eine causative Ableitung von Qet, Aehnlichkeit,
also Avohl Aehnlichmachung. Was das aber für Abmessimgen an den
Pyramiden waren, die so in Rechnimg gezogen wurden, war von
vorn herein aus den blossen Namen Uchatebt, Suchen der Fuss-
sohle, und Piremus, Herausgeheu aus der Säge, keineswegs klar.
Der Uchatebt musste zwar ofienbar irgendwo am Boden, der Piremus
(dessen Name augenscheinlich in dem Munde der Griechen zum
Namen des ganzen Körpers wurde) ■^) irgendwo ansteigend gesucht
Averden, aber dabei gab es noch immer eine gewisse Auswahl. Die
richtige Wahl zu treffen gelang dem Herausgeber des Papyrus, nach-

^) Diese abgeleitete Bedeutung hat B rüg seh erkannt: Hieroglyj^hisch-
deinotisches Wörterbuch S. 1435 und deutlicher betont in der Zeitschrift für
ägypt. Sp. u. Alterth. (Jahrgang 1870) Bd. VlII, S. 160. Vergl. auch Eisen-
lohr, Papyrus S. 280. *) Eisenlohr, Papyrus S. 134—149. 3) Eigentlich
sollte man daher die Orthographie „Piramide" der „Pyramide" vorziehen, und
wir bedienen uns in diesem Werke der landläufigen Schreibart nur mit dem
Bewusstsein ihrer Mangelhaftigkeit.

Die Aegypter. Geometrisches. 59

dem er den glückliclien Gedanken gefasst hatte, den Umstand zu
berücksiclitigen, dass die noch erhaltenen grossen ägyptischen Pyra-
miden wesentlich gleiche Winkel besitzen (S. 20), und dass Ahmes
wohl auch ihnen ähnliche Körper bei seinen Rechnungen gemeint
haben muss. Der von Ahmes errechnete Seqt muss also einem Winkel
von etwa 52'' zwischen der Seitenwand und der Grundfläche des
Körpers entsprechen, und das findet nur dann statt, wenn der Pire-
mus die Kante der Pyramide, der Üchatebt die Diagonale der
quadratischen Grundfläche bedeutet, wenn also der Seqt das war, was
wir gegenwärtig den Cosinus des Winkels nennen, den jene beiden
Linien mit einander bilden. War die Grösse dieses Verhältnisses
Seqt bekannt, so kannte man damit auch die Winkel, welche au der
Pyramide sich zeigen. Man kannte sie freilich nur mittelbar, aber
mittelbar ist auch jede andere Ausmessung von Winkeln, ist auch
die nach Graden und Minuten, welche zunächst nicht dem. Winkel
selbst, sondern dem Kreisbogen gilt, der ihn als Mittelpunktswinkel
gedacht bespannt. Diese bisherige Auseinandersetzung gilt allerdings
nur für die 4 ersten Aufgaben der Gruppe. In der 5.- Aufgabe,
No. 60., ist nicht von einer Pyramide, sondern von einem Grabmale
die Rede, welches viel steiler als die Pyramide, mit der es die quadra-
tische Gestalt der Grundfläche übrigens theilt, sich zuspitzt. Die
durch einander zu theilendeu Strecken heissen hier ganz anders.
Als Zähler ist Qaienharu, als Nenner die Hälfte des Senti an-
gegeben, und das müssen doch wohl andere Linien sein als diejenigen,
welche die Namen Üchatebt und Piremus führten. Insbesondere die
Verwandtschaft zwischen Qaienharu und dem (S. 58) erwähnten Qa
iiöthigt dazu, diesen Zähler als die senkrechte Höhe der Pyramide
zu deuten. Vielleicht ist folgender Erklärungsversuch gestattet.

Man weiss, dass die ägyptischen Pyramiden zunächst staffei-
förmig mit parallelepipedischen, auf einander ruhenden, sich ver-
jüngenden Stockwerken angelegt wurden, und dass dann erst die
Ausfüllung der Winkelräume bis zur Herstellung einer glatten Ober-
fläche erfolgte. Dem Arbeiter machte die Herstellung dieser Aus-
füllsteine zuverlässig am meisten Schwierigkeit, und es wäre keines-
wegs unmöglich, dass der Baumeister, um seinem Arbeiter die Aufgabe
zu erleichtern, Modelle hätte anfertigen lassen. Deren brauchte man
aber zwei, von der in Fig. 2 a und 2 b gezeichneten Gestalt. Das ein-
fachere Modell (Fig. 2 a) diente zur Ausfüllung der Breitseiten, das
andere (Fig. 2b), an der Ebene DCF mit einem symmetrisch gleichen
zusammentreffend, diente die Ecken zu bilden, beide Modelle passten
mit der Ebene DCE an einander. Das zweite Modell stellt sich als
achter Theil einer der grossen Pyramide ähnlichen Modellpyramide

Fig. 2 a. Fig. 2b.

60 2. Kapitel.

dar; dabei ist DF die Kante, DC die senkrecht von der Spitze auf
die Grundfläche gefällte Höhe, CF die halbe Diagonale der Grund-
fläche, EF und die ihr gleiche CE [^ CEF = 90«, <^ CEE = 45",
also auch ^ECF^4b^ und EF=CE] die halbe Seite der

quadratischen Grundfläche.
Bei dem ersten Modell kommt
es wesentlich auf <^ DEC
an, bei dem zweiten auf eben
diesen und auf <^Di^(7; folg-
te"' ^ lieh genügte auch das zweite
Modell allein, um beide
Arten von Ausfüllsteinen nach ihm behauen zu können. Nennen
wir nun die vier erwähnten Längen, beziehungsweise ihre Ver-
doppelung, DF = pir ein us, DC = qai en liaru, 2CF = u%a tebf,
2 CE = scuti, so treten alle vier an einem Raumgebilde auf und
müssen naturgemäss selbständige Namen führen. Seqt aber „die

Yerhältiiisszahl" ist in der einen Ebene - }'' ^ =z — = cos DFC,

ptrenms JJ i' '

in der anderen Ebene = ^^^ ^^^ = y^^ = tng DEC. Allerdings

\ senti CE ° °

würde diese Hypothese die zweite in sich schliessen, dass das
gleichschenklig -rechtwinklige Dreieck CEF als solches erkannt ge-
wesen wäre.

Haben wir nun die Geometrie der Aegypter, so weit sie aus den
Hechuungsbeispielen des Ahmes rückwärts erschlossen werden kann,
erörtert, so beabsichtigen wir in ähnlicher Weise, wie es für die
Rechenkunst geschehen ist, zu sammeln, was die Ueberlieferung ins-
besondere griechischer Schriftsteller, Avas auch sonstige Denkmäler
zur Ergänzung uns bieten. Herodot erzählt^), wie schon oben theil-
weise verwerthet worden ist, Sesostris (also Ramses H.) habe das
Land unter alle Aegypter so vertheilt, dass er Jedem ein gleich grosses
Viereck gegeben und von diesem seine Einkünfte bezogen habe, in-
dem er eine jährlich zu entrichtende Steuer auflegte. Wem aber der
Fluss von seinem Theile etwas wegriss, der musste zu ihm kommen
und das Geschehene anzeigen; er schickte dann die Aufseher, die
auszumessen hatten, um wie viel das Landstück kleiner geworden war,
damit der Inhaber von dem Uebrigen nach Verhältniss der aufge-
legten Abgabe steuere. Hieraus, meint Herodot, scheint mir (doxsst
de ^ol) die Geometrie entstanden zu sein, die von da nach Hellas
kam. Isokrates gibt an''), die Aegypter hätten die Aelteren unter
ihren Priestern über die Avichtigsten Angelegenheiten gesetzt, die

') Herodot II, lü'J. -) Isokrates, Busiris cap. 'J.

Die Aegypter. Geometrisches. 61

Jüngeren dagegen überredeten sie mit Hintansetzung des Vergnügens,
sich mit Sternkunde, Rechenkunst und Geometrie zu beschäftigen.
Piaton hat häufig von der Mathematik der Aegypter gesprochen und
eiumaP) besonders hervorgehoben, dass bei jenem Volke schon die
Kinder in den Messungen unterrichtet würden zur Bestimmung von
Länge, Breite und Tiefe. Eine andere platonische Stelle"'^), in welcher
gleichzeitig der Rechenkunst gedacht ist, und einen allgemein ge-
haltenen Ausspruch des Aristoteles^) haben wir im vorigen Kapitel
unter den Belegen für das hohe Alter ägyptischer Rechenkunst an-
geführt. Heron von Alexandria lässt, was Herodot als ihm eigen-
thümliche Vermuthung äussert, vielleicht im Hinblick auf eben diesen
damals schon seit vierthalb Jahrhunderten verstorbenen Schriftsteller
zur alten Ueberlieferung werden^): Die frühste Geometrie beschäftigt
sich, wie uns die alte Ueberlieferung lehrt, mit der Messung und
Vertheilung der Ländereien, woher sie Feldmessung genannt ward.
Der Gedanke einer Messung nämlich ward den Aegyptern an die Hand
gegeben durch die Ueberschwemmung des Nil. Denn viele Grund-
stücke, die vor der Flussschwelle offen dalagen, verschwanden beim
Steigen des Flusses und kamen erst nach dem Sinken desselben wieder
zum Vorschein, und es war nicht mehr möglich über das Eigenthum
eines Jeden zu entscheiden. Dadurch kamen die Aegypter auf den
Gedanken der Messung des vom Nil blossgelegten Landes. Diodor
stimmt gleichfalls überein"'). Die Aegypter, sagt er, behaupten, von
ihnen sei die Erfindung der Buchstabenschrift und die Beobachtung
der Gestirne ausgegangen; ebenso seien von ihnen die Theoreme
der Geometrie und die meisten Wissenschaften und Künste erfunden
worden. An einer etwas späteren ausführlicheren Stelle fährt er
fort: Die Priester lehren ihre Söhne zweierlei Schrift, die sogenannte
heilige und die, welche man gewöhnlich lernt. Mit Geometrie und
Arithmetik beschäftigen sie sich eifrig. Denn indem der Fluss jährlich
das Land vielfach verändert, veranlasst er viele und mannigfache
Streitigkeiten über die Grenzen zwischen den Nachbarn; diese könneii
nun nicht leicht ausgeglichen werden, wenn nicht ein Geometer den
wahren Sachverhalt durch direkte Messung ermittelt. Die Arithmetik
dient ihnen in Haushaltungsangelegenheiten und bei den Lehrsätzen
der "Geometrie; auch ist sie denen von nicht geringem Vortheile, die
sich mit Sternkunde beschäftigen. Denn wenn bei irgend einem
Volke die Stellungen und Bewegungen der Gestirne sorgfältig be-
obachtet worden sind, so ist es bei den Aegyptern geschehen; sie

') Platou, Gesetze pag. 819. '^) Piaton, Phaedros pag. 274. ^) Ari-
stoteles, Metaphys. I, 1 in fine. *) Heron Alexandrinus (ed. Hultsch).
Berlin 1804, pag. 138. ^) Diodor I, (59 und die Hauptstelle I, 81.

62 ^^ Kapitel.

verwahren Aufzeicliuungen der einzelnen Beobachtungen seit einer
unglaublich langen Reihe von Jahren, da bei ihnen von alten Zeiten
her die grösste Sorgfalt hierauf verwendet worden ist. Die Be-
wegungen und Umlaufszeiten und Stillstände der Planeten, auch den
Einfluss eines jeden auf die Entstehung lebender Wesen und alle ihre
guten und schädlichen Einwirkungen haben sie sehr sorgfältig be-
achtet. Die gleiche Ueberlieferung finden wir bei Strabon^). Es be-
durfte aber einer sorgfältigen und bis auf das Genauste gehenden
Eintheilung der Ländereien wegen der beständigen Verwischung der
Grenzen, die der Nil bei seinen üeberschwemmungen veranlasst,
indem er Land wegnimmt und zusetzt und die Gestalt verändert und
die anderen Zeichen unkenntlich macht, wodurch das fremde und
eigene Besitzthum unterschieden wird. Man muss daher immer und
immer wieder messen. Hieraus soll die Geometrie entstanden sein.

Wir haben unsere Gewährsmänner, deren Lebenszeit etwa von
460 V. Chr. bis auf Christi Geburt sich erstreckt, chronologisch ge-
ordnet, woraus erschlossen werden kann, wie viel etwa die späteren
derselben von ihren Vorgängern entnommen haben mögen ohne aus
dem lebenden Quell fortdauernder volksthümlicher Sage zu schöpfen.
Einem Schriftsteller des II. nachchristlichen Jahrhunderts werden wir
im nächsten Kapitel, anderen späteren Schriftstellern an andrer Stelle
das Wort geben, wo es um die Uebertragung der Geometrie nach
Griechenland sich handeln wird. Nur einen der frühsten griechischen
Zeugen für das Älter und für die Bedeutsamkeit ägyptischer Geometrie
müssen wir jetzt noch nachträglich hören, den wir oben zwischen
Herodot und Isokrates, wohin er seiner Lebenszeit nach gehörte, ab-
sichtlich zurückstellten, weil seine Aussage von so hervorragender ge-
schichtlicher Wichtigkeit ist, dass sie einer besonderen Erörterung bedarf

Demokrit sagt") nämlich um das Jahr 420: „Im Construiren
von Linien nach Maassgabe der aus den Voraussetzungen zu ziehen-
den Schlüsse hat mich Keiner je übertrofi'en, selbst nicht die soge-
nannten Harpedonapten der Aegypter."

Dass Harpedonapten ein griechisches Wort mit der Bedeutung
Seilspanner oder wörtlicher übersetzt Seilknüpfer sei, ist merkwür-
digerweise von dem Verfasser des besten griechischen Wörterbuches
übersehen worden^). Allein auch die richtige Uebersetzung reicht
zum Verstehen jenes Satzes nicht aus, wenn man nicht weiss, wer

') Strabon Lib. XVII, cap. 3. ^) Clemens Alexandrinus, Stromata

ed. Potter I, 357: ygafifiicov GvvQ'icvog [itxa ccnoösi^Loe ovStlg kw (is 7taQi]llcc^iv,

ovd' Ol AlyvTcxiojv KccXtöfitvoL 'AQTCtSoväTtxcci. ^) Cantor, Gräkoindische Studien

'(Zeitsclir. Math. Phys. Bd. XXII. .Tahri,ning 1877. Histor.-literar, Abtlieiluug

S. 18 und Note C«).

Die Aegypter. Geometrischps. 63

jene Seilspanner waren, denen Demokrit in seinem ruhmredigen Ver-
gleiche ein hochehrendes Zeugniss geometrischer Gewandtheit aus-
stellt, und worin ihre Obliegenheiten bestanden. Beides ist bis zu
einem gewissen Grade aus ägyptischen Tempelinschriften zu erkennen,
welche von geschätzten Aegyptologen veröffentlicht worden sind ^).
Die Tempel mussten in gleicher Weise wie die Pyramiden orientirt
werden, und die Richtung nach Norden, deutlicher ausgedrückt nach
dem Eintrittspunkte des Siebengestirnes um eine gegebene Zeit
wurde beobachtungsweise festgestellt. „Ich habe gefasst den Holz-
pflock (nebi) und den Stiel des Schlägels (semes), ich halte den Strick
(xa) gemeinschaftlich mit der Göttin Safech. Mein Blick folgt dem
Gange der Gestirne. Wenn mein Auge an dem Sternbilde des
grossen Bären angekommen ist und erfüllt ist der mir bestimmte
Zeitabschnitt der Zahl der Uhr, so stelle ich auf die Eckpunkte
Deines Gotteshauses." Das sind die Worte, unter denen der König
auf den Inschriften der Tempel die genannte Handlung vollzieht. Er
schlägt mit der in seiner rechten Hand befindlichen Keule einen
langen Pflock in den Erdboden und ein Gleiches thut ihm gegenüber
Safech die Bibliotheksgöttin, die Herrin der Grundsteinlegung. Es
ist klar, dass die diese beiden Pflöcke verbindende Gerade die Rich-
tung nach Norden, den Meridian des Tempels, bezeichnet, dass durch
sie die gewünschte Orientirung des Grundrisses zur Hälfte vollzogen
ist. Allerdings nur zur Hälfte! Die Wandungen des Tempels sollen
senkrecht zu einander stehen, und demgemäss ist es nicht weniger
nothwendig in einer zweiten Handlung diese mehr geometrische als
astronomische Bestimmung zu trefi'en.

Man kann nun leicht mit der Antwort bereit sein, die ägypti-
schen Zimmerleute hätten gleich ihren heutigen Handwerksgenossen
massive rechte Winkel besessen. Ein solcher ist z. B. auf einem
Wandgemälde eine Schreinerwerkstätte darstellend-) deutlich
abgebildet. Wohl. Aber die Richtigkeit dieses Werkzeuges
sig- 3. jj2^ggte doch selbst verbürgt, musste irgend einmal irgendwie
geprüft sein, und das scheint immerhin in letzter Linie eine geome-

^) Brugsch, Ueber Bau und Maasse des Tempels von Edfu (Zeitschr. f.
ägypt. Spr. u. Alterth. Bd. VIII) und hieroglypbiscb-demotisches Wörterbuch
S. 327 und 967. An letzterer Stelle, ist übrigens nur bemerkt, dass das ägyj)-
tische hunu = Feldmesser, Geometer sei. Von einem Seilspannen oder gar von
einer Erinnerung an das griechische uQTtsdoväTtrai ist dabei keine Rede. Ferner
vergl. Dümichen in der Zeitschr. f. ägypt. Spr. u. Alterth. Bd. VIII und be-
sonders dessen umfangreiche Schrift: Baugeschichte des Denderatempels und
Beschreibung des einzelnen Theilo des Bauwerkes nach den an seineu Mauern
befindlichen Inschriften. Strassburg, 1877. ^) Wilkinson, Manners and cu-
stoms of tJie ancient Egyptians. Vol. III, pag. 144.

64 2. Kapitel.

trische Construction vorauszusetzen, die vennutlilich bei so feierliclien
Gelegenheiten wie die Gründung eines Tempels stets aufs Neue voll-
zogen wurde. Dass es so gescliali liegt vielleicht in der Mehrzahl
„die Eckpunkte Deines Gotteshauses" angedeutet, welche der König,
wie wir gehört haben, aufstellt. Die Art der Bestimmung freilich
verschweigt, so viel wir wissen, die Gründungsformel. Grade dazu
diente nun, wenn uns ein Analogieschluss, dessen Ausführung wir
auf einige ziemlich späte Kapitel dieses Bandes verschieben müssen,
nicht irre leitet, das Seil, das um die Pflöcke gezogen war, das
das eigentliche Geschäft der Seilspanner bezeichnend ihnen den
Namen verlieh.

Denken wir uns, gegenwärtig allerdings noch ohne jede Be-
gründung, den Aegyptern sei bekannt gewesen, dass die drei Seiten
von der Länge 3, 4, 5 zu einem Dreiecke verbunden ein solches mit
einem rechten Winkel zwischen den beiden kleineren Seiten bilden,
und denken wir uns die Pflöcke auf dem Meridian um 4 Längen-
einheiten von einander entfernt. Denken wir uns ferner das Seil von
der Länge 12 und durch Knoten in die entsprechenden Abtheilungen
3, 4, 5 getheilt, so leuchtet ein (Fig. 4), dass das Seil an dem einen

Knoten gespannt, während die beiden ande-
ren an den Pflöcken anlagen, nothwendiger-
weise einen genauen rechten Winkel zum
Meridiane an dem einen Pflocke hervorbringen
musste.

War dieses die Hauptaufgabe der Harpe-
donapten, zu deren Amtsgeheimniss es gehören
mochte, die Pflöcke wie die Knoten an den
richtigen Stellen anzubringen, wodurch wenigstens eine zweckdienliche
Erklärung für das Stillschweigen der Inschriften über ihre Verfahrungs-
weise gegeben wäre, so konnte in der That ihnen der Ruhm „der
Construction von Linien" zugesprochen werden, so waren sie in
Besitz der Mysterien der Geometrie, die nicht jedem sich enthüllten,
so wird es begreiflich, wie ihre Handlungen in den Wandgemälden
dem Könige selbst in Verbindung mit einer Göttin beigelegt wurden.
Die Operation des Seilspannens ist eine ungemein alte. Mau
hat deren Erwähnung auf einer auf Leder geschriebenen Urkunde
des Berliner Museums gefunden, wonach sie bereits unter Ame-
nemhat T. stattfand'). Vielleicht ist es gestattet hier nochmals
daran (S. 22) zu erinnern, dass Ahraes in den einleitenden Worten
seines Papyrus sich darauf beruft, er arbeite nach dem Muster älterer

') Dümicheii, Denclerateuipel S. 38.

Die Aegyjiter. Geometrisches. 65

Schriften, uud dass es vielleicht König Amenemhat III. war, unter
dessen Regierung jene altern Schriften verfasst wurden. Ist diese
Annahme wirklich richtig, so würden wir wenigstens keinen Anstand
nehmen die Möglichkeit solcher Kenntnisse, wie wir sie soeben für
die Harpedonapten in Anspruch nahmen, schon in der XII. Dynastie,
welcher die Amenemhat angehörten, zuzugestehen. Einer Zeit, welche
die Winkellehre so weit ausgebildet hatte, dass sie den Seqt be-
rechnete, können wir auch die Kenntniss des rechtwinkligen Dreiecks
von den Seiten 3, 4, 5 zutrauen, die wesentlich erfahrungsmässig
gewonnen worden sein wird, ohne dass irgendwie an einen strengen
geometrischen Beweis in unserem heutigen Sinne des Wortes gedacht
werden niüsste.

Ueberhaupt zerfällt, wie wir meinen, grade dem Seqt gegenüber
jeder Versuch, die Geometrie der Aegypter auf eine blosse Flächen-
abschätzmig zurückzuführen, während Winkeleigenschafteu oder Ver-
hältnisse von Strecken ihr fremd gewesen seien, von selbst, ohne dass
es mehr nöthig wäre, gegen diese Zweifel eines überwundenen Wissens-
standpunktes mit eingehender Widerlegung sich zu wenden. Dagegen
ist um so erklärlicher, was ein später griechischer Schriftsteller von
den Schülern des Pythagoras sagt^), was aber gewiss richtig auch auf
seine Lehrer, die Aegypter gedeutet worden ist, dass sie die Winkel
als bestimmten Göttern geweiht ansahen, und dass der dreiartige Gott
die erste Ursache zur Reihe der geradlinigen Figuren in sich begreife.

Eine mindestens nicht ganz zu verwerfende Bestätigung uralter
geometrischer Kenntnisse bei den Aegyptern können wir noch bei-
fügen-). Wenn aus den ältesten Zeiten auf Wandgemälden Figuren
von geometrischer Entstehung sich erhalten haben, so spricht deren
Vorhandensein gewiss dafür, dass man mit solchen Zeichnungen sich
damals beschäftigte. Ja man kann es wohl einleuchtend nennen,
dass ein wirklicher Mathematiker, welcher' dieselben, vielleicht Jahr-
hunderte nach ihrer Anfertigung, häufig, täglich zu Gesicht bekam,
fast noth wendig darauf hingewiesen werden musste, über Eigen-

') Proclus Diadochus, Commentar zum I. Buche der euklidischen Ele-
mente ed. Friedlein. Leipzig, 1873, pag. 130 und 155. Auf diese Stellen hat
allerdings in der Absicht sie gegen eine wissenschaftliche Geometrie der
Aegypter zu verwerthen Friedlein aufmerksam gemacht : Beiträge zur Geschichte
der Mathematik IL Hof, 1872, S. 6. *) Zur Anstellung der hier folgenden
Untersuchung regten uns einige Bemerkungen von G. J. AUman an: Greelc
Geometry from Thaies to Euclid im V. Bd. der Hei-mathena. Dublin, 1877,
pag. 169, Note 20 und pag. 18G, Note 81. Diese Abhandlung ist mit anderen,
die gleichfalls ursprünglich in der Hermathena erschienen, 1889 zu einem Bande
vereinigt worden. Dort finden sich die betreffenden Stellen pag. 12, Note 16
und pag. 29, Note 47.

Cantor, Geschichte der Matliematik I. 2. Aufl. 5

Kapitel.

i'ig. 5.

Fig. 6.

Schäften dieser Figuren, die ihm noch nicht bekannt waren, nachzu-
denken. Glücklicherweise besitzen wir nun in einem mit Recht
wegen seiner Treue und Zuverlässigkeit berühmten Bilderwerke ^) eine
überreiche Menge von Figuren der genannten Art, von denen nur
einige wenige, und zwar der leichteren Herstellung wegen ohne die
bunten Farben des Originals und in anderem Maassstabe, hier wieder-
gegeben werden mögen. Schon zur Zeit der V. Dynastie, der un-
mittelbaren Nachfolger der Pyramidenkönige, wurde in der Todten-
stadt von Memphis eine aus in einander gezeichneten verschobenen
Quadraten (Fig. 5) gebildete Verzierung angewandt. Das Quadrat

mit seinen zu Blättern ergänz-
ten Diagonalen (Fig. 6) findet
sich von der Xll. bis zur
XXVI. Dynastie vielfach. Das
gleichschenklige Paralleltrapez
kommt in Varianten, welche
auf die Zerlegung in ander-
weitige Figuren sich beziehen
(Fig. 7 und 8) als Zeichnung
von unteren Theilen eines Stän-
ders für Waschgefässe und der-
gleichen fast zu allen Zeiten
vor. Ein höchst merkwürdiges
Gewebemuster (Fig. 9) kann
als Vereinigung zweier sich symmetrisch durch-
setzender Quadrate definirt werden. Unterbrechen
wir hier die Angabe geometrischer Figuren aus
ägyptischen Wandgemälden und schalten wir zu-
nächst den Bericht über eine für uns ungemein
werthvolle Entdeckung ein.

Die Aegypter pflegten die Wände, auf welchen
sie Relief arbeiten anbringen wollten, in lauter
einander gleiche Quadrate zu zerlegen und mit deren Hilfe die
Umrisse des Einzuhauenden zu zeichnen. Eine unvollendet gebliebene
Kammer in dem sogenannten Grabe Belzoni, das ist in dem Grabe
Seti L, des Vater Ramses H. aus der XIX. Dynastie, zeigt dieses
ganz deutlich^). Es wäre thörig hierin bewusste Anfänge eines
Ooordinatensystems erkennen zu wollen, aber ebenso thörig wäre
es zu verkennen, dass in dieser ausgeprägten Gewohnheit eine geo-

^) Prisse d'Avennes, Histoire de l'art iJgyptien d' apres les monuments.
*) Wilkinson, Manners and cusloms III, pag. 313 und ebendesselben Thehes
and F'Oypt pag. 107.

Fig. 7.

Fig. 8.

Fig. 9.

Die Aegypter. Geometrisches. 67

metrisclie Proportionenlehre so weit enthalten ist, dass wir den
verkleinernden, unter Uraständen, wo es um Götterfiguren sich han-
delte, auch den vergrössernden Maassstab angewandt finden. Es
kann fast auffallen, dass die Aegypter -nicht noch einen Schritt
weitergingen und die Perspektive erfanden. Bekanntlich ist von
dieser bei ägyptischen Gemälden keine Spur vorhanden, und mag
man religiöse oder was immer sonst für Gründe dafür in Anspruch
nehmen, immer bleibt geometrisch ausgedrückt die Thatsache: die
Aegypter übten nicht die Kunstfertigkeit die zu bemalende Wand
als zwischen dem sehenden Auge und dem abzubildenden Gegen-
stande eingeschaltet zu denken und deren Durchschnittspunkte mit
den Sehstrahlen nach jenem Gegenstande durch Linien zu vereinigen.

Wir kehren zu den Figuren geometrischer Art zurück, und zwar
zu solchen, bei welchen die Kreislinie vorkommt. Durch Durchmesser
in gleiche Kreisausschnitte getheilte Kreise kommen vielfach vor, und
zwar ist bei Zierrathen die häufigste Theilung die durch 2 oder 4
Durchmesser in 4 oder 8 Theile, während auf Gefässen, welche von
asiatischen Tributpflichtigen Königen der XVIII. Dy-
nastie, etwa den Zeitgenossen des Schreibers Ahmes, /
überbracht werden, die Theilung des Kreises durch
6 Durchmesser in 12 Theile (Fig. 10) ausnahmslose ,
Regel ist. Wagenräder haben insbesondere seit Ram-
ses II. aus der XIX. Dynastie fast regelmässig 6
Speichen, und Räder mit 4 Speichen kommen ganz
selten vor. Eine Theilung des Kreises in 10 gleiche Theile durch
5 Durchmesser oder in 5 Theile durch 5 vom Mittelpunkte aus-
gehende Strahlen ist unserem darnach suchenden Auge nicht be-
gegnet.

Wollen wir über wirklich geometrische Ueberbleibsel in ägypti-
scher Sprache, nicht über Zeichnungen, aus welchen mehr oder minder
gewagte Rückschlüsse auf geometrisches Wissen gezogen werden
müssen, berichten, so haben wir plötzlich ungemein tief in der Zeit-
folge hinabzugreifen bis zu den Inschriften des Tempels des
Horus zu Edfu in Oberägypten ^), in welchen der Grundbesitz der
Priesterschaft dieses Tempels vermessen und angegeben ist. Die
Pflocklegung dieses Tempels wurde nach alterthümlicher Sitte am
23. August 237 v. Chr. vollzogen^). Die aufgezeichneten Grundstücke
und deren Schenkung beziehen sich auf König Ptolemäus XI.,
Alexander I., dessen Regierung durch Gewaltthätigkeiten an Bruder

') R. Lepsius, Ueber eine hieroglyplaische Inschrift am Tempel von Edfu
(Abhandlungen der Berliner Akademie 1855, S. 69—114). -) Düniichen in der
Zeitachr. f. ägypt. Spr. u. Alterth. Bd. VIII, S. 7.

68 2. Kapitel.

und Mutter errungen und bewahrt von 107 bis 88 dauerte, in welch
letzterem Jahre er selbst durch den mit Waffengewalt zurückkehren-
den Bruder zur Flucht genöthigt wurde. Um das Jahr 100 v. Chr.
wurden also die betreffenden Messungen angestellt, nicht weniger als
200 Jahre nachdem in Alexandria auf ägyptischem Boden und unter
dem Schutze eines Königs von Aegypten Euklid gelebt und gelehrt
hatte, dessen Name jedem Gebildeten bis zu einem Grade bekamit
ist, der ims verstattet seiner als Maassstab für das mathematische
Wissen seiner Zeit auch in diesem Kapitel schon uns zu bedienen.
Damals gab es unzweifelhaft eine weit vorgeschrittene theoretische
Geometrie, aber die Praxis der Feldmessung Hess sich an den alt-
herkömmlichen Formeln genügen. Wir haben dieses Festhalten an
gewohnten, bequemen, eine Wurzelausziehung vermeidenden Methoden
schon früher (S. 55) angekündigt. Wir haben es bis zu einem ge-
wissen Grade gerechtfertigt und die Unbedeutendheit des begangenen
Fehlers in Betracht gezogen. Es ist möglich gewesen aus den sich
an einander anschliessenden Maassen der Edfu-Inschrift eine sehr
wahrscheinliche Zeichnung der dort beschriebenen Ländereien anzu-
fertigen^), und dieser Plan lässt erkennen, wie wenig die durch
Hilfslinien hergestellten viereckigen Abtheilungen von Rechtecken
sich unterscheiden, bis zu welchem Grade der Genauigkeit trotz An-
wendung der alten Formeln man gelangte. In der Häufung jener
Hilfslinien, in der Zerlegung des zu messenden Feldes in immer
zahlreichere immer kleinere Theile lag die Verbesserung, welche ein
Festhalten der Regeln der Urahnen gestattete, und diese Verbesserung
war selbst keine Neuerung, sie hatte ihr Vorbild schon in dem
Werke des Ahmes. Wir können die Ehrenrettung der Feldmesser
zur Zeit von Ptolemäus XL gewissermassen vollenden, indem wir an
die Scheu vor Wurzelausziehungen erinnern, welche heute noch unter-
geordneten Beamten des Katasterwesens anzuhaften pflegt und sie
wenigstens für vorläufige Flächenschätzung die sogenannten ver-
glichen abgenommenen Maasse anwenden lässt, d. i. eben das
altägyptische Verfahren seinem Hauptgedanken nach.

Wenn wir sagten, in den Edfu-Iuschriften seien die Formeln an-
gewandt, welche uns aus dem Uebungsbuche des Ahmes bereits be-
kannt sind, so müssen wir diese Aussage dahin ergänzen, dass eine
weitere theoretisch noch missbräuchlichere Ausdehnung jener Formeln
hinzugekommen und eine nicht ganz unbedeutende Gedankenver-
schiebung bei ihnen eingetreten ist.

Die Formeln des Ahmes waren ^ X n und -^- — X a für die

') R. Lcpsius 1. c. Tafel VI.

Die Aegypter. Geometrisches. 60

Flächeninlialte des gleichschenkligen Dreiecks und des gleichscheuk-
ligen Paralieltrapezes. Die erstere Formel blieb in Geltung, und
wenigstens in den im Drucke veröffentlichten Edfu-Inschriften sind
andere als gleichschenklige Dreiecke nicht genannt. Bei den Vier-
ecken aber ist die Bedingung, dass es gleichschenklige Parallel-
trapeze seien, deren Fläche man berechnen wolle, abhanden ge-
kommen. Die Anzahl so gestalteter Vierecke überwiegt allerdings
auch in Edfu, aber neben ihnen kommen ganz willkürliche Vierecke
mit den Seiten a^, a.,, h^, &2 "^or, wo die beiden durch a und des-
gleichen die beiden durch b benannten Seiten einander gegenüber-
liegen sollen, und deren Fläche berechnet sich auf

(h + ^2 ^ ^1 + h

So z. B. 16 zu 15 und 4 zu 3 - macht 58-^-: 45— zu 33—-.- und 17 zu

2 ö ' 4 2 4

15 macht 632: 9-- zu 10 - und 24 zu 22— -„ macht 236— u. s. w.

Die angekündigte Gedankenverschiebung besteht aber in Folgen-
dem. Ahmes, das suchten wir aus der muthmasslichen Entstehung
der Formeln, aus dem beim Vierecke gebrauchten Namen Hak, Ab-
schnitt, für die eine Seite zu begründen, ging aus vom Dreiecke und
liess das Trapez durch Abstumpfung jener ursprünglichen Figur ent-
stehen. Jetzt hat die Sache sich umgekehrt. Das Viereck ist die
zu Grunde liegende Figur geworden, das Dreieck entsteht aus ihm
als besonderer Fall, indem eine Vierecksseite verschwindet. Nicht
von Dreiecken mit den Seiten 5, 17, 17 oder 2, 3, 3 ist in Edfu die
Rede, sondern von Figuren mit den Seiten 0 zu 5 und 17 zu 17, be-
ziehungsweise 0 zu 2 und 3 zu 3, deren Flächen alsdann 42— und

3 sind^). Das Wort Null wird, wie wir wohl zum Ueberflusse
bemerken, nicht etwa durch ein besonderes Zahlzeichen, sondern
durch eine aus zwei Bildchen sich zusammensetzende hieroglyphische
Gruppe mit der Aussprache Neu dargestellt, welche gewöhnlich ver-
neinende Beziehungen ausdrückt, hier die als Dingwort ausgesprochene
Verneinung, das Nichts. Au eine Zahl Null ist in keiner Weise
zu denken.

Fassen wir in eine ganz kurze Uebersicht den Hauptinhalt der
beiden von ägyptischer Mathematik handelnden Kapitel zusammen.
Die Aegypter besassen, wie wir quellenmässig belegen konnten, schon
im Jahre 1700 v. Chr., wahrscheinlich sogar bereits ein halbes Jahr-

^) Die hier erwähnten Beispiele vergl, bei Lepsius 1. c. S. 75, 79, 82.
Auf letzterer Seite findet sich die Rechtfertigung der Null.

70 2. Kapitel.

tausend früher eine ausgebildete Reclienkunst mit ganzen Zahlen
und Brüchen, wobei letztere stets als Starumbrüche geschrieben
wurden, wenn auch der Begriff gewöhnlicher Brüche, wie aus der
Zurückftthrung auf Generalnenner hervorgeht, nicht fremd war. Die
Aufgaben, welche so der Rechnung unterbreitet wurden, gehören dem
Gebiete der Gleichungen vom ersten Grade mit einer Unbekannten
an, wobei die Wort-Einkleidung eine von einer Aufgabengruppe zur
anderen wechselnde ist. Als Gipfelpunkte erscheinen nach modemer
Auffassung Beispiele aus dem Gebiete der arithmetischen, vielleicht
der geometrischen Reihen. Beispiele aus der Geometrie und Stereo-
metrie gewählt lassen erkennen, dass in jener frühen Zeit die
Aegypter einen nicht ganz unglücklichen Versuch gemacht hatten
den Kreis in ein Quadrat zu verwandeln, dass ihre Berechnung des
Flächeninhalts von gleichschenkligen Dreiecken und von als Abschnitte
von ersteren erhaltenen gleichschenkligen Paralleltrapezen von Nähe-
rungsformeln Gebrauch machte, ohne dass wir freilich irgend eine
Auskunft darüber zu geben vermochten, ob man beim Kreise, ob man
bei jenen geradlinig begrenzten Figuren sich bewusst war nur Ange-
nähertes zu erhalten, oder ob man an die genaue Richtigkeit der
Ergebnisse glaubte, und wie man zu denselben gelangt war. Des
Weiteren haben wir gesehen, dass man es liebte, wohl auch für
noth wendig hielt, gegebene Figuren zum Zwecke der Ausmessung
durch Hilfslinien in andere Figuren von einfacherer Begrenzung zu
zerlegen, und diese Uebung zu allen Zeiten beibehielt, gleichwie es
mit den alten Näherungsformeln für die Flächen von Dreiecken und
Vierecken der Fall war. Endlich ist festgestellt, dass in gleich
grauem Alterthume, bis zu welchem aufwärts wir die Flächenberech-
nung verfolgen können, auch eine Vergleichung von Strecken zum
Zwecke des Aehnlichmachens, d. h. zur Wiederholung desselben
Winkels an verschiedenen Raumgebilden stattfand. Neben dieser
quellenmässig gesicherten Wissenschaft lernten wir die Ueberlieferung
kennen, welche Geometrie und Rechenkunst heimathlich auf Aegypten
zurückführt, welche das bürgerliche Rechnen der Aegypter uns muth-
masslich als Fingerrechnen, mit aller Bestimmtheit als Rechnen mit
Steinchen kennen lehrt. Auch aus Figuren des täglichen Gebrauches
durften wir geometrische Schlüsse ziehen, Handlungen die mit der
Tempelerbauung verbunden waren, durften wir erörtern und gelangten
so zu der wahrscheinlichen Folgerung, dass neben jenen geometri-
schen Vorschriften, welche den Rechnungen dienten, auch solche be-
standen, die auf Constructionen sich bezogen und namentlich die
Zeichnung eines rechtwinkligen Dreiecks durch die gegebenen Längen
seiner drei Seiten ermöglichten. Eine deutliche Darlegung dieser

Die Aegypter. Geometrisches. 71

von uns vermutlieten Vorschriften ist ebensowenig bekannt wie die
vorber vermisste Ableitung der Fläcbenformeln, ebensowenig wie die
Begründung der von Abmes angewandten Formel für Auffindung des
Anfangsgliedes einer aritbmetiscben Reibe aus ibrer Summe, ibrer
Gliederzabi und ibrer Differenz. So kommt man unabweislicb zur
Annabme eines nocb nicbt wieder aufgefundenen theoretischen Lehr-
buches der Aegypter neben dem neuerdings bekannt gewordenen
Uebungsbuche. Nicht als ob wir an eine Theorie im modernen Sinne
dächten. Beweise werden meistens inductiv, wohl auch auf Grund
sehr ungenügender Induction geführt worden sein, wenn man nicht
gar den Augenschein für hinreichend hielt jeglichen Beweis zu er-
setzen. Dagegen vermuthen wir, wie hier vorgreifend bemerkt werde,
eine regelmässig wiederkehrende Form des Lehrbuches, unterschieden
von der des Uebungsbuches und nur darin mit letzterer zusammen-
treffend, dass auch sie sich forterbte, gleichwie die Form des Uebimgs-
buches so gut wie ohne jede Veränderung in griechischer Nach-
bildung sich erhielt. Wir werden in späteren Kapiteln auf diese
Meinung, auf diese Behauptung zurückkommen müssen, um die
letztere zu beweisen und dadurch der ersteren eine Stütze zu ver-
leihen.

II. Babylonier.

3. Kapitel.
Die Babyloiiier.

In ziemlich gleichem Maasse, wie das Stromgebiet des Nils,
welches der Durchforschimg zu allen Zeiten so Vieles und Wunder-
bares enthüllt hat, Avusste das Land, welches zwischen Euphrat und
Tigris gelegen ist, die Aufmerksamkeit der Gelehrten auf sich zu
ziehen. Hier in Chaldäa gaben die durch Jahrtausende aufgehäuften
Trttmmerhügel eine ähnlich werthvolle Ausbeute wie dort die in Stein
gehauenen Gräber, die verschütteten Palastkammern Babylons eine
ähnliche wie die unter günstigeren Verhältnissen aufrecht gebliebeneu
Tempel Aegyptens. Aber einen wesentlichen Unterschied hat die
Forschung mit ziemlicher Bestimmtheit nachzuweisen vermocht. In
Aegypten ist es im Grossen und Ganzen eine einzige Entwickelung
eines einheitlichen Volkes, die von Ort zu Ort, von Tempel zu Tempel
sich verfolgen lässt. In Chaldäa begegnen wir den Ueberresten
mehrerer, mindestens zweier Nationen, die sich feindlich bekämpften,
um schliesslich in ein Mischvolk überzugehen, dessen Bildung uns
nur Wahrscheinlichkeitsschlüsse dafür gestattet, welchem der Ur-
stämme wir diesen oder jenen Bestandtheil des später gemeinsamen
Wissens gutschreiben sollen.

Neuere Völkerkunde hat die Gegend der Hochebene Pamir ^),
etwa unter dem 38. Grade nördlicher Breite und dem 90. Grade öst-
licher Länge gelegen, als das in Wirklichkeit freilich nichts weniger
als paradiesische Paradies der orientalischen Sagen erkannt. Vier
Gewässer fliessen von ihr nach den vier Himmelsrichtungen ab, der
Indus, der Heimund, der Oxus, der Yaxartes. Von dort zunächst,
muthmasslich noch weiter von Nordosten, von den Abhängen des
erzreichen Altaigebirges, drangen Skythenvölker turanischen Stammes,
ihrem Hauptbestandtheile nach Sumerier^), herab, eine bereits ziem-
lich entwickelte mathematische Bildung mit sich bringend, wie wir
nachher sehen wollen. Sie setzten sich fest auf dem Hochlande von

') Maspero-Pietschmann S. 128. ^) Diesen Namen erkannt zu haben
gehört zu den zaUreichen Verdiensten von J. Oppert. Ueber die Wanderung
der Sumerier vergl. Maspero-Pietschmann S 131.

76 3. Kapitel.

Iraiij besonders in dem nördliclisten Theile, der später Medien genannt
Avurde. Die Sunierier drangen dann weiter südlich, bis nacli Cbaldäa
vor. Und ein zweites Volk kam ebendahin^). Es war gleicMalls
im Osten, aber weiter südlicli aufgebrochen. Es kam der Ueber-
lieferung gemäss ans dem Lande Kusch, welches man in Baktrien zu
suchen hat. Es führte demnach den Xameu der Kuschiten und hat
auf seinem Wege diesen Namen auf das Gebirge des Hindukusch über-
tragen, welches das Hochland von Iran, wo wir die Turanier Nieder-
lassungen gründend fanden, von den Ebenen der Bucharei trennt.
Die Sumerier sprachen eine jener sogenannten agglutinativen Sprachen,
in welchen alle möglichen Beziehungen vermittelst neuer Bestandtheile
bezeichnet werden, die sich mit den Wurzeln nie verschmelzen, also
nie das hervorbringen, was man Beugung zu nennen pflegt. Die
Sprache der Kuschiten dagegen war dem Hebräischen und Arabischen
sehr nahe verwandt, sie war eine semitische Sprache, und die Meisten
nehmen auch geradezu an, Semiten und Kuschiten seien nur zwei zu
verschiedenen Zeiträiimen zur Gesittung gelangte Theile ein und
derselben Rasse.

Die erste Begegnung von Sumeriern und Kuschiten auf chaldäi-
schem Boden gehört in die vorgeschichtliche Zeit, ein Wort, dessen
Geltungsgebiet gegen früher weit zurückverlegt ist, seitdem die Ent-
zifferungskunde alter Denkmäler gestattet hat, selbst als mythisch
geltende Zustände und Ereignisse näher zu beleuchten. Aber so weit
man auch die Ziele der Geschichtswissenschaften stecken mag, sie
reichen nicht weiter als schriftliche Aufzeichnung, und solche sind
uns in Chaldäa nur aus der Zeit der erfolgten Vereinigung jener
Volkselemente erhalten, geben über die Vereinigung selbst keinen
Aufschluss. Dagegen wissen wir aus einheimischen und fremden
schriftlichen Denkmälern Mancherlei über die Schicksale des Misch-
volkes. Sein staatlicher Verband blieb keineswegs unverändert, Haupt-
städte und Fürstengeschlechter wechselten. Auf Ninive folgte Babylon,
auf dieses wieder Ninive als Herrschersitz. Das altassyrische, das
babylonische, das zweite assyrische Reich lösten einander in geschicht-
licher Bedeutung ab, in bald siegreichen, bald ungünstig verlaufenden
Kämpfen unter einander und mit den Nachbarvölkern, den Hebräern,
den Phönikern, den Aegyptern, bis endlich das Perserreich Alles
verschlang.

Wir haben einheimische Schriftdenkmäler erwähnt. Deren Schrift
war, wie man annimmt, ursprünglich eine Bilderschrift, welche aber
vermöge der gewählten Unterlage eine eigenthümliche Umbildung er-

') Maspero-Pietschmann S. 111 ägg.

Die Babylonier. 77

fuhr. In Aegypten rundeten sich die hieroglyphischen Bilder, mit
dem Schreibrolire auf Papyrus übertragen, allmälig ab. In Chaldäa
dagegen ritzte man die Schriftzüge mittelst eines Griffels in eine
gleichviel wie zur nachträglichen Erhärtung gebrachte Thonmasse ein,
und dadurch entstanden in Winkeln an einander stossende Eindrücke,
welche man bei der Wiederauffindung nicht unglücklich als keilförmig
bezeichnet hat; es entstand die Keilschrift. Die meisten Fach-
gelehrten glauben, die Keilschrift sei bereits den Sumeriern eigen-
thümlich gewesen, doch mag sie entstanden sein, wo sie wolle, darüber
ist kein Zweifel, dass sie in Chaldäa einer semitischen Sprache dienst-
bar wurde, die somit wundersam genug von links nach rechts, statt
wie in allen anderen Fällen von rechts nach links zu lesen ist, eine
Erscheinung, auf welche wir gleich jetzt bei Erörterung der Zahl-
zeichen der Keilschrift hinweisen müssen^). Das Princip der Grössen-
folge wird nämlich ihr entsprechend, wo es zur Geltung kommt,
veranlassen, dass wir die Zahlzeichen, welche den höheren Werth
besitzen, stets links von denen zu suchen haben, welche mit niedri-
gerem Werthe behaftet durch Addition mit jenen verbunden sind.

Unter den vielfältigen Vereinigungen, welche aus keilförmigen
Eindrücken sich bilden lassen, sind es vornehmlich drei, welche beim
Anschreiben ganzer Zahlen benutzt wurden, der Yertikalkeil T, der
Horizontalkeil *-, der aus zwei mit den breiten Ende verschmolzenen,
die Spitzen nach rechts oben und unten neigenden Keilen zusammen-
gesetzte Winkelhaken <. Der Vertikalkeil stellt die Einheit, der
Winkelhaken die Zehnzahl dar, und diese Elemente addirten sich
durch Nebeneinanderstelluug. Theils aus Gründen der Raumersparung,
theils aus solchen der besseren Uebersehbarkeit wurden oft mehrere
Keile oder Winkelhaken über einander in zwei bis drei Reihen ab-
gebildet, stets höchstens drei Zeichen in einer Reihe. Blieb bei dieser
Art der Zerlegung ein einzelnes Element übrig, so wurde dasselbe
meistens in breiterer Form unter den übrigen beigefügt. Vielleicht
kam auch die Beifügung eines solchen einzelnen Zeichens rechts von
den übrigen vor, wie es durch das Gesetz der Grössenfolge gestattet
war, während ein additives Eiuzelelement links neben anderen in
Reihen verbundenen gleichartigen Elementen jenem Gesetze wider-

^) Wir haben diesen Gegenstand ausführlich und mit Verweisung auf
Quellenschriften schon früher behandelt: Math. Beitr. Kulturl. S. 28 ügg. Unsere
gegenwärtige theilweise wörtlich übereinstimmende Darstellung dürfte dem
heutigen etwas veränderten Standpunkte des Wissens über diese Dinge ent-
sprechen. Mit den assyrischen Zahlwörtern beschäftigt sich George Bertin,
The Assyrian Numerais, abgedruckt in den Transactions of the Society of
Biblical Archaeology Vol. VII, pag. 370—389.

78 S. Kapitel.

sprochen haben würde. Mit diesen Bemerkungen erledigt sich die
schriftliche Wiedergabe sämmtlicher ganzer Zahlen unter 100, aber
von dieser Zahl an, deren Zeichen ein Vertikalkeil mit rechts folgen-
dem Horizontalkeile y*- ist, tritt eine wesentliche Veränderung ein.
Zwar die Richtung der Zeichen im Grossen und Ganzen, also der
Hunderter, Zehner, Einer, bleibt wie vorher von links nach rechts
abnehmend, aber neben der Juxtaposition der Zahltheile verschiedener
Ordnung erscheint plötzlich ein vervielfachendes Verfahren, indem
links vor das Zeichen von 100 die kleinere Zahl gesetzt wird, welche
andeutet, wie viele Hundert gemeint sind. Die Vermuthung wird da-
durch sehr nahe gelegt, es sei in Folge dieses multiplikativen Ge-
dankens, dass 10(J0 durch Vereinigung des Winkelhakens, des Ver-
tikal- und Horizontalkeils <f»^ als 10 mal 100 dargestellt werde.
Aber dieses 1000 wird dann selbst wieder als neue Einheit benutzt,
welche kleinere multiplizirende Coefficienten links vor sich nimmt.
Gemäss der Deutung unserer Assyriologen kam sogar „ein mal
tausend" vor, d. h. multiplikatives Vorsetzen eines einzelneu Vertikal-
keils links von dem Zeichen für 1000, und jedenfalls erscheint lOmal
1000 als die gesicherte Bedeutung von «f»-, welches man nicht
etwa 20 mal 100, d. i. 2000 lesen darf Vielfache von 10000 werden
als Tausender bezeichnet, mithin 30 000 als 30 mal 1000, 100000 als
100 mal 1000, indem 30, beziehungsweise 100 links von 1000 ge-
schrieben sind. Eine höchst bedeutsame Thatsache tritt dabei zu
Tage, diejenige nämlich, dass die Babylonier das Bewusstsein der
Einheiten verschiedener dekadischer Ordnungen in viel höherem Maasse
hatten, als ihre Bezeichnungsweise der Zehntausender vermuthen lässt.
Wer besondere Zeichen für 10 000, für 100000 zur Verfügung hat,
wird natürlich 127 000 in 100 000 -f 2 • 10 000 + 7 • 1000 zerlegen,
von den Babyloniern dagegen, denen solche besondere Zeichen fehlten,
wäre mit höherer Wahrscheinlichkeit ein Anschreiben in der Form
127-1000 zu erwarten. Nichts desto weniger bedienten sie sich jener
für sie viel umständlicheren, aber mathematisch durchsichtigeren
Schreibweise. Wenigstens ist 36 000 in der Form 30 • 1000 + 6 • 1000
wahrscheinlich gemacht und 120 000 in der Form 100 • 1000 + 20 ■ 1000
sicher gestellt. Bis zur Million scheint die Zahlenschreibung der
Keilschrift sich nicht erstreckt zu haben; zum Mindesten sind keine
Beispiele davon bekannt^).

Von Brüchen ist eine Bezeichnung der verschiedenen Sechstel

') Mänant, Expose des eUments de Ja grammaire assyrienne. Paris, 1868,
pag. 81: Les inscriptions ne nous ont pas donne, jusqu' ici du moins, de nombre
supcikur aux centaities de mille; le signe qui reprcsente un million nous est
encore inconnu.

Die Babylonier. 79

also - , —-, ~, -" , Y nachgewiesen worden, deren Entstehung nicht

ersichtlich ist^). Von den wichtigen Sexagesimalbrüchen müssen wir
nacher in anderem Zusammenhange reden.

Wir haben soeben gesagt, die Million sei bisher noch nicht
aufgefunden worden. Müssen wir bei diesem Ausspruche das Wort
„bisher" besonders betonen oder dürfen wir in der That eine solche
Beschränkung des Zahlbegriffes annehmen? Für die grosse
Menge der Bevölkerung scheint uns die letztere Annahme nicht bloss
keine Schwierigkeit zu haben, sondern allgemein verbreitete Noth-
wendigkeit zu sein. Bis auf den heutigen Tag, wo doch mit den
Wörtern Million und sogar Milliarde nicht grade haushälterisch um-
gegangen wird, ist der Begriff, wie viele Einheiten zu einer Million
gehören, keineswegs vielen Menschen geläufig. Mancherlei Verdeut-
lichungen müssen diesen Begriff erst klar stellen. So hat z. B.
am 13. Juni 1864 die Direktion des londoner Krystallpalastes den
10jährigen Bestand jenes Gebäudes feierlich begangen. Damals wurde
bekannt gemacht, dass in jenem ersten Jahrzehnt der Palast von
15 266 882 Menschen besucht worden war, und um eine Veranschau-
lichung der Massenhaftigkeit der Zahl zu gewähren, Hess man auf
weisses Baumwollzeug eine Million schwarzer Punkte drucken. Jeder

3 . 1

Punkt war _,, Zoll breit und nur -~ Zoll von dem nächsten Pimkte

Ib o

entfernt und doch bedeckten jene Punkte einen Flächenraum von
225 Fuss Länge auf 3 Fuss Breite, den Fuss zu zwölf Zoll gerechnet.
Dass in den jedenfalls weit geringfügigeren Verkehrsverhältnisseu
einer um Jahrtausende zurückliegenden Zeit die Höhe der Zahlen
noch viel früher zu einer Vergleichungslosigkeit verschwimmen musste,
welche wir eine dunkle Ahnung des mathematischen Unendlich-
grossen nennen würden, wenn wir nicht befürchteten dadurch die
Meinung zu erwecken, als solle dadurch diesem Unendlichgrossen
selbst ein solches. Uralter verschafft werden, ist nur selbstverständlich.
Vielfache Stellen biblischer Schriften, die nach dem Exile unter
der Einwirkung babylonischer Kultur entstanden zu sein scheinen
geben der Vermuthung Raum, dass nur die beiden grossen Zahlen
1000 und 10 000, sowie deren Vervielfältigung zur Schätzung aller-
grösster Vielheiten benutzt wurden. Saul hat Tausend geschlagen,
David aber Zehntausend-), heisst es in bewusster Steigerung. Tausend
mal tausend dieneten ihm, und Zehntausend mal zehntausend standen
vor ihm ^) heisst es an anderer Stelle, und noch auffallender bei dem

') Oppert, Etalon des mesures assyriennes. Paris 1875, p. 35. -) I. Samuel
18, 7. ^) Daniel 7, 10.

80 3. Kapitel.

Psalmisten: Der Wagen Gottes ist Zehntausend mal tausend^). Auch
steht nicht im Widerspruche, wenn der sterbende König David seine
Schätze aufzählend erklärt: Siehe ich habe in meiner Armuth ver-
schafft zum Hause des Herrn hunderttausend Centner Goldes und
tausend mal tausend Centner Silbers^), denn die ünmöglickeit diese
concreten Zahlen buchstäblich jzu nehmen, zwingt zur Auffassung,
nur das unfassbar Grosse seines Reichthums sei gemeint. Sollte eine
noch grössere Zahl bezeichnet werden, so mussten Vergleichungs-
wörter dienen. Ich will Deinen Samen machen wie den Staub auf
Erden; kann ein Mensch den Staub auf Erden zählen, der wird auch
Deinen Samen zählen^). Oder: Wer kann zählen den Staub Jakobs?^)
Und unter Anwendung eines anderen Bildes: Siehe gen Himmel und
zähle die Sterne , kannst Du sie zählen ? Also soll Dein Same
werden^). Ja es wird unter Anwendung desselben Gedankens die
Vollführung der unmöglichen Aufgabe nur dem Höchsten vorbehalten:
Er zählet die Sterne und nennet sie alle mit Namen ^).

Auch anderswo finden wir, wenn wir Umfrage halten, ausserge-
wöhnliche Vielheiten durch die dritte und vierte Einheit des deka-
dischen Zahlensystems angedeutet. In China wünscht das Volk, wenn
es einen Grossen des Reiches leben lässt, ihm 1000 Jahre, während
der dem Kaiser allein zukommende Heilruf sich auf 10 000 Jahre
erstreckt'). Das altslavische Wort tma bedeutete sowohl 10 000 als
dunkel, während es im Russischen nur die letztere BedeutuDg noch
beibehalten hat^).

Jedenfalls gehören Zahlzeichen, mag ihre Anwendung sich er-
strecken so weit oder so wenig weit als sie will, zu Zeichen, welche
niemals ganz entbehrt werden konnten, welche sicherlich dem Volke
bekannt gewesen sein müssen, das die betreffende Schrift, hier die
Keilschrift, überhaupt erfand. War dieses, wie man annimmt, das
Volk der Sumerier, so musste demnach ihm diejenige Bezeichnung
der Zahlen, von der wir gesprochen haben, und die, wie wir noch-
mals hervorheben, einen durchaus decimalen Charakter trägt, bekannt
gewesen sein. Um so auffallender ist es, dass in sumerischen Schrift-
denkmälern, die von eigentlichen Mathematikern und Astronomen
herzurühren scheinen, mit der decimalen Schreibweise eine andere
wechselt, beruhend auf dem Sexagesimalsysteme.

Es wurde von einem englischen Assyriologen Hincks entdeckt'').

1) Psalm G8, 18. "") I. Chronik 23, 14. ^) I. Mose 13, 16. •*) IV. Mose
23, 10. ^) I. Mose 15, 5. ^) Psalm 147, 4. ^) De Paravey, Essai sur Vorigine
unique et hieroglyphique des chiffres et des lettres de tous les peuples. Paris,
1»2(5, pag. 111. **; Mündliche Mittheilung von H. Schapira. ^) E. Hincks in
den Transactions of thc IL Iriah Acadeiny. l'olüe Litterature XXll G. pag. 406 ügg.

Die Babylonier. 81

In dem von ilim entzifferten Denkmale handelt es sich darum anzu-
geben, wie viele Mondtheile an jedem der 15 Monatstage, die vom
beginnenden Mondscheine bis zum YoUmoude verlaufen, beleuchtet
seien. Es seien, heisst es, an diesen 15 Tagen der Reihe nach sichtbar:
5 10 20 40 1.20

1.36 1.52 2. 8 2.24 2.40

2.56 3.12 3.28 3.44 4
Hincks erläuterte die räthselhaften Zahlen mit Hilfe der Annahme,
die Mondscheibe sei als aus 240 Theilen bestehend gedacht worden,
es bedeuten die weiter nach links gerückten Zeichen für 1, 2, 3, 4
je 60 der Einheiten, denen die rechts davon stehenden Zahlen ange-
hören, und die Beleuchtungszunahme folge nach Angabe der Tabelle
an den fünf ersten Tagen einer geometrischen, an den folgenden
Tagen einer arithmetischen Reihe.

Dass diese Erklärung Licht über die betreffende Tabelle ver-
breitet, ist imzweifelhaft. Unzweifelhaft ist es auch, dass sie dem^
Gesetze der Grössenfolge Rechnung trägt, denn eine 60 bedeutende
1 kann links von 20, von 36, von 52 auftreten, während eine Eins
gleichen Ranges mit jenen Zahlen zu ihrer Linken nicht geschrieben
werden durfte. Gleichwohl bedurfte es zur vollen Bestätigung der
Auffindung neuer Denkmäler, und solche sind die Tafeln von
Senkereh. Ein Geologe W. K. Loftus fand 1854 bei Senkereh
am Euphrat, dem alten Larsam, zwei kleine auf beiden Seiten mit
Keilschriftzeichen bedeckte leider nicht ganz vollständige Täfelchen ^).
Solche Täfelchen sind, allerdings nicht entfernt vergleichbaren In-
haltes, vielfach gesammelt worden. Die eine concave Seite ist immer
als Vorderseite, die andere convexe als Rückseite zu betrachten.
Läuft der Text auf beiden Seiten fort, so muss zum Weiterlesen ein
Umwenden über Kopf stattfinden. Die Täfelcheu, aus Thon gebildet,
wie fast überflüssiger Weise bemerkt sein soll, sind in der Mitte am
stärksten und verdünnen sich alsdann gleichmässig gegen die Ecken.
Diese Eigenschaft, vereinigt mit dem Umstände, dass der Rand bei
der Zerbrechbarkeit des Stoffes nicht unter einen gewissen Grad von
Dünne abnehmen durfte, gestattet bei Bruchstücken von einiger Be-
trächtHchkeit, wie z. B. die erste der beiden Täfelchen von Senkereh
uns darstellt, Schlüsse auf die Grösse des abgebrochenen und ver-

') Eine photographische Abbiluung des einen Täfelchens ist der Abhand-
lung von R. Lepsius, die babylonisch-assyrischen Längenmaasse nach der Tafel
von Senkereh (Abhandlungen der Berliner Akademie für 1877) beigegeben. In
eben dieser Abhandlung finden sich genaue Citate der verschiedenen Gelehrten,
welche bei der Entzifferung betheiligt waren. Ebendort S. 111 — 112 Bemer-
kungen von Fr. Delitzsch über Gestalt und Anordnung solcher Täfelcheu.

Cantoe. Geschichte dor Mathematik I. 2. Aufl. (j

82 ö. Kapitel.

muthlich nicht wieder aufzufindenden Theiles zu ziehen, welche zur

Ergänzung des Inhaltes von erheblichem Nutzen sein können. Das

eine Täfelchen, und zwar das zweite nach der Bezeichnung, welche

den Täfelcheu bei der Veröffentlichung beigelegt wurde, enthielt auf

Vorder- und Rückseite zusammen 60 Zeilen, die ein fortlaufendes

Ganzes bilden. Jede einzelne Zeile enthält links und rechts Zahlen,

zwischen denselben sumerische Wörter, unter welchen eines ildi zu

lesen ist. Rawlinsou erkannte zuerst, dass hier die Tabelle der-

ersten 60 Quadratzahlen vorliegt, und dass ibdi Quadrat bedeutet.

Die Anordnung ist eine solche, dass es zu Anfang heisst:

1 ist das Quadrat von 1

4 ist das Quadrat von 2

9 ist das Quadrat von 3

16 ist das Quadrat von 4

25 ist das Quadrat von 5

36 ist das Quadrat von 6

49 ist das Quadrat von 7.

Diese sieben Zeilen waren vermöge der schon früher erworbenen

Kenntniss der Zahlzeichen der Keilschrift verhältnissmässig leicht zu

lesen und aus ihnen der Inhalt der Tabelle zu entnehmen. Nun war

selbstverständlich als folgende Zeile zu erwarten:

64 ist das Quadrat von 8.
Aber so fand es sich nicht, sondern statt dessen

1 • 4 ist das Quadrat von 8
und dann setzten sich die weiteren Zeilen fort
1-21 ist das Quadrat von 9
1 • 40 ist das Quadrat von 10

58 • 1 is{ das Quadrat von 59
1 ist das Quadrat von 1.

Diese ganze Fortsetzung konnte nur verstanden werden, wenn man
den vereinzelt links auftretenden Zahlen eine sexagesimale Werth-
steigerung beilegte, mithin 1-4 als 60 + 4, 1-21 als 60 -f- 21,
58 -1 als 58 X 60 -f- 1 las und die letzte Zeile als 1 x 60^ ist das
Quadrat von 1 X 60^ So war die Vermuthung von Hincks be-
stätigt. Zur vollen Gewissheit wurde sie bei Entzifferung des ersten
Täfelchens von Senkereh erhoben. Dessen Vorderseite ist für die
Geschichte der Metrologie von unschätzbarer Wichtigkeit, indem sie
eine freilich lückenhafte Vergleichung zweier Maasssysteme enthält,
deren eines jedenfalls vollständig nach dem Sexagesimalsysteme ein-
getheilt ist. Die Rückseite gibt uns in ihrem erhaltenen Theile die
Kubikzahlen der auf einander folgenden Zahlen von 1 bis 32, und

Die Babylonier. 83

es ist mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit anzunehmen,
dass auf dem seitlich fehlenden Stücke der Tafel auch die Kuben der
Zahlen 33 bis 60 gestanden haben werden. Die Anordnung ist durch-
aus der der Quadratzahlentabelle nachgebildet. Auch hier treten regel-
mässig wiederkehrende Wörter in jede Zeile auf, deren eines hadie
gelesen und Kubus übersetzt worden ist. Auch hier stehen am linken
Anfang jeder Zeile höhere Werthe als nach rechts zu, und zwar in
den drei ersten Zeilen 1, 8, 27 links neben 1, 2, 3 rechts, von vorn
herein die Vermuthung erweckend, dass man es mit einer Kubik-
zahlentabelle zu thun habe. Auch hier ist die Schreibweise eine
sexagesimale, indem gleich die vierte Zeile 64 oder den Kubus von
4 durch 1-4 darstellt. Von der 16. Zeile ah geht diese Tabelle noch
über die Sechziger hinaus. Ist doch-162 = 4096 = 1 X 60^ -}- 8 X 60 -f 1 6,
und SD steht zu erwarten, dass in dieser Zeile 1 • 8 • 16 als Kubus
von 16 angegeben sein werde, eine Erwartung, die sich vollständig
erfüllt. Die weiteren Zeilen liefern die Kubikzahlen der folgenden
Zahlen bis dahin, wo es heisst: 7 • 30 ist der Kubus von 30, womit
gemeint ist: 7 x: 60^ -|- 30 X 60 = 30^ Dann stehen noch in zwei
aufeinander folgenden Zeilen rechts erhalten 31 und 32, während
deren links zu suchende Kuben und alles Weitere fehlt. Die Schreiber
der beiden Tafeln von Senkereh waren demnach in Besitz der an sich
bedeutsamen Kenntniss von Quadrat- und Kubikzahlen, waren zu-
gleich in Besitz eines folgerichtig ausgebildeten Sexagesimalsystemes
mit wahrem Stellungswerthe der einzelnen Rangordnungen, da
die Punkte, welche wir zur grösseren Deutlichkeit zwischen Einern
und Sechzigern anbrachten, in der Urschrift nicht vorhanden sind.
Welcher Stufe des Sexagesimalsystems die geschriebenen Zahlen an-
gehörten, wurde in den uns bekannt gewordenen Beispielen dem
Sinne entnommen. Dem Sinne nach verstand man ofi'enbar, dass

1 ist das Quadrat von 1
gelesen werden wollte: 1 X 60^ ist das Quadrat von 1 X 60; dem
Sinne nach, dass

7 • 30 ist der Kubus von 30
heissen sollte: 7 X 60'-^ + 30 x 60 ist der Kubus von 30 Einheiten.
Genügte der Sinn auch zum Verständniss, wenn Einheiten irgend
einer Stufe zwischen den anzuschreibenden fehlten? Wurde z. B.
7248 = 2 X 60^ + "18 nur 2 • 48 geschrieben und überliess man es
dem Leser aus dem Sinne zu entnehmen, dass in der That 7248 und
nicht 168 = 2 x 60 -f 48 gemeint war? Die Tafeln beantworten
uns diese Frage nicht, würden sie auch nicht beantworten, wenn die
ganze erste Tafel unzerbrochen auf uns gekonimen wäre, da unter
sämmtlichen Kubikzahlen bis zu 59^ = 57 X 60^ -f 2 X 60 + 59

84 3. Kapitel.

keine einzige vorkommt, welche sich nur aus Einheiten der ersten
und der dritten Stufe zusammensetzte. Und doch leuchtet die hohe
geschichtliche Wichtigkeit dieser Frage, ob man das Fehlen von Ein-
heiten einer mittleren Stufe besonders andeutete, sofort ein, wenn
man ihr die nur der Form nach verschiedene Fassung gibt, ob die
Babylonier eine Null besassen? Eine Null, das ist ja ein
Symbol fehlender Einheiten! Ohne ein solches besassen die Baby-
lonier eine immerhin interessante, aber vereinzelte systemlose Be-
nutzung des Stellenwerthes. Mit einem solchen war von ihnen schon
eine ausgebildete Stellungsarithmetik erfunden. Von dem Einen zu
dem Andern führt ein dem Anscheine nach kleiner, in Wahrheit
unermesslicher Schritt. Schon der Wunsch auf diese eine Frage eine
Antwort zu erhalten lässt die Veranstaltung weiterer Ausgrabungen
in Senkereh zu einem wissenschaftlichen Bedürfnisse heranwachsen.
Dort war allem Anscheine nach eine grössere Bibliothek. Dort ver-
muthen Assyriologen wie A. H. Sayce eine erhebliche Menge von
Thontafeln mathematischen Inhaltes^). Dort würde die Geschichte
der Mathematik möglicherweise ähnliche werthvolle Ausbeute ge--
winnen, wie das Buch des Ahmes für ägyptisches Wissen uns solche
bot. Fast mit Sicherheit lässt sich mindestens das Eine erwarten,
dass Ausgrabungen zu Senkereh Datirungen liefern würden, welche
es möglich machten, den Zeitpunkt, dem die Anfertigung jener
Täfelchen entspricht, annähernd zu bestimmen. Gegenwärtig ist nur
aus den Wörtern für Quadrat und für Kubus der Schluss zu ziehen,
dass diese Werthe, dass auch das Sexagesimaisystem den Sumeriern
bekannt gewesen sein muss^). Es ist dann weiter vielleicht die
Folgerung erlaubt, dass jene Täfelchen vor der Regierung des Königs
Sargon I. entstanden, weil damals das Sumerische bereits ausser
üebung gerathen war. Sargon selbst ist „Saryukin, der mächtige
König, der König von Agana" nach inschriftlich erhaltenem Titel'^).
Auf ihn folgte sein Sohn Naramsin, auf diesen die Königin Ellatbau
und diese wurde durch Chammuragas, König der Kassi im Lande
Elam entthront, von welchem die Kissäerdynastie gestiftet wurde.
Hier gewinnt die Forschung soweit festeren Boden, als es unter den
Assyriologen sicher scheint, dass die Kissäerdynastie bis aufwärts von
dem Jahre 1600 v. Chr. zurückgeht. Sayce folgert auf diese Wahr-
scheinlichkeitsrechnung gestützt, dass die Täfelchen von Senkereh
etwa zwischen 2300 und IGOO v. Chr. entstanden sein dürften').

') Briefliche Mittheilung des genannten Gelehrten. ^) Delitzsch, Soss,
Ner und Sar. Zeitschr. Aegypt. 1878. ■^) Maspero-Pietschmann S. 194.
") Briefliche Mittheilung.

Die Babylonier. 85

Habeu uuii die besprochenen mathematiscben Denkmäler ein,
wir können wohl sagen, uraltes Sexagesimalsystem in der Schrift der
Babylonier naachgewiesen , welches zur verhältnissmässig kurzen Be-
zeichnung recht grosser Zahlen führte, so kann, wie Oppert gezeigt
hat, als sicher angenommen werden, dass das gleiche System auch
nach abwärts führte, dass es Sexagesimalbrüche erzeugte, deren
Nenner durch die nach rechts vorrückende Stellung der allein ge-
schriebenen Zähler erkennbar sind. Dahin gehören die Unterabthei-
lungen des sexagesimalen Maasssystems auf der Vorderseite des
ersten Täfelchen von Senkereh, von welchem oben im Vorbeigehen
die Rede war.

Weitere Bestätigung durch die Ueberlieferung ist zwar nicht
erforderlich, wo bestimmte Inschriften so deutlich reden. Gleichwohl
lohnt es bei ihr Umfrage zu halten, was sie bezüglich babylonischen
Rechnens überhaupt, was sie über das babylonische Sexagesimalsystem
insbesondere uns zu sagen weiss.

Strabo lässt in Phönikien die Rechenkunst entstehen^)*, Josephus
hat, wie wir S. 48 sahen, deren Erfindung den Chaldäern zugewiesen,
von welchen sie durch Abraham den Weg nach Aegypten gefunden
habe, und Cedrenus, ein byzantinischer Geschichtsschreiber der Mitte
des XI. S. nennt sogar Phönix, den Sohn des Agenor, der selbst Sohn
des Neptun war, als . Verfasser des ersten Buches über Philosophie
der Zahlen (tisqI trjv aQLd^^rjtixriv (piXo6o(piav^ in phönikischer
Sprache^). Theon von Smyrna im II. S. n. Chr. lebend sagt: bei
Untersuchung der Planeteubewegung hätten sich die Aegypter con-
structiver Methoden bedient, hätten gezeichnet, während die Chaldäer
zu rechnen vorzogen, und von diesen beiden Völkern hätten die
griechischen Astronomen die Anfänge ihrer Kenntnisse geschöpft^).
Porphyrius, selbst in Syrien geboren und am Ende des III. S. schrei-
bend, erzählt: von Alters her hätten die Aegypter mit Geometrie sich
beschäftigt, die Phönikier mit Zahlen und Rechnungen, die Chaldäer
mit den Lehrsätzen, die sich auf den Himmel beziehen"*).

Diese Ueberlieferung*en bezeugen, dass man von einem hohen
Alter der Rechenkunst in Vorderasien die Erinnerung bewahrt hatte.
Ein Widerspruch gegen die andere Sage, die neben der Geometrie
auch die Rechenkunst in Aegypten entstehen Hess, kann uns in der
Bedeutung, die wir solchen Ueberlieferungen beilegen, nicht irre
machen. War doch in der That auch dort eine Rechenkunst vielleicht

^) Strabon XVI, 24 und XVII, .5 (ed. Meineke pag. 1056 und 1099).
^) Cedrenus, Compenclium Historiarum (ed. Xyl ander). Paris, 1647, pag. 19.
") Theo Smyruaeus (ed. Ed. H*iller). Leipzig, 1878, pag. 177. *) Porphy-
rius, De vita Pythagorica s. 6 (ed. Kiessling, pag. 12).

g5 '^- Kapitel.

gleich hohen Alters zu Hause, uud steht doch der Sage, Abraham
habe Rechenkunst und Astronomie aus Chaldäa nach Aegypten ge-
bracht, die andere gegenüber, Belos, der Ahne eines lydischen Königs-
geschlechtes, sei Führer ägyptischer Einwanderer gewesen^). Beide
Bildungen, 'die des Nillandes, die des Euphratlandes , waren uralt;
beide standen in uralter Berührung; beide beeinflussten das spätere
Griechenthum sei es unmittelbar, sei es mittelbar, und das Erfinder-
recht, welches griechische Schriftsteller, je weiter wir aufwärts gehen,
um so ausschliesslicher den Aegyptern zuweisen, hängt wohl damit
zusammen, dass Griechen in grösserer Zahl weit früher nach den
Hauptstädten von Aegypten, als nach denen von Vorderasien ge-
langten. Diese letztere Gegend kann kaum vor dem Alexanderzuge
als genügend bekannt betrachtet werden.

Spuren des babylonischen Sexagesimalsystems in den Ueberliefe-
rungen aufzufinden, wird uns gleichfalls gelingen, wenn wir nur
richtig suchen. Wir werden nämlich hier nicht auf Aeusserungen
ganz bestimmter Natur fahnden dürfen, die Babylonier oder die
Phönikier oder dieses oder jenes dritte Nachbarvolk seien Erfinder
eines Zahlensystems gewesen, welches nach der Grundzahl 60 fort-
schritt; wir werden uns begnügen müssen, der Zahl 60 und ihren
Vielfachen als Zahlen unbestimmter Vielheit zu begegnen. Von
Sammelwörtern zur Bezeichnung unbestimmter Vielheiten war in der
Einleitung (S. 5), von gewissen Zahlen als Vertretern einer unüber-
sehbar grossen Vielheit in diesem Kapitel (S. 79 — 80) schon die
Rede. Allein neben den Ausdrücken unbestimmter Zusammenfassung,
neben den Zahlen aussergewöhnlicher Vielheit bilden kleinere ganz
bestimmte Zahlen in dem Sinne einer nicht genau abgezählten oder
abzuzählenden Menge ein ganz regelmässiges Vorkommen'^).

Die Zahlen 5, 10, 20 als in den menschlichen Gliedmaassen be-
gründet vertreten oftmals solche unbestimmte Vielheiten. Eben
dahin gehört es, wenn der Chinese „die vier Meere" statt alle Meere
sagt, wenn wir von „unseren sieben Sachen" statt von allen unseren
Sachen reden, indem dort die vier Weltgegenden den Vergleichungs-
-punkt zeigten, hier die weit und breit besonders geachtete Zahl 7
muthmasslich den 7 Tagen der Schöpfungswoche, die selbst mit
den 7 Wandelsternen der alten Babylonier zusammenhängen dürften,

') Diodor T, 28, 29. ^) Ueber solche unbestimmte Vielheiten vorgl. Math.
Beitr. Kulturl. 14(5 148 und 361—362, wo auf verschiedene Quellen hingewie-
sen ist. Zu diesen kommt noch: Pott I, 119; dann Himly, Einige räthselhafte
Zahlwörter (Zeitschr. d. morgenl. Gesellsch. XVIII, 292 und 381); Kaempf, Die
runden Zahlen im Hohenliede (ebenda XXIX, *29— 632) und der Artikel: Zahlen
von Kueuckcr in Sehen kel's Bibellcxicon.

Die Babylonier. 87

ihre Heiligkeit und ihre häufige Auwendung verdankt. An diesen
wenigen Beispielen erkennen wir bereits, dass nicht jede beliebige
Zahl als unbestimmte Vielheit gewählt wird, sondern, dass Gründe,
die freilich nicht immer am Tage liegen, den Anlass gaben, bald
dieser bald jener Zahl die genannte Rolle zuzuweisen. So bildet
40 die unbestimmte Vielheit der Türken bis auf den heutigen Tasr.
So waren es 40 Amazonen, von denen die skythische Sage berichtet.
So brachten die Hebräer 40 Jahre in der Wüste, Mose 40 Tage und
40 Nächte auf dem Berge Sinai zu. So dauerte der Regen, der die
Sintfluth einleitete, 40 Tage und 40 Nächte, und so sind noch viele
andere biblische Stellen des alten wie des neuen Bundes, letztere
wohl meistens bewusste Nachahmungen der ersteren, durch die An-
nahme zu erklären, die in ihnen vorkommende Zahl 40 sei eine un-
bestimmte Vielheit. Wie aber 40 zu_ dieser Rolle kam, und zwar in
ältester Zeit kam, denn es sind grade die ältesten Bibelstellen,
welche ^in unbestimmtes 40 benutzen, das ist heute nicht bekannt.
Aehnlicherweise kommt nun 60 mit seinen Vielfachen und einigen
in ihm enthaltenen kleineren Zahlen als unbestimmte Vielheit vor,
aber immer und ausschliesslich in solchen Verhältnissen, wo eine
Beeinflussung von Bajjylon aus nachweisbar oder wenigstens möglich
ist. Wir haben vor wenigen Zeilen von ältesten Bibelstellen ge-
sprochen. Theologische Kritik hat nämlich aus Eigenthümlichkeiten
der Sprache, der Glaubenssätze, der Vorschriften u. s. w. ein ver-
schiedenes Alter der in den 5 Büchern Mose vereinigten Erzählungen
nachzuweisen 'gewusst. Sie hat beispielsweise festgestellt, dass der
Sintfluthsbericht der Bibel ein doppelter ist. Der älteren Erzählung
gehört der vorerwähnte 40tägige Regen an. In dem jüngeren Be-
richte, der' erst nach 535, d. h. nach der Rückkehr aus der babylo-
nischen Gefangenschaft niedergeschrieben sein soll, sind die Maasse
der Arche angegeben, 300 Ellen sei die Länge, 50 Ellen die Weite
und 30 Ellen die Höhe^). Die Länge und Weite der Arche in Be-
richten der Keilschrift scheinen auf GOO und auf 60 zu lauten^). Das
goldene Götterbild, welches König Nebukadnezar errichten liess, war
60 Ellen hoch und 6 Ellen breit ^). Um das Bett Salomos her stehen
60 Starke aus den Starken in Israel, imd 60 ist die Zahl der
Königinnen*). Anderweitige Parallelstellen gewährt die ausserbiblische

') Mose 6,5. ^) Le poeme Chaldcen du deluge traduit de Tassyrien par
Jules Oppert (Paris 1885) pag. 8: Le navire que tu bätiras, mesurera un ner
d'empans en longueur, un soss d'enipans sera le compte de sa hauteur et de ea
largeur. E:i ist nicht ohne Interesse, dass diese Angaben mit denen der Bibel
zusammentreffen, sobald man annimmt, die babylonische Einheit sei die Hälfte
der biblischen Elle gewesen. ^) Daniel 3, 1. *) Hohes Lied 3, 7 und G, 8.

88 3. Kapitel.

hebräische imcl chaldäisehe Literatur, von welchen wir nur der Reim-
zeile: „In des Einen Hause 60 Hochzeitbälle, in des Andern Kreise
60 Sterbefälle" ^) gedenken. Auch die griechische Literatur lässt uns
keineswegs im Stiche. Den ionischen Truppen wird von dem Perser-
könige der Befehl ertheilt an der Brücke über den Ister 60 Tage
zu warten; Xerxes lässt dem Hellesponte 300 Ruthenstreiche geben;
Kyrus lässt den Fluss Gyndes, in welchem eines seiner heiligen Rosse
ertrunken war, zur Strafe in 360 Rinsel abgraben. So nach Herodot^).
Entsprechend berichtet Strabo: Man sagt, es gebe ein persisches
Lied, in welchem die 360 Nutzanwendungen der Palme besimgen
würden^). Stobäus lässt durch Oinopides und Pythagoras ein grosses
Jahr von 60 Jahren einrichten'*), iind wir werden später sehen, dass
diese Philosophen als Schüler morgenländischer Weisheit betrachtet
wurden. Vielleicht ist damit die freilich von unserem Bericht-
erstatter, Pausanias, anders begründete Sitte in Zusammenhang zu
bringen, dass das Fest der grossen Dädala mit den Platäei-n auch
von den übrigen Böotern alle 60 Jahre gefeiert wurde : denn so
lange war nach der Sage das Fest zur Zeit der Vertreibung der
Platäer eingestellt').

Endlich gehört sicherlich eine Stelle des Hesychios hierher, Saros
sei eine Zahl bei den Babyloniern ^) . Mit dieser Stelle haben wir
den Rückweg zu den Schriftdenkmälern dej- Babylonier gewonnen,
aus welchen unser Grewährsmanu unmittelbar oder mittelbar geschöpft
haben muss. Die Sprache der Babylonier enthielt nämlich nicht
blos das Wort Sar mit einer Zahlenbedeutung, welche allseitig als
3600 verstanden wird, sondern auch noch Ner mit der Bedeutung
600 und S o s s mit der Bedeutung 60.

Wir sagen ausdrücklich Soss, Ner, Sar haben diese Zahlenbedeu-
tung, weil wir vermeiden wollen sie Zahlwörter zu nennen. Sie ge-
hören eben zu den Wortformen, deren es in anderen Sprachen auch
gibt, welche mit Zahlen werth versehene Nennwörter sind, wie unser
Dutzend = eine Anzahl von 12, Mandel == eine Anzahl von 15,
Schock == eine Anzahl von 60, aber beim eigentlichen Zählen, ins-

') Dieses Beispiel und mehrere andere namentlich bei Kaempf iu dem
obenerwähnten Aufsatze Zeitschr. d. morgenl. Gesellsch. XXIX. ^) Herodot
IV, 98; VII, 35; I, 189 und 202. «) Strabo XVII, 1, 14. ') Stobaeus, Eclog.
Phys. I, 9, 2. 5) Pausanias, IX, .3 «) Auf diese Stelle hat J. Brandis in
seinem vortrefflichen Werke: Das Münz-, Maass- und Gewichtswesen in Vorder-
asien bis auf Alexander d. Grossen, Berlin, 1866 aufmerksam gemacht. Für den
Mathematiker von besonderem Interesse sind S. 9, 15, 595. Parallelstellen zu
Hesychios bei Suidas und Synkellos vergl. in dem Aufsatze von Fr. Delitzsch,
Sose, Ner, Sar. Zeitschr. Aegypt. 1878, S. 56 — 70.

Die Babylonier. 89

besondere beim Buden grösserer Zahlen ^ nicht anderen Zahlwörtern
gleich benutzt werden. Ganz in derselben Weise wie das wohl nur
zufällig lautverwandte Schock bezeichnet Soss eine Anzahl von 60
irgend welcher als Einheit gewählter Gegenstände. Das Ner ist so
viel wie 10 Soss, der Sar so viel wie 60 Soss, aber immer unter Vor-
aussetzung concreter Einheiten. So stellt uns der Soss, der Sar
die nächsthöheren Stufen des aufsteigenden Sexagesimalsystems vor,
welche au/ die Einheiten folgen, und die Frage bleibt eine offene,
ob es noch Namen über diese hinausgab, ob es etwa ein Wort gab für
60 Sar, d. h. für eine Anzahl von 216 000. Was über die den Baby-
loniern in ihrer Allgemeinheit wohl anhaftende Beschränkung des
Zahlenbegriffes • S. 79 gesagt wurde, genügt keineswegs diese Frage
bei Seite zu schieben, denn wir stellen sie nicht mit Bezug auf
bürgerliche , sondern auf wissenschaftliche Rechenkunst. Der Soss
freilich, und wohl auch der Ner, sind zum gemeinsamen Volkseigen-
thume geworden. Ersterer in mathematischen Schriften, wie z. B.
in den Tafeln von Senkereh, durch einen Einheitskeil bezeichnet,
welchem die Stellung den Rang ertheilte, scheint auch sonstigen In-
schriften in der Weise sich eingefügt zu haben, dass der Vertikalkeil
links von Winkelhaken stehend, zu welchen er dem Gesetze der
Grössenfolge halber nicht einfach addirt werden konnte, und welche
er als Einheit vervielfachen zu sollen keine Veranlassung besass, die
Bedeutung von Soss d. i. also von 60 gewann, wie in mathematischen
Schriften und so sich addirte^). Freilich ist auch diese Behauptung,
wie so manche andere, die sich auf Entzifferung von Keilschrift be-
zieht, noch bestritten, und der einzelne links von Winkelhaken be-
findliche Vertikalkeil wurde von Oppert und Lenormant als 50 gelesen,
eine Auffassung, an welcher aber Oppert jedenfalls nicht mehr hart-
näckig festhält.

Wir haben nun eine doppelte dem Mathematiker wichtige Frage
aufzuwerfen. Wie kam man dazu ein Sexagesimalsystem zu ersinnen,
zu welchem in dem menschlichen Körper keinerlei anregende Veran-
lassung gegeben war? Wie kam man ferner dazu, dem Sexagesimal-
systeme ein Wort wie das Ner für 600 einzuverleiben, und so diese
Mischzahl aus sexagesimalen und decimalen Vorstellungen besonders
zu bevorzugen? Wir werden auf beide Fragen Antwort zu geben
suchen, erklären aber zum Voraus, dass wir hier nur auf dem Gebiete
der Vermuthung uns umhertummeln, und wenn wir auch hoffen
innere Gründe unserer Meinungen beibringen zu können, doch immer-

') Lepsius, Babylonisch-assyrische Längenmaasse (Abhandl. Berlin. Aka-
demie 1877) S. 142—143.

90 3. Kapitel.

hiu nur Meinungen aussprechen, für welelie die äussern Belege bis
jetzt fast gänzlich, fehlen.

Das Sexagesimalsj^stem der Babylonier hängt, glauben wir', mit
astronomisch-geometrischen Dingen zusammen. So ungern wir von
unserer Absicht der Geschichte der Astronomie in diesem Werke fern
zu bleiben abweichen, hier müssen wir eine kleine Ausnahme in so
weit eintreten lassen, als wir von dem Alterthum babylonischer
Sternkunde wenigstens Einiges berichten^). Mag man die; Hundert-
tausende von Jahren, durch welche hindurch Plinius anderen Bericht-
erstattern folgend babylonische Beobachtungen angestellt sein lässt,
belächeln; mag man zunächst auch den 31 00(i Jahren vor Alexander
dem .Grossen mit ungläubigster Abwehr gegenüberstehen, aus welchen
nach Porphyrius eine Beobachtungsreihe durch Kallisthenes an Ari-
stoteles gelangte; folgende Dinge stehen fest: Klaudius Ptolemäus,
der Verfasser des Almagest, wusste von einer babylonischen Liste von
Mondfinsternissen seit 747. Die Sonnenfinsterniss vom 15. Juni 763
ist in den assyrischen Reichsarchiven angegeben. Für König Sargon, •
der, wie wir sahen, etwa 1700 v. Chr. gelebt haben mag, ist ein
astrologisches Werk verfasst, welches der englische Assyriologe Sayce
entziffert und übersetzt hat. Für eine sehr bedeutende Anzahl von
Jahrestagen ist in diesem Werke, welches wir am deutlichsten als
Vorbedeutuugskalender bezeichnen, erörtert, welche Folge eine grade
an diesem Tage eintretende Verfinsterung haben werde. Man überlege
nun, welches statistische Material an Verfinsterungen und ihnen
folgenden Ereignissen nöthig war, um ein solches Wahrscheinlichkeits-
gesetz, welches man selbstverständlich für unfehlbare Wahrheit hielt,
herzustellen; selbst wenn manche Ereignisse nicht der Erfahrung
sondern der Einbildungskraft des Verfassers des Kalenders entstamm-
ten, so Avird man so viel zuzugeben geneigt sein, dass wahrscheinlich
mehrere tausend Jahre vor Alexander eine babylonische Astronomie
bestand, dass es unter allen Umständen zur Zeit von König Sargon
eine beobachtende Sternkunde der Babylonier gab, die damals das
Kalenderjahr längst besassen. Babylonisch und zwar aus ähnlich alter
Zeit dürfte auch die 7tägige Woche sein, welche, wie wir schon ge-
legentlich bemerkt haben, in der biblischen Schöpfungswoche sich
wiederspiegelt, während sie der Anzahl der bekannten Wandelsterne
ihren eigentlichen Ursprung verdankt. Auf die babylonische Heimath

') Eine sehr übersichtliche Zusammenstellung aller"Quellen bei A. H. Sayce,
The astronomy and mtroloijij of the Babylonians with translations of the tablets
rcIaUng to thesc siihjects in den Transaclions of the society of biblical Archaelogy.
Vol. TII, Part. 1. London, 1874. Vergl. auch das Programm von A. Häbler,
Astrologie im Alterthum, 187'J.

Die Babylonier. 91

weisen die 7 Stufen verschiedenen Materials hin, welche den Tempel
des Nebukadnezar bildeten, dessen Trümmer in Birs Nimrud begraben
wurden, und der, wie man gluubt, der Sprachenthurm der Bibel war.
Ebendahin weisen uns die 7 Wälle von Ekbatana^), und die Macht
der Planetengötter über das menschliche Geschlecht und dessen
Schicksale bildete einen Theil der babylonischen Vorbedeutungswissen-
schaft'^). Babylonisch ist dann weiter die Eintheilung des Tages in
Stunden. Hier freilich ist eine ganz bestimmte Kenntniss des. Sach-
verhaltes nicht vorhanden, denn wenn Herodot uns ausdrücklich sagt,
die Babylonier hätten den Tag in zwölf Theile getheilt^), so sprechen
andere Gründe für eine Theilung des Tages in 60 Stunden, und man
hat versucht sich damit zu helfen, dass man die 12 bürgerlichen
Stunden, welche den Tag ohne • die Nacht ausfüllten, von einer wissen-
schaftlichen Eintheilung zu astronomischen Zwecken unterschied*).
Die Vermuthung, man habe in Babylon den Tag in 60 Stunden ge-
theilt, beruht vornehmlich auf zwei Gründen. Erstlich wendet Ptolemäus
bei der auf Hipparch und auf die Chaldäer Bezug nehmenden Be-
rechnung der Mondumläufe die Sechzigtheilung des Tages an^), und
zweitens theilten die Vedakalender der alten Inder gleichfalls den
Tag in 30 miihürto, deren jeder aus 2 nddikä bestand, so dass 60 Theile
gebildet wurden"). Indische Astronomie weist aber vielfach mit
zwingender Nothweudigkeit auf babylonische Beeinflussuug zurück.
Die Dauer des längsten Tages z. B. wurde in dem Vedakalender auf

18
18 muJiürta, d. h. also auf . Tageslängen oder 14^24"^ angegeben.

Ptolemäus in seiner Geographie bezeichnet sie zu 14^25™ für Babylon.
In chinesischen Quellen erscheint dieselbe Dauer in Gestalt von
60 ^^6", deren jeder 14"^ 24^ beträgt^). Die Dauer des längsten Tages
ist aber selbstverständlich als von der Polhöhe abhängig nicht aller
Orten gleich; ferner waren in so weit zurückliegenden Zeiten die
Beobachtungen wie die daran sich knüpfenden Rechnungen nicht so
feiner Natur, dass fast identische Ergebnisse an verschiedenen Orten
zu erwarten wären. Die Wahrscheinlichkeit ist daher nicht zu unter-
schätzen, dass die Zahlenangabe für den längsten Tag sich von einem
der drei Punkte nach den beiden anderen verbreitet haben werde und
zwar so, dass Babylon als Verbreitungsmittelpunkt zu gelten hätte ^).

1) Herodot I, 98. *) Diodor II, 30. ') Herodot 11, 109. *) Lepsius,
Chronologie der Aegypter S. 129, Note 1. ^) Ptolemaeus, Almagestum IV, 2.
*') Lassen, Indische Alterthumskunde pag. 823. A. Weber, Ueber den Veda-
Kalender genannt Jyotischam (Abhandl. Berlin. Akad. 1862), S. 105. ') Biot,
Preeis de l'astronomie Chinoise. Paris, 1861, pag. 29. ^) A. "Weber in den
Monatsber. Berlin. Akad. 1862, S. 222 und in der vorcitirten Abhandlung

P2 3. Kapitel.

In ludieu haben übrigens Zeitmesser, welche auf der Eintheilung
des Tages in 60 Theile beruhen, bis auf die heutige Zeit sich
erhalten, und der deutsche Reisende Herrn. Schlagintweit war in
der Lage der Münchner Akademie eine solche Uhr vorzuzeigen. Sie
besteht aus einem Abschnitte einer Hohlkugel aus dünnem Kupfer-
blech, welcher unten fein wie mit einem Nadelstich durchlöchert ist.
Setzt man diese Vorrichtung auf Wasser, so füllt sich die Kugel-
schale allmälig an und sinkt nach bestimmter Zeit, etwa nach andert-
halb muhürta, unter hörbarem Zusammenklappen des Wassers über
ihr, unter ^).

Diese ganze Erörterung hat nun allerdings den eigentlichen
Fragepunkt unserer Untersuchung kaum gestreift. Wenn man vielleicht
auch der Ueberzeugung jetzt Raum geben mag, dass der Tag der
Babylouier von den Astronomen in 60 Theile zerlegt zu werden
pflegte, wenn für die Geschichte indischer Wissenschaft Folgerungen
daraus zu ziehen uns künftig gestattet werden sollte, für Babylon ist
doch höchstens ein Beispiel von Sechzigtheilung mehr gewonnen, und
immer kehrt die Frage wieder: warum wählte man 60 Theile? Wir
glauben indessen doch auf der richtigen Spur gewesen zu sein, als
wir das astronomische Gebiet betraten, denn dort däucht uus liegt
der Ursprung dieser Wahl. Wir stellen uns den Vorgang etwa
folgendermassen vor und werden im 31. Kapitel unterstützende That-
sachen anführen können. Zuerst wurde von den Astronomen Baby-
lons das Jahr von 360 Tagen erkaimt, und die Kreistheilung in 360
Grade sollte den Weg versinnlichen, welchen die Sonne bei ihrem
vermeintlichen Umlaufe um die Erde jeden Tag zurücklegte'). Wollte
man nun von dieser Kreistheilung, von diesen Graden, wieder grössere
Mengen zusammenfassen, so .lag es nahe, den Halbmesser auf dem
Kreisumfaug herumzutragen. Man erkannte, wie wir fürs Erste uns
zu glauben bitten, die Begründung uns bis zum Schlüsse des Kapitels
versparend, wo wir uns mit babylonischer Geometrie beschäftigen
müssen, dass ein sechsmaliges Herumtragen des Halbmessers als
Sehne den Kreis vollständig bespannte und zum Ausgangspunkte

S. 14—15 und 29 — 30. Vergl auch desselben Verfassers: Vedisclie Nachrichten
von den Naxatra II. Theil (Abhandl, Berlin. Akad. 1862), S. 362. Entgegen-
gesetzter Meinung sind Whitney und G. Thibaut. Vergl. des Letzteren:
Conirihutions to the explanation of the Jyotisha-Vedänga, pag. 13.

') Sitzungsbericht der math. phys. Klasse d. bair. Akad. d. Wissensch ai't
in München für 1871 , S. 128 flgg. '^j Diese Hypothese über den Ursprung der
Kreiscintheilung in 360 Grade ist zuerst von Formal eoni, Saggio sulla nautica
antica dei Veneziani (Venedig, 1788) ausgesprochen worden, wie S. Günther,
Handbuch der mathematischen Geographie (Stuttgart, iS'iO) S. 173, Note 1
berichtet.

Die Babylonier. 93

zurückführend dem regelmässigen Sechsecke den Ursprung gab. Dann
aber enthielt jeder dieser grösseren von einem Halbmesser bespannten
Bögen genau 60 Theile und fasste man sie besonders ins Auge, so
war damit die Sechzigtheilung, war zugleich die Sechstheilung ge-
wonnen. Letztere klingt in den Wörtern siba grosses sechs = 7 und
!iam-na = 6 + 2 =^ 8 wieder ^) und könnte auch in den so häufig wieder-
kehrenden Sechsteln (S. 79) sich erhalten haben, erstere diente hin-
fort, wo es um genauere Theilung sich handelte, sei es um die Thei-
lung der Zeit, oder von Längen, oder was nur immer getheilt werden
sollte. Der Ursprung der Sechzigtheilung kami dabei sehr leicht in
Vergessenheit gerathen sein, so dass man beispielsweise in jener
Mondbeleuchtungstheorie (S. 81) den vierten Theil der Mondscheibe
in 60 Theile zerlegte, während man den Graden entsprechend 90
solcher Theile im Quadranten angenommen hätte, wenn nicht, wie
wir sagten, der Ursprung der Sechzigtheilung bereits vergessen ge-
wesen wäre.

Fast noch schwieriger als die Beantwortung der Frage nach dem
Ursprünge des Sexagesimalsystemes ist es darüber Rechenschaft zu
geben, wie so in dieses Sexagesimalsystem der Babylonier die Misch-
zahl des Ner von 600 eindrang. Wollen wir unsere Vermuthung
über diesen Gegenstand erörtern, so müssen wir über das Rechnen der
Babylonier Einiges vorausschicken. Dass sie rechneten, viel und gut
rechneten, wissen wir bereits. Dass die Ergebnisse ihres wissenschaft-
lichen Rechnens im Sexagesimalsysteme niedergeschrieben wurden,
wissen wir gleichfalls. Aber wie gelangte man zu diesen Ergeb-
nissen? Nach dem, was wir in der Einleitung (S. 6), was wir im
ersten Kapitel (S. 48 — 51) auseinandergesetzt haben, werden unsere
Leser sich nicht erstaunen, wenn wir für die vorderasiatischen Völker
der alten Zeiten ebenfalls ein Fingerrechnen und ein instrumentales
Rechnen in Anspruch nehmen, allerdings mehr auf allgemeine Noth-
wendigkeit als auf besondere Zeugnisse uns stützend. Für das
Fingerrechnen steht eine vereinzelte Notiz zu Gebote, der Ferser
Orontes behaupte, der kleine Finger bedeute sowohl eine Myriade
als Eins-), sowie die Erwähnung dieses Verfahrens bei Schriftstellern,
welche mit der Geschichte jüdischer Wissenschaft sich beschäftigt
haben ^). Noch schlimmer vollends steht es mit der äusseren Be-
gründung des babylonischen Rechenbrettes, für welches nur der
einzige Umstand geltend gemacht werden kann, dass bei den Stämmen
Mittelasiens bis nach China hinüber ein Rechenbrett mit Schnüren

') Bertin 1. c. p. 383. -) Pott II, 36 nach Suidas. ^) Friedlein in der
Zeitsch. Mathem. Phys. IX, 329.

94 3. Kapitel.

zu allen Zeiten in Uebung gewesen zu sein scheint, während grade
in jener Gegend eine Veränderung der Sitten und Gebräuche wenigstens
in geschichtlich genauer bekannter Zeit so gut wie nicht vorgekommen
ist, während andrerseits für babylonisch - chinesische Beziehungen
ältester Vergangenheit neben dem, was vorher von ^ev Dauer des
längsten Tages gesagt wurde, noch eine andere bedeutungsvolle Aehn-
lichkeit uns nachher beschäftigen wird. Gibt man uns auf diese
ziemlich unsichere Begründung, deren einzige Unterstützung wir im
4. Kapitel in einem griechischen Vasengemälde erlangen werden, zu,
dass die Babylonier eines Rechenbrettes sich bedient haben müssen,
weil diese Annahme schliesslich immer noch naturgemässer 'ist, als
wenn man voraussetzen wollte, es seien alle Rechnjingeu von thnen
ohne dergleichen Hilfsmittel vollzogen worden, so schliessen wir
folgendermassen weiter^). Das Rechenbrett muss naturgemäss dem
herrschenden Zahlensystem sich anschliessen, und wo es zwei Zahlen-
systeme gibt, ein Decimal- und ein Sexagesimalsystem, da müssen
auch zweierlei Bretter existirt haben, oder aber es muss die Möglich-
keit geboten worden sein auf demselben Brette bald so, bald so zu
rechnen. Die Veränderung bestand im letzteren Falle z. B. darin,
dass man bald mehrerer bald weniger Rechenmarken sich bediente.
So forderte das Rechenbrett des Decimalsystems für jede Rangord-
nung höchstens 9 Marken, während dasjenige des Sexagesimalsystems
die Nothwendigkeit in sich schloss bis zu 59 Einheiten jeder Rang-
ordnung anlegen zu können. Eben so viele Marken auf dem Räume,
welcher für je eine Rangordnung bestimmt war, unmittelbar zur An-
schauung zu bringen ist geradezu unmöglich. Alle Uebersichtlichkeit
und mit ihr die Brauchbarkeit des Rechenbrettes ging verloren, wenn
nicht auf ihm in diesem Falle innerhalb des Sexagesimalsystems das
Decimalsystem zu Hilfe gezogen wurde. Das aber hatte so wenig
Schwierigkeit, dass ähnliche Vorrichtungen, wie wir sie jetzt be-
schreiben wollen, nur in etwas veränderter Anwendung uns wieder-
holt begegnen werden. Wir denken uns in jeder Stufenabtheiluug
des Rechenbrettes zwei Unterabtheilungen, eine obere und eine untere.
Jene etwa sei für die Einer, diese für die Zehner der betreffenden
Ordnung bestimmt. Jene bedarf zur Bezeichnung aller vorkommen-
den Zahlen 9, diese 5 Marken. Um nun die obere Abtheilung der
ersten Stufe von der unteren in der Sprache zu unterscheiden, hatte
man die althergebrachten Namen Einer und Zehner. In der folgen-
den Stufe stand für die Marken der oberen Abtheilung der Name

') Vergl. unsere Recension von Oppert's lüalon des mesures assyriemiia
in der Zeitschr. Math. Phys. XX, Histor. literar. Abthlg, 161.

Die Babylonier. 95

i^oss, für die der untereu der Name Ner zur Verfügung, beziehungs-
weise diese Namen Avurden zum Zwecke der Benennung der Abtliei-
lungen erfunden. In der dritten Stufe ist uns nur Sar als Name der
oberen Abtheilung bekannt. Für die untere Abtheilung, deren Ein-
heit 10 Sar oder 36000 betrug, müsste, wenn unsere Annahmen
richtig gind, gleichfalls ein Wort erfunden worden sein. Freilich
ist ein solches noch nicht bekannt geworden, aber auch Rechnungen
sind noch nicht bekannt geworden, in welchen innerhalb des Rah-
mens des Sexagesimalsystems Zahlen über 36 000 sich ergaben und
schriftlich aufgezeichnet werden mussten; solche Rechnungen dürften
überhaupt zu den Seltenheiten gehört haben. Eine Zeitdauer von
36 000 Jahren scheint Berosus allerdings den Babyloniern als be-
sonders hervorgehobenen Zeitraum zuzuschreiben^).

Wir haben die Besprechung einer bedeutungsvollen Aehnlichkeit
zugesagt, welche auf babylonisch - chinesische Beziehungen deute.
Eigentlich ist es eine Aehnlichkeit zwischen Zahlenträumereien der
Griechen und der Chinesen. Bei Plutarch wird den Pythagoräern
nacherzählt, die sogenannte Tetraktys oder 36 sei, wie ausgeplaudert
worden ist, ihr höchster Schwur gewesen; man habe dieselbe auch
das Weltall genannt als Vereinigung der vier ersten Geraden und
Ungeraden^), d. h. 36 = 24-4 + 6 + 8 + l-|-3-f5+7. Diese
heilige Vierzahl lässt Plutarch an einer zweiten Stelle durch Piaton
zu 40 ergänzt werden^). Gewiss ist dieses eine unfruchtbare und
darum nicht naturgemäss sich wiederholende Spielerei. Um so auf-
fallender muss es erscheinen, wenn in China das erstere System dem
Kaiser Fu hi, das zweite voUkommnere dem Oü wäng, dem Vater
des Kaisers Oü wäng, der um 1200 v. Chr. regiert haben soll, als
Erfinder zugewiesen wird"^). Chinesische Rückdatirungen sind zwar,
wie wir seiner Zeit erörtern müssen, von Zuverlässigkeit weit ent-
fernt. Wir legen den Jahreszahlen als solchen deshalb hier keinen
sonderlichen Werth" bei, aber um so mehr der Uebereinstimmung
sinnloser Träumereien in so weit entlegener Gegend. Selbst die
nicht zu vernachlässigende Thatsache, dass die vervollkommnete
Tetraktys mit jener runden Zahl 40 übereinstimmt, die den ältesten
hebräischen Sagen vorzugsweise anzugehören schien, kann uns in
der Vermuthung nicht irre machen, dass wir es hier mit einem Stücke
babylonischer Zahlensymbolik zu thun haben, welches nach
Westen und nach Osten sich fortgepflanzt hat.

^) Brandis, Das Münz-, Maass- und Gewichtssystciu in Vorderasien S. 11.
^) Plutarch, De Iside et Osiride 75. ^) Plutarch, De animae procrea-
tione in Timaeo Piatonis 14. ^) Montucla, Histoire des mathematiques I, 124,
wo auch auf die Aehnlichkeit mit den Stellen bei Plutarch aufmerksam gemacht ist.

96 3. Kapitel.

Babylonische Zahlensymbolik selbst ist über allen Zweifel ge-
sichert. Träumereien über den Werth der Zahlen nahmen unter den
religions -philosophischen Begriffen der Chaldäer einen bedeutsamen
Platz ein. Jeder Gott wurde durch eine der ganzen Zahlen
zwischen 1 und 60 bezeichnet, welche seinem Range in der
himmlischen Hierarchie entsprach. Eine Tafel aus der Bibliothek
von Ninive hat uns die Liste der hauptsächlichsten Götter nebst
ihren geheimnissvollen Zahlen aufbewahrt. Es scheint sogar, als sei
gegenüber dieser Stufenleiter ganzer Zahlen, die den 'Göttern bei-
gelegt wurden, eine andere von Brüchen vorhanden gewesen, welche
sich auf die Geister bezogen und gleichfalls ihrem jeweiligen Range
entsprachen ^).

Als weitere Stütze mögen die zahlensymbolischen Träumereien
im VII. und VIII. Kapitel des Buches Daniel angeführt sein, eines
Buches, das unter dem ersichtlichsten Einflüsse babylonischer Denk-
art geschrieben ist. Aehnliches erhielt sich auf dem Boden Palästinas
Jahrhunderte lang, wobei wir nur auf die Offenbarung Johannes
als Beispiel hinweisen wollen. Wir könnten aber auch auf die jüdische
Kabbala einen Fingerzeig uns gestatten, die, so spät auch das Buch
Jezirah und andere kabbalistische Schriften verfasst sein mögen, der
Ueberlieferung nach bis in die Zeit des Exils hinaufzureichen scheint.
Kabbalistisch ist die sogenannte Gematria, wenn ein Wort durch
das andere ersetzt wurde unter der Voraussetzung, dass die Buchstaben
des einen Wortes als Zahlzeichen betrachtet dieselbe Summe gaben,
wie die des anderen Wortes. Ueber diese Zahlenbedeutung hebräischer
Buchstaben und ihr vermuthliches Alter werden wir zwar erst im
folgenden Kapitel im Zusammenhange mit ähnlichem Gebrauche der
Syrer, der Griechen bandeln und können um einiger Beispiele willen
unseren Gang nicht unterbrechen; es sei trotzdem gestattet hier die
Kenntniss jener Bezeichnungsart für einen Augenblick vorauszusetzen.
Gematrie ist es, wenn das jüdische Jahr 355 Tage zählte und damit
in Verbindung gebracht wurde, dass die Buchstaben des Wortes Jahr
riDTD == 5 -j- 50 -f" 300 genau 355 ausmachen. Gematrie macht sich
in den Bibelcommentaren breit. Als nun Abram hörte, heisst es in
der heiligen Schrift, dass sein Bruder gefangen war, wappnete er
seine Knechte, 318 in seinem Hause geboren und jagte ihnen nach
bis gen Dan'-^). Die Erklärer woUen^ der Ueberlieferung folgend, 318
sei hier statt des Namens Elieser gesetzt, der in der That ITy'^bi* =
200 + 7 -f 70 4- 10 + 30 -f 1 = 318 gibt, wenn man von dem Ge-

') F. Lenormant, La magie dies les CJmldeens. Paris, 1874, pag. 24.
*) i. Mose 14, 14.

Die Babylonier. 97

setze der Grössenfolge Umgang nimmt und nur den Zahlenwerth der
einzelnen Buchstaben, wie sie aucli durch einander gewürfelt erscheinen
mögen, beachtet. Im Propheten Jesaias verkündet der Löwe den Fall
Babels^). Die Erklärer haben wieder die Buchstaben des Wortes
Löwe n-i-ii? = 5 + 10 + 200 + 1 == 216 addirt. Die gleiche Summe
geben, die Buchstaben plpnn = 100 + 6 + 100 + 2 + 8 = 21G
und somit sei Habakuk mit diesem Löwen gemeint. Ja eine Spur
solcher Gematrie will man bereits in einer Stelle des Propheten
Sacharja erkannt haben ^), und wäre die uns einigermassen gekünstelt
vorkommende Erklärung richtig, so wäre damit schon im VII. vor-
christlichen Jahrhundert ein arithmetisches Experimentiren, wäre zu-
gleich, Avas vielleicht noch wichtiger ist, für eben jene Zeit die Be-
nutzung der hebräischen Buchstaben in Zahlenbedeutung nachgewiesen.
Wir ziehen zunächst nur den Schluss, um dessen willen wir alle diese
Dinge vereinigt haben, dass die Babylonier in ältester Zeit Zahlen-
spielereien sich hinzugeben liebten, die bei ihnen einen allerdings
ernsten magischen Charakter trugen, und dass von ihnen Aehnliches
zu anderen Völkern übergegangen ist.

Es ist keineswegs unmöglich, dass aus den magischen Anfängen
sich die Beachtung von merkwürdigen Eigenschaften der Zahlen ent-
wickelte, dass eine Vorbedeutungsarithmetik bei ihnen sich zur Kennt-
uiss zahlentheoretischer Gesetze erhob. Wissen wir doch, woran
wir hier zusammenfassend erinnern wollen, von dem Vorkommen
eines ausgebildeten Sexagesimalsystems , von der Benutzung arithme-
tischer und geometrischer Reihen, von der Bekanntschaft mit Quadrat-
und Kubikzahlen in alt-babylonischer Zeit, und auch gewisse Theile
der Proportionenlehre sollen, wie wir vorgreifend erwähnen, griechi-
scher Ueberlieferung gemäss aus Babylon stammen.

Mit der Lehre von den Vorbedeutungen ist überhaupt die babylo-
nische Wissenschaft aufs Engste verknüpft gewesen. Vorbedeutungen
zu suchen war, wie wir an jenem zu König Sargons Zeilen ver-
fertigten Kalender gesehen haben, ein wesentlicher Zweck der Be-
obachtungen von Himmelsvorgängen. Neben dem Aufsuchen von
Vorbedeutungen widmete sich die Priesterschaft des Landen dem Her-
vorbringen von Ereignissen-, sie trachtete das Böse abzuwenden und
theils durch Reinigungen, theils durch Opfer oder Zauberei .zum
Guten zu verhelfen ^). Die Priesterschaft des medischen Nachbarvolkes
bestand ebenfalls aus gewerbmässigen Hexenmeistern, und sie, die
Magusch, vererbten ihren Namen auf die Magie ^), wie in Rom der

^) Jesaias 21, 8. ^) Vergl. Hitzig, Die zwölf kleinen Propheten S. 378 flgg.
zu Sacharja 12, 10. =*) Diodor II, 29, 3. ■*) Maspero-Pietschmann, S. 4GG.

Cantor, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 7

98 3. Kapite .

Name Chaldäer gleichbedeutend war mit Sterndeuter, Wahrsager,
gelegentlich auch mit Giftmischer. Schon im Jahre 139 v. Chr
wurden deshalb nach der genauen Angabe des Valerius Maximus
die Chaldäer aus Rom verwiesen^). Die Wahrsagung beschränkte
sich keineswegs auf die Beobachtung der Gestirne, deren Einfluss
auf das menschliche Geschick man zu kennen wähnte. Die Punktir-
kunst^) der persischen Zauberer, vielfach erwähnt in den Märchen
der Tausend und eine Nacht und darin bestehend, dass auf ein mit
Sand überdecktes Brett Punkte und Striche gezeichnet wurden, deren
Verschiebungen und Veränderungen in Folge eines Anstosses an den
Rand des Brettes beobachtet wurden, diese Kunst, die sich erhalten
hat in dem Wahrsagen aus dem Kaffeesatze, die verwandt ist dem
ßleigiessen in der Neujahrsnacht, welches da und dort noch heute
geübt wird, sie dürfte selbst bis in die babylonische Zeit hinauf-
ragen. Wenigstens ist es sicher, dass es eine Vorbedeutungs-
geometrie in Babylon gab. Wir besitzen die Uebersetzung einer
solchen^), und wenn uns schon die Neigung bemerkenswerth erscheint
Vorbedeutungen aus Allem zu entnehmen, was in irgendwie wechseln-
den Verbindungen auftritt, so müssen wir andererseits auch die vor-
kommenden Figuren prüfen, deren Kenntniss die Babylonier somit
sicherlich besassen, eine Kenntniss, die als Anfang der Geometrie
gelten darf, so wie wir bei den Aegyptern (S. 66) zu ähnlichem

. Zwecke alte Wandzeichnungen durchmusterten.

In jener Vorbedeutungsgeometrie sind insbeson-

rig. 11. dere folgende Figuren hervorzuheben. Ein Paar

Parallellinien (Figur 11), welche als doppelte Linien

^'ig. 12. Fig. 13. ^ig- l-l-

benannt werden; ein Quadrat (Fig. 12); eine Figur mit einspringen-
dem Winkel (Fig. 13); eine nicht ganz vollständig vorhandene Figur,
welche der Uebersetzer zu drei einander umschliessenden Dreiecken
(Figur 14) zu ergänzen vorschlägt^). Ob auch ein rechtwinkliges

1) Fischer, Römische Zeittafeln (Altona, 184G) S. 134 mit Beziehung auf
Valerius Maximus lib. I, cap. 3, § 2. -) Alex, von Humboldt in seinem Auf-
satze über Zahlzeichen u. s. w. (CreUe's Journal IV, 216 Note) nennt diese
Kunst raml und verweist dafür auf Richards on und Wilkins, Diction. Persian
and Arabic 18ÜÖ. T. I, pag. 482. Vergl. über die Puuktirkunst auch Stein-
schneider, Zeitschr. d. morgenl. Gesellsch. XXV, 396 u. XXXI, 762 flgg. ^') Ba-
hylonian augury by means of geometrieal figures hy A. II. Sayce in den Irans-
actions of the society of hihlkal arcJiadogy IV, 302—314. ") Privatmittheilung

Die Babylonier 99

Dreieck vorkommt, ist nicht mit ganzer Sicherlieit zu erkennen, aber
wahrscheinlich. Von Interesse ist im verbindenden Texte das sume-
rische Wort Um, welches Linie, ursprünglich aber Seil bedeutete, so
dass es nicht zu den Unmöglichkeiten gehört, es habe eine Art von
Seilspannung, vielleicht freilich nur ein Messen mittels des Seiles,
wofür Vermuthungsgründe ims sogleich bekannt werden sollen, auch
in Babylon stattgefunden. Von hoher Wichtigkeit ist ferner ein in
jenem Texte benutztes, aus drei sich symmetrisch durchkreuzenden
Linien bestehendes Zeichen )K, welches der Herausgeber durch „Winkel-
grad" übersetzt hat. Diese Uebersetzung ist gerechtfertigt durch
anderweitiges Vorkommen und gestattet selbst weitgehende Folge-
rungen.

Im britischen Museum befindet sich ein als K 162 bezeichnetes
Bruchstück, welches einem babylonischen Astrolabium oder Aehn-
lichem angehört hat und welches in 4 Fächern mit Inschriften in
Keilschrift bedeckt ist. Die Bedeutung dieser Inschriften kann nicht
anders lauten^) als dass in zwei Monaten, deren Name angegeben ist,
der Ort von vier Sternen, zwei Sterne in dem einen, zwei in dem
anderen Monate, aufgezeichnet ist, und diese Oerter heissen 140 Grad,
70 Grad, 120 Grad, 60 Grad nach Sayce's Uebersetzung. Der Grad
ist auch hier in allen vier Fällen durch das Zeichen der drei
einander schneidenden Linien ausgedrückt. Nehmen wir aber diese
Uebersetzung einmal als richtig an, so ist in ihr eine Bestätigung
unserer Meinung über die Entstehung des Sexagesimalsystems ent-
halten. Bei der Zählung der Winkelgrade, deren 360 auf der Kreis-
peripherie zu unterscheiden sind, fasste man, meinten wir, je 60 in
eine neue Bogeneinheit zusammen, welche man erhielt, indem man
den Halbmesser sechsmal auf dem Umkreise herumtrug. Für die
erste Hälfte unserer Behauptung gibt es keine bessere Stütze als
jenes Gradzeichen. Die drei symmetrisch gezeichneten Linien theileu
ja den um den gemeinsamen Schnittpunkt befindlichen Raum in sechs
gleiche Theile und lassen damit jeden dieser sechs Theile als beson-
ders wichtig hervorteten!

Auch an weiterer Bestätigung dafür, dass den Babyloniern die
Sechstheilung des Kreises bekannt war, fehlt es nicht. Wir erinnern
uns, dass auf ägyptischen Wandgemälden es grade asiatische
Tributpflichtige sind, welche auf ihren überbrachten Gefässen Zeich-
nungen haben, bei welchen der Kreis durch sechs Durchmesser in
zwölf Theile getheilt ist (S. 67). Uebereinstimmend zeigen ninivitische

von H. Sayce ebenso wie die nachfolgende Bemerkung über das rechtwinklige
Dreieck.

') Privatmittheilung von H. Sayce.

100 3. Kapitel.

Denkmäler in ihren Abbildungen des Königs wagens dessen Räder mit
G Speieben verseben') (Fig. 15). Endlicb ist damit in Einklang
die Dreitbeilung eines rechten Winkels, welche
auf einer assyrischen Thoutafel geometrischen In-
haltes durch G. Smith entdeckt worden ist, bevor
er seine letzte Reise, von welcher er nicht mehr
heimkehren sollte, nach den E uphratländern antrat;
eine Entdeckung, aus welcher weitere Folgerungen
'^' zu ziehen nicht gestattet ist, bevor der ganze Text

der Oeffentlichkeit übergeben ist. Darauf aber wird mau, wie zu
befürchten steht, noch lange warten müssen, da die betreffende Tafel
seit der Abreise ihres Entdeckers nicht wieder gesehen worden ist,
also vermuthlich durch ihn in irgend eine Ecke für künftiges Studium
bei Seite gestellt, eines Zufalles harret, der grade auf sie unter den
zahllos vorhandenen Tafeln die Aufmerksamkeit lenkt.

Ist aber nunmehr die Sechstheilung des Kreises als bewusste geo-
metrische Arbeit der Babylonier ausser Zweifel gesetzt, so wird man
auch unsere Behauptung, die Sechstheilung sei durch Herumtragen
des Halbmessers erfolgt, habe also die Kenntniss des Satzes von der
Seite des regelmässigen Sechsecks mit eingeschlossen, in den Kauf
nehmen müssen. Es ist nun einmal, ausser im Zusammenhang mit
diesem Satze, ein Grund zur geometrischen Sechstheilung des Kreises
nicht vorhanden. Ausserdem sind wir im Stande eine Bestätigung
aus biblischer Nachahmung anzuführen. Wenn man, ohne mathe-
matische Kenntnisse zu- besitzen, sah, dass der Halbmesser G mal
auf dem Kreisumfange als Sehne herumgetragen nach dem Ausgangs-
punkte zurückführt, so lag es sehr nahe Sekue und Bogen zu ver-
wechseln und zur Annahme zu gelangen, der Kreisumfang selbst
sei 6 mal der Halbmesser, beziehungsweise 3 mal der Durchmesser.
Das gab die erste, freilich sehr ungenaue Rectification einer
krummen Linie, ein Seitenstück zu der m Aegypten vorgefundenen
(S. 57) Quadratur. Dort war ziemlich genau % = o,lG04 . . .; hier
ist 71 = d.

Diese Formel findet sich nun angewandt bei der Schilderung des
grossen Waschgefässes, das unter dem Namen des ehernen Meeres
bekannt eine Zierde des Tempels bildete, welchen Salomo von 1014
bis 1007 erbauen liess^). Von diesem Gefässe heisst es: Und er
machte ein Meer, gegossen, 10 Ellen weit von einem Rande zum

^) Niniveh and its remayns by A. H. Layard. London, 1849. I, 337.
*) Die Datirung nach Oppert: Salomon et ses successeurs in den Annales de Phi-
losophie chretienne T. XI u. XIT. 1870.

Die Babylonier. 101

andern^ rund umher, uud 5 Ellen hoeli, und eine Schnur 30 Ellen lang
war das Maass ringsum^). Dabei ist offenbar 30 = 3x10. Mögen
nun die Bücher der Könige erst um das Jahr 500 v. Ohr. abgeschlossen
worden sein, so ist doch unbestritten, dass in dieselben ältere Er-,
innerimgen, wohl auch ältere Aufzeichnungen Aufuahnie fanden, und
so kann insbesondere die Erinnerung an eine Schnur, mit deren Hilfe
Längenmessungen vorgenommen wurden, kann die Erinnerung an die
Maasse des ehernen Meeres, an den Durchmesser 10 bei einem Kfeis-
umfange 30, eine sehr alte sein. Die letztere hat sich auch nach ab-
wärts durch viele Jahrhunderte fortgeerbt, und der Talmud wendet
in der Mi sehn a die Regel an: Was im Umfang 3 Handbreiten hatj
ist 1 Hand breit ^). Zugleich aber liefert die angeführte Bibelstelle
den Beweis, dass der Umfang von 30 Ellen wirklich aus 3 mal 10
berechnet und nicht etwa in Folge ungenauer Messung gefunden
worden ist. Eine messende Schnur musste jedenfalls um den äusseren
Rand des ehernen Meeres herumgelegt werden und wäre etwa
31^ Ellen lang gewesen, wenn der Durchmesser von 10 Ellen sich
gleichfalls auf die Ausdehnung bis zur äusseren Randgrenze bezog.
War aber, was bei thatsächlicher Messung fast wahrscheinlicher ist,
der innere Durchmesser 10 Ellen lang, so konnte eine Messschnur
ringsherum leicht eine Länge «von 32 Ellen und mehr erfordern.
Es ist daher unmöglich, dass es dann 30 Ellen hiesse, wie es der
Fall ist.

Nachdem wir für die geometrischen Kemitnisse der Babylonier auf
Schriftsteller zweiter Ueberlieferung einmal eingegangen sind, wollen
wir noch einige ähnlich verwerthbare Stellen aufsuchen. Eine solche
Stelle führen wir nur an, um sie sogleich zu verwerfen.. Bei der Be-
schreibung des Salomonischen Tempelbaues heisst es nach Luthers
Uebersetzung: Und am Eingange des Chors machte er zwei Thüren
von Oelbaumholz mit fünfeckigen Pfosten^). Darnach wäre an
eine Kenntniss des Fünfecks, muthmasslich des regelmässigen Fünf-
ecks in. Vorderasien in sehr altpr Zeit zu denken. Da die Construction
des regelmässigen Fünfecks eine verhältnissmässig bedeutende Summe
geometrischer Sätze als Vorbedingung enthält, so wäre diese Thatsache
um so überraschender, als nirgend auf asiatischen Denkmälern bei
eifrigstem Suchen in den betreffenden Kupferwerken eiiT Fünfeck
von uns aufgefunden worden ist. Die Stelle selbst ist aber von
Luther falsch übersetzt, und so dunkel ihr Sinn ist, die Bedeutung,

^) I. Könige 7, 23 und II. Chronik 4, 2. -) Zuerst berücksichtigt in
unserer Besprechung von Oppert, Etalon des mesures assyriennes in der Zeitschr.
Math. Phys. XX, histor.-literar. Abthlg. 164. ^) I. Könige 6, 31.

102 "3. Kapitel.

dass von einem Fünfecke irgend wie die Rede sei, hat sie siclier-
licli nicht ^).

Um so häufiger ist von viereckigen Figuren in der Bibel die
Rede und zwar von Quadraten sowie von Rechtecken. Es ist vielleicht
zum Vergleiche mit noch zu erwartenden Entzifferungen babylonischer
Texte nützlich das Augenmerk auf die Maasszahlen dieser biblischen
Rechtecke^) zu richten. Das Verhältniss 3 zu 4 für zwei senkrecht
zu einander zu denkende Abmessungen, oder auch 10 mal 3 zu 4, 3 zu
5 mal 4 kommt wiederholt vor, und wenn wir nicht verschweigen
wollen noch dürfen, dass ein Rechteck von 3 zu 5 ebenfalls an
häufigeren Stellen sich bemerklich macht, so ist doch nicht aus-
geschlossen, dass jene ersterwähnten Maasszahlen 3 zu 4 dazu dienten,
einen rechten Winkel mittels des Dreiecks von den Seiten 3, 4, 5
zu sichern. Wenigstens wird die Kenntniss dieses letzteren Dreiecks
in China von uns nachgewiesen werden.

Dafür aber, dass die Babylouier den rechten Winkel kannten,
und zwar nicht bloss als in der Baukunst zur Anwendung kommend,
sondern als der Geometrie, der Astronomie dienstbar, sind Beweis-
gründe zur Genüge vorhanden. Wir eriimern an das wahrscheinlich
gemachte Vorkommen des rechten Winkels in jener von Sayce über-
setzten Vorbedeutungsgeometrie. Wir erinnern an die den rechten
Winkel selbst voraussetzende Dreitheilung desselben. Wir haben
ferner den ausdrücklichen Bericht Herodots, dass von Babylon her
die Hellenen mit dem Polos und dem Gnomon bekannt geworden
seien ^). Mag man auch nicht mit aller Sicherheit wissen, welcherlei
Vorrichtungen unter diesen Namen verstanden wurden, so viel ist
gewiss, dass .es bei ihnen um Zeiteintheiluug mittels der Länge des
von der Sonne erzeugten Schattens sich handelte, dass also ein Stab
senkrecht zu einer Grundfläche aufgerichtet werden musste. Der
Uebergang des Gnomon zu den Griechen fand von Babylon aus statt,
wann ist zweifelhaft. Ein Berichterstatter nennt Anaximander als
den, der um 550 den Gnomon einführte*)-, ein anderer nennt uns
dafür Auaximenes^); ein dritter nennt gar erst Berosus als Er-
finder der Sonnenuhr*^), womit nur jener Chaldäer gemeint sein kann,
welcher unter Alexander dem Grossen geboren um 280 v. Chr. seine
Blüthezeit hatte und als Historiker am bekanntesten ist, wenn auch
das Alterthum ihn vorzüglich als Astrologen und um seiner auf der
Insel Kos gegenüber von Milet gegründeten und stark besuchten

^) Wir berufen uns für diese Behauptung auf mündliche Mittheilungen
von Prof. Dr. A. Merx. ^) II. Mose 36, 15 und 21; 37, 10; 39, 9—10. I. Könige
7, 27 und häufiger. ^) Herodot II, 109. *) Suidas s. v. 'Ava^ifiavdQog.
°) Plinius Historia naturalis II, 76. °) Vitruvius IX, 9.

Die Babylonier. 103

Schule wegen rülinite^). Aelterer Zeit als diese Angaben gehört der
biblische Bericht an, welcher von einer Sonnenuhr zu erzählen weiss.
Er geht hinauf bis auf König Ahas von Juda, dessen Regierung von
743 — 727 währte'''). Wenn in jenem Berichte der Schatten am Zeiger
Ahas 10 Stufen (oder Grade) hinter sich zurückging, die er war
niederwärts gegangen, so ist diese Beschreibung von grösster Deut-
lichkeit, mag man über das beschriebene Ereigniss selbst denken,
wie man will. Wir könnten auf eben diese Stelle zum Ueberflusse
noch hinweisen, um sie als Beleg altasiatischer Kreiseintheilung zu
benutzen, wenn ein solcher Beleg noch irgend erwünscht scheinen
sollte.

Fassen wir wieder zusammen, was auf geometrischem Gebiete
den Babyloniern bekannt gewesen ist, so haben wir Gewissheit für
die Theilung des Kreises in 6 Theile, dann in 360 Grade, Gewissheit
für die Kenntniss von Parallellinien, von Dreiecken, Vierecken, Ge-
wissheit für die Herstellung rechter Winkel. Wahrscheinlich ist die
Kenntniss der Gleichheit zwischen Halbmesser und Seite des dem
Kreise eingeschriebenen regelmässigen Sechsecks, wahrscheinlich die
Benutzung des Näherungswerj;hes n = 3 bei Bemessung des Kreis-
umfanges. Möglich endlich ist die Prüfung rechter Winkel durch
die Seitenlangen des ein für allemal bekannten Dreiecks 3, 4, 5.

Die Hoffnung bleibt für Babylon wie für Aegypten nicht aus-
geschlossen, dass Auffindung und Entzifferung neuer Denkmäler es
noch gestatten werden, die kaum erst seit wenigen Jahrzehnten fester
gestützte Geschichte der Geistesbildung jener Länder umfassender zu
gestalten. Für die Geschichte der Mathematik in den Euphratländern
bergen, wie wir schon gesagt haben, vielleicht die Schutthügel von
Senkereh noch Unschätzbares. Es muss "v^ohl die Mathematik dort
eine erzähleuswerthe Geschichte erlebt haben, wenn wir auch nur
daraus schliessen, dass sie alten Schriftstellern würdig däuchte sich
mit ihr zu beschäftigen. So wird berichtet, ein gewisser Perigenes
habe über die Mathematiker von Chaldäa geschrieben^), wenn diese
Lesart der an sich viel weniger wahrscheinlichen „über die Mathe-
matiker von Chalcidien" vorzuziehen ist, und Mathematisches enthielt
jedenfalls auch das umfassende Werk des Jamblichus von Chalcis
über Chaldäisches, aus dessen 28. Buche eine Notiz sich erhalten

') Die von Bailly, Histoire de Vastronomie ancienne. Paris, 1775, Livre IV,
§ 35 und 36 ausgehende Meinung, als seien zwei Berosus zu unterscheiden, der
von Kos und der Historiker, ist von neueren Fachgelehrten entschieden ver-
worfen. Vergl. Häbler, Astrologie im Alterthum (1879), S. 14—16. ^) Jesaia
38, 8 und II. Könige 20, 11. Die Datirung nach Oppert, Salomon et ses suc-
ccsseurs. ^) Nesselmann, Die Algebra der Griechen, S. 1—2.

104 3. Kapitel.' Die Babylonier.

hat^). Nur um Missverständuissen vorzubeugen, welche auch hei
sonst zuverlässigen Schriftstellern sich vorfinden, sei hier bemerkt,
dass mit diesem wissenschaftlichen Werke des Jamblichus von Chalcis
über Chaldäisches, welches gegen Ende des IV. S. n. Chr. geschrieben
sein muss, der Roman, welcher unter dem Titel „Babylonisches" in
der zweiten Hälfte des IL S. n. Chr. auch von einem Jamblichus''^)
verfasst worden ist, ja nicht verwechselt werden darf.

^) Zell er, Die Philosophie der Griechen in ihrer geschichtlichen Entwicke-
lung. III. Theil, 2. Abthlg. 2. Auflage. Leipzig, 1868, S. 615. ^) Erw. Rohde,
Der griechische Roman und seine Vorläufer. Leipzig, 1876. S. 364 flgg.

III. Griechen.

4. Kapitel.
Die Grieclieii. Zahlzeichen. Fingerrechiien. Rechenbrett.

Wir verlassen die Länder ältester, aber* bis vor Kurzem imd
tkeilweise bis auf den heutigen Tag weniger bekannter Kulturent-
wicklung. Wir gehen über zu dem Volke, von" dessen Bildung wir
selbst, der Schreiber wie der Leser, bewusst oder unbewusst, unmittel-
bar oder mittelbar die merkbarsten Spuren in uns tragen, dessen Schrift-
steller uns schon wiederholt als willkomjnene Ergänzungen dienten,
wenn für andere Länder die einheimischen Quellen allzuspärlich
flössen, und wir sind geneigt zu erwarten, hier werde geschichtliche
Gewissheit uns entgegentreten, jede blosse Vermuthung überflüssig
machend und darum ersparend. Aber diese Erwartung wird getäuscht.
Die Geschichte der griechischen Mathematik, allerdings durch Schriften
einzelner hervorragender griechischer Mathematiker selbst unserem
Erkennen näher gerückt, ist doch nichts weniger als durchsichtig,
als vollständig. Bald, und nicht bloss bei den ersten Anfängen,
stehen wir an Lücken, an unvermittelten Uebergängen, welche uns
uöthigen, um nur einigermassen Bescheid zu erhalten, Schriftsteller
zu befragen, deren Glaubwürdigkeit uns selbst nicht gegen jeden
Zweifel geschützt ist, oder gar zu eigenen Vermuthungen unsere Zu-
flucht zu nehmen, welche die gähnende Spalte uns überbrücken
müssen. Wir glauben unter der Bedingung, dass wir unseren Lesern
sagen, was gewiss, was nur möglich sei, eine solche hypothetische
Darstellung nicht vermeiden zu sollen, wo der Mangel an sicherer
Ueberlieferung uns dazu nöthigt.

Einst flössen die Quellen ergiebiger. Es war eine Eigenthümlich-
keit der durch Aristoteles gegründeten peripatetischen Schule
einen Urheber für jeden Gedanken ausfindig machen zu wollen.
Dieser Hang verblieb auch den in Alexandria heimisch gewordenen,
dort mit fremdartigen Elementen sich mengenden Peripatetikern.
Man suchte allerdings von hier 9,us mit einer gewissen Vorliebe die
Lehren griechischer Philosophen auf einen nichtgriechischen Ursprung
zurückzuführen^), und mit dieser Neigung nimmt die Zuverlässigkeit

^) Nietzsche, De Laertii Biogenis fontibus im Rheinischen Museum XXIV,
205. Frankfui-t a. M., 1869.

108 i- Kapitel.

solcher Angaben wesentlicli ab, sofern uiclit andere Gründe obwalten,
den Glauben an jene Aussagen wieder zu yerstärken. Wir rechnen
dazu vornebmlicli zweierlei. Erstens erhöht es für uns die Bedeutung
eines Ursprungszeugnisses aus fremdem Lande, wenn wir selbst dort
Erzeugnissen begegnet sind, die dem, was als eingeführt bezeichnet
wird, wesentlich gleichen. Zweitens vertrauen wir mit rückhaltloserei*
Hingebung den Aussprüchen eines Mannes, der als Sachverständiger,
als Fachmann redet-, ja wir benutzen lieber einen der Zeit nach
späteren Mathematiker als Gewährsmann für früher Erdachtes als
einen dem Ursprünge 'gleichaltrigen Laien, der die Jahre , um welche
er den Ereignissen näher lebte, dadurch unwirksam macht, dass er
dem Inhalte derselben fern stand.

Mit vollstem Vertrauen würden wir daher die Geschichte der
Geometrie, der Sternkunde, der Arithmetik als Quelle benutzen,
welche Theoj)hrastus von Lesbos, der Schüler des Aristoteles,
verfasst haben soll^), wenn dieselben uns auch nur in Spuren erhalten
wären. Gern würden wir den gleichaltrigen Xenokrates in seinen
Büchern über die Geometer^) als Führer wählen — vorausgesetzt,
dass dieser Titel und nicht der „über Geometrisches" die richtige
Lesart bildet — wenn nicht auch sie durchaus verschollen wären.
Mit Freuden bedienen wir uns der Bruchstücke historischer Schriften
über Geometrie und Astronomie, die ein dritter Schriftsteller aus der
Zeit der unmittelbarsten aristotelischen Schule verfasst hat: Eudemus
von Rhodos^). Es sind, wie wir es ausgesprochen haben, nur
Bruchstücke dieser Bücher bekannt, welche von anderen Schriftstellern
abgeschrieben und gelegentlich, theils mit Nennung des Verfassers,
theils mit blosser Andeutung desselben, ihren Werken einverleibt
wurden, aber jedes einzelne Stückchen lässt den Werth des Verlorenen
ermessen, seinen Verlust bedauern.

Neben diesen eigentlichen Geschichtsschreibern der Mathematik
haben auch andere Fachmänner, Compilatoren und Commentatoren
mathematischer Schriften, uns manche werthvolle Bemerkung hinter-
lassen, die wir dankbarst benutzen werden. Geminusvon Rhodos,
Theon von Smyrna, Porphyrius, Jamblichus, Pappus,
Prokliis, Eutokius sind die Namen solcher Verfasser, von denen
wir mehr als nur einmal zu reden haben werden.

Die Ueberlieferungen nun in dem Sinne und Umfange benutzt,
Avie wir es vorausschickend erläutert haben, mid unter fernerer Zu-
ziehung auch nichtmathematischer Schriftsteller, wenn keine andere

^) Diogenes Laertius V, 48 — 50. -) Diogenes Laertius IV, V6.
^) Euäemi Bhodü Peripatetici fragmenta quae supersunt ed. L. Spengel.
Berlin 1870. Die mathematischen Bruchstücke S. 111 — 143.

Die Grieclieu. Zahlzeichen. Fingerrechnen. Rechenbrett. 109

WaM uns bleibt, belehren uns darüber, dass in dem weiten Länder-
gebiete, in welebem griechisch gesprochen und griechisch gedacht
wurde, und welches deshalb für die Kulturgeschichte Griechenland
heisst, wenn es auch keineswegs geographisch mit dem Königreiche
Griechenland unseres Jahrhunderts sich deckt, die Mathematik weder
gleichzeitig auftrat noch ebenmässig sich entwickelte. Die kleinasia-
tische Küstengegend südlich von Smyrna und die davor liegende
Inselwelt waren der Schauplatz der ältesten ionischen Entwickelung.
Süditalien und Sicilien mit ihrer dorischen Bevölkerulig nahmen so-
dann in weit stärkerem Maassstabe an der Fortbildung Antheil. Jetzt
erst als dritter Boden, auf welchem eine dritte Stufe erreicht ward,
erscheint das eigentlich griechische Festland, erscheint namentlich
Athen in der Geschichte der Mathematik. Aber auch von dort ent-
fernt sich die Schule der vorzüglichsten Mathematiker. Auf ägypti-
schem Boden entsteht eine griechische Stadt, Alexandria, und dort
blühen oder lernen doch wenigstens die grossen Geometer eines Jahr-
hunderts, welchem an Bedeutsamkeit für die Entwickelung der Mathe-
matik nur ein einziges an die Seite gestellt werden kaim, sofern
unsere Gegenwart geschichtlicher Betrachtung sich noch entzieht:
das Jahrhundert von der Mitte des XVI. bis zur Mitte des XVII. S.,
das Jahrhundert der beginnenden Infinitesimalrechnung. Die grossen
Geisteshelden des euklidischen Zeitalters hatten ihre Epigonen, die,
wenn sie theilweise auch an anderen Orten aufgesucht werden müssen,
noch immer in Alexandria wurzeln. Dort zeigt sich in verschiedenen
Jahrhunderten wiederholt eine Nachblüthe unserer Wissenschaft, die
edle Früchte hervorzubringen im Stande ist. Männer wie Heron,
wie Klaudius Ptolemäus, wie Pappus stehen keinem Mathematiker der
euklidischen Zeit an persönlicher Geistesgrösse nach, nur die Dichtig-
keit ihres xVuftretens in einander nahe liegenden Zeiträumen fehlt,
und damit das eigentlich kennzeichnende Merkmal der grossen alesau-
drinischen Epoche. Endlich kehrt die griechische Mathematik matt
und absterbend nach Hellas zurück. Athen und die im ehemaligen
Thrakien entstandene Welthauptstadt Byzanz sehen den Untergang
unserer Wissenschaft, den Untergang derselben für die dortige Gegend.
Weiter westlich wohnenden Völkern geht sie zur gleichen Zeit neu
und strahlend auf.

Wir haben mit wenigen Strichen den Rahmen uns entworfen,
in welchen vdr das Bild der griechischen Mathematik einzuzeichnen
gedenken. Wir müssen mit dieser Einzelarbeit beginnen. Wir sind
bei Aegyptern und Babyloniern von den niedrigsten Rechnungsver-
fahren und von der Bezeichnung der Zahlen ausgegangen als von
Dingen, welche kein Volk auch nur in den Anfängen seiner geistigen

110 . 4. Kapitel.

Entwickelung entbehren kann, und welche die Vorstufe zu jedem
mathematischen Denken bilden. Aehnlich werden wir hier verfahren.
Wir werden das Zahlenschreiben, wir werden bis zu einem gewissen
Grade das Rechnen der Griechen vorwegnehmen müssen.

Ob wir es eine Zahlenbezeichnung^) zu nennen haben, wenn
in griechischen Inschriften die Zahlwörter ausgeschrieben gefunden
werden, dürfte dahingestellt sein. Ebenso kann die Auflösung einer
Zahl in lauter einzelne neben einander befindliche Striche, wie sie
z. B. für die Zähl sieben noch in einer Inschrift von Tralles in Karlen
aus dem IV. vorchristlichen Jahrhunderte nachgewiesen ist, wie sie
aber naturgemäss für eine nur noch etwas grössere Zahl gar nicljt
denkbar ist, kaum als Zahlenbezeichnung gelten. Die älteste wirk-
liche Bezeichnung erfolgte durch Anfangsbuchstaben der Zahl-
wörter^). Ihre Spuren sollen hinaufrücken bis in die Zeit Solons,
also etwa bis zum Jahre 600, während als untere Grenze das perikleische
und nachperikleische Jahrhundert genannt wird, ja während Spuren
bis auf die Zeit Ciceros hinabführen. Die benutzten Buchstaben
sind folgende. Man schrieb Jota I für die Einheit, sei es nun, dass
an eine alterthümliche Form des Wortes für eins gedacht werden
muss, sei es, dass nur ein gerader Strich gemacht wurde, der zufällig
auch als Jota gedeutet werden kann. Für fünf wurde ein Pi 77 ge-
schrieben wegen nsvts, für zehn ein Delta z/ wegen dexa. 'Hundert,
fxaroV, bezeichnete man durch Eta 77, welches ursprünglich kein
e-Laut, sondern wie später bei den Römern Aspirationszeichen war.
Tausend ^L^ta und zehntausend ^vgia endlich schrieb man mit Chi X
und My M. Ausserdem waren ebendieselben Buchstaben in und an-
einander geschrieben als Zusammensetzungen, durch welche die Produkte
von fünf in Einheiten verschiedenen Ranges dargestellt werden sollten,
in Gebrauch, und auch ein als „zehn mal tausend" zusammengesetztes
Zehntausend wird überliefert. Dass das Gesetz der Grössenfolge stets
gewahrt blieb, sei der Vollst'ändigkeit wegen bemerkt. Wir bemerken
ferner, dass diese Zeichen von Herodianus, einem byzantinischen
Grammatiker, der etwa 200 n. Chr. lebte, geschildert wurden und dass
sie deshalb nicht selten herodianische Zeichen heissen.

Noch während der Jahrhunderte, durch welche jene Bezeichnung
der Hauptsache nach verfolgt worden ist, bildeten sich zwei neue

*) Ausführliches über Zahlenbezeichnung der Griechen in den Math. Beitr.
Kulturl. 111—126. -) Ausser den in den Math. Beitr. Kulturl. angeführten
Quellen vergl. Koehler in den Monatsberichten der Berliner Akademie für 1865,
S. 541 ügg. und Friedlein, Die Zahlzeichen und das elementare Rechnen der
Griechen und Römer und des christlichen Abendlandes vom 7. bis 13. Jahr-
hundert. Erlangen, 1869, S. 9. =>) Math. Beitr. Kulturl. ll.-J.

Die Griechen. Zahlzeichen. Fingerrechnen. Rechenbrett. 111

Methoden aus, beide zuverlässig nicht vor der sogenannten ionischen
Schrift auftretend, deren sie sich bedienen, somit nicht vor 500.
Näheres bringen wir weiter unten. Die eine dieser Methoden benutzt
die 24 Buchstaben des ionischen Alphabets um die Zahlen
1 bis 24 dadurch auszudrücken. Nach ihr wurden die zehn Phylai
der athenischen Richter mit fortlaufender Nummer versehen. Nach
ihr gaben später die Alexandriner den Gesängen des Homer ihre
Ordnungszahlen. Diese Methode so wenig wie die zweite Methode,
welche wir dahin kurz erklären können, dass den einzelnen Buch-
staben unter einander verschiedene aber in der natürlichen Zahlen-
reihe nicht immer unmittelbar sondern sprungweise auf einander
folgende Werthe beigelegt werden, gehört den Griechen allein au.
Wir müssen ihre Spuren auch anderwärts verfolgen und zu diesem
Zwecke einschaltend von phönikischer, syrischer, hebräischer Zahlen-
bezeichnung reden.

Das eigentliche Handelsvolk der alten Welt waren die Phönikier,
vielleicht die Fenchu ägyptischer Schriften. ^Sie durchfurchten als
kühne Seefahrer und Seeräuber von ihren dicht an der Küste ge-
gründeten Städten aus das Mittelmeer, welches ihnen Verkehrsstrasse
und Jagdgebiet war, überall Beziehungen unterhaltend, für welche
Zahlenbekanntschaft unentbehrlich war. Dieselben Phönikier werden
als Erfinder der eigentlichen reinen Buchstabenschrift gerühmt. Sie
ffino-en mit dieser Erfindung weit hinaus über die Silben darstellenden
Zeichen der Keilschrift wie auch über die Hieroglyphen, unter welchen
eine Einheit der Bedeutung nicht herrschte, da unter ihnen wirkliche
Buchstaben mit Silbenzeichen, mit Wortzeichen, ja mit solchen
Zeichen wechselten, die selbst gar nicht ausgesprochen wurden, sondern
als sogenannte Determinative die Aussprache anderer daneben ge-
schriebener Zeichen regelten. Die phönikischen Buchstaben, 22 au
der Zahl, sind aus hieratischen Zeichen der Aegypter, also ursprüng-
lich aus Hieroglyphenbildern entstanden. In dieser Annahme sind alle
Sachkundige einig, höchstens dass Einer den Durchgang durch hiera-
tische Zeichen in Abrede stellend die phönikischen Buchstaben un-
mittelbar aus Hieroglyphen ableiten möchte. War nun diese Be-
schränkung auf einfachste Lautelemente in so geringer Anzahl schon
ein ^auz gewaltiger Schritt, so war es eine zweite wissenschaftliche
That, wie man wohl sagen darf, den Buchstaben eine bestimmte
Reihenfolge zu geben, aus ihnen ein Alphabet zu bilden. Die Aegypter
scheinen allerdings auch hierin ein Vorbild gewesen zu sein^). Mariette

1) Für das Folgende vergl. insbesondere F. Lenormant, Essai stir la 2y>'0-
patjation de l'alphabet plienicien. Paris, 1872. I, 101 flgg.

]12 . 4. Kapitel.

hat versucht aus Inchriftsaufängeu eine Reihenfolge ägyptischer Buch-
staben herzustellen, aber wenn seinem Versuche mehr als blosse
Vermuthung zu Grunde liegt, so war diese ägyptische Anordnung
sicherlich eine andere als die der Phöuikier und derjenigen Völker,
die mit ihnen ein Alphabet besassen. Phönikische Buchstaben in der
späteren Ordnung scheinen bereits auf Thontafeln aus der Bibliothek
des Assurbanipal (668 — 625) in Ninive vorzukommen. Bei den
Hebräern ist die Ordnung für die Zeiten, in welchen verschiedene
Psalmen^) gedichtet wurden, festgesichert, denn wenn auch nur eine
nach unseren Begriffen zwecklose Spielerei mit Schwierigkeiten, Zufall
kaim es doch nicht sein, dass die Verse dieser Lieder der Reihe nach
mit den Buchstaben des Alphabets beginnen, darin eine entfernte
Aehnlichkeit mit der ersten Verwendung des griechischen Alphabets
zur Nummerirung der homerischen Gesäuge bietend, auf welche wir
oben anspielten. Noch eine andere Sicherung der Reihenfolge des
hebräischen Alphabets gibt das sogen, Athbasch, welches sicherlich
der babylonischen Gefangenschaft angehört"). Es besteht darin, dass
die 22 Buchstaben in zwei Reihen geordnet über einander stehen,
der letzte Buchstabe n über dem ersten Ü, der vorletzte TU über dem
zweiten 2 u. s. w. Diese vier Buchstaben je zwei und zwei zusammen-
gelesen lauten eben Athbasch. Der Zweck dieser Anordnung war
eine Geheimschrift zu liefern, indem jedesmal statt . eines eigentlich
anzuschreibenden Buchstabens, der im Athbasch über beziehungsweise
unter ihm stehende gesetzt wurde. Jedenfalls musste also damals
auch schon die gewöhnliche Ordnung der nämlichen Buchstaben er-
funden sein. Wir sagen „erfunden", denn l)ei der vollendeten Princip-
losigkeit der Anordnung ist von einem inneren Gesetze derselben,
welches nur entdeckt zu werden brauchte, gewiss keine Rede. War
die Buchstabeufolge eine willkürliche, eine vielleicht erst nachträg-
lich eingeführte, nachdem die Buchstaben als solche bereits bestanden,
so ist vermuthlich wieder ein besonderer Akt der Erfindung nothwendig
gewesen, um die geordneten Buchstaben mit Zahlen werthen zu ver-
sehen. Zwei Thatsachen stimmen namentlich zu dieser Vermuthung.
Die eine, dass auf keiner der zahlreichen phönikischen oder punischen
Inschriften, auf keiner Papyrushandschrift sich eine Spur einer
alphabetischen Zifferrechnung gefunden hat^); die andere, das ijoth-

') Psalm 111, 112, 119, auch die Klagelieder des Jeremias fangen in auf-
einander folgenden Versen mit den aufeinander folgenden Buchstaben des
Alphabets an. *) Herzog's Realencyklopädie für protestantische Theologie
und Kirche VII, 205 und XIV, 17. ^) Diese Thatsache ist für Mathematiker
zuerst beiHankel S. 34 hervorgehoben und damit ein lange Zeit fortgeschleppter
Irrtlium beseitigt.

Die Griechen. Zahlzeichen. Fingerrechnen. Rechenbrett. 113

wendige Seitenstück zur ersten bildend , dass eine nichtalphabetisclie
Zahlenbezeiclinung der Phönikier bekannt ist.

Die Phönikier schrieben entweder die Zahlwörter aus, oder sie
bedienten sich gewisser Zeichen, die den Grundgedanken der Juxta-
position, vielleicht wechsebid mit dem der Multiplikation, zur An-
wendung brachten^). Eins bis neun wurde nämlich durch ebensoviele
senkrechte Striche dargestellt. Zehn war meistens ein wagrechter
Strich, der aber auch in mehr oder weniger nach oben gekrümmter
oder einen Winkel bildender Form vorkommt. Die Zahlen 11 bis 19
wurden durch Juxtaposition eines Horizontalstriches mit Vertikal-
strichen geschrieben, von welchen gejuäss der von rechts nach links
zu lesenden phönikischen Schrift dem Gesetze der Grössenfolge ge-
horchend der Horizontalstrich am weitesten rechts sich befindet.
Das nun folgende 20 ist durch zwei Horizontalstriche darzustellen,
die aber nicht bloss parallel übereinander gezeichnet wurden, sondern
auch schrägliegend und verbunden ^, oder gar zu einer Gestalt N
oder A sich veränderten. Jedenfalls trat es jetzt als einfaches neues
Zeichen in Gebrauch, ein Vigesimalsystem in der Schrift einleitend.
Ein letztes neues Zeichen kam, so weit die Inschriften bis jetzt er-
geben haben, durch 100 hinzu <| oder j |ol, was wohl als liegende
zehn zwischen zwei Einern zu denken ist, die in dieser Vereinigung
eine verzehnfachende Wirkung üben, eine auffallende Erscheinimg,
welche aber auch nicht ganz vereinzelt dasteht, vielmehr in der
römischen Zahlenbezeichnung ein Analogon besitzt.

Die phönikischen Inschriften, welchen diese Zeichen entnommen
sind, reichen bis auf viele Jahrhunderte vor Christi Geburt zurück.
Die Zeichen unterscheiden sich aber nicht sehr von anderen, welche
vom Jahre 2 an bis zur Mitte des HL S. in Palmyra, dem heutigen
Tadmor mitten in der syrischen Wüste, in Gebrauch waren-). Die
Hauptverschiedenheit, abgesehen von Abweichungen in den Formen
für 10 und 20, besteht darin, dass ein Zeichen für fünf in der Ge-
stalt y hinzugekommen ist und dass bei den Hunderten das multi-
plikative Verfahren durchgeführt ist. Das Zeichen für 10 wird nämlich
hier zu 100, indem nur einseitig', und zwar rechts ein nach dem Ge-
setze der Grössenfolge sonst unverständlicher Einheitsstrich ihm bei-
gegeben ist, und gleicherweise werden 200, 300 u. s. w. geschrieben,
indem die Zeichen 2, 3 u. s. w. sich rechts von dem für 10 befinden.

') Adalb. Merx, Grammatica Hijriaca. Heft 1. Halle, 1867. Tabelle zu
pag. 17. ^) Ueber palmyrenische Zahlzeichen vergl. Math. Beitr. Kulturl., S. 254.
Zu den dort angegebenen Quellen tritt hinzu ein Aufsatz aus dem Nachlasse
von E. F. F. Beer mit Erläuterungen von M. A. Levy in der Zeitschr. d. morgenl.
Gesellsch. XVIII, 65-117, besonders S. 115.

Cantor, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 8

114 4. Kapitel.

Das eben beschriebene Zeichen von 100 nebst links folgendem 10
heisst dann natürlich 110, wird aber zum Zeichen von 1000, wenn
noch ein horizontaler Deckstrich darüber kommt.

Wieder als Varianten der palmyrenischen Zeichen sind solche zu
betrachten, welche in syrischen Handschriften des VI. und VIT. S.
aufgefunden worden sind^). Eine kleine Merkwürdigkeit bieten sie
insofern dar, als hier eine Abweichung vom Gesetze der Grössen-
folge vorkommt. Während nämlich 1 durch einen Vertikal strich,
2 durch zwei unten im Bogen zusammenhängende Vertikalstriche |u
dargestellt wird, sollte 3 von rechts nach links so geschrieben
werden, dass an die 2 eine 1 sich anfügte. Statt dessen steht rechts
die 1 und links davon die 2, während im Uebrigen das oft genannte
Gesetz befolgt wird.

Der Regel nach benutzten die Syrer allerdings die (S. 111) kurz
erläuterte Buchstabenbezeichnung^). In einer freilich verhältnissmässig
späten, jedenfalls so späten Zeit, dass von Anfängen einer Bezeich-
nungsweise unter keiner Bedingung die Rede sein kann, bedienten
sie sich der 22 Buchstaben ihres Alphabetes, um der Reihe nach die
neun Einer (1 bis 9), die neun Zehner (10 bis 90) und die vier
ersten Hunderter (100 bis 400) zu bezeichnen. Die folgenden Hunderter
wurden durch Juxtaposition gewonnen: 500 = 400 -|- 100, 600 ==
400 -f 200, 700 = 400 -f- 300, 800 = 400 + 400, 900 = 400 + 400 +
100 oder durch die Buchstaben, welche vorher schon 50 bis 90 be-
zeichnet hatten und über die man zur Verzehnfachung ein Pünktchen
setzte. Tausende schrieb man durch Einer mit unten rechts ange-
fügtem Komma. Zehntausendfachen Werth ertheilte den Einern und
Zehnern ein kleiner darunter verlaufender Horizontalstrich. Ver-
millionfacht endlich wurde der Werth eines Buchstaben durch doppeltes
Komma, d. h. also durch Vertausendfachung des schon Tausendfachen.
Zur grösseren Deutlichkeit pflegte man von diesen beiden Komma
das eine von links nach rechts, das andere von rechts nach links zu
neigen. Auch Brüche kommen bei dieser Bezeichnung vor und zwar,
wie es scheint, Stammbrüche, welche ähnlich wie bei den Aegyptern
nur durch die Zahl des Nenners geschrieben wurden, während ein
von links nach rechts geneigtes accentartiges Strichelchen darüber sie
als Brüche kenntlich machte.

Der syrischen Buchstabenbezeichnung der Zahlen ist wieder die
der Hebräer sehr nahe verwandt. Wann dieselbe entstand, ist eine
noch ziemlich offene Frage. Auf hebräisch geprägten Münzen ist

^) Auch diese Zeichen sind besprochen Math. Beitr. Kulturl. 2.56. *) Merx,
Grammatica Syriaca pag. 14 flgg.

Die Griechen. Zahlzeichen. Fingerrechnen. Rechenbrett. 115

niclit früher als 137 v. Chr. alphabetische Bezeichnung der Zahlen
nachweisbar^). Eine derartige Zahlendarstellung findet sich ebenso-
wenig unmittelbar in den Büchern des alten Testamentes. Nur ihre
Anwendung zur Gematria bezeugt ihr Vorhandensein, und wenn diese
Avirklich bis zum VII. Jahrhundert hinaufreicht (S. 97), so ist das
hebräische Volk dasjenige, bei welchem die älteste Spur des Zahlen-
alphabetes vorkommt, während im entgegengesetzten Falle Griechen
auf die Priorität die gerechtesten Ansprüche haben und man alsdann
anzunehmen hätte, es sei von den Griechen wieder nach Osten die
Erfindung zurückgekehrt. So sehr diese Annahme der landläufigen
vielleicht aus dem Alter der biblischen Schriften entstandenen Mei-
imng widerspricht, wird man sich doch zu ihr bequemen müssen'-).
An jene durch Gematria zu erklärende Stelle bei Sacharja zu glauben,
haben wir schon, als wir sie im 3. Kapitel erwähnten, Bedenken
getragen. Gesicherte Spuren von Gematria finden sich nicht vor
Philo von Alexandrien im ersten nachchristlichen Jahrhunderte.
Das Wort Gematria ist kaum anders zu erklären als durch Buch-
stabenverstellung aus yga^aarBia, und damit wäre der griechische
Ursprung des Namens wenigstens gesichert. Benutzung des griechi-
schen Zahlenalphabetes auf Münzen von Ptolemaeus II Philadelphus
geht zurück bis 266 v. Chr., ist also um 130 Jahre älter als das
älteste hebräische Vorkommen. Diese Umstände vereinigt sprechen
dafür, die Erfindung des eigentlichen Zahlenalphabetes nach
Alexandrien zu verweisen, und die Erfindungszeit etwa auf das
Jahr 300 zu bestimmen, rund zwei Jahrhunderte nach Einführung der
ionischen Schrift (S. 111) und annähernd gleichzeitig mit Euklid.
Das hebräische Alphabet von 22 Buchstaben reichte gleich dem
syrischen bis zur Bezeichnung von 400. Für die höheren Hunderte
half man sich wieder durch Zusammensetzungen. Später kam mau
auf eine andere Aushülfe. Fünf Buchstaben des hebräischen Alpha-
betes, diejenigen nämlich, welche den Zahlenwerthen 20, 40, 50, 80,
90 entsprechen, besitzen zweierlei Gestalt, je nachdem sie am Anfange
beziehungsweise in der Mitte eines Wortes auftreten, oder an dessen
Ende, eine Eigenthümlichkeit, welche mehrere orientalische Schrift-
arten mit der hebräischen theilen und wovon auch die sogen, gothische
Schrift in f und 0 ein Beispiel aufweist. Die fünf Finalbuchstaben
nun benutzte man, um die Hunderte von 500 bis 900 darzustellen
und hatte nun die Möglichkeit der Darstellung sämmtlicher Zahlen

^) Nach einer Mittheilung von Dr. Euting an Hankel, die dieser S. 34
seines Geschichtswerkes angeführt hat. ^) Gow, A short historj^ of greek mathe-
matics. Cambridge, 1884, pag. 43 — 48, hat die Beweisgründe zusammengestellt.

116 4. Kapitel.

bis zu 999. Bei einer Zahl, bei 15, benutzte man nicbt die natur-
gemässe Bezeichnung 10 -|- 5, sondern sehrieb statt ihrer 9 -{- 6. Der
Grund davon war^, dass die Buchstaben für 10 und 5 «T» den Anfang
des heihgeu Namen Jehova bilden, der nicht entweiht werden darf
durch mmöthiges Aussprechen oder Schreiben^). Um die Tausende
zu bezeichnen kehrte man wieder zum Anfange des Alphabetes zurück,
indem jeder Buchstabe durch zwei über ihn gesetzte Punkte den
tausendfachen Werth erhielt, und so war es möglich alle Zahlen unter-
halb einer Million zu schreiben, womit die Schreibart in Zeichen über-
haupt abschliessen mochte, wie es unseren früheren Bemerkungen
(S. 79) entsprechend auch mit dem genauen Zahlenbegriff der Fall
war. Dass die Hebräer von rechts nach links schrieben, dass ab-
gesehen von dem Falle geheimnissvoll erscheinen wollender Gematria,
welche als Zahlenschreiben im eigentlichen Sinne des Wortes kaum
betrachtet werden kann, das Gesetz der Grösseufolge eingehalten
wurde, braucht kaum gesagt zu werden. Eben dieses Gesetz ge-
stattete die vertausendfachenden Pünktchen oft wegzulassen, wenn
die Reihenfolge der Zahlen die Bedeutuno- derselben schon ausser
Zweifel stellte. Der Buchstabe für 1 i< z. B. konnte dem für 5 n
in regelmässiger Zahlenbezeichnung nicht vorhergehen, wohl aber um-
gekehrt. Deshalb schrieb man 5001 nur durch i?n, dagegen 1005
durch nb? oder durch Hi?. Da ferner 12 = 40, 7\ = 800 war, so
konnte 5845 = ITaCin geschrieben werden. Die letztere Zahl, die
Anzahl der Verse im ganzen Gesetze, wurde von den Masoreten,
deren Thätigkeit freilich erst im VIII. S. n. Chr. abschloss, sogar
n^nn geschrieben-), indem n, das Zeichen für 8, einen höheren
Rang als das nachfolgende 12, zugleich einen niedrigeren als das vor-
hergehende durch die Stellung selbst vertausendfachte n besitzen
musste und daher nur 800 bedeuten konnte. Die Verwechslung von
Zahlen mit Wörtern Avar in der hebräischen Schrift, die fast regel-
mässig die Vokale wegliess und deren Ergänzung dem Leser übertrug,
ungemein leicht. Sollte also eine Zahl als solche sofort erscheinen,
so war ein Unterscheidungszeichen nothwendig. Dasselbe bestand
darin, dass man über den letzten Zahlbuchstaben zwei Häkchen
machte, oder auch diese Häkchen zwischen dem letzten und vorletzten
Zahlbuchstaben anbrachte. Bei vier- oder gar mehrstelligen Zahlen
wurden die Häkchen öfter wiederholt.

Wir kehren nach diesen Einschaltungen nach Griechenland

') Ist in dieser Schreibart von 15 die Veranlassung zur Gematria bei
Alexandrinischen Juden, oder nur das einfachste Beispiel derselben zu erken-
nen? '•') Nesselmann, Die Algebra der Griechen. Berlin, 1842, S. 494.

Die Griechen. Zahlzeichen. Fingerrechnen. Rechenbrett. 117

zurück, bei dieser Rückkehr beiläufig erwähnend, dass die Gematria,
die synibolisirende Buchstabenverbinduiig zu Wörtern mit Zahlenwerth,
sich auch bei späteren Griechen einheimisch machte. Die Zahl 666
der Apokalypse z. B., welche, wie jetzt wohl kein Fachmann mehr
bezweifelt, aus dem Hebräischen stammt und "ipp "in: (Nerun Kesar)
bedeutet, wurde von Irenäus, dem berühmten Kirchenlehrer des IL S.,
als yjarsivog gelesen und erklärt.

Die Zahlenwerthe der griechischen Buchstaben hier
genauer zu erörtern, möchte so ziemlich allen unseren Lesern gegen-
über überflüssig sein. Wir begnügen uns daran zu erinnern, dass in
dem zur Zahleuschreibung dienenden Alphabet alterthümliche Buch-
staben, die sogen. Episemen, noch einen Platz einnehmen, Avelche
unter den Buchstaben der Griechen als solchen abhanden gekommen
waren'). Die Buchstaben alpha bis sanpi genügten in ihrer Ver-
bindung zur Darstellung der Zahlen 1 bis 909, wobei ein darüber
befindlicher Horizontalstrich die Zahlen als solche kennzeichnete und
der Verwechslung mit Wörtern vorbeugen sollte. Die Tausende schrieb
man mittels der 9 Einheitsbuchstaben, a bis 0-, denen man zur Linken
einen in Kommagestalt geneigten Strich beifügte. Mitunter wurde,
ähnlich wie der vertausendfachende Punkt der Hebräer, das den gleichen
Zweck erfüllende Komma der Griechen unter gleichen Voraussetzungen
weggelassen, nämlich wenn die Stellung vor einem Buchstaben, dem
an und für sich ein höherer Zahlenwerth eigenthümlich war, die
Nothwendigkeit ergab um des Gesetzes der Grössenfolge willen das
betreffende Zahlzeichen tausendfach zu lesen. Allerdings ist auch
bei den Griechen ein Abweichen von dem Gesetze der Grössenfolge
nachgewiesen worden ^j. Nicht bloss dass in Sicilien der Sprach-
gebrauch die kleinere Zahl der grösseren vorausgehen liess [z. B.
rsööaoa revQaxoüia e^ciy.iGj(^iha nevTccxiöuvQia rälavxa = 56404 Ta-
lente], dass bei asiatischen Griechen die gleiche Uebung herrschte,
man hat sogar Inschriften gefunden, bei welchen Grössenfolge nach
beiden Richtungen mit einander wechselt^), z. B. srovg t,vq) vtisq-
ßsQsrcciov LS = am 15. des Monats Hyperberetaion im seleucidischen
Jahre 557. Zehntausend wurde als Myriade durch Mr. oder durch
M. bezeichnet. Bei Vielfachen von 1 0 000 konnte der vervielfachende
Coefficient eine dreifache Stellung einnehmen, lijiks vor, rechts nach
oder über dem M. Im ersten Falle wurde ili. auch wohl durch

^) Vergl. Ä.. Kirchhoff, Studien zur Geschichte des griechischen Alphabets.
3. Auflage. Berlin, 1877. -) J. Woisin, De Graecorum notis numeralibus
(Leipziger Doctordissertation in Kiel 1886) pag 15—16. '■^) Corpus Inscriptionum
Graecorum (ed. Boeckh) Vol. 111. (Berlin, 1853) No.lölG. Vcrgl. auch No. 4503,
4518, 451t).

118 4. Kapitel.

einen einfachen Punkt vertreten, welcher aber nicht weggelassen
werden durfte, weil die blosse Stellung, wie wir erst bemerkt haben,
nur vertausendfachte. Es bedeutete demnach ßco^cc stets 2831, ß.oXa
dagegen 20831.

Man hat verschiedentlich die Behauptung aufzustellen versucht,
den Griechen sei, und zwar in alter Zeit, ein Zahlzeichen für Nichts,
mithin eine wirkliche Null zu eigen gewesen. Man hat zu diesem
Zwecke auf astronomische Werke des Ptolemäus und des Theon von
Alexandria, man hat auf eine Steininschrift der Akropolis zu Athen,
man hat auf einen Palimpsest im Vatican hingewiesen. Aber alle
diese Hinweise sind durchaus nichtig; von einer Null ist an
keiner dieser Stellen die Rede^).

Brüche kommen bei griechischen Schriftstellern, insbesondere
bei Mathematikern, häufig vor. Die Bezeichnung erfolgt im All-
gemeinen so, dass man zuerst die Zähler hinschrieb und dieselben
mit einem Accente rechts oben versah, dann die Nenner, denen ein
doppelter Accent beigefügt wurde und die zweimal geschrieben wurden.

f 17

Z. B. it' xa" oia"= —. Hatte man es mit Stammbrüchen zu thun, so
' 21 '

blieb der Zähler a als selbstverständlich weg, und die einmalige

Schreibung des Nenners genügte. Ohne weitere Bemerkung neben

einander geschriebene Stammbrüche sollten durch Addition vereinigt

werden. Z. B. ö" = — und t," arj" giß" 6xd"= y + §8 + 112 +
— - = -— -. Zwei besondere Bezeichnungen sind bemerkenswerth : -

224 224 ° 2

sigma c angedeutet und dieses vereinigt sich mit 5"= - zu einem

112
neuen dem omega ähnlichen Zeichen uj" um -- + "^ = y ^^^^'

schreiben^).

Die Frage, wie man dazu kam an Stelle einer anderen schon
vorhandenen Bezeichnungsweise von Zahlen die neue alphabetische
Methode einzuführen, verdient wohl gestellt zu werden und ist auch,
wenn gleich nicht häufig, gestellt worden^). So mächtig wirkt bei
den meisten Geschichtsschreibern die Gewohnheit das geschichtlich
nach einander Auftretende als Fortschritt aufzufassen, dass man auch
hier einem Fortschritte gegenüberzustehen wähnte, und die Einführung

^) Math. Beitr. Kulturl., S. 121 ügg. Wichtige Ergänzungen zu unseren
Angaben über den Palimpsest bei Hultsch, Scriptorcs metrologici Graeci.
Leipzig, 1864. Vorrede pag. V — VI. -) Ueber Brüche vergl. Hultsch, 1. c,
pag. 173— 175. ") Heinr. Stoy, Zur Geschichte des Rechenunterrichtes I. Thcil.
Jenaer Inauguraldissertation 1876, S. 25.

Die Griechen. Zahlzeichen. Fingerrechnen. Rechenbrett. 119

eines solchen bedarf keiner besonderen Erklärung. Statt eines Fort-
schrittes haben wir es aber hier mit einem entschiedenen Rück-
schritte zu thim, insbesondere was die Fortbildungsfähigkeit der
Ziifernschrift betrifft. Vergleichen wir die älteren herodianischen
Zahlzeichen mit den späteren, für welche wir schon wiederholt den
Namen alphabetischer Zahlzeichen gebraucht haben, so erkennen wir
bei letzterem zwei Uebelständc, die dem ersteren nicht anhaften. Es
mussten jetzt mehr Zeichen und deren Werth dem Gedächtnisse an-
vertraut werden, es musste auch das Rechnen eine viel angespanntere
Gedächtnissthätigkeit in Anspruch nehmen. Die Addition AAZl -j-
AAAz:i = nAA(30 + 40=--70)konntemitderHHH + HHHH =
hI H H (300 -f- 400 = 700) in einen Gedächtnissakt zusammenschmelzen,
sofern drei und vier Einheiten derselben Art zu fünf und zwei Ein-
heiten gleicher Art sich vereinigten. Dagegen war mit X -|- )u = o
noch keineswegs t -}- u = v|( sofort mitgegeben! Nur einen einzigen
Vorzug bot die neue Schreibweise der alten gegenüber, der sich
zeigt, wenn man die schriftliche Darstellung nach ihrer Raumaus-
ausdehnung vergleicht. Man beachte z. B. 849, welches herodianisch
P'HHHAAAAnilll, alphabetisch uj|.ie aussieht. Jenes ist durch-
sichtiger, gewährt beim Rechnen die wichtigsten Vortheile; dieses
ist unverhältnissmässig viel kürzer, und so werden wir auf diesem
den Vermuthungen allein preisgegebenen dunkeln Gebiete wohl kaum
einen Fehlgriff thun, wenn wir die Meinung aussprechen, nicht
Rechner, sondern Schreiber haben die alte breite Zahleubezeichnung
um der neuen willen im Stich gelassen, und weil es in der grossen
Menge der Bevölkenmg mehr Schreiber gab als Rechner, die zugleich
auch Schreiber waren, hat die neue alphabetische Methode so rasch
und allgemein sich Eingang verschafft.

Wir sind mit diesen Bemerkungen bereits über die Besprechung
des Zahlenschreibens bei den Griechen hinausgegangen und zu deren
Zahlenrechnen gelangt. Wieder begegnen uns hier die beiden
Rechnungs verfahren, denen wir allgemein menschliche Verbreitung
zuerkannt haben: das Finger rechnen und das Rechnen auf
einem Rechenbrette.

Spuren des ersteren sind mancherlei vorhanden^). Es mag ja
zu weit gegangen sein für dasselbe auf eine Stelle des Herodot sich
zu beziehen, wo einer an den Fingern die Monate abrechnet"). Auch
dass in homerischer Sprache Rechnen ■Kh^näi.uv , d. h. wörtlich „ab-
fünfen" heisst, mag von geringerer Tragweite erscheinen. Aber eine

*) Stoy, 1. c, S. 35 Anmerkg. 4, S. 44 Anmerkg. 3. -) Herodot YI, 63
und 65.

120 4- Kapitel.

Stelle der Wespen des Aristopliaues ^) bezeugt, dass man Ueber-
sclilagsreehnungen an den Fingern auszuführen pflegte. Wie die
Griechen alter Zeit dabei verfuhren, ist nicht bekannt. Die Wahr-
scheinlichkeit spricht dafür, dass ähnliche Grundsätze der Finger-
bedeutung gegolten haben mögen wie in späterer Zeit, aber eine
Sicherheit liegt keineswegs vor. Wir wünschen daher nicht durch
Vorgreifen den Anschein einer solchen Sicherheit hervorzurufen, und
versparen uns die Darstellung spätgriechischer Fingerrechnung bis
zum Schlüsse dieses ganzen griechischen Abschnittes, wo eine er-
haltene byzantinische Schrift über den Gegenstand uns nöthigende
Veranlassung geben wird darauf einzugehen.

Das Rechnen auf einem Rechenbrette in Griechenland bezeugt
uns Herodot durch dieselbe Stelle'^), deren wir uns zum Beweise des
gleichen Verfahrens in Aegypten schon bedient haben (S. 49). Wir
hoben dort bereits hervor, dass die Kolumnen des Brettes gegen den
Rechner senkrecht gezogen sein mussten und werden dafür noch
anderweitige Gründe weiter unten angeben. Die auf dem Rechenbrette
Verwendung lindenden Steinchen hiessen xl^iqcpoi. Sie wurden, wie aus
der Stelle in den Wespen des Aristophanes hei'vorgeht, auch in dessen
Zeit zum genauen Rechnen benutzt, und die Verbreitung dieses Ver-
fahrens wird ersichtlich aus dem Worte xprjcptXitv, mit Steinchen han-
tiren, welches allgemein für das Rechnen eintritt. Auch das Brett,
auf welchem gerechnet wurde, bekam einen besonderen Namen äßa^.
Allein gleich bei diesem Namen Abax beginnen die Streitfragen,
welche sich mehr und mehr häufen, je weiter die Geschichte der
Entwicklung des Rechenbrettes fortschreitet. Man hat nämlich das
Wort äßa^ bald dem semitischen pDi? Staub verglichen und Staub-
brett übersetzt, bald hat man den Stamm ßaa mit verneinendem a
zu einem Worte vereinigt, dem die Bedeutmig des Nichtgehenkönnens,
des Fusslosseins innewohnt'^). Die letztere Ableitung stützt sich
vorwiegend auf die nicht in Zweifel zu stellende Anwendung des
Wortes äßa^ und ähnlich klingender Wörter in Bedeutungen, welche
an Staub in keiner Weise zu denken gestatten. So hiess eine Art
von Würfelbrett, ein rundes Körbchen ohne Untergestell, eine runde
Platte cißa^ und dergleichen mehr. Noch eine dritte Ableitung lässt
aßa^ durch verneinendes a von ßcc^co (ich spreche) abstammen; es

') Ariatophanis Vespae 656. ^) Herodot II, i36. ^) Für die erste Ab-
leitung Nesselmann, Algebra der Griechen S. 107, Anmerkg. 5 und Vincent
in Liouville's Journal des MaÜicmatiques W , 275 Note mit Berufung auf Etiennc
Guichart, Harmonie des lanijues. Für die letztere Th. II. Martin, Lcs signcs
numcraux et Varithmctiquc chez les piuples de Vantiquite et du moyen-age. Rome,
1864, pag. 3i — 35 mit zahlreichen Quellenangaben.

Die Griechen. Zahlzeichen. Fingerrechnen. Rechenbrett. 121

sei ein RechneB, bei welchem nicht gesprochen wird'). Die erste
Ableitung dagegen weiss nur einen Grund für sich anzugeben, der
durch ein Spiel sprachlichen Zufalles sich sehr wohl erklären lässt:
der griechische Abax als Rechenbrett war nämlich, wenigstens in
einer Form, ein wirkliches Staubbrett-). Wir wissen dieses aus ein^-
Stelle des Jamblichus, in welcher dieser späte Pythagoräer erzählt,
dass der Gründer ihrer Schule die Beweise der Arithmetik wie der
Geometrie auf dem Abax geführt habe, was nur dann verständlich
ist, wenn auf dem Abax Zahlzeichen und Linien leicht gezeichnet,
leicht verwischt werden konnten; wir wissen es deutlicher aus einer
zweiten Stelle desselben Jamblichus, die uns ausdrücklich sagt, der
Abax der Pythagoräer sei ein mit Staub bedecktes Brett gewesen^).
Auch eine Stelle des Eustathius ist damit in Uebereinstimmung,
welche den Abax als den Philosophen, die Figuren auf denselben
zeichneten, nützlich rühmt ^). Das letztere Zeugniss gehört freilich
erst dem Ende des XII. S. an, aber bei der berühmten Gelehrsamkeit
des Bischofs von Thessalonike, der sie niederschrieb und dem sicher-
lich noch Quellen zugänglich waren, die wir nicht mehr kennen,
nehmen wir ebensowenig Anstand dasselbe zu verwerthen, wie die
oft angerufenen Zeugnisse späterer Lexikographen.

Sollte auf dem Abax gerechnet werden, so mussten, wie wir
wissen, auf demselben Abtheilungen gebildet werden, deren jede
zwischen zwei Strichen verlief, oder durch einen einzelnen Strich sich
darstellte. Die Abtheilungen, Kolumnen nennt man sie gemeiniglich,
und auch wir werden mis dieses Ausdruckes von jetzt an ausschliess-
lich bedienen, waren gegen den Rechner senkrecht gezeichnet. Das
geht nächst der Stelle bei Herodot, Avelche wir so deuteten, aus einem
Vasengemälde hervor, das aus griechischer Vorzeit auf uns gekommen
ist. Wir meinen diejenige Vase, welche den Alterthumsfreunden als
die grosse Dariusvase in Neapel Avohl bekannt ist-'). Auf dieser
Vase ist ein Rechner gut erkennbar, der auf einer Tafel den Tribut
zu buchen scheint, welcher dem Darius dargebracht wird. Die Tafel

') E. Clive Bayley im Journal of the Eoyal Äsiatic Society, new scries,
XIV, 369 (London 1882). ^) Als Beispiel sprachlicher Zufälligkeiten erinnern
wir an das englische dcgree und das arabische daraga. Beide bedeuten Grad
(Winkeleintheilung), sind aber nicht entfernt verwandten Stammes trotz Gleich-
lautes und Bedeutungsgleichheit. ^) Jamblichus, De vita Pythagorica cap. V,
§ 22 und desselben Exhortatio ad imilosophiam Symbol. XXXIV. *) Eustathius
in Odysseam zu Gesang I, verö. 107. Vergl. die römische Ausgabe dieses
Commentators pag. 1397 lin. 50. *) Vergl. eine Abhandlung von F. G. Welcker
in dessen Alte Denkmäler V, 319 flgg. nebst Tafel XXIII. Der erste Abdruck
in Gerhard'« Archäologischer Zeitung 1857, S. 49 — 55, Tafel 103.

122 4. Kapitel.

ist in zu dem Rechner senkreclite mit Ueberschriften versehene Ko-
lumnen eingetheilt, und die Ueberschriften bestehen aus heriodiani-
schen Zahlzeichen. Eben dieses Vasengemälde ist es, welches einen
zuverlässigen Beweis persischen, mithin muthmasslich auch babylo-
nischen Kolumnenrechnens uns liefern würde, wenn wir der Gewiss-
lieit uns hingeben dürften, dass der Künstler nicht aus freier Phan-
tasie arbeitend griechische Gewohnheiten ins Ausland übertrug, ohne
sich darum zu kümmern, ob er damit der Wahrheit widersprach.

Die Kolumnen hatten den Zweck, den zum Rechnen dienenden
Marken einen in verschiedenen Kolumnen verschiedenen Stelluugs-
werth zu verleihen. Z^vei Schriftsteller bezeugen uns dieses. Von
Solon wird uns der Vergleich mitgetheilt, wer bei Tyrannen Ansehen
besitze, sei wie der Stein bei der Rechnung; bald bedeute dieser
mehr, bald weniger, und so achte der Tyrann Jenen bald hoch, bald
gar nicht ^). Desselben Vergleiches bedient sich Polybios, der arka-
dische Geschichtsschreiber, welcher 203 — 121 lebte, und gebraucht
dabei einen nicht unwichtigen Ausdruck. Er sagt nämlich, die Marken
auf dem Abax gelten nach dem Willen des Rechnenden bald einen
Chalkus, bald ein Talent-).

Die Bedeutsamkeit grade dieser von Polybios genannten gegen-
sätzlichen Werthe erkennen wir in ihrer Uebereinstimmung mit den
End wertheu niedersten und höchsten Ranges, welche auf einem er-
haltenen griechischen Denkmale, auf der Tafel von Salamis an-
gegeben sind. Damit ist nämlich entweder eine annähernde Datirung
jener ihrem Alter nach bis jetzt ganz unbestimmbaren Marmortafel
ermöglicht oder man hat die für langdauernde Uebung Zeugniss ab-
legende Erhaltung genau derselben Abtheilungszahl vor sich. Die
Salaminische TafeP) von Marmor 1,5 m lang, 0,75 m breit wurde zu
Anfang des Jahres 1846 auf der Insel, deren Namen sie führt, auf-
gefunden. Sie war der Grösse ihrer Abmessungen, dem Gewichte
des Materials, der durch beide vereinigten Umstände erhöhten Un-
beweglichkeit zufolge, sicherlich keine gewöhnliche Rechentafel. Wir
haben vielmehr entweder an den Geschäftstisch eines öffentlichen
Wechslers zu denken, deren es in Griechenland bereits gab, oder an
eine Art von Spielbrett mit zur Verrechnung von Gewinn und Ver-
lust vorgerichteten Kolumnen. Die Einrichtung war nämlich allem
Anscheine nach die, dass jedem der beiden Spieler, beziehungsweise
Rechner, fünf Hauptkolumnen, je zwischen zwei Striche eingeschlossen,
imd vier Nebenkolumnen zur Verfügung standen. Erstere dienten

') Diogenes Laertius I, 59. ^) Polybios V, 26, 13. ») Math. Beitr.
Kulturl., S. 132 und 136 flgg. die genaueren Quellenangaben.

Die Griechen. Zahlzeichen. Fingerrechnen, Rechenbrett. 123

von links nacli rechts im Wertlie abnehmend für Talente (6000 Drach-
men), 1000, 100, 10 und 1 Drachmen, letztere für die Bruchtheile

der Drachmen Obolus (— Drachme), halber Obolus, viertel Obolus und

achtel Obolus oder Chalkus ^). Jede der Hauptkolumnen war durch einen
durch alle Abtheilungen gemeinschaftlich durchlaufenden Querstrich
in zwei Hälften getheilt, deren eine, sei es die obere, sei es die untere,
den eingelegten Marken den fünffachen Werth gab wie die anderen.
Es ist dies ein thatsächlich vorhandenes Beispiel dessen, was wir
(S. 95) bei den Babyloniern vermuthungs weise annahmen, um die
Entstehung des Wortes Ner ims zu verdeutlichen. Wir dürfen zu-
gleich hervorheben, dass die 5 Hauptkolumnen ihrer Anzahl nach
mit den fünf einfachen Grundzahlwörtern der Griechen von der
Monas bis zur Myrias übereinstimmen, dürfen zugleich an das früher
über Beschränkung volksthümlicher Zahlenbegrifie Gesagte erinnern.
Dass unsere in allen wesentlichen Punkten von Letronne herstammende
Erklärung der salaminischen Tafel richtig sein muss, beweisen ins-
besondere die auf der Tafel befindlichen selbst 13 mm hohen Zahl-
zeichen. Sie sind heriodianische Zeichen, und es ist eben so fein als
richtig hervorgehoben worden, es sei kein Zufall, wenn diese Bezeich-
nung, welche neben den einzelnen Grundzahlen auch deren Fünffache
kürzer zu schreiben gestatte, auf einem nach demselben Gedanken
abgetheilten Rechentische sich finde ^). Ein Bruchstück einer der
salaminischen vielleicht ähnlichen Tafel ist dann später (1886) auch
in Akarnanien aufgefunden worden^).

Dürfen wir vielleicht den Rückschluss ziehen, das Rechenbrett
ähnlicher Art müsse bei den Griechen mindestens so alt wie jene
Zeichen gewesen sein? Dürfen wir das in einer Quelle berichtete
Vorkommen herodianischer Zeichen in solonischer Zeit mit dem eben
angeführten Ausspruche Solons, der für das Vorhandensein eines
Rechenbrettes zwingend wäre, wenn er selbst als beglaubigt betrachtet
werden könnte, in Verbindung bringen? Dürfen wir beide als gegen-
seitige Stützen betrachten und somit um 600 ein schon ziemlich aus-
gebildetes Rechnen auf dem Rechenbrett in Griechenland annehmen?

Wir wollen uns nicht soweit in Vermuthungen einlassen, dass
wir alle diese Möglichkeiten als Wahrheiten behaupteten. Nur Eines
sei bemerkt, dass auf dem Sandbrette sehr leicht mittels eines Stiftes
Kolumnen bildende Linien gezogen werden konnten, dass somit durch-

^) Der attische Obolus hatte 8 Chalkus. Vergl. Hultsch, Metrologie
(2. Auflage) S. 133. -) Stoy 1. c, S. 26. ^) Woisin, De Graecorum notis
numeralibus pag. 4 mit Berufung auf Bulletin de Corresijondence Hellenique,
annee X (1886) pag. 179.

124 5. Kapitel.

aus kein Grund vorliegt einen Zweifel zu hegen, ob gleichzeitig mit
der Herstellung der salaminischen Tafel und ähnlicher Tische auch
die pythagoräische Benutzung des Sandbrettes zum Rechnen in Uebung
gewesen sei. Das Rechnen selbst beschränkte sich anfangs gewiss
auf die einfachsten Grundverfahren des Zusammenzählens und Ab-
ziehens. Ein mathematisches Rechnen kam erst in Frage, als eine
wirkliche Mathematik in Griechenland sich gebildet hatte, und Avird
erst in jener Zeit von uns behandelt werden dürfen.

Das mathematische Denken war in Griechenland vorzugsweise ein
geometrisches. Der Geometrie gehören auch die Anfänge der Mathe-
matik an, zu Avelchen wir uns jetzt wenden.

5. Kapitel.
Tliales nnd die älteste griechische Cieoiuetrie.

Ein gelehrter Philosoph des V. S. Proklus Diadochus hat uns
ein ungemein werthvoUes Bruchstück eines älteren Schriftstellers auf-
bewahrt, welches uns ein Bild der ältesten griechischen Mathematik
in Jonien, in Unteritalien und in Athen den Umrissen nach erkennen
lässt. Es stammt nach Proklus Aussage von denen her, „die die Ge-
schichte geschrieben haben", und man ist allgemein darin einig hier
ein Fragment des Eudemus, oder wenigstens einen Auszug aus
dessen historisch-geometrischen Schriften zu erkennen^). Wir Averden
dasselbe häufig zu nennen haben und ihm zu diesem ZAvecke den
seinem Inhalte Avohl am meisten entsprechenden Namen des alten
Mathematikerverzeichnisses beilegen. Chronologisch theilt es
uns nämlich nach kurzer Einleitung die Namen derjenigen Männer
mit, die nach der Meinung des Verfassers die Entwicklung der Mathe-
matik vorzugsweise gefördert haben. Chronologisch, Avie wir sie
brauchen, werden wir die einzelnen Sätze abdrucken. Sie bilden ge-
wissermassen die Ueberschrift einzelner Paragraphen, in welche wir
unterzubringen haben werden, was in Bezug auf die einzelnen Persön-

') Diese Stelle ist abgedruckt in Prodi THaduchi in primum Euclidis ele-
vicntorum librum commenturii (ed. Friedlein). Leipzig, 1873, pag. C4 lin.
16—68 lin. 6. Der Urtext mit gegenüberstehender deutscher Uebersetzung bei
Bretschneider, Die Geometrie und die Geometer vor Euklides. Leipzig, 1870,
S. 27—30. AVir citiren dieses Werk künftig kurz als Bretschneider. Wir be-
dienen uns der Ilauptsacbc nach der dort mitgclheilten Ucberset/.ung, von der
wir nur in wenigen Punkten, avo wir B's Auffassung nicht theilen können, uns
entfernen.

Thaies und die älteste griechische Geomelrie. 125

lichkeiten aus anderen Quellen bekannt geworden ist. Die einleiten-
den Worte lauten folgendermassen:

„Da es nun noth wendig ist, auch die Anfänge der Künste und
Wissenscliafteu in der gecfenwärtis'en Periode zu betrachten, so be-
richten wir, dass zuerst von den Aegyptern der Angabe der Meisten
zufolge die Geometrie erfunden ward, welche ihren Ursprung aus der
Vermessung der Ländereien nahm. Denn letztere war ihnen nöthig
wegen der Ueberschwemmung des Nil, der die einem Jeden zuge-
hörigen Grenzen verwischte. Es hat aber nichts wunderbares, dass
die Erfindung dieser sowie der anderen Wissenschaften vom Bedürf-
niss ausgegangen ist, da doch 'Alles im Entstehen Begriffene vom Un-
vollkommenen zum Vollkommenen vorwärtsschreitet. Es findet von
der sinnlichen Wahrnehmung zur denkenden Betrachtung, von dieser
zur vernünftigen Erkenntniss ein geziemender Uebergang statt. So-
wie nun bei den Phönikiern des Handels und des Verkehrs halber
eine genaue Kenntniss der Zahlen ihren Anfang nahm, so ward bei
den Aegyptern jius dem erwähnten Grunde die Geometrie erfunden."

Wir begnügen uns unter Abdruck dieser Sätze darauf aufmerk-
sam zu machen, dass hier über die Erfindung der Geometrie dasselbe
behauptet wird, was wir früher (S. 60 — 62) nach anderen Quellen
als die wenigstens in Bezug auf den ägyptischen Ursprung wohl-
begründete Meinung des griechischen Alterthums mitgetheilt haben.
Die Geometrie kam aus Aegypten nach Griechenland. Wie und durch
wen, darüber belehrt uns das Mathematikerverzeichnis s, wenn es
fortfährt:

„Thaies, der nach Aegypten ging, brachte zuerst diese Wissen-
schaft nach Hellas hinüber und Vieles entdeckte er selbst, von Vielem
aber überlieferte er die Anfänge seinem Nachfolger; das Eine machte
er allgemeiner, das Andere sinnlich fassbarer."

Thaies von Milet^), Sohn des Examios und der KleobuUne,
aus einem ursprünglich phönikischen Geschlechte stammend, wurde
um das 1. Jahr der 39. Olympiade^), also um 624, geboren und
lebte noch im 1. Jahre der 58. Olympiade, d. h. 548. Er wurde
also über 76 Jahre alt, eine Berechnung, welche in vollem Einklang

^) Bretschneider S. 35 — 55. Allman, Greelc geometry from Thaies to
Euclid (1889) pag. 7 — 17. Eine Monographie von Decker, De Thalete Milesio,
Halle, 1865, ist uns nur dem Titel nach bekannt. Hauptquelle ist Diogenes
Laertius. Die Familie des Thale« I, 1 nach Herodot, Duris und Demokrit;
seine Lebenszeit I, 10 nach Apollodor und Sosikratea und I, 3, wo bezeugt ist,
dass Thaies beim Ausbruche des Vernichtungskampfes zwischen Krösus und
Kyrus (548) noch lebte. -) Vergl. Diels im Rheinischen Museum für Philologie,
Neue Folge XXXI, 16 (1876).

126 5. Kapitel.

mit audereu Angaben ist, die ohne genaue Jahrgänge festzustellen
ihn ein hohes Alter erreichen lassen. Eine ganze Menge von mehr
unterhaltenden als wichtigen Geschichten knüpfen sich an seinen
Namen. Aus denselben scheint hervorzugehen, dass Thaies Kaufmann
war, bald einen Salzhandel trieb, bald in Oelgeschäfte sich einliess,
und dass er vermuthlich auf diese Weise nach Aegypten kam. Einen
ägyptischen Aufenthalt bezeugt ferner die Bemerkung, Niemand sei
dem Thaies Lehrer gewesen, nur während seines Verweilens in
Aegypten habe er mit den Priestern verkehrt^). Ein drittes Zeug-
niss ist das der Pamphile, einer Geschichtsschreiberin zur Zeit Neros,
welche weiss, dass Thaies in Aegypten Geometrie erlernte^). Die
Belege könnten noch weiter bis zu fast beliebiger Anzahl vermehrt
werden, so dass an der Thatsache, Thaies sei in Aegypten gewesen,
und dort mit Geometrie bekannt geworden, nicht wohl zu zweifeln
ist^), wenn auch zugegeben werden muss, dass keines der Zeugnisse
älter als das Mathematikerverzeichniss zu sein scheint, und dieses
eine höher liegende Quelle ausser für eine einzige Angabe überhaupt
nicht angibt. Nach seiner Heimath Milet kehrte Thaies in vorge-
schrittenen Jahren zurück. .,Er befasste sich erst später und gegen
das Greisenalter hin mit Naturkunde, beobachtete den Himmel,
musterte die Sterne und sagte öffentlich allen Miletern voraus, dass
am Tage Nacht eintreten, die Sonne sich verbergen und der Mond
sich davor legen werde, so dass ihr Glanz und ihre Lichtstrahlen
aufgefangen werden würden." So der wörtliche Bericht eines Schrift-
stellers, welcher in seiner Einfachheit sehr glaubwürdig erscheint^).
Offenbar ist in ihm von derselben Sonnenfiusterniss die Rede, von
der neben Anderen auch Herodot weiss, dass Thaies sie den Joniern
angesagt hatte mit Vorausbestimmung des Jahres, in welchem die
Umwandlung von Tag in Nacht erfolgen sollte''). Nur im Vorbei-
gehen bemerken wir, auf die Aussage eines unverwerf baren Fach-
gelehrten gestützt), dass in so weiten Grenzen wie die eines Jahres
die Verkündigung einer Sonnenfinsternis s unter allen Umständen mög-

') Diogenes Laertius I, 27. -) Diogenes Laertius I, 24. ^) Eine
vortreffliche Zusammenstellung der Beweisstellen bei Zeller, Die Philosophie
der Griechen in ihrer geschichtlichen Entwicklung I, 169, Anmerkung 1 (3. Auf-
lage, Leipzig, 1869). Wenn in diesem Werke — wir werden es künftig nur
als Zeller I citiren — dessen scharfe, mitunter vielleicht allzu skeptische Kritik
mit Hecht anerkannt ist, aus allen diesen Stellen die Ueberzeugung gewonnen
wird, der ägyptische Aufenthalt des Thaies sei möglich, sogar wahrscheinlich,
aber allerdings nicht vollständig erwiesen, so dürfen wir diesen Ausspruch für
unsere Meinung deuten. '') Themistios Orat. XXVI, pag. 317. ^) Herodot
I, 74. 8) Rud. Wolf, Geschiehte der Astronomie. München, 1877, S. 10.

Thaies und die älteste griechische Geometrie. 127

licH war. Trat nun gar diese Finsterniss zur Zeit einer Sclilacbt
zwischen Medern und Lyderu — wie man jetzt ziemlich allgemein
annimmt am 28. Mai 585^) — ein und erhielt dadurch eine gewisse
erhöhte historische Bedeutung, so begreift man, wie damit zugleich
der Ruhm des Verkündigers unter seinen Landsleuten steigen musste.
Um so glaublicher wird der von der Erzählung der Sonnenfinsterniss-
voraussagung unabhängige Bericht, Thaies habe unter dem Archontat
des Damasias (zwischen 585 und 583) den Beinamen des „Weisen"
erhalten^). Mit ihm zugleich erhielten denselben Beinamen bekannt-
lich noch 6 andere Männer, die uns aber insgesammt hier gleich-
giltig sein können, weil nur eine politische Bedeutung der 7 Männer,
eine Staatsweisheit, durch jene ehrende Bezeichnung anerkannt wurde,
worin wir rückwärts eine Bestätigung dafür finden können, dass die
Sonnenfinsterniss von 585 und deren Verkündigung erst nachträglich
zur Bedeutung wuchs, als die leichtgläubige Bevölkerung in ihr eine
Vorbedeutung erkennen mochte. Wir übergehen Einmengungen in
das Staatsleben Milets, welche von Thaies berichtet werden. Wir
übergehen die ihm zugeschriebenen Ansichten über das Weltall und
über vorzugsweise astronomische Dinge. Es muss uns genügen,
Thaies als der Zeit nach ersten ionischen Naturphilosophen zu
kennzeichnen. Wir gelangen zu den mathematischen Dingen, mit
welchen der Name des Thaies in Verbindung gebracht wird.

Proklus nennt Thaies, abgesehen von jener dem Mathematiker-
verzeichnisse angehörenden Stelle, viermaP). Dem alten Thaies ge-
bührt, so lautet die erste Stelle, wie für die Erfindung so vieles Anderen,
so auch für die dieses Theorems Dank; er soll nämlich zuerst ge-
wusst und gesagt haben, dass die Winkel an der Basis eines
gleichschenkligen Dreiecks gleich seien, die gleichen Winkel
nach alterthümlicher Ausdrucksweise als ähnliche benennend.

Die zweite Stelle besagt: Dieser Satz lehrt, dass, wenn zwei
Gerade sich schneiden, die am Scheitel liegenden Winkel gleich
sind. Erfunden ist dieses Theorem, wie Eudemus angibt, zuerst von
Thaies. Eines wissenschaftlichen Beweises aber achtete der Ver-
fasser der Elemente (Euklid) es werth.

Zum dritten sagt Proklus bei Erörterung des Bestimmtseins
eines Dreiecks durch eine Seite und die beiden ihr an-

^) Vergl. G. Hof mann, Die Sonnenfinsterniss des Thaies vom 28. Mai 585
v. Chr. (Triest 1870). Geiz er im Rheinischen Museum für Philologie, Neue
Folge XXX, 264 (1875). Ed. Mahler in Sitzungsber. d. Wiener Akad. d.
Wissensch. 4. III. 1886. Mathem.-naturw. Classe, II. Abthlg., Bd. XCIII S. 455
bis 469. ') Diogenes Laertius T, 1. =*) Proklus (ed. Friedlein) 250, 299,
352, 157.

128 ». Kapitel.

liegenden Winkel: Eudemus führt in seiner Gescliiclite der Geo-
metrie diesen Lehrsatz auf Thaies zurück. Denn bei der Art, auf
welche er die Entfernung der Schiffe auf dem Meere gefunden haben
soll; sagt er, bedürfe er dieses Theorems ganz nothwendig.

Die vierte Erwähnung ist die Angabe: dass die Kreisfläche
von dem Durchmesser halbirt wird, soll zuerst jener Thaies be-
wiesen haben.

Zu diesen vier Erwähnungen bei einem und demselben mathe-
matischen Schriftsteller kommen noch zwei andere. Pamphile erzählt,
dass als Thaies bei den Aegyptern Geometrie erlernte, er zuerst dem
Kreise das rechtwinklige Dreieck eingeschrieben und des-
halb einen Stier geopfert habe^). Endlich ist es die sogenannte
Schattenmessung, welche auf Thaies zurückgeführt zu werden
pflegt. Hierouymus von Rhodos, ein Schüler des Aristoteles, erzählt,
Thaies habe die Pyramiden mittels des Schattens gemessen, indem
er zur Zeit, wenn der unsrige mit uns von gleicher Grösse ist, be-
obachtete^). Entsprechend berichtet auch Plinius: das Höhenmaass
der Pyramiden und aller ähnlichen Körper zu gewinnen erfand Thaies
von Milet, indem er den Schatten mass zur Stunde, wo er dem Körper
gleich ist-). Etwas darüber hinausgehend ist die Erzählung des
Plutarch, der in seinem Gastmahle Thaies mit Anderen über den
König Amasis von Aegypten sich unterhalten lässt. Niloxenus
äussert sich bei dieser Gelegenheit: 0 bschon er auch um anderer
Dinge willen Dich bewundert, so schätzt er doch über Alles die
Messung der Pyramiden, dass Du nämlich ohne alle Mühe imd ohne
eines Instrumentes zu bedürfen, sondern indem Du nur den Stock
in den Endpunkt des Schatten stellst, den die Pyramide wirft, aus
den durch die Berührung des Sonnenstrahls entstehenden zwei Drei-
ecken zeigest, dass der eine Schatten zum andern dasselbe Verhält-
niss hat wie die Pyramide zum Stock ■^).

Aus diesen der Zahl und der unmittelbaren Bedeutung nach ge-
ringfügigen Angaben ein vollständiges Bild von dem, was Thaies aus
Aegypten mitbrachte, von dem, was er selbst dazu erfunden hat, zu
gewinnen ist schwer, und war doppelt schwer, so lange die ägyptische
Mathematik in tiefes Dunkel gehüllt war. So kam es, dass dem
Einen bewiesen schien, die Aegypter hätten von Winkeln nichts ge-
wusst, und Thaies sei der Erste gewesen, der eine Winkelgeometrie
ersann; dass ein Zweiter das Verdienst des Thaies darin fand, dass

') Diogenes Laertius I, 24 — 25. ^) Diogenes Laertius I, 27.
^) Plinius, Historia naturalis XXXVi, 12, 17. ') Plutarch Vol. 2, III
pag. 174 ed. Didot.

Thaies und die älteste griechische Geometrie. 129

er eine Liniengeometrie in dem Sinne schuf, dass er das Verliältniss
der Linien einer Figur ins Auge fasste, während den Aegyptern nur
die praktische Geometrie der Flächenausmessung bekannt gewesen
sei; dass ein Dritter nicht Anstand nahm Thaies und die älteren
Griechen überhaupt fast jeden Erfinderrechtes für verlustig zu er-
klären und ihr ganzes geometrisches Wissen für Aegypten zurückzu-
fordern; dass ein Vierter au die entgegengesetzte Grenze streifend es
für gieichgiltig hielt, ob Thaies überhaupt Aegypten besucht habe
oder nicht, weil er Geometrisches in nennenswerther Menge von dort
nicht habe mitbringen können. Diese eine weite Kluft zwischen den
Streitenden offen lassenden Gegensätze, welche wir hier erwähnen,
welche aber nicht bei den Untersuchungen über Thaies allein sich
zeigten, sondern überall, wo es um durch bestimmte Persönlichkeiten
vermittelte üebertragimg orientalischer Wissenschaft nach Griechen-
land sich handelte, müssen gegenwärtig sich einander wesentlich
nähern, nachdem das Uebungsbuch des Ahmes mis zugänglich ge-
macht ist. Man wird nicht mehr leugnen wollen, dass Vieles von
dem, was die Anfänge der griechischen Geometrie bildet, ägyptischen
Lehren verdankt sein kann; man wird von der anderen Seite des ge-
waltigen Unterschiedes sich bewasst bleiben, der zwischen ägyptischem
und griechischem Denken auch bei Gleichheit des Gegenstandes des
Denkens obwaltete.

Wird z. B. irgend wer, der an das Seqt genannte Verhältniss,
au das xiehnlichmacheu der Aegypter (S. 58) sich erinnert, der dieses
selbe Verhältniss mit Nothwendigkeit in gleicher Grösse entstehen
sieht, ob man von dem einen Endpunkte der Grundfläche ob von
dem entgegengesetzten aus die betreffenden Messungen vornimmt, wird
ein solcher zweifeln können, dass die Gleichheit der Winkel an der
Grundlinie des gleichschenkligen Dreiecks den Schülern des Ahmes
bekannt sein konnte, wenn nicht bekannt sein musste? Thaies wusste
und sagte es zuerst, d. h. er zuerst sagte es seinen Landsleuten, und
muthet uns die alterthümliche Ausdrucksweise „ähnliche Winkel"
statt gleicher Winkel, deren er sich dabei bediente, nicht an wie
eine Uebersetzung von Seqt?

Wir fragen weiter. Kann nach Betrachtung der vielfach ge-
theilten Kreise auf ägyptischen Wandgemälden ein Zweifel daran
obwalten, dass auch die Wahrheit, dass der Durchmesser die Kreis-
fläche zu Hälften theile, in Aegypten gelernt werden konnte? Ja
sogar einen Beweis dieser Wanrheit, der, wie uns gerühmt wird, von
Thaies zuerst geführt worden sei, möchten wir den Aegyptern nicht
grade absprechen, weim auch die Art des Beweises dort eine andere
sewesen sein mag als in dem Munde von Thaies.

Cantor, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 9

130 5. Kapitel.

Wir steheE hier au dem Punkte, von welchem aus die Ver-
schiedenheit ägyptischen und griechischen Denkens, welche wir oben
betonten, uns deutlicher bemerkbar wird. Das Mathematikerverzeichniss
sagt uns von Thaies, das Eine habe er allgemeiner, das Andere sinn-
lich fassbarer gemacht. Es will uns scheinen, als sei damit grade
die ^echische und zugleich ägyptisirende Form seiner Leistungen
gekennzeichnet. Als Grieche hat er verallgemeinert, als Schüler
Aegyptens sinnlich erfasst, was er dami den Griechen wieder fass-
barer gemacht hat. Es war eine griechische Stammeseigeuthümlichkeit
den Dingen auf den Grund zu gehen, vom praktischen Bedürfnisse
zu speculativen Erörterungen zu gelangen. Nicht so den Aegyptern.
Wir glauben zwar nicht, dass die Aegypter jegliche Theorie ent-
behrten, wir haben schon früher (S. 71) das Gegentheil dieser An-
nahme ausgesprochen; aber wir haben dort auch gesagt, wie wir
ägyptische Theorie uns denken: als wesentlich inductive, während die
Geometrie der Griechen deductiver Natur ist. Der Aegypter könnte
einen Beweis des Satzes, dass der Durchmesser den Kreis halbire
durch die blosse Figur, oder vielleicht durch Berechnung der Flächen
beider Halbkreise nach derselben möglicherweise unverstandenen \"or-
schrift als vollständio- geführt erachtet haben. Der Grieche würde
sich allenfalls mit der Figur begnügt haben, wenn auch der Beweis
des Thaies uns in keiner Andeutung bekannt ist. So zeigt sich,
auch in den Beweisen, eine Abhängigkeit der griechischen Geometrie
von der ägyptischen, die sich lange erhielt. Die griechische Deduc-
tion war bei ihrem Beginne selbst inductiv. Sie war gewohnt von
dem Vielen zum Einen, von der Unterscheidimg zahlreicher Fälle
zum allgemein giltigen Satze überzugehen. Sie blieb deductiv, sofern
sie nicht unterliess jeden Einzelfall aus sich heraus zu gestalten, ihn
nicht der Erfahrung, der similichen Anschauung zu entnehmen.

Fassen wir mit Bezug auf Thaies zusammen, was wir hier in
allgemeinerer Erörterung, deren nur persönliche Gültigkeit wir be-
haupten, die also Andersmeinenden eine eigentliche Beweiskraft kaum
besitzen dürften, zu begründen suchten, so gelangen wir dahin, die
wissenschaftliche Bedeutung des Thaies nicht in der Anzahl der Sätze
zu finden, welche er selbst entdeckte, sondern in dem Anstoss zu
geometrischen Studien, den er gab, nebst den Anfangen deductiver
Behandlung, welche er lehrte. Dass wir übrigens von so wenigen
Sätzen nur wissen, deren Urheberschaft in mehr oder weniger be-
stimmter Weise auf Thaies zurückgeführt wird, kann auf zwei ver-
schiedenen Umständen beruhen. Einmal ist nur über das erste Buch
der euklidischen Elemente ein fortlaufender Commentar des Proklus
auf uns gekommen. Wir können also nur erwarten durch denselben

Thaies und die älteste griechisclie Geometrie. 131

über die Urheberschaft von Sätzen jenes ersten Buches mit Bestimmtheit
aufgeklärt zu werden, während Thaies gar wohl Sätze der folgenden
Bücher gekannt haben könnte, ohne dass wir berechtigt wären Proklus
das Stillschweigen darüber in dem auf uns gelangten Commentare
zu verübeln. Zweitens aber mag in der That das, was Thaies in
Aegjpten sich anzueignen im Staude war, nicht Alles umfasst haben,
was die Aegypter selbst wussteu, er, dem, wie die Berichte uns
sagten 0, Niemand Lehrer war, bevor er mit den ägyptischen Priestern
verkehrte, der sich erst später und gegen das Greisenalter hin mit
Naturkunde befasste.

Man hat aus den Sätzen, welche als thaletisch überliefert sind,
Schlussfolgerungen auf solche, die Thaies bekannt gewesen sein müssen,
o;ezo2en. Der letzte Forscher auf diesem Gebiete-) insbesondere hat
mit grossem Aufwände von Scharfsinn entwickelt, die Summe der
Dreieckswinkel müsse dem Thaies bekannt gewesen sein. Wenn
nämlich Thaies den Satz von den Winkeln eines gleichschenkligen
Dreiecks und den vom rechtwinkligen Dreiecke im Kreise kannte,
wenn ihm, wie dieser selbe Satz und der von der Halbirung des
Kreises durch den Durchmesser bezeugen, die Definition des Kreises
bekannt war, so musste ihm, meint Allman, etwa folgende Betrachtung
gelingen. Er werde von dem Kreismittelpunkt 0 aus (Fig. IG) eine
Linie OC nach der Spitze des rechten Winkels
im Halbkreise gezogen haben. Aus den
beiden gleichschenkligen Dreiecken ACO
und BCO sei die Gleichheit der Winkel
CAO = ACO und GBO = BCO mithin auch
der Summe CAO-\-GBO = ACO-]-BCO =
AGB hervorgegangen; er habe aber gewusst, dass AGB ein rechter
Winkel sei und demgemäss die Summe der Winkel bei A, bei B
und bei G als zwei Rechten gleich gefunden. Wir haben dem Scharf-
sinne des Wiederherstellers unsere Anerkennung gezollt, wir sind
auch geneigt von seinen Schlüssen einige uns anzueignen, allein wir
möchten die umgekehrte Reihenfolge für richtiger halten. Wir nehmen
an und wollen nachher begründen, auf welche Ueberlieferung hin wir
zu dieser Annahme uns bekennen, Thaies habe gewusst, dass die
Dreiecks winkel zusammen zwei Rechte betragen, er habe auch ge-
wusst, dass die Winkel an der Grundlinie des gleichschenkligen
Dreiecks einander gleich sind, dann mag ihn höchst wahrscheinlich
eine Zeichnung wie Figur 10 zur Erkenntniss geführt haben, dass

^) Diogenes Laertius I, 27 und Themistios, Ürat. XXVI, pag. 317.
G. J. Allman, Greelc geometry from Thaies to Euclid (1889) pag. 11.

132 5. Kapitel.

der Winkel bei C so gross sein müsse als die Summe der Winkel
bei A und B, mithin so gross als die kalbe Winkelsumme des Dreiecks
ABC, oder gleich einem rechten Winkel.

Unsere Beweggründe sind folgende. An und für sich sind beide
Sätze, der von der Winkelsumme des Dreiecks, der vom rechten Winkel
im Halbkreise, schon ziemlich künstlicher Natur, nicht auf den ersten
Anblick einleuchtend. Der eine wie der andere bedurfte einer wirk-
lichen Entdeckung und eines Beweises; wenn also eine gegenseitige
Abhängigkeit beider Sätze stattzufinden scheint, so ist es von vorn
herein ebenso gut möglich dem einen als dem andern das höhere
Alter zuzuschreiben. Nun findet sich aber ein Beweis des Satzes
vom rechten Winkel im Halbkreise bei Euklid Buch HI Satz 31 vor,
welcher dem von uns vermutheten sehr ähnlich ist. Eine Zusammen-
stellung wie die euklidischen Elemente ist aber, so genial, so ge-
dankenreich ihr Verfasser sein mag, durch ihren Inhalt selbst darauf
hingewiesen wesentlich compilatorisch zu sein, und so ist es gar
nicht unmöglich, dass auch bei diesem Satze Euklid der alterthüm-
lichen Beweisführung treu blieb, ohne dass wir davon unterrichtet
sind, weil ein alter Commentar zum III. Buche nicht vorhanden ist.
Dazu kommt als weitere Thatsache, dass wir über die älteste Beweis-
führung des Satzes von der Winkelsumme im Dreiecke Bescheid
wissen, und dass diese auch nicht entfernt den Schlussfolgerungen
gleicht, welche nach Allman's Meinung Thaies gezogen haben soll.

Geminus, ein Mathematiker des letzten Jahrhunderts vor Christus,
erzählt in einem bei einem noch späteren Schriftsteller, Eutokius von
Askalon, erhaltenen Bruchstücke, dass „von den Alten für jede be-
sondere Form des Dreiecks das Theorem der zwei Rechten besonders
bewiesen ward, zuerst für das gleichseitige, sodann für das gleich-
schenklige, und endlich für das ungleichseitige, während die Späteren
das allgemeine Theorem bewiesen: die drei Innenwinkel jedes Dreiecks
sind zweien Rechten gleich"').

Wir werden nun bald sehen, dass die Späteren, von welchen
Geminus redet, nicht gar lange nach Thaies gelebt haben, dass also
die Alten im Gegensatze zu jenen auf die thaletische Zeit, weim nicht
gar auf die ägyptischen Lehrer des Thaies gedeutet werden müssen.
Die Andeutungen des Geminus über diesen ältesten Beweis haben
dem Scharfblicke Hankels die Möglichkeit gegeben, den älteren Beweis
wiederherzustellen^). Seine Gedanken darüber sind, nur wenig abge-
ändert, folgende. Den Figuren gemäss, welche wir bei den Aegyptern

') Apollonii Pergaei Conica (ed. Halley). Oxford, 1710, pag. 9.
^) Hankel S. 95—96.

Thaies und die älteste oriechische Geometrie.

133

fanden, war dort, vielleicht aus asiatischer Quelle, seit dem XVII. S.
V. Chr. die Zerlegung der Kreisfläche in sechs gleiche Ausschnitte be-
kannt. An diese Figur dachten wir oben, als wir die Kenntniss des
Satzes, dass ein Durchmesser den Kreis halbire, für die Aegypter in
Anspruch nahmen und die Figur selbst als Beweis dienen Hessen.
Verband man die Endpunkte der Halbmesser mit einander, so ent-
stand das regelmässige Sechseck, oder vielmehr sechs um den Mittelpunkt
geordnete gleichseitige Dreiecke, die den ebenen Raum um jenen
Mittelpunkt herum vollständig ausfüllten. Drei dieser Winkel bildeten
vereinigt einen gestreckten Winkel, wie der Augenschein lehrte, und
vertraute man weiter dem Augenscheine für die Thatsache, dass jeder
Winkel des gleichseitigen Dreiecks dem anderen gleich war, so hatte
man jetzt den ersten Fall des Berichtes von Geminus erledigt: die
Winkel des gleichseitigen Dreiecks betrugen zusammen ZAvei Rechte.
Demnächst mochte man (Figur 17) die Zerlegbarkeit des gleich-
schenkligen Dreiecks in zwei Hälften, welche zu einem
Rechtecke sich ergänzen, erkennen und wieder lehrte
der Augenschein, dass bei einem derartigen Vereinigen
der zwei Dreieckshälften vier rechte Winkel erschienen,
von welchen zwei aus den ursprünglichen Winkeln des
gleichschenkligen Dreiecks, von denen nur einer in
Gestalt zweier Hälften auftrat, sich zusammensetzten. Jetzt fehlte
nur noch der dritte und letzte Schritt. Ein beliebiges Dreieck wurde
(Figur 18) als Summe der Hälften zweier
Rechtecke gezeichnet, so erschienen drei den
ursprünglichen Dreieckswinkeln gleiche Winkel
an der Spitze des Dreiecks zu einem gestreckten
Winkel vereinigt.

Eine Spur dieses ältesten Beweisverfahrens , wie es Geminus
uns schildert, hat sich auf griechischem Boden bei einem sehr späten
Praktiker erhalten. Ein anonymer Feldmesser des X. S., der nach-
weislich sein Buch aus ungefähr 1000 Jahre alten Musterwerken zu-
sammenschrieb, sagt ausdrücklich: Dass aber jedes durch Einbildung
oder Wahrnehmung zugängliche Dreieck die drei Winkel in der Grösse
von zwei Rechten besitzt, ist daher oäenbar, dass jedes Viereck seine
Winkel vier Rechten gleich besitzt und durch die Diagonale in zwei
Dreiecke mit sechs Winkeln geschieden wird^).

Eigentliche Beweisführung wird man solche Zeichnungen gewiss
nicht nennen. Sie bewirkten nichts, als dass der Augenschein inductiv

Fig. 17.

Fig. 18.

') Notices et extraits des manuscrits de la hihliotheque Imperiale de Paris
Tom. XIX, Partie 2, pag. 368.

134 5. Kapitel.

wirkend eine üeberzeugung herbeifülirte. War die Ueberzeugung ge-
bildet, so begnügte sieb damit die ältere Zeit, die spätere suchte nach
weiterer Begründung. Noch für andere Sätze, welche in Verbindung
mit dem Namen des Thaies auftreten, möchten wir den Augenschein
als damals einzigen Beweis auffassen. Der Augenschein wird dem
Satze von den Winkeln an der Grundlinie des gleichschenkligen
Dreiecks, wird dem von den Scheitelwinkeln den Ursprung gegeben
haben; und eine Unterstützung dieser Behauptung dürfte in der An-
gabe des Eudemus liegen, dass Thaies den Satz von den Scheitelwinkeln
erkannt, Euklid ihn eines Beweises werth geachtet habe').

Wir gehen in der Durchsprechung der Dinge, welche aus den
Ueberlieferungen der thaletischen Geometrie zu folgern sind, weiter.
Man hat'') aus der Kenntniss des Satzes vom rechten Winkel im
Halbkreise auf das damals schon vorhandene Bewusstsein dessen, was
man später geometrischen Ort nannte, geschlossen. Wir begnügen
uns solches zu erwähnen, ohne es uns aneignen zu können. Wir
verbinden dagegen zu einem einheitlichen Gedanken die Schatten-
messung und die Bestimmung eines Dreiecks durch eine
Seite und die beiden anliegenden Winkel. Beides waren
praktische Ausführungen, sofern das Dreieck, wie uns gesagt ist, zur
Bestimmung von Schiffsentfernungen dient. Beide beruhten auf der
Anwendung eines rechtwinkligen Dreiecks. Das eine Mal wurden
die Katheten jenes Dreiecks gebildet durch den Stab und seinen
Schatten, das andere Mal (Figur 19) durch die Warte, von welcher

aus die Beobachtung an-
gestellt wurde, und die
Entfernung des Schiffes").
Treimeud ist zwischen
beiden Aufgaben der Um-
stand, dass in dem einen
Falle die Schattenlänge
i'ig 19- selbst gemessen, in dem

anderen die Schiffsentfernung aus dem beobachteten Winkel erschlossen
werden musste. Beide Aufgaben waren einem Schüler ägyptischer
Geometrie zugänglich. Sie sind nahe verwandt dem Finden des Seqt
aus gegebenen Seiten, dem Finden der einen Seite aus der anderen
mit Hilfe des Seqt.

Zu einer Früheres ergänzenden nothwendigen Bemerkung gibt
übrigens die Schattenmessung des Thaies, welche ihm in zu wieder-

') Prokliis (ed. Friedlein), pag. '2y'J. -) AU mau 1. c. pag, 13 — 14.
^) Bretscüneider S. 43 -4ß.

Thaies und die älteste griechische Geometrie. 135

ht)lter Beglaubiguno; zugeschrieben wird, als dass wir Zweifel in sie
setzen könnten, Anlass. Mag die Schattenmessung nach der einfacheren
oder nach der dem Gedanken nach' zusammengesetzteren von den
beiden berichteten Methoden erfolgt sein, mag sie ein blosses Messen
der der gesuchten Höhe gleichen Schattenlänge oder das Berechnen
eines Verhältnisses gegebener Zahlen nöthig gemacht haben, Eines
setzt sie unter allen Umständen voraus: die Uebung, den von einem
senkrecht aufgestellten Gegenstande geworfenen Schatten wirklich ab-
zumessen. Damit vervollständigen sich unsere früheren Mittheilungen
(S. 102) über den Gnomon, seine Erfindung und Uebertragung. Wir
haben damals erwähnt, dass der eigentliche Gnomon nach Herodot
in Babylon zu Hause war, dass gleichfalls nach Osten der Name des
Berosus hinweist, dass die Bekanntschaft der Hebräer mit dem Stunden-
zeiger alt verbürgt ist. Neu tritt jetzt hinzu, dass auch in Aegypten
Schatten gemessen wurden, eine Ueberlieferung, welche mit jener
ersteren keineswegs in Widerspruch steht. Wir haben mehrfach schon
mathematische Zeugnisse alter Verbindungen zwischen 'Nil- und
Euphratländern anführen dürfen; hier ist vielleicht wieder ein solches,
und überdies ist es noch immer nicht das Gleiche, wenn an einem
Orte der Schatten zu geometrischen Zwecken gemessen wurde, am
anderen zur Herstellung einer Schattenuhr diente.

Wir haben auch schon den Mann genannt, der die Schattenuhr
den Griechen bekannt machte. Anaximander von Milet war es,
welcher Favorinus zufolge^) zuerst eine solche in Lakedämon auf-
stellte; während wohl durch ein Missverständniss genau dasselbe durch
Plinius^) dem Anaximenes, dem Schüler des Anaximander nachge-
rühmt wird. Anaximander war 611 geboren und wurde Schüler des
Thaies, als dieser in der Heimath sich niedeiliess, wofür wir etwa
das Jahr 586 anzunehmen durch die vorausgesagte Sonnenfinsterniss
Veranlassung haben. Anaximander starb kurz nachdem er 64 Jahre
alt geworden war, also etwa 545. Ein Lexikograph Suidas berichtet
von ihm, er habe nächst der Einführung des Gnomon vollständig eine
Hypotyposis der Geometrie gezeigt^). Wir begnügen uns mit
der Wiedergabe des griechischen Wortes, mit welchem wir bei dem
Fehlen jeder deutlicheren Angabe nichts anzufangen wissen. Es ist
ja. richtig, dass Hypotyposis durch „bildliche Darstellung" übersetzt
werden darf, ohne dass eine sprachliche Einrede erhoben würde; es
ist auch möglich, dass die Meinung sei, Anaximander habe eine „Reiss-

') Diogenes Laertius II, 1. ^) Plinius, Historia naturalis II, 76.
^) Suidas s. v. Anaximandros: yvmiiovcc t' sicriyayi: Tial [üXcog ytm^ttqCag

VTIOZVTICDGIV sdsi^SV.

136 5. Kapitel.

kunst" gesclirieberi . d. h. eine Angabe geometrischer Constructiouen
oline Begründung derselben^); aber mehr als eine scbwache Möglich-
keit liegt nicht vor.

Jedenfalls hat das alte Mathematikerzeichniss von dieser -geo-
metrischen Thätigkeit des zweiten ionischen Naturphilosophen nicht
Notiz genommen. Es fährt nämlich fort:

„Nach ihm (Thaies) wird Mamerkus, der Bruder des Dichters
Stesichorus, als ein eifriger Geometer erwähnt: auch berichtet Hippias
der Eleer von ihm, dass er sich als Geometer Ruhm erworben habe."

Diese Persönlichkeit ist ein so untrügliches Zeugniss für die
Vergänglichkeit irdischen Ruhmes, wie kaum eine zweite, denn wir
kennen heute von dem gerühmten Geometer nicht einmal mehr den
Namen mit einiger Sicherheit. Wir haben hier Mamerkus nach
der Lesart der gegenwärtig allgemein benutzten letzten Ausgabe des
Proklus geschrieben^). Andere nennen den Bruder des Stesichorus
Mamertinus, noch Andere Ameristus. Ein wegen seiner Un-
genauigköit berüchtigter mathematischer Historiker des XVII. S.,
Milliet Dechales, macht sogar zwei berühmte Geometer aus ihm, einen
Mamertinus und einen Amethistus. Wir begnügen uns mit dem
Eingeständnisse gar nichts von ihm zu wissen. Der Bruder Stesi-
chorus ist eine bekanntere Persönlichkeit. Er starb um 560 im Alter
von 85 Jahren und stammte aus Himera in Sicilien. Jedenfalls weist
also die geometrische Thätigkeit des Bruders des Dichters uns darauf
hin, dass der Geschmack an Wissenschaft, an Geometrie insbesondere,
seit Thaies die Anfänge aus Aegypten mitgebracht hatte, weitere Ver-
breitung gewann, dass die Zeit jetzt nahte, wo in Sicilien und in
Unteritalien eine schulmässige Beschäftigung mit unserer Wissen-
schaft ihre gedeihliche Wirkung äussern konnte unter der Leitung
eines Mannes, der eben dort seine Studien machte, wo auch Thaies
in die Geometrie eingeweiht worden war.

Thaies hat also nebst seinen nächsten ionischen Nachfolgern für
uns die Bedeutung, dass man durch ihn in Erfahrung gebracht hatte,
wo Geometrie zu Hause sei; dass von ihm die ersten der Zahl nach
geringen, der Anwendung nach schon werthvollen Sätze der Geometrie
bekannt gemacht wurden; dass von ihm eine etwas strengere Beweis-
führung ausging; dass er endlich eine Schule gründete, die der Wissen-
schaft diente und nicht Staatsleben und Geldverdienst allein als die
Dinge ehrte, denen ein Mann seine Kräfte widmen konnte. In allen

') Bretschneider S. 62 theilweise nach Köth, Greschichte der abend-
ländischen Philosophie II, 132. Fricdlein, Beiträge zur Geschichte der Mathe-
matik IT. Hof, 1872, S. 15, übersetzt: er gab eine bildliche Darstellung der
ganzen Geometrie heraus. -) Proklus (ed. Friedlein), p. 65, lin. 12.

Pjrthagoras und die Pythagoräer. Arithmetik. 137

diesen Richtungen können wir den Mann als seinen Nachfolger be-
trachten, dem wir jetzt uns zuwenden: Pythagoras von Samos.

6. Kapitel.
Pythagoras und die Pythagoräer. Arithmetik.

„Nach diesen verwandelte Pythagoras die Beschäftigung mit
diesem Wissenszweige in eine wirkliche Wissenschaft, indem er die
Grundlage derselben von höherem Gesichtspunkte aus betrachtete und
die Theoreme derselben immaterieller und intellectueller erforschte.
Er ist es auch, der die Theorie des Irrationalen und die Construction
der kosmischen Körper erfand."

Pythagoras von Samos, über welchen wir soeben das alte
Mathematikerverzeichniss haben reden lassen, war Sohn des Mne-
sarchus. Er gründete in den dorisch bevölkerten Städten von Süd-
italien, in dem sogenannten Grossgriechenland, eine Schule, die zahl-
reiche Anhänger versammelte und so geschlossen auftrat, eine solche
auch politische Bedeutung gewann, dass sie die Feindschaft der
ausserhalb der Schule Stehenden auf sich zog und gewaltsam zer-
sprengt wurde.

Diese Thatsachen stehen nach den Aussprüchen sämmtlicher alten
Berichterstatter allzu fest, als dass sie auch nur von einem einzigen
neueren Geschichtsschreiber angefochten würden. In jeder anderen
Beziehung aber herrschen über das Leben des Pythagoras, über seine
Lehre, über das was man ihm, was man seinen Schülern zuzuschreiben
habe, die allergrössten Meinungsverschiedenheiten. Greifen wir nur
einige gewiss wichtige Punkte heraus: das Geburtsjahr des Pytha-
goras, das Jahr seiner Ankunft in Italien, sein Todesjahr, die Zeit,
zu welcher die Schule zersprengt wurde, das Alles liegt im Wider-
streite der Meinungen. Wenn ein Forscher^) Pythagoras 569 ge-
boren, 510 in Italien aufgetreten, 470 bei dem gegen die Schule ent-
brannten Aufstande umgekommen sein lässt, sagt uns ein anderer
Forscher^), die Geburt habe um 580, die Ankunft in Italien um 540
stattgefunden, Pythagoras sei um 500 gestorben, die Schule erst ein
halbes Jahrhundert später zersprengt worden. Aehnliche Gegensätze
treten in allen Aeusserungen derselben Gelehrten über Pythagoras
und die Pythagoräer hervor, imd wir können diese Gegensätze so
ziemlich auf einen einzigen grundsätzlichen zurückführen. Der erste
Gelehrte, dessen Datirungen wir angaben, ging von dem Bestreben

') Roth, Geschichte der abendländischen Philosopliie. Bd. IL *) Zeller I.

138 1. Kapitel.

aus, die überreichen Mittheilungen, welche erst in nachchristlichen
Jahrhunderten von griechischen Schriftstellern in Form spannender
aber Roman -artiger mit Wundergeschichten reichlich durchsetzter
Bücher zusammengestellt wurden, nach Ausscheidung dessen, was
augenscheinlich sagenhafte Erfindung war, zu benutzen. Der Zweite
verwirft jene Romane ganz und gar, lässt höchstens die Benutzung
einiger weniger Stellen derselben zu, wo die Gewährsmänner aus-
drücklich genannt sind und ihre Nennung selbst Vertrauen verdient.
Beide gehen wohl in ihren polemisch erprobten und dadurch nur
um so stärker befestigten Meinungen zu weit, wenn wir auch heute
gern erklären, dass wir uns in den meisten Punkten den Ansichten
des Vertreters derjenigen Auffassung, die man als skeptische be-
zeichnen könnte, nähern, wenn nicht anschliessen. Für uns gibt es
aber noch einen Mittelweg, den wir vielfach an der Hand des letzten
Bearbeiters^) unseres Gegenstandes zu gehen lieben, so weit über-
haupt die Geschichte der Mathematik uns die Pflicht auferlegt über
die Streitpunkte ein Urtheil auszusprechen.

Ein derartiger Streitpunkt ist der Aufenthalt des Pythagoras
in Aegypten, der von grösster Bedeutung für die ganze Ent-
wicklungsgeschichte der griechischen Mathematik ist, wenn man an
ihn glaubt, jene Geschichte noch räthselhafter macht, als sie viel-
fach bereits erscheint, wenn man ihn verwirft. Der älteste Bericht
über diesen Aufenthalt, um dessen Glaubwürdigkeit oder Unglaub-
würdigkeit es sich begreiflicherweise in erster Linie handelt, stammt
von dem Redner Isokrates, dessen schrifstellerische Thätigkeit auf
398, also höchstens etwa 100 Jahre nach dem Tode des Pythagoras
und bevor die Mythenbildung sich seiner Persönlichkeit bemächtigt
hatte, fällt, Isokrates sagt von den ägyptischen Priestern^): Man
könnte, wenn man nicht eilen wollte, viel Bewunderungswürdiges von
ihrer Heiligkeit anführen, welche ich weder allein noch zuerst er-
kannt habe, sondern Viele der jetzt Lebenden und der Früheren,
unter denen auch Pythagoras der Samier ist, der nach Aegypten kam
und ihr Schüler wurde und die fremde Philosophie zuerst zu den
Griechen verpflanzte. Dieser Stelle ist mit entschiedenem Zweifel
begegnet worden"'), der auf den Inhalt der Rede des Isokrates sich
gründet. Busiris war eine ägyptische Stadt mitten im Nildelta, in
der grosse Isisfeste gefeiert wurden. In Erinnerung an die frühere

^) A. Ed. Cliaignet, PytJiagore et la philosophie Pythagoriciennc contcnant
les fragmenfs de Philolavs et d' Archytas. Ouvrage couronne par Finstitut.
Paris, 187a. Wir citiren dieses Werk kurz als Chaignet. -) Isokrates,
Busiris cap. 11. ^) Die Zweifel sind liier theilweisc wörtlich aus Zeller I,
259 Note 1 entaooimen.

Pythagoras und die Pythagoräer. Arithmetik. 139

Abgeschlossenheit Aegjpteus Fremden gegenüber hatte die griechische
Sage aber auch einen König gleichen Namens mit der Stadt erdacht,
der jeden Fremden schlachten Hess. Zur Zeit der Sophisten liebten
die griechischen Rhetoren sich mit Redestückchen gegenseitig zu
überbieten, Lobreden auf Tadelnswerthe, Anklagen gegen Vortreff-
liche zu verfassen. So hatte Polykrates eine Apologie jenes Busiris
geschrieben, und nun wollte Isokrates dem Nebenbuhler zeigen, wie
er sein Thema eigentlich hätte behandeln müssen. Polykrates, meint
er, habe darin gefehlt, dass er dem Busiris ganz unglaubliche Dinge
zugeschrieben habe, einerseits die Ableitung des Nils, andrerseits das
Auffressen der Fremden; dergleichen werde man bei ihm nicht finden.
Wir lügen zwar beide, sagt er aufrichtig genug, aber ich mit Worten,
welche einem Lobenden, Du mit solchen, welche einem Scheltenden
geziemen. Aus diesem Geständnisse hat man die Folgerung gezogen,
dass Angaben, die sich selbst als rednerische Erfindung geben, nicht
den geringsten Werth haben. Diese Folgerung ist aber nur da
richtig, wo es um rednerische Erfindung sich überhaupt handeln
kann. Hätte also Busiris, dem Isokrates lobend nachlügt, er sei der
Urheber der ganzen ägyptischen Kultur gewesen, wirklich gelebt,
wir würden doch von jenem Lobe nichts halten. Sind wir deshalb
berechtigt, auch von der ägyptischen Kultur nichts zu halten, nichts
von den ägyptischen Priestern als Trägern dieser Kultur? Das
wünscht wohl der Zweifelsüchtigste nicht. Und wenn die allgemein
anerkannte Thatsache ägyptischer hoher Bildung nur den unwahren
Zwecken des Isokrates mittelbar dienen soll, so hat es für ihn auch
nur mittelbare Bedeutung, wenn er jeuer Thatsache eine Stütze gibt,
wenn er sich darauf beruft, Pythagoras sei Schüler dieser hoch-
gebildeten Priester gewesen. Der falsche Satz: Busiris sei der Urheber
aller Bildung, wird dadurch in keiner Weise wahr, wenn die Bil-
dung vorhanden war, wenn sie auf fremde Persönlichkeiten sich
übertrug. Ueberdies bedurfte Isokrates zu diesem letzteren Erweise
keiner Unwahrheit. Er konnte auf die Reisen, auf die Berichte
anderer Männer sich beziehen, eines Thaies, eines Herodot, eines
Demokritos. Wenn er es vorzog, statt ihrer nur Pythagoras zu
nennen, so wird man das dadurch erklären müssen, dass das Ansehen,
in welchem Pythagoras schon zur Zeit des Isokrates stand, doch
ein anderes war, als das der eben genannten wenn auch berühmten
Persönlichkeiten. Isokrates, wir können es nur immer stärker be-
tonen, log nicht um zu lügen, er log nur in den Lobsprüchen, die
er seinem um jeden Preis zu erhebenden Helden zollte, und die er-
fundenen Verdienste des Busiris konnten eine gewisse Scheinbarkeit,
auf deren Erlangung es bei dem rednerischen Kunststückchen allein

140 6- Kapitel.

ankanij nur daDn gewinnen, wenn alles Beiwerk der Wahrheit ent-
sprach, wenn nicht auch nebensächliche Dinge den Hörer sofort kopf-
scheu machten. Wir zweifeln daher keinen Augenblick, dass der
Aufenthalt des Pythagoras in Aegypten, dass der Unterricht, welchen
er bei den dortigen Priestern genoss, zu den Dingen gehört, die
landläufige Wahrheit waren, als Tsokrates sie aussprach, die Nie-
mand neu. Niemand absonderlich oder gar unwahrscheinlich vor-
kamen ').

Der Aufenthalt des Pythagoras in Aegypten, den wir jetzt schon
für durchaus gesichert halten, wird weiter durch eine Menge anderer
Schriftsteller behauptet. Freilich sind es Schriftsteller, die insgesammt
später, theilweise viel später als Isokrates gelebt haben. Strabon
meldet uns in nüchternem, einfachem und dadurch um so glaub-
würdigerem Tone: Die Geschichtsschreiber theilen mit, Pythagoras
sei aus Liebe zur Wissenschaft nach Aegypten und Babylon ge-
gangen"'). Antiphon, allerdings der Lebenszeit nach nicht genauer
bestimmt, aber von späteren Schriftstellern unter Namensnennung
mit grosser Zuversicht benutzt, hat in seinen Lebensbeschreibungen
von durch Tugend sich auszeichnenden Männern Ausführliches über
den ägyptischen Aufenthalt des Pythagoras erzählt^). Viel weniger
Gewicht legen wir — von anderen Zeugnissen zu schweigen — dem
bei, was ägyptische Priester ruhmredig dem Diodor erzählten und
was er uns mit folgenden Worten wiederholt: Die ägyptischen Priester
nennen unter den Fremden, welche nach den Verzeichnissen in den
heiligen Büchern vormals zu ihnen gekommen seien, den Orpheus,
Musäus, Melampus imd Dädalus, nach diesen den Dichter Homer und
den Spartaner Lykurg, ingleichen den Athener Solon und den Phi-
losophen Piaton. Gekommen sei zu ihnen auch der Samier Pytha-
goras und der Mathematiker Eudoxus, ingleichen Demokritos von
Abdera und Oinopides von Chios. Von allen diesen weisen sie noch
Spuren auf). Diese altägyptischen Matrikellisten mit sammt den auf-
gewiesenen Spuren sind an sich recht sehr verdächtig, doppelt ver-
dächtig durch Namen wie Orpheus und Homer, die dort eingetragen
sein sollen. Wir haben die Stelle überhaupt uus aus einem, wie
uns scheint, erheblichen Grunde mitgetheilt. Sie beweist nämlich,
dass zu Diodors Zeiten um die dort genannten Männer ein ziemlich

*) Chaignet pag. 43 hält die ägyptische Reise auch für erwiesen, lässt
sich aber auf eine Vertheidigung des Ausspruches des Isokrates, wie Avir sie ge-
liefert haben, nicht ein. Dagegen sind bei ihm die Citate anderer Schriftsteller»
welche über jene Reise berichten, in grosser Vollständigkeit gesammelt.
*) Strabo XIV, 1, 16. ■') Als IJrnchstück erhalten bei Porphyrius, De vita
Jhjthagorac cap. 7, auch bei Diogenes Laertius VllI, 3. *) Diodor I, 96.

Pythagoras und die Pytliagoräer. Arithmetik. 141

gleicher Strahlenkranz von Berühmtheit sich gebildet hatte, der von
ihnen auf die Lehrer, die sie hatten oder gehabt haben sollten,
zurückstrahlt.

Die von uns angeführte Stelle des Strabon gibt auch Auskunft
über eine Studienreise des Pythagoras nach Babylon. Offen-
bar genoss diese zur Zeit von Christi Geburt, das ist zur Zeit Strabons,
einer hinreichend guten Beglaubigung, um als geschichtliche That-
sache kurz ervrähnt zu werden. Als sicher gestellt erscheint uns
damit so viel, dass Pythagoras in Babylon hätte gewesen sein können.
Drücken wir uns deutlicher aus. Wir meinen, es müssen innerhalb
der pythagoräischen Schule Lehren vorgetragen worden sein, welche
überraschende Aehnlichkeit mit solchen Dingen besassen, denen das
Griechenthum seit dem Alexanderzuge an dem zweiten Mittelpunkte
ältester Kulturverbreitung neben Aegypten, in Babylon wiederbegeg-
nete. Eine gegentheilige Annahme würde das Entstehen des Glaubens
an die Sage von dem Aufenthalte bei den Chaldäern jeder Grundlage
berauben. Wir nennen den Aufenthalt eine Sage, weil auch uns jetzt'
ein erstes Zeugniss Strabons ohne Kenntniss des Alters seiner Quellen
zur vollen geschichtlichen Wahrheit nicht ausreicht. Immerhin bleibt
die Art, wie ba'bylonische Elemente, deren wir auf mathematischem
Gebiete einige erkennen werden, in die pythagoräische Lehre ein-
drangen, und die Rolle, welche sie darin spielten, in hohem Grade
räthselhaft, wenn wir ganz verwerfen wollten, Pythagoras selbst oder
einer seiner nächsten Schüler sei unmittelbar an die Quelle gerathen,
aus welcher dieselben zu schöpfen waren.

Mit dem Ausdrucke Pythagoras selbst oder einer seiner nächsten
Schüler haben wir eine unleugbare Schwierigkeit bezeichnet, einen
Gegenstand wissenschaftlichen Zweifels berührt, welcher hier im Wege
liegt und zu dessen Wegräumung uns keine Mittel gegeben sind.
Die pythagoräische Schule war, wie schon oben erwähnt wurde,
eine eng geschlossene. Mag es Wahrheit oder Uebertreibung genannt
werden, dass unverbrüchliches Stillschweigen überhaupt den Pythago-
räern zur Pflicht gemacht war, dass ihnen unter allen Umständen
das verboten war, was wir sprichwörtlich aus der Schule schwatzen
nennen, sicher ist, dass über den oder die Urheber der meisten
pythagoräischen Lehren kaum irgend welche Gewissheit vorliegt.
'Ensivog £(pa oder ^tirog tcpa, ER, der Meister, hat's gesagt, war die
vielbenutzte Redensart, und welcher Zeit dieselbe auch angehört, sie
lässt, je später sie aufgekommen sein mag, um so deutlicher die
ganz ungewöhnliche, durch viele Jahrhunderte in der Ueberlieferung
sich erhaltende geistige Ueberlegenheit des Pythagoras, der Alles, was
von Werth war, selbst gefunden und gelehrt haben sollte, lässt aber

142 6. Kapitel.

auch die Unmöglichkeit erkennen scharf zu sondern, was wirklich
von Pythagoras selbst, was von seineu Schülern herrührte. Vielleicht
ist es dabei gestattet aus den erwähnten inneren Gründen anzunehmen,
dass, wo ein Pythagoräer als Entdecker bestimmt genannt ist, die
Richtigkeit der Angabe nicht leicht zu bestreiten sei, dass dagegen,
wo Pythagoras selbst der Urheber gewesen sein soll, sehr wohl eine
Namensverschiebung stattgefunden haben könne.

Einige von den Dingen, welche ganz besonders der Geschichte
der Mathematik angehören, werden wir allerdings nicht verzichten
Pythagoras selbst zuzuschreiben. Dazu gehört der pythagoräische
Lehrsatz, den wir unter allen Umständen ihm erhalten wissen
wollen. Sei es darum, dass man den Zeugnissen des Vitruvius, des
Plutarch, des Diogenes Laertius, des Proklns, so bestimmt sie auch
lauten^), wegen ihres späten Datums kein Gewicht beilegen dürfe.
Schwerer fallen doch die in die Wagschale, welche Proklus als seine
Gewährsmänner anführt: „Die welche Alterthümliches erkunden
wollen'"'^) sei damit, wie man gewöhnlich annimmt, Eudemus gemeint
oder nicht. Am Ueberzeugendsten vollends ist uns die mittelbare
Bestätigung in dem alten Mathematikerverzeichnisse. Pythagoras,
heisst es dort ausdrücklich, erfand die Theorie des Irrationalen. Eine
solche Theorie war aber ganz unmöglich, eine Beschäftigung mit dem
Irrationalen undenkbar, wenn nicht der Satz von den Quadraten der
drei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks vorher bekannt war, und
man würde, wollte man Pythagoras nicht als seinen Urheber gelten
lassen, in die noch schwierigere Lage versetzt, ihn älter als Pytha-
goras annehmen zu müssen.

Auf Grundlage des Mathematikerverzeichnisses sehen wir ferner
in Pythagoras selbst wirklich den Erfinder der Construction der
kosmischen Körper, d. h. der regelmässigen Vielflächner in
einem Sinne, der nachher noch auseinandergesetzt werden soll.

Glaubwürdig ist uns auch, was der bekannte Musikschriftsteller
Aristoxenus, einer der zuverlässigsten Gelehrten der peripatetischen
Schule, berichtet, dass Pythagoras vor Allen die Zahleulehre'') in
Achtung gehabt und dadurch gefördert habe, dass er von dem
Bedürfnisse des Handels weiter schritt alle Dinge den Zahlen ver-
gleichend''). Wir glauben an die Berechtigung der Verbindung des
Namens des Pythagoras mit der musikalischen Zahlenlehre,

^) Diese Zeugnisse zui?ammeugestellt bei A 11 m a n 1. c. pag. 26. k.
-) Proklus ed. Friedlein 426 tCav fiiv igxoquv xa aQ^aia ßovlofisvcov. Das
Wort iaroQStv besitzt bei Proklus nirgend eine spöttische Nebenbedeutung, man
darf also nicht, wie es geschehen ist, übersetzen ,,die alte Geschichten erzählen
wollen". •') Diogenes Laertius VI II, 14. *) Stobaeus, Ecloga phys. I, 1,6.

Pythagoras und die Pythagoräer. Arithmetik. 143

mag das Monochord von ihm herrühren oder nicht, wir glauben,
dass er hauptsächlich um die arithmetische Unterabtheilung
der Geometrie sich bemüht habe^).

Ja wir gehen noch weiter und schreiben dem Pythagoras den
Besitz einer mathematischen Erfindungsmethode zu, des mathe-
matischen Experimentes, wie wir dieses Verfahren anderwärts
genannt haben'), womit freilich ebensowenig gesagt sein soll, dass
das Bewusstsein ihm innewohnte darin eine wirkliche Methode zu
besitzen, als dass er ihr Erfinder war, die er aus den in Aegypten
gewonnenen Anschauungen jedenfalls leicht abstrahiren konnte, wenn
er sie nicht fertig von dort mitbrachte.

Auf die persönliche Zuweisung sonstiger Dinge verzichten wir
und werden im Folgenden von der Mathematik der Pythagoräer,
nicht des Pythagoras reden. Freilich vergrössert sich dadurch der
Zeitraum, dessen wissenschaftliches Bild wir zu gewinnen trachten
erheblich. Wenn auch nicht bis zu den letzten eigentlichen Pytha-
goräern, deren Thätigkeit auf 366 angesetzt wird^), so doch bis vor
Piaton, etwa bis zum Jahre 400 erstreckt sich unserer Meinung nach
die mathematische Thätigkeit des Pythagoräismus als solchem. Von
seinen meistens namenlosen, mitunter an bestimmte Persönlichkeiten
geknüpften Leistungen wissen wir aus verschiedenen theilweise späten
uns jedoch in den Dingen, für welche wir sie gebrauchen wollen, als
zuverlässig geltenden Quellen.

Als solche Quelle betrachten wir vor allen Dingen den „Timäus"
überschriebenen Dialog des Piaton. Tim aus von Lokri war ein
echter Pythagoräer, Piaton dessen Schüler. Soll man nun annehmen
Piaton habe diesem seinem Lehrer wissenschaftliche Aeusseruno-en
in den Mund gelegt, die er nicht ganz ähnlich von ihm gehört hatte,
er habe ihm insbesondere Mathematisches untergeschoben? Wir
köimen einem solchen Gedanken uns nicht hingeben, können es um
so weniger, als Piatons eigene Abhängigkeit von den Pythagoräern
in vielen Dingen durch einen so unverdächtigen Zeugen wie Aristo-
teles bestätigt wird. Die Philosophie Piatons, sagt er^), kam nach
der pythagoräischen, in Vielem ihr folgend. Anderes eigenthümlich
besitzend. Eine zweite wichtige Quelle liefert uns ein Werk des Theon
von Smyrna-'). Dieser Schriftsteller lebte zwar erst um 130 n. Chr.,
also in einer Zeit, wo die Mythenbildung, die Pythagorassage, wie

^) Diogenes Laeitius VIII, 12: [icchGza 8s axoXäaai xbv TIvQ-ayoQav thqI
xb &Qi&^r]tLKbv dSog avrf]g (sc. ysm^tzQLag) xov zs ■ndvova rbv fx ftiKg XOQSijg
svQUv. '-*) Math. Beitr. Kulturl. 92. ^) Zeller I, 288, Note 5. -*) Aristoteles
Metaphys I, 6. °) Theonis Smyrnaei philosojM Flatonici expositio rcnim
mathematicaruin ad legendum Plalonem utilium. Edid. Ed. Hill er. Leipzig, 1878.

144 6- Kapitel.

man einigermassen schroff sich ausgedrückt hat, in dem Leben des
Pythagoras von Apollonius von Tyana, in den unglaublichen
Dingen jenseits Thule von Antonius Diogenes, schon romanhafte
Gestalt gewonnen hatte. Aber für die Dinge, für welche wir Theon
gebrauchen wollen, war in einem Roman blutwenig zu schöpfen.
Man lese doch das Leben des Pythagoras von Porphyrius, das
ähnliche theilweise daran sich anlehnende Buch von Jaiublichus,
man lese was Diogenes Laertius von dem Leben des Pythagoras
aufgespeichert hat, und man wird zwar unterhaltende Geschichtcheu
genug finden. Mathematisches aber nur in so weit als Laien mit
mathematischen Wörtern um sich zu werfen im Stande sind, es sei
denn, dass ältere Fachleute wie der Musiker Aristoxenus, der
Rechenmeister Apollodorus als Gewährsmänner auftreten, zu welchen
als Fachmann Jamblichus selbst hinzutritt, der uns in dieser Gestalt
im 23. Kapitel begegnen wird. Was also Theon von Smyrna als
pythagoräische mathematische Lehren hervorhebt, das muss aus ganz
anderen nicht mythischen Schriften geschöpft sein, von welchen Por-
phyrius, Jamblichus in ihren Biographien des Pythagoras wenigstens
in diesem Sinne keinen Gebrauch gemacht haben.

Wer freilich solche Schriften verfasste, und wie sie hiessen, das
dürfte ein unlösbares Räthsel bleiben, wenn man auch versucht hat
die zweite Frage zu beantworten^). Bei Jamblichus findet sich Fol-
gendes-): „Die Pythagoräer erzählen, die Geometrie sei so in die
Oeffentlichkeit gelangt. Das Vermögen der Pythagoräer sei durch
einen derselben verloren gegangen, und da habe man ihm gestattet,
die Geometrie als Erwerbszweig zu benutzen." Daran schliesst sich
die fast unverständliche Stelle: 'Exakelxo dh iq ysco^stQca tcqoq Jlv&a-
yoQov löTOQiK, welche unser Gewährsmann übersetzt: „Die Geometrie
wurde aber Ueberlieferung von Pythagoras genannt." So an-
sprechend die Vermuthung an sich klingt, scheint sie doch sprachlich
nicht aufrecht erhalten werden zu können, es sei denn dass man
annähme, zwischen ysco^EtQia und TtQog sei ein Artikel rj weggefallen,
eine Annahme von grosser Kühnheit.

Die Benutzbarkeit des Theon von Smyrna gründet sich wesent-
lich auf dem ausgesprochenen Zwecke seines Werkes. Er will die
zum Verständniss Piatons und der Platoniker nöthigen Vorkenntnisse
mittheilen. Er will dabei der Reihe nach die Arithmetik mit Inbegriff
der musikalischen Zahlenverhältnisse, die Geometrie, die Stereometrie,

') La gäomätrie Gi'ecque, comment sou histoire uous est parvenue et ce
que nous en savons. Essai critique par Paul Tannery (Paris, 1887) pag. 81.
*) De pithagorica vita (ed. Kiessling) 89 und Ansse de VilIoi,son, Anecdota
üraeca II, 210 lin. 22—25.

Pythagoras und die Pythagoräer. Arithmetik. 145

die Astronomie, die Musik der Welten behandeln. Hier finden wir
also hauptsäctlicli dasjenige in der Sprache des II. n achristlichen
Jahrhunderts vorgetragen, was von mathematischen Kenntnissen für
das Studium Piatons nothwendig ist. Das können aber vermöge der
selbstverständlichen Thatsache, dass wissenschaftliche Anspielungen
eines früheren Jahrhunderts nicht mit Hilfe der Errungenschaften
eines späteren Jahrhunderts sich erklären, nur solche Kenntnisse sein,
die nach Theons bestem Wissen den platonischen Schriften selbst
geschichtlich voraus gingen, in ihnen zur Verwerthung kommen
konnten. Da ferner Theon von Piaton selbst sagt, er folge oft den
Pythagoräern^), so wird seine Brauchbarkeit für uns hier vollends
erhöht. Diese beiden Werke sind also unsere Hauptquellen. Wir
werden zu ihnen auch noch aus anderen Schriftstellern da und dort
einen geringen Zufluss erhalten, die sich, wie wir sehen wollen, zu
einem ganz stattlichen Ganzen vereinigen.

Theon hat, sagten wir, zuerst die Arithmetik behandelt. Damit
ist uns Gelegenheit geboten, eine ungemein wichtige Zweispaltung
der Lehre von den Zahlen in's Auge zu fassen. Die ganze Mathematik
zerfiel, nach Geminus"-), in zwei Haupttheile, deren Unterschied er
darin erkannte, dass der eine Theil sich mit dem geistig Wahrnehm-
baren, der andere sich mit dem sinnlich Wahrnehmbaren beschäftige.
Geistigen Ursprungs ist ihm Arithmetik und Geometrie, sinnlichen
Ursprungs dagegen Mechanik, Astronomie, Optik, Geodäsie, Musik,
Logistik. Von den übrigen Theilen und dem, was Geminus des
Weiteren über sie bemerkt, sehen wir ab. Arithmetik und Logistik
erklärt er dahin, dass die Erstere die Gestaltungen der Zahl an und
für sich betrachte, die Letztere aber mit Bezug anf sinnliche Gegen-
stände. Arithmetik ist ihm also eine theoretische, Logistik eine
praktische Wissenschaft. Arithmetik ist ihm, um die heute gebräuch-
lichen Wörter anzuwenden, dass was seit Gauss höhere Arithmetik, seit.
Legendre Zahlentheorie genannt wird. Logistik ist ihm die eigent-
liche Rechenkunst.

Diese strenge Unterscheidung war allerdings in den Zeiten
pythagoräischer Mathematik noch nicht zum Durchbruch gelangt. Die
Pythagoräer stellten die beiden Fragen: Wie viel? und Wie gross?^)
In der Beantwortung beider trennten sie aufs Neue. Das eine Mal
wurde die Vielheit an sich in der Arithmetik, die Vielheit
bezogen auf Anderes in der Musik behandelt. Das andere Mal

') Theon Smyrnaeus (ed. Hiller), pag. 12. ^) Proklus ed. Fried-
lein, pag. 38. Vergl. auch Nesselmann, Algebra der Griechen, S. 40 flgg.
^) Proklus ed. Friedlein 35—36.

Cahtor, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 10

146 6. Kapitel.

bildete die ruhende Grösse den Gegenstand der Geometrie, die
bewegte Grösse den Gegenstand der Sphärik.

Bei manchem Wechsel der sonstigen Systematik blieb die eigent-
liche Arithmetik vom VI. bis zum I. vorchristlichen Jahrhundert,
von den Pythagoräern bis zu Geminus fast mit gleichem Inhalte
ausgestattet, und dieser gleichartige Inhalt wahrte sich weiter, so
lange überhaupt in griechischer Sprache über diesen Theil der Mathe-
matik geschrieben wurde. Einiges kam natürlich im Laufe der zeit-
lichen Entwicklung hinzu. In die griechische Arithmetik drang ein,
was wir jetzt Algebra oder Lehre von den Gleichungen nennen,
soviel davon bekannt war. Ihr gehörte die Lehre von den nach be-
stimmten Gesetzen gebildeten Reihen und deren Summirung, ihr die
Proportionenlehre an, wie sie nach und nach in weiterem und weite-
rem Umfang sich bildeten, aber niemals begriff die Arithmetik das
eigentliche Rechnen unter sich.

Wir werden uns wohl der Wahrheit nähern, wenn wir annehmen,
die Logistik, die Rechenkunst, sei erst allmälig als Gegenstand schrift-
licher Unterweisung in Büchern behandelt worden. Sie verdankte
vorher ihre unentbehrliche Verbreitung vorwiegend dem mündlichen
Unterricht. Sie war allgemeines Bedürfniss, nicht Wissenschaft, und
es mag lange gedauert haben, bevor es einem Rechenmeister einfiel,
über den Inhalt seines Unterrichts sich schriftlich auszusprechen. Zu
dieser Annahme gelangen wir von der Erwägung aus, dass eine
Logistik bestand und uns quellenmässig gesichert ist, lange bevor
wir von Büchern über dieselbe hören. Ihr Name kommt schon in
einem platonischen Dialoge vor, wo die Logistik der Arithmetik
gegenübergestellt ist '), und in einem anderen Dialoge des gleichen
Verfassers ist von den Logistikern^) die Rede.

Wenn wir bei der Betrachtung der pythagoreischen Mathematik
von den arithmetischen Dingen ausgehen, so folgen wir nur der
Aussage, welche in dieses Gebiet die wesentlichsten Leistungen des
Pythagoras verlegt, und welche, selbst wenn ihr kein Gewährsmann
von der Bedeutung des Aristoxenus Gewicht verliehe, in dem all-
gemeinen Bewusstsein, dass die der Arithmetik uächststehende Zahlen-
symbolik so recht eigentlich altpythagoräisch war, ihre Rechtfertigung
finden könnte. Wir haben ein Beispiel pythagoräischer Zahlenmystik
an früherer Stelle (S. 95) verwerthet. Ein anderes mag hier Platz
finden, welches gleichfalls Plutarch uns aufbewahrt hat: Es haben
sich aber wohl die Aegypter die Natur des Weltalls zunächst unter
dem Bilde des schönsten Dreiecks gedacht; auch Piaton in der Schrift

') Piaton, Gorgias 461, B. ^) Piaton, Euthydemus 290, B.

Pythagoras und die Pythagoräer. Arithmetik. 147

vom Staate sclieint das Bild gebraucM zu haben, da wo er ein
Gemälde des Ehestandes entwirft. Das Dreieck enthält eine senkrechte
Seite von 3, eine Basis von 4 und eine Hypotenuse von 5 Theileu,
deren Quadrat denen der Katheten gleich ist. Man kann nun die
Senkrechte mit dem Männlichen, die Basis mit dem Weiblichen, die
Hypotenuse mit dem aus beiden Geborenen vergleichen und somit den
Osiris als Ursprung, die Isis als Empfängniss und den Horus als Er-
zeugniss denken^). Mit dem Vorbehalte auf diese nicht unwichtige
Stelle zurückzukommen, benutzen wir sie hier nur als freilich spätes
Beispiel pythagoräischer Zahlenspielerei, dem eine übergrosse Menge
älinlicher Dinge, Vergleichungen von Zahlen mit einzelnen Gottheiten
oder Vergleichungen von Zahlen mit gewissen sittlichen Eigenschaften
u. s. w. aus älterer und ältester Zeit zur Seite gestellt werden könnte "),
wenn die Geschichte der Mathematik neben dem allgemeinen Ver-
gleiche mit babylonischen Gedankenfolgen einen besonderen unmittel-
baren Nutzen daraus zu ziehen im Stande wäre. Allenfalls könnte
dieses für einen Satz zutreffen, welcher, wie sich zeigen wird, durch
Jahrhunderte sich forterbte, den Satz: dass die Einheit Ursprung
und Anfang aller Zahlen, aber nicht selbst Zahl sei^).

Wir werden bald sehen, dass die Pythagoräer es liebten auf
Gegensätze ihr Augenmerk zu richten, und ein solcher Gegensatz war
der zwischen Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen. Ein
alter Pythagoräer, Thymaridas von Paros^) war es vermuthlich,
der den Primzahlen den Namen der geradlinigen Zahlen, ägid^ol
sv&i^yQafifiixoL, beilegte "'') , jedenfalls im Gegensatze zu Flächen-
zahlen, von welchen auch noch in diesem Kapitel die Rede sein
wird. Derselbe Thymaridas aber hat sich ein ausserordentlich viel
grösseres Verdienst dadurch erworben, dass er ein Verfahren zur
Auflösung gewisser Aufgaben erfand, welches von hoher Tragweite
ist, und welches wir nach Jamblichus auseinandersetzen''). Das Ver-
fahren muss sehr verbreitet gewesen sein. Dafür bürgt ausser
Gründen, welche im 29. Kapitel auf indischem Boden sich ergeben
werden, der doppelte Umstand, dass Jamblichus es gradezu als eine

^) Plutarch, De Iside et Osiride 56. '■') Eine reiche Sammlung von Stellen
bei Zeller I, 334 — 345, namentlich in den Anmerkungen. ^) Vergl. Aristo-
teles, Metaph. XIII, 8, ferner Nicomachus, Eisagoge aiithmet. II, 6, 3 (ed.
Hoc he pag. 84) und am deutlichsten bei Theon Smyrnaeus (ed. Hiller)
pag. 24: ovxi Ss i] fiovus ccQtQ-fibg , ccXlcc &QXV «pi'ö'ftou. *) Paul Tannery,
Pour Fhistoire de la science Hellene (Paris, 1887) pag. 382—386 über die Per-
sönlichkeit des Thymaridas. ^) Jamblichus Chalcidensis in Nicomachi
Geraseni arithmeticam introductionem (ed. Tennuli us 1668) pag. 36. ^) Ebenda
pag. 89. Diese verderbte und darum ungemein schwierige Stelle hat zuerst
Nesselmann, Algebra der Griechen S. 232 flgg. richtig erklärt.

10*

148 6. Kapitel.

Methode, scpodog , bezeichnet und es mit einem bestimmten Namen
nennt, welcher demselben schon früher eigenthümlich gewesen zu sein
scheint. Das Epanthem, d. h. die Nebenblüthe des Thymaridas
besteht in Folgendem^): „Wenn gegebene [agLö^ava) und unbekannte
Grössen (aoQiöta) sich in eine gegebene theilen und eine von ihnen
mit jeder anderen zu einer Summe verbunden wird, so wird die
Summe aller dieser Paare nach Subtraktion der ursprünglichen Summe
bei 3 Zahlen der zu den übrigen addirten ganz zuerkannt, bei 4 deren
Hälfte, bei 5 deren Drittel, bei 6 deren Viertel und so fort." Damit
ist gemeint, dass, wenn ;/ Unbekannte ic^, a^o, iCg, . . . . Xn. heissen, und
wenn ausser ihrer Gesammtsumme a^j -{- x.2 -\- x^ -\- '■■-{- x^ = s die
Summe der ersten Unbekannten x^ mit jeder der folgenden Unbe-
kannten einzeln gegeben ist, also x^-\- x.^ = a^, Xy-\- x^ = a^,. ..Xy-\- Xa

= ttn — i, dass alsdann x^ = — — ^ sein muss.

Das ist, wie man sieht, vollständig gesprochene Algebra, welcher nur
Symbole fehlen, um mit einer modernen Gleichungsauflösung durch-
aus übereinzustimmen, und insbesondere ist mit Recht auf die beiden
Kunstausdrücke der gegebenen und unbekannten Grösse auf-
merksam gemacht worden.

Genug die Pythagoräer, seit Gründung der Schule, beachteten die
Zahlen und wussten verschiedene Gattungen derselben, so namentlich
die graden und ungraden Zahlen, erstere als agrioi, letztere als
TCSQiööoi, zu miterscheiden^). Diese Unterscheidung war so land-
läufig, dass zu Piatons Zeit das Spiel „Grad oder Ungrad" schon in
Uebung war^). Wir erinnern uns, dass auch den Aegyptern dieser
Unterschied nicht entgangen war, wie wir aus der Einrichtung ihrer
Zerlegungstabelle für Brüche schliessen durften (S. 27). Ob sie
freiUch bestimmte Namen für das Grade und für das Ungrade hatten,
was zum vollen Bewusstsein dieser Zahlengattungen gehört, das schwebt
so lange im Dunkel, als nicht ein ägyptisches theoretisches Werk
entdeckt ist, dessen Nothwendigkeit zur Ergänzung des Uebungs-
buches wir eingesehen haben. Letzteres enthält jedenfalls solche
Namen nicht.

Die Pythagoräer sahen überdies in den graden und ungraden
Zahlen Glieder von Reihen, nannten solche Reihenglieder oqoi
und besassen vermuthlich in dem Worte ex&eötg auch einen Namen
für den Begriff von Reihe selbst^). Auch diese Thatsache kann

') Wir benutzen die Uebersetzung Nesselmann' s. ^) o ye ^ccv iXQLd'(ibg
i'x^i' Svo fi£v i'ösa si'Srj TcaQicabv xai aQZLOv heisst es in einem Fragmente des
Philolaus. Vergl. Zeller I, 299, Anmerkg. 1 und Chaignet I, 228. '*) Piaton,
Lysis pag. 206. *) Vergl. Bienayme in einer Notiz über zwei Stellen des

Pythagoras und die Pythagoräer. Arithmetik. 149

uns nicht in Erstaunen setzen, naclideni die Kenntniss der arith-
metisclien wie der geometrisclien Reihe bei Aegyptern und Baby-
loniern, die Kenntniss der Summenformel für arithmetische Reihen
mit Gewissheit, für geometrische Reihen als Möglichkeit bei deii
Aegyptern festgestellt werden konnte.

Mit den Reihen der graden und ungraden Zahlen wurden bei
den Griechen — wir behaupten bei den Pythagoräeru — nach den
Zeugnissen des Theon von Smyrna mannigfache Summirungen vor-
genommen. Man addirte die sämmtlichen auf einander folgenden
Zahlen der natürlichen Zahlenfolge von der 1 bis zu einem beliebig

gewählten Endgliede und fand 1 -j- 2 + o -f • • • + » = ^^-^^^

die DreieckszahP). Man addirte die ungraden Zahlen für sich und
fand 1 -}- 3 -|- 5 + • • • + {2n — 1) = n'^ die Quadratzahl, zu deren
Erklärung man eben diese Entstehungsweise benutzte'-). Man addirte

die graden Zahlen für sich, und fand 2 -|- 4 + 6 -j- [- 2 n = n{n -\- 1)

die heteromeke Zahl'*), d. h. das Produkt zweier Faktoren, deren
einer um die Einheit grösser ist als der andere, und welches eben
dieses Grössersein der einen Zahl in seinen Namen aufnahm.

Wir haben hier arithmetische Erklärungen und Lehrsätze den
Pythagoräeru überwiesen, welche trotz ihres Vorkommens bei Theon
von Smyrna, trotz der von uns vorausgeschickten allgemeinen Recht-
fertigung der Benutzbarkeit seines Werkes für diese weit zurückliegende
Zeit, einigermassen stutzig machen könnten. Da wir in unseren
Folgerungen noch weiter zu gehen gedenken, so dürfte es nicht
unzweckmässig sein, andere Beweisgründe für die Richtigkeit unserer
Annahme hier einzuschalten, welche ein bedeutend älterer Schriftsteller
von allseitig anerkannter Zuverlässigkeit, mit einem Worte, welche
Aristoteles uns liefert. In dessen Metaphysik*) finden wir die
sogenannte pythagoräische Kategorientafel, in welcher zehn
Paar Grundgegensätze aufgezählt werden, die der pythagoräischen
Schule angehört haben. Diese heissen 1. Grenze und Unbegrenztes;
2. Ungrades und Grades; 3. Eines und Vieles; 4. Rechtes und Linkes;
5. Männliches und Weibliches; 0. Ruhendes und Bewegtes; 7. Gerades
und Krummes; 8. LichtundFinsterniss; O.Gutes und Böses; 10. Quadrat
und Heteromekie. Wir dürfen vielleicht annehmen, dass unter dem
dem 3. Paare die Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen inbegriffen
sind. Wir erkennen in den beiden mit 2. und mit 10. bezeichneten

Stobäus in den Comptes rendus der Pariser Akademie der Wissenschaften vom
3. October 1870.

') Tlieon Smyrnaeus (ed. Hiller) 31. ^) Ebenda 28. ^) Ebenda 27
und 31. *) Aristoteles, Metaphys. I, 5, 6 vergl. Zeller I, 302, Anmerkg. 3.

150 6- Kapitel.

Paaren die Zusammengehörigkeit des Ungraden mit dem Quadrat,
des Graden mit der Heteromekie, und sollte diese Zusammengehörig-
keit nicht in der Entstehungsweise der Quadrate und der Hetero-
ruekeu ihre vollgültige Begründung finden? Allerdings hat man, wie
wir sehen werden, eine andere Erklärung gesucht, weshalb das
10. Paar, dessen Vorhandensein unter allen Umständen einer Recht-
fertigung bedarf, weil seine Gegensätze nicht so scharf und natürlich
sind, wie die der neun anderen Paare, Aufnahme gefunden habe.
Wir sind nicht gewillt, jene andere Erklärung schon jetzt geradezu
zu verwerfen, aber noch weniger auf die unsrige zu verzichten.
Konnte es doch in der Tafel der Grundgegensätze, auf welche alle
Erscheinungen zurückzuführen sind, nur erwünscht sein, durch ein
Paar sofort zwei wesentlich verschiedene Beziehungen dargestellt zu
wissen. Ist doch überdies mindestens die Entstehung des Quadrats
als Summe der mit der Einheit beginnenden ungraden Zahlen wieder
durch Aristoteles als echt pythagoräisch bezeugt^).

Aristoteles bedient sich dabei eines Wortes, welches für uns von
grosser und vielfacher Wichtigkeit ist, des Wortes Gnomon. Was
ist ein Gnomon? Wörtlich genommen ein Erkenner, und zwar
bedeutete es zunächst einen Erkenner der Zeit, dann der senkrechten
Stellung, welche der Stab, um als Schattenwerfer und Stundenzeiger
Anwendung finden zu können, einnehmen musste. So wurde das
Wort allmälig aus einem Kunstausdrucke der praktischen Astronomie
zu einem solchen der Geometrie, und man sagte „die nach dem
Gnomon gerichtete Linie" ^^ , wenn man von einer Senkrechten reden
wollte. Der Sinn des Wortes veränderte sich aber nun noch weiter.
Ein mechanisch herzustellender rechter Winkel
(Figur 20) wurde so genannt oder geometrisch
ausgedrückt: Gnomon war das, was von einem
Quadrat übrig blieb, wenn aus dessen einer Ecke
ein kleineres Quadrat herausgeschnitten wurde.
Diese Bedeutung des Wortes war bei den Pytha-
goräern gang und gebe. Den untrüglichen Beweis

^^' dafür liefert ein erhaltenes Bruchstück des Phi-

lolaus'), eines Py thagoräers , dessen Lebenszeit so ziemlich gleich-
mässis; von den Grenzen des Jahrhunderts zwischen 500 und 400
abstehen möchte. In noch späterer Zeit verschob sich die Bedeutung
des Gnomon noch weiter. Euklid stellte um 300 die Definition

'). Aristoteles, Physic. III, 4. Vergl. Zeller I, 300 Anmerkung und
Chaignet 11, 61 — ü2. ^) Proklus ed. Friedlein 283, 9. ^) Philolaus, des
Pythagoreers Lehren nebst den Bruchstücken seines Werkes von Aug. Böckh.
Berlin, 1819, Fragment 18, S. 141. — Chaignet I, 240.

Pythagoras und die Pythagoräer. Arithmetik. 151

auf, iu einem Parallelogramme heisse ein jedes der um die Diagonale
herumliegenden Parallelogramme mit den beiden Ergänzungen zu-
sammen ein Gnomon^). Der Sinn dieser im Wortlaute nicht all-
zudeutlichen Erklärung ist folgender. Werden in einem Parallelo-
gramme durch einen und denselben Punkt der Diagonale Parallel-
linien zu den beiden Seiten gezogen, so entstehen (Figur 21) zwei
in unserer Figur wagerecht schraffirte Pa-
rallelogramme, und zwei in unserer Figur
schräg schraffirte Ergänzungsdreieckchen.
Diese vier kleinen Figuren zusammen bil-
den das euklidische Gnomon, eine Verall-
gemeinerung des älteren Begriffes insofern,

als ein Stück aus einem Parallelogramme statt aus einem Quadrate
herausgeschnitten wird, um es hervorzubringen. Noch etwas allge-
meiner wird die Erklärung, welche nach weiteren zwei Jahrhunderten
Heron von Alexandria gab: Alles was zu einer Zahl oder Figur
hinzugefügt das Ganze dem ähnlich macht, zu welchem hinzugefügt
worden war, heisst Gnomon'-). Doch auch diese letzte Verallgemei-
nerung knüpft wieder an alte Begriffe an, indem schon Aristoteles
sagt, wenn man ein Gnomon um ein Quadrat herumlege, werde zwar
die Grösse, aber nicht die Art der Figur verändert^).

Nachdem wir erörtert haben, was ein Gnomon in der Geometrie
bedeute, ist der Zusatz wohl leicht verständlich, dass in alten Zeiten
die ungrade Zahl auch wohl Gnomonzahl genannt wurde. Denken
wir uns nämlich ein Quadrat, dessen Seite n. Längeneinheiten misst,
und beabsichtigen wir dieses Quadrat zum nächstgrösseren mit der
Seite von n -\- 1 Längeneinheiten durch .Hinzufügung eines Gnomon
zu ergänzen, so ist klar, dass dieses Gnomon bestehen wird aus einem
Quadratchen von der Seite 1 und aus zwei Rechtecken von den Seiten 1
und v^ dass es also \ -\- 2 x n Flächeneinheiten besitzen wird,
welche in der That die vorhandenen ir Flächeneinheiten des früheren
Quadrates zu den (>< -\- 1)- Flächeneinheiten des neuen Quadrates er-
gänzen. Das heisst in Zahlen: die Quadratzahl n^ wird zur nächsten
Quadratzahl (ii -(- 1)-, wenn man ihr die Gnomonzahl 2n + 1 bei-
fügt. So sind wir zum Verständniss der vorher angedeuteten Stelle
der aristotelischen Physik gelangt '), einem Verständniss, in welchem
wir uns mit allen alten und neuen Erklärern zusammenfinden. Die
Pythagoräer, sagt dort Aristoteles, hätten die Quadratzahlen gebildet.

*) Euklid, Elemente II, Definition 2. '^) Heron Alexandrinus (ed.
Hultscli) Definit. -59, pag. 21. ') Aristoteles, Categor. XIV, 5 und XI, 4.
Vergl. Chaignet II, 62, Note 2. ^) Aristoteles Physic. III, 4.

152 6. Kapitel.

indem sie die Gnomonen allmälig zur Einlieit hinzufügten. Das will
eben nichts anderes heissen als (Figur 22) die Pythagoräer haben die
Summirung 1 + 3 + 5 -|- • • • -{- (2n — 1) = w^ vollzogen, haben

dieses Verfahren mit klarer Einsicht in
den darin zu Tage tretenden Gedanken
ausgeübt. *

Sehen wir einen Augenblick von der
arithmetischen Wichtigkeit des Satzes, der
uns beschäftigt hat, ab, so ist er uns auch
für die älteste Geometrie ein später noch
zu verwerthendes Zeugniss. Er lässt uns
erkennen, dass die Pythagoräer den Zu-

sammenhang, welcher zwischen den Seiten

Fig. 22. ' . .

eines Quadrates, eines Rechteckes und
deren Flächeninhalt stattfindet, mehr als nur ahnten, was freilich bei
Schülern einer aus Aegypten eingewanderten Geometrie nicht ver-
wundem kann. Er lässt uns ferner die Kenntniss der eigenthümlichen
Figur des Gnomon beachten. Einen mechanisch herzustellenden
rechten Winkel nannten wir oben diese Figur, und in der That ist
das Alter dieses Werkzeuges gradezu sagenhaft. In Aegypten sind
wir ihm (S. 63) auf der bildlichen Darstellung einer Schreinerwerk-
stätte begegnet und bei Plinius hat sich die Ueberlieferung erhalten,
die Werkzeuge der Architekten, wie Axt, Säge, Bohrer, Setz wage
rührten von Dädalus und dessen Neffen Talus her, welche vor dem
trojanischen Kriege lebten, der rechte Winkel von Theodorus von
Samos, einem der Erbauer des Tempels von Ephesus um das Jahr
600 etwai).

Und noch Etwas lernen wir aus der pythagoräischen Begründung
des Satzes von der Entstehung der Quadratzahlen: die Neigung
zur geometrischen Versinnlichung von Zahlengrössen und
deren Verknüpfungen, welche wir für griechische Eigenthümlich-
keit halten, entsprechend dem viel und mit Recht gerühmten plasti-
schen Sinne der Hellenen. Der erste Anstoss könnte ja, wenn man
für Alles eine äussere Veranlassung suchen wollte, in der ägyptischen
uns aus dem Uebuugsbuche des Ahmes bekannten Gewohnheit den
Figuren die Maasszahlen ihrer Längen, ihrer Flächen beizuschreiben
gefunden werden, aber immerhin lässt das griechische Verfahren sich
als einen Gegensatz zu diesem ägyptischen bezeichnen. Bei dem
einen handelt es sich um die Möglichkeit geometrische Gebilde in
Rechnung zu bringen, bei dem anderen um die Möglichkeit das Er-

') Plinius, Histor. natural. VII, 56.

Pythagoras und die Pyttagoräer. Arithmetik. 153

gebniss rechnender Ueberlegung den Sinnen erfassbar zu macben.
Die Gnomouzablen waren unter den bis hierher besprochenen nicht
die einzigen, deren Versinnlichung die Pythagoräer sich angelegen
sein liessen. Die Quadratzahlen selbst bilden ein anderes Beispiel,
ein anderes die Heteronieken. Auf die Versinnlichung führen auch
die Namen Flächen- und Körperzahlen zurück, zu deren pytha-
goräischem Vorkommen wir uns nunmehr wenden.

Im platonischen Timäus findet sich eine Stelle, welche etwa
folgendermassen heisst: Um mit zwei Flächen eine geometrische
Proportion zu bilden, deren äussere Glieder sie sein sollen, genüge
es eine dritte Fläche als geometrisches Mittel anzusetzen; sollen aber
zwei Körper die äusseren Glieder einer geometrischen Proportion sein,
so müsse man zwei von einander verschiedene innere Glieder annehmen,
weil ein geometrisches Mittel nicht vorhanden sei^).

Flächen und Körper können hier nur als Zahlen und zwar als
Produkte von zwei beziehungsweise von drei Faktoren angesehen werden.
Das heisst man wusste damals, dass im Allgemeinen das Maass einer
Fläche, eines Körpers gefunden werde, indem man zwei, drei Ab-
messungen mit einander vervielfältigte. Die Erklärung von Flächen-
und Körperzahlen als solcher Produkte ist ausgesprochen bei Euklid^),
sie ist ausgesprochen bei Theon von Smyrna^). Beide bedienen sich
der Namen agid'^ol miTCsdot für die Flächen-, ciQi&^ol öxsqeoC für
die Körperzahlen, und der pythagoräische Ursprung derselben beweist
sich aus der eben hervorgehobenen Thatsache, dass nur mit ihrer
Hilfe die Timäusstelle zur Klarheit gelangt. Denken wir uns P1P2P3
QxüiQs ^1^ sechs Primzahlen und jedenfalls keine von den Primzahlen^)
einer Primzahl q gleich. Nun ist P1P2 eine Flächenzahl, g, ^2 eine
zweite. Deren geometrisches Mittel lässt sich bilden, d. h. y2hP2^i^2
ist rational ausziehbar, sofern jJj = ]i, und zugleich g, ==g'2- Die
gefundene Proportion heisst unter Weglassung der in diesem Falle
unnöthig gewordenen Indices p^ : pq = pq : q^ und es genügte wirk-
lich eine dritte Fläche als geometrisches Mittel anzusetzen, um mit
den angegebenen beiden Flächen eine geometrische Proportion zu
bilden, deren äussere Glieder sie sein sollten. Körperzahlen werden
femer sowohl p^ • p.*- p^ als qi - q-i ■ q^- Deren geometrisches Mittel
VPiP2lh^\Q2Q3 is^ ^^^^ ^i^ rational, wenn die Vorschrift kein p
einem q gleich werden zu lassen eingehalten wird, mögen die p und

^) Eüides siir le Timce de Piaton par Th. H. Martin I, 91 und 337—345
und Hultsch in Fleckeisen und Masius, Neue Jahrbücher für Philologie
und Pädagogik. Jahrgang 1873. Bd. 107, 493—501. ^) Euklid VIT, Defini-
tionen 16 und 17. =*) Theon Smyrnaeus (ed. Hiller), pag. 36—37 und
häufiger.

154 6. Kapitel.

die q je unter sich gleich oder verschieden sein. Durch zwei Mittel-
glieder dagegen lässt sich die Proportion in mannigfaltiger Weise
ergänzen z. B. PiP.P-, : PiP^Qi = QiQalh ■ Qi(i2^3 oder PiP,Ps : PühQ^
"^^ 'h'hP'i' Q1O2Q0 ^^- ^- ^- I'^ Timäus heisst das so: Sollten zwei
Körper die äusseren Glieder einer geometrischen Proportion sein, so
musste man zwei von einander verschiedene innere Glieder annehmen,
weil ein geometrisches Mittel nicht vorhanden ist. Werden hier die p
und die q wieder alle als unter sich gleich betrachtet und lässt man
deshalb die Indices wieder weg, so entsteht p^ : p'q =^ pq^ : q^ oder
}/ : pq- = 2)~q '• q^- Eine andere Auswahl von Mittelgliedern gibt es
in diesem besonderen Falle nicht. Grade er hat sich auch ander-
weitig erhalten. Euklid beweist, dass zwischen zwei Quadratzahlen
eine, zwischen zwei Kubikzahlen zwei mittlere Proportionalen fallen^)
und Nikomachus nennt diese beiden Sätze ausdrücklich platonisch"),
ohne Zweifel in Berücksichtigung der damals allgemein bekannten
Timäusstelle.

Eben diese Stelle hat bei der ausführlicheren Besprechung noch
erhöhte Bedeutsamkeit für uns gewonnen. Zwei wichtige Thatsachen
gelangten dadurch zu unserem Bewusstsein, die eine dass der Begriff
des Irrationalen der Schule des Pythagoras angehörte, die andere
dass dieselbe Schule sich viel mit Verhältnissen beschäftigte. Auf
den ersteren Gegenstand kommen wir im nächsten Kapitel bei Ge-
legenheit des pythagoräi sehen Lehrsatzes zu reden. Von den Verhält-
nissen handeln wir sogleich.

Wir sind nicht auf die Timäusstelle allein angewiesen, um die
Analogien und Me so täten, das sind die griechischen Namen für
Verhältnisse und dabei auftretende Mittel, für die Pythagoräer in
Anspruch zu nehmen. Ein bei Nikomachus aufbewahrtes Bruchstück
des Philolaus"'^) lässt den Würfel die geometrische Har-
monie genannt werden, weil seine sämmtlichen Abmessungen völlig
gleich unter einander und somit in vollständigem Einklänge seien.
Dem entsprechend habe man den Namen harmonisches Ver-
bal tniss wegen der Aehnlichkeit mit der geometrischen Harmonie
eingeführt. In der That spiegle sich dieses Verhältniss in jedem
Würfel mit seinen 12 Kanten, H Ecken und'B Flächen ab. Wir
haben kaum nothwendig diese Stelle noch zu erläutern und zu be-
merken, dass 6, 8, 12 in stetigem harmonischen Verhältnisse stehen,
.,1 1 1 1

1) Euklid Vlll, 11 und 12. ^) Nicomachus, Eisagoge arithm. II, 24, 6
(ed. Hoche), pag. 129. ^) Nicomachus, Eisagoge arithm. H, 26, 2 (ed.
Hoche), pag. 135. Vergl. Boekh, Philolaus fragm. 9, S. 87. Chaignet I, 233.

;ugleic]i

b =

= c + "

' n

• Wirklich

a — b
b - c

a
c

und dar;

1 1

c b

Pythagoras und die Pythagoräer. Arithmetik. 155

Ein bei Porphyrius erhaltenes Bruchstück des Pythagoräers
Archytas^) spricht nicht nur von dem arithmetischen, dem
geometrischen und dem harmonischen Mittel, er definirt sie
gradezu, und zwar die beiden ersten in der heute noch gebräuch-
lichen Weise. Bei dem harmonischen Verhältnisse, fährt er fort, über-
trifft das erste Glied das zweite um den gleichen Theil seiner selbst,
wie dieses mittlere Glied das dritte um den Theil des dritten. In
Buchstaben geschrieben heisst das: h ist harmonisches Mittel zwischen

a und c, wenn a = b -\ imd

folgt aus diesen beiden Gleichungen

_ 1 _ 1

b a

Jamblichus^) führt die Kenntniss der drei stetigen Proportionen,

der arithmetischen, geometrischen und harmonischen, auf Pythagoras

und seine Schule zurück und lässt die musikalische Proportion,

welche aus zwei Zahlen, deren arithmetischem und harmonischem

Mittel sich bilde (a : ^- = "^ : &, z. B. 6 : 9 = 8 : 12), durch

Pythagoras aus Babylon, wo sie erfunden worden sei, zu den Hellenen
bringen.

Es fällt nicht schwer das Auftreten der harmonischen Proportion
auch von ägyptischen Anfängen aus zu erklären. War doch in der
Bezeichnung der Stammbrüche durch ein Pünktchen über der den
Nenner bildenden Zahl die Zumuthung, möchten wir sagen, mit ent-
halten, neben solchen Zahlen a^ ?>, c, welche eine arithmetische Reihe
darstellen, auch eben dieselben punktirt zu betrachten, und dann
hatte man die harmonische Reihe, deren musikalische Bedeutung bei
der Entstehung der Töne auf dem Monochorde wohl erst in zweiter
Linie bemerkt worden sein mag. Allerdings ist andererseits nicht
zu vergessen, dass im alten Aegypten eine Proportionenlehre noch
nicht nachgewiesen hat werden können, dass arithmetische und geome-
trische Reihen wie in Aegypten so auch in Babylon bekannt waren,
dass nur nach dem letzteren Orte Quadratzahlen und Kubikzahleu
hinweisen. Wir erinnern ferner daran, dass Jamblichus sich genauer
mit Chaldäischem beschäftigte (S. 103) und sind darum trotz der
späten Zeit, in welche seine schriftstellerische Thätigkeit fällt, sehr
geneigt diesen seinen Worten so weit Glauben zu schenken, als sie

^) Porphyrius ad Ptolemaei Harmonie. Vergl. Gruppe, Ueber die
Fragmente des Archytas und der älteren Pythagoreer. Berlin, 1840, S. 94.
Chaignet I, 282—28.3. *) Jamblichus, Introductio in Nicomachi arith-
meticaiu (ed. Tennulius), Arnheim, 1668, pag. 141 — 142 und 168.

156 6. Kapitel.

alte gräkobaby Ionische Beziehungen betreffen. Auch mehr oder
weniger auf Zahlenspielerei herauskommende Zahlenverkntipfungen,
Vergleichung von Zahlen mit einzelnen Götterfiguren, das sind lauter
Dinge, die den Babyloniern, die den Pythagoräern eigen sind. Dafür
aber, dass wir alles in der pythagoräischen Schule von solchen Dingen
Vorgetragene auch in ihr erfunden lassen sein sollten — der einzige
Ausweg, wenn jede Verbindung mit Babylon verworfen wird — dafür
erscheinen uns dieselben zu entwickelt. Solche arithmetische Kennt-
nisse setzen eine ganze lange Vorgeschichte voraus. Die Ueberzeu-
gung davon würde nun ungemein befestigt, wenn es wahr sein sollte,
dass auch die befreundeten und vollkommenen Zahlen bereits der
pythagoräischen Schule angehörten.

Befreundete Zahlen sind solche, wie 220 und 284, von welchen
jede gleich der Summe der aliquoten Theile der anderen ist:
220 = 1 + 2 + 4 -f- 71 + 142 und 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11
+ 20 -|- 22 -}- 44 + 55 -{- 110. Jamblichus führt deren Kenntniss
auf Pythagoras selbst zurück^). Man habe ihn befragt, was ein
Freund sei, und er habe geantwortet: „Einer der ein anderes Ich ist,
wie 220 und 284." Wir möchten freilich auf diese Behauptung wenig
Gewicht legen und kein grösseres darauf, dass im IX. S. ein ara-
bischer Gelehrter Täbit ihn Kurra für die Kenntniss der befreundeten
Zahlen auf die Pythagoräer verwies'''). Letzterer kann sehr wohl
seine Wissenschaft dieses Umstandes aus Jamblichus geschöpft haben,
Ersterem kann vorgeschwebt haben, dass die Innigkeit der Freund-
schaften unter den Pythagoräern von jeher als kennzeichnend für
diese Schule galt'^).

Vollkommene Zahlen sind solche, welche wie 6, 28, 496 der
Summe ihrer aliquoten Theile gleich sind: 6 = 1 -\- 2 -\- 3] 28 = 1
-f 2 -f 4 -I- 7 + 14; 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124
-\- 248. Daneben unterscheidet man überschiessende und
mangelhafte Zahlen, wenn die aliquoten Theile eine zu grosse
beziehungsweise zu kleine Summe liefern, wie z. B. 12<l-f-2-}-3
+ 4 + 65 8>l-|-2H-4. Euklid hat sich ausführlich mit den
vollkommenen Zahlen beschäftigt^). Theon von Smyrna hat den
drei verschiedenen Gattungen seine Aufmerksamkeit zugewandt und
dieselben als ägid^^ol re'Asioi, VTtSQtslstoi^ sXXiTistg benannt). Man
könnte demzufolge geneigt sein diese Begriffe als vorplatonische an-
zuerkennen, wenn nicht ein kaum zu beseitigender Gegengrund vor-

^) Jamblichus in Nicomach, arithm. ed. Tennulius pag. 47 — 48.
-) Vergl. Woepcke im Journal Äsiatique, IV, S^rie, T. 20 (Jahrgang 1852),
pag. 420. ä) Vergl. Zeller I, 271, Anmerkung 3. *) Euklid IX, 36. ^) Theon
Smyrnaeus (ed. Hiller) 45.

Pythagoras und die Pythagoräer. Arithmetik. 157

handen wäre. Plato versteht nämlicli in einer berühmten Stelle
seines Staates den Ausdruck vollkommene Zahl ganz anders*) und
Aristoteles bezeichnet muthmasslich aus pythagoräischer Quelle die
Zehn als vollkommene ZahP) wiederum noth wendig von einer ganz
anderen Erklärung ausgehend. Diese beiden Gegenstände arith-
metischer Grübelei werden wir daher am Sichersten zwar Pytha-
goräern aber nicht solchen der alten Schule zuschreiben, sondern
solchen, die in viel späterer Zeit den Namen und zum Theil auch
die Forschungsweise derselben erneuerten.

Die Dreieckszahlen, zagten wir (S. 149) gestützt auf Theon
von Smyrna, wurden von den Pythagoräern gebildet, indem sie ver-
suchsweise die aufeinanderfolgenden Zahlen der mit 1 beginnenden
natürlichen Zahlenreihe addirten. In diesem Namen Dreieckszahl
zeigt sich aufs Neue der Hang zur figürlichen Versinnlichung der
nach unserer heutigen Auffassung abstracten Zahlenbegrifi'e. Die auf-
einanderfolgenden Zahlen nämlich durch gleich weit von einander
entfernte Punkte reihenweise untereinander zur Darstellung gebracht
bildeten Dreiecke, und dass man diese Versinnlichung wirklich vor-
nahm, mag mau zu ihr gelangt sein wie man wolle, dafür bürgt eben
der Name Dreieckszahl, ccQi&^og xQLycovog. Es ist vielleicht wün-
schenswerth noch von anderer Seite her zu bestätigen, dass wir hier
wirklich Alterthümliches vor uns haben, und dazu sind wir in der
Lage. Wenig Gewicht freilich legen wir für diese Rückdatirung auf
den an sich interessanten von Plutarch uns erhaltenen Lehrsatz, dass
die mit 8 vervielfachten und um 1 vermehrten Dreieckszahlen Quadrat-
zahlen gaben^^) d. h. dass 8 • ""^-^ -f 1 = (2w + If. Erheblicher

ist schon das, was Lucian uns erzählf^). Pythagoras habe Einen
zählen lassen. Dieser sagte: „1, 2, 3, 4", worauf Pythagoras da-
zwischen fuhr: Siehst du? Was du für 4 hältst, das ist 10 und ein
vollständiges Dreieck und unser Eidschwur! Hierin ist die Kenntniss
der Dreieckszahl 10 mit echt pythagoräischen Dingen in Verbindung-
gesetzt. Weit älter und dadurch noch überzeugender ist das Vor-
kommen des Begriffes wenn nicht des Wortes bei Aristoteles: Die
Einen führen die Zahlen auf Figuren wie das Dreieck und Viereck
zurück^). Kommt nun endlich noch hinzu, dass einem Schüler des
Sokrates und des Piaton, dem Philippus Opuntius, bereits eine

1) Plato Republ. VIII, pag. 546. Vergl. einen Aufsatz von Th. H.
Martin in der JRevue ArcheoJogiqiie T. XIII. ^) Aristoteles Metaphys I, 5.
^) Plutarch, Platonicae Quaestion. V, 2, 4. *) Lucian Bicov TtQ&aig, 4.
Vergl. Allman, GreeJc Geometry from Thaies to Euclid ^ag. 28 r. ^) Aristoteles,
Methaphys. XIV, 4.

158 6- Kapitel.

Schrift über vieleckige Zahlen zugeschrieben wird, Avelche er nebst
einer anderen über Arithmetik bei Philipp von Macedonien verfasst
haben soll '), so scheint uns damit der Beweis geliefert, dass wie die
Quadratzahl und ihre Entstehung aus den ungraden, wie die hetero-
meke Zahl und ihre Entstehung aus den graden, so auch die Dreiecks-
zahl und ihre Entstehung aus den unmittelbar auf einander folgenden
Zahlen bereits pythagoräisch gewesen sein müsse.

Bei diesen drei Summirungen von nach einfachen Gesetzen fort-
schreitenden Zahlen blieb man aber, wie uns berichtet wird, nicht
stehen. Man schrieb die Reihe der Quadratzahlen, von der 1 an, man
schrieb darunter aber erst von der 3 anfangend die ungraden Zahlen,
und wenn man nun jede solche ungrade Zahl der zugehörigen Quadrat-
zahl als Gnomon zufügte, so entstanden wieder Quadratzahlen'').
Für uns heute fällt freilich diese Entstehungs weise:

1 4 9 n^

3 5 1 .... 2n + 1

4 9 16 ....(«+ 1)2

mit der ersterläuterten Bildung der Quadratzahlen zusammen, aber
den Alten war sie besonderer Hervorhebung werth. Nikomachus,
ungefähr Zeitgenosse des Theon von Smyrna, und ihm geistes-
verwandt, hat ein Beispiel ähnlichen Verfahrens bei Dreieckszahlen
uns bewahrt^). Jede Dreieckszahl, sagt er, mit der nächstfolgenden
Dreieckszahl vereinigt gibt eine Quadratzahl, und wirklich ist

(n — 1)« . w(n-f-l)- 9 TT- • i-i. j. V n

~ ~ 1 ~—~ — - = rr. Hier wagen wir nun, gestutzt aui alle

diese einander ähnlichen Verfahren, eine unmittelbar nicht auf üeber-
lieferung sich stützende Vermuthung*). Wir nehmen an, es sei auch
die Addition von je zwei auf einander folgenden Quadratzahlen vor-
genommen worden, um wie in den vorher erwähnten Beispielen ein-
mal zuzusehen, ob dabei etwas Bemerkeuswerthes sich enthülle. In
der That fand sich ein höchst auffallendes Ergebniss: Die Quadrat-
zahlen 9 und 16 lieferten als Summe die nächste Quadrat-
zahl 25, und nur bei ihnen zeigte sich diese Erscheinung. Dem
heutigen Mathematiker ist Solches freilich nicht auffallend. Wir er-
kennen sofort, dass die Gleichung {x — 1)^ ■\- x^ =^ {x -\- Vf nur die
Wurzeln ic = 4 und a; = 0 besitzt, dass also nur V' -\- 4? = 5'^ auf-
treten kann, wenn man ( — 1)"' -j- 0' = 1"- oder anders geschrieben

') BioyQcccpui, cilarum scriptores Graeci minores edit. Wester mann. Bx'aun-
schweig, 1845, pag. 446. ") Theon Smyrnaeus (ed. Hiller) 32. ^) Nico-
machus, Eisagog. arithm. II, 12 (ed. Hoche), pag. 96. ') Math. Beitr,
Kulturl. 105—107.

Pytagoras und die Pythagoräer. Geometrie. 150

0 -f- 1 = 1 nicht beachten will. Aber der Grieche jener alten Zeit
konnte diese Ueberleguug nicht anstellen, konnte, wenn sie ihm mög-
lich gewesen wäre, die zweite Gleichung nicht denken. Wir kommen
auf den Zahlenbegriff der Griechen noch zurück. Gegenwärtig wissen
wir nur, dass die Null, für welche sie kein Zeichen hatten, ihnen
auch keine Zahl war. Wir sind darüber auf's Deutlichste durch
einen der schon genannten Arithmetiker unterrichtet. Nikomachus
sagt uns, jede Zahl sei die halbe Summe der zu beiden Seiten gleich
weit von ihr abstehenden Zahlen; nur die Einheit bilde eine Aus-
nahme, weil sie keine zwei Nachbarzahlen besitze; sie sei darum die
Hälfte der einen unmittelbar benachbarten Zahl^).

So mussten die Zahlen 0, 16, 25 und mit ihnen die Zahlen 3,
4, 5, deren Quadrate sie waren, welche ihre Ordnungszahlen in der
Reihe der Quadratzahlen bildeten, der Aufmerksamkeit empfohlen
sein, um so dringender empfohlen sein, wenn dieselben Zahlen
schon anderweitig als mit merkwürdigen Eigenschaften versehen
bekannt waren. Dass dem so war, darüber müssen wir uns jetzt
zu vergewissern suchen.

7. Kapitel.
Pytliagoras und die Pythagoräer. Geometrie.

Wir sind an dem Punkte angelangt, wo wir die nur im Bilde
geometrische Arithmetik der Pythagoräer mit ihrer eigentlichen
Geometrie in Verbindung treten sehen. Wir haben demgemäss auch
auf diesem Gebiete abzusuchen, was unmittelbare oder mittelbare
Ueberlieferung dem Pythagoras und seiner Schule zuweist.

Zunächst können wir eine ganze Gruppe von geometrischen
Keimtnissen zusammenfassen unter dem gemeinsamen Namen der
Anlegung der Flächen. „Alterthümlich, so sagen die Schüler
des Eudemus, und Erfindungen der pythagoräischen Muse sind diese
Sätze, die Anlegung der Flächen, ihr Ueberschiessen, ihr Zurück-
bleiben," 7] T£ TtuQaßoXij rcöv %coqlcov aal y] VTteQßo^ij xal j; sXlsLipLs'^).
So lautet der erläuternde Bericht des Proklus zu der euklidischen
Aufgabe an einer gegebenen Graden unter gegebenem Winkel ein
Parallelogramm zu entwerfen, welches einem gegebenen Dreieck gleich
sei. Desselben Wortes skXtLTtciv bei Anlegung von Flächen bedient
sich Piaton in seinem Menon'); und Plutarch lässt an einer Stelle

') Nicomachus, Eisagog. arithm. I, 8 (ed. Hoche), pag. 14. ^) Prok-
lus (ed. Friedlein) 419. =*) Piaton, Menon pag. 87.

160 6- Kapitel.

das Anlegen von Flächen, nagaßäUEiv xov xagiov, von Pjthagoras
selbst herstammen^), während er an einer anderen Stelle sich fol-
gendermassen ausdrückt: „Eines der geometrischsten Theoreme oder
vielmehr Probleme ist das, zu zwei gegebenen Figuren eine dritte
anzulegen — itagaßäklEiv — , die der einen gleich und der anderen
ähnlich ist. Pythagoras soll, als er die Lösung gefunden, ein Opfer
gebracht haben. Und wirklich ist es auch feiner und wissenschaft-
licher als das, dass das Quadrat der Hypotenuse, denen der beiden
Katheten gleich ist""), üeber die genauere Bedeutung der drei
Wörter Parabel, Ellipse, Hyperbel bei Flächeuanlegungen wer-
den wir bei Besprechimg der euklidischen Geometrie im 13. Kapitel
zu reden haben. Fürs Erste genügt die allgemeine aus den ange-
führten Stellen leicht zu schöpfende Ueberzeugung, dass es um die
Zeichnmig von Figuren gegebener Art und gegebener Grösse sich
handelt. Solche Zeichnung ist aber unmöglich, wofern man nicht
mit den Haupteigenschaften der Parallellinien und ihrer Transver-
salen, mit den hauptsächlichen Winkelsätzen der Planimetrie ver-
traut ist, wofern man nicht die Auffindung von Flächeninhalten,
deren Abhängigkeit von den die betreffende Figur bildenden Seiten
in richtiger Weise kennt.

In der ersteren Beziehung sind wir wieder in der günstigen Lage,
unsere Behauptung bestätigen zu können. Die Pythagoräer ver-
wandten die Parallellinien zum Beweise des Satzes von der
Winkelsumme des Dreiecks. Wir sahen (S. 132), dass die tha-
letische Zeit, vielleicht Thaies selbst, den Satz von der Winkelsumme
in dreifacher Abstufung an dem gleichseitigen, an dem gleichschenk-
ligen, an dem unregelmässigen Dreiecke behandelte. Eudemus lässt
durch die Pythagoräer den Satz für jedes beliebige Dreieck so be-
wiesen werden, dass durch die Spitze des Dreiecks die Parallele zur
Grundlinie gezogen und daraus die Gleichheit der Winkel an der
Grundlinie mit ihren an jeuer Parallelen hervortretenden Wechsel-
winkeln gefolgert wurde. Einer jener Wechselwinkel wurde sodann
mit dem ursprünglichen Dreieckswinkel an der Spitae zu einem ein-
zigen Winkel vereinigt, welcher selbst wieder den anderen Wechsel-
winkel als Nebenwinkel besass und mit ihm zusammen zwei Rechte
ergab ^).

Aus dieser Darstellung zeigt sich so recht deutlich an einem
besonders merkwürdigen, in der Stufenfolge der Beweisführungen uns
glücklich erhaltenen Beispiele, wie die Wissenschaft der Geometrie

') riutarch, Non posse suaviter vivi secundum Epicur. cap. 11. ^) Plu-
tarch, Conviv ium YIII, cap. 4. *) Proklus (ed. Frietllein) 379.

Pjtliagoras und die Pythagoräer. Geometrie. 161

sich entwickelte. Von dem Zerlegen des Satzes in drei Fälle stieg
man auf zur Behandlung des allgemeinen Falls, aber in diesem Auf-
wärtsstreben hielt man wieder ein. Man erhob sich noch nicht zu
dem Ausspruche, die drei Winkel an der früheren Dreiecksspitze
besässen als Winkel, die je einen Schenkel gemeinsam für zweie
haben, und die einfach auftretenden äussersten Schenkel zu einer
und derselben Geraden sich verlängern lassen, die Winkelsumme von
zwei Rechten. Man musste vielmehr erst zwei Winkel zu einem
neuen, diesen alsdann mit dem dritten verbinden. Freilich ist der
letzterwähnte Fortschritt, den man noch nicht wagte, nach unserem
Gefühle, auch wohl nach dem Gefühle des Proklus, welcher wenigstens
von dessen Urheber uns nichts sagt, ein weit geringerer, als der,
den man wirklich vollzog, und wir erkennen hier bewundernd den
„höheren Gesichtspunkt, von welchem aus Pythagoras, dem Mathe-
matikerverzeichnisse (S. 137) zufolge, die Grundlage unserer Wissen-
schaft betrachtete^'.

Wir haben auch die Nothwendigkeit betont, den Flächeninhalt
einer Figur aus den dieselbe bildenden Seiten in richtiger Weise
finden zu können. Unseren mathematischen Lesern dürfte diese Be-
tonung überflüssig erscheinen, aber sie ist es nicht so ganz. Bei
einem Volke von überwiegend geometrischer Begabung, wie es un-
streitig das griechische war, konnte noch um das Jahr 400 v. Chr.,
also zur Zeit Piatons, einer der geistreichsten, tiefsten Geschichts-
schreiber aller Jahrhunderte, konnte noch ein Thukydides so wenig
Bescheid wissen, dass er Inhalt und Umfang als proportional dachte,
dass er in Folge dessen die Fläche der Insel nach der zum Umfahren
nöthigen Zeit abschätzte^). Diese Unkenntniss auch hochgebildeter
Laien in einem theoretisch so einfachen, praktisch so wichtigen
Kapitel der Planimetrie lässt sich dann weiter und weiter verfolgen.
Um 130 V. Chr. einzahlt Polybius, dass es Leute gebe, die nicht
begreifen könnten, dass Lager bei gleicher Umwallungslänge ver-
schiedenes Fassungsvermögen besitzen^). Quintiliau, der römische
Schriftsteller über Beredtsamkeit in der zweiten Hälfte des ersten
nachchristlichen Jahrhunderts, gibt als dem Laien leicht aufzudrän-
genden Trugschluss den an, dass gleicher Umfang auch gleichen
Inhalt beweise^). Vielleicht hatte Quintilian bei diesem Vorwurfe
seinen Zeitgenossen Plinius im Auge, welcher die Grössenverhält-
nisse der Erdtheile durch Addiren ihrer Länge zu ihrer Breite ver-

') Thukydides VI, 1 (ed. Rothe), pag. 95. ^) Polybius IX, 21 (ed.

Hultsch), pag. 686. ^) Quintilianus, Institutio oratoria I, 10, 39 ügg. (ed.
Halm) pag. 62.

Cantor, Gesehichto der Mathematik I. 2. Aufl. 11

162 7. Kapitel.

glich ^). Proklus erzählt mit offenbarer Beziehung auf Vorkommnisse
seiner Zeit, also des V. S., dass Manche schon bei der Theilung von
Flächen ihre Gesellschafter über's Ohr gehauen haben, indem sie eine
grössere Fläche mit Bezugnahme auf die Gleichheit des Umfanges
für sich beanspruchten-). Steuerbeamte in Palästina Hessen sich
gleichfalls um das V. S. in solcher Weise täuschen, indem sie einem
Gemeindevorsteher, welchem als Steuer der Ertrag einer mit Weizen
zu besäenden Fläche von 40 Ellen im Quadrat auferlegt war, ver-
willigten, er könne in zwei Abtheilungen jedesuial eine Fläche von
20 Ellen im Quadrat besäen, in der Meinung, dann sei er seiner
Verpflichtung nachgekommen^), und ganz Aehnliches wird von einem
Araber des X. S. erzählt"^). Wir haben diese fehlerhafte Auffassung
absichtlich durch einen längeren Zeitraum und durch Völker hin-
durch verfolgt, welche einer Stetigkeit der Geistesrichtung als Bei-
spiel dienen können, denn das mathematische, in Sonderheit das geo-
metrische Denken der Römer, der späteren Juden, der Araber war
nicht anders als griechisch. Wir haben sie verfolgt, um uns über
einen allgemeinen geschichtlichen Lehrsatz klar zu werden, dem wir
eine nicht geringe Tragweite besonders bei geschichtlich vergleichen-
den Forschungen beilegen. Die Unwissenheit, so lautet unser Satz,
und das noch schlimmere falsche Wissen sind erblich. Was an un-
richtigen Ergebnissen einmal gewonnen ist, das wird so leicht nicht
zerstört, das wird mit um so grösserer Zähigkeit festgehalten, je mehr
es unverstanden ist. Nur die Menge der Unwissenden und Halb-
wissenden wechselt, und in ihrer Beschränkung liegt das, was man
Fortschritt der Durchschnittsbildung nennt.

Der Flächenanlegung nahe verwandt und mit ihr den Pjtha-
goräern eigen ist die Lehre von den regelmässigen Vielflächnern,
angedeutet in den Worten des Mathematikerverzeichnisses: „Pytha-
goras ist es auch, der die Construction der kosmischen Körper er-
fand." Der Name der kosmischen Körper bedarf der Erklärung.
Wie Aristoteles uns berichtet, war Empedokles von Agrigent in
Sicilien, ein Philosoph, der um 440, jedenfalls später als Pythagoras
lebte, der erste, der vier Elemente, Erde, Wasser, Luft und Feuer,
annahm, aus denen alles zusammengesetzt sei"'). Vitruvius und andere
Gewährsmänner wollen, Pythagoras habe schon vorher das Gleiche

') Detlefsen, Die Maasse der Erdtheile nach Plinius. Programm des
Glückstädter Gymnasiums für 1883. S. 6—7 mit Berufung auf Plinius, Histor.
natur. VI, 208. ^) Proklus (ed Friedlein), pag. 237. ») Jerusalem. Talmud
Sota 20a nach Zuckermann, das Mathematische im Talmud. Bi'eslau, 1878,
S. 43, Note 58. ^) Dieterici, Die Proprädeutik der Araber im X. Jahrhundert,
S. 35. ") Aristoteles, Metaphys I, 4.

Pythagoras und die Pythagoräer. Geometrie. 163

ausgesprochen^). Wir haben eine Wahl zwischen beiden Meinungen
hier nicht zu treffen. Jedenfalls übernahm Timäus von Lokri aus
der einen oder anderen Quelle die Lehre, wie der nach ihm benannte
platonische Dialog erkennen lässt. Timäus erläutert die Entstehung
der Welt, setzt das Vorhandensein der vier Grundstoffe auseinander,
gibt denselben besondere Gestalten'^). Das Feuer trete als Tetraeder
auf, die Luft bestehe aus Oktaedern, das Wasser aus Ikosaederu, die
Erde aus Würfeln, und da noch eine fünfte Gestaltung möglich war,
so habe Gott diese, das Pentagondodekaeder benutzt, um als Umriss
des Weltganzen zu dienen''). Diese fünf Körper heissen dem ent-
sprechend kosmische Körper als zum Kosmos in nothwendiger
Beziehung stehend.

Die Geschichte der Mathematik entnimmt den atomistischen
Versuchen jener ältesten Lehren dieser Art die wichtige Wahrheit,
dass Timäus die fünf regelmässigen Körper kannte Ob er
ahnte, dass es wirklich keinen sechsten regelmässigen Körper gebe,
ob er ohne auch nur die Frage nach einem solchen zu erheben sich
mit Verwerthung der nun einmal bekannten Körperformen begnügte,
wissen wir nicht. Wahrscheinlicher däucht uns das letztere, und
nmi gar einen Beweis der Unmöglichkeit eines sechsten regelmässigen
Körpers in so früher Zeit anzunehmen, würden wir auf's Entschiedenste
ablehnen müssen. Dagegen hat es keine Schwierigkeit diejenigen
Kenntnisse, welche wir als Timäus geläufig bezeichneten, d. h. die
Gestalt der fünf regelmässigen Körper bis in jene Zeit, auch wohl
darüber hinaus zu verfolgen"^).

Körper wie der Würfel, das Tetraeder, welches nichts anderes
als eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche, das Octaeder, welches
eine Doppelpyramide mit quadratischer Grundfläche ist, müssen noch
weit über das Zeitalter des Pythagoras zurück sich als den Aegyptern
bekannt vermuthen lassen. Wer bei ihnen Jahre lang verweilte, ja
wer nur kurze Zeit die Baudenkmäler ihres Landes in Augenschein
nahm, dem ist die Kenntniss auch jener Körper mit Nothwendigkeit
zuzusprechen, und dass die Pythagoräer kein Bedenken trugen, was
ihr Lehrer wusste, als seine Erfindung zu verehren, wurde schon er-
wähnt. Auch das Tkosaeder und nicht minder das Dodekaeder muss
wohl oder übel den Pythagoräern bekannt gewesen sein. Sonst könnte

^) Vergl. Chaignet II, 164 flgg. ^) Vergl. Th. H. Martin, Etudes sur le
Tiviee de Piaton I, 145 flgg. und II, 234 — 250. =*) Zeller I, 350, Anmerkung 1
nimmt an, das Dodekaeder sei nicht die Gestalt des Weltganzen, sondern des
Aetheratoms, d. h. des kleinsten Theiles der das "Weltganze umgebenden
äusseren Schichten. *) Das hier Folgende wesentlich nach Bretschneider S. 86
und 88.

11*

164 7. Kapitel.

nicht PMlolaus schon von den fünf Körpern in der Kugel reden ^),
sonst würde nicht das alte Mathematikerverzeichniss nebst anderen
übereinstimmenden Berichten'") so deutlich sämmtliche kosmische oder
regelmässige Körper als pythagoräisch bezeichnen. Möglicherweise
haben wir den Verlauf der Entdeckung jener Körper so zu denken,
dass man zuerst nur von Würfel, Tetraeder, Oktaeder wusste, dass
dann das Ikosaeder, zuletzt erst, wenn auch jedenfalls noch vor
Timäus, das Dodekaeder hinzutrat. Mit dieser Annahme würde die
Schwierigkeit sich lös§n, dass die ursprünglich jedenfalls in Vierzahl
angenommenen Grundstoffe mit den fünf Körpern nur sehr künstlich
in Verbindung zu bringen sind. Es würden nämlich zunächst vier
Körper mit vier Elementen durch einen naturgemässen Gedanken
sich gepaart haben, und zu dem nachträglich gefundenen fünften
Körper würde dann eine kosmische Bedeutung erst gesucht worden sein.

Mit dieser Annahme würde auch die Erzählung des Jamblichus")
sich decken, dass Hippasus, ein Pythagoräer, der das Pentagon-
dodekaeder der Kugel zuerst einschrieb und veröffentlichte, wegen
dieser Gottlosigkeit im Meer umgekommen sei. Er habe den Ruhm
der Entdeckung davongetragen, „aber es sei das Eigenthum JENES,
so bezeichnen sie nämlich den Pythagoras und nennen ihn nicht bei
Namen".

Man würde vielleicht eine grössere Sicherheit in der Beant-
wortung dieser Fragen erlangen, wenn man Alter und Herkunft
eines noch vorhandenen Bronzedodekaeders zu bestimmen im Stande
wäre *).

Mit den Angaben über die fünf Körper im engsten Zusammen-
hange stehen die über die Kugel, in welche jene beschrieben gedacht
sind, und welche demzufolge nebst einigen ihrer Eigenschaften gleich-
falls den Pythagoräern bekannt gewesen sein muss.

In demselben Zusammenhange erscheinen Angaben, welche sich
auf die Grenzflächen jener Körper, auf die regelmässigen Viel-
ecke, als Dreiecke, Vierecke, Fünfecke beziehen, und denen wir uns
nunmehr zuzuwenden haben. Wir kehren damit zur Flächenanlegung
zurück, deren Verwandtschaft zur Lehre von den Vielflächnern wir
oben zunächt unerwiesen behauptet haben. Piaton lässt seinen Ti-
mäus über die Entstehung der regelmässigen Dreiecke und
Vierecke sich aussprechen. Er sagt, diese Figuren setzten ihre

') Boeck, Philolaus fragm. 21, S. 160. Chaignet I, 248. ^) Vergl.
Wyttenbach, Ausgabe von Platon's Phädon. Leiden, 1810, pag. 304—307.
^) Jamblichus, Vita Pythagorica 88. ■*) Vergl. verschiedene Notizen von
Graf Leopold Hugo in den Comptes Mendus der pariser Akademie der Wisseu-
achaften. Bd. LXXVII.

Pythagoras und die Pythagoräer. Geometrie.

165

Fig. 23.

/!'

Fig. 24.

Fläche immer aus reclitwinkligen Dreiecken zusammen, und zwar
entweder aus solchen, welche zugleich gleichschenklig sind, oder aus
solchen, deren spitze Winkel, der Eine einem Drittheil, der Andere
zwei Drittheilen des rechten Winkels
gleich sind. Das hat nun offenbar seine
Richtigkeit, indem das Quadrat in zwei
oder vier Dreiecke der ersten Art
(Figur 23), das gleichseitige Dreieck in
zwei oder sechs Dreiecke der zweiten Art (Figur 24) zerlegt werden
kann. Uebereinstimmend damit, aber sicherlich einer anderen Quelle
als dem platonischen Timäus, über dessen
Angaben er hinausgeht, folgend sagt Pro-
klus, es sei ein pythagoräischer Lehrsatz,
dass die Ebene um einen Punkt herum
durch sechs gleichseitige Dreiecke,
vier Quadrate oder drei regelmässige Secksecke vollständig
erfüllt werde, so dass nur diese Figurengattungen zur gänzlichen
Zerlgung einer Ebene in lauter identische Stücke Benutzung finden^).
Wir wollen daran anknüpfend nur erinnern, dass wir schon (S. 133)
die Kenntniss solcher um einen Punkt herumliegenden sechs gleich-
seitigen Dreiecke wahrscheinlich zu machen suchen musten, und dass
folglich rückwärts die Angabe des Proklus unsere dortigen Behaup-
tungen zu stärken im Stande ist.

Wie verhält es sich aber gegenüber der Zerfällung der Grenz-
flächen der vier ersten Körper mit der Grrenzfläche des fünften und
letzten, mit dem regelmässigen Fünfecke? Das Fünfeck ist, wie
leicht ersichtlich, mittels der beiden rechtwinkligen Dreieckchen, die
wir nach der Vorschrift des Timäus für die Herstellung von Dreieck
und Viereck benutzten, nicht zusammenzusetzen, eine Zerlegung in
eben solche kann mithin nie gelungen sein. Wohl aber dürfen wir
erwarten, Spuren verfehlter Versuche anzutreffen, und diese fehlen
nicht. Plutarch hat an zwei Stellen von der Zerlegung der das
Dodekaeder begrenzenden Fläche in 30 Elementardreiecke gesprochen,
hat das eine Mal hervorgehoben, dass somit alle 12 Flächen 360 Drei-
eckchen liefern, gleich an Zahl mit den Zeichen des Thierkreises ^),
hat das andre Mal bemerkt, es solle, wie man sage, das Elementar-
dreieckchen des Dodekaeders von dem des Tetraeders, Oktaeders,
Ikosaeders verschieden sein'). Ein anderer Schriftsteller des IL S.,
Alkinous, hat in seiner Einleitung zum Studium des Piaton gleich-

*) Proklus (ed. Friedlein) 304 — 305. -) Plutarchus Quaest.
Piaton. V. ^) Plutarchus, De süentio oraeul. cap. 33).

166 7. Kapitel.

falls von den 360 Elementen gesprochen, welche erzeugt werden,
indem jedes Fünfeck in 5 gleichseitige Dreiecke, jedes von diesen
in 6 ungleichseitige zerfalle^). Nimmt man nun diese Zerlegung

wirklich vor (Figur 2ö), so tritt aus
dem Gewirre der Linien am deutlichsten
das Sternfünfeck heraus, welches dem-
nach für sich schon ein Zeugniss der
versuchten Zerlegung des Fünfecks in
Elementardreiecke ablegt. Das Stern-

I'ig- 25. Fig 26. , . V

fünfeck (Figur 26) soll aber den Pytha-
goräem Erkennungszeichen gewesen sein. Lucian und der Scholiast
zu den Wolken des Aristophanes berichten darüber gleichmässig"^).
Briefe pflegten mit irgend einer ständigen Anfangsformel eingeleitet
zu werden. Die Einen schrieben: Freue Dich, iuCqelv, die Anderen
mit Piaton: Sei glücklich in Deinen Handlungen, av nQäxteiv, die
Pythagoräer: Sei gesund, vyiuCveLv. Gesundheit heisst auch bei ihnen
das dreifache Dreieck, das durch gegenseitige Verschlingung das
Fünfeck erzeugt, das sogenannte Pentagramm, dessen sich die Glieder
des Bundes als Erkennungszeichens bedienen.

Unter allen Umständen ist diese seltsame Bedeutung, welche die
freilich auch seltsame Figur des Sternfünfecks bei den Pythagoräern
besass, eine Unterstützung der kaum mehr bestrittenen Vermuthung,
dass das regelmässige Fünfeck von den Pythagoräern selbst entdeckt
worden sei. Dass diejenigen, welche dasselbe als Grenzfläche eines
Körpers verwertheten, es gekannt haben müssen, bedarf keines Be-
weises, aber woher sollten sie es entnommen haben? Wir erinnern
daran, dass wenigstens unter den Abbildungen aus ägyptischer, wie
aus chaldäischer Vorzeit, welche wir vergleichen konnten, ein regel-
mässiges Fünf- oder Zehneck, eine Zerlegung der Kreisfläche in Aus-
schnitte nach irgend einer durch füuf theilbaren Anzahl nicht vor-
kommt (S. 67 und lOlj. Wir machen ferner darauf aufmerksam^),
dass die Einzeichnung des Fünfecks in den Kreis geometrisch genau
erst dann erfolgen konnte, als der Satz von den Quadraten der Seiten
des rechtwinkligen Dreiecks, als zugleich auch der goldne Schnitt
bekannt geworden war.

Der goldne Schnitt spielte in der griechischen Baukunst der
perikleischen Zeit eine nicht zu verkennende Rolle. Das ästhetisch

') Alcinous, De dudrina Piatonis (ed. Lambinus). Paris, 1567, cap. 11.
^) Beide Stellen sind vielfach abgedruckt, /.. B. bei Bretschneider- S. 85 — 8ß.
■'') Bretschneider S. 87 hat diese gewiss richtige Bemerkung muthmasslich
zuerst gemacht.

Pythagoras uiid die Pythagoräer. Geometrie. 167

wirksamste Verhältniss, und das ist das stetige, ist in den athenischen
Bauten aus den Jahren 450 — 430 aufs Schönste verwerthet ^). Wir
können bei solcher Regelmässigkeit des Auftretens nicht an ein in-
stinktives Zutreffen glauben, am wenigsten, wenn wir des eben be-
rührten geistigen Zusammenhangs zwischen goldnem Schnitte, regel-
mässigem Fünfecke und pythagoräischem Lehrsatze gedenken.

Bevor wir zu diesem letzteren uns wenden, müssen wir'') noch
einem längere Zeit viel verbreiteten Irrthume begegnen. Diogenes
Laertius berichtet: „Unter den körperlichen Gebilden, sagen die Pytha-
goräer, sei die Kugel, unter den ebenen der Kreis am Schönsten"^).
Man hat daraus entnehmen wollen, Pythagoras oder doch seine Schule
hätten auch die Grundlage zu der Lehre von den isoperimetrischen
Raumgebilden gelegt. Man ist dabei gewiss von der richtigen
Deutung jenes Satzes abgewichen. Es sollte damit ein eigentlicher
geometrischer Lehrsatz überhaupt nicht ausgesprochen werden. Nur
die gleichmässige Rmidung erhielt in den gemeldeten Worten das
gebührende Lob.

Den gemeinsamen, für Arithmetik und Geometrie gleichmässig
bedeutsamen Schlussstein unserer Untersuchungen über Pythagoras
und seine Schule bildet nunmehr der nach dem Lehrer selbst be-
nannte Satz vom rechtwinkligen Dreiecke. Nicht als ob wir in ihm
auch den Schlussstein des von den Pythagoräeru aufgeführten mathe-
matischen Gebäudes vermutheten. Keineswegs. Wir haben vielmehr
schon gesehen und werden noch weiter sehen, dass unter den schon
besprochenen geometrischen Dingen einige nicht gut anders als in
Folge des Satzes vom rechtwinkligen Dreieck aufgetreten sein können.
Die Beziehung des regelmässigen Fünfecks zu diesem Satze ist erst
erwähnt. Die Elementardreieckchen des Timäus dienen als Beweis,
dass die Pythagoräer denjenigen sonderbaren rechtwinkligen Drei-
ecken ihre Aufmerksamkeit zuwandten, welche in dieser physikalisch-
geometrischen Eigenschaft Verwerthung fanden. Das war einmal
dasjenige Dreieck, dessen beide Katheten je eine Längeneinheit als
Maass besitzen, das war zweitens dasjenige, dessen Hypotenuse
doppelt so gross ist, als die kleinere Kathete, so dass also 1 und 2
die Maasse dieser beiden Seiten bezeichnen.

Wir haben uns (S. 142) schon darüber ausgesprochen, dass wir
für den Satz vom rechtwinkligen Dreieck Pythagoras selbst als den

^) Vergl. Zeising's verschierlene Schriften, über welche mit für den mathe-
matischen Leser genügender Ausfühi-lichkeit S. Günther in der Zeitschr. Math.
Phys. XXI, histor-.literar. Abthlg. S. 157—165 berichtet hat. ^) Auch hier
rührt die richtige Ansicht von Bretschneider S. 89 — 90 her. ^) Diogenes
Laertius VIII, 19.

168 7. Kapitel.

Entdecker betracMen, und uns wesentlich auf den Bericht bezogen,
diejenigen, welche Alterthümliches erkunden wollten, führten den
Satz auf Pythagoras zurück^). Der in Euklid's Elementen vor-
getragene Beweis dagegen, derselbe Beweis, der auch heute noch der
bekannteste ist, bei welchem die Quadrate über die drei Dreiecksseiten
nach aussen hin gezeichnet werden und das Quadrat der Hypotenuse
durch eine von der Spitze des rechten Dreieckswinkels auf die Hypo-
tenuse gefällte gehörig verlängerte Senkrechte in zwei Rechtecke
zerfällt, von denen jedes dem ihm benachbarten Kathetenquadrate
flächengleich ist, dieser Beweis rührt nach Proklus' ausdrücklicher
Aussage von Euklid selbst her. Dass Plutarch") den Satz vom
rechtwinkligen Dreieck als Satz des Pythagoras kennt, wissen wir
(S. 160). Der Rechenmeister Apollo dotus oder ApoUodorus, wie
Diogenes Laertius denselben nennt ^), erzählt in Versen von dem
Stieropfer, welches Pythagoras gebracht habe, als er den Satz von
den Quadraten der Hypotenuse und der Katheten entdeckt hatte.
Nicht wenige Schriftsteller sind in ihren Angaben bezüglich des
Satzes in einer wesentlichen Beziehung genauer, indem sie den Namen
des Pythagoras mit demjenigen rechtwinkligen Dreiecke in Verbin-
dung bringen, dessen Seiten die Maasszahlen 3, 4, 5 besitzen. Am
deutlichsten ist in dieser Beziehung Vitruvius, in dessen im Jahre
14 n. Chr. verfasster Architektur ausdrücklich berichtet wird, dass
Pythagoras einen rechten Winkel mit Hilfe der drei Längenmaasse
3, 4, 5 zu construiren lehrte, und dass ebenderselbe erkannte, dass
die Quadrate von 3 und von 4 dem von 5 gleich seien*). Eine
Plutarchstelle, in welcher dasselbe Dreieck besprochen wird''), ist
uns (S. 147) schon vorgekommen. Dasselbe Dreieck spielt in Pia-
tons Staate eine Rolle. Und wenn wir auf ganz späte Zeiten zu
dem Zwecke herabgehen dürfen, um mindestens zu zeigen, dass die
Ueberlieferujig der Ueberlieferung sich erhalten hat, so möchten wir
als letzten Gewährsmann einen Glossator vom Anfange des XH. S.
nennen, der vom pythagoräischen Dreiecke redend das mit den Seiten
3, 4, 5 unter diesem Namen versteht").

Wir glauben nun, dass die Wahrheit, welche jener Ueberlieferung
zu Grunde liegt, darin besteht, dass Pythagoras an dem Dreiecke 3, 4, 5
seinen Satz erkannte. „Schwerlich leitete den Pythagoras das nach
ihm benannte geometrische Theorem auf seine arithmetischen Sätze,

') Proklus (ed. Friedlein) 426. ^) Plutarchus, Convivium VIII, 4.
«) Diogenes Laertins VllI, 12. *) Vitruvius IX, 2. ^) Plutarchus, De
Iside et Osiride 56. '') Cantor, Die römischen Agrimensoren und ihre Stellung
in der Geschichte der Feldmesskuust. Leipzig, 1875, S. 156 und Note 288. Wir
verweisen künftig auf dieses Buch unter dem Titel „Agrimensoren".

Pythagoras und die Pythagoräer. Geometrie. 169

sondern umgekehrt mögen ihn die Beispiele zweier Quadratzahlen,
deren Summe wieder eine Quadratzahl ist, auf die Relation zwischen
den Quadraten der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks aufmerksam
gemacht haben" ^). So drückte sich ein deutscher Gelehrter bereits
1833 aus, welcher vermuthlich zuerst diese, wie wir glauben, richtige
Anschauung von dem Entwicklungsgange sich aneignete. Pythagoras
bemerkte, meinen wir, dass 9 + 16 = 25 (S. 158). Als er diese unter
allen Umständen interessante Bemerkung machte, kannte er bereits,
gleichviel aus welcher Quelle, die Erfahrungsthatsache, dass ein rechter
Winkel durch Annahme der Maasszahlen 3, 4, 5 für die Längen der
beiden Schenkel und für die Entfernung der Endpunkte derselben
construirt werde. Wir haben (S. 64) darauf hingewiesen, dass die
Aegypter, (S. 102) dass die Babylonier vielleicht die gleiche Kenntniss
besassen, dass die Chinesen ihrer sicherlich theilhaftig waren. Ein
chinesischer Schriftsteller hat nämlich gesagt: „Zerlegt man einen
rechten Winkel in seine Bestandtheile, so ist eine die Endpunkte
seiner Schenkel verbindende Linie 5, wenn die Grundlinie 3 und die
-Höhe 4 ist^'^). Die geometrische und die arithmetische Wahrheit
vereinigten sich nun in dem Bewusstsein des Pythagoras zu einem
gemeinschaftlichen Satze. Der Wunsch lag nahe zu prüfen, ob auch
bei anderen rechtwinkligen Dreiecken die Maasse der Seiten zu Quadrat-
zahlen erhöht das gleiche Verhalten bieten. Die einfachste Voraus-
Setzung war die des gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecks, wo
Höhe imd Grundlinie gleich der Längeneinheit waren. Die Hypote-
nuse wurde gemessen. Sie war grösser als eine, kleiner als zwei
Längeneinheiten. Die mannigfaltigsten Versuche mögen darauf an-
gestellt, andere und andere Zahlenwerthe für die gleichen Katheten
eingesetzt worden sein, um eine Zahl für die Hypotenuse zu erhalten.
Vergebens. Man erhielt wahrscheinlich Zahlen, die dem gesuchten
Maasse der Hypotenuse nahe kamen, Näherungswerthe von l/2
würden wir heute sagen, aber es war noch ein Riesenschritt, von der
Fruchtlosigkeit der angestellten Versuche auf die aller Versuche über-
haupt zu schliessen, und diesen Schritt vollzog Pythagoras.

Er fand, dass die Hypotenuse des gleichschenkligen rechtwinkligen
Dreiecks mit messbaren Katheten selbst unmessbar sei, dass sie durch
keine Zahl benennbar, durch keine aussprechbar sei^); er ent-

') So Jul. Fr. Wurm schon 1833 in Jahns Jahrbüchern IX, 62. Meine
denselben Grundgedanken einzeln durchführende Darstellung in den Math. Beitr.
Kulturl. ist 1863 entstanden, ohne dass ich Jahns Aufsatz kannte. ') Vergl.
Biernatzki, Die Arithmetik der Chinesen in Crelle's Journal. Bd. 52. ') qtjzöv
und aloyov sind die griechischen Namen für Rationalzahl und Irrationalzahl;
aloyov heisst sowohl ohne Verhältniss als ohne Wort d. h. nicht aussprechbar.

170 7. Kapitel.

deckte das Irrationale, worauf das alte Mathematikerverzeiclmiss
ein so sehr berechtigtes Gewicht legt. Er entdeckte es grade an der
Hypotenuse des gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks, wie aus
mehr als nur einem Umstände wahrscheinlich gemacht werden kann..
So erzählt ims Piaton, der Pythagoräer Theodorus vonKyrene,
der ihn selbst in der Mathematik unterrichtet hatte, habe bewiesen,
dass die Quadratwurzel aus 3, aus 5 und anderen Zahlen bis zu 17
irrational sei^). Von der Irrationalität der Quadratwurzel aus 2 ist
dabei keine Rede-, diese muss also vorher bekannt gewesen sein.
Aristoteles weiss dagegen an vielen Stellen von der Irrationalität der
Diagonale des Quadrates von der Seite 1 zu reden, und sagt einmal
gradezu, der Grund dieser Irrationalität liege darin, weil sonst Grades
und Ungrades gleich sein müsste"). Den Sinn dieser Worte erläutert
aber Euklid. Er gibt nämUch folgenden Beweis, den wir nur so
weit abgeändert haben, dass wir Euklids Worte in moderne Zeichen-
sprache umsetzten^). Es sei JF zu AB (Figur 27) commensurabel

und verhalte sich in kleinsten Zahlen wie a zu /3;

folglich muss wegen AF^ AB auch a > /3 und.

sicherlich > 1 sein. Weiter folgt AF^: AB'- = a^: ß^

und wegen AF- = 2AB' auch a^ = 2ß^, folglich a^

und mit dieser Zahl zugleich auch a eine grade Zahl.

Die zu a theilerfremde ß muss daher ungrade sein.

Die grade a sei = 2yj so folgt a- = Ay'. Es war
«2 ,= 2/3^, mithin ist 2/3^ = 4y^, /3^ = 2y^ grad und auch ß grad,
was mit dem eben bewiesenen Gegentheil einen Widerspruch bildet,
der zur Aufhebung der Annahme führt, als könne die Diagonale mit
der Quadratseite in einem rationalen Zahlenverhältnisse stehen. Man
sieht, das muss der Beweis gewesen sein, an welchen Aristoteles bei
seiner Aeusserung dachte. Es ist also ein Beweis, dessen Alterthum
über Aristoteles hinaufreicht, und der, nach der kurzen Weise, in
welcher dieser ihn andeutet, zu schliessen, den Lesern des Aristoteles
zur Genüge bekannt sein musste. Wir gehen deshalb vielleicht
nicht zu weit, wenn wir grade diesen Beweis als einen hergebrachten
ansehen, als denjenigen, der in der alten pythagoräischen Schule ge-
führt wurde, mag ihn Pythagoras selbst oder einen seiner unmittel-
baren Schüler und Nachfolger ersonnen haben.

War in der That die Diagonale des Quadrates als irrational,
die Diagonale des Rechteckes mit den um eine Längeneinheit ver-
schiedenen Seiten 3 und 4 als rational, nämlich mit der Länge 5,
bekannt, dann war es möglich, dass man auch Quadrat und Hete-

*) Piaton, Theaetet 147, D. *) Aristoteles, Analytica prot. I, 23, 11.
8) Euklid X, 117.

Pythagoras und die Pythagoräer. Geometrie. 171

romekie als diejenigen Gegensätze in die pythagoräisehe Kategorien-
tafel, welche uns durch Aristoteles bekannt geworden ist, aufnahm,
die den sonst dort fehlenden Gegensatz des Rationalen und Irrationalen
ersetzen sollten'). Wir haben eine solche von der unsrigen zunächst
abweichende Erklärung angekündigt (S. 150) und nicht ganz von
der Hand gewiesen. Allein sie vollkommen uns anzueignen, auch in
der Verbindung mit unserer eigenen Vermuthung, die wir dort als
nothweudig betonten, vermögen wir trotz eines unterstützenden
Grundes, auf welchen wir im 11. Kapitel zu reden kommen, doch
nicht. Es könnte nämlich grade das Fehlen des Gegensatzes des
Rationalen und des Irrationalen in der Kategorientafel als bezeichnend
betrachtet werden müssen.

Nach einem alten Scholion zum X. Buche der euklidischen Ele-
mente, welches man in neuerer Zeit dem Proklus zuzuschreiben
pflegt'-), dürfte diese Annahme eine nicht ungerechtfertigte sein.
„Man sagt, dass derjenige', welcher zuerst die Betrachtung des Irra-
tionalen aus dem Verborgenen in die Oeffentlichkeit brachte, durch
einen Schiffbruch umgekommen sei, und zwar weil das Unaussprech-
liche und Bildlose immer verborgen werden sollte, und dass der,
welcher von Ungefähr dieses Bild des Lebens berührte und aufdeckte,
an den Ort der Entstehung^) versetzt und dort von ewigen Fluthen
umspült wurde. Solche Ehrfurcht hatten diese Männer vor der
Theorie des Irrationalen."

Das Mystische dieser Erklärungen stimmt allerdings durchaus zu
den übrigen philosophischen Floskeln des Proklus und sie sind offen-
bar pythagoräischer Ueberlieferung entnommen. Mystisch war, das
ist wieder einer der allseitig anerkannten Punkte, der ganze Pytha-
goräismus, und wir dürfen vielleicht hier als an dem. geeignetsten
Orte darauf hinweisen, dass Philolaus schon die Winkel von
Figuren bestimmten Göttern weihte^), dass Piaton umgekehrt
die Gottheit immer geometrisch zu Werke gehen liess'').

') So die Meinung Hankels S. 110, Anmerkung. ^) Knoche, Untersuchungen
über die neu aufgefundenen Scholien des Proklus Diadochus zu Euklids Ele-
menten. Herford, 1865, S. 17—28, besonders S. 23. ^) Dr. P. Hohlfeld machte
uns brieflich aufmerksam, die griechische Stelle heisse sig zov tfjg ytveascog
xönov = an den Ort der Entstehung, womit die Uebersetzung des Commandinus
in generationis hoc est profundi locum übereinstimme; wenn Hankel übersetze
„in den Ort der Mütter", so beruhe dieses wahrscheinlich auf unbewusster Er-
innerung an eine bekannte- Stelle in Göthe's Faust, zweiter Theil. *) Böckh,
Philolaus S. 155. Chaignet 1, 245 — 247. ^) Plutarchus Convivia VIII, 2
TJag mätav iXsyB zbv ©sbv cctl yta(itTQ8iv. Die Stelle bei Piaton selbst ist
nicht bekannt. Wenn Vossiusin seiner Geschichte der Mathematik dafür auf den
Dialog ,, Philebus" verweist, so dürfte dieses Citat auf einem Irrthum beruhen.

172 7. Kapitel.

War einmal die Irrationalität als solche, und zwar an der Dia-
gonale des Quadrates erkannt, war man sich bewusst geworden, dass
die Diagonale des Rechtecks von den Seiten 3 und 4 genau in 5
Einheiten sich darstellte, die des Rechteckes von gleichen Seiten
aber nicht angebbar war, welche Länge man auch den beiden Seiten
beilegte, so musste man wohl auch andere Rechtecke prüfen, z. B.
von der Voraussetzung ausgehen, dass die Diagonale zur einen Seite
im einfachsten Zahlenverhältnisse von 2 zu l stehe, und nun die
andere Rechtecksseite zu messen suchen. Wir sehen hier das zweite
Elementardreieckchen vor uns, dessen Benutzung neben dem gleich-
schenkligen rechtwinkligen Dreiecke zur Flächenbildung wir aus
Piatons Timäus kennen, und dessen somit nachgewiesener pytha-
goräischer Ursprung den hier ausgesprochenen Vermuthungen eine
immer breitere Grundlage gewähren dürfte.

Wieder weiterschliessend war die Untersuchung an einem Punkte
angelangt, wo der Weg sich spaltete. Man konnte, wo die Zahl ihren
Dienst versagte, geometrische Beweise für den Satz von den Quadraten
über den Seiten rechtwinkliger Dreiecke suchen. Man konnte solche
Zahlen suchen, die als Seiten rechtwinkliger Dreiecke auftreten
konnten. Man schlug beide Wege ein.

Wir haben oben gesagt, dass der heute gebräuchlichste Beweis des
pythagoräischen Lehrsatzes von Euklid herrühre. Der in der pytha-
goräischen Schule selbst geführte muss von diesem verschieden ge-
wesen sein. Er dürfte seiner Alterthümlichkeit entsprechend viele
Unterfälle unterschieden haben und grade vermöge dieser Weitläufig-
keit aufs Gründlichste beseitigt worden sein, wie wir daraus schliessen
dürfen, dass Proklus auch mit keiner Silbe des Ganges des voreukli-
dischen Beweises gedenkt. Waren Unterfälle unterschieden, so ist die
Wahrscheinlichkeit vorhanden, die Beweisführung
sei von dem gleichschenkligen rechtwinkligen Drei-
ecke ausgegangen^) und habe die Zerlegung des
Quadrates durch seine Diagonalen (Figur 28) zur
Grundlage gehabt'), wenigstens hat sich in Piatons
Menon dieser Beweis des Sonderfalles erhalten.
Wie der weitere Fortschritt zum Beweise des all-
'^' ^^' gemeinen Satzes vollzogen wurde, darüber ist man

in keiner Art unterrichtet. Die verschiedenen Wiederherstellungs-
versuche, so geistreich manche derselben sind, schweben alle so
ziemlich in der Luft'*).

') Hankel S. 98. *) Allman 1. c. S. 29. ^) Vergl. Camerer's EukUd-
ausgabe I, 444 mit Bretschneider 82.

Pythagoras und die Pythagor'äer. Geometrie. 173

Die aritlimetische Aufgabe Zahlen zu finden, welcjie als
Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks gezeichnet werden
können, löste Pythagoras gleichfalls, und hier sind wir in der
günstigen Lage, dass Proklus uns seine Auflösungsmethode aufbe-
wahrt hat'). Er sei von irgend einer ungraden Zahl 2u -\- \ aus-
gegangen, welche er als kleinere Kathete betrachtete. Die Hälfte
des um 1 verminderten Quadrates derselben gab die grössere Kathete
2a^-\-2a, diese wieder um 1 vermehrt die Hypotenuse 2a'^-{-2a-\- 1.
Wie kam Pythagoras zu dieser Auflösung? Ein möglicher Weg ist
folgender, welchen wir nur wenig gegen die Art, wie er zuerst ver-
muthungs weise geschildert worden ist^), verändert der Prüfung unter-
breiten. Ist rt^ = &- -f- C", so ist c- = a^ — b^ = (o, -{-V) {a — li).
Die Aufgabe der erstgeschriebenen Gleichung zu genügen lässt sich
also erfüllen, wenn nur a -\- h und a — h beide grad oder beide
ungrad und zudem solche Zahlen sind, welche mit einander verviel-
facht eine Quadratzahl liefern. Solche Zahlen kannte höchst wahr-
scheinlich bereits die vorplatonische Zeit, da sie unter dem Namen
ähnlicher Zahlen bei Theon von Smyrna erklärt sind ^). Die
andere von uns hervorgehobene Bedingung beruht darauf, dass a
und h ganzzahlig zu erhalten nur dann möglich ist, wenn Summe
und Differenz von a -{- h und a — h beide grad sind. Der einfachste
Fall ähnhcher Zahlen ist nun selbstverständlich der der Einheit und
einer Quadratzahl c^, und weil 1 ungrad ist, muss hier auch c- und
somit c selbst ungrad sein, etwa c = 2a + 1. So kam die Formel
des Pythagoras darauf hinaus (2a -f- l)' = {2a -\- ly . 1 zu setzen,
und darnach aus (2« -|- lf = a-\-h und \ = a — h die Werthe

0 = 2 ^^^ ^ = 2 f" ^^^ ermitteln, welche

zusammen mit c = 2a-[-l die gestellte Aufgabe lösen. Die Formen,
in welchen & und a auftreten, entsprechen, wie man sofort erkennt,
genau dem Wortlaute der Angabe des Proklus, was immer ein
günstiges Vorurtheil für die Richtigkeit eines Wiederherstellungsver-
suches gewährt, und da überdies in Aegypten, wie wir aus dem
Uebungsbuche des Ahmes wissen, Aufgaben von algebraischer Natur
zu lösen nicht ungebräuchlich war, so scheitert der Versuch auch
nicht an der Frage, ob es für Pythagoras möglich gewesen sei, schon
derartige Schlüsse zu ziehen, wie sie hier verlangt wurden.

Fassen wir den Inhalt dieses und des zunächst vorhergehenden
Kapitels in Kürze zusammen. Pythagoras hat, so suchten wir zu

^) Proklus (ed. Friedlein) 428. '^) Roth, Geschichte der abendländi-
schen Philosophie II, 527. ^) Theon Smyrnaeus (ed. Hiller) 36.

174 7. Kapitel.

erweisen, sicherlich in Aegypten, vielleicht in den Euphratländern
mathematisches Wissen sich angeeignet. Ersteres geht wie aus den
ausdrücklichen Ueherlieferungen, so auch aus dem ägyptischen Gepräge
mancher geometrischer Entwicklungen, letzteres aus den babylonisch
anmuthenden Zahlendifteleien der Pythagoräer hervor. Die Summe
des geometrischen Wissens, welches von Pythagoras und seiner Schule
den Griechen vor dem Jahre 400 zugänglich gemacht wurde, ist eine
nicht ganz geringfügige. Sie umfasste die Kenntniss von den Parallel-
linien und den durch dieselben beweisbaren Winkelsätzen, insbesondere
den Satz von der Summe der Dreieckswinkel. Sie umfasste Con-
gruenzsätze des Dreiecks und Sätze über Flächengleichheit, deren
Anwendung die sogenannte Anlegung von Flächen bildete. Sie Hess
umgekehrt Figniren als Summe anderer Figuren entstehen, wobei
vielleicht das Sternfünfeck entdeckt wurde, wenn wir auch für dieses
nicht mit gleicher Sicherheit wie für die anderen Dinge die alten
Pythagoräer als Urheber behaupten möchten. Sie umfasste den pytha-
goräischen Lehrsatz und den goldenen Schnitt. Sie enthielt endlich
auch Anfänge einer Stereometrie, insbesondere die Kenntniss der fünf
regelmässigen Körper und der Kugel, welche dieselben umfasst. Die
Sätze waren mit Beweisen versehen. Allerdings liessen die Beweise
vermuthlich nicht gleich die Strenge erkennen, welche man geradezu
geometrische Strenge zu nennen pflegt, und legten erst nach und
nach den Charakter eines Erfahrungsbeweises ab, nahmen noch später
jene allgemeineren Fassungen an, welche in einheitlicher Betrachtung
die Nothwendigkeit der Unterscheidung von Sonderfällen verbannt.
Noch unvergleichbar mehr leistete die pythagoräische Schule in der
Arithmetik, gerade durch die Grösse der Leistungen die Wahrschein-
lichkeit fremden Ursprunges auch für diesen Zweig griechischer
Mathematik bezeugend. Arithmetische, geometrische, harmonische
Verhältnisse und Reihen, unter den arithmetischen Reihen auch solche,
welche die Sprache heutiger Wissenschaft arithmetische Reihen
höherer Ordnung nennt, sind Dinge, die man am Anfange einer
Entwicklung nicht zu finden erwarten darf, noch weniger die freilich
auch weniger gut beglaubigten befreimdeten und vollkommenen
Zahlen. Die Ueberlieferung lässt wirklich einige dieser Gegenstände
aus Babylon eingeführt sein. Fremdländisch war vielleicht auch die
Methode des mathematischen Experimentes d. h. der Zerlegung von
Figuren in andersgestaltete, der Vereinigung von Reihengiiedern
derselben oder verschiedener Reihen zu Summen, zunächst nur in der
unbestimmten Absicht zu versuchen, ob dabei etwas geometrisch,
etwas arithmetisch Merkwürdiges sich offenbaren möchte. Für grie-
chisch dagegen hielten wir die eigenthümliche Verquickung von

Mathematiker ausserhalb der pythagoräischen Schule. 175

Geometrie und Arithmetik, die geometrische Versimilichung der Zahlen-
lehre, wie sie in der Ebenen- und Körperzahl, in der Dreiecks- und
Quadratzahl, in der Vielecks- und Gnomonzahl zu Tage tritt. Pytha-
goräisch war nach unserer durch mannigfache Ueberlieferung gestütz-
ten Darstellung die Erfindung des Satzes von den Quadraten der
Seiten des rechtwinkligen Dreiecks als eines arithmetischen ausgehend
von dem bestimmten Zahlenbeispiele 3^ -f 4^ = 5^. Pythagoräisch war
endlich eine Regel zur Ermittelung anderer Zahlen als 3, 4, 5, welche
als Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks dienen können, pythagoräisch
die Lehre vom Irrationalen. Vom Irrationalen sagen wir and müssen
wir sagen, nicht von der Irrationalzahl, denn das Irrationale war den
Griechen keine Zahl. War den Pythagoräern doch sogar die Einheit
noch keine Zahl, sondern erst eine Vielheit von Einheiten. Brüche
mögen dem Rechner vorgekommen sein, sei es als wirkliche Brüche
mit Zähler und Nenner, sei es als ünterabtheilungen von Münzen,
von Gewichten, von Feidmaassen, jedenfalls immer als concrete Brüche.
Der abstrakte Bruch war für den Arithmetiker nicht vorhanden.
Er kannte Brüche nur mittelbar als Verhältniss zweier Zahlen. Um
so weniger konnte ihm das Irrationale eine Zahl sein, welchem nicht
einmal ein aussprechbares Verhältniss den Eintritt in die Zahlen-
reihe gestattete. Diese wichtige Beschränkimg des Begriffes der
Zahl erhielt sich über die Zeit der Pythagoräer weit hinaus. Sie
blieb, was den Ausschluss des Irrationalen betrifft, so lange, als über-
haupt von griechischer Arithmetik die Rede ist.

8. Kapitel.
Mathematiker ausserhalb der pythagoräischen Schule.

Die Mathematik nahm, wie wir weitläufig gesehen haben, einen
mächtigen Aufschwung durch die pythagoräische Schule. Es war
wohl eng damit verbunden, sei es als Ursache, sei es als Folge, dass,
wie uns berichtet wird, die Mathematik den Pythagoräern als erstes
und wichtigstes Lehrelement diente^). Damit ist aber nicht aus-
geschlossen, dass auch andere Schriftsteller sich noch verdient mach-
ten. Hören wir, wie das alte Mathematikerverzeichniss fortfährt:

„Nach ihm (dem Pythagoras) lieferte der Klazomenier Anaxagoras
Vieles über Geometrie, ingleichen Oinopides von Chios, der etwas

^) Porphyrius, De vita Pythagor. 47. Jamblichus, De philosophia
Fythagor. lib. III, abgedruckt bei Ansse de Villoison, Änecdota Graeca.
Venedig, 1781, pag. 216.

176 8. Kapitel.

jünger ist als Anaxagoras. Beider gedenkt Piaton in den Neben-
bulern als berühmter Geometer."

Anaxagoras von Klazomeue^) wurde vermuthlich 500 ge-
boren und starb 72 Jahre alt 428. Er gehörte einem vornehmen und
reichen Hause an, achtete aber aus Liebe zur Wissenschaft weder auf
die Verwaltung seines Vermögens, noch auf eine ihm leicht erring-
bare politische Stellung. Seinen verwahrlosten Besitz soll er schliess-
lich seinen Angehörigen überlassen, die Nichteinmenguug in staat-
liche Verhältnisse aber damit erklärt haben, dass ihm der Himmel
Vaterland und die Beobachtung der Gestirne seine Bestimmung sei.
Um 464 etwa dürfte er nach Athen gekommen sein, wenn anders
der Bericht der Wahrheit entspricht, dass sein dortiger Aufenthalt
30 Jahre gedauert habe. Er verliess nämlich diese Stadt um 434,
wenige Jahre vor dem Beginne des peloponnesischen Krieges. Anaxa-
goras lehrte in Athen als einer der Ersten Philosophie, und unter
seinen Schülern waren zwei Männer von verschieden begründetem,
aber gleich hohem Ruhme: Euripides und Perikles. Perikles insbe-
sondere blieb zu seinem Lehrer in fortwährend freundschaftlichem
Verhältnisse, und als in der angegebenen Epoche, wenige Jahre vor
431, die Gegner des grossen athenischen Staatsmannes ihrer Feind-
schaft gegen ihn in Gestalt von Verfolgung seiner Freunde Luft zu
machen begannen, war grade Anaxagoras eine zur Eröffnung des
Angriffes geeignete Persönlichkeit. Lehren eines Philosophen zu ver-
dächtigen, eines Denkers, welchen nicht Jeder aus dem grossen
Haufen versteht, ist bei einigem guten Willen niemals unmöglich,
und das musste Anaxagoras erfahren. Er wurde ins Gefängniss ge-
bracht und entkam diesem, sowie der Stadt Athen, man weiss nicht
genau wie. Die Einen berichten von Flucht aus dem Gefängnisse,
die Anderen von Verbannung, die Dritten von Freisprechung und
darauf folgendem nichterzwungenem Verlassen der ihm zuwider ge-
wordenen Stadt. Sicher ist, dass Anaxagoras die letzte Zeit seines
Lebens in Lampsakus zubrachte. Wir haben über den eigenen Bil-
dungsgang des Anaxagoras nichts gesagt. Die Nachrichten aus dem
Alterthume schweigen entweder über einen Lehrer, dem er gefolgt
wäre, oder sie nennen ihn Schüler des Anaximenes. Wieder Andere
wissen von einer Studienreise nach Aegypten zu erzählen. Die erstere
Angabe lässt sich mit dem gemeiniglich auf 499 angesetzten Todes-
jahr des Anaximenes nicht vereinigen. Die zweite ist an sich nicht
unwahrscheinlich, da, wie wir bei Thaies und Pythagoras gezeigt

') Schaubach, Fragmenta Anaxagorae. Leipzig, 1827. Zellerl,
7«3— 791.

Mathematiker ausserhalb der pythagoräischen Schule. 177

haben^ ein Handelsverkehr zwischen den ionischen Städten und Aegypten
stattfand und selbst Studienreisen wohl beglaubigt sind.

Von dem, was Anaxagoras als Mathematiker leistete, sind wir
so ziemlich, davon, wie er es leistete, gar nicht unterrichtet. Dass es
etwas Hervorragendes gewesen sein muss, lässt sich zum Voraus
erwarten. Da in den Nebenbulern, einem Gespräche in Piatons Art,
wenn auch nach heutiger Annahme nicht von Piaton verfasst, ein
Streit über astronomische und mathematische Dinge kurzweg als Streit
über Anaxagoras oder über Oinopides bezeichnet wird^), so geht schon
aus dieser Redeweise hervor, dass zur Zeit, als jenes Gespräch ent-
stand, beide hochberühmt in ihrem Fache waren.

Plutarch erzählt, Anaxagoras habe im Gefängnisse, das wäre
also um 434, die Quadratur des Kreises gezeichnet'-). So
fraglich dieser Bericht früher erscheinen mochte, jetzt ist er sehr
glaubwürdig geworden, nachdem wir wissen, dass die Aegypter mehr
als ein Jahrtausend vor Anaxagoras die Quadratur des Kreises zeich-
neten, d. h. eine Figur construirten, welche als Quadrat die Fläche
des Kreises mehr oder weniger genau darstellte. Dass Anaxagoras
der mangelnden Genauigkeit sich voll bewusst gewesen sein sollte,
ist nicht anzunehmen. Er wird wohl, wie Viele nach ihm, die volle
Quadratur zu erreichen gesucht haben. Aber auch darin liegt ein
Verdienst, eine Aufgabe an die Tagesordnung gebracht zu haben,
welche später als fruchtbringend sich erwies.

Ein anderes Verdienst schreibt Vitruvius dem Anaxagoras zu.
Als Aeschylus in Athen Dramen aufführen Hess, also um etwa 470,
habe ein gewisser Agatharchus die Schaubühne hergerichtet und
eine Abhandlung darüber geschrieben. Daraus haben sodann Anaxa-
goras und Demokrit Veranlassung genommen den gleichen Gegen-
stand zu erörtern, wie man die gezogenen Linien den aus den Augen
kommenden Selistrahlen bei Annahme eines bestimmten Mittelpunktes
entsprechend ziehe, so dass z. B. Gebäude auf Dekorationen dar-
gestellt werden konnten, und was in einer Ebene gezeichnet war bald
zurückzutreten, bald vorzurücken schien'^). Das ist wenn auch in
ungenügender so doch in nicht misszuverstehender Weise beschrieben
eine Perspektive. Deren Erfindung oder Ausbildung ist sicherlich
nicht ohne Bedeutung, namentlich wenn die Reise des Anaxagoras
nach Aegypten als wahr gelten darf, da er dort sein Auge nur an
unperspektivisch entworfene Gemälde zu gewöhnen im Stande war,

1) Piaton, Rivales 132 A. *) Plutarchus, De exilio cap. 17 aU' 'Avec-
layöpag iisv sv zw 8sa(icoTr]Qico xbv xov kvkXov zezQccywviGfibv bygaips. ^) Vitru-
vius VII, praefat. 11.

Cantoh, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 12

178 8. Kapitel.

und die gewohnte Darstellung ihn eben so wenig gehindert haben
wird als Tausende, die vor ihm, die nach ihm bewundernd die bemalten
Tempelwände anstaunten.

Der andere durch die erwähnte Stelle in den Nebenbulern als
allbekannt erwiesene Geometer war Oinopides von Chios. Er sei
etwas jünger als Anaxagoras, meldet das uns in jeder Beziehung
glaubwürdige Mathematikerverzeichnis s. Eine annähernde Gleichaltrig-
keit beider bestätigt Diogenes Laertius'). Oinopides soll gleichfalls
in Aegypten gewesen sein. Gekommen sei zu ihnen ingieichen Demo-
kritos von Abdera und Oinopides von Chios '^), meldet Diodor an
einer früher (S. 140) von uns angeführten Stelle. Geometrisches
wissen wir von Oinopides nur, was Proklus in seinem Commentare
zum ersten Buche der euklidischen Elemente ihm zuschreibt^), dass
er nämlich die beiden Aufgaben gelöst habe*), von einem Punkte
ausserhalb einer unbegrenzten Geraden ein Loth auf letztere zu
fällen und an einem in einer Geraden gegebenen Punkte einen
Winkel anzulegen, der einem gegebenen Winkel gleich sei. Bei
ersterer Aufgabe bedient sich Oinopides des ,,alterthümlichen" Wortes
(S. 150) einer nach dem Gnomon gerichteten Linie. Aus dem un-
gemein elementaren Gegenstande der ihm zugeschriebenen Aufgaben
einen Schluss auf die Verdienste des Oinopides ziehen zu wollen,
hiesse seinen griechischen Verehrern jede Urtheilsfähigkeit absprechen.
Er muss noch Anderes und Bedeutenderes geleistet haben, was wir
aber nicht kennen. Seine Beziehung zu den beiden Aufgaben des
Lothes und der Winkelanlegung ist gewiss dahin richtig gedeutet
worden''), Proklus wolle nur sagen, die bei Euklid gelehrten Auf-
lösungen rührten von Oinopides her, während andere Auflösungen
derselben dem Praktiker auf Weg und Steg vorkommenden Aufgaben
längst vorher in Aegypten wie in Griechenland bekannt gewesen
sein müssen.

Im Zusammenhang mit beiden Geometern, mit Anaxagoras wie
mit Oinopides, haben wir einen dritten genannt: Demokritus. Ab-
dera, jenes thrakische Krähwinkel des Alterthums, von dessen Be-
wohnern die schnurrigsten Geschichten erzählt werden, war die Hei-
math des Demokritos, dessen' Ruhm, so bedeutend er war, nicht hin-
reichte, das Abderitenthum in Schutz zu nehmen. Nach eigener
Aussage 40 Jahre jünger als Anaxagoras*"') muss er um 460 geboren
sein. Nach Diodor sei er dagegen im 1. Jahre der 94. Olympiade,

') Diogenes Laertius IX, 37 und 41. *) Diodor I, 96. ^) Proklus
(ed. Friedlein) 283 und 333. *) Euklid I, 12 und 23. ^) Bretsclineider
S. ü5. °) Diogenes Laertius IX, 41.

Mathematiker ausserhalb der pythagoräischen Schule. J 79

das ist 404 auf 403, im Alter von 90 Jahren gestorben'), was einen
unlösbaren Widerspruch herstellt. Beglaubigt ist, dass Demokritus
ein hohes Alter von mindestens 90 Jahren erreichte; manche Be-
richte lassen ihn sein Leben sogar auf 100, auf mehr als 100, auf
109 Jahre bringen^). Vereinigen wir seine Geburtsangabe als muth-
masslich glaubwürdigste mit dieser Lebensdauer, so wird der Irrthum
keinesfalls sehr gross sein, wenn man sein Leben etwa von 460 bis
370 ansetzt, den Mittelpunkt seiner Thätigkeit in die Jahre 420 bis
400 verlegt. Demokritus gehörte, wie aus der Diodorstelle hervorgeht,
zu den Fremden, deren Namen in den Matrikellisten der ägyptischen
Priester aufgeführt wurden. Nach einem weiteren Berichte des Diodor
verweilte er fünf Jahre in Aegypten^), und wenn in einem bei
Clemens von Alexandria erhaltenen Bruchstücke des Demokrit selbst
von 80jährigem Aufenthalte die Rede ist^), so dürfte die Erklärung
stichhaltig sein, hier habe einfach eine Verwechslung der älteren
Zahlbezeichnung 77 = 5 mit der jüngeren n = 80 stattgefunden.
Auch Vorderasien und Persien bereiste Demokrit, wie allgemein be-
richtet und geglaubt wird^). Wir glauben diesen Umstand betonen
zu sollen, da er je nach den persönlichen Ansichten des Einen oder
des Andern entweder dazu führen kann ähnlichen Reisen, welche
Pythagoras etwa 100 Jahre früher unternommen haben soll, einen
gewissen Wahrscheinlichkeitshalt zu gewähren, oder eine Erklärung
uns darbietet, auf welche Weise ungefähr durch andere Reisende
schon im V. S. vorchristlicher Zeitrechnung babylonische Lehren in
das fast vollendete Gebäude pythagoräischer Schalweisheit Eingang
finden konnten.

In Erinnerung an seinen ägyptischen Aufenthalt gebrauchte
Demokrit das stolze Wort: „Im Construiren von Linien nach Maass-
gabe der aus den Voraussetzungen zu ziehenden Schlüsse hat mich
Keiner je übertroffen, selbst nicht die sogenannten Harpedonapten
der Aegypter", dessen wir (S. 62) gedachten, als von jenen Seil-
spannern die Rede war. Auch Cicero rühmt Demokrit als gelehrten,
in der Geometrie vollkommenen Mann^). Mathematische Schriften des
Demokrit nennt uns Diogenes Laertius^), doch ist es leider nicht
möglich, aus diesen Büchertiteln mehr als nur allgemeinste Kenntniss
ihres Inhalts, und das nicht immer, zu gewinnen. Ueber Geometrie;
Zahlen, das sind Titel allgemeinster Art, und ob wir unter der
Geometrie etwa Feldmessung in unmittelbarer Beziehung zur Thätig-

1) Diodor XIV, 11. «) Vergl. Zeller I, 686. ^) Diodor I, 98. *) Cle-
mens Alexandr. Stromata I, 304 A. ^) Zeller I, 688. «) Cicero, De
finibus bonorum et malorum I, 6, 20. ') Diogenes Laertius IX, 47.

12*

180 8. Kapitel.

keit jener Harpedonapten zu verstehen haben, wagen wir kaum in
Gestalt einer Frage zu äussern. Was mag aber der Titel tzsq] dia-
(poQrjs yvoji-iovog t] ttsq! ^^kvölo^ xvkXov xal acpacQrjg (wörtlich: über
den Unterschied des Gnomon oder über die Berührung des Kreises
und der Kugel) bedeuten? Als mögliche Erklärung ist vorgeschlagen
worden^), Demokrit habe einen rechten Winkel so mit dem Kreise
beziehungsweise der Kugel in Verbindung gesetzt, dass der eine
Schenkel durch den Mittelpunkt ging, die Spitze des Winkels auf die
Kreislinie (Kugeloberfläche) fiel, weil alsdann der andere Schenkel zur
Berührungslinie wurde. Ein weiterer durch Diogenes Laertius über-
lieferter Titel ist: tcsqI uXoyav ygccfi^äv xal va6rc5v ß' (zwei Bücher
von irrationalen Linien und den dichten Dingen)?^). Auch dafür ist
eine Erklärung versucht worden^). Der Titel sei nämlich verderbt
aus TCEQi aköyav ygafifiav xkaßrcov d. h. über irrationale gebrochene
Linien, und unter dieser Ueberschrift habe die Untersuchung sich
theils mit solchen Irrationalitäten beschäftigen können, welche Summen
von rationalen und irrationalen Theilen waren, theils mit Zerbrechung,
d. h. Theilung von irrationalen Linien nach gegebenen Verhältnissen.
Jedenfalls können wir, mag das letzte Wort des Titels geheissen
haben, wie es will, seinen ersten Worten die nicht unwichtige That-
sache entnehmen, dass Name und vermuthlich auch Begriff des
Irrationalen trotz der mystischen Scheu der Pythagoräer verhältniss-
mässig frühzeitig ausserhalb der Schule in Anwendung kam. Wichtig
wäre uns vielleicht noch ganz besonders eine Stelle bei Plutarch,
Demokrit habe den Kegel parallel zur Grundfläche geschnitten^),
wenn über Art und Zweck der Schnittführung nur irgend Genaues
gesagt wäre. Wir würden Eiuzelangaben etwa im Mathematiker-
verzeichnisse oder bei Proklus mit Freuden begrüssen. Da wie dort
kommt der Name des Demokrit nicht einmal vor !

Das Schweigen des Proklus lässt allerdings als absichtliches sich
auffassen. Proklus gehörte zu den begeistertsten Spätpiatonikern.
Piaton war Gegner des Demokritus, dessen Werke er vernichtet wissen
wollte, dessen Namen er in seinen zahlreichen Schriften niemals nennt °).
Proklus mochte nach Piatons Beispiel handeln. Aber das Mathe-
matikerverzeichniss? Aristoteles, Theophrastus, Eudemus schätzten
Demokritus und beschäftigten sich eingehend mit ihm. Dass das

^) Allmann, Greek geometry from Thaies to Euclid, pag. 80. ^) Dass
ygcififial aloyai nicht Asymptoten bedeuten kann, wie in einer sonst brauch-
baren Programmabhandlung gesagt ist, versteht sich von selbst. ^) Hultsch
in den Neuen Jahrbüchern f. Philol. u. Pädagog. (1881) Bd. 123. S. 578—579.
*) Plutarchus, De communibus notüiis adversus Stoicos cap. 39, § 3. ^) Dio-
genes Laertius IX, 40.

Mathematiker ausserhalb der pythagoräischen Schule. 181

Mathematikerverzeiclmiss ihn, den vielgerühmten Geometer, nicht
nennt, kann nur in doppelter Weise erklärt werden. Entweder Hess
Proklus aus dem Verzeichnisse den ihm missliebigen Namen weg,
oder der Verfasser des Verzeichnisses hat ihn mit Unrecht vergessen,
eine Vergesslichkeit, welche uns einen der zahlreichen Belege für den
Satz liefert, dass aus dem zufälligen Schweigen eines Schriftstellers
Schlüsse nicht gezogen werden dürfen^).

Der Vollständigkeit entbehrt das Mathematikerverzeichniss auch
in einer anderen Beziehung, indem es über die Sophisten, welche
der Mathematik sich befleissigten, insbesondere über Hippias von
Elis in halbes Schweigen sich hüllt. W^ir nennen es ein halbes
Schweigen , weil der Name dieses Mannes, wie wir uns erinnern
(S. 13ö), einmal bereits vorkam. Es handelte sich um den geometri-
schen Ruhm des Mamerkus, für welchen Hippias von Elis als Ge-
währsmann angerufen wurde, und diese Anrufung selbst genügt zum
Nachweise, dass Hippias nach der Meinung des Verfassers des Ver-
zeichnisses wohl fähig war über geometrische Tüchtigkeit ein Urtheil
zu fällen. Allein der eigentliche Ort, des Hippias von Elis und seiner
Verdienste um die Mathematik zu gedenken, würde doch erst neben
oder nach Anaxagoras und Oinopides gewesen sein, imd hier ver-
missen wir seine Erwähnung.

Proklus spricht dafür von ihm an zwei anderen Stellen-). Man
hat freilich mehrfach Zweifel dagegen erhoben, dass der bei Proklus
genannte Hippias wirklich Hippias von Elis sei^), aber sicherlich mit
Unrecht. Proklus besitzt nämlich in seinem Commentare eine Ge-
wohnheit, von der er nie abgeht. Er schildert einen Schriftsteller,
welchen er anführt, sofern Missverständnisse möglich wären, mit
deutlicher Benennung, lässt aber später die Beinamen weg, wenn er
es unbeschadet der Deutlichkeit thun darf So nennt er einen Zenon
von Sidon später nur Zenon den früher erwähnten oder kurzweg
Zenon; Leodamas heisst beim ersten Vorkommen von Thasos, später
nur Leodamas; Oinopides von Chios wird später zum einfachen Oino-
pides, Theätet von Athen zum Theätet u. s. w. Hippokrates der
Arzt wird an einer Stelle, Hippokrates von Chios an einer späteren
genannt, und wo noch später der Letztere wieder auftritt, heisst er
wieder Hippokrates von Chios, weil eben vorher zwei des Namens
genannt waren, und damit zum Missverständnisse Gelegenheit geboten

1) Vergl. Zeller, I, 690. ^) Proklus (ed. Friedlein) 272 nnd 356,
^) F. Blass in den Neuen Jahrbüchern für Philologie und Pädagogik Bd. 105
in einem Referate über Bretschneiders Geometrie und Geometer vor Euklid.
Hankel S. 151; aber auch schon im Bulletino Boncompagni 1872, pag. 297.
Friedlein, Beiträge III, S. 8 (Programm für 1873).

182 8. Kapitel.

war. Wenn also Proklus uns einen Hippias schleclitweg nennt, so
muss das Hippias von Elis sein, der schon vorher einmal in dem-
selben Commentare deutlich bezeichnet war. Aber sehen wir sogar
von dieser Gewohnheit des Proklus ab. Bei jedem Schriftsteller, ins-
besondere bei jedem, der den Werken Platous ein eingehendes Studium
gewidmet hatte, konnte Hippias ohne jedwede andere Bezeichnung
nur Hippias von Elis sein, eine viele Jahrhunderte lang theils um
seiner Persönlichkeit willen, theils um seines mit zwei Dialogen ver-
knüpften Namens wegen weit und breit bekannte Figur. Hippias
von Elis war ein wegen seiner Eitelkeit, die selbst für einen Sophisten
etwas hochgradig gewesen zu sein scheint, berüchtigter älterer Zeit-
genosse des Sokrates. Seine Geburt dürfte auf 460 etwa anzusetzen
sein^). Die Geistesrichtung und die Thätigkeit der Sophisten ist
bekannt. Den eignen Yortheil über alles stellend lehrten sie auch
Andere gegen mitunter recht hohe Bezahlung ihres Vortheils wahr-
nehmen und durch Künste der Beredtsamkeit, durch Schlüsse, welche
Trugschlüsse sein durften, wenn sie nur wirksam sich erwiesen, im
Staatswesen und vor Gericht Einfluss und Geltung sieh erwerben.
Sittlichkeit kann die berufsmässigen Rechthaber nicht ausgezeichnet
haben, aber Scharfsinn, Schlagfertigkeit, umfassendes Wissen den
Sophisten im Allgemeinen und dem Hippias als einem ihrer Haupt-
vertreter insbesondere abzusprechen ist man in keiner Weise befugt.
So darf es gewiss nicht als Ironie aufgefasst werden, wenn der Ver-
fasser eines gleichviel ob mit Recht oder Unrecht Piaton zugeschrie-
benen Gespräches sich zu den Worten veranlasst sieht: Was du am
besten verstehst, was die Sterne betrifft und was am Himmel sich
zuträgt? . . . Aber Etwas über Geometrie hören sie gern-). Ironisch
klingt es auch nicht, wenn gesagt wird: Hippias sei des Rechnens
und der Rechenkunst kundig vor allen Anderen und kundig auch
der Messkunst ^). Am allerwenigsten vollends kann ein solcher Bei-
schmack in der Rede gefunden werden, welche Piaton dem Protagoras
in den Mund legt: Die anderen Sophisten beeinträchtigen die Jüng-
linge. Sie führen dieselben, die von den Künsten sich abwendeten,
den Künsten wider deren Willen zu, indem sie Rechenkunst und
Sternkunde und Messkunst und Musik sie lehren — und dabei warf
er einen Blick auf Hippias — kommt er aber zu mir, wird er über
nichts anderes Etwas lernen, als weshalb er zu mir kam^). Nach
allen diesen Aeusserungen glauben wir uns berechtigt anzunehmen,
dass Hippias von Elis als Lehrer der Mathematik mindestens in

^) Zellcr, I, 875. '■') Piaton, Hippias major 286. •') Hippias minor
.367-368. ") Platon, Trotagoraa 318.

Mathematiker ausserhalb der pythagoräischen Schule. 183

gleichem Range wie als eigentlicher Sophist gestanden haben muss,
dass er in naturwissenschaftlichem, mathematischem und astrono-
mischem Wissen auf der Höhe der Bildung seiner Zeit sich befand ^).

Damit stimmt nun vollkommen überein, was von Hippias als
Mathematiker uns mitgetheilt wird. Proklus spricht, wie erwähnt,
zweimal von ihm. Die erste Stelle heisst: Nikomedes hat jeden grad-
linigen Winkel gedrittheilt mittels der conchoidischen Linien, deren
eigenthüm lieber Natur Entdecker er ist, und von denen er Entstehung,
Construction und Eigenschaften auseinandergesetzt hat. Andere haben
dieselbe Aufgabe mittels der Quadratricen des Hippias und Nikomedes
gelöst, indem sie sich der gemischten Curven bedienten, die eben den
Namen Quadratrix (ratga'ycovi^ovGa) führten; wieder Andere theilten
einen Winkel nach gegebenem Verhältnisse, indem sie von den Archi-
medischen Spirallinien ausgingen^). Die zweite Stelle lautet: Ganz
auf die nämliche Weise pflegen auch die übrigen Mathematiker die
Curven zu behandeln, indem sie das jeder Eigenthümliche ausein-
andersetzen. So zeigt Apollonius das Eigenthümliche jedes Kegel-
schnittes, Nikomedes dasselbe für die Conchoiden, Hippias für die
Quadratrix, Perseus für die Spiren^). Eine dritte Stelle eines anderen
mathematischen Gewährsmannes allerersten Ranges, des Pappus von
Alexandria, sagt uns dagegen: Zur Quadratur des Kreises wurde
von Dinostratus, Nikomedes und einigen anderen Neueren eine Linie
benutzt, welche eben von dieser Eigenschaft den Namen erhielt. Sie
wird nämlich von ihnen Quadratrix genannt^).

Aus der Zusammenfassung dieser drei Stellen^) dürfte kaum ein
anderer Sinn zu entnehmen sein, als der folgende. Hippias, und
zwar Hippias von Elis, hat um 420 etwa eine Curve er-
funden, welche zu doppeltem Zwecke dienen konnte, zur
Dreitheilung eines Winkels und Quadratur des Kreises.
Von letzterer Anwendung erhielt sie ihren Namen, Quadratrix,
wie er in lateinischer Uebersetzung zu lauten pflegt, aber dieser
Name scheint nicht über Dinostratus hinaufzureichen, dessen Zeit-
alter als Bruder des Menächmus, eines Schülers des Eudoxus
von Knidos etwa in die zweite Hälfte des IV. S. gesetzt werden
muss. Ob die Curve früher einen anderen Namen führte, ob sie
überhaupt mit Namen genannt wurde, wissen wir nicht. Der erste
ganz gesicherte Name einer von der Kreislinie verschiedenen krummen
Linie wird uns am Anfang des zweiten Drittels des IV. S., annähernd

^) So Karl Steinhart in seiner Einleitung zum grösseren Hippias.
2) Proklus (ed. Friedlein) 272. 3) Proklus (ed. Friedlein) 356. ^) Pap-
pus, Collectio Lil). IV, cap. XXX (ed. Hultsch). Berlin, 1876 — 1878,
pag. 250, 5) Vergl. Bretschneider 96 und 153 — 154.

184 8. Kapitel.

20 bis 30 Jahre vor Dinostratus begegnen, wo Eudoxus seine
Hippopede erfand. Ist aber der Name Quadratrix erst nachträglich
der Curve des Hippias beigelegt worden, so schwindet die Nothwen-
digkeit anzunehmen, sie sei zum Zwecke der Kreisquadratur erfunden
worden, und man darf ihren ursprünglichen Zweck in dem suchen
was nach Proklus durch sie zu verwirklichen war, in der Dreitheiluno-
des Winkels.

Dass diese Aufgabe selbst auftauchte, kann uns nicht in Ver-
wunderung setzen. Wir haben im vorigen Kapitel gesehen, dass die
Construction regelmässiger Vielecke eines der geometrischen Lieb-
lingsgebiete der Pythagoräer bildete. Die Theilung des ganzen Kreis-
umfanges in sechs, in vier, in fünf gleiche Theile wurde gelehrt, und
namentlich letztere als bedeutend schwieriger erkannt als die anderen
längst bekannten Theilungen. Eine überwundene Schwierigkeit reizt
zur Besiegung anderer, und so mag das Verlangen wach geworden
sein nicht mehr den ganzen Kreis, sondern einen beliebigen Kreis-
bogen in eine beliebige Anzahl gleicher Theile zu theilen. Schon bei
der Dreitheilung traten unbesiegbare Schwierigkeiten auf Versuche
diese Aufgaben mit Hilfe des Zirkels und des Lineals zu lösen
mögen angestellt worden sein. Es ist uns nichts von ihnen bekannt
geworden. Sie mussteu erfolglos bleiben. Aber das zweite grosse
Problem der Geometrie des Alterthums neben der Quadratur des
Kreises, deren wir bei Anaxagoras gedenken mussten, war gestellt,
und wie in der Geschichte der Mathematik fast regelmässig zunächst
unlösbaren Aufgaben zu Liebe neue Methoden sich entwickelten
und kräftigten, so führte die Dreitheilung des Winkels, xQiioxö^ia
ycoviag, die Trisektion, wie man gewöhnlich sagt, zur Erfindung
der ersten von der Kreislinie verschiedenen, durch bestimmte Eigen-
schaften gekennzeichneten und in ihrer Entstehung verfolgbaren
krummen Linie.

Die Linie des Hippias entsteht durch Verbindung zweier Be-
/?[,:^=:::^- — — -^ ^ wcgungcu, ciucr drehenden und einer fort-
schreitenden. „In ein Quadrat aß yd
(Figur 29) ist um a als Mittelpunkt und mit
der Seite des Quadrats aß als Halbmesser
ein KJreisquadrant ßsd beschrieben. Die Ge-
rade aß bewegt sich dabei so, dass ihr einer
Endpunkt a fest bleibt, der andere ß längs
des Bogens ßsd fortschreitet. Andererseits
soll die ßy immer der aÖ parallel bleibend
mit dem Endpunkte ß auf der ßa fortrücken, und zwar sollen die
beiden selbst gleichmässigen Bewegungen der Zeit nach so erfolgen.

Mathematiker ausserhalb der pythagoräischen Schule. 185

dass sie zugleich beginnen und zugleicli endigen, dass also aß in
seiner Drehung, ßy in seinem Fortgleiten im selben Moment in die
Lage ad eintreffen. Die beiden bewegten Geraden werden in jedem
Augenblicke einen Durchschnittspunkt gemein haben, der selbst im
Fortrücken begriffen eine gegen ßed hin gewölbte krumme Linie
ßtrj erzeugt, welche geeignet erscheint ein der gegebenen Kreisfläche
gleiches Quadrat linden zu lassen. Ihre beherrschende Eigenschaft
besteht jedoch darin, dass eine beliebige Gerade a^s bis zum Kreis-
quadranten gezogen das Verhältniss dieses Quadranten zum Bogen
€Ö gleich dem Verhältnisse der beiden Geraden ßa imd ^G zu ein-
ander macht. Das ist nämlich klar aus der Entstehung der krummen
Linie." So Pappus, der hier getreuer Berichterstatter über die alte
Erfindung zu sein scheint. Die Kreisquadratur mit Hülfe der Quadratrix
schliesst sich bei Pappus unmittelbar an. Wir werden diese An-
wendung erst in Verbindung mit dem Namen Dinostratus zur Rede
bringen ^).

Noch von einer anderen Persönlichkeit müssen wir hier ein-
schaltend Einiges sagen, von Zenon von Elea. Dieser Erfinder^)
der eigentlichen Dialektik dürfte noch um 20 Jahre älter als Demo-
kritus, um 30 bis 40 Jahre älter als Hippias gewesen sein und seine
geistige Blüthe in der Zeit gefeiert haben, als Letzterer kaum geboren
war. Würde Zenon als Mathematiker eine Bedeutung haben, so
könnte man uns mit Recht den Vorwurf machen, seiner hier an
unrichtiger Stelle zu gedenken, der weiter oben behandelt werden
musste. Aber Zenon war nicht Mathematiker. Man wäre fast ver-
sucht, ihn das Gegentheil eines solchen zu nennen. Wenigstens ver-
suchte er mit philosophischem Scharfsinne die mathematischen Mei-
nungen zu stürzen statt sie zu stützen. Die Zeit brachte das so
mit sich. Die Atomistiker hatten die Theilbarkeit der Körperwelt
in Frage gestellt, indem sie untheilbar kleine ürtheilchen annahmen.
Noch ungeheuerlicher war der Bruch mit dem Gewohnten, als die
Pythagoräer den Begriff des Irrationalen unter die Denker warfen.
Beabsichtigt oder nicht, dieser Begriff drang, wie wir bei Demokritus
(S. 180) gesehen haben, in weitere und weitere Kreise. Das Unaus-
sprechliche war ausgesprochen, das Undenkbare in Worte gekleidet,
das Unenthüllbare den Augen preisgegeben. Und wer nüchternerer
Auffassung diese pythagoräische Scheu nicht theilte, dem war wenig-
stens eine ganz neue Schwierigkeit unterbreitet , welche strengen

') Diese ganze Stelle schliesst sich eng an Bretschneider 1. c. an.
^) Diogenes Laertius XI, 25 cprial d' 'jQiGtoTe?.rig iv reo Sotpicr^ fvQfrrjv
avxov Y^vsG^ai diaXeKzt.'iifig. Ebenso derselbe VIII, 57.

186 ^- Kapitel.

Schlüssen nicht Stand hielt. Zahl und Raumgrösse, bisher als zur
gegenseitigen Messung oder Versinnlichung als unbedingt tauglich
erachtet, zeigten plötzlich einen Widerspruch. Jeder Zahl entsprach
noch immer eine Länge, aber nicht jeder Länge entsprach eine Zahl.
Stetigkeit und Unstetigkeit waren damit entdeckt und den Philo-
sophen als neues Denkobject vorgelegt. Kann man sich wundern,
wenn letztere, um des Widerspruches, der in jenem Gegensatze ent-
halten ist, sich zu erwehren, zu weit gingen, wenn sie dabei zur
Leugnung der Vielheit, ziir Leugnung der Bewegung gelangten?

Man kennt ja die eigenthümlicheu Schlüsse Zenons^). Jede Viel-
heit ist eine Anzahl von Einheiten, eine wirkliche Einheit aber nur
das Untheilbare. Jedes von den Vielen muss also selbst eine untheil-
bare Einheit sein, oder aus solchen Einheiten bestehen. Was aber
untheilbar ist, das kann keine Grösse haben, denn Alles, was eine
Grösse hat, ist ins Unendliche theilbar. Die einzelnen Theile, aus
denen das Viele besteht, haben mithin keine Grösse. Es wird also
auch nichts dadurch grösser werden, dass sie zu ihm hinzutreten,
und nichts dadurch kleiner, dass sie von ihm hinweggenommen
werden. Was aber zu Anderem hinzukommend dieses nicht ver-
grössert, und von ihm weggenommen es nicht verkleinert, das ist
nichts. Das Viele ist mithin unendlich klein, denn jeder seiner Be-
standtheile ist so klein, dass er nichts ist. Andererseits aber müssen
diese Theile auch unendlich gross sein. Denn da dasjenige, was keine
Grösse hat, nicht ist, so müssen die Vielen, um zu sein, eine Grösse
haben, ihre Theile müssen mithin von einander entfernt sein, d. h.
es müssen andere Theile zwischen ihnen liegen. Von diesen gilt aber
das Gleiche: auch sie müssen eine Grösse haben und durch Aveitere
von den anderen getrennt sein, und so fort ins Unendliche, so dass
wir demnach unendlich viele Grössen, oder eine unendliche Grösse
erhalten. Man kennt den Ausspruch des Zenon gegen Protagoras,
ein Scheffel Frucht könne beim Ausschütten ein Geräusch nicht her-
vorbringen, wenn nicht jedes einzelne Korn und jeder kleinste Theil
eines Kornes ein Geräusch hervorbrächte. Man kennt seine Beweise
für die Unmöglichkeit einer Bewegung. Ehe der bewegte Körper am
Ziele ankommen kann, muss er erst in der Mitte des Weges ange-
kommen sein, ehe er an dieser ankommt in der Mitte seiner ersten
Hälfte, ehe er dahin kommt in der Mitte des ersten Viertels, und so

') Vergl. Zeller 1, 497— .507, woher wir unsere Auszüge meistens wört-
lich cutuchiuen. Ferner Gerling, Ueber Zeno des Eleaten Paradoxen über die
Bewegung (Marburg, 1846). E. Raab, Die Zenouischen Beweise (Schweinfurt,
1880) und P. Tannery, Le concept scientifique du continu: Z^non d'lßlee et
G, Cantor, im Octoberheft 1885 der Revue philosopbique pag. 385—410.

Mathematiker ausserhalb der pythagqräischen Schule. 187

fort ins Unendliche. Jeder Körper mttsste daher, um von einem
Punkte zum anderen zu gelangen, unendlich viele Räume durchlaufen.
Es ist mithin unmöglich von einem Punkte zu einem anderen zu ge-
langen, die Bewegimg ist unmöglich. Ebenso folgt die Unmöglichkeit,
dass die Schildkröte, wenn sie nur einen Vorsprung hat, durch den
schnellen Achilleus eingeholt werden könne, weil während Achilleus
den ersten Vorsprung durchläuft, die Schildkröte bereits einen zweiten
Vorsprung gewonnen hat, und so fort ins Unendliche.

Der mathematisch sein sollenden Form wegen ist ein letzter Ein-
wurf Zenons gegen die Bewegungslehre erwähnenswerth. Eine Reihe
von Gegenständen «, , «2, cc.^, cc^ ist räumlich mit zwei anderen
Reihen von Gegenständen ß^, ß.^, ß^, ß^ und y^, y.,, y^, n in Be-
ziehung gesetzt, so dass sie nachfolgende gegenseitige Lage besitzen:

a^ «2 ^3 ^4
ß4 ßs ß2 ßl

ri 72 73 n-

Die tt sind in Ruhe, die ß und die y sind in entgegengesetzter Be-
wegung, jene von links nach rechts, diese von rechts nach links.
Wenn ß^ bei «4 angelangt ist, ist y^ bei cc^ angelangt, und zu der-
selben Zeit ^4 bei a^, y^ bei «4. Demgemäss ist ß^ sowohl an a.^
und «4 als an y^, y^, y^, y^ vorbeigekommen, hat in einer und der-
selben Zeit an zwei und an vier Gegenständen von genau gleicher
Entfernung sich vorbeibewegen können und folglich zugleich eine
einfache und eine doppelte Geschwindigkeit besessen, was unmög-
lich ist.

Wir haben dem Zenon weiter oben die Eigenschaft als Mathe-
matiker abgesprochen. . Gerade dieser letzte Trugschluss rechtfertigt
uns, denn hier sind irriger Weise absolute und relative Bewegungs-
grössen einander gleichgesetzt, was einem Mathematiker kaum be-
gegnet wäre. Anders dagegen verhält es sich mit den vorher her-
vorgehobenen Schlüssen und ihren sich widersprechenden Ergebnissen.
Zenon suchte darzuthun, dass ein Körper nicht eine Summe von
Punkten, ein Zeitraum nicht eine Summe von Augenblicken, eine
Bewegung nicht eine Summe einfacher Uebergänge von einem Punkte
des Raumes zum anderen sei. Dieser ganze in geistreich erfundenen
Widersprüchen geführte Streit richtete sich gegen die Pythagoräer ^),
welchen der Punkt eine ^ovag i'^o^^« d-eGiv, eine Einheit an be-
stimmtem Platze hiess. War diese Erklärung richtig, dann war der
Körper als Vielheit eine Summe von Einheiten, d. h. von Punkten,

') Die Gegaerschaft Zenons gegen die Pythagoräer ist von Tannery 1, c,
hervorgehoben worden.

188 9. Kapitel.

und dagegen erhob Zenon seine Stimme. Er sah hier, was vor ihm
vielleicht noch nicht gesehen, jedenfalls nicht in gleich scharfer Be-
tonung bemerklich gemacht worden war: Schwierigkeiten, denen in
der That weder der Philosoph noch der Mathematiker in aller Strenge
gerecht werden kann, wenn auch der Mathematiker dazu gelangte
durch Einführung bestimmter Zeichen die Stetigkeit zu einer definir-
baren Eigenschaft zu machen, und mit den Grenzen zugleich den
Uebergang zu den Grenzen der Untersuchung zu unterwerfen. Zwei
Jahrtausende und mehr haben an dieser zähen Speise gekaut, und
es wäre unbillig von den Griechen des fünften vorchristlichen Jahr-
hunderts zu verlangen, dass sie in Klarheit gewesen seien über
Dinge, welche, freilich anders ausgesprochen, noch Streitfragen un-
serer Gegenwart bilden.

9. Kapitel.

Mathematiker ausserhalb der pytliagoräisclien Schule.
Hippokrates von Chios.

Den Mathematikern scheint nächst dem Irrationalen bei Gelegen-
heit der Kreisquadratur der erste Anlass geboten worden zu sein,
Fragen des stetigen Ueberganges zu behandeln, und dieses führt uns
zurück zu dem Mathematikerverzeichnisse, welches mit den Worten
fortfährt:

„Nach diesen wurde Hippokrates von Chios, der die Quadratur
des Mondes fand, und Theodorus von Kyrene in der Geometrie be-
rühmt. Unter den hier Genannten hat zuerst Hippokrates Elemente
— öroixsta — geschrieben."

Von dem Leben des Hippokrates von Chios sind uns nur
wenige Züge bekannt ^). Ursprünglich Kaufmann kam er durch einen
unglücklichen Zufall um sein Vermögen. Die Einen erzählen, die
Zolleiunehmer von Byzanz, gegen welche er sich leichtgläubig er-
wies, hätten ihn darum geprellt, die Anderen lassen ihn durch See-
räuber geplündert worden sein. Man hat beide Angaben so zu ver-
einigen gesucht, dass man muthmasste, athenische Seeräuber hätten
aus Veranlassung eines Krieges gegen Byzanz das Schiff des Hippo-
krates weggenommen. Jener Krieg sei der sogenannte Samische

') Die betreffenden Stellen des Aristoteles {Ethie. ad Eudem. VII, 14) und
des Johannes Philoponus {Comment. in Ärintotel. phys. auscult. f. 18) sind abge-
druckt bei Bretschneider 97, wo die im Texte dargestellte Vereinigung der
beiden Angaben versucM ist.

Mathem. ausserhalb d. pythagor. Schule. Hippokrates von Chios. 189

Krieg um das Jahr 440 gewesen, an welchem thatsächlich die Byzan-
tiner gegen die Athener theihiahmen, und um diese Zeit sei also
Hippokrates nach Athen gekommen. Ohne die Möglichkeit in Ab-
rede zu stellen, dass es sich so verhalten haben könne, bedürfen wir
jedoch dieser Vermuthung nicht, um die wichtigste Folgerung zu
ziehen, welche sie für uns enthält, nämlich den Aufenthalt des Hippo-
krates in Athen zu begründen und zeitlich zu bestimmen. Die unge-
fähre Lebenszeit des Hippokrates geht schon aus seiner Stellung
innerhalb des Mathematikerzeichnisses hervor, sein Aufenthalt in
Athen, der Stadt, welche grade damals mit Recht begann als erste
Stadt Griechenlands zu gelten, hat eine besondere Veranlassung nicht
nothwendig gehabt. Jedenfalls war Hippokrates von Chios in der
zweiten Hälfte des V. S. in Athen und kam dort mit Pythagoräern,
d. h. offenbar mit versprengten Mitgliedern der italischen Schule
zusammen, in deren Gesellschaft er geometrisches Wissen sich an-
eignete. Es wird sogar erzählt, er habe es sehr bald dahin gebracht,
selbst Unterricht in der Mathematik ertheilen zu können und habe
dafür Bezahlung angenommen. Von da an hätten die Pythagoräer
ihn gemieden^).

Diese Geschichte erscheint, insbesondere was den durch Hippo-
krates gewohnheitsmässig ertheilten mathematischen Unterricht betrifft,
sehr glaubwürdig. Damit stimmt nämlich vortrefflich überein, was
das Mathematikerverzeichniss uns meldet, dass Hippokrates das
erste Elementarlehrbuch der Mathematik verfasst habe.
Weit hervorragender aber sind die eigentlichen geometrischen Erfin-
dungen des Hippokrates, welche auf zwei Probleme sich beziehen:
auf die Quadratur des Kreises und auf die Verdoppelung des Würfels.

Die Quadratur des Kreises, von Anaxagoras zuerst versucht, hat
auch unter den Sophisten wenige Jahrzehnte vor Hippokrates wenn
nicht bis zu seiner Zeit herab Bearbeiter gefunden. Mit wahrer
Wortklauberei suchten die Einen nach einer Quadratzahl, die zugleich
cyklisch sei^), d. h. mit derselben Endziffer schliesse wie ihre Wurzel
z. B. 25 = 5', 36 = 6^, aber das müssen jedenfalls die mathematisch
Unwissenden gewesen sein, gegen welche die Versuche eines Antiphon
und eines Bryson wohlthätig abstechen.

Antiphon, ein Zeitgenosse des Sokrates, mit welchem er über
verschiedene Dinge in Hader lag^), schlug, wie es scheint, zwei Wege
ein, welche als verschiedene Versuche von ähnlichem Gedankens;anffe

^) Jamblichus, De philosoph. Pythagor. Hb. III, bei Ansse de Villoi-
son, Anecdota Graeca, pag. 216. ^) So berichtet Simplicius in einer unter
Anderen bei Bretschneider 106—107 abgedruckten Stelle. ^) Diogenes
Laertius II, 46.

190 9. Kapitel.

lietrachtet werden müssen. Einmal schrieb er in den Kreis ein
Quadrat ein^), ging von diesem zum Achteck, Sechzehneck u. s. w.
über. Man solle so fortschreiten bis dem Kreise ein Vieleck werde
eingeschrieben werden, dessen Seiten ihrer Kleinheit halber mit dem
Kreise zusammenfallen würden. Nun könne man, wie man in den
Elementen gelernt habe, zu jedem Vielecke ein gleichflächiges Quadrat
zeichneu, folglich auch zu dem Kreise mittels des Vielecks, welches
an seine Stelle getreten sei. So der Bericht des Simplicius, eines
Erklärers des Aristoteles aus dem VI. S., in seinem Commentare zur
Physik des Stagiriten als Einleitung in den selbst aus Eudemus ge-
schöpften Bericht über den Quadrirungsversuch des Hippokrates, der
uns nachher zu beschäftigen hat. Ein anderer Commentator des
Aristoteles, Themistius, weiss dagegen die Sache anders-). Antiphon
habe ein gleichseitiges Dreieck in den Kreis eingeschrieben und über
jede Seite (desselben ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Spitze auf
dem Kreisumfang lag und so fort. So glaubte er, dass die gradlinige
Seite des letzten Dreiecks mit dem Bogen zusammenfallen werde.
Uns erscheinen diese beiden Versuche als gleich gut beglaubigt und
einander in so weit ergänzend, als wir ihnen entnehmen, dass Anti-
phon mit dem Zusammenfallen des Kreises mit dem Vielecke von sehr
vielen und sehr kleinen Seiten sich doch nicht so rasch und gänzlich
befriedigt fühlte, und jedenfalls in zweierlei Annäherungen zu einer
solchen aus graden Strecken zusammengesetzten Figur zu gelangen
strebte, welche an die Stelle des Kreises treten sollte.

Ein anderer Geometer der gleichen Zeit etwa wie Antiphon war
der Sophist Bryson aus Herakläa, der Sohn des Herodorus. Er
wird auch wohl als Pythagoräer bezeichnet. Er ging in seinem Ver-
suche die Quadratur des Kreises zu iinden, von welchem wir wieder
durch einen anderen Erklärer des Aristoteles, durch Johannes Philo-
ponus unterrichtet sind^), um einen sehr bedeutsamen Schritt über
Antiphon hinaus. Er begnügte sich nicht damit ein Kleineres als
den Kreis zu finden, welches sich nur wenig von ihm unterschied, er
verschaffte sich auch ein der gleichen Forderung genügendes Grösseres.
Er zeichnete neben den eingeschriebenen Vielecken auch umschriebene
Vielecke von immer grösserer Seitenzahl und beging bei Ausführung
dieses vollständig richtigen Gedankens nur einen damals freilich ver-
zeihlichen Fehler, indem er meinte, die Kreisfläche sei das arithmetische
Mittel zwischen einem eingeschriebenen und einem umschriebenen

^) Der Bericht des Simplicius abgedruckt bei Bretschneider, der daa
grosse Verdienst sich erworben hat, diese sämmtlichen Untersuchungen zuerst
für die Geschichte der Mathematik nutzbringend gemacht zu haben. '■') Bret-
schneider 125. ^) Bretschneider 126.

Mathem. ausserhalb d. pythagor. Schule. Hippokrates von Chios. 191

Vielecke. Es ist nicht wahr, sagte später Proklus diesen Versuch
vornehm zurückweisend, dass die Stücke, um welche jene Vielecke
grösser und kleiner als der Kreis sind, sich gleichen. Aber auch
welche Entwicklung der Geometrie zwischen Bryson und Proklus!
Wir glauben über das Irrige an Brysons Folgerung hinweggehen
zu dürfen, den Tadel irgend einen Mittelwerth mit dem arithmeti-
schen Mittel verwechselt zu haben, ersticken zu müssen unter dem
Lobe in der Erkenntniss des GrenzbegrijßFes weiter gekommen zu sein
als alle Vorgänger.

So weit freilich wie Aristoteles, wenn wir dieses vorgreifend
hier erwähnen dürfen, ist auch Bryson nicht gegangen. Aristoteles
wusste und sagte ^) in Worten, deren wir heute uns noch vielfach
bedienen, ohne das Bewusstsein zu haben seine Schüler zu sein:
„Stetig — 0vv£xsg — sei ein Ding, wenn die Grenze eines jeden
zweier nächstfolgender Theile, mit der dieselben sich berühren, eine
und die nämliche wird und, wie es auch das Wort bezeichnet, zu-
sammengehalten wird." Aristoteles wusste, dass es ein Anderes ist
unendlich Vieles zu zählen, oder durch unendlich viele nicht von ein-
ander zu scheidende Punkte sich bewegen. Er löste das Paradoxon
der Durchlaufung dieser unendlich vielen Raumpunkte iu endlicher
Zeit durch das neue Paradoxon, dass innerhalb der endlichen Zeit
unendlich viele Zeittheile von unendlich kleiner Dauer anzunehmen
seien. Es gibt für ihn kein reales Unendliches in zusammenhangloser
Unbeschränktheit des Begriffes, so dass Grösseres oder Kleineres nicht
möghch ist, sondern nur Endliches von beliebiger Grösse, von be-
liebiger Kleinheit. Aber man vergesse nicht, dass Aristoteles schon
um ein weiteres Jahrhundert nach der Zeit lebte, welche uns in diesem
Augenblicke beschäftigt, und dass er Aristoteles war, einer jener
Geister, die für alle Zeiten lebend der eigenen Zeit meist unver-
standen bleiben.

Bis zu einem gewissen Grade darf man letzteres vielleicht auch
für Antiphon und Bryson behaupten. Die Mitte des V. S. konnte
sich mit Schlussfolgerungen, wie diese beiden Männer sie zogen, nicht
befreunden. Sie konnte nicht über den Widerspruch hinaus, noch
um den Widerspruch herum kommen, der darin liegt, die krumme
Kreisfläche durch eine gradlinig begrenzte Vielecksfläche erschöpfen
zu lassen. Eine mathematische Begründung irgend welcher Art, am
naturgemässesten ein selbst auf einen Widerspruch gebauter Beweis

^) Aristoteles, Physic. III, 4. Die Zusammenstellung der auf den Grenz-
begriff und auf das Unendliche bezüglichen Stellen des Aristoteles u. s. w. bildet
eines der schönsten Kapitel bei Hankel 115 — 127.

192 9. Kapitel.

der Unmöglichkeit der entgegengesetzten Annalime, musste voraus-
gehen und das bilden, was man die geometrische Exhaustion
nennt.

Aller Wahrscheinlichkeit nach versuchte Hippokrates von
Chios zuerst oder als einer der Ersten eine solche Schlussfolgerung
um zu dem Satze zu gelangen, dass Kreisflächen den Quadraten
ihrer Durchmesser proportional seien, ein Satz, den er, wie
Eudemus ausdrücklich sagt^), bewiesen hat.

Wir bemerken rückblickend auf die Quadraturversuche des Antiphon
und des Bryson, dass dieselben nur solche geometrische Thatsachen
voraussetzten, welche jedem Geometer pythagoräischer Schulung be-
kannt sein mussten: Einschreibung und Umschreibung regelmässiger
Vieleke in und um einen Kreis und Verwandlung beliebig gestalteter
gradlinig begrenzter Figuren in einander, beziehungsweise in ein

Quadrat, und gehen nun zu dem Verfah-
ren über, mittels dessen Hippokrates zur
Quadratur des Kreises zu gelangen
trachtete. Er beschrieb (Figur 30) über
einer Geraden AB einen Halbkreis, zeich-
nete in denselben das gleichschenklige
Dreieck A BF und beschrieb über dessen
Katheten als Durchmesser neue Halb-
kreise. Nun ist A B^ == AF^ -{- FB^ und wegen der Proportionalität
von Kreisen, beziehungsweise von Halbkreisen mit den Quadraten
ihrer Durchmesser wird auch der Halbkreis über AB der Summe
der Halbkreise über AF und FB gleich sein, oder dem Doppelten
eines dieser kleineren Halbkreise. Der Halbkreis über AB ist selbst
auch das Doppelte des Viertelkreises, welcher durch AFA zu be-
nennen ist, mithin dieser Viertelkreis gleich dem Halbkreise über AF.
Nimmt man von beiden den Kreisabschnitt weg, welchen die Sehne
A F mit dem Bogen A F des zuerst gezeichneten Halbkreises bildet,
so bleibt das gradlinige rechtwinklige in ein Quadrat verwandelbare
Dreieck AF /l gleich der durch zwei Bögen zwischen A und F ein-
geschlossenen halbmondförmigen Fläche, und diese Figur, welche bei
Hippokrates firjviöxog Mondchen (lateinisch lunuld) heisst, ist somit
thatsächlich quadrirt. Hippokrates geht nun weiter, und zwar auf
dem Wege, dass er die Quadratur eines Kreises in Abhängigkeit von
der einer halbmondartigen Figur bringt. Er zeichnet (Figur 31) in
einen Halbkreis ein Paralleltrapez ein, dessen grössere Seite der
Durchmesser selbst ist, während jede der drei anderen Seiten eine

') Eudemi fragmenta (ed. Spengel) pag. 128, lin. 29. !

Mathem. ausserhalb d. pytbagor. Schule. Hippokrates von Chios. 193

Seite des dem ganzen Kreise einschreibbaren regelmässigen Sechsecks,
dem Halbmesser folglich gleich ist. Wird über jeder der kleineren
Trapezseiten ein Halbkreis gezeichnet, so
muss er ein Viertel des ursprünglichen
Halbkreises sein, oder die drei Halbkreise
zusammen von dem ursprünglichen Halb-
kreise abgezogen lassen als Differenz einen
kleinen Halbkreis von der Grösse der eben
erhaltenen, d. h. einen solchen, dem der ^^^' ^^"

Halbmesser des ursprünglichen Halbkreises als Durchmesser dient.
Dieselbe Differenz lässt nun, indem vom Subtrahenden und Minuen-
den gleiche Kreisabschnittchen weggelassen werden, sich in die Form
einer Differenz zwischen dem gezeichneten Trapeze und dem Drei-
fachen eines von Kreisbögen gebildeten Mondes bringen. Wäre daher
letzterer, der freilich von dem vorher untersuchten Mondchen wesent-
lich verschieden ist, quadrirbar, so wäre der kleine Halbkreis selbst
quadrirt. Aber diese Eigenschaft findet nicht statt. Das eben be-
nutzte Mondchen ist, wie Hippokrates einsieht, nicht unmittelbar
quadrirbar, und nun geht sein Bestreben dahin, andere quadrirbare
Mondchen zu entdecken, um durch Zurückführung der Kreisquadratur
auf diese neuen Mondchen die Aufgabe, die er sich gestellt hat, zu
lösen. Wir können nicht ausführlich bei den Versuchen verweilen,
die Hippokrates in dieser Richtung noch anstellt. Nur so viel sei
bemerkt, dass er dabei wieder von dem Kreise eingezeichneten Pa-
ralleltrapezen ausgeht, und zwar von solchen, welche je drei unter
einander gleiche Seiten besitzen, die das eiuemal grösser, das andere-
mal kleiner als der Halbmesser ausfallen, so dass also über der
vierten Trapezseite nach der Richtung hin, wo das Trapez gezeichnet
ist, ein Kreisabschnitt sich ergibt, der im ersteren Falle grösser, in
dem zweiten kleiner als ein Halbkreis ausfällt. Der erstere Fall
entspricht bei Hippokrates überdies der "Bedingung, dass die grössere
Trapezseite im Quadrate genommen den drei identischen Quadraten
der anderen Seiten zusammen gleich komme, dass also sämmtliche
Seiten sich wie 1:1:1:]/ 3 verhalten^). Noch verwickelter sind die
Bedingungen für den zweiten Fall, welcher überdies in dem uns
erhaltenen Texte als einigermassen verstümmelt betrachtet werden
muss. Jedenfalls gelangt Hippokrates wiederholt zu Mondchen, welche
sowohl quadrirbar sind als auch in ihrer Entstehung von den ersten

1) Das tritt ein, wenn die kleine Seite a = r]/3 — j/F. Vergl. über die
Mondchen des Hippokrates einen Aufsatz von C lausen (Crelle's Journal XXI,
375) und Hankel 127.

Cantob, Geschichte der Mathematik X. a. Aufl. 13

194 9- Kapitel.

quadrirbaren Mondchen sich unterscheiden. Aber damit glaubt er
keineswegs seine Aufgabe erfüllt zu haben. Er stellt noch weitere
Versuche an und zeigt dadurch, dass er sein Ziel, das Mondchen auf
der Sechsecksseite zu quadriren, auf welches er die Ausmessung des
Kreises schon zurückgeführt hat, nicht aus den Augen verliert, dass
er dieses Ziel auf allerlei Umwegen noch immer zu erreichen strebt,
wenn es ihm auch nicht gelingt hinzugelangen.

Wir haben oben (S. 189) Simplicius als Gewährsmann für die
Quadraturversuche des Hippokrates von Chios genannt, haben erwähnt,
dass dieser Berichterstatter selbst aus Eudemus geschöpft hat, den er
theilweise wörtlich 'Aara li'E,iv zu benutzen ausdrücklich erklärt. Einige
alterthümlich klingende Umschreibungen in diesem Berichte lassen
aber vermuthen^), dass man berechtigt sei, ihn noch weiter aufwärts
zu verfolgen, dass man theilweise wenigstens den Wortlaut des Hippo-
krates selbst vor sich habe. Ist diese Annahme richtig, so folgt aus
ihr als wichtige Thatsache, dass Hippokrates mit aller Bestimmtheit
bereits die Gewohnheit besass, die geometrischen Figuren mit
zur Bezeichnung dienenden Buchstaben zu versehen. Er
spricht von einer Linie „an welcher AB (steht)", von einem Punkte
„an welchem K (steht)". Wir haben früher gesehen, dass die
Aegypter ihren Figuren theilweise die Längenmaasse beischrieben,
welche den Linien derselben zukamen. Wir haben darin vielleicht
die Anregung gefunden, in Folge deren Zahlengrössen durch Linien
zur Versinnlichung gebracht wurden (S. 152). Die Aegypter gingen
über diese messende Bezeichnung hinaus. Eine gewisse Allgemein-
heit gab sich kund, wenn die Scheitellinie mit merit, die Grundlinie
der Pyramide mit uchateht u. s. w. bezeichnet wurde, indem hierdurch
die von Figur zu Figur unveränderliche Lage gegen die jedesmal
wechselnde Länge als das Wichtigere in den Vordergrund trat. Aber
Punkte nun gar durch Buchstaben zu benennen, welche nicht Zahlen-
werthe, nicht Abkürzungen von Wörtern, welche etwa so anfingen,
sein sollten, sondern nur Buchstaben als solche, damit die Möglich-
keit zu geben eine Figur auch ziemlich verwickelter Art nur zu
denken und doch mit dem Texte in verständlichen Einklang zu
bringen; das ist eine Art von allgemeiner Symbolik, ist die bei
Geometern erkennbare Vorläuferin der algebraischen Bezeichnung
der Unbekannten durch einen Buchstaben, oder wenigstens durch
ein Wort.

Ob Hippokrates freilich der erste war, welcher Buchstaben an
die Figuren setzte, das wissen wir nicht. Wahrscheinlich ist es uns

') Bretschneider S. )U, Note 2.

Mathem. ausserhalb d. pythagor. Schule. Hippokrates von Chios. 195

nicht, weil Eudemus sonst vermuthlich in seinem Berichte auf diese
Neuerung hingewiesen haben würde. Wir vermuthen weit eher,
dass Hippokrates die geometrische Anwendung der Buchstaben bei
den Pythagoräem gelernt haben wird, denen er ja auch sein mathe-
matisches Wissen überhaupt verdanken soll. Dafür spricht, dass das
Sternfünfeck, welches die Pythagoräer als Erkennungszeichen, auch
wohl als Briefüberschrift benutzten (S. KHi), an seinen Ecken die
Buchstaben geführt haben soll, welche das Wort Gesundheit bildeten.
So wird wenigstens allgemein die Stelle aufgefasst, dass jene Figur
Gesundheit genannt worden sei.

Bei Hippokrates bestand dagegen eine Sitte noch nicht, welche
bei Euklid mit der Regelmässigkeit eines Gesetzes herrschend ge-
worden ist: die Sitte nämlich unter die zur Bezeichnung von Figuren
benutzten Buchstaben niemals das / zu begreifeu, sondern nach ®
sofort zu K überzugehen. Offenbar wollte man dadurch der leicht
möglichen Verwechslung des Buchstaben I mit einem einfachen
Vertikalstriche vorbeugen^). Hippokrates übersprang das / noch
nicht ^), und auch bei der eben erwähnten Bezeichnung der Ecken des
Pentalpha spielt I eine Rolle.

Nicht ohne Interesse ist es ferner, dass einmal (Fig. 32j ein
Fünfeck mit einspringendem Winkel
erscheint, aber nicht anders genannt ^
wird als „die geradlinige Figur,
welche aus den drei Dreiecken
ZBH, ZBK, ZKE besteht" 2).
Wir lassen es dahingestellt, ob man
daraus entnehmen will, dass jene Figur als Fünfeck nicht angesehen
zu werden pflegte, jedenfalls ist doch die Vereinigung der drei Dreiecke
zu einem einheitlichen Gebilde ausgesprochen und damit das erste
bekannte Vorkommen eines Vielecks mit einspringendem Winkel
in einer geometrischen Abhandlung gewonnen.

Bemerkenswerth ist ferner, was Eudemus ausdrücklich hervor-
hebt*), dass Hippokrates am Anfange seiner Abhandlung bewies,
dass Halbkreise rechte Winkel umfassen, Segmente dagegen, welche
grösser (kleiner) als Halbkreise sind, spitze (stumpfe) Winkel; dass
Kreisflächen sich verhalten, wie die Quadrate ihrer Durchmesser und
ähnliche Kreissegmente, d. h. solche, welche gleichvielte Theile ihrer

Fig. B-2

1) Nach Professor Studemund. Vergl. Zeitschr. Math. Phys. XXI.
Historisch-literarische Abtheilung S. 183. ^) Eudemi fragm. (ed. Spengel)
pag. 134, lin. 23 flgg. ^) Eudemi fragm. pag. 133, lin. 8 flgg. ■*) Eudemi fragm.
pag. 128, lin, 26 bis pag. 129, lin 9.

13*

196 9- Kapitel.

betreffenden Kreise bildeten, wie die Quadrate ihrer. Sehnen. Es ist
gewiss mit Recht betont worden^), es könne nicht um die Erfindung,
sondern nur um den Nachweis dieser Sätze sich handeln. Bekannt
waren einige derselben wohl schon früher, so der Satz vom rechten
Winkel im Halbkreise schon Thaies, dem wir sogar einen Beweis
zuzutrauen wagten. Auch die Proportionalität der Kreisfläche und
des Quadrates des Durchmessers kann nicht als neu augesehen werden,
da die rechnende Kreisquadratur der Aegypter auf ihr beruhte.

Wir dürfen hier auf das Wort dvva^ig, Vermögen, lateinisch
potentia hinweisen, durch welches das Quadrat benannt ist"). Dass
aus der lateinischen Uebersetzung in erweiterter Bedeutung des
Wortes unsere Potenzgrössen entstanden sind, liegt auf der Hand.
Das Vorkommen des Wortes als Kunstausdruck bei Hippokrates,
den Euderaus hier wörtlich ausgenutzt haben dürfte, ist das erste
nachweisbare. Später kommt das Wort sowohl in mathematischem
als in nichtmathematischem Sinne ungemein häufig vor. Piaton hat
es benutzt"), Aristoteles nicht minder an unzähligen Stellen, wo auch
von dem dynamischen Auftreten dieser oder jener Eigenschaft — wir
sagen gewöhnlicher in lateinischer Wortform deren virtuelles Auf-
treten — die Rede ist, der Kunstausdruck der einen Wissenschaft
zum Kunstausdrucke einer anderen wurde. Es scheint fast, als läge
in den Wörtern dvva^tig und tstQccycovog ein ähnlicher Gegensatz
wie in unseren Ausdrücken „zweite Potenz" und „Quadrat". Das eine
bezieht sich auf die arithmetische Entstehung als Zahl, das andere
auf die geometrische Deutung als Fläche, und somit wäre in der
That bei Hippokrates von einer rechnenden Vergleichung der Kreis-
flächen, wie sie aus ihrem Durchmesser sich ergeben, ausgegangen
worden. Ganz klar gestellt ist, wie sich im 11. Kapitel uns zeigen
wird, diese schwierige, wie uns aber scheint nicht unwichtige Frage
noch nicht, und ihre Beantwortung wird der Einzelforschung anheim-
gestellt bleiben müssen.

Kennzeichnend für die Schreibweise des Hippokrates und, wie
wir sagten, die Annahme, dass Eudemus uns theilweise den alten
Wortlaut aufbewahrt habe, wesentlich unterstützend ist eine gradezu
unerträgliche Weitläufigkeit, eine Breite der Wiederholungen nur da-
raus erklärbar, dass es damals an Elementarlehrbüchern fehlte,
auf welche für die einfachsten Hilfssätze ein für allemal hätte ver-
wiesen werden können. So mag, wie scharfsinnig vermuthet worden
ist'^), grade beim Verfassen dieser Abhandlung das Bewusstsein für

*) Bretschneider 132 — 133, ^) Eudemi fragm. pag. 128, lin. 28.
") Piaton, Theaetet pag. 147. *) Bretschneider 131.

Mathem. ausserhalb d. pythagor. Schule. Hippokrates von Chios. 197

Hippokrates recht deutlich zum Durchbruche gekommen sein, wie
unentbehrlich ein Elementarwerk sei, so mag er nachher die Anferti-
gung eines solchen selbst in Angriff genommen haben, jedenfalls erst
nachher, weil es sonst an Anführungen desselben bei ihm selbst
gewiss nicht fehlen würde. Statt deren musste er in ermüdend ein-
förmiger Weise die einfachsten Dinge wiederholen oder unbewiesen
als an sich bekannt aussprechen.

Wir erwähnen in letzterer Beziehung den Satz, dass die Sechs-
ecksseite dem Halbmesser des Kreises gleich ist, den anderen Satz,
dass das Quadrat einer Dreiecksseite grösser (kleiner) als die Summe
der Quadrate der beiden anderen Seiten ist, falls letztere einen stumpfen
(spitzen) Winkel mit einander bilden.

Als selbstverständlich setzt Hippokrates auch die Trapeze vor-
aus, welche er zur Herstellung seiner Mondchen bedarf. Dass diese
Trapeze gleichschenklig sind, und als solche zu den bei Aegyptern
und bei in Aegypten gebildeten ausländischen Geometern beliebtesten
Figuren gehören, braucht für unsere Leser kaum mehr- betont zu
werden. Aber auch das gleichschenklige Trapez war unter allen
Umständen so genau noch nicht studirt, dass die Gewissheit fest-
gestanden hätte, es sei möglich ein solches zu bilden, dessen Seiten
sich wie 1:1:1 :]/o verhalten, es sei ferner möglich ein solches in
einen Kreis einzuzeichnen. Seiten, welche das genannte Verhältniss
darboten, zu zeichnen, war freilich einem Schüler von Pythagoräern
nicht schwierig. Zog man im gleichseitigen Dreiecke von der Spitze
aus eine Senkrechte auf die gegenüberliegende Seite, so erhielt man
das eine Elementardreieckcheu des Timäus, dessen Seiten im Ver-
hältnisse 1 : l/3 : 2 stehen, und es war also nur nöthig die kleinere
Kathete dieses Dreieckchens dreimal, die grössere einmal zu wählen,
um die verlangten vier Strecken zu besitzen, aber es blieb zweifel-
haft, ob und wie damit ein Paralleltrapez zu coustruiren war, und
Hippokrates fühlte noch nicht die Nothwendigkeit diesen Beweis zu
führen, während, wie wir sehen werden, wenige Jahrzehnte später
kein griechischer Geometer sich dessen hätte entschlagen dürfen
ohne gerechtem Tadel zu verfallen. Dass jenes Trapez einmal ge-
geben zu einem Sehnenvierecke gemacht werden könne, beweist da-
gegen Hippokrates. Dass zu diesem Nachweise genüge zu zeigen,
dass je zwei gegenüberliegende Winkel sich zu zwei Rechten er-
gänzen, weiss Hippokrates offenbar noch nicht. Er zeigt vielmehr
durch Congruenzen, dass der vierte Eckpunkt A des als gegeben
gedachten Trapezes sich auf dem durch die drei anderen Eckpunkte
ABT gelegten Kreise befinde. (Fig. 33.) Er halbirt die Winkel
bei A und r durch AE und TE und zieht von deren Durchschnitts-

198 9- Kapitel.

punkte E aus die EB und E/J. Weil nun AB = F^ war, wusste

man daraus auf die Gleichheit der Winkel BAr= A F^ zu schliessen.

Daraus folgte, dass auch die Hälften BAE, EAF, AFE EF/J

sämmtlich unter einander gleich waren. Ferner

^'tfC' ^"vx ^^^ gegeben BA = AF= FzJ. Da nun A E

I ' , ,' \\ sich selbst gleich, so ist vermöge des Congruenz-

[/ ,,,.■-:/-"-. \] Satzes von den beiden gleichen einen gleichen

j Winkel einschliessenden Seiten Dreieck BAE

/ ^ EAF und EB = EF. Wegen der Gleichheit

,,. ,, der Winkel EAF, AFE ist aber bereits EF

E lg. 66. ''

= EA, mithin ist EB = EF = EA oder E der
Mittelpunkt des durch ABF gelegten Kreises. Jetzt ist bei AF =
Tz/, EF=EF, Winkel AFE = EF^ auch die Congruenz AFE
r^ EFA erwiesen und in diesen Dreiecken EA ^ EA d. h. der ge-
nannte Kreis geht auch durch z/. Dieser Beweis bestätigt unsere
obige Bemerkung, Hippokrates habe versäumt den Nachweis zu liefern,
dass ein Trapez von dem verlangten Seitenverhältnisse überhaupt
möglich sei. Hier ist nämlich nur die Gleichheit von drei Seiten
BA, AF, FA, nicht deren Verhältniss zur vierten Seite BA berück-
sichtigt. Anders gesagt: es ist bewiesen, dass jedes Paralleltrapez
mit drei gleichen Seiten ein Sehnenviereck ist.

Hippokrates beschäftigte sich, wie wir (S. 189) ankündigend be-
merkten, auch noch mit einem anderen mathematischen Probleme,
mit der Würfelverdoppelung. Das ist die letzte uns hier be-
gegnende von den drei grossen Aufgaben der griechischen Mathe-
matiker, welche ihnen Gelegenheit gaben ihre Kräfte zu üben und
das zu erfinden, was man die höhere Mathematik jenes Zeitraumes
zu nennen berechtigt ist. Ueber die Geschichte der Würfel Verdoppe-
lung sind wir durch namhafte Ueberbleibsel aus alter Zeit ziemlich
gut berichtet, und selbst der sagenhafte Anstrich des Ursprungs der
Aufgabe wird im 30. Kapitel sich als erheblich ausweisen. Ein
griechischer Mathematiker Eratosthenes im III. S. schrieb an
Ptoleraäus Euergetes den ägyptischen König einen Brief über diesen
Gegenstand, der sich bei Eutokius von Askalon, einem späten Com-
mentator des Archimed, erhalten hat und dessen Anfang wir hier
beifügen^). Trotzdem er ziemlich weit jenseits der gegenwärtig

') Zur Geschichte der Würfelverdoppelung vergl. N. T. Reimer, Historia
problematis de cubi dupUcatione. Göttingen, 1798. J. H. Dresler, Eratosthenes
von der Verdoppelung des Würfels. Osterprogramm 1828 für die herzogl.
Nassauischen Pädagogien zu Dillcnburg, Hadamar und Wiesbaden. Ch. H.
Biering, Historia problematis cubi duplicandi. Kopenhagen, 1844. Theilweise
Neues auch an Stellenmaterial in der Dissertation von C. Blass, De Platane

Mathem. ausserhalb d. bythagor. Schule. Hippokrates von Chios. 199

allein zu behandeludeu Zeit liinabführt , glaubten wir doch eine
Trennung des zusammengehörigen Textes nicht vornehmen zu sollen
und werden lieber später, wo es nöthig ist, auf dieses Kapitel hier
zurückverweisen.

„Dem Könige Ptolemäus wünscht Eratosthenes Glück und Wohl-
sein. Von den alten Tragödiendichtern sagt man, habe einer den
Minos, wie er dem Glaukos ein Grabmal errichten Hess, und hörte,
dass es auf allen Seiten 100 Fuss haben werde, sagen lassen:
Zu klein entwarfst Du mir die königliche Gruft,
Verdopple sie; des Würfels doch verfehle nicht.
Man untersuchte aber auch von Seiten der Geometer, auf welche
Weise man einen gegebeneu Körper, ohne dass er seine Gestalt ver-
änderte, verdoppeln könnte, und nannte die Aufgabe der Art des
Würfels Verdoppelung; denn einen Würfel zu Grunde legend suchte
man diesen zu verdoppeln. Während nun lange Zeit hindurch Alle
rathlos waren, entdeckte zuerst der Chier Hippokrates, dass, wenn
man herausbrächte zu zwei gegebenen graden Linien, wo die grössere
der kleineren Doppelte wäre, zwei mittlere Proportionalen von stetigem
Verhältnisse zu ziehen, der Würfel verdoppelt werden könnte; wo-
nach er dann seine Rathlosigkeit in eine andere nicht geringere
Rathlosigkeit verwandelte. Nach der Zeit, erzählt man, wären die
Delier, weil sie von einer Krankheit befallen waren, einem Orakel
zufolge geheissen worden einen ihrer Altäre zu verdoppeln und in
dieselbe Verlegenheit gerathen. Sie hätten aber die bei Piaton in
der Akademie gebildeten Geometer beschickt und gewünscht, sie
möchten ihnen das Verlangte auffinden. Da sich nun diese mit Eifer
der Sache unterzogen und zu zwei Gegebenen zwei Mittlere suchten,
soll sie der Tarentiner Archytas vermittelst der Halbcylinder auf-
gefunden haben, Eudoxus aber vermittelst der sogenannten Bogen-
linien. Es widerfuhr ihnen aber insgesammt, dass sie zwar ihre
Zeichnungen mit geometrischer Evidenz nachgewiesen hatten, sie aber
nicht leicht mit der Hand ausführen und zur Anwendung bringen
konnten, ausser etwa einigermassen die des Menächmus, doch auch
nur mühsam."

Der alte Tragiker, auf dessen Verse Eratosthenes sich beruft,
ist kein anderer als Euripides, in dessen verloren gegangenem
Poleidos sie vorkommen, wie sehr wahrscheinlich gemacht wordeu
ist^). Da nun Euripides 485 — 406 lebte, seine dichterische Wirk-

mathematico. Bonn, 1861, pag. 22 — 30. Unsere Uebersetzung des Briefes des
Eratosthenes nach Dresler 1. c. S. 8—10.

') Valkenarius, Diatribe de fragm. Eurip. pag. 203. Vergl. Reimer,
De cubi duplicatione pag. 20.

200 9. Kapitel,

samkeit also etwa iu die gleiclie Zeit fällt, in die wir die wissen-
scliaftliclie Thätigkeit des Hippokrates verlegen, so geht hieraus her-
vor, dass eben damals die Sage von dem Grabmale des Glaukos
bekannt war. Ob damals die Sage schon alt gewesen; ob Euripides
ihrer gedachte, weil die Gelehrten des Tages sich bereits mit Würfel-
verdoppelung beschäftigten, die Anspielung also einen gewissen Ein-
druck auf die feiner gebildeten Zuhörer machen musste-, ob man den
entgegengesetzten Thatbestand annehmen soll, dass die Volksthümlich-
keit der Verse des Euripides die Mathematiker auf die eigenthümlich
gestellte Aufgabe aufmerksam machte; ob wir daran erinnern dürfen,
dass Euri]3ides der Dichter selbst ein Gelehrter, dass er ein Schüler
des Auaxagoras war, das alles gehört in das Bereich gewagtester
Vermuthung, oder wenigstens noch unerledigter Forschung. Als ge-
sichert ist gemäss dem Berichte des Eratosthenes nur so viel zu be-
trachten, dass nach fruchtlosen Versuchen Anderer über die Aufgabe
der Würfelverdoppelung Herr zu werden, Hippokrates von Chios auf
die Bemerkung fiel, dass die Aufgabe auch in anderer Gestalt sich
aussprechen lasse. Findet die fortlaufende Proportion a:x = x:y^=y:b
statt, so ist x^ = ay, y'^^=hx, mithin x^ = a^y"' = o?hx und x^ = a^h
oder, wenn h = 2a, wie es bei der Würfelverdoppelung nothwendig
erscheint, x^ = 2a^. Die Seite des doppelten Würfels ist in der
That die erste von zwei mittleren Proportionalen, welche zwischen
der einfachen und der doppelten Seite des ursprünglichen Würfels
eingeschaltet werden. Diese Erkenntniss, welche auch Proklus^) dem
Hippokrates nachrühmt, war ein Schritt weiter auf dem richtigen
Wege, aber allerdings ein verhältnissmässig kleiner Schritt. Hippo-
krates verwandelte nur, wie Eratosthenes in fast scherzhaftem Tone
sagt, seine Rathlosigkeit iu eine andere nicht geringere Rathlosigkeit.
Wie sollten jene beiden mittleren Proportionalen gefunden werden?
Die Männer, welche der Lösung dieser Aufgabe sich gewachsen fühlten,
sind es, die uns im Folgenden entgegentreten werden.

Auf ihre Gemeinschaft führt auch das Mathematikerverzeichniss
uns hin, wenn es neben Hippokrates von Chios noch Theodor us
von Kyrene in der Geometrie berühmt nennt. Von diesem wissen
wir an geometrischen Thatsachen nur, dass er die Irrationalität der
Quadratwurzeln von Zahlen zwischen 3 und 17 bewies''^) (S. 170).
Wir wissen von ihm ausserdem, dass er der Schule der Pythagoräer
angehörte^), und dass er Lehrer des Piaton in mathematischen
Dingen war^).

1) Proklus (ed. Friedlein) 213. ^) l'laton, Theaetet 147, D. =•) jani-
blichus, Vita Pythagor. 267. ^) Diogenes Laertius II, 103.

Piaton. 201

Platon und die Akademie nehmen jetzt, wie in der Ge-
scliiclite der griechischen Philosophie, so in der Geschichte der
griechischen Mathematik, die leitende Stellung ein. Mit ihnen
müssen wir uns beschäftigen.

10. Kapitel.
Platon.

Zwei Kriege von schwerwiegender Bedeutung für die Gestaltung
staatlicher Verhältnisse, wie für die Entwicklung der Wissenschaften
wurden auf griechischem Boden innerhalb eines Menschenlebens ge-
kämpft. Der peloponnesische Krieg, welcher die Macht Athens ver-
nichtete, welcher den Staat des Perikles von seiner geistigen, wissen-
schaftlichen wie künstlerischen Höhe herabstürzte, begann 431. Der
sogenannte heilige Krieg, in welchem die Thebaner durch ein kurzes
Uebergewicht erschöpft, König Philipp von Macedonien zu Hilfe
riefen und ihm so den ersten willkommenen Anlass gaben in grie-
chische Dinge sich einzumengen, endete 346. Dieselben Jahreszahlen
begrenzen fast genau das Leben Piatons. Seine Geburt fällt in
das Jahr 429, in das Schreckensjahr, in welchem die durch die
Schilderung des Thukydides in grässlicher Wahrheit bekannte Pest
Athen in Trauer hüllte, in welchem Perikles starb. Sein Tod er-
folgte 348 an demselben Tage, an welchem er 81 Jahre früher ge-
boren war.

In Platous Lebenszeit fallen auch zwei Künstler, deren die Ge-
schichte der Mathematik Erwähnung thun darf: Pheidias und
Polyklet, die Verfertiger des Olympischen Zeus, der Argi vischen
Here. Von Pheidias erzählt Lucian in dem Dialoge über die philo-
sophischen Sekten^), er sei im Stande gewesen aus der Klaue eines
Löwen anzugeben, wie gross der ganze Löwe war, woher die latei-
nische Redensart ex tmgiie leoneni stammt, welche sich bis zu unseren
Tagen erhalten hat. Von Polyklet meldet Galen ^), er habe in einer
Schrift, die Kanon überschrieben war, die Lehre von allen Verhält-
nissen des Körpers aufgestellt. Wer denkt dabei nicht an die vor-
gezeichneten Quadrate im Grabmale Seti 1 (S. 66), wer nicht an die
Nothwendigkeit einer in weite Kreise eingedrungenen Lehre von der
Aehnlichkeit der Figuren?

^) Lucian, 'E^fidTt/nog >] thqI aiQSOtcov. ^} Galen, IltQi xdv v.a.6 Innri-
•Aqaxr]v v,ccl UXäxoiva.

202 10. Kapitel.

Platon gehörte einer der angesehensten athenischen Familien an.
Bis auf König Kodrus führte der Stammbaum des Vaters, bis auf
Solon der der Mutter zurück^). Piatons erste Jugend fiel, wie wir
wissen, in eine für Athen trübe und bewegte Zeit, aber bald lächelte
das Glück der Stadt, welche es liebgewonnen, aufs Neue. Die Knaben-
jahre Piatons fallen mit der Glanzzeit des Alkibiades zusammen, und
der Freund des Alkibiades, Sokrates, war Piatons Lehrer. Im
Verkehre mit den geistig bedeutendsten Männern seiner Vaterstadt
entwickelte der Knabe sich zum Manne. Um das Jahr 400 etwa,
nachdem Sokrates den Giftbecher hatte leeren müssen, verliess Platon
die Heimath, in welcher es für den nächsten Schüler des gleichviel
ob gerechtem oder ungerechtem Volkshasse zum Opfer Gefallenen
nicht mehr sicher war, und verwandte eine längere Reihe von Jahren
zu Reisen, welche seine wissenschaftliche Ausbildung vollendeten.
Nach Kyrene, wo an der Nordküste Afrikas griechische Bildung
schon eine Pflanzstätte geschaffen hatte, lockte ihn der Ruhm des
Theodor US, welchen wir am Schlüsse des vorigen Kapitels Piatons
Lehrer in der Mathematik genannt haben, Aegypten sah ihn jeden-
falls zu längerem Aufenthalte, wenn auch Strabons Berichterstatter
sehr übertrieben haben dürften. Bei der Beschreibung der alten
Priesterstadt Heliopolis in Aegypten sagt nämlich dieser geographische
Schriftsteller: Hier mm zeigt man die Häuser der Priester und auch
die Wohnungen des Platon und Eudoxus. Denn Letzterer kam mit
Platon hierher, und sie lebten daselbst mit den Priestern dreizehn
Jahre zusammen, wie einige angeben-). Dann wird ein grosses
Gewicht auf einen Aufenthalt Piatons in Grossgriechenland zu legen
sein, wo er mit Archytas von Tarent und mit Tim aus von
Lokri im engsten Verkehre stand ^). Weiter führte ihn sein Weg
nach Sicilien, wo er im 40. Lebensjahre, also im Jahre 389 eintraf*).
Diese durch ihn selbst bezeugte Zeitangabe nöthigt uns auf alle
Reisen bis nach Sicilien etwa 11 Jahre zu vertheilen und widerlegt
somit die 13 jährige Dauer des Aufenthalts in Aegypten. Piatons Frei-
müthigkeit scheint bei dem Gewaltherrn von Syrakus, bei Dionysius,
Austoss erregt zu haben, so dass dieser ihn gefangen nehmen liess
und ihn als Athener dem lakedämonischen Abgesandten auslieferte,
welcher ihn als Sklaven nach Aegina verkaufte. Ein Kyrenaiker
zahlte das erforderliche Lösegeld, um Platon wieder frei zu machen,
und nun kehrte dieser nach Athen zurück, wo er in den schattigen

^) Diogenes Laertius IIT, 1. ^) Strabo XVII, 1 ed. Meinicke pag. 1124.
^) Cicero, De finibus V, 19, 50. Tusculan. I, 17, 39. De republica I, 10, 15.
*) Piatons Biiefe: Epütola VII, 324, a. ^ '

Piaton. 203

Spaziergängen der clureli Kimon einst verscliönerten Akademie nord-
westlicli vor der Stadt seine die Philosophie umgestaltenden Vorträge
hielt, deren Bedeutung auch für die Geschichte der Mathematik nicht
hoch genug angeschlagen werden kann^).

Eigentlich mathematische Schriften hat Piaton zwar nicht ver-
fasst, aber Einiges wird doch auf ihn als Entdecker zurückgeführt,
und vielleicht noch wichtiger ist seine Vorliebe für die Mathematik
dadurch geworden, dass er auf fähige Schüler sie forterbte. Piaton
war ja ein Schüler der Pythagoräer in vielen Dingen, in so vielen,
dass Aristoteles es ausdrücklich bezeugt hat^), dass Asklepius zu
dieser Stelle der aristotelischen Methaphysik jedenfalls übertreibend
hinzufügte: nicht Vieles, Alles habe Piaton von den Pythagoräern ent-
nommen. Wie nun die Pythagoräer Mathematik als den ersten
Gegenstand eines wirklich wissenschafllichen Unterrichts betrachteten,
wie die Aegypter ihre Kinder zugleich mit den Buchstaben in den
Anfangsgründen der Lehre von den Zahlen, von den auszumessenden
Räumen und von dem Umlaufe der Gestirne unterrichteten, so wollte
auch Piaton verfahren haben ^). Kein Unkundiger der Geometrie trete
unter mein Dach, ^rjdslg aysco^EXQrjrog eiöiroj ^ov trjv 6T£'yr]v, war
die Ankündigung, mit welcher der angehende Akademiker empfangen
wurde ^\ und Xenokrates, der nächst Speusippus als zweiter Nach-
folger Piatons die Akademie leitete''), blieb ganz in den Fussstapfen
seines Lehrers, wenn er einen Jüngling, der die verlangten geometri-
schen Vorkenntnisse noch nicht besass, mit den Worten zurückwies:
Gehe, Du hast die Handhaben noch nicht zur Philosophie, noQsvov
laßäg yccQ ovx £X£ig (piloGocpiag^^

Piaton war in dieser Beziehung so sehr Pythagoräer geworden,
dass er den Gegensatz nicht scheute, in welchen er seinen ältesten
und verehrtesten Lehrer Sokrates scheinbar zu sich selbst setzte.
Sokrates, wie Xenophon in seinen Erinnerungen ihn schildert'),
wollte die Geometrie nur so weit getrieben wissen, bis man Land mit
dem Maassstabe in Besitz nehmen oder übergeben könne. Der So-
krates in Piatons Dialogen, dem dieser stets die Gesinnungen in den
Mund zu legen liebt, die ihn selbst erfüllen, erklärt dagegen^), dass

') Ueber Piaton in seinen Beziehungen zur Mathematik vergl. C. Blass,
De Piatone mathematico. Bonn, 1861, und B. Rothlauf, Die Mathematik zu
Piatons Zeiten und seine Beziehungen zu ihr. München, 1878. ^) Aristoteles,
Metaphys. I, 6. ^) Die bezüglichen Stellen aus Piatons Staat vergl. bei Roth-
lauf 1. c. S. 12. *) Tzetzes, Chil. VIII, 972. ^) Diogenes Laertius I, 14
*) Diogenes Laertius IV, 10. ') Xenophon, Memorabil. IV, 7 und ihm
folgend Diogenes Laertius II, 32. *) Die Stellen aus Piatons Staat bei
Rothlauf S. 2 und 7.

204 10. Kapitel.

die ganze Wissenschaft doch nur der Erkenntniss wegen betrieben
werde. Es ist bekanntlich, sagt er auch, in Bezug auf jedes Lernen,
um besser aufzufassen, ein himmelhoher Unterschied zwischen Einem,
der sich mit Geometrie befasst hat, und dem, der es nicht gethan hat.

Wir verzichten darauf alle Stellen zu sammeln, an welchen Plato
ähnliche Gesinnungen über die Mathematik äussert, und zu welchen
auch der Ausspruch (S. 171) gehört, dass Gott allezeit geometrisch
verfahre, nur eine Bemerkung über das Wort Mathematik wollen
wir hier einschalten. Von einer Wissenschaft der Mathematik wusste
Piaton so wenig wie seine Zeitgenossen^). Wohl besassen sie das
Wort ^ad-y]ncira (Lehrgegenstände), aber es umfasste Alles, was im
wissenschaftlichen Unterrichte vorkam. Erst bei den Peripatetikern
bekam das allgemeine Wort die besondere Bedeutung, welche wir ihm
gegenwärtig noch beilegen und umfasste fortan Rechenkunst und
Arithmetik, Geometrie der Ebene und Stereometrie, Musik und Astro-
nomie, während zugleich auch der Name der Philosophie, welcher für
Piaton erst die wörtliche Bedeutung der Weisheitsliebe besass, einer
besonderen Wissenschaft zuertheilt wurde.

Die Vorliebe Piatons für mathematische Dinge äussert sich neben
den schon berührten Vorschriften über Jugenderziehung in seinem
idealen Staatswesen, wo ein Schulzwang innerhalb der einfachsten
Lehrgegeustände obwalten, wo Lesen, Schreiben und Rechnen allen
Mädchen wie Knaben beigebracht werden solP), auch darin, dass er
in vielen seiner in Gesprächsform geschriebenen Abhandlungen mathe-
matische Beispiele zur Verdeutlichung philosophischer Gedanken be-
nutzt. Meistens sind diese Bespiele für Laien berechnet und darum
laienhaft einfach, so dass dieselben kaum ein Recht haben in einer
Geschichte der Mathematik aufzutreten. Wir machen eine Ausnahme
zu Gunsten der früher gradezu berüchtigten Kapitel des Menon^).
Nicht als ob es sich mit deren Inhalt anders verhielte, aber weil wir
früher (S. 172) auf diese Kapitel uns berufen haben. Sie blieben den
Erklärern platonischer Gespräche so lange unverstanden, als man in
ihnen wunder welche tiefsinnige Dinge suchte. Sie wurden kinderleicht
und klar, sobald der Wortlaut mit den Figuren in Zusammenhang
gebracht wurde, welche zwar in den Handschriften wie in den Druck-

^) Rothlauf S. 18—19. ^) l'laton, Gesetze pag. 805. ^) Vergl.
Benecke, Ueber die geometrische Hypothesis in Piatons Menon, Elbing, 1867
und unsere Besprechung Zeitschr. Math. Phys. Xlll, Literaturzeitung 9 — 13.
Friedleins Programm von 1873: Beiträge zur Geschichte der Mathematik III
))flichtet im Ganzen denselben Ansichten bei. Roth lauf S. 64 huldigt, trotz-
dem er ßeneckes Programm kennt, einer künstlichen, wie wir überzeugt sind,
falschen Meinung.

Piaton.

205

Fig. 34.

ausgaben fehlen, von welchen man aber dem Texte gemäss annehmen
mnss, class sie im Laufe des Gespräches in den Sand gezeichnet worden
waren. Diese Figuren dürften zwei an der Zahl gewesen sein, ein
einfacher Kreis und eine einigermassen zusammengesetzte Vereinigung
mehrerer gradliniger Figuren in eine einzige (Figur 34), die wir uns
als nach und nach entstehend zu denken haben.
Den Kreis zeichnet Sokrates, um als Beispiel
des Runden zu dienen, welches eine Figur,
aber nicht die Figur überhaupt sei^). Im
weiteren Verlaufe des Gespräches^) zeichnet
Sokrates, die leitende Persönlichkeit der Ab-
handlung, ein Quadrat von der Seitenlänge 2
mit seinen Mittellinien, welche die Mittelpunkte
je gegenüberstehender Seiten verbinden. Er
erweitert die Figur zur vierfachen Grösse, d. h.
zum Quadrat mit der Seitenlänge 4, und innerhalb dieses grossen
Quadrates zum Quadrat mit der Seitenlänge 3, das aus neun Feldern
besteht; endlich zeichnet er das Quadrat von der Fläche 8, dessen
Seiten äie Diagonalen, oder, wie die Sophisten und mit ihnen
Flaton immer sagten, die Diameter der vier kleineren Quadrate
sind, in welche das grösste Quadrat von der Seitenlänge 4 zerfällt.
Dieses schrägliegende Quadrat von der Fläche 8 ist doppelt so gross,
als das ursprünglich gegebene Quadrat von der Fläche 4, und es kam
Platou grade darauf an zu zeigen, dass ein solches Quadrat von
doppelter Grösse als ein gegebenes genau und leicht gezeichnet werden
könne. Es war, wie ganz richtig bemerkt worden ist^), der Beweis
des pythagoräischen Lehrsatzes für den Fall des gleichschenklig recht-
winkligen Dreiecks, der hier geliefert wurde, möglicherweise, wie wir
(S. 172) andeuteten, der älteste von Pythagoras selbst herrührende
Beweis dieses ersten und einfachsten Falles, vorausgesetzt dass wirk-
lich beim Beweise des pythagoräischen Lehrsatzes ursprünglich ver-
schiedene Fälle unterschieden wurden. Nachdem mit dieser ersten
und zweiten geometrischen Exemplification vollständig abgeschlossen
ist, kehrt Sokrates an einer späteren Stelle'*) wieder zur Geometrie
zurück, um ihr ein passendes in die Sinne fallendes Beispiel für die
eben zwischen ihm und Menon erörterte Frage, ob Tugend lehrbar

>) Piaton, Menon 73 E. -) Piaton, Menon 82 B bis 85 B. ^) Roth-
lauf S. 61. Es ist nicht ohne Interesse, dass aucli Leibniz den gleichen
Beweis verwerthet hat, um den algebraischen Zusammenhang zwischen der Seite
und der Diagonale eines Quadrates zu erörtern. Vergl. dessen Kova algebrae
promotio in der durch C. J. Gerhardt besorgten Ausgabe der mathematischen
Schriften von Leibniz VII, 155 (Halle 1863). *) Piaton, Menon 86.

206 10. Kapitel.

sei oder nicht, zu entnehmen. Er will erörtern, dass das Thunliche
im Allgemeinen sich selten behaupten lasse, dass es Fälle der Mög-
lichkeit wie der Unmöglichkeit gebe. Er will ein recht zutreffendes
Beispiel dafür wählen, und da bleibt sein ringsum suchendes Auge
an den im Sande noch erkennbaren Figuren haften. Ist es, fragt er,
möglich dieses Quadrat als gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck
in diesen Kreis auf dem Durchmesser als Grundlinie genau einzu-
zeichnen? Unter diesem Quadrate versteht er das von der Seiten-
länge 2, dessen Verwandlung in ein gleichschenklig rechtwinkliges
Dreieck aus der Figur gleichfalls zu erkennen war, wo das gewünschte
Dreieck als Hälfte des schräggezeichneten Quadrates erscheint. So-
krates hat die Frage gestellt, er gibt auch die Antwort. Sie lautet
ja und nein! Es wird möglich sein, das Verlangte zu thun, wenn
die Seite des Quadrates dem Kreishalbmesser gleich ist, oder, was
dasselbe heisst, wenn sie auf dem Durchmesser aufgetragen ein ihr
gleiches Stück übrig lässt, sonst nicht. Der Wortlaut ist freilich ein
einigermassen dunkler, aber auch seine philologische Uebereinstim-
mung mit diesem hier frei erläuterten Sinne hat nachgewiesen werden
können.

Die Stelle des Menou ihrer einstigen Schwierigkeit entkleidet
enthält freilich nicht mehr den Beweis, dass Piaton mit dieser oder
jener feinen geometrischen Theorie bekannt war, aber sie enthüllt
uns noch immer einen ungemein wichtigen methodischen Fortschritt ^),
der um diese Zeit sich vollzog. Sokrates leitet die letzte Auseinander-
setzung durch die Worte ein: „Unter der Untersuchung von einer
Voraussetzung aus verstehe ich das Verfahren, welches die Geometer
oft im Auge haben; wenn sie Jemand fragt, z. B. über eine Fläche,
ob in diesen Kreis die Fläche als Dreieck eingezeichnet werden
könne u. s. w." Es war mithin damals schon oft von Geometern
geschehen, was, wie wir im vorigen Kapitel (S. 197) sahen, Hippo-
krates von Chios noch unterliess. Es war die Frage aufgeworfen
worden, ob eine Construction möglich sei oder nicht.

In der Akademie unter Piatons Leitung wurden sicherlich diese
und ähnliche Fragen erörtert^). Die Philosophie der Mathe-
matik ist in der Akademie entstanden. So führte nach Be-
richten bei Aristoteles, aber auch nach bestimmt nachweisbaren plato-
nischen Stellen Piaton geometrische Definitionen ein, welche in dem

^) Blas 9 in seiner Dissertation De Piatone mathematico pag. 20 scheint
zuerst die grosse methodische Bedeutung der Stelle Menon 86 erkannt zu
haben. ^) Zusammenstellungen bei Friedlein, Beiträge zur Geschichte der
Mathematik III, S. 9 ügg., bei Hankel S. 135—136, bei Rothlauf S. 51, von
denen jede irgend etwas eigenthümlich hat, was in den anderen fehlt.

Piaton. 207

von ihm gebrauchten Wortlaut ein Alter von mehr als zwei Jahr-
tausenden erreicht haben. Die Figur ist die Grenze des Körpers,
heisst es im Menon'). Gerade ist doch, wessen Mitte dem beider-
seitigen Aeussersten im Wege ist, heisst es im Parmenides -) , und
ebenda wird der Kreis definirt: rund ist doch wohl das, dessen äusserste
Theile nach allen Seiten hin gleichweit von der Mitte abstehen. Der
Punkt sei die Grenze der Linie, die Linie die Grenze der Fläche, die
Fläche die Grenze des Körpers genannt worden, sagt uns Aristoteles;
der Körper sei das, was drei Ausdehnungen besitze; die Linie sei
Länge ohne Breite. Dass auch Grundsätze, wie der häufig bei Aristo-
teles erwähnte, dass Gleiches von Gleichem abgezogen Gleiches übrig
lasse, schon der Akademie angehört haben werden, ist nicht in
Zweifel zu ziehen. Wohl aber dürfte es in ähnlicher Weise wie bei
den Pythagoräern schwer sein, innerhalb der Akademie eine Sonde-
rung des geistigen Besitzes von Piaton und seinen Schülern vorzu-
nehmen, zu ermitteln, was von den Definitionen, von den Grundsätzen
dem Einen, was den Anderen angehört.

Auf dem Gebiete mathematischer Methodik ist es noch eine
einen gewaltigen Fortschritt eröffnende Erfindung, welche Piaton zu-
geschrieben wird: die Erfindung der analytischen Methode. Wir
haben darüber eine ganz kurze Notiz des Diogenes Laertius: Piaton
führte zuerst die analytische Methode der Untersuchung für Leodamas
von Tasos ein^'), und eine ausführlichere des Proklus: Es werden
auch Methoden angeführt, von denen die beste die analytische ist,
die das Gesuchte auf ein bereits zugestandenes Princip zurückführt.
Diese soll Piaton dem Leodamas mitgetheilt haben, der dadurch zu
vielen geometrischen Entdeckungen soll hingeleitet worden sein. Die
zweite Methode ist die trennende, die, indem sie den vorgelegten
Gegenstand in seine einzelnen Theile zerlegt, dem Beweise durch
Entfernung alles der Construction der Aufgabe Fremdartigen einen
festen Ausgangspunkt gewährt; auch diese rühmte Piaton sehr als
eine für alle Wissenschaften förderliche. Die dritte Methode ist die
der Zurückführuug auf das Unmögliche, welche nicht das zu Findende
selbst beweist, sondern das Gegentheil desselben bestreitet und so
die Wahrheit durch Uebereinstimmung findet^). Endlich gehören
hierher die beiden bei Euklid erhaltenen Definitionen: Analysis ist
die Annahme des Gesuchten als zugestanden durch Folgerungen bis

') Piaton, Menon 76. ^) Platon, Parmenides 137 E. Wie diese
Stelle zu verstehen sei, kann man bei Proklus (ed. Friedlein) pag. 109 lin. 21
bis pag. 110 lin. 4 nachlesen. Vergl. Majers Programm des Kön. Gymnasiums
in Stuttgart für 1880— 81, S. 14. ^'j Diogenes Laertius III, 24. ^) Proklus
(ed. Friedlein) pag. 211, lin. 18 — pag. 212, lin. 4.

208 10. Kapitel.

ZU einem als wahr Zugestandenen. Synthesis ist die Annahme des
Zugestandenen durch Folgerungen bis zu dem Erschliessen und Wahr-
nehmen des Gesuchten^) und die dem Sinne nach damit überein-
stimmenden im Wortlaute viel ausführlicheren Erörterungen des
Pappus ^).

Die Sache verhält sich folgendermassen "'). Soll die Wahrheit
eines Satzes D bewiesen oder widerlegt werden — beides kann mau
verlangen — so sagt der Analytiker: Wenn D stattfindet ist C wahr;
wenn C stattfindet ist B wahr; wenn JB stattfindet ist A wahr; aus
D folgt also endlich A] nun ist A wahr oder nicht wahr, also ist
auch D wahr oder ist es nicht. Der Synthetiker dagegen beginnt mit
der Behauptung der Wahrheit von A, welche ihm auf irgend eine
Weise bekannt ist. Daran knüpft er die Folgerung, es werde B
stattfinden, folglich sei auch ü wahr, und folglich sei D wahr — oder
möglicherweise ein Satz, der das Gegentheil von D bezeichnet, und
den man deshalb Nicht -i) zu nennen pflegt. Es ist einleuchtend,
dass der synthetische Beweis unter allen Umständen richtig
ist, der analytische aber nicht. Zur Richtigkeit desselben ge-
hört nämlich, dass die in dem analytischen Beweise aufgestellten
gleichzeitigen Wahrheiten auch in umgekehrter Reihenfolge sich
gegenseitig bedingen, mathematisch ausgedrückt, dass man lauter
umkehrbare Sätze aussprach. Von der Nothwendigkeit diese Um-
kehrbarkeit selbst zu erweisen ist man nur in einem Falle befreit,
wenn nämlich das aus TJ geschlossene A nicht wahr ist. Dann frei-
lich kann I) nun und nimmermehr stattfinden. Das heisst: die Be-
weisform der Zurückführung auf das Unmögliche ist eine immer ge-
stattete Unterart des analytischen Beweises; der direkte analytische
Beweis dagegen erfordert stets eine Ergänzung, welche rückwärts
gehend die Sätze synthetisch aus einander ableitet, deren Behaup-
tungen die vorausgehende analytische Methode kennen lehrte. Aus
diesen Betrachtungen gehen nun mehrere Folgerungen hervor.

Erstlich die, dass die analytische Methode, vermöge der Noth-
wendigkeit ihr, falls sie direkt zu Werke ging, eine Synthese folgen
zu lassen, weniger für die Beweisführung von Sätzen, dagegen vor-
trefflich für die Auflösung von Aufgaben sich eignet, bei welchen
die analytisch gefundene Auflösung meistens die nothwendige Vor-

») Euklid XIII, 1. Anmerkung. ^) Pappus, VII Praefatio (ed.
Hultsch) pag. 634 flgg. ^) Hübsche Entwicklungen über die analytische
Methode der Alten bei Oft erdinger, Beiträge zur Geschichte der griechischen
Mathematik. Ulm, 1860. Duhamel, Des methodes dans les sciences de raisonne-
ment. Paris, 1865 — 1866. Besonders T. I, chap. 10. De Vanahjse et de la Syn-
these chez les anciens. Hankel 137 — 150.

Piaton. 209

aussetzung zur Entdeckung ihres synthetischen Beweises bildet, und
in der That spielt die Analysis ihre Hauptrolle in dem sogenannten
aufgelösten Orte, d. h. bei Aufgaben, die einen geometrischen Ort
oder eine Aufeinanderfolge von Punkten betreffen, deren jeder sich
einer gewissen Eigenschaft erfreut, welche ihrerseits keinem anderen
Punkte ausserhalb des Ortes zukommt.

Zweitens scheint die indirekte Methode der Zurückführung auf
das Unmögliche, die sogenannte apagogische Beweisführung^)
wegen ihrer unbedingten Giltigkeit vorzuziehen. In der That haben
die Alten sich derselben wenn auch nicht serade überwiegend doch
viel häufiger als die modernen Geometer bedient. Namentlich bei
den Sätzen, in welchen eine sogenannte Exhaustion vorgenommen
wird, wo also der Grenzbegriff das unmittelbare Erreichen des Zieles
ausschliesst und nur die synthetische Hypothese des Unendlichkleinen
als Ersatz zu dienen vermag, wird man bei griechischen Schrift-
stellern stets Beweisen aus dem Gegentheil begegnen. Wir haben
zugleich angedeutet, dass in neuerer Zeit die indirekten Beweise nicht
beliebt sind. Der Grund liegt darin, dass bei aller zwingenden Strenge
für den Verstand der indirekte Beweis der Einbildungskraft keine
vollständige Befriedigung zu gewähren pflegt. Ungezügelt umher-
schweifend sucht sie noch immer dritte Fälle ausfindig zu machen,
welche neben der Existenz von Nicht- D eine Coexistenz von D zu-
lassen, und nur schwer gibt sie sich gefangen, dass wirklich die Ein-
theilungstheile des Eintheilungsganzen vollständig erschöpft wurden,
dass wirklich zwei sich ausschliessende Thatsachen vorliegen, die
nicht gleichzeitig gesetzt werden können.

Drittens liegt, wie wir gesehen haben, jedem Beweise, werde er
analytisch oder synthetisch, direkt oder indirekt geführt, die Wahr-
heit eines gewissen Satzes Ä zu Grunde, deren man sich versichert
halten muss. In vielen Fällen wird dieses Ä Ergebniss früherer
Lehrsätze und gehörigen Ortes streng erwiesen sein. Allein immer
ist dieses nicht der Fall und kann es nicht der Fall sein, da eine
unendliche Kette von Rückschlüssen nicht denkbar ist. Irgend ein-
mal muss man stehen bleiben und eine Grundwahrheit als von selbst
einleuchtend oder erfahrungsmässig gegeben zum Ausgangspunkte
der Beweisführung annehmen. Wer also wie Piaton auf das Wesen
der Beweisführung selbst einging, musste auf dem Wege dieser Unter-
suchung das thun, was wir oben von Piaton berichtet haben. Er
musste Definitionen geben, welche der unendlichen Spaltung der

') icicaycoyi] blq uSvvuTov, lateinisch reductio ad adsurdum oder demonstratio
c contrario.

Cantor, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. ]4

210 10. Kapitel.

Beerriffe zu Gunsten einfacher Begriffe ein Ziel setzten; er musste
auch Axiome, Grundsätze und Annahmen, anerkennen, welche mau
nicht weiter beweist, sei es dass sie als von unmittelbarer Gewiss-
heit nicht mehr bewiesen zu werden brauchen, oder dass sie nicht
bewiesen werden können.

Wir kehren von dieser das Wesen antiker geometrischer Beweis-
führung berührender Auseinandersetzung, zu welcher die mathema-
tischen Kapitel im Menon uns fast mehr Gelegenheit als Veran-
lassung boten zu einer anderen Schrift Piatons und einer nicht
minder übelberüchtigten Stelle derselben zurück. Wir meinen den
Anfang des VIII. Buches vom Staate^). Auch diese Stelle hat
eine ganze Literatur hervorgerufen^), welche jedoch unserem Gefühle
nach noch nicht vermochte, die Schwierigkeiten der sehr dunkeln
Anspielungen, in welchen Piaton sich hier gefällt, endgiltig zu lösen.
Gehen doch die Ansichten so weit auseinander, dass nicht bloss über
den Sinn der sogen, platonischen Zahl, sondern über ihre Grösse selbst
ein Einverständniss nicht herrscht. Nur ein wie beiläufig eingeschal-
teter kleiner Satz dieser Stelle gibt uns Anlass zu einer, wie wir
glauben, geschichtlich wichtigen Bemerkung. Es ist unserer Mei-
nung nach von der Länge der Diagonale des Quadrates über der
Seite 5 die Rede, welche rational ausfalle, wenn 1 fehle, irrational
wenn 2 fehlen^), und wir können das nicht anders verstehen, als
dass jene Diagonale oder ]/50 in den rationalen Werth 7 übergehe,
wenn die Zahl 50 um 1 verringert werde, dagegen irrational ]/48
bleibe, wenn man 2 von den 50 abziehe. Wir haben, wo von der
Entdeckung des Irrationalen durch Pythagoras (S. 169) die Rede
war, hervorgehoben, man werde wohl Versuche angestellt haben, die
Diagonale eines Quadrates dadurch aussprechbar, also rational, zu
machen, dass man andere und andere Seitenlängen wählte, man werde
so zwar das wirklich angestrebte Ziel natürlich nicht erreicht, aber
doch Näherungswerthe von y2 gefunden haben. Die eben angeführte
platonische Stelle bringt uns diesen Gegenstand in's Gedächtniss
zurück. — Wir möchten einschalten, dass von Architekten bei Nach-
messungen an den Bauwerken der Akropolis das häufige Vorkommen
der Verhältnisse 1:3 sowie 7:12 und 7^:12^ bemerkt worden isf*).

1) Piaton, Staat 546 B, C. ^) Vergl. Th. Henri Martin, le nomhrc
nuptial et le nombre paifait de Platon im Xlll. Bande der Kevue archeologiquc
und Rothlauf S. 29 &gg. Bei Martin insbesondere finden sich zahlreiche
Verweisungen auf ältere Abhandlungen. Seitdem sind noch zahlreiche Arbeiten
von Adam, Demme, Dupuis, Gow, Hultsch, Tanne ry veröffentlicht worden.
^) anb diccfi^TQOiv qt^twv TtsfinäSog, dsofisvwv svbg fnäczcav , cc^qtjtcov Ss dvstv,
••) Hultsch in Fleckeisen u. Masius, Neue Jahrbücher für Philologie und
Pädagogik Bd. 123, S. 586—587.

Piaton. 211

Uns scheint das letztere dem ersten als gleichwerthig gedacht worden
ZU sein, so dass einen Näherungswerth von ]/3 darstellte, und

Piaton, meinen wir, hat auch gewusst, dass |/5Ö oder 5]/2 nur wenig
von 7 sich unterscheidet. Ist er so weit gegangen in der Praxis
des Rechnens ]/2 annähernd gleich -p- zu setzen? Darüber fehlt

uns die Sicherheit, aber das steht fest, dass jenes Bewusstsein bei
Platonikeru und deren Schülern sich fortwährend erhalten hat.
Proklus sagt uns ausdrücklich, es gebe keine Quadratzahl, welche
das Doppelte einer Quadratzahl anders als nahezu sei; so sei das
Quadrat von 7 das Doppelte des Quadrates von 5, an welchem
nur 1 fehle '). Es wird uns später gelingen, den Näherungswerth
1/2 ==-.- noch bestimmter nachzuweisen und damit die Wahrschein-
lichkeit zu erhöhen, dass die Nutzbarmachung jener bei Piaton
nachgewiesenen Kenntniss in der That stattgefunden habe. Dass
nämlich Piaton sich mit rationalen und mit irrationalen Quadrat-
wurzeln überhaupt beschäftigt hat, geht aus einer anderen Nachricht
hervor, von der jetzt die Rede sein soll.

Heron von Alexahdria"-) und ebenso auch Proklus^) theilen uns
eine Methode zur Auffindung rationaler rechtwinkliger Drei-
ecke mit, welche sie ausdrücklich als Erfindung des Piaton be-
zeichnen, und wenn auch Boethius von dieser Angabe abweichend
einen Architas als Erfinder nennt ^), so tragen wir doch kein Be-
denken, dem älteren griechischen Berichterstatter den Vorzug der
Glaubwürdigkeit vor dem jüngeren römischen Schriftsteller zu ge-
währen. Schon Pythagoras fand, wie wir uns erinnern (S. 173), ratio-
nale rechtwinklige Dreiecke, indem er wohl davon ausging, den
Unterschied zwischen der Hypotenuse a und der grösseren Kathete h
der Einheit gleich zu setzen, wodurch er genöthigt war die Summe
der Hypotenuse und derselben Kathete in Form einer sonst be-
liebigen ungeraden Quadratzahl zu wählen. War solches in der That
der Weg, auf welchem Pythagoras zu seinen Werthen gelangte, so
musste ein nächster Versuch jene Differenz a — h = 2 setzen, und
die ihr ähnliche Flächenzahl a-\-h musste dann das Doppelte einer
Quadratzahl oder 2 a- sein, beziehungsweise die Hälfte einer geraden
Quadratzahl ^^ . Dann wurde von selbst c = 2a, h = a^ — \,
a = a^-\-l, und genau so verfuhr Piaton. Proklus sagt uns mit
einer Deutlichkeit, die nichts zu wünschen übrig lässt: Piatons

') Proklus(ed. Friedlein) pag. 427, lin. 21— 24. ^) Heron (ed. Hultsch)
Geometria pag. 57. ^) Proklus (ed. Friedlein) pag. 428. •*) Boethius (ed.
Fried lein) Geometria pag. 408.

14*

212 10. Kapitel.

Methode geht Yon der geraden Zahl aus; man nimmt nämlich eine
gerade Zahl an und setzt sie gleich einer der beiden Katheten; wird
diese halbirt, die Hälfte quadrirt und zu diesem Quadrate die Ein-
heit addirt, so ergibt sich die Hypotenuse; wird aber die Einheit
vom Quadrate subtrahirt^ so erhält man die andere Kathete.

So dienen beide Methoden, die des Pythagoras und die des
Piaton, einander zur Ergänzung und rechtfertigen gegenseitig die
Vermuthungen, welche wir darüber aussprachen, wie man dieselben
gefunden haben mag. Piaton erscheint uns dabei nicht sowohl er-
findungsreich, als dass er vorher betretene Wege umsichtig zu gehen
wusste. Er muss jedenfalls auf der Höhe des mathematischen Wis-
sens seiner Zeit gestanden haben, mag ihn im mathematischen Können
dieser oder jener übertrofFen haben. Seine für die damalige Zeit
grosse mathematische Gelehrsamkeit wird durch Alles, was wir von
ihm wissen, bestätigt. Wir erinnern uns des reichen für die Ge-
schichte der Mathematik bei den Pythagoräern von uns ausgenutzten
Inhaltes des platonischen Timäus. Die Zusammensetzung regelmässiger
ebener Figuren aus rechtwinkligen Dreiecken, die Bildung der fünf
regelmässigen Körper waren ihm bekannt. Wenn auch Pappus diese
letzteren gradezu als solche bezeichnet, von denen bei Piaton die
Rede sei^), so wissen wir doch, dass Piaton keineswegs der Erfinder
war. Die eigentliche Stereometrie scheint übrigens, trotz der Kennt-
niss der regelmässigen Körper, damals noch recht im Argen gelegen
zu haben. „Hinsichtlich der Messungen von Allem, was Länge, Breite
und Tiefe hat, legen die Griechen eine in allen Menschen von Natur
vorhandene ebenso lächerliche als schmähliche Unwissenheit an den
Tag", sagt Piaton ■^) und fährt in wenig gewählter Ausdrucks weise
fort, es sei in dieser Beziehung bestellt „nicht wie es Menschen,
sondern wie es Schweinen geziemt, und ich schämte mich daher
nicht bloss über mich selbst, sondern für alle Griechen". Am wei-
testen entwickelt war die Arithmetik. Dass Piaton über die Pro-
portionenlehre, über die Begrifi^e von Flächen zahlen und Körperzahlen
Herr war, wissen wir aus dem Timäus. Wir erinnern uns auch, dass
(S. 154) ein besonderer Fall der pythagoräischen Sätze über geome-
trische Mittel zwischen Flächenzahlen und zwischen Körperzahlen als
platonisch genannt wird^). Wir können noch zwei andere Stellen
platonischer Schriften anführen, welche für seine Kenntnisse in der
Arithmetik von Wichtigkeit sind. Im Phädon sagt Piaton die ganze
eine Hälfte der Zahlen sei grad, die andere sei ungrad*), In den

') PiippuB V, 19 (etl. Hultsch) pag. 352. *) Piaton, Gesetze pag. 805.
^) Nicomachus, Eisagoge arithm. II, 24, G (ed. Hoche) pag. 129. *) Pia-
ton, Phuedon pag. 104.

Piaton. 213

Gesetzen weiss er, dass die Zahl 5040 durcli 59 verschiedene Zahlen
theilbar ist, unter welchen sämmtliche Zahlen von 1 bis 10 sich be-
finden^). Das sind in der That ganz anständige Kenntnisse, wenn
wir auch natürlich annehmen, dass die Theiler von 5040 empirisch
gefunden und gezählt wurden. Vielleicht kann das Aufsuchen der
Theiler doch in Zusammenhang mit einer Bekanntschaft mit be-
freundeten und mit vollkommenen Zahlen gedeutet werden müssen,
wenn wir auch (S. 157) uns sträubten, diese in so frühe Zeit zu
verlegen. Aber wie kam man dazu, die Zahl 5040, das Produkt der
auf einander folgenden Zahlen von 1 bis 7, zur Untersuchung zu
wählen? Auf diese Frage wissen wir keine Antwort.

Eine Erfindung Piatons wird uns berichtet, welche ihm als
Geometer alle Ehre macht, und welche somit den ersten Theil dessen,
was das Mathematikerverzeichniss von Piaton zu sagen weiss, ebenso
voll bestätigt, wie der zweite Theil jener Charakteristik in unserer
seitherigen Darstellung zur Geltung kam. Wir müssen nachholend
diese Schilderung hier einschalten.

„Piaton, der auf diese (Hippokrates und Theodorus) folgte, ver-
schaffte sowohl den anderen Wissenschaften als auch der Geometrie
einen sehr bedeutenden Zuwachs durch den grossen Fleiss, den er
bekanntlich auf sie verwandte. Seine Schriften füllte er stark mit
mathematischen Betrachtungen und hob überall hervor, was von
der Geometrie sich in bemerkenswerther Weise an die Philosophie
anschliesst."

Vielleicht ist unter dem bedeutenden Zuwachse, der durch Pia-
tons Fleiss der Geometrie verschafft wurde, seine Auflösung der
Aufgabe von der Würfelverdoppelung verstanden, welcher wir
uns hiermit zuwenden. Freilich steht es schlimm mit derselben,
wenn die Meinung derer sich als richtig erweisen sollte, welche den
ganzen darüber ims zugekommenen Bericht anzweifeln. Wir wollen
die schwerwiegenden Bedenken derselben nachträglich erörtern und
für's Erste dem Berichte selbst hier einen Platz einräumen.

Eutokius von Askalon hat im VI. S. einen Commentar zu
des Archimed Schrift über Kugel und Cylinder verfasst und in diesen
Commentar sehr wichtige Mittheilungen über die Aufgabe der Würfel-
verdoppelung eingeflochten. Dorther kenneu wir den Brief des Era-
tosthenes über jenes Problem (S. 199), dorther eine ganze Anzahl
von uuter einander verschiedenen Auflösungen, darunter solche von
Piaton, von Menächmus, \on Archytas. Die Auflösung des
Archytas hat Eutokius dem Eudemus entnommen, und bei der un-

') Piaton, Gesetze pag. 737.

214

10. Kapitel.

bedingten Zuverlässigkeit dieses Gewährsmarmes ist an der Genauig-
keit des Berichtes nie der leiseste Zweifel erhoben worden. Woher
stammen die übrigen Auflösungen? Eutokius sagt es uns nicht, aber
er leitet den ganzen Bericht damit ein, er wolle die Gedanken der
Männer, welche auf uns gekommen sind, ersichtlich machen. Sollte
in Zusammenhang mit dieser Erklärung sein Schweigen nicht beredt
genug sein? Sollte es nicht zu verstehen geben, dass, wo eine zweite
Quelle nicht genannt wurde, die Originalschriften selbst von Eutokius
benutzt wurden, oder doch solche, welche er für die Originalschrifteu
hielt? Sollte der Umstand, dass die Auflösungen als solche richtig
sind und somit die Unverletztheit des Gehaltes der Schriften, von
welchen Eutokius Gebrauch machte, verbürgen, nicht auch bei Prü-
fung der Richtigkeit der Namen, unter welchen die Auflösungen
mitgetheilt sind, von Gewicht sein? Unter den von Eutokius mit-
getheilten Auflösungen steht die Piatons an der Spitze, muthmass-
lich wegen der grossen Berühmtheit des Verfassers. Jedenfalls ist
eine Zeitfolge der Auflösungen aus der Anordnung, in welcher sie
bei Eutokius erscheinen, in keiner Weise zu entnehmen. Sie sind
vielmehr bunt durcheinander gewürfelt, und um nur solche Männer zu
zu nennen, deren Zeitalter durch Jahrhunderte getrennt liegen, bei
denen also ein Zweifel unmöglich ist, kommt Heron vor Apollonius,
Pappus vor Menächmus zu stehen.

Das Verfahren des Platon^) beruht auf einer Vorrichtung,
welche sich (Figur 35) als Rechteck AAEZ mit zwei festen und

zwei in paralleler Lage verschiebbaren
Seiten EA und AA bezeichnen lässt.
Mittels gehöriger Verschiebung der be-
weglichen Seiten nebst entsprechender
^ Drehung der ganzen Vorrichtung soll
unter vorheriger Annahme der Länge
von zwei zu einander senkrechten Linien
AB=b, Br=a Folgendes bewirkt
werden: A soll in den Durchschnitt der
festen ZA mit der beweglichen AA, F
auf die zweite feste Seite ZE, zugleich
der Eckpunkt E des Rechtecks auf die
Verlängerung von AB und endlich der zweite Durchs chnittspimkt
der beweglichen AA mit der beweglichen EA auf die Verlängerung
von FB fallen. Nennen wir nun BE = x, BA = y, so ist im recht-
Avinkligen Dreiecke FAE die BE senkrecht aus der Spitze des rechten

Hg. 35.

') Archimedis Opera ed. Heiberg. Leipzig, 1880—81. 111, 66 sqq.

Piaton.

215

Winkels auf die Hypotenuse gefallt, und die gleiche Rolle spielt die
5z/ im rechtwinkligen Dreiecke AAE. Folglich ist a:x ^= x: ij
und x:y = y:h. Mithin sind x und y die beiden mittleren Pro-
portionalen, welche zwischen n und h eingeschaltet werden mussten,

x = a -y — und unter der Voraussetzung b = 2 a endlich x = a y2.

Wir bemerken^), dass dieses Verfahren, sofern es von Piaton her-
rührt, uns ein Zeugniss dafür ist, dass damals griechische Geometer
den Satz kannten, dass die Senkrechte aus der Spitze des rechten
Winkels auf die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks das geo-
metrische Mittel zwischen den Stücken ist, in welche sie die Hypo-
tenuse zerlegt. Wir bemerken ferner, dass hier das erste Beispiel
einer Bewegungsgeometrie vorliegt, die in späteren Zeiten gradezu
den Charakter einer Methode annahm''^).

Wir stellen neben dieses Verfahren sofort dasjenige, welches
Eutokius uns nach Eudemus von Archytas berichtet^). Es stimmt,
wie wir sehen werden, vollkommen zu den Worten im Briefe des
Eratosthenes : „Der Tarentiner Archytas soll sie vermittelst der Halb-
cylinder aufgefunden haben." Es
seien (Fig. 36) A^ = h und AB == a
die beiden Geraden, zwischen welche
zwei mittlere Proportionalen einzu-
schalten sind. Die Grössere A^
wird als Durchmesser eines Halb-
kreises benutzt, in welchen die klei-
nere AB als Sehne eingezeichnet
wird. Aber auch senlvrecht zu die-
sem ersten Halbkreise wird über AzJ
ein zweiter Halbkreis errichtet, der
in A befestigt über die Ebene AB^
weggeschoben werden kann. Er bil-
det dabei auf dem über dem Halbkreise AB^ errichteten Halb-
cy linder eine krumme Linie. Andererseits ist das Dreieck AztU
gegeben durch die Ä^, die AB und die Berührungslinie z//7 an den
Halbkreis in A. Dieses Dreieck liefert um AA als Axe in Drehung
versetzt eine Kegeloberfläche, welche gleichfalls den Halbcylinder und
die vorher auf ihm erzeugte Curve schneidet, letztere in einem Punkte
K, der als dem Halbcylinder angehörend senkrecht über einem
Punkte I des Halbkreisbogens ABA liegen muss. Während AU

Fig. 36.

•*) Vergl. Bretschneider 142. -) Wöpcke, L'algebre d'Omar Alkhay-
yämi (Paris, 1851) pag. 120. ^) Archimedcs (ed.-üeiberg) III, 98 sqq.

216 10. Kapitel.

die Keo-eloberfläclie beschreibt, beschreibt endlich auch das Stück JB
dieser Geraden eine Fläche gleicher Art, beziehungsweise der Punkt B
einen Halbkreis BMZ, der senkrecht zur Horizontalebene ABAZ
steht. Da zu dieser Ebene auch AKA' senkrecht steht, so ist zu
ihr auch M® senkrecht, die Durchschnittsgerade der beiden ge-
nannten Ebenen, beziehungsweise M& 1.BZ als Durchnittsgeraden
der B ML mit der AB/iZ. Daraus folgt mit Rücksicht auf die
Eigenschaft von BMZ als Halbkreis und von BZ als dessen Durch-
messer, dass M02 = B&X&Z. Aber B&X®Z = A@X&I, weil
BZ und AI zwei in 0 sich schneidende Sehnen desselben Kreises
sind. Also M&^ = A&X @I, also der Winkel AMI ein Rechter,
d. h. eben so gross wie AK/I' , welcher Winkel im Halbkreise ist,
und folglich MI parallel zu Kzl'. Damit ist die Aehnlichkeit des
Dreiecks A'AK mit lAM, aber auch mit KAI bewiesen, und damit
die Proportion AM : A I = AI : AK = ^K : zJ'A. Setzt man end-
lich ^M= ^5= a, J'A = AA=='b, AI = X, AK = y, so ist
wieder a : x = x : y = y : h, wie es verlangt wurde. Aus diesem Ver-
fahren geht, was wir zu bemerken nicht versäumen wollen, die Kenntniss
mehrer wichtiger Sätze von Seiten des Erfinders hervor. Nicht bloss
die beiden planimetrischen Lehrsätze, dass die Berührungslinie an den
Kreis senkrecht zum Durchmesser steht und dass Kreissehnen einander
in umgekehrt proportionalen Stücken schneiden, mussten ihm geläufig
sein, auch von der durch Piaton beklagten allgemeinen Unwissenheit
auf stereo metrischem Gebiete bildete er eine rühmliche Ausnahme.
Archytas wusste, dass die Durchschnittsgerade zweier zu einer dritten
Ebene senkrechten Ebenen gleichfalls senkrecht auf dieser und ins-
besondere senkrecht auf deren Durchschnittsgeraden mit einer der
senkrechten Ebenen steht. Er besass, was wir noch weit höher an-
schlagen, über die Entstehung von Cylindern und Kegeln, über gegen-
seitige Durchdringung von Körpern und dabei auf ihrer Oberfläche
entstehenden Curven vollständig klare Anschauungen. Sollte Archytas
ein Modell sich angefertigt haben, an welchem er sein Verfahren sich
ausbildete? Wir stellen die Frage, ohne eine Antwort darauf zu
wissen und finden eine solche auch nicht in den Worten des Dio-
genes Laertius, der uns erzählt: „Archytas zuerst behandelte die
Mechanik methodisch, indem er sich dabei geometrischer Grundsätze
bediente; auch führte er zuerst die organische Bewegung in die Con-
struction geometrischer Figuren ein, indem er durch den Schnitt des
Halbcyliuders zwei mittlere Proportionalen zur Verdoppelung des
Würfels zu erhalten suchte"'). In dem durch Eutokius überlieferten

^) Diogenes Laevtius VIII, 83.

Piaton.

217

Text kommt auch das Wort To';rot; vor^). Dieses Wort hat in spä-
terer Zeit den Sinn „geometrisclier Ort" angenommen. Hier bedeutet
ee aber nur die Stelle^). Man kann also keinerlei Schlüsse aus dem
Auftreten des Wortes ziehen, mag es selbst in dem Urtexte des
Archytas schon vorgekommen sein, soviel derselbe sonst von Eude-
mus im Uebrigen verändert worden zu sein scheint. Diese Ver-
muthung findet darin Unterstützung, dass die ganze Darstellung des
Verfahrens des Archytas weit weniger alterthümlich klingt als z. B.
der Bericht über die Quadraturversuche des Hippokrates von Chios.
Selbstverständlich nehmen wir aber nur an, Eudemus habe den Wortlaut
des Archytas einigermassen frei behandelt. Den Sinn muss er getreu
wiedergegeben haben, und so bleiben die Folgerungen, welche wir auf
stereometrische Kenntnisse des Archytas gezogen haben, unberührt.
Wir lassen auch die Würfelverdoppelungen des Menächmus
gleich folgen. Eutokius theilt ims zwei von einander verschiedene
Verfahren dieses Schriftstellers mit^). Das einemal wird die Auf-
gabe durch eine Parabel in Verbindung mit einer Hyperbel gelöst,
das anderemal werden zwei Parabeln benutzt. Hier kann, wie wir
betonen müssen, ein wörtlicher Auszug aus Menächmus unter keiner
Bedingung vorliegen, da diese Namen Hyperbel und Parabel, wie wir
noch sehen werden, viel späteren Ursprunges sind. Der Bericht des
Eutokius über die Würfelverdoppelungen des Menächmus unter-
scheidet sich in wesentlicher Art von dem über die Methode des
Archytas. Während bei Archytas nur die
Synthese mitgetheilt, die Analyse aber ver-
schwiegen ist'), ist bei Menächmus über Ana-
lyse und Synthese gleichmässig berichtet und
uns dadurch ein vortreffliches Beispiel zur
Kenntniss jener beiden Schlussarten der Alten
in die Hand gegeben. Mögen a, x, y, h wieder
die vorige Bedeutung haben, mithin

a : X = X :y = y :h
zu construiren sein. Weil a : x = x : y wird
(Figur 37) ein Punkt @, von dem aus die
Senkrechte &Z = x auf eine Gerade J II
gefällt ist, auf der von einem gegebenen Anfangspunkte ^ aus die
Länge AZ=y genannt wird, nothwendig auf einer durch A hindurch-

>) Archimedes (ed. Heiberg") III, 100 lin. 10. ^) Gow, A short history
of Greek mathematics, pag. 187 Note 1. ^) Archimedes (ed. Heiberg) III,
92 sqq. ■*) Bretschneider 152 hat versucht, die Analyse des Archytas zu
ei-rathen und, wie uns scheint, mit ziemlichem Glück. Vergl. auch Flauti,
Geometria di sito. Neapel, 1821, pag. 173 — 174.

218

10. Kapitel.

gehenden Parabel liegen. Zieht man ferner JK It &Z und 0K -fr AZ,
so ist das Rechteck AK&Z gemessen durch x xy d. h. wegen
a : X = ij :J), gemessen durch a xh, oder gegeben. Demzufolge liegt
0 auch auf einer Hyperbel, deren Asymptoten die AK und JZ sind.
Das ist die Analyse. Sie geht aus von der Annahme, der Punkt 0,
Avelcher durch die Linien x, y erst festgelegt werden soll, sei schon
vorhanden, und zieht daraus Folgerungen, welche für die Lage von &
anderweitige Merkmale liefern. Nun kommt die Synthese, d. h. hier
die Construction der genannten Curven. Li einem Punkte A lässt
man zwei Senkrechte zusammentreffen. Dann zeichnet man eine
Parabel mit A als Scheitelpunkt, der einen der gezogenen Graden AH
als Axe und a als Parameter. Ferner zeichnet man zwischen die
beiden Geraden AH und AK als Asymptoten eine Hyperbel unter
der Bedingung, dass das Rechteck der mit KA, AH bis zum Durch-
schnitte mit diesen Geraden in umgekehrter Folge von jedem Hy-
perbelpunkte gezogenen Parallelen dem Rechtecke ans a und h gleich
sei. Dann schneiden sich Parabel und Hyperbel in dem Punkte 0,
dessen senkrechter Abstand von AH das gesuchte x ist. Die zweite

Methode des Menächmus (Figur 38)
folgert wieder aus a : x = x : y, dass
der gesuchte Punkt auf einer Parabel
liege, ebenso aber aus x : y = y : h,
dass er auf einer zweiten Parabel
liege, deren beiderseitige Axen sich
in dem beiden Parabeln gemeinschaft-
lichen Scheitelpunkte B senkrecht
durchschneiden, was alsdann in der
Synthese benutzt wird. Eutokius
schliesst den Bericht über die Auf-
lösungen des Menächmus mit den Worten: „Die Parabel zeichnet man
mittels eines von dem Mechaniker Isidorus von Milet, unserem
Lehrer, erfundenen Zirkels, der von ihm in seinem Commentare zu
der Gewölblehre des Heron beschrieben worden ist." Dass die von
Eutokius angewandte Form nicht die des Menächmus selbst gewesen
sein kann, haben wir berührt. Auf die Glaubwürdigkeit des Inhalts
füllt dadurch kein Schatten. Menächmus muss also die Curven ge-
kannt haben, welche eine spätere Zeit Parabel und Hyperbel ge-
nannt hat; er muss die Asymptoten der Hyperbel gekannt haben,
muss diejenigen Grundeigenschaften beider Curven gekannt haben,
welche die analytische Geometrie durch die Gleichungen y^ = ax
und xy = c^ auszudrücken weiss.

Im Briefe des Eratosthenes ist, wie wir uns erinnern, auch von

Piaton. 219

einer Würfelverdoppeluiig des Eudoxus mittels der sogenannten
Bogenlinien (S. 199) die Rede. Ueber diese berichtet Eutokius ab-
sicbtlich gar nicbt. Er setzt sich vielmehr in strengsten Gegensatz
gegen diese Arbeit des Eudoxus^). Er habe, sagt er etwa, die Ab-
handlung des Eudoxus vernachlässigt, weil dieser erstlich die Bogen-
linien, von deren Benutzung er in der Einleitung rede, beim Beweise
gar nicht anwende und zweitens eine unstetige Proportion gleich
einer stetigen verwerthe, was nur zu denken nicht am Orte sei.
Man hat hieraus, wie wir glauben berechtigterweise, den Schluss ge-
zogen^), es werde dem Eutokius nur ein bis zur Unverständlichkeit
verstümmelter Text des Eudoxus vorgelegen haben, da weder dem
Eudoxus so grobe Fehler, wie Eutokius sie ihm vorwirft, zuzutrauen
seien, noch auch Eratosthenes eine durchaus verfehlte Lösung der
Erwähnung würdig gefunden haben würde, jedenfalls nicht ohne auf
das Irrige derselben hinzuweisen. Fügen wir diesen Schlüssen noch
hinzu, dass das Verfahren des Eutokius diesem einen Schriftsteller
gegenüber uns die Klarheit und Reinheit der Quellen, welche ihm
für die Würfelverdoppelungen der Anderen dienten, verbürgt.

Wir haben bei dieser Aufzählung von Würfelverdoppelungen
nach Eutokius uns allzusehr von unserer Gewohnheit, die Schrift-
steller, mit denen wir uns gerade beschäftigen, auch ihrer Persön-
lichkeit nach wenigstens einigermassen zu schildern, entfernt, um
nicht schon hierdurch zu zeigen, dass wir mit Piaton noch nicht ab-
geschlossen haben. Diese Einschaltungen — mögen wir auch später
uns auf dieselben zu beziehen haben — bezwecken an dieser Stelle
nur das Urtheil bei Besprechung der Streitfrage zu leiten, ob das,
was Eutokius als platonische Würfelverdoppelung gibt, wirklich echt
sein kann. Stellen wir dazu die Einwendungen, welche man gemacht
hat, zusammen.

Wir haben aus dem Briefe des Eratosthenes ersehen, dass, nach-
dem jene Aufgabe schon geraume Zeit die Geometer vergeblich be-
schäftigt hatte, nachdem eine Rathlosigkeit an die Stelle einer
anderen getreten war, eine neue Veranlassung neue Bemühungen
hervorrief, indem die Delier, welche einem Orakelspruche folgend
um einer Seuche ein Ziel zu setzen einen Altar verdoppeln sollten,
sich an Piaton und seine Akademie um Rath wandten. Theon von
Smyrna berichtet nach einer uns unbekannten Schrift des Eratosthenes,
welche den Titel „Der Platoniker" geführt zu haben scheint, ganz
ähnlich^). Piaton habe den Deliern, welche der Seuche halber den

') Arcliimedes(ecl. Heiberg) III, 66 lin. 11— 17. ^) Bretschueider 166.
^) Theon Smyrnaeus (ed. Hiller) pag. 2 'EQaroaO'svr}? (ihv yaQ iv tm Int,-
YQacpOfisvoj nXatcoviy.(p x, r. X.

220 10. Kapitel.

Altar ihres Gottes verdoppeln sollten und die Ausführung zu be-
treiben ihn befragten, die Antwort ertbeilt: Nicht die Verdoppelung
des Altars wünsche der Gott, er habe den Ausspruch nur als Tadel
gegen die Hellenen verstanden, welche um die Wissenschaften sich
nicht kümmerten und die Geometrie gering achteten. Plutarch ist
ein dritter Schriftsteller, der in seinen Werken sogar zweimal auf
den Gegenstand zu reden kam^), ihn auch in einem Nebenumstande
etwas abweichend angibt. Er fügt nämlich der Antwort Piatons,
die Gottheit habe ihre Missbilligung der allzugeringen Beschäftigung
mit Geometrie bezeugen wollen, noch bei: um einen Körper so zu
verdoppeln, dass er der ursprünglichen Gestalt durchaus ähnlich
bleibe, bedürfe man der Auffindung zweier geometrischer Mittel, und
das werde ihnen Eudoxus von Knidos oder Helikon der Kyzi-
kener leisten, der Letztere ein Schüler des Eudoxus, der in der Ge-
schichte der Astronomie genannt zu werden pflegt. Johannes Philo-
ponus endlich lässt diese Verweisung auf Andere in der Antwort des
Piaton an die Delier wieder weg, während er der Nothwendigkeit
zwei geometrische Mittel zu finden gedenkt"). Aus allen diesen An-
gaben folgt, dass über die Frage der Würfelverdoppelung ein Mei-
nungsaustausch zwischen Deliern und Piaton stattgefunden hat, und
daher rührt der Name der delischen Aufgabe, unter welchem die
der Würfelverdoppelung vielfach vorkommt. Aber auch einen anderen
Umstand kann man mit einigem Erstaunen bemerken. Eratosthenes,
der doch von den erfolgreichen Bemühungen zur Auffindung der Seite
des verdoppelten Würfels besonders redet, erwähnt den Namen Piaton
und erwähnt nicht, dass er das Vertrauen, welches die Delier in seine
Geschicklichkeit setzten, durch Lösung der Aufgabe rechtfertigte.
Diesem Schweigen schliesst sich Theon von Smyrna an, der freilich
aus Eratosthenes schöpfte, und Johannes Philoponus. Plutarch er-
gänzt es nun gar dadurch, dass Piaton von vorn herein die Erwar-
tung, als könne er die Frage lösen, unter Verweisung an andere
Geometer von sich abzulenken wusste. Man muss zugeben, dass
dieses Schweigen, dass dieser Zusatz sehr eigenthümlich, sehr schwer
zu verstehen sind, wenn jene Schriftsteller das Verfahren Platous
kannten, dass es noch staunenswerther wäre, wenn Piaton den Würfel
verdoppelt hätte und jene Schriftsteller von seiner Abhandlung, die
doch zur Kenntniss des Eutokius gelangt sein muss, nichts gewusst
hätten. Es wäre darnach möglich, dass die Quelle des Eutokius
eine jener gefälschten Abhandlungen gewesen wäre, wie sie zur Zeit

') Plutarchus, De genio Socratis cap. 7 und De ft apud Delphos cap. 6.
Johannes Philoponus ad Aristotelis Analyt. post. I, 7.

Piaton. 221

des Neuplatonismus zu Dutzenden erschienen und auf Rechnung alter
Lehrer gesetzt wurden.

Dazu kommt eine ganz bedenkliche Notiz, welche Plutarch
zweimal mitgetheilt hat ^). Piaton, sagt er, tadelte den Eudoxus und
Archytas und Menächmus, welche die Verdoppelung des Körper-
raumes auf instrumentale und mechanische Verfahrungsweisen zurück-
führen, gleich als ob sie hierdurch zwei mittlere Proportionalen auf
unerlaubte Weise zu erhalten versuchten. Denn auf solche Art
werde der Vorzug der Geometrie aufgehoben und verdorben, sofern
man sie wieder auf den sinnlichen Standpunkt zurückführt, sie, die
in die Höhe gehoben werden und sich an ewige und körperlose Ge-
dankenbilder halten sollte, wie dies bei Gott der Fall ist, der des-
halb immer Gott ist. So die eine Stelle Plutarchs. Wo er aber an
einer zweiten Stelle die gleiche Angabe wiederholt, verbindet er damit
die Bemerkung, in Folge von Piatons Unwillen über die Würfel-
verdoppelung durch Werkzeuge sei die Mechanik von der Geometrie
vollständig getrennt worden und dadurch auf lange Zeit zu einer
blossen Hilfswissenschaft der Kriegskunst herabgesunken. Konnte,
sagt man, Piaton einen derartigen Tadel gegen Eudoxus, gegen
Archytas, gegen Menächmus aussprechen, wenn er selbst ein mecha-
nisches Verfahren zur Würfelverdoppelung erdachte? Ist damit nicht
der Beweis geliefert, dass der Bericht des Eutokius so weit irrig sein
muss, als ihm Piaton für den Erfinder einer Vorrichtung gilt, die
von irgend einem Anderen herrührte?

Wir gestehen zu, dass diese Einwürfe sehr gefährlicher Natur
sind, um so mehr als nicht zu bezweifeln ist, dass die Piaton durch
Plutarch beigelegte Meinung mit dem ganzen philosophischen Cha-
rakter dessen, der die Ideen einführte, im vollsten Einklänge steht.
Es ist ferner nicht zu bezweifeln, dass lange Zeit, ob auf Piatons
Einfluss hin, wie behauptet worden isf^), lassen wir dahingestellt,
nur die Geometrie des Zirkels und Lineals als eigentliche Geometrie
betrachtet worden ist. Die Nachricht in der Form, wie Plutarch
sie mittheilt, lautet überdies so bestimmt, dass es doch wohl allzu-
gewagt wäre, ein Missverständniss anzunehmen^). Es wird demnach
nur die Wahl zwischen folgenden Möglichkeiten bleiben. Entweder,
und das dürfte dem Vorwurfe der Künstlichkeit ausgesetzt sein, wird

^) Plutarchus, Quaest. conviv. VIII, 92, 1 und Vita MarcelU 14, 5.
*) Hankel S. 156 spricht mit apodiktischer Gewissheit, aber durch kein Citat
unterstützt den Satz aus: Wir verdanken Piaton die für die Geometrie so wich-
tige Beschränkung der geometrischen Instrumente auf Zirkel und Lineal. ^) So
haben wir selbst Zeitschr. Math. Phys. XX, bistor.-literar. Abtheilung 133 den
Widerspruch zu beseitigen gesucht.

222 11- Kapitel.

man anrieliuien, Piaton habe, indem er jenen Tadel gegen Eudoxus,
Archytas, Menäclimus aussprach, zugleich beigefügt, es sei ja keine
Kunst eine Würfelverdoppelung mechanisch vorzunehmen, dazu ge-
nüge eine einfache Vorrichtung, wie wir sie oben nach Eutokius
geschildert haben, aber das sei keine Geometrie, denn diese solle und
müsse an ewige und körperlose Gedankenbilder sich halten. Oder
aber, und das ist entschieden das Bequemste, man hält sich nur au
die Notiz des Plutarch, an das Schweigen des Eratosthenes und
schiebt die ganze Mittheilung des Eutokius, wie oben bemerkt, vor-
nehm bei Seite, so weit sie wenigstens auf Piaton Bezug hat. Oder
endlich, und das ist wenigstens das Ehrlichste, wenn kein anderer
Vorzug noch Vorwurf an dieser Möglichkeit haftet, man gesteht zu,
dass hier ein Widerspruch vorliege, den aus dem Wege zu räumen
gegenwärtig keine genügenden Mittel zur Hand sind.

11. Kapitel.
Die Akademie. Aristoteles.

Wir folgen weiter dem Mathematikerverzeichnisse, welches im
nächsten Satze drei Namen vereinigt, indem es sagt:

„In diese Zeit gehört auch Leodamas von Thasos und Archytas
von Tarent und Theätet von Athen, durch welche die Theoreme ver-
mehrt wurden und zu einer strengen wissenschaftlichen Darstellung
gelangten."

Von Leodamas von Thasos haben wir im vorigen Kapitel
erzählt, was allein von ihm bekannt ist, nicht Vieles aber ein Grosses,
dass für ihn (S. 207) Piaton die analytische Methode ersann, be-
ziehungsweise sie ihm mittheilte.

Archytas von Tarent^) mag etwa 430 — 365 gelebt haben,
fast gleichzeitig mit Piaton geboren, an welchen ihn auch, wie wir
wissen, während dessen Aufenthalt in Grossgriechenland (S. 202) ein
enges Freundschaftsverhältniss band. Archytas war seiner Heimath
wie seinem Bildungsgange nach Pythagoräer. Er war Staatsmann
und Feldherr und versah wiederholt die höchsten Aemter in seiner
Vaterstadt. Seinen Tod fand er, wie wir durch Horaz wissen^),

') Jos. Navarro, Tentamen de Archytae Tarentini vita atque operibus
(Kopenliagner Doktordissertation 1819). Gruppe, lieber die Fragmente des
Archytas und der älteren Pythagoräer (Preisschrift der Berliner Akademie 1840).
L. Boeckh, Ueber den Zusammenhang der Schriften, welche der Pythagoräer
Archytas hinterlassen haben soll (Karlsruher Lyceumsprogramm 1841). Chaignet
I, 2.5.5—331. ") Horatius, Lib. I, Ode 28.

Die Akademie. Aristoteles. 223

durch Schifibruch am Vorgebirge Matinum, vielleiclit beim Antritt
einer Reise nach Griechenland. Warum das Mathematikerverzeichniss
ihn gerade hier und nicht schon einige Zeilen früher nennt, ist nicht
ganz klar. Möglicherweise soll durch seine Stellung mitten unter
Männern der Akademie der mittelbare Einfluss bezeugt werden, den
er durch seine früheren nahen Beziehungen zu Piaton auf diese
Schule ausübte. Ueber die Echtheit oder ünechtheit von Bruch-
stücken philosophischen, ethischen, musikalischen Inhaltes, welche
unter dem Namen des Archytas auf uns gekommen sind, herrschen
die entgegengesetztesten uns glücklicherweise nicht kümmernden Mei-
nungen, Während die Einen jene Bruchstücke anerkennen, gehen
die Andern so weit, sie fast insgesammt für Fälschungen eines
alexandrinischen Juden um das Jahr 39 n. Chr. zu halten^). Fast
insgesammt, die mathematischen Bruchstücke nämlich bleiben vom
Zweifel unbehelligt. Wir haben ihrer übrigens schon gedacht. Die
Würfelverdoppelung des Archytas und die wichtigen Folge-
rungen, welche aus ihr für seine stereometrischen Kenntnisse zu
ziehen sind, haben uns im vorigen Kapitel, die Leistungen des
Archytas auf dem Gebiete der Proportionenlehre schon früher
(S. 155) beschäftigt, und auf letztere kommen wir gleich nachher
noch einmal bei Gelegenheit des Eudoxus zu reden. Ein Letztes,
was, wiewohl oben (S. 216) gesagt, hier besonders betont werden
mag, ist, dass Archytas die Mechanik zuerst methodisch behandelte,
indem er sich dabei geometrischer Grimdsätze bediente.

Theätet von Athen, der Piaton nahe genug stand, dass dieser
ihn zur uamengebenden Persönlichkeit eines auch mathematisch lesens-
werthen Gespräches macht, ist seiner Lebenszeit nach nicht genauer
zu bestimmen, als es durch diese eine Angabe geschieht. Seine
Arbeiten müssen der Lehre von dem Irrationalen gewidmet ge-
wesen sein. Er theilte sämmtliche Zahlen in zwei Klassen, in die
der Quadratzahlen, welche durch Vervielfältigung einer Zahl mit einer
ihr gleichen entstehen, und in die Rechteckszahlen, bei welchen die
zu vervielfältigenden Zahlen ungleich gewählt werden müssen^).
Das eintheilende Unterscheidungsmerkmal ist hier demnach Rationa-
lität, beziehungsweise Irrationalität bei der Ausziehung der Quadrat-
wurzel, und man kann hier eine früher (S. 171) von uns angekündigte
Bestätigung derjenigen Vermuthung finden, welche Quadrat und
Heteromekie in der pythagoräischen Kategorientafel des Aristoteles
einfach als Ersatzwörter für Rationalität und Irrationalität erklärt.

*) So besonders Qruppe, der diese These zuerst aufstellte. *) Piaton,
Theaetet pag. 147—148. Vergl. Rothlauf S. 24 ügg.

224 II- Kapitel.

Wenn Theätet sodann fortfährt „in Betrejßf der festen Körper machten
wir es ähnlich" so ist der Sinn dieses Satzes verschiedener Deutung
fähig. Es kann hier auf irrationale Kubikwurzeln angespielt sein^),
möglicherweise auch auf die Ausziehbarkeit oder Nichtausziehbarkeit
von Quadratwurzeln aus Produkten aus je drei Faktoren, Letzteres
ist uns namentlich um deswillen wahrscheinlicher, als jede andere
Notiz darüber, dass der Begriff der Kubikwurzel damals schon be-
kannt gewesen sein sollte — die Aufgabe der Würfelverdoppelung
schliesst ihn noch keineswegs ein — uns fehlt, während von der
Einschaltung eines oder zweier geometrischen Mittel zwischen Körper-
zahleu im platonischen Timäus (S. 153) die Rede war. Eine weitere
Bestätigung dieser unserer Ansicht liegt in einer muthmasslich von
Proklus herrührenden Anmerkung zum X. Buche des Euklid. Der
9. Satz des X. Buches dieses Schriftstellers heisst: Quadrate commen-
surabler Linien verhalten sich wie Quadratzahlen, incommensurabler
Linien nicht Avie Quadratzahlen und umgekehrt. Dazu bemerkt nun
der Scholiast: „dies Theorem ist eine Erfindung des Theätet, und
Piaton gedenkt desselben in dem Dialoge Theätet; nur wird es dort
speciell auseinandergesetzt, hier aber allgemein"^). Noch eine letzte
Angabe über Theätet liefert uns Suidas, er habe zuerst über die
fünf Körper geschrieben'^). Offenbar ist hier an ein zusammen-
hängendes Ganzes zu denken, was nicht ausschliesst, dass schon
vorher Hippasos oder irgend ein Anderer über das Dodekaeder be-
sonders geschrieben haben könnte. Ob auch diese Schrift des Theätet,
wie man behauptet hat^), den Untersuchungen über Irrationales ver-
wandt war, ob insbesondere über das Verhältniss der Kanten dieser
Körper zum Halbmesser der umschriebenen Kugel Betrachtungen von
der Art, wie sie im XIIL Buche des Euklid vorkommen, angestellt
wurden, überlassen wir einzelnem Ermessen. Bestimmtere Angaben
gibt es darüber nicht.

Unser Verzeichniss fährt fort: „Jünger als Leodamas ist Neo-
kleides und dessen Schüler Leon, welche zu dem, was vor ihnen ge-
leistet worden war, Vieles hinzufügten; es hat auch Leon Elemente
geschrieben, die in Bezug auf Umfang und das Bedürfniss der An-
wendung des Bewiesenen sorgfältiger verfasst sind. Ebenso erfand
er den Diorismus, wami das vorgelegte Problem möglich ist und
wann unmöglich."

Diese Sätze ergänzen früher (S. 197 imd 206) von uns Erwähntes.

') So die Meinung Rothiaufs 1. c. *) Knoche, Untersuchungen über
die neu aufgefundenen Scholien des Proklus Diadochus zu Euklids Elementen.
Herford, 1805, S. 24— 26. ^) Suidas ä.v. @£ai&i]Tos. ') Bretschneider S. 148.

Die Akademie. Aristoteles. 225

In PlatoDS Akademie entstand die Frage, ob eine Aufgabe, welche
gestellt war, überhaupt möglich sei, ob man nicht zuverlässig ver-
gebliche Mühe anwende, wenn man ihre Lösung versuche. Diese
Frage musste gestellt werden, sobald die analytische
Methode entstand, die, wie wir gleichfalls sahen, nicht an sich
zu jedesmal richtigen Ergebnissen führte, sondern erst einer Bestäti-
gung durch die Synthesis bedurfte. Flaton hat im Menon eine der-
artige Frage gestellt und beantwortet. Leon dürfte die Nothwendig-
keit der Fragestellung ein für allemal dargethau und vielleicht
den Kunstausdruck Diorismus eingeführt haben, dessen lateinische
Uebersetzung determinatio lautet. Ueber Neokleides wissen wir
den Worten des Mathematikerverzeichnisses nichts hinzuzufügen.
Höchstens können wir den Umstand als besonders bemerkenswerth
erachten, wonach er Leons Lehrer gewesen sei, dieser also nicht als
ausschliesslicher Schüler Piatons unmittelbar betrachtet werden darf

„Eudoxus von Knidos um wenig jünger als Leon und ein
Genosse der Schule Piatons war der erste, welcher die Menge der
Lehrsätze überhaupt vermehrte und zu den drei Proportionen noch
drei hinzufügte; er führte auch weiter aus, was von Piaton über
den Schnitt begonnen worden war, wobei er sich der Analyse
bediente."

Eudoxus^) lebte um 408 — 355. Man weiss, dass er in Knidos
geboren ist, dass er Schüler des Archytas, in seinem 23. Lebensjahre
auch während zwei Monaten Schüler Piatons in Athen war. Zur
Zeit des Königs Nectanabis, welcher zwischen 390 und 380 regierte,
verweilte Eudoxus ein Jahr und vier Monate in Aegypten, wo er mit
Piaton verkehrte, wie Strabon nach ägyptischer Ueberlieferung uns
erzählt. Um 375 stiftete Eudoxus selbst eine Schule in Kyzikus, dem
heutigen Panorma am Marmarameere, kam er mit zahlreichen Schülern
nach Athen, wo er wieder mit Piaton enge verkehrte. Dann aber
kehrte er nach Knidos zurück und starb dort im Alter von 53 Jahren.
Astronom, Geometer, Arzt, Gesetzgeber nennt ihn Diogenes Laertius,
dem die wesentlichsten biographischen Angaben^) über Eudoxus ent-
stammen. Wir haben es hier nur mit dem Geometer zu thuu und

^) Ueber Eudoxus vergl. die bahnbrechende Abhandhing von Ludw. Ideler
in den Abhandlungen der Berliner Akademie von 1828 (S. 189 — 212) und 1829
(S. 49 — 88). Dann hauptsächlich Schiaparelli, Ueber die homocentrischen
Sphäxen des Eudoxus, des Kallippus und des Aristoteles (Abhandig. des lom-
bard. Instituts von 1874, deutsch von W. Hörn in dem Supplementheft zu
Zeitschr. Math. Phys. Bd. XXII). Zwei Progiammabhandlungen der Realschule
Dinkelsbühl für 1888 und 1890 von Hans Künssberg geben eine erschöpfende
Uebersicht. *) Diogenes Laertius VHI, 86—90.

Caktor, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 15

226 11- Kapitel.

wollen zunäcbst von den zwei bestimmten Thatsachen reden, welche
das Mathematikerverzeickniss hervorhebt.

Eudoxus fügte zu den drei Proportionen drei weitere hinzu.
Wir haben (S. 154 — 155) die Analogien und Mesotäten für die Pytha-
goräer in Anspruch genommen, wir haben gesehen, dass der Ursprung
einer bestimmten Proportion nach Babylon verlegt wird, von wo
Pythagoras sie mitgebracht habe, woraus für uns mindestens das folgt,
dass man zur Zeit des Jamblichus wie in Griechenland, so in den
Euphr atiändern jener sogenannten musikalischen Proportion Beach-
tung schenkte. Wir wollen hier über den Unterschied von Ana-
logie und Mesotät einiges einschalten. Die Erklärungen der
griechischen Schriftsteller gehen freilich einigermassen auseinander,
aber fasst man die verschiedenen Stellen alle zusammen, so kommt
man zu folgender Auffassung^). Ursprünglich hiess die geometrische
Proportion avaloyCa^ die Proportion im Allgemeinen, nämlich die
arithmetische, die geometrische, die harmonische und sämmtliche noch
dazu kommende hiessen fieöorTjrfg. Der spätere Sprachgebrauch da-
gegen verwischte diesen Unterschied und liess zuletzt unter Mesotät
nur irgend etwas verstehen, was zwischen gegebenen Aeussersten
lag. Diese Darstellung schliesst zugleich in sich, dass es ursprüng-
lich nur drei solcher Proportionen gab, für welche wir die von
Architas gegebenen Definitionen kennen gelernt haben. Es war die
arithmetische, die geometrische, die entgegengesetzte Proportion,
welche diesen ihren Namen, vTtavavzLu, mit dem durch Archytas und
Hippasos, wie wir von Jamblichus erfahren, eingeführten Namen der
harmonischen vertauschte. Als selbstverständlich ist dabei zu be-
merken, dass nur Proportionen, die aus drei Zahlen gebildet wurden,
in Betracht kamen und mit jenen Namen belegt wurden, also nur
stetige Proportionen sind Mesotäten. Zu den drei alten Meso-
täten kamen drei neue. Das Mathematikerverzeichniss sagt uns
Eudoxus habe dieselben erfunden. Jamblichus berichtet, Archytas
und Hippasos hätten sie eingeführt, Eudoxus und seine Schüler
nur die Namen verändert"). Endlich traten noch vier Mesotäten
hinzu und brachten die Gesammtzahl auf zehn, welche Nikomachus
im IL S. n. Chr. gekannt hat. Durch die Einführung der vier letzten
machten sich, wieder Jamblichus zufolge, Temnonides und Eu-
phranor verdient, Persönlichkeiten, die wir nur aus diesem einzigen
Citate kennen. An bestimmten Zahlenbeispielen können wir am

') Nesselmann, Algebra der Griechen Seite "ilO , Anmerkung 49.
■•') Jamblichus in Nicomachi Arithmeticam ed. Tenuulius pag. 141 tigg.,
159, 163. ,

Die Akademie. Aristoteles. 227

deutlichsten mit dein Wesen der zehn Proportionen uns bekannt
machen. Es bilden die drei Zeilen k, ß, y

die 1 . Proportion a — ß = ß — y wenn a = 'dß==2y=l

2. a : ß = ß : y « = 4/3 = 2 y = 1

3. a : y = {a — ß):(ß — y) « = 6 /3 = 4 y = 3

4. a : y = (ß —y):(a ~ ß) a = 6 ß = 5y = d

5. ß : y = (ß — y):{a — ß) « = 5 /3 = 4 y = 2

6. a : ß = (ß — y):{a — ß) a==6ß = Ay = l

7. a : y = (a — y):{ß — y) a = 9 ß = 8y = 6

8. a : y = (a — y):{a — ß) a = 9 ß = l y = 6

9. ß : y = {a - y):(ß — y) a = 7/3 = 6y = 4
10. ß : y = {a — y):{a — ß) a = 8ß = 5y = ?.

Beim ersten Anblick vermisst mau in dieser Liste, so umfang-
reich sie ist, zwei Proportionen, welche der 3. gegenüber eine ähn-
liche Berechtigung zu haben scheinen, wie 5. und 6. neben 4., nämlich

3a. ß:y = ia-ß):{ß-y)

3b. a:ß = (a-ß):(ß-y).
Bei näherem Zusehen ergibt sich aber, weshalb sie fortblieben. Sie
werden erfüllt, sofern ay = ß'\ sind also in 2. bereits mit einge-
schlossen, beziehungsweise werden durch die gleichen Werthe a, /3, y
erfüllt, welche 2. befriedigen.

Andererseits erscheint es uns Neueren gar verwunderlich, dass
die Griechen alle diese Fälle unterschieden, mit deren sieben letzten
im Grossen und Ganzen gar nichts geleistet ist, dass sie in der Er-
findung derselben etwas hinlänglich Bedeutendes erkennen, um die
Namen derer aufzubewahren, von welchen jene Leistung herrührt.
Wir werden in die griechische Stufenleiter der Werthschätzung uns
hineinfinden können, wenn wir zweierlei erwägen. Erstens, dass eine
grosse Zahlengewandtheit dazu gehörte sämmtliche zehn Verhältnisse
ganzzahlig zu erfüllen, zweitens, dass die aus vier von einander ver-
schiedenen Zahlen gebildete geometrische Proportion mit den aus ihr
abzuleitenden für die Griechen bis zu einem gewissen Grade die
Gleichungen und deren Umformung ersetzte. Die Folgerung von

a:ß = y:d Sini (a -\- ß) : ß ^ (y -\- d) : ö
z. B. spielt bei den Griechen fortdauernd die allerbedeutsamste Rolle.
Stetige Proportionen hatten 7.ur Kenntniss der arithmetischen, der
geometrischen Reihen, jene wieder zur Kenntniss der vieleckigen
Z^len geführt. Was Wunder, dass man weiter experimentirte, dass
man immer neue Verbindungen gleicher Verhältnisse zwischen Zahlen

15*

228 11- Kapitel.

aufsuchte, welche selbst aus drei gegebenen Zahlen additiv oder sub-
traktiv zusammengesetzt waren? Solche neue Proportionen konnten
zu neuen wichtigen Entdeckungen Gelegenheit geben, und thaten sie
es nicht, so boten sie nur ein Beispiel, wie es deren in der Geschichte
aller Wissenschaften gibt, dass Untersuchungen mit hochgespannten
Hoffnungen und Erwartungen begonnen sich allmälig als unfruchtbar
erwiesen.

Eudoxus, sagt uns das Verzeichniss noch, führte weiter aus,
was von Piaton über den Schnitt begonnen worden war, wobei er
sich der analytischen Methode bediente. Der Schnitt, ?j tofir], über
welchen Untersuchungen von Piaton begonnen worden waren, muss,
wie in richtigem Verständniss dieses lange für unerklärbar dunkel
gehaltenen Ausspruches erkannt worden ist^), ein ganz bestimmter
gewesen sein, ein solcher, dem die damalige Zeit die grösste Bedeu-
tung beilegte. Das aber war der Fall mit dem Schnitt der Geraden
nach stetiger Proportion, mit dem sogenannten goldenen Schnitt,
wie die spätere Zeit ihn genannt hat. Der goldene Schnitt tritt nun
grade in Verbindung mit Anwendimg der analytischen Methode in
den fünf ersten Sätzen des XIII. Buches der euklidischen Elemente
auf, nachdem er schon im 11. Buche als Satz 11. gelehrt worden war.
Die Annahme, jene fünf Sätze seien Eigenthum des Eudoxus und
von Euklid in ihrem Zusammenhange pietätsvoll erhalten, hat sonach
eine grosse Wahrscheinlichkeit für sich. Es sei ergänzend nur hin-
zugefügt, dass Eudoxus bei Untersuchungen über die Proportionen-
lehre fast mit Nothwendigkeit auch zu solchen Verhältnissen geführt
werden musste, für welche Zahlenbeispiele nicht möglich wareu, und
deren Behandlung nur geometrisch gelang. Wir sagen, er musste
dahin geführt werden, weil, wie wir (S. 152) im Vorbeigehen bemerkt
haben, der Grieche die Zahl vorzugsweise in räumlicher Versinnlichung
zu betrachten pflegte, und hat Eudoxus sie ebenso betrachtet, dann
verstehen wir, warum das Mathematikerverzeichniss die Leistungen
des Eudoxus in der Proportionenlehre mid um den goldenen Schnitt
in einem Athemzuge ausspricht. Auch das Letztgesagte lässt eine
weitere Beglaubigung zu. Eudoxus hat die Proportionenlehre geo-
metrisch betrachtet, denn ihm gehört nach der Behauptung eines
vermuthlich von Proklus verfassten Scholion das ganze V. Buch des
Euklid, das ist eben das der Proportionenlehre gewidmete, in allen
seinen wesentlichen Theilen au^).

Eine ganz andere Gattung von Untersuchungen des Eudoxus,

') Bretsclineider S. 167 — 168. -) Knoclie, Untersuchungen über die
neu aufgefundenen Scholien des Proklus Diadochus. Herford, 1865, S. 10 — 13.

Die Akademie. Aristoteles. 229

welche nicht minder gut verbürgt sind, hatte stereometrische
Ausmessungen zum Gegenstande. Archimed sagt uns mit aus-
drücklicher Bestimmtheit^), Eudoxus habe gefunden, dass jede Pyra-
mide der dritte Theil eines Prisma sei, welches mit ihr die gleiche
Grundfläche und Höhe habe, ferner, dass jeder Kegel der dritte Theil
eines Cylinders von der Grundfläche und Höhe des Kegels sei.
Archimed deutet dabei den Weg an, welchen Eudoxus bei den Be-
weisen einschlug. Die griechischen Philosophen nannten Xr^ina,
Einnahme, den Vordersatz, von welchem der Dialektiker bei seinen
Schlüssen ausgeht. Dasselbe Wort bedeutete dem Mathematiker
einen zum Gebrauche für das Nächstfolgende nothwendigen, aber
den Zusammenhang einigermassen unterbrechenden Lehnsatz. Von
einem Lemma, welches Eudoxus hier anwandte, sagt uns auch
Archimed. Es lautet wie folgt: „Wenn zwei Flächenräume ungleich
sind, so ist es möglich, den Unterschied, um welchen der kleinere
von dem grösseren ttbertrofi'eu wird, so oft zu sich selbst zu setzen,
dass dadurch jeder gegebene endliche Flächenraum übertrofi'en wird."
Archimed setzt hinzu, mit Hilfe des gleichen Lemma hätten auch
die Alten die Proportionalität des Kreises zum Quadrat des Durch-
messers bewiesen, so dass möglicherweise der Beweis des Hippo-
krates von Chios schon dieses Lemma voraussetzte, und nicht, wie
wir (S. 196) wahrscheinlich zu machen suchten, von einer rechnenden
Betrachtung ausging. Jedenfalls war, wenn auch die erste Keuntniss
des Lemmas als solchen dem Eudoxus entrückt werden zu müssen
scheint, seine Leistung eine sachlich wie methodisch hervorragende,
und wir haben ihn als einen der ersten Bearbeiter des Exhaustions-
verfahrens unter allen Umständen zu nennen.

Noch eine dritte Gruppe von geometrischen Untersuchungen des
Eudoxus darf nicht schweigend übergangen werden. Eudoxus ist
Erfinder einer Curve, welche zwar in der Astronomie ihre wesent-
liche Anwendung gefunden hat, aber darum nicht weniger der Geo-
metrie angehört"). Sie wurde von ihm selbst Hippopede, das heisst
Pferdefessel, genannt, und Xenophon beschreibt sie in seinem Buche
über die Reitkunst als die Art des Laufes, welche beide Seiten des
Pferdes gleichmässig ausbilde und jegliche Wendung zu machen ge-
statte. Auch heutigen Tages sucht man durch das sogenannte Achter-

') Archimedes (ed. Heiberg) I, 4 lin. 11 — 14 und II, 296 lin. 9—20.
*) Ueber diese Curve vergl. den V. Abschnitt des vorher ei-wähnten Aufsatzes
von Schiaparelli, deutsche Uebersetzung S. 137 — 155 und Knoche und
Maerker (Ex Prodi successoris in Eudidis elementa commentariis defmitionis
quartae expositionem quae de recta est linea et sectionibus spiricis^ commentati
sunt Knoche et Maerker). Herford, 1856.

230 II' Kapitel.

reiten die gleiche Wirkung hervorzubringen, und so wird sehr wahr-
scheinlich, dass es eine schleifenartige Curve war, welche Eudoxus
so benannte. Damit stimmen Stellen des Proklus überein, welche
die Hippopede eine spirische Linie nennen, und welche bezeugen,
dass sie einen Winkel bilde, indem sie sich selbst schneide^). Wir
werden von dem Erfinder der spirischen Linien noch später zu reden
haben. Jetzt dürfen wir aber schon bemerken, dass man unter
Spire, öTiEiQa, einen sogenannten Wulst versteht, d. h. einen ring-
förmigen Rotationskörper, welcher durch die Drehung eines Kreises
um eine in seiner Ebene liegende aber nicht durch den Mittelpunkt
gehende Gerade erzeugt wird^), einen Körper, dessen Hälfte in der
Würfelverdoppelung des Archytas (S. 215) vorkommt, erzeugt durch
die Verschiebung eines senkrechten Halbkreises über einem wag-
rechten. Schneidet mau diesen Wulst durch eine der Drehungsaxe
parallele Ebene, so entsteht eine spirische Linie, deren Gestalt je nach
der Entfernung der Schnittebene von der Drehungsaxe eine dreifache

sein kann (Figur 39). Ist die schnei-
dende Ebene von der Drehungsaxe
weiter entfernt als der Kreismittelpunkt,
so entsteht eine ovale in sich zurück-
laufende Linie, welche Proklus als in
der Mitte am breitesten und gegen die
Enden sich verengernd schildert. Geht
die Ebene von der Axe aus geseheii
diesseits des Mittelpunktes des erzeu-
genden Kreises, aber immer noch durch
den ganzen Wulst, so ist die Curve
nach den Worten desselben Schrift-
^*^' ^^- stellers länglich, in der Mitte einge-

drückt und breiter an den beiden Enden. Die Schleifenlinie entsteht,
wenn die Schnittebene der Axe noch näher rückt, so dass sie den
Wulst an einem inneren Punkte berührt, welcher alsdann der Doppel-
punkt der Curve ist. Die genaueren Eigenschaften der Hippopede
des Eudoxus auseinanderzusetzen ist hier um so weniger der Ort,
als dieselben in den Quellen nicht angegeben sind, man also in voll-
ständiger Ungewissheit sich befindet, wie viel oder wie wenig von
dem, was man auseinandersetzt, dem Eudoxus selbst bekannt gewesen
sein kann.

Das Letzte, worüber wir noch zu berichten hätten, wären die

') Proklus (ed. Friedlein) pag. 127, 128, 112. 2) Proklus (ed. Fried
lein) pag. 119. Heron Alexaiidrinus (ed. Hultsch) pag. 27, Definit. 98.

Die Akademie. Aristoteles. 231

Bogenlinieiij HuyinvXccL yQ^^al, mittels deren Eudoxus die Würfel-
verdoppelung vollzog. Eudoxus den Gottähnliclien nennt ihn Era-
tosthenes mit Rücksiclit auf diese Leistung in einem Epigramm,
welches den Schluss seines Briefes an König Ptolemäus über die
Würfelverdoppelung bildet. Es muss also gewiss eine hervorragende
Arbeit gewesen sein. Welcher Art aber jene Bogenlinien gewesen
sein mögen, darüber fehlt auch die dürftigste Angabe, so dass wir
keinerlei Vermuthung Ausdruck zu geben im Stande sind.

Das Mathematikerverzeichniss vereinigt nun wieder drei Namen,
von welchen zwei uns schon bekannt geworden sind: „Amyklas von
Heraklea, einer von Piatons Gefährten, und Menächmus, der Schüler
des Eudoxus und auch mit Piaton zusammenlebend, und sein Brader
Diuostratus machten die gesammte Geometrie noch vollkommener."

Ueber Amyklas und seine Verdienste wissen wir gar nichts.
Menächmus^) war jener Würfelverdoppler , welcher Parabel und
Hyperbel bei der Lösung seiner Aufgabe benutzte. Wir haben seine
Auflösungen durch Eutokius kennen gelernt (S. 217) und ims aus
denselben klar zu machen gesucht, wie viel Kenntnisse aus der Lehre
von den Kegelschnitten Menächmus bereits besessen haben muss.
Wir erinnern uns aus demselben Berichte des Eutokius, dass Isidorus
von Milet einen Parabelzirkel erfunden hat. Nun kommt allerdings
in dem oft benutzten Briefe des Eratosthenes der Satz vor (S. 199),
die Zeichnungen der verschiedenen Würfelverdoppler hätten sich nicht
leicht mit der Hand ausführen und in Anwendung bringen lassen
„ausser etwa einigermassen die des Menächmus, doch auch nur müh-
sam". Man hat daraus den Schluss gezogen, Menächmus habe bereits
gewisse Vorrichtungen zur Zeichnung seiner Curven gekannt, und
unmöglich ist diese Deutmig nicht. Einen eigentlichen Widerspruch
gegen die bei Eutokius vorkommende Bemerkung bildet sie gewiss
nicht, da erstens die Vorrichtungen des Menächmus keine Zirkel ge-
wesen zu sein brauchen und zweitens Eutokius nicht sagt, dass man
vor der Erfindung, die er seinem Lehrer nachrühmt, Parabel und
Hyperbel nicht mechanisch habe zeichnen können. Dass die Namen
Parabel vmd Hyperbel jüngeren Datums als Menächmus sind, haben
wir betont. Sie gehören dem Apollonius von Pergä an. Die
Namen, welche vorher in Uebung waren, gehen ebenso wie die Ent-
stehung jener Curven aus einer durch Eutokius in seinem Commen-
tare zu Apollonius uns erhaltenen Stelle des Geminus hervor^). Die

') Max C. P. Schmidt, Die Fragmente des Mathematikers Menächmus
in der Zeitschrift „Philologus" (1882) Bd. 1, 2, S. 72—81. ^) Apollouii Co-
nica (ed. Heiberg). Leipzig, 1891—1893. II, 168.

232 11- Kapitel.

Alten kannten nur grade Kreiskegel und definirten dieselben als
durch die Umdrehung eines rechtwinkligen Dreiecks um die eine
seiner Katheten entstanden. Sie unterschieden aber drei Gattungen
solcher Kegel, je nachdem die Umdrehungsaxe mit der Hypotenuse
des den Kegel erzeugenden Dreiecks einen Winkel machte, der kleiner,
gleich oder grösser als die Hälfte eines rechten Winkels war. Der
Winkel an der Spitze des Kegels wurde natürlich doppelt so gross,
also in den drei Fällen spitz, recht oder stumpf. Nun schnitt man
jeden Kegel durch eine zur Kegelseite, d. h. zur Hypotenuse des er-
zeugenden Dreiecks senkrechte Ebene und erhielt so die dreierlei
Curven, welche ihrer Hervorbringung gemäss Schnitt des spitz-
winkligen, des rechtwinkligen und des stumpfwinkligen
Kegels genannt wm'den. Schon Demokritus von Abdera (S. 180)
scheint Kegel durch dem Grundkreise parallele Ebenen durchschnitten
zu haben. Die bei sonstigen Schnitten auf der Kegeloberfläche her-
vortretenden Curven hat er indessen wohl kaum beobachtet, da wieder
Geminus in einer anderen durch Proklus uns aufbewahrten Stelle
versichert, Menächmus habe die Kegelschnitte erfunden^). Eben das-
selbe geht auch aus einer Bemerkung des Eratosthenes hervor. In
jenem Epigramme nämlich, mit Avelchem er seinen Brief über die
Würfelverdoppelung beschliesst, und in welchem er Eudoxus den
Göttlichen nennt, wie wir oben sagten, spricht er von den aus dem
Kegel geschnittenen Triaden des Menächmus.

Menächmus, der Entdecker der Kegelschnitte und einiger ihrer
Haupteigenschaften, scheint aber nicht im Zusammenhange von den-
selben gehandelt zu haben. Wenigstens sagt uns Pappas, dass ein
gewisser Aristäus der Aeltere zuerst über die Elemente der Kegel-
schnitte fünf Bücher herausgab. An einer zweiten Stelle erzählt er
uns, dass Euklid dem Aristäus nachgerühmt habe, dass er sich durch
die Herausgabe der Kegelschnitte verdient gemacht habe. Eine dritte
Stelle des Pappus bestätigt endlich, was wir vorher nach Geminus
über die Namen sagten, indem es dort heisst, Aristäus und alle
anderen Mathematiker vor Apollonius nannten die drei Kegelschuitt-
linien den Schnitt des spitzwinkligen, rechtwinkligen und stumpf-
winkligen Kegels^). Demselben Aristäus rühmt Pappus an der gleichen
Stelle auch noch nach, dass er die bis jetzt einzig vorhandenen fünf
Bücher körperlicher Oerter in Zusammenhang mit den Kegel-
schnitten verfasst habe, und Hypsikles weiss im zweiten vorchrist-
lichen Jahrhundert, dass er eine Vergleichung der fünf regel-

') Proklus (ed. Friedlein) pag. 111. ') Alle drei Stellen bei Pappus,
VII, Praefatio (ed. Hultscli) 672, 676 und wieder 672.

Die Alitidemie. Aristoteles.

233

massigen Körper verfasste^). Das Zeitalter des Aristäus des
Aelteren lässt sich aus diesen Angaben ziemlich genau ableiten.
Er muss mit seinem Werke über die regelmässigen Körper später
als Theaetet, der ziierst über diesen Gegenstand schrieb, mit seinem
Werke über die Kegelschnitte später als Menächmus, der diese Curven
entdeckte, früher als Euklid, der das Werk lobte, aufgetreten sein.
Mau wird folglich keinenfalls weit fehlgehen, wenn man die schrift-
stellerische Thätigkeit des Aristäus auf die Jahrzehnte um 320 be-
stimmt. Das IMathematikerverzeichniss schweigt auffallender Weise
über diesen ohne allen Zweifel hervorragenden Mann, und auch die
anderen Quellen lassen uns im Stiche, wenn wir die Frage aufwerfen,
wer wohl der Aristäus der Jüngere war, in Gegensatz zu welchem
Pappus von dem Aelteren redet?

.Menächmus muss, wie wir soeben begründet haben, vor Aristäus
gesetzt werden. Der Zeit nach könnte er mithin leicht Mathematik-
lehrer Alexanders des Grossen gewesen sein, wie in einem allerdings
an sich wenig glaubwürdigen Geschichtchen erzählt wird").

Dinostratus, der Bruder des Menächmus, bediente sich Pappus
zufolge zur Quadrirung des Kreises jener krummen Linie, deren Er-
findung wir für Hippias von Elis in Anspruch nehmen mussten, und
welche muthmasslich nur von ihrer neuen Anwendung den Namen
der Quadratrix erhielt (S. 183). Auch über das dabei eingeschlagene
Verfahren gibt Pappus uns erwünschte Auskunft^). Es wird nämlich
zunächst die Länge des Kreisquadranten gesucht und alsdami
der Inhalt des Kreises als Hälfte des Rechtecks berechnet, welches
die Kreisperipherie, oder das Vierfache des Quadranten, zur Grund-
linie und den Kreishalbmesser zur Höhe hat. Jene Länge des Qua-
dranten aber ist erstes Glied einer stetigen
geometrischen Proportion, deren Mittelglied
der Halbmesser und deren letztes Glied
die Entfernung des Kreismittelpunktes von
dem Endpunkte der Quadratrix ist (Fi-
gur 40). Wäre nicht, wie behauptet wird,
BEzJ : r^ = rzJ : F®, so wäre etwa
BEzl : r^ = r^ : rX und FK > r&.
Man beschreibe mit F als Mittelpunkt und
PK als Halbmesser einen zweiten Qua-
dranten ZHK, welcher die Quadratrix in H schneidet. Da die Pro-
portionalität der Quadranten und ihrer Halbmesser BEzi : ZHK
= r^ : FK zur Folge hat, so verbindet sich dieses Verhältniss mit

') Hypsikles, Buch von den fünf regelmässigen Körpern^ Satz 2. ^) Vergl.
Bretschneider 162—163. ^) Pappus IV, 26 (ed. Hultsch) pag. 256.

234

11. Kapitel.

dem Vorhergeliendeu zu ZHK=r^ = Br. Wegen der Gruiid-
eigenschaft der Quadratix ist aueli Bogen BE/I : Bogen E^ = BF: Hyl
und, weil die concentrischen Quadranten BE^^ ZHK durcli den
Halbmesser FHE geschnitten sind, ist ferner Bogen BE^ : Bogen
j^z/= Bogen ZifüC: Bogen i/üT = ß F : Bogen HK. Daraus folgt
wieder durch Verbindung zweier Verhältnisse
Bogen HK = HA , was unmöglich ist. Die
Annahme, dass der Punkt K zwischen F und &
fiele, mithin FK < r& wäre (Figur 41) führt
gleichfalls zu Widersprechendem. Man be-
schreibt wieder mit F als Mittelpunkt und FK
als Halbmesser einen Quadranten, so muss
Avieder BEA : ZMK = BF: FK sich verhalten.
Voraussetzungsmässig ist BEzJ :BF= BF: FK,
mithin Z MK = BF. Ferner findet das Verhältniss statt Bogen
ZMK : Bogen MK = Bogen BEzJ : Bogen Ezl und, weil BH&
Quadratrix ist, auch Bogen BEzJ : Bogen EJ = BF: HK, folglich
Bogen ZMK : Bogen MK = BF: HK. In dieser Proportion ist, wie
oben gezeigt wurde, das erste und dritte Glied übereinstimmend, also
muss das Gleiche für das zweite und vierte Glied stattfinden, d. h.
es muss Bogen MK = HK sein, und das ist nicht möglich. Der
Punkt K, dessen Entfernung vom Mittelpunkte F das Schlussglied
der Proportion bildet, deren Anfangsglied die Quadrantenlänge und
deren Mittelglied der Halbmesser ist, kann also weder rechts noch
links von & fallen und muss deshalb & selbst sein.

Dieser Beweis ist der erste indirekte Beweis, welchem wir be-
gegnet sind, wenn wir auch keineswegs annehmen, hier sei wirklich
zuerst die Zurückführung auf Widersprüche vorgenommen worden.
Die analytische Methode, das haben wir ja gesehen, musste den Be-
weis aus dem Gegeiitheil bevorzugen, als denjenigen, der eine nach-
folgende Synthese entbehrlich machte (S. 208), und so wird auch
wohl spätestens mit dieser Methode der apagogische Beweis entstanden
sein — spätestens, denn es ist keineswegs unmöglich, dass er zum
Zwecke der dem Hippokrates schon nicht fremden Exhaustion er-
funden worden wäre. Zu dem bewiesenen Satze selbst wollen wir
noch besonders hervorheben, was wir oben gelegentlich gesagt haben.
Der Name der Quadratrix darf uns nicht irren, als ob es hier wirk-
lich um eine Quadratur sich handelte. Diese folgt erst in zweiter
Linie. Eine Rectification des Kreisquadranten ist vielmehr vor-
genommen, und zwar dürfte es das erste Mal gewesen sein, dass
diese Aufgabe behandelt wurde, um welche von jetzt an die Zahl der
grossen Probleme der Geometrie vermehrt ist.

Die Akademie. Aristoteles. 235

„Theyclius von Magnesia sclieint sowolil in der Mathematik
als auch in der übrigen Philosophie bedeutend zu sein; er schrieb
auch sehr gute Elemente, wobei er vieles Specielle verallgemeinerte.
Ganz ebenso war Kyzikenus von Athen oder Athenaeus von
Kyzikus, denn die griechische Form 6 Kvt,ixrjv6g '^d-'^vaiog kann
beide Bedeutungen haben und ist bald so, bald so übersetzt worden^),
um die nämliche Zeit lebend, sowohl in den anderen Wissenschaften
als ganz besonders auch in der Geometrie berühmt. Alle diese ver-
kehrten in der Akademie mit einander, indem sie ihre Untersuchungen
gemeinschaftlich anstellten. Hermotimus von Kolophon führte
das früher von Eudoxus und Theaetet Gefundene weiter aus, ent-
deckte vieles zu den Elementen Gehörige und schrieb Einiges über
die Oerter. Philippus von Mende, des Piaton Schüler und von
ihm den Wissenschaften zugeführt, stellte nach Piatons Anleitung
Untersuchungen an und nahm sich das zur Bearbeitung, wovon er
glaubte, dass es mit Piatons Philosophie zusammenhänge. Die nun
die Geschichte geschrieben haben, führten bis zu diesem Punkte die
Entwicklung der Wissenschaft fort."

So der Schluss des alten Mathematikerverzeichnisses. Von den
vier Männern, welche hier genannt sind, ist einer uns schon bekannt:
Philippus von Mende. Es ist kaum einem Zweifel unterworfen,
dass er derselbe ist, wie Philippus Opuntius (von Opus)^'), dass
er ein bedeutender Astronom war, zuerst wahrscheinlich mit optischen
Untersuchungen sich beschäftigte und insbesondere den Regenbogen
als Brechungserscheinung erkannte. Von den Arbeiten über Viel-
eckszahlen war (S. 158) die Rede. Auch die Literaturgeschichte ist
unserem Philippus zu Dank verpflichtet, als demjenigen, der die 12
Bücher Gesetze des Piaton herausgab und ein 13. Buch, die sogenannte
Epinomis, als Anhang verfasste. Von den drei übrigen Persönlich-
keiten dagegen wissen wir nichts, wenn wir von dem sehr allgemein
gehaltenen Ausspruche des Verzeichnisses selbst absehen, Hermotimus
habe über die Oerter geschrieben. Ein geometrischer Ort im Allge-
meinen ist der Inbegriff von Punkten, welche insgesammt gCAvisse
Bedingungen erfüllen, die hinwiederum durch keinen Punkt ausser-
halb des geometrischen Ortes erfüllt werden. Pappus sagt uns weiter,
dass man verschiedene Arten von Oertern unterschied^). Ebene
Oerter, roTtot sjiLTisdoL, wurden die genannt, welche gerade Linien
oder Kreislinien sind; körperliche Oerter, ro';roi Gtsqsol, die, welche

^) Bretschneider hat die erste, Friedlein die zweite Uebersetzung an-
genommen. ') Aug. Böckh, Ueber die vierjährigen Sonnenkreise der Alten
(Berlin 1863) S. 34—40. ^) Pappus VIT, Praefatio (ed. Hultsch) pag. 662
und 672.

236 11- Kapitel.

Kegelschnitte sind; lineare Oerter, roTtoL yQa^i^imn, die weder gerade
Linien, nocii Kreislinien, noch Kegelselinitte sind. Es muss dabei
einigermassen auffallen, dass nach einer Nachricht, die wir ebendem-
selben Pappus verdanken, Aristäus der Aeltere in zwei verschiedeneu
Schriften über Kegelschnitte und über körperliche Oerter geschrieben
haben soll. Man muss wohl annehmen, dass das eine Mal sein Zweck
dahin ging, Eigenschaften der Kegelschnitte auseinander zu setzen,
das andere Mal Aufgaben zu lösen, bei denen Kegelschnitte als Mittel
zur Auflösung dienten.

Wenn von Allen zugleich behauptet wird, sie hätten in der
Akademie verkehrt, so kann dieser Verkehr auch stattgefunden haben,
nachdem der Stifter dieser Schule gestorben war. Piatons unmittel-
barer Nachfolger war Speusippus, Sohn der Potoue, der Schwester
Piatons. Er schrieb über die pythagoräischen Zahlen, und ein Bruch-
stück dieses artigen Büchleins — ßißUdiov yXacpvQÖv — hat sich
nebst dieser lobenden Benennung bei einem späten Schriftsteller er-
haltenO- Es ist darin von linearen Zahlen, von vieleckigen Zahlen,
von Dreiecken, von Pyramiden die Rede, so dass dadurch der alt-
pythagoräische Ursprung aller dieser arithmetischen Begriffe immer
unzweifelhafter wird. Zweiter Nachfolger Piatons war dann Xeno-
krates (geboren um 397, gestorben um 314), der Avahrscheinlich 339
V. Chr. die Leitung der Akademie übernahm. AVir haben (S. 203)
dessen bekannten Ausspruch über die Mathematik als Handhabe der
Philosophie angeführt. Wir haben (S. 108) erwähnt, dass er mög-
licherweise eine historische Schrift über die Geometer verfasst hat,
welche, wie wir jetzt nach Diogenes Laertius ergänzen, aus fünf
Büchern bestand. Noch andere vielleicht mathematische Schriften
von ihm werden uns durch den gleichen Gewährsmann genannt^)
Leider sind es nur Ueber Schriften, die auf uns gelangt sind, ohne
selbst die leiseste Andeutung über den Inhalt. Nur über eine Lei-
stung des Xenokrates ist uns eine kurze Notiz erhalten, welche be-
dauern lässt, dass sie so kurz ist. Er habe auch gezeigt, sagt Plu-
tarch, dass die Anzahl der aus allen Buchstaben zusammensetzbaren
Silben 1002 000 000 000 betrage^). Die Frage ist eine wesentlich
combiuatorische. Combinatorisch ist, wenn man will, bis zu einem
gewissen Grade die Bemerkung Piatons von den 59 Theilern, welche

^) Theologuuiena Arithmeticae (ed. Ast). Leipzig 1817, pag. 61 — 62. Eine
mit Erläuterungen versehene Uebersetzung der ganzen Stelle bei P. Tannery,
Pour riiistoire de la scieuce Hellene, pag. 386—390. -) Diogenes Laertius
IV, 13. ^) Plutarchus, Quaest. Conviv. VIII, 9, 13: StvoKQccrrjg Si: zov xätv
cvXXa^ihv ccQi^iibv ov ru 6rQi%tLa ynyvviitva TtQog allrjXa TtctQ^x^^ l.l^'Ql(x^cov ani-

Die Akademie. Aristoteles. 237

in 5040 enthalten seien (S. 213). Allein dort schien es uothwendig
zuzugeben, dass eine empirische Zählung zu diesem Ergebnisse ge-
führt haben werde. Bei der Aufgabe des Xenokrates schliesst die
Grösse der Zahl jede Zählung, ihre Abweichung von einer runden
Zahl jede allgemein kingeworfene Abschätzung aus. Xenokrates muss
gerechnet, nach einer combinatorischen Formel gerechnet haben, und
wenn dieselbe auch offenbar unrichtig gewesen sein muss, so wäre
es nicht weniger wissenswerth, die Formel und ihre Ableitung zu
kennen. Eine Wiederherstellung derselben aus jener Zahl ist uns
nicht gelungen.

Suchen wir ganz kurz zusammenfassend unserem Gedächtnisse
einzuprägen, welcherlei Bedeutung Piaton, seine ausserhalb des Pytha-
goräismus stehenden Vorgänger und seine eigenen Schüler für die
Entwicklung der Mathematik besassen. Die Mathematik gewinnt in
dieser Zeit an Umfang in einem zweifachen Sinne dieses Ausdrucks.
Der Umfang nimmt zu durch neu entdeckte Sätze und Methoden.
Der Umfang nimmt zu durch die Zahl der Persönlichkeiten, die mit
Mathematik sich beschäftigen. Die letztere Zunahme begründet sich
durch die Nothwendigkeit, durch die Mathematik hindurch zur
Philosophie zu gelangen. Die Neuentdeckungen gehören zu einem
Theile den Elementen an, welche seit Hippokrates in wiederholter
Ausarbeitung durch Leon und durch Theydius sich wesentlich ver-
vollkommnen. Die philosophisch begründenden Kapitel der Mathe-
matik bilden sich. Definitionen werden ausgesprochen. Methoden
werden erfunden. Fragen nach der Möglichkeit des Geforderten, an
die man früher kaum dachte, bilden jetzt eine unbedingte Voraus-
aussetzung. Aber diese Methoden, vornehmlich die Analyse und der
Diorismus, äussern ihre hauptsächliche Wichtigkeit in der Lehre von
den Oertern, in der höheren Mathematik des Alterthums, welcher
der andere Theil der Neuentdeckungen augehört. Es sind der Haupt-
sache nach drei Probleme, durch welche die höhere Mathematik, der
Zirkel und Lineal nicht genügen, hervorgerufen wird: die Quadratur
des Kreises, in der Form, wie Dinostratus sie behandelt, die ßectifi-
cation mit einschliesseud, die Dreitheilung des Winkels, die Ver-
doppelung des Würfels. Die beiden letzten Probleme führen zur
Erfindung mannigfacher Curven, unter welchen die Kegelschnitte
durch die später gewonnene Ausbildung ihrer Lehre an Wichtigkeit
hervorragen. An sich aber sind sie kaum merkwürdiger als jene
anderen krummen Linien, von denen eine, durch Archytas zum Zwecke
der Würfelverdoppelung ersonnen, sogar eine Linie doppelter Krüm-
mung ist. Die Kreisquadratur hat noch eine besondere Seite, mittels
deren die höhere Mathematik des Alterthums mit der der Neuzeit

238 11- Kapitel.

sich berührt. Sie erfordert Infinitesimalbetrachtungen. Das Unend-
lichgrosse wie das Unendlichkleine sind dem Alterthume keineswegs
fremd. Nur wagte man nicht — zunächst vielleicht aus Scheu vor
Angriffen, wie die eleatische Schule sie übte — eine unmittelbare
Benutzung des Unendlichen sich zu gestatten. Die mittelbare Methode
der Zurückführung auf das Unmögliche, später für diese Gattung von
Aufgaben unter dem Namen der Exhaustion bekannt, diente zum
Ersätze und zeigte sich als so wirksam, dass von nun an ein anderes
Beweisverfahren gar nicht mehr gestattet worden wäre. So bleibt
der Form nach die gesammte Mathematik einheitlich gestaltet als
Geometrie, ohne dass ein äusserer Unterschied der Beweisführung
zwischen niederer und höherer Geometrie obwaltete. Auch die Arith-
metik fügt sich diesem einheitlichen Zusammenhange, sie nimmt mehr
und mehr ein geometrisches Gewand an, dessen sie auch in dem nun
folgenden Jahrhunderte, in der Glanzperiode griechischer Mathematik,
sich nicht entkleiden wird.

Mit diesem Ueberblicke könnten wir füglich dieses Kapitel
schliessen. Wir sollten es vielleicht. Ganz äusserliche Gründe be-
stimmen uns einen kurzen Anhang nachzuschicken und in demselben
Dinge zur Sprache zu bringen, die zur Bildung eines eigenen Kapitels
stofflich nicht ausreichend den einheitlichen Charakter des folgenden
Kapitels nur noch viel mehr entstellen würden, wenn wir vorzögen
sie dorthin zu verweisen. Wir meinen die mathematische Bedeutung
von Aristoteles und seinen nächsten Schülern.

Aristoteles^) ist 384 geboren, 322 gestorben. Seine Vater-
stadt Stagira lag in der thrakischen, aber grösstentheils von Griechen
bewohnten Landschaft Chalkidike; sein Vater war Leibarzt des
Königs Amyntas von Makedonien. Diese beiden Erbüberlieferungen
beeinflussten sein Leben. Griechenland hat ihn gebildet, durch Make-
doniens Könige hat er einen wesentlichen Theil seiner grossartigen
Kulturmission ausgeübt. Aristoteles war im 18. Jahre seines Lebens
in die platonische Schule in Athen eingetreten, wo er Mitschüler des
Xenokrates war, und verliess diese Stadt, in welcher er übrigens
auch selbst eine Rednerschule im Gegensatze zur Akademie eröffnete,
im Jahre 347 nach Piatons Tode. Von 343 bis 340 etwa war er
als Erzieher Alexanders des Grossen am makedonischen Hofe, ver-
wandte dann die nächsten Jahre zur Abfassung von für seinen Zög-
ling bestimmten Schriften und eröffnete etwa 334 in Athen bei dem
Tempel des Apollo Lykeios seine Vorträge. Lustwandelnd in den
Baumgängen des anstossenden Gartens wurden die Peripatetiker

') Vergl. Zeller, Die Philosophie der Griechen. Bd. U, 2 S. 1 flgg.

Die Akademie. Aristoteles. 239

die zahlreichste Philosophenschule. Die Beziehungen des Aristoteles
zu Alexander blieben auch aus der Ferne die besten, bis 328 die
Leidenschaftlichkeit des aufbrausenden Fürsten einen unheilvollen
Riss hervorbrachte. Das hinderte freilich nicht, dass die nach
Alexanders Tode 322 sich aufraffenden Athener Aristoteles mit ihrem
Hasse bedrohten. Er floh nach Chalkis und starb dort innerhalb
Jahresfrist.

Wir haben von den Leistungen des grossen Stagiriten hier nur
einen kleinsten Bruchtheil zu besprechen. Seine astronomischen,
seine physikalischen, seine naturbeschreibenden Schriften kümmern
uns als solche nicht. Seine eigentlich philosophischen Werke haben
für uns nur mittelbare Bedeutung. So haben wir dessen, was er in
seiner Physik über das Unendlichgrosse und das Unendlichkleine sagt,
schon früher (S. 191) gedacht, und mit Bewunderung bei ihm eine
Auffassung erkannt, welche den Anschauungen unserer eigenen Zeit
recht nahe kommt.

Man könnte vielleicht erwarten, dass wir in den Schriften des
Aristoteles die zahlreichen Beispiele absuchten, welche der Geometrie
und der Arithmetik entnommen sind^). Wir werden uns dieser Mühe
nicht unterziehen, denn nur verhältnissmässig wenige dieser Stellen
besitzen eine geschichtliche Bedeutsamkeit. Auf Einiges durften wir
hinweisen, als wir mit der Mathematik der Pythagoräer uns be-
schäftigten, so insbesondere auf die Erklärung des Gnomon (S. 151),
auf das Vorkommen des Wortes Dreieckszahl (S. 157), auf den Be-
weis der Irrationalität von ]/2 (S. 170), welche uns werthvoll waren.
Auf Anderes wollen wir jetzt die Aufmerksamkeit lenken, an den
viel häufigeren uns unwichtig scheinenden Stellen mit Schweigen
vorübergehend. Wir erwähnen zunächst, dass, während bei Piaton
der Gegensatz der Rechenkunst und der Zahlenlehre, Logistik und
Arithmetik, scharf imd bestimmt vorhanden war, erst bei Aristoteles
ein ähnlicher Gegensatz zwischen der Feldniesskunst und der wissen-
schaftlichen Raumlehre, Geodäsie und Geometrie, nachweisbar
ist^). Wir können anführen, dass Aristoteles weiss, dass eine cylin-
drische Rolle, welche durch eine Ebene parallel oder geneigt zur
Endfläche geschnitten wird, im aufgerollten Zustande das eine Mal
eine grade Linie, das andere Mal eine Curve zeigt ^), dass ihm somit

*) Eine derartige wenn auch niclit vollständige Zusammenstellung hat ein
bologneser, dem Jesuitenorden angehöriger Professor der Mathematik Bian-
cani (Blancanus) unter dem Titel Armotelis loca mathematica 1615 veröffent-
licht. °) Aristoteles, Metaphys. II, 2 aficc Ss ovdh tovto aXrj&ig, cog i} ytco-
daiaia räv ciL6&i]tü)V ioTi ^tyt&üv yiul cp&aQröäv. ^) Aristoteles Problem.
XVI, 6.

240 11- Kapitel.

der Cylindersclinitt neben dem Kegelschnitte schon bis zu einem
gewissen Grade merkwürdio- war. Wir können hinweisen auf Ari-
stoteles als vermuthlich den ersten, der die so bedeutsame Frage
sich vorlegte, warum wohl nahezu alle Menschen nach der Grund-
zahl 10 zählen, und der in der Fingerzahl unserer Hände den Grund
erkannte^). Wir finden auch bei Aristoteles den Keim zu einem
Gedanken, der der fruchtbarsten einer für die ganze Mathematik ge-
worden ist. Aristoteles bezeichnete nämlich unbekannte Grössen,
und zwar nicht bloss Längen, durch einfache Buchstaben des Alpha-
betes^). Eine Stelle lautet z. B.: Wenn A das Bewegende, B das Be-
wegtwerdende, T aber die Länge, in welcher es bewegt worden ist,
und /i die Zeit ist, in welcher es bewegt worden ist, so wird die
gleiche Kraft wie A in der gleichen Zeit auch die Hälfte des J5
doppelt so weit als F bewegen, oder auch in der Hälfte der Zeit A
gerade so weit als T. Man hat in diesen und ähnlichen Sätzen der
Physik des Aristoteles die Ahnung des Principes der virtuellen
Geschwindigkeit gefunden'').

Andere mechanische Betrachtungen hat Aristoteles in einem be-
sonderen Werke*) niedergelegt, bei welchem wir einen Augenblick
verweilen müssen. Die Echtheit der Mechanik des Aristoteles ist
allerdings mehrfach geleugnet worden, und unter den Zweiflern be-
finden sich Männer, die, wenn auch dem Inhalte jenes W'erkes gegen-
über Laien, jedenfalls mit der Ausdrucksweise des vermutheten Ver-
fassers aufs Genaueste bekannt waren ^). Wir besitzen selbst die
sprachlichen Kenntnisse nicht in dem Maasse, welches erforderlich
wäre um über die Berechtigung oder Nichtberechtigung der Aus-
scheidung der Mechanik zu entscheiden. So viel dürfte indessen zu
behaupten sein, dass die Mechanik im aristotelischen Geiste verfasst
ist, dass ein innerer Widerspruch gegen andere Schriften des grossen
Gelehrten nicht nachgewiesen ist. Behaupten darf man auch, dass
die Möglichkeit einer aristotelischen Mechanik ebensowenig geleugnet
werden kann als die geistige Bedeutsamkeit " der unter diesem Titel
auf uns gekommenen Schrift,

1) Aristoteles Problem. XV. -) Aristoteles, Pliysic. VII und VIII
passim z. B. Bd. I, pag. 240 — 250 der Aristoteles-Ausgabe der Berliner Akademie.
^) Poggendorff, Geschichte der Physik. Leipzig, 1879, S. 242. '') Aristotelis
Quacstiones mechanicae ed. J. P. van Cappelle. Amsterdam, 1812. Vergl. auch
eine Abhandlung von Burja, Sur les connaissances mathematiques d'Aristote in
den Memoires de Vacademie de Berlin für 1790 und 1791 und besonders Fr. Th.
Po seiger: lieber Aristoteles mechanische Probleme, eine in der Berliner
Akademie am 9. April 1829 gelesene Abhandlung (Berlin 1831). ^) Vergl. z. B.
Brandis, Geschichte der Entwicklungen der griechischen Philosophie und ihrer
Nachwirkungen im römischen Reiche. Berlin, 1862. \, 396.

Die Akademie. Aristoteles. 241

Eine Mechanik konnte Aristoteles schreiben. Es war zu seiner
Zeit schon eine solche von Archytas von Tarent vorhanden
(S. 223), der sich bei dieser seiner methodischen Behandlung der
Mechanik geometrischer Grundsätze bediente^). Es waren auch von
der elea tischen Schule aus gegen die ganze Bewegungslehre An-
griffe erfolgt (S. 187), die es nicht unwahrscheinlich machen, dass
Aristoteles, der seine allgemeinen Abweisungen jener Zenonischen
Lehren in einer besonderen Schrift über untheilbare Linien weit-
läufiger ausführte, ergänzend auf positive Weise zeigen wollte, wie
die als möglich und als wirklich behauptete Bewegung vor sich gehe.
Dazu kam aber ein anderer Zweck, welcher den mechanischen Pro-
blemen des Aristoteles — so lautet der eigentliche Titel der Schrift
— eine besondere dialektische Bedeutung giebt und damit deren
Echtheit gewährleistet. Es sollten Aporien aufgestellt werden, d. h.
Fragen der Mechanik gesammelt werden, welche Widersprüche zu
enthalten scheinen, und deren Behandlung erweisen sollte, wie solche
scheinbare Widersprüche sich lösen lassen^).

Die sogenannte Mechanik des Aristoteles würde, sagen wir,
seines Namens nicht unwürdig sein. Ein Schriftsteller des XVIII. S.
hat zwar darüber so ziemlich das entgegengesetzte Urtheil gefällt*^),
dürfte jedoch damit vermuthlich allein stehen. Ein Werk, in welchem
die Zusammensetzung rechtwinklig zu einander wirkender Kräfte be-
lehrt ist*), in welchem ausdrücklich die an dem Hebel anzubringenden
sich im Gleichgewicht haltenden Lasten den Längen der Hebelarme
umgekehrt proportional gefunden werden^), in welchem als Grund
dafür der grössere Kreisbogen genamit ist, durch welchen die vom
Stützpunkte des Hebels weiter entfernte Last sich bewegen muss:
ein solches Werk ist wahrlich keines antiken Schriftstellers un-
würdig, mögen auch einige Fragen in demselben nicht richtig beant-
wortet sein.

Zu diesen nicht richtig beantworteten Fragen gehört eine, welche
schon überhaupt gestellt zu haben einen feinen mathematischen Geist
verräth. Es seien (Figur 42) zwei concentrische Kreise eßrj und
dy^. Rollt der kleinere Kreis allein auf der Geraden t^G, so wird
rjx seinem Quadranten gleich; mithin, wenn ß nach x gekommen

') Diogenes Laertius VIII, 83. '^) Poselger 1. c. S. 6. ^) Montucla,
Histoire des niathematiques (II. edition) I, 187. *) Der Satz von dem Parallelo-
gramm der Kräfte in der hier angegebenen Beschränkung blieb bekannt. So
führt ihn beispielsweise Proklus (ed. Friedlein pag. 106 lin. 3—6) an. Vergl.
Majer, Programm des Stuttgarter Gymnasiums für 1880 — 81, S. 13 und 24.
^) Qiiaest. mechan. cap. IV, pag. 29. Burja hat 1. c. diese Stelle miss verstanden,
wie van Cap pelle in seineu Anmerkungen S. 183 mit Recht bemerkte.

Cantor, Geschichte der Matliematik T. 2. Aufl. 10

242

11. Kapitel.

/ ^

_^^

1 *

l v^

-^-^ ae y

\ ^

Fig. 42.

ist, wird die ^a senkrecht auf -»jG stehen. Rollt der grössere Kreis
allein auf der Geraden ^t, so wird t,i seinem Quadranten gleich;
mithin steht die ya senkrecht auf 't,i, wenn y nach l gekommen ist.
j Nun seien die heiden

concentrischen Kreise zu
einem Rade verbunden.
Jetzt stellen a ß und a y
eine starre Linie vor,
die nicht getrennt wer-
den kann, und es muss
folglich beim Rollen des
inneren Radkreises längs
rjQ schon, wenn /3 in jc
angekommen ist, y in X
angekommen sein, also
der Bogen t,y einmal der Strecke ^i, einmal der Strecke ^A gleich
sein. Dieses Paradaxon wusste allerdings Aristoteles nicht zu lösen,
und er hatte darin Nachfolger bis in das XVII. S. n. Chr. Erst
rationelle Zerlegung der zusammengesetzten Kreisbewegung konnte
zur richtigen Erkenntniss führen, dass in der That das Wälzen einer
Curve auf einer Geraden nicht immer die Gleichheit des krumm-
linigen und des gradlinigen Stückes zur Folge haben müsse, die nach
einander zur Deckung kommen^).

Bei Aristoteles sind wir auch wohl berechtigt Kenntnisse jenes
Kapitels der allgemeinen Wissenschaftslehre vorauszusetzen, von
welchem wir bei Xenokrates die ersten uns zur Kenntniss gekom-
menen Spuren bemerkten. Wir meinen die Combinatorik. Aristo-
teles hat die Dialektik der Sophisten zur eigentlichen Syllogistik
ausgebildet, und die verschiedenen Arten von Schlüssen, welche er in
Auseinandersetzung dieser Lehre unterscheidet, erschöpfen in der That
sämmtliche Möglichkeiten. Es ist somit hier thatsächlich eine Auf-
zählung der Combiuationen gewisser Elemente in ihrer Vollständig-
keit gegeben. Später zählte man auch die Gebilde logisch möglicher
Begriffszusammenstellungen. Der Stoiker Chrysippus, welcher 282
bis 209 lebte, hat die Zahl der aus 10 Grundannahmen möglichen
Vereinigungen auf über eine Million veranschlagt. Allerdings setzt
Plutarch, der uns die Sache erzählt, hinzu, die Arithmetiker seien mit
Chrysippus keineswegs einverstanden, und Hipparch, der zu den

*) Ueber das Rad des Aristoteles vergl. Klügel, Mathematisches
Wörterbuch (fortgesetzt von Mo 11 weide) Bd. IV, S. 171—174 unter: Rad, ari-
stotelisches.

Die Akademie. Aristoteles. 243

Arithmetikern gehöre, habe gezeigt, dass, wenn man die Axiome be-
jahend ausspreche 103 049, wenn man sie verneinend benutze 310952
Verbindungen entstehen^). Wir stehen der Bedeutung dieser Zahlen
grade so verständnisslos gegenüber, wie früher bei Xenokrates seiner
Zahl möglicher Silbeu. Wir ziehen aber aus den Zahlen selbst die
gleiche Folgerung, dass den Griechen combinatorische Fragen nicht
vollständig fremdartig waren, und dass sie auf irgend eine Weise
Formeln, mit grösster Wahrscheinlichkeit falsche Formeln, zu deren
Beantwortung benutzten.

Bei einem Schüler des Aristoteles begegnen wir gleichfalls prak-
tischer Combinatorik in der Gestalt einer vollständigen Aufzählimo-
aller Möglichkeiten der Vereinigung gewisser Elemente. Wir denken
dabei an Aristoxenus von Tarent, den Erfinder der aus Längen
und Kürzen zusammengesetzten Versfüsse.

Ein anderer Schüler des Aristoteles, Dikaearchus, hat sich
möglicherweise schon der Dioptra bedient, einer feldmesserischen
Vorrichtung, von welcher im 18. Kapitel ausführlich die Rede sein
wird. Die Worte des Theon von Smyrna^): „Der Höhenunterschied
der höchsten Berge von den tiefsten Orten der Erde beträgt nach
der Senkrechten 10 Stadien, wie Eratosthenes und Dikaearch o-e-
gefunden zu haben behaupten, und so bedeutende Grössen werden
durch W^erkzeuge imtersucht mit Hilfe von Dioptern, welche aus
den Abständen die Grössen messen"^), lassen wenigstens die Deutung
zu, als ob die Bemerkung der zweiten Hälfte des Satzes auch schon
auf die Zeit der genannten Geodäten, und nicht erst auf die Geo-en-
wart des Schriftstellers sich bezöge.

Unter den anderen ältesten Peripatetikern nennen wir Theo-
phrastus von Lesbos und Eudemus von Rhodos, deren Ersteren
Aristoteles selbst zu seinem Nachfolger ernannte. Beide haben, wie
im 4. Kapitel erzählt worden ist, historisch-mathematische Schriften
angefertigt, deren Inhalt wir jetzt annähernd schätzen können, da
er grade so weit reichen konnte, als wir in unseren bisherigen auf
Griechenland bezüglichen Auseinandersetzungen erörtert haben. Mit
der Schätzung dieses Inhaltes steigert sich das Bedauern über den
Verlust jener umfangreichen Schriften. Theophrast und Eudemus
waren für Jahrhunderte die Letzten, welche der Geschichte der

') Plutarclius, Quaestion. Convivial. VIII, 9, 11 und 12 sowie auch De
Stoicorum repugnantiis XXIX, 3 und 5. *) Theo Smyrnaeus (ed. Hiller
Leipzig 1878) pag. 124 — 25. ^) v.al ÖQyavt,Kwe Sh ralg xa i| ccnoatriiiäTav

tisyä&T] (itTQOvaaLg dioittQaig Tr}Xi%avra &tcüQSi:tat,. Auf diese Stelle und die in
ihr vielleicht enthaltene frühe Datierung der Dioptra hat P. Tannery auf-
merksam gemacht.

IG*

244 12. Kapitel.

Mathematik eigene Werke zuwandten, oder es haben doch ihre Nach-
folger, wenn sie welche hatten, nicht gewagt weiter als sie in der
Zeit des Berichteten hinabzusteigen. Das liegt in den Worten, die
uns (S. 235) den Schluss des Mathematikerverzeichnisses bildeten:
„Die nun die Geschichte geschrieben haben, führten bis zu diesem
Punkte die Entwicklung der Wissenschaft fort." Mag dieser Aus-
spruch dem Verfasser jenes Verzeichnisses angehören, mag er ein
Zusatz des Proklus sein, jedenfalls nahm dieser ihn unverändert auf
und bezeugt damit die Thatsache selbst. Zugleich hat man aber in
jenen Worten einen Beweggrund gefunden das Mathematikerverzeich-
niss als von Eudemus herrührend anzusehen, eine Meinung, zu
welcher auch wir uns bekennen.

12. Kapitel.
Alexandria. Die Elemente des Euklid.

Athen sank von seiner Höhe. Der junge makedonische Fürst,
der mit 18 Jahren in der Schlacht bei Chäronea den ersten Sieg
erfocht, der mit 33 Jahren aus dem Leben schied den Beinamen des
Grossen hinterlassend, ein Bezwinger der damals bekannten Welt,
hatte auch die Wissenschaft genöthigt seinen Befehlen zu gehorchen.
In der eigenen Heimath ihr einen Wohnsitz anzuweisen, daran dachte
er nicht. Er mochte empfinden, dass die rauhe Natur des Landes
und der Menschen nicht dazu angethan waren einen Bildungsmittel-
punkt abzugeben. Dafür erwuchs ein solcher in der jungen Stadt,
welche Alexander auf der Landzunge gründete, die zwischen dem
Mittelmeere und dem mareotischen See bis zum Nilkanal von Kano-
pus sich erstreckt. Als grosse ägyptische Hauptstadt sollte sie den
Besitz des eben unterworfenen Aegyptens sichern. Li Form eines
ausgebreiteten makedonischen Reitermantels war der Plan der Stadt
entwoisfen. Den Namen fährte sie nach dem, dessen Machtgebot sie
entstehen Hess, Alexandria^).

Hauptstadt Aegyptens hatte Alexandria alle Anlage das zu
werden, als was Alexander selbst sie vielleicht dachte, die Haupt-
stadt einer Weltmonarchie von kulturbringendem Charakter, einer
Monarchie, welche die verschiedenst gearteten Völker einander näher

') Ueber die alexandrinische Entwicklung vergl. die Abhandlung „Alexan-
driner" von R. Volkmann in Pauly's Realencyklopädie der classischen Alter-
thum.swissen3chaft (II. Auflage) mit reichen Quellenangaben alter und neuer
Literatur, und besonders Fr. Susemihl, Geschichte der griechischen Literatur
in der Alexandrinerzeit (Ijeipzig, 1891—92).

Alexandria. Die Elemente des Euklid. 245

bringen, ihre Gegensätze ausgleichen, ihnen allen den Schliff grie-
chischer Feinheit gemeinsam machen sollte. Wir brauchen gewiss
nicht auseinanderzusetzen, wieso gerade in Aegypten der geeignete
Ort für die Anlegung einer solchen Hauptstadt sich fand. Haben wir
doch in der Wissenschaft, auf deren Geschichte es uns allein an-
kommt, Aegypten als ein Mutterland, wenn nicht als das Mutter-
land, erkennen dürfen. Gereift und gekräftigt kehrte die Mathematik
nach dem Lande ihres Entstehens zurück, und es war, als ob die
Sage von dem Riesen, der die Muttererde berührend aus ihr neue
Stärke zieht, zur Wahrheit werden sollte. Hier auf ägyptischem
Boden erprobten sich Kräfte, wie sie bisher der Mathematik noch
nicht zugewandt worden waren.

Eine in der Weltgeschichte mehr als einmal sich wiederholende
Erfahrung lehrt, dass es in der Wissenschaft eine Mode gibt. Sie
pflegt nicht ohne Grund aufzutreten, sie entstammt nicht gerade den
Launen eines unberechenbaren Geschmackes, aber sie ist vorhanden,
und ihrem Gesetze beugen sich die hervorragendsten Geister in dem
Sinne, dass sie vorzugsweise der Modewissenschaft sich widmen. So
gibt es Zeiten, in welchen theologische Geisteskämpfe die grossen
Mäimer beschäftigen, und Zeiten, in welchen der Kriegsruhm nur die
Wissenschaft des Krieges des Denkers würdig macht; Zeiten, in
welchen vorzugsweise die Rechtsbildung gelingt, Zeiten, die zur Ent-
wicklung des Schönen dem Gedanken und der Ausführung nach
führen. Das war in dem Athen des Perikles der Fall gewesen, das
hatte in der Schule Piatons nachgelebt. Aristoteles und die Peripa-
tetiker verbreiteten ein vielfach gediegeneres, vielfach nüchterneres
Wissen, und Nüchternheit um nicht zu sagen Trockenheit ist der
Stempel, welcher der ganzen alexandrinischen Literaturperiode auf-
gedrückt ist, einer Zeit, welche man etwa von den Jahrzehnten nach
dem Tode Alexanders des Grossen bis kurz vor die Einverleibung
Alexandrias in das römische Reich, etwa von 300 bis 50 v. Chr.,
durch volle 250 Jahre zu rechnen hat.

Aegypten war unter den Feldherrn, die das Erbe des ver-
storbenen Weltbeherrschers unter einander theilten, dem geistig
hervorragendsten, Ptolemäus, Sohn des Lagus, zugefallen, und er, der
als Ptolemäus Soter 305 den Königstitel annahm, wie seine beiden
Nachfolger Ptolemäus Philadelphus (285 — 247) und Ptolemäus
Euergetes (247 — 222), welcher letztere durch die adulitische Li-
schrift wie durch das mit ihr in bestimmten Einzelheiten überein-
stimmende Edikt von Kanopus (S. 40) als mächtiger Eroberer
ebenso wie als Freund der Wissenschaften bezeugt wird, begründeten
das Ptolemäerreich. Unter ihnen wurde Alexandria vollends, wozu

246 !'-• Kapitel.

die Aulage schon gegeben war, zum Sitze der exakten Wissenschaften
und der Grammatik, zum Aufbewahrungsorte der grossen alexandri-
uischen Bibliothek, zum Mittelpunkte, wohin Alles strömte, wer nur
in den Wissenschaften lernend oder lehrend, sich oder Andere för-
dern wollte. Fand er doch dazu in Alexandria das sogenannte
Museum, einen Verein gelehrter Männer, denen aus königlichen Mit-
teln ein ehrenvoller Unterhalt gewährt wurde. Die drei ersten Pto-
lemäer gaben, wie gesagt, den Anstoss zu dieser wissenschaftlichen
Entwicklung. Ptolemäus Euergetes insbesondere vermehrte aufs Be-
deutsamste die Bibliothek, zu welcher er den ganzen Bücherschatz
beifügte, der einst Aristoteles und Theophrastus angehört hatte.
Aber auch die späteren Ptolemäer Hessen nicht von der Unter-
stützung der Gelehrten, welche in ihrem Hause ebenso herkömmlich
o-eworden war, wie Unzucht und Verwandtenmord.

Der .erste der grossen Mathematiker, welche uns in dem mit der
Reo-ierung des Ptolemäus Soter anhebenden Jahrhunderte begegnen,
und welche sä,mmtlich in Alexandria blühten oder zu Alexandria in
Beziehung traten, war Euklid •). Proklus erzählt an das Mathe-
matikerverzeichniss anknüpfend sein Auftreten in der Wissenschaft:
„Nicht viel jünger aber als diese ist Euklides, der die Elemente
zusammenstellte, vieles von Eudoxus Herrührende zu einem Ganzen
ordnete und vieles von Theaetet Begonnene zu Ende führte, überdies
das von den Vorgängern nur leichthin Bewiesene auf unwiderlegliche
Beweise stützte. Es lebte aber dieser Mann unter dem ersten Ptole-
mäer. Archimed nämlich gedenkt beiläufig auch in seinem ersten
Buche des Euklid, imd man sagt ferner, Ptolemäus habe ihn einmal
gefragt, ob es nicht bei geometrischen Dingen einen abgekürzteren
Weg als durch die Elemente gebe; er aber ertheilte den Bescheid,
zur Geometrie hin gebe es keinen geraden Pfad für Könige. Er ist
somit jünger als die Schüler Piatons, älter als Eratosthenes und
Archimed; denn diese sind Zeitgenossen, wie Eratosthenes angibt.
Seiner wissenschaftlichen Stellung nach ist er Platoniker und dieser
Philosophie angehörig, daher er denn auch als Endziel seines ganzen

*) Ueber Euklid vergl. David Gregory 's Vorrede zu seiner grossen
Euklidausgabe (Oxford, 1702). Fabricius, BibUotheca Graeca edit. Harless
(Hamburg, 1795) IV, 44 — 82. Gartz, De interpretibus et explanatmihus Euclidis
Ardbicis (Halle, 1823). Der von Lacroix verfasste Artikel Euclide in der Bio-
graphie universelle. M. Cantor, Euklid und sein Jahrhundert im Supplement-
heft zu Bd. XII der Zeitschr. Math. Phys. (Leipzig, 1867). Hankel 381-404.
Heiberg, Literargeschichtliche Studien über Euklid (Leipzig, 1882). Zur Ab-
kürzung citiren wir die letztgenannte Schrift künftig als Heiberg, Euklid-
studien.

Alexandria. Die Elemente des Euklid. 247

Elementarwerkes die Constructiou der sogeiiannten platouischen
Körper hinstellte^).

Viel mehr^ als in diesen Sätzen ausgesproclien ist, wissen wir
nicht über die Lebensumstände des Schriftstellers, dessen Elemente
unmittelbar oder mittelbar die Grundlage der gesammten Geometrie
bis auf unsere Zeit geworden sind. Nicht einmal das Vaterland des
Euklid steht fest, wenn wir nicht der Angabe eines syrischen Be-
richterstatters, des Abulpharagius, unbedingten Glauben schenken
wollten, welcher ihn einen Tyrer nennt; das wird aber Niemand
mehr einfallen, seit nachgewiesen worden ist'"^), dass jene ganze Nach-
richt aus einer missverstandenen Stelle einer Schrift des Hypsikles
stammt, welche, wie im 17. Kapitel auseinandergesetzt werden wird,
irrigerweise Euklid zugewiesen wurde. Andere wollen Euklid in
Aegypten geboren sein lassen. Noch Andere, aber sicherlich mit
Unrecht, verwechseln ihn mit Euklides von Megara, dem Zeitgenossen
Piatons, welcher rund 100 Jahre früher lebte. Auffallend genug
findet sich dieser Irrthum schon bei einem Schriftsteller aus dem
Zeitalter des Tiberius, bei Valerius Maximus. Auch Geburts- und
Todesjahr des Euklid sind durchaus unbekannt, und nur die Blüthe-
zeit^) um 300 etwa wird durch den ersten Ptolemäer, unter welchen
sie, wie wir durch Proklus erfahren haben, gefallen sein soll, be-
zeugt. Von seinem Charakter hat sich bei Pappus eine höcht liebens-
würdige Schilderung erhalten. Er sei sanft und bescheiden, voll
^^'ohlwollen gegen Jeden, der die Mathematik irgend zu fördern im
Stande war, gewesen und habe absichtlich an früheren Leistungen
so wenig als möglich geändert^). Pappus gibt auch ausdrücklich an,
dass Euklid in Alexandria gelebt habe.

Schriften des Euklid sind uns mehrfach erhalten. Das Haupt-
werk bilden die Elemente, gtolxcIcc. Wir müssen annehmen, dass
es an Bedeutung allen früheren Elementarwerken weit überlegen war.
So schildert es uns Proklus und die Bestätigung des Urtheils liegt
in der Thatsache, dass alle Bücher seiner Vorgänger in dem Kampfe
um das Dasein untergegangen sind, dass von Elementen, die durch
einen Griechen nach Euklid verfasst worden wären, nirgends ein
Wort gesagt ist, dass vielmehr er ausschliesslich gemeint zu sein
scheint, wo griechische Schriftsteller später von dem Elementen-
schreiber schlechtweg reden, ohne einen Namen zu nennen ").

') Proklus (ed. Friedlein) 68. *) Heiberg, Euklid studien S. 4. ^) Tsyovs
heisst es bei Proklus und dieses bedeutet hier sicherlich „blühte" und nicht
„ward geboren". Vergl. E. Roh de „riyovs in den Biographica des Suidas"
Rheinisches Museum für Philologie XXXIII neuer Folge, 161—220 (1878).
*) Pappus VII, praefatio (ed. Hultsch) 676 flgg. •; So Archimed, De

248 12. Kapitel.

Die in 13 Bücher gegliederten Elemente des Euklid zerfallen in
vier Haupttheile. Erstens behandeln sie Raumgebilde, welche auf
einer Ebene gezeichnet sind und das Verhältniss ihrer gegenseitigen
Grösse, die theils gleich, theils imgleich ist. Im ersteren Falle ge-
nügt der Nachweis der Identität, im letzteren verlangt man etwas
mehr: man will die Ungleichheit messen. Dazu aber dient die Zahl,
das Maass einer jeden Grösse, und folglich wird es Bedürfniss,
Untersuchungen über die Zahl anzustellen. Damit ist der zweite
Haupttheil des Werkes erfüllt. Die vollständig bestimmte Zahl
reicht indessen nicht aus, um alle Grössen zu messen, welche der
geometrischen Betrachtung unterworfen werden. Es gibt vielmehr
Raumgebilde, seien es nun Längen oder Flächen, welche mit der
Grösseneinheit derselben Art kein genau angebbares gemeinsames
Maass besitzen, ohne dass sie deshalb aufhören selbst Grössen zu
sein. Man nennt sie nur im Gegensatze zu dem genau Messbaren
mit der Einheit incommeusurabel. Die Betrachtung solcher Incom-
mensurabilitäten ist somit unerlässlich, sie bildet den dritten Haupt-
theil des Ganzen. Endlich im vierten Theile verlässt die Betrach-
tung das bisher eingehaltene Feld der Zeichnungsebene, die Verhält-
nisse des allgemeinen Raumes werden untersucht, die gegenseitige
Lage und Grösse von Flächen und Körpern werden besprochen. Das
ist freilich nur der ganz allgemeine Inhalt des Werkes^), es dürfte
sich empfehlen näher auf die Einzelheiten desselben einzugehen.

Im I. Buche handelt Euklid von den Grundbestandtheilen grad-
liniger Figuren in der Ebene, von geraden Linien, welche sich ent-
weder schneiden und mit einer dritten Linie ein Dreieck bilden, über
dessen Bestimmtheit durch gewisse Stücke gesprochen wird — Con-
gruenz der Dreiecke — oder welche sich nicht treffen, so weit
man sie verlängert — Parallellinien. Um mit Hilfe der Parallel-
linien eine Figur zu erzielen bedarf es zweier schneidenden Geraden,
uud so entsteht das Viereck, insbesondere das Parallelogramm,
sofern die Schneidenden selbst unter sich parallel sind. Die Eigen-
schaften der Parallelogramme vereinigt mit denen der Dreiecke führen
zum Begriffe von Figuren, welche aus an und für sich identischen
Theilen bestehen, aber nicht in identischer Weise zur gegenseitigen
Deckung gebracht werden können, Gleichheit von nichtcon-

sphaera et cylindro I, 6 (ed. Heiberg I, 24) wahrscheinlich mit Beziehung- auf
Euklid XII, 2. Diese Stelle dürfte Proklus im Auge gehabt haben, als er zuiu
Beweis, dass Archimed später als Euklid lebte, sagte, dass dieser jenen in
seinem ersten Buche ei-wähne.

') In diesen klaren Umrissen hat ihu z. B. Gregory in der Vorrede seiner
Euklidausgabe entworfen.

Alexandria. Die Elemente des Euklid. 249

gruenten Fläclienräumen. Bei solchen Fläclien kommt es also
darauf au die identischeu Theile abzusondern, in anderer Weise zu-
sammeuzufügeu, und so lehrt der 44. Satz an eine gegebene gerade
Linie unter gegebenem Winkel ein Parallelogramm anzulegen, TtccQa-
ßäKksiv, welches einem gegebenen Dreiecke gleich sei; es lehrt der
45. Satz die Verwandlung jeder gradlinigen Figur in ein Parallelo-
gramm von gegebenen Winkeln, bis im 47. und 48. Satze das Buch
mit dem interessantesten Falle einer derartigen Umwandlung, mit
dem pythagoräischen Lehrsatze und dessen Umkehrung abschliesst.
Das IL Buch ist gewissermassen ein Zusatz zu dem pythago-
räischen Lehrsatze. In ihm wird die Herstellung eines Quadrates
aus Quadraten und Rechtecken in den verschiedensten Combinationen,
theils als Summe, theils als Differenz gelehrt, bis auch wieder eine
Zusammenfassung in der Aufgabe erfolgt, ein jeder gegebenen
gradlinigen Figur gleiches Quadrat zu zeichnen. Zugleich
lässt aber dieses Buch eine andere Auffassung zu, welche mit der
doppelten Bedeutung des pythagoräischen Satzes in Verbindung steht.
Wir wissen, dass dieser Satz, sofern er der Arithmetik angehört,
besagt, dass es zwei Zahlen bestimmter Art gebe, welche als Summe
eine dritte Zahl liefern von gleicher Art wie die beiden Posten. Als
Zusatz zu dem pythagoräischen Lehrsatze in diesem Sinne lehrt das
2. Buch die Rechnung insbesondere die Multiplikation mit additiv
und subtraktiv zusammengesetzten Zahlen. In moderner Schreibweise
heissen die 10 ersten Sätze alsdann:

1) ah -\- ac -\- ad -\- ••• = a (b -\- c-\- d-\ ) 2)ah-\-a(a — h) = a^

3) ah = h (a — h)-{-¥ 4) a^ = h^ ■}- {a — ly + 26 (a — h)

7) a- + &■- = 2a6 + (a - hf 8) 4ah + (a — hf = (a + hf
9) (a - ö)^ + Z>^ = 2 (f )' + 2 (f - &)'

10) {a -{-hy + ¥ = 2 (f )' + 2 (I + h)'-

Als 11. Satz erscheint die Aufgabe des goldenen Schnittes. Ihre
geometrische Beziehung zur Construction des regelmässigen Fünfecks
haben wir früher (S. 166) besprochen. Arithmetisch, oder vielmehr
algebraisch aufgefasst ist die Tragweite der Aufgabe „eine gegebene
Strecke so zu schneiden, dass das aus dem Ganzen und einem der
beiden Abschnitte gebildete Rechteck dem Quadrate des übrigen Ab-
schnittes gleich sei" dahin zu bestimmen, dass eine Auflösung der
Gleichung a {a — x) = x", beziehungsweise der Gleichung x--{-a x = a^

250 12. Kapitel.

gesucht wird^). Euklid findet ^y == T/a^ -|- y^j — ^ und beweist

die Richtigkeit dieser Auflösung durch folgende Schlüsse, bei deren Dar-
stellung wir uns die einzige Aenderung gestatten, dass wir die geo-
metrisch klingenden Wörter in algebraische Buchstaben und Zeichen um-

setzen. Wegen 6) ist (« + (j/a^ + (f)" - |)) (j/^^^^ - '^

+ (I) = (f + iV^^W - 1)) = iV^^)^ (:) ■

Man zieht auf beiden Seiten l^j ab, so bleibt ( « -f- (1/«^ + (5) — -) )

(1/«^ + (2) — ö) = ^^ ^^^ zieht man weiter rt(l/rt- -\- ("j — ^j
auf beiden Seiten ab, so bleibt

Das III, Buch wendet sich zu der einzigen krummen Linie,
welche der Behandlung unterzogen wird, zum Kreise und zu den
Sätzen, welche auf Berührung zweier Kreise, oder eines Kreises
und einer Geraden sich beziehen. Alsdann folgen Betrachtungen über
die Grösse von Winkeln und mit denselben irgendwie in Verbin-
dung stehenden Kreisabschnitten. Insbesondere der 16. Satz ist im
III. oder IV. S. schon Gegenstand beiläufiger Erörterung, in späteren
Zeiten Ausgangspunkt interessanter Streitigkeiten zwischen Gelehrten
des XVI. und XVII. S. geworden und dadurch, aber auch durch
seinen Inhalt bemerkenswerth. Er behauptet nämlich, der Winkel,
welchen der Kreisumfang mit einer Berührungslinie bildet, sei kleiner
als irgend ein gradliniger spitzer Winkel. Dieser gemischtlinige
Winkel heisst bei Proklus") hornförmiger Winkel, yavia otsQaroELd'^gy
ein Name, der bei Euklid noch nicht vorkommt. In den Definitionen,
welche den einzelnen Büchern vorausgeschickt werden, ist sogar von
ihm keine ausdrückliche Rede. Im ersten Buche heissen die 8. und
0. Definition: „Ein ebener Winkel ist die Neigung zweier Linien
gegen einander, wenn solche in einer Ebene zusammenlaufen ohne in
einer geraden Linie zu liegen. Sind die Linien, die den Winkel ein-
schliessen, gerade, so heisst derselbe ein geradliniger Winkel." Dazu
ergänzt die 7. Definition des III. Buches: „Der Winkel des Abschnittes
ist der vom Umkreise und der Grundlinie eingeschlossene Winkel",
aber den Winkel, wenn man von einem solchen reden darf, auf der

') Diese Auffassung der Aufgabe II, 11 dürfte zuerst bei Arneth, Ge-
schichte der reinen Mathematik (Stuttgart, 1852) iS. 102 zu finden sein.
-) Proklus (edit, Fried lein) pag. 104 und öfters.

Alexandria. Die Elemente des Euklid. 251

convexen Bogenseite gegen die Berühruugslinie hin erläutert der
Verfasser nicht. Endlich schliesst das ÜI. Buch mit den einzeln be-
trachteten Fällen zweier Geraden, die sich gegenseitig und
ebenso einen Kreis schneiden, und aus deren Abschnitten ge-
wisse Rechtecke zusammengesetzt werden, welche Flächengleichheit
besitzen.

Der Schüler wird nun im IV. Buche weiter mit den Figuren be-
kannt gemacht, welche entstehen, wenn mehr als zwei Gerade mit
dem Kreise in Verbindung treten. Er lernt die dem Kreise ein-
und umschriebenen Vielecke insbesondere die regelmässigen
Vielecke kennen. Unter diesen ist das Fünfeck, und dessen Con-
struction macht die erste Anwendung des im IL Buche, wie wir ent-
wickelten, zu anderem Zwecke gelehrten goldenen Schnittes noth-
wendig. Das IV. Buch kommt an den äussersten mit den bisherigen
jVIitteln erreichbaren Zielpunkten an. Die Gleichheit von Strecken
und Flächenräumen ist nach allen Seiten erörtert.

Nun kommt die Ungleichheit in Betracht, insofern sie gemessen
werden kann, imd zwar ist diese Messung eine zweifache, eine geo-
metrische und eine arithmetische. Beide beruhen auf der Lehre von
den Proportionen, welche deshalb in dem 5. Buche an dem Sinn-
bilde gerader Linien in vollständiger Ausführlichkeit dargelegt wird.
Die im Verhältnisse aufgefassten Grössen sind als Linien gezeichnet,
damit nicht hier schon der Schwierigkeit zu begegnen sei, eine
Unterscheidung zu treffen, je nachdem Commensurables oder Incom-
mensurables auftritt. Die Linien sind aber nur nebeneinander ge-
zeichnet, ohne Figuren zu bilden, damit man einsehe, wie es sich
hier um Allgemeineres handle als um die Vergleichung geometrischer
Gebilde.

Erst das VI. Buch zieht die geometrischen Folgerungen aus dem
im V. Buche Erlernten. Die Aehnlichkeit von Figuren geht aus
der Proportionenlehre hervor und dient selbst wieder dazu Propor-
tionen an geometrischen Figuren zur Anschauung zu bringen. Dabei
kommt der Begriff des zusammengesetzten Verhältnisses vor,
welcher später (vergl. 20. Kapitel) von grosser Bedeutung wurde.
Im 23. Satze des VI. Buches ist von dem Verhältnisse je zweier
gleichliegenden Seiten zweier Parallelogramme mit gleichen Winkeln
die Rede, und die Flächen der Parallelogramme, heisst es weiter,
stehen in einem Verhältnisse, welches aus dem der Seiten zusammen-
gesetzt ist^). Auch Archimed, wir wollen das gleich hier erwähnen.

*) Xöyog avyyistfiivog iv. (tcöv) räv tiIsvq&v (loycov). Eudidis Elementa (ed.
Heiberg, Leipzig, 1883—88) II, 146 lin, 14.

252 12. Kapitel.

liat mehrfacli mit zusamuieugesetzten Verhältnissen zu tliun, Aveun
auch in von der euklidischen Redewendung etwas abweichendem
Wortlaute^). Einen Satz und zwei Aufgaben dieses Buches, welche
die Bezeichnung als Satz 27., 28., 29. führen, müssen wir besonders
erwähnen. Satz 27. enthält das erste Maximum, welches in der
Geschichte der Mathematik nachgewiesen worden ist, und welches als
Function geschrieben besagen würde: x {a — x) erhalte seinen grössten
Werth durch x = . In den beiden darauf folgenden Aufgaben

hat man die Auflösungen der beiden Gleichungen x {a — x) = h^
und x (n -\- x) == h^ erkannt. Der 27. Satz erscheint bei der unmittel-
baren Aufeinanderfolge von 27. und 28. unzweifelhaft als der Dio-

rismus des letzteren. Es darf eben V^ nicht grösser sein als (--) ,

wenn die Aufgabe lösbar sein solP). Geometrisch ausgesprochen
haben die beiden Aufgaben in Satz 28. und 29. gleichfalls einen,
wie spätere Erörterungen uns lehren sollen, hochwichtigen Inhalt.
Es handelt sich um die Anlegung eines einem gegebenen Parallelo-
gramme gleichwinkligen Parallelogrammes an eine grade Linie, wel-
ches um so viel grösser (kleiner) an Fläche als eine gleichfalls ge-
gebene Figur sei, dass wenn so viel abgeschnitten (zugesetzt) wird,
als nöthig ist um Flächengleichheit zu erzielen, dieses Stück selbst
dem erstgegebenen Parallelogramme ähnlich werde. Euklid drückt
diese Forderung durch die Worte aus, der Flächeninhalt F solle au
der Linie AB Etwas übrig lassen, ikXsLTtsi, oder darüber hinaus-
fallen, vTteQßdX^SL.

Das VII., VIII. und IX. Buch beschäftigen sich mit der Lehre
von den Zahlen. Der nächste Zweck ist das arithmetische Messen
der Ungleichheit, also diejenigen Folgerungen aus der Proportionen-
lehre zu ziehen, welche an Zahlengrössen hervortreten. Allein dainit
verbindet Euklid, vielleicht weil nirgend eine passendere Gelegenheit
sich finden Avird, eine Zusammenstellung aller ihm bekannten Eigen-
schaften der ganzen Zahlen. Rechnungsoperationen mit denselben
hat er, Avie wir uns erinnern, schon im II. Buche ausführen lassen.
Das VII. Buch beginnt mit der Unterscheidung von theilerfremden
Zahlen und solchen, welche ein gemeinsames Maass besitzen,
und mit der Auffindung dieses letzteren. Euklid findet dasselbe voll-
ständig in der heute noch üblichen Weise durch fortgesetzte Theilung

') 6 Xöyog Tfjs A TtQÖg tr}v B cvvfjTtTai 1« t£ tov , ov 't%ti f] F itQog trjv d
Kccl 7] E TtQog ti]v Z. Arcliimedes (ed. Heiberg) I, 212 lin. 19 — 21 und
häufiger. ^) Diese Auffassung zuerst vertreten bei Matthiessen, Grundzüge
der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen. Leipzig, 1878,
S. 926—931.

Alexandria. Die Elemente des Euklid. 2oB

des letztmaligen Divisors durch den erhaltenen Rest, mithin, wenn
wir es nicht scheuen auch moderne Namen zu gebrauchen, wo moderne
Verfahren angewandt sind, durch einen Kettenbruchalgorithmus.
Dann ist von Zahlen die Rede, welche dieselben Theile anderer
Zahlen sind, wie wieder andere von vierten, und damit ist also die
Zahlenproportion eingeführt. Abgesehen von den vielen neuen
Proportionen, welche in der mannigfaltigsten Weise aus den erst-
gegebenen abgeleitet werden, führt der Satz von der Gleichheit der
Produkte der inneren und der äusseren Glieder einer Proportion auf
die Theilbarkeit eines solchen Produktes durch einen der Faktoren
des anderen Produktes und zur Theilbarkeit überhaupt Der Rück-
weg zur Untersuchung theilerfremder Zahlen ist damit gewonnen,
und den Schluss des Buches bildet die Auffindung des kleinsten
gemeinsamen Dividuums gegebener Zahlen.

Das VIII. Buch setzt die Lehre von den Proportionen fort,
indem es zu Gliedern der Proportion nur solche Zahlen wählt, welche
selbst Produkte sind, und zwar zum Theil Produkte aus gleichen
Faktoren. An die früheren geometrischen Lehren erinneru^eben noch
die Benennungen, welche in diesem Buche zur Anwendung gelangen:
Flächenzahlen, ähnliche Flächenzahlen, Quadratzahlen, Körperzahlen,
Kubikzahlen, lauter Wörter, deren Erklärung wir in früheren Kapiteln
zu geben Gelegenheit hatten. Vieleckszahlen anderer Art als die
Quadratzahlen kommen bei Euklid nicht vor.

Das IX. Buch setzt gleichfalls denselben Gegenstand fort, geht
indessen dadurch wieder zu anderweitigen Betrachtungen über, dass
es besondere Rücksicht auf etwa in einer Proportion vorkommende
Primzahlen nimmt. Bei dieser Gelegenheit wird nämlich ziemlich
ausser allem Zusammenhange als 20. Satz bewiesen, dass die Menge
der Primzahlen grösser sei als jede gegebene Menge der-
selben, wofür wir kürzer sagen, dass es unendlich viele Primzahlen
gibt. Noch weniger Zusammenhang ist von dem 20. Satze zu den
ihm nachfolgenden Sätzen wahrnehmbar. Mancherlei Eigenschaften
grader und ungrader Zahlen, von deren Summen und deren Pro-
dukten werden erörtert, bis der 35. Satz die Summiruug der
geometrischen Reihe lehrt und auf diejenige geometrische Reihe
angewendet, welche von der Einheit beginnend durch Verdoppelung
der Glieder weiterschreitet, endlich im 36. Satze wieder zu den Prim-
zahlen zurückführt und so das Bewusstsein erweckt, wie Euklid bei
scheinbarem Abspringen von seinem Thema es immer unverrückt
im Auge behält. Jener 36. Satz gibt nämlich an, die Summe der
Reihe 1 -f 2 + 4 -j- 8 • • • sei mitunter eine Primzahl. Dieses tritt
z. B. ein, wenn die Reihe aus 2, aus 3, aus 5 Gliedern besteht.

254 12. Kapitel.

Werde diese die Summe darstellende Primzahl mit dem letzten in
Betracht gezogenen Gliede der Reihe vervielfacht, so entstehe eine
vollkommene Zahl (eine Zahl, welche der Summe aller ihrer
Theiler gleich ist).

Im X. Buche ist der dritte Haupttheil des euklidischen Werkes
behandelt, die Lehre von den Incommensurablen, und auf die
grosse Bedeutung, die dem Umstände beizumessen ist, dass diesem
Gegenstande ein ganzes Buch gewidmet ist, kommen wir im fol-
genden Kapitel zurück. An der Spitze des Buches steht der Satz,
welcher bei Euklid die Grundlage der Exhaustionsmethode bildet,
der Satz: „Sind zwei ungleiche Grössen gegeben, und nimmt man
von der grösseren mehr als die Hälfte weg, von dem Reste wieder
mehr als die Hälfte und so immer fort, so kommt man irgend einmal
zu einem Reste, welcher kleiner ist als die gegebene kleinere Grösse."
Dieser Satz, wesentlich verschieden von dem, dessen sich (S. 229)
Eudoxus und vielleicht schon Hippokrates zu ähnlichen Zwecken be-
diente, ist in dieser Form vielleicht Euklids Eigeuthum, vielleicht
auch dessen, von welchem das X. Buch der Hauptsache nach her-
rührt. Fürs Erste freilich zieht Euklid keine Folgerung aus ihm,
nicht einmal die, welche man vor allen Dingen erwarten sollte, dass
wenn zwei Grössen incommensurabel sind, man immer ein der ersten
Grösse Commensurables bilden könne, welches von der zweiten Grösse
sich um beliebig Weniges unterscheide. Statt dessen sind zwar geist-
volle aber doch nach unseren Begriffen masslos weitläufige Unter-
suchungen ^) darüber angestellt, unter welchen Voraussetzungen Grössen
sich wie gegebene Zahlen verhalten, also commensurabel sind, und
unter welchen Voraussetzungen keine solche Zahlen sich finden lassen,
die Grössen also incommensurabel sind. Ein besonderes Gewicht
legt Euklid auf die Irrationalzahlen, deren er vielfältig unter-
schiedene Formen aufzählt. Dabei ist zu beachten, dass das Incom-
mensurabe, uöv^iietqov, des Euklid sich mit unserem Begriffe der
Irrationalzahl deckt, während sein Rationales, Qr^vov, und Irrationales,
akoyov, von dem, was wir unter diesen Wörtern verstehen, abweicht.

') Vergl. Nesselmann, Die Algebra der Griechen S. 165 — 182. Diesem
Werke entnehmen wir auch die Uebersetzungen der Namen der verschiedenen
Formen von Irrationalzahlen. Wie schwer auch geistreiche Mathematiker sich
oft in diesem X. Buche zuiecht zu finden vermochten, dafür dient als Beispiel
ein durch A. Favaro (Galileo Galilei e lo studio di Padova II, 267) veröffent-
lichter Brief von Benedetto Castelli. Unter dem 1. April 1607 schrieb
dieser an Galilei, er sei bei dem 40. Satze des X. Buches stecken geblieben
suffocato dalla moUitudine de vocaboli, profonditä delle cose e difficoltä di dc-
monstrationi.

Alexandria. Die Elemente des Euklid. 255

Rational ist ihm das an sich und das in der Potenz Messbare, d. h.
diejenigen Linien sind rational, welche selbst durch die Längen-
einheit oder deren Quadratfläche durch die Flächeneinheit genau aus-
messbar sind, also a sowohl als }/«, während das Wort irrational
für jeglichen mit Wurzelgrössen behafteten Ausdruck ausser der ein-
fachen Quadratwurzel )/a Anwendung findet. Demgemäss ist das Pro-
dukt a mal ]/6 oder )/« mal ]/?> bei Euklid irrational, weil jedes
dieser beiden Produkte als Produkt schon eine Fläche bedeutet, also
nicht mehr „in der Potenz messbar" sein kann. Irrational ist um so
mehr die Linie, welche a • Yb oder ]/« • |/6 als Quadrat besitzt, d. h.

T/a Yh und )/«& und diese Gattung von Irrationalitäten heisst ^Börj,

die Mediallinie. Addition und Subtraktion zweier Längen, von
denen mindestens eine incommensurabel ist, gibt die Irrationalität
von zwei Benennungen, y ix dvo ovo^dtcov, und die durch Abschnitt
Entstandene, cctioxo^yi, d. h. die Binomialen a -\- "j/ö oder j/a -|- "j/ft
und die Apotomen a — ]/?> oder "j/a — h oder ]/a — ]/&. Wir
würden allzu weitschweifig werden müssen, wenn wir alle Verbin-
dungen zwischen diesen Medialen, Binomialen und Apotomen erörtern
wollten, welche in dem X. Buche vorkommen. Statt dessen nur die
Bemerkung, dass wir hier wieder ein Beispiel praktischer Combina-
torik vor uns haben, indem alle Verschiedenheiten berücksichtigt sind,
die überhaupt eintreten können. Eines freilich ist vorausgesetzt, dass
nämlich nur Wiederholungen von Quadratwurzelausziehungen vor-
kommen, dass also sämmtliche im X. Buche behandelten Irrationali-
täten der Construction mit Hilfe von Zirkel und Lineal unterworfen
sind, imd solche Irrationalitäten sollen uns von nun an euklidische
Irrationalitäten heissen, wie sie thatsächlich in späterer Zeit ge-
nannt worden sind. Wir heben zwei Sätze des X. Buches besonders
hervor, das erste Lemma, welches auf Satz 29. folgt, und welches
zwei Quadratzahlen bilden lehrt, deren Summe wieder Quadratzahl
ist, und den letzten Satz des Buches von der gegenseitigen Incom-
mensurabilität der Seite und der Diagonale eines Quadrates. Letz-
teren Satz haben wir nebst seinem muthmasslich altpythagoräischen
Beweise daraus, dass sonst Grades und üngrades einander gleich
wären, schon (S. 170) besprochen. Die Herstellimg rationaler recht-
winkliger Dreiecke ist uns auch kein neuer Gegenstand. Methoden
des Pythagoras (S. 173) und des Piaton (S. 211) sind uns bekannt
geworden, jene von ungraden, diese von graden Zahlen ausgehend.
War nämlich aus d^ = W -\- c^ die Folgerung c^ = (a + h) (a — h)
gezogen, und daraus die weitere Folgerung, dass a -\- b und a — b
ähnliche Flächenzahlen sein müssen, so nahmen wir an, dass jene

256 12- Kapitel.

Männer die besonders einfachen Versuche angestellt hätten, einmal
a — b = 1 und einmal a — b = 2 zu setzen. Das Verfahren des
Euklid kann als Bestätigung unserer Vermuthungen gelten. Nach
der besonderen Annahme konnte und musste man dazu übergehen
für a -\- b und a — b irgend welche ähnliche Flächenzahlen zu
wählen, und dieses that Euklid. Er lässt ähnliche Flächenzahlen,
d. h. solche, welche proportionirte Seiten haben (Definition 21. des
VII. Buches), und deren Produkt eine Quadratzahl geben muss
(Satz 1. des IX. Buches), bilden, etwa a • ß^ und a • y\ und verlangt
dabei, dass beide grade oder beide ungrade seien, damit ihr Unter-
schied halbirbar ausfalle. Unter dieser Voraussetzung wird sodann
aß'-af-\- (^-ß'-^vy = (^ll±^y^ ^iti^i^ si^d die Seiten des

rechtwinkligen Dreiecks aßy, — — ^ , 7" — -- gefunden.

Wir haben noch den Inhalt des letzten Haupttheiles der eukli-
dischen Elemente anzugeben, der in dem XL, XII. und XIII. Buche
enthaltenen Stereometrie. Im XL Buche beginnt diese Lehre genau
in der Weise, wie sie auch heute noch behandelt zu werden pflegt,
mit den Sätzen, welche auf parallele und senkrechte grade
Linien und Ebenen sich beziehen, woran Untersuchungen über
Ecken sich schliessen. Alsdann wendet sich der Verfasser zu einem
besonderen Körper, dem Parallelopipedon und geht nur in
dem letzten Satze des Buches zu dem allgemeineren Begriffe des
Prisma über.

Das XII. Buch enthält die Lehre von dem Maasse des körper-
lichen Inhaltes der Pyramide, des Prisma, des Kegels, des Cylin-
ders und endlich der Kugel. Eine wirkliche Berechnung findet sich
allerdings bei Euklid nie, weder wo von Flächeninhalten noch wo
von Körpermaas sen die Rede ist, und namentlich bei solchen Raum-
gebilden, zu deren Erzeugung Kreise oder Kreisstücke beitragen, ist
nirgend angegeben, wie man eigentlich zu rechnen habe. Sollte die
Ausrechnung des Kreisinhaltes von den Aegyptern bis zu Euklid
verloren secjangen seinV Die Unwahrscheinlichkeit dieser Annahme

OD O

der mehrfachen Beschäftigung mit der Quadratur des Kreises bei
Anaxagoras, bei Antiphon, bei Bryson, bei Hippokrates gegenüber
wird vollends für einen in Alexandria lebenden Mathematiker zur
Unmöglichkeit. Aegypten, welches das Althergebrachte mit Zähig-
keit festhielt, welches ein Exemplar des Rechenbuches des Ahmes
noch mehr als 2000 Jahre später als Euklid uns unversehrt über-
liefert hat, war nicht das Land, in welchem so unbedingt Nothwen-
diges wie die Kreisrechnung vergessen wurde, und ebensowenig lässt

Alexandria. Die Elemente des Euklid. 257

sich armehmen, dass die ägyptische Geometrie den griechischen Ge-
lehrten, welche unter dem Schutze des ägyptischen Königs sich dort
aufhielten, unbekannt hätte bleiben können. Wir stehen vielmehr
hier vor einer absichtlichen Weglassung, vor einem grundsätzlichen
Widerstreite zwischen Geometrie und Geodäsie. Letztere,
deren Vorhandensein zur Zeit des Aristoteles wir (S. 230) hervor-
gehoben haben, war ihrem Wesen nach eine rechnende Geometrie.
In der eigentlichen oder theoretischen Geometrie war Rechnung als
solche ausgeschlossen. Aristoteles hat ausdrücklich gesagt: „Man
kann nicht Etwas beweisen, indem man von einem anderen Genus
ausgeht, z. B. nichts Geometrisches durch Arithmetik. . . Wo die
Gegenstände so verschieden sind, wie Arithmetik und Geometrie, da
kann man nicht die arithmetische Beweisart auf das, was den Grössen
überhaupt zukommt, anwenden, wenn nicht die Grössen Zahlen sind,
was nur in gewissen Fällen vorkommen kami"^). Der Ausdruck, die
Grössen seien nur in gewissen Fällen Zahlen, bezieht sich vermuth-
lich auf irrationale Strecken, welche als Nichtzahlen galten, und
dieser Ausnahme zu Liebe dürfte das V. Buch der Elemente ent-
standen sein. Was aber von den Beweisen gesagt ist, scheint auch
auf Rechnungsoperationen ausgedehnt worden zu sein. So zeigt also
Euklid in diesem XII. Buche nur, dass Kreise wie die Quadrate ihrer
Durchmesser sich verhalten, was Hippokrates von Chios schon wusste;
er zeigt, dass, wie die Pyramide der dritte Theil des Prisma von
gleicher Höhe und Grundfläche ist, ein ganz gleichlautender Satz für
Kegel und Cylinder stattfindet, was Eudoxus von Knidos schon er-
kannt hatte; er schliesst mit dem Satze, dass Kugeln im dreifachen
Verhältnisse ihrer Durchmesser stehen. Euklid benutzt zum Beweise
dieser Sätze den an der Spitze des X. Buches stehenden Satz von der
Möglichkeit durch fortgesetzte Halbiruug einen beliebigen Grad der
Kleinheit zu erreichen. Geben wir als Beispiel seines Verfahrens
den Satz vom Kreise, wobei wir, wie schon öfter, zur bequemeren
Uebersicht uns moderner Zeichen bedienen, im Uebrigen aber uns
genau an Satz 2. des XU. Buches anschliessen. Vorausgeschickt ist
der Satz, dass die Flächen ähnlicher in zwei Kreise eingeschriebener
Vielecke sich wie die Quadrate der Durchmesser der betreffenden
Kreise verhalten. Heissen nun K^ und ÜT^ die beiden Kreisflächen,
deren Durchmesser d^ und d^ sind, so sei angenommen, dass K^ : üCg
in kleinerem Verhältnisse stehen wie ö^^ : 62^. Sicherlich gibt es
eine Oberfläche Sl, welche dem Verhältnisse Ki : Si = dj^ : d^^ ge-
nügt, und weil K^ : K.^ '^ K^ : Sl, so wird K.2> Sl sein müssen.

') Aristoteles, Analyt. x^ost. I, 7. 75, a.

Cantoe, Geschichte der Matliematik I. 2. Aufl. 17

258 12. Kapitel.

Dann ist es aber unmöglich, dass dasselbe Verhältniss dj^ : d./ auch
obwalte zwisclien einer Fläche, die kleiner ist als K^ und einer
anderen, die grösser ist als Sl, und gleichwohl lässt sich das Vor-
handensein eines solchen unmöglichen Verhältnisses unter der ge-
machten Voraussetzung nachweisen und damit die Unzulässigkeit der
Voraussetzung selbst. Denn beschreibt man in K^ und K2 einander
ähnliche Vielecke Q^ und 0.^, so ist jedenfalls 0^ : ^g = ^1^ ' ^2^ ^^^
zugleich ^1 < Ky Es genügt also noch zu zeigen, dass es ein 0.^
gibt, welches grösser als Sl und kleiner als K.^ ist, und dazu wird
die Exhaustion angewandt. Ein dem Kreis umschriebenes Quadrat
ist offenbar grösser als der Kreis und zugleich genau doppelt so
gross als das dem Kreise eingeschriebene Quadrat. Mithin ist letz-
teres grösser als die halbe Kreisfläche, oder unterscheidet sich von
der Kreisfläche um weniger als deren Hälfte. Wird in jedem der
vier diesen Unterschied bildenden Kreisabschnitte der Bogen halbirt
und mit dem Halbirungspunkte und den Endpunkten als Spitzen ein
Dreieck gebildet, so ist dieses die Hälfte eines Rechtecks, innerhalb
welches der Kreisabschnitt eingeschlossen liegt, also grösser als die
Hälfte des Abschnittes. Das entstandene Achteck unterscheidet sich
somit von dem Kreise um weniger als den vierten Theil desselben.
Ebenso wird zu zeigen sein, dass der Unterschied zwischen dem
regelmässigen Vielecke von 16 Seiten und seinem Umkreise geringer

als — der Kreisfläche ist. Bei jedesmaliger Verdoppelung der Seitenzahl

des Vielecks wird der Flächenunterschied desselben gegen den Kreis
mehr als nur halbirt, und schon immerwährende Halbirung genügt
nach dem Satze der Exhaustion, um jede beliebige Grenze der Klein-
heit zu erreichen. Es ist also damit sicher gestellt, dass endlich
ein Vieleck Q^ erscheinen muss , dessen Fläche sich von der des
Kreises um weniger als z/ unterscheidet, wenn J = K^ — ^ ist,
und das ihm ähnliche dem Kreise K^ eingeschriebene Vieleck ist
jenes zugehörige ^^, welches den ersten Widerspruch liefert. Dass
ein zweiter Widerspruch aus der Annahme ÜT, : ÜT^ > d^ : dg^ hervor-
geht, und dass dieser Widerspruch gleichfalls mit Hilfe des Satzes
von der Exhaustion klargestellt wird, bedarf nicht erst der ausführ-
lichen Auseinandersetzung. Keine dieser beiden Annahmen findet
also statt, sondern nur die zwischen ihnen liegende K^:K.^ = d^^: d/.
Das ist der von Euklid eingeschlagene Weg, der in jedem einzelnen
Falle mit aller Strenge in ermüdender Einförmigkeit eingehalten
wird, ohne dass jemals eine Abkürzung des Verfahrens für statthaft
angesehen würde.

Das XHl. Buch endlich kehrt zu einem Geijeustande zurück, dem

Alexandria. Die Elemente des Euklid. 259

das IV. Buch theilweise gewidmet war. Es handelt von den regel-
mässigen einem Kreise eingeschriebenen Vielecken, ins-
besondere von den Fünfecken und Dreiecken. Dann aber benutzt es
diese Figuren als Seitenflächen von Körpern, welche in eine Kugel
eingeschrieben werden und schliesst mit der wichtigen Bemerkung,
dass es keine weiteren regelmässigen Körper geben könne
als die fünf zuletzt erwähnten, nämlich das Tetraeder, das Octaeder,
das Ikosaeder, die von Dreiecken begrenzt sind, den Würfel, dessen
Seitenflächen Quadrate sind, das Dodekaeder, welches von Fünfecken
eingeschlossen ist.

Wir haben von diesem merkwürdigen Werke einen weit aus-
führlicheren Auszug hier mitgetheilt als von den meisten der bisher
besprochenen. Die Wichtigkeit des Werkes rechtfertigt unser Ver-
fahren. Sie rechtfertigt zugleich die Frage nach dem Zwecke, welchen
Euklid bei der Niederschrift im Auge hatte. Proklus sagt uns, wie
wir oben (S. 247) erwähnten, Euklid habe als Endziel seines ganzen
Elementarwerkes die Construction der sogenannten platonischen Körper
hingestellt^). Dass dieses unrichtig ist bedarf für den, der auch nur
unseren Auszug mit einiger Aufmerksamkeit gelesen hat, keiner Aus-
einandersetzung. Die künstlerisch vollendete Gliederung des Werkes
machte es möglich, dass es in dem einen Gipfelpunkte abschloss, aber
der Zweck des Werkes war nur durch dessen ganzen Verlauf gegeben
und erfüllt. Die 13 Bücher der Elemente sind sich selbst
Zweck. „Elemente werden die Dinge genannt, deren Theorie hin-
durchdringt zum Verstehen der anderen, und von welchen aus die
Lösung ihrer Schwierigkeiten uns gelingt"^). So sagt derselbe
Proklus an einer anderen Stelle mit viel treuerer Wiedergabe dessen,
was beabsichtigt war. Euklid wollte, wie die übrigen Elementen-
schreiber vor ihm es schon versucht hatten, eine vollständige Ueber-
sicht aller Theile der Mathematik geben, welche in den folgenden
Theilen der Wissenschaft zur Anwendung kommen, wollte zugleich
die encyclopädisch zusammengestellten und geordneten Dinge auf
strenge Beweise stützen, welche einen Zweifel nicht aufkommen
lassen, sondern vielmehr gestatten wie in eine Rüstkammer blind-
lings dorthin zu greifen mit der Gewissheit stets eine tadellose Waffe
zu erfassen.

Wie weit wir Euklid als selbständigen Verfasser seines Werkes
zu bezeichnen haben, ist kaum zu sagen. Jeder Verfasser eines
Handbuches irgend eines Theiles der Mathematik ist von seihen Vor-

^) Proklus (ed. Friedlein) G8 rf;? cvintdaiqg crrotj^ftcofffcas rslog TiQOta-
zi'lGaro T]]v x&v %<xXov^bvo}v niatovizibv cxTj^drcov ciazuoiv. ^) Proklus (ed.
Friedlein) 72, 3-6.

17*

200 12. Kapitel.

gängern abhängig, und n:an muss die Scliriften der letzteren kennen,
um abzuscliätzen, wie weit er von den vorgetretenen Bahnen sich
entfernte. Euklid war ohne allen Zweifel ein grosser Mathematiker.
Dieses ürtheil werden die übrigen Schriften, die er verfaast hat,
rechtfertigen. Damit stimmt auch die Bewunderung, welche alle
Zeiten seinem vorzugsweise bekannt gewordenen Elementenwerke
entgegenbrachten, überein, und der von uns schon hervorgehobene
Umstand, dass im Schatten dieses Riesenwerkes die früher vorhandenen
ähnlichen Erzeugnisse verkümmerten und zu Grunde gingen, spätere
nicht entstehen konnten. Auch die wenigen Beweise, deren Ursprung
mit Bestimmtheit auf Euklid sich zurückführt — wir erinnern an
den Schulbeweis des pythagoräischen Lehrsatzes — lassen in Euklid
den feinen geometrischen Kopf erkennen. Ein grosser Mathematiker
wird auch da, wo er Anderen folgt, seine Eigenthümlichkeit nicht
ganz verleugnen, und so war es sicherlich auch bei Euklid. Aber
wo haben wir diese Eigenthümlichkeit zu suchen? Das ist und bleibt
wohl eine unbeantwortbare Frage, um so unbeantwortbarer als Pappus,
wie wir gleichfalls schon (S. 247) hervorgehoben haben, den Euklid
geradezu wegen seiner pietätvollen Anlehnung an ältere Schriftsteller
lobt, und wenn Pappus dabei allerdings ein anderes Werk des Euklid
im Auge hat, so dürfte sich diese Charaktereigenschaft auch in den
Elementen nicht verleugnet haben.

Wir sind sogar thatsächlich im Stande einige und nicht un-
wesentliche Stelleu des grossen Werkes anzugeben, in welchen, wie
wir schon früher sahen, Euklid nicht selbständig gearbeitet hat.
Das V. Buch gehört, wie wir (S. 228) einem alten Scholiasten nach-
erzählt haben, dem Eudoxus an. Von ebendemselben stammen
nach aller Wahrscheinlichkeit die fünf ersten Sätze des XIII. Buches.
Spuren von Vorarbeiten des Theaetet sind (S. 224) im X. Buche
nicht zu verkennen. Das stimmt gleichfalls mit der Aussage des
Proklus überein, dass Euklid „vieles von Eudoxus Herrührende zu
einem Ganzen ordnete und vieles von Theaetet Begonnene zu Ende
führte" (S. 246). Eben diese alten Spuren geben uns aber Veran-
lassung zur Untersuchung einer anderen Frage.

Die Form des V., des X^, des XIII. Buches ist von der der
anderen Bücher nicht im mindesten verschieden. Höchstens könnte
man betonen, dass, während sonst überall nur synthetisch verfahren
ist^ die fünf ersten Sätze des XIII. Buches Analyse und Synthese
verbinden. Aber auch bei ihnen ist die Form, welche man eukli-
dische Form zu nennen pflegt, gewahrt. Der Lehrsatz ist aus-
gesprochen, die Vorschrift was an der Figur vorgenommen werden
soll ist ertheilt, der Beweiss schliesst sich an. Und in anderen Fällen

Alexandria. Die Elemente des Euklid. 261

ist eine Aufgabe gestellt. Ihr folgt die Auflösung, dieser die zum
Beweise der Richtigkeit der Auflösung nöthigen Vorbereitungen durch
Ziehen von Hilfslinien u. s. w. und endlich der Beweis selbst. „Was
zu beweisen war", otccq idst ösit,at (quod erat demonstrandum) ist
die Schlussformel des Lehrsatzes oder Theorems, bei welchem es
sich um den Nachweis, c(n:6dei^iv, des Behaupteten handelt, und die
Aufgabe, das Problem, bei welchem es auf die Ausführung, xara-
öxsvrjv, des Geforderten ankommt, hat eine ganz ähnliche Schluss-
formel: „Was zu machen war", otzsq sdst jtoLrjöai (quod erat facien-
dum). Euklid habe diese Schlussformeln benutzt, sagt uns Proklus^),
und der Augenschein bestätigt es. Aber rühren diese Schlussworte,
rührt die ganze Form von Euklid her?

Wir bezweifeln es auf's Allerhöchste. Wir haben in dem Uebungs-
buche des Ahmes eine Sammlung von Beispielen kennen gelernt,
deren griechische Nachbildung in Inhalt und Form, insbesondere in
letzterer, uns auf alexandrinischem Boden begegnen wird. „Mache es
so" heissen die regelmässig wiederkehrenden Worte jener Uebungs-
bücher. Wir haben (S. 42 und 71) davon gesprochen, dass ägyp-
tische Lehrbücher neben den Uebungsbüchern vorhanden gewesen
sein müssen. Werden sie weniger eine herkömmliche unabänderliche
Form besessen haben als alles Andere in dem Lande der sich stets
gleich bleibenden Ueberlieferungen? Und sind jene euklidischen
Schlussworte für Lehrsätze und -Aufgaben nicht von anheimelnder
Aehnlichkeit zu dem ägyptischen „Mache es so"? Ist es ferner nicht
in hohem Grade wahrscheinlich, dass Eudoxus, von dem, wie wir
sagten, das V. Buch, dass Theaetet, von dem Theile des X. und des
XIII. Buches theilweise wörtlich übernommen wurden, der gleichen
Form sich schon bedienten? Ist endlich wohl anzunehmen, Euklid
habe eine für den Unterricht, soweit er Gedächtnisssache ist, un-
gemein zweckmässige Form neu erfunden, und diese Form sei nur
der Geometrie, keiner anderen Wissenschaft zu Gute gekommen?
Diese Gründe werden zwar noch nicht Gewissheit hervorbringen;
noch immer wird von Manchen behauptet werden, der Name eukli-
dische Form sei durchaus gerechtfertigt, denn Euklid sei der selb-
ständige Erfinder derselben; aber Andere werden ebenso sicher mit
uns der Ueberzeugung gewonnen sein, die ägyptische Form eines
Lehrbuches der Geometrie, in Griechenland eingedrungen, seit über-
haupt Geometrie dort gelehrt wurde, in Alexandria durch die neuer-
dings ermöglichte Kenntnissnahme ägyptischer Originalwerke auf-
gefrischt, habe bei Euklid nur ihre vollendete Abrundung erlangt.

') Proklus (ed. Friedleiu) 81,

262 12. Kapitel.

Eines haben wir bei Besprechung dieser Ursprungsfrage still-
schweigend vorausgesetzt: dass nämlich dasjenige, was uns hand-
schriftlich als die Elemente des Euklid überliefert wurde, in der
That jenes Werk ist, wie es unter dem Griffel des Verfassers ent-
stand. Zweifel daran wären, trotz der ungemeinen Verbreitung,
deren die euklidischen Elemente im Alterthum sich erfreuten, oder
vielleicht eben wegen dieser Verbreitung nicht unmöglich, denn grade
häufig abgeschriebene Schriftstücke verderben leicht durch sich fort-
erbende und durch bei jeder Abschrift neu hinzutretende Fehler,
wenn nicht gar durch allmälige Einschaltung von Randglossen, welche
nach und nach in den Text eindrangen, dem sie als Fremdlinge nur
angehören. Euklids Elemente sind in antiken Schriften nicht gar
oft erwähnt'), aber die üebereinstimmung der genannten Bücher-
nummer mit der Ziffer, welche sie in den Handschriften führt, ist
meistentheils vorhanden. Uns wenigstens ist nur ein Beispiel des
Gegentheils bekannt, welches auf römischem Boden im 27. Kapitel
zu besprechen sein wird. Fremde spätere Zusätze sind in dem, was
man die Elemente des Euklid nennt, allerdings vorhanden. Eines
solchen machte Theon von Alexandria in seiner Ausgabe, sxdoöig^
der euklidischen Elemente am Ende des VI. Buches sich schuldig,
Avie er selbst in seinem Commentare zum 1. Buche des ptolemäischen
Almagestes erzählt^). Aus dieser ungemein wichtigen Stelle im Zu-
sammenhange mit dem Umstände, dass jener Zusatz des Theon seinem
Inhalte nach sich vollständig mit dem Zusätze zu Satz 33. des
VI. Buches deckt, geht somit hervor, dass es eine theonische
Textausgabe der euklidischen Elemente ist, deren wir uns be-
dienen, und dass wenn auch nicht grade zahlreiche, doch einige
Aenderungen durch jenen Schriftsteller vom Ende des IV. S. statt-
gefunden haben mögen.

Theon kann es vielleicht gewesen sein, welcher den berüchtigten
11. Grundsatz des I. Buches: „Zwei Gerade, die von einer dritten
geschnitten werden, so dass die beiden imieren an einerlei Seite
lieecenden Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte sind, treffen
genugsam verlängert an eben der Seite zusammen" an diese unpassende
Stelle brachte, während es gar kein Grundsatz, sondern die Um-
kehrung des Satzes 17. des I. Buches ist^), und dort als Folgerung
ohne Beweis ausgesprochen immer noch frühzeitig genug stehen

^) Untersuchungen darüber von Savilius abgedruckt in Gregory's Vor-
rede zu seiner Euklidausgabe. Die gleichen Untersuchungen mit einigen neuen
Zuthaten bei Hankel 386 — 388. ') Comnientaire de Theon sur la composition
mathematique de Ptoletnee ^dit. Halma I, 201. Paris, 1821. ^) Das erkannte
schon Saviliuä.

Die übrigen Schriften des Euklid. 263

würde, um bei Satz 29. des I. Buches benutzt zu werden, wie es
der Fall ist.

Theon mag auch die Schuld einiger Definitionen des V. und
VI. Buches treffen, welche häufig angegriffen worden sind').

Eine Definition des V. Buches, nämlich die 5., hat freilich un-
schuldigerweise solche Angriffe erlitten, veranlasst, wie im folgenden
Bande besprochen werden muss, durch Uebersetzungsirrthümer zweier
Sprachen. Diese Definition geht offenbar ursprünglich auf Zeiten
zurück, die vor Euklid liegen. Sie will erklären, was es heisse,
wenn man von vier Grössen sage, dass sie in Proportion stehen. Da
von Grössen die Rede ist und nicht von Zahlen, so musste die Defi-
nition so weit gefasst werden, dass auch Incommensurables ■ hinein-
passte, und dieses erreichte der Verfasser, sei es Eudoxus oder wer
sonst gewesen, indem er ausser den Grössen J, B, jT, ^ noch
irgend zwei ganze Zahlen [i und v sich dachte und behauptete, es

sei Jl : B = F: zJ, wofern immer wenn ^A=^vB zugleich auch
^r^vJ. Der Wortlaut ist folgender: „In einerlei Verhältuiss sind

Grössen A, B, F, z/, die erste zur zweiten und die dritte zur vierten,
wenn von beliebigen Gleichvielfachen der ersten und dritten A, F
und beliebigen Gleichvielfachen der zweiten und vierten B, A die
Vielfachen der ersten und dritten zugleich entweder kleiner oder
eben so gross oder grösser sind als die Vielfachen der zweiten und
vierten nach der Ordnung mit einander verglichen."

13. Kapitel.

Die übrigen Schriften des Euklid.

Euklid hat neben und ausser den Elementen noch mehrfache
andere Schriften verfasst, die uns leider nicht sämmtlich vollständig
erhalten sind. So ist uns von einem Werke, welches gewiss höchst
interessant war, nur die fast mehr als nothdürftige Schilderung übrig
geblieben, die Proklus davon mit folgenden Worten gibt: Auch über-
lieferte er Methoden des durchdringenden Verstandes, mit deren Hilfe
wir den Anfänger in dieser Lehre in der Aufsuchung der Fehlschlüsse
üben und selbst unbetrogen bleiben können. Die Schrift, durch
welche er uns diese Ausrüstung verschafft, betitelt er Trugschlüsse,
fsvdccQLK. Er zählt die verschiedenen Arten derselben der Reihe
nach auf und übt bezüglich jeder unseren Verstand in allerlei Lehr-

') Ausführliches hierüber bei Hankel 389 — 401.

2(34 13. Kapitel.

Sätzen, indem er dem Falschen das AValire gegenüberstellt und den
Beweis des Truges mit der Erfahrung zusammenhält^).

Verloren sind auch die drei Bücher der Porismen, welche
Euklid verfasste, deren Inhalt jedoch aus Spuren in genügender
Weise erkannt werden konnte, um eine vermuthlich in der Haupt-
sache richtige Wiederherstellung zu gestatten"^). Mit den genamiten
Spuren hat es folgendes Bewandtniss. Pappus hat in seiner Mathe-
matischen Sammlung, von welcher schon wiederholt die Rede war,
neben eigenen Untersuchungen auch vielfach Auszüge aus fremden
Schriften gegeben, welche gleichzeitig bis zu einem gewissen Grade
erläutert werden. Unter diesen fremden Schriften befinden sich denn
auch die euklidischen Porismen, von welchen im VII. Buche der
Sammlung die Rede ist, und zu deren Verständniss Pappus eine An-
zahl von Lemmen mittheilt ^). Freilich wäre der Gebrauch, welchen
man von diesen Hilfssätzen allein machen könnte, um aus ihnen den
Inhalt des Werkes, zu welchem sie erfunden sind, zu erschliessen,
kein unbedingter. Wir besitzen nämlich auch noch Lemmen des
Pappus zu Werken, deren Urschrift nicht verloren gegangen ist, und
an diesen zeigt sich, dass der geometrische Scharfsinn des Verfassers
ihn nicht selten weit abseits führte, und dass er sich wohl grade
dadurch verleiten Hess etwas verschwenderisch mit der Benennung
Lemma umzugehen. Es kommen Sätze bei Pappus vor, welche so
gut wie in gar keiner Beziehung zu den Schriften stehen, als deren
Hilfssätze sie bezeichnet werden, und wir haben zum Voraus keinerlei
Gewähr dafür, dass es sich mit den Hilfssätzen zu den euklidischen
Porismen nicht ebenso verhalte. Nachträglich scheint freilich die
gelungene Wiederherstellung, von der wir sprachen, und welche für
das tiefe Eindringen ihres Verfassers in den geometrischen Geist der
Alten ein glänzendes Zeugniss ablegt, jene Gewähr zu liefern. Es
ist schwer an einen Zufall zu denken, wo die Ergebnisse vollste
Uebereinstimmung mit den 38 Lemmen des Pappus, mit der Inhalts-
angabe der drei Bücher Porismen, wie sie bei ebendemselben sich
findet, mit der Erklärung des Wortes Porisma bei Pappus und mit
einer solchen bei Proklus*) zu Tage fördert.

Der sprachliche Zusammenhang des Wortes Porisma, 7c6qi6(ik,

^) Proklus (ed, Fried lein) 70. *) Les trois livres de Porismes d'Eudidc
retablis pour la premiere fois d' apres la notice et l(S Icmmcs de Pappus et con-
formcment au sentiment de R. Simson sur la forme des e'nonces de ces propokitions
^ar M. Chasles. Paris, 1860. Heiberg, Euklidstudien S. 56—79 sucht aller-
dings die Behauptung zu begründen, die Chasles'sche Wiederherstellung der
Porismen sei noch keineswegs als endgiltig anzusehen. ^) Pappus (ed.
Hultsch) G48 sqq. *) Proklus (cd. Friedlein) 301 sqq.

Die übrigen Schriften des Euklid. 265

mit TCiiQco, mit Pore, mit parare, mit forsclien, mit dem Sanskrit-
worte pri Tf lässt einen Grundbegriff des Vorwärtsbringens wohl er-
kennen, doch ist damit nur die eine Bedeutung von Porisma als
Zusatz, corollarium, gegeben, welche gleichfalls durch das Vor-
kommen in geometrischen Schriften bestätigt wird.* Porisma als
Kunstname einer besonderen für sich bestehenden Gattung von Sätzen
wird dadurch um nichts klarer. Von diesen sind dagegen ausdrück-
liche Definitionen vorhanden. Pappus in der Einleitung zu seinem
VII. Buche sagt, Porisma sei ein Ausspruch, bei welchem es sich
um die Porismirung des Ausgesprochenen handle, und fügt dieser
Erklärung durch ein fast gleiches Wort die Erläuterung bei: „Diese
Definition des Porisma wurde von den Neueren verändert, welche
nicht Alles finden können, sondern auf die Elemente gestützt nur
zeigen, dass das, was gesucht wird, vorhanden ist, nicht aber dieses
selbst finden. So schrieben sie, obschon durch die Definition selbst
und das Erlernte widerlegt, mit Bezug auf einen Nebenumstand, ein
Porisma sei das, was zur Hypothese eines Ortstheorems fehle." Eine
weitere Definition, sagten wir oben, gebe Proklus. Sie enthält gleich-
falls zweierlei, wenn auch nicht dieselben beiden Unterscheidungen
wie Pappus sie trennt. „Einmal nennt man es ein Porisma, wenn
ein Satz aus dem Beweise eines anderen Satzes mit erhalten wird, als
Fund oder grade vorhandener Gewinn bei dem Gesuchten, zweitens
aber auch, wenn etwas zwar gesucht wird, aber um von der Erfin-
dung Gebrauch zu machen und nicht von der Entstehung oder der
einfachen Anschauung .... Man hat es nicht mit der Entstehung
des Gesuchten zu thun, sondern mit dessen Erfindung, und auch
eine blosse Anschauung genügt nicht. Man muss das Gesuchte in
das Gesichtsfeld bringen und vor den Augen ausführen. Von dieser
Art sind auch die Porismen, welche Euklid schrieb, als er seine
Bücher der Porismen verfasste." Diese Erklärungen haben gewiss
keinen Anspruch auf den Ruhm unbedingter Deutlichkeit, aber eines
lassen sie erkennen: dass das Wort Porisma allmälig einen anderen
Sinn annahm, als es ursprünglich besass. Man versteht diese Be-
griffsverschiebung jetzt gewöhnlich so, dass die verhältnissmässig
jüngeren Schriftsteller — jünger im Sinne des Pappus gesagt für
diejenigen, welche auftraten, seit es Elemente gab — dabei an einen
Nebenumstand sich hielten, der von den Alten nicht berücksichtigt
wurde, dass aber jedenfalls zu allen Zeiten das Merkmal untrüglich
hervortrat, dass ein Porisma gewissermassen eine Verbindung von
Theorem und Problem war, ein Theorem, welches ein Problem
anregte und einschloss. Ein sehr allgemeines Beispiel davon
bildet auf einem der Mathematik durchaus fremden Gebiete die ärzt-

266 13. Kapitel.

liehe Diagnose. Sie ist ein wahres Porisnia. Sie erhärtet als Theorem
den gegenwärtigen Zustand des Kranken, wobei sie ebensowohl die
bei allen Lidividuen gemeinsamen Erscheinungen der bestimmten
Krankheitsform, als die von einem Menschen zum anderen veränder-
lichen Naturkundgebungen berücksichtigt. Sie schliesst aber auch
ein Problem in sich: die weitere Entwicklung des Krankheitsprocesses
vorauszusehen und womöglich zu leiten. Sie zeigt sich als unvoll-
ständig, so lange nicht eben dieses Problem seiner Lösung entgegen-
geführt wird. Uebersetzen wir nun eben diese Gedankenfolge in die
Sprache der Mathematik, so können wir sagen: Ein Porisma ist
jeder unvollständige Satz, welcher Zusammenhänge zwi-
schen nach bestimmten Gesetzen veränderlichen Dingen
so ausspricht, dass eine nähere Erörterung und Auf-
findung sich noch daran knüpfen. Ein schon von Proklus
angegebenes Beispiel liefert etwa der Satz, dass, wenn ein Kreis ge-
geben ist, der Mittelpunkt desselben immer gefunden werden könne,
denn an ihn knüpft sich die Aufgabe, die Construction zu ermitteln,
durch welche man den Mittelpunkt wirklich erhält, mit Nothwendig-
keit an. Oder um ein zweites den Griechen noch durchaus unver-
ständliches Beispiel zu wählen, so ist es ein Porisma, wenn man
sagt: Jede rationale ganze algebraische Function einer Veränderlichen
könne immer in einfachste reelle Faktoren zerlegt werden, denn an
diesen Satz knüpft sich unmittelbar die weitere Frage, von welchem
Grade jene einfachsten Faktoren sein werden, sowie die mit den
Mitteln gegenwärtiger Algebra nicht lösbare Aufgabe in jedem ein-
zelnen Falle die betreffenden einfachsten Faktoren selbst aufzufinden.
Wenn durch diese Auseinandersetzung der Begriff des Porisma im
älteren Sinne des Wortes zu einiger Klarheit gelangt sein dürfte, so
können wir jetzt auch die spätere Bedeutung des Wortes ins Auge fassen.
Nachdem man nämlich bemerkt hatte, dass die Veränderlichkeit
mitunter in der Ortsveränderung von Punkten bestehe, so klammerte
man sich an diesen Nebenumstand fest und setzte als Regel, dass
das Veränderliche ausschliesslich von der Art sein sollte,
dass man es mit einem mangelhaften Ortstheoreme zu thuu
habe. Eines der berühmtesten Porismen in diesem Sinne, welches
bei Pappus sich erhalten hat'), lautet in der Sprache heutiger Geo-
metrie etwa so: Schneiden die Linien eines vollständigen Vierseits
sich in sechs Punkten, von denen drei in einer Geraden liegende ge-
geben sind, und sind von den drei übrigen Punkten zwei der Bedin-
gung unterworfen je auf einer gegebenen Geraden zu bleiben, so

') Pappus VII, praefatio (ed. Hultsch) 652 sqq.

Die übrigen Schriften des Euklid. 267

wird aiicli der letzte Punkt eine Gerade zum geometrisclien Orte
haben, welche aus den vorhandenen Angaben bestimmt werden kann.
Man sieht augenblicklich, erstens dass es sich hier um einen geo-
metrischen Ort handelt, zweitens dass in der Hypothese die Lage
der von zwei Punkten beschriebenen Geraden nicht näher bezeichnet
ist, dass also an der Hypothese etwas fehlt, drittens dass demgemäss
auch die Folgerung an Bestimmtheit zu wünschen übrig lässt, dass
aber viertens die Folgerung zu vollständiger Bestimmtheit ergänzt
werden kann, indem man die Lage der dritten Geraden zu den ge-
gebenen Raumgebilden in Beziehung setzt, sie als eine darzustellende
Function derselben betrachtet. Mit anderen Worten: die Ortsver-
änderung eines Punktes ist in Abhängigkeit gebracht zu den Orts-
veränderungen zweier Punkte, so dass sie der Art nach bestimmt
ist, der Lage nach aber erst bestimmt wird, wenn jene Ortsverände-
rungen der beiden anderen Punkte, so wie drei feste Punkte wirklich
gegeben sind.

Dieses vollständiger als die übrigen erhaltene Porisma wurde,
wie wir gleichfalls durch Pappus wissen, in zehn einzelnen Fällen
behandelt, je nach der Verschiedenheit der Lage der einzelnen Punkte
und Geraden. Man erkemit an diesem einen Beispiele, welche ge-
waltige Ausdehnung eine Sammlung von Porismen gewinnen konnte,
wenn die theils als Bedingungen, theils als Ergebnisse in jedem Po-
risma vorkommenden geometrischen Oerter jeder beliebigen Gattung
von Raumgebilden angehören durften. Euklid legte sich die frei-
willige Beschränkung auf, nur solche Oerter zu benutzen, deren
Lehre aus seinen Elementen zur Genüge bekannt war. Li den beiden
ersten Büchern seiner Porismen treten nur Gerade auf, in dem dritten
Buche ausser solchen auch Kreise. Trotz dieser engen Beschränkung
waren 171 Sätze in dem Werke enthalten, welche Pappus je nach
den Ergebnissen, also abseits der Bedingungen, in 29 Gattungen ab-
getheilt hat. Eine Gattung war es z. B., wenn sich herausstellte,
dass ein Punkt auf einer der Lage nach bekannten Geraden liegen
müsse-, eine zweite, wenn man erfuhr, dass eine gewisse Gerade in
allen ihren Lagen durch einen bestimmten Punkt gehen müsse-, eine
dritte, wenn wieder eine bewegliche Gerade auf zwei gegebenen
Geraden Abschnitte von bestimmten Produkten bildete, während man
bei der Aufstellung jener Gattungen als solcher zunächst davon
absah, welcherlei Bedingungen in jener ersten Gattung die Bewegung
des Punktes, in den beiden anderen die Bewegung der Geraden regeln.
Von dieser Auffassung ist wenigstens die von uns schon gerühmte
Wiederherstellung der euklidischen Porismen ausgegangen, auf welche'
für die genauere Kenntniss des Gegenstandes verwiesen werden muss.

268 13. Kapitel.

Er ist trotz des Scliarfsinnes, welchen der neue Bearbeiter als Geo-
meter wie als Historiker an den Tag legte, nicht so weit über allen
imd jeden Zweifel erhaben, dass wir es verantworten könnten über
die Ergebnisse der Wiederherstellung unter dem Verfassernamen des
Euklid zu berichten. Nur Eines entnehmen wir ihr noch: die Ver-
wandtschaft, welche Euklids Porismen nach zwei Seiten hin besassen.
Im Hinblicke auf ihren Inhalt, auf die Lehre von der veränderlichen
Lage grenzten sie an die sogenannten geometrischen Oerter; in ihrer
Form näherten sie sich einem andern euklidischen Werke, den Daten.

Die Daten^), dsdo^svcc, des Euklid sind vollständig auf uns ge-
kommen, versehen mit einer Vorrede des Marinus von Neapolis
in Palästina, eines Schülers des Proklus, in ihrer Echtheit bestätigt
durch eine Beschreibung des Pappus, welche wenn auch nicht in
allen Punkten, doch der Hauptsache nach mit unserem Texte über-
einstimmt"). Was man unter einem Gegebenen, öeöoiisvoVj zu ver-
stehen habe, sagt Euklid in einer Reihe von Definitionen, welche an
der Spitze dieser Schrift stehen. Der Grösse nach gegeben heissen
Räume, Linien und Winkel, wenn man solche, die ihnen gleich sind,
finden kaim. Ein Verhältniss heisst gegeben, wenn man ein Ver-
hältniss, welches mit jenem einerlei ist, finden kann. Der Lage nach
gegeben heissen Punkte, Linien und Winkel, wenn sie immer an dem-
selben Orte sind u. s. w. Nach diesen Definitionen folgen 95 (Pappus
zufolge nur 90) Sätze, in welchen nachgewiesen Avird, dass, wenn
gewisse Dinge gegeben sind, andere Dinge gleichzeitig mitgegeben
sind. Zur besseren Einsicht in den Gegenstand heben wir einige
Sätze aus den verschiedensten Theilen der Schrift hervor.

Satz 1. Gegebene Grössen haben zu einander ein gegebenes
Verhältniss.

Satz 3. Wenn gegebene Grössen, wie viele ihrer sein mögen,
zusammengesetzt werden, so ist ihre Summe gegeben.

Satz 25. Wenn zwei der Lage nach gegebene Linien einander
schneiden, so ist ihr Durchschnittspunkt gegeben.

Satz 40. Wenn in einem Dreiecke jeder Winkel der Grösse
nach gegeben ist, so ist das Dreieck der Art nach gegeben.

Satz 41. Wenn in einem Dreiecke ein Winkel gegeben ist und

*) Eine deutsche Uebersetzimg hat J. F. Wurm (Berlin, 1825) heraus-
gegeben, den griechischen Text der ersten 21 Sätze nach einem münchner Codex
Fr. Buchbinder in dem Programm der Landesschule Pforta für 18GG: Euklids
Porismen und Data. H. Menge bereitet eine Textausgabe mit lateinischer
Uebersetzung im Anschlüsse an die Heiberg'sche Ausgabe der Elemente vor.
^) Pappus VII (ed. Hultsch) pag. 638—640.

Die übrigen Schriften des Euklid, 269

die um diesen ^inkel liegenden Seiten ein gegebenes Verhältniss zu
einander haben, so ist das Dreieck der Art nach gegeben.

Satz 54. Wenn zwei der Art nach gegebene Figuren ein ge-
gebenes Verhältniss zu einander haben, so haben auch ihre Seiten
zu einander ein gegebenes Verhältniss.

Satz 58 und 59. Wenn ein gegebener Raum einer gegebenen
graden Linie angefügt, aber um eine der Art nach gegebene Figur
zu klein, skkeiTCov (zu gross, vitBQßallov) ist, so sind die Seiten der
Ergänzung (des üeberschusses) gegeben.

Satz 84 und 85. Wenn zwei Gerade einen gegebenen Raum
unter einem gegebenen Winkel einschliessen und ihr Unterschied
(ihre Summe) gegeben ist, so ist jede derselben gegeben.

Satz 89. Wenn in einem der Grösse nach gegebenen Kreise
eine der Grösse nach gegebene Gerade gegeben ist, so begrenzt sie
einen Abschnitt, welcher einen gegebenen Winkel fasst.

Die Vergleichung dieser Proben mit dem, was über Porismen
gesagt wurde, lässt augenblicklich die angekündigte Formverwandt-
schaft erkennen. Auch hier schliesst das Theorem, in dessen Gewände
die Sätze aufzutreten pflegen, ein künftiges Problem ein, und die
Beweisführung erfolgt fast regelmässig so, dass jenes Problem gelöst
wird. So ist in dem oben angeführten Satz 3. die Aufgabe mit ein-
geschlossen, die Summe der gegebenen Grössen auch wirklich zu
finden, und in der That wird der Satz dadurch als richtig erwiesen,
dass man zwar nicht die Summe selbst, denn dieses würde nicht in
dem Charakter des Buches der Gegebenen liegen, aber eine der Summe
gleiche Grösse darstellt. Aber auch dafür ist umgekehrt gesorgt,
dass man nicht Daten und Porismen ganz verwechseln könne. Da-
gegen schützt der gewaltige Unterschied des Inhaltes, der sich kurz
dahin bezeichnen lässt, dass bei den Daten die Bedingung der ver-
änderlichen Grösse wegfällt, welche zum eigentlichen Wesen des
Porisma gehört und dessen wissenschaftliche Stellung nach unseren
heutigen Begriffen zu einer weit höheren macht als die der Daten,
deren eigentliche Berechtigung uns fast zweifelhaft erscheint, weil in
ihnen im Grunde nichts steht, was nicht schon in anderer Form und
anderer Reihenfolge in den Elementen steht oder wenigstens stehen
könnte.

Die Data, kann man sagen, sind Uebungssätze zur Wiederauf-
frischung der Elemente; die Porismen sind Anwendungen derselben
von selbständigem Werthe. Der Stoff, welcher dem, der die Daten
auswendig weiss, zu Gebote steht, führt ihn doch nicht über die
Elemente hinaus; der Stoff, welcher in den Porismen dem Gedächt-
nisse sich einprägt, kommt in der Lehre von den Oerteru, in der

270 13. Kapitel.

höheren Mathematik der Griechen, zur Geltung. Daten kann es in
frühester Zeit gegeben- haben, Porismen im euklidischen Sinne erst
seitdem der Ortsbegriff entstand.

Die nahen Beziehungen der Daten zu den Elementen lassen sich
auch auf jenem Gebiete verfolgen, welches ein gemischtes ist, insofern
dort Arithmetisches und Algebraisches geometrisch eingekleidet er-
scheinen. Vergleichen wir z. B. Satz 58. und 59. mit den Aufgaben
in Satz 28. und 29. des VI. Buches (S. 252), so liegt die Wechsel-
verbindung auf der Hand ^). Satz 84. und 85. lehren aus xy = V^
und X -[- y = a die Wurzeln der beiden Gleichungen, oder, was auf
dasselbe hinausläuft, die Wurzel der quadratischen Gleichung x" -f- W
= ax zu finden^). Wir erinnern dabei an den 11. Satz des II, Buches
der Elemente (S. 250), in welchem die Gleichung x^ -\- ax = d"
erkannt wurde, ein besonderer Fall der Gleichung x" -\- ax = V^
des 29. Satzes des VI. Buches. Wir erinnern an die Gleichung
x^ = ax -{- 1/ des 28. Satzes des VI. Buches, und haben jetzt hier
in den Daten den einzigen noch übrigen Fall x^ -\- V^ = ax der
quadratischen Gleichung mit lauter positiven Gliedern vor uns. Die
Daten sind hier die nothwendige Ergänzung der Elemente. Der
Schriftsteller, der beide verfasste, war im Besitz der Mittel eine
Wurzel jeder quadratischen Gleichung, welche überhaupt eine reelle
Lösung zulässt, zu finden. Darf aber das Bewusstsein hier eine
grosse Gruppe von Problemen vor sich zu haben, deren Bedeutung
nicht nur eine geometrische ist, bei Euklid vorausgesetzt werden?
Die geometrische Form, in welcher jene Aufgaben bei Euklid er-
scheinen, würde nicht genügen, jedes algebraische Bewusstsein zu
leugnen, denn jene Form werden wir, als Ueberbleibsel alter Uebüng,
bei Schriftstellern und in Zeiten noch vorwalten sehen, denen mau
wohl eher umgekehrt das geometrische Bewusstsein absprechen darf
Ist aber diese kleine Schwierigkeit aus dem Wege geräumt, so nehmen
wir keinen Anstand die gestellte Frage voll zu bejahen. Euklid muss
mit numerischen quadratischen Gleichungen zu thun gehabt haben,
denn nur daraus lässt sich das Entstehen des X. Buches seiner Ele-
mente erklären''), und das ist die grosse Bedeutung, welche wir
(S. 254) eben diesem Buche zum voraus beigelegt haben.

^) Matthiessen, Grundzüge der antiken und modernen Algebra der
litteralen Gleichungen ö. 928 — 929 hat darauf hingewiesen. ^) Darauf dürfte
Chasles, Apert^u hisioiique siir l'origine et le developpement des methodes en
grometrie, 2, Edition. Paris, 1875, pag. 11, Note 2 oder deutsche Uebersetzung
von Sohncke. Halle, 18.39, S. 9, Anmerkung 11 zuerst aufmerksam gemacht
haben. Dieses Werk heisst bei uns künftig Chasles, Aper^'u Inst. ^) Dieser
feine und wichtige Gedanke ist zuerst ausgesprochen bei Zeuthen, Die

Die übrigen Schriften des EuMid. 271

Wie verhält es sich, aber mit der Fähigkeit des Euklid auch solche
Gleichungen zu lösen, welche in durchaus anderem Gewände er-
scheinen? In einer Sammlung griechischer Epigramme, von welcher im
23. Kapitel die Rede sein vrird, kommt als euklidisches Problem
eines vor, welches in deutscher Uebersetzung folgendermassen lautet^):

Esel und Maulthier schritten einher beladen mit Säcken.

Unter dem Drucke der Last schwer stöhnt' und seufzte der Esel.

Jenes bemerkt ea und sprach zu dem kummerbeladnen Gefährten:

„Alterchen, sprich, was weinst Du und jammerst schier wie ein Mägdlein?

Doppelt so viel als Du grad' trüg' ich, gäbst Du ein Maass mir;

Nähmst Du mir eines, so trügen wir dann erst beide dasselbe."

Geometer, Du Kundiger, sprich, wieviel sie getragen.

Wie verhält es sich mit der Berechtigung dieser Aufgabe, den ihr
beigelegten Namen zu führen? Die meisten Schriftsteller leugnen
diese Berechtigung vollständig. Jedenfalls muss man zwei Dinge
hier unterscheiden, ob Euklid eine derartige Aufgabe lösen konnte
und ob er sie so, wie sie überliefert ist, löste oder gar stellte. An
der Möglichkeit der Lösung wird man nicht zweifeln. Schon Thy-
maridas hatte (S. 148) Gleichungen ersten Grades mit mehreren
Unbekannten von einer gewissen Form lösen gelehrt, und Euklid
dürfte, seiner Gewohnheit nach Alles an Linien versinnlichend, gesagt
haben, wenn man die Last des Maulesels durch eine Linie Ä dar-
stellt, so wird, wenn die Längeneinheit abgeschnitten ist, Ä — 1 als
übrige Last der bereits um die Einheit vergrösserten Last des Esels
gleich sein; die ursprüngliche Last des Esels war also Ä — 2, oder
um 2 geringer als die des Maulthiers. Nimmt man zu Ä noch eine
Längeneinheit hinzu, so ist J. -|- 1 doppelt so gross wie das um die
Einheit verminderte A — 2, oder wie Ä — 3, d. h. A -\- 1 und
2A — 6 sind gleiche Längen; daraus folgt A -{- 1 = A -{- A und
A ^ 1 nebst A — 2 = 5. Solche Schlüsse, sagen wir, waren Euklid
vollständig angemessen, und die Durchführung von Satz IL des
IL Buches der Elemente, die wir (S. 250) als Probe vorgenommen
haben, dürfte jedem Zweifel in dieser Beziehung begegnen. Ein ganz
Andres ist es, ob die epigrammatische Form der Räthselfrage
von Euklid herstamme. Aehnliche Fragen werden uns wiederholt
begegnen, theilweise auch auf alte Quellen zurückgeführt. Jedenfalls

Lehre von den Kegelschnitten im Alterthume (deutsche Ausgabe von R. von
F ischer-Benzon. Kopenhagen 1886), S. 24 — 25. S. A. Christensen, Ueber
Gleichungen vierten Grades im X. Buch der Elemente Euklids. Zeitschr.
Math. Phys. XXXIV, Hist.-liter. Abthlg. S. 201—207 geht uns allerdings
etwas zu weit.

1) Vergl. Nesselmann, Algebra der Griechen S. 480.

272 13. Kapitel.

dient die eine Aufgabe der anderen zur Bestätigung, oder zur ver-
nichtenden Kritik. . Ist die eine echt, dann kann auch die andere
echt sein; ist die eine verhältnissmässig späte Unterschiebung unter
den Namen eines Verfassers, der weniger als Verfasser, denn als
Vertreter mathematischer Wissenschaft gemeint ist, so dass eukli-
disches Problem nur heissen soll: Problem, wie es Euklid zu lösen
im Stande war, dann dürfte das Gleiche auch für die andere Auf-
gabe gelten. Wir müssen uns enthalten eine Entscheidung zu treffen,
zu welcher dem Mathematiker so gut wie keine bestimmenden Gründe
vorliegen. Nur die vollständige Verschiedenheit des Epigrammes von
allen sonstigen euklidischen Schriften lassen wir als Gegengrund
gegen die Echtheit nicht gelten. Ein GecHchtchen ist nun einmal
keine Abhandlung. Beide müssen von einander abweichen, und dass
es dem Ernste des Mathematikers nicht widerspricht, auch einmal
an die Scherzform der Poesie sich zu wagen, haben Beispiele aller
Zeiten bewiesen. Zudem würde dieser Gegengrund vollends schwinden,
wenn man zu der eben durch ein Wort angedeuteten Auffassung
sich bekennen wollte, Euklid habe die Aufgabe nicht gestellt,
sondern gelöst, und sie sei deshalb unter seinem Namen bekannt
geblieben.

Proklus berichtet '^) noch von einer weiteren geometrischen Auf-
gabensammlung, welche Euklid verfasste und welche den Namen
des Buches von der Theilung der Figuren, Ttsgl diaiQtGEcov
ßißkCov^ führte'^). Bis in die zweite Hälfte des XVI. S. war diese
Schrift, abgesehen von den Auszügen aus derselben, von denen man
nicht wusste, dass sie daher stammten, für das Abendland verschollen.
Da fand John Dee um 15G3 eine arabische Schrift gleichen Titels,
welche er, Aviewohl Mohammed Bagdadinus (so lautet der Name
in der uns allein bekannten latiuisirten Form) als Verfasser genannt
war, für euklidisch hielt, und deren lateinische Uebersetzimg er an-
fertigte, die alsdann in die Gregory'sche Euklidausgabe von 1702
Aufnahme fand. Dee's Vermuthung hat an Wahrscheinlichkeit ge-
wonnen, seit Woepcke in Paris ein zweites arabisches Bruchstück
auffand, welches, mit dem Dee'schen Manuscripte wenn auch nicht
wörtlich doch dem Wesen nach übereinstimmend, namentlich eine
Lücke jenes ersten Textes ergänzte. Proklus erwähnt nämlich aus-
drücklich Sätze über die Theilung des Kreises, und diese fehlten in

^) Proklua (ed. Friedlein) pag. 69 und 144. ^) Vergl. Gregory in
der Vorrede zu seiner Euklidausgabe. Woepcke im Journal Asiatique für
September und October 1851 und ganz besonders Ofterdinger, Beiträge
zur Wiederherstellung der Schrift des Euklid über die Theilung der Figuren.
Uhn, 1853.

Die übrigen Schriften des Euklid. 273

deai Dee'sclieu , fanden sich in dem WoepcHe'schen Bruchstücke.
Nimmt man hinzu, dass in letzterem Euklid als Verfasser gradezu
genannt ist, so wird es fast zur Gewissheit, dass hier eine Bearbeitung
des euklidischen Textes vorliegt. Eine wörtliche Uebersetzung anzu-
nehmen hindern einige vorkommende mathematische Unrichtigkeiten,
die einem Euklid nicht wohl entstammen können^). Einige Bei-
spiele der uns erhaltenen Aufgaben sind folgende. Das Dreieck wie
das Viereck werden durch eine einer gegebenen Graden parallele Linie
nach gegebenem Verhältnisse getheilt. Für das Fünfeck ist die Auf-
gabe nicht ganz so allgemein gestellt, aber immerhin wird die Thei-
lung desselben nach gegebenem Verhältnisse verlangt, sei es von
einem Punkte einer Fünfecksseite aus, sei es durch eine zu einer
Fünfecksseite unter gewissen Voraussetzungen parallele Gerade. End-
lich schliesst die pariser Handschrift, wie bemerkt, die Aufgaben ein,
eine von einem Kreisbogen und zwei einen Winkel bildenden Geraden
gebildete Figur durch eine Gerade in zwei gleiche Theile zu theilen,
und von einem gegebenen Kreise
einen bestimmten Theil abzu-
schneiden, Aufgaben, zu deren
Lösung ein ziemlicher Grad geo-
metrischer Gewandtheit erforder-
lich ist, wenn auch die Grund-
lage derselben durchaus elemen-
tarer Natur bleibt. Die Figur
ABT^ z. B. (Figur 43) wird,
wenn E die Mitte der Sehne 5 z/
bezeichnet, offenbar durch die ge-
brochene Linie AEF halbirt.

Wird alsdann EZ parallel zu ^JT gezogen, so haben die Dreiecke
AZr und AEF gleichen Inhalt, und mithin halbirt auch die Gerade
FZ unsere Figur.

Einige andere Schriften des Euklid können als die geistige Fort-
setzung seiner Porismen betrachtet werden, indem sie sich zur
höheren Mathematik ihrer Zeit ordnen lassen: Vier Bücher über die
Kegelschnitte und zwei Bücher über die Oerter auf der Ober-
fläche. Das letztgenannte Werk, die ronot ngog iTticpävstav, hat
als Spur ausser seinem Titel nur vier Lemmen bei Pappus hinter-
lassen^). Wenn man daher gemeint hat, Euklid habe in diesen

^) Das bemerkte bereits Savilius, Praelectiones tresdecim in principium
Elementorum Euclidis. Oxford, 1621, pag. 17. ^) Pappus VII propos. '235 sqq.
(ed. Hultsch) pag. 1004 sqq.

Caktok, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 18

274 13. Kapitel.

Oertern auf der Oberfläche Umdreliuugs flächen zweiten Grades be-
handelt^), so ist diese Vermuthung nur mit äusserster Vorsicht zu
wiederholen. Grössere Wahrscheinlichkeit hat für uns die Auf-
fassung^), jene Oerter beträfen Curven auf Cylinderflächen, vielleicht
auch auf Kegelflächen.

Das Werk über die Kegelschnitte ist gleichfalls bei Pappus er-
wähnt, welcher sogar behauptet, die vier ersten Bücher des ApoUonius
stützten sich wesentlich auf diese Vorarbeit des Euklid"). Man wird
dadurch leicht verleitet den Inhalt der Kegelschnitte des Euklid
einigermassen zu überschätzen und insbesondere einen Zusammenhang
mit dem 44. Satze des I. Buches, dem 28. und 29. Satze des VI. Buches
der Elemente zu vermuthen, der doch wohl nicht stattfindet. Wir
haben diese Sätze (S. 249 und 252) schon erwähnt, wir haben vorher
(S. 160) angekündigt, wir würden bei Gelegenheit der euklidischen
Geometrie auf die Wörter Parabel, Ellipse, Hyperbel und deren
Bedeutung eingehen, wir müssen jetzt diese Zusage einlösen. Wir
nehmen dabei zur grösseren Einfachheit der Betrachtung an, dass
die Parallelogramme, von welchen in jenen drei Sätzen der Elemente

die Rede ist, immer Rechtecke seien:
"^ bei schiefwinkligen Parallelogrammen

wird die Behandlung jener Aufgaben
langwieriger, aber keineswegs wesentlich
schwieriger.

Es sei (Figur 44) AB=p eine
gegebene Länge senkrecht zu A^El auf-
getragen; ist nun ferner AT gegeben, so

ffibt es immer einen einzigen Punkt z/

welcher zur Bildung des Rechteckes ABZA führt, das einen be-
kannten Flächenraum, nämlich den des Quadrates über AT, oder
über der der AT gleichen AE, besitzt. Wählt man umgekehrt bei
bekanntem AB =j) auf der Geraden A% einen beliebigen Punkt z/,
so gibt es senkrecht über und unter A die Punkte E, E', welche
das Quadrat von AE {A E') dem Rechtecke aus p und AA gleich
werden lassen. Werden verschiedene Punkte A gewählt, so nimmt
auch E verschiedene Lagen an, aber immer ist das an AB angelegte,
nagaßaXXofxsvov , Rechteck dem Quadrate über AE genau gleich.
Nennen wir nach heutigem Brauche AA = x, AE = y, so spricht
sich die letzte Bemerkung symbolisch y^ = px aus, d. h. der geo-
metrische Ort von E, wenn wir einen solchen durch das Fortrücken
von A auf A!^ erzeugt denken, ist eine Parabel.

')Cha8les, AperQU hist. 273. (Deutsch: 272.) ^j ygii^erg, Euklid-
studien S. 81 — 83, ") Pappus VII Prooemium (ed. Hultsch) pag. G72.

Die übrigen Schriften des Euklid.

275

Fig. 45.

Ausser dem AB =p sei (Figur 45) auf der dazu senkrechten
A^ ein Stück AA = a bekannt, so ist ABKA ein durchaus ge-
gebenes Rechteck, welchem jedes andere Rechteck ähnlich ist, dessen
B scegenüberliegende Winkel-
spitze H auf der Diagonale
B A des erstgenannten Recht-
ecks sich befindet. Ist nun
wieder ein Flächenraum —
das Quadrat über AT oder
^E — gegeben, so wird es
einen einzigen Funkt H der
BA geben, mit dessen Hilfe
das Rechteck A/1H& gleich
jenem Flächenraum wird ,
oder mit, anderen Worten, welcher es möglich macht, dass das an
AB angelegte Rechteck ausser dem Theile A® von AB, welchen
es mit dem dem Quadrate von AT gleichen Flächenraume in An-
spruch nimmt, noch ein Stückchen &B übrig lässt, iHsiTtsi, über
welchem das dem Rechtecke ABKA ähnliche kleine Rechteck &BZH
steht. Denken wir uns auch hier die Aufgabe umgekehrt, so wird
zu jedem Punkte z/ ein Punkt E senkrecht über ihm, ein Punkt E'
senkrecht unter ihm gefunden werden können, so dass das Quadrat
von ^E dem jetzt bekannten Rechtecke A^H&, dessen Eckpunkt
// auf der Diagonale B A des vollständig gegebenen Rechtecks ABKA
sich befindet, gleich sei. Auch hier ist der symbolische Ausdruck
übersichtlicher. Ist nämlich ®B = a p, wo a eine Zahl bedeutet,
so muss &H = a ■ a sein, und
die Fläche & BZ H ist = a^ ■ ap.
Mit Hilfe von A^=x, zJE = y
werden wir also schreiben y'^ =
px — a- ■ o.p, d. h. der geome-
trische Ort von £, wenn wir einen
solchen durch das Wechseln der
Lage von A erzeugt denken, ist
eine Ellipse.

Entsprechen (Figur 46) die
griechischen sowohl als die latei-
nischen Buchstaben denen des
vorigen Falles mit dem Unter-
schiede, dass AA= a jetzt auf
der jenseitigen Verlängerung von AlEl aufgetragen, im üebrigen aber
der Punkt H wieder so gewählt wird, dass er auf der verlängerten

18*

^ Ä

Fig. 46.

276 13. Kapitel.

Diagonale Jß des Rechtecks ABKA aus den Seiten a und p liegt
dass also die Reclitecke ABKA und &BZH einander ähnlich sind,
und das Reckteck AAH& denselben Flächenrauni besitzt, wie das
Quadrat über AT oder AE, so ist dabei die Forderung erfüllt, dass
das an AB angelegte Rechteck, um den ihm zuge\viesenen Flächen-
raum zu erlangen, über AB hinausreicht, viCEQßaXlEi, und zwar mit
einem dem gegebenen Rechtecke ABKA ähnlichen Rechtecke. Es ist
fast überflüssig aufs Neue hervorzuheben, dass man auch diese Aufgabe
so umzukehren im Stande ist, dass nicht mehr H sondern E, be-
ziehungsweise E', gesucht werden und die Gleichung tf =px-{-cr-ap
sich erfüllen soll. Der geometrische Ort von E, wenn wir einen solchen
durch Wechsel der Lage von A erzeugt denken, ist eine Hyperbel.

Die Dinge, welche wir hier auseinandergesetzt haben, lassen sich
in grösster Kürze in die jetzt verständliche Ausdrucksweise zusammen-
fassen, dass es drei geometrische Aufgaben der Flächenanlegung
gebe, sämmthch pythagoräischen Ursprunges, sämmtlich in Euklids
Elementen aufbewahrt, bei deren Ausspruch die drei Zeitwörter vor-
kommen, welche den Namen der Parabel, Ellipse, Hyperbel zu
Grunde liegen. Bei Umkehrung dieser Aufgaben, eine Umkehrung
aber, welche in den euklidischen Elementen nicht vorkommt, würden
als geometrische Oerter eben jene Curven entstehen müssen.

Jetzt sind wir im Stande die Fragen genauer zu stellen, um
deren Beantwortung willen wir grade hier auf die Aufgaben pytha-
goräischer Flächenanlegung näher einzugehen veranlasst waren. Hat
Euklid, von dem wir wissen, dass er über Kegelschnitte schrieb, die
Umkehrung jener Aufgaben, für die der Natur der in ihnen vorkom-
menden Curven nach in den Elementen kein Platz war, überhaupt
gekannt? Haben schon vor Euklid die Pythagoräer das Auftreten
dieser Curven und ihre Eigenschaften bemerkt, die freilich nicht
in Form der drei Gleichungen, deren wir uns bedienten, um kürzer
sein zu dürfen, aber in einem geometrischen Wortlaute sehr wohl
von einem Griechen verstanden werden konnten? Hat Euklid erkannt,
dass diese in der Ebene erzeugten Curven dieselben seien, welche
auf dem Mantel geschnittener Kegel entstehen?

Man hat diese Fragen verschiedentlich beantwortet^). Uns
scheinen sie insgesammt verneint werden zu müssen. Um mit der
letzten anzufangen, so hat Euklid die Identification der Curven von
den genannten Eigenschaften, die sich auf Flächenanlegung bezogen,

') Für die Bejahung Arneth, Geschichte der reinen Mathematik (Stutt-
gart, 1862) S. 92—93, an dessen Darstellung wir uns hier vielfach anlehnten
ohne seine Folgerungen zu theilen und ganz besonders Zeuthen, Die Lehre
von den Kegelschnitten im Alterthum.

Die übrigen Schriften des Euklid. 277

mit Kegelsclinitten keinesfalls gekannt, weil nach des Pappus aus-
drückliclieni Zeugnisse Apollonius erst diese doppelte Entstelmngs-
weise entdeckte^). Die Bekanntschaft der Pythagoräer mit jenen
Curven werden wir gleichfalls leugnen dürfen, wenn wir nur zu be-
gründen vermögen, dass auch die erste Frage nicht zu bejahen ist,
dass vielmehr Euklid, als er die Elemente schrieb, von jener Um-
kehr, von den dabei entstehenden krummen Linien, ganz abgesehen
von ihrer Uebereinstimmung mit Kegelschnitten, nichts wusste. Das
scheint uns daraus zu schliessen gestattet, weil er sonst in den Ele-
menten die drei Aufgaben, welche schon um ihres gemeinsamen Ur-
sprungs bei den Pythagoräern willen bis zu einem gewissen Grade
zusammengehörten, wenn sie eine weitere Zusammengehörigkeit da-
durch an den Tag gelegt hätten, dass sie alle drei zu eigenthümlichen
Curven führten, muthmasslich nicht getrennt hätte.

Es ist wohl richtig, dass die Sätze 28. und 29. des VI. Buches
erst behandelt werden konnten, wo der Begriff der Aehnlichkeit be-
kannt war; es ist eben so richtig, dass Satz 44. des I. Buches schon
vor dem VI. Buche Verwerthung fand; aber Euklid war nicht der
Mann, dem eine kleine Umformung dieses 44. Satzes des I. Buches
sonderliche Mühe verursacht hätte, so dass er den Sinn desselben in
anderem Wortlaute im VI. Buche neuerdings neben den verwandten
Aufgaben wiederholen konnte, wie er es mit dem goldenen Schnitte
gemacht hat, von dem bei der Uebersicht der Elemente die Rede
war. Euklid lehrte ihn als 11. Satz des IL Buches; er wandte ihn
im 10. Satze des IV. Buches an; er brachte ihn um des Zusammen-
hanges willen im 1. Satze des XIII. Buches in anderer Form noch
einmal. Das Gleiche wäre für Satz 44. des I. Buches zu erwarten,
wenn der Verfasser der Elemente die Parabel, die Ellipse, die Hyperbel
als Curven in der Ebene gekannt hätte. Dass sie als solche auch in
den euklidischen Büchern von den Kegelschnitten nicht vorkommen
konnten, ist durch den Titel jener Bücher festgestellt, und so scheint
unser nach allen Seiten verneinendes Urtheil auf ziemlich sicheren
Füssen zu ruhen.

Wenn wir so ausgeschlossen haben, was in den vier Büchern der
Kegelschnitte nach unserem Dafürhalten nicht gestanden haben kann,
so wissen wir doch von mancherlei Dingen, die dort ihren Platz
finden mussten. Vor Allem werden dort diejenigen Dinge gestanden
haben, welche Menächmus schon kannte, insbesondere werden die
Asymptoten vorgekommen sein, mit deren Eigenschaften Menächmus
vertraut war. Vorgekommen wird auch sein, was in einer Stelle

') Pappus, VII Prooemium (ed. Hui t seh) 674.

278 • 13. Kapitel.

der Phaenomena wiederholt ist, dass der Schnitt, welcher einen
Kegel oder einen Cylinder nicht parallel zur Basis Qitj naga rriv
ßdöiv) treffe, der Schnitt eines spitzwinkligen Kegels (vergl. S. 232)
sei, welcher einem länglichen Schilde, Thyreo s gleiche. Offenbar
ist dieser Satz richtig für den Cylinderschnitt, nur bedingt richtig
für den des Kegels, wenn nämlich der Schnitt beide Kegelseiten
trifft. Die Vermuthung, Thyreos sei der älteste Name der Ellipse
gewesen, wiederholen wir mit allem Vorbehalte^). Ob AnAvendungen
der Kegelschnitte auf die Verdoppelung des Würfels bei Euklid ge-
lehrt wurden, ist fraglich. Es wäre auffallend, wenn er an so wich-
tigen älteren Dingen vorübergegangen wäre; es wäre auffallender,
wenn er sich dabei aufhielt mid weder Eratosthenes noch Eutokius
in ihrem historischen Berichte über das delische Problem den Namen
des Euklid genannt hätten; von der auffallendsten Erscheinung zu
schweigen, die darin wieder bestände, wenn Euklid sich keiner ein-
zigen der antiken höheren Aufgaben zugewandt hätte, er der mitten
in seiner Zeit lebend wie kaum je ein anderer ihre Gesammtergeb-
nisse in sich vereinigte.

Wir haben eine einzelne Stelle der Phaenomena^), einer astro-
nomischen Schrift Euklids angeführt. Wichtiger ist diese Schrift
noch dadurch, dass in ihr Sätze über die Kugellehre, die sogenannte
Sphärik, gesammelt sind, welche zeigen, welchen Grad der Ent-
wicklung dieser Theil der Stereometrie damals schon erreicht hatte.
Euklid weiss, dass jede Ebene die Kugel in einem Kreise schneidet.
Er weiss, was allerdings auch ein kurz vor ihm lebender Astronom,
Autolykus von Pitane^), schon ähnlich aussprach, dass Kugel-
kreise, die sich halbiren, grösste Kreise sind. Er kennt Eigenschaften
von Kreisen, welche durch die Pole von anderen hindurchgehen. Er
weiss, dass, wenn ein grösster Kugelkreis zwei gleiche Parallelkreise
schief schneidet, die Abschnitte der letzteren in umgekehrter Ordnung
einander gleich sind u. s. w. Die Frage ist von grossem Belaug,
woher diese Kenntnisse des Autolykus, des Euklid stammen mögen?
Man hat die Vermuthung gewagt"^), bedeutende Anfänge einer Sphärik

') Sie rührt von Heiberg her, welcher auch auf die wichtige Stelle der
Phaenomena zuerst aufmerk^sam machte. Vergl. Heiberg, Euklidstudien S. 88.
*) Die Phaenomena sind griechisch herausgegeben von Gregory in seiner
Euklidausgabe, deutsch von A. Nokk in einer Freiburger Programmbeilage von
1850. Ueber die Echtheit der Phaenomena vergl. insbesondere A. Nokk in
seiner Bruchsaler Programmbeilage von 1847 Ueber die Sphärik des Theodosius
S. 17 flg. Neueste Untersuchungen in Heibergs Euklidstudien. ^) Die
erhaltenen Schriften des Autolykus hat Fr. Ilultsch herausgegeben.
Leipzig, 1885. ■*) Hultsch in der Vorrede zu Autolykus pag. XII mit Berufung
auf Heiberg und P. Tannery.

Die übrigen Schriften des Euklid.

279

gingen bis auf Eudoxiis zurück. Wir wollen keinen Widerspruch
erheben, bemerken aber, dass eigentliche Beweisgründe für diese Ver-
muthung nicht vorhanden sind.

Von dem Gegensatze, welcher für die Griechen zwischen Geo-
metrie und Geodäsie obwaltet, war (S. 239 und 257) die Rede. In
Dikaearch haben wir (S. 243), mag er von der Dioptra Gebrauch
gemacht haben oder nicht, einen wirklichen Geodäten kennen gelernt.
Auch von Euklid ist uns Feldmesserisches in einer sogenannten
Optik^) erhalten, und über die vier Kapitel 19, 20, 21, 22, welche
dadurch von hohem Interesse geworden sind, müssen wir berichten.
Im 19. Kapitel ist die Höhemessung mittels des Schattens gelehrt,
welche wir (S. 128) als die des Thaies beschrieben haben. Im
20. Kapitel wird (Figur 47) zur Messung der Höhe JB ein Spiegel

Mg. 47.

Fig. 18.

^Z benutzt, der auf der Erde liegt. Der Messende sieht, wenn F

sein Auge ist, den Höhepunkt A in i/; wird sodann &H, BH, ©F

gemessen, so lässt AB vermöge der Aehnlichkeit der Dreiecke ABH

und F&H sich leicht berechnen. Aehnlichkeit von Dreiecken führt

im 21. Kapitel zur Messung einer Tiefe JzJ, indem (Figur 48) der

Messende so weit sich entfernt, dass sein Auge

E den Tiefpunkt zl an dem Rande B des

Brunnens, oder was es nun sein mag, vorüber

erblickt. Endlich wird wieder mittels Dreiecks-

ähnliclikeit im 22. Kapitel eine entfernte Länge

gemessen (Figur 49). Die z/JS wird der zu

messenden AB parallel gezogen (vielleicht auch J'

vor die Augen gehalten'?), so dass FzIA und

FEB Sehstrahlen sind, welche in A imd B eintreffen. Alsdann ist

FA:FA = AE:AB.

Damit sind die hier zu behandelnden Schriften des Euklid er-
schöpft. Wohl sind noch andere ihm zugeschriebene Bücher über
Musik und ein kleines Bruchstück mechanischen Inhaltes vorhanden;
wohl tragen diese Bücher im Ganzen einen geometrischen Stempel;

Fig. 49.

^) Der griechische Text abgedruckt in Heibergs Euklidstudien S. 100
bis 102, eine deutsche Ueberarbeitung bei H. Weissenborn, Gerbert. Berlin,
1888. S. 96—98.

280 !*• Kapitel.

aber sie gehören doch allzuwenig in das Bereich unserer Unter-
suchungen, als dass sie die Entwicklung der Mathematik, als dass
sie nur den Grad unserer Werthschätzuug ihres wirklichen oder ver-
meintlichen Verfassers beeinflussen könnten. Wir entschlagen uns
daher gern bei schweigendem Vorübergehen der Nothwendigkeit,
wieder mit so feinen und schwierig zu entscheidenden Streitfragen
der Echtheit oder Unechtheit uns beschäftigen zu müssen.

14. Kapitel.
Arcliimedes und dessen geometrische Leistungen.

Wir stehen au der Schilderung des Schriftstellers, welcher der
Zeit nach immittelbar auf Euklid folgt, dem Gehalte nach dagegen
Allen den Vorrang abgewann, die im Alterthum mit Mathematik sich
beschäftigt haben. Wir brauchen nach dieser in wenigen Worten
enthaltenen Würdigung wohl kaum zu sagen, wen wir meinen. Archi-
medes ist einer der wenigen Mathematiker des Alterthums, welchen
die Nachwelt zu allen Zeiten nach Gebühr ihre dankbare Erinnerung
zuwandte. Er hat sogar einen eigenen Biographen in Heraklides
gefunden , einem Schriftsteller von nicht näher zu bestimmender
Lebenszeit, als dass er jedenfalls vor das VL S. zu setzen ist, da
Eutokios aus ihm geschöpft hat^), es sei denn, man wolle in Hera-
klides einen Freund des Arcliimedes wiedererkennen, der diesen Namen
führte, und von welchem in dem Buche über Schneckenlinien wieder-
holt die Rede ist"^). Sei dem, wie es wolle; das vermuthlich wichtige
Quellenwerk über das Leben des Archimedes ist uns verloren, und
so muss, was über seine persönlichen Verhältnisse zu sagen ist?
aus den verschiedensten Schriftstellern zusammengesucht werden^).
Archimed wurde in Syrakus wahrscheinlich 287 v. Chr. geboren.
Eine Stelle aus einer Schrift des Archimedes 0sidia ds tov 'Axovjia-
TQog^), der man keinen guten Sinn abgewinnen konnte, und die man
deshalb für verderbt hält, hat zur Vermuthung^) geführt, es habe

') Archimedes (ed. Heiberg) III, 266 citirt Eutokius: 'HQayilstSr]g iv
TW 'jQxcfti^Sovg ßLw. -) Archimedes (ed. Heiberg) II, 2 und 6. ^) Die Haupt-
quellen sind Plutarch (vita Marcelli), Livius XXV, Cicero (Tusculan.
und Verrin.), Diodor, Silius Italiens, Valerius Maximus, Tzetzes-
Die neuesten Zusammenstellungen in Bunte, Ueber Archimedes (Programm der
Realschule zu Leer, Ostern 1877) und in der Koppenhagner Doctordissertation
von 1879: J. L. Heiberg, Quaestiones Archimedeae. *) Archimedes
(ed. Heiberg) II, 248 lin. 8. ^) F. Blass in den Astronomischen Nachrichten
CIV, 255.

ArcMmedes und dessen geometrische Leistungen. 281

ursprünglich 0sidia tov a^ov TtatQog geheissen, und der Name von
Archimedes Vater sei demnach Pheidias gewesen, derselbe habe
sich überdies als Astronom verdient gemacht. Allerdings ist damit
der Zweifel nicht gehoben, ob Archimed, wie eine Nachricht meldet,
dem Könige Hieron verwandt, ob er, nach einer anderen Nachricht,
von niederer Geburt war. Sein nahes fast freundschaftliches Ver-
hältniss zu dem Könige steht jedenfalls ausser Zweifel. Wer die
Lehrer des Archimed gewesen sind, ist nicht bekannt. So viel gibt
Diodor an^), und ein unbekannter arabischer Schriftsteller bestätigt
es, dass er in Aegypten war, er wird daher jedenfalls zu den Alexan-
drinern in Beziehung getreten sein. Auch von einem Aufenthalte
Archimeds in Spanien wird erzählt. Nach Syrakus zurückgekehrt
lebte er dort der Wissenschaft, deren praktische Anwendung er jedoch
so Avenig verschmähte, dass grade seine Leistungen in der Mechanik
zu denen gehören, welche ihn am berühmtesten gemacht haben. Vor
Allem waren die Dienste, die er seiner Vaterstadt Syrakus im Kriege
gegen Rom leistete, geeignet, seinem Namen Glanz zu verleihen.

O O 7 0 0/

Die Bemühungen des Archimed waren es ganz allein, so erzählt
Livius, welche die Angriife des Marcellus auf die belagerte Stadt
durch zwei Jahre vereitelten. Nur durch eine Ueberrumpelung von
der Landseite aus gelang es 212 v. Chr. Syrakus zu nehmen, und
bei dieser Gelegenheit starb Archimed im Alter von 75 Jahren^),
ein Opfer der Eohheit eines römischen Soldaten, welcher ihn nieder-
machte, während er des Tumultes nicht achtend seine geometrischen
Figuren in den Sand zeichnete. Ob er dabei die Worte aussprach:
jiciQo. üEtpaXav xat ju?j naQa ygapL^äv, jener möge lieber den Kopf
als die Linien ihm verletzen, oder nur um Schonung seiner Figuren
bat, ccTioöTri'&L, co ävd-Qons, to-O diccyQd^^arog fiov, wie ein anderer
Berichterstatter in jedenfalls unrichtigem Dialekte ihn ausrufen lässt^),
ist ziemlich gleichgiltig. Marcellus, der römische Feldherr, empfand
grosse Trauer über den Tod des berühmten Gegners und liess ihm
ein Grabmal setzen mit einer mathematischen Figur als Inschrift, wie
jener es einst selbst angeordnet hatte. Das Grabmal scheint indessen
von Archimeds Landsleuten schmählich vernachlässigt worden zu
sein, da Cicero, der es bei seinem Aufenthalte in Syrakus, wo er
75 V. Chr. als Quästor von Sicilien verweilte, aufsuchte, es nur mit
Mühe unter dem überwuchernden Gestrüppe entdeckte und an der
Inschrift erkannte. Es liess es darauf auf's Neue in Stand setzen.

^) Diodor V, 37. -) Nach Tzetzes. Auf dieser Angabe beruht die
Berechnung seines Geburtsjahres. ^) Die erste Redensart nach Zonaras, die
zweite nach Tzetzes.

282 14. Kapitel.

Die Schriften Arcliimeds ^) sind nur zum Theil auf ims ge-
kommen und zudem niclit alle im reinen unverderbten griecliisclien
Grundtexte. Die besterhaltenen tragen als besonderes Kennzeichen
noch an sich, dass sie im dorischen Dialekte abgefasst sind, wodurch
sie auch sprachliche Wichtigkeit besitzen. Durch Vergleichung der
Persönlichkeiten, welche in den einzelnen Schriften des Archimed
genannt sind, nämlich des Konon, des Zeuxippus, des Dositheus,
des Königs Gelon, durch fernere Vergleichung der nicht allzuseltenen
Benutzung in späteren Schriften von Sätzen, welche in früheren be-
wiesen worden waren, ist es gelungen folgende wahrscheinlich zu-
treffende Anordnung der vorhandenen archimedischen Schriften nach
ihrer Entstehuugszeit zu erhalten: 1. Zwei Bücher vom Gleichgewichte
der Ebenen, zwischen welche eine Abhandlung über die Quadratur
der Parabel mitten eingeschoben ist. 2. Zwei Bücher von der Kugel
und von dem Cylinder. 3. Die Kreismessung. 4. Die Schnecken-
linien oder Spiralen. 5. Das Buch von den Konoiden und Sphäroiden.
G. Die Sandeszahl. 7. Zwei Bücher von den schwimmenden Körpern.
8. Wahlsätze.

Es will nicht gut angehen wieder, wie wir es bei Euklid gethan
haben, den Inhalt dieser Schriften einzeln und der Reihe nach durch-
zusprechen. Dass einer solchen Darstellung nothwendigerweise die
Uebersichtlichkeit abgeht", wird der Leser grade in den Euklid ge-
widmeten Kapiteln bemerkt haben. Dort mussten wir aber diese
sonst wesentliche Bedingung opfern, weil es darauf ankam zu zeigen,
was alles unter dem Namen Elemente der Geometrie einbegriffen wurde.
Eine ähnliche Nothwendigkeit wird uns im 18. und 19. Kapitel noch
zwingen, die für uns vielfach unzusammenhängenden Gegenstände,
die Herons grosses feldmesserisches Werk behandelte, einzeln zu
nennen. Archimed aber hat kein uns erhaltenes Sammelwerk ge-
schrieben. Er verfasste vorwiegend einzelne Abhandlungen, in denen
er zumeist Neues, von ihm selbst Erdachtes mittheilte, und da wird
es für die Würdigung der Grösse der Entdeckungen sich als zweck-
mässiger empfehlen, die Gegenstände aus den einzelnen Abhand-
lungen herauszureissen und nach ihrem Inhalte zu neuen Gruppen
zu vereinigen. Wir werden zu reden haben von den Entdeckungen
Archimeds in der Geometrie der Ebene und des Raumes, in der
Algebra und Arithmetik, endlich im Zahlcnrechuen, wobei wir des

') Die beste ältere Ausgabe des Textes und des Commentars von Eutokius
von Askalon, so viel davon vorhanden ist, war die von Torelli. Oxford, 1792.
Sie wurde weit überholt durch die Ausgabe von Heiberg in 3 Duodezbänden,
Leipzig, 1880 — 81. Die beste deutsche Uebersetzung von Nizze, Sti-alsund, 1824.

Archimedes und dessen geomctrisclie Leistungen. 283

griechischen Zahlenrechnens überhaupt gedenken müssen, wir werden
auch nicht umhin können, seine mechanischen Leistungen in's Auge
zu fassen.

Vielleicht beginnen wir am besten mit einem geometrischen
Spielwerke. Ein Metriker aus dem Jahre 500 etwa, Atilius Portu-
natianus, erzählt^) von dem loculus Archimedius. Ein elfen-
beinernes Quadrat war in 14 Stücke von verschiedener vieleckiger
Gestalt zerschnitten, und es handelte sich darum aus diesen Stücken
das ursprüngliche Quadrat, aber auch sonst beliebige Figuren zu-
sammenzulegen. Es bleibe dahingestellt, ob Archimed wirklich selbst
dieses Spiel erdachte, oder ob man nur als archimedisch, d. h. als
sehr schwierig bezeichnen wollte, die einzelnen Gestaltungen her-
zustellen.

Als archimedisch wird auch häufig die Definition genannt, die
Gerade sei die kürzeste Entfernung zweier Punkte. Diese
Behauptung ist richtig und unrichtig, je nachdem. man den Nach-
druck auf den Wortlaut des Satzes oder auf seine Eigenschaft als
Definition legt. Archimed benutzt den Satz allerdings in seinen
Büchern über Kugel und Cylinder, aber er beabsichtigt keineswegs
durch ihn die Gerade zu erklären. Er nehme an, sagt er vielmehr
ausdrücklich"-), von den Linien, welche einerlei Endpunkte haben, sei
die grade Linie die kürzeste; er nehme ferner an, von Linien in einer
Ebene, die mit einerlei Endpunkten versehen nach einer Seite hin
hohl seien, müsse die umschlossene die kürzere sein.

Als geometrisch interessant bieten sich uns femer einige Wahl-
sätze. Das unter diesem Titel bekannte, aus 15 Sätzen der ebenen
Geometrie bestehende Buch ist aus dem Arabischen in's Lateinische
übertragen worden^). Dass es in der Form, wie wir es besitzen,
keinenfalls von Archimed selbst herrühren kann, dessen Name im
4. und 14. Satze genannt ist, während in anderen Sätzen andere
ünzuträglichkeiten nicht zu verkennen sind, ist mit Recht bemerkt
worden*). Einige Sätze scheinen uns gleichwohl archimedischen Ur-
sprunges zu sein, unter welchen namentlich der 4., 5., 6., der 11.,
der 14., der 8, hier genannt seien. Satz 4. — 6. beschäftigen sich mit
dem Arbelos (Figur 50), einer in Gestalt eines Schusterkneifes ge-
krümmten Figur, bestehend aus einem Halbkreise, über dessen Durch-
messer in zwei aneinanderstossenden Abtheilungen kleinere Halb-

^) Veteres Grammatici (ed, Putschius) pag. 2684. -) Archimed
(ed. Heiberg) I, 8—10, (ed. Nizze) 44. ^) Liber assumptorum. Archimed
(ed. Heiberg) U, 428—446, (ed.' Nizze) 254 — 262. *) Heiberg, Quaestioncs
Äichimeikae, 24.

284

li. Kapitel.

Fig. 50.

kreise in das Innere des umschliessenden Halbkreises sich erstrecken.
Dass Arcliimed sicli mit dieser Figur bescliäftigt habe, ist einer Stelle
des Pappus^) zu entnehmen, in welcher wenigstens von alten Unter-
suchungen über sie die Rede
ist. Der 11. Satz besagt, dass
wenn in einem Kreise zwei
Sehnen sich senkrecht durch-
schneiden, die Quadrate der vier
so gebildeten Abschnitte zu-
sammen dem Quadrate des
Durchmessers gleich sein müssen.
Der 14. Satz lehrt den Flächen-
inhalt des Salin on messen, der Wogengestalt, wie man den
ausdrücklich als von Archimed herstammend bezeugten Namen
vielleicht übersetzen darf^). Diese Figur entsteht (Figur 51), weim

über und unter derselben Geraden als
Richtung des Durchmessers von dem-
selben Mittelpunkte aus aber mit ver-
schiedenen in beliebigem Verhältnisse zu
einander stehenden Halbmessern Halb-
kreise beschrieben werden, zu welchen
noch zwei Halbkreischen nach der Seite
des grossen Halbkreises hin gerichtet
über dem durch den nach der Jenseite
sich wölbenden kleineren Halbkreis frei-
gelassenen Stückchen des Durchmessers treten. Wird durch den
Mittelpunkt der beiden erstgezeichneten Halbkreise und senkrecht zu
deren Durchmesser die Strecke A B gezeichnet, so ist der um die-
selbe als Durchmesser beschriebene Kreis
dem Salinen flächengleich. Der 8. Satz
hat folgenden Inhalt. Wenn (Figur 52)
eine willkürliche Sehne AB eines Kreises
verlängert und die Verlängerung BF dem
Halbmesser des Kreises gleich gemacht
wird, wenn hiernächst F mit dem Mittel-
punkte z/ des Kreises verbunden und
diese Verbindungslinie bis zum abermaligen Durchschnitte des Kreises
nach E verlängert wird, so ist der Bogen JE das Dreifache des

Fig. 52.

1) Pappus Buch IV, 19 (ed. Hultsch) Bd. I, pag. 208. '') Von eälog =
das Schwanken des hohen Meeres? Heiberg in seiner Archimedausgabe 11, 443
gibt die Ableitung eilivov = Eppich, mit dessen Blatt er in der Figur eine
Aehnlichkeit erkennen will.

Archimedes und dessen geometrische Leistungen. 285

Bogens BZ. Man zielie EH parallel zu ^JS und die Halbmesser
^B und z/i/. Der Parallelismus von AB und EH bringt ^F = E
hervor; Gleichscbenkligkeit von Dreiecken zeigt, dass -^ F = BzJF
und ^E = H. Ferner ^F^H=2E=2F=2B,zJFnnd'^BJH
= 2B^F also are. BH= AE=?>BZ.

Die beiden letzterwähnten Sätze haben, wie uns scheint, eine
besondere Tragweite durch die Ziele, auf welche Archimed mit ihrer
Hilfe hinsteuerte. Bei dem 8. Satze, glauben wir, dachte er an die
zu vollziehende Dreitheilung des Bogens AE. Sie war vermöge
seines Satzes gelungen, sobald man eine Sehne AB versuchsweise
fand, deren Verlängerung bis zur Verbindungsgeraden von E mit
dem Kreismittelpunkte ^ die Länge des Kreishalbmessers besass.
Die vorerwähnte Quadratur des Salinon im 14. Satze wird wohl
nicht minder richtig dahin aufzufassen sein, dass Archimed im An-
schlüsse an die Arbeiten des Hippokrates von Chios geometrisch
versuchte, den Flächeninhalt des Kreises mit dem anderer Figuren
in Gleichheit zu setzen. Nur war vielleicht die Absicht beider die
entgegengesetzte. Hippokrates wollte zuverlässig aus den dem Kreise
gleichen Figuren die Fläche des Kreises ermitteln. Archimed beab-
sichtigte möglicherweise anderweitige krummlinig begrenzte Figuren
auf den als bekannt vorausgesetzten Kreis zurückzuführen.

Bekannt war ihm nämlich allerdings der Kreis durch seine
Kreismessung. Diese merkwürdige Abhandlung ist nach ihrem
geometrischen Gehalte wie mit Hinsicht auf die Geschichte des
Zahlenrechnens der höchsten Beachtung werth. Wir haben es fürs
erste nur mit dem Geometrischen zu thun. Archimed geht davon
aus, dass er beweist, der Kreis sei einem rechtwinkligen Dreiecke
gleich, dessen eine Kathete die Länge des Halbmessers, die andere
die des Kreisumfangs besitzt. Wäre dieses Dreieck kleiner als der
Kreis, so müsste irgend ein angebbarer Unterschied vorhanden sein,
und es wäre möglich durch Einzeichnung eines Quadrates in den
Kreis und fortgesetzte Halbirung der Bogen ein Vieleck zu erlangen,
welches den Kreis bis auf gewisse kleine Abschnitte erfüllte, deren
Summe endlich kleiner als jener Ueberschuss des Kreises über das
Dreieck wäre. Nennt man etwa K, V, D die Inhalte des Kreises,
des Vielecks, des Dreiecks, so wäre mithin K^ F>-D, zugleich
aber U <. P sofern U den Umfang des Vielecks, P die Kreisperipherie
bedeutet, und zwar begründet sich diese letztere Ungleichung aus
jener Annahme über die Gerade als kürzeste Entfernung zweier
Punkte, von der oben die Rede war. Nun ist V gleich einem recht-
winkligen Dreiecke, welches als grössere Kathete U, als kleinere
die Senkrechte h besitzt, die vom Kreismittelpunkte aus auf irgend

286 14:. Kapitel.

eine Seite des Vielecks gefällt war, und die selbst kleiner als
der Kreislialbmesser r sein muss. Mit anderen Worten F = —^ ,
J) = — —- und wegen V^ D aucli U • h^ F ■ r, während jeder

Faktor des grösseren Produktes kleiner ist als ein ihm entsprechen-
der Faktor des kleineren Produktes, und darin liegt ein Widerspruch.
Zu einem ferneren Widerspruch führt auch die Annahme K <C D.
Ausgehend von dem dem Kreise umschriebenen Quadrate wird durch
fortgesetzte Verdoppelung der Seiteuzahl ein umschriebenes Vieleck
gefunden werden können, dessen Inhalt V der Ungleichung K<. V'<.D
genügen muss, während sein Umfang U' y- P ist, und die Senkrechte
h' vom Kreismittelpunkte auf die Seiten dieses Vielecks nothwendig

U' h' P r
Ji' = r sein muss. Trotzdem müsste hier — ~ — < —^ sein oder

U' < P und doch auch V' > P. Es bleibt also nur die Annahme

K = D = ' übrig. Freilich hat man die an die Spitze gestellte

Voraussetzung, es gebe eine Gerade von der Länge P, welche als
Seite eines rechtwinkligen Dreiecks auftreten könne, bemängelt. Wir
erinnern daran, dass Dinostratus die gleiche Annahme schon sich
gestattet hatte (S. 233). Auch Eutokius nimmt Archimed gegen
den angeführten Vorwurf, welcher ihm damals schon gemacht worden
war, in Schutz. Er habe nichts Unziemliches ausgesprochen. Die
Kreislinie sei eine Grösse von bestimmter Abmessung, der irgend
eine Gerade gleich sein müsse und es sei keineswegs unstatthaft, das
Vorhandensein jener Geraden in einem Satze vorweg zu benutzen,
noch bevor man sie finden gelehrt habe. Allerdings ist nun diese
Auffindung das nächste Problem und ihm geht jetzt Archimed
rechnend zu Leibe, nach einer Methode also, welche Euklid, wie wir
(S. 256) besprochen haben, sich wahrscheinlich untersagt hätte, nicht
geometrisch, sondern geodätisch. Archimed sucht zwei Grenzen,
zwischen welche er das Verhältniss der Kreisperipherie P zum Durch-
messer d einschliessen will und findet

P:(2<3y:l und P:d>^^^:l.

Wir bemerken, dass Archimed bei seinem früheren Beweise

K = — — von den Quadraten ausging, welche dem Kreise ein- und

umgeschrieben werden können, wie es (S. 257) Euklid im 12. Buche
der Elemente gethan hat um die Proportionalität von Kreisinhalt und
Durchmesserquadrat festzustellen, wie es (S. 190) schon viel früher
Antiphon gethan hatte. Bei der Aufsuchung der Zahlengrenzen für

Archimedes und dessen geometrische Leistungen. 287

das Verliältniss des Kreisumfanges zum Durclimesser ging Archimed
dagegen von einem ganz anderen Versuche aus, welcher die grössere
Grenze ihm verschaffen sollte. Er benutzte dasjenige gleichseitige
Dreieck, welches seine Spitze im Kreismittelpunkte besitzt, während
die dritte dieser Spitze gegenüberliegende Seite Berührungslinie an
den Kreis ist. Heisst die Seite dieses Dreiecks a, der Kreishalb-
messer r, so ist leicht ersichtlich a == ^ und r : —- = l/3 : 1.

Archimed behauptet ohne weitere Begründung, es sei r : -- ;> 265 : 153

, • IT 1 • > /265\2 70 225 „ 2 , i/ö-^ 265 ^

und wirklich ist [-) = -— - = 3 - ^— also fS > ^ • Ferner

ist rt : — = 306 : 153. Die beiden Verhältnisse vereinigt geben folg-

lieh (>• -|- a) : — > 571 : 153. Nun kommt eine kleine geometrische

Betrachtung. Wenn (Figur 53) die A/l den Winkel BAT halbirt,
so ist AB: Jr= BzJ: /IT, {AB + AF)-. AT

= {B^ -\- jr):^r oder (a + r) : r = | : AF.
Aus dieser Proportion folgt weiter r : A F ==
(r -f- «) • IT > 571 : 153. Dieses Ergebniss zu

nachheriger Benutzung aufsparend folgert Archi-
med weiter r^ ; AF^>blV: 153^ und (r^ 4- zlF-)

Piff f)*?

: z^r^ > (57P 4- 153^) : 153^ oder ^z/-2 : z/r^ >

349 450 : 153^ und AA: AF> 591-^ : 153. Auch diese Zahlen sind

richtig gewählt, denn (591^)' = 349 428*^ < 349 450. Der Winkel

AAF wird durch die AE halbirt. Dadurch gewinnt man neue
Proportionen Azi : AF = AE : EF , dann {AA -{- AF) : AF =
(AE + EF) : EF und {AA -{- A F) : {A E -f EF) = AF: EF, d. h.
{)' -{- A A) : AF = r : EF. Nun erinnern wir uns an

r : z/r > 571: 153
nebst

^z/:z/r>591-^:153.

Die Vereinigung beider Verhältnisse gibt (r + AA) : AF> 1162g: 153

oder auch r:EF> 1162^ : 153.

Die gewonnenen Ergebnisse stellen wir übersichtlicher zusammen:

r:ßr>265: 153

r: AF> 571: 153

r:EF> 1162^:153

288 14- Kapitel.

BF ist die halbe Sechsecksseite, zJ F die halbe Zwölfecksseite, EF
die haibe Vierundzwanzigecksseite, wenn immer die regelmässigen
dem Kreise umschriebenen Vielecke gemeint sind. Die Umfange
Z^'j Ui2, U^i dieser Vielecke sind

C/; = 12 BF, U,; =- 24 BF, f/^, = 48 ^F
und somit r : U^ > 265 : 1836

r : f/,/ > 571 : 3672

r- f72;> 1162g: 7344.

Archimed setzt nun das Verfahren mit Winkelhalbirung, Verbindung
von Verhältnissen, Einsetzen von nahezu richtigeu, aber immer etwas
zu kleinen Quadratwurzelwerthen fort bis zu

r : R,^ > 4673^ : 29 376
und schliesst daraus umgekehrt

U,^ :d<U 688 : 4673^ < 3y : 1,
da aber P < C/g^' ist, so muss um so sicherer

P: d <. 3 Y : 1 sein.

Nun kommt die entgegengesetzte Aufgabe, eine untere Grenze
für das Verhältniss des Kreisumfanges zum Durchmesser zu finden
an die Reihe, und hierzu nimmt Archimed die dem Kreise ein-
geschriebenen Vielecke zu Hilfe, indem er, wie Antiphon bei einem
seiner Versuche, das eingeschriebene gleichseitige Dreieck zum
Ausgange wählt, dessen Seite sich zum Halbmesser verhält wie
]/3: 1, d. h. < 1351 : 780. Winkelhalbiruugen u. s. w. führen hier

zu C4c : d > 6336 : 2017^ > ^^ = 1

und um so gewisser zu Pidy- 3 : 1.

Nächst dem Kreise beschäftigte sich Archimed bei seinen geo-
metrischen Untersuchungen mit den Kegelschnitten. Man hat wohl
angenommen, Archimed habe eine uns verloren gegangene Schrift
Elemente der Kegelschnitte, 6T0L%£ia iccoviKu, verfasst. Man
hat sich dabei auf zwei Stellen gestützt, die eine in der Abhandlung
über die Quadratur der Parabel Satz 3.^), die andere in dem Buch
von den Konoiden und Sphäroiden Satz 4.^), in welchen Archimed
auf ein solches Werk verweist, ohne einen Verfasser zu nennen.

^) Archimed (ed. Heiberg) II, 300, (ed. Nizza) 13. '■') Archimed (ed.
Heiberg) I, 302, (ed. Nizze) 158.

Archimecles und dessen geometrische Leistungen. 289

Das that, sagt mau, Archimed nur, wo er auf eigeue Arbeiten zurück-
griff. So richtig diese Behauptung im Allgemeinen ist, so erinnern
wir uns doch einer Ausnahme. Archimed beruft sich, wie wir
(S. 248) hervorgehoben haben, im 6. Satze des ersten Buches über
Kugel und Cylinder^) auf die Elemente und meint damit den Ele-
mentenschriftsteller, der vorzugsweise diesen Namen geführt hat,
Euklid. Möglich, dass er denselben im Sinne hatte, als er von Ele-
menten der Kegelschnitte sprach, da Euklid bekanntlich auch über
diesen Gegenstand ein Werk verfasst hat'-). Vielleicht ist eine kleine
Bestätigung dieser Vermuthung folgendem Umstände zu entnehmen.
Pappus gibt nämlich an, die vier ersten Bücher der Kegelschnitte
des Apollonius, mit welchen wir uns bald zu beschäftigen haben,
stützten sich wesentlich auf die Vorarbeiten Euklids. Bei Apollo-
nius finden wir aber I, 20, 35, 46; II, 5; III, 17, 18, die Lehrsätze,
welche Archimed als in den Elementen der Kegelschnitte enthalten
benutzt.

Mag dem sein, wie da wolle, jedenfalls rühren werthvoUe Einzel-
untersuchungen über Kegelschnitte von Archimed her. Wir legen
nicht grade grosses Gewicht darauf, dass Archimed dem früher
erwähnten Satz von der Entstehung des Schnittes des spitzwinkligen
Kegels den dort fehlenden Zusatz gab^), die gleiche Curve könne
auf dem Mantel eines jeden Kegels erzeugt werden, aber um so
höher steht seine Qaadratur der Parabel. Wir haben schon
gesagt, dass diese Abhandlung zwischen die beiden Bücher vom
Schwerpunkte und dem Gleichgewichte der Ebene eingeschaltet er-
scheint. Die Methode, deren Archimed sich bedient, um zu seinem
Ziele zu gelangen, ist ihren Hauptzügen nach folgende''). Wird ein
Parabelabschnitt durch eine durch die Mitte der denselben bildenden
Sehne der Axe parallel gezogene Gerade geschnitten, so ist die Be-
rührungslinie an die Parabel in dem Schnittpunkte der Sehne selbst
parallel. Somit ist die Senkrechte aus diesem Schnittpunkte auf die
Sehne die grösste Senkrechte, welche überhaupt aus einem Punkte
innerhalb des gegebenen Parabelbogens auf die Sehue gefällt werden
kann, oder dieser Punkt ist als höchster Punkt des Parabelabs chnittes
über seiner Sehne zu bezeichnen. Daraus folgt weiter, dass der
Parabelabschnitt durchaus eingeschlossen ist in dem Rechtecke, wel-
ches jene Senkrechte als Höhe, die Sehne nebst der ihr parallelen

^) Archimed (ed. Heiberg) 1, 24 (ed. Nizze) 48. -) Diese Ansicht ist
auch durch Heiberg, Die Kenntnisse des Archimedes über Kegelschnitte
(Zeitschr. Math. Phys. XXV, Histor.-literar. Abtlg. S. 42) ausgesprochen und
theilweise anders begründet worden. '') Archimed (ed. Heiberg) I, 288, (ed.
Nizze 154). *) Archimed (ed. Heiberg) H, 294—353, ed. (Nizze) 22—25.

Cantok, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 19

290 14. Kapitel.

ßerührungslinie als Grundlinie besitzt. Bildet man nun das Dreieck,
welches die Sehne zur Grundlinie, den genannten Höhepunkt als
Spitze besitzt, und welches folglich von dem ersten Parabelabschnitte
um zwei neue kleinere Abschnitte sich unterscheidet, so muss das
selbe als Hälfte des Rechteckes und als eingeschrieben in den Parabel-
abschnitt grösser sein als die Hälfte des Abschnittes, kleiner als sein
Ganzes. Man kann aber auch die umgekehrte Folgerung ziehen und
die Fläche des Abschnittes grösser als das betrejßfende Dreieck,
kleiner als das Doppelte desselben nennen. In jeden der beiden
neuen kleineren Abschnitte wird nach ähnlicher Regel wieder ein
Dreieck beschrieben, deren jedes mehr als die Hafte des ihn enthal-
tenden Abschnittes einnimmt und genau den achten Theil des ersten
Dreiecks als Flächeninhalt besitzt. Es ist das ein Verfahren, bei
welchem dasjenige als Muster gedient haben mag, dessen Euklid sich
bediente (S. 258), um zu beweisen, dass Kreisflächen sich wie die
Quadrate ihrer Durchmesser verhalten. Der Parabelabschnitt wird

1 . 1

dadurch in zweiter Annäherung grösser als 1~, kleiner als l-^des

ersten Dreiecks, welches ihm eingezeichnet worden war. Nun werden
in die neuen immer kleineren Parabelabschnitte wieder neue Dreiecke
beschrieben und dem eben Behaupteten ähnliche Folgerungen ge-
zogen. Nach heutiger Schreibweise kommt die Reihenfolge der so
zu gewinnenden Sätze auf die Summiruug der unendlichen Reihe

1 -j- — - -|~ {—-) -\- (— j -{-••• hinaus, deren Anfangsglied 1 den Flächen-
inhalt des ersten Dreiecks , deren Summe den Flächeninhalt des
ganzen Parabelabschuittes darstellt. Archimed, freilich das Unend-
liche nur mittelbar in seine Betrachtungen einbegreifend, begnügt
sich mit der Summirimg der endlichen geometrischen Reihe, deren

letztes Glied wir (^ j nennen wollen. Deren Summe sei, sagt er,

4
nur um den dritten Theil des niedersten Gliedes kleiner als -„ , d. h.

also = -X ^ • i-f) . Daran schliesst sich der apagogische Theil

des Beweises, welchen wir wiederholt als Ersatz für Unendlichkeits-
betrachtungen haben eintreten sehen. Aus der Möglichkeit den

4
Unterschied zwischen dem Parabelabschnitte und -— des erstem-

gezeichneten Dreiecks kleiner als irgend eine angegebene Grösse
werden zu lassen, folgt die doppelte Unmöglichkeit, dass der eine
oder der ändere Flächenraum der grössere sei.

Was die beideren anderen Kegelschnitte, die Hyperbel und die
Ellipse betrifft, so scheint Archimed der ersteren besondere Aufmerk-

Archimedes und dessen geometrische Leistungen. 291

samkeit nicht zugewandt zu haben. Dagegen hat er die Quadratur
der Ellipse gefunden und zwischen den Untersuchungen über Ko-
noide und Si^häroide als Satz 5. und 6. eingeschaltet').

Die merkwürdigste uns erhaltene Schrift des Archimed über
einen Gegenstand der ebenen Geometrie ist das Buch von den
Schneckenlinien, jisqI Ultccov. Die Schneckenlinie ist die erste
krumme Linie, welche durch eine doppelte Gattung von Bewegungen
und von bewegten Elementen zugleich erzeugt worden ist. Die
Quadratrix des Hippias benutzte freilich auch eine drehende und eine
fortschreitende Bewegung zu ihrer Entstehung, aber die bewegten
Elemente sind doch zwei gerade Linien, deren Durchs chnittsp unkt die
genannte Curve zum Orte hat. Wir halten es durchaus nicht für
unmöglich, dass Archimed, der bei seinen Studien mit der Quadratrix
und deren Anwendungen bekannt geworden sein muss, grade durch
die Abhandlungen des Hippias und des Dinostratus über ihre Curve
mehrfache Anregung gewann, die bei einem Archimed zu einem
Fortschritte für die Wissenschaft werden musste. Ein Fortschritt war
es, wenn Archimed nicht mehr wie Dinostratus einfach annahm, dass
die Kreisfläche einem rechtwinkligen Dreiecke von den Katheten r
und P gleich sei, sondern diese Gleichheit streng bewies. Eine nicht
geringere Bereicherung der Wissenschaft war es, als er, anstatt die
fortschreitende Bewegung einer Geraden mit der Drehung einer
zweiten Geraden zu verbinden, wie Hippias es gethan hatte, darauf
verfiel jene fortschreitende Bewegung einem Punkte beizulegen. Die
archimedische Definition sagt ausdrücklich-): „Wenn eine gerade
Linie in einer Ebene um einen ihrer Endpunkte, welcher unbeweg-
lich bleibt, mit gleichförmiger Geschwindigkeit sich bewegt, bis sie
wieder dahin gelangt, von wo die Bewegung ausging, und wenn zu-
gleich in der bewegten Linie ein Punkt mit gleichförmiger Geschwin-
digkeit von dem unbewegten Endpunkte anfangend sich bewegt, so
beschreibt dieser Punkt eine Schneckenlinie in der Ebene."

Gehört diese Schneckenlinie, die archimedische Spirale, wie man
sie gegenwärtig zu nennen pflegt, wirklich Archimed als Erfinder
an? Man hat mit sich forterbendem Irrthume lange behauptet, nicht
Archimed, sondern sein Freund Konon habe die Spirale erfunden
und die sich auf dieselben beziehenden Sätze entdeckt. Letzteres ist
durchaus unrichtig") und folglich ersteres nicht hinlänglich begründet.
Archimed hatte vielmehr jene Sätze an Konon zum Beweise geschickt.

') Archimed (ed. Heiberg) I, 312—316, (ed. Nizze) 160—161. ^) Ar-
chimed (ed. Heiberg) II, 10, (ed. Nizze) 118. =>) Das hat Nizze S. 281 in
seinen kritischen Anmerkungen nachgewiesen.

19*

292 1^- Kapitel.

eine Sitte, welche in den allerversehiedensten Jahrhunderten, aber
stets in Zeiten reger mathematischer Arbeit uns wieder begegnen
wird, und hatte auch nach Konons Tode noch viele Jahre gewartet
„ohne dass irgend Jemand sich mit einer dieser Aufgaben beschäftigt
hätte" ^). Alsdann erst setzte er die Beweise in der Schrift über die
Schneckeulinien auseinander. Wir können die Gedrungenheit der Be-
weise in keinem wiederholt abkürzenden Berichte deutlich machen.
Wir verweisen auf die Abhandlung selbst, in welcher gerade der
moderne Leser, der gewohnt ist Curven von der Natur der Spiral-
linien nur mit Hilfe der Infinitesimalrechnung zu untersuchen, wäh-
rend er in der Lehre von den Kegelschnitten noch heute häufiger
von synthetisch geometrischen Anschauungsbeweisen Gebrauch macht,
die bewunderungswürdige Gewandtheit des Archimed in der Hand-
habung einfachster Hilfsmittel staunend erkennen wird. Einige wenige
leicht abzuleitende Proportionen und Ungleichheiten, letztere wieder
unerlässlich für das apagogische Verfahren der alterthümlichen Ex-
haustion, die Zerlegung des Raumes der Schneckenlinie in Aus-
schnitte, deren jeder kleiner als ein äusserer, grösser als ein innerer
Kreisausschnitt ist, das ist der ganze wissenschaftliche Vorrath, mit-
tels dessen die Quadratur der Schneckenlinie gefunden, die Berüh-
rungslinie an irgend einen Punkt derselben gezogen wird.

Manche andere Schriften des Archimed würden an dieser Stelle
noch zu besprechen sein, wenn sie nicht verloren gegangen wären.
Kaum dass die Ueberschriften uns durch arabische Berichterstatter
erhalten blieben^). Ihnen zufolge verfasste Archimed ein Buch über
das Siebeneck im Kreise; ein anderes beschäftigte sich mit der
gegenseitigen Berührung von Kreisen; ein drittes war den
Parallellinien, ein viertes den Dreiecken gewidmet, letzteres
möglicherweise auch unter anderem Titel noch genannt. Auch Daten
und Definitionen soll Archimed in einem Buche vereinigt haben.

Unter dem, was der Verfasser für die Geometrie des Raumes
leistete, ist zunächst eine Untersuchung zu erwähnen, von der wir
nicht einmal wissen, bei welcher Gelegenheit und in welchem Zu-
sammenhange er sie angestellt hat. Die Untersuchmig selbst da-
gegen ist von Pappus, dem emzigen Schriftsteller, der von ihr spricht,
mit genügender Deutlichkeit geschildert^), dass man nach ihm darüber
berichten kann. Euklid hatte die Lehre von den fünf einzigen regel-
mässigen Körpern erschöpfend behandelt. Archimed erfand zu ihnen
13 halbregelmässige Körper, welche durch regelmässige Viel-

^) Archimed (ed. Ileiberg) II, 2, (ed. Ni/,/,e) IIG. ^) Heiberg, Quac-
sfiones Archimedeae 29—30. ^) Pappus V (ed. Tlult.sch) 3.50 sqq.

Archimedes und dessen geometrische Leistungen. 293

ecke von mehr als nur einer Gattung begrenzt werden. Der Anzahl
nach können 8, 14, 26, 32, 38, 62 oder 92 Grenzflächen vorhanden
sein. Der Art nach sind es 3ecke, 4ecke, öecke, öecke, 8ecke, lOecke
und 12ecke, welche auftreten. Bei 10 von den archimedischen Kör-
peru sind nur Flächen zweierlei Art, bei den 3 übrigen dreierlei
Flächen vorhanden. Kein geringerer Mathematiker als Kepler^) hat
zuerst nach Archimed seine Aufmerksamkeit diesem Gegenstande
wieder zugewandt, worauf aufs Neue eine zweihuudertjährige Pause
eintrat, bis seit Anfang des XIX. S. die halbregelmässigen Vielflächuer
Eigenthum der elementaren Stereometrie geworden sind.

Archimed selbst stellte von allen seinen Entdeckungen diejenigen
am höchsten, welche er in den zwei Büchern von der Kugel und
dem Cy linder niedergelegt hat. Es handelt sich darin um den
Beweis von drei neuen Sätzen^): 1. dass die Oberfläche einer Kugel
dem Vierfachen ihres grössten Kreises gleich sei; 2. dass die Ober-
fläche eines Kugelabschnittes (die Kugelcalotte) so gross sei als ein
Kreis, dessen Halbmesser einer geraden Linie vom Scheitel des Ab-
schnittes bis an den Umfang des Grundkreises gleich sei; 3. dass
der Cy linder, welcher zur Grundfläche einen grössten Kreis der
Kugel habe, zur Höhe aber den Durchmesser der Kugel, mit anderen
Worten der der Kugel umschriebene Cylinder, anderthalb mal so
gross sei als die Kugel, und dass auch seine Oberfläche das Andert-
halbfache der Kugeloberfläche sei. Ein gewisser Nikon hat in Per-
gamum eine Inschrift, welche diesen Sätzen galt, in Stein hauen
lassen^). Dass Archimed grade auf diese Sätze einen wohlberech-
tigten Stolz empfand, geht daraus hervor, dass er die Kugel mit dem
sie umgebenden Cylinder auf seinen Grabstein eingemeiselt wünschte,
und dass es grade diese Figur war, an welcher Cicero die Begräb-
nissstätte des grossen Mannes erkannte. Dieselbe Figur erhielt sich,
offenbar zum Gedächtnisse Archiaaeds, auf Münzen der Stadt Syrakus.

Archimed hat in demselben Werke über Kugel und Cylinder, im
4. und 5. Satze des H. Buches^), noch zwei andere die Kugel be-
trefi'ende Aufgaben gestellt, welche ihn geraume Zeit beschäftigten.
Eine Kugel soll durch eine Ebene der Art geschnitten
werden, dass Oberflächen und Körperinhalte der beiden
so gebildeten Kugelabschnitte in gegebenem Verhältnisse
stehen. Die erstere Aufgabe hat, sofern die Berechnung der Kugel-

^) In der Hartnonice mundi. ^) Archimed (ed. Heiberg) I, 2—4, (ed.
Nizze) 42. ■') Vergl. Ideler in v. Zach's Monatlicher Correspondenz zur Be-
förderung der Erd- und Hiramelskunde XXIII, 257 und Buzengeiger ebenda
XXIV, 572. ■*) Archimed (ed. Heiberg) I, 210 sqq., (ed. Nizze) 91 ^gg.

294 1^- Kapitel.

calotte vorher bekarmt ist, wie es der Fall war, keine Schwierigkeit-,
sie führt alsdann auf eine rein quadratische Gleichung. Anders ver-
hält es sich mit der zweiten Aufgabe. Sie ist nur dann lösbar,
wenn, wie Archimed ausdrücklich sagt, eine Länge gefunden werden
kann, welche in die Proportion sich einfügt, die in Buchstaben
(rt — x) '.!) = c^ : X- lauten würde, wenn also eine Lösung der kubi-
schen Gleichung x^ — ax^ -\- hc' = 0 gefunden werden kann. Archi-
med geht nun noch einen grossen Schritt weiter, er gibt den Dio-
rismus der Aufgabe. Sie sei, sagt er, nicht allgemein möglich,
sondern unter der Voraussetzung c = 2 (« — t) nur bei Anwendung
eines a — c, welches selbst grösser als h ist. Mit anderen Worten
er nennt die Gleichung x^ — ax^ -\- -^ a^l) = 0 lösbar d. h. mit einer

positiven Wurzel versehen, so lange 6 < — . Beides, so fährt Archi-
med fort, d. h. die Nothwendigkeit des Diorismus und zugleich die
Construction der Aufgabe unter der Annahme, dass jene Bedinguug
erfüUt sei, solle am Ende seine Analyse und Synthese finden. Es
ist undenkbar, dass Archimed eine so bestimmte Zusage gegeben
haben sollte, wenn er nicht der gestellten Aufgabe in jeder Be-
ziehung Herr gewesen wäre. Aber wo sind die versprochenen Er-
gänzungen? Schon sehr bald nach Archimed zur Zeit des Diokles
waren sie verloren, wie wir im 17. Kapitel sehen werden. Ob eine
von Eutokius im VI. S. aufgefundene alte Handschrift in dorischer
Mundart wirklich, wie er vermuthete, der Originalarbeit des Archi-
med nachgebildet war, ist mit Bestimmtheit nicht zu behaupten noch
zu leugnen. An Wahrscheinlichkeit fehlt es übrigens der Vermuthung
des Eutokius um so weniger, als jene Auflösung sich zur Con-
struction nur einer Parabel und einer Hyperbel bedient, mithin
Curven benutzt, welche zur Auflösung einer anderen räumlichen
Aufgabe, der Würfelverdoppelung, ziemlich lange vor Archimed, wie
wir wissen, bereits in Anwendung waren.

Mit der Geometrie des Raumes hat es ferner das Buch von
den Konoiden und Sphäroiden zu thun. Archimed kennt unter
diesen Namen die Körper, welche durch die Umdrehung einer Pa-
rabel, einer Ellipse, einer Hyperbel entstehen. Er theilt diese Um-
drehungskörper durch einander parallele gleich weit von einander
entfernte ebeiTe Schnittflächen und erhält so zwischen je zwei Schnitt-
ebenen ein Körperelement, das von einem Cylinder eingeschlossen
einen anderen Cylinder in sich enthält. Die Summirung sämmtlicher
grösserer Cylinder nebst der der sämmtlichen kleineren Cylinder wird
somit zwei Grenzen bilden, zwischen welchen der Körperinhalt des
gegebenen Umdrehungskörpers enthalten ist, und welche bei gegeli-

Archimedes und dessen geometrische Leistungen. 295

seitiger Amiäherimg der Sckaittfläclien selbst beliebig wenig von
einander unterschieden sind. Einige auf Widersprüche führende Ver-
gleichungen vollenden wieder die Exhaustion, und so wird die Kuba-
tur der genannten Körper gefunden.

Gelegentlich zeigt dabei Archimed im 8., 9. und 10. Satze ^)^ wie
zu jeder Ellipse unendlich viele Kegel und Cylinder gefunden werden
können, auf deren Mantel sie sich befindet, offenbar ein Anfang
dessen, was man perspektische Eigenschaften krummer Linien zu
nennen pflegt.

Wir können die Entdeckungen Archimeds im Gebiete der Raum-
geometrie nicht verlassen ohne zweier falscher Sätze zu gedenken,
welche er absichtlich, wie er ausdrücklich sagt^), seiner Zeit be-
weislos in die Oeffentlichkeit gab „um eben solche Leute, die da
Alles zu finden behaupten, und doch nie einen Beweis vorbringen,
zu überführen, dass sie auch einmal etwas Unmögliches zu finden
verheissen hätten". Es waren Sätze, die sich auf den Körperinhalt von
Kugelabschnitten bezogen imd damit unsere Bemerkung bestätigen,
dass Ai'chimed sich geraume Zeit mit Fragen, welche auf die Durch-
schneidung einer Kugel durch eine Ebene sich bezogen, beschäftigte.

15. Kapitel.
Die übrigen Leistungen des Archimedes.

Wir gehen zu Dingen über, welche einen algebraischen Charakter
tragen. In erster Linie haben wir einer Gesellschaftsrechnung zu
gedenken, welche Archimed anstellte, und welche nicht etwa der
Methode des Rechnens halber, die schon den alten Aegyptern (S. 39)
geläufig war, aber wegen des Verfahrens, durch welches Archimed
die zur Rechnung noth wendigen Zahlen sich verschaffte, zu grosser
Berühmtheit gelangt ist. Wir meinen die sogenannte Kronenrech-
nung. Vitruvius, der Schriftsteller über Architektur im auguste-
ischen Zeitalter, erzählt die Sache folgendermassen^). König Hiero
habe von einem Goldarbeiter eine Krone aus Gold anfertigen lassen
und dieselbe alsdann dem Archimed übergeben, um zu ermitteln, ob
nicht, wie man zu vermuthen Grund hatte, der Künstler nur Gold
in Rechnung gebracht, in Wirklichkeit aber theilweise Silber zur
Masse hinzugethan hatte. Zufällig sei mm Archimed in ein Badhaus

^) Archimed (ed. Heiberg) 1,318—338 unter Bezeichnung der betreffen-
den Sätze als 7. 8. 9, (ed. Nizze) 162—168. ^) Archimed (cd. Heiberg) H,
2—4, (ed. Nizze) 116. •■') Vitruvius IX, 3.

296 iö. Kapitel.

getreten und liabe beim Einsteigen in eine mit Wasser ganz an-
gefüllte Wanne bemerkt, dass ebensoviel Wasser auslief, als sein
Körper verdrängte. Nun schloss Arcbimed so: die Menge des ver-
drängten Wassers hängt nur von der Ausdehnung, nicht von dem
Gewichte des eingetauchten Körpers ab, das Gewicht dagegen ver-
ändert sich bei gleicher Ausdehnung nach der Natur des Stoffes.
Andere Stoffe werden bei gleicher Ausdehnung verschiedenes Gewicht,
bei gleichem Gewichte verschiedene Ausdehnungen haben. Bildet
man sonach eine reine Goldmasse und eine reine Silbermasse, beide
von genau gleichem Gewichte mit der Krone, so wird das Silber am
meisten Flüssigkeit aus einem bis zum Rande gefüllten Gefässe ver-
drängen, nächstdem die aus beiden Metallen gemischte Krone, das
Gold endlich am wenigsten. Die Schlüsse, wenn auch noch nicht in
der hier ausgeführten Deutlichkeit, scheinen dem Geiste Archimeds
sich plötzlich dargeboten zu haben. Die drei Wassermengen a, x, y,
welche durch das Silber, die Krone, das Gold verdrängt wurden,
boten das Mittel die Mischungsverhältnisse der Krone zu berechnen.
Wog nämlich die Krone h Gewichtstheile, worunter s Gewichtstheile
Silber und (/ Gewichtstheile Gold, so musste erstlich s -^ g = Je

sein. Zweitens verdrängte aber das Silber nur -^ X G Raumtheile
Wasser und das Gold -y X y Raumtheile derselben Flüssigkeit, die

ganze Krone also "T Raumtheile, oder x Raumtheile, demnach

war auch S6 -\- gy = hx. Die beiden Angaben führten dann vereint

in Betracht gezogen zu s = ^ X Ic. In der Freude über diese

Entdeckung sei Archimed unbekleidet in's Freie und nach seiner
Wohnung gelaufen mit dem Rufe: ich habe es gefunden, svQrjxa
evQrixcc. Eine zweite Auffassung findet sich in einem Lehrgedichte
„lieber die Gewichte und Maasse", welches man wohl dem Gramma-
tiker Priscianus zuschrieb, eine Meinung, von welcher man aber all-
gemein zurückgekommen ist, um die Entstehung des Gedichtes etwa
auf das Jahr 500 zu verlegen^). Dort ist nämlich die Auffindung
des specifischen Gewichtes eines Stoffes, auf welche allein es an-
kommt, an eine doppelte Abwägung geknüpft. Wird die zu prüfende
Substanz einmal im Freien und das zweite Mal in Wasser eingetaucht
gewogen, so wird sie das zweite Mal so viel von ihrer Gewichts-
wirkung auf den Wagebalken, an welchem sie hängt, einbüssen, als

^) Scrijitores metrologici Bomani (ed. Hultsch) pag. 88 sqq. Die auf die
Kronenrechnung bezügliche Stelle v. 124 — 208. Ueber die Datirung vergl.
Hultsch's Prolegomena § 118.

Die übrigen Leistungen des Archimedes. 297

das Gewicht der durch sie verdrängten Flüssigkeitsmenge beträgt.
Mau wird folglich in dem Verhältnisse des ursprünglichen Gewichtes
zu dem Gewichtsverluste das specifische Gewicht des Stoffes besitzen,

und man findet 6' = -~-.- xJc, wenn s', k', g' die Gewichtsverluste

im Wasser der an Gewicht ausserhalb des Wassers gleichen Mengen
Silber, Kronenmetall und Gold bedeuten. Welche von den beiden
Methoden also Archimed auch anwandte, und die Wahrscheinlichkeit
für die eine wie für die andere zu erörtern gehört der Geschichte
der Physik an, die Rechnung als solche war immer die gleiche, war,
wie wir zum Voraus bemerkten, eine Gesellschaftsrechnung, der-
gleichen ähnliche wenn auch nicht völlig übereinstimmende im
Uebungsbuche des Ahmes erledigt sind.

Dem Archimed wird ferner eine unbestimmte Aufgabe zu-
geschrieben, welche in Distichen abgefasst unter dem Namen des
Riuderproblems bekannt ist^). Es handelt sich um die Auf-
findung von vier Unbekannten in ganzen Zahlen mittels dreier
zwischen ihnen gegebenen Gleichungen vom ersten Grade. Zu dieser
ursprünglichen Form des Problems sind alsdann in späterer Ueber-
arbeitung, wie es scheint, noch anderweitige Zusätze getreten, welche
zu ihrer Berücksichtigung Kenntnisse in der Lehre von den Quadrat-
zahlen und von den Dreieckszahlen voraussetzen, welche wir wohl
berechtigt sind, einem Archimed als zugänglich anzunehmen, wenn
schon Philippus Opuntius (S. 158) über vieleckige Zahlen schreiben
konnte. Bezüglich der Echtheit dieses Problems sind die Ansichten
getheilt. Der letzte Schriftsteller, der in eingehender Weise mathe-
matisch wie philologisch mit Archimed sich beschäftigt hat, steht
nicht an, das Gedicht, wie es erhalten ist, als archimedisch anzu-
erkennen^). Wir selbst enthalten uns eines bestimmten Urtheils,
wie wir (S. 272) uns entschieden, die Frage nach der Echtheit des
sogenannten euklidischen Problems als eine offene zu betrachten. Zu
einem Ergebnisse kommen wir allerdings auch hier: dass nämlich
ein Grund das Rinderproblem darum für untergeschoben zu erklären,
weil Archimed es nicht habe lösen können, in keiner Weise vorliegt.

') Aeltere Ansichten über das Rindei'problem bei Nesselmann, Algebra
der Griechen S. 481 — 491 wissen einen nur halbwegs erträglichen Sinn nicht
herauszubringen. Dieses gelang Vincent in dem als Anhang zu den Nouvelles
annales de maihematiq^ies T. XV (Paris, 1856) erschienenen Bulletin de hiblio-
graphie etc. I, 39 ügg.' Einen anderen Sinn haben die Verfasser der neuesten
Abhandlung Krumbiegel und Amthor „das Problema hovinum des Archimed"
ermittelt. Vergl. Zeitschr. Math. Phys. Bd. XXV. Histor.-literar. Abtheilung
(1880). 2) Heiberg, Quaestiuixs Archimedeae 26.

298 lö. Kapitel.

Eine Beschäftigimg mit Quadratzablen ist Arcliimed jedenfalls
uachzuriilimeu. Er hat jedenfalls in dem Buche von den Schnecken-
linien die Summirung der aufeinander folgenden Quadrät-
zahlen von 1 anfangend gelehrt und bewiesen. Er kleidet die
Summenformel in folgenden Satz: „Weim man eine willkürliche An-
zahl von Linien annimmt, die nach einander gleiche Unterschiede
haben , so dass die kleinste dem Unterschiede selbst gleich ist, und
wenn eine eben so grosse Anzahl anderer Linien angenommen wird,
welche einzeln der grössten von jenen gleich sind, so wird die
Summe aller Quadrate von denen, welche der grössten gleich sind,
nebst dem Quadrate der grössten selbst und dem Rechtecke unter
der kleinsten und einer Linie, welche so gross ist als die Summe
aller um gleiche Unterschiede verschiedener, dreimal so viel be-
tragen als die Summe aller Quadrate der um gleiche Unter-
schiede verschiedenen Linien"^). In Zeichen geschrieben heisst das

3[«^ + (2rt)' + (3a)' H h (na)-] = (« + 1) (««)- -f a (a -f 2a +

3a -}-••• -f- na). Da Archimed, wie aus dem Beweise sich ergeben
wird, die Summenformel der arithmetischen Reihe anzuwenden wusste, so
ist es einigermassen auffallend, dass er nicht a -j- 2a -j- 3a -| \- na zu

— — ^ vereinigte, um schliesslich a^ -j- (2ay -{- (3a)'-^ -| -f- (na)'^

= — ^^ — ^ — ~ — - — zu erhalten. Wir erkennen daraus , dass ein

b '

so lautender Satz bei Archimed nicht vorkommt, wie sehr man sich
hüten muss den Schluss, dieser oder jener Schriftsteller konnte so
oder so schliessen, hat es also gethan, anzuwenden, wenn nicht be-
sondere anderweitige Gründe für jenen Schluss vorhanden sind.
Noch eine Bemerkung drängt sich auf. Wir sagten Archimed habe
die Summirung der Quadratzahlen vollzogen, und in dem Wortlaute
seines Satzes, wie seines Beweises, kommen nur Linien vor. Allein
es sind unzusammenhängeude Linien, wie sie im V. Buche der eukli-
dischen Elemente zur Versinnlichung von Zahlen dienen, und haben
hier gleichfalls keine andere Bedeutung. Wir lassen nun den Be-
weis folgen, an welchem Avir keine andere Veränderung vornehmen,
als dass wir Archimeds Worte in Zeichen übersetzen. Es ist
na = (n — 1) a + la = (w — 2) a -\- 2a == {n — 3) a + 3a = ••• =
la -f- (n — 1) a. Quadrirt man alle diese unter sich gleichwerthigen
Formen von na, so erhält man ebenso viele verschiedene Formen von
(naf, nämlich (naf = ((m — 1) af -\- (laf -^ 2 ■ (n — 1) a - la
= {{n - 2) af + (2ay -f- 2 (n - 2) a ■ 2a = ((ji — 3) a)^ -f (3a)-
-f 2 • (w — 3) a . 3a = • • . = (laj^-f- {ju — 1) a)^ + 2 • la • {n — 1) a.

') Archimed (cd. Heiberg) 11, 31—40, (ed. Nizze) 125— 1'28.

Die übrigen Leistungen des Archimedes. 299

Jede solche Form besteht aus zwei quadratischen Gliedern und einem
doppelten Produkte. Addirt mau die sämmtlichen Formen nebst
'2 (na)' = (na)'^ -{- (nci)'-^ imd ordnet die quadratischen Glieder erst
fallend dann steigend, imd die doppelten Produkte nach fallendem
erstem Faktor, so entsteht (n -\- 1) (na)' = (iiay + ((w — 1) d)^
+ (0^ - 2) a)' + • • • + (1«)^ + (1«)-^ + . . . + ((n - 2) af
+ (m — 1) cif + (nrt)"- + 2 \(ji — 1) a • la + (n — 2) a • 2a
-j- • • • + la (n — 1) «]• Addirt man ferner auf beiden Seiten

a(a-\-2a-\ \- na), so erhält man (n -\- 1) (;^rt)^ -{- a(a -\- 2a -{- ■ "

+ na) = 2 [a^-{-(2ay -\ (- («a)-] + 2 [(« - l)a • la + (n - 2)

a • 2a -\- •• • + 1« • 0^ — 1) '*] + « [« + 2« -|- • • • + na\. Damit
der zu Anfang ausgesprochene Satz bewiesen sei, bedarf es also nur
noch Eines: es muss gezeigt werden, dass a^ + (2«)^ + •" + (««)"^
= 2 [(li — 1) a . la + (m — 2) a • 2« + • • • + la • (« — 1) a]
-|- a [a + 2a -j- • • • -j- i?o] sei. Die beiden Ausdrücke rechts vom
Gleichheitszeichen sind aber a ■ Ä und a • B oder vereinigt a (tI -{- B),

wobei

^ = 2 (^2 — 1) a + 4 (w — 2) a H 1- (2n — 2) • la

5 = «a -I- (n — 1) « -f (« _ 2) a H i- la

A -\- B = 1 ■ na A- o ' {n — 1) a + 5-(n — 2) a-i h (2«— 1) • 1«

(J. + iO-«=«[l-»«-f-3-(w — l)a + 5.(H— 2)aH [-(2n—l)-la] = B.

Von den w Quadraten, als deren Summe B zu beweisen ist, wird nun
das höchste (na)^ umgeformt in a (l ■ 7ia -\- {n — 1) wa). Aber die
arithmetische Reihe (n — 1) a -\- (n — 2) a -|- ■•■ -\- la hat als Summe

1 , eine Formel, welche demnach, wie oben angekündigt,

von Archimed benutzt wird. Demnach ist (n — 1) na = 2 [(« — l)a
+ (« — 2) a + • . • + Irt] imd (naf = a [1 - na -^ 2 (n — 1) a
-f- 2 (« — 2) a -f- •• • + 2- la]. Ziehen wir diesen Werth von B
ab, so bleibt ein Rest 2?^ ähnlicher Form wie i?, nämlich a [l-(« — l)a

+ 3 ()i — 2) a H + (2n — 3) • 1 a] = B,. Nun könnte ({n — 1) a)^

umgeformt und von i?j abgezogen werden, wodurch ein Rest i?2 ent-
stünde, dem o-egenüber das Verfahren fortzusetzen ist. Schliesslich
bleibt nichts übrig, es ist also a^ -\- (2a)'^ -j- ••■• -|- (iiay = B, wie
zu beweisen war.

Wir haben vorher bei der archimedischen Aufgabe von der durch
eine Ebene geschnittenen Kugel die kubische Gleichimg x^ — ax^

_|- -^- a^J)=^0 angeschrieben (S. 294), zu welcher diese Aufgabe führt.
Wir haben dieses zur deutlicheren Einsicht in die Frage für unsere
an die Gleichuugsform gewohnten Leser gethan. Man muss sich
jedoch wohl hüten das, was wir dort thateu, als den gleichen Ge-
sichtspunkten entsprechend zu betrachten, wie das, was uns bei

300 iö. Kapitel.

unserer letzten Darstellung der Summirung aufeinanderfolgender
Quadratzahlen leitete. Wir haben hier nur Zeichen statt der Worte
gesetzt, den archimedischen Gedanken in keiner Weise verändernd.
Wir haben dort eine Gleichung aus einer Proportion entwickelt.
Archimed hätte eine solche Entwicklung dem ganzen Zustande der
damaligen Wissenschaft gemäss, welche Körperzahlen kamite, vor-
nehmen können, aber er hat es nicht gethan. Er blieb bei der

Proportion (« — x) : h = ^ a^ : x^ stehen, und wir würden in ihn

hineinlesen, was er nicht gewusst zu haben scheint, wenn wir auch
nur annähmen, Archimed habe eine wesentliche Aehnlichkeit zwischen
seiner Aufgabe und der Aufgabe der Würfelverdoppeluug, geschweige
denn zwischen ihr und der Aufgabe der Winkeldreitheilung bemerkt.
Die Würfelverdoppelung verlangte die Einschaltung zweier geome-
trischer Mittelglieder zwischen gegebenen Grössen; von einer der-
artigen Einschaltung ist bei der archimedischen Kugeltheilung nicht
die Rede, mag man auch, um die Unbekannte nach innen zu bringen,

die Proportion in der Form h : (a — x) = x^ : — oder in der Form

h : x^ ■= (a — x) : ^r- schreiben.

Wir müssen hier vielleicht einem Vorwurfe begegnen, den man
uns darüber machen könnte, dass wir, als wir es mit Euklid und
dessen durch quadratische Gleichungen darstellbaren Aufgaben zu
thun hatten, nicht auch so streng an den Wortlaut des griechischen
Schriftstellers uns halten zu müssen glaubten. Wahr ist es, es wäre
vorsichtiger gewesen auch dort nicht als Gleichung zu schreiben,
was nur eine Proportion war, allein wir können doch Einiges her-
vorheben, welches einen grundsätzlichen Unterschied zwischen der
euklidischen und der archimedischen Aufgabe bedingt und dadurch
auch eine formelle Verschiedenheit der Darstellung gestattet, ganz
abgesehen davon, dass wir wenigsten nicht versäumt haben (S. 270),
uusern Zweifel darüber zu äussern, ob Euklid eine Ahnung von dem
algebraischen Inhalte seiner Aufgaben gehabt habe. Quadratische
und kubische Aufgaben — man gestatte uns diese leicht ver-
ständlichen, wenn auch sonst nicht grade üblichen Benennungen ^
sind geometrisch gewaltig verschieden. Die quadratische Aufgabe
gehört den Elementen in dem geometrischen Sinne des Wortes an.
Sie lässt sich, sofern Nichtbeachtung des Diorismus nicht Grössen
als gegeben wählen Hess, welche jede reelle positive Lösung aus-
schliessen, jedesmal durch Zirkel und Lineal bewältigen. Die kubische
Aufgabe ist durch die Elemente nicht lösbar. Sie bedarf besonderer
Curven, deren Eigenschaften in besonderen Schriften erörtert zur

Die übrigen Leistungen des Archimedes. 301

Zeit, als Archimed lebte, überliaupt erst anfingen genau studirt zu
werden und die höhere Geometrie bildeten. Man darf daher wohl
einen Unterschied machen zwischen der Tiefe, bis zu welcher Euklid
und Archimed in das eigentliche Wesen quadratischer und kubischer
Aufgaben einzudringen vermochten. Daneben ist auch für rech-
nendes Verfahren ein nicht minder -gewaltiger Unterschied zwischen
quadratischen und kubischen Aufgaben, die einem Griechen gestellt
waren. Die Ausziehung der Kubikwurzel durch Umkehrung des Ver-
fahrens, welches zur Erhebung auf die dritte Potenz führt, also von
der Formel (a + ßY = cc^ -{- 2 cc^ ß -\- o a ß^ -\- ß^ ausgehend, hat, wie
wir vorgreifend bemerken dürfen, kein griechischer Schriftsteller des
Alterthums oder des Mittelalters jemals gelehrt; ob ein anderes
Rechnungsverfahren zu dem gleichen Zwecke angewandt wurde,
müssen wir hier noch dahingestellt sein lassen. Eine Ausziehung
von Quadratwurzeln dagegen durch Rechnung, und zwar auch bei
solchen Zahlen, welche nur eine Annäherung an den wahren Werth
gestatten, hat die griechische Mathematik vielleicht, wie wir (S. 211)
sahen, schon seit Piaton besessen, jedenfalls hat Archimed in seiner
Kreismessung den Beweis geliefert, dass er im Besitze sehr voll-
kommener Methoden zur Auffindung solcher Wurzelwerthe gewesen
sein muss. Damit ist aber, wie zum Schlüsse dieser Ausführungen
hingeworfen werden mag, zugleich auch die (S. 271) schon begrün-
dete Behauptimg vollends gesichert, dass man in sehr früher Zeit
bei den Griechen cjuadratische Aufgaben rechnend löste, d. h. that-
sächlich mit quadratischen Gleichungen sich beschäftigte, denn wie
wäre man sonst zu Methoden der Quadratwurzelausziehung gelaugt,
die das leisteten, was z. B. von Archimed, zu dessen Arbeiten wir so
zurückkehren, geleistet worden ist?

Archimed hat in seiner Kreismessung eine ganze Anzahl von
angenäherten Quadratwurzeln berechnen müssen. Er hat da-
bei erkannt, dass —^ > V'd > j^, dass 1/349450 > 591—, dass

]/l373943^> 1172y, dass ]/d4.12\32^ > 2339-^. Wie hat

er diese Zahlen gefunden? Die Frage ist vielfach aufgeworfen, ver-
schiedentlich beantwortet worden^). Man kann wohl sagen, dass

^) Zusammenstellungen der auf diesem Gebiete ausgesprochenen Mei-
nungen bei S. Günther, Antike Näherungsmethoden im Lichte moderner
Mathematik (in den Abhandlungen der k. böhmischen Gesellschaft der Wissen-
schaften VI. Folge, 9. Band, Prag, 1878) und bei Heiberg, Quaestiones Archi-
mcdeae 60 — 66. Bei Letzterem auch das bei dem Ersteren fehlende Referat
über Abhandlungen von Mollweide (1808) und Oppermann (1875). Uebor

302 15. Kapitel.

sämmtliche Versuclie in einem Punkte zusammentreffen, nämlicli in
dem Bestreben, ein mehr oder weniger bewusstes Zusammentreffen
der Methode des Arcbimedes mit dem modernen Kettenbruchverfahren
nachzuweisen, d. mit den Formeln

' ' ' 2a -j- b

Tä -\- ■ .

und

Va^ — h = a — —-■ ,

Ya — h

2ffl — • .

Nun ist von vornherein zuzugeben, dass der Näher ungswerth

2 + j_

2 + -..

bei griechischen Schriftstellern mit aller Bestimmtheit auftritt, wie
wir bei der näheren Betrachtung des Werkes des Theon von Smyrua
im 21. Kapitel erkennen werden. Es ist ferner (S. 253) darauf hin-
gewiesen worden, dass die Art und Weise, in welcher Euklid den
grössten gemeinschaftlichen Theiler zweier ganzer Zahlen aufsucht,
einen vollständigen Kettenbruchalgorithmus darstellt, und dennoch
können wir die Frage, wie eigentlich Archimed verfuhr, noch nicht
als vollständig beantwortet erachten. Die Werthe, welche Archimed
als angenäherte Quadratwurzeln benutzt, andere Werthe, die bei
späteren griechischen Schriftstellern auftreten, entstehen nämlich,
mit Ausnahme der von uns schon betonten 1/2 und einer weiteren
Ausnahme, nicht aus den obigen Kettenbruchformeln, es sei denn,
dass man sie auf ein Prokrustesbett spannte, wie wir es nicht ver-
antworten zu können glauben. Die erwähnten archimedischen Werthe

von ]/3 z. B. entstehen nicht aus 1/4 — 1=2 — X _ i ? ^^^~

dem die aufeinanderfolgenden Näherungsbrüche dieses Kettenbruches
sind 2, - , — , — , -^ • • •, unter welchen wir — hervorheben als
die weitere Ausnahme, von welcher soeben die Rede war, da dieser

die Abhandlung Mollweide 's vergl. auch einen Bericht von Gauss in den
Göttinger gelehrten Anzeigen vom 9. Januar 1808. Spätere Arbeiten von Hun-
ratli, Die Berechnung irrationaler Quadratwurzeln vor der Herrschaft der
Decimalbrüche (Kiel, 1884) unter anderen haben unserer Ansicht nach die Frage
immer noch nicht geklärt. '

Die übrigen Leistungen des Archimedes. 303

Werth für ]/3 in der That gescliiclitlicli nachweisbar bei Griechen
vorkommt, wie das 19, Kapitel uns lehren wird. Wir lassen also
die Frage nach der Art und Weise, in welcher Archimed seine
Quadratwurzeln fand, offen, soviel zugestehend, dass bestimmte Bei-
spiele auf Anwendung von Kettenbruchformehi bei anderen Schrift-
stellern hinweisen, die somit jener Formeln sich bedient haben werden,
wenn auch natürlich nicht als Kettenbrüche, an deren Vorhanden-
sein nicht zu denken ist, bevor eine Schreibweise der Brüche durch
räumlich unterscheidbare Zähler und Nenner sich verbreitet hatte.

Es ist nur ein unglücklicher Zufall, dass wir über die Wurzel-
ausziehungsmethoden Archimeds im Dunkeln tappen. Eutokius, der
einen Commentar zur archimedischen Kreismessung geschrieben hat,
sagt, wo er an die Quadratwurzel werthe kommt: „Wie man aber die
Quadratwurzel, die einer gegebenen Zahl sehr nahe kommt, finden
könne, ist von Heron in seinem metrischen Werke gezeigt worden,
ebenso von Pappus, Theon und mehreren anderen Exegeten der
grossen Zusammenstellung des Klaudius Ptolemäus. Es ist daher
nicht nöthig Untersuchungen über diesen Gegenstand anzustellen, da
Freunde der Mathematik bei Jenen darüber nachlesen können" ^).
Von allen diesen Schriften, auf welche Eutokius verweist, ist nur
eine erhalten, der letztgenannte Commentar des Theon zu dem so-
genannten Alraageste. Auch von diesem wird später im 24. Kapitel
zu handeln sein. Wir bemerken hier nur vorgreifend, dass Theon
die heute noch übliche Schulmethode lehrt mit der einzigen Ab-
änderung, welche durch die Anwendung von Sexagesimalbrüchen
statt der gegenwärtig benutzten Decimalbrüche bedingt ist. Wir be-
merken ferner, dass die archimedischen Werthe sich nach dieser
Methode gleichfalls nicht bestätigen lassen, indem nach ihr

]/349 650>59l|, |/l 373 943 g > 1172-^,

dagegen allerdings j/ö 472 132 ^ > 2339 ^

gefunden worden wäre, die beiden ersten in den Brüchen, also da
wo das eigentliche Annäherungsverfahren erst beginnt, von den ar-
chimedischen Werthen abweichend.

Versagt uns der Commentar des Eutokius den Dienst, wo wir
seiner am dringendsten bedürfen, so lässt er uns doch nicht ganz
ohne Ausbeute. Er vollzieht auf's ausführlichste mehrere Multi-
plikationen, und diese Stellen gehören zu den bedeutsamsten für
die Kenntniss s;riechischer Rechenkunst. Der Gebrauch der Stamm-

1) Archimed (ed. Heiberg) III, 270.

304 15. Kapitel.

brüclie (S. 118) beim wirklichen Recliiien gebt daraus aufs Unzwei-
deutigste hervor, dann aber auch, dass die Griechen bei ihren Mul-
tiplikationen im Wesentlichen der gleichen Methode sich bedienten,
der wir noch heute folgen, nur dass sie bezüglich der Anordnung
der Theilmultiplikationen den entgegengesetzten Weg einschlugen.
Sie fingen nämlich mit dem, was wir die Ziffer höchsten Ranges im
Multiplikator nennen, an und stiegen dann zu den niedrigeren Stellen
herab, sie beobachteten die gleiche Reihenfolge innerhalb der Theile

des Multiplikandus. So wird z. B. 2016— folgendermassen quadrirt.

Es ist 2000.2000 = 4000000, 2000.10 = 20000, 2000.6 = 12 000,

2000 • ^ = 333^; 10 . 2000 = 20 000, 10 . 10 = 100, 10 . 6 = 60,

10 ■ 4- = ll4-; 6 • ^000 = 12000, 6 . 10 = 00, 6 . 6 = 36,

6.i = l; A.2000 = 333|, 1.10=li-i-, | . 6 = 1, {- ■ i-

= — und alle diese Theilprodukte vereinigt geben 4064928^ •

Man könnte bei diesem Fortschreiten von den grösseren Theilen
der Zahlen zu immer kleineren an die mehrerwähnte Stelle des
Herodot^) denken, dass die Hellenen beim Rechnen die Hand von
links nach rechts bewegen. Links befand sich (S. 123) auf der
Rechentafel mit Speeren den Rechner senkrechten Kolumnen die höchste
Rangstelle. Man dürfte auch die Vermuthung aussprechen, die Ver-
einigung der Theilprodukte, welche als vollzogen gedacht wird, ohne
zu erklären, wie man dabei verfuhr, sei auf der Rechentafel erfolgt,
deren Gebrauch zur Zeit des Polybius, mithin nur ein halbes Jahr-
hundert nach Archimed (S. 122) wir uns in's Gedächtniss zurück-
rufen. Jedenfalls ist dieses griechische Rechnen innerhalb und mit
Benutzung des Zehnerzahlensystems ein ungeheurer Fortschritt gegen-
über dem ägyptischen Verfahren der Multiplikation und Division,
welches fast nur fortgesetzte Verdoppelungen und Halbirungen nebst
additiver Vereinigung so gewonnener Ergebnisse benutzte. In
Griechenland selbst wurden übrigens nach Aussage eines Scholiasten
zum Charmides des Piaton beide Methoden gelehrt, denn anders
sind die Ausdrücke hellenische und ägyptische Methoden der Midtipli-
Imtion und Division nicht zu verstehen^).

Wir nannten die hier erwähnten Stellen des Eutokius als zu den
bedeutsamsten für die Kenntniss griechischer Rechenkunst gehörend.
Vieles ist leider verloren gegangen. Unter den Schriften des

') Herodot II, 36. -) P. Tannery, La gt'omotrie grecqne etc. pag. 49
hat zuerst auf diese wichtige Stelle hingewiesen.

Die übrigen Leistungen des Archimefles. 305

Xenokrates, welche wir mir dem Titel nach kennen^) (S. 236),
soll eine Logistik gewesen sein. Ein Rechenmeister Apollo dorus
wird uns genannt (S. 168). Von der Logistik des Magnus erwähnt
Eutokius Rühmendes am Schlüsse seines Commentars zur archi-
medischen Kreismessung-). Eine Schrift, welche in griechischer
Sprache von dem Rechnen auf dem Rechenbrette handelte, war im
XVIIL Jahrh. noch in der S. Marcusbibliothek in Venedig vorhanden,
ist aber inzwischen abhanden gekommen oder verlegt, so dass sie in
den Handschrifteuverzeichnissen der genamiten Bibliothek nicht mehr
vorkommt"^). Aber was lässt mit so dürftigen Angaben sich machen?
Sogar die Lebenszeit dieser Schriftsteller mit Ausnahme des Xeno-
krates ist in tiefstes Dunkel gehüllt. Es ist sehr Avahrscheinlich,
dass Archimed selbst ein Buch verfasst hat, welches mit der Rechen-
kunst sich beschäftigte. Zu dieser Vermuthung geben wenigstens
einige Bruchstücke und deren Titel Veranlassung. Die Schrift hiess
die Grund züge, aQ^aC^ und war dem Zeuxippus zugeeignet*).
Archimed lehrte darin unter Anderen das dekadische Zahlensystem
in übersichtlicher Gliederung weit über die Grenzen derjenigen Zahlen
ausdehnen, mit welchen man insgemein zu thun hat. Archimed fasst
nämlich acht aufeinander folgende Rangordnungen in eine Oktade
zusammen^). Die erste Oktade geht also von der Einheit bis zur
Myriade der Myriaden, d. h. bis zu 100 000 000, welche Zahl die Ein-
heit der zweiten Oktade bildet. Die Einheit der dritten Oktade ist
ihm folglich die Zahl, welche wir durch Eins mit 2 mal 8 oder mit 16
Nullen schreiben. Die Einheit der 26. Oktade ist in unserer Schreib-
weise 1 mit 25 mal 8, d. h. mit 200 Nullen. Diese Oktaden setzt
Archimed fort bis zur 10 000 mal 10 000 sten und sämmtliche Zahlen
bis zur höchsten dieser letzten Oktade bilden die erste Periode.
An sie schliesst sich aber eine neue zweite Periode, deren Einheit
folglich nach unserer Zahlenschreibweise eine 1 mit 800 Millionen
Nullen ist! Es schwindelt Einem bei dem Gedanken, auch mit dieser
zweiten Periode von 10 000 mal 10 000 Oktaden die Zahlenreihe nicht
abgeschlossen zu finden, sondern vielmehr die Möglichkeit zugeben
zu müssen, noch höhere Perioden oder gar höhere Gruppenordnungen
als die Perioden selbst zu bilden.

Für die Richtigkeit dieses Auszuges bürgt, dass er von Archimed

*) Diogenes Laertius VIII, 12. ^) Archimed (ed. Heiberg) III, 302.
^) Privatmittheihmg des Grafen Soianzo in Venedig auf die Anfrage des Ver-
fassers nach dem Abacus in Graeco, von welchem Bern, de Montfaucon,
Bibliotheca bibliothecarum manuscriptarum I, 468 D spricht. *) Archimed
(ed. Heiberg) II, 242, 246, (ed. Nizze) 209, 212. '■>) Archimed (ed. Heiberg)
II, 266 sqq., (ed. Nizze) 217.

Cantor, Gesohiclite der Mathematik I. 2. Aufl. 20

306 15- Kapitel.

in eigener Person herrührt. Er gibt ihn uns in einer vollständig
erhaltenen Abhandlung, der Sandrechnung, tl^aii^Lrrjg (lateinisch:
arenarii(s). In ihr ist die Aufgabe gestellt eine Zahl anzugeben,
welche grösser sei als die Zahl der Sandkörner, die eine Kugel fassen
würde, deren Halbmesser die Entfernung des Erdmittelpunktes von
dem Fixsternhimmel wäre. Vorausgesetzt nun, dass 10 000 Sand-
körner hinreichen ein Körnchen von der Grösse eines Mohnkornes
zu liefern, und dass der Durchmesser eines Mohnkornes nicht kleiner
als der 40. Theil einer Fingerbreite sei, vorausgesetzt ferner, dass
der Weltdurchmesser kleiner als 10 000 Erddurchmesser, der Erd-
durchmesser endlich kleiner als eine Million Stadien sei, findet
Archimed eine Zahl, welche die Sandkörnerzahl einer der Weltkugel
gleich gedachten Sandkugel überschreitet in 1000 Einheiten der
7. Oktade der 1. Periode. Ja Archimed geht noch weiter. Er nimmt
nach astronomischen Anschauungen des Aristarchus von Samos^)
die Weltkugel, die er alsdann Fixsternkugel nennt, noch grösser
an und erkennt, dass Sandkörner 1000 Myriaden der 8. Oktade
an Zahl mehr als nur ausreichen würden, selbst diese Fixsternkugel
zu bilden"'^).

Was ist die Bedeutung dieser eigenthümlichen Aufgabe? Mannig-
fache Vermuthungen sind darüber ausgesprochen worden. Man hat
vielleicht nicht ganz unglücklich versucht den Zweck der Schrift in
jenem Bruchstücke der Grundzüge zu finden. Mit anderen Worten
man hat es als einzigen Zweck der Sandrechnung bezeichnet, ein
Beispiel davon zu liefern, wie man die Aussprache der Zahlen von
einer gewissen Höhe an bedeutend vereinfachen und dabei eine Ein-
sicht in die Art ihres Wachsthums gewähren könne. Neben diesem
Zwecke hat man einen anderen wichtigeren zu erkennen geglaubt,
die Sandrechnung sei dazu bestimmt, die arithmetische Ergänzung
der geometrischen Exhaustionsmethode zu bilden. Dem Uneiidlich-
kleinen gegenüber ist das Unendlichgrosse der zweite Pol des Un-
endlichkeitsbegrifPes, wenn wir so sagen dürfen; um beide dreht sich
die ganze Infinitesimalrechnung. Will man aber beide Gegensätze
deutlicher hervortreten lassen, so eignen sich geometrische Betrach-
tungen nahezu zusammenfallender Raumgebilde vorzugsweise dazu,
das Unendlichkleine zu versinnlichen, während das Unendlichgrosse
unmöglich an Figuren zu begreifen ist, welche dem Auge innerhalb
des Raumes begrenzt erscheinen. Nur durch die Zahl wird es dem
Verständnisse näher gebracht. Man kann zeigen, dass jede noch so

') Vergl. über diesen Wolf, Geschichte der Astronomie 35 — .'57. ") Archi-
med (ed. Heiberg) JI, 290, (cd. Nizze) 22^.

Die übrigen Leistungen des Archini edes. 307

grosse, aber gegebene Zahl durch eine im Uebrigen nicht näher be-
stimmte Zahl überstiegen werden kann, mau kann über jede noch
so ferne Grenze dabei als zu nahe gelegen hinausgehen. Das grade
hat Archimed in seiner Sandrechnung geleistet.

Ist die Frage nach dem Zwecke der Sandrechnung schon eine
schwierige, so ist die Frage nach ihrer Heimath womöglich noch
weniger sicher zu beantworten. Auf der einen Seite ist unzweifelhaft
die philosophische wie die mathematische Erkenntniss des Unend-
lichen ein Gegenstand griechischer Forschung schon in einer Zeit
gewesen, die um reichlich ein Jahrhundert vor Archimed liegt. Auf
der anderen Seite ist die griechische Denkart im Ganzen so über-
trieben grosser Zahlen nicht gewohnt. Nicht vor, nicht nach Archi-
med finden wir Aehnliches in griechischer Sprache. Man könnte
erwidern, nicht vor, nicht nach Archimed finde man unter den grie-
chischen Schriftstellern einen Archimed! Allein auch eine andere Aus-
kunft ist nicht unmöglich. Es könnte hier ein auswärtiges Problem
vorliegen, welches Archimed irgend wie, irgend wo einmal zu Ohren
gekommen wäre, welches er mit seinem allumfassenden Geiste auf-
nahm und im Sinne seiner Absicht, die vielleicht von der des ur-
sprünglichen Stellers der Aufgabe . himmelweit verschieden war, be-
handelte. Man möchte fast für diese Auffassung auf die einleitenden
Sätze der Sandrechnung verweisen: „Manche Leute glauben, König
Gelon, die Zahl des Sandes sei von unbegrenzter Grösse. Ich meine
nicht des um Syrakus und sonst noch in Sicilien befindlichen, son-
dern auch dessen auf dem ganzen festen Laude, dem bewohnten und
unbewohnten. Andere gibt es wieder, welche diese Zahl zwar nicht
für unbegrenzt annehmen;- sondern nur dass noch keine so grosse
Zahl jemals genannt sei, welche seine Menge übertrifft. Wenn sich
nun eben diese einen so grossen Sandhaufen dächten, wie die Masse
der ganzen Erde; dabei sämmtliche Meere ausgefüllt und alle Ver-
tiefungen der Erde so hoch wie die höchsten Berge, so würden sie
gewiss um so mehr glauben, dass keine Zahl zur Hand sei, die
Menge derselben noch zu überbieten. Ich aber will mittels geo-
metrischer Beweise, denen Du beipflichten wirst, zu zeigen versuchen,
dass unter den von mir benannten Zahlen, welche sich in meiner
Schrift an den Zeuxippus befinden, einige nicht nur die Zahl eines
Sandhaufens übertreffen, dessen Grösse der Erde gleichkommt, wenn
sie nach meiner Erklärung ausgefüllt ist, sondern auch die eines
solchen, dessen Grösse dem Weltalle gleich ist." So der Anfang der
Abhandlung, und man wird zugeben müssen, dass Archimed in ihm
die eigenthümliche Gruppirung und Benennung der grossen Zahlen
für sich in Anspruch nimmt, aber keineswegs den Gedanken eines

20*

308 l-'i- Kapitel.

der Erdkugel gleichen Sandhaufens selbst als einen neuen bezeichnet,
welchen noch Niemand vor ihm geäussert habe.

Wir haben (S. 283) zugesagt, auch die Kenntnisse Archimeds
im Gebiete der Mechanik in das Bereich unserer Darstellung zu
begreifen. Bei Archimed war mehr als bei iro-end früheren Schrift-
stellern die Mechanik der Geometrie eng verschwistert. Geometrische
Betrachtungen feinster Art standen ihm im Dienste der Mechanik,
mechanische Lehren wurden aber auch zur Beweisführung geome-
trischer Sätze von ihm angewandt. Wir haben wiederholt von der
Stellung der Abhandlung über die Quadratur der Parabel mitten
zwischen den beiden Büchern vom Gleichgewicht der Ebenen
gesprochen, und diese Stellung ist kennzeichnend nach beiden Seiten
hin. Eine Stetigkeit des Inhaltes vom I. Buche zur Zwischenabhand-
lung, von dieser zum IL Buche ist unverkennbar, so unverkennbar,
dass es schwer wird zu sagen, welcher einzelne Satz für Archimed
mit der Geltung eines mechanischen, welcher mit der eines geome-
trischen Satzes versehen ist. Es handelt sich in der ganzen Schrift
um Schwerpunktsbestimmungen, welche auf Grund des Satzes^)
gefunden werden, dass der Schwerpunkt einer aus zwei gleich schweren
nicht denselben Schwerpunkt besitzenden Grössen zusammengesetzten
Grösse in der Mitte derjenigen geraden Linie liegen muss, welche
die Schwerpunkte der beiden Theile verbindet, zu welchem der andere
bereits in der aristotelischen Mechanik (S. 241) enthaltene Satz-)
kommt, dass commensurable wie incommensurable Grössen im Gleich-
gewicht stehen, sobald sie ihren Entfernungen von dem Stützpunkte
des Hebels, an welchem sie wirkend gedacht sind, umgekehrt propor-
tionirt sind. So findet Archimed den Schwerpunkt eines Parallelo-
grammes, eines Dreiecks, eines Paralleltrapezes und hat damit das
nöthige Material, um nun endlich bis zum 17. Satze der Zwischen-

P abhaudlung mechanisch die Quadratur
der Parabel abzuleiten'^), von deren sich
alsdann noch anknüpfender geometrischen
Begründung wir im vorigen Kapitel ge-
sprochen haben. Der Gang ist in aller
Kürze folgender. Zuerst (Figur 54) wird
an dem gleicharmigen in B gestützten
Hebel ABT ein Dreieck Tz/i/ mit den
Befestigungspunkten B und Fan dem Wag-

^) Gleichgewicht der Ebenen Buch I, Satz 4 (ed. Heiberg) II, 14G, (ed.
Nizze) 2. -) Gleichgewicht der Ebenen Buch I, Satz G und 7, (ed. Heiberg)
n, 152—160, (ed. Nizze) 3—5. ^) Archimed (ed. Heiberg) H, 308— 3.3G, (ed.
Nizze) 12—22.

Die übrigen Leistungen des Aichimctlcs.

309

jB E

IT r

balken ßF aufgeliäiigt gedacht. Es wird gezeigt, dass dieses Dreieck
mit einer in A aufgehängten Figur Z in Gleichgewicht ist, wenn Z der
dritte Theil des Dreiecks TA H ist. Des Weiteren wird (Fig. 55) ein Pa-
ralleltrapez aufgehängt gedacht, dessen
nicht parallele Seiten sich in F" schnei-
den, während die parallelen Seiten
senkrecht gegen den Wagbalken sind.
Für die diesem Trapeze AKPT bei
A das Gleichgewicht haltende Figur
Z wird bewiesen, dass sie zwischen

zwei Grenzen, dem ^-^- und dem

BH
BF

fachen des Trapezes enthalten ist.

Fig. 55.

Jetzt geht Archimed (Figur 56) zur
Aufhängung eines Parabelabschnittes
über. Er hat schon im Eingange der
Abhandlmig einige Eigenschaften
dieser Curve erwähnt. Er zeigt nun,
dass wenn die den Abschnitt bildende
Sehne BF in beliebig viele gleiche
Theile gethcilt wird, wenn aus jedem
Theilpunkte eine Parallele zu KzJ und
aus den Schnittpunkten dieser Pa-
rallelen mit der Parabel Verbindungs-
linien nach r gezogen werden, welche
man noch jenseits des Parabelpunktes

Ijis zur nächsten Parallelen verlängert, der Parabelabschnitt alsdaim
als zwischen zwei Summen von trapezartigen Stücken enthalten sich
kundgibt. Durch Aufsuchen der jedem Trapezchen in A das Gleich-
gewicht haltenden Figur, sowie durch Verbindung der beiden ge-
nannten Gleichgewichtssätze für das Dreieck und das Trapez ergibt
sich endlich der Parabelabschnitt als Drittel des grossen Dreiecks
BFA. Andrerseits ist unter der Voraussetzung, es sei EM& die der
BF parallele Berühruugslinie an die Parabel, M die Mitte von 11 A ,
H die Mitte von BT und ^ die Mitte von FA, folglich HM=~-

Daraus ergibt sich, dass der Parabelabschnitt — des kleinen Dreiecks
BMF ist, wie erwiesen werden sollte. Im II. Buche des Gleich-
gewichts der Ebenen geht dann Archimed dazu über, den Schwer-
punkt des parabolischen Abschnittes zu finden.

Noch gewaltiger förderte Archimed die Erkenntniss der Gesetze
gegenseitigen Druckes flüssiger und fester Körper. Er entdeckte das

310 15. Kapitel.

nach ihm benamite hydrostatische Principe), welches als Lehr-
satz gekleidet von ihm folgendermassen ausgesprochen wurde: Jeder
feste Körper, welcher, leichter als eine Flüssigkeit, in diese eingetaucht
wird, sinkt so tief, dass die Masse der Flüssigkeit, welche so gross
ist als der eingesunkene Theil, ebenso viel wiegt, wie der ganze
Körper-). Daraus folgt ein Aveiterer Satz: Wenn ein Körper, leichter
als eine Flüssigkeit, in diese getaucht wird, so verhält sich sein Ge-
wicht zu dem einer gleich grossen Masse Flüssigkeit, wie der einge-
sunkene Theil des Körpers zum ganzen Körper^). Dieser Satz bildet
selbst die wissenschaftliche Definition des specifischen Gewichtes für
solche Stoffe, die leichter als die zur Dichtigkeitseinheit gewählte
Flüssigkeit sind.

Das specifische Gewicht dichterer Körper hatte Archimed,
wie wir (S. 296 — 297) besprochen haben, bei seiner Kronenrechnung
zu benutzen verstanden. Wir lehnten es dort ab, zu entscheiden,
welcher von den beiden berichteten Methoden Archimed sich that-
sächlich bediente. Auch jetzt, wo der Zusammenhang mit den Büchern
von den schwimmenden Körpern uns nahe legen würde, von jener
unparteiischen Zwischenstellung uns zu entfernen, sprechen wir nur
mit besonderem Vorbehalte unsere persönliche Meinung über jene
Frage aus. "Die Methode mehrfacher Abwägungen Hess jedenfalls
ein genaueres Ergebniss finden als die Methode der Abmessung der
auslaufenden Flüssigkeit, und grade deshalb scheint uns, da nun ein-
mal beide Methoden berichtet werden, beide also mindestens zur
Zeit, als der Berichterstatter lebte, wahrscheinlich aber viel früher,
bekannt gewesen sein müssen, die letztgenannte Methode die erst-
erfundene gewesen zu sein^). Der Gedankengang ist doch wohl der
natürlichere, dass dem Archimed zuerst unmittelbare Messung des
verdrängten Wassers vorschwebte, und dass erst später, sei es durch
ihn selbst, sei es durch Nachfolger, das mittelbare Verfahren er-
funden wurde, nachdem die praktische Unausführbarkeit erkannt war,
das verdrängte Wasser vollständig und genau aufzufangen und zu
messen. Sei dem nun, wie da wolle, jedenfalls hat, wie wir schon
andeuteten, die Kronenrechnung frühzeitig ein verdientes und unge-
wöhnliches Aufsehen verursacht. Vitruvius nennt sie neben der

^) Ueber das hydrostatische Princip vergl. Ch. Thurot, EecJierches histo-
riques svr le princijJC d'ÄrcMmcde in der Bevue Areheologique 1869. ^) Archi-
med, Von schwimmenden Körpern Buch I, Satz 5 (ed. Heiberg) IV, 367, (ed.
Nizze) 227. *) Archimed, Von schwimmenden Körpern Buch II, Satz 1 (ed.
Heiberg) II, 375, (ed. Nizze) 232. *) Montncla, Ilistoire des Mathematiqucs
I, 229 vertritt die entgegengesetzte Ansicht und Thurot scheint ihm zu folgen,
wenn er sich auch nicht ho bestimmt ausspricht.

Die übrigen Leistungen des Archimedes. 311

Iiicommeiisurabilität der Diagonale eines Quadrates und neben dem
j)ythagoräischen Dreiecke aus den Seiten 'P>, 4, 5 in gleicher Linie.
Sie stellen ihm gemeinschaftlich die drei grössten mathematischen
Entdeckungen dar^). Proklus erzählt, König Gelon habe im Hinblick
auf die Kronenrechnung gesagt, er werde hinfort nichts bezweifeln,
was Archimed behaupte"'^).

Dasselbe geflügelte Wort, erzählt Proklus weiter, werde auch
auf König Hiero zurückgeführt, und knüpfe sich an eine andere
mechanische Leistung, welche dem Laien noch wunderbarer vor-
kommen musste, weil ihm selbst eine unbegreifliche Handlung er-
möglicht wurde. Archimed habe nämlich mit Hilfe von eigenthüm-
lich zusammengesetzten Herrichtungen es fertig gebracht, dass König
Hiero ganz allein ein schweres Schiff von Stapel lassen konnte. Ob
die Herrichtung der Hauptsache nach ein Flaschenzug^), tgiönuGrog,
war, ob eine Spirale'), fli|, sie darstellte, ist ziemlich gleichgiltig.
Jedenfalls ist der Name des Archimed für alle Zeiten mit dem einer
dritten Gattung von Vorrichtungen, mit der Schraube^), xo^Xia,
verbunden geblieben, welche er als Wasserhebewerk benutzte, und
das ihm innewohnende Bewusstsein der grossen Leistungsfähigkeit
seiner Maschinen spiegelt sich in dem stolzen Worte: Gib mir wohin
ich gehen kann, und ich setze die ganze Erde in Bewegung^), Tcä ßco
xal xaQiGtiavL rar' yccv xLvyjöco 7tä6av, oder gib mir wo ich stehe
und ich bewege die Erde') dog uol nov Grcä aal xivä rr^v yrjv.

Wir übergehen das, was von einem vielleicht durch eine Art
Gebläse oder durch Wasserkraft in Bewegung gesetzten Himmels-
globus^) des Archimed erzählt wird, was sich auf ein für König
Hiero erbautes grosses Schiff mit 20 Ruderbänken^), was sich auf
die Brenn spie gel bezieht, mittels deren Archimed bei der Römer-
belageruug die feindlichen Schiffe in Brand gesetzt haben soU^").
Das sind Gegenstände, die noch weniger als die zuletzt besprochenen
der Geschichte der Mathematik augehören, und die, mag an ihnen
wahr sein, was da wolle, die Verdienste Archimeds für unsere Zwecke
weder erhöhen, noch beeinträchtigen.

1) Vitruvius IX, 1—3. '-) Proldus (ed. Friedlein) 63. ^) Tzetzes II,
35. *) Athenaeus V p. 217. ^) Diodor I, 34 und V, 37. ") Tzetzes II,
130. ') Pappus VIII, 11 (ed. Hultsch) 1060. «) Bunte, Leerer Gymnasial-
programni von 1877, S. 15 — 18 und Hultsch, Uelier den Himmelsglobus des
Archimedes. Zeitschr. Math. Pliys. XXII, Histor.-literar. Abtheilung 106 (1877).
'•') Athenaeus V, pag. 207. '") Eeiberg, Quacstioncs Archimedeae 39—41.

312 Iß- Kapitel.

16. Kapitel.
Eratostlieiies. Apolloiiius von Pergä.

Etwa 11 Jahre nach der Geburt des Arcbimedes, im Jahre 276
oder 275 wurde in Kyrene, der therischen Kolonie an der Nordküste
Afrikas, Eratosthenes, Sohn des Eglaos geboren^). Er verbrachte
den grössten Theil seines Lebens in Alexandria. Dort ward er er-
zogen unter der Leitung seines Landsmannes Kallimachus, des
gelehrten Vorstehers der grossen Bibliothek, sowie eines anderen
sonst unbekannten Philosophen Lysanias. Dann wandte er sich nach
Athen, wo er der Schule der Platoniker sich näherte, sodass er selbst
als Platoniker bezeichnet wird, und wo er wahrscheinlich auch zu-
erst in das Studium der Mathematik eindrang. Ptolemaeus Euergetes
— ■ der dritte Ptolemäer, wie Suidas erzählt, dem die Notizen für das
Leben des Eratosthenes fast ausschliesslich zu verdanken sind —
berief Eratosthenes wieder nach Alexandria zurück als Nachfolger
seines Lehrers Kallimachus in der Vorstandsstellung bei der Biblio-
thek, und von da an scheint sein Verhältniss zu diesem Fürsten wie
zur Fürstin Arsinoe ein besonders freundschaftliches geworden zu
sein. Es ist folglich keinerlei Grund vorhanden anzunehmen, Era-
tosthenes sei in späteren Jahren von der Bibliothek entfernt ins
Elend gerathen, wenn auch andrerseits die Nachrichten allzu über-
einstimmend sind um sie zu verwerfen, dass Eratosthenes augen-
leidend, vielleicht sogar erblindet, seinem Leben ungefähr 194 v. Chr.
durch freiwilligen Hungertod ein Ende machte.

Die wissenschaftliche Bedeutung des Eratosthenes war eine
maimigf altige. Das Hauptgewicht scheint er selbst auf seine litera-
rische und grammatische Thätigkeit gelegt zu haben, wenigstens gal)
er sich den Beinamen des Philologen. Allein auch in den meisten
anderen Lehrgegenständen trat Eratosthenes als Schriftsteller auf, wie
die erhaltenen Ueberschriften seiner Werke bezeugen, und sicherlich
nicht mit Unrecht nannten ihn deshalb die Schüler des Museums
Pentathlon, den Kämpfer in allen fünf Fe cht weisen, welche bei
den Kampfspielen in Gebrauch waren. Um diese Vielseitigkeit zu
kemizeichuen mag nur der Schrift über das Gute und Böse neben
der Erdmessung, des Werkes über die Komödie neben der Geo-

') Vergl. Fabricius, Bibliotheca Graeca (ed. Harless) IV, 120—127.
Eratosthcnis geographicorum fragmenta (ed. Seidel) Göttingen, 1789. G. Bern-
hardy, Eratosthenica. Berlin, 1822 und desselben Verfassers Artikel Eratos-
thenes in Er seh und Grubers Encyklopädie. Eratoslhenis Carminum reliquiac
(ed. Hiller) Leipzig, 1872.

Eratosthenes. Apollonius von Pergä. 31 o

graphie, der Chronologie neben dem Buche über die Würfel-
verdoppelung gedacht sein.

In der Erdmessung war zum ersten Male von einem Griechen
der Versuch gemacht die Grösse der Erde genau zu bestimmen. Er
fand den Grad zu 126 000 Meter, während die wahre Länge des
Breitengrades in Aegypten 110 802,6 Meter beträgt, so dass also
Eratosthenes bei seiner Schätzung um fast \2>^/^ Procent' irrte, ein
Irrthum, den man aber nicht so beträchtlich finden Avird, wenn man
erwägt, dass dem Eratosthenes dabei höchstens bis zur zweiten
Katarakte wirkliche Landesvermessungsergebnisse zu Gebote standen,
während er für das obere Land bis zu den Nilkrümmungen und nach
Meroe von den ganz unbestimmten Angaben der wenigen Reisenden
abhängig war, welche die Hauptstationen und ihre Entfernungen in
Tagesmärschen aufgezeichnet hatten^).

Den erhaltenen Bruchstücken der Geographie hat man ent-
nommen, dass Eratosthenes nicht nur eine klare Beschreibung des
Vorhandenen lieferte, sondern auch allgemeine Betrachtungen über
das Werden und die Ursachen der Veränderungen der Erdoberfläche
mit Glück gewagt hat^).

Für die Chronologie ist seit Auffindung des Ediktes von
Kanopus ein Inhalt bekannt geworden, an welchen Niemand früher
dachte, Niemand denken koimte. Wir haben gelegentlich (S. 40)
von dieser Verordnung gesprochen. Die in Kanopus, nur wenige
Wegstunden von Alexandria entfernt, versammelte Priesterschaft ver-
kündete unter dem Datum des 19. Tybi des 9. Regierungsjahres
Ptolemaeus IIL, Euergetes I. d. i. am 7. März 238 v. Chr. den BefehP),
dass „damit auch die Jahreszeiten fortwährend nach der jetzigen
Ordnung der Welt ihre Schuldigkeit thun und es nicht vorkomme,
dass einige der öffentlichen Feste, Avelche im Winter gefeiert werden,
einstens im Sommer gefeiert werden, indem der Stern um einen Tag
alle vier Jahre weiterschreitet, andere aber, die im Sommer gefeiert
werden, in späterer Zeit im Winter gefeiert werden, wie das sowohl
früher geschah, als auch jetzt wieder geschehen würde, wenn die
Zusammensetzung des Jahres aus den 360 Tagen und den 5 Tagen,
welche später noch hinzuzufügen gebräuchlich wurde, so fortdauert,
von jetzt an 1 Tag als Fest der Götter Euergeten alle 4 Jahre ge-

') Lepsius, Das Stadium und die Gradmessung des Eratosthenes auf
Grundlage der ägyptischen Maasse (in der Zeitschr. f. ägypt. Sprache und
Alterthumskunde 1877, 1. Heft). ^) Alex. v. Humboldt, Kosmos II, 208 und
die zugehörige Anmerkung S. 435. Berger, Die geographischen Fragmente
des Eratosthenes neu gesammelt, geordnet und besprochen. Leipzig, 1880.
^) Lepsius, Das bilingue Dekret von Kanopus. Berlin, 1866. Bd. I.

314 16. Kapitel.

feiert werde hinter den 5 Epagomenen und vor dem Neuen Jahre,
damit Jedermann wisse, dass das, was früher in Bezug auf die Ein-
richtung der Jahreszeiten und des Jahres und das hinsichtlich der
ganzen Himmelsordnuug Angenommene fehlte, durch die Götter
Euergeten glücklich berichtigt und ergänzt worden ist." Ob Era-
tosthenes selbst diese wichtige chronologische Neuerung veranlasste,
ist unsicher. Kallimachus soll nämlich um die CXXXV. oder
CXXXVI. Olympiade gestorben sein. Der Anfang der ersteren war
240, der der zweiten 236. Zwischen beide Anfänge fällt das Edikt
von Kanopus. Da nun Eratosthenes erst nach dem Tode des Kalli-
machus wieder nach Alexandria zurückkehrte, so hängt es wesentlich
von der genauen Bestimmung dieses Todesjahres ah, ob Eratosthenes
bei Erlass des Ediktes zur Stelle war oder nicht. Aber sei dem,
wie da wolle, irgend eine Beziehung zwischen der Schaltjahreinrich-
tung und der Chronologie des Eratosthenes wird nicht wohl von der
Hand zu weisen sein. Wir machen zugleich darauf aufmerksam, dass
von dieser merkwürdigen Thatsache des Vorhandenseins eines ägyp-
tischen Schaltjahres in der frühen Ptolemäerzeit der Alterthums-
forschung vor Auffindung des Ediktes selbst nicht eine Silbe be-
kannt war. Nicht die leiseste Anspielung auf diese jetzt durchaus
feststehende bedeutsame Reform kommt in uns erhaltenen alexandri-
nischen Schriften vor, ein Wink, nicht gar zu viel auf das negative
Zeugniss fehlender Belege für eine an sich wahrscheinliche Vermu-
thung zu vertrauen.

Ueber alle diese Schriften müssen kurze Andeutungen hier ge-
nügen. Bevor wir zum Briefe über die Würfelverdoppelung und
damit zur mathematischen Seite der Thätigkeit des Eratosthenes
übergehen, Avollen wir nur eines weitereu Beinamens noch gedenken,
unter welchem er mitunter vorkommt. Man nannte ihn nämlich
Beta. Die Bedeutung dieses Beinamens ist sehr zweifelhaft. Die
Einen wollen, er habe ihn deshalb erhalten, weil er der zweite Vor-
steher der grossen Bibliothek gewesen sei. Allein dieses ist eines-
theils unrichtig, wenn, wie sonst angenommen wird, Zenodotus der
erste, Kallimachus der zweite, Eratosthenes also erst der dritte Vor-
steher war, anderntheils ist nirgends eine Spur zu finden, dass Zeno-
dotus oder auch Kallimachus etwa Alpha, oder einer der Nachfolger
des Eratosthenes Gamma oder Delta genannt worden wäre. Wahr-
scheinlicher ist die andere Ableitung, wonach das Wort Beta ihn
als zweiten Piaton kennzeichnen sollte, oder allgemeiner als den-
jenigen, der überall den ZAveiten Rang wenigstens sich zu erobern
wusste, wenn der erste Rang auch ehrfurchtsvoll den Altvordern
eingeräumt werden muss. Endlich kommt noch in Betracht, dass

Eratosthenes. ApoUonius von Pergä.

315

Buchstaben als Beiaameu, und zwar unter den seltsamsten Begrün-
dungen, auch anderweiti«; bei den Griechen uru das Jahr 200 v. Chr.
vorkommen. So wird ein Astronom Apollonius, der zur Zeit des
Königs Ptolemaeus Philopator sich mit Untersuchungen über den
Mond beschäftigte und dadurch sich weithin bekannt machte, als
Epsilon bezeichnet; denn der Buchstabe 6 sehe der Gestalt des
Mondes gleich^).

Der Brief über die Würfelverdoppelung ist von uns be-
reits mehrfach benutzt worden. Dem Anfange desselben entnahmen
wir (S. 199) die Geschichte der Entstehung jenes Problems. Als
wir von Eudoxus und Menächmus und ihren Würfelverdoppelungen
redeten (S. 217 und 218), bezogen wir uns auf ein Epigramm^),
welches den Schluss des Briefes bildet. Der Haupttheil des Briefes
lehrt selbst eine Verdoppelung des Würfels unter Anwendung eines
eigens dazu erfundenen Apparates, des Mesolabium, wie es genannt
wurde, weil es dabei auf die Auffindung zweier geometrischer Mittel
zwischen zwei gegebenen Grössen und zwar durch Bewegungsgeo-
metrie (S. 215) ankam ^). Das Mesolabium bestand aus drei einander
gleichen rechtwinkligen Täfelchen von Holz, Elfenbein oder Metall,
welche zwischen zwei mit je drei Rinnen versehenen Linealen ein-
geklemmt in diesen Rinnen über einander weg verschoben werden
konnten. Die Anfangslage ist in
der Figur, welche Eutokius in
seinem Commentare zu Archimeds
Büchern von der Kugel und dem
Cylinder, wo der ganze Brief des
Eratosthenes eingeschaltet sich
findet, beigibt, mit den Buchstaben
(Figur 57) AEZA, AZHI, I&H^

versehen, wobei, wie wir im Vorübergehen bemerken, der Buchstabe
I auffallen mag. Auch in der in dem gleichen Commentare erhaltenen
Figur zur Würfelverdoppelung des Archytas (S. 215 Fig. 36) kommt

^) Ptolemaeus Hephaestio bei Photius cod. CXC. ') Hiller in
seiner Ausgabe der poetischen Fragmente des Eratosthenes hält aus sprach-
lichen Gi'ünden das Schlussepigramm sowie vielleicht den ganzen Brief für un-
echt. Die sprachliche Form geben wir deshalb preis, da wir uns nicht be-
rechtigt glauben auf diesem Gebiete zu widersprechen, den Inhalt aber halten
wir der wesentlichen Uebereinstimmung wegen mit Allem, was wir wissen, nach
wie vor für echt. ^) Den Namen des Mesolabium kennen wir aus Vitruvius
IX, 3 und aus Pappus III, 4 (ed. Hultsch) 54. Die Beschreibung des Appa-
rates bei Pappus III, 5 (ed. Hultsch) 56 sq. weicht in Einzelheiten, aber nicht
in dem Hauptgedanken von dem eratosthenischen Briefe ab und bestätigt so
unsere in der vorigen Anmerkung ausgesprochene Meinung.

316

16. Kapitel.

ein / vor, während wir (ß. 195) bemerkt haben, dass Euklid gruud
sätzlich diesen Buchstaben vermeide. Wohl möglich, dass diese Sitte
zur Zeit des Eudemus, dessen Aufzeichnungen Eutokius das Ver-
fahren des Archytas entnimmt, uoch nicht aufgekommen war. Für
das Vorkommen des I in einer Figur des Eratosthenes wissen wir
keine andere Erklärung, als dass an dem ursprünglichen Texte
mancherlei, wenn auch den Inhalt wenig berührende Aenderungen
vorgenommen worden sein müssen, von denen unter anderen die
Buchstaben der einen Figur betroffen wurden. War nun y^E die

grössere, z/@ die kleinere Linie,
zwischen welche die beiden mittleren
Proportionalen einzuschalten waren,
so musste man (Figur 58) die Recht-
eckchen so verschieben, dass das erste
einen Theil des zweiten, dieses einen
Theil des dritten verbarg und zwar
der Art, dass die von A nach ^ ge-
zogene Grade durch die Punkte B, F hindurchging, von welchen an
die Diagonalen des zweiten und dritten Rechteckchens sichtbar waren;
die BZ und FH sind alsdann, wie leicht zu beweisen ist, die beiden
gesuchten mittleren Proportionallinien. Eratosthenes schlug diese
seine Erfindung so hoch an, dass er zum ewigen Gedächtnisse der-
selben ein Exemplar als Weihgeschenk in einem Tempel aufhängen
Hess. Die von ihm selbst entworfene Inschrift, welche die Gebrauchs-
anweisung enthielt, soll das mehrgenannte Schlussepigramm des era-
tosthenischen Briefes sein.

Ob ein von Pappus an zwei Stellen^) erwähntes Werk des Era-
tosthenes über Mittelgrössen, TtSQi ^söorrircov oder tojcoi ngog
^sootrjras, sich gleichfalls auf die Würfelverdoppelung bezog, ist
ungewiss. Wäre dem so, so würde daselbst möglicherweise eine
geometrische Lösung gelehrt worden sein, da Pappus das eine Mal
bemerkt, diese Schrift stehe mit den linearen Oertern ihrer ganzen
Voraussetzung nach in Zusammenhang.

Noch geringfügiger sind die Spuren eines weiteren Werkes des
Eratosthenes, welche auf wenige unbedeutende Citate bei Theon von
Smyrna-) sich beschränken. Weim auch der Schluss gerechtfertigt
sein mag, in jenem Werke sei von den Proportionen und sonstigen
arithmetischen Fragen die Rede gewesen, so schwebt doch die Be-
hauptung^) ganz in der Luft, sie habe den Titel Arithmetik geführt.

^) Pappus VII, Prooemium (ed. Hultsch) 636 und 662. ^) Theon
Smyrnaeus (ed. Hiller) 82, 107, 111. '') Fabricius, Bihliotheca gracca (ed.
Halles s) IV, 121. i

Eratosthenes. Apollonius von Pergä. 317

Vielleicht gehört ebendahin ein Bruchstück, welches bei Niko-
machus von Gerasa und in dem Commentare zu dessen Arithmetik
von Jamblichus sich vorfindet^). Vielleicht aber bildet auch dieses
Bruchstück einen Theil einer besonderen Schrift, welche den Titel
des Siebes führte. Das Sieb, mGxlvov (lateinisch: crihruni Era-
tosthenis) ist eine Methode zur Entdeckung sämmtlicher Primzahlen.
Man schreibt, so lautet die Regel, alle ungraden Zahlen von der 3
an der Reihe nach auf. Man streicht nun jede dritte Zahl hinter
der 3 durch, so sind die Vielfachen der 3 entfernt. Dann geht man
zur nächsten Zahl 5 über und streicht jede fünfte Zahl hinter ihr
durch ohne Rücksicht darauf, ob sie schon durch einen früheren
Strich vernichtet ist oder nicht, so sind die Vielfachen der 5 ent-
fernt. Fährt man weiter so fort, indem man beim Abzählen und
Durchstreichen die bereits durchstrichenen Zahlen den unberührten
gleichachtet und nur den Unterschied macht, dass man keine durch-
strichene Zahl als Ausgangspunkt einer neuen Aussiebung benutzt,
so bleiben schliesslich nur die Primzahlen übrig. Sämmtliche zu-
sammengesetzte Zahlen dagegen sind vernichtet, und am Anfange
fehlt auch noch die Primzahl 2, welche Jamblichus, weil sie grad
sei, nicht unter die Primzahlen gerechnet wissen will, trotzdem Euklid
sie fehlerhafter Weise dorthin verwiesen habe"-).

Die Siebmethode des Eratosthenes ist grade keine solche, zu
deren Ersinnung ein übermässiger Scharfsinn gehörte. Trotz dessen
glauben wir sie ihrer geschichtlichen Stellung wegen für einen ziem-
lich bedeutenden Fortschritt in der Zahlentheorie halten zu müssen.
Man erwäge nur, wie die Sache der Zeitfolge nach liegt. Zuerst
unterschied man Primzahlen von zusammengesetzten Zahlen und
leitete wohl manche Eigenschaften der letzteren aus den ersteren
ab. Der zweite Schritt war der, dass Euklid zeigte, wie die Anzahl
der Primzahlen unendlich sei, wie es folglich nicht möglich sei, alle
Primzahlen zu untersuchen. Jetzt erst gewinnt es als dritter Schritt
Bedeutung, wenn Eratosthenes zeigt, wie man wenigstens im Stande
sei, die Primzahlen, so weit man in der Zahlenreihe gehen will, zu
entdecken, und somit der Unausführbarkeit der Darstellung sämmt-
licher Primzahlen eine von der Willkür des Rechners abhängende
untere Grenze zu setzen. An und für sich hätte die Erfindung des
Eratosthenes ebensogut vor als nach Euklid gemacht werden können;
nur, meinen wir, wäre ihr wissenschaftlicher Werth geringfügiger

') Nicomachus (ed. Ho che) -29 ä.gg. Jamblichus in Nicomachi arith-
inelicam (ed. Tennulius) 41, 42. -) Jamblichus in Nicomachi arithmeticam
(ed. Tennulius) 42.

318 16- Kapitel.

«•eweseu, wenn sie älter war. Damals hätte das Sieb ein verunglückter
Versuch sein können die genaue Anzahl der Primzahlen zu ermitteln.
Jetzt dagegen, nach Euklid, konnte es nur eine Methode sein, bei
deren Aussinuuug man von Anfang au grade das beabsichtigte, was
sie zu leisten im Stande ist. Darin aber schon liegt ein Zeugniss
höherer Vollkommenheit, wenn Methoden zu bestimmten Zwecken
gesucht und auch wirklich gefunden werden.

Das Jahrhundert von 300 bis 200 v. Chr., welches, weil am
Anfang desselben Euklid blühte, das Jahrhundert des Euklid genannt
werden kann, schloss würdig ab mit Apollonius von Pergä^). Den
Beinamen, der ihn von ausserordentlich vielen bekannten Männern,
welche gleichfalls Apollonius heissen, unterscheiden soll, führt er
nach seinem Heimathsorte, einer Stadt in Pamphilien. Ob er mit
dem früher erwähnten Astronomen, dem der Beiname Epsilon beige-
legt wurde, zusammenfällt oder nicht, steht in Zweifel. Die Lebens-
zeit der beiden ist allerdings übereinstimmend. Apollonius von
Pergä wurde während der Regierung des Ptolemaeus Euergetes ge-
boren und hatte seine Blüthezeit, gleich jenem Astronomen, während
der bis 205 dauernden Regierung des Ptolemaeus Philopator. Eine
fernere üebereinstimmung könnte man darin finden, dass auch von
Apollonius von Pergä bekannt ist, dass er mit Sternkunde sich be-
schäftigte. Wenigstens geht die beste Lesart einer Stelle des 1. Ka-
pitels des XII. Buches des ptolemäischen Almagestes dahin, dass
Apollonius von Pergä über den Stillstand und die rückläufige Be-
wegung der Planeten geschrieben habe, und sie mit Hilfe der Epi-
cyklen zu erklären suchte. Ein freilich nur negativer Gegeugrund
liegt darin, dass Ptolemäus von den Untersuchungen über den Mond
gar nichts sagt, welche doch grade die vorzüglichste Leistung des
Apollonius Epsilon gebildet haben müssen.

Von den Lebensverhältnissen des Apollonius von Pergä ist nichts
weiter bekannt, als dass er schon als Jüngling nach Alexandria kam,
wo er seine mathematische Bildung von den Nachfolgern des Euklid
erhielt. Ein bestimmter Lehrer wird nicht genannt. Später ist ein

}) Das Material für die Biographie des Apollonius von Pergä ist zusammen-
gestellt in der Vorrede von Halley's Ausgabe der Kegelschnitte des Apollonius
(Oxford, 1710). Vergl. auch Fabricius, Biblioth. Gracca (ed. Harless) IV,
102—203. Montucla, Uistoire des matliematiqucs I, 245—253. Ter quem,
Notice hibliograpliique sur Apollonius in den Nouvelles annales des matJtematiques
(1844) 111, 350—352 und 474—488, endlich die Vorrede von H. Balsam zu
seiner deutschen Bearbeitung (nicht üebersetzung) der Kegelschnitte des Apol-
lonius von Pergä. Berlin, 1861. Die neueste Ausgabe der vier ersten griechisch
erhaltenen Bücher der Kegelschnitte des Apollonius nebst ihren Couimcntatoren
ist die von Heiberg in 2 Duodezbänden. Leipzig, 1891—93.

Eratosthenes. ApoUonius von Pergä. 319

Aufenthalt in Pergamum gesichert, wo ApoUonius einem gewissen
Eudemus befreundet war, welchem er mit Wachrufung der Erinne-
rung an jenes Zusammenleben sein Hauptwerk, die acht Bücher
der Kegelschnitte, Jicoviaä, widmete.

Zeitgenossen und Nachkommen bewunderten dieses Werk und
ehrten dessen Verfasser durch den Beinamen des grossen Mathe-
matikers. So erzählt ausdrückHch Geminus, dessen Bericht Eutokius
in seinem Commentare zu den vier ersten Büchern der Kegelschuitte
des ApoUonius uns aufbewahrt hat^). Eutokius will damit den Un-
grund des Vorwurfes darlegen, welchen Heraklides, der Biograph des
Archimed (S. 280) gegen ApoUonius ausspricht, als habe derselbe
nur einen literarischen Raub an noch unveröffentlicht gebliebenen
Schriften des Archimed begangen. Mit gleichem Rechte lässt der
Bericht des Geminus sich gegen die früher (S. 274) erwähnte Be-
hau j)tung des Pappus verwerthen, als stützten sich die vier ersten
Bücher des ApoUonius wesentlich auf die Kegelschnitte des Euklid-).
ApoUonius wird gewiss so wenig wie ein Schriftsteller irgend einer
Zeit und irgend eines Volksstammes versäumt haben die Vorarbeiten
auf dem Gebiete, welches er zu behandeln wünschte, kennen zu
lernen. Er wird sicherlich von den Vorarbeiten, insbesondere wenn
sie von einem Euklid, einem Archimed herrührten, Vortheil gezogen
haben; er sagt auch nirgends in seinen Schriften, dass das Ganze
seiner Kegelschnitte sein ausschliessliches Eigenthum sei. Aber von
der Benutzung fremder Vorarbeiten als Grundlage, als untere Voraus-
setzung eines Werkes zu unrechtmässiger Aneignung fremder Ent-
deckungen ist doch eine uuermessliche Kluft, und es fäUt schwer
einem Manne von der sonst allseitig anerkannten Bedeutung des
ApoUonius letztere Handlung zuzutrauen. Zwei ganz grundlegende
Neuerungen haben wir überdies unter allen Umständen dem ApoUonius
zuzuschreiben.

Geminus sagt ausdrücklich, wie uns Eutokius an der oben er-
wähnten Stelle berichtet, die Alten hätten nur gerade Kegel ge-
schnitten und die Schnitte stets senkrecht zur Seite des Kegels
geführt, worauf sie je nach dem Winkel an der Spitze des Kegels
den Schnitt des spitzwinkligen, des rechtwinkligen, des stumpfwink-
ligen Kegels unterschieden (S. 232). ApoUonius dagegen habe ge-
zeigt, dass alle diese Schnitte an einem einzigen Kegel hervor-
gebracht werden können, und dass man zu diesem Schnitte ebenso
wie den geraden Kegel auch den schief stehenden verwenden

') ApoUonius, Conica (ed. Heiberg) II, 170. ^) Pappus, VII Pro-
oemium (ed. Hultsch) G72.

320 l^' Kapitel.

könne. Wir sehen also, dass Apollouius das vervollständigte, was
Euklid (S. 278), was Archimed (S. 289) nur von der Ellipse wussten,
dass sie auf jedem — jetzt nachdem wir den Bericht des Geminus
kennen, müssen wir mit einer weiteren Einschränkung sagen: auf
jedem graden — Kegel herausgeschnitten werden kann. Gegen
Geminus anzunehmen, dass auch jene schon alle Kegelschnitte auf
jedem Kegel hervorzubringen im Stande gewesen seien, ist eine Be-
hauptung, welche auf keinerlei alten Bericht sich stützt.

Von der anderen Neuerung wissen wir durch Pappus^), der
gleichzeitig auch das von Geminus Mitgetheilte bestätigt. Apollonius
habe, wie er die Herstellbarkeit jedes Kegelschnittes auf der Ober-
fläche eines jeden Kegels erkannte, für dieselben neue Namen ein-
geführt, und zwar die Namen Ellipse, Parabel, Hyperbel mit
Rücksicht auf gewisse Eigenschaften der Flächenaulegung.

Wir haben auf diese mit äusserster Bestimmtheit ausgesprochene
Angabe uns gestützt, um (S. 277) Euklid die Kenntniss abzusprechen,
dass die pythagoräischen Sätze von Flächenanlegungen zu Kegel-
schnitten als geometrischen Oertern führen konnten. Mit Rücksicht
auf die gleiche Stelle hat man gewiss mit Recht die Zuverlässigkeit
einiger archimedischen Handschriften in Zweifel gezogen^), in welchen
die Wörter Parabel und Ellipse statt des Schnittes des rechtwinkligen
und spitzwinkligen Kegels vorkommen. Der Name der Parabel ins-
besondere erscheint nur in der Ueberschrift der Abhandlung über die
Quadratur dieser Curven, und auch wo der Name der Ellipse im
fortlaufenden Texte der Abhandlung von den Konoiden und Sphäroiden
dreimal sich vorfindet, dürfte eine späte Einschiebung durch Abschreiber,
welche den Wortlaut ganz unbeschadet des Sinnes abkürzen zu dürfen
meinten, anzunehmen sein.

Hat aber Apollonius zuerst die Entstehung aller Kegelschnitte
an jedem Kegel, zuerst die Eigenschaften derselben erkannt, die wir
heutigen Tages aus den Scheitelgleichungen der drei Kegelschnitte
herauszulesen gewohnt sind, dann ist seine Bearbeitung der Kegel-
schnitte unzweifelhaft ein Originalwerk, mögen auch noch so viele
Lehrsätze in den vier ersten Büchern vorkommen, die von Euklid,
wenn nicht schon von Menächmus und Aristäus dem Aelteren ge-
kannt waren. Zwei andere Vorgänger nennt übrigens Apollonius
selbst in der Vorrede zum IV. Buche ^): Konon von Samos und
Nikoteles von Kyrene, deren ersterer uns schon als geistreicher

^) Pappus VII, Prooemium (ed. Hultsch) 674. =*) Archimed (ed.
Nizze) 285. Die entgegengesetzte Meinung bei Chasles, -4pe?-fw Mst. 17 in
der Anmerkung (Deutsch 15). '') Apollouius, Conica (ed. Heiberg) II, 2.

Eratosthenes. Apollonius von Pergä. 321

Freund des Archimed bekannt geworden ist, wenn auch der Um-
stand, dass seine Schriften uns sämnitlich verloren sind, uns abhielt,
ihm eine besondere Stelle ausführlicher Beachtung zu gewähren.
Hätten wir doch nur berichten können, dass er in Samos geboren,
in Alexandrien lebte, aber auch in Italien und Sicilien astronomische
Beobachtungen anstellte, dass er um 246 das Haupthaar der Berenike,
der Gemahlin des Ptolemaeus Euergetes, unter die Sterne versetzte ').
Gehen wir nun mit raschen Schritten an dem Inhalte der Kegel-
schnitte des Apollonius vorüber^). Im I. Buche wird nach der all-
gemeinen Definition des Kegels als der Oberfläche, die durch eine
Gerade sich erzeugt, welche um eine Kreisperipherie herumgeführt
wird, während sie zugleich durch einen festen, ausserhalb der Ebene
der Kreisperipherie liegenden Punkt geht, die so erhaltene Fläche
durch Ebenen geschnitten. Jeder Schnitt durch den festen Punkt,
d. h. durch die Spitze des Kegels, erzeugt ein Dreieck, und liegt in
dieser Schnittebene auch die Axe des Kegels, die Verbinduugsgerade
der Spitze zum Mittelpunkte des bei der Erzeugung des Kegels mit-
wirkenden Kreises, so entsteht das Axendreieck. Nun wird vor-
geschrieben, neue Schnittebenen senkrecht zum Axendreiecke zu
führen, und Apollonius zeigt, wie je nach der Richtung dieser
Schnitte zur Seite des Axendreiecks die verschiedenen Kegelschnitts-
curven auf der Kegeloberfläche erscheinen. Die Durchschnittslinie der
Schnittebene mit dem Axendreiecke ist jedesmal ein Durchmesser
des Kegelschnittes, d. h. sie halbirt alle Sehnen des Kegelschnittes,
welche unter sich und einer jedesmal bestimmten Geraden parallel
gezogen werden. Der Punkt, in welchem der Durchmesser die Ober-
fläche des Kegels trifft, ist der Scheitel des Kegelschnittes. Durch
diesen Scheitel wird nun in der Schnittebene, also senkrecht zum
Axendreiecke und parallel zu dem durch den Durchmesser halbirten
Sehnensysteme eine Gerade errichtet, deren Länge durch gewisse
Methoden geometrisch bestimmt wird, und welche jenes ^) darstellt,
jene Länge, an welche nach unseren früheren Auseinandersetzungen
(S. 274) ein gewisser Flächenraum in Gestalt eines Parallelogrammes
angelegt werden soll. Diese Linie, welche man in moderner Sprache
den Parameter des Kegelschnittes nennt, heisst bei Apollonius
schlechtweg die Errichtete, vQ&ia, ein Name, der alsdann in den
lateinischen Uebersetzungen zum latus rectum geworden ist. Man
sieht leicht ein, dass Apollonius mittels dieser Vorschriften genau

^) A. Böckh, Ueber die vierjährigen Sonnenkreise der Alten S. 28 — 29.
-) Eine sehr hübsche Zusammenstelkmg von Housel in Liouville's Journal
des Mathematiques (1858) XXIII, 153—192.

Camor, Gescliichte der Mathematik I. 2. Aufl. 21

322 16. Kapitel,

die bleichen Linien ziehen lässt, deren mau noch heute bei Anwen-
düng der Methoden der analytischen Geometrie sich bedient. Es ist
ein förmliches Coordinateusjstem gezeichnet, dessen Anfangspunkt
auf dem Kegelschnitte selbst liegt, dessen Abscissenaxe ein Durch-
messer des Kegelschnittes, und dessen Ordinatenaxe die jenem Durch-
messer conjugirte Berührungslinie im Coordinatenanfangspunkte ist.
Diese gegebenen Elemente handhabt nun Apollonius in griechischer
Weise. Er rechnet natürlich nicht mit Formehi und Gleichungen,
wie wir es thun, aber er verknüpft und verbindet Proportionen von
Längen und von Flächenräumen, welche nur einen anderen Ausdruck
des in den Gleichungen der Kegelschnitte enthaltenen Gedankens
darstellen, um zu den gleichen Folgerungen zu gelangen. Läuft der
Schnitt der Seite des Kegels parallel, so kann nur von einem Scheitel
der Parabel die Rede sein. Im entgegengesetzten Falle wird ausser
dem einen Schenkel des Axendreiecks auch der zweite entweder selbst
oder in seiner Verlängerung über die Spitze des Kegels hinaus durch
den Schnitt getroffen, und so entsteht ein zweiter Scheitel der Curve
bei der Ellipse, ein Scheitel der Gegencurve bei der Hyperbel. Die
Entfernung der beiden Scheitel begrenzt die Länge des Durch-
messers. In der Mitte zwischen beiden ist der Mittelpunkt der
Curve, d. h. ein Punkt, in welchem alle durch ihn gezogenen
Sehnen halbirt sind. Mit dem Mittelpunkte tritt auch der Begriff
des dem ersten Durchmesser conjugirten Durchmessers auf, der eine
gleichfalls begrenzte Länge besitzt, wenn auch bei der Hyperbel die
Begrenzung nicht äusserlich sichtbar ist. Zwei zu einander senk-
rechte conjugirte Durchmesser werden Axen genannt. Apollonius
knüpft daran ferner Betrachtungen über die Berührungslinie an
irgend einen Punkt eines Kegelschnittes und über die Vielheit von
Paaren conjugirter Durchmesser, welche möglich sind.

In dem IL Buche sind zunächst Eigenschaften der Asymptoten
der Hyperbel auseinandergesetzt, d. h. der Linien, welche den
Hyperbelarmen sich mehr und mehr nähern, ohne mit denselben zu-
sammenzutreffen. Die geometrische Definition ist folgende: Man
ziehe an einen Hyperbelpunkt eine Berührungslinie, trage auf der-
selben die Länge des ihr parallelen Durchmessers auf und verbinde
den so gefundenen Punkt mit dem Mittelpunkt der Hyperbel gerad-
linig, diese Gerade wird eine Asymptote sein. Aus den übrigen
Sätzen des II. Buches mag noch hervorgehoben werden, dass die
Gerade, welche den Durchschnittspunkt zweier Berührungslinien mit
der Mitte der Berührungssehne verbindet, ein Durchmesser des Kegel-
schnittes ist, sowie der andere, dass in jedem Kegelschnitte nur ein
einziges senkrechtes Axenpaar existirt.

Eratosthenes. Apollonius von Pergii. 323

In dem III. Buche bilden die ersten 44 Sätze einen besonderen
Abschnitt, dessen Charakter schon in dem 1. Satze sich dahin aus-
weist, dass hier Verhältnisse von Produkten aus Tangenten
und Sekanten' der Kegelschnitte auftreten. Jener erste Satz
heisst etwa folgeudermassen: Es seien M^ und M.j zwei Punkte eines
Kegelschnittes, dessen Mittelpunkt in 0 liegt (bei der Parabel wäre
0 unendlich entfernt, und somit die OJij mit O3I2 und mit der
Axe der Parabel parallel); die Berührungslinien in beiden Punkten
seien M^Tj^ und M.^T^, indem T^ den Durchschnitt der Berührungs-
linie an ilfj mit der OM2 bezeichnet, und eine ähnliche Definition
für Tg gilt; die M^T^^ und die 71^2^2 schneiden einander in M. Als-
dann sind die Dreiecke M^T.^^i und M<^T^B, flächengleich. Die fol-
genden Sätze stützen sich auf diesen ersten, und lassen sich, in so
vielfältiger Theilung sie auch im Originale ausgesprochen sind, in
zwei Hauptsätze zusammenfassen. Der eine Satz, dass, wenn von
einem Punkte zwei Sekanten gezogen werden, das Produkt der Ent-
fernungen des Ausgangspunktes nach den beiden Schnittpunkten der
einen Sekante dividirt durch dasselbe Produkt in Bezug auf die
zweite Sekante einen Quotienten gibt, der sich nicht verändert, wenn
man von irgend einem anderen Ausgangspunkte ein den ersten
Sekanten paralleles Sekantenpaar construirt. Der zweite Satz, dass
eine Sekante, aus deren einem Punkte man zwei Berührungslinien
zieht, durch diesen Ausgangspunkt, den Durchschnitt mit der Be-
rührungssehne und die beiden Durchschnittspuukte mit dem Kegel-
schnitte eine harmonische Theilung darbietet^). Noch einige auf
Flächen bezügliche Wahrheiten schliessen sich ziemlich naturgemäss
an, wie z, B. dass die Dreiecke, welche durch die Asymptoten und
nirgend eine Berührungslinie der Hyperbel gebildet werden, einen
Constanten Flächeninhalt haben, da derselbe Satz, anders ausgesprochen,
dahin gehen würde, dass jede Berührungslinie der Hyperbel auf den
Asymptoten Stücke von constantem Produkte abschneide. Alsdann
kommt der Verfasser in dem 45. Satze zu den Punkten, welche er
örj^sta BJC rrjs ^uQaßolijg nennt, eine Bezeichnung, welche schwierig
zu verdeutschen ist, da Punkte, die bei der Anlegung ent-
stehen, kaum den Anspruch erheben können, nur einigermassen
einen Begriff davon zu gewähren, welche Punkte gemeint sind; es
sind aber die Brennpunkte der Ellipse und Hyperbel, während der
Brennpunkt der Parabel in dieser Zeitperiode noch nicht vorkommt.
Die Definition der Brennpunkte bei Apollonius und die Eigenschaften,

') Apollonius benutzt dabei allerdings noch nicht das Wort: harmonische
Theilung, sondern schreibt den Satz als Proportion.

21*

324 Iß- Kapitel.

welche er besonders hervorhebt, sind folgende: ein Brennpunkt ist
ein Punkt, der die grosse Axe in zwei Theile theilt, deron Rechteck
einem Viertel der Figur gleich ist; unter Figur aber ist das Recht-
eck des Parameters mit der grossen Axe zu verstehen, oder, was dem
Werthe nach gleichbedeutend ist, das Quadrat der kleinen Axe. Wenn
man das Stück einer Berührungslinie, welches zwischen den beiden
Senkrechten zur grossen Axe in den Endpunkten derselben ab-
gegrenzt ist, zum Durchmesser eines Kreises nimmt, so schneidet
dieser Kreis die grosse Axe in den Brennpunkten. Die
4 Punkte, welche der Art bestimmt sind, nämlich 2 Brennpunkte
und 2 Punkte einer Berührungslinie werden paarweise verbunden, je
ein Punkt der Berührungslinie mit dem einen, der andere mit dem
anderen Brennpunkte. Diese Verbindungsgeraden nennt man con-
jugirte Linien. Sie schneiden einander auf der Normallinie,
d. h. auf der Senkrechten, welche zur Berührungslinie im Berührungs-
punkte errichtet ist. Nun folgt der Satz über Winkelgleichheit
für die Winkel, welche die Normallinie mit den beiden Brennstrahlen
des Berührmigspuuktes bildet-, ferner der Satz, dass die Fusspunkte
der Senkrechten von den Brennpunkten auf Berührungslinien sämmt-
lich in einer um die grosse Axe als Durchmesser beschriebenen
Kreisperipherie liegen; endlich der Satz von der coustanten
Summe, beziehungsweise Differenz der Brennstrahlen. Alle
diese Wahrheiten entwickelt Apollonius der Reihe nach in dem
in. Buche, welches dadurch fast für sich allein den Charakter einer
elementaren Kegelschnittslehre gewinnt.

Waren die drei ersten Bücher dem Eudemus gewidmet, so be-
ginnt das IV. Buch mit einem Sendschreiben an Attalus, in wel-
chem der Tod jenes Freundes beklagt, nebenbei aber auch der InhalU
des beigefügten Buches kurz dahin bezeichnet wird, es beschäftige
sich mit der Frage, wie viele Punkte Kegelschnitte mit
Kreisperipherien und mit anderen Kegelschnitten gemein
haben können, ohne ganz und gar zusammenzufallen. Apollonius
weiss dabei sehr wohl eine Berührung von einer Durchschneidung
zu unterscheiden. Er hebt z. B. hervor, dass 2 Kegelschnitte 4 Durch-
schnitttpunkte haben können, oder 2 Durchschnittspunkte und 1 Be-
rührungspunkt oder 2 Berührungspunkte; ferner dass 2 Parabeln nur
1 Berührungspunkt haben können, ebenso Parabel und Hyperbel,
wenn die Parabel die äussere Curve ist, ebenso Parabel und Ellipse,
wenn die Ellipse die äussere Curve ist u. s. w.

Es ist einleuchtend, dass die Sätze dieses IV. Buches für die
Griechen eine viel höhere Bedeutung hatten als für neuere Mathe-
matiker. Waren es doch grade die Durchschnittspunkte der Curven,

Eratosthenes. ApoUonius von Pergä. 325

deren zum Zwecke der Würfelverdoppelung nothwendige Ermitteluug
die Curven selbst hatten untersuchen oder gar erfinden lassen. Die
Methode, nach welcher Apollonius die Punkte bestimmt, welche zwei
Curven gemeinsam sind, kommt auf eine apagogische Beweisführung
hinaus, die sich grossentheils auf das Lemma des IIl. Buches bezüg-
lich der harmonischen Theilung stützt. So musste das IV. Buch der
Form und dem ganzen Inhalte nach gleichmässige Verbreitung mit
den 3 ersten Büchern gewinnen, deren Abschluss es gewissermasseu
für solche Mathematikstudirende bildete, welche von der damaligen
höheren Mathematik grade das in sich aufnehmen wollten, was bis
zur Lösung der delischen Aufgabe, diese mit inbegriffen, nothwendig
war. Ja diese innere Zusammengehörigkeit engerer Art der 4 ersten
Bücher bewährte sich geschichtlich auch dadurch, dass nur sie im
griechischen Texte sich erhielten, während das V., VI. und VII. Buch
erst in der Mitte des XVII. S. aus einer arabischen Uebersetzung be-
kannt wurden, das VIII. Buch sogar als ganz verloren Avird betrachtet
werden müssen.

Das V. Buch lässt die vorhergehenden weit hinter sich. Apollo-
nius erhebt sich bewusstermasseu hoch über seine Zeit, indem er
Sätze über die längsten und kürzesten Linien, die von einem
Punkte an den Umfang eines Kegelschnittes gezogen werden können,
hier vereinigt. Es hätten, so erklärt Apollonius in einleitenden an
Attalus gerichteten Worten, Mathematiker, welche vor ihm und zu
seiner Zeit lebten, die Lehre von den kürzesten Linien gleichfalls
behandelt, aber ihre Behandlungsweise muss nach Inhalt und Zweck
eine andere als die des V. Buches der Kegelschnitte gcAveseu sein.
Dem Inhalte nach begnügten sie sich mit einer geringeren Anzahl
von Sätzen, und ihren Zweck fanden sie in dem Diorismus zu ge-
stellten Aufgaben. Wir haben bei Euklid, bei Archimed Beispiele
solcher Maximal- und Minimalwerthe auftreten sehen, und die ge-
ringste Ueberlegung führt zum Bewusstsein, dass fast jeder Diorismus
neben die Bedingung, unter welcher eine Aufgabe gelöst werden
kann, den Grenzwerth stellen wird, bis zu welchem eine in der Auf-
gabe vorkommende Grösse Avachsen oder abnehmen darf, ohne die
Ausführbarkeit zu gefährden. Aufgaben grösster und kleinster
Werthe mussten also vorkommen und wurden gelöst, ohne dass man
darüber sich klar gcAvesen wäre, dass man hier eine eigenartige,
auch ausser ihrer zum Diorismus führenden Wirkung bedeutsame
Gattung von Fragen behandelte. Apollonius dagegen schliesst jene
Einleitung zum V. Buche mit den Worten: „Das so Behandelte ist
für die dieser Wissenschaft Beflissenen besonders nothwendig, sowohl
zur Eintheilung und zum Diorismus, als zur Construetion der Auf-

326 16. Kapitel.

gaben, abgesehen davon, dass dieser Gegenstand zu den
Dino"en gehört, welche würdig sind, um ihrer selbst willen
betrachtet zu werden." Die Art vollends, in welcher Apollonius
Einzelfälle dieses Gebietes unterscheidet und durch deren Zusammen-
fassung die Gesammtheit der Möglichkeiten erschöpft, die merkwttr-
dio'e Verschlungenheit, man kann fast sagen Unnatürlichkeit der Be-
weise sind bewunderungswürdig nicht minder als wunderlich. Man
kann kaum umhin zu argwohnen, was zu glauben man doch nicht
wagen darf, dass Apollonius irgend geheime Methoden besass, um
diejenigen Sätze zu entdecken, deren künstliche Beweise er erst nach-
träglich aufsuchte. Was Apollonius aus der Lehre vom Grössten
und Kleinsten kennt, das sind, wie gesagt, insbesondere die längsten
und kürzesten Linien, welche aus irgend einem Punkte der Ebene
nach einem Kegelschnitte gezogen werden können, Linien, welche
Apollonius zuerst für die Fälle bestimmt, in denen der gegebene
Punkt auf der Axe liegt, und die Construction durch Abschnitte er-
folgen kann, die selbst auf der Axe des Kegelschnittes auftreten.
Dann folgt eine Reihe von Sätzen, die etwa mit dem modernen Be-
griffe der Subnormalen sich beschäftigen. Die Constanz dieser Strecke
bei der Parabel wird bewiesen. Später gelangt Apollonius zu dem
Nachweise, dass die am Anfange des Buches besprochenen grössten
und kleinsten Linien Normallinien zum Kegelschnitte sind, dass also
auch die Aufgabe im Früheren zur Lösung vorbereitet ist: von irgend
einem Punkte einer Ebene Normalen zu einem in der Ebene befind-
lichen Kegelschnitte zu zeichnen. Er geht an die Aufgabe selbst
heran und findet eine Construction, bei welcher von Durchschnitten
mit Hyperbeln Gebrauch gemacht ist. Lidem er nun sich bewusst
wird, dass in der Zahl der Senkrechten, welche von einem Punkte
aus nach einem Kegelschnitte gezogen werden können, keine Willkür
herrscht, dass dieselbe vielmehr einestheils von der Art des Kegel-
schnittes, anderntheils von der Lage des gegebenen Ausgangspunktes
abhängt, findet er, dass in dieser Beziehung gewisse Punkte eine Aus-
nahmestellung einnehmen. Diese Punkte, aus welchen man nach
dem gegenüberliegenden Theil des Kegelschnittes nur eine Normale
ziehen kann, sind die Krümmungsmittelpunkte, deren Vorhandensein
somit Apollonius bekannt war, so fremd ihm der Begriff der Krüm-
mung geblieben ist. Möglicherweise ist es sogar nicht zu weit ge-
gangen, wenn man annimmt, Apollonius habe die stetige Aufeinander-
folge der Krümmungsmittelpunkte geahnt, d. h. jene Curve geahnt,
wenn auch nicht untersucht, welche wegen anderer Eigenschaften
den Namen der Evolute erhalten hat.

Das VL Buch handelt von gleichen und ähnlichen Kegel-

Eratosthenes. Apollonius von Pergä. 327

schnitten, sofern dieselben auf geraden einander ähnlichen Kegeln
auftreten. Am Schlüsse wird sogar die Aufgabe behandelt, durch
einen gegebenen Kegel eine Schnittfläche zu legen, welche eine gleich-
falls gegebene Ellipse erzeugen soll.

Zwischen dem VII. und dem VIII. Buche scheint wieder ein
engerer Zusammenhang stattgefunden zu haben, wie uns Apollonius
selbst versichert. In seiner Zuschrift sagt er, das VII. Buch be-
schäftige sich mit Sätzen, welche zu Bestimmungen führen, das
VIII. Buch enthalte wirklich bestimmte Aufgaben über Kegelschnitte.
Auch aus Pappus lässt eine solche Zusammengehörigkeit der beiden
Bücher sich folgern. Derselbe theilt nämlich eine ziemlich beträcht-
liche Zahl von Lemmen zu den Kegelschnitten des Apollonius mit.
Die Lemmen zu allen übrigen Büchern sind nach den Büchern ge-
sondert; nur die Lemmen zum VII. und VIII. Buche sind vereinigt').
Auf diese Grundlage hin hat man sogar eine Wiederherstellung des
verlorenen VIII. Buches versucht"), welche indessen doch zu unsicher
scheint, um näher besprochen zu werden. Wir begnügen uns mit
der Bezeichimng einiger interessanten Theorien aus dem erhaltenen
VII. Buche. In ihm finden sich die Sätze über complementäre
Sehnen, welche conjugirten Durchmessern parallel laufen, in ihm
die Sätze über die constante Summe der Quadrate conjugirter
Durchmesser, in ihm die Entwicklung des Flächenraumes jener
Parallelogramme, deren zwei aneinanderstossende Seiten die
Hälften zweier conjugirter Durchmesser sind. Auch diese Sätze, be-
greiflicherweise geometrisch und nicht durch Rechnung abgeleitet,
erfordern bei Apollonius die Unterscheidung zahlreicher Einzelfälle,
bei welcher er wiederholt die Gewandtheit an den Tag legt, welche
man schon in den früheren Büchern bewunderte.

Dieses in Kürze der Inhalt des merkwürdigen. Werkes, wobei
wir uns gegen die verlockende Versuchung, noch mehr hinein zu lesen
als Apollonius gesagt hat, zu wappnen gesucht haben. Auch der
von uns angegebene nackte Inhalt ist sehr wohl geeignet, unsere
Neugier anzuregen, inwieweit derselbe Mathematiker seinen erfinde-
rischen Geist auch noch anderen Gebieten unserer Wissenschaft zu-
wandte. Leider können wir diese Neugier nicht vollauf befriedigen.
Wir wissen von solchen anderen Arbeiten nur eben genug, um die
Vielseitigkeit des Apollonius zu ahnen, aber bei weitem nicht so
viel, um den Werth der Untersuchungen abschätzen zu können.

>) Pappus Vir, 298— 311,(ed.Hultsch)990— 1004. «) Halley S. 137— 169
der zweiteu, mit dem V. Buche anfangenden, Abtheilung seiner Ausgabe der
Kegelschnitte.

328 ^^- Kapitel.

deren Titel nur bei Pappus') mehrentlieils sich erhalten haben, und
die Vermuthung zu einer wahrscheinlichen machen, dass Anwendungen
der Kegelschnitte auf bestimmte geometrische Aufgaben in denselben
behandelt wurden. Die Titel dieser verloren gegangenen Schriften
sind: Berührungen, tcsqI ircarpäv (de tactionibus)-^ ebene Oerter,
iniTisdoi TOTiot (loci plani)-^ Neigungen, nsQl vevaecov (de inclina-
tionihns)] Raumschnitt, Ttsgl ^^co^tou ccTCoto^ijg (sectio spatii)'^ be-
stimmter Schnitt, TtsQL dicoQLöfievrig roiirjg (sectio determinata).
Hypsikles führt ausserdem, wie wir im nächsten Kapitel zu besprechen
haben, eine Schrift des Apollonius über die in dieselbe Kugel
eingeschriebenen Dodekaeder und Ikosaeder an, Proklus eine
Ttsgl Toi) xo^Ato-u^) von gänzlich unbekanntem Inhalte und ein Schrift-
steller, den wir im 24. Kapitel als Verfasser einer Schrift über
Brennspiegel kennen lernen werden, nennt eine Abhandlung des
Apollonius gleichen Titels"^): Ueber Brennspiegel, tcsqI nvQicov.
Die Bedeutung einer solchen Schrift für die Geschichte der Geo-
metrie ist nicht zu unterschätzen. Wir sahen (S. 323), dass Apollo-
nius nur von den Brennpunkten derjenigen Curven handelte, welche
solche paarweise besitzen. Dass auch die Parabel einen Brennpunkt
habe, konnte nicht wohl früher bemerkt werden, als bis man einer
halben Ellipse, einer halben Hyperbel mit ihrem Brennpunkte ein
gewisses Interesse abgewonnen hatte, und das war vielleicht bei Ge-
legenheit optiscjier Untersuchungen, d. h. eben in Abhandlungen über
Brennspiegel. Damit soll freilich weder ausgesprochen, noch schlecht-
weg geleugnet werden, dass Apollonius bereits diesen Portschritt
vollzog. Gewiss ist vielmehr für's Erste nur, dass Pappus'^) gegen
Ende des III, nachchristlichen Jahrhimderts den Brennpunkt der
Parabel kannte.

Nur eine einzige Schrift, die 2 Bücher vom Verhältniss-
schuitt, tcsqI Xoyov dnoro^ylg (de sectione rationis) ist in arabischer
Sprache der Neuzeit überblieben und aus dieser übersetzt worden'').
Die Aufgabe des Verhältnissschnittes ist folgende: Es sind zwei un-
begrenzte Gerade in derselben Ebene der Lage nach gegeben, ent-
weder gegenseitig parallel oder einander schneidend, und in jeder

') Pappus Vll, Prooemium. ''■) Proklus (ed. Friecllein) 105. ^) Vergl.
die Zeitschrift Hermes, Bd. XVI, S. 271— 72. ") Pappus VII, 318 (ed. Hultsch
pag. 1012, lin. 24 sqq.). ^) Edw. Beriiard fand die ziemlich verderbte Hand-
schrift am Ende des XVII. S. und begann dieselbe in's Lateinische zu über-
setzen. Als er kaum den zehnten Thcil bewältigt hatte, gab er die Arbeit auf.
Nun vollendete der des Arabischen vorher unkundige Halley die Uebersetzung,
des von Bernard hinterlassenen Bruchstückes als Grammatik und Wörterbuch
sich bedienend. Halley's Ausgabe von 1706; eine deutsche Ausgabe von Aug.
Richter. Elbing, 1836.

Eratosthenes. Apollonius von Per{?ä. 329

derselben ist ein Punkt gegeben, aucb ist ein VerliUltniss und über-
dies ein Punkt ausserhalb der Linien gegeben; man soll durch den
gegebenen Punkt eine Gerade ziehen, welche von den der Lage nach
gegebenen Geraden Stücke abschneide, deren Verhältniss dem ge-
gebenen gleich sei. Man erkennt leicht, dass diese Aufgabe durch
einen grossen ßeichthum an Fällen sich auszeichnet, je nach der
Lage des Punktes ausserhalb der beiden Geraden zu diesen Geraden
selbst und zu der durch die beiden auf den Geraden gegebenen
Punkten gezogenen Transversalen, und ferner je nach der Richtung,
in welcher jene in Verhältniss tretenden Stücke von den gegebenen
Punkten aus liegen sollen. Das ist' dem geometrischen Charakter
des Apollonius so recht angemessen.

Wir nannten oben eine ganze Reihe von Schriften als verloren,
ohne dass man erheblich mehr als deren Titel kenne. Bei dem
Raumschnitte war die Aufgabe dahin gestellt, dass während eben
dieselben Geraden und derselbe Punkt wie beim Verhältnissschnitte
gegeben waren, die zu ziehende Gerade Stücke abschneiden musste,
welche ein der Fläche nach gegebenes Rechteck bildeten^). Die all-
gemeinste Aufgabe der Neigungen^), von welcher Apollonius die
leichteren Fälle behandelte, bestand darin: zwischen zwei der Art
und der Lage nach gegebenen Linien eine gegebene Strecke so ein-
zuzeichnen, dass sie verlängert durch einen gegebenen Punkt ging.
In den Berührungen war die sogenannte Berührungsaufgabe
des Apollonius behandelt, d. h. die Aufgabe, einen Kreis zu
zeichnen, der drei Bedingungen genüge, deren jede darin bestehen
kann, durch einen gegebenen Punkt zu gehen, oder eine gegebene
Gerade, oder einen gegebenen Kreis zu berühren^). Aus der Schrift
von den Berührungen kennen wir ferner möglicherweise eine That-
sache, welche interessant genug ist, da sie das, was wir früher
(S. 136 und 242) von Spuren combinatorischer Betrachtungen bei
griechischen Schriftstellern anmerken durften, zu ergänzen geeignet
ist. Bei der über den eigentlichen Urheber herrschenden Unsicher-
heit ziehen wir indessen vor, den Gegenstand im 22. Kapitel bei
Pappus zur Rede zu bringen.

Auch dem rechnenden Theile der Mathematik hat Apollonius,
wie wir durch Eutokius wissen, seine Aufmerksamkeit zugewandt.
Eutokius sagt uns nämlich in dem mehrfach bereits benutzten Com-
mentare zur archimedischen Kreismessung: So viel in meinen Kräften
stand, habe ich nun die von Archimedes angegebenen Zahlen einiger-
massen erläutert. Wissenswerth ist aber noch, dass auch Apollonius

Pappus VII ed. Hultsch p. 640. ^) Ebenda p. 670. ^) Ebenda p. 644.

330 16. Kapitel.

von Pergä in seinem Okytokion dasselbe durch andere Zahlen be-
wiesen hat, wodurch er sich der Sache noch mehr näherte''^). Wir
haben hier die Lesart cokvtoxlov aufgenommen, welche durch zwei
Pariser Handschriften verbürgt auffallend genug lange Zeit durch
das sprachlich ganz räthselhafte Wort coKvtoßüOv verdrängt war.
Vollständigen Einblick in die Art, wie Apollonius seine Kreis messung
vollzog, die noch genauer als die des Archimed gewesen sein muss,
erhalten wir freilich auch durch den Namen Okytokion keineswegs.
Dem Wortlaute nach übersetzt sich dieser Titel als Mittel zur
Schnellgeburt, es handelte sich also höchst wahrscheinlich um
raschere Rechnungs verfahren, aber wie dieselben zu dem oben ge-
nannten Ziele führten, darüber sind wir doch nicht besser aufgeklärt.
Die Muthmassung-), Apollonius habe den NäherungSAverth 3r = 3,1410
herausgerechnet, der, wie wir im 30. Kapitel sehen werden, in Indien
bekannt war, schwebt ziemlich in der Luft.

Eine dem gewöhnlichen griechischen Verfahren gegenüber ein-
fachere und dadurch abgekürzte Multiplikation des Apollonius,
welche daher möglicherweise einen Abschnitt des Okytokion bildete,
kennen wir aus Pappus. In dem auf uns gekommenen Bruchstücke
des zweiten Buches seiner Sammlung '*) berichtet Pappus von zwei zu-
sammenhängenden, aber doch begrifflich zu trennenden Gegenständen.

Erstens entnehmen wir seinem Berichte, dass Apollonius in ähn-
licher Weise wie Archimed die Zahlen in Gruppen zu theilen wusste,
welche eine leichtere Aussprache und zugleich eine grössere Ueber-
sichtlichkeit gewährten, als sie ohne Gruppirung zu erreichen ge-
wesen wäre. Es ist derselbe Gedanke, der beiden Schriftstellern
gleichmässig vorschwebte, ja es ist eigentlich dieselbe Gruppirung,
welche wir von beiden gelehrt finden. Denn wenn auch Archimed
(S. 305) Oktaden bildete, während Apollonius sich mit Tetraden
begnügte, so ist doch die Gleichheit des Princips dadurch hergestellt,
dass zwei Tetraden des Apollonius neben einander geschrieben nach
moderner Bezeichnung der Zahlen einer Oktade des Archimed gleich-
kommen, dass Archimed also nur eine höhere Gruppeneinheit annahm
als Apollonius, aber eine Einheit, aus welcher die des Apollonius,
als in jener enthalten, sich leicht ableiten Hess, ebenso wie es denk-

^) Archimedes (ed. Torelli) 216 und 452, die Varianten der Pariser
Handschriften. Torelli benutzte sie in seiner Uebersetzung. Neuerdings wurde
dann durch Knoche und Maerker im Herforder Gyranasialprogratnm für 1854
auf diese Lesart hingewiesen, sowie von M. Schmidt in Mützell's Zeitschrift
für die Gymnasialwissensch. 18.55, S. 805. Vergl. auch Archimedes (ed. Hei-
berg) III, 800. *) Recherches sur l'histoire de Tastronomie ancienne par Paul
Tannery. Paris 1893, pag. 67—68. ^} Pappus II (ed. Hultsch) 2-29.

Eratosthenes. ApoUonius von Pergä. 331

bar ist, dass beide Gruppirimgen unabhängig von einander aus dem
griechischen Sprachgebrauche hervorgehen konnten, welchem die
Myriade das letzte unzusammengesetzte Zahlwort, die Myriade der
Myriaden das letzte einfach zusammengesetzte Zahlwort war. Die
Namen, welche ApoUonius für seine Tetraden benutzt, sind für die
erste Tetrade, welche von 1 bis 9999 sich erstreckt, der Name der
Einheiten; dann folgt die Tetrade der Myriaden; auf diese die der
doppelten Myriaden, der dreifachen, vierfachen u. s. w. Myriaden, bis
zur xten Myriade als allgemeine Bezeichnung einer beliebigen
Höhe^), wobei wir freilich dahingestellt sein lassen müssen, ob diese
au sich hochbedeutsame Allgemeinheit ApoUonius oder dem Berichte
des Pappus eigenthümlich ist. •

Mit diesen Zahlen werden nun zweitens Multiplikationen aus-
geführt, und dabei ist die Vorschrift gegeben, die Multiplikation
irgend welcher Zahlen auf die ihrer Wurzelzahlen, jtvd-^sve^, zurück-
zuführen. Das Wort Pythmen findet sich in einer arithmetischen
Bedeutung schon bei Piaton -), ob aber genau in derselben wie bei
ApoUonius, ist bei dem vielbestrittenen Sinne der platonischen Stelle
nicht zu erhärten. Bei Pappus^) bedeuten Pythmenes die kleinsten
Zahlen, in welchen ein Verhältniss angegeben ist. ApoUonius ver-
stand unter der Wurzelzahl die Anzahl der Zehner oder der Hun-
derter, die in einer nur aus Zehnern, beziehungsweise nur aus Hun-
dertern bestehenden Zahl enthalten sind. So ist 5 der Pythmen von
50 wie von 500, 7 der Pythmen von 70 wie von 700 u. s. w.
Wurzelzahlen von Tausendern, Zehntausendern u. s. w. kommen
wenigstens unter den mit einander zu vervielfachenden Zahlen nicht
vor. Der Grund dafür, wie für das Hervorheben der anderen
Pythmenes liegt in der uns bekannten griechischen alphabetischen
Bezeichnung der Zahlen (S. 117 — 118). Die moderne Ziffernschrift
lässt sofort 3 als die Wurzelzahl von 30, von 300, von 3000 er-
kennen. Ebenso war dem Griechen ein leicht ersichtlicher Zusammen-
hang zwischen y und ^y, nicht aber zwischen y und A, zwischen y
und T geboten, letzterer musste erst gezeigt werden. Vielleicht
haben wir unseren Lesern durch die Wahl des Wortes zeigen einen
Hinweis gegeben, wie der Gedanke an die Pythmenes bei einem
Griechen entstehen konnte: nicht wenn er die schriftliche Aufzeich-
nung der Zahlen vor sich sah, wohl aber wenn er ihren Wortlaut
hörte. Der Aehnlichklang von zQSig, tQidxovra, zQiaxoöLOt sagte

') Pappus (ed. Hultsch) 4. dntlfj (iVQiag; 6. tQinlf] iivQi'ag; 20. ivvccnlfj
livQiag; 18. fMVQidStg d^mvvfioi. tm m, für die m fache (nicht die 20fache) My-
riade oder für 10 000 auf die xte Potenz. ^) Piaton, Staat VIII, 546 C av ini-
zqtzog Ttv&fi'^v. ^) Pappus III ed. Hultsch pag. 80.

332 16. Kapitel.

ihm, was au y, A, r erst gezeigt werden musste, und so glauben
wir nicht irre zu gehen, wenn wir in den Pythmenes eine Frucht
des mündlichen Rechenunterrichtes, nicht schriftlicher Erörterung
erblicken. Sei dem, wie da wolle, jedenfalls vollzog Apollonius die
Multiplikation nunmehr an den Pythmenes, und die Ordnung des
jedesmaligen Produktes wird aus der Anzahl der Faktoren unter be-
sonderer Berücksichtigung, wie viele derselben Zehner, wie viele
Hunderter waren, abgeleitet. Eine Unterscheidung von zahlreichen
Einzelfällen, die dabei vorkommen, kann uns bei Apollonius am
wenigsten überraschen; wir bemerken sie auch nur mit der aus-
gesprochenen Absicht gelegentlich wieder daran zu erinnern.
« Endlich müssen wir noch einer Arbeit des Apollonius über

Irrationalg rossen gedenken, von welcher schwache Spuren in
einer arabischen Handschrift entdeckt worden sind^). Wir haben
(S. 254 — 255) über das X. Buch der euklidischen Elemente und
über die dort unterschiedenen Irrationalitäten, die Medialen, die
Biuomialen und die Apotomen berichtet. Zu diesem X. Buche hat
ein griechischer Schriftsteller Erläuterungen geschrieben, deren Ueber-
setzung in das Arabische aufgefunden worden ist. Wer der Verfasser
war, darüber ist volle Bestimmtheit nicht vorhanden, wenngleich
die Wahrscheinlichkeit dafür spricht, man habe es hier mit dem
Überliefertermassen gleich dieser Uebersetzung aus zwei Büchern be-
stehenden Commentare zum X. Buche der Elemente von Vettius
Valens, einem byzantinischen Astronomen aus dem IL S. n. Chr.
zu thun. Dieser Commentator erzählt, die Irrationalgrössen hätten
ihren Ursprung in der Schule des Pythagoras gehabt. Theaetet habe,
nach den Mittheilungen des Eudemus, die Lehre vervollkommnet,
indem er Irrationalgrössen unterschied, die durch Multiplikation,
durch Addition und durch Subtraktion unter einander verbunden
eine verwickeitere Form besassen. Euklid habe vollends Ordnimg
in den Gegenstand gebracht durch genaue Bestimmung und Schei-
dung der verschiedenen Gattungen von Irrationalitäten. Dieser Be-
richt stipinit soweit durchaus mit unseren aus anderen Quellen ge-
schöpften Mittheilungen ül)erein und bestätigt dieselben, wie andrerseits
ihm selbst dadurch eine um so grössere Glaubwürdigkeit erwächst.
Der Commentator fährt fort: „Apollonius war es, welcher neben den
geordneten {tEtay^svog des Proklus) Irrationalgrössen das Vor-

') Woepcke, Essai d'une restitution de travaux perdus d' Apollonius sur
les quantites irrationelles d'aprcs les indications tirces d'un manuscrit arabe in
den Memoires presentcs ä Vacademic des sciences XIV, 658 — 7'JO. Paris, 185ü.
Vorgl. auch den Bericht von Chasles über diese Abhandhing in den Compt.
Kend. XXXVII, 553—508 (17. October 1853).

Die Epigonen der grossen Mathematiker. 333

lianclensein der ungeordneten (ärcxKtog) nacliwies nnd durch ge-
naue Methoden eine grosse Anzahl derselben herstellte." Jetzt folgt
der eigentliche Commentar, dem freilich die Klarheit, welche man
von einem derartigen Werke zu fordern berechtigt ist, gar sehr ab-
geht. Selbst der Versuch aus ihm herauszulesen, worin die bedeu-
tende Erweiterung bestand, welche Apollonius zu verdanken ist, mit
anderen Worten, was man unter ungeordneten Irrationalgrössen zu
verstehen habe, ist trotz allen aufgewandten Scharfsinnes nur Ver-
'such geblieben und hat eine blosse Vermuthung zu Tage gefördert.
Eine Erweiterung meint man demgemäss, könne nach zwei Rich-
tungen hin stattgefunden haben; es könne statt der aus zwei Theilen
bestehenden Binomialen oder Apotomen eine additive, beziehungs-
weise subtraktive Verbindung von mehr als zwei Quadratwurzeln in
Untersuchung genommen worden sein; es könne auch um Ausziehung
von Wurzeln mit höheren Wurzelexponenten als 2 sich gehandelt
haben, oder anders ausgesprochen, um die Einschaltung von 2, 3, ...n
mittleren geometrischen Proportionalen zwischen zwei gegebenen
Grössen, d. h. um Aufgaben, von welchen das delische Problem den
einfachsten Fall darstellt.

17. Kapitel.
Die Epigonen der grossen Mathematiker.

In den fünf letzten Kapiteln haben wir uns mit den grossen
Mathematikern, welche das Jahrhundert von 300 bis 200 etwa durch
ihre Thätigkeit erfüllten, bekannt zu machen gesucht. Zusammen-
fassende Uebersichten, wie wir sie anderen Kapiteln wohl als Schluss
dienen Hessen, waren hier nicht zu geben. Haben wir doch überhaupt
auf das Nothwendigste und Wichtigste uns beschränken müssen, so
dass unsere ganze Darstellung gewissermassen als die vielleicht ver-
misste Zusammenfassung zu gelten hat. Nur das sei noch besonders
hervorgehoben, dass Euklid, Archimed, Eratosthenes und
Apollonius die Mathematik auf eine Stufe förderten, von welcher
aus mit den alten Hilfsmitteln, insbesondere ohne Erweiterung der
Infinitesimalbetrachtungen zu einer allgemeinen Methode, was die
Exhaustion nicht war, wenn sie es auch hätte sein können, ein Höher-
steigen nicht möglich war. Zur Infinitesimalmethode, wie zur mathe-
matischen Allgemeinheit überhaupt war der griechische Geist mit
vereinzelten Ausnahmen, zu welchen vermuthlich Apollonius gerechnet
werden darf, nicht angethan. Das ist ein Erfahrungssatz, welcher
wesentlich auf dem Fehlen allgemeiner Methoden beruht. War aber

334 17. Kapitel.

oline sie ein weiteres Steigen nicht möglich, so war der erreichte
Gipfel nach allen Richtungen hin gar bald durchforscht. Es blieb
nur ein Abwärtsgehen und bei deru Abwärtsgehen ein Anhalten da
und dort, ein Umsichschauen nach Einzelheiten übrig, an welchen
man beim jähen Aufwärtsklimmen vorher vorübergeeilt war. Damit
ist die Zeit gekennzeichnet, zu deren Betrachtung wir in diesem
Kapitel übergehen.

Die Elemente der Planimetrie waren erschöpft. Sie blieben,
was Euklid aus ihnen gemacht hatte, abgesehen von Zuthaten, die
der Lehre von den grössten und kleinsten Werthen entstammten.
Auch die Lehre von den Kegelschnitten konnte nach ApoUonius eine
wesentliche Ergänzung nicht finden. In der Stereometrie blieb da-
gegen nach Euklid und selbst nach Archimed noch manches zu thun.
Am meisten war von theoretisch Neuem in der Lehre von den von
Kegelschnitten verschiedenen Curven zu finden, einem Gebiete, zu
dessen Bearbeitung Archimeds Spiralen entschieden aneifern mussten.
Und endlich war die rechnende Geometrie ein Gegenstand, an wel-
chem Archimeds Kreisrechnung auch verwöhnten Geistern Geschmack
beigebracht haben mochte. Das sind die Felder, auf denen die
Epigonen sich tummelten, deren Bewegungen wir uns zu vergegen-
wärtigen haben.

Die meisten Schriftsteller freilich, die wir hier nennen werden,
sind ihrer Lebenszeit nach höchst unbestimmt. Von Einigen ist es,
wie wir selbst erklären, zweifelhaft, ob sie mit Recht grade in
diesem Kapitel zur Rede kommen. Am sichersten ist dieses wohl
für Nikomedes und Diokles anzunehmen, die Erfinder der Con-
choide und der Cissoide, mithin zweier Curven, deren Namen Geminus
um das Jahr 70 v. Chr. kannte^), die also zu dieser Zeit jeden-
falls vorhanden waren, während andrerseits Nikomedes nach dem
Berichte des Eutokius"-) sich im Vergleiche zu Eratosthenes mit
seiner Erfindung brüstete, also sicherlich auch nicht früher als um
das Jahr 200 etwa gelebt haben kami.

Die Conchoide oder Muschellinie des Nikomedes ist der
geometrische Ort eines Punktes, dessen geradlinige Verbindung mit
einem gegebenen Punkte durch eine gleichfalls gegebene Gerade so
geschnitten wird, dass das Stück zwischen der Schneidenden und dem
Orte eine gegebene Länge besitzt. Je nach dem Grössenverhältnisse
des Abstandes des gegebenen Punktes von der gegebenen Geraden
und der Conchoide besitzt letztere 3 verschiedene Formen, doch ist
kaum anzunehmen, dass die Griechen diese Formen kannten, deren

') Proklus (ed. Friedlein) 177. -) Archimedcs (ed. Heiberg) III, 114.

Die Epigonen der grossen Matliematiker.

335

wesentlichste Verschiedeulieit auf dem Zweige der Curve beruht,
welcher von der festen Schneidenden aus gesehen auf derselben Seite
wie der feste Punkt liegt, und von diesem Zweige ist überhaupt
nicht die Rede. Allerdings wird, falls diese Meinung als richtig gilt,
vollends unverständlich, was Pappus in seinem IV. Buche die zweite,
dritte und vierte Conchoide genannt haben mag, die zu anderen
Zwecken als die erste benutzt worden seien ^). Nikomedes nannte,
wie wir durch Eutokius und Pappus

wissen, den festen Punkt Pol, :t6Xov.

Fig. 59.

Er erfand auch, wie beide Bericht-
erstatter uns melden, eine Vorrichtung
zur Zeichnung der Conchoide, die aus
der Figur sofort verständlich ist
(Figur 59). Sie bestand aus 3 mit-
einander verbundenen Linealen. Zwei
derselben waren senkrecht zu einander
fest vereinigt, und während das eine
fast seiner ganzen Länge nach durch
eine Ritze durchbrochen war, trug das andere ein kleines rundes
Zäpfchen. Das durchbrochene Lineal stellte die feste Gerade, das
Zäpfchen auf dem anderen stellte den Pol der Muschellinie vor. Das
dritte Lineal trug unweit des spitzen Endes ein Zäpfchen ähnlich
dem Pole, etwas weiter davon entfernt eine Ritze ähnlich der auf
der festen Geraden; die Entfernung des Zäpfchens von der Spitze
stellte den gleichbleibenden Abstand vor. Offenbar musste nun die
Spitze dieses dritten Lineals eine Muschellinie beschreiben, wenn das
Lineal selbst alle möglichen Lagen annahm, deren es fähig war,
während sein Zäpfchen in der Ritze der festen Geraden sich befand
und seine Ritze das als Pol dienende Zäpfchen einschloss.

Nikomedes hat gezeigt: 1. dass die Muschellinie der festen
Geraden sich mehr und mehr nähert^); 2. dass jede zwischen der
festen Geraden und der Muschellinie gezogene Gerade die Muschel-
linie schneiden muss; 3. dass mittels der Muschellinie die Aufgabe
der Würfelverdoppelung gelöst werden kann.

Den Ideengang seiner Auflösung und seines Beweises lassen wir
hier folgen, wobei wir nur diejenigen geringfügigen Abänderungen
vornehmen, welche nothwendig sind, um statt eines Rechnens mit
Proportionen das uns geläufigere Rechnen mit Gleichungen einzu-
führen. Aus den Strecken ak = 2a und aß =^ 2h wird (Figur 00)

') Pappus (ed. Hultsch) 244. ") Proklus (ed. Friedlein) 177 ist
geradezu von der Asymptote der Conchoide die Rede.

336

17. Kapitel.

das Rechteck aßyX gebildet und ßy um weitere 2« nach rj ver-
längert. Ausserdem wird in der Mitte e von ßy die st, senkrecht zu
ßy errichtet und deren Endpunkt t, durch y^ = ßd = h bestimmt.

Somit ist auch rj l gegeben, und
ihr parallel wird durch y die y9
gezogen. Diese letztere wird als
feste Gerade, t, als Pol, h als Ab-
stand benutzt und die Muschel-
linie construirt, Avelche die Ver-
längerung von ßy in yc schneidet,
d. h. welche 6>c == & werden lässt.
Verbindet man nun endlich 'k mit
X und verlängert a k bis zum
Durchschnitte ^ mit der ver-
längerten aß, setzt man dabei

a^ = x, yy, = y,
so ist 2a : X == X : y = y : 21),
und die Aufgabe, zwischen 2a
und 26 zwei mittlere Proportionalen einzuschalten, ist gelöst. Aus
den Dreiecken aX^i, yxX folgt nämlich'^— = — und x =

yjt

'ia y y

Daraus erkennt man t,Q = x und folglich t,ii = x -\- h.

Nun ist st, Kathete zweier rechtwinkliger Dreiecke yls und x^f.

Das erstere hat yt,==h als Hypothenuse, yt = a als zweite Kathete.

Das zweite hat %t, = x -\- h als Hypotenuse, Tis = y -]- a als zweite

Kathete. Mithin ist h^ — a^ ^ {x -\- hf — {y + af oder x(x -{- 2 h)

= V (v -f- 2 a) und — = ~T^, • Man kennt ferner denselben Bruch
<^ \J I J y a;_j_2ö

^^—^-^T = rA = -^ = Ft wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke ßxu
x-\-2o ßfi yl 2b ^ f f~

und yxL Man weiss also auch — = -"itj 2h x = ir. Diese Glei-
chung abgezogen von dem vorher gefundenen x (x -\- 2h) = y {jd -\- 2 a)
lässt x^ = 2ay zum Reste, und die Umstellung der beiden Glei-
chungen x'^ = 2ay, y^ = 2hx in Proportionen liefert das verlangte
2 a : X = X : y = y : 2h. Auflösung und Beweis sind gleichmässige
Zeugnisse für den Scharfsinn des Erfinders, der schon um des oben
beschriebenen Conchoidenzeichners willen einen rühmlichen Platz in
der Geschichte der Mathematik verdient.

Der Zirkel, als Hilfsmittel geometrischen Zeichnens, wurde von
den Alten auf den Neffen des Dädalus zurückgeführt^), wohl

') Ovid, Metam. VIII, 247 — 49: Primus et ex uno duo ferrea brachia nodo

Vinxit, ut, aequali spatio distantibus illis,
Altera pars sta rat, para altera duceret orbem.

Die Epigonen der grossen Mathematiker. 337

denselben Talus, auf welchen schon (S. Iö2) für andere Erfindungen
verwiesen worden ist, d. h. auf einen mythischen Ursprung. Die
Vorrichtungen des Piaton und des Eratosthenes zur Würfelver-
doppelung beruhen auf Geschicklichkeit des Benutzers, der versuchs-
weise gewisse Lagenverhältnisse der Theile der Apparate hervor-
bringen musste. Etwaige Mittel die Kegelschnitte zu zeichnen sind,
Avenn Menächmus wirklich dergleichen besass (S. 231), nicht zu
unserer Kenntniss gelangt. Die Quadratrix, die Hippopede, die Spirale
mechanisch zu zeichnen gab es kein Mittel. So ist die Muschellinie
des Nikomedes neben der Geraden und dem Kreise die älteste Linie,
von deren mechanischer Construction in einem fortlaufenden Zuge
wir genügenden Bericht besitzen.

Dieselbe Muschellinie hat auch zur Auflösung einer anderen
Aufgabe, nämlich zur Dreitheilung des Winkels Anwendung gefunden.
Soll man den Worten des Pappus Glaube schenken, so hätte dieser
sich jene Anwendung zuzuschreiben^). Dagegen sagt Proklus aus-
drücklich, Nikomedes habe mit Hilfe der Muschellinie jeden Winkel
in drei gleiche Theile zerlegt"), und so glauben wir es gerechtfertigt
hier von dieser Anwendung zu reden.

Wir wissen, dass Archimed (S. 284) die Dreitheilung des Winkels
auf die Zeichnung einer Geraden von einem gegebeneu Punkte aus
zurückführte, welche einen Kreis und eine Gerade so schneiden sollte,
dass die zwischen beiden Schnittpunkten liegende Strecke einer ge-
gebenen gleich werde. Konnte man hier den Kreis durch noch eine
Gerade ersetzen, so war die Aufgabe nur noch: von einem Punkte
aus durch eine gegebene Gerade hindurch bis zum Durchschnitte mit
einer zweiten gegebenen Geraden eine Gerade zu zeichnen, welche
zwischen beiden Durchschuittspunkten einen bekannten Abstand zeige,
und das gelingt mit Hilfe der Muschellinie, deren Pol der gegebene
Punkt, deren feste Gerade die erste gegebene Gerade, deren gleich-
bleibender Abstand die
gegebene Strecke ist. '
Pappus hat uns eine der-
artige Umformung über-
liefert^). Es sei (Fig. 61)
aßy der in drei gleiche
Theile zu theilende spitze Winkel. Von a aus wird ay senkrecht
zu ßy gezogen und das Rechteck ayßt, vollendet. Die ßs dritttheilt
nun den gegebenen Winkel, wenn die Strecke da zwischen ihren

Fig. fil.

1) Pappus IV, 27 (ed. Hultsch) 246. -) Proklus (ed. Friedlein) 272.
=>) Pappus IV, 38, (ed. Hultsch) 274.

Cantoh, Geschichte der Mathematik I. 2, Aufl. 22

338 17. Kapitel.

Durcliscilnitten mit der ay und der Verlängerung der ^u doppelt so
gross ist wie aß. Weil nämlich^« df ein rechtwinkliges Dreieck, so

wird, wenn 7] der Mittelpunkt der Hypotenuse de ist, - = dt} = rjs

= rja sein. Folglicli sind zwei gleichschenklige Dreiecke aßrj und
a)j£ in der Figur vorhanden. Da überdies -^ arjß Aussenwinkel des
Dreiecks arjs ist, und ßs als Transversale mit den Parallelen ^£, ßy
gleiche Wechselwinkel bildet, so ist -^ aßs = arjß = rjsa -\- rjas

= 2fi8a = 28ßy, d. h. aßy = ^^ •

Ist die Annahme wirklich gerechtfertigt, dass diese Auflösung,
oder eine ihr alsdann jedenfalls sehr ähnliche, bereits dem Nikomedes
zuzuschreiben sei, so bietet es ein eigenthümliches Interesse, dass hier
die Aufgabe der Würfelverdoppelung und die der Dreitheilung des
Winkels mit Hilfe derselben Curve bewältigt werden, wie sie, modern
ausgedrückt, beide auf Gleichungen dritten Grades sich zurückführen
lassen. Sollte ein dunkles Gefühl der Zusammengehörigkeit beider
Probleme bei den griechischen Mathematikern nach Archimed zu den
Möglichkeiten gehören? Müssen wir doch auch eine ideelle Zusammen-
gehörigkeit zwischen der allgemeinen Theilimg des Kreisbogens und
seiner Rectification zugestehen, welche beide, wie wir wissen, mittels
der Quadratrix vollzogen wurden.

Der Zeit nach nur wenig von Nikomedes entfernt dürfen wir
Diokles setzen, den gleichfalls oben genannten Erfinder der Cissoide
oder Epheulinie. Er muss früher gelebt haben als Geminus, der
diese seine Curve neben der Muschellinie nennt; er muss aber auch
später als Archimed angesetzt werden, mit dessen Aufgabe von der
Durchschneidung einer Kugel durch eine Ebene zu gegebenem Ver-
hältnisse der beiden Kugelabschnitte er sich beschäftigte in der An-
nahme, Archimed selbst habe sein auf diese Aufgabe bezügliches
Versprechen nicht eingelöst^) (S. 294). Er hat die Aufgabe mit Hilfe
zweier Kegelschnitte in seinem Werke tieqI nvQscav gelöst, aus
welchem Eutokius sie entnahm-) und aus demselben Werke theilt
der gleiche Berichterstatter die Definition der Cissoide und deren
Anwendung zur Würfel Verdoppelung uns mit^). Der Name jenes
Werkes lässt den Inhalt erkennen. Das Wort jivgi.ov bedeutet, wie
wir (S. 328) gesehen haben, Brennspiegel, und in einem Buche über
Brennspiegel konnte es auf die Grösse sphärischer Abschnitte, sowie
auf deren Vergrösserung unter Beibehaltung der Gestalt ankommen.
Was über eine arabische Uebersetzung des Werkes des Diokles in

') Archimed (ed. Heiberg) III, 152. ^) Ebenda III, 188. =>) Ebenda
III, 78—80.

Die Epigonen der grossen Mathematiker.

339

einer Handschrift des Escorial angegeben ist'), dürfte auf den Bericlit
des Eutokius sich beschränken-).

Diokles lässt seine Cissoide in durchaus anderer Weise entstehen,
als es gegenwärtig gebräuchlich ist. Man soll (Figur 62) in einem
Kreise zwei zu einander senk-
rechte Durchmesser aß und yd
ziehen. Werden symmetrisch zu
aß zwei Gerade rj^, xs senk-
recht auf yd errichtet und 6
mit dem Endpunkte s der einen
Senkrechten verbunden, so liegt
der Durchschnittspunkt 9 dieser
Verbindungslinie mit der anderen
Senkrechten, gleichwie der ähn-
lich ermittelte Punkt o u. s. w.
auf der Cissoide. Zugleich
findet die fortlaufende Propor-
tion statt yy]:tjt,=^'rj^:r]d =
rjd : 7}Q.

Der erste Theil dieser Proportion ist augenscheinlich richtig,
weil i]^ als Senkrechte von einem Peripheriepunkt auf den Durch-
messer das geometrische Mittel der Theile, in welche sie den Durch-
messer theilt, ist. Weil auch xs eine solche Senkrechte ist, muss
ebenso yx : xs = xs : xö sein. Ferner sind die Dreiecke xed, rjQd
ähnlich und darum xs: xd = 7}Q: 7]d, folglich auch yx : xe =^ t]Q : )]d
und nicht minder xe : xy = rid : rjQ. Berücksichtigt man endlich
xs = r}^, yx = rjd, so nimmt die letztgeschriebene Proportion die
Form rj^ : i]ö =^ -ijd : r^Q a.n, und die zu Anfang behauptete fortlaufende
Proportion ist nachgewiesen, d. h. zwischen yrj und 7^9, die in der
Figur senkrecht zu einander gezogen erscheinen, sind die 7] t, und rj d
als die beiden mittleren Proportionalen eingeschaltet.

Nun kann man auch zwischen irgend zwei Strecken a, h zwei
mittlere Proportionalen einschalten. Man zeichnet einen beliebigen
Kreis mit zugehöriger Cissoide. Man sucht auf dem vertikalen Durch-
messer aß den Punkt 7t nach Massgabe der Proportion yl -. In = a -.h
und zieht die y7i, welche bis zum Durchschnitte 9 mit der Cissoide
verlängert wird. Sofort zeigt sich, dass auch yi] : rjQ = u :h ist.
Es brauchen daher nur die Strecken rj^ und r^d, welche zwischen

^) Wenrich, De auctorum Graecorum versionibus et commentariis Syriacis,
Arahicis, Armenicis Persicisque. Leipzig, 1842, pag. 197. *) Heiberg in
Zeitschr. Math. Phys. XXVIII, Hist.-literar. Abtlg. S. 128, Note.

22*

340 17. Kapitel.

yrj, rjQ als mittlere Proportionalen bekannt geworden sind, in dem
Verhältnisse yy] : a verändert zu werden, um die Lösung der Aufgabe
zu erbalten.

Ein dritter Geometer der gleichen Zeit etwa dürfte Perseus
gewesen sein. Wir werden ihn nicht leicht für älter als die alexan-
drinische Schule halten, weil Proklus, der seiner gedenkt, dieses wohl
irgend bemerkt haben würde, um die Lücke in dem alten Mathe-
matikerverzeichnisse, in welchem sein Name nicht vorkommt, aus-
zufüllen. Später als zwischen 200 und 100 kann er aber auch nicht
gelebt haben, wie wir aus folgendem Umstände entnehmen. Eine
Spire war, wie wir (S. 230) besprochen haben, eine wulstartige
Oberfläche. Heron von Alexandria definirt sie, wie wir damals sahen,
als Umdrehungsfläche erzeugt durch Drehung eines Kreises um eine
nicht durch seinen Mittelpunkt hindurchgehende Axe^) und setzt
hinzu: „Aus den Schnitten derselben entstehen gewisse eigenthümliche
Curven." Daraus geht hervor, dass zu Herons Zeit Schnitte jener
Oberflächen bereits vorgenommen worden waren, und Geminus er-
gänzt diese Mittheiluug zur Brauchbarkeit für unseren gegenwärtigen
Zweck durch die Angabe^), die spirischen Schnitte seien von
Perseus erdacht. Es ist bis zu einem gewissen Grade wahrscheinlich,
dass damit jene Schnitte gemeint sind, die wir an der oben ange-
führten Stelle im Zusammenhange mit der Hippopede des Eudoxus
beschrieben haben. Schnitte also, welche auf dem Wulste durch eine
der Durchgangsaxe parallele Ebene hervorgebracht wurden, wobei die
Entfernungen des Schnittes und des Mittelpunktes des die Spire er-
zeugenden Kreises von der Drehungsaxe die unterscheidenden Merk-
male für die einzelnen spirischen Curven lieferten. Bemerken wir
noch, dass eine Untersuchung solcher Curven der Zeit, in welche
wir Perseus setzen, angemessen erscheint, so ist damit das Wenige
erschöpft, was wir über diesen Schriftsteller sagen können, dessen
Heimath imd sonstige persönliche Verhältnisse uns genau ebenso
unbekannt sind, wie die des Nikomedes, des Diokles.

Ebenso verhält es sich mit Zenodorus^), dem Verfasser eines

') Heron, Definit. 98 (ed. Hultsch) 27, bestätigt durcli Proklus (od.
Friedleiii) 119. *) Proklus (ed. Friedlein) 111—112. ^) Vergl. Nokk,
Programm des Freiburger Lyceums von 1860 und unsere Besprechung des
II. Bandes des Pappus (ed. Hultsch) in der Zeitschr. Math. Phys. XXII (1877),
Histor.-literar. Abthlg. 173 — 174. Eine Verwechslung des Zenodorus mit einem
bei Proklus genannten Zenodotus, welche, so lange die Friedlein'sche Proklus-
ansgabe noch nicht vorhanden war, zu entschuldigen gewesen sein dürfte, ver-
anlasste 'uns früher zu gegenwärtig ganz unhaltbaren Zeitbestimmuugen für
Zenodorus.

Die Epigonen der grossen Mathematiker. 341

höchst interessanten Buches über Figuren gleichen Umfanges.
Die Grenzen, in welche sein Leben eingeschlossen werden kann, sind
als feststehende obere Grenze die Zeit des Archimed, dessen Name
bei ihm vorkommt, als mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlich-
keit anzugebende untere Grenze die Zeit des Quintilian, der von den
Dingen redet, welche in der Abhandlung des Zenodorus vorkommen,
wenn auch ohne ilin selbst zu nennen. Quintilian, mit welchem wir
es im 26. Kapitel zu thun haben werden, lebte 35 — 95 n. Chr. Dem-
gemäss würde die Thätigkeit des Zenodorus etwa zwischen 200 v. Chr.
und 90 n. Chr. fallen. Man hat aber wohl mit Recht darauf auf-
merksam gemacht, dass seine etwas breite Schreibart ihn als nicht
allzuweit nach Euklid lebend betrachten lasse ^), und demzufolge
nehmen wir keinen Anstand ihn hier zu behandeln. Die Abhandlung
des Zenodorus ist uns in mehrfacher Ueberlieferung erhalten. Ein-
mal finden sich die Sätze über Figuren gleichen Umfanges ohne
Angal^e ihres Erfinders bei Pappus im V. Buche seiner mathema-
tischen Sammlung^), zweitens stehen dieselben in dem Commentare
des Theon von Alexandria") zum I. Buche des ptolemäischen Alma-
gestes. Bei Theon ist ausdrücklich Zenodorus als Verfasser der aus-
zugsweise mitgetheilten Abhandlung genannt, und Proklus bestätigt
mittelbar dieser Namensnennung. Es sagt uns nämlich, das Viereck
mit einspringendem Winkel heisse hohlwinklig, xoiloyowiov, nach
Zenodorus'*), und dieses Wort in der angegebenen Bedeutung kommt
wirklich in Theons Auszuge vor. Wir können drittens auf eine
Abhandlung in griechischer Sprache über die Figuren gleichen Um-
fanges hinweisen, welche den Namen keines Verfassers als Ueber-
schrift trägt und in wesentlicher Uebereinstimmung mit, wahrschein-
lich in einem Abhängigkeitsverhältnisse zu Zenodorus steht'), von
Nachbild'ungen in anderen Sprachen zu schweigen. Von den vierzehn
Sätzen des Zenodorus, welche fast gleichlautend bei Pappus und bei
Theon sich erhalten haben, mögen der 1., 2., 6., 7. und 14. hier einen
Platz finden: 1. Unter regelmässigen Vielecken von gleichem Um-
fange hat dasjenige den grösseren Inhalt, welches mehr Winkel hat.
2, Der Kreis hat einen grösseren Inhalt als jedes ihm isoperimetrische
regelmässige Vieleck. 6. Zwei -ähnliche gleichschenklige Dreiecke
auf ungleichen Grundlinien sind zusammen grösser als zwei auf den
nämlichen Grundlinien gleichschenklige Dreiecke zusammen, welche

1) Pappus (ed. Hultsch) 1190. -) Pappus V, pars 1 (ed. Hultsch),
308 sqq. ^) Theon d'Alexandrie (ed. Halma. Paris, 1821) 33 sqq. Zum
besseren Vergleich mit der Wiedergabe durch Pappus auch abgedruckt bei
Pappus (ed. Hultsch) 1190 — 1211. *) Proklus (ed. Friedlein) 165.
^) Pappus (ed. Hultsch) 1138—1165.

34'^ 17. Kapitel.

unter sich un'ähnlicli sind, aber mit jenen älinlichen gleiclien Ge-
sammtumfang haben. 7. Unter den isoperimetrischen n- ecken hat
das reo"elmässige den grössten Inhalt. 14. Unter den Kreisabschnitten,
welche gleich grosse Bogen haben, ist der Halbkreis der grösste.
Im Räume hat die Kugel bei gleicher Oberfläche den grössten Inhalt.
Die theoretische Bedeutsamkeit dieser Sätze, welche einen durchaus
neuen geometrischen Gegenstand behandeln, der nach rückwärts nur
an die Vielecke wachsender Seitenzahl in der Kreisrechnung des
Archimed und an die Lehre von den grössten und kleinsten Werthen
bei Apollonius anknüpft, liegt auf der Hand, und es ist nur um
so mehr zu bedauern, dass unser Wissen von ihrem Erfinder
so dürftig ist.

Wir nennen weiter immer noch auf blosse Wahrscheinlichkeits-
gründe uns stützend im Jahrhunderte zwischen 200 und 100:
Hypsikles von Alexandria. Seine Leistungen liegen auf ver-
schiedenen Gebieten. Die Handschriften des Euklid enthalten mehr-
fach nach den 13 Büchern der Elemente noch zwei Bücher stereo-
metrischen Inhaltes, welche als XIV. und XV. Buch der Elemente,
oder als die beiden Bücher des Hypsikles von den regelmässigen
Körpern benannt zu werden pflegen. Neuere Untersuchungen^)
haben einen solchen Gegensatz im Werth und Inhalt der beiden
Bücher aufgedeckt, dass sie noth wendig verschiedenen Verfassern
überwiesen werden müssen, und zwar das erste dem Hypsikles, das
zweite einem mehrere Jahrhunderte n. Chr. lebenden Schriftsteller.
Wir haben es demgemäss hier mit dem ersten Buch allein zu thun,
welches aus folgenden sechs Sätzen über die regelmässigen Körper'')
besteht: 1. Die vom Mittelpunkt eines Kreises auf die Seite des eiur
geschriebenen regelmässigen Fünfecks gefällte Senkrechte ist die
halbe Summe des Halbmessers und der Seite des eingeschriebenen
regelmässigen Zehnecks. 2. Einerlei Kreis fasst des in einerlei Kugel
beschriebenen Dodekaeders fünfseitige und Ikosaeders dreiseitige
Grenzfläche. 3. Die Oberfläche des Dodekaeders sowie des Ikosaeders
sind beide dem 30 fachen Rechtecke gleich, welches aus der Seite des
Körpers und der aus dem Mittelpunkte einer Grenzfläche auf die
Seite gefällten Senkrechten gebildet wird. 4. Die Oberfläche des

') Der Erste, welcher die Verschiedenheit beider Bücher erörternd sie
zwei verschiedenen Autoren beilegte, war Friedlein im Bulletino Boncom-
pagni 1873, 49.3—529. Ihm folgte Th. H. Martin ebenda 1874, 263-266.
*) Gewöhnlich werden 7 Sätze angenommen, aber der 7. Satz (Zwei nach
stetiger Proportion geschnittene Gerade verhalten sich wie ihre grösseren Ab-
schnitte) ist oifenbar kein Satz für sich, sondern nur Theil des Beweises des
6. Satzes.

Die Epigonen der grossen Mathematiker. 343

Dodekaeders verhält sich zur Oberfläche des Ikosaeders, wie die Seite
des Würfels zur Seite des Ikosaeders. 5. Die Seite des Würfels ver-
hiilt sich zur Seite des Ikosaeders, wie sich die Hypotenusen zweier
rechtwinkligen Dreiecke verhalten, welche eine Kathete gemeinschaft-
licli und als andere Kathete den grösseren beziehungsweise den
kleineren Abschnitt besitzen, der entsteht, indem die gemeinschaft-
liche Kathete nach stetiger Proportion geschnitten ist. 6. Der Körper
des Dodekaeders verhält sich zum Körper des Ikosaeders wie die
Seite des Würfels zur Seite des Ikosaeders. Diese Sätze, deren Wort-
laut wir bei dem 1., 3., 5. Satze etwas mundgerechter zu fassen uns
erlaubt haben als in den gewöhnlichen Uebersetzungen, bilden ein
einheitliches Ganzes, welches seinem Verfasser wohl Ehre macht,
imd lassen nicht zu, dass mau jenes andere früher gleichfalls Hyp-
sikles zugeschriebene Buch damit in Verbindung setze, welches aus
sieben Aufgaben besteht, die Construction eines Tetraeders in einen
Würfel, eines Oktaeders in ein Tetraeder, eines Oktaeders in einen
Würfel, eines Würfels in ein Oktaeder, eines Dodekaeders in ein
Ikosaeder zu vollziehen, die Zahl der Ecken und der Seiten, endlich
die gegenseitigen Neigungen der Grenzflächen in den fünf regel-
mässigen Körpern zu finden. Ueber den Verfasser des ersten Buches
gibt dessen Einleitung einige Auskunft. Ihr Wortlaut ist^):

Basylides von Tyrus, mein lieber Protarch, kam einst nach
Alexandria, war an meinen Vater wegen beider gemeinschaftlicher
Liebe zur Mathematik empfohlen, und brachte die meiste Zeit seines
Aufenthaltes in dem Umgange mit ihm zu. Als sie eines Tages des
Apollonius Schrift über Vergleichung des in einerlei Kugel be-
schriebenen Dodekaeders und Ikosaeders und deren Verhältnisse zu
einander durchgingen, so schien ihnen der Vortrag des Apollonius
nicht ganz richtig zu sein, und sie schrieben, wie mir mein Vater
sesagt hat, ihre Verbesserungen nieder. Nach der Zeit fiel mir
jedoch eine andere von Apollonius herausgegebene Schrift in die
Hände, welche eine richtige Auflösung der erwähnten Aufgabe ent-
hält, deren Untersuchung mir ein ausnehmendes Vergnügen gewährt
hat. Das von Apollonius herausgegebene Werk kann jeder selbst
nachsehen, da es überall zu haben ist, weil man es für eine sorg-
same Arbeit hielt. Dasjenige aber, was ich nachher aufgesetzt habe,
glaube ich Dir wegen Deiner vorzüglichen Einsicht in allen Wissen-
schaften, besonders aber in der Geometrie, als einem kundigen Be-
urtheiler meines Vortrags zuerst vorlegen zu müssen: in der gewissen

*) Vergl. z. B. Euklids Elemente fünfzehn Bücher aus dem Griechischen
übersetzt von Johann Friedrich Lorenz. Halle. S. 425 — 426.

344 17. Kapitel.

Erwartung, dass Du sowohl aus Freundschaft für meinen Vater, als
aus Wohlwollen gegen mich, geneigt sein wirst meinem Versuche
Deine Aufmerksamkeit zu schenken. Doch es ist Zeit, dass ich
meine Vorrede schliesse und zur Sache selbst komme.

Es war offenbar eine Jugendarbeit, welche Hypsikles mit diesen
Worten dem noch lebenden Freunde seines Vaters widmete. Seine
Mittheilungen geben uns Auskunft über eine sonst unbekannte Schrift
des Apollonius und wurden in diesem Sinne von uns (S. 328) benutzt.
Araber haben, so lange das Buch noch als von Euklid herrührend
betrachtet wurde, aus den Anfangsworten herausgelesen, Euklid
stamme aus Tyrus (S. 247). Man hat aber aus derselben Vorrede
auch, wie uns scheint, richtige Folgerungen auf die Lebenszeit des
Hypsikles gezogen^). Der Vater des Hypsikles, welcher eine Abhand-
lung des Apollonius noch nicht kannte, welche dem Sohne nachher
bekaimt war und zu dessen Lebzeiten „überall zu haben" war, muss
ein älterer Zeitgenosse des Apollonius gewesen und gestorben sein,
bevor dessen verbesserte zweite Abhandlung zur Veröffentlichung ge-
langte. Da nun Apollonius etwa 200 gestorben ist, so mag Hyp-
sikles etwa 180 seine Abhandlung geschrieben haben, eine Zeitbe-
stimmung, zu welcher uns gleich nachher noch eine kleine Bestätigung
zu gut kommen wird.

Eine zweite Abhandlung des Hypsikles, welche sich erhalten hat,
ist das Buch von den Aufgängen der Gestirne, dvacpoQixos^).
Auf den astronomischen Inhalt dieses äusserst dürftigen Werkchens
von nur sechs Sätzen, auf dessen etwaige Verschlimmbesserung durch
einen Astrologen haben wir nicht einzugehen, es sei denn um zu be-
merken, dass die Methode desselben Berechtigung nur zu einer Zeit
hatte, zu welcher trigonometrische Betrachtungsweisen noch nicht
erdacht waren, und dass andererseits als wichtige Neuerung in den
Aufgängen des Hypsikles die Eintheilung des Kreisumfanges
in 360 Grade benutzt ist. Autolykus, ein astronomischer Schrift-
steller kurz vor Euklid (S. 278), hat diese Gradeintheilung noch
nicht. Ebensowenig scheint sie Eratosthenes gekannt zu haben,
wenn es richtig ist^), dass er sich eines so unbequemen Ausdruckes

wie „^„ des Kreisumfanges" bediente, während andererseits die That-

*) Vossius, De scientiis vuithematicis pag. 328 (Amsterdam, 1650). Bret-
schneider 182. Falsche Ansichten bei Fabricius, Bibliotheca Graeca (edit.
Harless) IV, 20, bei Montucla, Histoire des mathematiqucs I, 315, bei Nessel-
mann, Algebra der Griechen 246 ügg. ^) Des Hypsikles Schrift Anaphorikos
ist im Osterprögramm 1888 des Gymnasiums zum heiligen Kreuz in Dresden
von K. Manitius herausgegeben worden. '•') Montucla, Histoire des mathc-
matiques I, 304. Wolf, Geschichte der Astronomie S. 130.

Die Epigonen der grossen Mathematiker. 345

Sache seiner vollzogenen Gradmessung (S. 313) uns wieder stutzig
machen kann. Starb nun Eratosthenes um 194 und ist seine Be-
nutzung jener unbequemen — richtig auf das Jahr 220 bestimmt,

schrieb dann Hypsikles um 180, so ist die Zeit der Einführung der
Gradeintheilung des Kreises, also muthmasslich auch des davon un-
trennbaren babylonischen Sexagesimalsystems in Alexandria in sehr
enge Grenzen gebracht. Von den sechs Sätzen des Anaphorikos sind
die drei ersten arithmetischen Inhalts und rechtfertigen unser auch
nur beiläufiges Verweilen bei dem Schriftchen. In moderner Aus-
spräche sagen sie, dass in einer arithmetischen Reihe von grader
Gliederzahl die Summe der zweiten Hälfte der Glieder die der ersten
Hälfte um ein Vielfaches des Quadrates der halben Gliederzahl über-
treffe^), dass die Summe einer • arithmetischen Reihe bei ungerader
Gliederzahl gleich dem Produkte der Gliederzahl in das mittlere
Glied, bei grader Gliederzahl gleich dem Produkte der halben Glieder-
zahl in die Summe der beiden mittleren Glieder sei.

Bei so elementaren Kenntnissen blieb aber Hypsikles nicht stehen.
Vielmehr war ihm die allgemeine Definition der Vielecks zahlen
bekannt, welche er in die Worte kleidete: „Wenn beliebig viele
Zahlen von der Einheit an von gleichem Unterschiede sind, und
dieser Unterschied 1 ist, so ist die Summe eine dreieckige Zahl; ist
der Unterschied 2, so ist die Summe eine viereckige Zahl, für 3 eine
fünfeckige; die Anzahl ihrer Winkel ist um 2 grösser als der Unter-
schied, und ihre Seiten sind der Anzahl der vorgelegten Zahlen gleich."
So berichtet Diophant im 8. Satze seiner Schrift über die Polygonal-
zahlen, von welcher im 23. Kapitel die Rede sein wird. Diophant
nennt als seine Quelle: Hypsikles tv oqc). Die Uebersetzer dürften
mit Recht diesen Ausdruck deutsch durch „in einer Definition^' über-
tragen haben, da Zqo^ neben der Bedeutung Grenze (lateinisch: ter-
minus oder limes) oder Reihenglied unzweifelhaft auch die Bedeutung
der Begrenzung eines Begriffes, d. h. einer Definition besitzt. Bei
welcher Gelegenheit Hypsikles sich jener Definition der Vieleckszahlen
bedient haben mag, wissen wir durchaus nicht.

Wir schliessen dieses Kapitel mit der Nennung des einzigen
Schriftstellers, für dessen Leben etwas genauere Angaben bekannt
sind. Wir meinen Hipparch, der zwischen 161 und 126 v. Chr.
astronomische Beobachtungen anstellte'-). Er ist in Nicäa in Bithynien

^) Ist a das erste Glied, d die Diiferenz, 2« die Gliederzahl, so sind die

, . , • , (3« — l)nd , , (*i — 1)'^^ j TT i !-• j

beiden Summen na A- — und na -{- -~ — , deren Unterschied

2 2

dn"^ ist. ^) Wolf, Geschichte der Astronomie S, 45, Anmerkung 1.

346 17. Kapitel.

geboren. Er beobachtete auf der Insel Rhodos, vielleicht auch in
Alexandria. Seine hervorragendsten Verdienste rühmt die Geschichte
der Astronomie, welcher er als Schöpfer einer wissenschaftlichen
Sternkunde gilt. Er war aber auch der Urheber eines Theiles der
Wissenschaft, welcher das Grenzgebiet zwischen Astronomie und Geo-
metrie bildet, der Trigonometrie, und berechnete eine Sehnen-
tafeP). Leider wissen wir von dieser Leistung nur durch ein
berichtigendes Wort eines späten Schriftstellers, des Theon von
Alexandria, der um 365 schrieb, und können also dieses Kapitel
griechischer Mathematik nicht in seinen Ursprüngen verfolgen. Jeden-
falls aber stimmt die Erfindung trigonometrischer Betrachtungen etwa
150 V. Chr. mit der Nothwendigkeit überein, zu welcher wir weiter
oben aus anderen Gründen gelangt* waren, dem Anaphorikos des
Hypsikles kein späteres Datum als das von 180 beilegen zu dürfen.
Von Hipparchs Verdiensten um Einführung der geographischen
Länge und Breite^) reden wir im nächsten Kapitel'^).

Wir sind einem Hipparch „der zu den Arithmetikern gehörte"
begegnet (S. 243), von welchem combinatorische Berechnungen
uns mitgetheilt wurden. Wir haben keinen Grund in diesem Schrift-
steiler, der nach Chrysippus (282 — 209) lebte, einen anderen als den
Astronomen zu vermuthen. Wir glauben ebenso auch an die Richtig-
keit arabischer Angaben, denen zufolge Hipparch als Schriftsteller
über quadratische Gleichungen aufgetreten wäre*^). Eine Sehnen-
tafel setzt zu ihrer Berechnung arithmetische wie algebraische Ge-
wandtheit geradezu voraus.

Wir haben dieses Kapitel mit Nennung der Gebiete begonnen,
auf welchen wir die Thätigkeit der Schriftsteller im Jahrhunderte
von 200 bis 100 ungefähr entfaltet sehen würden. Unsere Darstel-
lung ist mit unserer Ankündigung in Einklang geblieben. Niko-
medes, Diokles, Perseus waren für uns die Männer, welche der Curven-
lehre sich widmeten. Zenodorus widmete den planimetrischen Lehren
vom Grössten und Kleinsten seine Kräfte. Hypsikles vervollkommnete
die Stereometrie und führte durch das, was wir aus der Arithmetik
von ihm wissen, den Beweis, dass auch dieser Theil der Mathematik
in dem Jahrhunderte, welches auf das des Euklid folgte, nicht ver-
nachlässigt wurde. Hipparch bestätigte uns in dieser letzten Ueber-
zeugung, der rechnende Astronom, welcher den naturgemässen Ueber-

*) Wolf, Geschichte der Astronomie S. 111. ^) Ebenda S. 153. =') Berger,
Die geographischen Fragmente des Hijiparch. Leipzig, 1870. ■*) Vergl. L'algihrc
d'Ovinr Älkhayyämi (ed. Woepcke) Paris, 1851, Trcface XI und Journal Asia-
tique Serie 5, T. V, pag. 251 — 253.

Heron von Alexandria. 347

gang zu dem rechnenden Feldmesser bildet, der nunmehr unsere
Aufmerksamkeit auf sich zieht.

18. Kapitel. ^

Heroii von Alexandria.

Um das Jahr 100 v. Chr. etwa blühte Heron von Alexandria^).
Die Heimath dieses Mathematikers und Physikers geht aus der Ueber-
schrift mehrerer seiner uns erhaltenen Abhandlungen hervor, wird
auch durch Pappus und durch einen Anonymus, der um das Jahr
938 in Byzanz lebte, bestätigt, welche beide von eineni Heron von
Alexandria zu reden wissen. Herons Lehrer war, wie jener Anony-
mus' von Byzanz berichtet, Ktesibius, und diese Angabe findet
gleichfalls Bestätigung sowohl dadurch, dass Proklus den Heron zu-
gleich mit Ktesibius als Erfinder wunderbarer auf Luftdruck be-
ruhender Vorrichtungen erwähnt, als wieder durch die Ueberschrift
einer Abhandlung, welche ihren Verfasser „Heron des Ktesibius"
nennt, eine Verbindung zweier Namen, welche von alten Zeiten her
nicht bloss dem Verhältnisse von Sohn und Vater, sondern auch dem
von Schüler und Lehrer entsprach. Ktesibius als Lehrer des Heron
ist aber ein Zeugniss für das Zeitalter, in welchem dieser gelebt
haben muss. Ktesibius'-), nach einer Angabe in Alexandria geboren,
nach den Meisten nur dort ansässig, während Askra sein Geburtsort
war, hatte als • Sohn eines Bartscheerers sich zuerst dem Gewerbe
seines Vaters widmen müssen, war aber als geistvoller Erfinder physi-
kalischer Apparate, z. B. einer Wasserorgel, einer Wurfmaschine,
welche Geschosse unter Anwendung zusammengepresster Luft schleu-
derte, zu hohem Ansehen gelangt. Seine Blüthe fiel in die Regierung
von Ptolemaeus IX., Physkon (der Schmerbauch) oder Euergetes IL
genannt, d. h. innerhalb des Zeitraums von 170 bis 117, und somit
dürfte die Wirksamkeit eines Schülers des Ktesibius nicht leicht

^) Ueber Heron vergl. Venturi, Commentari sopra Ja storia et le teorie
deU'ottica, tomo I. Bologna, 1814. Th. H. Martin, Bccherches sur la vie et
les ouvrages d' Heron d'Alexandrie etc. im IV. Bande der Memoires presente's par
divers savants ä Vacademie des inscnptions et helles lettres: Serie I. Sujets divers
d'eiudition. Paris, 1854. Cantor, Die römischen Agrimensoren und ihre Stel-
lung in der Geschichte der Feldmesskunst. Leipzig, 1875. Die geometrischen
griechischen Texte herausgegeben von Hultsch: Heronis Alexandrini geornetri-
corum et stereometricorum reliquiae. Berlin, 1864, theilweise auch von Vincent
in den Notices et extraits des mannscrits de la bibliotheque imperiale Tome XIX,
Partie 2. Paris, 1858. ^) Agrimensoren, 9 und 16.

348 18- Kapitel.

frülier als 120, iiiclit leicht später als 80 gesetzt werden dürfen.
Ein zweites Zeugniss^) für das Zeitalter 'des Herou hat man mit
grosser Wahrscheinlichkeit einer Schrift des Heron selbst zu ent-
nehmen gewusst. Dort sind Beobachtungen an zwei weit von ein-
ander entlegenen Standorten zu einem geodätischen Beispiele vereinigt
und als diese Standorte sind Alexandria und Rom gewählt. Ptole-
maeus XIII. Neos Dionysius war aber der erste ägyptische König,
welcher im Jahre 81 durch die Römer eingesetzt wurde. Von da
an waren alle Augen in Alexandria nach Rom gerichtet, während
vorher mit grösserer Wahrscheinlichkeit als an sich beliebiger Ort
in einem blossen Beispiele Rhodos, vielleicht auch Athen gewählt
worden wäre, so dass das Datum jener einen Abhandlung dadurch
fast mit Gewissheit bis etwa zum Jahre 80 herabrückt. Die Zu-
sammenfassung der beiden Momente lässt es zu, so wie wir es- ge-
than haben, die Blüthe Herons von Alexandria auf das Jahr 100 an-
zusetzen, 6in oder zwei Jahrzehnte nach aufwärts oder abwärts als
Grenzen freigegeben.

Dieser Heron war allem Anscheine nach der einzige seines
Namens, welcher in der Geschichte der Mathematik einen Platz ver-
dient. Pappus, der an verschiedenen Stellen von Heron redet, nennt
ihn Heron schlechtweg oder Heron -von Alexandria. Proklus, pedan-
tisch genau in Vermeidung der Verwechslungen von Schriftstellern,
wo dieselben möglich wären, wie wir (S. 181) gesehen haben, redet
zweimal von dem Mechaniker Heron, viermal vorher und nachher
von Höron schlechtweg, und unter diesen vier Stellen ist gerade die-
jenige, in welcher Heron mit Ktesibius zusammen genannt ist, so
dass Heron ohne Beinamen bei Proklus jedenfalls derselbe ist wie
Heron der Mechaniker oder der Schüler des Ktesibius. Eutokius in
seinen Erläuterungen zur archimedischen Kreismessung (S. 303) redet
gleichfalls nur von Heron, als wenn es eben nur einen solchen all-
bekannten mathematischen Schriftsteller gäbe.

Dazu kommt die Unmöglichkeit einen anderweitigen Mathematiker
oder Mechaniker Herou irgendwie geschichtlich unterzubringen. Der
Schriftsteller, welchen man ehedem als Heron den Jüngeren zu
bezeichnen pflegte, ist der vorerwähnte Byzantiner des X. S., welcher
selbst Heron von Alexandria citirt, und dem den gleichen Namen
beizulegen auch nicht der geringste Grund vorliegt. Heron, der
Lehrer des Proklus, Aveleher in dem zweiten Viertel des V. S.
lebte, hat überhaupt keine bekannt gewordene mathematische Schrift
verfasst; ihn hat Proklus insbesondere sicherlich bei keiner seiner

') Martin, Becher dies sur la vie etc. pag. 91.

Heron von Alexandria. 349

Aüführungeü im Sinne gehabt, sonst^würde der überaus pietätvolle
Schüler für ihn eine andere Bezeichnung als das einfache Heron,
oder Heron der Mechaniker gewählt haben. Heronas, der, wie
Eutokius erzählt, einen Commentar zu Nikomachus schrieb, mithin
zwischen den von ihm erläuterten Schriftsteller und den, der seiner
erwähnt, zwischen das H. und VI. S., fällt, ist eine im Uebrigen
durchaus unbekannte Persönlichkeit, so dass es eine leichtfertige Ver-
muthung wäre in ihm den Verfasser solcher Schriften erkennen zu
wollen, welche als von Heron verfasst bezeichnet sind.

So einfach sich demnach die sogenannte heronische Frage,
d. h. die Frage nach dem Verfasser der mathematischen und physi-
kalischen Schriften, welche einem Heron beigelegt werden, zu lösen
scheint, so sind doch noch Schwierigkeiten vorhanden, wie nicht
anders zu vermuthen, da ja sonst Wunder nehmen dürfte, dass über-
haupt jemals eine heronische Frage entstand. Die Handschriften der
als herouisch bekamiten Bücher sind ziemlich späten Ursprungs und
verschiedenen Inhaltes. Kaum eine ist mit einer anderen zur vollen
Deckung zu bringen. Bald fehlt eine, bald eine andere Abhandlung,
und zum Ersätze findet sich wieder in der zweiten Handschrift, was
man in der ersten vergeblich suchte. Schon dadurch ist vollgültige
Gewissheit über die Echtheit aller Stücke erheblich erschwert. Dazu
kommt die sichere Unechtheit mancher Stücke. Ein alle Spuren des
Verfalles der Literatur an sich tragendes Griechisch, Maasse eines
späten Zeitalters, Erwähnungen von Schriftstellern, die wie Modestus
und Patrikius am Ende des IV. S. n. Chr. gelebt haben, können
unmöglich dem Heron von Alexandria um 100 v. Chr. angehören.

Mau hat neuerdings die Lösung aller dieser Schwierigkeiten
darin zu finden sich geeinigt, dass man die Schriften des Heron im
Grossen und Ganzen als echt in unserm Sinne, d. h. als dem früher
sogenannten älteren Heron aus dem Jahre 100 v. Chr. angehörig
erkennt, dass man aber annimmt, diese Schriften seien wesentlich
verderbt worden. Sie seien, behauptet man, ungemein verbreitet, in
zahllosen Abschriften und Auszügen vorhanden gewesen. Nun habe
bald dieser, bald jener Anfertiger später Exemplare Randbemerkungen
der mannigfachsten Art, wie sie seiner Lebenszeit angemessen schienen,
beigefügt und noch spätere unwissende Abschreiber haben bald*
solche Randbemerkungen in den Text herübergezogen, bald ihnen
unverständlich gewordene Stellen weggelassen. So sei die gegen-
wärtige Gestalt der Schriften Herons entstanden. Man sei berechtigt
alle als echt, wie alle als unecht zu bezeichnen, als echt dem Ur-
sprünge nach, als unecht vermöge ihrer keineswegs unbedeutenden
Verschlimmbesserungen.

350 18. Kapitel.

Die Schriften Herous sind tlieils physikalischen, theils mathe-
matischen Inhaltes. Wenn wir uns auch bei Erörterung jener ersten
Gruppe, so weit nicht Mathematisches in ihnen zur Rede kommt,
hier grimdsätzlich enthalten, so können wir doch nicht umhin auf
eine schriftstellerische Eigenthümlichkeit Herons hinzuweisen, welche
in ihnen vorzüglich zu Tage tritt, und auch in den Schriften, welche
unsere Auseinandersetzung fordern, sich nicht verleugnet, Heron be-
gnügt sich niemals mit bloss theoretischen Erörterungen. Er schreitet
von der wissenschaftlichen Grundlage aus zur Anwendung, und zwar
meistens zu einer doppelten Anwendung: neben dem Nutzen für die
menschliche Gesellschaft erscheint auch das Vergnügen des Einzelnen
ihm werth die Fürsorge des Gelehrten in Anspruch zu nehmen.

An der Grenze zwischen Physik und Mathematik liegen die
streng mechanischen Schriften, welche Heron von Alexandria verfasst
hat. Ein Werk über die Mechanik wird uns genannt, ein zweites,
der Gewichtezieher, welches die von Archimed gestellte Aufgabe
zu lösen sucht, eine gegebene Last mittels einer gegebenen Kraft in
Bewegung zu setzen. Von beiden sind bei Pappus ziemlich umfang-
reiche Ueberreste erkannt worden, die indessen wenig Gelegenheit
für uns bieten, Bemerkungen daran zu knüpfen.

Ein Buch über angewandte Mechanik ist es, welches uns zuerst
den Geometer Heron von achtunggebietender Seite kennen lehren
wird. Er handelt darin von der Anfertigung von Geschützen*).
Er lehrt, dass, wenn eine dreifach stärkere Kraft erzielt werden will,
die den Geschossen ihre Bewegung ertheilende Sehne dreifach stärkere
Spannung erleiden muss. Diese ihr zu verschaffen, während die
ganze Gestalt des Geschützes sich ähnlich bleibt, muss ein gewisser
cyliudrischer Theil desselben unter der gleichen geometrischen Be-
dingung, die für das Ganze gilt, dreimal grösser werden. Nun ver-
halten sich ähnliche Cylinder wie die Kuben einer Abmessung, z. B.
des Durchmessers, also muss sich hier verhalten d^^ : r/g'' = 1:3 (all-
gemeiner wie 1 : 7i). Das ist die delische Aufgabe der Würfel Ver-
doppelung in verallgemeinerter Form. Heron löst deshalb hier in
einem Buche praktischen Inhaltes die theoretische Aufgabe, zwischen
zwei gegebene Längen zwei mittlere geometrische Proportionalen
'einzuschalten. Seine Auflösung ist eine vollkommen gesicherte, indem
sie ausdrücklich als heronisch benannt auch von Pappus aufbewahrt
worden ist und an beiden Orten so genau zusammentrifft, dass sogar
die Figur bei Pappus fast durchaus mit der in der heronischen Ab-

') "Hpcoros KtrjaLßi'ov ßtlonoiiticc abgedruckt in dem von Thevenot heraus-
gegebenen Bande :. Ftieres mathematici. Paris, 1693.

Heron von Alexandria.

351

handlung (Figur 63) überein stimmt^). Der einzige Unterschied be-
stellt darin, dass bei Pappus die Gerade Qr} fehlt und demzufolge
der Punkt rj gar nicht und Herons Punkt 9 durch rj als den im
Alphabete auf ^ folgenden Buchstaben
bezeichnet ist. Die zwei mittleren
geometrischen Proportionalen sollen
zwischen die beiden Strecken ccß, ßy
eingeschaltet werden. Man bildet aus
den gegebenen Strecken das Rechteck
ccßydj dessen beide gleichen einander
in 6 halbirenden Diagonalen gezogen
werden. Ein um die Ecke ß sich
drehendes Lineal wird alsdann empi-
risch in die Lage gebracht, dass seine
Durchschnitte mit den Verlängerungen
von da und dy, nämlich ^ imd £, gleich-
weit von 9 abstehen, so ist aß : at,
= a^: ys = ys : yß. Die Zeichnung
der Hilfslinien Qs, 9^, Qrj (letztere

senkrecht auf ad) lässt erkennen 9^" == Qr}^ -\- {riu -j- cct)' = Qyf
-f iqa^ -\- at,{2'r}a -f- a^) = Qa^ -{- a^-ö^. Entsprechend dieser ersten
Gleichung Q^^ = Qa'^ -\- at, - d^ muss zweitens Qa'^ = Qy^-\-ys-de
sein. Nun ist 9^ =^ 9£ vorausgesetzt, es ist ferner 9a = Qy, folglich
muss auch a^ ■ ö^ = ys • de sein und a^: ys = ds : d^. Nun ist
weiter aß : a^ = de : dt, und de : dt, = ye : ßy, also endlich aß : at,
= at, : ye = ys : ßy, was zu beweisen war.

Wir gehen zu den eigentlich mathematischen Schriften des Heron
über. Man kennt von ihm einige wenige Aussprüche elementaren
Inhaltes und Beweise zweier Sätze aus dem ersten Buche der eukli-
dischen Elemente, die sich in dem oft benutzten Commentare des
Proklus vorfinden. Man kennt Definitionen in grösserer Zahl, welche
als heronisch in den Handschriften vereinigt sind. Man kennt Bücher,
welche die Titel führen: Geometrie, Geodäsie, Stereometrie, Aus-
messungen, Buch des Landbaues. Man kennt eine Abhandlung von
der Dioptra. Was oben über die Handschriften im Allgemeinen ge-
sagt ist, gilt mit nur geringen Abänderungen von diesen Eiuzel-
schriften. Wir meinen dieses so, dass nicht jede Abhandlimg von
jeder anderen durchaus verschieden ist. üebereinstimmungen des
Lihaltes finden zwischen Schriften von abweichender Ueberschrift
statt. Daneben finden sich Widersprüche, die es mitunter zweifelhaft

1) Vergl. Veteres wathematici pag. 142 mit Pappus (ed. Hultsch) 63.

352 18. Kapitel.

erscheinen ilassen, ob es möglicli sei, dass Heron das eine Mal so,
das andre Mal so gesagt habe. Dann ist wieder die Form auch bei
widersprechendem Inhalte so durchaus die gleiche, dass ein Zweifel
am gemeinsamen Ursprünge kaum aufkommen kann.

Eine um so wichtigere Frage ist deshalb die, ob man einen ur-
sprünglichen Zusammenhang aller geometrischen Schriften Herons
anzunehmen habe, oder ob es von Anfang an lauter gesonderte Werke
waren. Beide Meinungen haben ihre Vertreter gefunden, für keine
von beiden liegen eigentliche Beweisgründe vor. *Wir stimmen der
Ansicht bei ^), es sei ein einziges grosses geodätisches Werk gewesen.
Welches Heron vielleicht veranlasst durch den Beherrscher Aegypteus
geschrieben habe; es sei ein officielles Lehrbuch der Feld-
messung von ihm verfasst worden, geeignet die alten Vorschriften,
deren Mangelhaftigkeit man täglich mehr erkennen musste, und die
gleichwohl, wie wir den Tempelinschriften von Edfu (S. 68 — 69)
entnehmen konnten, zu Herons Lebzeiten noch immer in voller
Uebung waren, zu verdrängen und neben sie bessere, genauere, aber
noch immer der Berechnung leichte Bahnen eröffnende Regeln zu
stellen. Dieses grosse Werk zerfiel dann, glauben wir, unter den
Händen der Abschreiber und Abkürzer in einzelne Abhandlungen,
je nachdem bald das Eine, bald das Andere vorzugsweise ausge-
zogen wurde.

Man hat hauptsächlich die Verschiedenartigkeit des Inhaltes der
kleineren geometrischen Schriften zur Stütze der Meinung verwerthet,
diese Dinge könnten nicht ursprünglich einem einzigen Werke als
Bestandtheile angehört haben. Wir können diesem Einwurfe zu be-
gegnen auf jüngere, auf ältere Aehnlichkeiten hindeuten. Spätere
Nachahmungen waren bestrebt in ein Ganzes zu vereinigen, was in
heronischen Schriften verzettelt vorlag; sollte das geschehen sein
ohne damals wache Ueberlieferung einstmaliger Zusammengehörigkeit?
Wir haben das Uebungsbuch des Ahmes in seinem bunten Inhalte;
sollte es, das, wie wir noch sehen werden, in der sprachlichen
Form als Muster beibehalten wurde, im Uebrigen nicht nachgeahmt
worden sein?

Ahmes gab ein Rechenbuch heraus. Ihm war die eigentliche
Feldmessung, wenn sie auch wichtige und häufig vorkommende Rechen-
beispiele bot, immerhin etwas Nebensächliches. Nichtsdestoweniger
fanden wir bei ihm die Berechnung des Flächen- und des Körper-
raumes geometrischer Gebilde und Maassvergleichungen. Beides

^) Metrolggicorum scriptorum reliquiae (ed. Hui t seh, Leipzig, 1864—66),
T. I. FröleQomena pag. 15, Note U. Agrimensoren 30—31 und 36.

Heron von Alexanclria. 353

durfte ein Schriftsteller, dem nachgrade die Feldmessung Hauptsache
geworden war, um so weniger vermissen lassen. Daneben musste
dieser aber auch noch Anderes geben, falls man einmal gewohnt
war, in einem einzigen Buche Antwort auf alle Fragen zu suchen,
welche das praktische Bedürfniss stellen liess. Er musste Auskunft
geben über die Operationen der Feldmessung selbst im weitesten
Sinne des Wortes. Er musste, wenn das Werk zu einer Zeit und
an einem Orte geschrieben wurde, wo eine wissenschaftliche Geo-
metrie Volkseigenthum geworden war, Definitionen der vorkommenden
llaumgrössen und Beweise wenigstens für solche Formeln geben, die
neu waren, und deren Richtigkeit nicht ohne weiteres einleuchtete.
Insbesondere aber durfte der Nachahmer alter ägyptischer Muster-
werke, mochten die Zielpunkte sich einigermassen verschoben haben,
doch unter keiner Bedingung die Rechnungsaufgaben als solche
ganz vernachlässigen. Auch algebraische Aufgaben werden uns bei
ihm nicht unerwartet sein, und unerwartet wieder nicht Vorschriften
zur Vollziehung bestimmter Rechnungsoperationen, wenn nur erstere
in näherer oder fernerer Beziehung zur rechnenden Geometrie stehen,
weim nur letztere, z. B. die Quadrat wurzelausziehung, grade in der
rechnenden Geometrie ihre vorzugsweise Anwendung finden.

So ist es uns gelungen ein — ob festes lassen wir dahin ge-
stellt sein — geistiges Band um Gegenstände zu schlingen, welche
der Vereinigung zu widerstreben schienen, und genau diese Gegen-
stände sind es, über welche Heron geschrieben hat. Die Maassver-
gleichungen, soweit sie alt sein können, sind neben und mit den
Berechnungen der Flächen und Körper in der Geometrie und Stereo-
metrie enthalten. Die Lehre von der Feldmessung selbst liefert die
Abhandlung über die Dioptra. Die Definitionen haben wir erwähnt.
Beweise sind bei Proklus aufbewahrt gefunden worden; einen Beweis,
und zwar den der berühmten heronischen Formel für den Dreiecks-
inhalt aus den drei Seiten, werden wir der Abhandlung über die
Dioptra noch zu entnehmen haben. Algebraisches muss aus ver-
schiedenen heronischen Schriften zur Besprechung gezogen werden,
und wenn wir über die Methode der Quadratwurzelausziehimg, über
welche Heron, wie wir wissen (S. 303), schrieb, nicht berichten, so
unterbleibt es nur aus bedauernswerther Nothwendigkeit, weil diese
zu Eutokius Zeiten allgemein zugänglichen Kapitel aus dem geome-
trischen Werke des Heron, als dessen Bestandtheile sie von Eutokius
ausdrücklich bezeichnet werden, heute durchaus verschwunden sind.
Es muss jedenfalls eine gute Methode gewesen sein, über welche
Heron verfügte, da die bei ihm massenhaft auftretenden Quadrat-
wurzelausziehungen durchgehends sehr nahe richtig sind. Wir er-

Cantoe, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 23

354 18. Kapitel.

wähnen endlich noch, dass in den Definitionen selbst, wie man er-
kannt hat'), von Vorbemerkungen zu den Elementen der Arithmetik,
sowie von Vorbemerkungen zu den Elementen der Geometrie die
Rede ist.

Ob letztere insbesondere auch dem grossen geodätischen Werke
Herons angehörten, oder ob sie einen Theil eines Commentars zu
den Elementen des Euklid bildeten, ist zweifelhaft, wenn auch
über die Thatsache selbst, ob Heron überhaupt einen solchen Com-
mentar verfasste, keine Unsicherheit mehr herrscht. Zum voraus
klang es weder wahrscheinlich, dass in verhältnissmässig so früher
Zeit Commentare zu Euklid geschrieben worden sein sollten, noch
ist eine erläuternde schriftstellerische Thätigkeit einem Manne wie
Heron zuzutrauen, der die Gewohnheit besass fast nirgend einen Vor-
gänger zu nennen^). Aber kein Zweifel kann dagegen stichhalten, dass
in einem arabischen Commentare zu den Elementen des Euklid ganze
Stücke aus ähnlichen Schriften des Heron und des Simplicius sich er-
halten haben, welche folglich jenem Araber vorgelegen haben müssen^).
Bevor wir mit diesen vorläufigen Bemerkungen abschliessen ist
eine letzte Frage zu stellen: War Heron der erste, der einzige
griechische Schriftsteller über Geodäsie? Eine befriedigende
Antwort können wir nicht geben. Ursprünglich, das lehrt die über-
einstimmende Ueberlieferung aller Völker, ging die Feldmesskunst
der eigentlichen wissenschaftlichen Geometrie als theoretische Raum-
lehre voraus und Hess sie erfinden. Dann aber scheint bei den
griechischen Schriftstellern wenigstens die Geometrie weitaus häufiger
als der praktische Theil bearbeitet worden zu sein, wie schon daraus
hervorgeht, dass das Wort Geodäsie überhaupt erst seit der Zeit
des Aristoteles (S. 239) in der griechischen Literatur nachgewiesen
werden kann. Begann man damals geodätische Schriften in dem

') Diese Bemerkung hat Martin gemacht. Vergl. Agrimensoren 37.

*) In den geometrischen Schriften kommen nur folgende Namen vor: Archi-

med, Dionysius, Euklid, Modestus, Patrikius, Piaton, Pythagoras.

Von diesen sind Modestus und Patrikius jedenfalls sp'ätere Einschaltungen.

Dionysius kommt nur als Anrede in der Einleitung zu den Definitionen vor,

während die Echtheit der Definitionen selbst mehr als die irgend einer hero-

nischen Schrift angezweifelt wird. So bleiben nur Archimed, Euklid,

Piaton, Pythagoras übrig. Auch diese Citate können unmöglich sämmtlich

22
echt seui, da z. B für den Werth n = -_- in der Geometria (ed. Hultsch)

pag. 136 1. 5—11 auf Archimed und ebenda pag. 115 1. 7 — 10 auf Euklid
verwiesen ist. Letzteres Citat stammt sogar aus der ältesten sonst zuver-
lässigsten Handschrift der Geometria. ^) Martin, Becherches sur la vie etc.
pag. 96 hat auf die arabische Handschrift der leidener Bibliothek hingewiesen.
Besthorn und Heiberg haben ihre Herausgabe begonnen (Kopenhagen 1893).

Heron von Alexandria. 355

Sinne, in welcliem wir von einer Geodäsie Herons reden, zu verfassen?
Waren in Alexandria ägyptische Musterwerke aus verhältnissmässig
junger Zeit vorhanden? Wir möchten namentlich die letztere Frage
lieber bejahen als verneinen. Erhalten ist uns freilich nur eine Spur
solcher Schriften in der Optik Euklids (S. 279), aber ist es denn
mit den Elementenwerken vor Euklid nicht noch schlimmer gegangen?
Was wüssten wir von einem Hippokrates von Chios, von einem Leon,
von einem Theydius, wenn nicht ein Commeutator des letzten und
grössten Elementenschreibers, wenn nicht Proklus uns darüber be-
richtete? Heron hat nun keinen Proklus gefunden, was bei der prak-
tisch hohen, philosophisch aber geringfügigen Bedeutung seiner
Schriften uns nicht einmal in Erstaunen setzen kann, und so sind
wir auf die einfache Thatsache beschränkt, dass wir unter Herons
Namen Werke von hoher Vollendung vor uns sehen, Werke, welche,
soweit es sich um Berechnungen handelt, allerdings an den theore-
tischen Vorarbeiten eines Euklid und Archimed meistens ausreichende
Begründung finden, welche aber auch die Kunst der Feldmessung,
wir meinen die eigentlichen messenden und ortsbestimmenden Arbeiten
auf dem Felde, so vortrefflich darstellen, dass wir uns nicht denken
können, es sei hier unvorbereitet, unvermittelt eine ganz neue Kunst
beschrieben. Wir stellen uns damit keineswegs in Widerspruch zu
unserer früheren Behauptung, das Werk des Heron sei nothwendig
gewesen, um mit dem alten Schlendrian vererbter Unzulänglichkeit
aufzuräumen. Wir leugnen nicht das Ueberragen Herons über seine
Vorgänger, wenn wir an Vorgänger glauben. Es gab Feldmesser
Jahrtausende vor Heron in Aegypten, Seilspanner, Harpedonapten,
wie der alte Grieche (S. 62) sie nannte, und an welche wir gleich
nachher uns erinnern wollen. Sie müssen gewisse Vorschriften, wie
mau zu verfahren habe, unter sich vererbt haben. Ihr Erbe muss auf
Heron gelangt sein. Ohne Zweifel hat er auch in diesem praktischen
Theile es an wesentlichen Verbesserungen nicht fehlen lassen. Ihm,
wenn er nicht in Dikaearch und Eratosthenes Vorgänger hatte
(S. 243), ist vielleicht die Erfindung der Dioptra zuzuschreiben,
während man früher mit mangelhafteren Vorrichtungen sich begnügte,
aber Vorrichtungen hatte man, z. B. den sogenannten Stern, und
deren Gebrauch muss, wir wiederholen es, eine ältere mündlich oder
schriftlich überlieferte Feldmesskunst gelehrt haben. Der letzte geo-
dätische Schriftsteller blieb Heron allerdings für lange Zeit. Euklid
und Heron waren nachgrade ihrer Persönlichkeit beinahe entkleidet
worden. Sie waren Titel von Schulbüchern geworden, welche auch
zu Völkern drangen, die in anderen Sprachen als in der griechischen
dachten und redeten. Mochten in diesen „Euklid" der Theoretiker,

23*

356 18. Kapitel.

in diesen „Heron'' der Praktiker Dinge eingedrungen sein, an welclie
der lebende Euklid, der lebende Heron nie gedacht hatte, für die
Naebkommen blieb es der „Euklid", der „Heron". Ja, es ist gar
nicht unmöglich, dass bei derartigem neben einander hergehenden
Gebrauche aus dem „Euklid' dieses oder jenes, z. B. Definitionen, in
den „Heron" überging; auch das Entgegengesetzte wäre möglich,
wenn es gleich an Beispielen dafür uns fehlt, aber die heronische
Dreiecksformel etwa hätte ganz gut in eine Handschrift des Euklid
sammt ihrem Beweise eindringen können.

Gehen wir nun zur Feldmesskunst des Herou über, wie sie
in der Abhandlung über die Dioptra') l)eschrieben ist, und beginnen
wir mit der Schilderung der Dioptra selbst. Sie bestand aus einem
4 Ellen laugen Lineal, welches an beiden Enden Plättchen zum Hin-
durchvisiren, oder, wie man heute sagt, Dioptervorrichtungen trug.
Sie ruhte auf einer kreisrunden Scheibe, auf welcher sie in Drehung
versetzt werden konnte, und eine vertikale Drehung war mit der
Scheibe auf einem die ganze Vorrichtung tragenden Fusse ermöglicht.
Wir dürfen in der Dioptra den Keim des Theodoliths der neueren
Feldmesskunst erkennen. Sie diente zum Abstecken von Geraden in
den mannigfachsten Richtungen, wenn auch eine Winkelmessung auf
dem Felde nicht stattfand. Um eine Senkrechte zu einer gegebenen
Richtung sich zu verschaffen, dienten zwei kleine Zäpfchen auf
der Dioptrascheibe, bis zu welchen die Dioptra gedreht werden
musste, um einen rechten Winkel zu erhalten. Den oben erwähnten
vorheronischen Stern bildeten zwei in horizontaler Ebene sich recht-
winklig schneidende Lineale, also eine Art von Winkelkreuz. Die
Vorrichtung zum Hindurchvisiren aber fehlte, und ebenso fehlten
verschiedene Hilfsapparate, die mit der Dioptra in Verbindung
standen. Bei ihr war die vertikale Stellung des Fusses verbürgt
durch einen herabhängenden Bleisenkel, welcher längs einer auf
dem Fusse eingeritzten Geraden seinen Verlauf nehmen musste. Die
Horizontalität der Scheibe entnahm man einer Wasser wage. Statt
beider mussten bei dem Sterne Bleisenkel dienen, welche an den
4 Enden des Winkelkreuzes hingen, welche aber, wie Heron tadelnd
hervorhebt, namentlich bei einigermassen stark gehendem Winde,
nicht leicht zur Ruhe kamen und somit die Brauchbarkeit des Appa-
rates, welche von der gesicherten richtigen Aufstellung untrennbar
ist, wesentlich verringerten. Mit Hilfe der Dioptra und abgetheilter

') "Hgcovog 'JXt^ccvSQtwg TctQl diönzgag abgedruckt mit französischer Ueber-
setzung von Vincent, mit den Anmerkungen von Venturi und Vincent in
den Notices et exlraits des mamiscrits de Ja bibliothlque imperiale XIX, 2
(Paris, 1858).

Heron von Alexandiia. 357

selbst mit Bleisenkel versehener Signalstangen wurden die wich-
tigsten Aufgaben auf dem Felde gelöst. Nivellirungen 5 Absteckung
einer Geraden zwischen zwei Punkten, deren keiner von dem anderen
aus gesehen werden kann; Bestimmung der Entfernung eines sicht-
baren aber unzugänglichen Punktes; Auffindung der Breite eines
Flusses, ohne ihn zu überschreiten; Auffindung der Entfernung zweier
Punkte, die beide sichtbar, beide unzugänglich sind; Absteckung einer
Senkrechten zu einer unzugänglichen Geraden in einem unzugäng-
lichen Punkte derselben; Bestimmung der Höhe eines entfernten
Punktes über dem Standorte des Beobachters; Aufnahme eines Feldes;
Wiederherstellung der mit Ausnahme von 2 oder 3 durch Grenz-
steine gesicherten Punkten verloren gegangenen Umfriedigung eines
Feldstückes unter Anwendung des vorhandenen Planes: das dürften
etwa die interessantesten Aufgaben sein, welche Heron in seiner
Schrift von der Dioptra, welche wohl den praktischen Theil seines
geodätischen Werkes bildete, behandelt hat, bei späteren Aufgaben
stets früher gelehrte Operationen benutzend, wodurch das Einheit-
liche dieser Abhandlung sich erweist.

Es würde zu weit führen, wollten wir genau schildern, in welcher
Weise Heron jedesmal verfährt. Nur die beiden letztgenannten Auf-
gäben müssen aus besonderen Gründen hier zur Rede kommen. Die
Aufnahme eines Feldes erfolgt durch Absteckung eines Rechteckes,
welches 3 seiner Eckpunkte auf der Umgrenzung selbst besitzt. Die
Seiten dieses Rechteckes werden nun freilich mit den Grenzen des
Feldes nicht zusammentreffen, aber die zwischenliegenden Greuz-
strecken bestimmen sich durch die senkrechten Entfernungen ein-
zelner Punkte derselben von den Rechtecksseiten unter genauer Be-
merkung derjenigen Pmikte der Rechtecksseiten, in welche jene meist
kleinen Senkrechten eintreffen. Der geschickte Feldmesser wird,
nach Herons ausdrücklicher Vorschrift, es so einzurichten wissen,
dass die Grenze zwischen zwei zur Bestimmung ihrer Endpunkte
dienenden Senkrechten leidlich gradlinig aussieht. Wenn wir noch
so vorsichtig uns davor hüten wollen, neue Gedanken in alte
Methoden hineinzulesen, hier müssen wir ein bewusstes Verfahren
mit rechtwinkligen Coordinaten erkennen. Nicht als ob wir be-
haupten wollten, Heron habe nach einem gemeinsamen Gesetze ge-
sucht, welchem die vertikalen und horizontalen Entfernungen zu
bestimmender Punkte von gegebenen Linien gehorchen, das thut
nicht einmal die moderne Feldmesskuust, welche sehr wohl empi-
rische Linien von geometrischen Curven zu unterscheiden weiss.
Aber denken wir daran, dass Hipparch (S. 346) die Erde mit
Coordinaten überzog, welche die Lage jedes Punktes derselben be-

358

18. Kapitel.

stimmen sollten, class dieser die Breite von dem Aequator, die Länge
von dem Meridiane von Rhodos, mithin von ganz genau definirten
Anfangslagen beginnen und messen liess, so werden wir in Herons
Verfahren die Wiederholung auf kleinerem Felde finden von dem,
was sein etwas älterer Zeitgenosse für die Erde in ihrer Gesammt-
oberfläche gelehrt hat, beide vielleicht abhängig von uralten Vor-
bildern, aber über jene hinausgehend. Wir erinnern daran, dass um
1400 die ägyptischen Bildhauer unter König Seti I. die mit Bildwerk
zu versehenden Wände zunächst mit einem Netze kleiner Quadrate
überzogen (S. 66). Das waren auch Coordinaten. Aber ob und wie
Linien der beabsichtigten Figuren in diese Quadratchen hineinfielen,
dürfte an sich unerheblich gewesen sein. Vermuthlich sollten nur bei
der Ausführung im Grossen dieselben Verhältnisse beibehalten werden,
welche der Künstler in seiner Handskizze dem Augenmaasse oder der
Uebung nach sich vorgezeichnet hatte. Jetzt entwarf Heron kleinere
rechtwinklige Figuren zu bestimmtem Zwecke und wählte Zahl und
Entfernung der Senkrechten in bewusster Beliebigkeit. Früher war
es eine zufällige, jetzt eine absichtliche Bestimmung einzelner Punkte
mittels senkrecht zu einander gezeichneter Strecken.

Nicht minder lehrreich ist für uns die Rückübertragung des
gezeichneten Planes auf das Feld, wenn nur einige Punkte desselben
gegeben sind. Erhalten seien (Figur 64) die Grenzsteine a, /3, deren

Inschriften gestatten, sie auf dem Plane
zu identificiren; gesucht werden die
beiden Hauptrichtungen auf dem Felde,
welche zu einander senkrecht dem
ganzen Plane als Grundlage dienen, so
d^ss wenn z. B. ay einer dieser Haupt-
richtungen gleichlaufend und ßd zu^ ihr
senkrecht wäre, die Längen ad, ßd mit
den Inschriften der beiden Grenzsteine
in Einklang stehen. Jedenfalls kann man auf dem Felde aß ab-
stecken und auf dieser Strecke einen Punkt e ziemlich nahe bei a
sich genau bemerken. Nun ist auf dem Plane das Dreieck ccßd be-
kannt und vermöge der erfolgten Abmessung von aß auch das Ver-
hältniss der Längen auf dem Plane zu denen auf dem Felde. Das
Dreieckchen aet, muss dem aßd ähnlich sein, aus der gemessenen
Länge as folgen daher durch Rechnung die Längen von a^ und ^E}
welche auf einem Seile qöt durch Strichelchen angemerkt werden.
Nun befestigt man dieses Seil mit ^ in a, mit r in £ und spannt es
in a an, so wird bei 6 ein rechter Winkel entstehen und ^ gefunden
sein und damit zugleich die Richtung a^öy. Das geschichtlich

<r t

Fig. Gl.

Heron von Alexandria. 359

Bedeutsame bei diesem Verfahren besteht darin, dass der rechte
Winkel durch Anspannung eines Seiles gewonnen wird, welches
mit zwei durch Striche oder Knoten bezeichneten Stellen an zwei
Pflöcken im Boden befestigt wurde. Das ist ja nichts anderes als
die ägyptische Seilspannung (S. 63 — 65) bei der Grundstein-
legung der Tempel, ein Verfahren, welches, wie wir wissen, vielleicht
schon zur Zeit des Königs Amenemhat I. um das Jahr 2300 nicht
wesentlich anders geübt worden war als 237 bei der Gründung des
■ Tempels von Edfu. Damit gewinnt aber auch die Vermuthung
einigen Halt: im Jahre 237 werde man etwa so verfahren sein, wie
im Jahre 100, und das letztere uns genau bekannte Verfahren sei
mit einigen Abänderungen, wie wir früher auszusprechen wagten, in
ältester Zeit bereits zur Erlangung rechter Winkel benutzt worden.
Natürlich können die damals angenommenen Zahlen für die gegen-
seitigen Entfernungen der drei Knoten hier, wo es sich um Her-
stellung eines einem bestimmten rechtwinkligen Dreiecke ähnhchen
Dreiecks handelt, nicht zur Bestätigung kommen. Noch eine Ver-
änderung ergab sich, wie wir finden, im Laufe der Jahrhunderte.
Demokritus nannte die Seilspanner Harpedonapten, das Seil selbst
also Harpedon mit einem Worte, dessen Klang schon den ägypti-
schen Ursprung verräth. Zu Herons Zeit führte das aus Binsen ge-
flochtene Seil den griechischen Namen Schoinion und wurde, wie
Heron in der Geometrie sagt^), abwechselnd mit dem Rohre, Kala-
mos, zu Messungen benutzt. Wir bemerken hierzu beiläufig, dass
y.dla^og und das dem (3%oivCov nahe verwandte öx^tvog neben der
allgemeinen Bedeutung Messstab und Messschnur auch die besonderer
und zwar unter einander verschiedener Maasse besitzen.

Wir haben noch bei einem Paragraphe der Schrift über die
Dioptra zu verweilen, bei demjenigen, der, wie wir schon sagten,
den Beweis für die sogenannte heronische Dreiecks forme! lie-
fert^). Das Dreieck aßy erweist sich (Figur 65) bei Einbeschreibung
des Kreises mit dem Halbmesser r]€ als gleich dem Doppelten eines
Dreiecks mit diesem Halbmesser als Höhe und dem halben Umfang
von aßy oder mit y9, als Grundlinie (sofern ßQ = aö genommen ist).
Nun wird die Hilfsconstruction rjX senkrecht zu rjy, ßk senkrecht
zu ßy und yl vollzogen nebst den Halbmessern tjd, rie, ')]t, des ein-
geschriebenen Kreises und den Verbindungsgeraden rja, rjß, 7]y seines
Mittelpunktes mit den Endpunkten des Dreiecks. Weil <^ yrjl =
yßl== 90", muss yl der Durchmesser des umschriebenen Kreises für

') Heron (ed. Hultsch) 43, ^) Vergl. Hultsch, Der heronische Lehr-
satz über die Fläche des Dreiecks in der Zeitschr. Math. Phys. IX, 225 — 249.

360

18. Kapitel.

die beiden Dreiecke ytjX und yßX sein, d. li. yrjßl ist ein Sehnen-

viereck und

^yriß-\-yXß= 180'.

Aber -^ yr]ß = y rj s + st]ß = -^ + ^|-, und addirt man dazu

noch ccrjd = -^ und berücksichtigt ^tjs -\- sriÖ + Örjt, = 360", so

zeigt sieh auch

* ^yr;/3 + ß7?d= 180°,

folglich

ferner ^ yßX = 90"^ = adr],
folglich sind die Dreiecke
/3yA, (3a>; ähnlich undßy: ßk
= da:dr} oder, was dasselbe
ist, = |3G : ?^£, somit

ßQ 7]f

Aber aus der leicht ersicht-
lichen AehnKchkeit der Drei-
ecke ßlx, £y]x folgt auch

Fig- 65. ßi k3 . yß xß

-— = -^ , mithin ^~ = - •
?;£ fx' p6 ex

Durch Addition der Einheit auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens

;^ -

^«Ig^^ P = r!«^^^yF$e

yt-fß

ye^

oder - . ^

ye ■ tß

und daraus

(;^9 • T^f)'- = y£ • £/3 • /39 • y9. Nun war der Flächeninhalt des Drei-

ecks aßy (als des doppelten des Dreiecks yr]Q) = 2

y9 • 7]f

= yQ-rj£

und somit ist, wenn man die Fläche des Dreiecks aßy durch z/ be-
zeichnet, z/ = Yys • sß • ßQ • yB . Setzt man endlich aß = c, ay = h,
ßy = a, so lassen die Faktoren unter dem Wurzelzeichen sich leicht
anders ordnen und schreiben, so dass

-t-

-\-h -\- c a-f& — c

fc + c — a-\-b -^c

2 2 2

entsteht, eben die Formel, die Herons Namen führt. Ob sie ihm
angehört, d. h. ob Heron hier eine eigene oder fremde Erfindung
mittheilt, ist nicht vollständig festzustellen. Heron ist, wie wir
sahen, kein Freund von Citaten, und so wäre es möglich, dass er
einen zu seiner Zeit schon anderweitig bekannten Satz hier vortrüge.
Den Beweis dürfen wir wohl mit grösserer Sicherheit sein Eigen-
thum nennen, Aveil sonst kein Grund abzusehen wäre, warum er ihn
mittheilte. Da überdies Heron in jeder Beziehung der Mann ist,

Heron von Alexandria. (Fortsetzung.) 361

dem man die Erfindung auch des Satzes füglicli zutrauen darf, so ist
und bleibt vms die Formel die beronische, so lange ein früherer Er-
finder nicht wahrscheinlich gemacht wird.

19. Kapitel.
Heron von Alexandria. (Fortsetzung.)

Von der Abhandlung über die Dioptra wenden wir uns zu einem
raschen Ueberblicke über die anderen Schriften, um die Reihenfolge
wenigstens kennen zu lernen, in welcher hier die einzelnen Formeln
auftreten.

Geonietrische Definitionen, zwischen welche eine historische Notiz
über den Ursprung der Geometrie mit Hinblick auf den jährlichen
Austritt des Nils eingeschaltet ist, und eine Maasstabelle eröfixien
das Buch der Geometrie. Nach diesen kommt die Berechnung von
Quadraten und Rechtecken, deren Fläche und deren Diagonale ge-
sucht wird. Das« rechtwinklige Dreieck folgt, auf dieses die an-
einanderhängenden Dreiecke, das gleichseitige, das gleichschenklige,
das beliebige Dreieck. Beim rechtwinkligen Dreiecke werden die
Methoden des Pythagoras und des Piaton zur Auffindung rationaler
Seitenlängen gelehrt; beim beliebigen Dreiecke wird die Senkrechte
von der Spitze auf die Grundlinie gefällt und unterschieden, ob "diese
Senkrechte die Basis selbst trifi't und Abschnitte auf ihr erzeugt,
oder ob sie jenseits der Basis eintrefi^end eine üeberragung hervor-
bringt; es wird aber auch die heronische Formel unmittelbar an-
gewandt, welche ohne Durchgang durch die Berechnung des Ab-
schnittes, beziehungsweise der Üeberragung und der Höhe die
Dreiecksfläche sofort aus den drei Seiten ableitet. Nun folgt die
Rückkehr zum Vierecke und zu den mannigfaltigsten Zerlegungen
einer Figur durch Hilfslinien. Quadrate in gleichschenklige Dreiecke
eingezeichnet, Rhomben oder verschobene Quadrate, Rechtecke, Pa-
rallelogramme, rechtwinklige Trapeze, gleichschenklige Trapeze, be-
liebige Vierecke werden so der Berechnung unterzogen. Nach den
gradlinig begrenzten Figuren wendet Heron sich zum Kreise und zu
dessen Theilen. Durchmesser, Umfang, Inhalt des Kreises werden
gegenseitig aus einander abgeleitet. Die Fläche eines Kreisabschnittes
und die Länge seines Bogen s werden aus der Sehne und Höhe des
Abschnittes ermittelt, und auch der Ring zwischen zwei concentri-
schen Kreisen wird berechnet. Vom Kreise kehrt der Verfasser zu
den regelmässigen Vielecken zurück, indem er Formeln gibt, welche
die Flächen dieser Vielecke vom Fünfecke bis zum Zwölfecke

362 19- Kapitel.

aus der Seitenlänge finden lehren. Damit dürfte der richtige Text
im Ganzen abschliessen, indem das noch folgende Stück (fünf Seiten
der Druckansgahe füllend) ziemlich unzweifelhaft als unecht sich er-
weist. Dort ist nämlich eine dem Patrikius, also einem sehr späten
Schriftsteller, angehörende Vorschrift, dort die Wiederholung der
Vorschriften für die Vielecksberechnung, die Wiederholung der ge-
schichtlichen Bemerkung über den Ursprung der Geometrie mit kaum
erwähnenswerthen Varianten, dort am Schlüsse wieder eine Maass-
tabelle zu finden.

Eine andere Schrift heisst Geodäsie. Auch sie beginnt mit
Definitionen, mit einer historischen Notiz, mit Maass vergleich ungen;
auch sie berechnet den Flächeninhalt von Quadraten und Rechtecken,
bevor sie zum Dreiecke sich wendet, und zwar wieder zum recht-
winkligen Dreiecke, welches nach Pythagoras und Piaton aus ganz-
zahligen Seiten bestehen kann, zu deü aneinanderhängenden Dreiecken,
zu dem gleichseitigen, zu dem beliebigen Dreiecke, bei welchem die
heronische Formel den Schluss bildet.

Die sogenannte Stereometrie ist begreiflicherweise Avesentlich
anderen Inhaltes. Hier sind es Rauminhalte von Körpern und Körper-
oberflächen, welche den Gegenstand der Berechnungen bilden. Die
Kugel, der Kegel, der abgestumpfte Kegel, der in langgestreckter
Form bald Obelisk, bald Säule heisst, der Cy linder geben Beispiele,
bevor zu den allseitig eben abgegrenzten Körpern: Würfel, Parallelo-
pipedon, Keil übergegangen wird, als dessen nicht ganz deutlich be-
schriebene Sonderfälle wohl der Huf, der Mäuseschwanz, der Ziegel
zu betrachten sind. Fast eben diese, aber auch andere eben begrenzte
Körper erscheinen sofort noch einmal als Pyramiden mit quadratischer,
mit rechteckiger, mit gleichseitig dreieckiger, mit rechtwinklig drei-
eckiger Grundfläche, jede derselben sowohl ganz als abgestumpft der
Untersuchung unterworfen. Dann kommen mancherlei der Praxis,
aber nicht der eigentlichen Stereometrie angehörige Körperformen
an die Reihe. Von dem Inhalt einer Muschel, einer Schale, von
dem Umfange eines Amphitheaters und von der Menschenmenge,
welche ein Zuschauerraum fassen kann unter der Annahme, dass die
Bänke sich nach dem Gesetz einer arithmetischen Reihe verjüngen,
von Speisesälen und Badezimmern, von Brunnen, von Kufen und
Butten, von Transportschiffen ist die Rede, und wo man bei der
Berechnung über die aus den Namen nicht mit genügender Klarheit
hervorgehende Gestalt sich Raths erholen will, lässt jene uns meisten-
theils erst recht im Stiche.

Eine zweite Sammlung mit der Ueberschrift als Stereometrie
und dem Verfassernamen Herons gibt auch nur meist zweifelhafte

Heron von Alexandria. (Fortsetzung.) 363

Ergebnisse, bald mit denen der ersten Sammlung übereinstimmend,
bald ihnen widersprechend. Die Reihenfolge ist dahin verändert,
dass hier räthselhafte Körperformen, die selbst nicht durchweg die
gleichen wie die der ersten Sammlung sind, die Reihe eröffnen.
Zwischendrein ist die Messung der Höhe einer Säule mittels ihres
Schattens angegeben, das erstmalige Auftreten dieser von Thaies
(S. 128) herrührenden Methode in einem geometrischen Werke. Die
Schatten der Säule sowie eines seiner Länge nach bekannten Stabes
werden gemessen, und dann Avird die Proportion Stabschatten : Säulen-
schatten = Stab : Säule in Anwendung gebracht. Nun folgen erst
Pyramiden, und zwar solche auf rechtwinklig dreieckiger oder gleich-
seitig dreieckiger Grundlage und solche, deren Grundflächen regel-
mässige Fünfecke, Sechsecke und Achtecke sind. Nach einer unver-
ständlichen Stufenpyramide kommt der Satz, dass jede Pyramide der
dritte Theil des Prisma von gleicher Grundfläche und Höhe ist,
worauf mit der Berechnung einer abgestumpften Pyramide auf recht-
eckiger Grundfläche unter dem Namen Altarstufe und mit der gegen-
seitigen Multiplikation von Längenmaassen zu Flächenmaassen diese
Stereometrie abschliesst.

Ausmessungen haben wir den Titel ^£TQi]6£ig eirier weiteren
Schrift heronischen Namens übersetzt, welche ungleich den vorigen,
denen doch annähernd gleichartige Probleme zum Gegenstande dienen,
bald Flächen, bald Körperinhalte durch einander gewürfelt in zwei-
maliger Abwechslung darbietet. Zuerst erscheinen nämlich Körper,
dann Flächen, dann wieder Körper, zuletzt Flächen. Wir heben aus
der wirren Sammlung nur hervor, dass auch hier wieder Körper
eigener Art auftreten, zu deren Verständniss noch gar manches fehlt,
und dass zwischen die Inhaltsberechnungen auch Brunnenaufgaben
eingeschaltet sind, d. h. Aufgaben, in welchen die Zeit gesucht wird,
bimien welcher eine Cisterne durch mehrere Röhren gefüllt werden
kann, wenn man weiss, wie lange die Füllung durch jede einzelne
Röhre dauern würde.

Die letzte heronische Sammlung, das Buch des Landbaues,
ysr^TCovLxov ßißXiov, geht aus von Definitionen. Ihnen folgen Flächen-
ausmessungen mancherlei Vierecke und Dreiecke, wobei die Vierecke
den Dreiecken vorangehen, sowie rechnende Auflösung von Aufgaben,
in welchen Kreise vorkommen. Nach Ausrechnung der Pyramiden
auf quadratischer Grundfläche kehrt die Sammlung zu ebenen Auf-
gaben, zu den Durchmessern der dem regelmässigen Fünfecke und
Sechsecke umschriebenen Kreise zurück. Wieder erscheinen Auf-
gaben, welche, dem Gegenstande nach unerwartet, Einschaltungen
sein könnten, und die sich auf die Auffindung von Rechtecken be-

364 10. Kapitel.

ziehen, deren umfange soAvie deren Inhalt in gegebenem Zahlenver-
hältnisse stehen sollen, Aufgaben, welche also eigentlich zahleu-
theoretischer Natur freilich in planimetrischer Einkleidung sind, so
dass die Unterbrechung des Gedankenganges nicht allzu auffällig und
die Rückkehr zu wirklich geometrischen Aufgaben vom Rhombus,
vom Rechtecke, von regelmässigen Vielecken, von Kreisen eine leichte
ist. Nur einmal gegen das Ende der Sammlmig kehren stereome-
trische Aufgaben wieder, welche aber auf Fässer und Fruchtmaasse
eigenthümlicher Gestalt bezüglich dem Buche des Landbaues nicht
ganz unangemessen erscheinen. Den Schluss bilden Vergleichungen
zwischen Kubikfussen und Fruchtmaassen.

Das ist in dürftiger, keineswegs erschöpfender, aber eben des-
halb vielleicht übersichtlicher Zusammenstellung die Reihenfolge der
Gegenstände , welche in den verschiedenen Schriften , die Herons
Namen tragen, behandelt sind. Durch diese Zusammenstellung dürfte
um so wahrscheinlicher gemacht werden, was wir über das muth-
massliche grosse Werk Herons und dessen für unsere modernen Be-
griffe höchst ungleichartigen Inhalt gesagt haben, denn mit Aus-
nahme der praktischen Operationen, deren Darstellung, abgesehen
von der selbst eine Ausnahme bildenden Schattenmessung in der
zweiten stereometrischen Schrift, nur in der Abhandlung über die
Dioptra enthalten ist, bieten die als heronisch betitelten Bücher
meistens die ganze Reichhaltigkeit des bunten Mancherlei, welches
wir dort vereinigt glauben.

Wir haben nun noch ziemlich viele Einzelheiten hervorzuheben.
In erster Linie bemerken wir, dass Herons Geometrie jeden-
falls in zwei Ausgaben vorhanden war, und dass manche Ver-
schiedenheiten zwischen den einzelnen Sammlungen darin ihre Er-
klärung finden dürften, dass dem einen Zusammensteller die eine,
dem andern die andere Ausgabe, wieder einem dritten beide Aus-
gaben vorlagen. Dafür ist schon darin ein Beweis vorhanden, dass
in der Ausmessung der Vielecke^) die Berechnung der Fläche des
Fünfecks und des Sechsecks nach zwei Vorschriften gelehrt wird.
Die Fläche des Fünfecks sei das Quadrat der Seite 12 mal genommen
und durch 7 getheilt: nach einem andern Buche des Heron
finde man sie, wenn man das Quadrat der Seite mit 5 vervielfache
und durch 3 theile. Das Sechseck habe zur Fläche das Quadrat der
Seite 13mal genommen und durch 5 getheilt; anders in einem

anderen Buche, wo die Vorschrift sei und — des Seitenquadrats

ßfach anzusetzen. Eine dem andern Buche entnommene Stelle

') Heron, Geometria 102 (od. Hultsch) pag. 134.

Heron von Alexandria. (Fortsetzung.) 365

über den Kreis besprechen wir noch in diesem Kapitel in anderem
Zusammenhange. • Weitere Beweise werden wir bei Nachahmern
Herons auf anderem Boden liefern können.

Von der Form Herons können wir kurz sagen, sie sei voll-
ständig ägyptisch, und manches liest sich geradezu wie eine Ueber-
setzung ähnlicher Dinge aus dem Rechenbuch des Ahmes. „Mache
es so" waren fast regelmässig die Worte, in welche Ahmes seine
Auflösungen einkleidete (S. 24) und „Mache es so", rcoCsi ovrojg,
sagt Heron zu demselben Zwecke. Eine eigentliche Vorschrift findet
sich bei Ahmes nur in den seltensten Fällen (S. 23); kaum anders
bei Heron, der dem Leser meistens auch die Pflicht auferlegt, aus den
vielfältigen Beispielen für ein und dieselbe Aufgabe sich eine Regel
herauszuschälen. Merit heisst bei Ahmes die obere Linie einer ffe-
zeichneten Figur (S. 55); Scheitelhnie, xoQVfp-q, nennt sie Heron
und definirt gradezu, Scheitellinie sei die oberhalb der Grundlinie
hingelegte Gerade^). Das gleichschenklige Paralleltrapez war seit
Ahmes bis zu den Edfüinschriften eine von den Aegyptern bevor-
zugte Figur (S. 56 und 66); Heron widmete derselben Figur in der
Geometrie neun aufeinanderfolgende KapiteP). Ahmes zerlegte Figuren
durch Hilfslinien in Figuren einfacherer Natur, wie es scheint, wenn
auch die genaue Uebersetzung der betreffenden Aufgaben noch nicht
möglich ist;. die Tempelvorsteher von Edfu übten dieselbe Zerlegung
bei Berechnung ihrer Felder; Heron bedient sich der Zerlegung
durch Hilfslinien zur Messung von unregelmässig begrenzten Grund-
stücken in der Abhandlung von der Dioptra, löst gleicherweise ver-
schiedentliche planimetrische Aufgaben in der Geometrie. Bei den
Aegyptern heisst das Wort Qa, dessen Hieroglyphe ein die Arme in
die Höhe streckendes Männchen ist, sowohl Höhe als allgemeiner die
grösste Ausdehnung eines Raumgebildes (S. 58); genau dasselbe gilt
für das Wort ^af'Jxog der Alexandriner^), bei Heron steht sodami der
grösseren Höhenabmessung die Breite, %Xdrog, als geringfügigere Aus-
dehnung gegenüber, wie besonders deutlich aus einer Stelle seiner
Geometrie hervorgeht, wo nach Einzeichnung zerlegender Hilfslinien
in eine Figur, ohne dass eine Drehung vorgenommen wäre, plötzlich
Höhe heisst, was in der migetheilten Figur Breite war^), offenbar
nur deswegen, weil durch die Theilung die wirkliche Höhe abnahm,
so dass sie geringer als die imverändert gebliebene Breite wurde.

') Heron, Geometria 3 (ed. Hnltsch) pag. 44 KOQV(pi] Ss teriv i] siil ry
ßäaei tniTid-t^svr] Ev&fta. ^) Heron, Geometria 72—80 (ed. Hultsch) pag.
103—108. ^) In der Geographie des Ptolemäus I, C (ed. Halma) pag. 17 heisst
es ausdrücklich ncc^^ölov (ihv rf/ [lei^ovt xwv diaczdoi^wv TtQOGänxo^tv xb ^ifj-Aoq.
*) Heron, Gtomeiriu 47, 48 (ed. Hultsch) pag. 88.

366 19- Kapitel.

Bei Ahraes war von Flächen zuerst das Quadrat, dann das Dreieck,
dann das aus dem Dreiecke durch Abstumpfung, gewonnene Trapez
zur Ausmessung gebracht (S. 56); in den Edfuinschriften ergab sich
eine Veränderung dahin, dass das Dreieck als Trapez mit einer ver-
schwindenden Seite aufgefasst wurde (S. 69); Heron bleibt dem Bei-
spiele des Ahmes getreuer als selbst die priesterlichen Landsleute:
bei ihm geht, wie wir bei flüchtiger Schilderung der Reihenfolge der
in seinen Schriften behandelten Gegenstände wiederholt bemerken
mussten, die Flächenausmessung des Quadrats, demnächst, auch des
Rechteckes voraus; ihnen folgt das Dreieck in seinen verschiedenen
Formen, und nach diesem kehrt die Betrachtung zum Trapeze und
zu andern Vierecken zurück, dieselben zwar nicht als abgestumpfte
Dreiecke untersuchend, aber Verwandlungen und Theilungen durch
Hilfslinien mannigfach vornehmend, wie wir schon betont haben.
Ahmes hat, worauf wir wiederholt gleichfalls aufmerksam machen,
Maassvergleichungen (S. 52), Heron desgleichen. Ahmes bedient

2
sich ausschliesslich der Stammbrüche, zu welchen auch — gezählt

wird (S. 24); Heron verfährt vorzugsweise ebenso, wenn er auch im
Stande ist, Brüche mit beliebigem Zähler und Neuner in Rechnung
zu bringen, ohne sie vorher in eine Summe von Stammbrüchen zu
zerlegen. Die Hauaufgabe Nr. 28. des Ahmes (S. 37) hat den Wort-

2.1 . . '. ' •

laut „— hinzu, -^ hinweg bleibt 10 übrig"; wir erklärten sie durch

2 12

(po 4" -s-»^) ^(^ + ~^)= 10; man vergleiche damit etwa die

Art, wie in den Ausmessungen ein Kreisbogen aus Sehne und Höhe
desselben berechnet wird^): „Es sei ein Abschnitt, und er habe die
Grundlinie von 40 Fuss, die Höhe von 10 Fuss; seinen Umfang zu
finden. Mache es so. Füge immer Durchmesser^) und Höhe zu-
sammen. Es entstehen 50 Fuss. Nimm allgemein davon -- weg.

Es ist 12--' Rest 37—- Zu diesen füge allgemein — hinzu. Es

ist 9—--- Setze zusammen. Es sind Fusse 46— — — - So viel misst

4: O Z 4: O

der Umfang des Abschnittes. Wir haben aber ein Viertel weg-
genommen und ein Viertel hinzugefügt, weil ein Viertel der Theil ist
der Höhe von der Grundlinie." Als Gleichung übersieht sich diese
Vorschrift noch deutlicher in ihrer Aehulichkeit zu der Ausdrucks-
weise des Ahmes. Sie lautet

') Heron, Mensurae 33 fitT^rjcig tTf'eou xfirniarog (ed. Hultsch) pag. 199
bis 200. *) Soll heissen: Gi-uiuUiuie.

Heron von Alexandria. (Fortsetzung.) 367

£ = [(s 4- /O -li^ + ^O] + ~ [(^ + ^0 - T (^ + ^'\

wenn s die Seline, h die Höhe, B die Bogenlänge des betreffenden
Abschnittes bedeutet.

Alle diese Aehnlichkeiten vereinigt dürften jeglichen Zweifel an
einer unmittelbaren Abhängigkeit Herons von altägyptischen Form-
gewohnheiten vernichten. Was wir früher (S. 261) schon ankün-
digten, hat sich bestätigt: die Form der arithmetisch-geometrischen
Beispielssammlung, eine in sich abgeschlossene von der anderer Werke
sich wesentlich unterscheidende Form ist durch und durch ungrie-
chisch, ist altägyptisch, und damit gewinnt die andere Vermuthuug
erneuerte Wahrscheinlichkeit, es dürfte mit der Form des theoretisch-
geometrischen Lehrbuches, mit der Form der Elemente, sich ganz
ebenso verhalten.

Ein Anderes freilich gilt für den Inhalt der heronischen Samm-
lungen, welcher näher in Erwägung gezogen neben mancher über-
raschenden Aehulichkeit auch manche bei den Fortschritten, welche
die Geometrie gemacht hatte, ziemlich selbstverständliche Ab-
weichungen von dem ägyptischen Verfahren offenbart. Von über-
raschender Aehnlichkeit ist die Anwendung der beiden Formeln

^^^^ X ^ und "Ljt^ X ^_^ (S. 69) zur Auffindung der Fläche

eines Dreiecks oder Vierecks, welche wir in den Ausmessungen und
in dem Buche des Landbaues wiederfinden^). Dass Heron sie gelehrt
haben sollte, war uns früher so unglaublich, dass wir dieselben für
EinSchiebungen eines Compilators hielten. Man hat uns entgegnet"),
es sei für Heron umgekehrt gradezu unmöglich gewesen, in
Aegypten in einer vollständigen Sammlung von geometrischen Rech-
uungsverfahren jene Formeln wegzulassen, und wir gestehen zu, dass
diese Umkehrung der geschichtlichen Wahrheit wohl näher kommen
dürfte als unsere erste Meinung. Wir neigen nunmehr selbst der
Auffassung zu, auch diese theoretisch zwar unhaltbaren, praktisch
aber mitunter ganz erträglichen Näherungsverfahren habe Heron
neben den theoretisch richtigen Formeln gelehrt, die meistens nicht
unmittelbar zum Ziele, d. h. zur Kenntniss der verlangten Flächen-
räume führten, sondern vorher die Berechnung von Hilfsstrecken, als
Höhen und dergleichen nöthig machten. Vielleicht mag sogar die
vorzugsweise sogenannte heronische Dreiecksformel ihre Entdeckung

^) Die Dreiecksformel in den Mensurae (ed. Hultsch) pag. 207, lin. 1—5;
die Vierecksformel in dem Liber Geeponicus (ed. Hultsck) pag. 212, lin. 15 — 21.
^) Agrimensoren 4.S und dagegen S. Günther in der Beilage zur Allgemeinen
Zeitung Nr. 81, vom 21. März 1876, *

368 19- Kapitel.

dem Bedürfnisse verdankt haben aus den drei Dreiecksseiten un-
mittelbar, aber richtiger als mittels --^^^ — ^ X ^ ^i© Dreiecksfläche
zu gewinnen.

Einen wesentlichen Nachtheil besass freilich in den Augen des
handwerksmässigen Feldmessers die heronische Formel gegenüber von
der der Aegypter: sie verlangte eine Wurzelausziehung. Die Aus-
führung dieser Operation überschritt, wie wir wissen, die Höhe des
gemeinen Rechnens. Schriftstellerische Arbeiten wurden ihr ge-
widmet, von deren einstigem Vorhandensein wir Kenntniss erlangt
haben, wenn sie auch selbst uns verloren sind. Um eine solche
Vielen Missbehagen erzeugende Rechnungsaufgabe herumzukommen
war fast Noth wendigkeit, wenn Praktiker mit der Ausführung be-
traut gewesen wären, und so blieben Näherungswerthe für häufig
auftretende ein für alle Mal berechnete Quadratwurzeln in Gebrauch.

Wir haben in |/2 = — ein Beispiel kennen gelernt, welches (S. 211)
vielleicht schon zu Piatons Zeit in Uebung war, wir haben auch
j/S == — hervorgehoben, auf dessen Entstehung wir (S. 302) viel-
leicht einiges Licht werfen durften. Beide Näherungswerthe hat
Heron selbst anzuwenden nicht verschmäht, er, der doch imter die
Schriftsteller zählt, die über Ausziehung der Quadratwurzeln schrieben.

Den Näherungswerth "|/2 = - glauben wir im Buche des Land-
baues an zwei verschiedenen Stellen zu erkennen^). Die erstere Stelle
behandelt das rechtwinklige Dreieck von den Seiten 30, 40, 50, bei
welchem 50 = ]/3Ö^ + 40" sei; aber, heisst es weiter, es ist auch
50 = (30 -{- 40) • 5 • -y- Will man diese Ausrechnung nicht für

haaren Unsinn nehmen, so kann man ihre Entstehung nur folgender-
massen erklären. Im gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecke von den

Seiten c, c, h ist /^ == c • ]/2 == —4: == ^^ ^ = ip -\- c) • 5 • y Daraus

Avurde tiun weiter geschlossen, dass auch bei ungleichen Katheten Cj
und Cjj gerechnet werden dürfe h = {c^^ -\- c.^ • b • , ein Schluss, der
uns bei Leuten, die gewohnt waren, in ungerechtfertigter Weise
arithmetische Mittel ungleicher Seiten einer Figur in Rechnung zu
ziehen, nicht sonderlich auffallen kann. Die andere Stelle werden
wir weiter unten besprechen.

Die Anwendung, welche Heron von ]/3 == ^ macht, tritt bei den

') Heron, Liher Geeponicus 50 und 152—153 (od. Hultsch) pag. 212, liu.
28—30 und pag. 226, lin. 9—16.

Heron von Alexandria. (Fortsetzung.) 369

auf das gleichseitige Dreieck bezügliclieii Aufgaben hervor. Die Höhe
desselben ist offenbar gleich dem Produkte der Seite in -^]/3 und

13 . "2 1.

dafür setzt Heron j^, sei es nun, dass er dafür ^ ,-, sei es, dass

er 1 — — — o« dafür schreibt. Die Höhe des gleichseitigen Drei-

10 30 ° °

ecks, sagt er ausdrücklich^), sei 1 — — — «a^^^ ^^^ Seite, und die

andere Werthform ist in der wiederholt auftretenden Angabe ent-
halten, die Fläche des gleichseitigen Dreiecks, mithin das Produkt

der Seite in die halbe Höhe, sei -^tt vom Quadrat der Seite^).

o 10 ^

Namentlich die Form der letzteren Vorschrift kehi-t bei Nachahmern
Herous fortwährend wieder.

Für spätere Vergleichungen müssen wir auch die bei Heron vor-
kommenden aneinanderhängenden rechtwinkligen Dreiecke^),
TQiycova oQQoyavLCi rjvanava'^), uns bemerken, worunter muthmass-
lich zwei rechtwinklige Dreiecke mit rationalen Seiten gemeint sind,
welche eine Kathete gleich haben, und an dieser zusammenstossen,
so dass die beiden andern Katheten als gegenseitige gradlinige Fort-
setzungen von einander erscheinen.

Bei der Dreiecksberechnimg finden der Abschnitt, aTtoro^i],
und die Ueberragung, sxßXrjQstaa, häufige Anwendung. Bedeuten
h die Grundlinie, a, c die beiden anderen Seiten des Dreiecks und
a, e den Abschnitt, die Ueberragung von der einen oder der anderen

Richtung her an a anstossend, so rechnet Heron a = — ^

^ 2& '

c" — b- — a-

2b
Bezüglich der Vielecke erwähnten wir Formeln, welche die Fläche
des regelmässigen Vielecks als Produkt des Quadrates der Seite in
gewisse Zahlengrössen finden lassen. Jedenfalls scheint das über-
einstimmende Auftreten wenigstens einiger dieser Formeln in den
3 Sammlungen der Geometrie, der Ausmessungen und des Buches
des Landbaues ^') genügende Gewähr für den echt heronischen Ur-
sprung, und somit haben wir hier die ältesten auf uns gekommenen

^) Heron, Gcometria 15 (ed. Hultsch) pag. 58, lin. 26—28. ^) Heron
Geometria 14 und Geodaesia 13 (ed. Hultsch) pag. 58 und 147. '') Heron
Geometria 13, 4 und Geodaesia 12, 4 (ed. Hultsch) pag. 58 und 147. ■^) Das
selten vorkommende ■i)V(on,hov ist von evöat abzuleiten, welches selbst von tv
(eins) abstammt und vereinigen heisst. ^) Heron, Geometria 102, Mensuroe
51—53, Liber Gec2wnicus 75—77 und 172 — 179 (ed. Hultsch) pag. 134 206
218, 229.

Cantok, Geschichte der Mathematik I. 2. AuH. 04

370 19- Kapitel.

trigonometrischen Formeln vor uns. Heisst F,^ die Fläche des
regelmässigen n ecks von der Seite a„ und c„ der Zahlencoefficient,
mit welchem «„^ vervielfacht werden muss um die Gleichung

n 180"
zu liefern, so ist, wie man leicht einsieht, c„ = - • coto- • Be-

7 7 ' 4 " W

rechnet mau darnach die aufeinanderfolgenden c auf je 6 Decimal-
stellen und stellt daneben die heronischen Werthe in ihrer ursprüng-
lich auftretenden Form und daneben gleichfalls in Decimalbrüche von
6 Stellen umgewandelt, so erhält man nach Heron:

Cg = 1^ = 0,433 333 richtig ist c.^ = 0,433 012

c^ = 1 = 1,000 000 C4 = 1,000000

Cg = Y = 1,714 285 und = y = 1,666 666 Cg = 1,720477

1 ^
Cß = y = 2,600000 Cg = 2,598 176

c, =^= 3,583 333 c^ = 3,633 910

Cg = ^ = 4,833 333 c« = 4,828 427

Cy = y = 6,375 000 und = 'f — 6,333 333 c^ = 6,181 824

Cio = Y == 7,500 000 c,o = 7,694 208

c^i == y = 9,428 571 c,, = 9,370 872

^2 = Y = 11,250 000 c,2 =11,196 152

wodurch die meistens recht genügende Annäherung hervortritt. Dass
Heron solche Rechnungen vollziehen konnte, setzt uns nicht in Er-
staunen; wissen wir doch (S. 346), dass Hipparch eine Sehnentafel
berechnet hatte, d. h. dass die Coefficienten /i„ bekannt waren, mit
deren Hilfe «„ = ]c„ • r war, wo r den Kreishalbmesser bedeutet.

Nun ist c„ = -.-]/ 1 — 2 — 1? ^^^^ so war der Theil der Rechnung,

welcher für Heron übrig war, bei seiner Gewandtheit im Ausziehen
von Quadratwurzeln ein verhältnissmässig unbedeutender. Eine Ab-
änderung der Hipparchischen Ergebnisse, welche Heron vornahm, ist
von geschichtlicher Bedeutung. Hipparch und schon vor ihm Hypsikles
bedienten sich (S. 344) der Sexagesimalbrüche , Heron der gewöhn-
lichen Brüche. Das beweist uns, . was auch anderwärts sich bestätigt,
dass die Sexagesimalbrüche bei den Griechen dem gewöhnlichen
Leben fremd blieben, dass sie von Anfang an waren, als was man

Heron von Alexandria. (Fortsetzung.) 371

sie später noeli benannte: astronomisclie Brüche, dass überliaupt
die Trigonometrie zunächst ein Kapitel der Astronomie bildete und
keineswegs dazu diente, auch auf der Erde Dreiecke oder aus Drei-
ecken zusammengesetzte Figuren einer Berechnung zu unterwerfen.

Wir haben die Formel c„ = xj/ F~^ — ^ angeschrieben. Ob

Heron sich ihrer zur Auffindung seiner Coefficienten c wirklich be-
diente, ob er überhaupt diese Coefficienten mittelbar der Sehnentafel
entnahm oder sie in irgend einer Weise unmittelbar ableitete, darüber
fehlt uns jede, auch die leiseste Andeutung. Man sollte sagen, die
eigenthümliche Formel (S. 367) zur Auffindung der Bogenlänge aus
Sehne und Höhe eines Kreisabschnittes müsse auf die Spur von
Herons Verfahren führen können, doch ist uns das Errathen nicht
gelungen.

Ausser dem Flächeninhalt des regelmässigen necks war unter
allen Umständen der Halbmesser r, der Durchmesser d des umschrie-
benen Kreises von Wichtigkeit. Offenbar lehrte die Sehnentafel

durch einfaches Nachschlagen a„ = ^^ — und so wird der heronische
Ursprung der im Buch des Landbaues sich vorfindenden^) Formeln
a„ = — und d == —^, noch dazu durch einen Mangel an Folge-
richtigkeit bei n = 8 entstellt, indem es a^ = — heisst, ungemein

verdächtig. Nur bei « = 6 ist a^ = r = — , aber die Ausdeh-
nung dieses einen zufälligen Ergebnisses zur allgemeinen Formel
kann Heron unmöglich verschuldet haben. Wir können die Ueber-
zeugung dieser Unmöglichkeit selbst durch Erinnerung an zwei
andere Angaben Herons über das regelmässige Achteck stützen,
welche ohnehin der Erörterung unterzogen werden müssen.

In demselben Buche des Landbaues, in welchem die falschen
Formeln sich breit machen, ist nur wenige Seiten später die Regel
gegeben'"^), man solle zur Construction eines regelmässigen Achteckes
sich eines Quadrates mit seinen Diagonalen bedienen. Die Hälfte
der Diagonale von jedem Endpunkte des Quadrates aus auf den
beiden in ihm zusammentreffenden Seiten des Quadrates aufgetragen
liefern 8 Punkte, welche mit einander verbunden das regelmässige
Achteck geben.

Eine zweite Angabe über das regelmässige Achteck findet sich

*) Heron, Liber Geeponicua 146 — 164 (ed. Hultsch) pag. 225—228.
^) Ileron, Liher Geeponicus 199 ^ixqriCLq ÖKtccywvov (ed. Hultscli) pag. 231.

24*

372 19. Kapitel.

in der zweiten stereometrischen Sammlung^), wo bei Gelegenheit der
Ausmessung des Körperinlialtes der Pyramide auf achteckiger Grund-
fläche von der Formel (jf = (l^^ (l)' + y)'+ ft)' ^^ebrauch
gemacht wird.

Bevor wir den Zusammenhang dieser beiden richtigen Behaup-
tungen nachweisen, wollen wir zeigen, dass die letztere mittels eines

bd
12

Rechenfehlers zu der einen abweichenden Achtecksformel a^ = —
im Buche des Landbaues Anlass gab. Setzen wir nämlich ]/2 = — ,

so w..d (y'sl)^ +ß+ (|J= (]- . ;• + f )' + (1)^ 1

= — (--) =(— ^1 und da dieser Werth das Quadrat von^

5
sein soll, so ist «s = Ts ^* Daraus kann aber sehr, leicht irrthüm-

p. ♦

lieh öo == — d entstanden sein. Gibt man uns dieses zu, so ist hier

» 12 '

die zweite Anwendung von ]/2 = — bei Heron nachgewiesen, welche

wir (S. 368) angekündigt hatten.

Man könnte freilich einen Einwand erheben, indem man sagte

13 ' 24 29

d == -^ a^ führe zu F^ = ^ a^, während doch Heron F^ = ~ a^

rechne. Allein dieser Widerspruch scheint uns geduldet werden zu
müssen. Wir geben nämlich zu bedenken, dass weder d noch F^
genau richtig, sondern nur angenähert berechnet sind, und dass die
Einsetzung eines Näherungswerthes in eine zweite Näherungsformel
nicht immer zu den gleichen Ergebnissen führt, wenn sie in einem
früheren oder in einem späteren Augenblicke erfolgt. Jedenfalls

weicht Cg = ~| = 4,833 333 von dem wahren Werthe Cg = 4,828 427

weniger ab als Cg == — = 4,800 000.

Die beiden richtigen Behauptungen über das Achteck lassen nun
eine Ableitung mit Hilfe einer und derselben Figur zu, welche ein Ein-
wohner Aegyptens oft zu sehen in der Lage war, und deren Anblick
einen Mathematiker umgekehrt auf die Erfindung jener beiden Sätze
bringen konnte. Die Figur, welche wir meinen, ist die (Figur 9)
zweier einander symmetrisch durchsetzender Quadrate, ein, wie wir
uns erinnern (S. QQ), häufiges Gewebemuster. Dass die Schnitt-

') Heron, Stereotnetrica II, 37 nvQCCfii'öa ItcX o-araymvov ßäascog ßBßrjKvtav
(i^TQycat, (ed. Hnltsch) pag. 184, lin. 10-17.

Heron von Alexandria. (Fortsetzung.) 373

punkte dieser Quadratseiten ein regelmässiges Achteck in der Figur
erscheinen lassen, ist augenscheinlich. Eines Beweises bedarf (Fig. 66)
nur die Behauptung aß ==■ ßy und ferner die
zwischen ay = ^ und yd = ^y aufgestellte Glei-
chung. Der Achteck winkel bei y ist 135°, dessen
Hälfte c<yß, mithin Ql-^. Ferner ist der Win-
kel aßy die Hälfte eines rechten Winkels oder
45'', und demnach yaß = 180°— 67^° — 45°
= 67-^° = ayß, folglich aß = ßy. Zweitens ist ^"^- ^^■

ay'^ = a^^ -(- yd^. Dabei ist a8 = ß8 = ß£ -\- ^8 = ße -\- y8 und
^£2 _ ^^2 _|_ ^^2 _ 2^6^ _ 2y8% mithin «/ = (l/27ö^ + y^y
-\- yd'^ y was zu beweisen war. Wir werden im 26. Kapitel noch
deutlicher erkennen, dass in der That ein dem hier gegebenen Beweise
sehr ähnlicher von unserer Figur ausgehender Gedankengang zu den
beiden heronischen Sätzen vom Achtecke geführt haben muss. Wenn
wir heronische Sätze sagen, so meinen wir begreiflicherweise solche,
die uns am frühsten bei Heron begegnen, ohne Herons Erfindung
für die möglicherweise noch älteren Wahrheiten ausdrücklich in An-
spruch zu nehmen.

Haben wir hier eine, wie sich herausstellte, wichtige Zwischen-
bemerkung aus der zweiten stereometrischen Sammlung in Betracht
ziehen dürfen, so liefern uns die eigentlich stereometrischen Angaben
als solche im Allgemeinen wenig Ausbeute. Es mag ja immerhin
sein, dass eine Vorschrift, welche in den Ausmessungen sich findet'),
eine nicht regelmässige Oberfläche, etwa die einer Bildsäule zu
messen, indem mau Leinwand oder Papier herumwickle, welches dann
ausgebreitet als Maass diene, uralten Ursprung verrathe, viel wird
mit diesem Bewusstsein nicht gewonnen sein. Dass wir aber den
stereometrischen Aufgaben so wenig abgewinnen können, hat einen
zweifachen Grund. Bald steht ungenügende Verständniss, welche
Körper eigentlich gemeint seien, hindernd im Weg, bald die That-
sache, dass recht viele Rechnungsergebnisse, auch wo sie verständ-
lich sind, sich als falsch erweisen. Der Diorismus, ob eine Aufgabe
wie die gestellte überhaupt möglich sei, ist nicht selten versäumt.
So ist z. B. eine abgestumpfte Pyramide mit rechteckiger Grund-
fläche zur Ausrechnung vorgelegt'*^), deren untere Fläche aus den
Seiten 14 und 20, die obere aus den Seiten 2 und 4 gebildet wird.

^) Heron, Mensur ae 46 (ed. Hui t seh) pag. 204. ^) Heron, Stereometrica
I, 35 (ed. Hultsch) pag. 163.

374 19. Kapitel.

wäkrend dieser Körper bei maugelnder AelmlicKkeit der beiden
Flächen gar nicbt als Pyramidenstumpf aufgefasst werden kann-, der
Körper gebort vielmebr zu denjenigen, welche deutsche Stereometer
Obelisken zu nennen pflegen. Die räumliche Ausmessung der
Obelisken findet allerdings nach der gleichen Formel statt, als hätte
man es mit einem Pyramideustumpf zu thun, doch glauben wir
kaum, dass Heron dieses schon wusste und die Worte TtvQanlg
KoXovQog sl'rovv rj^Ltsl^g (abgestumpfte oder halbfertige Pyramide)
in der Meinung gebrauchte, es sei hier von zweierlei die Rede.
Wer so weit zu gehen geneigt wäre, müsste jene Worte übersetzen:
von Pyramidenstumpfen und ihnen nur verwandten Gestaltungen.

Unmittelbar vor dieser Stelle ist eine andere^), bei welcher der
mangelnde Diorismus zum erstmaligen Erscheinen einer Quadrat-
wurzel aus einer negativen Zahl geführt hat, welches in der
Geschichte der Mathematik hat nachgewiesen werden können. Der
Körpef inhalt I einer abgestumpften Pyramide von quadratischer Grund-
fläche wird gesucht. Nennt man nun a^^ die Seite des unteren
grösseren, «2 die Seite des oberen kleineren Quadrates, h die Kante
des Pyramiden stumpfes, H dessen senkrechte Höhe, Ji, die Höhe einer
der parallelotrapezischen Seitenflächen, so ist offenbar

^ yj,^ _ {"^y, H = ]/h^ - {^~-^y

oder auch H=yk^ — "i" ('^i — ^2)^

und endlicli I=H- \i(^^y + | (^^^^^

Eine Ableitung dieser Formel findet so wenig statt wie die irgend
einer anderen (mit Ausnahme der in der Abhandlung über die Dioptra
bewiesenen heronischen Dreiecksformel), aber sie wird in einem ersten
Beispiele, in welchem a^ = 10, «2 = 2, h = 9 gewählt ist, mit
gutem Erfolge angewandt. Es erscheint nämlich

J2-=]/92 — i- (10 — 2)2 = 7

und daraus 7= 7 [('± t?)^ + ^ {^f] = 2B9|.
Der Grund der Brauchbarkeit liegt darin, dass, wie es aus der Formel
für H hervorgeht, k^ > -- (a^ — a^^Y sein muss und bei den an-
gewandten Zahlenwerthen auch ist. Geometrisch heisst das: ein
Pyramidenstumpf mit quadratischen Grundflächen existirt nur dann,
wenn bei senkrechter Projicirung der oberen Fläche auf die untere

') Heron, Stereometrica I, 33 und 34 (ed. Hultsch) pag. 162 — 163.

Heion von Alexandria. (Fortsetzung,) 375

zwischen zwei benaclibarteu Eckpunkten der ursprünglicli unteren
Fläche und der Projektion eine Entfernung obwaltet, die kleiner ist
als die Kante des verlangten Stumpfes. In einem zweiten Beispiele
mit a^ = 28, a.^ = 4, Z; = 15 findet dieses aber nicht statt; es ist

vielmehr 15^ < ^ (28 — 4)1 Der Rechner, der an der Formel, welche
H unmittelbar aus «j, a^, l' liefert, diese Schwierigkeit bemerkt haben
mag und sich ihr nicht gewachsen fühlte, suchte sich durch einen

Umweg über h zu helfen. Er rechnete h =l/l5"- — ( — ^^j = 9,

worauf er H =1/ \^^ — ') ~ ^^^ ^= V^ = 8 weniger — setzte. Mit

anderen Worten: die von Rechtswegen negative Differenz 81 — 144
unter dem Quadratwurzelzeichen wird zur absoluten Differenz der
beiden Zahlen 81 und 144; es wird ]/ — 1 = 1 gesetzt. Ob dieser
Rechner Heron war, ob damals die Stereometrie noch immer ein
weniger übliches Kapitel mathematischer Untersuchungen bildete und
insofern einem so hervorragenden Manne der Fehler den Diorismus
vernachlässigt zu haben begegnen konnte, oder ob hier Unwissen-
heit der Abschreiber sündigte, dürfte nicht zur Entscheidung ge-
bracht werden können. Welche von beiden Annahmen aber auch
der Wahrheit entsprechen mag, unter allen Umständen haben wir
hier das älteste Auftreten des sogenannten Imaginären vor uns.

Wenden wir uns zu den Beispielen, in welchen der Kreis vor-
kommt, so tritt die Verhältnizszahl jc, welche fast bei allen solchen
Kreisaufgaben eine Rolle spielt, in zweifachem Werthe auf. Weitaus

22 . '

am häufigsten ist ;t = -y angenommen, aber im Buche der Aus-
messungen^) ist regelmässig 7t = o. Wir haben (S. 101) den baby-
lonischen Ursprung dieses Werthes zu begründen gesucht. Und der

ägyptische Werth, kann man fragen, n = i—j , welchen Ahmes an-
gewandt hat (S. 57), kommt er nirgend vor? Nein, und wenn es
auch insgemein misslich ist, negative Erscheinungen erklären zu
wollen, hier wären wir am wenigsten in Verlegenheit, einen eiu-

22 /16\2

leuchtenden Grund anzugeben. Die Neuerung n =^ y statt jr = (— j

war durch die grössere Genauigkeit der Ergebnisse bedeutsam, aber
was die Rechnungsausführung betrifft, kaum redenswerth. Ob der
Praktiker mit dieser oder mit jener gebrochenen Zahl vervielfachte,
das konnte ihm gleich sein. Ei musste aus Bequemlichkeit alte und
neue angenäherte Dreiecks- und Vierecksformehi ohne Wurzelausziehung

') Heron, Mensur ae (ed. Hultsch) pag. 188 sqq.

376 19- Kapitel.

festzuhalten siiclieu, um jeuer für ihu scliwierigeu Rechumigs-
operation zu entgeheu. Er musste jr = 3 als gauzzahligen Multipli-

256
kator vorzieheu. Aber class er nicht auf % = ^ zu Gunsten von

7t = Y verzichten sollte, dafür gab es gar keinen Grund.

Eine Stelle, welche auf den Kreis sich bezieht, verdient aus
mehrfachen Gründen eine nähere Besprechung. Es ist dieselbe Stelle,
welcher wir (S. 365) im voraus unsere Aufmerksamkeit zusicherten,
als wir von der zweiten Ausgabe der Geometrie Herons sprachen^).
Es handelt sich um Berechnung des Kreisdurchmessers d aus der
Summe S der in einer Zahl vereinigten Kreisfläche K, Peripherie P
und Durchmesser d selbst. Die Thatsache der durch S angedeuteten
Summenbildung ist an sich eine höchst merkwürdige. Eine Flächen-
grösse und zwei Läugenausdehnungen zu vereinigen Aviderspricht dem
geometrischen Bewusstsein und ist nur denkbar, wenn wir zugeben,
dass Heron hier auf durchaus algebraischem Boden stand, dass
ihm die Zahleuwerthe als solche und ohne Rücksicht auf ihren geo-
metrischen Ursprung dienten. Unter dieser Voraussetzung gestattet
aber Herons Rechnungsergebniss sein Verfahren rückwärts zu er-
gänzen. Er rechnet d = ^V^ — • Bekanntlich i^i K = -?- d^,

o 11 4 '

P = Ttd, folglich ist S=^K-^P-j-d='^d'-{-(7C-{- l)d, und er-
setzt mau n hierni durch ^ ; ^o ist die nach d quadratische Gleichung

ih,P^fd=S

der Auflösung unterbreitet. Nun sind von vorn herein zwei Wege
zur Aullösung vorhanden. Entweder man dividirt die Gleichung

durch —T um eine neue Gleichung zu erhalten, in welcher das quadra-
tische Glied den Coefficienten 1 besitzt, oder man vervielfacht die
Gleichung mit einer derartigen ganzen Zahl, dass im Produkte das
quadratische Glied einen ganzzahligeu quadratischen Coefficienten be-
sitze, während auch im Uebrigen nur ganzzahlige Coefficienten auf-
treten. Den letzteren Weg wird vorziehen, wer das Rechnen mit
Brüchen so lange als möglich hinausschiebt. Befolgen wir ihn, so
haben wir mit 14 mal 11 zu vervielfachen und erhalten 121 d^ -\-
6md = 154.S', daraus ferner 121(^- + 638f? + 841 = 1545' + 841

') Heron, Geometria lül, 7— i) (ed. Hultsch) pag. 133, lin. 10—23. Das
ganze Kapitel 101 trägt in der ältesten und besten Handschrift den Titel:
OQog kv-kXov ivQsd'tig tv aXXoi ßißluo rov 'Hqwvos.

Heron von Alexandria. (Fortsetzung.) 377

oder (Ud -{- 29)' = 1545 + 841. Daraus entstellt der Reihe nacli
11 ^ + 29 = yi54/S+ 84l, 11 d = 1/154 >S+ 841 -« 29, endlich mit

Heron d = -^^ — ~. — Damit ist also der Beweis geliefert,

dass jedenfalls Heron die unreine quadratische Gleichung
dx'^ -^ J)X = c bereits als Rechnungsaufgabe betrachtete,
wenn man Euklid (S. 271) und Archimed (S. 301) diese Kenntniss
zuzugestehen sich nicht entschliessen wollte. Von Heron steht es
jetzt fest, dass er die unreine quadratische Gleichung ax^ -\- hx ^^ c
zu lösen verstand, und dass die Ergänzung zu einem vollständigen
Quadrate auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens so erfolgte, dass

iax + ,7) = «c -}- (v) gesetzt wurde, woraus

i/-+(ir-i

X =

gefolgert wurde, nachdem schon am Anfange, wenn nöthig, solche
Multiplikationen vorgenommen waren, welche a, b, c zu ganzen Zahlen
zu macheu sich eigneten.

Allerdings setzen diese Schlüsse, deren grosse Tragweite Niemand
verkennen wird, Eines voraus: dass Heron wirklich der Urheber der
besprochenen Aufgabe sammt ihrer Auflösung war. Wir sehen jedoch
keine Veranlassung dieser Voraussetzung zu widersprechen. Wir
haben zu zeigen gesucht, dass schon Euklid unreine quadratische
Gleichungen, allerdings in vollständig geometrischem Gewände, nicht
fremd waren. Die Aufgabe , an welche wir gegenwärtig unsere
Folgerungen knüpften, steht in derjenigen Sammlung heronischer
Schriften, welche die verhältnissmässig grösste Zuverlässigkeit be-
sitzt. Sie stammt aus dem anderen Buche Herons, in welchem
wie wir im 26. Kapitel sehen werden, höchst wahrscheinlich noch
eine Aufgabe enthalten war, bei der es gleichfalls auf die Summe
zweier Stücke, gleichfalls auf eine quadratische Gleichung ankam.
Sie steht mitten unter anderen Aufgaben vollkommen heronischen
Gepräges. Sie ist so gefasst, dass erst eine kleine Ueberleguug die
Ueberzeuguug beibringen kann, dass die Stelle überhaupt richtig ist
und auf einer quadratischen Gleichung beruht, ein in unseren Augen
sehr schwer wiegender Grund spätere Einschieb ung auszuschliessen.
Und zu allen diesen die bestimmte Aufgabe betreffenden Erwäeruugen
kommt eine allgemeine Erscheinung hinzu, deren Erwähnuug wir ab-
sichtlich bis zum Schlüsse dieses Kapitels aufgeschoben haben, weil
sie den abschliessenden Bemerkungen über Herons schriftstellerische
Thätigkeit schon angehört: die Entwicklungen Herons sind in den

378 20. Kapitel.

verschiedensten Kapiteln so aneinander gereiht, dass man sich dem
Gedanken nicht verschliessen kann, jeuer Mathematiker habe eine
Formel aus der anderen gleichungsmässig hergeleitet, nicht eine jede
für sich geometrisch ermittelt, und diese Ueherzeugung bricht sich
insbesondere bei den Aufgaben Bahn, in welchen der Kreis in Be-
tracht kommt.

So haben wir mit steigender Achtung die Leistungen Herons
von Alexandria durchmustert, des Mannes, der es reichlich verdiente,
dass seine Schriften als Lehrgebäude der Geodäsie durch viele, viele
Jahrhunderte unmittelbar oder mittelbar ihre Wirksamkeit behielten.
Er ist und bleibt uns der vorzugsweise Vertreter antiker Feldmess-
kunst und Feldmesswissenschaft, wenn ersteres Wort uns die
Lehre von den eigentlichen feldmesserischen Operationen, letzteres
die von den anzuwendenden Formeln bedeuten soll. Er ist uns
aber auch der Vertreter einer entwickelten Rechenkunst bis zur
Ausziehung von Quadratwurzeln, der Vertreter einer eigentlichen
Algebra, soweit von einer solchen ohne Anwendung symbolischer
Zeichen die Rede sein kann, bis zur Auflösung unreiner quadratischen
Gleichungen einschliesslich.

20. Kapitel.
Geometrie und Trigonometrie bis zu Ptolemäus.

Kurze Zeit nach der Blüthe des hervorragenden Geodäten, mit
welchem wir uns in zwei Kapiteln beschäftigt haben, lebte wahr-
scheinlich Gemiuus von Rhodos. Er schrieb eine Einleitung in
die Astronomie, sigccycoyr] sig xa cpatvo^ieva, welche zwar erhalten
ist^), aber um ihres eigentlichen Inhaltes willen uns nicht weiter be-
schäftigen darf, als dass wir bemerken, dass darin eine gute Dar-
stellung der Sonnentheorie des Hipparch sich findet"^), allerdings ohne
dass der Name ihres Urhebers dabei genannt wäre. Ausserdem ver-
fasste er ein leider verlorenes mathematisches Werk von fast unbe-
kanntem Titel und Lihalte. Unser Bedauern über den Verlust gründet
sich auf etwa Iß Stellen, in welchen Proklus in seinem Commentare
zu den euklidischen Elementen aus Geminus geschöpft hat, auf
andere, die bei Eutokius sich erhalten haben, und deren zum Theil
geschichtlich werthvoUen Inhalt wir verschiedentlich zu benutzen

') Dieses Werk ist mehrfach gedruckt, z. B. mit französischer Uebersetzung
von Halma in dessen Ausgabe des Ptolemäus hinter dem Kanon desselben.
Paris, 1819. "'') Wolf, Geschichte der Astronomie S. 201.

Geometrie und Trigonometrie bis zu Ptolemäus. 379

Gelegenheit fanden. Ein eigentlich mathematiscli-liistorisclies Werk
hat freilich Geminus gewiss nicht geschrieben, wenn man auch früher
dieser Annahme zuneigte^). Das ist aus dem Mathematikerverzeich-
nisse bei Proklus gefolgert worden"). Wenn Proklus dort erklärt,
die Schriftsteller über Geschichte der Mathematik hätten die Ent-
wicklung bis dahin, d. h. bis kurz vor Euklid geschildert, wenn er
dann in demselben Commentare aus Geminus Auszüge gibt, welche
für die Zeitbestimmung des Nikomedes, des Diokles, des Perseus ver-
werthbar waren, so ist eben das Werk des Geminus eine Geschichte
nicht gewesen. Auch die nähere Prüfung der Notizen aus Geminus
selbst würde zu der gleichen Schlussfolgerung führen. Sie sind
gewiss nicht von der Art, wie man sie in einem Geschichts werke
suchen würde, sie haben ihre Bedeutsamkeit für historische Zwecke
nur dadurch erlangt, dass in ihnen Namen vorkommen, dass also
die Träger dieser Namen, beziehungsweise die Erfinder krummer
Linien, welche Geminus nennt, früher als er gelebt haben müssen,
dass seine genau ermittelte Lebenszeit daher eine untere Grenze für
die Anderer bildet.

Um so nothwendiger ist es in dieser Ermittelung jeden Zweifel
auszuschliessen. Man hat die Zeit, zu welcher Geminus schrieb,
regelmässig dem 6. Kapitel seiner Einleitung in die Astronomie ent-
nommen. Dort heisst es^): Die Griechen nehmen auf die Aegypter
und Eudoxus sich stützend an, das Isisfest treffe mit dem kürzesten
Tage überein. Das ist vor 120 Jahren einmal so gewesen, aber alle
vier Jahre verschiebt sich die Uebereinstimmung um einen Tag und
beträgt jetzt einen Monat.

Der Nutzen, welcher aus dieser Angabe zu ziehen sein kann,
ist augenscheinlich. Weiss man, wann das Fest der Isis nach ägyp-
tischem Kalender stattfand, weiss man ferner, wann das betreffende
ägyptische Datum genau auf das Wintersolstitium fiel, so hat mau
von dem so gewonnenen Jahre nur 120 Jahre weiter zu zählen, um
zu der Zeit zu gelangen, zu welcher Geminus seine Einleitung in
die Astronomie verfasste. Diese Rechnung hat man angestellt und
ist zu zwei sehr von einander abweichenden Ergebnissen gekommen.
Ein gelehrter Chronologe, Mitglied des Jesuitenordens am Anfange
des XVn. S., Denis Petau*), hat in dem Isisfeste die Feier der Auf-

') Montucla, Histoire des Maihematiques I, 266. ^) Nesselmann,
Algebra der Griechen 6. '') Unsere Uebersetzung ist nicht wörtlich, kürzt viel-
mehr die Stelle wesentlich ohne jedoch den Sinn zu verändern. Vergl. ed.
Halma pag. 43. *) Petavius, De doctrina temporum (Paris, 1627), Lib. II,
cap, 6, § 4 und desselben Verfassers Uranologion sive systema variorum autorum
qui de spliaera ac sideribus eorum motibus graece commentaU sunt (Paris, 1630)

380 20. Kapitel.

finduiig des Osiris erkannt, welche in Aegypten vom 17. bis zum
20. Atlijr begangen wurde. Diese Feier, d. h. der 17. Athyr, fiel
197 auf das Wintersolstitium und die Abfassung der. Einleitung in
die Astronomie 120 Jahre später auf 77 v. Chr. Dagegen hat am
Ende des XVII. S. ein anderer Gelehrter, Bonjour, folgende Ansicht
begründet^). Nach römischer Ueberlieferung ist ein Isisfest vom
1. bis zum 5. Athyr gefeiert worden; der 1. Athyr fiel 257 auf das
Wintersolstitium, und somit geben 120 Jahre weiter die Jahreszahl
137, in welcher Geminus geschrieben haben muss. Mit davon ver-
schiedenen Gründen ist ein späterer Forscher gleichfalls zu dem Jahre
140 gekommen, auf welches die Blüthe des Geminus zu setzen sei^).
Zwischen diesen beiden Möglichkeiten hat man sich zu entscheiden,
und wir tragen Bedenken Geminus, welcher nach Hipparch gelebt
haben muss, um dessen Sonnentheorie, wie wir zu Ajifang bemerkten,
deutlich darzustellen, der auch Hipparch in seiner Einleitung in die
Astronomie einmal mit Namen nennt ^), während die Beobachtungen
Hipparchs von 161 bis 126 fallen, früher als 77 als Schriftsteller
anzunehmen*). Das zweite Datum, dem wir in unserer Anordnung
des Stoffes folgten, indem wir sonst Geminus vor Heron hätten
nennen müssen, steht auch im Einklang mit anderen Umständen,
die für sich allein nicht entscheidend gewesen wären. Geminus nennt
in seiner Einleitung in die Astronomie Eratosthenes'*), der etwa
194 starb, den Geschichtsschreiber Polybius"), dessen Universal-
geschichte, föTOQi'a xc(QoXi%>], bis 146 herabreicht, Krates den Gram-
matiker^), wahrscheinlich denjenigen dieses Namens, der aus Mallus
167 nach Rom kam, wo er etwa 144 starb, den Philosophen Boethus,
welcher einen Commentar zu Aratus geschrieben haben muss*'), den
man aber nicht bestimmt zu identificiren vermag; sie alle kömien

in den Anmerkungen zu der dort abgedruckten Schrift des Geminus au dem
betreffenden Orte.

^) Bonjour, De nomine Josephi a Pharaone iinposito. Rom, 169G. Vergl.
eine Besprecbung dieses Buches von Heinr. Pipping in den Acta Eruditonim
für 1697, pag. G sqq. ") H. Brandes, Ueber das Zeitalter des Astronomen
Geminus und des Geographen Eudoxus in den Jahn'schen Jahrbüchern XIIl,
Supplement S. 199—230, besonders 219. ^) Elqayayri %. x. l. (ed. Halma)
pag. 19. *) Auch Aug. Böckh, Ueber die vierjährigen Sonnenkreise der Alten.
Berlin, 1868, S. 8 flgg. und S. 200 ?^gcr_ hat sich in ausführlicher Begründung
für diese Meinung entschieden. Dagegen vermuthet F. Blass, Dissertatio de
Gemino et Posidonio (Kiel 1883) eine noch spätere Lebenszeit des Geminus, nur
durch das IL nachchristliche Jahrhundert als terminus cid quem begrenzt, weil
Geminus bei Alexander Aphrodisiacus genannt ist. ^) Ed. Halma pag. 44.
'■) Ed. Halma pag. 67. ') Ed. Halma pag. 30, 31, 32, 66. ») Ed. Halma
pag. 76.

Geometrie und Trigonometrie bis zu Ptolemäus. 381

im Jahre 137 eben so gut wie im Jahre 77 genannt worden sein.
Auch darauf wird man kein zu grosses Gewicht legen dürfen, dass
die Beobachtungen, von welchen Geminus Gebrauch macht, auf Rhodos,
Alexandria und Rom Bezug nehmen. Ein Alexandriner, das haben
wir (S. 348) erörtert, würde kaum schon 137 Rom seine Aufmerk-
samkeit in so hohem Grade gewidmet haben, anders ein Rhodier,
nachdem seine Landsleute die Bundesgenossen der Römer seit dem
syrischen Kriege im Jahre 190 v. Chr. waren. Aber Folgendes gibt
endgiltig den Ausschlag. Nach einer Angabe des Simplicius im
Commentare zum IL Buche der aristotelischen Physik fertigte Gemi-
nus einen Commentar zu den ^stscoQoloyixd des Posidonius ^).
Nun gab es allerdings einen Posidonius von Alexandria, Schüler des
259 verstorbenen Zeuon, aber ihn würde Simplicius nicht ohne
sonstige Bezeichnung nur Posidonius genannt haben. Dazu musste
die Persönlichkeit eine allgemein bekannte sein, und von einer
solchen haben wir Kenntniss: Posidonius von Rhodos'), der Lehrer
Ciceros, der Freund des Pompeius, der auf der Insel Rhodos ge-
storben ist, auf welcher Geminus allem Anscheine nach lebte. Dieser
Posidonius wird frühstens um das Jahr 90 als Schriftsteller aufge-
treten sein, und wer aus seinem Werke einen Auszug machte, kann
nur 77, nicht 137 eine Einleitung in die Astronomie verfasst haben.
Damit stimmt aber endlich noch eine Thatsache überein. Die
120 Jahre rückwärts von Geminus fallen entweder auf 257 oder
auf 197. Nach der erstereu Annahme würde das Edikt von Kanopus
vom 7. März 238 die 120 Jahre unterbrochen und vermöge der in
ihm angeordneten Einrichtung des Schaltjahres, so lange oder so
kurz es in Giltigkeit war, die SOtägige Verschiebung des Isisfestes
binnen 120 Jahren zu einer Unwahrheit gemacht haben. Rechnet
man dagegen jene 120 Jahre von 197 an, so ist dem nicht so. Man
hat vielmehr alsdann eine Grenze gewonnen, wie lange das Edikt
von Kanopus, von welchem man ohnedies weiss, dass es in Ver-
gessenheit gerieth, wirksam gewesen sein kann: von 238 an höch-
stens durch 40 Jahre hindurch.

Eine Voraussetzung liegt allerdings unserer bisherigen Darstel-
lung zu Grunde: dass es nur einen Geminus gab und nicht deren
zwei, einen bedeutenden Mathematiker und einen nichts weniger als
hervorragenden Astronomen^). Wer dieser Meinung sich anschliesst,
verzichtet auf die Ausnutzung der Eisagoge zur Bestimmung der

*) Aug. Böckh 1. c. S. 13. ^) Wolf, Geschichte der Astronomie S. 167.
3) Vergl. K. Manitiua, Des Geminos Isagoge, Sonderabdruck aus den Commen-
tationes Fleckeisenianae (Leipzig, 1890) mit der Besprechung der Abhandlung
in Zeitschr. Math. Phys. XXXVI. Histor.-literar. Abtlg. S. 96—97.

382 20. Kapitel.

Lebenszeit des Mathematikers Geminus und kann daher unseren Ent-
wicklungen nicht den geringsten Werth beilegen. Wir vermögen
uns von dem erhobenen Zweifel nicht beirren zu lassen und glauben
nach wie vor an die Uebereinstimmung des Mathematikers mit dem
Astronomen. Wer Geminus war, ist nicht bekannt. Der Name be-
sitzt einen entschieden römischen Klang, und wenn auch die Recht-
schreibung Fs^Lvogj deren Proklus wie Pappus sich bedient, der
römischen Aussprache widerspricht, so kann eine Ausgleichung darin
gefunden werden, dass Simplicius den Ton auf die erste Silbe, rsfxt-
vog, legt. Man hat demzufolge in Geminus wohl den Freigelasseneu
eines edlen Römers erkennen wollen.

Das mathematische Hauptwerk des Geminus kann vielleicht den
Titel: lieber die Anordnung der Mathematik geführt haben ^). Von
dessen Inhalt haben wir in negativer Weise behauptet, er sei nicht
wesentlich geschichtlich gewesen. Proklus entnimmt ihm gern die
Entscheidung, wo es sich um Streitfragen mehr allgemein logischer
als mathematischer Natur handelt, um geometrische Erklärungen,
Grundsätze und dergleichen. Eine einzige geometrische Entdeckung
des Geminus kennen wir aus Proklus^): „Unter den auf Körpern con-
struirten Linien sind die einen in ihren Theilen gleich und ähnlich
wie die cylindrischen Schraubenlinien, andere dagegen nicht, nämlich
alle übrigen. Es ergibt sich nun aus diesen Unterschieden, dass es
nur drei Linien gibt, welche in allen ihren Theilen gleich und ähn-
lich sind, die Gerade, der Kreis und die cylindrische Schraubenlinie,
von denen zwei ganz in der Ebene liegende einfache sind, eine aber
eine gemischte ist und auf einem Körper liegt. Auch dies beweist
ganz klar Geminus, indem er noch hinzufügt, dass wenn an eine
solche in allen Theilen gleich und ähnliche Linie von einem Punkte
aus zwei Gerade gezogen werden, die mit ihr gleiche Winkel bilden,
diese Geraden einander gleich sind."

Muthmasslich darf als mit Geminus annähernd gleichaltrig
Theodosius von Tripolis^) genannt werden. Wenigstens kommt

') Pappus VIII, 3 (ed. Hultsch) 102G heisst es: Fs^ivog 6 ncc&T]fiuTiKbg
Iv TW neQi tfjg xS>v (la&rjiicczcov tä^scog. ') Proklus (ed. Friedlein) 112—113.
Bretschneider 177. ^) Vergl. Fabricius, BibliotJieca Graeca (ed. Harless)
IV, 21. Die Sphärik ist griechisch mit lateinischer Uebersetzung von Pena
(Paris, 1558) herausgegeben. Eine deutsche Uebersetzung von Ernst Nizze,
Stralsund, 182G. Von eben demselben eine griechische Textausgabe mit latei-
nischer Uebersetzung, Berlin, 1852. WerthvoUe Untersuchungen bei Nokk,
Ueber die Sphärik des Theodosius, Programm des Bruchsaler Gymnasiums 1847.
Hultsch hat im X. Bande der Abhandlungen der philol.-hist. Classe der Königl.
Sachs. Gesellsch. d. Wissensch. zu Leipzig (1887) Schollen zur Sphärik des

Geometrie und Trigonometrie bis zu Ptolemäus, 383

der Name dieses von Ptolemäus benutzten Mathematikers und Astro-
nomen bei Strabon und Vitruvius vor^ so dass er vor Christi Geburt
gelebt haben muss, und dem Gegenstande seiner Untersuchungen
nach etwa im letzten Jahrhunderte dieser Zeit. Seine Heimath Tri-
poKs lag an der phönikischen Küste. Seine Sphärik in drei Büchern
ist eine ziemlich vollständige Geometrie der Kugeloberfläche mit
Ausschluss des messenden, also trigonometrischen Theiles. Er stützt
sich, ohne seine Vorgänger zu nennen, vielfach auf dieselben, wie es
bei dem Verfasser eines Lehrbuches Sitte war, auch wohl noch ist.
Insbesondere hat die Abhängigkeit von den Phaenomena Euklids
(S. 278) nachgewiesen werden können^). Wir bemerken, dass die
Vermuthung gleichfalls ausgesprochen worden ist"), der Mathematiker
Theodosius sei von Theodosius von Tripolis verschieden. Er stamme
vielmehr aus Bithynien und sei Landsmann sowohl als Zeitgenosse
des Hipparch (S. 345) gewesen.

Auch Dionysodorus wird von Strabon'') und von Plinius*)
genannt, muss also vor Christus gelebt haben. Strabon berichtet,
Amisus im Pontus am asiatischen Südufer des schwarzen Meeres sei
seine Heimath gewesen. Plinius weiss eine Wundergeschichte zu
erzählen, in welcher er eine Rolle spielt. Dem Mathematiker dürfte
die Lösung der archimedischen Aufgabe der Kugeltheilung nach ge-
gebenem Verhältnisse der Abschnitte interessant sein, zu welcher
Dionysodorus, nach den Mittheilungen des Eutokius''), den Durch-
schnitt einer Parabel mit einer Hyperbel benutzte.

Sicherlich nach Christi Geburt lebte Serenus von Antissa,
von welchem uns zwei Abhandlungen erhalten sind. Er selbst g-ibt
zur Bestimmung seines Zeitalters nur durch eine Bemerkung einen
wenig ergiebigen Beitrag. Er sagt nämlich im 16. Satze seines
Cylinderschnittes, er habe Erklärungen zu den Kegelschnitten des
Apollonius herausgegeben. Man hat nun wahrscheinlich machen
wollen, dass seine Lebenszeit dieser oberen durch Apollonius darge-
stellten Grenze ziemlich nahe gelegen habe*'). Antissa auf der Lisel
Lesbos, die Heimath des Serenus, wurde 167 v. Chr. von den Römern
aufs Gründlichste zerstört, Serenus müsse also vor dieser Zerstörung
gelebt haben. Dagegen hat mit Recht der Einwand erhoben werden

Theodosius herausgegeben, welche theils dem zehnten nachchristlichen Jahr-
hundert angehören, theils mindestens bis zum dritten Jahrhundei-t zurück-
gehen.

*) Nokk 1. c. und Heiberg, Euklidstudien S. 43-46. *) Becherches svr
l'histoire de l'astronomie ancienne par Paul Tannery. Paris, 1893, pag. 36 — 37
^) Strabo XU, 3. *) Plinius, Historia naturalis II, 109. ^) Archimed
(ed. Heiberg) III, 180 sqq. ") Bretschneider 183.

384 20. Kapitel.

können^), Serenus sei selbst eiu römischer^ vollständig ungriecliisclier
Name, dessen Träger falle also nicht in das alte, sondern in das
neue Antissa, welches zu Strabous Zeiten wieder aufgebaut gewesen
sei^). In welches Jahrhundert nach dieser Wiederherstellung von
Antissa Serenus zu setzen ist, darüber ist allerdings gar keine An-
gabe vorhanden. Er wird nur ein einziges Mal genannt: von Marinus,
dem Herausgeber der euklidischen Daten ^), der als Nachfolger des
Proklus am Ende des V. oder am Anfange des VI. S. jene Vorrede
schrieb, in welcher Serenus vorkommt. Dieser unteren Grenze wird
man wegen des Charakters der von Serenus hinterlassenen Schriften
nicht allzunahe kommen wollen. Dagegen wollen wir ebensowenig
auch nur eine persönliche Meinung über das Jahrhundert, in welchem
Serenus wirklich gelebt hat, dadurch aussprechen, dass wir seiner
hier, als an der Schwelle der möglichen Zeit gedenken.

Die beiden Abhandlungen des Serenus*) haben zum Inhalte den
Schnitt des Cylinders und den Schnitt des Kegels. Der Schnitt
des Kegels ist die unbedeutendere von beiden Schriften. Serenus
beschäftigt sich darin mit solchen Schnittebenen, welche durch die
Spitze des Kegels gelegt ein Dreieck auf dem Kegelmantel erzeugen,
weil keiner seiner Vorgänger sich um diese Dreiecke gekümmert habe.
Von einigem Interesse ist höchstens, dass dabei die Frage nach dem
grösstmöglichen Inhalte der so entstehenden Dreiecke auftaucht.
Der Schnitt des Cylinders lehrt zunächst, dass die den Cylinder
schneidende Ebene auf dessen Mantel eine Ellipse hervorbringe und
löst alsdann Aufgaben, wie die in Satz 22. und- 23. Zu einem ge-
gebenen Kegel (Cylinder) einen Cylinder (Kegel) zu finden und beide
durch eine und dieselbe Ebene so zu schneiden, dass der Schnitt
ähnliche Ellipsen bilde. Von Sätzen, die bewiesen werden, heben
wir hervor: Satz 31. Gerade Linien, welche aus demselben Punkte
ausgehend eine cylindrische Oberfläche berühren, haben sämmtlich
die Berührungspunkte in den Seiten eines einzigen Parallelogramms,
und Satz 34. Alle Geraden, welche aus demselben Punkte als Be-
rührungslinien an einen Kegelmantel gezogen werden, haben ihre
Berührungspunkte in den Seiten eines einzigen Dreiecks. Endlich
sei bemerkt, dass im Satz 33. ganz gelegentlich die Grundlage zu

')F. Blass in Fleckeisen und Masius, Neue Jahrbücher f. Philolog.
u. Pädagog. (1872), ßd. 105, S. 34. «) Strabon XIII, 2. =>) Euklid (ed.
Gregory) pag. 457. ■*) Der griechische Text ist als Anhang zur Halley'schen
Ausgabe der Kegelschnitte des Apollonius gedruckt. Deutsche Ueber-
setzungen hat E. Nizzc als Prograrambeilagen des Stralsunder Gymnasiums
veröffentlicht: Ueber den Schnitt des Cylinders 1800. lieber den Schnitt des
Kegels 1861.

Fig. C7.

Geometrie und Trigonometrie bis zu Ptolemäus. 385

dem geschaffen wird, was mit modernem Namen die Lehre von den
Harmonikaien genannt zu werden pflegt. Es wird nämlich be-
hauptet, dass wenn (Figur 67) von d aus die dsi]^ zum Schnitte
eines Dreiecks
aßy gezeichnet
und 1] so auf ihr
gewählt wird ,
dass ds : dt, =
sr}'.'!]^ und die
Gerade arj ge-
zogen wird, als-
dann jede neue ^
von d ausgehende

Transversale dx^iU das entsprechende Verhältniss dx : ö ^ = x?. : Xa
bieten werde.

Ausser diesen beiden Abhandlungen hat Serenus noch Hilfssätze
verfasst, aus welchen ein geometrischer Satz über Winkel im Kreise
mit excentrischem Scheitelpunkte aber auf gleichen Bögen aufstehend
in einer Handschrift des astronomischen Theiles des Werkes Theons
von Smyrna aufgefunden worden ist^). Könnte man annehmen,
Theon habe selbst den Serenus benutzt, so würde durch die bekannte
Lebenszeit dieses Schriftstellers eine untere Zeitgrenze mit dem
Jahre 130 etwa angegeben sein; doch wäre jene Annahme durchaus-
willkürlich. Man hat vielmehr, wie bemerkt worden ist, wohl nur
an eine Vereinigung ähnlicher Dinge in einer Handschrift zu denken,
ohne dass festgestellt wäre, wer es gewesen sein mag, der von jenem
Satze aus den Lemmen des Serenus eine astronomische Anwen-
dung machte.

Festen chronologischen Boden unter den Füssen gewinnen wir
mit Menelaus von Alexandria. Zwei in Rom angestellte Be-
obachtungen dieses Astronomen aus dem ersten Regierungsjahre
Trajans, d. h. aus dem Jahre 98 n. Chr., sind im Almageste er-
halten-), und so kann über die Zeit der wissenschaftlichen Thätig-
keit des Menelaus kein Zweifel stattfinden.

Er verfasste sechs Bücher über die Berechnung der Sehnen,
welche aber gleich dem ähnlichen Werke seines Vorgängers Hipparch
verloren gegangen sind. Seine drei Bücher der Sphärik sind im
griechischen Originaltexte gleichfalls nicht bekaimt, doch sind ein-
ander gegenseitig bestätigende arabische und hebräische Uebersetzungen

') Theonis Smyrnaei Über de astronomia ed. Th. H. Martin. Paris, 1849,
pag. 340 und Martins Bemerkungen pag. 79—81. -) Ptolemaei Almagestum
VII, 3 (ed. Halma) -T. II, pag. 25 und 27.

Cantor, Geschichte der Mathematik I. "2. Aufl. 25

386 20. Kapitel.

aufgefunden worden, nach welchen weitere lateinische Uebersetzungen
sich herstellen liessen, welche mehrfach herausgegeben sind'). Die
Sphärik des Menelaus ist im Gegensatze zu der des Theodosius eine
Art von sphärischer Trigonometrie. In ihr finden sich schon die
Sätze, dass in jedem sphärischen Dreiecke die Summe der drei Seiten
kleiner als ein Grössterkreis der Kugel, die Summe der drei Winkel
grösser als zwei Rechte sein muss; dass gleichen Seiten desselben
sphärischen Dreiecks gleiche, ungleichen Seiten ungleiche Winkel,
und zwar den grösseren Seiten die grösseren Winkel gegenüberstehen.
In ihr finden sich die hauptsächlichsten Congruenzsätze sphärischer
Dreiecke, der Satz, dass die drei Hauptbögen, welche die Winkel
eines sphärischen Dreiecks halbiren, sich in einem gemeinschaftlichen
Durchschnittspunkte treffen, sowie der Satz, dass der Hauptbogen,
welcher einen Winkel eines sphärischen Dreiecks halbirt, die dem
Winkel gegenüberliegende Seite so schneidet, dass die Sehnen der
verdoppelten Abschnitte im gleichen Verhältnisse stehen, wie die
Sehnen der gleichfalls verdoppelten jeweils anliegenden Seiten. Dazu
kommen die Sätze über Transversalen im ebenen und im sphärischen
Dreiecke, welche man jetzt gemeiniglich unter dem Namen der
Sätze des Menelaus zu bezeichnen pflegt. Der planimetrische
Satz spricht sich dahin aus, dass bei Durchschneidung der drei Seiten
eines ebenen geradlinigen Dreiecks durch eine Gerade Abschnitte er-
.scheinen, welche das gleiche Produkt aus je drei Abschnitten, die
keinen Endpunkt gemein haben, hervorbringen; der sphärische Satz
verändert diesen Anspruch nur dahin, dass die Abschnitte der Bögen
durch die Sehnen der verdoppelten Abschnitte ersetzt werden.
Menelaus selbst hat freilich so wenig wie seine Nachfolsjer bis in
das XVI. S. seine Sätze in dieser Weise ausgesprochen. Es heisst
niemals a^ • a^ • a^ = h^ - h.^ ■ h^ oder das Parallelopipedon der be-
treffenden Abschnitte habe gleichen Inhalt, sondern das Verhältniss
^h ' \ = ^*i ■ ^^3 • <^2 ■ % ist gebildet und so ausgesprochen, dass gesagt
wird, öj stehe zu h^ in dem zusammengesetzten Verhältnisse
von 62 zu f/jj und von h^ zu «g. Der Name, unter welchem der Satz
bekannt blieb, ist der des Satzes von den sechs Grössen, reguin
sex quantitatum. Das Vorkommen zusammengesetzter Verhältnisse
bei Euklid und Archimed ist uns (S. 251) bekannt geworden.

Menelaus hat auch in der Curveulehre sich Verdienste erworben.
Er hat, wie Pappus ungemein kurz sich fassend und deshalb für uns
sehr fruchtlos erzählt^), einer krummen Linie, mit welcher vorher

') Die beste Uebersetzung von Hallcy. Oxford, 17.'>8. -) Pappus IV, 30,
(ed. llultsch) pag. 270

Geometrie und Trigonometrie bis zu Ptolemäüs. 387

zwei uns gäuzlicli unbekannte Geometer Demetrius von Alexan-
dria und Philo von Tyana sich beschäftigten, seine besondere
Aufmerksamkeit zugewandt und derselben den Namen der ausser-
gewöhulichen oder seltsamen, 7taQddoi,os ygaiifi^, beigelegt.

Klaudius Ptolemäüs führte zu Ende, was Hipparch und
Menelaus vor ihm begonnen hatten. Er schuf für den astronomischen
Gebrauch eine Trigonometrie von so vollendeter Form, dass sie weit
über ein Jahrtausend nicht überboten wurde und nicht weniger als
die unter dem Namen des ptolemäischen Weltsystems bekannte Lehre
von den Bewegungen der Gestirne aber mit besserem Erfolge die
Wissenschaft beherrschte. Beides, das astronomische und das trigono-
metrische Lehrgebäude, ist vereinigt in den 13 Büchern der grossen
Zusammenstellung, iisyccXt] övvxa^ig^). Als dieses Werk später,
wie wir im 32. Kapitel zu schildern haben werden, aus dem Grie-
chischen ins Arabische, aus dieser Sprache noch später ins Lateinische
übersetzt wurde, erhielt es den durch Zusammenschweissung des
arabischen Artikels al mit dem griechischen Superlativ ^eyiötog
gebildeten Bastardnamen Almagest, unter welchem es meistens be-
kaimt ist, und dessen auch wir uns bedienen, einigemal weiter oben
schon vorgreifend bedient haben.

Im Almageste sind viele astronomische Beobachtungen ver-
werthet, theils dem Ptolemäüs eigen thümliche, theils von Anderen
herrührend. Die späteste der so aufgenommenen Datirungen ist die
einer Venusbeobachtung aus dem 14. Regierungsjahre des Antoninus,
also aus dem Jahre 151, und die Abfassung des Almagestes muss
somit später fallen. Andrerseits ist die frühste eigene Beobachtung
des Ptolemäüs, von der wir wissen, im Jahre 125 angestellt und
damit erreichen wir als engste Grenzen seiner Wirksamkeit die
Jahre 125 bis 151. Das ist aber neben einem Aufenthalte in
Alexandria auch alles, was wir von den persönlichen Verhältnissen
des Ptolemäüs mit Gewiasheit aussagen kömien. Nach sj)äter aus
arabischer Quelle geflossener Angabe^) wäre Ptolemäüs in Alexandria
geboren und aufgewachsen; er sei, heisst es dort, 78 Jahre alt ge-
worden; auch weiss der Bericht von seiner hellen Farbe, seineu
kleinen Füssen, einem rothen Muttermale an der rechten Kinnlade,
dem schwarzen dichten Barte, seinen Lebensgewohnheiten und Cha-

') Die beste Ausgabe ist die von Halma unter Beigabe einer franzö-
sischen Uebersetzung in zwei Quavtbilnclen veranstaltete. Paris, 1813 — 16.
Wichtige Untersuchungen über den Almagest namentlich nach seiner astrono-
mischen Bedeutung in JReeherches sur Vhistoire de l'astronomie par Paul Tan-
ne ry. Paris, 1893. ^) B. Boncompagni, Bella rita e dcllc opcre cli Gherardo
Cremoncse etc. Roma, 1851, pag, 16 — 17.

25*

388 20. Kapitel.

raktereigenschaften so viel zu erzählen, dass man sehr in Zweifel
geräth, soll man der Genauigkeit trauen oder der Uebergenauigkeit
misstrauen. Meistens entschliesst man sich zu letzterem und gibt
zu, dass sogar über den Geburtsort des Ptolemäus völlige Ungewiss-
heit herrsche.

Wir haben es hier zunächst mit dem 9. Kapitel des I. Buches
des Almagestes zu thun, dem wir die Berechnung einer Sehnentafel
zu entnehmen haben ^). Ptolemäus theilt den Kreisumfang in
360 Theile, r^riiiara, und jeden dieser Theile halbirt er zunächst
nochmals. Ferner theilt er den Durchmesser des Kreises gleichfalls
und zwar in 120 Theile, T[i7j^ara, setzt aber hier die Theilung so-
gleich sexagesimal fort. Die Unterabtheilungen bringen 60 erste,
60 zweite Theile hervor, welche in den lateinischen Uebersetzungen
zu partes minutae primae und partes minutac secundae wurden, woraus
andere Sprachen ihre Minuten und Sekunden hernahmen. Ein
Neues hat Ptolemäus mit diesen Theilungen gewiss nicht gegeben.
Wie die Gradein theilung des Kreises über Geminus, über Hipparch
bis auf Hypsikles in Alexandria verfolgbar nach Babylon als Mutter-
land hinweist, so dürfte Aehnliches für die Theilung des Kreishalb-
messers nach sexagesimaler Grundzahl gelten müssen, die jedenfalls
seinen alexandrinischen Vorgängern bekannt gewesen sein wird. Das
Verdienst des Ptolemäus liegt dagegen in seiner Sehnenberechnung
selbst. Theon von Alexandria, der Commentator des Almagestes,
sagt uns ausdrücklich"), Hipparch habe die Lehre von den Sehnen
in 12 Büchern und Menelaus in sechs Büchern abgehandelt, man
müsse aber erstaunen, wie bequem Ptolemäus mit Hilfe weniger und
leichter Sätze ihre Werthe gefunden habe. Den Ausgangspunkt
bildet der sogenannte ptolemäische Lehrsatz vom Sehnenvier-
eck'), dass das Produkt der Diagonalen der Summe der Produkte
je zweier einander gegenüberliegender Seiten gleich sei, und neben
diesem Satze die Kenntniss einiger ganz bestimmter Sehnen, nämlich
der Seiten der regelmässigen dem Kreise eingeschriebenen Dreiecke,
Vierecke, Fünfecke, Sechsecke, Zehnecke als der Sehnen von Bögen
von 120, von 00, von 72, von 60, von 36 Bogengraden jedesmal in
Theilen des Durchmessers, beziehungsweise des Halbmessers des
Kreises dargestellt.

Nun folgt aber aus den Sehnen zweier Bögen die Sehne ihres
Unterschiedes, aus der Sehne eines Bogens die Sehne des halb so

') Ein vortrefflicher Auszug von L. Ideler unter dem Titel: „Ueber die
Trigonometrie der Alten" in Zachs Monatlicher Correspondenz zur Beförderung
der Erd- und Himmelskundc (Juli 1812). Bd. XXVI, 3—38. °) Theon Alexan-
drinns (ed. Halma) I, pag. HO. ■') Almagest (ed. Halma) 1, P^g- 29.

Geometrie und Trisronometrie bis zu Ptolemäus.

389

Fig. 68.

grossen Bogeus, aus den Sehnen zweier Bögen die Sehne ihrer
Summe.

Die Beweise der betreffenden Sätze bestehen dem Sinne nach
in Folgendem. Aus (Figur 68) aß und ay soll ßy gefunden werden.
Man zieht von a aus den Durchmesser aö,
der also 120 Theile enthält und vollendet
das Sehnenviereck aßyö nebst seinen Dia-
gonalen. Nun ist yd = 1/120^ — ay^, ßd
= /l202 — aß^, ay ■ ßÖ = ad ■ ßy -j- aß ■
yd oder ay • 1/120^ — aß'' = 120 • ßy +
aß ' ]/l20^ — ay^, woraus ßy gefunden
werden kann.

Soll ferner (Figur 69) aus ßy die '
Sehne yÖ des halb so grossen Bogens er-
mittelt werden, so zieht man den Durch-
messer ay, ausserdem aß, ad, ßd,
schneidet auf dem Durchmesser ay das
Stück ae = aß ab, zieht ds und endlich
d^ senkrecht zum Durchmesser ay. Die

Dreiecke ßad, sad sind nun congruent, weil die beiden gleichen in
a ihre gemeinschaftliche Spitze besitzenden Winkel von gleichen
Seiten gebildet werden. Demgemäss sind auch die dritten Seiten
gleich ßd = de, und da überdies ßd = dy als Sehnen gleicher
Bögen, so ist das Dreieck dsy gleichschenklig, und die Senkrechte

d^ auf dessen Grundlinie halbirt dieselbe d. h. es ist ^y =- ^

e ^ r

Fig. 69.

ay — aa 120
"^ 2 "^

aß

QO— lyi2(ß — ßy'. Ferner sind die

beiden rechtwinkligen einen spitzen Winkel gemeinschaftlich ent-
haltenden Dreiecke yd^, yad ähnlich, also
t^y : yd = yd : ay und

4|/120^-M,

j;d^ = aj;.^j;=120[60 ^

woraus endlich yd sich ergiebt.

Die letzte Aufgabe ist die, (Figur 70)
aus den Sehnen aß und ßy die Sehne ay
zu finden. Zu diesem Zwecke werden die
Durchmesser ad und ßs, ausserdem ßd,
dy, ys und ds gezogen, welche letztere
wegen der Congrueuz der Dreiecke aß^, det, der aß gleich sein
muss. Der auf das Sehnenviereck ßyds angewandte ptolemäische
Lehrsatz liefert nunmehr ßd-ys = ßy-ds-\-ßs'yd oder

Fig. 70.

390

20. Kapitel.

-^120'^ — aß^ . yV20' — ßf = /3;/ • ß/i + 120 • l/l20"^ - ay^,
wodurch ay bestimmt ist.

Zu den als bekannt vorausgesetzten Sehnen zurückkehrend erhält
demnach Ptolemäus aus den Sehnen von 72" und von GO'^ die von
72*^ — 60" oder von 12". Wiederholte Halbirung des Bogens lehrt als-

n 1 0 3 0

dann die Sehne von Q^, von o", von 1 ,^ , von — kennen. Ptolemäus
beabsichtigt aber die Sehnen der um je Grad steigenden Bögen

in eine Tabelle zu vereinigen, er bedarf also dazu in erster Linie
der Kenntniss der Sehne von 1", und dazu verhilft ihm ein Verglei-
chungssatz von höchster Eleganz. Es seien
(Figur 71) zwei Bögen aß, ßy desselben
^y Kreises gegeben, deren letzterer grösser als
der erstere, und es seien die Sehnen der
einzelnen Bögen sowie der Summe der beiden
gezogen, wobei wir zur Unterscheidung der
Bögen und Sehnen jene z. B. als arcus ctß,
diese als chorda aß oder als aß schlechtweg
bezeichnen wollen. Der Winkel bei ß werde
durch die ßd halbirt-, da und dy werden ge-
zogen, auch dt, senkrecht zu ay, und mit ds d. h. mit der Entfer-
nung des Punktes Ö vom Durchschnitte der ßd mit der ay als Halb-
messer und mit d als Mittelpmikt wird ein Kreisbogen beschrieben,
der einestheils die da anderntheils die d'^, selbst oder in ihrer Ver-
längerung, in rj und 6 schneidet. Nach dem bekannten Satze von
der Halbirung einer Dreiecks winkeis ist aß : ßy = ae : ey, aber
aß < ßy, also auch ae <. sy d. h. as ist weniger als die Hälfte von
ay, e fällt zwischen a mid t, und es ist demzufolge da > de > d^,
woraus weiter folgt, dass r} auf da selbst, Ü auf der Verlängerung
von dt, liegen muss. Dann ist aber der Kreissektor dit] kleiner als
das Dreieck dea, und der Kreissektor dsQ grösser als das Dreieck
de^. Aus diesen Vergleichungen folgen die beiden anderen:

Dreieck dt^ Sektor did -. Dieicck dt'Q Dreieck dt^
Sektor dtr] Sektor dn] Sektor ö^T; Dreieck 8ta'

aus deren Verbindung hervorgeht, dass

Dreieck dt^ Sektor dtd
Dreieck Stcc Sektor ötr]

. 1 Dreieck dtt
Aber ^ -^^i .

Dreieck dta

t'S 1 Sektor dtQ

und „ ,1 ^^ —

ta Sektor der}

arcus td

arcus t7}
arcus £0

le jjewomiene

Ungleichung heisst also auch * - <

° ^ tcK arcus f 1]

Einheit hinzugefügt und alsdann verdoppelt, so entsteht

Wird beiderseits die

Geometrie und Trigonometrie bis zu Ptolemäus. 391

ay 2 arcns ?;6
tci arcus stj

Nuu vermindert mau wieder beiderseits um die Einheit und gewinnt

1 -j. y« ^ arcus Gf + arcus 0?? ^ , ., ye By .

damit — < • Da aber weiter ^— = -^ und

as arcus rjf ae aß

arcus 0£ + arcus Gtj *^ ß^y arcus ßy

arcus 7J5 <^ ^Sa arcus «ß'
so ist endlich

chorda ßy arcus ßy

cborda orß arcus aß

d. h. der Quotient der grösseren Sehne durch die kleinere

Sehne ist kleiner als der Quotient der von den Sehneu

bespannten Bögen^). Werden nun Sehne und Bogen von P mit

10 30 . _- ,

denen von 1 ;- und von — verglichen, so ergibt sich

chorda l"* ^ arcus l** , chorda \\^ ^ arcus It"

<r und =^ <C — •

chorda f^" arcus f° chorda l" arcus 1"

. , arcus 1" 4 arcus IJ^" H , •, i • i ^ *-

Aber ^7, = — , fr = — und somit leicht

arcus 1" 3 ' arcus 1'^ 2

2 1 " A 4 30

-^ chorda 1 „ < chorda 1" < — chorda •

Die beiden äusseren Werthe heissen nuu bis in den Sekunden über-
einstimmend 1 • 2' • 50", und somit wird mit einer Genauigkeit, welche
die Sekunden noch zuverlässig erscheinen lässt, auch der dazwischen
liegende Werth chorda P = 1 • 2' • 50" sein müssen. Jetzt ist die

Sehne von 1° und die von 1— , folglich auch die »Sehne von — - be-

1 0
kannt, und die Sehnen aller um je -^ wachsenden Bögen von 0 bis

180'' einschliesslich können gefunden werden.

Sie alle hat Ptolemäus in seiner Sehnentafel vereinigt, grössere
Bögen ausschliessend. Er thut dieses nicht etwa, weil die Sehne,
die einen Bogen bespannt, der grösser als der Halbkreis ist, zugleich
auch zu einem anderen kleineren Bogen gehört, der den ersten zu
einem ganzen Kreise ergänzt, sondern weil Bögen, die grösser als der
Halbkreis sind, bei ihm überhaupt nicht vorkommen. Wenigstens
führt er diesen letzten Grund ausdrücklich an"'), während wir den
erstgenannten nicht bei ihm finden. Für die Auffindung der Sehnen
von Bögen, welche zwischen zwei in der Tabelle befindlichen ent-

^) Dem Gedächtnisse kann man diesen Satz des Ptolemäus besser in der
fast in die Sinne fallenden, bei dem Erfinder jedoch liicht vorkommenden Form
einprägen, dass der Quotient des grösseren Bogens durch seine Sehne grösser
sei als der Quotient des kleineren Bögens durch seine Sehne. ^) Almagest I,
11 (ed. Halma) I, pag. 51: nal sni x&v s^i)g 8h Xufißavo^tvwv iteQKptQU&v xh
öfioLOv vTiayiovsad'co (sc. sXdccova tlvai j]^iyivv.lCov) .

392 20. Kapitel.

halten sind, sorgt eine weitere Kolumne der Proportionaltheile oder,
wie Ptolemäus sagt, der Sechzigstel, i^rjaoötcöv, indem angenommen
wird, dass die Veränderung der Seimen der Bögen innerhalb der

1 0 1 0

tabellarischen Angabe von ^ zu --- oder von 30 zu 30' der Ver-
änderung der Bögen proportional sei. So steht beispielsweise neben
dem Bogen 20° 0' die Chorde 20 . 50 . 16, neben dem Bogen 20" 30'
die Chorde 21 . 21 . 12. Der Zunahme des Bogens um 30' entspricht
eine Zunahme der Chorde um 0 . 30 . 56, mid findet diese im Ver-
hältnisse der Bogenzunahme statt, so ist der mittlere Zuwachs der
Chorde 0 . 1 . 1 . 52 für Jede Minute, um welche der Bogen zwischen
20*^ und 20° 30' zunimmt. Diese Zahl 0 . 1 . 1 . 52 steht denn auch
in der dritten Kolumne neben den Zahlen 20 . 0 der ersten, 20 . 50 . 16
der zweiten Kolumne. Ein Beweis für diese angenommene Propor-
tionalität in engem Bereiche ist dagegen nicht vorhanden').

War das 9. Kapitel der Entwerfung der Sehneutafel gewidmet,
so ist im 11. Kapitel die Trigonometrie, und zwar hauptsächlich
die sphärische Trigonometrie enthalten, sich aufbauend auf den
Sätzen des Menelaus, die hier ohne Quellenangabe vorkommen^), so
dass man sie lange für Erfindungen des Ptolemäus hielt, bis im
XVII. S. Pater Mersenne sie ihrem Urheber zurückerstattete^). Der
Haupsatz der ebenen Trigonometrie, dass
im Dreiecke zwei Seiten sich verhalten wie die
Sehnen der doppelten Bögen, welche die den
Seiten gegenüberliegenden Winkel messen, ist
allerdings nicht deutlich ausgesprochen, son-
dern nur in anderen Sätzen inhaltlich mit ent-
halten. Vollständiger sind die Sätze der sphä-
rischen Trigonometrie angegeben. Dem
Wortlaute, aber nicht dem Gedanken nach

Fig. 72. . . '

modernisirt lautet seine Darstellung etwa fol
gendermassen '). Wenn Ptolemäus (Figur 72 j das bei // rechtwink-
lige Dreieck AHB berechnen will, so coustruirt er den Pol P von
AH, dann den zu A als Pol gehörigen Aequator PB'I£, der in i>*', H'

^) Ideler 1. c. 23 hat die Richtigkeit der ptolemäischen Zahlen geprüft
und hat gefunden, dass sie auf 5 Decimalstelkn genau sind. -) Almagest
(ed. Halma) I, pag. 50 der Satz für das ebene Dreieck, pag. 55 der Satz für
das sphärische Dreieck. ^) Vergl. Chasles, Apercu Jiist. 293, Deutsch -289.
Chasles selbst ist geneigt, die Sätze auch dem Menelaus wieder abzusprechen
und hält Euklid für den Erfinder, in dessen Porismen sie vorgekommen seien
*) Wir entnehmen diese Zusammenfassung fast wörtlich aus Hankel S. 285 — 286,
Anmerkung, da wir es kaum für möglich halten, eine bündigere und übersicht-
lichere Darstellung zu liefern.

Geometrie und Trigon«metrie bis zu Ptolemäus. 393

die verlängerten Seiten AB, AH schneidet.- Somit wird B'H' = a
und alle in der Figur vorkommenden Bögen lassen sich durch a, h,
1i, a und deren Complemente ausdrücken. Nun kann der Satz des
Menelaus viermal angewandt werden, nämlich auf die Dreiecke ABU,
PBB', PHH', AB'H. Die zugehörigen Transversalen sind in
gleicher Ordnung PB'II', AIIH', B'BA, PBH, und die Anwendung
des Satzes von den sechs Grössen liefert die vier Gleichmigen:

1 . cos h = cos a . cos b oder cos Ji, = cos a . cos b

2. sin a = sin a . sin h oder sin a = sin h . sin a

3. cos a . sin b . sin « = cos cc . sin a oder tng a = sin . ö . tng a

4. sin b . cos h = cos b . cos a . sin Jb oder tng b = cos k . tng h.

Die Beweise hat Ptolemäus nicht immer gegeben und die Commen-
tatoren haben nicht unterlassen, hier die sehr nöthigen Ergänzungen
eintreten zu lassen^).

Die Trigonometrie als Kapitel des I. Buches des Almagestes be-
handelt, entspricht vollständig dem, was wir (S. 371) schon andeuteten.
Die Trigonometrie ist wesentlich zu astronomischen Zwecken ent-
standen, so dass die sphärische Trigonometrie nothweudiger und dem-
zufolge auch früher ausgebildet war als die ebene Trigonometrie.
Eine ebene Trigonometrie im Dienste der theoretischen Planimetrie'
ist dem Alterthume eben so fremd wie eine solche im Dienste feld-
messerischer Untersuchungen, wenn man von der einzigen Ausnahme
der Zahlenformeln Herons für den Flächeninhalt, regelmässiger Viel-
ecke absieht. Die Thatsache mag uns beim ersten Anblicke auffallen,
eine Erklärung derselben scheint nicht schwer zu sein. Trigono-
metrische Ausdrücke als Durchgangspunkte, von welchen man wieder
zu anderen Grössengattungen gelangen will, sind nicht denkbar, so
lange noch keine ausgebildete Zeichensprache der Mathematik vor-
handen ist. Bis dahin liefern trigonometrische Ausdrücke mit Hilfe
von Sehnentafeln in Zahlen umgesetzt nur näherungsweise richtige
Ergebnisse. Der wissenschaftliche Geometer war aber abgeneigt, sich
mit einer blossen Annäherung, und sei sie noch so nahe, zufrieden
zu geben. Der unwissenschaftliche Feldmesser war abgeneigt, das
Wissen sich zu erwerben, welches zur Erlernung des trigonometrischen
Rechnens unerlässlich war. So überliessen beide die missachteten
oder gescheuten Verfahrungsweisen der Trigonometrie dem Astro-
nomen, der weniger heikel als der Eine, weniger denkfaul als der
Andere der guten Ergebnisse dieser Näherungsmethoden sich freute
und bediente.

^) Theon Alexandrinus (ed. Halma) I, pag. 243 sqq.

394 20. Ka^iitel.

Gehören die übrigen Bücher des Alniagestes der Geschichte der
Astronomie an-^), und ist für uns höchstens noch ein Werth von

TT = 3 . 8 . 30 d. h. = 3— ^j^T^^r = 3—7: = 3,141 666 . . . benierkens-

werth '^), so hat die Entwicklungsgeschichte der Mathematik den
Namen des Ptolemäus noch wegen anderer Werke aufzubewahren,
die theilweise wieder für sie und für andere Disciplinen ein gemein-
sames Interesse besitzen, theilweise rein mathematisch sind.

Wir reden hier zuerst von der mathematischen Geographie
des Ptolemäus^). Wir erinnern uns, dass Hipparch (S. 357) die
Punkte der Erde durch Coordinaten der Länge und Breite bestimmte.
Er ging von dem Meridiane von Rhodos als Anfang für die Längen
aus. Marin US von Tyrus im ersten Jahrhunderte n. Chr. dürfte
den Anfangsmeridian nach den canarischen Inseln verlegt haben,
dem damals äussersten nach Westen gelegenen bekannten Punkte^).
Ptolemäus folgte auf Marinus und fusst in vielen Dingen auf dessen
Untersuchungen, in andern ihn tadelnd und verbessernd. Auch ihm
heissen die Ausdehnungen von Ost nach West und von Nord nach
Süd Länge, ^rixog, und Breite, jcAarog, weil die Erde, wie Jeder-
mann zugestehe, mehr Ausdehnung in der ersten als in der zweiten
Abmessimg besitze, und Länge eben die grössere Abmessung (S. 365)
bezeichne ^). So hat sich also das Coordinatenbewusstsein in seiner
geographischen Anwendung fortwährend erhalten.

Ptolemäus ging aber vielleicht in dem Bewusstsein, dass man
auf gewisse Grundrichtungen sich beziehen müsse, noch Aveiter. Wir
denken dabei an eine Notiz, welche wir Simplicius, dem bekannten
Erklärer des Aristoteles, schulden. In den Erläuterungen zum
I. Buche vom Himmel berichtet er, Ptolemäus habe über die Aus-
dehnungen, jcsqI diaötaasav, geschrieben und dort gezeigt, dass
nur drei Ausdehnungen eines Körpers möglich seien. Bei der Un-
bestimmtheit dieser Angabe müssen wir allerdings dahingestellt sein
lassen, ob man glauben will, es seien in jener Schrift Gedanken
enthalten gewesen, welche dem Begriffe von Raumcoordinaten
nahe kommen.

Wieder an Hipparch sich anlehnend, lehrte Ptolemäus in der
Geographie die Anfertigung von Landkarten, mid das 24. Kapitel
des I. Buches*^) ist wohl das älteste erhaltene Schriftstück, welches

') Wolf, Geschichte der Astronomie S. 61 — 63, eine sehr hübsche üeber-
äicht über den Inhalt des Almagestes. ^) Almagest VI, 7 (ed. Halma).
*) Traue de Geographie de Claude Ptolcmce d'Alexandrie (edit. Halma). Paris,
1828. *) Wolf, Geschichte der Astronomie S. 153. ^) Ptolcmee, Geographie
(ed. Halma) pag. 17. •*) Ftolemee, Geographie (ed. Halma) pag*. 59.

Geometrie und Trigonometrie bis zu Ptolemüus. 395

in seiner Ueberschrit't als der Abbildung der bewohnten Erde anf
einer Ebene gewidmet bezeichnet ist, so dass die Maasse der Lagen-
verhältnisse auf der Kugel beibehalten werden sollen. Verschiedene
Projektionsmethoden werden hier gelehrt, mit welchen Ptolemäus
auch in zwei anderen Schriften, dem Planisphaerium und dem
Analemma, sich beschäftigt hat^). Ptolemäus benutzt vorzüglich
die Projektion, bei welcher das Auge als im Pole befindlich gedacht
wird und die Aequatorialebene die Zeichnungsebene bildet, die Pro-
jektion also, Avelcher Aiguillon 1613 den Namen der stereographi-
schen beigelegt hat.

Schriften des Ptolemäus über die Harmonielehre, d. h. über die
Verhältniss(?, welche, wie man heute sagen würde, zwischen den
Schwingungszahlen der einzelnen Töne stattfinden, und über Optik-)
begnügen wir uns zu nennen, da. sie der Geschichte der Mathematik
nicht angehören. Von Arbeiten über Mechanik wissen wir nur ülier-
haupt, dass sie vorhanden waren; Pappus erwähnt ihrer in seinem
Vlll. Buche, Eutokius in seinen Erläuterungen zu der archimedi-
schen Schrift über das Gleichgewicht.

Dagegen hat uns Proklus Auszüge aus einem reingeometrischen
Buche des Ptolemäus überliefert^), welche verdienen, dass wir bei
ihnen verweilen. Aus diesen Auszügen geht hervor, dass Ptolemäus
jedenfalls der erste Mathematiker war, von welchem bekannt ge-
worden ist, dass er das sogenannte 11. Axiom des Euklid nicht
als selbstverständlich betrachtet wissen wollte, dass er die zahllose
Reihe derer eröfiiiet hat, welche durch Versuche die Parallelentheorie
zu beweisen vergeblich sich abmühten, bis im XIX. S. der unendlich
viel kühnere Versuch auftauchte, die Parallelentheorie als anfechtbar
zu erklären und eine Geometrie zu schaffen, welche von ihr absehend
als anti- euklidische oder absolute Geometrie Geltung beansprucht.
Ptolemäus beweist zunächst, dass Gerade, welche durch eine Trans-
versale so geschnitten werden, dass die Winkel auf derselben Seite
der Transversalen und auf entgegengesetzten Seiten der Geschnittenen
sich zu zwei Rechten ergänzen, parallel sein müssen, d. h. sich nicht
treffen (Fig. 73). Gesetzt aß und yd schnitten sich in x, während
die Winkel ß^r] und drj^ sich zu zwei Rechten ergänzen. Wegen
des Satzes über Nebenwinkel werden auch die Winkel a^rj und yrj^

') Diese Abhandlungen hat Commandinus 1558 und 1562 übersetzt und
herausgegeben. ^) Vergl. Poudva, Histoire de la perspective. Paris, 1864,
pag. 28 — 32. Eine früher als Ptolemäus, De specuUs bezeichnete Katoptrik
ist nicht von Ptolemäus, sondern von Heron. S. Agrimensoren 18 — 19. ^) Prok-
lus (ed. Friedlein) 362—368. Vergl. L. Majer, Proklos über die Petita und
Axiomata bei Euklid. Tübingen, Gymnasialprogramm 1875.

396 20. Kapitel.

sich zu zwei Rechten ergänzei), und folglich wird auch auf der Seite,
wo a und y steht, ein Durchschnitt der beiden Geraden in A statt-
finden. Die Geraden aß und yd
schneiden sich also zweimal in x
und A, ohne zusammenzufallen,
d. h. sie schliessen einen Raum
ein, was nicht möglich ist. So
wenig gegen diesen Beweis sich
einwenden lässt, so wenig zutref-
fend ist der Beweis, den Ptole-
Fig. 73. maus von dem umgekehrten Satze

liefert, dass bei wirklich voraus-
gesetztem Parallelismus die entsprechenden Winkel auf derselben Seite
der Transversalen sich zu zwei Rechten ergänzen müssen. Die beiden
ai; und yr}j sagt er nämlich, sind nicht weniger parallel als die ^ß
und rjd. Wäre also die Summe der Winkel ß^r} und dtjt, mehr oder
weniger als zwei Rechte, so müsste genau das Gleiche für die Summe
der Winkel a^r} und yi^^ gelten. Die vier Winkel zusammen müssten
also, sei es nun mehr, sei es weniger als vier Rechte betragen, wäh-
rend sie als zwei Paar Nebenwinkel genau vier Rechten gleich sind.
Wie Ptolemäus die euklidischen Elemente in der Theorie der
Parallellinien für ergänzungsbedürftig hielt, so scheint es damals auch
mit anderen Büchern des darum nicht minder bewunderten Werkes
gegangen zu sein. Wir bringen in Erinnerung (S. 332), dass im
n. S. der byzantinische Astronom Vettius Valens einen aus
2 Büchern bestehenden Commentar zum X. Buche der euklidischen
Elemente verfasste, dessen arabische Uebersetzung sich möglicher-
weise erhalten hat.

Die Schriftsteller, mit welchen wir in diesem Kapitel bekannt
geworden sind, zeigen uns eine gewisse Gleichartigkeit unter sich und
mit denjenigen, welche in dem 17. Kapitel besprochen wurden.
Wieder haben wir es mit Geometem zu thun, welche der Curven-
lehre ihre Aufmerksamkeit zuwandten, welche die Stereometrie aus-
bildeten, von allen Körpern hauptsächlich die Kugel beachtend, welche
der rechnenden Geometrie die Vollendung zur Trigonometrie gaben,
indem sie gewisse Linien berechneten und tabellarisch zusammen-
stellten, welche zu gewissen Winkeln gehörten. Die Sehnentabelle
ist — wir können uns nicht versagen, unsere Augen so weit nach
rückwärts zu werfen — die für lange Zeit letzte Entwicklung eines
alten Keimes. Das Seqt genannte Verhältniss des Ahmes wuchs
dazu heran, und es scheint fast, als ob die ganze Entwicklung auf
ägyptischem Boden vor sich ging.

Geometrie und Trigonometrie bis zu Ptolemäus. 397

Ist aber eine Art von Gemeinsamkeit der Mathematiker von
Nikomedes und Diokles bis auf Menelaus und Ptolemäus, von 200
V. Chr. bis 150 nach Chr. nicht zu verkennen, so ist es nicht minder
nothwendig, auf allgemeine kulturhistorische Veränderungen hinzu-
weisen, welche innerhalb dieser Zeit eintraten, und welche nunmehr
beginnen werden auf dem Gebiete, welches wir zu unserem Arbeits-
felde ausgewählt haben, sich deutlich bemerkbar zu machen. In der
Einleitung zum 12. Kapitel haben wir (S. 240) die alexandrinische
Literaturperiode ihrem allgemeinen Charakter nach kurz umrissen.
Wir haben als untere Grenze derselben die Einverleibung Alexandrias
in das römische Reich bezeichnet in der Mitte des ersten vorchrist-
lichen Jahrhunderts. Ueber diese Grenze hat uns das hier ab-
schliessende Kapitel hinübergeführt und noch über eine andere von
weltgeschichtlich grösster Bedeutung. Geminus 77 v. Chr., Ptolemäus
150 n. Chr. bilden Anfang und Schluss unseres Kapitels. Müssen
wir erst sagen, was zwischen beiden Jahreszahlen liegt? Und den-
noch war die Entstehung des Christenthums für die Geschichte
unserßr Wissenschaft ein zunächst fast nebensächliches Ereigniss,
weit geringfügiger in seinen unmittelbaren Einwirkungen als jene
Machtverschiebung, die wir schon andeuteten. Rom kommt in den
feldmesserischen Beispielen des Heron, in den astronomischen Be-
obachtungen des Geminus vor. Auch Menelaus beobachtete in Rom.
Ptolemäus entnahm seine Datirungen den Regierungsjahren römi-
scher Kaiser. Daran erkennen wir äusserlich, dass neue staatliche
Combinationen innerhalb des Lebens grade der Männer sich gebildet
haben, welche wir in diesem Kaj^itel friedlich nach einander betrach-
teten. Solche weltgeschichtliche Thatsachen dürfen auch in der
historischen Darstellung einer Wissenschaft nicht mit Schweigen
übergangen werden. Die Entwicklung der Wissenschaft knüpft sich
■an die Träger der Wissenschaft, die Träger der Wissenschaft ge-
hören als Menschen ihrer Zeit an. Deutlicher oder in verwischteren
Spuren wird die Zeit auch in der Wissenschaft zu erkennen sein.
Ueberblicken wir darum in raschestem Fluge die allgemeinen Ver-
hältnisse. Wir gelangen damit zugleich zu denjenigen mathemati-
schen Dingen, deren Erörterung uns der Zeit nach etwas zurück-
greifend nunmehr obliegt.

398 21- Kapitel.

21. Kapitel.
Nenpytliagoräisclie Arithmetiker. Nikomachus. TLeon.

Rom hatte uach und iiacli in Italien das unbestrittene Ueber-
gewiclit über die Mitbewohner des Landes südlich von den Alpen
errungen. Der Tod des Archimed knüpft sich für uns an die Er-
oberung von Syrakus, das Todesjahr des Apollonius war es ungefähr,
in welchem Rom mit Macedonien handgemein wurde und den Sieg
bei Kynoskephalä erfocht. Zehn Jahre später und der syrische Krieg
gegen Antiochus den Grossen war geschlagen. Die seegeübten Be-
wohner der Insel Rhodos wie die Krieger von Pergamum waren den
Römern zur Seite gestanden und fühlten von jetzt an den Einfluss
der mächtigen Weltbefreier, wie man die Römer noch nannte. Deut-
licher wurde das Streben des die Stellung als Weltmacht sich er-
obernden Staates, als um 150 die Nebenbuhlerschaft Karthago» ver-
nichtet ward, und mehr und mehr drängte sich in dem nun folgenden
Jahrhunderte römischer Wille den orientalischen Ländern mit Ein-
schluss Aegyptens auf. Gegen Aegypten selbst führte Cäsar im
Jahre 47 seine Truppen zum alexandrinischen Kriege, und der
Eroberimg der Stadt leuchtete mit bildungsfeindlicher Flamme der
Brand des Brucheiou.

Wir haben von dem grossartigen Sammeleifer der ersten Ptole-
mäer gesprochen. Ihnen fast voraus war die Gier, mit welcher König
Attalus von Pergamum Bücher sich zu verschaffen suchte, und diese
Wettbewerbung soll die Ursache nachweisbar vorgekommener Fäl-
schungen gewesen sein. Im 11. vorchristlichen Jahrhunderte tauchten
plötzlich Schriften auf, von welchen der sein sollende alte Verfasser
nie eine Ahnung gehabt hatte, und welche wissenschaftlich nur so
weit Verwerthung finden können, als sie den Beweis liefern, dass
man im II. S. mit den Dingen bekannt war, die den Inhalt derselben
bilden. Durch Ankäufe echter und unterschobener Schriften wuchs
die alexandrinische Bibliothek so, dass sie in einem Gebäude nicht
mehr Platz fand. Nachdem das Brucheion in der Nähe des Hafens
angefüllt war, legte man eine zweite Sammlung im Tempel des
Serapis an. Jene erste Hauptsammlung war es, die der Peuersbrunst
zum Opfer fiel, die mit mehr als 400 000 Bänden das vernichtende
Element nährte.

Das war ein harter Schlag für die Wissenschaft ujid deren
alexandrinische Vertreter. Bis zu einem gewissen Grade wurde zwar

Neupythagoräische Arithmetiker. Nikomachus. Theon. 399

Ersatz geboten. Der römerfreundliche König von Pergamum, Atta-
lus III., liatte sterbend im Jahre 133 v. Chr. den römischen Senat
zum Erben seiner Schätze eingesetzt, und Antonius ttberliess die per-
gamenische Büchersammlung der Stadt, welche durch die Reize Kleo-
patras an ihm einen Gömier gewonnen hatte. So war aufs neue
eine grossartige Bibliothek, jetzt im Serapeion, vereinigt. War die
grammatische Thätigkeit, welche wir bei unserem früheren Berühren
der alexandrinischen Wissenschaft als im Museum vorzugsweise neben
und wohl vor der Mathematik gepflegt nannten, eine solche, die als
Stoff ihrer Untersuchung ältere Schriften verwerthen musste, so mag
jetzt, nachdem man gesehen, wie ein Unglücksfall unschätzbar vieles
zerstört hatte, mehr noch als zuvor eine Neigung erwacht sein, durch
Erläuterungen und Zusammenstellungen die alte Wissenschaft in
Sicherheit zu bringen. Andere Momente waren gleichfalls vorhanden,
anderen Beweggründen entstammend, aber für unsere Zwecke mit der
commentirenden Thätigkeit zusammenfallend.

Alexandria war der Ort, wo Heleneuthum, wo Aegyptisches, wo
aber auch Asiatisches sich begegneten. Assyrier, Inder, Hebräer
trafen dort ein, ihre ältere oder jüngere Bildung mit sich bringend,
austauschend, ergänzend. Was bei einem . solchen Zusammenströmen
Weitgereister einzutreffen pflegt, fehlte auch hier nicht. Der Wissens-
durst schöpfte mit noth wendigem Eklekticismus bald da, bald dort;
das Wunderbarste übte die grösste Anziehung; man fühlte sich ver-
sucht, selbst nach jenen Gegenden, dem Schauplatze märchenhafter
Erzählungen, aufzubrechen; man gewann aber auch neues Interesse
an Solchen, die ehedem gleiche Reisen ausgeführt hatten, denen man
zu den wirklich erlebten Abenteuern neue hinzudichtete. Die Phan-
tasie gewann das Uebergewicht über den nüchtern denkenden Ver-
stand. Die Dialektik des Aristoteles entsprach den Neigungen nicht
mehr in dem Maasse wie Piatons die Einbildungskraft anregende
und voraussetzende Schriften. Piaton als Schriftsteller, Pythagoras
als Persönlichkeit zu verehren wurde allgemeiner und allgemeiner.
Ein gewisser mystischer Pythagoräismus, von Wissenschaft freilich
weit entfernt, war nie gänzlich verschollen. Er erholte sich zu
neuem, kräftigem Leben. Die neue Akademie bildete sich heran,
die Neupythagoräer entstanden. Sie studirten, sie erläuterten
Piaton im pythagoräischen Sinne, so weit derselbe zu ermitteln war.

So kamen selbstverständlich auch diejenigen mathematischen
Forschungen wieder in eifrigere Uebung, welche schon vorher vor-
handen gegen die Geometrie zurückgetreten waren, wemi auch ein
Verschwinden derselben nicht behauptet werden kann. Die pytha-
goräische Arithmetik wurde jetzt Mode in dem Sinne, wie wir dieses

400 21. Kapitel.

Wort schon einmal (S. 245) gebraucht haben. Männer wie Niko-
machus, wie Theon standen auf.

Nikomachus war in Geras a zu Hause, einem Orte, der wahr-
scheinlich in Arabien zu suchen ist^). Er nennt in einer musika-
lischen Abhandlung Thrasyllus, womit jedenfalls der unter der
Regierung des Tiberius lebende Platoniker aus Mende gemeint ist,
er kann also nicht früher als etwa 30 n. Chr. geschrieben haben.
Ihn übersetzte Appuleius von Madaura unter den Antoninen ins
Lateinische^), und damit ist als untere Grenze das Jahr 150 etwa
gewonnen. Gemeiniglich setzt man Nikomachus von Gerasa auf
einen mittleren Zeitpunkt zwischen diese Grenzen, um das Jahr
100 n. Chr., denkt ihn also etwa als Zeitgenossen des Menelaus
von Alexandria.

Nikomachus war als Pythagoräer bekannt^), als Arithmetiker be-
rühmt. Neben der Thatsache einer Uebersetzung so kurz nach dem
Erscheinen des Werkes, wie die des Appuleius, ist der Ausspruch des
Lucian dafür bemerkenswerth, der um 160 etwa einen Rechner nicht
besser zu beloben wusste als mit den Worten, er rechne wie Niko-
machus von Gerasa*), und auch von Commentaren zu den Büchern
des Nikomachus, welche deren grosse Berühmtheit verbürgen, werden
wir weiter unten zu reden haben.

Die musikalischen Schriften des Nikomachus werden wir nicht
zu betrachten haben, so wenig wir andere Musiker in das Bereich
unserer Besprechung ziehen. Uns kümmert in erster Linie nur die
„Einleitung in die Arithmetik in zwei Büchern"''), sigayioyrj
aQiQ^r]Tijctj, eben jenes von Appuleius bald übersetzte Werk, dessen
geschichtliche Stellung wir zu erörtern haben. Ein Schriftsteller
au& dem Anfange des VIL S., Isidorus von Sevilla, hat behauptet,
Nikomachus habe weitläufiger auseinandergesetzt, was Pythagoras
über die Zahlenlehre schrieb"). Wir sind weit entfernt, an die über-
treibungslose Wahrheit dieser Aussage zu glauben, allein eben so ge-
wiss scheint uns, dass von dem Inhalte der Einleitung in die Arith-
metik vieles auf ältere und älteste Quelle zurückzuführen sein wird.

') Die Stellen, welche diese Annahme unterstützen vergl. bei Nessel-
mann, Die Algebra der Griechen S. 189, Note 33. ^) So berichtet Cassio-
dorius. Die Uebersetzung selbst ist verloren. ^) Pappus III, 18 (ed. Hultsch)
pag. 84 Nim^axog 6 Uv&ayoQLKÖg. *) &Qi.&(Ji£tLg utg Nt-yiöfiaxog 6 rBQccaiqvog.
'•") Schon 1538 in Paris gedruckt, ist sie 1817 zugleich mit dem anonymen Buche
&ioloyov(itv(x xfjg ccQL&fijjri'nfig durch Ast herausgegeben, dann 18G6 durch
Ho che. Wir citiren nach letzterer Ausgabe. ^) Isidorus Ilispaliensis,
Origines III, 2: Numeri disciplinam apud Graecos Pythagoram auiumant con-
scripsisse ac deinde a Nicomacho diffusius esse dispositam, quam apud Lalinos
primus Appuleius deinde Bocthius transtulerunt. .

Neupythagoräische Arithmetiker. Nikomachus. Theon. 401

Nikomaclius ist tins auf aritlimetisc]iem Gebiete das, was uns Euklid,
was uns Heron für die Elemente der theoretischen, der praktischen
Geometrie gewesen ist. Er ist der erste Schriftsteller, von dem wir
wissen, dass er die arithmetischen Lehren als solche zu einem Lehr-
körper zusammenstellte. Euklid hatte auch Arithmetisches behan-
delt, aber als Einschaltung zwischen geometrische Untersuchungen
und in geometrischer Einkleidung. Anders Nikomachus. Er hat die
Zahleulehre für sich behandelt, und wenn er auch schon vorhan-
denen Stoff sicherlich nicht verschmähte, wenn er ebenso auch die
Gewohnheit griechischer Mathematiker nicht so weit abzustreifen
vermochte, dass er geometrische Begriffe gänzlich aus seiner Dar-
stellung verbannte, er hat doch nicht fortwährend mit Linien oder
höchstens beiläufig mit Zahlen zu thun. Er ist, wenn wir so sagen
dürfen, der Elementenschreiber griechischer Arithmetik. Er hat eine
Liebhaberei, von welcher wir unsere Leser in Kenntniss setzen
müssen. Er sucht so viel als möglich nach Dreitheilungen, auch
wo dieselben nur mit einem gewissen Zwange erlaugt werden können.
Die au sich gerechte Bemängelung, die manchen seiner Eintheilungen
geworden ist, musste stets an diese Thatsache anknüpfen^), eine
Thatsache freilich, deren nähere Besprechung durchaus der Geschichte
der Philosophie und der Theologie angehört, welche mit dem Ur-
sprünge und der Entwicklung des Trinitätsbegriffes sich abzufinden
haben. Nach dieser Vorbemerkung berichten wir in aller Kürze über
die Einleitung in die Arithmetik^). Unsere Leser werden, auch ohne
dass wir sie besonders aufmerksam machen, ohne Zweifel vieles er-
kennen, was wir in früheren Kapiteln dem Werke des Nikomachus
entlehnten, um es für Pythagoras und seine Schule bis auf Platou
und dessen nächste Nachfolger in Anspruch zu nehmen.

Die Zahlen sind nach Nikomachus grade und ungrade, jede
selbst von drei verschiedenen Gattungen. Die graden Zahlen sind
nämlich 1. grademalgrad, ägticcxig ccqtloi,, d. h. führen durch fort-
währende Halbirung auf die Einheit zurück; oder sie sind 2. grade-
ungrad, ccQtiOTtsQitToi,, d. h. führen durch einmalige Halbirung auf
eine ungrade Zahl; oder sie sind 3. ungradegrade, TtsQLööaQtLOL, d. h.
führen durch mehrmals fortgesetzte Halbirung auf eine ungrade Zahl.
Die ungraden Zahlen sind 1. uuzusammengesetzte Primzahlen,
2. zusammengesetzte Sekundärzahlen, 3. unter sich theilerfremde
Zahlen. Unter den graden Zahlen Avird eine neue Gruppiruug in

^) So Nessel mann, Algebra der Griechen S. 195: „Nikomachus hätte
sicherlich diesen Fehler nicht begangen, wenn er nicht der Analogie wegen
durchaus drei Theile hätte herausbringen wollen." ^) Ein ausführlicher Auszug
bei Nesselmann 1. c. S. 191—216.

Cantor, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 26

402 21. Kapitel.

1. vollkommene, 2. überschiessende, 3. mangelhafte Zahlen vor-
genommen. Von zwei gemeinsam betrachteten Zahlen ist die Grössere
entweder ein Vielfaches der Kleineren, die alsdann selbst Unterviel-
faches der Grösseren ist, oder nicht. Im letzteren Falle werden die
Namen angegeben, welche jedesmal der Grösseren, beziehungsweise
der Kleinereu gegenüber von der anderen beigelegt werden, Namen,
die jedes beliebige Verhältniss ausdrücken können, die aber ganz be-
sondere, später auch in die lateinische Sprache übergegangene Formen

erhalten, wenn das Verhältniss wie 1 zu n -\ n~T oder wie 1 zu

' ' m -f- 1

n -\ ,-— ist, wo n sowohl als m ganze Zahlen bedeuten, die min-

destens der Einheit gleich sind. Um die Sache recht klar zu machen,
bedient sich Nikomachus einer schachbrettartig aus 100 Feldern be-
stehenden Tafel ^). Die erste Horizontalzeile enthält einfach die
Zahlen 1 bis 10, die zweite die Doppelten derselben, 2, 4 bis 20,
die dritte die Dreifachen, 3, 6 bis 30 und so fort; endlich die zehnte
Horizontalzeile enthält die Zehnfachen jener Zahlen oder 10, 20 bis
100. Sieht man die Tafel als aus zehn Vertikalkolumnen bestehend
an, so gleicht jede Vertikalkolumne ganz genau und Zahl für Zahl
der entsprechend bezifferten Horizontalzeile, die erste der ersten, die
zweite der zweiten, die zehnte der zehnten. Wir halten uns bei
dieser Beschreibung etwas länger auf, weil die Benutzbarkeit der
Tafel als Einmaleinstabelle einleuchtet. Das Produkt zweier eiu-
ziffriger Zahlen steht an der Kreuzungsstelle der durch die beiden
Faktoren bezifferten Zeile und Kolumne. Ausserdem stehen zwei
Zahlen derselben Kolumne je in dem gleichen Verhältnisse wie die
ihre Zeile eröffnenden Zahlen. Alle diese verschiedenen Verhältnisse
lassen sich aber aus einer Terne von Einheiten durch eine gewisse
Reihenfolge von Verbindungen hervorbringen, welche symbolisch ge-
schrieben darauf hinauslaufen, dass aus den drei Zahlen a, h, c die
drei neuen Zahlen a, a -\- h, a -{- 2b -\- c gebildet werden sollen, ein
Bildungsgesetz, welches der moderne Mathematiker mit einigem
Staunen als das gleiche erkennen wird, das anderthalb Jahrtausende
später zu den Grössen x, x -\- /Jx, x -\- 2 Jx -\- A^x führte. Der
Reihe nach erhält man:

1, 1, 1

1, 2, 4 oder die Verdoppelungen,

1, 3, 9 oder die Verdreifachungen,

1, 4, IG oder die Vervierfachungen, u. s. w.

') Nicomachi, Introductio etc. (ed. Ho che) pag. 51.

Neupythagoräisclie Arithmetiker. Nikomaclius. Theon. 403

Schreibt man eine dieser Reihen z. B. die der Verdoppelungen
rückläufig 4, 2, 1, d. h. benutzt man bei gleichem Bilduugsgesetze
wie oben a = 4, h = 2, c = 1, so entsteht als neue Reihe
4, 6, 9 oder die Veranderthalbfachungen u. s. w.

Im zweiten Buche ist die Lehre von den figurirten Zahlen und
daran sich anschliessend die von den Proportionen enthalten. Die
figurirten Zahlen erscheinen als vieleckige und als körperliche
Zahlen. Die vieleckigen Zahlen sind solche, welche durch einzelne
Punkte dargestellt ein regelmässiges Vieleck zu bilden im Staude
sind. Vielecke auf einander gehäuft bilden einen Körper, und so
wird der Sinn der körperlichen Zahl erkennbar, die freilich zunächst
nichts mit dem Produkte dreier Faktoren gemein hat, welches Platou
als Körperzahl bezeichnet, wenn auch Nikomachus in zweiter Linie
auf diese Begriffsbestimmung zurückkommt. Aehnlich geht es schon
vorher mit der Plächenzahl, welche für Nikomachus nicht wie für
Piaton ein Produkt zweier Faktoren bedeutet, während nachträglich
diese Bedeutung doch eingeführt wird. Jede vieleckige Zahl ist bei
Nikomachus, wie bei Hypsikles, Summe einer mit 1 beginnenden
arithmetischen Reihe, deren Differenz stets um 2 kleiner ist als die
Eckenzahl, und diese erzeugende arithmetische Reihe heisst auch die
Reihe der Gnomonen der betreffenden Vieleckszahlen, weil jede neu
hinzutretende Gnomonzahl die Vieleckszahl nur in die nächsthöhere
ähnlicher Art verwandelt. Eine beliebige «eckszahl mit der an Rang
um 1 niedrigeren Dreieckszahl vereinigt gibt stets die n -{- 1 ecks-
zahl gleichen Ranges. So ist z. B. die vierte Sechseckszahl 28, die
dritte Dreieckszahl 6, deren Summe 28 + 6 = 34 wird die vierte
Siebeneckszahl sein. — Die Summe auf einander folgender ungrader
Zahlen von der 1 an bildet, der vorher angegebenen Regel für Viel-
eckszahlen gemäss, eine Quadratzahl. Die Summe auf einander fol-
gender grader Zahlen von der 2 an bildet eine heteromeke Zahl. —
Die Kubikzahlen erscheinen als Summen auf einander fol-
gender ungrader Zahlen^), und zwar ist die erste Kubikzahl der
ersten Ungraden gleich: 1^= 1; die zweite Kubikzahl entsteht als
Summe der zwei folgenden Ungraden: 2^ = 3 -j- 5; die dritte Kubik-
zahl als Summe der drei nachfolgenden Ungraden : 3^ = 7 + 9
-[-11 u. s. w.^). Dieser durch seine Verwendung zur Summirung
der Kubikzahlen selbst, wie wir im 26. Kapitel sehen werden, un-
gemein interessante Satz dürfte wohl von Nikomachus herrühren^).

*) Nicomachi Introductio etc. (ed. Hoche) pag. 119, lin. 12 — 18. °) Die
aligemeine Formel, welche Nikomachus nicht gekannt zu haben scheint, ist
"^ = («- — 11 -\- 1) -}- (n^ — n -{- ii) -{- ■ ■ -^ (n^ -f n — 1). '^) So nimmt auch
Nesselmann S. 210 an.

26*

404 21. Kapitel.

— Die Proportioneiilelire zählt alsdann als die drei wichtigsten
Proportionen, die arithmetische, geometrische, harmonische auf, an
welche die sieben andern sich anschliessen, über die wir (S. 227)
uns verbreitet haben. Den Schluss des Ganzen bildet die vollkom-
menste Medietät, ^söorrjg rs^iSLordtrj, die nichts anderes ist als die
musikalische, welche Jamblichus zufolge Pythagoras aus Babylon
mitbrachte (S. 155).

Ausser der Einleitung in die Arithmetik muss Nikomachus auch
eine solche in die Geometrie geschrieben haben, von welcher uns
aber nur eine Erwähnung bei Nikomachus bekannt ist^). Vielleicht
ist eine Vermuthung über deren Inhalt statthaft, zu welcher wir im
27. Kapitel gelangen werden.

Ein aus arabischen Quellen schöpfender Schriftsteller des XII. S.,
Ocreatus, spricht von einer regula Nichomachi, welche die Quadrirung
einziffriger Zahlen vollziehen lässt. Soll man a^ finden, so zieht man
a von 10 und die Differenz d = 10 — a wieder von a ab. Weil nun
(a — d) • {n -\- d) = a'^ — d'^, so ist auch a^ = {a — rf) • (a -j- d) -\- d^
oder wegen a -\- d = \0 in diesem Falle «- = 10. {a — d) -\- d^ und
das ist die Regel des Nikomachus. Bei Nikomachus selbst ist sie
als sehr schöne und von den Meisten übersehene Eigenschaft der
stetigen arithmetischen Proportion dahin ausgesprochen, das Quadrat
des Mittelgliedes werde, wenn man das Produkt der äusseren Glieder
davon abziehe, gleich dem Quadrate der constanten Differenz-).

Nikomachus scheint ferner eine Schrift über mystische Bedeutung
der Zahlen, über Zahlentheologie mag der Titel gewesen sein,
verfasst zu haben, und sie dürfte auszugsweise oder erweitert einem
gleichnamigen Buche zu Grunde liegen, welches im 23. Kapitel ge-
nannt werden wird; der Geschichte der Mathematik gehören diese
Dinge kaum an.

Theon von Smyrna ist nach aller Wahrscheinlichkeit der-
selbe, welchen Ptolemäus als den Mathematiker Theon bezeichnet"*),
indem er vier durch denselben in den Jahren 128 und 132 vorgenom-
mene Beobachtungen des Merkur und der Venus benutzt. Der Com-
mentator des Almagestes, Theon von Alexandria, erklärt nämlich
jenen Mathematiker Theon als den alten Theon, x6v naXatov &£cova,
als ob ein Missverständniss nicht möglich wäre'). Unser Theon

■) Nicomacbi Introductio etc. (ed. Hoche) pag. 83, lin. 4: iv rfj yeco-
li(TQiv.fi TtdQadCSorai tigayojyfj. ') Nicomachi Introductio etc. (ed. Hoche)
pag. 125, lin. 18 — 21: tri t6 yXcccpvQwzccrov v.al rot»? nolXovg Xthßög, xo vTtb
x&v av.Q03v yiv6{iEV0V cvyHQt-pöfitvov xü anb xov (isaov tlaxxov avxov svqlcksxui
TW vnb x&v diacpoQ&v. ^) Alinagest IX, 9; X, 1 und X, 2. *) Die betreffende
Stelle ist abgedruckt bei Nesselmann, Algebra der Griechen S. 224, Note öS.

Neupythagoräisclie Arithmetiker. Nikomachus. Theon. 405

selbst erwähnt als jüngsten Schriftsteller noch den Thrasyllus, der,
wie wir bei Bestimmung der Lebenszeit des Nikomachus bemerkten,
in die Regierung des Tiberius fällt, und den Adrastus, der wohl noch
etwas später gelebt hat^).

Wir haben (S. 144) schon zu schildern gehabt, welcherlei Inhalt
Theon von Smyrna seinem Werke ausgesprochenermassen geben wollte.
Er beabsichtigte vorzutragen, was von mathematischen Kenntnissen
für das Studium Piatons nothwendig sei. Er ging dabei aus von
der Arithmetik mit Inbegriff der musikalischen Zahlenverhältnisse,
darauf sollte die Behandlung der Geometrie, der Stereometrie, der
Astronomie, der Musik der Welten folgen. Man hat daraus lange
Zeit die Vermuthung geschöpft, es seien fünf Bücher ziemlich gleichen
Umfanges gewesen, welche das Werk des Theon von Smyrna bildeten,
und diese Vermuthung fand eine Art von Begründung in dem Um-
stände, dass zwei verschiedene umfangreiche Bruchstücke sich vor-
fanden, das eine vorzugsweise arithmetischen, das andere vorzugsweise
astronomischen Inhaltes. Beide wurden getrennt herausgegeben^).
In dem einen glaubte man das erste, in dem zweiten das vierte Buch
zu erkennen. Man vermisste drei ganze Bücher von ähnlichem Cha-
rakter: der Geometrie, der Stereometrie, der Musik der Welten ge-
widmet. Wir sind nicht dieser Meinung und stehen in unserer
durchaus abweichenden Ansicht auch nicht vereinzelt^). Wir er-
kennen vielmehr in jenen beiden Fragmenten das ganze Werk Theons.
Nach einer philosophischen Einleitung erscheinen Eintheilungen der
Zahlen in Gattungen ähnlicher Art, wie sie bei Nikomachus uns be-
kamit wurden. Da ist von der Entstehung der Quadratzahl als
Summe ungrader Zahlen, aber auch als Summe von je zwei Dreiecks-
zahleu, von Viereckszahleu und Pyramidalzahlen, von vollkommenen
Zahlen und Verwandtem die Rede, darunter von zwei Gegenständen,
denen wir nachher besondere Aufmerksamkeit schenken wollen. Daran
knüpfen sich Kapitel über die Tonzahlen untermischt mit weitläufig

^) Vergl. Th. H. Martin in der Abhandlung, welche seiner Ausgabe der
astronomischen Abtheilung von Theons Werke (Paris, 1849) als Einleitung dient
pag. 6 — 12. IMartin bezweifelt die Identität des Theon von Smyrna mit dem
von Ptolemäus genannten Mathematiker, setzt ihn aber in die gleiche Zeit,
worauf es uns schliesslich allein ankommt. -) Die sogenannte Arithmetik von
Bullialdus. Paris, 1644 und von De Gelder. Leiden, 1827, die sogenannte
Astronomie von Martin. Paris, 1849. ^) Prof. E. Hiller, welchem wir
unsere Ansicht brieflich darlegten, theilte uns mit, dass er die genau gleiche
in seiner Bonner Habilitationsschrift (1869), welche ungedruckt geblieben ist,
ausgesprochen und begründet habe. Diese Auffassung liegt auch der durch ihn
besorgten Ausgabe des Theon von Smyrna (Leipzig, 1878), nach welcher wir
'citiren, zu Grunde.

406 21. Kapitel.

ausgespomieuen zahlensymbolisclieii Tüfteleien, die aiicli schon in der
ersten Abtlieikmg spukten, untermischt mit Erörterungen über die
verschiedenen Proportionen. In kurzen kaum mehr als einige Wort-
erklärungen bietenden Abschnitten ist von Geometrie imd von Stereo-
metrie die Rede^). Weitaus am ausführlichsten ist alsdann die
Astronomie behandelt, vielleicht in diesem mangelnden Ebenmaasse
der Ansicht förderlich, dass Theon von Smyrna vorzugsweise Astro-
nom, mithin der von Ptolem'aus genannte Beobachter war. Die
Schlussworte heissen : „Das sind die nothweudigsten Dinge und vor-
zugsweise aus der Astronomie zur Kenutnissnahme platonischer
Schriften. Da wir aber sagten, die Musik und Harmonie sei theils
an Instrumenten, theils an Zahlen, theils am Weltall, und dass wir
über die Musik der Welten das Nothwendige nach der Astronomie
angeben würden — denn auch Piaton sagt, sie sei die fünfte Wissen-
schaft nach Arithmetik, Geometrie, Stereometrie, Astronomie — so
ist auch darüber mitzutheilen, was hauptsächlich Thrasyllus zeigte
zugleich mit dem, was wir früher selbst ausgearbeitet haben." Diese
Sätze machen auf uns den Eindruck, als wenn sie einem Werke,
nicht bloss einem Abschnitte als Schluss gedient hätten, als ob
Theon die zuletzt versprochene weltharmonische Erörterung sich
vorbehalten hätte. Mag dem nun sein wie da wolle, wesentliche
Lücken zwischen dem Erhaltenen können wir uns unter keinen Um-
ständen entschliessen anzunehmen; höchstens könnten wir uns dazu
verstehen, an eine Umstellung mancher Kapitel zu glauben, da es
eigenthümlich sich ausnimmt, wie Theon verschiedentlich auf früher
Besprochenes zurückkommt, ohne dass eine künstlerische Anordnung
des Werkes die Wiederholung erforderte. Vielleicht sind solche
Mängel auch der geringeren Befähigung Theons anzurechnen. Theon
war bei weitem kein Nikomachus! Seiner Zusammenstellung fehlt
nach Form und Inhalt die Folgerichtigkeit. Erwähnen wir ein Bei-
spiel, welches geschichtlichen Werth besitzt.

„Die Einheit ist nicht Zahl, sondern Anfang der Zahl" sagt
Theon ^), den pythagoräischen Gedanken deutliclier als irgend ein
anderer Grieche aussprechend; das hindert ihn aber nicht 1 neben
3, 5 ... als ungrade ZahP) oder mit nachfolgenden 2, 3, 4 . . . in
der natürlichen Zahlenreihe auftreten zu lassen'*).

Es fällt uns nach dieser nicht sehr hohen Meinung, welche wir

^) Theon Smyrnaeus (ed. Hiller) pag. 111, lin. 14 — pag. 113, lin. 8
und pag, 117, lin. 12 — pag. 118, lin. 3. Die erstere Stelle enthält plani-
metrische und stereometrische Definitionen, die letztere die geometrische Con-
struction eines geometrischen Mittels. ,*) Theon (ed. Hiller) pag. 24, lin. 23.,
3) Theon pag. 28, 5 und 32, 11. *) Theon pag. 33, 4.

Neupythagoräische Arithmetiker. Nikomachus. Theon. 407

von Theon besitzen, schwer in ihm den Erfinder bedeutsamer arith-
metischer Neuerungen zu sehen, und damit wächst umgekehrt die
historische Benutzbarkeit seiner Angaben für alte Zeiten. Aelteren
Datums dürften daher auch die Dinge sein, auf welche zurückzu-
kommen wir oben zugesagt haben. Jede Quadratzahl, sagt uns
Theon ^), ist entweder selbst oder nach Verminderung um eine Ein-
heit durch 3 wie auch durch 4 theibar, und so entstehen vier Arten
von Quadratzahlen durch Vereinigung jener beiden selbständigen je
zwei Unterarten bedingenden Unterscheidungen. Es ist ziemlich
gleichgiltig, wann man diesen Satz entdeckte, der freilich der Lehre
von den quadratischen Resten angehört, aber eine grosse praktische
Bedeutung nicht besitzt.

Ganz anders verhält es sich mit den Seiten- und Diametral-
zahlen, nXevQa und 6icc(istqos, mit welchen Theon sich beschäf-
tigt-). Die Entstehung dieser Zahlen ist folgende. Ausgehend von
zwei Einheiten bildet Theon neue Zahlen, indem er einmal die beiden
gegebeneu Zahlen addirt 1 + 1=2 und das anderemal das Dop-
pelte der einen Zahl zur anderen fügt 2-l-|-l=3. Es soll hier nicht
versäumt werden, auf Aehnliches bei Nikomachus (S. 402) erinnernd
zurückzuverweisen. Von den beiden so gewonnenen Zahlen heisst
ihm die kleinere 2 die Seite, die grössere 3 die Diametralzahl. Diese
Bildungsweise wird alsdann fortgesetzt, indem die Summe einer Seite
und ihrer Diametralzahl die folgende Seite, die Summe der doppelten
Seite und der Diametralzahl die folgende Diametralzahl liefert.
Heissen etwa alle Seiten a, alle Diametralzahlen d mit jedesmal beizu-
fügender Ordnungszahl, so ist das Bildungsgesetz a^j _ j + d„ _ i = «,j
und 2a„_i-|- ön — i = dn- Das Quadrat einer jeden Diametralzahl,
behauptet nun Theon, unterscheidet sich von dem doppelten Quadrate
der zugehörigen Seite nur um eine Einheit, um welche bald die
eine, bald die andere Zahl abwechselnd grösser ist. Einen Beweis
für diesen Lehrsatz:

dj = 2an^ + 1

wird man bei Theon vergeblich suchen, richtig aber ist er, wie die
Werthe a^ = 1, ö^ = 1; a.^ = 2, d^ = 3; a^ = 5, d.^ = 7; a^ = 12,
^4 ^= 17 u. s. w. zeigen. Allgemein folgt aus den Definitions-
gleichungen für an und dn, dass

') Theon pag. 35, 17 etc. ^) Theon pag. 43, 5 etc. Nesselmann,
Algebra der Griechen S. 228 — 231 hat eine von unserer Auffassung verschiedene
Erklärung dieser Stelle. Mit uns stimmt dagegen überein Unger in einem Er-
furter Gymnasialprogramm von 1843: Kurzer Abriss der Geschichte der Zahleu-
lehre von Pythagoras bis auf Diophant S. 17 — 19.

408 21. Kapitel.

d^ = 4afj_i -f- 4an-i d^-i + ^«-i

2«,! — öl = — (2af_i — ^f_i)

und durch Fortsetzung der gleichen Schlussart:

2 an' — d,' = (- l)"-'{2a,'- d,') = (- 1)"-' (2 - 1) = (- ly-^
und

d,;'=2aj+{-iy.

Jedenfalls kann man aus dem als wahr angenommenen Satze die

*« . . /- .

Folgerung ziehen, dass -^ sich nur wenig von ]/2 unterscheide, dass

n
1 ^ 7 17

also - , -^, ~ir, ^x u. s. w. auf einander folgende Näherungswerthe

von |/2 sein müssen. Jedenfalls deuten ferner die Namen Seiten-
und Diametralzahl mit ihren Beziehungen zur Seite und Diagonale
eines Quadrates darauf hin, dass Theon sich dieser Anwendung be-
wusst war. Um so wahrscheinlicher wird die Vermuthung, mau
werde bei Erfindung seines Satzes von einem wesentlich geometri-
schen Gedankengange geleitet worden sein. Mau
hat an folgende Entwicklung gedacht'). Es sei
(Figur 74) ABT ein gleichschenklig rechtwink-
liges Dreieck mit den Seiten a„_i, a,i^i, d„_i.
Werden nun die beiden Katheten jede um dn— i ver-
längert, so entsteht das neue gleichschenklig recht-
winklige Dreieck A/iE mit den Seiten «„, a„, d\.
Voraussetzuügsmässig ist «„ = «„_i -}- d„_i,

aber aus der Figur sieht man dann sofort, dass

7
8n = 2aa—\-\-8a — \ sciu muss. Wir haben — mehrfach als muth-

masslich seit Piaton bekannten Näherungswerth von )/2 auftreten

17 . .

sehen. Der darauf folgende Bruch -~ wird im 30. Kapitel uns er-
innerlich werden müssen. Dadurch wächst die Wahrscheinlichkeit,
dass man der erwähnten Folgerung von dem Zusammenhange zwischen

■)/2 und " sich bewusst war, wenn die Folgerung selbst bei Theon

auch nicht gezogen ist. Berücksichtigt man weiter, dass die Bildungs-
gesetze der Seiten und der Diametralzahlen genau dieselben sind,
welche die Nenner und Zähler der aufeinanderfolgenden Näherungs-
brüche für den Kettenbruch

') P. Bergh in Zeitschr. Math. Thys. XXXI. Histor.-litcrar. Abtlg. S. 135.

Sextus Julius Africanus. Pappus von Alexandria. 409

1 + l_

•2 +£

2 +1

•2 + ••

entstehen lassen, so wird man wolil zu der (S. d02) ausgesprochenen
Behauptung genöthigt, die Griechen seien natürlich nicht der Form
nach , aber der Sache nach mit der Kettenbruchentwicklung von ]/2
und mit dem Gesetze der Näherungsbrüche dieses Kettenbruches be-
kannt gewesen. Wir brauchen nun nicht mehr zu sagen, wie wichtig
es wäre, darüber unterrichtet zu sein, ob auch die Bildung der Seiten
und der Diametralzahleu, wie sie bei Theon sich vorfindet, vorplato-
nischen Ursprunges war?

22. Kapitel.
Sextus Julius Africanus. Pappus von Alexandria.

Wir gelangen zum III. S. nach Christi Geburt. Um die Zeit
des Kaisers Alexander Severus, welcher 220 — 230 regierte, schrieb
Sextus Julius Africanus seine Kasten. Der römische Name
des Schriftstellers würde ihm in einem anderen Kapitel seinen Platz
anweisen, wenn nicht die griechische Sprache, deren er sich bediente,
uns veranlasste, seiner hier zu gedenken. Kesten bedeutet wörtlich
„mit der Nadel Durchstochenes" und als Titel eines W^erkes soll das
wohl so viel sagen als „Aneinandergeheftetes". Aneinandergeheftete
Bemerkungen der verschiedensten Art sind es auch, die Sextus Julius
Africanus dort vereinigt hat, und fast zufällig befinden sich darunter
auch zwei Stellen, von welchen die Geschichte der Mathematik Nutzen
zu ziehen hat.

Das XXXI. Kapitel der Kesten^) beschäftigt sich mit praktischer
Kriegsgeometrie, insbesondere mit der Auffindung der Breite eines
Flusses, dessen jenseitiges Ufer vom Feinde besetzt ist, und mit
der Auffindung der Höhe der Mauern einer belagerten Stadt, um
darnach im voraus die Grösse der herzustellenden Kriegsmaschinen,
Thürme ü. s. w. ermessen zu können. Grundlage des ganzen Ver-
fahrens ist ein geometrischer Satz, dessen Beweis, wie der Verfasser
sagt, nur von dem I. Buche der euklidischen Elemente abhängt, der
Satz nämlich, dass sämmtliche Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks
halbirt erscheinen, wenn aus der Mitte einer Kathete parallel zur

') Notices et extraits des mamiscrits de Ja Bibliotheque imperiale. Tome
XIX, Partie 2. Paris, 1858, pag. 407—415 ist der Text nebst französ. Ueber-
setzung von Vincent abgedruckt. Vergl. Agrimensoren S. 110 ägg.

410

22. Kapitel.

Fig. 75

anderen eine Gerade nach der Hypotenuse, und aus deren Durch-
schnittspunkte wieder eine neue Parallele zur ersten Kathete bis
zum Durchschnitte mit der zweiten gezogen wird (Figur 75). Sei aß

die erste Kathete und ausser
den vorgeschriebenen ds, s^
noch die Hilfslinie d^ gezogen.
ad == dß, dß = et, als Parallele
zwischen Parallelen, folglich
auch ad 41^ e^, und somit treten
in der Figur zwei Parallelo-
gramme auf ysö^, dßs^, ver-
möge deren Ö£ = y^ = ßt, mid
d^ = ey, während (aus dem in
dem Beweise nicht genannten
Parallelogramme ad^s folgend) auch dt, = as ist. Von diesem Satze
aus wird die Breite eines Flusses gemessen. Liegt « am feindlichen
Ufer (Figur 76), während ss die diesseitige Uferlinie bezeichnet, so
stellt man die Dioptra in i auf, weiter vom Flusse entfernt als der
Fluss breit ist und visirt sowohl (senkrecht zur Flusslinie ss, was
aber nicht ausdrücklich gesagt, sondern nur aus der Figur zu ent-
nehmen ist) nach a, als rechtwinklig zu dieser ersten Linie nach i»,
so dass dabei der Punkt x in der Mitte von iv gewonnen wird.
Steckt man nun von v aus die Richtung va, von jc aus xQ ^ la
und endlich Op It tv ab, so ist at doppelt so gross, aQ genau
gleich gross mit lq und lässt nach Abziehung von q?Q die ge-
suchte acp übrig. Man kann als wesentlich bei dieser Methode
auffassen, dass die gesuchte Breite, beziehungsweise eine ihr gleiche
Breite, wirklich auf dem Felde dargestellt wird. Man kann bei dem
uns erhaltenen Berichte auf die von allen geometrischen Gewohn-
heiten abweichende Buchstabengebuug für die einzelnen Punkte hin-
weisen. Nicht nur, dass t nicht vermieden ist, das hörte überhaupt
um die Zeit, in welcher wir uns befinden, auf, und noch spätere
Geometer ersten Ranges benutzen unterschiedlos t wie andere Buch-
staben, es ist überhaupt kein
System zu erkennen, nach welchem
a, £, 7], G, i, x^ Qj V, (p als Buchstaben
an eine Figur gewählt worden sein
mögen. Das war anders in der vor-
hergehenden Figur, anders in der
folgenden (Figur 77), an welcher
unmittelbar anschliessend eine von Dreiecksähnlichkeiten ausgehende

Man soll längs

Fig. 77.

Methode die Flussbreite zu messen gelehrt wird

Sextus Julius Africanus. Pappus von Alexandria. 411

dem Flusse in der gemessenen Linie ßy einhergehen und dabei einen
massiven rechten Winkel von augenscheinlich ziemlich bedeuten-
der Grösse, der das Kennzeichnende des Verfahrens bildet, und uns
wiederholt begegnen wird, mitnehmen. Auf dem einen Schenkel
dieses rechten Winkels in s ist überdies eine Signalstange senk-
recht zur Ebene des rechten Winkels befestigt. Wird nun y so ge-
wählt, dass jene Signalstange bei e mit dem den Punkt a bezeich-
nenden Gegenstande und dem Standpunkt y in einer Geraden liegt,
so ist aus der Aehnlichkeit der Dreiecke ßy : yd = ocß : ed, mithin
aß gefunden. Dieselbe Figur, so beschliesst der Verfasser dieses
interessante Kapitel, dient die Höhe einer Mauer von weitem zu
messen. Die Dioptra wird dazu in Ö als ds aufgestellt und ihr
Lineal in die Neigung aa gebracht, wo a einen Punkt des oberen
Mauerrandes bedeutet. Die rückAvärtsige Verlängerung dieser Rich-
tung Ea nach y lehrt yÖ neben dem bekannten da und neben dem
nach der vorigen Aufgabe ermittelten yß finden und nun ist yd'.ds
= yß : ßcc. Der Schüler Herons ist hier unverkennbar, und die
Paragraphe von dessen Abhandlung über die Dioptra, an welche das
angegebene Verfahren sich anlehnt, haben nachgewiesen werden
können, wenn auch der massive rechte Winkel bei Heron nicht vor-
zukommen scheint.

Das LXXVL Kapitel der Kesten^) lehrt eine Art von Feuer -
telegraphie kennen. Die Römer hätten, so erzählt der Sammler,
an leicht sichtbaren Plätzen drei Signalstangen aufgerichtet, je eine
links, eine rechts, eine in der Mitte. Au jeder Stange konnten bis
zu neun Fackeln befestigt werden, und zwar bedeuteten dieselben
Einer, wenn sie an der Stange links, Zehner, wenn sie an der mitt-
leren Stange, Hunderter, wenn sie an der Stange rechts befestigt
wurden. Sie sollten nämlich von weitem gesehen werden, und für
den gegenüberliegenden Beobachter kehrt sich natürlich rechts in
links, links in rechts, so dass die Ordnung der Zahlenwerthe ihm
von rechts nach links zunehmend erscheint, wie es z. ß. auch bei
der Salaminischen Tafel (S. 123) der Fall war. Zahlen als solche
sollten freiHch nicht mitgetheilt werden. Man machte von den Zahlen
Gebrauch, um Buchstaben des griechischen Alphabetes zu erkennen
zu geben, deren jeder je einen der Werthe 1 bis 9, 10 bis 90 oder
100 bis 900 besitzt, und so konnten an der richtigen Stange sichtbar
gemachte Fackeln die Buchstaben eines Wortes, eines Satzes nach
und nach dem entfernten Freunde bekannt machen.

^) Vergl. Vincent in den Compies Bendus de l'acadernie des sciences vom
3. Januar 1842, XIV, 43, und Friedlein im BulUtino Boncompagni 1868,
pag. 49—50.

412 22. Kapitel.

Eine Sammlung ganz anderen wissenscliaftliclien Werthes ist
die des Pappus von Alexandria, eines Schriftstellers, der muth-
masslick dem Ende des III. S. angehört hat^). Wir besitzen über
seine Lebenszeit überhaupt nur zwei, beide aber bestimmt lautende
und einander gradezu widersprechende Angaben, beide selbst aus der
gleichen Zeit, nämlich aus dem X. S. Die Leidner Bibliothek besitzt
eine in den Jahren 913 — 920 angefertigte Handschrift der theonischen
Handtafeln, welche am Rande der Regentenliste verschiedene literär-
geschichtliche Glossen aus der Zeit der ersten Niederschrift besitzt.
So steht neben der Regierung des Diokletian die Bemerkung: enl
xovrov 6 UccTtog syQaipsv, unter diesem schrieb Pappus. Dass der
Name hier nur mit einem tc geschrieben auftritt, kann uns nicht
beirren. In der Mitte des Namens bricht nämlich die Zeile ab und
macht eine Spaltung in Ild und Ttog nothwendig, wobei leicht ein jt
verloren gegangen sein kann, für welches in der ersten Zeile etwa
kein Platz mehr vorhanden war. Ausserdem ist, wenn der Mathe-
matiker Pappus nicht gemeint sein wollte, kein Schriftsteller gleichen
oder nur wenig abweichenden Namens aus der Zeit des Diokletian
bekannt. Dieser regierte 284 bis 305, folglich wäre Pappus in die-
selbe Zeit zu setzen. Dem gegenüber steht unvermittelt, was Suidas,
der bekannte Lexikograph, an zwei sachlich übereinstimmenden
Stellen sagt. Unter Theon heisst es bei ihm, er sei Zeitgenosse des
Pappus, der wie er in Alexandria zu Hause gewesen sei, und beide
hätten unter der Regierung des älteren Theodosius gelebt. Unter
Pappus heisst es, er habe unter der Regierung des älteren Theodo-
sius gelebt, zur Zeit, als auch der Philosoph Theon in seiner Blüthe
stand, welcher über den Kanon des Ptolemäus schrieb. Die Werke
des Pappus seien eine Erdbeschreibung, ein Commentar zu den vier
Büchern der grossen Zusammenstellung des Ptolemäus, ferner über
die libyschen Flüsse und über Traumdeutung. Auch diese Angabe
ist von bestimmtester Klarheit. Theon hat, wie wir aus seinem
chronologischen Werke selbst entnehmen, jedenfalls 372 noch gelebt;
Theodosius I. regierte 379 — 395; diese Zahlen stimmen zu einander,
und folglich wäre Pappus wie Theon an das Ende des IV. S. zu
setzen, was auch alle Geschichts werke der Mathematik ohne Anstand
gethan haben. Wenn wir gleichwohl der Meinung folgen, welche
den älteren Zeitpunkt für Pappus als zutreffend erachtet, so leitet
uns folgender Gedanke. Bei zwei einen Widerspruch enthaltenden
gleichzeitigen Ajigaben müssen wir einestheils uns fragen, ob und

1) Vergl. Zeitschr. Math. Phys. XXI, Histor.-liter. Abthlg. S. 70 &gg. (1876)
über die Lebenszeit und die Handschriften des Pappus. In Bezug auf letztere
diente die Einleitung zu Hultschs Pappusausgabe als Quelle.

Sextus Julius Africanus. Pappus von Alexandria. 413

wie ein Irrthuin des einen, beziehungsweise des anderen Gewährs-
mannes Erklärung finden kann, müssen wir anderntheils überlegen,
ob innere Gründe die eine oder die andere Meinung unterstützen.
Die Behauptung des Schreibers des Leidner Codex ist nun, wenn
falsch, auf keine Weise zu verstehen. Suidas könnte dagegen da-
durch zu seinem Irrthume gelangt sein^), dass in seiner Quelle die
beiden Schriftsteller Pappus und Theon von Alexandria ihrer Heimath,
ihrer verwandten literarischen Thätigkeit wegen unmittelbar hinter
einander aufgeführt waren, oder aber dadurch, dass er einen aus den
Erläuterungen des Pappus und des Theon gemischt zusammenge-
setzten Commentar zum Almageste vor Augen hatte, eine Möglich-
keit, die im 24. Kapitel sich uns ergeben wird, und dass er nun auf
eine gar nicht angegebene, weil überhaupt nicht vorhandene Gleich-
zeitigkeit der beiden Erklärer schloss. Als unterstützend dienen
folgende Gesichtspunkte. Suidas war mit des Pappus Werken nicht
aufs beste, bekannt. Er nennt unter denselben gar nicht dasjenige,
welches allein in einiger Vollständigkeit sich erhalten hat, und welches
genügt, um unsere Bewunderung des Verfassers zu rechtfertigen. Der
andere Berichterstatter ist in seinem Schweigen entschuldigt, weil
er gar kein Werk des Pappus mit Namen anführt. Ferner wäre es
sehr auffallend, wenn Pappus und Theon an dem gleichen Orte lebend
zur selben Zeit einen Commentar zu demselben Werke, dem Alma-
geste des Ptolemäus, geschrieben hätten. Weit wahrscheinlicher
wird diese Thatsache, wenn Pappus hundert Jahre vor Theon von
Alexandria schrieb. Fraglich erscheint dabei, ob Pappus den ganzen
Almagest erklärt haben mag, oder nur vier Bücher. Die Vermuthung,
es habe bei Suidas ursprünglich ir= 13 Bücher geheissen, der wirk-
lichen Bücherzahl des Almagestes entsprechend, und daraus sei zJ =
4 Bücher verschrieben worden-), ist ausgesprochen worden und hat
manche Wahrscheinlichkeit, nachdem es sich erwiesen hat, dass
Pappus jedenfalls zum ersten, zum fünften und zum sechsten Buche
des Almagestes einen Commentar verfasste, dass der zum fünften
und sechsten Buch gehörende Theil sich noch erhalten hat''). Wahr
ist es, dass Theon seinen Vorgänger niemals genannt hat ausser in
üeberschriften, deren Ursprung ja immer zweifelhaft ist. Mag aber
Theon 100 oder ein paar Jahre nach Pappus gelebt haben, so ist
dieses Schweigen gleich auffallend, zu derselben Zeit auch gleich
einfach damit zu erklären, dass Theon den Pappus recht fleissig be-

^) Diese Hypothese rührt von Usener her. Neues Rheiuisches Museum
1873, Bd. XXVIII, S. 403. ^) So glaubt Hultsch pag. VIII, Anmerkung 3 der
Praefatio, welche den dritten Band seiner Pappusausgabe eröffnet. ^) Hultsch
1. c. pag. XIV.

414 22. Kapitel.

nutzte. Es bildet, wie uns von philologisclier Seite versichert wird,
sradezu eine EigenthümKchkeit der Commentatoren des IV. S. etwa
ein wahres Plünderuugssystem an älteren Schriftstellern auszuüben,
welche niemals genannt werden, so dass nur in einzelnen Fällen ein
glückliches Ohngefähr es möglich gemacht hat, diesen unrechtmässigen
Aneignungen auf die Spur zu kommen. So nehmen wir also an,
Pappus habe an der Schwelle vom III. zum IV. S. gelebt und
geschrieben.

Ob ein Citat bei Proklus^) dahin zu deuten ist, dass Pappus
gleich Heron an der Spitze einer Schule stand, mag dahingestellt
bleiben. Nach griechischem Sprachgebrauche kann oi tisqI "Hfjcova
%al nännov unzweifelhaft diese Bedeutung einschliessen, die Worte
können aber auch Heron und Pappus allein bezeichnen sollen, und
letzteres wohl noch häufiger als ersteres. Unter den Schriften,
welche Pappus verfasste, fanden seine Bemerkungen zum Almageste
mehrfache Erwähnung. Wir erinnern daran, dass (S. 303) Eutokius
auch sie unter den Schriften genannt hat, welche über die Aus-
ziehung von Quadratwurzeln zu Rathe gezogen werden können.
Pappus selbst spricht von einem Commentare, welchen er zu dem
Analemma des Diodorus angefertigt habe^). Von jenem Schrift-
steller ist zwar auch bei Anderen wiederholt die Rede^), jedoch ohne
dass dadurch sein Zeitalter oder der Inhalt seiner Schrift genauer
bekannt würde; deren Titel stimmt allerdings mit demjenigen eines
Buches des Ptolemäus überein, in welchem (S. 395) von Projektionen
gehandelt ist. Eine weitere schriftstellerische Leistung des Pappus
bildete ein Commentar zu den euklidischen Elementen, von welchen
Bruchstücke, insbesondere eine von Eutokius'*) erwähnte Bemerkimg,
in einem Vaticancodex aufgefunden worden sind^). Diesem Commen-
tare dürfte eine Anzahl von Bemerkungen entnommen sein, welche
bei Proklus sich erhalten haben, und deren eine verdient, dass wir
ihrer erwähnen.

Pappus habe, berichtet Proklus*'), Einspruch gegen den Satz er-
hoben, dass der Winkel, der einem Rechten gleich sei, immer selbst
ein Rechter sein müsse. Er stellte nämlich (Figur 78) zwei gleich
lange Gerade aß, ßy senkrecht zu einander und beschrieb über jede

1) Proklus (ed. Friedlein) 429, 13. ^) Pappus IV, 27 (ed. Hultsch)
pag. 246. *) Vergl. Hultsch s Praefatio zum III. Bande seiner Pappusaus-
gabe IX — XI. *) Archimed (ed. Heiberg) III, 34 in dem Commentare des
Eutokius lieisst es: si'Qrjzcci. kccI Uännai dq xo int6fivi](icc rwv Gzoixticov. ^) Hei-
berg, Om scholierne til Euldids Elementer in den Vidensk. Selsk. Skr. 6.
Raekke, historisk. og philosophisk. Afd. II, 3. Kjöbnhavn, 1888, pag. 297.
«) Proklus (ed. Friedlein) 190.

Sextus Julius Africanus. Pappus von Alexandria. 415

derselben einen Halbkreis. Da diese Halbkreise sieb decken, müssen
die Winkel ccßs, yßt, vollkommen gleicb sein. Wird sodann von
dem recbten Winkel aßy der eine jener identiscben Winkel weg-
genommen, der andere beigefügt, so muss also
ein Etwas entsteben, welcbes einem recbten
Winkel wieder gleicb ist, obne dass man docb
sagen könnte, dieser Winkel eßt, sei ein recbter
Winkel. Diese Betracbtung über nicbt grad-
linige Winkel ist das Vorbild späterer Spitz-
findigkeiten äbnlicben Inbaltes geworden (S. 250).
Das matbematiscbe Werk des Pappus,
welcbes auf uns gekommen ist, und welcbes merkwürdigerweise durcb
keine bekannt gewordene Erwäbnung von Seiten irgend eines Matbe-
matikers oder sonstigen Scbriftstellers in seinem Vorbandensein be-
stätigt wird, fübrte den Namen der Sammlung, ßvvayayri, und be-
stand aus acbt ßücbern^). Titel und Eintbeilung verbürgt uns eine
vatikanische Pappus-Handscbrift aus dem XH. S., welcbe selbst sämmt-
licben übrigen, keineswegs seltenen Abschriften unmittelbar oder
mittelbar zu Grunde liegt. Der Charakter dieser Sammlung besteht
darin, dass Pappus den Inhalt von zu seiner Zeit hochgeschätzten
mathematischen Schriften kurz angibt und zu denselben erklärende,
aber auch erweiternde, oftmals nur den allerlosesten Zusammenbano-
mit dem grade in Rede Stehenden wahrende Sätze hinzufügt. Diese
Beziehung, oder fast besser diese Beziehungslosigkeit lassen uns die
Sätze erkennen, von denen Pappus uns sagt, dass sie zu Werken ge-
hören, welche, wie die Kegelschnitte des ApoUonius von Pergä, auf
uns gekommen sind und den Vergleich gestatten. Die Freiheit, welche
Pappus sich demgemäss bei seinen Zusätzen gestattet hat, die Genauig-
keit, deren er daneben bei übersichtlichen Inhaltsangaben sich be-
fleissigte, machen den doppelten Werth seiner Sammlung aus. Jene
Gewissenhaftigkeit, welche wir als zweite Tugend des Pappus er-
wähnten, macht, dass seine Sammlung als Ersatz für werthvolle im
Urtexte verloren gegangene Abhandlungen dienen kann, so dass wir
nach dem Vorgänge aller Schriftsteller über Geschichte der Mathe-
matik keinen Anstand nahmen, sie im Verlauf dieses Bandes wieder-
holt zu solchem Zwecke zu benutzen. Jene Selbständigkeit, die wir

^) Eine lateinische Uebersetzung durch Commandinus erschien 1588,
dann in mehrfachen neuen Abdrücken bis 1602. C. J. Gerhardt gab 1871 das
VII. und VIII. Buch im Urtexte mit nicht tadelloser deutscher Uebersetzung
heraus. Eine vortreffliche Textausgabe mit lateinischer Uebersetzung und
reichhaltigen Anmerkungen veranstaltete Fr. Hultsch in 3 Bänden. Berlin,
1875, 1877, 1878.

416 22. Kapitel.

zuerst rütmend betonten, liat uns Dinge geliefert, die, tlieils nicht
anderweitig rückwärts verfolgbar, theils von Pappus ausdrücklicb für
sich in Anspruch genommen, den zuverlässigen Beweis für die hohe
Meisterschaft des Verfassers insbesondere in solchen geometrischen
Untersuchungen liefern, welche unser Jahrhundert unter dem Namen
der neueren oder der höheren synthetischen Geometrie kennt.

Welchen Gang Pappus bei Ausarbeitung sein,er Sammlung ein-
schlug, ob er überhaupt einen bestimmten Gedanken planmässiger
Reihenfolge zu Grunde legte, ist mit Sicherheit nicht zu ermitteln,
weil das erste Buch und die muthmasslich grössere Hälfte des
zweiten Buches verloren gegangen ist, die Darstellung sich mithin
auf die übrigen Bücher beschränken muss. Dabei ist überdies vor-
ausgesetzt, dass alle vorhandenen Bücher Pappus angehören. Aller-
dings nimmt man dieses gegenwärtig an, und ein vereinzelter Ver-
such^) nur das IIT. und IV. Buch, welche ursj^rüuglich ein einziges
gebildet hätten, dann das VIT. und das VIII. Buch Pappus zuzu-
schreiben, alles Uebrige als unechte spätere Einschaltung auszuscheiden,
ist, soviel wir wissen, ohne jegliche Beistimmung geblieben.

Der vorhandene Ueberrest des IL Buches enthält die Multipli-
kationsmethode des Apollonius von Pergä.

Im III. Buche sind vier verschiedene Abhandlungen vereinigt.
Die erste beschäftigt sich mit der Aufgabe zwischen zwei gegebenen
Längen zwei mittlere geometrische Proportionalen einzuschalten nach
Methoden des Eratosthenes, des Nikomedes, des Heron, des Pappus
selbst. Die zweite Abhandlung lehrt die drei verschiedenen Mittel,
welche zwischen zwei Strecken bestehen, das arithmetische, das
geometrische und das harmonische Mittel, von welchen übrigens auch
in den einleitenden Kapiteln der ersten Abhandlung des III. Buches
schon die Rede war, an einer und derselben Figur zur Erscheinung
bringen. Aber dieses geometrische Problem dient nur zum An-
knüpfungspunkte für eine ganze Lehre von den Medietäten, welche
mit einer Tabelle von ganzzahligen Beispielen für sämmtliche zehn
Formen von Medietäten abschliesst. Die dritte Abhandlung be-
schäftigt sich wieder mit einer ganz anderen Untersuchung. Der
21. Satz des I. Buches der euklidischen Elemente behauptet, dass,
wenn innerhalb eines Dreiecks ein Punkt gewählt und mit den End-
punkten der Grundlinie gradlinig verbunden wird, die Summe dieser
Geraden kleiner ausfalle als die Summe der sie umfassenden Drei-

') C. J. Gerhardt, Die Sammlung des Pappus von Alexandria. Programm
des Gymnasiums in Eisleben für 1875. Vei'gl.- dazu die Besprechung in der
Zeitschr. Math. Phys. XXI, Histor.-literar. Abtheilung 37—42 (1S7G).

Sextus Julius Africanus. Pappus von Alexandria. 417

ecksseiten. Ganz anders, wenn die inneren Geraden nicht nach den
Eckpunkten, sondern nach zwischen denselben liegenden Punkten
der Dreiecksgrundlinie gezogen werden. Alsdann kann die Summe
der inneren Geraden unter Umständen ebenso gross sein, sie kann
auch mehr betragen als die der umfassenden Seiten und zwar in
mannigfachen Abstufungen, und diese sämmtlichen Fälle werden aus-
führlich durchgenommen. Die vierte Abhandlung geht zur Einbe-
schreibung der fünf regelmässigen Vielflächner in die Kugel über,
bei welcher Gelegenheit die Sphärik des Theodosius von Tripolis
mehrfach benutzt aber auch ergänzt wird. Es ist mit grossem Rechte
bemerkt worden^), dass die Auffassung der Aufgabe eine wesentlich
andere ist als die, von welcher Euklid im XIII. Buche seiner Ele-
mente ausgeht, und dass dadurch die erneute Behandlung um so
höheren Werth erhalte. Euklid kommt es auf die metrischen Zu-
sammenhänge zwischen Polyederseite und Kugeldurchmesser an; er
bildet sich zuerst die Polyeder und beweist hinterdrein ihre Eiu-
beschreibbarkeit. Pappus will die Polyeder selbst erhalten; er geht
aus von der Kugel und verschafft sich die Parallelkreise auf der
Kugeloberfläche, welche je eine Polyederfläche als eingeschriebenes
Vieleck besitzen.

Das IV. Buch zerfällt gleichfalls in mehrere Abtheilungen, wenn
schon die Sonderung derselben nicht auf den ersten Blick in die
Augen fällt. Es beginnt mit der Lehre von den Kreistransversalen,
an welche sich die Aufgabe knüpft, den drei einander äusserlich be-
rührende Kreise ums chlies senden Kreis zu construiren. Noch andere
Berührungsaufgaben vollenden das, was wir die -erste Abhandlung
des IV. Buches nennen möchten. Auf sie folgen eine Anzahl von
Sätzen aus der Lehre von der archimedischen Spirale sowie von der
nikomedischen Conchoide und darauf eine ziemlich ausgedehnte Ab-
handlung über die Quadratrix, in welche verschiedene andere Unter-
suchungen sich ziemlich naturgemäss einfügen. Wir nennen die
Rectification des Kreises; wir nennen Beziehungen zwischen Quadra-
trix und Spirale; wir nennen die Trisection des Winkels und die
allgemeinere Aufgabe der Theilung des Kreises in beliebigem Ver-
hältnisse der Bögen mittels der Quadratrix, aber auch mittels der
Spirale; wir nennen endlich die Benutzung der Quadratrix zur Lösung
der drei Probleme: ein regelmässiges Vieleck von beliebiger Seiten-
zahl in einen Kreis zu beschreiben, zu einer gegebenen Sehne einen
Kreisbogen zu finden, welcher ein bestimmtes Längenverhältniss zur
Sehne besitze, zu einander incommensurable Winkel zu zeichnen.

^) Woepcke im Journal Asiatiquc serie 5, T. V (Fevrier-Mars 1855)
pag. 238—240.

Cantob, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 27

418 22. Kapitel.

Das V. Bucli beginnt mit dem Auszuge aus der Abhandlung des
Zenodorus über Figuren gleiclien Umfanges, so weit ebene Figuren
in Frage stehen. Dann geht Pappus zu dem Räume über, lehrt die
archimedischen Körper kennen und zeigt, dass bei gleicher Ober-
fläche Kegel sowohl als Cylinder kleinereu Rauminhaltes als Kugeln
sind. Damit ist der Rückweg zur Abhandlung des Zenodorus, soweit
sie auf Raumkörper sich bezieht, gewonnen, und der Beweis wird ihr
nachgebildet, dass von den fünf platonischen regelmässigen Körpern
bei gleicher Oberfläche stets der mehreckige den grösseren Inhalt
einschliesse.

Das VI. Buch stellt sich in seiner üeberschrift die Aufgabe Auf-
lösungen zu den Schwierigkeiten zu finden, welche in dem soge-
nannten kleinen Astronomen, ^LXQog dötgovo^ov^svos, enthalten
sind. Der Gegenstand, der damit gemeint ist, ist uns keineswegs
neu, nur der Name begegnet uns hier zuerst, und deshalb haben wir
bis hierher es aufgespart uns desselben zu bedienen. Der kleine
Astronom ist nämlich eine Sammlung von Schriften, deren Studium
nach dem der Elemente des Euklid und vor dem des Almagestes
des Ptolemäus eingeschoben werden musste, wenn letzteres vollen
Erfolg haben sollte. Ob der kleine Astronom eine endgiltig be-
grenzte Sammlung war, ob nicht vielmehr der an sich lose Zusammen-
hang gestattete, bald diese bald jene kleinere Schrift aufzunehmen
oder auszuschliessen, dürfte zweifelhaft sein. Der Commentar des
Pappus verbreitet sich über nachfolgende Bücher, welche demgemäss
zum kleinen Astronomen gehörten: Die Sphärik des Theodosius, die
Abhandlung des Autolykus über die sich drehende ^ugel, die des
Theodosius über Tag und Nacht, die des Aristarchus über Grösse
und Entfernung von Sonne und Mond, die Optik des Euklid, die
Phaenomena desselben Verfassers. Ein Commentar des Menelaus zu
dem letztgenannten Werke hatte zwar nach einer durch Pappus ge-
gebenen Zusage^) auch noch erläutert werden sollen, doch findet
sich davon in dem auf uns gekommenen Texte keine weitere Spur.
Wir bemerken, dass die beiden Astronomen Autolykus und be-
sonders Aristarchus von Samos in der Geschichte ihrer Wissen-
schaft hochbedeutsame Persönlichkeiten sind. Autolykus''^) lebte kurz
vor Euklid um 330 etwa, Aristarch^) ein gutes halbes Jahrhundert
später um 270. Wir bemerken ferner, dass die Erläuterungen des
VI. Buches, auch wo sie auf astronomische Werke sich beziehen,
ihrer grössten Mehrzahl nach geometrischer Natur sind. Wir be-

*) Pappus (ed. Hultsch) pag. 602, lin. 1. -) Hultsch in der Vorrede
zu seiner Ausgabe des Autolykus.. Leipzig, 1885." ^) Wolf, Geschichte der
Astronomie. S. 35— .'i7.

Sextus Julius Africanus. Pappus von Alexandria. 419

merken endlich, dass Pappus durch seine Namensrtennung selbst den
Geometern, welche er nur unter den Ersten des Faches auswählt,
ein hohes Lob ertheilt, dass man also beispielsweise aus diesem

VI. Buche sich eine Meinung von dem Ansehen bilden kann, in
welchem damals Verdientermassen die Schriften des Theodosius und
des Menelaos standen.

Wer die Elemente des Euklid inne hat und von ihnen aus der
Astronomie sich zuwenden will, bedarf, wie vorher bemerkt, des
Studiums des kleinen Astronomen, bei welchem das VI. Buch ihn zu
unterstützen bestimmt ist. Wer, mit den allgemeinen Elementen
vertraut, erlernen will, wie man durch Construction mamiigfacher
Linien die Auflösung gestellter Aufgaben vollende, bedarf dazu eines
anderweitigen eignen Uebungsstoffes, der unter dem Namen Sammel-
werke analytischer Natur') von Euklid, von Apollonius von
Pergä, von Aristäus dem Aelteren behandelt worden ist. Die hierzu
nothwendigen Hilfssätze und Erläuterungen hat Pappus in seinem

VII. Buche vereinigt. Gleichwie im vorhergehenden Buche sind
Uuterabtheilungen gebildet, welchen die Namen der einzelnen Werke
als Ueberschriften dienen, welche Pappus zu empfehlen wünscht. Er
nennt die Daten des Euklid, den Verhältnissschnitt, den Raumschnitt,
den bestimmten Schnitt, die Berührungen des Apollonius, die Po-
rismen des Euklid, dann wieder von Apollonius die Neigungen, die
ebenen Oerter, die Kegelschnitte, endlich die körperlichen Oerter des
Aristäus, die Oerter auf der Oberfläche des Euklid, die Mittelgrössen
des Eratosthenes. Es sind dies, sagt Pappus, 33 Bücher, deren
Inhalt bis zu den Kegelschnitten des Apollonius ich Dir übersicht-
lich herausgestellt habe"), und in der That entspricht dieser Angabe
eine Einleitung von ziemlichem Umfange. An sie knüpft sich eine
grosse Anzahl von Hilfssätzen zu den Büchern des Apollonius über
den Verhältnissschuitt und den Raumschnitt, über den bestimmten
Schnitt, über die Neigungen, über die Berührungen, über die ebenen
Oerter. Weitere Hilfssätze zu den Porismen des Euklid folgen. Die
zu den Kegelschnitten des Apollonius und endlich zu Euklids Oertern
auf der Oberfläche bilden den Beschluss des Buches. Der 22. Satz
zu den Berührungen des Apollonius^) stellt die Aufgabe, von drei
auf einer gegebenen Geraden gegebenen Punkten aus nach einem
gleichfalls gegebenen Kreise Gerade zu ziehen, welche ein diesem
Kreise eingeschriebenes Dreieck bilden. Es ist das die Aufgabe,

^) So die ricMige Uebersetzung von ronog ävaXvü^svog, wie Gow, A short
hidory of greeJc mailiematics pag. 211 Note 1) gezeigt hat. ^) Pappus (ed.
Hultsch) pag. G36, lin. 25. ^) Pappus (ed. Hultsch) pag. 848.

27-'=

420 2-2. Kapitel.

welche im XVIII. S. die Erweiterung erfuhr, dass die drei gegebenen
Punkte beliebige Lage in der Kreisebene erhielten, und welche unter
anderen von Annibale Giordano aus Ottajano gelöst wurde ^).

Das Vni. Buch kündigt sich als solches au, welches verschiedene
interessante mechanische Aufgaben zur Sprache bringe. Ich habe
für gut gehalten, erklärt Pappus, die mit Hilfe der Geometrie ge-
wonnenen, nothwendigsten Theoreme über die Bewegung der schweren
Körper, die in den Schriften der Alten vorhanden und die von uns
selbst geschickt aufgefunden sind, kürzer und deutlicher nieder-
zuschreiben und auf eine bessere Weise, als es früher geschehen, zu-
sammenzustellen^). Zu diesen geometrisch begründeten mechanischen
Lehren gehören die Theorie des Schwerpunktes, der schiefen Ebene,
gehört die Aufgabe mit Hilfe von Zahnrädern, die in gewissem gegen-
seitigen Verhältnisse der Durchmesser stehen, eine gegebene Last
durch gegebene Kraft zu bewegen. Hierher gehört aufs Neue die
Aufgabe der Einschiebung zweier geometrischen Mittel, welche schon
im HI. Buche in anderem Zusammenhange aufgetreten war, und
welche jetzt wiederkehrt, weil auf ihr die Vergrösserung eines durch
mechanische Vorrichtungen irgendwie in Bewegung zu bringenden
Körpers unter Festhaltung seiner Gestalt beruht. Weiter lässt Pappus
die Aufgabe folgen den Kreisumfang eines geraden Cylinders zu
finden, aus welchem überall Stücke herausgebrochen sind, so dass
eine unmittelbare Messung au keiner Stelle stattfinden kann. Ohne
bemerkbaren Zusammenhang, wie wir es bei Pappus nicht selten
gewohnt wurden, treffen wir alsdann auf Fragen, bei denen es sich
um Auffindung gewisser Punkte auf einer Kugel handelt, z. B. des
Punktes, der einer gegenüberliegenden Ebene am nächsten liegt, und
der Punkte, in welchen eine gegebene Gerade die Kugel durchdringt.
Daran schliesst sich die Einbeschreibung von sieben einander gleichen
regelmässigen Sechsecken in einen gegebenen Kreis, so dass das eine
denselben Mittelpunkt mit dem Kreise hat, die übrigen sechs auf je
einer Seite des mittleren aufstehen und die dieser gegenüberliegende
Seite jedesmal als Kreissehne besitzen. Diese Aufgabe dient zur
Herstellung von Zahnrädern, und nun bilden Auszüge aus dem Ge-
wichtezieher und aus der Mechanik des Heron (S. 350) den Schluss,
der vielleicht von fremder Hand dem ursprünglichen VHL Buche
beigefügt sein dürfte.

Mag mau aus dieser schematischen • Zeichnung des Gerippes der
Sammlung des Pappus, so wie dieselbe auf ims gekommen ist, den

') Vergl. Chasles, Aperru hist. 328 (deutsch 341) mit Zeitschr. Math.
Pbys. XXXVII, Histor.-literar. Abtlg. S. 21G— 217. ^) Pappus (ed. Hultsch)
pag. 1028.

Sextus Julius Africanus. -Pappus von Alexaudria. 421

Eindruck eines Ganzen oder lose und fast zufallig an einander ge-
reihter Einzelheiten erhalten, mag ein leitender Gedanke dem Einen
auffindbar, dem Anderen unentdeckbar erscheinen, jedenfalls wird,
trotz stylistischer Schönheiten, die au manchen Stellen eine geradezu
dichterische Veranlagung des Schreibers enthüllen^), die Achtung
vor Pappus dem Mathematiker eine höhere sein als die vor Pappus
dem Schriftsteller, und diese relative Werthschätzung wird noch
festeren Boden fassen, wenn wir Einzelheiten herausgreifen, deren
Entdeckung nicht wohl einem Anderen als Pappus selbst anzuge-
hören scheint.

An die Spitze stellen wir einen Satz des VIT. Buches, der den
Körperinhalt eines Umdrehungskörpers als dem Produkte der ge-
drehten Figur in den Weg des Schwerpunktes proportional erkennt^),
einen Satz, der als Guldinsche Regel seit dem XVII. S. wieder
in der Geschichte auftritt.

Wir fügen aus dem VIII. Buche einen Satz bei dahin gehend,
dass der Schwerpunkt eines Dreiecks zugleich Schwerpunkt eines
zweiten sei, dessen Eckpunkte auf den drei Seiten des ersten Drei-
ecks so liegen, dass dadurch jene Seiten sämmtlich in gleichem Ver-
hältnisse getheilt erscheinen^).

In geometrischer Beziehung möchten wir auf eine geschichtlich
bedeutsame, wenn auch ein besonderes Verdienst des Pappus nicht
grade bezeugende, Bemerkuno- des VIII. Buches aufmerksam machen,
welche keinen Zweifel darüber lässt, dass bei den Griechen eine
Geometrie mit einer einzigen Zirkelöffnung, xa avl diaöTr'j-
^lati yQcc(p6^i.Evc(, bekannt war^).

Wir heben jenen Abschnitt des IV. Buches hervor, der mit der
Quadratrix sich beschäftigt''). Die Quadratrix wird diesem Abschnitte
zufolge ausser nach dem Gesetze, welches wir bei der ersten Nennung
der Curve schon kennen gelernt haben, auch noch durch zwei viel
verwickeitere Entstehungsarten erzeugt, welche man in folgende
Worte fassen kann: Es sei eine Schraubenlinie auf einem geraden
Kreiscylinder beschrieben, dann bilden die Perpendikel, welche von
den einzelnen Punkten derselben auf die Axe des Cylinders gefällt

^) Z. B. die Einleitung in das V. Buch (ed. Hultsch) pag. 304, welche
der Herausgeber mit Recht als kennzeichnend für die Schreibweise des Pappus
erklärt bat. ^) Pappus (ed. Hultsch) pag. 682. ^) Pappus (ed. Hultsch)
pag. 1034 sqq. •*) Pappus (ed. Hultsch) pag. 1074. ^) Dieser Abschnitt
(ed. Hultsch) pag. 258 — 264 hat in dem eislebener Programm von 1875 durch
Gerhardt eine deutsche Uebersetzung erhalten. Der Text Gerhardts weicht
indessen in wesentlichen Dingen von dem Hultschs ab. Letzterer befindet
sich in vollem Einklang mit Chasles, Apergu liist. 31, deutsch 28, dem wir
hier vorzugsweise folgen.

422 22. Kapitel.

•
werden, eine Schraubenfläche. Legt man durch eines dieser Perpen-
dikel unter passender Neigung gegen die Grundfläche des Cjdinders
eine Ebene, so schneidet diese Ebene die Schraubenfläche in einer
Curve, deren senkrechte Projektion auf die Grundfläche des Cylinders
die Quadratrix ist. Und zweitens: wählt man eine archimedische
Spirale zur Basis eines geraden Cylinders und denkt man sich einen
Umdrehungskegel, dessen A:^ diejenige Seitenlinie des Cylinders ist,
welche durch den Anfangspunkt der Spirale geht, so schneidet dieser
Kegel die Cylinderfläche in einer Curve doppelter Krümmung. Die
Perpendikel, welche von den verschiedenen Punkten dieser Curve auf
die erwähnte Seitenlinie des Cylinders gefällt werden, bilden die
Schraubenfläche, welche Pappus an dieser Stelle plektoidische
Oberfläche nennt. Legt man nun durch eine dieser Linien unter
passender Neigung eine Ebene, so schneidet diese die Oberfläche in
einer Curve, deren senkrechte Projektion auf die Ebene der Spirale
die verlangte Quadratrix sein wird. Welche tiefe Kenntniss krummer
Oberflächen musste nicht vorausgehen, damit diese Erzeugungsarten
der Quadratrix erfunden werden konnten! Welchen Weg hat auch
in dieser Beziehung die griechische Geometrie von Archytas, der,
wie wir uns erinnern (S. 216), gekrümmte Oberflächen zur Würfel-
verdoppelung benutzte, bis auf Pappus zurückgelegt! Um so bedauer-
licher ist es, dass uns die euklidischen Oerter auf der Oberfläche
fehlen, aus denen wir ermessen könnten, in welcher Periode der
grössere Theil jenes Weges zurückgelegt worden ist.

Pappus geht hier in seiner Betrachtung von Oberflächen und auf
denselben hervortretenden Curven doppelter Krümmung noch weiter.
Er lässt eine sphärische Spirale entstehen, indem ein grösster Kugel-
kreis um seinen Durchmesser mit gleichmässiger Geschwindigkeit
sich dreht, während zugleich ein Punkt mit ebenfalls gleichmässiger
Geschwindigkeit die Peripherie des gedrehten Kreises durchläuft^),
und er findet die Fläche eines durch diese sphärische- Spirale be-
grenzten Stückes der Kugeloberfläche, eine Complanation, welche
unsere Bewunderung um so lebhafter in Anspruch nimmt, wenn wir
daran denken, dass die gesammte Kugelfläche zwar seit Archimed
bekannt war, Stücke der Kugeloberfläche aber zu messen, wie z. B.
sphärische Dreiecke, damals und noch lange später eine ungelöste
Aufgabe darstellte.

Sätze aus der Geometrie der Ebene, welche bei Pappus den Leser
überraschen, finden sich namentlich in dem VIL Buche, dessen Inhalt

') Pappus (ed. Hultsch) pag. 264 sqq. Vergl. Klügcls Matheiuiitisches
Wörterbuch Bd. IV, S. 449 flgg.

Sextus Julius Africanus. Pappus von Alexandria. 423

von selbst einlud, Erweiterung zu jenen feinen Analysen vorzunelimen,
die in den meistens verlorenen Schriften eines Euklid und Apollonius
enthalten gewesen sein müssen^). Hier findet sich in den Lemmeu
zum bestimmten Schnitte des Apollonius die Lehre von der Invo-
lution von Punkten, in den Lemmen zu den Berührungen des Apol-
lonius die Aufgabe, durch drei in einer Geraden gelegenen Punkte
ebensoviele Gerade zu ziehen, welche ein Sehnendreieck in einem ge-
gebenen Kreise bilden (S. 419). Hier enthält ein Lemma zu den Po-
rismen des Euklid die Lehre von der Constanz des anharmonischen
Verhältnisses und ein Lemma zu den Oertern auf der Oberfläche eben-
desselben den Satz, dass die Entfernungen eines jeden Punktes irgend
eines Kegelschnittes vom Brennpunkte und der zu demselben ge-
hörigen Leitlinie in constantem Verhältnisse stehen, was Apollonius
vielleicht noch nicht gewusst zu haben scheint (S. 324). Hier ist
in den Lemmen zu den Berührungen des Apollonius der Lehre von
den Aehnlichkeitspunkten zweier Kreise soweit vorgearbeitet, als
wenigstens bekannt ist, dass die Verbindungsgerade der entgegen-
gesetzten Endpunkte paralleler Halbmesser zweier sich aus serlich
berührender Kreise durch den Berührungspunkt geht und auch der
äussere Aehnlichkeitspunkt einer Figur entnommen werden kann-).

Hier endlich spricht Pappus zu den Kegelschnitten des Apollonius
die Aufgabe aus, welcher, seit Descartes die Aufmerksamkeit der
Mathematiker aufs Neue auf sie gelenkt, der Name der Aufgabe
des Pappus vorzugsweise geblieben ist^). Wenn mehrere gerade
Linien der Lage nach in einer Ebene gegeben sind, den geometrischen
Ort eines solchen Punktes zu finden, dass, wenn mau von ihm Per-
pendikel, oder allgemein Linien unter gegebenen Winkeln, nach den
gegebeneu Geraden zieht, das Produkt gewisser unter ihnen zu dem
Produkt aller übrigen in einem coustanten Verhältnisse stehe.

Aber nicht die Geschichte der Mechanik und der Geometrie
allein kann aus der Sammlung des Pappus ihre merkwürdigen Er-
gebnisse schöpfen. Auch anderen mathematischen Lehren ist sie eine
wenn auch nicht ganz ebenso ergiebige Fundgrube. Betrachten wir
z. B. eines der Lemmen zum Verhältnissschnitte und Raumschnitte
des Apollonius"^). Wir haben (S. 252) im 27. Satze des VI. Buches
der euklidischen Elemente die Wahrheit erkannt, das Produkt zweier
Theile, in welche man eine gegebene Grösse theile, werde ein Maxi-
mum, wenn die Theile eüiander gleich sind. So fest wir an dieser
Auffassung des betreffenden Satzes halten, so ist immerhin eine Auf-

^) Für das Folgende vergl. namentlich Chasles, Apergn hist. 33 — 44,
deutsch 31 — 41. ^) Pappus (ed. Hultsch) pag. 840 und 852. ^) Pappus
(ed. Hultsch) pag. 678. *) Pappus (ed. Hultsch) pag. 694.

424 22. Kapitel.

tassung dazu erforderlich. Der Wortlaut des Satzes sagt nicht aus-
drücklich, was wir in demselben gefunden haben. Pappus dagegen
spricht an der genannten Stelle jene Wahrheit klar und durchsichtig
aus. Sein Beweis lautet in Buchstaben übertragen folgenderraassen.

Wird a in zwei Theile zerlegt, so ist der eine x kleiner als — und

zwar um y. Der andere Theil ist, wie man erkennt, x -{- 2ij und
das Produkt (xr -\- 2xy stets kleiner als x^ ■\- 2xy -{- y'^ = (x -{- yY,

oder kleiner als — , so lange y von Null verschieden ist.

■i

Pappus, wissen wir, hat der Ausziehung der Quadratwurzeln
seine Aufmerksamkeit zugewandt. Er hat auch die Aufgabe der
Einschiebung zweier mittleren' Proportionalen zwischen gegebene
Grössen, die analytisch zur Kubikwurzelausziehung führt, aber von
den Griechen stets geometrisch bearbeitet wurde, an zwei ver-
schiedenen Orten im III. und im VIII. Buche verschiedenen Schrift-
stellern nachbehandelt. Eine solche von ihm durchgesprochene Lö-
sung ist besonders merkwürdig, weil sie falsch ist, und Pappus den
Irrthum durch Rechnung nachweist, also den geometrischen Gang
zu Gunsten einer arithmetischen Prüfung unterbricht. Man hat ge-
zeigt^), dass jene thatsächlich unrichtige Methode, wenn fortgesetzt
angewandt, eine wirkliche näherungs weise richtige Kubikwurzelaus-
ziehung liefert, und damit wäre ein ungemein wichtiger Fortschritt
griechischer Wissenschaft enthüllt, wenn wahrscheinlich gemacht
werden könnte, dass der Erfinder jenes Verfahrens wirklich beab-
sichtigte, Avas nachträglich aus seinem Versuche gemacht worden ist.
Wir können für jetzt nicht daran glauben, weil ein Mann wie Pappus,
gelehrt und geometrisch gewandt wie kein zweiter seiner griechischen
Zeitgenossen, sonst wohl kaum mit einer gewissen Geringschätzung
von jenem Versuche gesprochen haben würde.

Zu den BerühTungen des Apollonius macht Pappus zwei Be-
merkungen, von welchen wir (S. 329) andeutungsweise redeten, ihre
eigentliche Erwähnung bis hierher aufsparend, da es mindestens
zweifelhaft ist, ob wir hier dem Apollonius bereits Bekanntes, ob
einen Zusatz des Pappus vor uns haben. Pappus sagt nämlich, aus
drei Elementen, deren jedes beliebig oft gesetzt werden darf, lasseii

^) Pappus (ed. Hultsch) pag. 32 sqq. Vergl. Pendlebury, On a
method of finding two mean proportionals im Messenger of the mathematics
Ser. 2, Tom. II, pag. 166 sqq., dann Glaislier in dem Jahrbuch üher die Fort-
schritte der Mathematik V, 244 und beide ergänzend S. Günther, Antike
Näherungsmethoden im Lichte moderner Mathematik (aus den Abhandlungen
der K. böhm. Gesellschaft der Wissenschaften VI. Folge, 9. Band. Prag, 1878)
S. 32—41 des Sonderabdruckes.

Sextus Julius Africanus. Pappus von Alexandria. 425

sich zehn Temen und nur sechs Amben bilden^). Das sind wahre
combinatorische Lehrsätze von einem Mathematiker verwerthet.
Neben der Ursprungsfrage bleibt noch eine zweite zu stellen, die
wir nicht zu entscheiden wagen, ob die beiden Sätze als specielle
Fälle, ob als in einer allgemeinen Hauptwahrheit enthalten bekannt
waren. Wir neigen der Meinung zu, es sei nur ersteres der Fall
gewesen, und Pappus, oder wer nun die Sätze fand, habe durch
thatsächliches Bilden der Combinationsformen sich von ihrer An-
zahl überzeugt.

Die drei hauptsächlichen Mittelgrössen sind schon mehrfach von
uns besprochen. Wir wissen, dass Nikomachus von Gerasa, dass
Theon von Smyrna sich mit ihnen beschäftigte, aber keiner von
beiden leitete so, wie Pappus in seinem III. Buche es thut^), alle
drei dm'ch eine gleichmässige Erzeugungsweise ab. Zwisches a und c
ist Pappus zufolge eine dritte Grösse & arithmetisches, geometrisches
oder harmonisches Mittel, je nachdem die beiden Differenzen a — &
und h — c in dem Verhältnisse a : a oder a : h oder a : c stehen.

Wir möchten ferner die Aufmerksamkeit unserer Leser auf die
dem III. Buche angehörige Aufgabe lenken: zu einem gegebenen
Parallelogramme ein zweites zu finden, so dass die Seiten des zweiten
zu denen des ersten in einem gegebenen Längenverhältnisse stehen,
während die Flächenräume in einem anderen gleichfalls gegebenen
Verhältnisse stehen sollen^). Die Aufgabe ist an sich leicht und
eine vollständig bestimmte, aber sie gewinnt an geschichtlicher Trag-
Aveite, wenn wir sie mit jener unbestimmten Aufgabe im Buche des
Landbaues vergleichen (S. 304): zwei Kechtecke zu finden, bei welchen
die Summe der Seiten in einem, die Flächeninhalte in einem anderen
gegebenen Verhältnisse stehen sollen, eine Aufgabe, welche uns noch
wiederholt begegnen wird, und deren Ursprung durch das blosse
Vorkommen im heronischen Buche des Landbaues noch keineswegs
gesichert ist, da grade dieses Buch spätere Einschiebungen mit grosser
Wahrscheinlichkeit vermuthen lässt.

Endlich kommen wir auf die Multiplikatiousmethode des Apol-
lonius im IL Buche des Pappus zurück und auf eine Bemerkung,
welche wir bei unserer ersten Erörterung dieses Verfahrens (S. 331)
dazu machten. Jene Bemerkung bezog sich auf das Auftreten xter
Myriaden. Die Allgemeinheit der Darstellung beschränkt sich nicht
auf sie. Bei den Zahlenbeispielen, an welchen die Multiplikation
mit Hilfe der Wurzelzahlen gelehrt wird, kommen natürlich grie-

') Pappus (ed. Hultsch) pag. 616 und 648. ') Pappus (ed. Hultsch)
l^ag. 70 und 72. ^) Pappus (ed. Hultsch) pag. 126 sqq.

426 23. Kapitel.

chischer Gewolinlieit gemäss Buchstaben als Vertreter von Zahlen
vor. Aber neben den zu diesem Zwecke verwandten Buchstaben des
Alphabetes erscheinen auch grosse Buchstaben in der Bedeutung
allgemeiner Zahlen. So ist a = 1, /3 = 2, y = 3-, d = 4, £ = 5,
und von den entsprechenden grossen Buchstaben wird angenommen,
es sei^) A = 20, B = 3, T = 4, J = ö, E == 6 und Z sei die
Wurzelzahl von Jl oder 2. Offenbar ist hier ein ungemeiner Fort-
schritt enthalten. Es ist nicht bloss von einer gesuchten Grösse,
einem Hau der Aegypter die Rede; es werden nicht bloss, wie in dem
Epantheme des Thymaridas, zwei Gattungen von Grössen, gegebene
und unbekannte unterschieden; es liegt die Möglichkeit vor, so viele
allgemeine Grössen als es nur grosse Buchstaben gibt zu unter-
scheiden, Operationen an ihnen anzudeuten und damit Regeln selbst
in ihrer Allgemeinheit auszusprechen, ohne den Leser zu nöthigen
die Regel erst aus dem besonderen Beispiele zu abstrahiren. Es ist
in der That eine Buchstabenrechnung. Schon Aristoteles hat (S. 240)
eine Kraft, eine Zeit durch einen einfachen Buchstaben bezeichnet.
Bezeichnungen durch einfache Buchstaben hat man auch aus Ciceros
Briefen nachzuweisen vermocht^). Aber eine so freie Bewegung mit
den Symbolen allgemeiner Grössen wie im II. Buche des Pappus ist
doch neu. Dem Vorgange des Aristoteles gegenüber ist es nicht er-
laubt ohne weiteres zu leugnen, dass Apollonius schon diesen ge-
Avaltigen Fortschritt vollzog. Es ist noch weniger gestattet solches
geradezu zu behaupten und anzunehmen weder ein Geometer noch
ein Arithmetiker, kein Heron, kein Nikomachus seien in die Füss-
tapfen des Apollonius getreten. Vielleicht ist der Fortschritt in zwei
Bewegungen erfolgt, wenn mau uns diese Ausdrucks weise gestatten
will. Apollonius, das wissen wir aus Pappus, hat sein Verfahren
geometrisch dargestellt ''), d. h. er sprach offenbar, gleich Euklid an
manchen Stellen der Elemente, von Linien und Flächen, wo wir von
Zahlen und ihren Produkten zu reden gewohnt sind. Auch Euklid
bezeichnete solche Zahlenlinien regelmässig durch eiufache Buch-
staben. Dieselbe Gewohnheit, sollten wir meinen, habe Apollonius
gehabt; er habe seine Zahlenlinien durchgängig mit je einem grossen
Buchstaben benannt. Pappus, vermuthen wir dann, habe die Buch-
staben beibehalten, die lineare Versinnlichung fallen lassen. So war

') Pai)pus (ed. Hultscli) pag. 8. -) Einstölae ad Atticum Lib. 11,
epiatoJa 3. Wenn dagegen römische Juristen vielfach die Gewohnheit hatten,
statt einer unbestimmt gelassenen Zahl decem (A') zu schreiben, z. B. dabo X
asses, so ist diese Gewohnheit kaum als eine Spur allgemeiner Grössenbezeich-
nung aufzufassen. ') rö 8h yQafifiiyibv vnb xov 'AnoXlcoviov SiSsiktki bei Pappus
(ed. Hultsch) pag. 8.

Die Neuijlatoniker. DiopLantus Ton Alexandria. 427

der Fortschritt vielleicht eiu halb uiibewusster; aber er war darum

doch gemacht, und die Algebra der Zeitgenossen wie der Nach-
kommen koniite Nutzen davon ziehen.

23. Kapitel.
Die Neuplatoniker. Diophantus von Alexandria.

Wir sehen in diesem Kapitel Männer auftreten, deren richtige
Würdigung kaum möglich ist, ohne dass wir ein Anlehen bei der
Geschichte der Philosophie uns gestatten '^). Nicht als ob wir ge-
sonnen wären die unterschiede deutlich zu machen, welche zwischen
dem Neupythagoräismus, von welchem wir in der Einleitung zum
21. Kapitel (S. 399) gesprochen haben, und dem Neupia tonismus,
zu welchem Avir uns jetzt wenden, obwalten; so tief dürfen wir in
das uns fremde Gebiet nicht eindringen-, aber die Persönlichkeiten
müssen wir wenigstens kennen lernen, welche im Neuplatonismus
tonangebend waren, und die vielleicht ein Recht in der Geschichte
der Mathematik mit Ehren genannt zu werden nur dadurch ein-
büssten, dass ihre mathematischen Schriften verloren gingen, Schriften,
deren arithmetischer Inhalt, sofern wir nach dem Erhaltenen auf das
Verlorene schliessen dürfen, eine Fortsetzung dessen darstellen würde,
was die Neupythagoräer Nikomachus und Theon uns zu entwickeln
nöthigten. Noch in einem anderen Berührungspunkte treffen die
Neuplatoniker, von denen wir besondere mathematische Erinnerung
besitzen, mit den genannten neupythagoräischen Arithmetikern über-
ein. . Wie Gerasa und Smyrna, so gehört die Heimath des Porphyrius,
des Jamblichus dem asiatischen Welttheile an, und gehen wir von
dem Satze aus, dass sich häufende Zufälligkeiten wahrscheinlich
ähnlichen Gründen entstammen und damit aufhören Zufälligkeiten zu
sein, so werden wir die Thatsache uns zu bemerken haben, dass
vorderasiatische Philosophen, welche der Mathematik sich zuwandten,
vorzugsweise Arithmetiker wurden. Eine Begründung dieser That-
sache aber zu geben reichen die heutigen Mittel nicht aus. Kaum
anzudeuten wagen wir, dass es heimathliche Einflüsse gewesen sein
dürften, die diese bestimmte Geistesrichtung hervorbrachten, heimath-
liche Einflüsse, die aber jedenfalls nach Zeit und Ort weiter verfolg-
bar sein müssen, in eine vielleicht graue Vergangenheit, in weiter
östlich liegende Gegenden.

') Uusere Hauptquelle: Zeller, Die Philosophie der Griechen in ihrer ge-
schichtlichen Entwicklung III. Theil, 2. Abtheilung (2. Auflage) 1868, citiren wir
als Zeller IIL 2.

428 23. Kapitel.

Der Verkehr mit diesem Osten, selbst mit dem äussersten Osten,
war wenn auch kein lebhafter doch immer vorhanden. Alexandri-
uische Handelskarawanen wagten sich nach Indien; aber auch indische
und chinesische Gesandtschaften erschienen bei römischen Kaisern.
Der Hof des Augustus, des Claudius, des Trajan, des Constantin des
Grossen, des Julianus hat solche Botschafter fremdartigster Gestalt
gesehen^). In H. S. n. Chr. soll Scythianus magische Schriften
aus Indien nach Alexandria g'ebracht haben, die dort gierig ver-
schlungen wurden. In eben diese Zeit fällt die Gründung der neu-
platonischen Schule in Alexandria durch Ammonius. Ammonius
aber war der Lehrer des Plotinus, eines Aegypters, in dem imn-
mehr die Neigung aus den orientalischen Quellen selbst zu schöpfen
so lebhaft erwachte, dass er 39 Jahre alt dem Heere sich anschloss,
welches unter Gordian gegen die Perser zu Felde zog. Die selb-
ständige Wirksamkeit des Plotinus entfaltete sich in Rom, wo er
etwa 244 als Lehrer auftrat und eines grossen Zulaufs sich erfreute,
bis er 270 in Campanien einer lange dauernden Krankheit erlag.

Der Lieblingsschüler Plotins erhielt den Auftrag die Schriften
des Lehrers zu sammeln und herauszugeben. Es war der Tyrier
Malchus, der etwa 232 auf asiatischem Boden geboren zuerst in
Athen unter einem Philosophen Longinus, der für uns kein weiteres
Interesse besitzt, studirte, dann nach Rom zu Plotinus gelangte und
dort den Namen Porphyrius erhielt, unter welchem er uns schon
Aviederholt vorgekommen ist. Porphyrius erreichte jedenfalls ein
hohes Alter, da er selbst von einem Vorfalle aus seinem 6S. Lebens-
jahre erzählt hat, und somit sicherlich erst nach 300 gestorben ist.
Er war ausser in Rom, wohin er am Ende seiner Laufbahn nochmals
zurückkehrte, auch in Sicilien schriftstellerisch und als Lehrer thätig.
Von seinen Schriften haben Avir das Leben des Pythagoras soAvie den
Commentar zu der Musik des Ptolemäus als Quelle mancher werth-
vollen geschichtlichen Angabe kennen gelernt. Die letztere Schrift
ihrem eigentlichen wissenschaftlichen Inhalte nach zu besijrechen
haben wir keine Veranlassung. Wichtiger wären vielleicht für die
Geschichte der Sternkunde und ihrer Ausartungen die astrologischen
Anklänge, welche bei Porphyrius vorhanden sind, welche von da an
unter den Neuplatonikern nicht verhallen, von welchen aber auch
schon Ptolemäus, der strenge Forscher, nicht frei war; ihrem Ur-
sprimge nachgehend könnte man möglicherweise zu auch anderwärts

') Vergl. Reinaud, lielations polüiques et commerciales de Vempire Romain
avec l'Asie centrale im Journal Äsiatique, 6. sörie, T. I (1863) und eine Notiz
vou Woepcke in demselben Bande pag. 458 mit Berufung auf Wilson,
^'ishnu Purana. London, 1840 in 4", pag. VIII und IX.

Die Neuplatoniker. Diopliantus von Alexandria. 429

verwerthbareu Ergebnissen gelangen. Von Geometrischem, was Por-
pbyrius geschrieben, ist uns nur Weniges in des Proklus Commen-
tare zu dem ersten Buche der euklidischen Elemente erhalten^) und
dieses Wenige ist nicht von solcher Bedeutung, dass wir dabei zu
verweilen hätten.

Zwei Schüler des Porphyrius werden als bedeutendste genannt.
Der ältere, ein gewisser Anatolius, scheint häufig aber mit Unrecht
mit dem Peripatetiker gleichen Namens verAvechselt worden zu sein,
welcher seit 270 Bischof von Laodicea war. Der Neuplatoniker
Anatolius, von welchem mancherlei mystisch-arithmetische Bruch-
stücke an verschiedenen Orten sich erhalten haben, dürfte gar nicht
Christ gewesen sein. Ausserdem muss er eine philosopische Lehr-
thätigkeit zu einer Zeit noch ausgeübt haben, als jener andere
Anatolius durch die Pflichten seines bischöflichen Amtes vollauf in
Anspruch genommen war, wenn er überhaupt noch lebte. Sein
Schüler und erst später Schüler des ihnen somit gemeinsamen Lehrers
Porphyrius, war nämlich der zweite, den wir zu nennen haben:
Jamblichus.

Jamblichus ist aus reicher und angesehener Familie zu Chalcis
in Cölesyrien geboren, also Vorderasiate, wie wir oben bemerkten.
Er folgte wahrscheinlich in Rom dem Unterrichte des Anatolius und
des Porphyrius, als dieser aus Sicilieu wieder zurückgekehrt war.
Später verlegte Jamblichus seinen Aufenthalt in seine syrische Hei-
math, wo er selbst schulebildend auftrat. So sehr seine Anhänger
ihn verehrten, — den Göttlichen nannte ihn die Schule — so sind
doch die Angaben über seine Lebenszeit von Widersprüchen be-
haftet^). Au und für sich könnte es ja richtig sein, dass er am
Ende des IlL S. in Rom zu den Füssen des Porphyrius sass, dass
er während der Regierung Constantin des Grossen (SOG —337) wirkte,
dass noch Kaiser Julianus Apostata (361 — 363) in Briefwechsel mit
dem greisen Philosophen stand. Wie aber will man dann begreiflich
machen, dass Kaiser "Constantin den Sopater, einen Schüler des Jamb-
lichus, der erst nach des Lehrers Tode an den Kaiserhof kam, hin-
richten Hess, wie damit wieder in Einklang bringen, dass Kaiser
Julianus in einem seiner Briefe von Sopater als eineui damals noch
lebenden Schüler des Jamblichus redet? Soll man wirklich den Tod
des Jamblichus etwa auf 330 setzen, die Briefe des Julian an Jamb-
lichus für untergeschoben erklären? Wir verzichten auf die Ent-

^) Die betreffenden Stellen sind mit Hilfe des Namensverzeichnisses der
Priedlein'sclien Proklusausgabe leicht aufzufinden. ^) Zeller III, 2, 613,
Anmerkung 2.

430 22. Kapitel. ,

Scheidung dieser Fragen, Avelche eine grosse Wichtigkeit für uns
nicht besitzen. Dass Jamblichus unzweifelhaft am Anfange des
IV. S. lebte, genügt uns. Wie lange Jamblichus im IV. S. seine
Thätigkeit fortsetzte, ist uns ziemlich gleichgiltig.

Von den Werken des Jamblichus') kümmern uns vorzugsweise
einige Bücher, welche zwar getrennt von einander herausgegeben
worden sind, aber ursprünglich ein einziges Werk von zehn Büchern
bildeten und den Gesammttitel: Sammlung der pythagoräischen
Lehren, evvayoyr] zäv TtvQayoQtxcov öoy^dxcov , führten. Das
I. Buch enthielt das Leben des Pythagoras, das IL eine Einleitung
in die Philosophie, das III. eine solche in die Mathematik, das
IV. Erläuterungen zu Nikomachus, das V. Physikalisches, das VI.
Ethisches, das VII. theologisch-arithmetische Auseinandersetzungen,
das VIII. eine Musik, das IX» eine Geometrie, das X. eine Sphärik.
Die kleinere Hälfte des Werkes, das L, IL, III., IV. Buch haben sich
erhalten^), die andere Hälfte ist verloren gegangen. Der wesentliche
Inhalt des VH. Buches mag allerdings von einem späteren unbe-
kannten Verfasser in die erhaltene Schrift Theologumena Arithmeticae
hineingearbeitet worden seiu^). Verloren ist auch ein Werk über
Chaldäisches , aus dessen 28. Buche eine Notiz sich erhalten hat,
woraus auf den grossen Umfang des Werkes ein Schluss gezogen
werden kann. An ihm dürfte die Geschichte der Wissenschaften
überhaupt, der Mathematik insbesondere, viel eingebüsst haben, und
jedenfalls reicht dessen einstmaliges Vorhandensein aus, die Glaub-
würdigkeit dessen, was Jamblichus, der sich somit ejwiesenermassen
mit den chaldäischen Ueberlieferungen beschäftigt hatte, über den
Ursprung mancher mathematischen Sätze in Babylon berichtet,
wesentlich zu erhöhen. Die sonstigen vielen Schriften, welche Jamb-
lichus mit Recht oder Unrecht beigelegt werden, welche theils ganz
verloren, theils in Bruchstücken vorhanden sind, haben für uns keine
weitere Bedeutung.

Von den zehn Büchern pythagoräischer Lehren haben wir das IV.,
welches schon mehrfach von uns ausgebeutet worden ist, dem wir
z. B. das Epanthem des Thymaridas entnahmen, noch nach der
Richtung hin zu prüfen, was wohl in den Erläuterungen zur Arith-
metik des Nikomachus, die übrigens nichts weniger sind als ein fort-
laufender Commentar zum Texte des zu erklärenden Werkes, erwähnens-

') Zeller III, 2, G15, Anmerkung 2. -) Buch I ist am besten von Kiess-
ling, Leipzig, 1815, Buch II von ebendemselben, Leipzig, 1813, herausgegeben,
Buch III ist bei Ansse de Villoison, Änecdota Gracca Bd. II. Venedig, 1781
abgedruckt. Buch IV gab Tennulius heraus. Arnheim, 1668. ^) Ssoloyoii-
litva xfjs aQiQfnqziyiijg ed. Fr. Ast. Leipzig, 1817.

Die Neuplatoniker. Diophantus von Alexandria. 431

werth sein möchte, und als älteren Schriftstellern nicht überweisbar
dem Jamblichus angehören könnte. Da ist freilich das Auszu-
zeichnende ungemein dürftig. Der Satz, dass jede Dreieckszahl mit
8 vervielfacht und alsdann noch um die Einheit vermehrt zur Quadrat-
zahl werde, ist keinenfalls des Jamblichus Eigenthum, da derselbe
mindestens schon bei Plutarch im I. S. n. Chr. vorkommt (S. 157).
Auch was Jamblichus von Seiten und Diametralzahlen weiss, kennen
wir schon von Theon von Smyrna her. Ihm dagegen gehört viel-
leicht der Satz an, dass jede Zahl mit einer der beiden ihr zunächst
liegenden gleichartigen (d. h. grade mit graden, ungrade mit ungraden)
vervielfacht unter Hinzufügung der Einheit zu dem Produkte ein
Quadrat gibt, und zwar ein grades Quadrat wenn man von uugradeu,
ein ungrades wenn man von graden Faktoren ausgingt), ein Satz, der
freilich keines weiteren Beweises bedarf, als der sich aus der Identität
a(a -f 2) + 1 = (a + 1)- ergibt.

Jamblichus darf sich wohl auch die Erfindung zuschreiben, welche
jede Quadratzahl in ihrer Entstehung als Summe zweier auf einander
folgenden Dreieckszahlen mit dem Bilde einer Rennbahn vergleicht-).
Von der Einheit als Schranke durchläuft man alle Zahlen bis zu einem
Wendepunkte «, von wo aus auf der anderen Seite wieder durch
die sämmtlichen Zahlen die Rückkehr zur Einheit als Ziel erfolgt;
d. h. 1 4- 2 + • • -f (a - 1) -f a -f (a — 1) + • • + 2 -f 1 = a-'.
Daneben weiss Jamblichus auch, dass l -{- 2 -\- ■ ■ -{- (a — l)-j-a-|-
(a — 2) -f- • • + 2 = (ö5 — 1) ■ a eine heteromeke Zahl wird, und
stellt auch diese Vorwärts- und Rückwärts summirung, bei der freilich
beim Zurückgehen ein Sprung von a nach a — 2 erfolgt, und ausser-
dem das Ziel bei 2 und nicht bei 1 ist, an dem Bilde einer Renn-
bahn dar. Ja er hetzt das Bild einer Rennbahn zu Tode, indem er

vonl-f-2 + 3H [-9-1- 10 -f 9 H h3 + 2+l = 100 durch

Vervielfachmig jeder Zahl mit 10, mit 100 u. s. w. zu 1000, zu
10 000 u. s. w. gelangt und die Zahlen 1, 10, 100, 1000 die Einheiten
des ersten, des zweiten, des dritten, des vierten Ganges mit den
Pythagoräern nennt, woraus hervorgeht, dass den Pythagoräern
ein genaues Bewusstsein des dekadischen Zahlensystems innewohnte,
wie es auch aus dem Begriff der Wurzelzahlen bei ApoUouius deut-
lich hervorgeht. Die Wurzelzahlen selbst, aber nicht Pythmenes,
sondern Einheit, novdg, genannt, spielen in einem letzten Satze des

^) Jamblichus in Nicomachum (ed. Tennulius) pag. 127. Vergl.
Nesselinann, Algebra der Griechen S. 236, Anmerkung 70. ^) Für diese und
die folgenden Bemerkungen zu Jamblichus vergl. Nesselmann, Algebra der
Griechen S. 237—242.

432 23. Kapitel.

Jamblichus eine Rolle. Addirt man drei in der natürliclien Zahlen-
reihe unmittelbar auf einander folgende Zahlen, deren grösste durch
3 theilbar ist, nimmt die Ziffernsumme der Summe (d. h. bei Jamb-
lichus die Summe der Monaden), von dieser Ziffernsumme abermals
die Ziffernsumme u. s. f., so gelangt man endlich zu der letzten
Ziffernsumme 6. So erweist sich uns Jamblichus immerhin als er-
träglicher, wenn auch nicht als bedeutender Arithmetiker. Bedürfte
der negative Theil dieses Ausspruches einer Bestätigung, so könnten
wir sie in dem Tadel finden, den Jamblichus gegen Euklid sich er-
laubt, weil derselbe die Zahl 2 eine Primzahl nenne, während es nach
Nikomachus nur ungrade Primzahlen gebe.

Der Zeit des Jamblichus gehören möglicherweise die arith-
metischen Ej)igramme der griechischen Anthologie an^).
Sammlungen kleiner griechischer Gedichte wurden seit dem letzten
Jahrhundert vor Christi Geburt vielfach zusammengestellt. Aber was
damals, was später während der Regierungen Trajans, Hadrians ge-
sammelt wurde, ist verloren gegangen. Nur die Erinnerung daran
ist geblieben, nur was theilweise mit Anlehnung an diese Vorgänger
am byzantinischen Hofe zuerst im X. S. von Constahtin Krephalas,
dann wiederholt in der ersten Hälfte des XIV. S. von Maximus
Planudes, einem Vielschreiber, welcher uns noch mehrmals als Ver-
fasser mathematischer Schriften begegnen wird, zu einer Blumenlese
vereinigt worden ist. Darunter findet sich nun eine grosse Anzahl
algebraischer Räthself ragen. Wir haben (S. 271) das sogenannte
euklidische Epigramm von den beladenen Thieren kennen gelernt; es
steht in der Anthologie. Das Rinderproblem des Archimed (S. 297)
steht nicht in derselben , gehört aber seinem Inhalte wie der dichte-
rischen Einkleidung nach gleichfalls hierher, und mau wird vielleicht
nicht irre gehen, wenn man Inhalt und Form der Epigramme von
einander trennt, letztere erheblich später als ersteren entstehen lässt.
Für mehrere von den algebraischen Epigrammen gilt Metrodorus
als Verfasser und da dieser unter Constantin dem Grossen gelebt
haben soU^), so wählten wir diese Stelle, um von den Ejjigrammen
zu reden. Wir wollen freilich nur zwei derselben hervorheben, welche
eine gewisse Bedeutung z\i besitzen scheinen.

Wir meinen erstens eine Brunnenaufgabe, wemi dieses Wort den

') Die besten Ausgaben der Anthologie von Friedr. Jacobs in 8 Bänden
(Leipzig, 1813 — 17) und von Brunck. Die 47 arithmetischen Epigramme hat
Zirkel in einem bonner Gymnasialprogramme vom Herbst 1853 mit deutscher
Uebersetzung und einigen Erliluterungen herausgegeben. Vergl. auch Nessel-
mann, Algebra der Griechen S. 477 flgg. ^) Jacobs, Comment. in Antliölogiqm
Graecam T. XIII, pag. 917.

l)ie Neuplatoniker. Diophantus von Alexandria. 433

Sinu behalten soll, unter welchem wir es (S. 363) bei Besprechung
der Ausmessungen des Heron eingeführt haben:

Vier Springbrunnen es gibt. Die Cisterne anfüllet der erste
Täglich; der andere braucht zwei Tage dazu, und der dritte
Drei, und der vierte gar vier. Welche Zeit nun brauchen zugleich sie?

Wir meinen zweitens ein Epigramm, welches seinem Gegenstände
nach an die Kronenrechnung des Archimed erinnert, durch die Art
aber, wie die gegebenen Grössen in ihm mit den Unbekannten ver-
bunden sind, die Anwendung des Epanthems des Thymaridas erheischt:

Schmied' mir die Krone und menge das Gold mit dem Kupfer zusammen,
Füg' auch Zinn noch hinzu sammt sorglich bereitetem Eisen.
Sechzig der Mienen sie hab' an Gewicht. Zwei Drittel der Ki-one
Wiege das Gold mit dem Kupfer gemengt; drei Viertel dagegen
Gold mit dem Zinn im Gemisch; drei Fünftel betrage das Gold noch,
Wenn du es fügst zu dem Eisen. Wohlan! nun sage mir pünktlich,
Was du an Gold musst nehmen und Kuj)fer, zu treffen die Mischung;
Wie viel Mienen an Zinn; auch nenne die Masse des Eisens,
Dass du zu schmieden vermagst von sechzig der Mienen die Krone.

Ist unsere Zeitangabe richtig, d. h. hat Metrodorus der Regierungs-
zeit Constantin des Grossen, mithin dem ersten Drittel des IV. S.
angehört, und verfasste er wirklich alle Epigramme, die unter seinem
Namen laufen, so beweist eines derselben, dass der Mann, nach dessen
Tode erst es angefertigt worden sein kann, der strengen Zeitfolge
nach wahrscheinlich vor Jamblichus hätte besprochen werden müssen.
Weil aber Jamblichus von den Neuplatonikern nicht zu trennen ist,
weil er ausserdem in seinen Schriften durch die Leistungen des
Mathematikers, von dem wir reden wollen, nicht im Geringsten be-
einflusst worden ist, so sei aus diesen Gründen die Abweichung von
der Zeitfolge nachträglich entschuldigt. Wir wenden uns also jetzt
erst zu Diophantus von Alexandria^).

Der Name dieses Schriftstellers war selbst dem Zweifel unter-
worfen, so lange man in griechischer Sprache nur die Genitivform
kannte, welche ebensowohl von einer Endung r}g als og sich herleiten
konnte. Man berief sich aber auf die arabische Form des Namens,
welche mit der hier benutzten übereinstimmt und fand alsdann volle
Bestätigung in einer Stelle des Commentars Theons von Alexandria

^) Ueber Diophant hat Cossali, Origine, trasporto in Italia, priini pro-
gressi in essa delV algebra I, 56 — 95. Parma, 1797, gehandelt; dann Otto
Schulz in der Einleitung und den Anmerkungen zu seiner deutschen Ueber-
setzung des Diophant. Berlin, 1822; Nesselmann, Algebra der Griechen
S. 243—476. Hankel 157 — 171. T. L. Heath, Diophantos of Alexandria.
Cambridge, 1885. P. Tannery in der Bibliotheca mathcmatica 1887 pag. 37 — 4n,
81—88, 103—108 und 1888 pag. 3—6.

Cantor, Geschichte der Mathematik T. 2. Aufl. 28

434 23. Kapitel.

zum ersten Buche des Alniagestes, wo unzweideutig ^Lotpavzo? stellt
und unser Algebraiker gemeint sein muss, weil es sieh bei Theon^)
um einen Satz handelt^ der bei Diophant wirklich in dem dort an-
gegebenen Wortlaute vorkommt. Der gleichen Form z/i6q)avtog hat
sich auch Johannes von Jerusalem bedient^). Am Ende des VIII. S.
lebte nämlich Johannes von Damaskus, der gleich seinem Vater
Sergius als Christ Schatzmeister des Chalifen 'AbdAlmelik Avar. Er
zog sich jedoch bald in das Kloster Saba zurück, wo er, wie die
Einen sagen, 780, nach anderer Meinung 760 gestorben ist^). Das
Leben dieses Johannes von Damaskus hat nun sein jerusalemitischer
Namensgenosse beschrieben und ihm dabei nachgerühmt, er sei in
der Geometrie so bewandert gewesen wie Euklid, in der Arithmetik
wie Pythagoras und Diophantus.

Für das Leben des Diophantus siud uns zwei weit getrennte
Grenzen gegeben. Damit Theon seiner erwähnen konnte, müssen
seine Schriften spätestens um 370 vorhanden gewesen sein. Damit
er Hypsikles nennen konnte, dessen Definition der Vieleckszahlen er
uns aufbewahrt hat (S. 345), muss er später als 180 v. Chr. gelebt
haben. So ist ein Zwischenraum von ganzen 550 Jahren gewonnen,
in welchem Diophant unterzubringen ist. Die Gründe, weshalb man
früher vermuthete, Diophant müsse ganz am Ende der überhaupt
möglichen Zeit gelebt haben, sind theils negative, theils ein positiver.
Negativ Hess man sich dadurch bestimmen, dass weder bei Niko-
machus, noch bei Theon von Smyrna, noch bei Jamblichus eine Er-
wähnung des Diophant oder seiner Lehren aufgefunden worden ist,
so nahe dieselbe grade diesen Schriftstellern gelegen hätte, dass über-
haupt eine Einwirkung des Diophant auf griechische Arithmetik
nicht nachzuweisen ist, was nur dann begreiflich erscheine, wenn
man annehme, er habe erst nach den Männern gelebt, welche ihn
einigermassen, wenn auch nicht vollkommen zu verstehen im Stande
waren. Dazu kommt dann das positive Zeugniss des Abulpharagius,
eines syrischen Geschichtsschreibers aus dem XIIL S., Diophant sei
Zeitgenosse des Julianus Apostata gewesen, welcher 361 — 363
regierte. Der einzige, aber für uns den Ausschlag gebende Gegen-
grund ist der, den wir oben schon berührten, und der auf einem
Epigramme über die Lebensdauer des Diophant beruht. Wenn dieses
wirklich, wie in der Anthologie angegeben ist, von Metrodorus
herrührt, und wenn Metrodorus unter Const antin dem Grossen

') Theon d'Alexandrie (ed. Halma)!, 111. '')Vossiu3, De scientiis
inathematicis (Amsterdam, 1650) pag. 432 hat die betreifenden Worte abgedruckt
und citirt dafür „pag. 683 edit. Basil." *) A. von Eremer^ Kulturgeschichte
des Orientes 11, 402—403 (Wien, 1877).

•

Die Neuplatoniker. Diopliantus von Alexandria. 435

lebte, so inuss auch Diopliant so spät als möglich gesetzt am An-
fange des IV. S. gelebt haben, später als Nikomachus und als Theon
von Smyrna, dagegen nicht später als Jamblichus, mid so ist die
mangelnde Einwirkung auf die beiden ersteren durch die Lebenszeit,
auf Jamblichus dadurch erklärt, dass dieser, wenn er Diophants
Schriften kannte, sie nicht verstand. Eben dieses bleibt richtig,
wenn Diophant gar in die erste Hälfte des III. S. zurückverlegt wird ^).
Jenes Epigramm enthält alles, was wir von den persönlichen
Verhältnissen des Diophantus wissen.

Hier dies Grabmal deckt Diophantus. Schauet das Wunder!

Durch des Entschlafenen Kunst lehret sein Alter der Stein.

Knabe zu sein gewährte ihm Gott ein Sechstel des Lebens;

iSIoch ein Zwölftel dazu, sprosst' auf der Wange der Bart;

Dazu ein Siebentel noch, da schloss er das Bündniss der Ehe,

Nach fünf Jahren entsprang aus der Verbindung ein Sohn,

Wehe das Kind, das vielgeliebte, die Hälfte der Jahre

Hatt' es des Vaters erreicht, als es dem Schicksal erlag.

Drauf vier Jahre hindurch durch der Grössen Betrachtung den Kummer

Von sich scheuchend, auch er kam an das irdische Ziel.

Demgemäss hat er zu 33 Jahren sich verheirathet, zu 38 Jahren
einen Sohn bekommen, der selbst nur 42 Jahre alt wurde, und ist
mit 84 Jahren gestorben. Wer aber Diophantus von Alexandria war,
darüber sagt uns auch das kleine niedlich erfundene Räthselgedicht
nicht das mindeste. Es fällt in das Gebiet der durchaus ungestützten
Vermuthungen, wenn man hat behaupten wollen, Diophant von
Alexandria habe in dieser Stadt nur seinen Wohnsitz orehabt und
sei selbst gar nicht Grieche gewesen, so wenig wie seine Wissen-
schaft griechischen Ursprunges sei. Die Möglichkeit dieser Annahme
ist nicht ausgeschlossen; man kann ihr beipflichten ohne in bestimmter
Weise Widerlegung zu finden; aber sie ist nicht nothwendig. Er-
innern wir uns der algebraischen Begriffe, welche wachsend und an
Gewicht zunehmend bei Euklid, bei Archimed, bei Heron, bei den
Neupythagoräern, bei Pappus uns begegneten, und wir haben nicht
nöthig die Brücke abzubrechen, welche auf dem Boden Alexandrias,
den jedenfalls Euklid, Heron und Pappus bewohnten, in fast unmerk-
licher Steigung, wenn man die Weite der Jahreskluft erwägt, von
den Hauaufgaben des Ahmes zu den Gleichungen des Diophantus
hinaufführt. Uns ist Diophant mit seinem in Griechenland mehrfach
vorkommenden Namen wirklicher Grieche, Schüler griechischer
Wissenschaft, wenn auch ein solcher, der weit über seine Zeit-

0 P. Tannery in Zeitschr. Math. Phys. XXXVII, Histor.4iterar. Abthlg.
S. 45 Nr. 3.

28*

436 23. Kapitel.

genossen hervorragt, Grieche in dem, was er leistet, wie in dem,
was er zu leisten nicht vermag. Eines wollen wir dabei keineswegs
ausgeschlossen haben, was wir übrigens zu Anfang dieses Kapitels
anzudeuten schon Gelegenheit nahmen: dass nämlich die griechische
Wissenschaft, wie sie von Alexandria aus nach Westen und nach
Osten erobernd vordrang, wovon folgende Abschnitte unseres Bandes
Zeucmiss ablegen, von den gleichen Eroberungszügen auch neuen
Werth an Ideen mit nach Hause brachte, dass die griechische Mathe-
matik als solche nie aufgehört hat sich anzueignen, was sie da oder
dort Aneignenswerthes fand.

Diophant hat ein Werk unter dem Namen Arithmetisches^),
aQtd'^TjtiJtd, verfasst, über dessen Eintheilung er sich in der Vorrede
folgendermassen äussert: „Da aber bei der grossen Masse der Zahlen
der Anfänger nur langsam fortschreitet, und überdies das Erlernte
leicht vergisst, so habe ich es für zweckmässig gehalten, diejenigen
Aufgaben, welche sich zu einer näheren Entwickelung eignen und
vorzüglich die ersten Elementaraufgaben gehörig zu erklären und
dabei von den einfachsten zu den verwickeiteren fortzuschreiten.
Denn so wird es dem Anfänger fasslich werden, und das Verfahren
wird sich in seinem Gedächtnisse einprägen, da die ganze Behandlung
der Aufgaben 13 Bücher umfasst"^).

Dreizehn Bücher waren es also, und nur von einem Werke des
Diophant ist bei zwei arabischen Schriftstellern, die seiner erwähnen,
die Rede ''). Dem gegenüber enthalten die griechischen Handschriften,
welche sich erhalten haben'*), nur sechs Bücher (eine einzige enthält
den gleichen Text in sieben Bücher abgetheilt), enthalten sie eine
besondere Schrift des Diophant über Polygonalzahlen, verweisen
sie an einzelnen Stellen auf eine Schrift des Diophant, welche deu
Namen der Porismen geführt habe.

Man hat aus der stylistischen Verschiedenheit zwischen der
wesentlich synthetischen Abhandlung über die Polygonalzahlen und
den wesentlich analytischen arithmetischen Büchern geschlossen, es
müssen hier zwei getrennte Werke vorliegen; man hat vermuthlich

^) Die beste ältere Textausgabe ist die von Backet de Meziriac von
1G21. Dagegen ist ihr Wiederabdruck mit den Anmerkungen von Fermat.
Toulouse, 1670, vielfach durch Druckfehler entstellt. Eine neue kritische Text-
ausgabe hat P. Tannery besorgt. Leipzig, 1893. Eine deutsche Uebersetzung
von 0. Schulz erschien Berlin, 1822, eine abermalige von G. Wertheim,
Leipzig, 1890. Wir citiren nach den Ausgaben von Tannery und Wertheim.
'■') Diophant (Tannery) pag. 14, (Wertheim) S. 8. ^) Nesselmann, Algebra
der Griechen S. 274, Note 37. ') Die Handschriften sind einzeln aufgezählt
bei Nesselmann S. 266, Note 2.'j.

Die Neuplatoniker. üiophantus von Alexandria. 437

daraus, dass iu den arithmetisclieii Büchern die Porismen ausdrück-
lieh genannt werden, gefolgert, auch sie mttssten eine besondere
Schrift gebildet haben. Man hat von anderer Seite weniger auf die
Ungleichartigkeit der Form, als auf den stets arithmetischen Inhalt
Gewicht gelegt, und vermuthet, es seien die Polygonalzahlen wie die
Porismen ursprünglich Bestandtheile der 13 Bücher des Diophant
gewesen^). Wir neigen uns der ersten Meinung zu, deren wirkliche
Gründe nicht vornehm beseitigt oder unberücksichtigt gelassen werden
können. Glücklicherweise stimmen die Vertreter beider sich schroff
ausschliessenden Ansichten in einer Meinung überein, der wir uns
gleichfalls durchaus anschliesseu , mid welche weitaus Wichtigeres
betrifft als die Frage der Zusammengehörigkeit oder Nichtzusammen-
o-ehörio'keit der genannten Stücke. Man hält nämlich allgemein
dafür-): 1. dass uns von Diophant viel weniger fehlt, als man ge-
wöhnlich glaubt, wenn man sich an das Zahlenverhältniss von 6 : 13
hält; 2. dass der Defect nicht am Ende, sondern in der Mitte des
Werkes, und zwar hauptsächlich zwischen dem I. und IL Buche zu
suchen ist; endlich 3. dass diese Verstümmelung des Werkes ziemlich
frühe, gewiss aber vor dem XIII. oder XIV. S. und bereits iu Griechen-
land stattgefunden hat.

Der dritte Satz ist dadurch zur Gewissheit erhoben, dass die
älteste der vorhandenen Handschriften, ein Vatikancodex vom XIII. S.,
den gleichen Text wie die übrigen besitzt, dass ein Commentar zu
den beiden ersten Büchern, welcher im XIV. S. entstand, ebenfalls
für diese zwei Bücher wenigstens den heutigen Wortlaut bestätio"t,
dass ein deutscher Astronom, der berühmte Regiomontanus, in einem
Briefe an seinen Fachgenossen Bianchini in Ferrara vom Monate
Februar 1464 erzählt, er habe iu Venedig einen griechischen Arith-
metiker Diophant entdeckt, der aber leider nur aus sechs Büchern
bestehe, während deren 13 in der Einleitung versprochen seien ^).
Die beiden anderen Sätze folgen allerdings nicht mit der gleichen
objektiven Gewissheit, sondern mehr für die Ueberzeugung dessen,
der sich genau mit dem Studium der vorhandenen Theile beschäftio-t
hat, aus diesen selbst. Man gewinnt das Gefühl, Diophant sei über

') Vei-treter der ersten Meinung sind Reimer und Hankel, der zweiten
Colelirooke und Nesselmann. ^) Nesselmann 1. c. S. 265 hat die drei
Thesen am deutlichsten und zwar in dem Wortlaute ausgesprochen, den wir
uns hier aneignen. ^) Ch. Th. v. Mu'-r, Memorabilia BibliotJiecaram imblicarum
Norimbergenaium et universitatis AUdorfinae I, 135 (Nürnberg, 1786) ist der
Wortlaut des Briefes abgedruckt, die einzelne auf Diophant bezügliche Stelle
schon bei Doppelmayr, Historische Nachricht von den Nürnbergischen Mathe-
maticis und Künstlern S. 5, Anmerkung y (Nürnberg, 1730).

438 23. Kapitel.

das, was iu den erlialtenen sechs Bücliern steht, nielit liinausge-
kommen, es seien nur gewisse der Zahl nach beschränkte Kunst-
griffe gewesen, über welche er verfügte, und mittels deren nicht viel
mehr zu leisten war, als wir thatsächlich geleistet sehen. Man kommt
so zu der Wahrscheinlichkeit, um nicht zu sagen zu der Gewissheit,
dass am Schlüsse unmöglich so viel fehlen kann, dass man von einer
Erhaltung nur der sechs oder sieben ersten Bücher zu reden berechtigt
wäre. Dazu kommt die vorher angegebene Verschiedenheit, dass eine
Handschrift in sieben Bücher theilt, was den anderen zufolge sechs
Bücher waren. Dazu kommt der gelungene Nachweis, dass innerhalb
der ersten drei Bücher Verschiebungen stattgefunden haben müssen,
dass insbesondere eine Ablösung der beiden letzten Aufgaben des
IL Buches von dem Vorhergehenden ebenso wie eine Vereinigung
derselben mit den ersten Aufgaben des III. Buches durch den Sinn
als nothwendig erzwungen ist. Dazu kommt endlich eine unbedingt
vorhandene Lücke, über deren Ausfüllung ein Zweifel nicht bestehen
kann. In der Einleitung ist nämlich, wie wir noch sehen werden,
die Auflösung der gemischten quadratischen Gleichung mit einer
Unbekannten zugesagt. In den späteren Büchern ist dieselbe als
bekannt vorausgesetzt. Gelehrt muss sie also worden sein, aber die
Vorschrift dazu fehlt. Diese bildete jedenfalls einen Theil und einen
nicht unbeträchtlichen Theil des Verlorenen, da wir annehmen dürfen
und müssen, die Lösung der gemischten quadratischen Aufgaben sei
in drei Sonderfällen vorgetragen worden, deren jeder au zahlreichen
Beispielen erläutert vielleicht ein ganzes Buch füllen mochte. Der
Platz für diese Lösungen war am Naturgemässesten zwischen dem
I. und IL Buche, also dort, wo die grosse Lücke angenommen zu
werden pflegt.

Die Aufgaben, welche Diophant behandelt hat, sind von zwei
wesentlich verschiedenen Gattungen. Es sind algebraisch bestimmte
und algebraisch unbestimmte Gleichungen, mit denen er sich be-
schäftigte. Auf dem einen Gebiete besteht seine grosse Bedeutung
darin, dass er Bekanntes in neuer Form vortragend ein organisches
Ganzes schuf, wo früher, mindestens bei den Schriftstellern, die wir
besitzen, nur zersplitterte Theile vorlagen. - Auf dem anderen Gebiete
stellt er uns den Pfadfinder vor, der abgesehen von einzelnen Vor-
gilngern, die nur die Vorhalle des Gebäudes betraten, zuerst unter
den Griechen, so viel wir wissen, durch das Labyrinth der ver-
wickeltsten Zahlenbedingungen und - Beziehmigen sich hindurchzu-
winden weiss, sei es, dass er dabei nur dem eigenen Genius vertraute,
sei es, dass ihm hier wirklich aus der Fremde der Faden der Ariadne
gereicht war, der ihn vor Irrgängen sicherte. i .

Die Neuplatoniker. Diophantus von Alexandria. 439

Wir reden zuerst von Diopbants Leistungen in der bestimmten
Algebra. Diopbant selbst lebrt uns die Reibenfolge einbalten, da
er in der scbon erwäbnten Vorrede gerade über die bestimmten Auf-
gaben sich anslässt und die unbestimmten Aufgaben kaum andeutet.
Diopbant beginnt mit den Worten: „Ich sehe, mein tbeuerster
Dionysins, mit welchem Eifer Du die Auflösung arithmetischer Auf-
gaben zu erlernen wünschest; ich habe daher versucht, das Verfahren
wissenschaftlich darzustellen, indem ich mit der eigentlichen Grund-
lage desselben anfange, nämlich mit einer Entwicklung der eigen-
thümlichen Natur und Beschaffenheit der Zahlen. Die Sache scheint
vielleicht etwas schwierig, da sie noch gar nicht bekannt ist, und
Anfänger haben immer wenig Hoffnung eines glücklichen Fortganges;
aber Dein Eifer und meine Darstellung wird Dir Alles recht fasslich
machen, denn mau lernt schnell, wemi Eifer und Unterweisung zu-
sammenkommt" ^).

Die Worte „da sie noch gar nicht bekannt ist", ajisiörj
(ii]7tG) yvcoQt^iov £6Ti, wurdcu mitunter so verstanden, als behaupte
Diopbant damit, er trage ganz Neues in Griechenland nicht Be-
kanntes vor. Die neueren Bearbeiter sind übereinstimmend der Mei-
nung, der Sinn sei gerade umgekehrt der, dass Diopbant die Unbekannt-
schaft des Dionysius allein mit den Auflösungen der arithmetischen
Aufgaben betone. Ihm zu Liebe will er das Verfahren wissen-
schaftlich darstellen von den Anfängen zu dem Gipfel aufsteigend.

Die Richtigkeit dieser Auffassung wird durch die weitere Ein-
leitung bestätigt, in welcher algebraische Begriffe der Reihe nach
entwickelt sind, welche uns einzeln genommen schon hier und dort
bei griechischen Schriftstellern begegnet sind, und welche auch wohl
in ihrer Fortbildung zu Diopbants Zeiten schon wesentliche Fort-
schritte gemacht haben müssen, sonst wäre die Kürze der Darstellung
bei ihrer Einführung unbegreiflich. Quadratzahlen und Kubikzahlen
z. B. mit ihren griechischen Namen övvcc^iig und xvßog sind uns
längst bekannt. Diopbant geht darüber hinaus und nennt Quadrato-
quadrat (dvva^odvva^ig), Quadratokubus (ßvva^oxvßog), Kubokubus
(xvßoKvßog) das was durch stets wiederholte Vervielfachung mit der
Grundzahl entsteht. Eigentlich versteht er unter diesen Namen auch
das nicht, was wir ihm folgend ausgesprochen haben. Nicht die
zweite bis zur sechsten Potenz irgend einer Zahl, sondern nur diese
Potenzen der unbekannten Zahl, um deren Auffindung es sich
in der betreffenden Aufgabe bandelt, hat Diopbant im Sinne. Für
sie gelten die abgekürzten Bezeichnungen, welche er weiter er-

^) Diophaot (Tannery) pag. 2, (Wertheini) S. 1.

440 23. Kapitel.

örtert, und welche aus den Anfangsbuchstaben d und a bestehen,
denen noch rechts oben ein v, der zweite Buchstabe sowohl von
dvva}iig als von avßog, angehängt wird. Was also die moderne Al-
gebra durch x^, x^j x\ x^, x*^ bezeichnet, schreibt Diophant:

gewissermassen unter Ersetzung der Potenzen durch ihre Exponenten
und dem entsprechend unter Addition der Exponenten, wo es sich
um die Multiplikation der Potenzen handelt. Die gesuchte Zahl
selbst, welche eine unbekannte Menge von Einheiten enthält, heisst
schlechtweg die Zahl, aQid-aog. Diophant bedient sich für sie des
Zeichens s^), welches man früher für ein finales Sigma hielt; es ist
aber wahrscheinlicher gemacht worden^), dass man es mit einem auch
sonst vorkommenden sogenannten Kompendium für ag, als Anfangs-
buchstaben von aQLd-^og zu thun hat. Dabei ist zu bemerken, dass
die unbekannte Einheitsmenge in Diophants Definition jcX^d'og ^ovä-
dcov aXoyov heisst, also unter Anwendung des Wortes, welches sonst
irrational bedeutet, und dass das ccoQiaTov des Thymaridas (S. 148)
zwar auch bei Diophant sich findet^), aber nur im Verlaufe des
Werkes. Endlich gibt es noch ein ständiges Zeichen für bestimmte
Zahlen, welche Einheit ^ovag heissen und ft^ geschrieben werden.
Diophant begnügt sich nicht mit den bisher genannten Zahlen-
arten. Er bedarf zu seinen Aufgaben auch noch der Brüche, welche
jene Benennungen im Nenner führen, algebraische Stammbrüche,
wie man sie insgesammt nennen möchte, um nicht von Potenzen
mit negativen Exponenten reden zu müssen. Diophant nennt den
Stammbruch der Zahl aQLQ'iio0x6v , den der zweiten Potenz dvva-
fioörov und so fort bis zu dem Stammbruche der sechsten Potenz
KvßoKvßoGtöv. Man hat diese Wörter ganz zweckmässig mit ein-
fachem Bruche, quadratischem Bruche, endlich kubokubischem Bruche
übersetzt^). Diophant lehrt hierauf die Multiplikation solcher Potenzen
und algebraischer Stammbrüche unter sich in den vielfachsten Ver-
änderungen. Natürlich gibt er dafür lauter einzelne Regeln, z. B.
ein quadratoquadratischer Bruch multiplicirt mit der Kubokubikzahl

gibt das Quadrat. Wir würden schreiben — • a;^ = x^. Nur der

Fall wird allgemein vorausgeschickt, dass eine dieser Potenzgrössen
mit dem gleichnamigen Stammbruche vervielfacht die bestimmte Zahl

als Produkt liefere, d. h. a?" • — = 1, und dass, da bestimmte Zahlen

') Diophant (Tannery) pag. 6 lin. 5. ^) Heath 1. c. pag. 57—67.
^) Nosselmann 1. c. S. 291, Anmerkung 54 hat die Stellen gesammelt.
■') Diophant (Tannery) pag. 6, (Wertheim) S. 3. I

Die Neuplatoniker. Diophantus von Alexandria. 441

bei allen Eechnungen wieder bestimmte Zahlen geben, das Produkt
einer bestimmten Zahl und eines allgemeinen Ausdruckes wieder ein
Ausdruck derselben Art sein werde.

Diophant unterscheidet hinzuzufügende und abzügliche
Zahlen. Die Addition nennt er vTtaQ^Lg, die Subtraktion Xeiiptg
imd besitzt für erstere zwar nicht, wohl aber für letztere ein eigenes
Abkürzungszeichen, nämlich, wie er selbst sagt, ein verstümmeltes
umgekehrtes ifj in der Gestalt <7J. In den Handschriften sieht das
Zeichen meistens so aus: /N, und ist dahin gedeutet worden^), es sei
ein aus A und I gebildetes Compendium für den Anfang des Wortes
Aft^tg. Diophant rechnet dann mit Differenzen, vervielfacht sie und
spricht dabei ohne Weiteres die Regel aus: Eine abzügliche Zahl
mit einer abzttglichen vervielfacht gibt eine hinzuzufügende, eine ab-
zügiiche mal einer hinzuzufügenden gibt eine abzügliche ^). Dass
dabei von positiven und negativen Zahlen als Maasse entgegengesetzter
Grössen keine Rede ist, bedarf wohl kaum besonderer Erwähnung.
Nur mit Differenzen weiss Diophant umzugehen, mit solchen
Differenzen, die einen wirklichen Zahlenwerth besitzen, d. h. deren
Subtrahend kleiner ist als der Minuend. Mit solchen aber rechnet
er in vollster Gewandtheit und schlägt seinem Dionysius vor sich
die gleiche Gewandtheit zu erwerben: „Es ist aber sehr zweckmässig,
ehe man sich an die Auflösung von Aufgaben macht, sich in der
Addition, Subtraktion und Multiplikation dieser Ausdrücke zu üben-,
besonders wie man eine Reihe hinzuzufügender und abzüglicher Aus-
drücke mit ungleichen Zahlenfaktoren zu anderen allgemeinen Aus-
drücken addirt, die entweder bloss hinzuzufügende sind oder aus
hinzuzufügenden und abzüglichen Gliedern bestehen; ferner wie man
von einer Reihe hinzuzufügender und abzüglicher Zahlen andere sub-
trahirt, die entweder bloss hinzuzufügende sind, oder auch aus hinzu-
zufügenden und abzüglichen Gliedern bestehen"'^). Die Subtraktion
der grösseren Zahl von der kleineren ist aber für Diophant unmöglich,
gibt ihm keine Zahl, kann daher als Auflösung irgend einer Aufgabe
nicht vorkommen. Dem entspricht die Thatsache, dass negative
Gleichungs wurzeln bei Diophant nirgends erscheinen, wenn auch die
hier erörterte Begründung nicht ausgesprochen ist.

Abgesehen von dem Nichtvorhandensein negativer Zahlen als
solcher ist es aber eine hoch entwickelte Buchstabenrechnung, welcher
wir uns bei Diophant gegenüber befinden. Es fehlt ihr nicht einmal

^) lleath 1. c. pag. 71—73. ") Xeiipig enl Xtiipiv TCoXXaTcXaGLaa&eißa noiei
vTCdQ^iv, XstipLg ds tni vitaq^iv Tcoiet Xsiipiv. ^) Diophant (Tannery) pag. 14,
(^VVertheim) S. 7.

442 23. Kapitel.

ein Gleichheitszeicheu, indem der Buclistabe t als Abkürzung
des Wortes I'gol (gleich) benutzt wird. Das bat sieb aus erneuter
Vergleicbuug der pariser Handscbrift, uacb welcher Bachet de Meziriac
1621 einen Abdruck ausführen liess, ergeben^). Nur in einer aller-
dings nicht unbedeutenden Yerschiedenheit kann man einen gewissen
Gegensatz der diophantischen Schreibweise gegen diejenige, welche
seit dem XVI. S. sich allmälig einbürgerte, erkennen. Die moderne
Buchstabenrechnung hat es durchgehend mit Symbolen zu thun, welche
sich selbst zur Aussprache einer Wahrheit genügen. Diophant rechnet
und schreibt mit Abkürzungen, welche mit ausgeschriebenen Wörtern
abwechseln und gleich diesen grammatischer Beugung unterworfen
sind, wie sie auch unbedenklich durch Partikeln und dergleichen von
einander getrennt werden. Man vergleiche z. B. 10a: -j- 30 = IIa; -f 15
mit dem diophantischen SS°' agcc l ^i'' A 1'0ol eiölv 55'-''^ Ta ^ovccöl Ts
und man wird sich des Gegensatzes sofort bewusst werden^).

Wie Gleichungen aufgelöst werden, ist in Diophants Einleitung
überaus klar und bestimmt gelehrt: „Wenn man nun bei einer Auf-
gabe auf eine Gleichung kommt, die zAvar aus den nämlichen allge-
meinen Ausdrücken besteht, jedoch so dass die Coefficienten an beiden
Seiten ungleich sind, so muss man Gleichartiges von Gleichartigem
abziehen, bis ein Glied einem Gliede gleich wird^). Wenn aber auf
einer oder auf beiden Seiten abzügliche Grössen vorkommen, so muss
man diese abzüglichen Grössen auf beiden Seiten hinzufügen, bis
auf beiden Seiten nur Hinzuzufügendes entsteht. Dann muss man
wiederum Gleichartiges von Gleichartigejn abziehen, bis auf jeder
Seite nur ein Glied übrig bleibt."

Die Zurückbringung einer Gleichung durch Additionen und Sub-
traktionen auf die Form ax"^ = hx", wo m und n ganze von ein-
ander verschiedene Zahlen bedeuten, deren eine auch Null sein kann,
ist damit in eine Regel gebracht, so unzweideutig, wie wir nur selten
im Alterthum Regeln ausgesprochen finden. Bemerkenswerth ist das
Wort sldog für Glied, welches später in lateinischer Uebersetzung
durch sjpecies wiedergegeben den Ursprung des Namens arithmetica
speciosa für Buchstabenrechnung gebildet hat.

„In der Folge", sagt Diophant noch weiter, „will ich Dir zeigen,
wie man die Aufgabe löset, wenn zuletzt ein zweigliedriger Ausdruck
einem eingliedrigen gleich wird."

Damit beabsichtigte Diophant aber sicherlich nicht in gleicher

') Vergl. 11 od et im Journal Asiatiqtce, 7ieme sdrie, T. XI (Janvier 1878)
pag. 42. -) Vergl. Nesselmann 1. c. S. 300—301. ^) tag a 'tv nSog svl ii'Sti
i'ßov yivrixui.

Die Neuplatonikei*. Diophantus von Alexandria. 443

Allgeineinlieit wie bei dem vorigen Falle die Auflösung der Gleichung
ax'^' -\- Tjx^ = cxP zu verspreclien, sondern es kann sich nur um die
gemischten quadratischen Gleichungen handeln. Allerdings treten dabei
drei Möglichkeiten auf, indem nach Ausführung der vorbereitenden
Operationen, die im Obigen mitgetheilt wurden, entweder ax- -\-hx=^ c
oder hx -\- c = ax^ oder ax^ -\- c = 'bx dX^ Gleichheit eines zweiglied-
rigen Ausdruckes mit einem eingliedrigen erhalten wird, a, &, c selbst-
verständlich als positiv gedacht. Das ist die früher erwähnte Zusage
der Auflösung gemischtquadratischer Gleichungen, welche im vor-
haudenen Texte nirgend erfüllt vielfach als erfüllt vorausgesetzt wird,
und daher den Beweis des Verlustes jener Auflösung liefert.

Ueber den von Diophant bei der Auflösung einer gemischten
quadratischen Gleichung eingeschlagenen Weg gibt die 24. Aufgabe
des VI. Buches^) wohl die deutlichste Auskunft. Die dort erhaltene
Gleichung heisst in modernen Zeichen geschrieben

\ + 196^2 — 336^ — ~ -f- 172 = 196:^- -f K •

Diophant sagt nun wörtlich wie folgt, wobei nur wieder moderne
Zeichen statt der griechischen Abkürzungen gebraucht sind: „Man
addire auf beiden Seiten die abzüglichen Grössen, ziehe Gleichartiges
von Gleichartigem ab imd vervielfache Alles mit x, so erhält man
336 a;^ + 24 = 172a;. Diese Gleichung aber lässt sich nicht auf-
lösen, wenn nicht das Quadrat des halben Coefficienten von x^ nach-
dem man das Produkt der 24 Einheiten in den Coefficienten von X'
davon abgezogen hat, ein Quadrat wird."

Was uns zuerst auffallend erscheinen mas;, ist die Abhängio-keit
der Auflösbarkeit der Gleichung von einer Bedingung, welche nicht
etwa besagt, es müsse die unter dem Quadratwurzelzeichen erschei-
nende Zahl ein Hinzuzufügendes sein, was gleich bei dieser Aufgabe,

in welcher x = ^- ist, nicht eintreffen würde, sondern welche,

wie einige Ueberlegung uns zeigt, darauf hinausläuft, dass die Wurzel
der Gleichung rational werde. Ersetzen wir nämlich die bestimmten
Zahlen durch allgemeine Buchstaben, so ist in der angeführten Auf-
gabe von der dritten Gleichungsform ao^ -\- c = bx die Rede und

als Kennzeichen der Auflösbarkeit 3,usgesprochen, es müsse (--) — ac

ein Quadrat sein. Wird aber die Gleichung mit dem Coefficienten
a von x^ vervielfacht und durch beiderseitige Subtraktion von

ahx -{- ac — (yj in die Form a^x^ — abx -}- {—-j = (--) — ^c
*) Diophant (Tannery) pag. -LH, (Wertheim) S. 288—290.

444 23. Kapitel.

oder iax ^j = (y) — ^^ übergeführt, so entstellt

--2 = ]/(!)' -«^

und Diophant knüpft, wie wir vorliin sagten, die Auflösbarkeit
der Gleichung an die Rationalität der Quadratwurzel. Jene andere
Bedingung, deren wir gewärtig sein durften, dass nur Hinzuzu-
fügendes unter dem Wurzelzeichen nach vollzogener Zusammen-
ziehung der dort auftretenden Werthe stehen dürfe — abzügliche
Zahlen als solche sind, wie wir oben sahen, bei Diophant überhaupt
nicht gestattet, also auch nicht unter einem Wurzelzeichen — steckt
wohl in der diophantischen Bedingung enthalten, aber letztere geht
noch bedeutend weiter und schränkt die Anzahl der auflösbaren
Gleichungen beträchtlich mehr ein. Woher diese Beschränkung
stammt, ist, wenn man weiter nachdenkt, unschwer zu erkennen.
Die eigentliche Algebra- sieht ab von der geometrischen Bedeutung
der vorkommenden Glieder. Sie vereinigt z. B. wie in jener heroni-
schen Aufgabe (S. 376) Flächen und Längen, beide nur als Maass-
zahlen aufgefasst, in eine Summe. Dieser allgemeinere Standpunkt
gestattet geometrisch undenkbare Fragestellungen, schliesst aber zu-
gleich nur geometrisch denkbare Antworten aus. Jede Quadratwurzel
aus positiven Werthen lässt mit Zirkel und Lineal sich geometrisch her-
stellen, so gut wie die Diagonale des Quadrates eine geometrisch genau
bestimmte Länge besitzt, aber in Zahlen ist eine Quadratwurzel nur
möglich, wenn sie rational ist. Man halte uns nicht die heronische
Aufgabe entgegen, auf welche wir eben uns bezogen haben, nicht
die geodätischen Beispiele Herons, in welchen Näherungswerthe von
Quadratwurzeln vielfach benutzt sind, nicht Archimeds Rechnungen
in seiner Kreismessung. Herou blieb Feldmesser, auch wo er der
algebraischen Anschauung sich nähert, und die Feldmesswissenschaft
begnügt sich mit dem Maasse geometrischer Gebilde, so genau es in
Zahlen hergestellt werden kann, während die Gebilde selbst geo-
metrische Grössen sind und bleiben. Archimed aber, gleichfalls von
geodätischen Zwecken ausgehend, blieb noch strenger den Gesetzen
geometrischer Behandlung auch bei seinen Zahlengrössen getreu: er
bediente sich niemals angenäherter Gleichungen, sondern sprach Un-
gleichungen aus, welche er nur immer näher an einander brachte.
Die griechische Algebra, welche für Diophant einen Theil der Arith-
metik bildet, kennt dagegen nur Zahlen als solche, Zahlen, die aus-
gesprochen werden können. Wir haben schon früher (S. 175) hervor-
gehoben, dass die Beschränkung sogar auf positive ganze Zahlen der
griechischen Arithmetik lange eigenthümlich war. Nikomachus, Theon

Die Neuplatoniker. Diophantus von Alexandria. 445

von Smyrna^ Jambliclius haben uns keine Veranlassung gegeben, diese
Ansiebt zu widerrufen. Brüche kommen bei ihnen nur in der Gestalt
von Verhältnissen ganzer Zahlen vor. Auch die Seiten und Diametral-
zahlen bei Theon (S. 407) waren wesentlich ganze Zahlen, deren Ver-
hältniss nur nach unserem Dafürhalten statt des Verhältnisses 1 : ]/2
näherungs weise eintreten koiuite. Diophant hielt sich an die
Ganzzahligkeit nicht mehr gebunden, und das ist ein zwar
allmälig vorbereiteter, aber darum nicht minder wichtiger Fortschritt.
Dagegen ist ihm das Irrationale immer noch keine Zahl.

Kehren wir mit diesem Bewusstsein zu dem diophantischen Ver-
fahren bei der Auflösung gemischter quadratischer Gleichungen zurück,
so ist uns höchst bemerkenswerth die Art, in welcher er die Auf-
lösung vorbereitet. Genau so, wie wir es bei Heron kennen gelernt
haben, vervielfacht er die Gleichung mit dem Coefficienten des
Quadrates der Unbekannten, statt durch diesen Coefficienten zu
dividiren. Darauf wies uns die bereits besprochene 24. Aufgabe des
VI. Buches. Eine Bestätigung besitzen wir in der 45. Aufgabe des
IV. Buches^): „Man findet, dass 2x- grösser als 6x -j- 18 sein muss.
Um. nun hier eine Vergleichung anzustellen, so erhebe ich den halben
Coefficienten von x ins Quadrat und erhalte 9. Nun multipliciren
wir den Coefficienten von x^ mit der bestimmten Zahl 18, gibt 36.
Dazu addiren wir 9, gibt 45, und davon ist die Wurzel nicht kleiner
als 7. Dazu addiren wir den halben Coefficienten von x und dividiren
durch den Coefficienten von x^, so finden wir, dass x nicht kleiner
sein darf als 5."

Hier ist freilich eine Ungleichung, keine Gleichung zu behandeln,
allein das verändert das anzuwendende Verfahren nur so weit, als
hier eine Grenze der betreffenden irrationalen Quadratwurzel ein-
gesetzt werden darf, weil unter Annahme der richtigen Zahl statt 18,
die Ungleichung 2iC^ > 6a; -j- 18 in die Gleichung 2x^ = Gx -j- 18 -\- lö
d. h. in eine Gleichung der zweiten Form übergehen würde, bei
welcher z. B. durch 7o = 2 die Irrationalität verschwände. Diophant
geht nun folgendermassen zu Werke. Aus ax^ = hx -}- c -\- Je erhält

er lax ^ | == «c -f- | ^^ j -}- ak, daraus x =

oder endlich x >

Noch eine andere Eigenthümlichkeit, welche freilich bei der eben
betrachteten Ungleichung nicht zu Tage treten kann, weil negative

*) Diophant (Tannery) pag. 304, (Wertheim) S. 187.

446 23. Kapitel.

Zahlen als solche für Diophant nicht existiren, besteht darin, dass
nirgends zwei Auflösungen einer quadratischen Gleichung
vorkommen, indem die Wurzelgrösse sowohl hinzufügend als ab-
züo-lich mit einer anderen Zahl höheren Werthes verbunden ist. Man
hat allerdings die Bemerkung gemacht, unter den Beispielen, welche bei
Diophant sich vorfinden, sei kein solches, bei welchem eine zweifache
Möglichkeit positiver Wurzeln auftrete, weil immer noch gewisse zahlen-
theoretische Nebenbedingungen zu erfüllen seien, welche sich der
Annahme der Wurzel mit negativer Quadratwurzel widersetzen, es
sei also ein Zufall, der diese Lücke schuf, und man sei nicht be-
rechtigt anzunehmen, Diophant habe wirklich nicht gewusst, dass es
Aufgaben mit zwei von einander verschiedenen Auflösungen gebe^).
Es würde sich lohnen die freilich nicht mühelose Arbeit zu unter-
nehmen, sämmtliche Aufgaben des Diophant von diesem Gesichts-
punkte aus einer Prüfung zu unterwerfen. Jedenfalls könnte sie aber
nicht mehr als nur die entfernte Möglichkeit und keineswegs die
Wahrscheinlichkeit zur Folge haben, dass Diophant von zweierlei
Lösungen gewusst haben könnte, wofür wir nur im 35. Kapitel eine
Art von Bestätigung finden werden.

Li diesem Zusammenhange müssen wir auch von solchen quadra-
tischen Gleichungen reden, welche gewöhnlich mit Hilfe zweier Un-
bekannten gelöst bei Diophant. nur das Aufsuchen einer einzigen
freilich mit besonderem Geschick ausgesuchten Grösse verlangen. Wenn
Diophant in der 30. Aufgabe des L Buches -) zwei Zahlen aus ihrer
Summe und ihrem Produkte finden will, so nimmt er die halbe
Differenz der beiden Zahlen zur Unbekannten und erhält beide Zahlen
je nachdem er die Unbekannte zur halben Summe addirt oder von
ihr abzieht; das gegebene Produkt ist daher gleich dem Quadrat der
halben Summe verringert um das Quadrat der Unbekannten, die somit
durch einfache Quadratwurzelausziehung sich ergiebt. Derselben Un-
bekannten bedient er sich in der 31. Aufgabe'^), wenn zwei Zahlen aus
ihrer Summe und aus der Summe ihrer Quadrate gefunden werden
sollen. Wieder erhält er beide Zahlen, je nachdem er die Unbekannte
zur halben Summe addirt, oder von ihr abzieht, und die Summe der
Quadrate wird gleich dem Doppelten des Quadrates der halben Summe
und des Quadrates der Unbekannten, die wieder durch einfache
Quadratwurzelausziehung sich ergibt. Nicht anders werden in der
32. Aufgabe ^) zwei Zahlen aus ihrer Summe und dem Unterschiede

') So L. Rodet im Journal Asiatique, 7ieme serie, T. XI (Janvier, 1878)
pag. 8'J-'J0. «) Diophant (T an nery)pag. 60—62, (Wertheim) S. 36. ») Ebenda
(Tannery) pag. 62—64, (Wertheim) S. 36—37. •») Ebenda (Tannery) pag, 64,
(Wertheim) S. 37.

Die Neupiatoni k er. Diopliantus von Alexanclvia. 44:1

ilirer Quadrate gewonnen, welclie letztere sich als doppeltes Produkt
der unbekannten in die gegebene Summe erweist, so dass einfache
Division hinreicht die Unbekannte zu finden. Sind in der 33. Auf-
gabe') Differenz und Produkt zweier Zahlen gegeben, so wird die
halbe Summe als Unbekannte gewählt, welche die beiden Zahlen
in der Gestalt erscheinen lässt, dass die halbe Differenz zur Un-
bekannten addirt, beziehungsweise von ihr subtrahirt wird. Das
gegebene Produkt ist also das Quadrat der Unbekannten vermindert
um das Quadrat der halben Differenz, und die Unbekannte wird
wiederholt durch eine Quadratwurzelausziehung gefunden. Aehnlich
verfährt Diophant noch in anderen Fällen, die wir nicht alle einzeln
vorführen dürfen, um uns nicht zu lange bei dem Gegenstande zu
verweilen.

Eine kubische Gleichung kommt in der 10. Aufgabe des VI. Buches ^)
vor, aus welcher aber keinerlei gesicherte Schlussfolgerimg sich ziehen
lässt. Es heisst bei Diophant nur: „Es ist x^ — Sic^ -{- 3x — 1
= x^ -{- 2x -\- 3, hieraus findet man x == A" ohne die leiseste An-
deutung, wie „man" diesen Wurzelwerth finde. Ob man die Gleichung
zunächst in die Form x^ -{- x = Ax^ -{- 4 brachte und dami daraus
durch Division mit x^ -\- 1 den Werth a; = 4 erhielt? ^) Es ist wohl
möglich, aber über die Möglichkeit hinaus können wir die Vermuthung
nicht erheben.

Bis hierhin haben wir mit Diophant in der ersten Bedeutung,
die wir ihm beilegten, uns beschäftigt. Wir Avenden uns zu dem
Gebiete der unbestimmten Aufgaben, auf welchem wir Diophant als
Bahnbrecher, als Pfadfinder zu erkennen haben. Er setzt sich
dabei die gleichen Schranken, welche auch seiner be-
stimmten Algebra anhaften, keine anderen. Die Wurzel-
werthe, welche er den vorgelegten Gleichungen zu geben sich bemüht,
dürfen keine abzüglichen, keine irrationalen sein, denn sonst wären
es keine Zahlen, aber weiter gehen seine Anforderungen nicht. Ins-
besondere verlangt Diophant nicht ganzzahlige Auflösungen, und nur
in einzelnen Fällen, wo etwa das Weglassen eines denjenigen Zahlen,
die gemeinschaftlich die gestellte Aufgabe erfüllen, insgesammt an-
haftenden Nenners den Uebergang zu ganzzahligen Auflösungen all-
zunahe legt, gibt er solche an. In einer ganzen Anzahl von Auf-
gaben (II, 36. III, 13. IV, 23, 43, 45. V, 12) kommen sogar Brüche
mit gemischtzahligen Zählern vor, wie die Aegypter sie einst benutzten

') Diophant (Tannery) pag. 66, (Wertheim) S. 38. ^) Ebenda (Tannery)
pag. 434, (Wertheim) S. 282. ^) So meint Schulz S. 589 in seinen Anmer-
kungen zu der betreflenden Aufgabe.

448 23. Kapitel.

(S. 34). Was also heute Diopliantische Analytik genannt zu werden
pflegt, was man als Diopliantisclie Gleichungen dem Schulunterrichte
einverleibt hat, das darf man bei Diophant nicht suchen. Diophant,
sagen wir, löst unbestimmte Aufgaben in rationalen Zahlen, und
daraus folgt, dass für ihn eine unbestimmte Aufgabe mit aufsuchungs-
bedürftigen Wurzeln nur dann vorhanden sein kann, wenn der Grad
sich auf den zweiten erhebt, ja in nicht wenigen Fällen weiss er
noch Aufgaben vom dritten und vierten Grade zu bewältigen.

Unsere Leser werden nun vielleicht nach den Methoden fragen,
deren Diophant sich bei Auflösung dieser unbestimmten Aufgaben
bedient, sie werden diese Frage um so sicherer stellen, wenn sie
^vissen, dass der Geschichtsschreiber neuerer Zeit, der am eingehendsten
hiit Diophant sich beschäftigt hat, einem umfangreichen Kapitel gradezu
die Ueberschrift „Diophants Auf lösungsmethoden" gegeben hat^). Aber
neben dem Umfange jenes Kapitels selbst sind dessen erste Worte
geeignet die durch die Ueberschrift geweckten Erwartmigen zurück-
zudrängen: „Diophants Methoden in ihrer ganzen Mannigfaltigkeit
vollständig darstellen hiesse nichts anderes, als sein Buch abschreiben."
Darin liegt das Zugeständniss, dass Diophant keine einheitliche Me-
thode besass, ja nicht einmal eine Anzahl von Methoden, deren jede
für sich zur Bewältig-ung einer umgrenzten Gruppe von Aufgaben
diente. „Diophant war", wie ein anderer genauer Kenner seiner
Werke sich sehr bezeichnend ausgedrückt hat^), „ein glänzender
Virtuos in der von ihm erfundenen Kunst der mibestimmten Ana-
lytik, die Wissenschaft hat jedoch, wenigstens unmittelbar, diesem
glänzenden Talente wenig Methoden zu verdanken, weil es ihm an
dem spekulativen Sinne fehlte, der in dem Wahren mehr als das
Richtige sieht." Seine Virtuosität zeigt er vornehmlich in der Wahl
der unbekannten Grösse. Was wir oben bei Gelegenheit bestimmter
Aufgaben mit zwei Unbekannten, die er auf die Auffindung einer
einzigen Unbekannten zurückzuführen wusste, rühmen durften, gilt
auch für Diophants unbestimmte Aufgaben. Er greift die zu suchende
Grösse so geschickt heraus, dass verhältnissmässig geringe Mühe noch
erforderlich ist, die Aufgabe vollends zu bewältigen, während andrer-
seits die Willkürlichkeit der Voraussetzungen, welche er sich gestattet,
in keiner Weise zu rechtfertigen gesucht wird, eine Rechtfertigung
auch nicht gestattet.

Wenn Diophant z. B. in der 7. Aufgabe des III. Buches^) drei
Zahlen von der Beschaffenheit sucht, dass sowohl die Summe von allen

') Neeselinann, Algebra der Griechen S. 355 — 43G. -) Hankel S. 165.
•'') Diophant (Tannery) pag. 146—148, (Wertheim) S. SO.

Die Neui^latoniker. Diophantus von Alexandria. 449

dreien als die Summe von je zweien ein Quadrat sei, und die Ge-
sammtsumme x'- -\- 2x -{- 1 setzt, so kann dagegen keinerlei Ein-
wand erhoben werden. Wer aber berechtigt ihn die Summe der
ersten und zweiten Zahl als x^ anzunehmen, so dass die dritte Zahl
für sich 2a; -{- 1 wird? Wer berechtigt ihn vollends die Summe
der zweiten und dritten Zahl als x^ — 2x -\- 1 zu setzen, wie er es
thut? Unter dieser Annahme wird allerdings eine Lösung gefunden.
Die erste Zahl allein muss nämlich erhalten werden, wenn die Summe
der zweiten und dritten von der Gesammtsumme, d. h. wenn x^ — 2x
-\- 1 von x^ -\- 2x -{- 1 abgezogen wird, sie muss 4x sein, und die
zweite Zahl allein ist die um die erste Zahl 4x verringerte Summe x^
der ersten und zweiten Zahl oder x'^ — Ax. Es bleibt jetzt nur noch
zu erfüllen, dass die Summe der ersten Ax und der dritten 2a; + 1?
d. h. dass 6x -{- 1 ein Quadrat werde, und dazu setzt Diophant
Gx-j-l = 121, mithin x = 20 und die drei Zahlen sind 80, 320, 41.
Diophant verschweigt uns sogar, warum er 6x -{- 1 == 121 setzt und
nicht eine kleinere Quadratzahl ähnlicher Form wählt, wenn auch
der Grund hiervon nachträglich zu erkennen ist. Die Annahme
6x -}- 1 = 25 gibt nämlich die drei Zahlen 16, 0, 9, unter welchen
die 0 vorkommt, die ihm keine Zahl ist; und die Annahme 6a; -f- 1 = 49
gibt die Zahlen 32, 32, 17, welche er wohl deshalb vermeidet, weil
die beiden ersten unter sich gleich sind, also streng genommen keine
drei Zahlen darbieten.

Virtuosität legt Diophant auch darin an den Tag, dass er die zu
lösende Aufgabe theilt, dass er gewisse Bedingungen derselben zunächst
willkürlich durch irgend Zahlenannahmen erfüllt, dass er dann diese
Annahmen als falsch erkennt und vermöge anderer Bedingungen der
Aufgabe in die richtige umwandelt, ein Weg, der uns unwillkürlich
an den falschen Ansatz erinnert, dessen Ahmes in seiner schwie-
rigsten Aufgabe von der arithmetischen Reihe (S. 41) sich bedient
hat, ein Weg, der künftig unseren forschenden Blicken wiederholt
erkennbar sein wird, von vielen Fussspuren durchkreuzt, die den
mannigfachsten Betretern angehören.

Als einfachste Aufgabe dieser Art wird die 22. des IV. Buches ')
genannt. Drei proportionale Zahlen von der Beschaffenheit zu suchen,
dass der Unterschied von je zweien ein Quadrat werde. Ist die erste
Zahl X, so setzt Diophant die zweite x -{- 4, die dritte x -{- lo,
damit der Unterschied der ersten und zweiten, sowie der zweiten imd
dritten ein Quadrat werde. Die angegebenen Zahlen lassen aber den
Unterschied der ersten und dritten nicht zu einem Quadrat werden.

') Diophant (Tannery) pag. 234-236, (Wertlieim) S. 146-147.

Cantor, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 29

450 23. Kapitel.

Die als Summe der Quadrate 4 -}~ 9 entstandene Zalil 13 muss also
so umgewandelt werden, dass sie die selbst quadratische Summe
zweier Quadrate werde. Man wäUt z. B. 25 = 9 -|- 16 und setzt a;,
X -\-9f X -^26 für die drei Zahlen. Jetzt endlich ist die Hauptbedingung

X : {x -}- 9) = (x -\- 9) : (x -{- 25) oder x^ + 18.r + 81 = ä;^ + 2öx

zu erfüUen, was durch x = -^ geschieht, und die drei Zahlen sind
-Y , -^ , -^ • Es kami auffallen, dass Diophant hier versäumt sämmt-

liche Brüche mit 49 (dem Quadrate ihres Nenners) zu vervielfachen,
um die ganzzahlige Auflösung 567, 1008, 1792 sich zu verschaffen;
vielleicht schienen diese Zahlen ihm zu gross. Noch mehr drängt
sich die Frage auf, warum gerade 9 und 25 als die Unterschiede der
ersten Zahl von der zweiten und dritten gewählt wurden, warum
nicht mindestens gesagt ist 9 -[- 16 = 25 sei die kleinste ganzzahlige
Auflösung der vorauszulösenden Gleichung «^ -{- Iß = c^ , so dass
man daraus entnähme, auch andere die gleiche Bedingung erfüllende
Zahlen hätten benutzt werden dürfen.

Auf alle solche Fragen, die wir zu stellen geneigt sind, lässt
sich stets nur dieselbe Antwort ertheilen, die nämlich, dass für Diophant
diese Fragen nicht so nahe lagen, wie wir zu meinen geneigt sind.
Diophant suchte meistens eine Lösung, nicht die Lösung. Er be-
antwortete Räthselfragen, er hatte es nur in seltenen Ausnahmsfällen
mit folgerungsreichen Theorien zu thun. Er stand damit innerhalb
seiner Zeit, innerhalb seines Volkes. Seine Genialität in Erreichung
der vorgesteckten Ziele gehört ihm persönlich zu, die Beschränkung
dessen, was er zu erreichen suchte, verschuldet mit ihm die gesammte
griechische Arithmetik, wenn von einer Schuld gesprochen werden
kann, wo auch das entfernteste Bewusstsein fehlt, man hätte anders
handeln können.

Statt daher bei Diophant Methoden zur Auflösung unbestimmter
Gleichungen vom ersten oder von höherem Grade zu suchen, werden
wir uns begnügen müssen zuzusehen, ob ihm unterwegs bei seinen
künstlichen Windungen einzelne zahlentheoretische Wahrheiten bekannt
geworden sind, welche der späteren Zeit zu gute kamen.

Solche Wahrheiten finden Avir nun z. B. in der 22. Aufgabe des
HL Buches ^), wo es zuerst heisst, dass in jedem rechtwinkligen
Dreiecke das Quadrat der Hypotenuse auch dann noch ein Quadrat
bleibt, wenn man das doppelte Produkt der Katheten davon abzieht
oder hinzufügt, und später dass die Zahl 65 sich von selbst auf
zweierlei Art in zwei Quadrate, nämlich zuerst in 16 und 49 und

') Diophant (Tannery) pag. 182—184, (Wertheim) S. 110—111.

Die Neuplatoniker. Diopliantus von Alexandria. 451

daun wieder in 64 und 1 zerlegen lasse, welches seinen Grund darin
liabe, dass 65 aus der Multiplikation der Faktoren 5 und 13 ent-
standen sei, deren jeder die Summe von zwei Quadraten sei. Das
lieisst erstlicli, dass a^ -}- h'^ ^ 2ah ein Quadrat gebe und zweitens,
dass (a^ -\- h^) {c^ -{- d") auf zwei Arten als Summe zweier
Quadrate dargestellt werden könne. Wenn auch Diophant
nicht sagt, dass ihm die Zerlegungen selbst (ac — bd)' -f- {ad -j- hc)'^
und (ac -\- hd)'^ -\- (ad — hc)'^ bekannt seien, so ist doch wohl nicht
daran zu zweifeln, da andernfalls die zweifache Möglichkeit der Zer-
let^ung ihm nicht so einleuchtend hätte sein können.

Dass jedes Quadrat auf beliebig viele Arten als Summe
zweier Quadrate aufgefasst werden könne, lehrt Diophant
in der 8. und 9. Aufgabe des II. Buches^) wie folgt. Ist a^ die zu
zerlegende Quadratzahl, so denke man x^ als den einen, (^mx — ay
als den anderen Theil, wo m ganz beliebig gewählt werden kann.

Demnach muss a^ = x' -{- m'X^ — 2anix -\- a^, also x = — «-nriL

, a{m~ — 1) . T i. i. 2 / 2/M V

und mx — «=—,—,—,— sein, oder man hat er = 1 v-p-r " ^/
771- -\- 1 ' \w- + 1 ^

+ i*"^.^- :r • a) unter ganz willkürlicher Annahme von ni. Das ist

' \nr -\- 1 / "

einer von den seltenen Ausnahmefällen, in welchem Diophant sich
zur vollen Allgemeinheit erhebt und wie wir von dem w? fachen, von
„irgend einem Vielfachen" und von „einem beliebigen Vielfachen'" spricht.

Wir nennen ferner die Wahrheit, dass keine Zahl von der
Form 4« + 3 die Summe zweier Quadrate sein könne, welche
in der 12. Aufgabe des V. Buches^) gelegentlich ausgesprochen ist.
Ob Diophant auch wusste, dass jede Primzahl von der Form 4 « -[- 1
als Summe zweier Quadrate aufgefasst werden kann? Schwerlich! und
noch weniger wird man annehmen dürfen, falls er wirklich diese
oder eine ähnliche Umkehrung sich gestattet hätte, er habe einen
vollgiltigen Beweis dafür besessen.

Diophant geht vielmehr in Umkehrungen nicht mit der nöthigen
Vorsicht zu Werke, wie aus einem seiner Porismen sich ergibt.
Wir haben (S. 436) gesagt, dass Diophant an verschiedenen Stellen
auf seine Porismen verweise. Drei Porismen sind ausdrücklich an-
geführt in der 3., 5. und 19. Aufgabe des V. Buches.

Das erste derselben lautet''): „Wenn man zwei Zahlen hat und
nicht nur jede dieser Zahlen für sich, sondern auch das Produkt ein

*) Diophant (Tannery) pag. 90—92, (Wertheim) S. 51-53. ^) Ebenda
(Tannery) pag. 332 — 334, (Wertheim) S. 206 und in der Uebersetzung von
Schulz die Anmerkung S. 518—520. ^) Ebenda (Tannery) pag. 316, (Wert-
heim) S. 195.

29*

452 23. Kapitel.

Quadrat wird, wenn man die nämliche vorgeschriebene Zahl dazu
addirt, so sind sie von zwei unmittelbar auf einander folgenden Qua-
draten entstanden" d. h. wenn x -{- a=^ m^, y -\- a = n'^, xy -\- a=p^
sein soll, so müssen m, n auf einander folgende ganze Zahlen sein.
Hier hat man zeigen können ^), dass Diophant eine falsche Umkehrung
vornahm. Wenn m und n auf einander folgende ganze Zahlen sind,
findet allerdings der ausgesprochene Satz statt, aber derselbe kann
auch stattfinden, ohne dass diese Bedingung erfüllt werde.

Das zweite Porisma lautet") „dass wenn man zu zwei auf ein-
ander folgenden Quadratzahlen noch eine dritte Zahl suche, welche
um 2 grösser ist als die doppelte Summe jener beiden, man dann
drei Zahlen von der Beschaffenheit habe, dass das Produkt von je
zweien, sowohl wenn die Summe der zwei multiplicirten, als auch
wenn die dritte Zahl dazu addirt wird, ein Quadrat werde". Die drei
Zahlen sind a^, (a -\- 1)^, 4a^ -j- 4a + 4 und dass diese in der That
die ausgesprochenen Eigenschaften besitzen, ist leicht erkennbar.

Endlich das dritte Porisma heisst^) „dass der Unterschied zweier
Kubikzahlen auch allemal Summe von zwei Kubikzahlen sei". Der
Satz ist wahr, aber einen Beweis gibt Diophant an der Stelle, wo
er das Porisma anwendet, nicht. Das würde auch Niemand erwarten
dürfen, denn Verweisungen haben ja grade den Zweck Beweise zu
ersparen. Dagegen ist es allerdings einigermassen auffallend, dass
auch die praktische Ausführung jenes als möglich Erklärten fehlt.
Der Satz selbst wird uns erst im XVII. S. wieder begegnen, wo er
den Ausgangspimkt interessanter Untersuchungen bildete.

Neben den drei besonders genannten Porismen hat man auch
wohl die vorher von uns hervorgehobenen Wahrheiten als Porismen
des Diophant aufgefasst, was wenigstens mit dem Charakter der
Sätze nicht in Widerspruch steht.

Bei den erhaltenen sechs arithmetischen Büchern noch einen
Augenblick verweilend müssen wir eins betonen, welches von ge-
schichtlicher Bedeutung sein dürfte. Wir haben arithmetische Unter-
suchungen griechischer Schriftsteller durch Jahrhunderte verfolgen
können und haben deren eno'e Verbindunj^ mit der Theorie des
rechtwinkligen Dreiecks in den verschiedensten Perioden hervor-
treten sehen. Auch Diophant beschäftigt sich mit solchen Zahlen,
welche die Längenmaasse der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks
sind, und zwar treten diese Aufgaben, abgesehen von einigen wenigen*),

^) Nesselmann, Algebra der Griechen S. 441—442. -) Diophant (Tan-
nery) pag. 320, (Wertheim) S. 198. ^) Diophant (Tannery) pag. 358, (Wert-
heim) S. 22G. ') Nesselmann, Algebra der Griechen S. 436 hat dieselben
gesammelt. ,

Die Neuplatoniker. Diopliahtus von Alexandria. 453

die wohl bei der Zerstörung, welclie der ursprüugiiclie Text unter
allen Umständen erlitt, an eine unrechte Stelle gekommen sein mögen,
durchaus im VI. Buche auf. Mau gewinnt dadurch die Empfindung,
es seien zuerst arithmetische, dann geometrisch-arithmetische Fragen
behandelt worden. Wir haben uns (S. 437) der Meinung angeschlossen,
es sei nicht wahrscheinlich, dass am Ende der auf uns gekommenen
sechs Bücher vieles fehle. Wir sind nicht gewillt solches gesen-
wärtig zu widerrufen, aber wenn auch nicht vieles, so könnte ein
Gegenstand hier verloren gegangen sein, den wir nennen möchten.
Die geometrisch-arithmetischen Fragen des VI. Buches beziehen sich
insgesammt auf das rechtwinklige Dreieck. Die Möglichkeit
geometrisch-arithmetischer Fragen vom Rechtecke ist nicht aus-
o-eschlossen. Solche Aufgaben kemien wir bereits. Sie stehen in
dem Buche des Landbaues (S. 364), wir mussten bei Gelegenheit
einer Stelle aus dem III. Buche der Sammlung des Pappus (S. 425)
daran erinnern. Die Aufgaben verlangen: 1. zwei Rechtecke zu
finden, deren Umfange wie deren Flächeninhalte im Verhältnisse wie
1 : 3 stehen; 2. zwei Rechtecke zu finden, deren Umfange einander
gleich seien, deren Flächen aber im Verhältnisse von 1 : 4 stehen.
Die Auflösuug der ersten Aufgabe bilden die Rechtecke aus den
Seiten 54, 53 und 318,3, die der zweiten die Rechtecke aus den
Seiten 3,60 und 15,48. Eine wenn auch nur geringe Familienähn-
lichkeit dazu besitzt die achte Aufgabe des V. Buches^) bei Diophant:
„Man soll drei rechtwinklige Dreiecke suchen, deren Flächen ein-
ander gleich sind." Hat Diophant, was wir nicht für unmöglich
halten, Aufgaben behandelt, welche näher mit denen im Buche des
Landbaues übereinstimmen, so wird er es schwerlich in dem gleichen
Buche gethan haben, in welchem von den rechtwinkligen Dreiecken
die Rede. war. Jedes rechtwinklige Dreieck ist zwar für die arith-
metische Betrachtung nicht minder wie für die geometrische die
Hälfte eines Rechtecks, d. h. die Katheten eines rationalen recht-
winkligen Dreiecks können auch als Seiten eines rationalen Recht-
ecks betrachtet werden; aber das gilt nicht umgekehrt. Die Seiten
vieler Rechtecke z. B. alle obigen Paare 54, 53 wie 318,3 wie 3,60
wie 15,48 können nicht als Katheten eines rationalen rechtwinkligen
Dreiecks benutzt werden. Dieser Gegensatz erscheint auch in der
Natur der gestellten Fragen wieder. Jene Aufgaben von den Recht-
ecken verlangten sowohl den Inhalt als den Umfang gewissen Zahlen-
bedingungen zu unterwerfen. Die angeführte diophantische Aufgabe
von Dreiecken schrieb nur für den Inhalt eine Bedingung vor, weil

^) Diophant (Tannery) pag. 324, (Wertheini) S. 200.

454 23. Kapitel.

die Reclitwinkligkeit der Dreiecke den Seitenlangen von selbst ge-
wisse Bedingungen auferlegt, die nicht erst ausgesproclien zu werden
brauchen.

Wie es nun damit sei, ob Diophant in einem Schlussbuche seines
Werkes Aufgaben über Rechtecke behandelte oder nicht, unter allen
Umständen ist die Form der meisten geometrisch-arithmetischen Auf-
gaben des VI. Buches zu beachten, bei welchen, wie in jener Auf-
gabe Herons vom Kreise (^S. 376), Flächen und Linien so sehr als
Zahlen behandelt werden, dass man Summen und Differenzen aus
ihnen bildet. Wir führen als einfaches Beispiel die neunte Aufgabe
des VI. Buches^) an: „Man soll ein rechtwinkliges Dreieck von der
Beschaffenheit suchen, dass die Fläche desselben einer gegebenen
Zahl gleich wird, wenn man die beiden Katheten davon abzieht" oder

in Zeichen geschrieben — ~ — x — y = <-\

Wir wenden uns zu der kleinen 10 Sätze umfassenden Abhand-
lung über Polygonalzahleu, welche in den Handschriften mit den
arithmetischen Büchern vereinigt ist. Um den Inhalt-) der Abhand-
lung richtig zu verstehen müssen wir uns des Satzes von den Drei-
eckszahlen erinnern, die 8 fach genommen und um 1 vermehrt stets
zu Quadraten werden. Wir haben diesen Satz bei Plutarch, später
bei Jamblichus (S. 431) gefunden. Ihn verallgemeinert Diophant
und behauptet, jede Polygonalzahl werde zu einem Quadrate, wenn
man sie mit einem Zahlencoefficienteu vervielfache, der von der An-
zahl der Ecken der Polygonalzahl abhänge, und das Quadrat einer
gleichfalls aus dieser Eckenzahl sich ergebenden Zahl hinzuaddire.
Er spricht ihn später dahin aus, dass wenn etwa p',u das Symbol der
rten meekszahl, und ^j„, allgemeiner das Symbol irgend einer mecks-
zahl darstellt, stets 8 (m — 2) pm -\- (m — 4)"^ eine Quadratzahl werde.
Er findet sodann diese Quadratzahl, welche nicht bloss von m, sondern
auch von dem jedesmaligen r abhängt, als [(7)1 — 2) (2r — 1) + 2J-.
Damit ist zugleich eine Doppelformel gegeben, welche zeigt, wie die
rte wieckszahl gefunden werden kann, sobald m und r bekannt sind,
wie aber auch die Seite r einer bekannten wieckszahl 2hu sich be-
rechnen lässt. Denn einmal ist

>■ _ [jm - 2) (2r - 1) + 2]^ — {m — 4)^
-^'" ~ 8(to - 2) '

was bei Diophant im 0. Satze folgendermassen lautet: „Wir
nehmen die Seite (r) der Polygoualzahl doppelt, ziehen davon die

') Diophant (Tannery) pag. 409, (Wertheim) S. 266. 2) Eine sehr klare
Uebersicht bei Nesselmann, Algebra der Griechen S. 463 — 469. Die Abhand-
lung selbst in Diophant (Tannery) pag. 450—480, (Wertheim) S. 297—313.

Die Neuplatoniker. Diophantus von Alexandria. 455

Einheit ab; den Rest vervielfältigen wir durch die um 2 verkürzte
Zahl der Ecken {ni}- zu dem Produkte wird 2 gezählt und die Summe
quadrirt; von dem Quadrate ziehen wir ab das Quadrat der um 4 ver-
kleinerten Anzahl der Ecken; den Rest theilen wir durch das 8 fache
der um 2 verkürzten Anzahl der Ecken, so werden wir die Polygonal-
zahl finden." Zweitens findet sich aus dieser Formel durch Rückwärts-
entwicklung

'VH»i - 2) ?>; 4- (m - 4)^-2 ^

VI — 2

und Diophant fährt auch wirklich fort: ,,Ist diese (i. e. die Polygonal-
zahl) gegeben, so finden wir deren Seite auf folgende Art. Wir ver-
vielfältigen sie durch das 8 fache der um 2 verkürzten Anzahl der
Ecken; zum Produkte zählen wir das Quadrat der um 4 verkürzten
Anzahl der Ecken, so werden wir eine Quadratzahl erhalten, wenn
die gegebene wirklich eine Polygonalzahl war. Von der Seite dieses
Quadrates ziehen wir 2 ab; den Rest theilen wir durch die um 2
verkleinerte Anzahl der Winkel, setzen die Einheit hinzu und nehmen
von der Summe die Hälfte: so werden wir die Seite der gesuchten
Quadratzahl erhalten.'' Als Satz 10. schliesst sich noch die Aufgabe
an, zu erforschen, auf wie viele Arten eine gegebene Zahl
Polygonalzahl sein könne? Der Sinn dieser Frage ist klar. Die
Zahl 36 z. B. ist die achte Dreieckszahl, die sechste Viereckszahl,
die dritte Dreizehneckszahl und die zweite Sechsunddreissigeckszahl,
kann also auf vier Arten Polygonalzahl sein, und diese Anzahl 4
wird eben gesucht. Leider ist die Antwort auf diese Frage nicht so
verständlich Avie die Frage selbst. Sie bricht in der Mitte ab, ohne
dass es bisher gelungen wäre, das Bruchstück dem Sinne entsprechend
zu ergänzen.

Wir haben schon früher (S. 436) bemerken müssen, dass die
Abhandlung über die Polygonalzahlen ein ganz anderes Gepräge trage
als die arithmetischen Bücher. Die arithmetischen Bücher, sagten
wir, seien wesentlich analytisch, die Schrift über die Polygonalzahlen
wesentlich synthetisch. Letztere lehnt sich, wie wir jetzt ergänzend
sagen möchten, vornehmlich an die arithmetischen Bücher des Euklid
an. Wie dort sind die Sätze erst behauptungsweise ausgesprochen,
dann bewiesen. Wie dort schliesst der Beweis häufig mit den Worten :
„welches zu zeigen war". Wie dort sind die Beweise an Linien ge-
führt, welche aber nichts anderes sind noch sein wollen als Versimi-
lichungen von Zahlen, und geometrische Vorkenntnisse werden nicht
beansprucht^). Das alles sind nur erschwerende Einzelheiten, ge-

') Ganz vereinzelt ist auch die Aufgabe V, 13 der arithmetischen Bücher
an einer Linie versinnlicht. Diophant (Tannery) pag. 336, (Wertheim) S. 209.

456 23. Kapitel.

eignet die Uebersiclitlichkeit der Sätze für den Leser, aber auch für
den Erfinder bedeutend zu verringern. Man vergleiche doch die
beiden Hauptformebi mit der Einkleidung derselben in Worte bei
Diophant, vs^elche wir ihnen zur Seite gestellt haben, und man wird
ein Gefühl davon erhalten, wie schwer es bei solcher Fassung war
auch nur die zweite Formel aus der ersten herzuleiten.

Was in dieser Abhandlung über die Polygonalzahlen dem Dio-
phant eigenthümlich ist, was er von Vorgängern entlehnte, ist zweifel-
haft. Fehlen uns auch die Schriften des Philippus Opuntius (S. 157),
des Speusippus (S. 236), des Hypsikles (S. 345) über diesen Gegen-
stand, so wissen wir doch, dass die ersteren die Namen der Vielecks-
zahlen überhaupt, letzterer eine sachgemässe Definition derselben
kannte, auf welche grade Diophant, bei dem allein sie sich erhalten
hat, Rücksicht nimmt. Es ist also jedenfalls unrichtig, dass Diophant
zuerst von Vieleckszahlen im Allgemeinen gehandelt habe, wie wohl
gesagt worden ist. Möglich ist es dagegen, dass die Doppelformel,
in welcher Diophants Abhandlung gipfelt, von ihm herrühre, möglich
auch, wie im 26. Kapitel verständlich werden wird, dass in dem ver-
loren gegangenen Schlüsse der Abhandlung noch Sätze über Pyra-
midalzahlen und deren Beziehung zu den Polygonalzahlen enthalten
waren. Ja es ist selbst nicht ausgeschlossen, dass Hypsikles bereits
sich mit Untersuchungen über diesen letzteren Gegenstand beschäftigte.

Lassen wir die weniger bedeutenden Schriftsteller, denen die zu-
fällige Zeit ihres Lebens einen Platz in den beiden letzten Kapiteln
anwies, bei Seite, so bleiben die beiden Alexandriner: Pappus,
Diophantus als reicher Inhalt. Beide hervorragende Geister, Mathe-
matiker, welche jedem Volke, jedem Jahrhunderte zur Zierde gereicht
hätten, welche aber da, wo ihnen zu wirken das Geschick verlieh, einer
unmittelbaren Wirkung entbehrten, entbehren mussten. Pappus stand,
wie wir gesehen haben, vielleicht an der Spitze einer Schule (S. 414),
und von seiner geometrischen Sammlung ist bei keinem Griechen die
Rede! Diophantus Name war, wie wir aus den Aeusserungen von
Theon von Alexandria, von Johannes von Jerusalem (S. 434) wissen,
von dem Strahlenglanze algebraischen Ruhmes umschlossen, und doch
ist kein griechischer Algebraiker nach ihm aufgetreten, der seine
Geistesrichtung verfolgte! Vereinzelte Zuthaten, Einschiebungen von
nicht immer zweifellosem Werthe in die Sammlung des Pappus,
dürftige Commentare zu alten Arithmetikern, zu Diophantus selbst,
das war Alles, wozu griechische Schriftsteller sich noch zu erheben
vermochten. Pappus und Diophantus muthen uns an, wie riesige
erratische Blöcke in einer weiten Ebene. Sie bilden weit sichtbare
Punkte, an denen das Auge des Beschauers haften muss, aber sie

Die griechische Mathematik in ihrer Entartung. 457

dnrclibreclieii nur, sie verändern nicht die allgemeine Flachheit. Die
Griechen am Ende des IV. S. waren längst nicht mehr das Volk,
dem Leben gleichbedeutend war mit Fortschreiten in Kunst und
Wissenschaft. Die commentireude Thätigkeit, welche, wie wir er-
örtert haben, eine HauptbeschäftiguDg der philosophischen Sekten
jener Zeit bildete, schloss den Geist in die engeren Schranken des
bereits Vollendeten, statt ihm Flügel zum Ausschweifen in uneut-
deckte Fernen zu verleihen. Immer tiefer sinkt griechische Mathe-
matik herab, und gälte es nicht das Gebot der Vollständigkeit zu
erfüllen, wäre es nicht historisch nothwendig zu sehen, wie eine
Wissenschaft abstirbt, man schlösse am liebsten mit Diophaut die
Besprechung der in griechischer Sprache geschriebenen mathema-
tischen Werke.

24. Kapitel.
Die griechische Mathematik in ihrer Entartung.

Wir haben in den Schlusssätzen des vorigen Kapitels wohl hin-
länglich entschuldigt, Aveshalb wir mit Diophant wenigstens ein Ka-
pitel abzuschliesseu für nöthig fanden. Es widerstrebte uns auf ihn
noch Schriftsteller folgen zu lassen, die zwar auch noch dem IV. S.
angehören, deren einer sogar nicht unbedeutender Berühmtheit sich
erfreut, die aber doch einen gar zu grellen Abstich gegen Diophant
bieten würden.

Wir meinen zunächst Patrikius^), einen Schriftsteller, von
welchem nur in zwei heronische Bücher, in die Geometrie und in
die erste stereometrische Sammlung, unbedeutende Ueberreste sich
eingeschlichen haben. Die erste Stelle lehrt bei grösserer Länge
eines Grundstückes dessen Breite au verschiedenen Stellen zu messen,
daraus eine Durchschnittsbreite zu berechnen und die Fläche als
Kechteck zwischen dieser Durchschnittsbreite und der Länge zu be-
trachten"-). Die zweite Stelle gibt eine ähnliche Vorschrift für
Körperräume: eine nach oben sich verjüngende kreisrunde Säule soll
als Cylinder von gleicher Höhe betrachtet werden, für dessen Grund-
fläche ein Mittelkreis gilt, dessen Durchmesser die halbe Summe des
obersten und untersten Säulendurchmessers ist'^). .So Patrikius, wenn

^) Th. H. Martin in dem IV. Eande der Memoires presenUs par divers
savants ä Vacadcmie des inscriptions et bclks-Iettres. Serie I. Sujets divers
d'erudition (Paris, 1854) pag. 220. Agrimensoren S. 112. -) Heron (ed.
Hultsch) pag. 136. Vergl. ebenda pag. 207, lin. 16 — 20. ^) Heron (ed.
Hui t seh) pag. 159.

458 24. Kapitel.

die Sätze wirklich in der Einschiebuug in heronisclie Schriften, aus
der wie sie kennen, auf den richtigen Urheber zurückgeführt sind,
da sie ihrem Charakter nach ebenso gut, ja fast noch besser, uralt
sein könnten. Wer aber dieser Patrikius selbst war, ist zweifelhaft.
Man kennt zwei Männer des Namens, einen der aus Lydien stammend
374 hingerichtet wurde, also in der That noch dem Ende des IV. S.
angehört, einen zweiten aus Lykien, der schon in das V. S. hinttber-
reicht und am bekanntesten ist durch seinen Sohn Proklus, von
welchem wir weiter rmten zu reden haben.

Der andere Schriftsteller, an welchen wir vorher dachten, ist
Theon von Alexandria ^). Er lebte, wie wir schon bei Gelegenheit
der Zeitbestimmung des Pappus (S. 412) angeben mussten, während
der Regierung Theodosius des Grossen und zwar in Alexandria, wo
er, nach der Angabe des Suidas, am Museum lehrte. Wir wissen
durch ihn selbst, dass er in Alexandria im Jahre 365 eine Sounen-
finsterniss beobachtete. Seine Bemerkungen zii den chronologischen
Handtafeln des Ptolemäus erstrecken sich bis auf das Jahr 372. Das
Todesjahr seiner nachher zu erwähnenden Tochter ist 415. Das sind
lauter zusammenstimmende Jahreszahlen, welche an seiner Lebenszeit
einen Zweifel nicht aufkommen lassen.

Den Mathematiker interessiren vorzugsweise zwei Reihen von
Arbeiten, welchen Theon sich unterzog. Zuerst gab er die Ele-
mente des Euklid heraus, wie wir bei Besprechung dieses Werkes
selbst (S. 262) anführten und vermehrte — bereicherte dürfen wir
kaum sagen — dieselben durch Zusätze von geringfügigem Werthe.
Später verfasste er einen Commentar zu dem ptolemäischen
Almageste, in welchem von der Euklidausgabe die Rede ist"), wo-
durch die Reihenfolge dieser Arbeiten sich feststellt. Der Commentar
erstreckte sich, wenigstens so weit er im Drucke und auch hand-
schriftlich bekannt ist, nicht auf sämmtliche 13 Bücher des Alma-
gestes. Der Commentar zum III., zu einem Theile des V., zum XI.
und XII. Buche fehlt. Als Anfang der Erläuterungen zum V. Buche
enthalten die Handschriften ein Bruchstück des Pappus'schen Com-
mentars und an diese knüpft sich als Fortsetzung bezeichnet eine
Ergänzung Theons"). Wie das gekommen ist, ob man darin einen
Widerspruch gegen unsere früher (S. 413) ausgesprochene Meinung,
Theon habe Pappus fleissig benutzt, erblicken will, das müssen wir
dem Scharfsinn unserer Leser überlassen. Jedenfalls scheint als Er-

') Fabricius, Bihliotheca Graeca (ed. Ilarless) IX, 176, 178 — 179.
^) Commentaire de Theon sur la composition matliimatique de Ftolcmce (ed.
Halma, Paris, 1821) I, 201. ^) Tov 0£oavog Big zb Xtinov toO Uänxov.

Die griechische Mathematik iu ihrer Entartung. 459

gebniss dieser Art der Vereinigung der beiden Commentare an-
gesehen werden zu müssen, dass Theon später als Pappus lebte,
wie gross oder wie klein auch der Zwisclienraum zwischen beiden
gewesen sein mag.

Theons Commentar zum I. Buche des Almagestes ist für
uns weitaus am wichtigsten. Nicht als ob Dinge darin enthalten
wären, geeignet unser ziemlich geringschätziges Urtheil über den
Verfasser zu entkräften, aber weil er als Quelle mancher geschicht-
licher Angaben dient, die wir durch andere zu ersetzen nicht im
Stande sind. Dort steht jenes Citat des Diophantus, welches die
untere Grenze seiner Lebenszeit bildet, dort der Beweis dafür, dass
Theon eine sxdoöig, eine Herausgabe, des Euklid vollzogen hatte,
dort eine Darstellung des Rechnens mit Sexagesimalbrüchen.

Ueber das sexagesimale Rechnen gibt es eine besondere Abhand-
lung, welche durch die Handschriften, in welchen sie sich erhalten
hat, dem Pappus oder gar dem Diophantus zugeschrieben wird^).
Wir beabsichtigen keineswegs die Möglichkeit anzuzweifeln, dass
namentlich Pappus bei der Commeutirung des I. Buches des Alma-
gestes, wo er über Quadratwurzelausziehungen sich verbreitete, vom
Rechnen mit sechzigtheiligen Brüchen überhaupt geschrieben haben
mag. Nur ist alsdann, falls die jetzt bekannte Abhandlung ein
Bruchstück jenes Commentars bildete, der interessantere Theil immer
noch verloren, und wir glaubten der Werthschätzuug, die man Pappus
und Diophantus schuldet, nur Rechnung zu tragen, wenn wir bei
Erörterung ihrer Werke jene elementaren Betrachtungen unberück-
sichtigt Hessen, von wem dieselben auch herrühren mögen — ein
Löwe ist aus dieser Klaue keinesfalls zu erkennen.

Theons Darstellung ist umfangreicher und vollständiger"-). Die
Multiplikation beginnt mit dem grössten Theile des Multiplikators,
genau so wie wir (S. 304) nach Eutokius das Verfahren des Archimed
bei nicht sexagesimal fortschreitenden Zahlen geschildert haben. Um
z. B. 37" 4^ 55" mit sich selbst zu vervielfachen wird zuerst das
Produkt von 37" in die vorgelegte Zahl als 1369« 148^ 2035" an-

^) Vergl. Hultsch in der Pracfatio, welche er dem IH. Bande seiner
Pappusausgabe vorangeschickt hat, pag. XII und XVI. Dann die durch
C. Henry besorgte Ausgabe des Opusculum de multiplicatione et divisione sexa-
geslmalihus Dioplianto vel Pappo uttribuendum. Halle, 1879, und die kritischen
Bemerkungen dazu von Hultsch in der Zeitschr. Math. Phys. XXIV. Histor.-
literar. Abthlg. S. 199—203. ^) Cominentaire de Theon (ed. Halma) I, 110—119
und 185 — 186. Durch falsche Paginirung folgt auf pag. 120 nicht 121, sondern
181, der Zwischenraum zwischen beiden Stellen, an welchen von unserem Gegen-
stande die Rede ist, beträgt also nur etwa fünf Seiten. Vergl. eine Uebersicht
bei Nesselman, Algebra der Griechen S. 138 — 147.

460 24. Kapitel.

geschrieben, wobei allerdings das Zeichen für Grad ebenso wie für
die kleineren Theile nur in dem Sinne von Einheiten und Bruch-
theilen der Einheit aufzufassen nöthig ist, und nicht etwa an eine
von Theon nicht beabsichtigte Multiplikation beziehungsweise später
an eine Division oder Radicirung benannter Zahlen gedacht werden
darf. Dann folgt das durch 4^ hervorgebrachte Produkt 148^ 16^^
220^"; endlich das Produkt mittels der 55" oder 2035" 220^" 3025^^,
indem die Benennung der einzelnen Theilprodukte den Gesetzen dio-
phantischer Multiplikation allgemeiner Grössen folgt. Bei dieser Ge-
legenheit erscheint eben das Citat des Diophantus. Theon glaubt eine
Unterstützung durch geometrische Beweisführung geben zu müssen,
für seine Landsleute und Zeitgenossen eine vermuthlich nicht über-
flüssige Zugabe, bei der wir uns jedoch nicht aufhalten wollen. Nun
fasst Theon erst sämmtliche Theilprodukte zusammen und vollzieht
dabei durch wiederholte Theilung durch 60 die zur Uebersichtlichkeit
noth wendigen Reduktionen: 3025^^^' sind 50"^ 25^^; nunmehr sind
490"*^ vorhanden oder 8" 10"^; ferner erscheinen 4094" oder 68^ 14"*,
des weiteren 364^ oder 6" 4^; und da endlich 1375'^ sich ergeben, so
ist das ganze Produkt lolö'^ 4} 14" 10^^^ 25^^, oder unter Vernach-
lässigung der beiden kleinsten Bruchgattuugen nahezu 1375'' 4^ 14^^.

Die Division lässt alle bei der Multiplikation gethanen Schritte
rückwärts ausführen. So vollzieht Theon die Division von 25" 12^
10" in 1515'^ 20^ 15^^ folgendermassen. Zunächst ist 25 in 1515
mehr als 60, weniger als 61 mal enthalten; der erste Theilquotient
ist demnach 60". Zieht man 60 mal 25 von 1515 ab und verwandelt
den Rest 15 in Minuten, mit welchen die vorhandenen 20^ vereinigt
werden müssen, so hat man deren 920. Von ihnen sind 60 mal 12^
abzuziehen, wobei 200^ und, unter Berücksichtigung der vorhan-
denen 15^^, im Ganzen 200^ 15^^ als Rest bleiben. Davon ist wieder
60 mal 10^^ oder 10^ abzuziehen, und so entsteht 190^ 15" als Ge-
sammtrest nach Abziehung des vollen ersten Theilproduktes. Nun
sucht Theon den zweiten Theilquotienten mittels der Division von
25'^ in 190^ und erhält ihn als 7^. Wieder wird 7^ mal 25 von
190^ 15" abgezogen; von dem Reste 15^ 15^^ oder 915" werden
71 mal 121, Yon dem Reste 831" endlich 7^ mal 10" oder 1" 10"^
abgezogen, so dass als Gesammtrest 829" 50^" übrig bleibt. Der
letzte Theilquotient durch die Division von 25'' in 829" erhalten ist
ungefähr 33", und hier gibt die Subtraktion der einzelnen Stücke
des Theilproduktes zuerst den Rest 4" 50^^^ oder 290"^, wovon das
etwas zu grosse 396^'-^ abgezogen werden musste. Es ist also 1515"
20^ 15" getheilt durch 25" 12^ 10" gleich 60" 7^ 33" nahezu, syyiöra.

Die Ausziehung der Quadratwurzel aus 4500 Einheiten

Die griechische Mathematik in ihrer Entartung.

461

■|

ii.

Fig. 79.

lehrt endlicli TJieori nacli einer Methode, welche wir wohl genugsam
kennzeichnen, wenn wir sie der heute üblichen genau gleich nennen
abgesehen von dem Gebrauche von Sexagesimalbrüchen statt der
heute üblicheren Decimalbrüche. Das nächste rationale Quadrat
unterhalb 4500 ist 4489, dessen Wurzel G7 heisst. Zieht man
(Figur 79) 4489 von 4500 ab, so bleiben die 11 Einheiten oder 660^
in Gestalt eines Gnomon, welcher selbst
zunächst aus zwei Rechtecken und
einem Quadrate besteht, dessen Seite
gesucht werden muss. Man dividirt
mit dem Doppelten der 67 Einheiten
oder mit 134 Einheiten in 660^. Das
gibt 4^ als Quotient. Die beiden neuen
Rechtecke sind also jedes 67 mal 4^
oder 268^, zusammen 536^, und das
neue Quadrat ist 4^ mal 4^ d. h. 16^^.
Als Rest bleibt zunächst 660^ — 536^
= 124^ = 7440^^, dann 7440ii — 16°

= 7424°, welches wieder in Gestalt eines Gnomon zu denken ist. Um
die neue Zerlegung in zwei Rechtecke und ein Quadrat zu finden,
nimmt man das Doppelte von 67° 4^ d. h. 134** 8^ und dividirt damit in
7424°, wodurch man den Quotienten 55° etwa erhält, dessen Quadrat
alsdann ausser den beiden Rechtecken noch wegzunehmen sein wird.
Die erste Subtraktion gibt als Rest 7424° — 134*^ 8^ X 55° = 46°
40°^, und dieses ist, sagt Theon, nahezu das Quadrat von 55^^.
Thatsächlich würde als Rest 45° 49^^^ 35^ übrig bleiben, welcher
als Gnomon gedacht eine noch bessere Annäherung als diejenige
]/4500'^ = 67*^ 4^ 55^^ gestatten würde, mit welcher Ptolemäus sich
begnügte.

Die letztere Thatsache ist insofern von geschichtlicher Tragweite,
als sie beweist, dass auch Ptolemäus schon von dem durch Theon
gelehrten Näherungs verfahren Gebrauch machte, während Archimed
wie Heron andere Verfahrungsweisen besessen haben müssen. Es
mag wohl sein, dass je nach dem Umstände, ob man mit Sexagesimal-
brüchen rechnete oder nicht, ein Wechsel des Verfahrens eintrat,
ein Wechsel, der seine leichte Begründung darin findet, dass bei
Sexagesimalbrüchen sofort und ein für allemal eine Grenze — etwa
die des zweiten Sechzigstels — festgesetzt werden konnte, bis zu
welcher man die Annäherung treiben wollte, während in gewöhn-
lichen Brüchen eine solche Grenze sich weder von selbst darbot,
noch auch ihre Erreichung im Augenblicke bekannt werden konnte,
mithin eine andere Methode leicht als vorzuziehende sich erwies.

462 24. Kapitel.

Theoiis Tochter Hypatia^) war, wie Suidas angibt, selbst eine
Gelehrte von umfassendem Wissen. Die Angabe eben desselben, sie
sei die Gattin des Philosophen Isidorus gewesen, ist vermuthlich
irrthümliche Einschiebung eines späten Glossators. Hypatia war
vielmehr stets unverheirathet. Richtig ist wieder die Zeitbestimmung
des Suidas, sie habe ihre Blüthezeit unter der Regierung des Arkadius
gehabt. Ihr Tod erfolgte unter des Arkadius Nachfolger im März 415
in tragnschster Weise. Die Philosophenschulen hatten sich, auch
nachdem das Christenthum die Religion der römischen Kaiser ge-
worden war, der neuen Lehre keineswegs in dem Maasse angeschlossen
wie die sonstige Bevölkerung. Der Schutz, den Kaiser Julianus
Apostata insbesondere ihnen gewährt hatte, wirkte noch Jahrzehnte
nach seinem Tode fort und Hess die Heidin Hypatia in Ansehen
selbst bei einem christlichen Bischöfe von Ptolemais, wie Synesius,
und bei dem kaiserlichen Präfecten Orestes in Alexandria stehen,
ohne dass eine besonders auffallende Erscheinung darin zu suchen
wäre. Aber grade das Ansehen, in welchem sie bei Orestes stand,
wurde ihr Verderben. Der Präfect wies hierarchische Ansprüche
des Bischofs Cyrillus zurück. Hypatias Einfluss wurde als Ursache
verdächtigt, und der fanatische Pöbel der Stadt zerriss die Unglück-
liche. War es doch derselbe Pöbel, der 392 schon in dem Zer-
störungstaumel religiöser Wuth ein Verbrechen begangen hatte,
welches die Wissenschaft noch heute schwer empfindet. Theodosius
der Grosse erliess in dem genannten Jahre den Befehl zur Vernichtung
der heidnischen Tempel, und dieser Befehl wurde vou der plünderungs-
süchtigen Horde so genau ausgeführt, dass auch der Serapistempel,
die zweite alexandrinische Bibliothek, wie wir uns erinnern (S. 398),
von Grund auf mit zerstört wurde. Von da an gibt es eine Universal-
bibliothek des Alterthums nicht mehr. Von da au beginnt die Selten-
heit alter Originalwerke zur Unmöglichkeit solche zu beschaffen aus-
zuarten.

Wenn wir der Hypatia hier zu gedenken hatten, so liegt der
Grund darin, dass ihr auch mathematische Schriften von Suidas nach-
gerühmt werden^), Werke freilich, deren Ueberschriften ebenso zweifel-
haft sind wie ihr Inhalt. Die Einen machen mit kühner Interpunktion
und noch kühnerer Handhabung der griechischen Sprache daraus
einen Commentar zum Diophant, eine astronomische Tafel, einen
Commentar zu den Kegelschnitten des Apollonius. Die Anderen über-

') R. Ho che, Hypatia, die Tochter Theons, in der Zeitschrift: Philologus
(18G0) XV, 435 — 474. ^) l'yQaipsv vTiö^vrifia tlq Jiorpdvtrjv xbv CcctQOvoiiLKÖv

■nuvöva tlg xcc kcüviku 'AitoXXtavCov vnoiivrjfia.

Die griecliisclie Mathematik in ihrer Entartung. 463

setzen wahrsclieinlich riclitiger^): „Sie schrieb einen Commentar zu
der astrouomisclien Tafel des Diophant und einen Commentar zu den
Kegelschnitten des Apollonius." Gesichert ist keine der beiden Auf-
fassungen. Gibt man, wie wir es thun, der zweiten den Vorzug, so
ist Zweifel darüber, ob Diophant, der Verfasser einer astronomischen
Tafel, und Diophant, der Algebraiker, ein und dieselbe Persönlichkeit
gewesen sein mögen. Das Beispiel Hipparchs zeigt uns, dass die
Möglichkeit der Verbindung beider schriftstellerischen Richtungen
mindestens nicht auszuschliesseu ist.

Hypatia war für geraume Zeit eine der letzten, wenn nicht die
letzte durch die Abfassung mathematischer Schriften bekannte Per-
sönlichkeit in Alexandria. Früher bildete die Lokalisatiou an
diesem Mittelpunkte mathematischer Bildung die wenn auch nicht
ausnahmslose Regel. Von Archimed bis Jamblichus verband doch
immer ein oder der andere Faden geistiger Zusammengehörigkeit die
Schriftsteller, die nicht in Alexandria lebten, mit jenem Centrum.
Allmälig wurde umgekehrt die Lostrennung von jenem Boden, der
den Erzeugnissen schriftstellerischer Thätigkeit wie den Schriftstellern
als gleich gefährlich sich erwiesen hatte, zur Regel. Der Neuplato-
nismus setzte sich fort, aber hauptsächlich an jenem Orte, wo die
Grundlegung der alten Schule stattgefunden hatte, in Athen, wo eine
Universität entstand, an Einrichtungen, Sitten und Unsitten, Ge-
bräuchen und Missbräuchen deutschen Universitäten vergleichbar-).

Der Keim zur neuen athenischen Schule wurde vermuthlich nicht
von Alexandria aus, sondern von dem syrischen Ableger der Alexan-
driner, von den Nachfolgern des Jamblichus gepflanzt. Mit der ört-
lichen Rückkehr aus dem Oriente nach Hellas streifte der Neu-
platonismus einen Theil seiner Ueberschwänglichkeit , seiner Mystik
ab. Das Studium der aristotelischen Schriften und damit verbunden
dialektische Geistesübungen kamen wieder zu ihrem Recht, und
neben und nach Erklärern platonischer Schriften wurden die Jünger
der athenischen Schule die emsigsten Scholiasten des Aristoteles.
Für uns haben indessen die ersten Schulvorstände in Athen und
selbst der berühmte Syrianus kaum soviel Bedeutung, dass wir
deren Namen anführen dürften.

Erst Proklus^), der Schüler Syrians, verlangt wieder unsere
Aufmerksamkeit. Als Sohn des byzantinischen Anwaltes Patrikius

^) Nesselmann, Algebra der Griechen S. 248, dessen Auseinander-
setzungen Ho che in seiner Abhandlung nicht gekannt zu haben scheint.
-) Zeller III, 2, 67.5 flgg. und Hertz berg, Geschichte Griechenlands unter
den Römern Bd. 111. Halle, 1875. ^) Zeller 1. c. 700 flgg. Hertzberg 1. c.
516 flgg.

464 24. Kapitel.

von Lykien, den wir (S. 458) vielleiclit als ürlielDer zweier geo-
dätisclier Näherungsvorscliriften kennen gelernt haben, ist Proklus 410
geboren. Sein Tod erfolgte am 17. April 485. Marinus, sein
Schüler und Nachfolger, der eine Biographie des Proklus verfasst
hat, erzählt von ihm, er habe als Knabe in der Heimath seiner
Eltern, wohin er denselben bald nach seiner Geburt folgte, die Schule
eines Grammatikers besucht, worauf ihn ein Rhetor Leonas mit sich
nach Alexaudria nahiu, wo er Grammatik und Rhetorik studirte.
Nach kurzer Heimkehr in seine Vaterstadt Byzanz lag er neuerdings
in Alexandria philosophischen und mathematischen Studien ob, letz-
teren unter der Leitung eines gewissen Heron, von welchem aber
abgesehen von dieser einen Notiz durchaus nichts bekannt ist. Der
Unterricht der alexandrinischen Lehrer genügte bald dem strebsamen
Jünglinge nicht. Sein Wissensdurst führte ihn nach Athen, wo er
von Syrian an die eigentlichen Quellen menschlichen Denkens hin-
geleitet wurde. So ward Proklus der naturgemässe Erbe Syrians als
Schulvorstand in Athen und erhielt als solcher den Beinamen des
Nachfolgers, dtccdo%og^ Diadochus, unter welchem er vielfach be-
kannt ist; Von den Schriften des Proklus Diadochus kümmern uns
weder die philosophischen Originalabhandlungen, noch die zahlreichen
Commentare zu platonischen Schriften. Auch seine Sphärik, 6cpalQa,
ein blosser Auszug aus dem astronomischen Werke des Geminus, ist
für uns ohne jede Bedeutung. Wir haben es nur mit dem Commen-
tare des Proklus zu den euklidischen Elementen zu thun, welcher
uns im Verlaufe unserer bisherigen Untersuchungen so vielfach als
Quelle dienen musste, dass die Besprechung sich als nothwendig er-
weisen würde, selbst wenn wir gar nichts mathematisch Neues daraus
mitzutheilen hätten.

Der Commentar des Proklus zum L Buche der eukli-
dischen Elemente ist mehrfach herausgegeben^), und schon dem
Uebersetzer desselben in der zweiten Hälfte des XVL S. legte sich
die Frage vor, ob Proklus nur zum L Buche der Elemente einen
Commentar verfasst habe, verfassen wollte? Die letztere Frage war
sofort zu verneinen, da Proklus selbst am Ende des Commentars zum
L Buche einen solchen zu den gesammten Elementen in Aussicht
stellt"), und auch an sonstigen Stellen vorläufig ankündigt, was er

^) Den ersten griechischen Abdruck besorgte Grynaeus in der Basler
Euklidausgabe von 1533. Eine lateinische Uebersetzung gab Barocius 1560.
Auch Commandinus gab die Scholien zum T. Buche und zu den späteren
lateinisch in seiner Euklidausgabe von 1572. Fried! eins Textausgabe der
Scholien zum I. Buche (Leipzig, 1873) ist jetzt allgemein verbreitet. -) i'roklus
(ed. Friedlein) 432, ü sqq.

Die griechisclie Mathematik in ihrer Entartung. 465

in dem Commentare zum IL, zum VI. Buche ausemaudersetzen werde.
Ob aber dieser Plan in Erfülluno- gino- ob nicht etwa Proklus vor-
hatte, was er nicht ausführte, darüber haben erst Entdeckungen
neuer Schollen in griechischen Handschriften Aufschluss gegeben,
welche mit einer an Sicherheit grenzenden Wahrscheinlichkeit dem
Proklus zugeschrieben werden^). Proklus hat also wirklich zu allen
Büchern der euklidischen Elemente, wenige ausgenommen,
einen Commentar verfasst. Darüber freilich wird immer einiger
Zweifel übrig bleiben, ob auch zu den späteren Büchern ein so um-
fassender Commentar des Proklus existirt haben müsse wie zu dem I.,
ob die geringen Bruchstücke, welche uns davon erhalten sind, nur
Splitter eines grossen Ganzen, ob sie etwa die Hauptsache des einst
Vorhandenen darstellen. Wie man sich zu dieser Frage stellt, hängt
wesentlich von der Meinung ab, welche man von dem Zwecke des
Proklus sich bildet. Wer da glaubt'), Proklus wollte nicht Geo-
metrie lehren, sondern die geometrische Genauigkeit für die philo-
sophische Dialektik nutzbar machen, und nur philosophisches Interesse
habe seinem ganzen Commentare als Richtschnur gedient, der kommt
natürlich zur Vermuthuug, das vornehmliche Interesse des Proklus
müsse erschöpft gewesen sein, als es sich in dem erläuterten Werke
um wirklich geometrische Sätze und nicht mehr um Erklärungen,
um Forderungen, um Grundsätze und Grundwahrheiten handelte.
Wer dagegen ■') Proklus als Mathematiker anerkennt, dem es auf
einen Versuch der Verbesserung des grossen Meisters ankam, einen
Versuch, zu welchem er Vorarbeiten älterer Exegeten und selbstän-
diger Geometer, eines Heron, eines Geminus, eines Ptolemäus, eines
Pappus, eines Theon verwerthen konnte, ohne darum die pietätsvolle
Bewunderung dessen aus den Augen zu verlieren, den er mit dem

') Die Scholien des Proklus zu späteren Büchern hat C. Wachsmuth
entdeckt. Vergl. dessen Aufsatz: „Handschriftliche Notizen über den Commentar
des Proklus zu den Elementen des Euklides" im Rhein. Museum für Philologie
(1863). Neue Folge XVIII, 132—135. Ebenda (1864) XIX, 452 einen Aufsatz
Yon Hultsch. Programme von Knoche, Herford, 1862 und 1865 und von
L. Majer, Tübingen 1875. -) Dieser Meinung ist Knoche in seinen beiden
Programmen. Vergl. Untersuchungen über des Proklus Diadochus Commentar
zu Euklids Elementen 1862, S. 14 und 21. Untersuchungen über die neu auf-
gefundenen Scholien des Proklus Diadochus zu Euklids Elementen 1865, S. 36
und 45. ') So L. Majer, Proklus über die Petita und Axiomata bei Euklid
1875, S. 29. Heiberg, Euklidstudien S. 166 Anmerkung 1 spricht sich dahin
aus, dass Proklus, wenn er den Commentar fortgesetzt hat, die übrigen
Bücher eben so auführlich wie das erste erläutert haben muss. Ueber die in
dem Zwischensatze als fraglich hingestellte Thatsache äussert H^berg keinerlei
bestimmte Meinung, neigt aber jedenfalls mehr der Ansicht zu, Proklus habe
den Commentar nicht fortgesetzt. Vergl. Heiberg 1. c. S. 166—167.

Cantor, Geschichte der Mathematik 1. 2. AuH. 30

46G 24. Kapitel.

ganzen Altertliume vorzugsweise den Elementenschreiber nennt, wer
dieser Meinung huldigt, kann nicht anders als auch für die auf das
I. Buch folgenden Bücher einen gleich vollständigen Commentar an-
zunehmen, niuss den Verlust schmerzlich bedauern, mit welchem ihm
zugleich die reichste Quelle für die Geschichte griechischer Mathe-
matik verloren ging. Wir selbst möchten in dieser persönlichem
Dafürhalten weiten Spielraum lassenden Frage nicht Partei ergreifen,
wenn wir auch mit der zuletzt dargelegten Meinung uns besser als
mit der ersteren befreunden können. Wir besitzen aber neben dem
fortlaufenden Commentare des Proklus zum I. Buche der Elemente
nur kürzere, theil weise allerdings geschichtlich werthvolle Scholien
zu einzelnen Sätzen späterer Bücher und müssen wohl oder übel uns
damit begnügen.

Was von eigenen Leistungen des Proklus hervorgehoben werden
kann, ist theilweise ziemlich dürftig^), theilweise lässt sich nicht mit
Bestimmtheit ermessen, ob Proklus der Erfinder oder nur der Bericht-
erstatter ist. Ersteres dürfte höchst wahrscheinlich für verschiedene
Einwürfe gegen die euklidische aber auch gegen die ptolemäische
Paralleleulehre der Fall sein^), so wie für die Entstehung der Ellipse
als geometrischer Ort eines bestimmten Punktes einer gegebenen
Strecke von beständiger Länge, welche alle Lagen annimmt, bei
denen die beiden Endpunkte die Schenkel eines rechten Winkels
durchlaufen^). Blosse Berichterstattung dagegen scheint der Satz
von dem gemeinsamen Durchschnittspunkte der drei Höhen eines
Dreiecks^), wenn auch dessen Erfinder nicht angegeben ist. Jeden-
falls waren also zu Proklus Zeiten vier interessante Punkte des
Dreiecks bekannt, näuilich ausser dem Höhendurchschnitte die Mittel-
punkte des Innen- und Umkreises'') und der Schwerpunkt^).

Nach dem Tode des Proklus ging es auch mit der Universität
Athen entschieden abwärts. Es ist nicht unsere Aufgabe diesen Satz
allgemein zn begründen, aber eine blosse Nennung der Namen derer,
die als Schulvorstände auf Proklus folgten, und der mathematischen
Leistungen, welche von ihnen berichtet werden, genügt, die Wahrheit
desselben für unsere Wissenschaft festzustellen. Da erscheint zuerst
Marinus von Neapolis, einer Stadt, die mau sich wohl hüten
muss mit Neapel zu verwechseln. Die Heimath des Marinus war
vielmehr Flavia Neapolis in Palästina, das alte Sichem. Von Marinus
ist uns als Mathematisches nur eine Vorrede zu den euklidischen

^) Knoche, Programm von 1862, S. 16 flgg. -) Vergl. Majers Programm.
•'') Proklus {e^. Friedlein) pag. 106, lin. 12—15. '') Ebenda pag. 72, lin.
17 — 19. !*) Kuklid, Elemente IV, 4 und 5, (ed. Heiberg) I, 278 ügg.
•■■) Archimed, Vom Gleichgewichte der Ebenen T, 14, (eil. TTeiberg) II, 182.

Die giiecliische Mathematik in ihrer Entartung. 467

Daten bekannt. Noch bei Lebzeiten des Marinus und auf dessen
eigenen Wunscb liess Isidorus von Alexandria sich bestimmen
an seine Stelle zu treten. Isidorus erfreute sich allerdings verhält-
nissmässig grosser Berühmtheit. Ihm ward ein Beiname zu Theil,
welcher überhaupt nur zweimal, und, so viel bekannt ist, nur von
zwei Schriftstellern einem griechischen Philosophen beigelegt worden
ist^), der Beiname des Grossen. Der Verfasser des Sophisten, sei
es dass dieser Dialog von Piaton oder von einem anderen herrühre,
spricht von Parmenides dem Grossen, und Damascius, von dem wir
gleich noch zu reden haben, gleichfalls von Parmenides dem Grossen,
aber auch von Isidorus dem Grossen. Den Grund oder Ungrund
dieser Auszeichnung zu prüfen haben wir nicht Veranlassimg. Mathe-
matische Schriften des Isidorus kennen wir nicht, wenn auch dem
Geiste der neuplatonischen Schule nach nicht zu zweifeln ist, dass
er gleich allen anderen Schulhäuptern solche von höherem oder ver-
muthlich von geringerem Werthe verfasst haben wird.

Der Schüler und, wie wir schon sahen, der jedenfalls dankbar
begeisterte Schüler des Isidorus war Damascius von Damaskus,
der etwa um das Jahr 510 die Schulvorstaudschaft in Athen übernahm,
nachdem Isidorus, missmuthig und verstimmt darüber seine Kräfte
einer verlorenen Sache zu widmen, sich nach Alexandria zurück-
gezogen hatte. Damascius soll, nach einer scharfsinnigen Vermuthung,
der Verfasser des sogenannten XV. Buches der euklidischen Elemente
sein, welches man sonst auch als IL Buch des Hypsikles über die
regelmässigen Körper zu bezeichnen pflegte. Wir haben (S. 343)
dieses Buch mit dem I. Buche des Hypsikles verglichen und sind zu
dem Ergebnisse gekommen, das II. Buch sei viel unbedeutender als
das L, mit welchem es nicht zusammenhänge. Im 7. Satze dieses
Buches spricht nun der Verfasser von seinem grossen Lehrer Isidorus'"^),
und dieser Ausdruck gab eben die Veranlassung, die ihrer Sprache
nach unbedingt ziemlich spät verfasste Abhandlung dem Damascius
zuzuschreiben. Ein scharfer Beweis dürfte allerdings in dem einen
Worte nicht zu finden sein, und gäbe es, wie es den Anschein hat,
Schollen zu diesem sogenannten XV. Buche des Euklid, die den
gleichen Ursprung mit den sonstigen Schollen zu Euklid verrathen,
die also auch von Proklus herrühren müssten, so wäre umgekehrt
der Gegenbeweis gegen das Verfasserrecht des Damascius geliefert,
und die Abhandlung müsste von dem Schüler ira;end eines anderen

') Th. H. Martin, Sur Vepoque et l'auteur du pretendu XV. livre des
elemcnts d'Eudide im Bulletino Boncompagni 1874, pag. 263 — 266 -) 'ici'dcoQog
6 iJiitTtQoe ftt'yag ätöäc-Acclog.

30*

468 24. Kapitel.

Isidorus lierrühren, welclier zwisclien dem IV. und VI. S., weder viel
früher nocli keinenfalls später, gelebt haben möchte. Der Name
Isidorus ist ohnedies nichts weniger als selten, und aus dem VI. S.
selbst ist ein Baumeister Isidorus von Milet berühmt, der in Ge-
meinschaft mit Anthemius von Tr alles im Auftrage des Kaisers
Justinian den Prachtbau der Sophienkirche in Konstantinopel her-
stellte. Isidor von Milet wird von dem Verfasser') der neuesten
Untersuchungen über das sogenannte XV. Buch des Euklid für den
im 7. Satze desselben genannten Lehrer gehalten. Das Buch selbst
will er mit schwerwiegenden, aus der Verschiedenheit der Sprache
und des Inhalts hergenommenen Gründen in drei Abtheilungen (Satz
1 — 5, Satz 6, Satz 7) von ebenso vielen Verfassern gespaltet wissen.

Von Anthemius von Tralles ist ein Bruchstück erhalten'^), welches
sich mit der Herstellung von Brennspiegeln beschäftigt, sowohl mit
solchen, die aus einem Systeme ebener Spiegel zusammengesetzt sind,
als mit parabolisch gekrümmten. Ein weiteres Fragment dieser
Schrift des Anthemius dürfte 1881 entdeckt worden sein'^). Ihm
entstammt die Angabe (S. 328), dass Apollonius bereits über Brenn-
spiegel geschrieben habe.

Schüler des Isidorus von Milet war Eutokius von Askalon,
der mithin etwa in der zweiten Hälfte des VI. S. die Commentare
zu verschiedenen Schriften des Archimed und zu den Kegelschnitten
des Apollonius verfasste, eine Fundgrube für den Geschichtsforscher,
aus der wir gleich unseren Vorgängern zahlreiche Aufschlüsse ge-
wonnen haben, aber mathematisch unbedeutend. Wir haben ins-
besondere (S. 303) von einer Stelle über die Methoden der Quadrat-
wurzelausziehung bei den ältesten Mathematikern Gebrauch gemacht.
Ihr hätten wir auch den Satz entnehmen können, dass das Quadrat
einer ganzen Zahl selbst ganzzahlig, das Quadrat eines Bruches selbst
ein Bruch sei, woraus die Irrationalität der Quadratwurzel aus jeder
ganzen Zahl folgt, die nicht Quadratzahl ist"^).

') G. Kluge, De Euclidis elementorum libris qui feruntur XIV et XV.
Leipzig, 1891. *) Abgedruckt in den von Westermann herausgegebenen
UaQccdo'goyqacpoi (Scriptores rerum mirahilium Graeci). Braunscbweig , 1839,
pag. 149 — 158. Ein älterer Abdruck mit Erläuterungen und französischer Ueber-
setzung von Dupuy in Histoire de l'Äcademie des Jnscriptions et des Beiles
lettres T. 42 pag. 392 — 451 der Memoires und pag. 72 — 75 der Histoire. Paris,
1786. 3) Chr. Beiger in der Zeitschrift Hermes Bd. XVI, S. 261-284.
M. Cantor und C. Wachsmuth ebenda S. 637—642. Heiberg in der Zeitschr.
Math. Pbys. XXVIII. Histor.-literar. Abthlg. S. 121-129. ■•) Archimed (ed.
Heiberg) 111, 426, lin. 22—25. Vergl. Hultsch in den Nachrichten von der
königl. Gesellsch. d. Wissensch. und der Georg- Augusts-Universitüt zu Güttingen
vom 28. Juni 1893. S. 370 Note 1.

Die griechisclie Mathematik in ihrer Entartung. 469

Wir kehren zu Damascius von Damaskus zurück. In ihm war^)
,,noch einmal ein Mann des schroffsten antiken Heidenthums" an die
Spitze der Schule getreten. Die Rückwirkung blieb nicht aus. Ge-
sinnungsgenossen eilten noch einmal herbei, unter ihnen Simplicius,
der Erklärer aristotelischer Schriften sowie der euklidischen Elemente
(S. 354), der neben Damascius lehrte. Aber auch die Feindschaft
des gekrönten Theologen, der als Kaiser Justinian 527 den Thron
bestiegen hatte, war mit den Lehrern der Schule erworben. Schärfere
imd schärfere Verordnungen gegen die Bekenner jeder Gattung von
Irrlehren folgten einander. Im Jahre 529 erging endlich ein all-
gemeines Verbot dagegen, dass in Athen noch irgend Jemand Philo-
sophie lehrte. Noch einige Jahre fristeten die letzten Lehrer der
geschlossenen Hochschule auf dem Boden von Hellas ein kümmer-
liches Dasein, dann vollzogen sie eine freiwillige Selbstverbannung
nach dem Hofe des Perserkönigs Chosrau Anosd'harwän.

Der Ruhm des „gerechten" Sassaniden hatte freilich die Wahr-
heit übertroffen. Damascius und seine Freunde fanden eine weit ge-
ringere Bildung der Hofkreise, gröbere Unsitte des Volkes als sie
vermuthet hatten, und als Chosrau 533 mit Justinian einen Frieden
abschloss, der vorangegangenem dreissigjährigem Kriege ein Ziel setzte,
und in den Vertrag die ungehinderte Rückkehr der athenischen Ge-
lehrten mit aufnahm, war Niemand froher als diese die Heimath
wieder zu sehen.

Die athenische Schule aber war und blieb dahin. Da und dort
tauchen noch Schüler derselben auf, welche selbst neue Schüler
bilden, Philosophen und Mathematiker, in letzterer Beziehung von
herzlich geringer Bedeutung. Dahin gehört vielleicht der von Eutokius
erwähnte Heronas, welcher einen Commentar zum Nikomachus ge-
schrieben haben soll (S. 349); dahin mit Commentaren zu eben dem-
selben Schriftsteller die beiden alexandrinischen Gelehrten Asklepius
von Tr alles und dessen als Grammatiker vorzugsweise berühmter
Schüler Johannes Philoponus. Der Commentar des ersteren ist
imr handschriftlich, der des zweiten auch im Drucke vorhanden^),
enthält aber kaum irgend bemerkenswerthe Stellen.

Johannes Philoponus ist vielfach durch die von Abulpharagius
berichtete Geschichte bekannt, er sei es gewesen, der 640 bei der
Einnahme Alexandrias durch die Araber für den Bestand der dortigen
Bibliothek sich verwandt habe. 'Omar aber habe deren Vernichtung

^) Hertzberg, die Geschichte Griechenlands unter der Herrschaft der
Römer IH, 536 — 545 über die letzte Zeit der Universität Athen. *) Joannes
Philoponus in NicomacM introductionem aritlim. (ed. R. Ho che) Heft 1. Leipzig,
1864. Heft 2. Berlin, 1867.

470 24: Kapitel.

befohlen, denn ,,entweder enthalten die Bücher das, was im Koran
steht, dann brauchen wir sie nicht zu lesen, oder sie enthalten das
Gegentheil dessen, was im Koran steht, dann dürfen wir sie nicht
lesen", und nun sei während sechs Monaten die Feuerung der Bäder
Alexandrias mit den Bücherrollen der Bibliothek vollzogen worden.
Die zweimalige Zerstörung der Bibliotheken im Brucheion und im
Serapistempel hat aber gewiss nicht eine dritte grossartige Bibliothek
in Alexandria entstehen lassen, am wenigsten eine so umfangreiche,
wie Abulpharagius in der von ihm behaupteten Verwendung der
Bücher bezeugt, und so wird der ganze Bericht dieses auch unter
dem Namen Barhebräus bekannten den Arabern keineswegs günstig
gesinnten syrischen Christen des XIII. 8. einigermassen verdächtig,
wenn auch andererseits nicht verkannt werden soll, dass Antwort
und Handlungsweise mit dem Charakter des zweiten Nachfolgers
Mohammeds wohl*verträglich sind, der in der That nach Unterwerfung
der Hauptstadt der »Sassaniden die dort vorhandenen Bücher in den
Tigris werfen liess und auch sonst sich bildungsfeindlich erwies^).
Hier ist wohl die passendste Stelle, von dem Rechenbuche
von Achmim (S. 23) zu reden, einem in Achmim, in einem
koptischen Grabe, aufgefundenen griechischen Papyrus, welcher nach
der Meinung des Herausgebers-) innerhalb der Zeit zwischen dem VI.
und IX. Jahrhunderte von einem Christen geschrieben wurde. Die
Angabe lässt möglicherweise die Ergänzung zu, der Schreiber be-
ziehungsweise Verfasser sei ein griechisch schreibender Römer ge-
wesen. Jedenfalls war er in altägyptischer Rechenkunst erfahren und
zerlegte Brüche in Summen von Stammbrüchen, wie Ahmes es dritt-
halbtausend Jahre früher gethan hatte. Der wesentliche und nicht
hoch genug zu schätzende Unterschied besteht darin, dass der Ver-
fasser des Rechenbuches zu Achmim die Vorschriften angibt, nach
welchen jene Zerlegungen vorgenommen wurden. Darunter ist die
Methode der durch Summentheile multiplicirten Faktoren
des Nenners besonders bemerkenswerth. Als Formel geschrieben

z 1 1

heisst sie = j 1 1 — und geht bei ^ = 2 in die Formel

P ■ 'I „ P-\-a ' P + Q

<1 ■ —z- P

z z

des

Ahmes = ; 1 r über (S. 30). Bei der oft auf-

P-i „ y + g n ^ + '^

tretenden Möglielikeit verschiedenartiger Zerlegung liess man sich.

^) Schöll-Pinder, Griechische Literaturgeschichte Jll, 8. *) J. Baillet
in den Memoires puNies par Ics Membres de la mission archeologique frangaise
au Cuire T. IX, Fascicule 1, pag. 1—88 und 8 Tafeln. Paris, 1892. Vergl. auch
Zeitschr. Math. Phjs. XXXVIII. Histor.-literar. Abthlg. S. 81—87.

Die griechische Mathematik in ihrer Entartung. 471

wie der Herausgeber des Papyrus erkannt hat, von dem Gesichts-
punkte leiten, Stammbrüche mit solchen Nennern zu wählen, die
nicht durch gar zu grosse Unterschiede von einander abwichen. Von

239
den verschiedenen möglichen Zerlegungen von -r^r— zog man z. B.
o ö o 6460 o

939 111

,TT7,n == o^ + iT^ + ^ allen anderen vor, weil 68, 85, 95 ziemlich nahe

0460 »0 yo ' 60 ' ' '

bei einander liegen.

Nach Konstantinopel, wie seit 330 das alte Byzanz hiess,
noch bevor es die Hauptstadt des besonderen Reiches wurde, welches
man nach dem älteren Namen des Kaisersitzes das byzantinische zu
nennen pflegt, hatte Justinian ganz besonders Rechtsgelehrte, der
Zahl wie der Bedeutung nach überwiegend, berufen, aus deren Ver-
einigung eine Rechtsschule als Mittelpunkt einer dort ansässigen Ge-
lehrsamkeit entstand. Auch Mathematiker werden uns hier begegnen,
welche aber nur den Eindruck zu verstärken geeignet sind, den wir
schon erhalten haben, dass es in immer rascheren Sprüngen bergab
ging mit der einstmals so hoch emporgedrungenen griechischen Wissen-
schaft, dass dann später für die Mathematik wie für benachbarte
Kenntnissreihen eine Pause im Niedergange wieder eintrat, dass aber
auch für jene späte Zeit — es handelt sich um das XIV. S. — den
Byzantinern nicht mehr nachgerühmt werden kann, als ein neuerer
Vertheidiger ihrer Bildung für sie in Anspruch nimmt'), nämlich
eine erhaltende Thätigkeit ausgeübt zu haben. Man möchte, insbe-
sondere für die Zeit vom IX. bis zum XL S., meinen, es seien die
geistig bedeutenderen Leute gewesen, die in der Fremde ihre Kennt-
niss der griechischen Sprache und anderer Idiome dazu benutzten,
Uebersetzuugen der grossen griechischen Mathematiker anzufertigen,
die mau zu Hause nicht mehr studirte, jedenfalls in meist unfrucht-
barer Weise studirte.

Wir verweilen einen Augenblick bei einer geodätischen Ab-
handlung, welche, seit sie 1572 in lateinischer Uebersetzung des
Barocius bekannt wurde, für das Werk eines Heron des Jüngeren
galt, den man wohl in das VII. auch in das VIII. S. zu setzen liebte.
Gegenwärtig ist der griechische Text nebst einer französischen Ueber-
setzung leicht zugänglich"-), und über Ort und Zeit der Entstehung
ist kaum ein Zweifel geblieben^). Die Oertlichkeit, auf welche die in

*) Demetrius Bikelas, Die Griechen des Mittchilters und ihr Einfluss
auf die europäische Cultur (deutsch von W. AVagner), Gütersloh, 1878.
^) Geodesie de Heron de Byzance ed. Vincent. Notices et cxtraits des manu-
scrits de la bibliotheque imperiale. Paris, 1858. T. XIX, 2. partie. '') Die ab-
schliessenden Untersuchungen von Th. H. Martin in seiner häufig angeführten
Abhandlung: EccJierches sur la vie et les ouvrages d' Heron d'Alexandrie.

472 24. Kapitel.

der Abhandlung vorgenommenen Messungen sich beziehen, ist als die
Rennbahn von Konstantinopel erkannt worden, jene berühmte Renn-
bahn, welche so oftmals zu grossen politischen Versammlungen diente,
von wo aus meuterische Volkshaufeu sich in die Strassen der Haupt-
stadt ergossen, Umwälzungen einleitend und vollendend. Vorkommende
Beobachtungen von Sterndistanzen haben ferner zur Zeitbestimmung
führen können und haben ergeben, dass jene Geodäsie in Konstan-
tinopel ziemlich genau im Jahre 938 geschrieben worden sein muss.
Wie aber der Verfasser hiess, ob Heron, wie man sonst zu sagen
pflegte, ob anders, darüber ist nicht das Geringste bekannt, und viel-
leicht befreundet man sich am ersten damit, ihn mit uns als den
ungenannten Feldmesser von Byzanz zu bezeichnen. Wir haben
seiner Abhandlung (S. 133) ganz im Vorübergehen gedenken dürfen,
als in welcher ein sehr spätes Zeugniss für den Beweis der Wiukel-
summe des Dreiecks von der Winkelsumme des Vierecks aus vorlag.
Wir möchten jetzt an eben diesen Beweis in dem Sinne erinnern, als
er für das Musterwerk des uugenamiten Verfassers zur Vermuthung
führt, dasselbe habe die Betrachtung des Vierecks überhaupt der des
Dreiecks vorangehen lassen. Welches Musterwerk aber ihm diente,
ist auf den ersten Anblick klar: kein anderes als das feldmesserische
Werk des Heron von Alexandria, der übrigens selbst genannt ist'),
und dessen Abhandlung über die Dioptra insbesondere man in der
Nachbildung nicht verkennen kann. Damit ist zugleich gesagt, dass
die Schrift des Ungenannten nicht schlecht ist. Wer so wenig wie
er von einem trefflichen Muster sich entfernte, konnte Unbrauchbares
nicht liefern.

Das gelang viel besser einem Michael Psellus. Dessen letzte
Schrift ist von 1092 datirt, er lebte also bis zum Ende des XL S.
Er hatte den Beinamen Erster der Philosophen, ein Beiname,
der ihn nicht zu schmücken vermag, sondern nur den Zeitgenossen
zur Unehre gereicht. Eine auf des Psellus Namen im XVI. S.' ge-
druckte Schrift über die vier mathematischen Disciplinen rührt keinen-
falls im Ganzen von ihm her, da die Astronomie sich selbst vom
Jahre 1008 datirt, in welchem Psellus, wenn geboren, jedenfalls im
zartesten Kindesalter stand '^). Ob die auch einzehi herausgegebene
Arithmetik^) wirklich von Psellus herstammt, bedürfte noch be-
sonderer Untersuchung, aber man kann nicht behaupten, dass diese
Mühe sich lohnte. Die Einheit ist keine Zahl, sondern Wurzel und

') Geodesie de Heron de Byzance (ed. Vincent) pag. 368. -) Tann er y
in Zeitschr. Math. Phys. XXXVII. Histor.-literar. Abthlg. S. 41. ») WeUov
twv TttQi ccQL&fiTjtLK'^g ovvoipig. Paris, 1538. 4", lag uns vor.

Die griechische Mathematik in ihrer Entartung. 473

Quelle der Zahlen. Einmal eine Zahl ist von der Zahl nicht ver-
schieden, wohl aber zweimal und dreimal die Zahl. Zwei mal zwei
ist mit zwei und zwei gleich werthig, was bei anderen Zahlen nicht
vorkommt. Die Zahlen sind bald grad, bald ungrad, bald zusammen-
gesetzt, bald einfach. Die Primzahlen können mittels einer Sieb-
methode erkannt werden. Es gibt vollkommene, mangelhafte und
überschiessende Zahlen. Zwischen den Zahlen gibt es Verhältnisse.
Zehn Analogien sind zu unterscheiden. Es gibt vieleckige Zahlen
und körperliche Zahlen. Das ist die ganze arithmetische Weisheit
des Psellus oder wer der Verfasser gewesen sein mag. Er wird sie
aus irgend einem Neupythagoräer oder Neuplatoniker geschöpft haben.
Vermehrt hat er sie keinesfalls, auch nicht um den Schatten eines
eigenen Gedankens.

In der geometrischen Abtheilung, wenn diese echt sein sollte,
sagt uns Psellus^), es gebe unterschiedene Meinungen, wie des Kreises
Inhalt zu finden sei. Am meisten Beifall habe die Gleichsetzung des
Kreises mit dem geometrischen Mittel zwischen dem eingeschriebenen
und dem umschriebenen Quadrate gefunden. Hier ist also tc = yS
= 2,8284271 . . . gesetzt, und der Beifall des Zustimmenden kenn-
zeichnet seine Unwissenheit.

Von grosser geschichtlicher Bedeutung, welche allerdings erst
in unserem II. Bande im 57. Kapitel hervortreten wird, ist ein Bruch-
stück des Psellus^), worin den Namen, deren sich Diophant (S. 439)
für die aufeinander folgenden Potenzen der Gleichungsunbekannten
bediente, andere gegenüber gestellt sind. In dieser zweiten Reihe
von Ausdrücken heisst die 5. und die 7. Potenz der unbekannten
Grösse äkoyog TtQcätog und akoyog devxsQog, irrational weil, wie aus-
drücklich hinzugesetzt ist, eine solche Potenz weder Quadrat noch
Kubus ist.

Es trat eine geistige Versumpfung ein, die als natürliche Be-
gleiterin der steten Palastrevolutionen zu betrachten ist, von welchen
die Geschichte des byzantinischen Reiches wimmelt. Auch die Kreuz-
züge, um 1100 beginnend, brachten diesen inneren Unruhen keinen
Stillstand, brachten ebensowenig neue Bildungselemente, und als 1204
die Unordnung aufs höchste gestiegen war, rückte das lateinische
Kreuzheer, Franzosen und Venetianer, vor Konstantinopel, eroberte
am 12. April die Stadt und hauste fürchterlich, mit Raub und Brand
ganze Viertel zerstörend. Es entstand unter Theilung des Reiches

^) Kästner, Geschichte der Mathematik I, 281 — 282 *) P. Tannery,
Psellus sur Diophante in Zeitschr. Math. Phys. XXXVII, Histor.-literar. Abthlg.
S. 41 — 45.

474 24 Kapitel.

iu Koustautiuopel ein lateinisches Kaisertlium, welches bis 1261
dauerte. Dann kehrte ein eingeborener Fürst, Michael Paläologus,
mit genuesischer Hilfe zurück, bemächtigte- sich der Herrschaft, und
unter den Paläologeu kam im ersten Viertel des XIV. S. für. unsere
Wissenschaft eine neue Anregung zu Stande^).

Im Jahre 1322 wurde von unbekanntem Uebersetzer eine grie-
chische Bearbeitung eines persischen astronomischen Werkes an-
gefertigt, als dessen Verfasser Za^irl) finovxccgrjg genannt ist, eine Ver-
ketzerung, in welcher man Schamsaldin von Bukhara wieder-
erkannt hat, wahrscheinlich denselben Astronomen, der unter dem
Namen Schamsaldin von Samarkand vermuthlich im Jahre 1276
ein Büchlein über die Fixsterne in persischer Sprache geschrieben
hat, und der seinen Aufenthalt wechselnd in Samarkand und Bukhara
gehabt haben mag.

Nun folgten sich ziemlich rasch weitere byzantinische Bearbei-
tungen persischer Schriften, mittelbare Abflüsse des im griechischen
Texte nahezu vergessenen Almagestes, welcher selbst die vorzüg-
lichste Quelle persischer Gelehrsamkeit bildet. Chioniades von
Konstantinopel, welcher jedenfalls vor 134G lebte, Georg Chry-
sococces im Jahre 1346 selbst, Theodorus Meliteniota, wie es
scheint unter der Regierung des Kaisers Johannes Paläologus 1361
lebend, der Mönch Isaak Argyrus vor 1368, das sind die Haupt-
vertreter persisch-griechischer Astronomie. Der letztgenannte schrieb"-)
auch eine handschriftlich gebliebene Geodäsie und Scholien zu den
ersten sechs Büchern' der euklidischen Elemente. Und nun tritt in
der zweiten Hälfte des XIV. S. ein neuer Umschlag ein. Mit Niko-
laus Cabasilas beginnt ein Geschlecht von Gelehrten, welche auf
Ptolemäus selbst zurückgreifen und so die Wiedergeburt klassischer
Wissenschaft in Europa vorbereiten. Während auf astronomischem
Gebiete die hier kurz geschilderte Bewegung sich vollzog, war es
kaum möglich, dass die Mathematik unberührt geblieben wäre, und
wirklich haben wir Isaak Argyrus als mathematischen Schriftsteller
nennen müssen. JN^eben ihm treten im XIV. S. noch Andere auf, zu
welchen wir uns jetzt wenden. Der Hauptsache nach ist ihre Thätig-
keit freilich als blosse Compilation aufzufassen. Höchstens Einer
könnte eine Ausnahme bilden, für welchen die Urquelle seines Wissens
wenigstens nicht nachzuweisen ist. Ein Vorzug, der ihnen insgesammt
zukommt, besteht darin, dass sie nicht mit breitgetretenen Stofi'eu

*) Vergl. Usener, Ad Mstoriam astronomiac symhdla, Bonner Universitäts-
programm zur (ieburtstagsfeier Kaiser Wilhelm I. am 22. Miii-z 1876. '■') Nach
Montucla, Hüloirc des viuthcmatiqucs 1, 345.

Die griechische Mathematik in ihrer Entartung. 475

sich abmühen, wie es die früheren Byzantiner thaten, sondern solche
Gegenstände wählten, die hier in griechischer Sprache zum ersten
Male erscheinen.

Der Mönch Barlaam schrieb am Anfange des XIV. S. eine
Logistik in sechs Büchern, worin in mühseliger Weise die Rechenkunst
an ganzen Zahlen, an gewöhnlichen Brüchen und an astronomischen
oder Sexagesimalbrüchen gelehrt wurde. Dieses Werk ist im Jahre
1600 mit lateinischer Uebersetzung gedruckt^), und wenn Barlaam
auch kein Byzantiner, sondern ein Calabreser war, so möge es ver-
stattet sein, ihn hier unterzubringen, weil er eben in griechischer
Sprache schrieb.

Johannes Pediasimus, auch Galenus, yaXrjiW'; = der Heiieve,
genannt, war Siegelbewahrer des Patriarchen von Konstantinopel wäh-
rend der Regierungszeit von Andronikus III. Paläologus 1328 — 1341.
Von ihm sollen handschriftlich, ausser literär- kritischen Schriften,
Bemerkungen zu einigen dunkeln Stellen der Arithmetik und eine
Abhandlung über Würfelverdoppelung vorhanden sein. Seine Geo-
metrie ist im Druck erschienen"). Man kann das Urtheil über die-
selbe kurz dahin fassen, dass Pediasimus sich ganz ähnlich wie jener
unbekannte Byzantiner des X. S. eng an Heron von Alexandria an-
schliesst. Nur dass jener, wie wir gesagt haben, die praktisch-
feldmesserische Abhandlung über die Dioptra als Vorbild benutzte,
während Pediasimus sich au die rechnende Geometrie des Heron hält,
wie sie in den als Geometrie imd als Geodäsie betitelten heronischen
Schriften vertreten ist. Die Anlehnung ist eine so enge, dass mit-
unter Pediasimus dazu dienen kann Stellen des Heron zu erläutern.

Maximus Planudes gehört etwa derselben Zeit an. Dieser
aus Nikomedien stammende Mönch vertrat 1327 das byzantinische
Kaiserreich als Mitglied einer Gesandtschaft an die Republik Venedig.
Er lebte noch 1352. Sein Todesjahr ist nicht bekannt. Maximus
Planudes hat einen Commentar zu den ersten Büchern des Diophant
verfasst, der uns erhalten ist^), und als Beweis (S. 437) benutzt wurde,
dass die Gestalt, in welcher ihm diese Bücher vorlagen, in keiner
Weise von der heutigen Gestalt abwich. Maximus Planudes ist in
diesem Commentar mit weiser Vorsicht Allem aus dem Wege ge-

') So nach Montucla, Ilistoire des malMmaiiques I, 344. Uns ist das
"Werk noch nie zu Augen gekommen. *) Die Geometrie des Pediasimus (grie-
chischer Text) herausgegeben von G. Friedlein als Herbstprogramm der
Studienanstalt Ansbach für 1866. Die allgemeinen Notizen über den Verfasser
entnehmen wir der Friedlein'schen Einleitung, in welcher die wünschenswerthen
Verweisungen sich finden. ^) Er ist lateinisch abgedruckt iu Xylanders
gleichsprachiger Diophantübersetzung. Basel, 1571.

476 24. Kapitel.

gangen, was der Erläuterung wirklich bedurft hätte, und hat sich
nur bei Selbstverständlichem aufgehalten. Wir haben ferner (S. 432)
der griechischen Anthologie gedacht, welche Maxinius Planudes aus
früheren Sammlungen auszog, und in welcher auch algebraische Epi-
gramme sich vorfanden. Wir haben es jetzt mit einer Schrift zu
thun, die den mderspruchs vollen Namen Markenlegung nach Art
der Inder, il>rj(po(poQLCi xar' 'Ivöovg, führt und gemeiniglich das
Rechenbuch des Maximus Planudes^) genannt wird. Der Ver-
fasser beginnt mit den Worten: „Da die Zahl das Unendliche um-
schliesst, aber eine Erkenntniss des Unendlichen nicht möglich ist,
so haben hervorragende Denker unter den Astronomen eine Methode
gefunden, wie man Zahlen beim Gebrauch übersichtlicher und genauer
darstellen kann. Solcher Zeichen gibt es nur neun und zwar folgende -)
12345G78 9. Man fügt auch ein andres Zeichen hinzu, was
Tziphra genannt wird und bei den Indern das Nichts darstellt. Auch
jene neun Zeichen stammen von den Indern. Die Tziphra wird
folgendermasseu geschrieben 0." Hier ist also zum ersten Male im
XIV. S. das indische Zifferrechnen nach Byzanz gedrungen, wie wir
später sehen werden mindestens 200 Jahre nachdem es auf anderem
Wege bereits zur Kenntniss des Avestlichen Europas gekommen war,
wo die sogenannten Algorithmiker in Spanien, in England, in Deutsch-
land, in Frankreich mit den Abacisten ringen, um sie seit Anfang
des XIII. S. siegreich zu verdrängen. Wir könnten in der uns hier
gegenübertretenden fremdländischen Kunst eine Hindeutung finden,
dass wir mit Unrecht auch diese späte Zeit in dem der griechischen
Mathematik gewidmeten Abschnitte behandeln, wenn uns nicht um-
gekehrt grade das so späte Auftreten, welches wir soeben betonten,
darin bestärkte, dass wenigstens verhältnissmässige Abgeschlossenheit
der griechisch schreibenden Mathematiker gegen im beginnenden
Mittelalter allerwärts sich verbreitende Einflüsse stattfand, und dass
sie somit hinter ihrer Zeit stehend und darum ohne Einwirkung auf
dieselbe nur als Vertreter einer selbst sich verspätenden Nationalität
erscheinen. Der Inhalt des Rechenbuches des Maximus Planudes
bedarf dagegen hier keiner auf das eigentlich indische Verfahren ein-
gehenden Erörterung. Die Bemerkung muss uns genügen, dass

^) Eine griechische Textausgabe hat C. J. Gerhardt veranstaltet. Halle,
1865. Eine deutsche Uebersetzung von H. Waeschke erschien Halle, 1878.
Die allgemeinen Notizen über Maximus Planudes entnehmen wir der Gerhardt-
scheu Einleitung. Die deutsche Fassung einzelner Sätze ist bis auf geringe
Aenderungen, die wir für nöthig hielten, der Waeschke 'sehen Uebersetzung
entlehnt. ^) Die von Maximus Planudes gebrauchten Zeichen vergl. auf der
hinten angehefteten Tafel.

Die griechische Mathematik in ihrer Entartung. 477

Addiren und Subtrahiren, Multipliziren und Dividiren an ganzen
Zahlen, dann an Sexagesimalbrüchen gelehrt wird nach Methoden
und unter Amvendung von Proben, von welchen wir an anderem
Orte zu reden Gelegenheit nehmen. Es folgt alsdann noch die
Quadrat wurzelausziehung und zwar auf folgende Weise: „Nimm die
Quadratwurzel der uächstniedrigen wirklichen Quadratzahl und ver-
doppele dieselbe-, dann nimm von der Zahl, deren Wurzel du suchst,
das gefundene nächstniedrige Quadrat weg, und dem Reste gib als
Nenner die aus der Verdoppelung der Wurzel gefundene Zahl. Z. B.
wenn 8 das Doppelte der Wurzel wäre, so nenne den Rest Achtel,
wenn 10 Zehntel u. s. w. Willst du z. B. 18 als Quadrat darstellen
und die Wurzel suchen, so nimm die Wurzel der nächstniedrigen
Quadratzahl also von 16. Sie ist 4. Verdopple dieselbe, ist 8.
Nimm 16 von 18, bleibt 2. Diese nenne (nach 8) Achtel und sage
so: die Seite des Quadrates 18 ist 4 und 2 Achtel, 2 Achtel ist aber
gleich einem Viertel, als ist die Seite auch 4 und ein Viertel". Nun

zeigt der Verfasser, dass 4-7- • 4 - = 18;- ist, wobei, wie im Vorher-

o ; 4 4 16 ' '

gehenden angedeutet worden ist, Brüche nicht in Zeichen, sondern
nur mit Worten geschrieben werden. Die Methode sei daher nicht
ganz richtig. „Welche Methode aber die genauere und der Wahrheit
nähere ist, die ich zugleich als meine mit Gottes Hilfe gemachte
Erfindung in Anspruch nehme, das wird in der Folge gesagt werden."
Die vorher gelehrte Methode muss jedenfalls nach des Verfassers
Meinung die indische sein, denn er spricht nachher von der indischen
Methode, wie von einer bereits vorgetragenen^), während nur diese
Auseinandersetzung und die geometrische Begründung ihrer nicht
genau zutreffenden Richtigkeit vorausgegangen ist, bevor er au die
eigene Methode gelangt, welche er nochmals mit wahren Posauneu-
stössen ankündigt: „Es ist nun an der Zeit, dass wir die Methode,
die wir selbst erfunden haben, und die nur weniges vom wahren
Werthe abweicht, vorlegen."

Worin besteht diese eigene Methode? Darin, dass die Zahl,
aus welcher die Wurzel gezogen werden soll, vorher durch Multipli-
cation mit 3600 in Sekunden verwandelt wird, worauf die Wurzel
in der Gestalt von Minuten sich zeigt! Damit brüstet sich ein Leser
von Theons Commentar zum Almagest, der als solcher sich ausdrück-
lich zu erkennen gibt, indem er zugesteht, seine Methode sei doch
umständlich, wenn es um recht grosse Zahlen sich handle, wie um
die Zahl 4500, aus welcher Theon die Wurzel zu ziehen habe. Als-

^) ""Etsqu yLs&odog liiyfia ovaa rijg rs 'lvSrA.f]g yial zov 0Ecovog -nal ziig ijfis-
riqag (ed. Gerhardt) pag. 45, lin. 3.

478 24. Kapitel.

dann könne man aus der indischen Methode, aus der des Theon und
aus seiner eigenen folgende Misehmethode biklen. Zunächst sucht
er jetzt die nächste ganzzahlige Wurzel ()7 und verschafft sich den
Rest 4500 — 67'= 11. Diese 11 Ganze werden als Minuten zu 660,
und durch 2 • 67 = 134 getheilt entstehen 4' als Quotient. Der
neue Rest 660 — 4 • 134 = 124' wird in Sekunden verwandelt und
dadurch zu 7440, wovon 16" d. h. das Quadrat von 4' abgezogen
wird. Der neue Rest besteht aus 7424". In ihn dividirt man mit
dem Doppelten von 67" 4' d. h. mit 60 • 134 + 2 • 4 = 8048', nach-
dem man ihn selbst in 60 ■ 7424 = 445 440'" verwandelt hat. So
erscheint der Quotient 55", und mit ihm ist die Wurzel zu 67** 4' 55"
ergänzt, und zwar, wie der Vergleich mit dem (S. 461) von uns ge-
gebenen Auszuge aus Theon zeigt, genau in der von diesem gelehrten
Weise, nur mit dem Umwege über die Eselsbrücke eingeschalteter
Multiplikationen mit 60 vor Ausführung der die Theilziffern der
Wurzel liefernden Divisionen, die einzige Beimischung, deren Mäximus
Planudes sich rühmen kann.

Sind aber das die grossen Gedanken eines Schrif stellers, der
„sich vorgenommen hat über das zu handeln, was zur astronomischen
Rechnung gehört"^), so ist kaum anzunehmen, dass ebendemselben
zwei Aufgaben eigenthümlich sein sollten, mit welchen unmittelbar
nach Auseinandersetzung der letzterwähnten Methode zur Quadrat-
wurzelausziehung das Rechenbuch abschliesst. Die zweite Aufgabe
ist die uns schon bekannte, ein Rechteck zu finden, das einem anderen
Rechtecke am Umfange gleich, an Inhalt ein Vielfaches desselben
sei. Die Auflösung wird in Worten gelehrt, welche in eine Formel
umgesetzt n — 1 und n^ — n als die Seiten des einen, nr — 1 und
n^ — n~ als die Seiten des n mal so grossen Rechtecks bezeichnen.
Bei n = 4c entstehen die Seiten 3 und 60, beziehungsweise 15 und
48, welche wir auch im Buche des Landbaues (S. 453) fanden. Die
erste Aufgabe ist eine heute gleichfalls sehr bekannte, da sie in
ziemlich allen Aufgabensammlungen Platz gefunden hat. Eine Summe
Geldes soll dadurch in lauter gleiche Theile zerlegt werden, dass der
erste Theilhaber 1 Stück und den nten Theil des Restes, der zweite
alsdann 2 Stück und den nien Theil des Restes, der dritte hierauf
3 Stück und den nien Theil des Restes erhalte, und dieses Gesetz
der Bildung der Theile bis zum letzten festgehalten bleibe. Als
Auflösung wird (« — l)'"* als die zu theilende Summe, u — 1 als die
Zahl der Theilhaber erklärt. Zunächst ist freilich n = 1 gesetzt,

') 'Enti 8s cüg iv hi'dtt. ne^l rar cv^ißaXlo^tvcüv tt'g tbv äarsQCüv ipricpov
duXdßo^tv (ed. Gerhardt) p;ig. 29, letzte Zeile.

Die griechische Mathematik in ihrer Entartung. 479

docli ist ausdrücklich die Allgemeinheit der Auflösung hervorgehoben,
und als Andeutung wie die Auflösung gefunden werde, der Satz be-
nierklich gemacht, dass immer a- — 1 = (a — 1) • (a -f- 1) sei. Es
würde wohl einer besonderen Untersuchung werth sein, Spuren auch
dieser Aufgabe zu verfolgen.

Vielleicht etwas später als Maximus Planudes lebte Nikolaus
Rhabda von Smyrna mit dem Beinamen Artabasdes^). Er
schrieb an einen Theodor Tschabuchen von Klazomenä einen
Brief über Arithmetik^), welcher aus einer Handschrift der Pariser
Bibliothek herausgegeben ist^). Fast das Bemerkenswertheste an
ihm besteht darin, dass an dessen Schlüsse eine Sammlung von Bei-
spielen das erste uns bekannte Vorkommen der Wortverbindung
politische x4.rithmetik^) bietet. Es sind Aufgaben, welche mittels
Regeldetri gelöst sind. Ausserdem kann noch hervorgehoben werden,
dass für die Ausziehung von Quadratwurzeln die Näherungsregel
b

Ya'- -\- h = a -{- — ausdrücklich ausgesprochen ist. Wir haben es

hier mit einer anderen Schrift des Rhabda zu thun, mit der mehr-
fach, zuletzt in Gemeinschaft mit dem eben erwähnten Briefe ge-
druckten Abhandlung über das Fingerrechnen^), ixcpQaöig rot)
daxrvkiüov ^exQOv. Wir haben gesehen (S. 120), dass bei den grie-
chischen Zeitgenossen des Lustspieldichters Aristophanes etwa um
420 V. Chr. das Fingerrechnen in Uebung war. Wir haben keinerlei
Grund anzunehmen, es sei jemals ganz in Vergessenheit gerathen,
aber doch ist die Darstellung des Rhabda die einzige in griechischer
Sprache, in welcher förmlich gelehrt wird, was meistens durch münd-
liche Ueberlieferung sich fortgesetzt haben mag. Rhabda schildert
aufs Ausführlichste, wie man durch Beugung der Finger die einzelnen
Zahlen darstellen solle. Die Finger der linken Hand dienen zur Be-
zeichnung der Einer und Zehner, die der rechten zur Bezeichnung

') Schöll-Pinder, Geschichte der griechischen Literatur III, .845 stellt
die ungeheuerliche Vermuthung auf, Artabasdes sei vielleicht aus ahacista ent-
standen. *) Gerhardts Einleitung zu seiner Ausgabe des Rechenbuchs des
Maximus Planudes S. XII, Anmerkung. ^) Notice sur les deux leftrcs arithme-
tiques de Nicolas Khabdas (ttxte grec et traduction) par M. Paul Tannery.
Extrait dts Notices et extraits des manuscrits de Ja Bibliotheque nationale etc.
Tome XXXII, V Partie. Paris, 1886. *) iii&odog TtoUxiyiwv XoyaQiacfiwv. *) Ein
Abdruck z. B. in Nicolai Caussini de eloquentia sacra et humana libri XVI.
Lib. IX, cap. VIII, pag. 565 sq. Cöln, 1681. Vergl. auch Rödiger, Ueber die
im Orient gebräuchliche Fingersprache für den Ausdruck der Zahlen, im Jahres-
bericht der deutsch, morgenländ. Gesellsch. für 1845 — 46 und H. Stoy, Zm-
Geschichte des ßecheuunterrichtes I. Theil (Jenaer Inaugural-Dissertation von
1876) S. 36 ügg.

480 24. Kapitel.

der Hunderter und Tausender, und zwar ist die Aufeinanderfolge des
Stellenwerthes, wenn wir so sagen dürfen, von links nach rechts der
Art festgehalten, dass der kleine Finger, der Ringfinger und der
Mittelfinger der linken Hand für die Einer, Zeigefinger und Daumen
der Linken für die Zehner in Bewegung gesetzt werden, Daumen
und Zeigefinger der Rechten für die Hunderter, und endlich die drei
letzten Finger der Rechten für die Tausender. Wir brauchen viel-
leicht nicht einmal hervorzuheben, wie sich in dieser Reihenfolge
eine Uebereinstimmung mit früheren Bemerkungen unserer Einleitung
(S. 6) zu erkennen gibt. Es können also mittels beider Hände
sämmtliche Zahlen von 1 bis 9999 bezeichnet werden, vollauf aus-
reichend für den gewöhnlichen Gebrauch und in Uebereinstimmung
mit der Sprachgewohnheit der Griechen, für welche 10 000 das
äusserste einfache Zahlwort darstellt.

Mit Rhabda gleichzeitig lebte Manuel Moschopulus, der von
Jenem genöthigt eine Anleitung zur Bildung von Quadrat-
zahlen verfasste^). Jedenfalls muss dieser Moschopulus vor dem
XV. S. gelebt haben, da eine Handschrift seiner Abhandlung in
dieser Zeit niedergeschrieben ist, und da überdies ein älterer Gelehrter
dieses Namens als am Ende des XIV. S. lebend genannt wird, so
hat man um so mehr Grund Moschopulus und mit ihm Rhabda, der
nach seinem Leben bestimmt worden ist, grade dahin, das ist eben
etwas später als Maximus Planudes zu setzen. Ein letzter ßestäti-
gungsgrmid liegt darin, dass eine dem XV. S. entstammende Hand-
schrift des Rechenbuches des Maximus Planudes Zusätze von Rhabda
enthält, während solche in Handschriften jenes Rechenbuches aus
dem XIV. S. fehlen. Manuel Moschopulus hat, sagten wir, die Bil-
dung von Quadratzahlen gelehrt, d. h. er hat gezeigt, wie man ma-
gische Quadrate herstelle, wie man die Zahlen von 1 bis zu
irgend einer Quadratzahl n^ in eben so viele schachbrettartig ge-
ordnete Felder vertheile, so dass die Summe der Zahlen in jeder
Längsreihe, wie in jeder Querreihe und auch in den beiden Diagonal-

reihen stets dieselbe werde, natürlich — ^~— , da die Zahlen

in n gleichsummige Reihen geordnet sind. Wenn wir sagten, Moscho-

^) S. Günther, Vermischte Untersuchungen zur Geschichte der mathe-
matischen Wissenschaften. Leipzig, 187G, Cap. IV, Historische Studien über die
magischen Quadrate. Der Abdruck des griechischen Textes des Moschopulus
nach einer Münchener Handschrift des XV. S. findet sich S. 195 — 203, dessen
Discussion S. 203 — 212. Vielfache kritische B(;mcrkungen zum Texte von
A. Eberhard in der Zeitschrift Hermes XI, 434 flgg.

Die griechische Mathematik in ihrer Entartung. 481

pulus habe die Herstellung des magisclien Quadrates für irgend eine
QuadratzaM n^ gelehrt, so müssen wir von dieser Behauptung einen
Theil wieder zurücknehmen. Nur zwei Hauptfälle sind erhalten, der
eines ungraden n und der eines gradgraden n, d. h. wenn n von der
Form 4m ist. Der dritte noch übrige Fall eines gradungradeu n,
d. h, wenn n von der Form 4»« -(- 2 ist, fehlt in der uns erhaltenen
Handschrift, es ist aber kaum zweifelhaft, dass Moschopulus auch
ihn in einer verlorenen Schlussbetrachtung behandelt haben wird,
wie er es zum Voraus angekündigt hat^). Er hat dabei einen Ge-
danken und ein Wort benutzt, welche in der modernen Mathematik
eine bedeutsame Rolle spielen, bei Moschopulus aber zuerst aufge-
funden worden sind. Wir meinen den Ausdruck „Herumzählung im
Kreise"^), rngneQ avaxvxkovvTsS') wo ein Kreis eigentlich gar nicht
vorhanden ist, sondern an das gedacht werden muss, was man gegen-
wärtig cyklische Anordnung, cyklische Vertauschung und dergleichen
zu nennen pflegt. Es will uns recht zweifelhaft erscheinen, ob wirk-
lich Moschopulus selbst der Erfinder der Methoden zur Auflösung
der nichts weniger als leichten zahlentheoretischen Aufgabe war.
Wenn er auf Andringen des Rhabda die Niederschrift vollzog, so ist
damit keineswegs gesagt, dass er Eigenes niederschrieb, und die Ge-
sellschaft, in welcher wir Moschopulus zu nennen hatten, gibt keinen-
falls der Vermuthung Unterstützung, einen besonders geistreichen
Erfinder mathematischer Dinge hier anzutreffen. Dazu kommt, dass
jedenfalls im X. S. magische Quadrate eine geheimnissvolle Rolle
innerhalben der arabischen Philosophensekte der sogenannten laute-
ren Brüder spielten^), dass insbesondere die Quadrate mit 9, 16, 25,
36, 64 und 81 Feldern denselben bekannt waren, dass also sicherlich
damals schon eine Methode vorhanden gewesen sein, muss solche
zu bilden.

Die Zeit griechischer Mathematik, wir -wiederholen es zum
letzten Male, und man wird uns am Schlüsse dieses Kapitels gern
glauben, war vorbei. Wenn im XV. S. die vor dem Osmanenthum
fliehenden letzten Byzantiner Handschriften altklassischen Werthes
mit sich führten, deren Kenntniss im Abendlande zündend auf die
Geister wirkte und jene glänzende Flamme entfachte, bei deren
Scheine die Meisterwerke der Renaissance entstanden, so haben die
Byzantiner selbst daran nicht mehr noch weniger Theil als Insekten,
welche werthvoUen Blüthenstaub mit sich führen, während sie an

^) Günther 1. c. pag. 197, lin. 2—5. ^) Günther pag. 198, wo auch in
einer Note auf die Wichtigkeit der in diesem Ausdrucke enthaltenen Anschauung
aufmerksam gemacht ist. ^) Dieterici, Die Propädeutik der Araber im
X. Jahrhundert S. 42 flgg. Berlin, 1865 und Günther 1. c. S. 192 ^gg.

Cantor, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 31

482 19- Kapitel.

dem Orte der Befruchtung sich verkriechen. Wie es aber kam, dass
die Griechen ihre durch Jahrhunderte bewährte mathematische Kraft
verloren, das ist eine Frage, zu deren Erörterung weitläufigere Aus-
einandersetzungen nöthig wären, als sie hier im Vorübergehen mög-
lich und gestattet sind. Eine Einwirkung politischer Verhältnisse
wird ebensosehr angenommen werden müssen, wie eine weiter und
weiter abseits führende Verschiebung des wissenschaftlichen Interesses.
Theologie und Jurisprudenz hatten in den Zeiten des Verfalles unserer
Wissenschaft sich vorgedrängt. Die letztere insbesondere war die
bevorzugte Wissenschaft der nüchtern Denkenden geworden, und dass
dem so war, dazu waren wieder politische Verhältnisse die Veran-
lassung. Die philosophischen Griechen waren die Unterthanen eines
fremden Reiches geworden, dessen Gepräge sich auch ihnen um so
deutlicher aufdrückte, je näher ihnen der Mittelpunkt des Reiches
rückte. Die geistige Aufgabe dieses Reiches war eine andere. Ihm
war es beschieden, die Rechtswissenschaft zu begründen. Seine leiten-
den Gedanken gab aber ein anderes Volk als die Griechen an, ein
Volk, welches der Mathematik gegenüber grade den höchstens erhalten-
den Charakter an den Tag legte, den wir seit den Neuplatonikern
deutlicher und deutlicher sich offenbaren sahen: das Volk der Römer.

IV. Römer.

31^

25. Kapitel.
Aelteste Reclienkimst und Feldmessung.

Wenn wir die Geschichte der Mathematik, wie sie auf italieni-
schem Boden geworden ist, zum Gegenstande unserer Untersuchung
machen, so müssen wir fast mehr als bei anderen Schauplätzen
menschlicher Gesittung uns hüten Verschiedenartiges durcheinander
zu mengen. Der Süden Italiens ist es gewesen, wo die hellenische
Bildung des Pythagoräismus ihre Blüthe hatte. Das geographisch
von Italien nicht zu trennende Sicilien hat die mächtige Küstenstadt
Syrakus entstehen sehen, und es ist ein halbwegs berechtigter Na-
tionalstolz italienischer Gelehrter, wenn sie Pythagoras und Archi-
medes ihre Landsleute nennen. Aber freilich mehr als nur halb-
berechtigt können wir diese Ansprüche auf den Ruhm der grössten
Mathematiker des Alterthums für die eigne Vergangenheit nicht
nennen, weil unserer Auffassung gemäss das Volk und die Sprache
vor dem Lande die Zugehörigkeit bestimmt, und deshalb waren uns
jene Männer Griechen. Zwischen den von Norden kommenden
Kriegern, unter deren Streichen Archimedes verblutete, nachdem er
seine Vaterstadt gegen sie lange vertheidigt hatte, und denen, die
im gleichen Dialekte mit Archimed sprachen und schrieben, muss
die Kulturgeschichte eiaen Gegensatz erkennen lassen. Wir denken
diesen Gegensatz recht laut zu betonen, wenn wir in diesem Ab-
schnitte unseres Bandes überhaupt nicht von italischer, sondern von
römischer Mathematik reden. Mag ja auf italischem Boden
Mancherlei an mathematischem Wissen vorhanden gewesen sein noch
bevor Rom entstand. Wir leugnen es so wenig, dass wir den Spuren
nachzugehen bemüht sein werden. Immer aber soll, was wir finden,
unter dem römischen Sammelnamen vereinigt werden.

Ueber die älteste Geschichte der Bevölkerung des Landes von
Nordosten her sind die Akten noch keineswegs abgeschlossen, wenn
man auch gegenwärtig der Annahme zuneigt, eine altitalische Nation
habe sich gebildet in der Ebene des Po, nachdem sie vorher von

486 25. Kapitel.

den Hellenen, dann von den Kelten sich getrennt hatte ^). Von dort
ging der Zug nach Süden und trieb ältere Bewohner vor sich her,
vielleicht verwandt mit den Sikulern, den Einwohnern von Sicilien,
deren Name in alten ägyptischen Urkunden zu den bekanntesten ge-
hört. Wann diese Ereignisse stattfanden, ob mehr als 1000 Jahre
vor unserer Zeitrechnung, wie aus der Zusammenstellung mit Per-
sönlichkeiten des trojanischen Krieges, die vielleicht mehr als eine
Sage ist, hervorgehen könnte, darüber schwebt wieder tiefes Dunkel,
kaum erhellt seit Auffindung jener alten Todtenstadt am Albaner-
see-), deren Graburnen unter einer Aschendecke vulkanischen Ur-
sprungs sich erhalten haben, über welche Jahrhunderte einen Pflanzen-
wuchs hervorriefen, der selbst wieder in einer einen halben Meter
mächtigen Peperinschicht eine zerstörende und zugleich schützende
Decke fand. Welche Rolle bei den Wanderungen und Niederlassungen
auf der apenninischen Halbinsel die Etrusker spielten, welchem Völker-
stamme überhaupt diese angehörten, ist ein weiterer Gegenstand
wissenschaftlichen Zweifels, und dieser Zweifel erstreckt sich so weit,
dass man nicht einmal darüber einig ist, ob diejenigen Sitten und
Gebräuche thatsächlich als etruskisch gelten dürfen, welche römisch-
priesterliche Ueberlieferung uns als etruskisch bezeichnet hat.

Wir können und müssen uns genügen lassen, auf das Vor-
handensein dieser vielen Räthselfragen von ausgesuchter Schwierig-
keit hinzuweisen, so wichtig deren Lösung grade für die Geschichte
der Mathematik wäre. Den Etruskern nämlich gehören muth-
masslich die Zeichen an, welche als Zahlzeichen den Römern
dienten, ihnen wird zugeschrieben, was als praktische Feld-
messung der Römer sich erhalten hat.

Wir wollen mit den Zahlzeichen unsere Erörterungen be-
ginnen. Zahlenbezeichnung, wenn auch nicht durch Zahlzeichen,
war es, wenn die Etrusker, wenn ihnen folgend die Römer in dem
Heiligthume der Minerva alljährlich einen Nagel einschlugen, um die
Zahl der Jahre vorzustellen''). Zahlzeichen sind diejenigen Cha-
raktere, welche allmälig zu Buchstabenform sich abändernd das bilden,

*) H. Nissen, Das Templum, antiquarische Untersuchungen. Berlin, 1869.
Vergl. besonders Kapitel IV. Italische Stammsagen. ^) De Rossi in den Annal.
delV Instit: 1867, pag. 36 sqq. ^) Livius VII, 3. Vergl. für andere Stellen
Fried lein, Die Zahlzeichen und das elementare Rechnen der Griechen und
Römer und des christlichen Abendlandes vom 7. bis 13. Jahrhundert. Erlangen,
1869, S. 19. Noch andere Analoga wie z. B. einzelne Striche, farbige Steinchen
als Zahlenbezeichnung sind mit Beispielen belegt bei Rocco Bombelli, Studi
archeologico-crüici circa Vantica numerazione italica Parte I. Roma, 1876,
pag. 31.

Aelteste Rechenkunst und Feldmessung. 487

was gegenwärtig als römische Zahlzeichen bekannt ist^). Wie die
gauze Schrift der Römer und der Etrusker bei hervorragender Aehn-
lichkeit es doch auch an wesentlichen Unterschieden nicht fehlen
lässt, die eine unmittelbare Ableitung der einen aus der anderen zur
Unmöglichkeit machen, ist seit einem halben Jahrhundert festgestellt.
Schon die linksläufige Schrift der Etrusker gegenüber von der rechts-
läufigen der Römer deutet darauf hin, dass der Ursprung jener in
eine Zeit zu setzen ist, während deren die Griechen noch nicht durch
die Uebergangsperiode einer in der Richtung von Zeile zu Zeile
wechselnden Schrift hindurchgegangen waren, wogegen die römische
Schrift diese Veränderung bereits voraussetzt. Die Annahme nicht
unmittelbarer Ableitung aus einander findet noch Bestätigung darin,
dass im römischen Alphabete das altgriechische Koppa als Q er-
halten ist, welches die Etrusker nicht kennen, während umgekehrt
manche Buchstaben dem tuskischen Alphabet angehören, die dem
römischen fehlen. Wann das etrurische Alphabet, welches nach
Tacitus") durch den Korinther Demaratus nach Italien kam, daselbst
zur Einführung gelangte, wissen wir ungefähr. Es wird zwischen
650 und 600 v. Chr. gewesen sein^). Die Trennung des römischen
Alphabetes von dem gräkoitalischen Mutterstamme ist nicht zeitlich
so bestimmt, doch muss sie jedenfalls eingetreten sein, bevor die
Benutzung der Buchstaben als Zahlzeichen den Griechen bekannt
war, also (S. 111) vor 500 v. Chr., denn bei den Römern sind nie-
mals nach griechischem Muster die aufeinanderfolgenden Buchstaben
des Alphabetes als Zahlzeichen verwerthet worden'^). Und dennoch
sehen die ältesten Zahlzeichen der Römer, sehen die der Etrusker
Buchstaben ungemein gleich und ähneln sich unter einander so sehr
(vergleiche die hinten angeheftete Tafel), dass die vorhandenen üeber-
einstimmungen immöglich als Zufälligkeiten erklärt werden können.
Zufällig erscheint vielmehr die Verwandtschaft mit den späteren
römischen Zeichen I V X L C M, welche aus der Aehnlichkeit mit
Buchstaben durch Volksetymologie sich in diese Buchstabenformen
selbst verwandelten, noch ein Zeichen D für 500 zwischen C und M
und ein Zeichen q vielleicht aus VI entstanden, für die 6 sich an-
eignend und C und M mit den Anfangsbuchstaben der Wörter centum

') Ottfried Müller, Die Etrusker Bd. II, S. 312 — 320. Breslau, 1828.
Th. Mommsen, Die unteritalischen Dialekte (besonders S. 19 — 34). Leipzig,
1850. Math. Beitr. Kulturl. S. 161 ügg. Friedlein 1. c. S. 27 ügg. R. Bom-
belli 1. c. pag. 33. '^) Tacitus, Annales XI, 14. ^) A. Riese, Ein Beitrag
zur Geschichte der Etrusker. Rhein. Museum für Philologie (1865) XX, 295 — 298.
*) Ueber andere Benutzung von Buchstaben als Zahlzeichen bei Römern in ver-
muthlich recht später Zeit vergl. Friedlein 1. c. S. 20—21.

488 25. Kapitel.

und mille vergleiclieiKl. Der Ursprung der Zeichen für 5, 50, 500
ist wie ziemlieli allgemein zugestanden wird, in der Halbirung der
Zeichen für 10, 100, 1000 zu finden, und nur die Entstehung dieser
letzteren bleibt strittig. Am glaubhaftesten dürfte die mit Belegung
durch reiches inschriftliches Material wahrscheinlich gemachte Ver-
muthung sein^), dass die Becussatio, Verzehnfachuug, jeweils durch
Hinzutreten einer neuen Kreuzung des vorhandenen Zeichens mittels
eines hinzutretenden graden oder gekrümmten Striches hervorgebracht
worden sei.

Neben der alphabetischen Reihenfolge ist auch die Benutzung
der Anfangs-Buchstaben von Zahlwörtern als Zeichen für die Zahlen
begreiflich nächstliegend, und so erscheint die Frage nicht müssig,
ob vielleicht die Buchstabenähnlichkeit der tuskischen Zahlzeichen
so erklärt werden könne? Es ist bisher den Gelehrten, welche mit
etruskischen Studien sich beschäftigt haben, nicht möglich gewesen
diese Frage vollgiltig zu beantworten, doch neigen sie zur Verneinung
derselben. Wie schwierig übrigens die Beantwortwortung ist, geht
schon daraus hervor, dass der Wortlaut der etruskischen Zahlwörter
keineswegs feststeht. Man hat im Jahre 1848 alte etruskische
Würfel gefunden, deren sechs Flächen mit Wörtern beschrieben sind,
welche man mach, thu, zal, huth, ki, sa liest"'^). Man hat allseitig
diese Wörter für die Namen der sechs ersten Zahlen gehalten, aber
man ist uneinig darüber, welche Zahl jedes einzelne Wort bedeute^).

Sei nun der Ursprimg der tuskisch- römischen Zeichen welcher
er wolle, eines tritt bei beiden Völkern hervor, was als hochbedeut-
sam hervorgehoben werden muss: die subtr aktive Bedeutung
eines Zeichens kleineren Werthes, sofern es vor einem Zeichen
höheren Werthes, also bei den Etruskern rechts, bei den Römern
links von demselben auftritt, wie IV = 4, IIX = 8, IX = 9, XL = 40,
XC = 90, CD = 400, wovon das Zeichen für 8 schon zu den Selten-
heiten gehört^). Die subtraktive Schreibung kaim sehr wohl den
Zweck der Raumersparung gehabt haben. Darum ist IIX statt VIII
möglich, HIV statt VII unmöglich^). Ein sprachliches Subtrahiren

*) Zangemeister in den Monatsberichten der Berliner Akademie vom
10. November 1887. -) Bulletino delV Instituto di correspondenza archeologica.
Roma, 1848, pag. 60, 74. ^) Vergl. Zeitschr. Mathem. Phys. XXII, Histor.-
literar. Abthlg. S. 55, wo die Ansichten von Isaac Taylor denen der italieni-
schen Gelehrten gegenübergestellt sind. *) Die subtraktiven Ziffern sollen bei
den Etruskern häufiger als bei den Römern zur Anwendung gekommen sein.
Corssen, Ueber die Sprachen der Etrusker I, 39 — 41 (Leipzig, 1874) gibt
XIIIXX = 27, f III = 47, auch das zweimal subtrahirende f XII = 50 — 10 —
2 = 38 als etruskisch an. ^) Th. Mommsen, Zahl- und Bruchzeichen. Hermes
XXII, 5'JG— G14, insbesondere S. 603—605 über die subtraktive Bezeichnung.

Aelteste Rechenkunst und Feldmessung. 489

haben wir (S. 11) auch bei der Bildung der Zahlwörter anderer
Völker in Erwägung ziehen dürfen, nirgend aber als bei den Etrus-
kern und Römern findet sich die Subtraktion in den Zeichen ver-
sinulicht, und es gehört zu den weiteren Eigenthümlichkeiten, dass
Zeichen und Sprache bei den Römern sich nicht decken. Schriftlich
ist die Subtraktion nur bis X, nicht bei den späteren Zehnern in
Gebrauch, wie sich auch leicht verstehen lässt, weil z. B. IXXX dem
Zweifel Raum gäbe, ob 29 (XXX weniger I) oder 11 (XX weniger
IX) gemeint sei. Deutlichkeitsgründe waren es auch, welche dafür
den Ausschlag gaben, dass auf Schwertklingen Villi statt IX ge-
schrieben wurde, weil dieses, je nach der Seite, von welcher man die
Klinge betrachtete, mit XI verwechselt werden konnte. Dagegen
wird sprachlich die Eins wie die Zwei nie von Zehn, sondern nur
von den Zehnern: Zwanzig bis 100 abgezogen. Wir fügen hinzu,
dass die Römer gleichfalls allein unter allen Völkern subtraktiver
Ausdrücke ' auch bei Datirungen ihrer Monatstage sich bedienten.
Wir werden endlich sehen, dass das Rechnen der Römer mit grosser
Wahrscheinlichkeit eben dieses Subtrahiren in Gestalt complemen-
tärer Methoden verwerthet.

Was die schriftliche Darstellung von Zahlen über Tausend be-
trifft, so ist zu verschiedenen Zeiten wahrscheinlich verschiedentlich
verfahren worden. Eine Uebereinstimmung in der Auffassung der
einzelnen Stellen ist indessen nicht vorhanden^), nur die vertausend-
fachende Wirkung eines über Zahlzeichen hinweggezogenen Hori-
zontalstriches z.B. XXX = 30000, C = 100 000, M = 1000 000
scheint ausser Zweifel.

Wenden wir vms zu den Zahlen unterhalb der Einheit, zu den
Brüchen, so stehen wir hier vor einem ausgesprochenen Duo-
decimalsystem. Wir haben es mit einem ähnlichen Gedanken zu
thun wie bei dem Sexagesimalsystem der Babylonier und der grie-
chischen Astronomen. Nur dass dort der jedesmalige Zähler seiner-
seits angeschrieben wurde, als wenn er als ganze Zahl vorhanden
wäre, und der Nenner durch Stellung oder durch ein eigenthümliches
dem Zähler anhaftendes Zeichen, Strichelchen oder dergleichen sich

kund gab; bei den Römern sind dagegen für alle Zwölftel von . ^ bis

zu - besondere Bruchzeichen und Bruchnamen vorhanden. Die

Aehnlichkeit beider Systeme zeigt sich beispielsweise in Ausdrücken

1) Th. Mommsen 1. c. 2) Math. Beitr. Kulturl. S. 162—165. Th. H.
Martin in den Annali di matcmatica (1863) V, 295—297. Friedlein 1. c.
S. 28—31.

490 25. Kapitel,

wie anderthalb Zwölftel. Unseren Begriffen nach ist das weit um-
ständlicher gesprochen, als wenn wir ein Achtel sagen; dem Römer
ist offenbar dieses Umständlichere das Einfachere und Fasslichere,

weil er eben ein Zeichen für -^, sowie für die Hälfte von — besitzt,
ein solches für — dagegen nicht hat^). Auch der Grieche würde

nur von sieben Sechzigsteln und von 30 zweiten Sechzigsteln reden,
wenn er nicht neben und vor den Sexagesimalbrüchen die Stamm-
brüche besässe, die dem Römer fehlen. Eine weitere Aehnlichkeit
zwischen den Sexagesimalbrüchen und den römischen Duodecimal-
brüchen dürfte darin gefunden werden, dass beide von einer ganz
bestimmten Theilung hergenommen sind, also ursprünglich benannte
Zahlen waren, bis allmälig der Bruchgedanke über den des kleinen
Bogentheiles der Babylonier, des kleinen Gewichtstheiles der Römer
die Oberhand gewann. Wie alt freilich die Bruchzeichen bei den
Römern gewesen sein mögen, ist nicht genau zu ermitteln. Etrus-
kische Inschriften-) von muthmasslich hohem Alter enthalten das

Zeichen Fl = - • Andererseits lässt ein Ausspruch von Varro die
Deutung zu, als sei die kleinste Brucheinheit von ^^ As in der Zeit

vor den punischen Kriegen entstanden^). Die Frage, wie man zu
dem Systeme fortgesetzter Zwölftheilung gekommen sei, lässt sich,
gleich vielen ähnlichen Fragen, leichter stellen als beantworten.
Möglicherweise ist an die von der Natur gegebene, auf den gegen-
seitigen Stellungen von Sonne und Mond am Himmel beruhende
Zwölftheilung des Jahres in Monate als Ursprung zu denken. Wenn
auch Romulus in erster Linie ein Jahr von zehn Monaten einsetzte,
so sind doch zwölf Monate von der Sagengeschichte mit dem Namen
des Königs Numa oder des älteren Tarquinius in Verbindung gebracht,
also vielleicht älter als die römischen Gewichte.

Es erscheint zweckmässig hier anzuknüpfen, was man über
das gewöhnliche Rechnen der Römer weiss mit Ausschluss eines
denselben vielleicht bekannten wissenschaftlichen Rechnens,
von welchem unter Boethius die Rede sein muss. Das gewöhnliche
Rechnen wird wohl auf dreierlei Art geübt worden sein: als Finger-

') Auch noch Volusius Maecianus, der ia der Mitte des II. S. n. Chr.
lebte (vergl. Mommsen in den Abhandlungen der Sachs. Gesellsch. der

, 4

Wissensch. III, 281—285. 1853), setzt in seinen Zeichen -— = —-• ^) Vergl.

o 1^

Corssen 1. c. ^) Varro, De re rustica I, 10: Habet iugenim scriptula
CCLXXXVIII quantum as antiquus noster ante bellum l'unicum jJendebat.

Aelteste Rechenkunst und Feldmessung. 491

reclmen, als Rechnen auf einem Rechenbrett, als Rechnen unter Be-
nutzung vorhandener Tabellen.

Das Finger rechnen hat die älteste Ueberlieferung für sich,
indem nach Plinius') schon König Numa Zahlendarstellung mittels
der Finger kannte. Er Hess nämlich ein Standbild des doppelt-
beantlitzten Janus errichten, dessen Finger die Zahl 355 als Zahl
der Jahrestage andeuteten. Ein späterer römischer Schriftsteller,
Macrobius"), weiss von derselben Sitte den Janus mit gekrümmten
Fingern abzubilden, nur nennt er nicht König Numa als Urheber
und gibt die dargestellte Zahl der Jahrestage zu 365 an, offenbar
dem späteren römischen Jahre diese Zahl entnehmend, ohne dass ein
altes Bildwerk ihm vor Augen gewesen wäre. Martianus Capella^)
lässt die als Göttin auftretende Arithmetik die Zahl 717 mittels der
Finger darstellen. Neben diesen Angaben ganz bestimmter durch
Fingerbeugung angedeuteter Zahlen kann man noch viele Stellen
römischer Schriftsteller aus den verschiedensten Zeiten anführen,
welche das Fingerrechuen im Allgemeinen bestätigen. Die rechte
Hand, sagt Plautus*), bringt die Rechnung zusammen. Mit Wort
und Fingern lässt Suetonius^) die Goldstücke abzählen. Bei Quin-
tilian^) ist von einer Abweichung von der Rechnung durch unsichere
oder unschickliche Bewegung der Finger die Rede und ähnlich bei
Anderen'^). Wir führen nur eine Stelle noch besonders an, weil sie
die fortschreitende Reihenfolge von links nach rechts bestätigt, welche
wir zuletzt noch bei Nikolaus Rhabda (S. 480) als Regel kennen ge-
lernt haben. JuvenaP) lässt nämlich den mehr als Hundertjährigen
die Zahl seiner Jahre schon an der rechterf Hand zur Darstellung
bringen. Eine ausführliche Beschreibung, wie man Zahlen durch
Fingerbewegungen kenntlich mache, von Beda Yenerabilis, dem
schottischen Mönche aus dem VIT. imd VIII. S., gehört bereits der
Litteratur des Mittelalters an, und wird uns im 38. Kapitel be-
schäftigen.

Vielleicht mit jener mittelalterlichen Verbreitung des Finger-
rechnens, vielleicht aber auch schon mit römischen Gewohnheiten
sind Spuren in Verbindung zu setzen, welche bis auf den heutigen

') Plinius, Histor. natur. XXXIV, 16. ^) Macrobius, Conviv. Saturn.
I, 9. ^) Martianus Capeila, Satura VII init. ■*) Plautus, Mües (ßoriosus
Act. II sc. 3: Dextera digitis rationem computat. ^) Suetonius, Claudius
XXI . . . ut oblatos aureos voce digiticque numeraret. ®) Quintilian I: si digi-
torum solum incerto aut indecoro gestu a computatione dissentit. ') Eine Zu-
sammenstellung, bei welcher auch die Kirchenväter berücksichtigt sind, bei
Rocco Bombelli 1. c. pag. 101--107. ^) Juvenalis, Sat. X, v. 248 suos jam
dextra computat annos.

492 25. Kapitel.

Tag sich erhalten haben. In der Wallache!^) bedient man sich der
Finger, um das Produkt zweier einziffriger Zahlen, die grösser als
5 sind, zu finden. Die Finger jeder der beiden Hände erhalten vom
Daumen zum Kleinenfinger aufsteigend die Werthe 6 bis 10. Hat
man nun zwei Zahlen, z. B. 8 mal 9 zu multipliziren, so streckt man
den Achterfinger (Mittelfinger) der einen und den Neunerfinger
(Kingfinger) der anderen Hand vor. Die nach dem Kleinenfiuger
hin übrigen Finger beider Hände (2 Finger und 1 Finger) multipli-
zirt man mit einander und hat damit die Einer (2 • 1 == 2) des Pro-
duktes. Die von den Daumen aus vorhandenen Finger mit Ein-
schluss der ausgestreckten Finger (3 Finger und 4 Finger) addirt
man und hat damit die Zehner (3 -|- 4 = 7) des Produktes
(8 • 9 = 72), Die Richtigkeit dieser complementären Multipli-
kation ist einleuchtend. Heissen a und b die zu vervielfältigenden
Zahlen, so sind 10 — a und 10 — h die noch übrigen Finger zum
Kleinenfinger hin , a — 5 und h — 5 die Finger vom Daumen an.
Die Regel lässt also (10 — a) • (10 — &) + 10(a — 5 -f & — 5)
= 100 - 10a —lQh-\-ah-\- 10a + 10& — \00 = al bilden. Der
Zweck, der erreicht wird, besteht darin, dass hauptsächlich nur der
Anfang des Einmaleins bis zu 4 mal 4 auswendig behalten werden
muss und die Erlernung der Abtheilung, die mit 6 mal 6 beginnt,
erspart bleibt.

Wenn wir nun die Muthmassung wagen, es sei hier römisches
Fingerrechnen zu verfolgen, so veranlassen uns dazu die eigenthüm-
lichen Thatsachen, dass die römischen Zahlzeichen VI, VII, VIII
oder IIX, Villi oder IX sehr leicht zur' Beachtung der Ergänzungs-
zahlen, die hier benutzt sind, führen konnten; dass ein ganz ähn-
liches Verfahren auch bei französischen Bauern gefunden worden
ist; dass wir im Mittelalter ähnlichen Regeln begegnen werden, die
im 40. Kapitel zu besprechen sind; dass auch ein complementäres
Divisionsverfahren unsere Aufmerksamkeit mehrfach in Anspruch
nehmen wird, für welches ein anderer Ursprung als ein römischer
zunächst nicht zu Gebote steht. Wir sagen zunächst, denn es wäre
immerhin möglich, dass auch die complementären Rechnungsverfahren
bis nach Griechenland verfolgt werden müssten, wenn die nöthigen
Voraussetzungen, wir meinen griechische Lehrbücher der Rechen-
kunst, vorhanden wären. Wir erinnern an jenes dem Nikomachus
zugeschriebene Verfahren die Quadrate von Zahlen zu finden
(S. 404), welches zwar mit der complementären Multiplikation sich

*) D. Pick in Hoffmann's Zeitschr. für math. und naturw. Unterricht V,

57 ^874).

Aelteste Rechenkunst und Feldmessung. 493

niclit deckt, aber eine entschiedene Familienähnlichkeit zn derselben
nicht verkennen las st.

Nächst dem Fingerrechnen war bei den Römern das Rechnen
auf dem Rechenbrette üblich und bildete einen Gegenstand des
elementaren Unterrichtes. Auch dafür ist eine ganze Anzahl von
Stellen gesammelt worden^), welche meistens auf einen mit Staub
überdeckten Abacus Bezug nehmen, auf welchem man alsdann geo-
metrische Figuren aller Art entwerfen konnte, welche man aber auch
im Stande war durch Ziehen gerader Striche in Kolumnen abzu-
theilen, welche mit Steinchen, calculi, belegt zum Rechnen dienten.
Die sogenannte Pariser Gemme, wahrscheinlich etruskische Arbeit,
zeigt einen Rechner, der in der Linken eine mit Zahlzeichen ko-
lumnenförmig (allerdings ohne abtheilenden Strich) bedeckte Tafel
hält^), während er mit der Rechten Steinchen auf einen Tisch legt.
Neben diesem somit für römische Uebung gesicherten Kolumnen-
abacus gab es aber auch einen Abacus mit Einschnitten und in diesen
Einschnitten verschiebbaren Knöpfchen. Vier solcher Vorrichtungen^)
haben sich bis in die neuere Zeit erhalten, darunter wenigstens eine,
deren alterthümlicher Ursprung von dem Beschreiber ganz besonders
hervorgehoben worden ist^).

Eine solche römische Rechentafel, eigens zum Rechnen, nicht
zu mehrfachem Gebrauche hergerichtet, war von Metall und hatte
acht längere und acht kürzere Einschnitte, je einen von jenen mit
einem von diesen in gerader Linie. In den Einschnitten waren be-
wegliche Stifte mit Knöpfen, in einem der längeren fünf Stück, in
den übrigen vier, in den kürzeren je einer. Jeder längere Einschnitt
war oben, also nach der Seite, wo der kürzere Einschnitt ihn fort-
setzte, mit einer Ueberschrift versehen. Der Gebrauch der Rechen-
tafel ergibt sich von selbst. Sie wurde mit zu dem Rechner senk-
rechten Einschnitten auf eine beliebige Unterlage aufgestellt, zu
welchem Zwecke unten an der Tafel Füsschen angebracht waren.
Dem Rechner am nächsten waren, wie wir schon andeuteten, die
längeren Einschnitte; die kürzeren waren weiter von ihm entfernt.
Die Marken in den längeren Einschnitten bedeuteten einzelne Ein-
heiten ihrer Klasse; die in den kürzeren Einschnitten galten fünf
solcher Einheiten. Nur der erste kürzere Einschnitt von rechts
bildete dabei eine Ausnahme, indem dessen einzelne Marke sechs Ein-

^) Rocco Bombelli 1. c. pag. 116 sqq. ^) Zangemeister, Monats-
bericMe der Berliner Akademie vom 10. November 1887. Die Tafel ist auf
S. 11 des Sonderabzuges abgedruckt. ^) Deren Beschreibung bei Becker-
Marquart, Handbuch der römischen Alterthümer Y, 100. ■•) Claude du Mo-
linet, Le cabinet de la bibliotheque de Ste. Genevieve. Paris, 1692, pag. 25.

494 25. Kapitel.

heiten bedeutete. Dieser äusserste Einschnitt (sofern man die beiden
Einschnitte, den längeren und den kürzeren, nur als Abtheilungen
eines einzigen in der Mitte unterbrochenen Einschnittes betrachtet)
war nämlich mit 0 bezeichnet und enthielt die Unzen, deren 12 auf
eine Ass gingen. Die übrigen für die Asse bestimmten Einschnitte
trugen in nach links dekadisch aufsteigender Reihenfolge die Bezeich-
nungen I, X, C u. s. f. bis zu IXI oder einer Million. Der erste
Einschnitt von rechts aus konnte darnach zur Angabe von 11 Unzen
noch dienen, wenn man die ursprünglich so weit als möglich von
einander getrennten Knöpfchen der beiden Abtheilungen sämmtlich
gegen die Mitte des Brettes vorschob, wo die schriftlichen Bezeich-
nungen standen, und so einander näherte. An diesem Orte erhielten
sie den Zählwerth von fünf einzelnen Unzen und einer Sechsunzen-
marke. Kamen dann noch weitere Unzen hinzu, so ersetzte man ihrer
1 2 durch eine gegen die Mitte vorgeschobene Marke der nächsten Linie,
d. h. der Einheiten der Asse. In den folgenden sieben Einschnitten
konnte man durch ähnliches Verfahren bis zu je neun Einheiten in
jeder Klasse von den Einern bis zu Millionen von Assen darstellen.
So zeigten drei verschobene Knöpfe in einem längeren Einschnitte
und der einzelne in dem zugehörigen kürzeren Einschnitte gleichfalls
nach der Mitte des Abacus fortgerückt die Zahl 8 in der entsprechen-
den Klasse an. Neben den Einschnitten der Unzen waren noch drei
kleinere Einschnitte, die beiden oberen mit je einer Marke, die
unterste mit zwei Marken versehen. Die Bedeutung dieser Ein-
schnitte war den beigeschriebenen Zeichen zufolge von oben nach
unten die halbe Unze semuncia, die viertel Unze siciliquus, die drittel
Unze duella. Das alles ergibt sich aus der Betrachtung der Rechen-
tafel selbst mit Ausnahme dessen, was wir über die nöthige Ver-
schiebung der Knöpfchen bemerkt haben, und wofür wir eine alter-
thümliche Quelle anzugeben allerdings nicht im Stande sind. Es
muss eben der Natur der Sache nach so oder umgekehrt verfahren
worden sein, und da scheint uns, dass die Uebersicht wesentlich er-
leichtert ist, wenn die wirklich zu zählenden Knöpfchen in der Mitte
des Brettes vereinigt waren, dicht bei den Zeichen, die den Werth
des einzelnen Knöpfchens angaben, dass also, wo die Nützlichkeit
den Ausschlag geben durfte, nicht leicht eine andere Wahl getrojGfen
worden sein wird, als die wir andeuteten.

Auf diesem Rechenbrette konnten, wie auf jedem ähnlichen
Apparate mit festen Marken, Additionen und Subtraktionen leicht
vollzogen werden. Wollte man multipliziren oder dividiren, so war
es nöthig die Zahlen, an welchen jene Operationen vorgenommen
werden sollten, besonders, etwa schriftlich, anzumerken, und der Abacus

Aelteste Reclienkunst und Feldmessung. 495

vermittelte nur die Vereinigung der Theilprodukte^ beziehungsweise
die Subtraktionen der aus den Theilquotienten entstandenen Zahlen.

Dabei war ein Kopfrechnen mit Benutzung des Einmaleins
nicht zu umgehen, und bei diesem konnte vielleicht die beschriebene
Fiugermultiplikation Anwendung finden. Wir wissen, dass römische
Knaben in ihren Schulen im Kopfrechnen geübt wurden, dass dem
Vorübergehenden die einförmigen Töne des 2 mal 2 sind 4, bis bina
quatuor, welches die Knaben gemeinsam herzusingen (decantare)
hatten, entgegenzudringen pflegten, dass damit noch andere Misstöne
sich häufig genug vereinigten, das Klatschen der Ruthe oder der
Peitsche und das Heulen der in solcher Weise Unterrichteten.

Kamen freilich Multiplikationen hoher Zahlen, oder gar solche
von Brüchen vor, so nutzte dem ungeübten Rechner nicht Rechen-
brett noch gewöhnliches Einmaleins, er musste die Produkte von
einem tabellarisch geordneten Rechenknechte hernehmen, und
das ist es, was wir weiter oben ein Rechnen unter Benutzung vor-
handener Tabellen genannt haben. Ein solcher Rechenknecht hat
sich erhalten, dessen freilich sehr später Verfasser überdies nicht auf
italischem Boden lebte. Gleichwohl wird ein Zweifel darein nicht
gesetzt werden können, dass es Römisches und nur Römisches ist,
was hier vorhegt, mag auch darüber gestritten werden können, ob
ältere Musterwerke bloss benutzt oder geradezu abgeschrieben sind.

Wir meinen den Calculus des Victorius^), eines Schrift-
stellers, der mitunter aber wahrscheinlich unrichtig auch Victor inus
genannt wird. Seine Persönlichkeit bestimmt sich dahin, dass er aus
Aquitauieu stammte und im Jahre 457 n. Chr. eine sogenannte Oster-
rechnung, d. h. eine Anleitung zur Auffindung des richtigen Oster-
datums verfasste. Vor oder nach diesem canon paschalis, das Eine
ist eben so gut möglich als das Andere, richtete der als eifriger und
gewissenhafter Rechner von seinen Commentatoren gerühmte Victorius
diese Tabellen her, aus welchen Vervielfältigungen sowohl ganzer als
gebrochener Zahlen in grosser Ausdehnung entnommen werden können.
Mathematischer Werth ist den Tabellen selbstverständlich nicht bei-
zulegen. Wir müssen nur bemerken, dass auf ihnen eigenthümliche
Bruchzeichen sich befinden, verschieden von denen der älteren Schrift-
steller, dagegen sich forterbend durch das ganze Mittelalter.

Bevor wir das Rechnen der Römer verlassen, fordert die eigen-
thümliche Anwendung eines gewissen Zahlwortes bei ihnen ein Wort

*) Vergl. Christ in den Sitzungsberichten der Münchner Akademie 1863,
S. 100—152. Dann Friedlein in der Zeitschr. Math. Phys. XVI, 42—79 (1871)
und im Bulletino Boncompagni 1871, pag. 443 — 463, wo der, wie es scheint,
zuverlässigste Text aus einer Vati c anhand sehr ift abgedruckt ist.

496 25. Kapitel.

der Besprechung: sexcenü = seclisliundert, welches in der Bedeutung
unendlich viele bei Schriftstellern fast jedes Zeitalters, so weit sie
sich erhalten haben, erstmalig aber bei Plautus um 200 v. Chr. vor-
kommt. Wir nehmen keinen Anstand bei einer vor langer Zeit ge-
äusserten Vermuthung^) zu verharren, diese sexcenti sei das chal-
däische ner. Wenn (S. 98) Chaldäer 139 v. Chr. aus Rom vertrieben
wurden, so darf man ihren damals erworbenen schädlichen Einfluss
für alt genug halten, dass etwa sechzig Jahre früher ein von ihnen
oftmals unbestimmt gebrauchtes Zahlwort sich in weiteren Kreisen
einbürgerte.

Wir leiteten diese Erörterungen, welche uns, wie man sieht,
chronologisch aber nicht mathematisch sehr weit geführt haben, mit
der Behauptung ein, wie die Zahlzeichen der Römer, so werde auch
deren praktische Feldmessung auf etruskische Ursprünge zurück-
geführt, sei nun die Ueberlieferung eine berechtigte oder nicht. Wir
wenden uns zu diesem zweiten Gegenstande, welcher ebenfalls eine
weitläufigere Erörterung fordert.

Der älteste uns bekannte römische Schriftsteller, welcher mit
nicht misszuverstehenden Worten es ausspricht, die Art, wie die Be-
grenzungen festgestellt werden, rühre von den Etruskern her^), ist
Varro etwa 50 bis 80 Jahre vor dem Anfange der christlichen Zeit-
rechnung, und von ihm aus begegnen wir dieser Ueberlieferung durch
Jahrhunderte.

Die Begrenzungen, von denen die Rede ist, sind sehr allgemeiner
Natur. Demselben Grundgedanken gehorchend finden sie sich überall,
wo es um gesetzliche räumliche Absonderung sich handeln kann, bei
der Anlage der Stadt wie des Lagers, bei der Vermessung des an-
gebauten Landes, bei dem Grundrisse des bürgerlichen Hauses wie
äes Hauses, als dessen Eigenthümer eine Gottheit gilt. Diese letztere,
der Tempel, führt sogar den Namen nach dem Abschneiden (te^vsLv)
aus dem umgebenden Grund und Boden, und ein templum ist bis zu
einem gewissen Grade jedes Grundeigenthum ■^). Wenn auch der Be-
griff des Templum in der römischen Religion und allen mit ihr zu-
sammenhängenden Verrichtungen eine massgebende Rolle spielt, er
hat sich gleichwohl so wenig aus dem des HeiHgen, Gottgeweihten
entwickelt, dass er sich mit diesem nicht einmal deckt. Eines der
höchsten Heiligthümer in Rom, das der Vesta, war sogar kein Tem-

') Mathem. Beiträge Kulturl. S. 362. -) Limitum prima origo, sicut Varro
descripsü, a disciplina Etrusca. Römische Feldmesser I, 27. [Unter dem Citate
„Römische Feldmesser" verstehen wir die Schriften der Römischen Feldmesser
herausgegeben und erläutert von F. Blume, K. Lachmann und A. Rudorff.
Berlin, 1848 und 1852.] ^) Nissen, Das Templum S. 7, 8, 10, 55 und häufiger.

Aelteste Rechenkunst und Feldmessung. 497

plum. Die städtisclie Anlage dagegen gehört unter den genannten
Begriff. Die italische Stadt nämlich entsteht nicht gleich der mo-
dernen und mittelalterlichen im langsamen Verlaufe der Zeiten von
einzelnen Häusern zum Dorf, vom Dorfe zur Stadt anwachsend. Sie
wird auf einmal geschaffen durch eine einzige politisch-religiöse Hand-
lung. Sie weiss ihren Gründer, ihr Gründungsjahr, oftmals ihren
Gründungstag zu nennen, den man dann alljährlich als städtisches
Fest feiert.

Die Bedingung, welche nun solcher Absteckung von Grenzen
die Gesetzmässigkeit verleiht, besteht darin ^), dass der Gesichtskreis
durch zwei senkrecht zu einander stehende Gerade in vier Theile ge-
schnitten werde, und dass die Geraden ein für alle Mal die Richtungen
für die Seiten der rechteckigen Einzelgebilde abgeben, mögen Häuser
oder Feldstücke, Zimmer oder Tempelräume diese Einzelgebilde sein.
Die beiden Richtungen werden überdies nicht willkürlich angenommen,
sondern sollen mit den Verbindungslinien der einander gegenüber-
liegenden Haupthimmelsgegenden übereinstimmen.

Wir erinnern uns, dass eine derartige Orientirung religiösen
Zwecken dienender Baulichkeiten uns auch an anderen Orten be-
merklich wurde, dass wir (S. 15) zum voraus ankündigten, wir würden
in der häufig vorkommenden Thatsache selbst keinen Grund erkennen,
eine Uebertragung von einem Volke zum anderen mit Nothwendig-
keit annehmen zu müssen. Wir finden es angemessen zusätzlich
hier zu bemerken, dass eine solche Uebertragung für die altitalischen
Orientirungen weniger als irgend sonstwo anzunehmen sein wird.
Jedenfalls hat hier und nur hier der Orientirungsgedanke eine Ent-
wicklung genommen wie sonst nirgend, hat er die Errichtung fast
jedes Gebäudes, fast jeder Verbindung von Gebäuden in so folge-
richtiger Weise, wie wir es schon andeuteten, beeinflusst. Nicht
bloss ein einzelner Tempel, die römischen Gesetzen unterworfene
Welt war nach einem einzigen rechtwinkligen Coordinatensysteme
geordnet^), und wir werden auf diesen Gedanken noch zurückzu-
greifen haben.

Die Abscissenaxe des gemeinsamen Systems war die Ostwest-
linie, dessen Ordinatenaxe die Südnordlinie oder Mittagslinie.
Allerdings zeigen die Trümmer von Tempeln, von Städteanlagen und
dergleichen, welche man genauer auf ihre Lage zu prüfen noch nicht

') Agrimensoren S. 65 flgg. -) Nissen, Das Templum S. 165: „Seit
Augustus war der Culturkreis des Mittelmeeres zu einem einzigen politischen
Ganzen geschlossen worden; das Templum, welches einst auf den palatinischen
Hügel beschränkt gewesen war, hatte sich ausgedehnt in immer weiteren Kreisen
und anjetzt war das letzte und grösste Templum constituirt worden."

Cantoh, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 32

498 25. Kapitel.

gar lange begonnen hat, nicht ganz unerhebliche Abweichungen von
der wahren astronomischen Mittagslinie. Es ist für unsere Zwecke
durchaus gleichgiltig, ob diese Verschiedenheiten unabsichtlich, ob sie
absichtlich entstanden sind; ob sie, wie man früher annahm, aus einem
ungeschickten Verfahren derer hervorgingen, welche die Richtungen
bestimmten, oder ob, wie eine jedenfalls geistreiche und genaue
Prüfung verdienende Vermuthung es wilP), die Richtung nach dem
Punkte des Sonnenaufgangs am Gründungstage des betreffenden
Tempels in der Abscissenaxe festgehalten werden sollte, einem Tage,
der selbst keineswegs willkürlich angenommen wurde, sondern der
jedesmalige Hauptfeiertag derjenigen Gottheit sein musste, welcher
das Heiligthum geweiht werden sollte.

Wir haben für die Grundrichtungen uns der ganz modernen
Namen der Coordinatenaxen bedient. Den Römern hiessen dieselben
Decimanus und Cardo, offenbar sehr alterthümliche Namen, wie man
gewiss mit Recht schon daraus gefolgert hat, dass als Abkürzung für
Cardo stets ein K benutzt worden ist, ein Buchstabe, der der römischen
Schrift im Uebrigen schon frühzeitig abhanden kam. Die Bedeutung
von Decimanus dürfen wir heute wohl nur als unbekannt be-
zeichnen-). Wie die antike Ableitung des Wortes Decimanus von
einem selbst mehr als zweifelhaften duocere, zweitheilen, weil der
Raum überhaupt in zwei Abtheilungen zerfällt worden sei, sprachlich
ganz und gar unhaltbar ist, so ruht eine moderne Ableitung, welche
Decimanus einfach aus decem entstanden wissen will, sachlich auf
gar schwachen Füssen. Die Italiker, sagt man, bedienten sich von
uralters her eines Decimalsystems. Der Zehnte macht daher die
Reihe voll, und die Linie, welche eine Flächeneinheit begrenzt, er-
hielt passend von ihm den Namen, grade wie diejenige, welche die
Flächeneinheit halbirt, die fünfte heisst. Wir vermögen diese Schlüsse
als genügend nicht anzuerkennen. Zuerst würde man uns nachweisen
müssen, dass die begrenzte Flächeneinheit wenigstens nach einer
Richtung die Seitenlänge 10 hatte, und dann müsste man uns noch
erklären, wie neben dem Worte via quintana für eine Querstrasse
auch die Wortverbindung decimana quintaria entstehen konnte, bevor
wir jene Deutung als gesichert anerkennen. Um so zweifelloser ist
Cardo die Angel, um welche das Weltall sich dreht, die Weltaxe.

Jedenfalls zog bei irgend einer Gründung der Augur^) zuerst

^) Diese Theorie ist von Nissen in seinem melirerwähnteu Werke über
das Templum aufgestellt. -) Vergl. Agrimensoren S. 66 mit Nissen, Das Tem-
plum S. 12 und 27. *) Der Name Augur wird (nach Nissen 1. c. S. 5, An-

merkung 1) von J. Schmidt mit aio, auctor, autumari, e'ox^G&ut, in Verbindung
gebracht.

Aelteste Eechenkunst und Feldmessung. 499

einen Decimanus, dann senkrecht zu ihm einen Cardo, und somit
sind es zwei praktische Thätigkeiten, welche er von Anfang an aus-
zuüben verpflichtet und folglich auch befähigt sein musste: die Ost-
westlinie zu bestimmen und zu einer gegebenen Geraden auf dem
Felde eine Senkrechte zu ziehen.

Für die Bestimmung der Ostwestlinie sind drei verschiedene
Methoden durch Hyginus, einen Feldmesser etwa aus dem Jahre
100 n. Chr. beschrieben. Die erste Methode^) richtete ein zum Visiren
geeignetes Instrument, von welchem wir noch zu reden haben, nach
dem Punkte des Horizontes, wo wirklich die Sonne aufging. Diese
Richtung wurde als Ostwestlinie, die zu ihr senkrechte als Cardo
bestimmt, und, fügt der Beschreiber im stolzen Gefühle seiner Ueber-
legenheit hinzu, um Mittag stimmte diese Mittagslinie nicht mit der
Wirklichkeit überein. Die zweite Methode-) befestigte auf geebneter
Grundlage einen senkrechten Stift als Schattennehmer, sciotherum,
und beschrieb um denselben als Mittelpunkt einen Kreis, dessen
Halbmesser kleiner als die grösste Schattenlänge des Stiftes gewählt
werden musste. Sowohl des Morgens als des Nachmittags musste
der Schatten einmal so lang werden, dass sein Endpunkt genau in
diesen Kreisumfang eintraf^ und die beiden Punkte, in welchen solches
stattfand, hatte man zu beobachten und anzumerken, endlich zu ver-
binden. Die Verbindungsgerade war der gewünschte Decimanus. Die
dritte Methode^) machte von drei ungleichen Schattenlängen Ge-
brauch, welche in kurz auf einander folgenden Zeitpunkten, aber
sämmtlich vormittags, auf der Grundebene des Sciotherums ver-
zeichnet worden waren.

Die letzte Methode, unter deren Vorzügen wir nur den einen
hervorheben wollen, dass sie unabhängig davon war, ob die Sonne
in einem gewissen Momente unbewölkt am Himmel stand und die
vorausbestimmte Schattenlänge wirklich liefern konnte oder nicht,
setzt Kenntnisse der Stereometrie in einem Maasse voraus, dass wir
ihre Entstehung nur bei einem Schriftsteller vermuthen dürfen, dessen
wissenschaftliche Bildung eine weit höhere war, als Römer sie je

') Hygini gromatici de Umitibus constituendis in Römische Feldmesser I, 170.
«) Hyginus, Römische Feldmesser I, 188—189. ^) Hyginus, Römische Feld-
messer I, 189—191. Vergl. Agrimensoren S. 68—69. Ueber diese Methode hat
schon Cristini geschrieben, Ton welchem 1605 in Turin ein Druckwerk herauskam:
Meihodus inveniendae meridianae lineae ex tribus umhris, simul cum parai^hrasi
in similem methodum conscriptum au Hygino Augusto Liberto. Vergl. Carteggio
inedito di Ticone Brahe, Giovanni Keplero etc. con Giovanni Antonio Magini
pubUicato ed illustrato da Antonio Favaro. Bologna, 1886, pag. 296, 302
und 304, Note 1.

32*

500 25. Kapitel.

besassen. Es muss eine griecliische Methode aus der Zeit entwickelter
Stereometrie sein, wenn es auch nicht möglich gewesen ist, sie bei
irgend einem der uns erhaltenen griechischen Astronomen aufzufinden.

Die von uns als zweite bezeichnete Methode dürfte, wenn auch
nicht der ältesten Zeit, doch einem erheblich früheren Zeitalter als
dem des Hyginus angehören. Ebendieselbe beschreibt nämlich auch
Vitruvius ') um das Jahr 15 v. Chr. Andrerseits kann sie in Rom
nicht früher als frühestens 250 v. Chr. etwa bekannt gewesen sein,
wie daraus hervorgeht, dass sie den Gebrauch einer Art von Sonnen-
uhr als bekannt annimmt, während eine solche nach einer Angabe
im Jahr 293, nach einer anderen gar erst 263 erstmalig in Rom auf-
gerichtet wurde-).

So bleibt uns als ältestes italisches Verfahren kein anderes übrig
als jenes dem Gedanken nach einfachste Hinschauen nach der Gegend,
wo die Sonne zuerst sichtbar wurde, ein Verfahren, welches bei aller
UnZuverlässigkeit doch eine erträgliche Orientirung liefern kann, wenn
es zu einer Jahreszeit vorgenommen wurde, welche nicht gar zu ent-
fernt von der Tagundnachtgleiche lag^).

Ihm war nur ein Apparat unentbehrlich, der wo möglich zwei
Zwecken zu dienen hatte: eine Richtung einzuvisiren, eine andere
Richtung senkrecht zur ersteren auf dem Felde zu bestimmen; von
einem solchen altitalischen Instrumente sprechen uns aber die Be-
richterstatter unter dem Namen Groma. Auch dieses Wort ist nach
Ursprung und Bedeutung keineswegs über jeden Zweifel erhaben^).
Die alte Annahme, groma komme von dem griechischen yvm^cov her,
ist unhaltbar, weil nicht bloss die beiden unter diesen Namen be-
kannten Dinge verschieden sind, sondern auch der griechische Gnomon
die Sonnenuhr, mit dem Namen in römische Schriftsteller Eingang
fand. Dagegen ist nicht ausgeschlossen, dass beiden Wörtern ein
und dasselbe Stammwort zu Grunde liege, ein Stammwort, welches
italisch geschrieben vielleicht gnorma hiess, und ein Senkrechtes im
Allgemeinen bedeutet haben mag, wie früher yvco^cov. Dieses gnorma
konnte sowohl in norma als in groma übergehen. Als aber die
Römer viel später den Gnomon der Griechen herübernahmen, mochte
die Ableitung des Groma längst aus dem Bewusstsein geschwunden
gewesen sein, so dass es möglich wurde, dass beide Bezeichnungen,
ursprünglich verwandt, jetzt unbedenklich zur Benennung zweier ver-
schiedener Vorrichtungen gebraucht wurden, nachdem der Heimaths-

1) Vitruvius Lib. I, Cap. 6, § 6. ^) Agrimensoren S. 71. *) Roms
Geburtstag wurde durch das l'arilienfest am 21. April begangen. Nissen, Das
Templum S. 166. *) Vergl. Agrimensoren S. 72 flgg. mit Hultschs Recension
in Fleckeisen und Masius, Jahrbücher der Philol.

Aelteste Rechenkunst und Feldmessung.

501

schein des älteren Wortes, wenn wir so sagen dürfen, verloren ge-
gangen war. Gegen diese im Allgemeinen sehr annehmbare Auffassung
lässt sich, so viel wir sehen, nur der eine nicht unbedenkliche Ein-
wand erheben, dass alsdann der Name, welchen das Groma (oder auch
cruma, wie es sich wohl findet) bei den Etruskern, welche eines
gleichen Instrumentes sich bedienten, besass, besessen haben muss,
spurlos verloren gegangen wäre, ein etwas misslicher Umstand gegen-
über von den verschiedenen älteren und jüngeren Namen, die sich
erhalten haben.

Solche jüngere Namen sind machinula und Stella, und wenn von
groma der Name der Feldmesser, gromatici, sich hergeleitet hat,
eine Art amtlicher Personen, die in ältester wie in jüngster Zeit eine
fest gegliederte Genossenschaft, fast eine Zunft, bildeten, wenn Groma
selbst auch den Platz in der Mitte der Hauptstrasse eines Lagers
oder einer Stadt bezeichnete, wo bei der Gründung das Instrument
aufgestellt worden war, so lässt die Variante Stella uns erkennen,
welcherlei Gestalt jenes Instrument gehabt haben muss. Es war der
Stern, welcher zu Herons Zeiten bereits
durch die Dioptra überholt noch immer bei
Einzelnen in Gebrauch war (S. 356). Was
aber aus diesem Namen geschlossen werden
konnte, findet Bestätigung in der Abbildung
eines Groma (Figur 80), die bei Ivrea auf
dem Grabsteine eines römischen Feldmessers
aufgefunden worden ist^). Das Groma war
wirklich ein Winkelkreuz, gebildet durch
zwei in horizontaler Ebene sich schneidende
Lineale und aufgestellt auf einem mit Eisen
beschlagenen Fussgestelle, dem ferramentum.
An den Enden der Lineale herabhängende
Bleisenkel, muthmasslich vier an der Zahl, wenn auch die Abbildung
auf dem Grabsteine nur noch deren zwei erkennen lässt, verbürgten
die wagrechte Aufstellung.

Mittels dieses Kreuzes Hessen in der That die beiden Handlungen
sich vollziehen, die wir den Auguren bei Absteckung des Templum
zuweisen mussten: es liess sich das eine Lineal in die Richtung nach
dem Aufgange der Sonne bringen, und das andere Lineal zeigte dann

') Gazzera liat die betreffende Grabschrift 1854 mit 33 anderen im XIV.
Bande der IL Serie der Abbandlungen der turiner Akademie veröffentlicht.
Cavedoni lenkte dann im Bulletino archeologico napoletano, nuoca seria, anno
1", die Aufmerksamkeit auf den 11. Stein mit der Abbildung des Groma. Vergl.
Giov. Eossi, Groma e sguadro 1877, pag. 43 und Figura 3.

502 26. Kapitel.

von selbst die dazu senkreclite Richtung an. Decimanus und Cardo
konnten abgesteckt werden. Noch eine weitere feldmesserische Ver-
richtung haben wir als uralt auf italischem Boden zu denken: die
Abmessung von bestimmten Strecken in gegebener Richtung, denn
die Ländereien waren in lauter gleiche Rechtecke abgetheilt, deren
Seiten ursprünglich wohl von gleicher Länge gewesen sein werden,
in späterer Zeit im Verhältnisse von 1 zu 2 standen ^).

Die Vereinigung des Groma mit der Messstange genügte alsdann
bereits zur Auflösung praktisch nicht im wichtiger Aufgaben, z. B.
der Aufgabe: die Breite eines Flusses von einem Ufer aus zu
messen ohne den Fluss zu überschreiten, eine Aufgabe, für welche
ein bestimmter Name, fluminis varatio, bekannt ist. Bei einem aller-
dings vermuthlich ziemlich späten Schriftsteller hat sich eine Methode
zur Lösung dieser Aufgabe erhalten^), die wohl mit Recht eine alt-
italische genannt und im Vergleich zu ganz ähnlichen Verfahnmgs-
weisen gebracht worden ist, zu welchen nordamerikanische Natur-
völker unbeeinflusst von europäischer Wissenschaft sich aufzuschwingen
vermocht haben. Das Verfahren ist nämlich, wenn auch zutreffend,
über die Maassen schwerfallig. Es zeichnet die nicht unmittelbar
zugängliche Länge selbst auf das Feld mittels congruenter Dreiecke
und lässt sie in dieser getreuen Wiederholung messen, statt dass Be-
rechnung einträte aus Verhältnissen von Seiten ähnlicher Dreiecke.

Mit diesen Bemerkungen haben wir aber keinenfalls zu wenig
der altitalischen Geometrie zugewiesen, Avelche somit als eine nur
dem täglichen Bedürfnisse gewidmete eines wissenschaftlichen An-
striches entbehrende sich kennzeichnet.

26. Kapitel.
Die Blütliezeit der römisclien (jeometrie. Die Agrimensoren.

Was ist bei den Römern im Laufe der Jahrhunderte aus alt-
italischer Rechenkunst, aus altitalischer Feldmessung geworden? Er-
scheint es doch unmöglich, dass eine Stadt, die als weltbeherrschender
Mittelpunkt bedeutende Männer aus allen Provinzen des grossen
Reiches anzuziehen wusste, nicht auch von solchen zum Wohnort
gewählt worden sein soll, welche der Mathematik sich befleissigten.

') Stellen dafür vergl. Agrimensoren Anmerkung 260. ^) Römische Feld-
messer I, 285 — 286. Vergl. Agrimensoren S. 108, Günthers Ilecension dieses
Buches in der Beilage zur Allgemeinen Zeitung, 21. März 1876 und Narrative
of the travels and adventv/res of Monsieur Violet etc. hy Capt. Marryat.
Chapter IX (Tauchnitz-Edition, pag. 64—65).

Die Blütbezeit der römischen Geometrie. Die Agrimensoren. 503

Wenn wir nur in Erinnerung bringen, was uns beiläufig begegnete:
in Rom bat im Jabre 98 n. Cbr. Menelaus Beobacbtungen angestellt
(S. 385), in Rom bat um 244 Plotinus seine vielbesucbte Scbule er-
öffnet (S. 428), in welcber gewiss aucb nacb damaligem Gesebmacke
modernisirte altgriecbiscbe Aritbmetik einen Gegenstand der Lebre
bildete. So mögen zu verscbiedenen Zeitpunkten in Rom Persönlicb-
keiten gelebt und gewirkt baben, die um Matbematik sieb kümmerten
— Spuren davon werden sieb deutlicb erkennen lassen — aber sie
waren beinabe verstoblener Weise Mathematiker. Was wir (S. 482)
scbon angedeutet baben, ist jetzt nur stärker zu betonen. Die ganze
geistige Anlage des römischen Volkes war nacb anderen Gebieten
gerichtet als der Matbematik, und das Wort Ciceros, die Geometrie
sei bei den Griechen in höchsten Ehren gestanden, deshalb sei nichts
glänzender als ihre Mathematiker, bei den Römern aber sei das Maass
jener Kunst durch den Nutzen des Rechnens und Ausmessens be-
grenzt^), hat fast für alle Zeiten Giltigkeit. Nur eine kurze Spanne
bildet vielleicht eine Ausnahme und gab Anlass zu Anfängen einer
eigenen mathematischen Literatur, die aber bald ausartete, so dass
nur Uebersetzungen oder bandwerksmässige Vorschriften neben bei-
läufigen Andeutungen das Material liefern, aus welchem wir Be-
lehrung ziehen.

Jene Ausnahmsperiode eröffiiete sich, während ein Mann an der
Spitze des römischen Staates sich befand, der selbst mathematischen
Sinn besass und als Schriftsteller in unserem Fache aufgetreten ist:
Julius Cäsar. Er bat ein Buch de astris verfasst^), welches in der
Mitte des I. S. n. Cbr. dem älteren Plinius vielfach als Quelle für
das XVIII. Buch seiner Naturgeschichte gedient hat, und welchem um
das Jahr 400 Macrobius das Beiwort eines nicht ohne Gelehrsamkeit
verfassten Werkes beilegte. Dasselbe hängt, wie man anzunehmen
berechtigt ist, mit einer Aufgabe zusammen, welche Cäsar sich als
seiner würdig gestellt hatte, mit der Aufgabe der Kalenderver-
besserung.

Das römische Jahr^), der Sage nach von König Romulus zu
304 Tagen angenommen, wurde durch Numa auf 355 Tage verlängert,
womit jenes Janusdenkmal zusammenhängt, dessen gekrümmte Finger
eben diese Zahl darstellten. Der noch immer mangelhaften Jahres-
länge wurde im Jahre 304 der Stadt durch die Decemvirn, wie es
scheint, mittels eines Scbaltmonates nachgeholfen, der alle zwei Jabre

') Cicero, Tuscul. Quaest. Lib. I, Cap. 2, § 5. ^) Agrimensoren S. 78 ^gg.
^) Ludw. Ideler, Handbuch der mathematischen und technischen Chronologie.
Berlin, 1826, Bd. II, S, 67 ^gg., 119—124 und 130—132.

504 26. Kapitel.

abwechselnd mit 22 und mit 23 Tagen eingeschoben wurde. Jetzt
war das Jahr wieder zu lang, und zwar nahezu um einen Tag, denn

4 . 355 + 22 + 23 = 1465 = 4 . 366^ • Es musste also von Zeit zu

Zeit ein Schaltmonat weggelassen werden, erst regellos, dann im
24jährigen Schaltcyklus. So trat allmälig eine heillose Unordnung
ein, so zwar, dass die Chronologie hinter dem wirklichen Jahre um
volle 85 Tage zurückblieb. Cäsar war eben siegreich aus dem alexan-
drinischeu Feldzuge zurückgekehrt, welcher die Jahre 48 und 47 in
Anspruch nahm, als er berathen von Sosigenes die chronologische
Frage ins Reine brachte, so dass die Vermuthung nahe liegt Sosi-
genes, der von Simplicius ein Aegypter, von Plinius ein Peripatetiker
genannt wird^), sei selbst Alexandriner gewesen, und habe noch aus
den Schätzen der alexaudrinischen Gelehrsamkeit schöpfend von der
Kalenderverbesserung aus dem Jahre 238 unter König Ptolemäus
Euergetes I. gewusst, deren wir (S. 313) gedacht haben. Jedenfalls
war Cäsars Einrichtung die gleiche, welche damals in Alexandria
getroffen worden war. Das Jahr 46 war das letzte Jahr der Con-
fusion, ein Name, welcher ihm geblieben ist. Die 85 fehlenden Tage
wurden in ihm eingeschaltet, und nun sollte jedes Jahr aus 365 Tagen
bestehen, und zur Ergänzung alle vier Jahre zwischen dem 23. und
24. Februar oder römisch gesprochen zwischen dem dies septimus
und sextus ante Calendas Martis ein Tag als bissextus eingeschaltet
werden, woraus der Name des bissextilen Jahres für das Schaltjahr
entstand.

Noch ein zweiter grosser Gedanke war in Cäsars Geiste erwacht
oder erweckt worden, der einer Vermessung des ganzen römi-
schen Reiches, wie sie unserer früheren Bemerkung (S. 497) gemäss
schon insofern nöthig war, als das ganze Reich ein Templum sein
musste, ein wohlorientirtes Eigenthum mit gleichmässig gerichteten,
gleichmässig abgesteckten Grenzen. Auch für diesen Gedanken war
Cäsar schriftstellerisch thätig, wenn man einer Aussage trauen darf,
welche den Ursprung römischer Feldmesskunst mit einem Briefe
Cäsars in Verbindung setzt ^). Doch leider ist von diesem Briefe so
wenig wie von der astronomischen Schrift ein eigentlicher Ueberrest
auf uns gekommen. War der Gedanke der Reichsvermessung durch
Andere in Cäsar angeregt worden, so müssen offenbar auch hier
Alexandriner mit im Spiele gewesen sein. Wenigstens waren es
Männer mit durchaus griechisch klingenden Namen, welchen ver-

*) üeber Sosigenes vergl. den von Baehr veifassten Artikel in Paulys
Realencyklopädie. ^) Nunc ad epistolam Julii Caesaris veniamus quod ad huius
artis originem pertinet. Römisclie Feldmesser 1, 31)5. ,

Die Blüthezeit der römischen Geometrie. Die Agrimensoren. 505

schiedeueu Quellen nach Cäsar die Ausführung seines Gedankens an-
zuvertrauen gedachte oder schon übertragen hatte, als er am 15. März
44 V. Chr. unter Mörderhand verblutete.

Augustus liess das Werk nicht unerfüllt'). Keinen Geringeren
als M. Yipsanius Agrippa betraute er mit der Leitung des ganzen
Unternehmens, und unter diesem scheint ein Oberwegemeister B albus
thätig gewesen zu sein, der Eine wie der Andere vielleicht nur mit
ihrem Namen bei der Angelegenheit betheiligt, um dem Unternehmen
wenigstens einen römischen Anstrich zu verleihen, wenn es von
Römern nicht ins Werk gesetzt werden konnte. Fühlte man auch,
dass Griechen allein fähig waren das Gewünschte zu leisten, so trug
man doch wohl eine gewisse Scheu sie den Ruhm ihrer Leistung
davontragen zu lassen, und so ist von der Reichsvermessung bald
des Augustus, bald des Agrippa, bald des Baibus die Rede, welche
die Zeit von 37 bis 20 v. Chr. im Ganzen in Anspruch genommen
haben dürfte. Ergebniss derselben war die Verbürgtermassen einst
vorhandene grosse Landkarte, welche den Namen des Agrippa führte,
und welche in einer besonders dazu aufgebauten Säulenhalle „der
Welt die Welt als Schauspiel darbot"-); Ergebniss die geogra-
phischen Commentarien des Agrippa, auf welche ganze Bücher aus
der Naturgeschichte des Plinius sich stützen.

Die gleiche Zeit ungefähr dürfen wir zuversichtlich als diejenige
betrachten, während welcher die mathematischen Schriften den
Römern einigermassen bekannt wurden, deren die griechischen Feld-
messer sich bei ihren Arbeiten bedienten, und deren Werth auch
für den Nicht-Sachverständigen aus der Trefflichkeit dieser Arbeiten
sich erschliessen liess. Was das aber für Schriften waren, ist keinem
Zweifel unterworfen. Es war vor Allen der „Heron", das feld-
messerische Handbuch des Alexandriners, welches so auf italischem
Boden Eingang fand. Es war aus ihm ebensoAvohl die Feldmesskuust
als die Feldmesswissenschaft zu erlernen, wenn wir diese beiden unter-
scheidenden Namen weiter gebrauchen, um durch den ersteren die
eigentlichen praktischen Arbeiten auf dem Felde, durch den zweiten
die daran anknüpfenden Rechnungen zu bezeichnen, welche letztere
wir auch wohl rechnende Geometrie nennen (S. 378). Jetzt ver-
drängte die vollkommenere Dioptra das alterthümliche Groma, jetzt
bürgerten sich Regeln zur Ausrechnung der Felder ein, während mau

^) Die letzte Schrift über die grosse Reichsvermessung ist die breslauer
Habilitationsschrift von J. Partsch, Die Darstellung Europas in dem geogra-
phischen Werke des Agrippa, 1875. Aeltere Literatur vergl. Agrimensoren
S. 82—84. ^) Plinius, Histor. natural. III, 2: Orbem terrarum orhi spectandum
propositarus erat.

506 26. Kapitel.

bisher vielleiclit jede derartige Regel entbehrte, ohne sie zu vermissen,
weil das ausgemessene Land in gleichmässigen Rechtecken von be-
kannter Grösse bestehend einer Flächenberechnung nicht bedurfte,
nicht ausgemessenes Land aber seinen Besitzer nicht leicht änderte;
wenigstens wurden nur über Besitzstücke mit gradlinigen, zu einander
senkrechten Grenzen Flurkarten öffentlichen Glaubens angefertigt.

Um die Zeit, zu welcher unter dem Einflüsse des Machthabers
die Veränderung römischen Geschmackes stattfand, welche nur zu
wenig nachhaltig sich erwies, als dass sie der Mathematik zu Fort-
schritten hätte verhelfen können, schrieb Marcus Terentius Varro,
der Freund des Cicero, des Pompejus, in späterer Zeit des Cäsar,
dessen Leben nach der wahrscheinlichsten Annahme die Jahre 116
bis 27 V. Chr. erfüllte. In politischen Kreisen spielte er trotz seiner
Beziehungen eine nur selten und wenig hervorragende Rolle. Desto
bedeutender war die literarische Thätigkeit, der er sich hingab. Er
gebot über fast unerschöpfliches Arbeitsmaterial, da er nicht nur
Besitzer der grossartigsten Privatbibliothek war, sondern auch von
Cäsar einer öffentlichen Büchersammlung vorgesetzt wurde. Wie er
aber dieses Material zu benutzen verstand, beweist seine eigene
Aeusserung^), nach welcher er am Ende seiner siebziger Jahre
490 Bücher geschrieben hatte, und so kann man wohl dem Urtheile
des Terentianus Maurus, eines Grammatikers aus den Zeiten der
Kaiser Nerva und Trajan, beistimmen, der Varro den Gelehrtesten
aller Gegenden nannte. Die erhaltenen Schriften des Varro beziehen
sich auf Landwirthschaft und auf Grammatik und nehmen unter den
Arbeiten aus diesen beiden Gebieten einen ehrenvollen Rang ein.
Um so mehr bedauern wir den Verlust grade der Werke, welche
uns wichtig sein würden-). Verloren ist eine Schrift über Ver-
messungen, mensuralia; verloren ist ein Buch Geometrie, in welchem,
nach dem Bericht des Cassiodor, die Gestalt der Erde als eirund an-
gegeben war, ein in so weit verdienstlicher Gedanke als damit in
origineller Weise unter Beibehaltung der runden Körpergestalt der
Erde ihre Abweichung von der Kugelform gemuthmasst wurde; ver-
loren ist allem Anscheine nach ein arithmetisches Werk Varros,

*) Aul. Gellius, Noctes Atticae III, 10, 17: M. Varro ihi (in primo libro-
rutn qui inscrihuntur Hehdomades vel De imaginibus) addit se quoque jam duo-
decimam annorum liehdomadem ingressum esse et ad eum diem septuaginta liebdo-
madas Ubrorum conscripsisse. ^) Gast. Boissier, Etüde sur la vie et les
ouvrages de M. T. Varron. Paris, 1861. Ueber die wissenschaftlichen Schriften,
welche zu dem letzten zu gehören scheinen, was Varro schrieb, vergl. pag. 327
bis 331. Siehe auch Teuffel, Geschichte der römischen Literatur (III. Auf-
lage) S. 288. ,

Die Blüthezeit der römischen Geometrie. Die Agrimensoren. 507

Atticus sive de numeris, welches Vertranius Maurus, der eine Bio-
graphie des Varro geschrieben hat, noch im Jahre löG-l in Rom ge-
sehen haben wilP); verloren ist auch ein Werk aus 9 Büchern be-
stehend, de disciplinis, in welchem, wie man annimmt, encyklopädisch
über die einzelnen Wissenschaften gehandelt war, und "welches somit
das Urbild für viele ähnliche Sammelwerke abgab, die uns noch be-
gegnen werden, aber selten mehr liefern als einzelne fast nur zufällig
veiVerthbare Notizen. Die Reihenfolge der neun Wissenschaften bei
Varro war: 1. Grammatik, 2. Dialektik, 3. Rhetorik, 4. Geometrie,
5. Arithmetik, 6. Astrologie, 7. Musik, 8. Medicin, 9. Architektur,
und es ist zweifelhaft, ob nicht die oben erwähnte Geometrie als
das hier genannte 4. Buch zu betrachten ist. Würde sich eine bei
Plinius vorkommende Notiz') auf das 8. Buch beziehen, so hätte
Varro dieses Werk in seinem 83. Lebensjahre verfasst. Als ganz
originell ist übrigens auch bei ihm die Zusammenstellung nicht an-
zusehen, da die griechische Wissenschaft schon den Begriff der freien
Künste ausgebildet hatte, der jetzt in wechselnder Zahl (meistens
7 artes liberales anführend) und in wechselnder Wahl der Gegen-
stände die ganze Folgezeit bis durch das Mittelalter hindurch be-
herrscht. Ob freilich Varro, der römisch gesinnte Römer, seine Ab-
hängigkeit von griechischen Mustern nicht theilweise zu verbergen
suchte, wird schwerlich mehr zu ermitteln sein. Wir kamen zu dem
Gedanken an diese Möglichkeit von der Erwägung ausgehend, dass
es Varro vorzugsweise ist, der die Feldmesskunde der Römer auf
etruskische Anfänge zurückgeführt hat.

Der nächste römische Schriftsteller, welchem tiefer gehende
mathematische Kenntnisse nicht bloss in allgemeiner Weise zuzu-
trauen sind, sondern aus dessen Schriften wir Belege dafür zu
schöpfen vermögen, ist Vitruvius, der Verfasser von 10 Büchern
über Architektur, die vermuthlich im Jahre 14 v. Chr. vollendet
wurden und dem Augustus zugeeignet sind. Das ist alles, was über
die Persönlichkeit des Vitruvius mit Sicherheit gesagt werden kami.
Sogar sein Beiname Vitruvius Pollio schwebt einigermassen in
der Luft, indem der Verfasser eines Auszuges aus der vitruvischen
Architektur, welcher uns denselben überliefert hat, eine selbst räthsel-
hafte Persönlichkeit von ganz unbekanntem Zeitalter ist, der nur aus
sprachlichen Gründen meistens für dem Zeitalter des Vitruvius ziem-
lich nahestehend und dem entsprechend glaubwürdig gehalten wird.
Li den Schriften des Vitruvius, sagten wir, stecken mancherlei Belege

') Vossius, De scientiis wathematicis pag. 39 (Amsterdam, 1650).
*) Plinius, Histor. natural. XXIX, 18, 65.

508 26. Kapitel.

jenes mathematischen Wissens. In einem Werke über Architektur
findet sich an und für sich an den verschiedensten Stellen Veran-
lassung ein solches Wissen an den Tag zu legen, um wie viel mehr
bei Vitruvius, dessen schriftstellerische Eigenthümlichkeit es genannt
werden kann, dass er mit fast possierlicher Geschwätzigkeit Bemer-
kungen beizufügen und Geschichtchen zu erzählen liebt, die zu dem
behandelten Gegenstande nur in entferntester Beziehung stehen, oft
aber uns erwünschte Mittheilungen enthalten. Ueberall verräth sich
dabei Vitruvius als das, als was wir ihn zu finden erwarten mussten,
als Schüler der Griechen, wenn auch als einen solchen, der es mit-
unter wagt von der Ansicht des Lehrers sich zu entfernen. Wir
nennen als der Mathematik angehörig ^) eine Auseinandersetzung
über die Grössenverhältnisse der einzelnen Körpertheile des Menschen;
einen Abriss der arithmetischen Harmonielehre nach Aristoxenus;
eine Schilderung dessen, was nach Vitruvs Geschmack die drei
grössten mathematischen Entdeckungen waren: die Irrationalität der
Diagonale eines Quadrates, das pythagoräische Dreieck aus den
Seiten 3, 4, 5 und die archimedische Kronenrechnung. Wir nennen
Beschreibungen von feldmesserischen Apparaten verschiedener Art
und Anweisungen sich derselben zu bedienen. Da ist der Gnomon
mit der Bestimmung der Mittagslinie aus zwei Beobachtungen gleicher
Schattenlängen am Vor- mid Nachmittage. Da sind wesentlich auf
Heron zurückführbare Nivellirungen mittels der Dioptra und ein
Wegemesser. Bei der Beschreibung des letzteren ist gelegentlich der

Umfang eines Rades von 4 Fuss Durchmesser zu 12 - Fuss angegeben,
was ein Verhältniss der Peripherie zum Durchmesser von 3-^ : 1 be-

zeugt, wie es uns noch nicht vorgekommen ist, wie es aber unter
Anwendung von Duodecimalbrüchen entschieden bequemerer Rech-
nung, wenn auch weniger genau als 3y : 1 ist. Wir nennen endlich

Berechnungen des Kalibers von Wurfmaschinen aus dem Gewichte
der Massen, welche sie zu schleudern bestimmt waren, wobei Brüche
in Menge vorkommen, allerdings nur ziemlich angenäherte Werthe
hervorbringend, so dass von der Rechenkmist des Vitruvius auch
hierdurch mis keine übermässig hohe Meinung erweckt wird^).

L. Junius Moderatus Columella^) aus Gades (Cadix) war
Militärtribim der VI. gepanzerten Legion und lebte als solcher längere
Zeit in Syrien. Von dort heimgekehrt widmete er sich mit be-

') Vitruvius III, 1; V, 4; VIII, 6; IX, 1, 2, 3, 8; X, 14, 15, 17, 21. Vergl.
Agrimensoien S. 157 und 86 — 89. -) Hultsch, Die Bruchzeichen des Vitruvius
in Fleckeisen und Masius, Jahrbücher der Philol. *) Agrimensoren S, 89—93.

Die Blüthezeit der römischen Geometrie. Die Agrimensoren. 509

geisterter Anliänglichkeit der Landwirthschaft, welche er in zwei
Werken uacli einander verherrlichte. Von der ersteren kürzeren
Ausarbeitung ist nur ein Bruchstück erhalten, die zweite ausführ-
liche Schrift ist dagegen vollständig auf uns gekommen. Die
XII Bücher De re rustica, wahrscheinlich (32 n. Chr. geschrieben,
sind eine fast unerschöj)fliche Fundgrube reichster Art für alle Ge-
biete, welche zur Landwirthschaft irgendwie in Beziehung gesetzt
werden können, da der begabte und gelehrte Verfasser seinen Gegen-
stand in weitestem Umfange behandelt. Freilich ist damit für ihn
die Unbequemlichkeit entstanden, dass man, wie er selbst klagt, über
alle möglichen Dinge Auskunft von ihm begehre. Er hilft sich so
gut er kann. Er zieht befreundete Fachmänner verschiedener Gat-
tung zu Rathe, und so gesteht er auch zu, dass das 2. Kapitel des
V. Buches, in welchem er Feldmessung lehrt, kein Erzeugniss seines
eigenen Geistes sei^). Für Vollständigkeit oder Unvollständigkeit,
sowie für die Richtigkeit der gegebenen Vorschriften sind diejenigen
verantwortlich, welche ihm hier mit ihrer Erfahrung beigestanden
haben.

Zuerst macht Columella seinen Leser mit den unentbehrlichsten
Ackermaassen bekannt, dann löst er neun geometrische Aufgaben je
an einem bestimmten Zahlenbeispiele. Allgemeine Vorschriften, wie
bei anderen Zahlenangaben zu verfahren sei, gibt er nicht; diese soll
der Leser sich^ selbst aus der Musterrechnung entnehmen^). Schon
an dieser Eigenthümlichkeit wird man den Schüler des Heron von
Alexandria vermuthen, und die Vermuthung wird zur Gewissheit,
wenn man die Aufgaben des Columella selbst ansieht. Es sind
sämmtlich Aufgaben, welche mit solchen in Herons Geometrie iden-
tificirt worden sind, und zwar mit höchster Wahrscheinlichkeit mit
derjenigen Ausgabe, welche das andere Buch heisst (S. 364).
Wir erinnern uns, dass Heron in der Sammlung, welche die Ueber-
schrift Geometrie führt, die Fläche des Sechsecks nach zwei Methoden
berechnet. Zuerst lässt er das Quadrat der Sechsecksseite 13 mal
nehmen und dann durch 5 theilen; anders, heisst es hierauf, in einem

anderen Buche, wo die Vorschrift gegeben sei und — des Seiten-
quadrats 6 fach anzusetzen; als Beispiel dient das Sechseck von der
Seite 30. Vergleichen wir damit Columellas 9. Aufgabe, so erkennen
wir in der Rechnung der Fläche des Sechsecks von der Seite 30
durch die Zahlen 900, 300, 90 und der Summe 390 dieser beiden

^) Ne dubites id opus geometrorum magis esse qiiam rusticorwn, desque
veniam, si quid in eo fuerit erratum^ cuius scientiam mihi non vindico. ^) Cuius-
que generis species subiciemus, quibus quasi formulis utemur.

510 26. Kapitel.

letzten hiadurcli zum 6 fachen derselben Summe mit 2340 genau den
Gang und die Zahlen Herons. Heronische Formeln bieten nun auch
die anderen Aufgaben Columellas, so die 4. Aufgabe, welche das

gleichseitige Dreieck als — und _. des Seitenquadrats berechnet, die

8. Aufgabe, welche die Fläche eines Kreisabschnittes, der kleiner ist
als der Halbkreis, aus der Sehne s und der Höhe h des Abschnittes

s -L h \ 2 /
nach der Formel T^ • h -\ ,-,— findet u. s. w. Aber bei allen

2 ' 14

diesen acht ersten Aufgaben sind Columellas Zahlen fortwährend
andere als die in unserem Texte der heronischen Geometrie. Der
Grund ist leicht ersichtlich. Columellas Gewährsmann entnahm ohne
Zweifel Zahlen und Aufgaben demselben Texte, welchem er Zahlen
und Formel der 9. Aufgabe schuldete, d. i. eben dem sogenannten
anderen Buche. Diese wichtige Bemerkung hat auch für die übrigen
römischen Schriftsteller, mit denen wir uns noch zu beschäftigen
haben, ihre hohe Bedeutung. Die Einzelforschung, auf welche selbst-
verständlich hier als eine vollzogene verwiesen werden muss, hatte
derselben stets eingedenk zu bleiben. Bei dem Fahnden auf Gleich-
heiten zwischen römischen und heronischen Aufgaben durfte sie nie
ausser Augen lassen, dass uns derjenige Text, dessen die Römer sich
bedienten, das andere Buch, nicht zu Gebote steht, dass also Ver-
änderungen in den Zahlen nicht bloss möglich, sondern sogar wahr-
scheinlich sind, dass es ebenso wahrscheinlich ist, dass hier und da
eine Aufgabe vorkommen mag, zu der wir selbst mit anderen Zahlen
das Muster in unserem griechischen Heron nicht auffinden können.

Etwa gleichaltrig mit Columella war M. Fabius Quintilianus,
dessen Lebenszeit ungefähr von 35 — 95 angesetzt wird. Er ver-
fasste XH Bücher Vorschriften für Redner, und es ist ein glücklicher
Zufall zu nennen, dass im I. Buche dieses Werkes eine Stelle von
mathematischer Wichtigkeit sich vorfindet, welche wir um ihrer nach
verschiedenen Seiten wirkenden Bedeutung Willen in wörtlicher
Uebersetzung folgen lassen^): „Wer wird einem Rechner nicht ver-
trauen, wenn er vorbringt, der Raum, der innerhalb gewisser Linien
enthalten sei, müsse der gleiche sein, sofern jene Umfassungslinien
dasselbe Maass besitzen? Doch ist dieses falsch, denn es kommt
sehr viel darauf an, von welcher Gestalt jene Umfassung ist, und
von den Geometern ist Tadel gegen solche Geschichtsschreiber er-
hoben worden, welche da glaubten, die Grösse von Inseln werde zur

') Quintilianus, Institutiones oratoriae (ed. Halm, Leii^zig, 1868) I, 10,
39-45 (pag. 62).

Die Blüthezeit der römischen Geometrie. Die Agrimensoren. 511

Genüge durch die Dauer der Umschiffung gekennzeichnet. Je voll-
kommener eine Gestalt ist, um so mehr Raum schliesst sie ein.
Stellt daher jene Umfassungslinie einen Kreis dar, welches die voll-
kommenste der Gestalten der Ebene ist, so schliesst sie mehr Raum
ein, als wenn sie bei gleicher Küstenstrecke ein Quadrat bildete.
Das Quadrat hinwiederum schliesst mehr Raum ein als das Dreieck,
das gleichseitige Dreieck mehr als das ungleichseitige. Doch dieses
andere mag vielleicht zu dunkel sich erweisen; verfolgen wir dagegen
einen auch dem Ungeübten sehr leichten Versuch. Es wird nicht
wohl irgend Jemandem unbekannt sein, dass das Maass des Jucharts^)
240 Fuss in die Länge beträgt, während es nach der Breite um die
Hälfte sich öffnet; was also der Umfang ist, und wie viel Feld er
in sich schliesst ist bequem zusammenzubringen. Aber 180 Fuss an
jeder Seite bilden dieselbe Ausdehnung der Grenzen, dagegen weit
mehr von den vier Linien eingeschlossenen Flächenraum. Wer wider-
willig ist das auszurechnen, kann dasselbe an kleineren Zahlen lernen.
Je 10 Fuss ins Quadrat sind 40 Fuss ringsum, inwendig 100 Fuss.
Sind je 15 Fuss seitlich, je 5 in der Fronte, so wird man bei gleichem
Umfange von dem, was eingeschlossen ist, den vierten Theil ab-
ziehen müssen. Wenn aber 19füssige Seiten nur um je 1 Fuss von
einander abstehen, so werden sie nicht mehr Quadratfusse in sich
fassen, als die Zahl, nach welcher die Länge wird gezogen worden
sein. Die Umfassungslinie aber wird von derselben Ausdehnung sein
wie die, welche 100 Quadratfuss enthält. Was man also von der
Quadratgestalt abzieht, das geht auch von der Menge zu Grunde. Es
kann folglich auch das erreicht werden, dass mit einem grösseren
Umfange eine geringere Menge Feldes eingeschlossen sei. So in der
Ebene, denn dass bei Hügeln und Thälern die Bodenfiäche eine
grössere ist als die der darüber befindlichen Himmelsdecke, liegt auch
für den Unerfahrenen zu Tage." Wir haben diese Stelle wiederholt
früher beigezogen. Wir haben (S. 161) mit ihr belegt, dass irrige
Meinungen fast zäher festgehalten werden als richtige. Wir möchten
beinahe entschuldigend ergänzen, dass Römer, deren Felder, wie wir
gesehen haben, thatsächlich gleiche Gestalten besassen, leichter dem
gerügten Irrglauben verfallen konnten. Durften sie doch beinahe
dem Beispiele, durch welches Quintilian sie eines Besseren belehren
wollte, entgegenhalten, solche Felder von 180 Fuss ins Quadrat kämen
nicht vor. Zweitens ist, wie uns scheint, durch die Sätze über den
Flächenraum der verschiedenen, weniger vollkommnen und voll-

*) jugerum ist das römische Doppelfeldmaass, welches z. B. VaiTO definirt
hat: Jugerum dictum iunctis duohus actihus quadratis.

512 26. Kapitel.

komnmeren, Figuren der Beweis geliefert (S. 341), dass Zenodorus,
welchen man für den Erfinder jener Sätze hält, vor Quintilian gelebt
haben muss, wodurch mindestens eine untere LebensgTenze für den-
selben gewonnen wird, die weit höher hinaufreicht als das Zeitalter
des Pappus. Drittens endlich ist uns Quintilian ein Beispiel fast
heimlicher Beschäftigung mit mathematischen Dingen, wie wir sie
oben (S. 503) angekündigt haben, er weiss, dass er von seinen Lesern
nicht verstanden werden wird, dass er mit seinem Wissen vereinzelt
dasteht, aber er kann es doch nicht unterlassen wenigstens nebenbei
Sätze zu erwähnen, die für ihn Interesse besitzen.

Dem Geburts- wie dem Todesjahre nach wieder nahe bei Quin-
tilian wird Sextus Julius Frontinus^) von 40 — 103 angesetzt.
Er gehörte dem Staatsdienste an, während Vespasianus, Titus, Do-
mitianus, Nerva und Trajanus als Kaiser auf einander folgten. Unter
Domitianus Regierung scheint er mit Vorschriften über die Feld-
messkunst erstmalig als Schriftsteller aufgetreten zu sein. Kriegs-
wisseuschaftliche Schriften folgten rasch. Ein uns einzig vollständig
und unverfälscht durch fremde Zuthaten erhaltenes Werk in zwei
Büchern über Wasserleitungen, unter Nerva begonnen, unter Trajan
etwa im Jahre 98 beendigt, bildet den Schluss seiner schriftstelle-
rischen Thätigkeit. Für die Geschichte der Mathematik bietet es
kaum etwas mit Ausnahme von ziemlich zahlreichen Berechnungen
von Umfangen von Wasserleitungsröhren aus ihren Durchmessern,

bei welchen die Verhältnisszahl n = Sy benutzt ist, so weit die

römischen Duodecimalbrüche, mit denen allein operirt ist, es gestatten
die Verhältnisszahl zu erkennen. Wenn Frontinus in der Vorrede
zu dieser Schrift sagt: nachdem Kaiser Nerva ihn dem sämmtlichen
Wasserwesen vorgesetzt habe, schreibe er dies Büchlein um sich
selbst über seine Pflichten klar zu werden, es könne dann möglicher-
weise auch seinen Nachfolgern im Amte sich nützlich erweisen; was
er dagegen früher geschrieben, habe sich stets auf Dinge bezogen,
mit welchen er durch lange Uebung vertraut war, und sei daher der
Hauptsache nach mit Rücksicht auf die Belehrung seiner Nachfolger
entstanden, so sind diese Bemerkungen reichlich dazu angethan uns
den Verlust des feldmesserischen Werkes bedauern zu lassen. Wir
wissen nur aus einer Randbemerkung") eines Schreibers vermuthlich
zu Anfang des XII. S., dass dieser ein Buch des Frontinus gekannt
hat, in welchem Flächeninhalte von Vierecken berechnet wurden.
Wir wissen ferner von einzelnen Stellen aus jenem feldmesserischen
Werke und von der fast wörtlichen Wiederkehr solcher Stellen in

') Agrimenaoren S. 93 ügg. '■') Agrimensoren S. 94 und Anmerkung 186.

Die Blüthezeit der römisclieri Geometrie. Die Agrimensoren. 513

einem berülimten Buche aus dem Anfange des XIII. S.^), welclie die
Vermuthung erweckt, gewisse dort beschriebene mid, wie der Ver-
fasser sich ausdrückt, alten Weisen zu verdankende feldmesserische
Operationen möchten, wiewohl in den Fragmenten des Frontinus
selbst fehlend, ursprünglich von ihm beschrieben worden sein.

Die uns erhaltenen Bruchstücke des Frontinus finden sich ver-
einigt mit anderen für die Geschichte der Mathematik hochwichtigen
Fragmenten in einer Sammelhandschrift, welche von 1566 — 1604 im
Besitze von Johannes Arcerius in Groningen war und deshalb von
dem nachfolgenden Eigenthümer Petrus Scriverius in einer Beschrei-
bung aus dem Jahre 1607 den Namen der arcerianischen Hand-
schrift erhielt, als welche sie heute noch bekannt ist"). Sie ist
eine der ältesten grösseren Handschriften, welche man überhaupt
besitzt, und nach dem Urtheile der Fachgelehrten nicht später als
im VIT., vielleicht schon im VI. S. niedergeschrieben. Man nimmt
an, es seien um das Jahr 450 aus älteren Schriften, sämmtlich auf
Gebietseintheilung, Agrargesetzgebung und dergleichen bezüglich,
amtliche Auszüge veranstaltet worden als rechtswissenschaftlich-
statistisches Nachschlagebuch für Verwaltungsbeamte des römischen
Kaiserreichs, und eine wieder um ein oder anderthalb Jahrhundert
jüngere Abschrift dieser Sammlung sei als Codex Arcerianus auf uns
gekommen, die sauber und schön geschriebene Arbeit eines vielleicht
als Beamter sehr brauchbaren Mannes, der aber von Feldmessung
wenig oder gar nichts verstand und daher zu den Fehlern, welche
bereits in seiner Vorlage vorhanden gewesen sein mögen, noch weitere
nicht seltene eigene Versehen und Schreibfehler hinzufügte. Man
sieht, dass es insofern keine sehr reine Quelle ist, aus welcher wir
genöthigt sind unser Wissen zu schöpfen. Es steht keineswegs fest,
dass die verschiedenen Bruchstücke grade von den Schriftstellern
herrühren, welchen sie zugeschrieben sind; es steht keineswegs fest,
wie die Namen, welche mitunter in mehrfachen Schreibformen vor-
kommen, wirklich gelautet haben; es steht keineswegs fest, wann die
Träger dieser Namen gelebt haben, ob, wie man aus ihrer Vereini-
gung und aus manchen anderen Umständen schliessen möchte, sie
alle etwa der Zeit von 50 bis 150 angehören, d. h. dem Jahrhunderte,
in dessen Mitte Kaiser Trajan lebte, unter welchem, wie wir uns
wiederholt erinnern wollen, Menelaus von Alexandria in Kom seinen
Aufenthalt aufgeschlagen hatte, oder ob man für sie zum Theil wesent-
lich späterer Datirungen bis um das Jahr 400 sich bedienen muss.

') Agrimensoren S. 179 ^^^. über Frontinus und Leonardo von Pisa.
^) Ueber den Codex Arcerianus der Wolfenbüttler Bibliothek vergl. Agri-
mensoren S. 95.

Cantob, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 33

514 26. Kapitel.

Inmitten dieser Zweifel begnügen wir uns die Namen der Feld-
messer Frontinus, Hyginus, Baibus, Nipsus, Epaphroditus,
Vitruvius Rufus, die als Verfasser kleinerer oder grösserer Bruch-
stücke^) genannt sind, anzugeben, ferner kurz zu berichten, was man
von den Persönlichkeiten des Hyginus und des Baibus weiss, und
schliesslich ein Gesammtbild der in jenen Bruchstücken enthaltenen
mathematischen Kenntnisse zu geben, ohne eine genauere Zeitbestim-
mung daran zu knüpfen als diejenige, dass Alles vorhanden war, als
der Schreiber des Codex Arcerianus es zu Papier brachte.

Der Name Hyginus tritt mehrfach in der römischen Literatur
auf. Hyginus, ein Zeitgenosse des Augustus, hat ein astronomisches
Werk verfasst. Ein Militärschriftsteller Hyginus hat über die Anlage
von Lagern muthmasslich zwischen 240 und 267 gehandelt"-^). Von
beiden verschieden ist der Feldmesser Hyginus, der unter Trajan
lebte und ein grösseres feldmesserisches Werk wahrscheinlich im
Jahre 103, im Zwischenräume zwischen den beiden dacischen Kriegen
verfasste^).

Auch der Name Baibus tritt mehrfach auf. Wir haben einen
Oberwegemeister Baibus aus der Zeit des Augustus zu nennen gehabt,
dem die Aufsicht über die grosse Reichsvermessung übertragen war.
Der Baibus, von welchem uns Bruchstücke überliefert sind, gehört
der trajanischen Zeit an^). Er begleitete den Kaiser auf seinem da-
cischen Feldzuge, und nach errungenem Siege, mithin 103 oder wenn
der zweite Feldzug gemeint war spätestens 117, nach Hause zurück-
kehrend richtete er eine feldmesserische Schrift an einen Celsus,
welcher nicht genau bekannt ist, aber den Worten des Baibus ge-
mäss eine erste Autorität des Ingenieurfaches gewesen sein muss.

Die anderen Namen Marcus Junius Nipsus, Epaphroditus,
Vitruvius Rufus sind ausser in Verbindung mit den ihnen zuge-
schriebenen Bruchstücken nicht näher bekannt. Den Erstgenannten,
wahrscheinlich einen griechischen Freigelassenen eines Römers aus
dem Hause der Junier, hat man gewichtige Gründe nicht später als
in das H. S. zu setzen. Um jene Zeit dürfte nämlich das Geschlecht
der Junier erloschen sein, um jene Zeit wurde es auch Sitte vier,
fünf, sogar sechs Namen nach einander zu führen, während Marcus

*) Die Bruchstücke des Epaphroditus und des Vitruvius Rufus vergl. Agri-
mensoren; alle übrigen s. Römische Feldmesser I. Uebersetzungen wichtiger
Theile bei E. Stoeber, Die römischen Grundvermessungen. München, 1877.
'') H. Droysen im Rhein. Museum für Philologie (1875) XXX, 469. ^) Lach-
mann in Römische Feldmesser II, 139 und Hultsch, Scriptores metrolocjici II,
Prolegomena pag. 6. ■*) Römische Feldmesser I, 91, 93 und II, 14ö ügg.
(Mommsen).

Die Blütliezeit der römischen Geometrie. Die Agrimensoren. 515

Junius Nipsus wie in giiter alter Zeit nur Pränomen, Nomen und
Cognomen erkennen lässt.

Fassen wir sämmtliche Schriftsteller des Codex Arcerianus zu-
sammen, so lässt sich unschwer bestätigen, was wir schon vorher
behaupten durften: auch diese Feldmesser sind als Schüler des Heron
von Alexandria anzusehen, daneben vielleicht noch anderer grie-
chischer Schriftsteller; auch sie bedienten sich des andern Buches
von Herons Geometrie, sei es im Originale, sei es in einer latei-
nischen Uebersetzung, deren Vorhandensein freilich nur daraus er-
schlossen ist, dass es unwahrscheinlich gefunden wird, dass Feldmesser
untergeordneten Geistes im Stande gewesen sein sollten den Urtext
zu verstehen. Andrerseits könnte freilich die Art, wie der Text
dieser Feldmesser mit dem Herons in üebereinstimmung tritt, eine
Uebereinstimmung, die mitunter einem Gegensatz ähnelt, zur Ver-
muthung führen, sie hätten ein in fremder Sprache geschriebenes
Buch miss verstanden, oder aber, wenn sie selbst griechischen Stammes
waren, sie hätten sich in der ihnen fremden lateinischen Sprache
nur mangelhaft auszudrücken gewusst.

Es lassen sich bei ihnen allen ähnlich wie bei Heron gewisse
Hauptabschnitte erkennen, von welchen freilich bei dem einen Schrift-
steller der eine, bei dem anderen der andere bevorzugt wird: sie werden
gebildet durch Maassbestimmungen, durch geometrische Definitionen,
durch praktisch feldmesserische Vorschriften, durch rechnende Geo-
metrie, wozu noch bei Epaphroditus und Vitruvius Rufus, für welche
gemeinschaftlich ein grosseres Bruchstück durch den Schreiber des
Codex Arcerianus beansprucht ist, ein Abschnitt über Vieleckszahlen
und Pyramidalzahlen kommt, wohl einen anderen Ursprung verrathend
als Heron, in dessen Schriften, wenigstens so weit die uns erhaltenen
Sammlungen Aufschluss geben, derartiges nicht vorkam.

Maassbestimmungen und Definitionen waren für Jeden noth-
wendig, der ohne Geometer zu sein Geometrisches lesen wollte oder
musste. Sie hier zu treffen kann uns daher nicht in Erstaunen setzen,
und wir bemerken nur, weil grade die Gelegenheit sich bietet, dass
ParallellLiiien durch lineae ordinatae übersetzt sind^), das Wort,
welches viele Jahrhunderte später für die einer bestimmten Richtung
parallelen Geraden (Ordinaten) in Anwendung blieb. Dem Charakter
des Verwaltungshandbuches gemäss, welchem es nicht auf die Auf-
findung von Entfernungen, nicht einmal auf die Ausmessung von
Grundstücken, sondern auf die Rechtsverhältnisse schon ausgemessener
Felder und etwa auf die Berechnuno- ihres Rauminhaltes aus ge-

^) Agrimensoren S. 98.

33^

516 26. Kapitel.

gebenen Ausdelinimgen zum Zwecke von Versteuerung und dergleiclien
ankam, sind die Stücke über das, was wir Feldmesskunst nennen,
am kärglichsten vertreten, und wir wissen aus dem Vorhandenen
kaum mehr, als dass Entsprechendes aus der Feder eines Frontinus,
eines Baibus, eines Celsus einstmals vorhanden gewesen sein muss.
Schon um dieser wichtigen Gemeinsamkeit des Inhaltes willen und
wegen des vereinigten Vorkommens der Bruchstücke in dem mehr-
genannten Codex Arcerianus wollen wir für die Verfasser derselben
uns eines häufig benutzten Sammelnamens bedienen und sie die
Agrimensoren nennen.

Die Schüler des Heron erkennen wir in ihnen ferner an einer
ziemlichen Anzahl von Wörtern, die als genaue Uebersetzungen er-
scheinen^). Die Scheitellinie insbesondere heisst, wie wir uns er-
innern, bei Heron xoQvcp')], bei den Agrimensoren Vertex oder coranstus,
letzteres eine offenbare Verstümmelung von KOQvßros (sc. yga^^-^Y).
Wird in einem Dreiecke eine Senkrechte aus der Spitze auf die Grund-
linie gefällt, und trifft sie dieselbe zwischen ihren Endpunkten, so
bildet sie einen Abschnitt, der bei Heron ccTiorofi')] , bei den Agrimen-
soren praecisura heisst. Trifft die Senkrechte jenseits des Endpunktes
auf die Grundlinie, so entsteht eine Ueberragung, bei Heron ixßXrj-
Q£L6a, bei den Agrimensoren eiectura. Wenn die Aufgabe gestellt
ist, leitet Heron die Auflösung durch die Worte noiei ovrog, die
Agrimensoren durch sie quaeres ein, häufig abgekürzt in S. Q. Wenn
Heron das rechtwinklige Dreieck oQQoycoviov, die dem rechten Winkel
gegenüberliegende Seite vTiotsLvovöa, einen Schenkel des rechten
Winkels xdQBxogj den Flächeninhalt s^ßadov, die Ausmessung nach
Füssen 7todi6(i6g nennt, so schreibt ein Agrimensor fast die gleichen
Wörter nur mit lateinischen Buchstaben, so dass sie bei ihm horto-
gonium, Jiypotenusa, chatetus, emhadum, pocUsmus lauten.

Gleichwie bei Heron findet sich die Berechnung der Fläche des
Dreiecks aus seinen drei Seiten. Aufgaben über Dreiecke, in welchen
eine Höhe gezogen ist, sind geradezu wörtlich aus Herons Geometrie
übersetzt. Wie bei Heron sind rationale rechtwinklige Dreiecke an-
gegeben, ausgehend von ungraden sowie von graden Zahlen. Die
heronische Berechnung des gleichseitigen Dreiecks findet sich zwar
nicht vollständig, aber doch ist dessen Einwirkung unverkennbar.
Das gleichseitige Dreieck von der Seite 30 habe, heisst es nämlich,
als Quadrat der Seite 900, als Quadrat der halben Seite 225, als

^) Genauere Beweisführung des hier Behaupteten in unseren „Agrimensoren".
*) Diese Ableitung wurde 1840 durch Gottfried Hermann gegeben. Vergl.
Zeitscbr. Math. Phys. XX. Histor.-liter. Abthlg. S. 68.

Die Blüthezeit der römischen Geometrie. Die Agrimensoren. 517

Hölie 26 und darin liegt eingeschlossen, dass nach der ilnsiclit des

Verfassers 26 = ]/900 — 225 = 1/(375 == 15)/3 sei, also V'd = ^|

wie bei Heron. Wir bedürfen wohl nicht einer noch genaueren Be-
weisführung für die Abhängigkeit der Agrimensoren von Heron von
Alexandria und wollen vielmehr auf einige Dinge aufmerksam machen,
welche in unserem Heron nicht ermittelbar, doch ohne Zweifel griechi-
schen Ursprungs gewesen sein müssen.

Unter dem Namen Nipsus ist die Aufgabe überliefert, aus der
Fläche A und der Hypotenuse h eines rechtwinkligen Dreiecks die
Katheten q und c.^ zu finden. Die Auflösung wendet die Formeln

^1 + <^2 = V^^' + 4A, q — Co == Vh^ — 4A an. Dabei ist dem
Schreiber das Versehen begegnet bei dem Satze „der Podismus der
Hypotenuse beträgt 25 Fuss" das wichtigere Wort Hypotenuse zu
vergessen und nur zu schreiben „der Podismus beträgt 25 Fuss". Wir
werden uns diesen interessanten Schreibfehler zu merken haben, welcher
uns im 39. Kapitel dienen wird, im Codex Arcerianus die Quelle eines
Werkes aus dem X. S. zu erkennen.

In dem als von Epaphroditus und Vitruvius Rufus herrührend
bezeichneten Bruchstücke ist der Durchmesser des in ein recht-
winkliges Dreieck beschriebenen Kreises als der Rest berechnet,
welcher bei Abziehung der Hypotenuse von der Summe der beiden
Katheten übrig bleibt.

Ebenda wird die Oberfläche von Bergen nach einer Näherungs-
methode berechnet, welche derjenigen nahe verwandt ist, von der
(S. 457) unter dem Namen des Patrikius die Rede Avar, welche aber,
da sie, wie wir dort bemerkten, fast wahrscheinlicher uralt ist, zur
Datirimg des Epaphroditus nichts beitragen kann, auch wenn wir
genau wüssten, welcher Patrikius in der betreffenden Stelle gemeint
ist. Die Berechnung erfolgt, indem das arithmetische Mittel von drei,
ein andermal von zwei Kreisperipherieu als durchschnittlicher Umfang
des Berges das eine Mal mit dessen Höhe, das andere Mal mit der
halben Summe zweier an Abhängen von verschiedener Steilheit zu
messenden Höhen vervielfacht wird.

Wieder in einer anderen Aufgabe ist mit Hilfe eines massiven
gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks, längs dessen Hypotenuse
man bei horizontaler Lage der einen Kathete den Gipfel eines Baumes
einvisirt, eine der vertikalen Höhe des Baumes gleiche Entfernung
von seinem Fusse bestimmt, die alsdann abgemessen werden kann
und somit eine Höhenmessung liefert ^ ;, welche von der Benutzung des

') ut sine umbras solis et lunae mensuris' {Agrimensoren S. 215, lin. 8 — 9).

518 26. Kapitel.

Schattens absieht; eine Methode, welche sowohl an sich bemerkens-
werth ist, als auch dadurch, dass sie durch die in einem Zwischen-
satze hervorgehobene Ausschliessung der Schattenbeobachtung be-
stätigt, dass die Höhenmessung aus dem Schatten, das Verfahren
also, welches man bis auf Thaies zurückzuführen liebt, die Regel
bildete.

Am merkwürdigsten sind einige Paragraphe des gleichen Frag-
mentes, welche mit arithmetischen Sätzen sich beschäftigen, und zwar
merkwürdig nach zwei Richtungen: erstlich dadurch, dass sie er-
kennen lassen, was Einzelne in Rom aus oflPenbar griechischer Quelle
einmal gewusst haben, zweitens dadurch, dass sie bezeugen, wie
spätestens zur Zeit der Abfassung der Sammlung, welche uns als
Quelle dient, die Dinge bereits missverstanden wurden. Wir haben
(S. 345) bei Hypsikles um 180 v. Chr. die Definition der rten mecks-

zahl kennen gelernt als jj^« = 1 + (*^* — 1) + (^*'* — 3) + ' * *

_}_ (1 _|_ (r _ i)(^,j _ 2)). Wir haben (S. 454) bei Diophant um

300 n. Chr. vielleicht allerdings aus früherer Quelle die beiden

^, . , p, , . r [(m - 2) (2r — 1) -f 2]^ - (m - 4)''
Gleichungen auttreten sehen »,„ = '^^ ^ ^^ — -^~

1 [Vsim-2)p'^+im-Ay-2

und r =y\ .., o h 1

Diese beiden Formeln

nun, welche bei bekannter Ordnung m einmal die Vieleckszahl aus
ihrem oberen Index r, das andere Mal jenen Index r aus der rten
Vieleckszahl ableitet, kommen in unserem Fragmente vor, zwar nicht
wie bei Diophant als in Worte gekleidete allgemeine Formeln, aber
in ihrer Anwendung auf die Vieleckszahlen aufeinanderfolgender
Ordnung von der Dreieckszahl bis zur Zwölfeckszahl, mit zwei
Rechenfehlem, wo es um Fünf- und Sechseckszahlen sich handelt.

Dort wäre nämlich richtig j^s = — — , pe = ^ , während die

irriger Weise statt der Subtraktionen in den betreffenden Zählern

vorgenommenen Additionen die falschen Formeln p'^ = — - — ,

pl = ^ hervorbrachten, nach welchen gerechnet ist. Es ist

gewiss berechtigt, daraus den Schluss zu ziehen^), dass dabei die
allgemeinen Wortformeln den Ausgangspunkt bildeten, denn es ist
unendlich viel wahrscheinlicher, dass zwei Fehler mangelhafter Sub-
stitution vorkommen, als dass bei der Einzelbetrachtung der aufein-
ander folgenden Vieleckszahlen zwei in Rechenfehler ausartende
Schreibfehler just bei niedrigem Werthe von m sich hätten ein-
schleichen sollen.

') Agrimensoren S. 126.

Die Blüthezeit der römischen Geometrie. Die Agrimensoren. 519

Auch eine merkwürdige Formel für Pyramidalzahlen lässt
aus den Einzelfällen sich erkennen, deren Ableitung freilich nirgend
gegeben ist, aber nachträglich sich leicht errathen lässt, ohne irgend
Kenntnisse in Anspruch zu nehmen, welche nicht bei den Griechen
sich nachweisen Hessen. Nennt man die Summe der r ersten »«ecks-
zahlen die rte ««eckige Pyramidalzahl und schreibt dafür Fm, so ist

die Definitionsgleichung P^ = Pm -\- Pm -\- • • - -\- Pm- Nun nehmen
wir an, es sei ausgehend von dem bekannten Satze

«'-/3^ = (« + /3)-(«-^)
die Umformung vorgenommen worden:

[(m — 2) (2r — 1) 4- 2]- — (m — 4)^
8(w — 2)

[(m — 2) (2r — 1) 4- 2 + (w — 4)] • [(w — 2) (2r — 1) -f 2 — (w — 4)]

8(m — 2)
(?M — 2) 2r[(OT — 2) 2r + 8 — 2m] m — 2 ^ m -

8(m — 2) 2 2

Setzt man die entsprechenden Werthe in alle Vieleckszahlen von
Pm his p'm ein, so erhält man

K = '^ (1^ + 2^' + .. + r') - f^ (1 + 2 + . . + r).

Aber spätestens zu Archimeds Zeiten (S. 298 — 299) war bekannt

l + 2 + .. + >- = 'l^) und r^4-2--+-- + >-'^ = '^' + T''"^'^
wenn auch letzteres noch nicht in der kurzen Form, deren wir uns
bedienen. Diese Werthe liefern

-pr _ m — 2 r{r -f l)(2r + 1) m — 4 r(r + 1)

beziehungsweise

?• + 1 r2 (m — 2) 9 2 (m — 4) , m — 2 m — 4: 1

= *4^ [2K + r]

und dieser letzteren Formel bedient sich der römische Schriftsteller.
Ja er kennt sogar die Summirung der r ersten Kubik-

zahlen: 1^ + 2^4 1- >'^ = (''-^-"^1^. Auch hier ist die Auf-
findung des Weges, auf welchem ein Grieche zu dieser Formel gelangen
konnte, mag er nun geheissen und gelebt haben wie und wann er
wolle, nicht allzuschwierig. Nikomachus, sagten wir (S. 403), habe
um 100 u. Chr. die Beziehung; zwischen den Kubikzahlen und auf-

520 26. Kapitel.

einanderfolgenden ungeraden Zahlen erkannt, welche dahin sich aus-
spricht, die erste Kubikzahl sei gleich der ersten ungeraden Zahl,
die zweite gleich der Summe der zwei darauf folgenden ungeraden
Zahlen, die dritte gleich der Summe der darauf wieder folgenden drei
ungeraden Zahlen u. s. w. Ueber sämmtliche r ersten Kubikzahlen
ausgedehnt liefert das als deren Gresammtsumme die Summe der

\ -\- 2 -\- ■ ■ -\- r ([. h.. der ^ auf einander folgenden ungeraden

Zahlen von der 1 anfangend. Die alten Pythagoräer wussten aber
schon (S. 149), dass diese das Quadrat ihrer Anzahl bilden. Die

Gesammtsumme ist mithin 1^ -\- 2'^ -\- • ■ -\- r^ = ( J~ — j , und
genau so rechnet unser Schriftsteller^).

Diese arithmetischen Kenntnisse: eine Darstellung der Vielecks-
zahl aus ihrer Seite, der Seite aus der Vieleckszahl, der Pyramidal-
zahl aus Vieleckszahl und Seite, endlich die Summirung der auf ein-
ander folgenden Kubikzahlen einem griechischen Schriftsteller auch
ohne Beweis entnommen zu haben, würde schon ein gewisses mathe-
matisches Verdienst der Männer voraussetzen, welche es verständniss-
voll unternahmen die interessanten Formeln aufzubewahren. Ob wir
aber dem Epaphroditus und Vitruvius Rufus das Beiwort des Ver-
ständnisses zuerkennen dürfen? Eine Figur, welche in den Text hinein-
gerathen ist, lässt daran gerechte Zweifel entstehen.

Figuren finden sich auch bei griechischen Arithmetikern, wie
wir wissen, zur Versinnlichung der Vieleckszahlen, ja diese Zahlen
selbst haben von Anfang an ihre Namen von dieser Versinnlichung
her bekommen, und so wird die Quelle unserer Römer mit an Ge-
wissheit streifender Wahrscheinlichkeit die Figuren des regelmässigen
Fünfecks, Sechsecks, . . . Zwölfecks enthalten haben, welche neben
den Formeln übernommen werden durften, wenn nicht mussten. Aber
bei der Ausrechnung der Achteckszahl ist nicht bloss das regel-
mässige Achteck, es ist auch in einen Kreis eingezeichnet die Figur
zweier sich symmetrisch durchsetzender Quadrate vorhanden, die wir
früher um einige vom Kreismittelpunkte gezogene Hilfslinien ver-
mehrt und mit einer Buchstabenbezeichnung einiger Punkte versehen
kennen gelernt haben (Figur 66). Diese Figur ist unter keinen

*) Herr P. Tannery hat bemerkt, dass diese Formel, von der es lange
Zeit unbeachtet geblieben war, dass sie den Alten bekannt gewesen, doch ina
XVII. S. der Aufmerksamkeit Pascals nicht entging, sonst könnte er zu Anfang
seines Aufsatzes Potestatum numericarum sumnux nicht gesagt haben: Datis ab
unitate quotcumque numeris continuis invenire summam quadratorum eorum tra-
diderunt veteres; imo etiarn et summam cuborum erorimidem. Oeuvres de Pascal.
Paris 1872. Vol. 111, pag. 303,

Die Blütliezeit der römischen Geometrie. Die Agrimensoren. 521

IJmstäncleu arithmetischeri Charakters. Sie kaim sich nur auf die
geometrische Entstehung des regelmässigen Achtecks aus dem Qua-
drate beziehen, und ihr Vorkommen bei Epaphroditus gewährt unseren
früher (S. 373) ausgesprochenen Vermuthungen über die Anwendung
jener Figur eine nicht geringfügige Unterstützung. Wer aber die
beiden Figuren, das arithmetische vmd das geometrische Achteck,
wenn wir so sagen dürfen, um unsere Meinung in recht scharfe
sprachliche Gegensätze zu kleiden, neben einander abbildete, der
bewies damit, dass er die arithmetische Figur nicht verstand, dass
er glaubte beidemal mit geometrischen Dingen zu thun zu haben.
Wir fürchten, es waren jene Römer, welche dem Miss Verständnisse
unterlagen, nnd sollten Epaphroditus und Vitruvius, oder wenigstens
einer derselben, an der Vermengung dieser Dinge unschuldig sein —
die Vermuthung liegt ja nahe, dass von jenen beiden Männern der
eine eine geometrische, der andere eine arithmetische Schrift verfasste,
aus welchen nur ein Auszug vorliegt, dessen Blätter einigermassen
durcheinandergekommen sind — so hat jedenfalls der Schreiber des
Codex Arcerianus unter dem Banne der vermengenden Verwechslung
gestanden. Lässt sich doch schon zum voraus, und ohne des uns
triftig erscheinenden Beweisgrundes der beiden Achtecke sich zu be-
dienen, die Behauptung aussprechen, Arithmetisches als solches habe
in der Sammlung eines Verwaltungsbeamten keinen Platz gefunden.
Es konnte sich dort überhaupt nur einschleichen, wenn man wähnte,
es handle sich um Geometrisches, also nicht um Vieleckszahlen,
sondern um den Flächeninhalt regelmässiger Vielecke, und bei den
Pyramidalzahlen, bei den Kubikzahleu, welche dort vorkommen, mag
der Schreiber sich wohl gar nichts gedacht haben. Diese Behaup-
tungen finden auch ihre Bestätigung in den vielen bei den arith-
metischen Sätzen auftretenden Schreibfehlern.

Fassen wir also das bisher Gewonnene zusammen, so wird das
Ergebniss sich gestalten wie folgt: Die Römer sind, wenn sie auch
eine uralte Feldmesskunst besassen und des Rechnens zum täglichen
Gebrauche nicht entbehren konnten, zur Mathematik schlecht genug
veranlagt gewesen. Ein bis anderthalb Jahrhunderte lang, von Cäsar
bis nach Trajan etwa, war eine verhältnissmässige Blüthezeit römischer
Geometrie und vielleicht auch römischer Arithmetik, beide auf grie-
chische Quellen zurückgehend, unter welchen sich jedenfalls das
sogenannte andere Buch der Geometrie des Heron von Alexandria
befand. Allmälig jedoch verschwand sogar das Verständniss des da-
mals ins Lateinische Uebersetzten.

522 27. Kapitel.

27. Kapitel.
Die spätere mathematisclie Literatur der Römer.

Die Behauptung, dass die Römer iii den Zeiten Cäsars bis
Trajans aucli arithmetischer und damit bei den Griechen schon enge
verbundener algebraischer Leistungen bis zu einem gewissen Grade
fähig waren, ist ausser aus dem Bruchstücke des Codex Arcerianus,
welches wir zu diesem Zwecke verwandt haben, auch aus den Rechts-
quellen zu bestätigen.

Zinszahlungen, also auch Zinsberechnungen sind bei den
Römern ungemein alt, so dass von anderen Erleichterungen über-
bürdeter Schuldner abgesehen schon im Jahre 342 v. Chr. die freilich
nicht eingehaltene Lex Genucia gegen jede Zinsverleihung Gesetzes-
kraft gewann. Noch zu Ciceros Zeit war 48 Procent nichts Un-
erhörtes, und unter den Kaisern wurde ein Zinsfuss von 25 Procent
für ausnahmsweise massig gehalten. Dichterstellen, besonders bei
Horaz beweisen, dass das Ziusrechnen zu den täglich nothwendigeu
und darum immer geübten Kenntnissen gehörte^). Auch eine ent-
sprechende Verminderung für vorzeitigen Genuss eines erst später
zu erlangenden Besitzes, das sogenannte Interusurium oder die
Repräsentation, wie der Römer sagte, ist alt, wenn auch die
Grösse der Verminderung imd die Regeln, nach welchen sie abge-
schätzt wurde, weit entfernt davon sind, im Klaren zu sein. Ulpiau,
der am Ende des II. und Anfang des III. S. n. Chr. lebte, stellte
bereits Berechnungen ähnlicher Art unter Voraussetzung einer wahr-
scheinlichen Lebensdauer an^), allerdings wieder ohne dass wir eine
Ahnung haben, wie jene wahrscheinliche Lebensdauer gewonnen wurde.

Zu anderen Rechnungsaufgaben gab das Erbrecht der Römer,
gaben die vielfach ungemein verzwickten letztwilligen Verfügungen
Anlass, die gradezu Regel bei ihnen waren. Im Jahre 40 v. Chr.
stellte die Lex Falcidia fest, dass dem eigentlichen Erben mindestens
ein Viertel des hinterlassenen Vermögens verbleiben musste. Waren
also Vermächtnisse im Gesammtbetrage von mehr als Dreiviertel des
Vermögens testamentarisch verheissen, so mussten diese mittels einer
Gesellschaftsrechnung herabgemmdert werden, so dass die sogenannte
fa leidische Quart nicht angegriffen wurde.

Ein für die Geschichte der Mathematik in seiner Eigenthüm-
lichkeit, welche eine Uebertragung von einem Werke zum anderen

') Hultsch im Jahrbuch für classische Philologie 1889. S. 335 — 343.
*) Ad legem Faleidiam XXXV, 2, 68.

Die spätere mathematische Literatur der Römer. 523

sichert, höclist bedeutsamer Fall ist der eiues Erblassers, der seine
Wittwe in schwangerem Zustande hinterlässt und Bestimmungen für
die beiden Möglichkeiten getroffen hat, dass sie einem Knaben oder
einem Mädchen das Leben schenkt, während der thatsächlich ein-
treffende Fall, dass Zwillinge, und zwar Zwillinge von verschiedenem
Geschlechte, geboren werden, nicht vorgesehen war. Ein daran sich
knüpfender Rechtsstreit ist durch Salvianus Julianus ^), einen
Juristen, der unter den Kaisern Hadrian und Antouinus Pius wirkte,
berichtet; ein zweiter verwandter Fall kommt bei Cäcilius Afri-
canus"), ein dritter bei Julius Paulus^), einem glänzenden Ju-
risten des III. S. vor, der unter Kaiser Alexander Severus der römischen
Rechtswissenschaft zur Zierde gereichte. Die älteste Entscheidung
des Julianus lautet folgeudermassen: „Wenn der Erblasser so schrieb:

2
Wenn mir ein Sohn geboren wird, so soll dieser auf — meines Ver-
mögens, meine Frau aber auf die übrigen Theile Erbe sein-, wird mir
aber eine Tochter geboren werden, so soll diese auf , auf das

Uebrige aber meine Frau Erbe sein, und ihm nun ein Sohn und
eine Tochter geboren wurden, so muss man das Ganze in 7 Theile
theilen, so dass von diesen der Sohn 4, die Frau 2 und die Tochter
1 Theil erhält. Denn auf diese Weise wird nach dem Willen des
Erblassers der Sohn noch einmal so viel erhalten als die Frau, und
die Frau noch einmal so viel als die Tochter, Denn obgleich nach
den Bestimmungen des Rechtes ein solches Testament umgestossen
werden sollte, so verfiel man doch aus rein vernünftigen Gründen
auf die genannte Entscheidung, da ja nach dem Willen des Erblassers
immer die Frau etwas erhalten soll^), mag ihm ein Sohn oder eine
Tochter geboren werden. Auch Juventius Celsus stimmt hiermit
vollkommen überein." Dieser letztere Jurist, auf welchen Julianus
sich bezieht, der die Aufgabe also jedenfalls kannte, lebte unter
Trajan um das Jahr 100 n. Chr., war also sicherlich ein Zeitgenosse
jenes Celsus, an welchen, wie wir uns erinnern, Baibus sein feld-
messerisches Werk gerichtet hatte. Unmöglich erscheint es daher
nicht, dass diese beiden Persönlichkeiten mit Namen Celsus in eine
verschwimmen müssten, dass der gelehrte Jurist Celsus auch Inge-
nieur gewesen, auch in der Geometrie als Schriftsteller aufgetreten

^) Lex 13 principio. Digestorum lib. XXVIII, tit. 2. ^) Lex 47, § 1.
Bigestorum lib. XXVIII, tit. 5. ^) Lex 81 principio. Digestorum lib. XXVIII,
tit. 5. *) Wäre nämlich das Testament umgestossen und somit als nicht vor-
handen zu betrachten, so würden nach römischem Rechte die Kinder allein ge-
erbt haben, die Wittwe aber leer ausgegangen sein.

524 27. Kapitel.

wäre, dass von iliui auch jene Erbtheilungsaufgabe herrührte, welche
eben so gut in einem mathematischen Buche als in einer Sammlung
von Rechtsföllen einen Platz einnehmen konnte.

Zeitgenosse des Julianus um die Mitte des IL S. war ein
Schriftsteller, der uns gleichfalls für das unter den Antoninen noch
vorhandene Interesse au arithmetischen Dingen Bürge ist. Ap pu-
le ius, geboren zu Madaura, einer blühenden Kolonie an der Grenze
Numidiens gegen Gätulien hin, machte seine Studien vornehmlich zu
Athen, begab sich aber alsdann zu weiterer Ausbildung auf grössere
Reisen. Von schönschriftstellerischer Seite ist er als Verfasser eines
witzigen Romans bekannt. Aber auch als mathematischer Schrift-
steller ist er aufgetreten. Cassiodor^) im zweiten Drittel des VI.,
Isidor von Sevilla^) am Anfang des VII. S. bezeugen ausdrücklich,
die Arithmetik des Nikomachus sei erstmalig durch Appuleius, dann
zum zweiten Male durch Boethius ins Lateinische übertragen worden.
Unmittelbare Ueberreste der Bearbeitung durch Appuleius sind nicht
erhalten, so dass ein Urtheil darüber nicht gefällt werden kann, in
wie weit die Behauptung, Appuleius habe auch Rechenbeispiele in
grösserer Anzahl gelehrt, nur auf einem Missverständnisse beruht,
indem die betreffenden Gewährsmänner seine Arithmetik gleichfalls
nur vom Hörensagen kannten und aus dem Titel ihre falschen
Schlüsse zogen, oder aber Wahrheit ist. Im XV. und XVI. S. wurde
mit Sicherheit an die Wahrheit geglaubt. Ein Rechenbuch, algo-
rithmus linealis genannt, aus jener Zeit, der Erlanger Universitäts-
bibliothek angehörig, beginnt ausdrücklich mit den Worten: „Um die
vielen Irrthümer der Kaufleute und die Schwierigkeiten des andern
Theiles der Arithmetik zu vermeiden, ist bei Appuleius, dem in allen
Wissenschaften hocherfahrenen Manne, eine andere Anschauung dieser
Kunst erfunden, welche ebenso viel berühmter als leichter und den
Geisteskräften eines Jeden angepasster ist als die erste; bei uns
heisst sie Rechnung auf den Linien"''). Ein 1540 in Paris anonym
erschienenes Rechenlehrbuch sagt: „Die ganze Kraft dieser Disciplin
ruht in den Beispielen der Addition und Subtraktion; wer das ganze
Kapitel vollauf kennen lernen will, der lese den Appuleius, welcher
zuerst den Römern diese Dinge beleuchtete"'^). Es hält so be-
stimmten Aeusserungen gegenüber schwer, des Glaubens sich zu er-
wehren, dass, wer so sprach, die Schrift des Appuleius selbst vor
Augen gehabt habe. Nicht minder schwer freilich fällt die Annahme,

^) Cassioclor, Opera (ed. Garet). Venedig, 1729, Bd. II, pag. 555,
col. 2, lin. 14 V. u. ^) Isidor Hispalensis^ Origincs Lib. III, Cap. 2.
^) Friedlein, Zahlzeichen und elementares Rechnen u. s. w. S. 48. *) Math.
Beitr. Kulturl. Anmerkung 351.

Die spätere mathematisclie Literatur der Römer. 525

Appuleius habe die Arithmetik des Nikomachus, die wir im Origi-
nale wie in der Bearbeitung des Boetbius zur Genüge kennen, so
selbständig oder unter Zuziehung anderer Quellenschriften behandelt,
dass er Reehenbeispiele einfügen konnte. Oder sollen wir annehmen,
Nikomachus habe neben der Arithmetik ein ganz verschollenes
Rechenbuch verfasst? Auf dieses beziehe sich der Ausspruch Lucians:
Du rechnest wie Nikomachus? Dieses habe Appuleius übersetzt, und
das Missverständniss rühre von Cassiodor und dem ihn ausschreiben-
den Isidor her, welche die Uebersetzungen zweier verschiedener
Werke des Nikomachus ins Lateinische vermengten? Wir fühlen
wohl, wie viele Gründe sich auch dieser Annahme entgegenthürmen,
wollten aber keinesfalls versäumen, jede der verschiedenen Möglich-
keiten jene Aeusserungen später Zeit zu erklären anzuführen. Unter-
stützend für unsere Annahme ist jene Berufung des Nikomachus auf
eine von ihm verfasste Einleitung in die Geometrie (S. 404).
Es ist uns wenigstens gar nicht undenkbar, dass diese einen wesent-
lich rechnenden Charakter hatte. War doch seit Herons rechnender
Geometrie grade eine diese Vorkenntnisse umfassende Einleitung
Bedürfniss geworden, während zu einer wahrhaft geometrischen Ein-
leitung in die Geometrie Anlass kaum vorhanden war.

Auch auf geometrischem Gebiete ist die wenn nicht selbst-
schöpferische doch an Uebertragungen griechischer Schriftsteller sich
übende Thätigkeit der Römer keineswegs mit den Zeiten Trajans
abgeschlossen. Neben den im Codex Arceriauus vereinigten, Avie wir
sahen, um die Mitte des V. S. schon zusammengestellten vielleicht
zum Theil später als Trajan, sogar später als Diophant zu datirenden
Stücken ist uns ein sehr bedeutsames Fragment aus dem IV. S. er-
halten, welches zeigt, dass nicht bloss der „Heron" der Praktiker,
sondern auch der „Euklid" der Theoretiker der römischen Sprache
mächtige Liebhaber besass. Dieses Fragment^), auf welches zuerst
1820 hingewiesen worden ist, und welches seitdem unausgesetzt die
Aufmerksamkeit philologischer Forscher in Spannung erhielt, gehört
der unteren Schrift eines Palimpsestes an, der in der Kapitelbibliothek
zu Verona früher unter der Nummer 38, jetzt unter der Nummer 40
aufbewahrt wird. Die jüngere dem IX. S. angehörende Schrift ent-
hält einen Theil der „Moralischen Betrachtungen zum Buch Hiob"
vom Papst Gregor dem Grossen (f G04). Die darunter erkennbare

*) Vergl. die von Nie buh r 1820 in Rom herausgegebenen Bruchstücke
der Reden Ciceros für Fonteius und Rabirius pag. 20. Blume, Iter Italicmn
I, 263. Keil auf pag. XI der Vorrede zu seiner Ausgabe des Probus. Reif f er -
scheid, Sitzungsber. d. philol. Abthlg. der Wiener Akademie XLIX, 59.
Mommsen, Abhdlg. der Berliner Akademie 1868, S. 153, 156, 158.

526 27. Kapitel.

ältere Schrift stammt uacli dem Dafürlialten aller neueren Sach-
kundigen unter Beachtung aller Merkmale der Schrift wie der Sprache,
welche zur Entscheidung beitragen können, aus dem IV. S. Kaum
mit blossem Auge erkennbar, gab sie mühevollster Entzifferung ihren
Inhalt kund. Es sind Bruchstücke des Yergilius, des Livius und
Geometrisches, welche im IX. S. würdig schienen theologisch -mora-
lischen Betrachtungen den Platz zu räumen. Das geometrische Frag-
ment^) gibt sich selbst als dem XIV. und XV. Buche des Euklid
entstammend an. Seine Nummerirung ist aber keineswegs mit der
gebräuchlichen gleichlaufend. Als XIV., als XV. Buch der eukli-
dischen Elemente bezeichnet man bekanntlich (S. 342 und 468) jene
von mindestens zwei verschiedenen Schriftstellern herrührenden stereo-
metrischen Abhandlungen, welche, man weiss nicht recht wie und
wann, an die dreizehn Bücher der Elemente angehängt worden sind.
Diesen Abhandlungen gleicht das lateinische Bruchstück nicht im
geringsten. Ohne Satz für Satz und Figur für Figur mit dem grie-
chischen Euklidtexte zur Deckung gebracht werden zu können, ist
es doch unter allen Umständen den echt euklidischen mit Stereo-
metrie sich beschäftigenden Büchern, dem XII. und XIII. Buche
unserer griechischen Texte entnommen. Es ist entweder Auszug,
oder Uebersetzung eines Auszuges, jedenfalls Arbeitsexemplar des
Unbekannten, von welchem es herrührt, wie der Entzifferer mit
grossem Scharfsinne aus der Thatsache geschlossen hat, dass einzelne
Wörter durchstrichen und durch anders lautende Synonyma ersetzt
sind. Das kann selbstverständlich nur auf den Schriftsteller, be-
ziehungsweise den Uebersetzer selbst zurückgeführt werden, und zwar
in einer Zeit, in welcher seine Arbeit noch in Vorbereitung, noch
nicht abgeschlossen war.

Die andere Seite unserer zum Schlüsse des vorigen Kapitels
ausgesprochenen Behauptung, dass das Verständniss der aus Griechen-
land überkommenen mathematischen Kenntnisse der Römer mehr und
mehr schwand, findet gleichfalls Bestätigung, wenn wir die Magerkeit
uns betrachten, zu welcher im Laufe der Jahrhunderte die römische
Mathematik zusammenschrumpfte.

Theodosius Macrobius, ein vielleicht aus Afrika stammender
Schriftsteller, von welchem uns Commentare erhalten sind^), die um

') Der Entzifferer, Prof. W. Studemund, hat längst eine Herausgabe zu-
gesagt. Er ist leider gestorben, obne seine Zusage erfüllt zu haben. Unser
Bericht entstammt den mündlichen Mittheilungen, welche er so freundlich war,
unter Vorzeigung seines vorbereiteten Materials uns zu machen, und deren Ver-
öffentlichung er uns gestattet hat. ^) Macrobius, Opera (ed. v. Jan), Quedlin-
burg und Leipzig, 1848 — 52.

Die spätere mathematisclie Literatur der Römer. 527

400 entstanden sein dürften, und in welchen liier und da zerstreut
auch einige mathematische Erläuterungen vorkommen, ist noch bei
weitem der dürftigste nicht. Wir denken auch nicht au den kurz
vor oder nach 457 entstandenen Calculus des Victor ius, dessen
Nothwendigkeit wir oben (S. 495) eingesehen haben, begründet in
der Schwierigkeit mit den römischen Duodecimalbrüchen Rechnungen
auszuführen. Wir denken zunächst an Martianus Mineus Felix
Capella. Er war in der ersten Hälfte des V. S. in Karthaso sfe-
boren und stieg bis zur Würde eines römischen Proconsuls empor.
Er hat uns ein aus neun Büchern bestehendes encyklopädisches
Werk, welches den Gesammtnamen Satira führt, hinterlassen^), dessen
Entstehung etwa auf das Jahr 470 fällt. Die beiden ersten Bücher
führen den besonderen Titel der Vermählungsfeier der Philologie mit
Merkur und stellen ein kleines Ganzes dar, eine Art von philoso-
phischem und allegorischem Romane, der als Einleitung dient. Zur
Vermählung erscheinen alsdann die sieben Wissenschaften, welche,
um den Ausspruch Quintilianus zu benutzen, den Kreis der freien
Lehre ausmachen'). Es sind dieselben freien Künste, in derselben
Reihenfolge, wie wir sie durch Varros Werk kennen, dessen Einthei-
lung uns wenigstens erhalten blieb (S. 507). Jede Wissenschaft
bringt ihr Symbol mit. Nach der Grammatik, der Dialektik und der
Rhetorik tritt die Geometrie auf. Sie hat den mit blauem Sande be-
streuten Abacus in Händen^), auf welchen also diesmal die Figuren
gezeichnet werden sollen, mit welchen die Geometrie sich abgibt.
Freilich eine sonderbare Geometrie, deren räumlicher Hauptbestand-
theil in geographischen Begriffen, in einer Aufzählung historisch
interessanter Orte, deren Gründer zugleich genannt werden, aufgeht.
Dann kommen Definitionen von Linien, Figuren, Körpern, dann die
nothwendigsten Forderungen, Alles nach Euklid und unter Benutzung
der griechischen Benennungen. Sind aber die Vorbereitungen erst
so weit getroffen, dass die Göttin auf dem Abacus eine grade Linie
zieht und die Frage stellt: Wie lässt sich über einer gegebenen
Strecke ein gleichseitiges Dreieck errichten, da erkennen sofort die
in dichtem Haufen sie umstehenden Philosophen, sie wolle den ersten
Satz der euklidischen Elemente bilden, brechen in lautes Klatschen
und Hochrufen auf Euklid aus . . .'^) und das VI. Buch und mit ihm

^) Martiani Capellae De nuptiis philologiae et Mereurii de Septem artibus
liberalibus librilX (ed. Ulr. Kopp). Frankfurt a. M., 1836. ^) Quintilianus I,
10, 1. *) Hyalini pulveris respersione coloratam mensulam. *) Quo diclo cum
plures philosophi, qui undiquesecus constipato agmine consistebant, primum Eucli-
dis theorema formare eam velle cognoscerent, confestim acciamare Euclidi plaude-
reque coeperunt.

528 27. Kapitel.

die Geometrie ist zu Ende. Von Feldmessung, von rechnender Greo-
metrie mit einem Worte von Heroniscliem ist in keiner Weise die
Rede. Im VII. Buche macht die Arithmetik ihre Aufwartung mit
ihren Fingern die Zahl 717 darstellend, durch welche sie den Gott
der Götter hegrüsst. Wir haben dieses Zeugniss für die auch damals
bekannte Fingerrechnung (S. 491) anrufen dürfen. Wir fügen hinzu,
dass Pallas auf die Frage der Philosophie, was jene Zahl zu bedeuten
habe? erwidert: die Arithmetik grüsse Jupiter mit seinem eigenen
Namen. Diese Stelle ist jedenfalls richtig dahin erklärt worden,
Jupiter sei der Anfang der Dinge und rj KQirj stelle durch den
Zahlenwerth der Buchstaben 8 + 1+100 + 600 + 8 die Zahl 717
vor. Auch Pythagoras ist bei den der Vermählung wegen ver-
sammelten Gästen und tritt nun näher hinzu, er, der bisher bei den
Zeichnungen auf dem Abacus als Zuschauer gestanden hatte. Der
kundige Leser ist durch die symbolische Begrüssung, durch das per-
sönliche Auftreten des Pythagoras zur Genüge auf das vorbereitet,
was er im VII. Buche nun entwickelt finden wird: eine wesentlich
pythagoräische Arithmetik nach dem Muster des Nikomachus, wie
sie den Römern, wenn nicht schon seit Appuleius, jedenfalls seit
Plotinus unter ihnen gelebt hatte, geläufiger geworden war, wie sie
jetzt in einer Zeit, während welcher mancher von den tonangebenden
vornehmsten Römern zu den Füssen des Proklus in den Vorlesungs-
räumen von Athen gesessen hatte, gewiss auf Verständniss zählen
durfte. Wir sind mit der Bemerkung, dass diese Erwartung nicht
getäuscht wird, einer genaueren Berichterstattung über das VII. Buch
überhoben. Wir machen nur auf die negativ eigenthümliche Er-
scheinung aufmerksam, dass der vieleckigeu Zahlen, die bei Niko-
machus eine so wichtige Rolle spielen, kaum gedacht ist. Wohl
heisst es, die Ebene habe verschiedene Gestaltungen, nach welchen
die Zahlen geordnet werden können^), aber nach einer arithmetisch
vernünftigen Ausführung dieses Gedankens fahndet man vergeblich.
Es kann unsere Aufgabe nicht sein zu erörtern, wie viel oder wie
wenig im VIII. Buche der Astronomie, im IX. Buche der Musik in
den Mund gelegt wird. Wir sind von der Mühe befreit die Geschichte
auch dieser Wissenschaften zu verfolgen, und ohne irgend welchen
Zwang der Durchforschung wird man die schwülstigen und zugleich
langweiligen Auseinandersetzungen des Martianus Capella sich lieber
schenken.

In die Blüthezeit des eben besprochenen Schriftstellers etwa auf

') Ipsa autem 2>ici''nities varias formas habet, numeris ad simiUtudincm figu-
rarum ordinatis.

Die spätere mathematische Literatur der Römer. 529

475 fällt die Geburt eines anderen Mannes, zu welchem wir uns nun
zu wenden haben, Magnus Aurelius Cassiodorius Senator^).
Er war im südlichen Italien in Bruttien geboren, unweit von Scyl-
lacium, an einer von Naturschönheiten so reich erfüllten Stelle, dass
er sie später von allen aussuchte, sein Leben dort zu beschliessen.
Noch in sehr jugendlichem Alter von kaum 20 Jahren trat er in
den Staatsdienst, frühstens im Herbst 500"), zu einer Zeit, wo Theo-
dorich eben den gothischeu Staat in Italien gegründet hatte, und zu
diesem Fürsten trat Cassiodorius in die Stellung eines Geheim-
schreibers, äusserlich genommen Theodorichs Dolmetscher, in Wirk-
lichkeit sein einflussreicher Rathgeber. Die vielseitigen, wenn auch
nicht überall tiefen Kentnisse des Ministers — als solchen dürfen
wir ihn vielleicht bezeichnen — machten ihn dem Könige unent-
behrlich, sowohl in den Geschäften der Regierung, als in den ver-
schiedensten Privatbeziehungen, und erst der Tod Theodorichs 526
löste das Band, welches Gewohnheit und gegenseitige Zuneigung
um beide Männer geschlungen hatte. Auch unter den Nach-
folgern Theodorichs blieb Cassiodorius, so verhasst ihm Persönlich-
keiten und einzelne Handlungen oft sein mochten, der gothischen
Sache getreu, um von dem Staatsbaue seines königlichen Freundes
zu retten, was noch zu retten war. Man besitzt Staats Schriften von
538, die Cassiodorius unterzeichnet hat. Am Hofe erlebte er noch
den Ausbruch des Krieges gegen die Byzantiner, und erst 540 etwa,
nachdem Ravenna schon in Belisars Händen war, zog Cassiodorius
sich in das von ihm selbst gestiftete Kloster in seiner Heimath zu-
rück, dort eine reiche literarische Thätigkeit zu entfalten. Cassio-
dorius war einer der ersten, welche dem Beispiele folgend, das
Benedict von Nursia in seinem 529 zu Monte Casino bei Neapel
gestifteten Kloster so segensreich aufstellte, dem klösterlichen Leben
einen anderen Inhalt als den der blossen Zurückgezogenheit und
Beschaulichkeit gaben. Eine Bibliothek entstand, lernende und
forschende Thätigkeit entfaltete sich. Ein stärkerer Gegensatz als
der gegen die Kulturentwickelung im byzantinischen Reiche ist kaum
denkbar. Dort befinden Religion und Wissenschaft sich in fast fort-
währendem Kampfe, bei welchem die weltliche Macht meist auf Seite

*) A. Thorbecke, Cassiodorus Senator. (Heidelberger Lyceumsprogramm
von 1867.) Die Lesart Cassiodorius hat Usener, Änecdoton JSolderi (Fest-
schrift zur 32. Philologenversammlung. Wiesbaden, 1877), S. 16, wie wir glauben,
sicher gestellt. *) Nach Usener 1. c. S. 70 datirt sich der erste bekannte
Brief des Cassiodorius von 501. Dafür, dass Cassiodorius damals noch am An-
fange der zwanziger Jahre gestanden haben muss, vergl. Thorbecke S. 7 — 10,
Usener S. 4.

Cantoe, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 34

530 27. Kapitel.

der Kirche steht (S. 469). Hier ist das Kloster, also eine Gründung
religiösen, wenn nicht kirchlichen Ursprunges, Stätte der Wissenschaft
und bleibt es, so lange die Regel des heiligen Benedict allein die
Ordensbrüder beherrscht. Das Theologische stand naturgemäss oben-
an, aber auch die weltlichen Wissenschaften, als nützliche Vorberei-
tungsschule zu Höherem, wurden keineswegs vernachlässigt. Tag
und Nacht wurden von emsigen Händen in schönen Zügen Schriften
von mitunter zweifelhaftem mitunter wirklichem Werthe zu Perga-
ment gebracht. Preist doch Cassiodor im 30. Kapitel seines Buches
De insütiiüonc divinarum Uterarum das Bücherabschreiben als die ver-
dienstlichste körperliche Arbeit in begeisterten Worten, hat er doch
Lampen eigener Art für die Nachtarbeit erfunden, Sonnen- und
Wasseruhren aufgestellt, um Zeit und Thätigkeit zu ordnen. Dass
er aber im Fleisse sich von keinem seiner Untergeordneten über-
treffen liess, beweist neben anderen Schriften eine Abhandlung über
Orthographie, welche er bereits 93 Jahre alt noch verfasst hat. Es
ist anzunehmen, dass diese seine letzte Arbeit war und dass er um
570 gestorben ist. Cassiodorius hat 12 Bücher Briefe^) hinterlassen,
aus welchen auch für die Geschichte der Mathematik unterschied-
liche Notizen gewonnen worden sind. Theils sind es unveränderte
Abschriften früherer staatlicher oder privater Schreiben, welche
Cassiodor für Theodorich zu fertigen hatte, theils neue Redaktionen
solcher Schreiben, in wenig angenehmer Weise durch Schwulst und
Ueberladung ausgezeichnet, welche dem VI. S. im Allgemeinen, welche
aber vorzugsweise unserem Schriftsteller eigenthümlich sind.

Von seinen übrigen Werken nennen wir eine kurzgefasste Ency-
klopüdie, De arÜhus ac disciplinis liberaUum Uterarum, welche in ähn-
lichen 7 Abtheilungen, wie wir sie bei Martianus Capeila theil weise
zu schildern hatten, die Wissenschaften behandelt. Die Eintheilung
in 7 Wissenschaften war für Cassiodorius geradezu verführerisch.
Er besass eine im letzten Grunde muthmasslich den Ausläufern des
Neuplatonismus entstammende Verehrung für heilige Zahlen'-^). Er
hatte die Zwölfzahl der Bücher seiner Briefe nur um der zahlreichen
Vergleichspunkte willen gewählt; er witterte, wie sein Psalmencom-
mentar beweist, hinter der Ordnungszahl eines jeden Psalmen tiefere
Beziehungen; so war ihm die Zahl 7 der Wissenschaften Symbol
der Ewigkeit. Die Reihenfolge hat Cassiodorius gegen Varro und
Martianus Capella geändert. Ihm folgen jetzt Grammatik, Rhetorik,
Dialektik, Arithmetik, Musik, Geometrie, Astronomie auf einander.
Ein weiterer einigermassen wesentlicher Unterschied gegen Martianus

') Variarum (epistolarum) libri XJl. '^) Thor b ecke 1. c. S. 52.

Die spätere mathematisclie Literatur der Römer. 531

Oapella besteht darin, dass bei diesem die griechischen Wortformen
theil weise sogar in griechischen Schriftzügen vorherrschen, während
Cassiodorius hier mit mitunter recht ungeschickten Uebersetzungen als
lateinischer Sprachreiniger auftritt. Er beabsichtigt nicht das Ausführ-
liche dieser Wissenschaften zu lehren. Er will vielmehr die Schrift-
steller der Griechen und Römer bezeichnen, bei welchen man sich
mit den einleitenden Kenntnissen versehen ausführlicher unterrichten
könne ^). So ist es gewissermassen entschuldigt, wenn Arithmetik
und Geometrie, auf die wir wieder allein unser Augenmerk richten,
noch mehr zu einer blossen Sammlung von Definitionen geworden
sind. Seinem Versprechen getreu empfiehlt er Pythagoras, Niko-
machus und die Uebersetzer des letzteren Appuleius mid Boethius,
aus deren Schriften, wie man sage — nt aiimt — nlan sich mit den
klarsten Anschauungen durchdringen könne, eine Ausdrucks weise,
welche in Zweifel setzt, ob er selbst diese Schriften kannte und so-
mit dem, was wir über eine mögliche Vermengung verschiedener
durch Appuleius und Boethius übersetzten Schriften (S. 525) an-
deuteten, nicht im Wege steht. Dem Abschnitte über Geometrie fügt
er bei, in dieser Wissenschaft seien bei den Griechen Euklid, Apollo-
nius, Archimed und andere annehmbare Schriftsteller aufgetreten, von
welchen Euklid durch denselben grossartigen Mann Boethius in die
römische Sprache übertragen worden sei, ex quibus Euclidem translatum
in Romanam lingiiam ideni vir tnagnificus Boethius declit. Für die Musik
wird auf die Griechen Euklid, Ptolemäus und so weiter, in lateinischer
Sprache auf Appuleius von Madaura verwiesen. Aus dem astronomischen
Abschnitt endlich erwähnen wir der Empfehlung der Schriften von
Ptolemäus. Der Name des Boethius kommt in diesen beiden letzten
Abschnitten nicht vor, einer lateinischen Uebersetzung des Ptolemäus
ist überhaupt nicht gedacht.

Wir" verweilen etwas länger, als der Gegenstand und die ency-
klopädische Behandlung desselben es eigentlich verdienen, bei Cassio-
dorius und seiner Wissenschaftslehre, um zugleich ein Bild mönchi-
schen gelehrten Treibens zu entwerfen, wie es von diesem Zeitpunkte
an uns jeden Augenblick wieder begegnen wird. Diesem Bilde würde
ein nicht unwesentlicher Strich fehlen, und uns zugleich die Gelegen-
heit entgehen, hier schon eines regelmässigen Arbeitsstofifes mittel-
alterlicher Gelehrten zu gedenken, wenn wir nicht noch über einen
ganz kurzen Aufsatz redeten, der unter den Werken des Cassiodorius

^) Nee illucl qtioque tacebimus quibus aiidoribus tarn Graecis quam Latvds,
quae dicimus, exposita claruerunt: ut qui studiose legere voluerit, quibusdam com-
pendiis introductus, lucidius Majorum dicta percipiat.

34*

532 27. Kapitel.

abgedruckt worden ist. Wir meinen einen Computus paschalis vom
Jahre 562.

Man hat Einsprache dagegen erhoben, dass diese Oster-
rechnung von Cassiodor herrühren könne. In der Vorrede zur
Abhandlung über Orthographie, welche Cassiodorius, wie wir schon
sagten, mit 93 Jahren schrieb, sind die Schriften desselben aufge-
zählt, und unter diesen ist kein Computus enthalten. Sollte derselbe
daher später geschrieben sein, etwa im 94. Lebensjahre, so müsste
durch Rückwärtsrechnung Cassiodor im Jahre 500 bei seiner ersten
Anstellung mindestens 32 Jahre alt gewesen sein im Widerspruch
gegen die früher angeführte wohlbegründete Annahme, er habe da-
mals am Anfange der zwanziger Jahre gestanden. Diesen Wider-
spruch zu heben und zugleich den Computus für Cassiodor zu retten
hat man die Vermuthimg ausgesprochen, dieses Schriftstück sei be-
reits mehrere Jahre vor der Abhandlung über Orthographie ent-
standen und um seiner geringfügigen Ausdehnung willen in dem ge-
nannten Verzeichnisse eigener Schriften ausgelassen worden. Sei
dem nun, wie da wolle, sicher ist, dass im Jahre 562 ein Computus
paschalis möglicherweise durch Cassiodor verfasst wurde, wie wir
auch schon (S. 495) gelegentlich gesehen haben, dass Victorius von
Aquitanien 457 eine solche Anleitung zur Auffindung des richtigen
Ostertages schrieb^).

Solche theologisch- chronologische Abhandlungen waren wesent-
lich durch das auf dem Concilium von Nicäa, 325, ergangene
Verbot der mit den Juden gleichzeitigen Feier des Osterfestes her-
vorgerufen worden. Das Passahfest, d. h. das Fest der Verschonung,
womit die Verschonuug von den Plagen in Aegypten gemeint war,
fand bei den Juden stets vom 14. bis zum 21. des Monats Nisan
statt, und zwar wurde dieser IVfönat dem Mondjahre der jüdischen
Zeitrechnung gemäss immer so durch periodisch eingeschobene
Schaltmonate bestimmt, dass der 14. auf die Frühlingstagundnacht-
gleiche fiel. Das christliche Osterfest mit seiner ganz anderen Be-
deutung war zunächst auf dem althergebrachten Datum des 14. Nisan
verblieben. Erst das nicäanische Concil fasste, wie gesagt, diese
Zeitbestimmung als ketzerisch auf, und man verfolgte die, welche
bei den alten Ostertagen blieben, als Quatuordecimani oder Tessares-
kaidekasiten. Ostern solle von den strenggläubigen Bekennern der
christlichen Religion stets am Sonntage nach dem ersten Vollmonde
seit der Frühlingstagundnachtgleiche gefeiert werden, niemals an

^) Ueber den Computus des Victorius vergl. L. Ideler, Handbuch der
mathematischen und technischen Chronologie II, 275 — 284.

Die spätere mathematische Literatur der Römer. 533

diesem Tage selbst, aucli nicht wemi der Vollmond auf die Frühlings-
tagunduachtgleiche und diese auf einen Sonntag fiel; dann musste
der folgende Sonntag als Ostersonntag gewählt werden, damit das
Zusammentreffen mit dem Passahfest unter allen umständen ver-
mieden blieb. Es kam also darauf an, den Tag der Frühlingstag-
undnachtgleiche im Sonnenjahre, den des nächsten Vollmondes im
Mondjahre genau zu kennen, beziehungsweise eine Ausgleichung
zwischen dem Sonnen- und Mondjahre zu treffen, welche auf gewissen
Cyklen beruhte, in welchen beide Jahresgattungen genau enthalten
waren. Das nicäanische Concil nahm an: 19 Sonnenjahre seien genau
235 Mondsmonate. Damit war ein Irrthum verbunden, da nach

strenger Rechnung zu den 235 Mondsmonaten noch etwa 1— Stunden

hinzuzufügen sind. Die Nothwendigkeit anderer genauerer Cyklen
wurde eingesehen, und nach Auffindung solcher Gleichungen zwischen
Sonnen- und Mondzeit die Berechnung des Ostertages für jedes Jahr
vorzunehmen, die sogenannte goldene Zahl, die Epacte zu finden^),
zu finden ob das Jahr Schaltjahr sei oder nicht und dergleichen, das
ist der algebraisch ziemlich dürftige Inhalt derjenigen Schriften,
welche sämmtlich den gleichen Titel des Computus pascJialis führen.
Unter den von Cassiodorius zum genaueren Studium empfohlenen
Schriftstellern ist uns wiederholt der Name des Boethius erschienen.
Anicius Manlius Severinus Boethius") stammte aus einer der
reichsten und berühmtesten Patricierfamilien Roms, deren Mitglieder
längst gewohnt waren, hohe Staatsstellen zu bekleiden, aber auch
den Wechsel der Schicksale durch fürstliche Ungnade zu empfinden.
Er war zwischen 480 und 482 etwa geboren^) und verlor kurz da-
rauf seinen Vater, so dass seine Erziehung von Fremden geleitet
werden musste. Wahrscheinlich und zum Glück für die geistige
Ausbildung des begabten Jünglings wurde er der Sorge des Patriciers
Symmachus*) anvertraut, der vollständig geeignet war Vaterstelle
an ihm zu vertreten. Später wurden aus den Beziehungen beider
enge Familienbande, indem Boethius die Tochter des Symmachus
heirathete. Boethius war schon Lehrer in dem Alter, wo andere zu
lernen pflegen''). König Theodorich forderte in einem selbstverständ-

') Ideler, Handbuch der mathematischen und technischen Chronologie II,
239 und häufiger. F. J. Brockmann, System der Chronologie (Stuttgart, 1883),
Kap. IV. Die christliche Osterrechnung. *) Usener, Anecdoton Holderi pag.
37—66. Aeltere Quellen sind benutzt in Math. Beitr. Kulturl. S. 176—230.
^) Usener pag. 40. ■*) Ueber Symmachus vergl. Usener pag. 17 — 37.
^) Ennodius sagt von ihm: Boethius patricius, in quo vioo discendi armos
respicis et intelligis peritium sufßcere tum docendi.

534 2'^- Kapitel.

Hell durch Cassiodor geschriebenen und in dessen Briefsammlung
uns aufbewahrten Briefe ihn auf, auch für den Burgunderköuig Gun-
dobad eine Wasser- und Sonnenuhr zu besorgen. Im Jahre 507
entbrannte Krieg zwischen Theodorich und Gundobad. ■ Jener ein
freundliches Verhältniss beider voraussetzende Brief kann demnach
nicht später als 506 geschrieben sein^). Wir werden aus jenem
Briefe nachher noch entnehmen, welche schriftstellerische Thätigkeit
als üebersetzer aus dem Griechischen Boethius damals schon ent-
faltet hatte. Fürs Erste ist er uns ein Zeugniss für das Ansehen,
in welchem Boethius bei dem Könige stand, und dieses ebenso wie
das des Symmachus wuchs beständig. Allein mit der steigenden Be-
deutung des Boethius stieg auch sein eifriges Bemühen die Freiheit
und das Ansehen des römischen Senates wieder herzustellen, wodurch
er den Höflingen, die schon lange neidisch auf ihn waren, Gelegen-
heit gab ihn beim Könige zu verdächtigen. Untergeschobene Briefe
mussten die Ansicht begründen helfen, als habe Boethius aus Ehr-
geiz sich zum Verrathe verleiten lassen. Schuldig befunden, weil
man ihn schuldig wollte, wurde er seines Vermögens beraubt, seiner
Würden entsetzt und wahrscheinlich nach Pavia, dem damaligen
Ticinum, verwiesen. Dort wurde er wenigstens nach längerer Ge-
fangenschaft enthauptet, vermuthlich 524, der Kirchensage nach am
23. Oktober, welcher zu Pavia, Brescia und an anderen Orten wohl
schon seit dem YIII. S. als Tag des heiligen Boethius gefeiert wurde.
Symmachus konnte seinem Schmerze über den gewaltsamen Tod
seines Schwiegersohnes nicht gebieten. Seine Aeusserungen darüber,
denen es an berechtigter Schärfe nicht gefehlt haben mag, wurden
dem Könige hinterbracht, der sie ebenso ahndete wie das ange-
nommene Verbrechen^dessen, dem die Klagen des Symmachus galten.
Symmachus wurde in Fesseln nach Ravenna gebracht und im Gefäng-
nisse getödtet. Auch dafür gibt die Sage einen bestimmten Tag,
den 8. Mai. Theodorich folgte seinen Opfern, deren Geister sein
zerrüttetes Nervensystem ihm unaufhörlich vor die Augen zauberte,
noch 526 nach. Wie viel theologische Streitigkeiten zwischen dem
formell rechtgläubigen Boethius und dem arianischen Hofe Theodo-
richs zu der Entwicklung beigetragen haben mögen, ist unklar. Dass
Boethius die ihm eine Zeit lang abgesprochenen theologischen Schriften
wirklich verfasst hat, dürfte nach Auffindung eines Zeugnisses des
Cassiodor nicht länger zweifelhaft erscheinen"-). Ein Widerspruch

') Usener pag. 39. ^) Usener pag. 48 — 59 über die theologischen
Schriften des Boethius, namentlich auch über deren scheinbaren Widerspruch
gegen die Bücher De consolatione.

Die spätere mathematische Literatur der Römer. 535

gegen das Werk „über die Tröstungen der Philosophie", welches
Boethius im Gefängnisse zu seiner eigenen Geistesberuhigung ver-
fasste, ist nur scheinbar, keinesfalls so gross, um Boethius nicht als
möglichen Verfasser auch der theologischen Abhandlungen erkennen
zu lassen. Die Geistesrichtung des Boethius, der an griechischen
Schriftstellern sich durchweg gebildet hatte, war, trotz formaler
Strenggläubigkeit im Christenthum, eine dem Heidnischen nicht ab-
geneigte, und überdies lehnt sich jenes Werk der Tröstungen an
griechische Vorbilder an, an Schriften von Aristoteles verquickt mit
spätplatonischen Commentatoren. Man muss sich ganz im Allgemeinen
wohl davor hüten bei Boethius viele eigene Gedanken zu suchen,
oder aus der Hochschätzung der Zeitgenossen und der Nachkommen
eine zu grosse Meinung von der Bedeutung des Mannes sich zu
machen, dessen Uebersetzungsarbeiten selbst nicht auf die Höhe
ihrer Aufgabe gelangt sind, und der darum noch lange kein Riese
war, weim er Zwerge überragte. Ob die Regel der Combinationeu
zu je zweien aus beliebig vielen Elementen, man soll die Hälfte des
Produktes der Elementenzahl in ihre um 1 verminderte Anzahl
nehmen, von Boethius selbst herrührt, wissen wir nicht. Er hat sie
im fünften Buche seiner Commentaria in Porphyrium ausgesprochen^).

Uns interessiren namentlich diejenigen Uebersetzungen , welche
Boethius, wie wir gesehen haben, in seinem 24. Lebensjahre schon
vollendet haben muss. In jenem Briefe des Theodorich an Boethius"')
heisst es: ,Jn Deinen Uebertragungen wird die Musik des Pythagoras,
die Astronomie des Ptolemäus lateinisch gelesen. Nikomachus der
Arithmetiker, der Geometer Euklid werden von den Ausoniern gehört.
Plato der Forscher göttlicher Dinge, Aristoteles der Logiker streiten
in der Sprache des Quirinals. Auch Archimed den Mechaniker hast
Du lateinisch den Sikulern zurückgegeben, und welche Wissenschaften
und Künste auch das fruchtbare Griechenland durch irgend welche
Männer erzeugte, Rom empfing sie in vaterländischer Sprache durch
Deine einzige Vermittlung." Vorzugsweise Wichtigkeit besitzen für
uns von diesen Uebersetzungen die der Arithmetik und Geometrie;
daneben kann die der Musik, der Astronomie, der Mechanik uns ge-
legentliche Notizen liefern, die sich vielleicht werthvoll erweisen.

Von den mechanischen Schriften nach Archimed ist uns freilich
ausserhalb der hier angeführten Briefstelle keinerlei Erwähnung
bekannt.

Was die Astronomie und Musik betrifft, die Boethius lateinisch

') Heiberg im Philologus XLIII, 475 — 476. Die Stelle findet sich in der
Baseler Folioausgabe der Werke des Boethius von 1570 auf pag. 104 und 105.
^) Cassiodorius, Varia I, 45.

536 27. Kapitel.

schrieb, so erirmern wir daran, dass von iliuen in der Encyklopädie
des Cassiodorius keine Rede ist. Doch ist für die Astronomie
wenigstens mehr als ein späteres Zeugniss vorhanden. Wir werden
später sehen, dass Gerbert in einem entweder 982 oder 985 ge-
schriebenen Briefe aus Mantua seine Freude darüber kundgibt, dass
er acht Bücher gefunden habe: Boethius über Astronomie, über Geo-
metrie und anderes nicht weniger Bewundernswerthes ^). Aber auch
noch 1515 war die Astronomie nach aller Wahrscheinlichkeit vor-
handen, wenigstens beruft sich ein in jenem Jahre zu Augsburg ge-
drucktes Buch auf deren Benutzung'-).

Dafür dass Boethius eine Arithmetik und eine Geometrie schrieb,
ist das unabwendbarste Zeichen vor allen Dingen die Encyklopädie
des Cassiodorius. Dieser konnte nicht auf beide Werke und am be-
stimmtesten auf die Geometrie verweisen, wenn sie nicht vorhanden
waren. Die Ausflucht, mit welcher man wohl gegen die ältere Brief-
stelle Misstrauen zu erregen gesucht hat, Cassiodorius habe Schriften,
die schon verfasst waren, aber auch solche genannt, welche noch zu
erwarten waren, hat keine Wirksamkeit für die Zeit, als Cassiodorius
ins Kloster zurückgezogen seine Encyklopädie schrieb. Boethius war
damals längst todt. Von ihm Hess sich nichts mehr erwarten. Von
einem „vermeintlichen" Faktum^) kann aber bei so ausdrücklicher
Verweisung desjenigen, der sich genauer unterrichten wollte, auf die
genannten Bücher unmöglich die Rede sein. Ein gewissenhafter,
pünktlicher Lehrer — und pünktlich war Cassiodorius durchaus —
verweist nicht auf Schriften, die er nur von Hörensagen kennt, ge-
schweige denn von deren Vorhandensein er kaum weiss, ohne ein-
schränkende Bemerkung. Wir würden daher allenfalls begreifen
können, wenn man nach den Worten Cassiodors bezweifeln wollte,
dass Boethius wirklich die Arithmetik des Nikomachus übersetzt
habe; an das Vorhandensein der Uebersetzung der euklidischen Geo-
metrie ist ihm gegenüber jeder Zweifel unstatthaft. Andere Zeug-
nisse kommen dazu. Für die Arithmetik gilt als sicherstes Zeugniss,
dass nach Briefen, welche zwischen Gerbert und Otto III. gegen 994
gewechselt wurden, Ersterer dem Letzteren ein Exemplar der Arith-
metik des Boethius zugeschickt hat. Für die Geometrie wird der
vorerwähnte Brief Gerberts aus Mantua angerufen, während andere
die Berechtigung in Abrede stellen, den Namen des Boethius, der

^) Beperimiis octo volumina Boethii de astrologia praeclarissinia quoque
ßgurarum geometriae aliaque non minus admiranda. ^) M. Curtze in dem
Bulletino Boncompagni 1868, pag. 140, ^) Weissenborn, Die Boetiusfrage
im Supplementheft zur Histor.-literar. Abthlg. der Zeitscbr, Math. Phys. XXIV,
Seite 190.

Die spätere mathematische Literatur der Römer. 537

als Verfasser der Astronomie bezeichnet ist, auch, auf die Geometrie
zu beziehen. Ferner beruft man sich auch für beide Werke noch auf
ein der Zeit nach früheres Zeugniss. Der Bibliothekar Regimbertus
auf Reichenau hat nämlich 821 einen Katalog der damals unter seiner
Obhut vorhandenen Handschriften hinterlassen, und darin ist von
Boethius die Arithmetik in zwei Büchern, die Geometrie in drei
Büchern genannt^), wogegen freilich abermals der Einwand erhoben
worden ist, nur für die Arithmetik sei Boethius als Verfasser gemeint,
nicht auch für die Geometrie.

Zu diesen verschiedenen mittelbaren Zeugnissen kommt noch,
dass eine ganze Anzahl von Handschriften sich bis auf den heutigen
Tag erhalten hat, in welchen den Titeln nach die Arithmetik, die
Musik, die Geometrie des Boethius aufgezeichnet sind. Die älteste
Handschrift der Arithmetik soll dem IX. bis X. S. entstammen-), die
älteste Handschrift der Musik dem IX. S.^), endlich die älteste Hand-
schrift der Geometrie dem IX. S.^).

Diese Thatsachen fassen sich also dahin zusammen, dass jeden-
falls Boethius über die vier genannten Wissensgebiete nach griechi-
schen Mustern sich verbreitet hat, und dass noch erhaltene Hand-
schriften der drei ersten Werke mit Ausschluss der den Schluss
bildenden Astronomie um das Jahr 900 vorhanden gewesen sind und
damals für von Boethius verfasst galten.

In der Einleitung zur Arithmetik bestätigt Boethius gleichfalls,
was wir aus anderen Quellen erfahren haben, dass er über die vier
verwandten Gegenstände schreiben wolle. Er bezieht sich in dem
Widmungsschreiben an Symmachus darauf, dass er von den vier
mathematischen Wissenschaften die Arithmetik, welche die erste sei,
vollendet habe''), und wenn auch die Stelle, in welcher die Reihen-
folge, Arithmetik, Musik, Geometrie, Astronomie angedeutet ist, weil
die Menge an und für sich betrachtet in der Arithmetik, die Menge
bezogen auf andere in der Musik, die unbewegte Grösse in der Geo-

^) Agrimensoren, Anmerkung 246. ^) Boetius (ed. Friedlein) Leipzig,
1867, pag. 2: codex r. ^) Boetius (ed. Friedlein) pag. 175: codex g.

*) G. Schepss, Zu Boethius (in den Commentationes Woelfflinianae. Leipzig-
ISO 1) pag. 279 nennt drei Pariser Codices, deren ältester dem IX. S. angehört,
während die beiden anderen im X. S. entstanden sein müssen. In ihnen wird
ausdrücklich das Ganze als Eigenthum des Boethius in Anspruch genommen.
Dem XI. S. entstammt die Erlanger Handschrift. Boetius (ed. Friedlein)
pag. 372: codex e. Friedlein gibt ferner dem codex n = cod. Vatican. 3123
ein höheres Alter, indem er ihn in das X. S. setzt, aber Usener (pag. 47)
rückt nach eigener Anschauung diesen Codex herunter in das XI. — XII. S.
^) Cum igitur quattuor matheseos disciplinarum de arithmetica, quae est prima,
perscriberem, tu tantum dignus eo munere videhare.

538 27. Kapitel.

metrie, die bewegte iu der Astronomie behandelt werde, sowie eine
andere, in welcher noch näher erklärt wird, weshalb von der Arith-
metik ausgegangen werden solle, nur freie Uebersetzungen aus dem
Nikomachus sind^), so kann auch darauf für die Absicht des Boethius
Bezug genommen werden. Er hätte jene Stellen der Einleitung,
wenn sie nicht seine eigenen Pläne ausdrückten, unzweifelhaft bei
Seite gelassen, denn grade hier hat sich Boethius mit grösster Un-
abhängigkeit seines Stoffes bedient. Bei dieser Gelegenheit findet
sich z. B. zum ersten Male das Wort quadruvium benutzt, um den
Kreuzweg der viergetheilten mathematischen Wissenschaften zu be-
zeichnen, welche von Cassiodorius mit anderem Bilde die vier Pforten
der Wissenschaft genannt wurden^). Wir bemerken, dass das von
Boethius gewählte Wort als Gemeingut sich forterbte, dass dem
Quadruvium noch das Trivium zugesellt wurde, um die Gesammt-
heit der sieben freien Künste in ihren beiden grossen Gruppen zu
benennen. In der Musik hat alsdarm Boethius den einmal einge-
schlagenen Weg weiter für den richtigen erklärt. Er gibt nämlich
wiederholt den Unterschied der vier Wissenschaften und ihre Reihen-
folge in gleicher Weise an, wie er es nach Nikomachus gethan
hatte ^). Eine Widmung ist der Musik nicht vorausgeschickt. Die
Geometrie dagegen beginnt mit der Anrede „mein Patricier", mi
Patrici, was ohne jede Schwierigkeit auf den Patricier Symmachus
bezogen werden kann, der in der Widmung der Arithmetik mit aller
Deutlichkeit genannt ist. In der Geometrie ist sodann von der
Arithmetik des gleichen Verfassers die Rede*). Wieder in der Geo-
metrie ist von der Arithmetik und der Musik gesagt, dass dort ge-
wisse Dinge zur Genüge besprochen seien''). Auf die Arithmetik
wird für den Satz verwiesen, dass die Einheit keine Zahl sei, sondern
Quelle und Ursprung der Zahlen^). Das sind lauter Kennzeichen,
dass die Geometrie von Boethius herrührt, oder dass wer sie verfasste
für Boethius gehalten sein wollte.

Dieser Satz mag mit Recht dem Leser auffallen. Wir bemerken
deshalb einschaltend, auch um die Tragweite der folgenden Unter-
suchung zum voraus erkennen zu lassen, dass gegen die Echtheit

') Darauf hat Th. H. Martin aufmerksam gemacht: Les signes numeraux
et l'arühmctique chez les peuples de Vantiquite et du moyen-age. Annali di mate-
matiche V, Roma, 1864, Cap. Xllf, pag. 44 der Separatausgabe. *) Cassio-
dorius, Varia I, 45: Tu urtem praedictam ex disciplinis nobilihus natam per
quadrifarias Mathesis ianuas introisti. ^) Boetius (ed. Friedlein) Musica
Lib. II, Cap. 3, pag. 228—229. ') Boetius (ed. Friedlein) pag. 390, 3 — 5.
^) Boetius (ed. Friedlein) pag. 396, 3 — 6. ^) Boetius (ed. Friedlein)
Ijag. 397, 20-398, 1.

Die spätere mathematische Literatur der Römer. 539

der Aritlimetik und Musik, wie sie uns handsckriftlicli als von
Boethius herrührend überliefert sind, ein Zweifel nie erhoben worden
ist, dass dagegen die Geometrie, deren Echtheit oder Unechtheit eine
geschichtliche Bedeutung ersten Ranges besitzt, von Vielen für unter-
geschoben gehalten wird^).

Wir müssen nun den Inhalt sowohl der Arithmetik als der Geo-
metrie prüfen, welcher uns erst die Berechtigung geben soll, die
Frage zu einigem Abschlüsse zu bringen. Die Arithmetik ist das,
was sie nach der Erklärung des Cassiodorius, was sie aber auch nach
den eigenen Worten des Boethius-) sein soll, eine Bearbeitung der
Arithmetik des Nikomachus, wobei bald Weitläufigeres zusammen-
gezogen, bald Dinge, die rascher durchlaufen dem Verständniss einen
allzuengen Zugang boten, einigermassen erweitert wurden. Man
wird daher bei Boethius die auffälligsten Dinge wiederfinden, welche
aus dem griechischen Texte uns schon bekannt sind, Sätze dagegen,
die mathematisch von Wichtigkeit sind, nicht selten vermissen. Die
Einmaleinstabelle fehlt so wenig ■''), wie die figurirten Zahlen, deren
hier ausgesprochener Name numeri figurati*), die wörtliche Ueber-
setzung von dgid-^ol axrj^aToyQacpd'svtsg^ seit Boethius immer allge-
meiner in Gebrauch gekommen ist. Auch die Proportionenlehre ist
ausführlich gelehrt, und damit ist vielleicht die Sage in Verbindung
zu bringen, welche übrigens wohl auch auf Wahrheit beruhen kann,
Boethius habe im Gefängnisse zu seiner Unterhaltung ein Zahlen-
kampf genanntes Spiel ausgedacht, welches wesentlich auf Anwen-
dung von Zahlen Verhältnissen beruht''). Bemerk enswerth erscheint
dem gegenüber, dass unter den weggebliebenen Dingen jener Satz
des Nikomachus enthalten ist, der von der Entstehung der Kubik-
zahlen aus der Summe ungrader Zahlen handelt, und ebenso der
Satz, dass die «eckszahl von der Seite r und die Dreieckszahl von
der Seite r — 1 zusammen die « + 1 eckszahl von der Seite r bilden
(S. 403). Wir sehen an solchen Dingen bewahrheitet, was wir
ankündigten, sehen bestätigt, was wir weiter oben (S. 535) behauptet
hatten. Es ist kein ebenbürtiger Bearbeiter, der sich an den grie-

^) So namentlich von Fried lein, von Weissenborn: Die Boetiusfrage
in dem Supplementheft zur Histor.-literar. Abthlg. der Zeitschr. Math. Phys.
XXIV (1879) und: Zur Boetiusfrage, Osterprogramm 1880 des Eisenacher Real-
gymnasiums. Am kräftigsten und vollständigsten hat Heiberg die Gründe
gegen die Echtheit der Geometrie zusammengestellt in der Zeitschrift Philc-
logus XLni, 507—519. ^) Boetius (ed. Friedlein) pag. 4, 30 — 5, 4.
•'') Boetius (ed. Friedlein) pag. 53. *) Boetius (ed. Friedlein) pag. 101
in der Ueberschrift von Ärithmetica II, 17. ^) R. Peiper in dem Supplement-
heft zur Histor.-literar. Abthlg. der Zeitschr. Math. Phys. XXV (18S0).

540 27. Kapitel.

chischen Zahlentheoretiker gewagt hat. Grade den feinsten arith-
metischen Dingen ist er aus dem Wege gegangen. Sein Griechisch
reichte aus zur Uebersetzung, seine Mathematik nicht, und wenn den
Namen Boethius bis in das späte Mittelalter hin ein gewisser Nim-
bus umgibt, so ist dieser Glanz zum Theil der allgemeinen Dunkel-
heit zuzuschreiben, zum Theil Wiederstrahl der Märtyrerkrone, mit
welcher, wie wir schon sahen, die Kirche ihn bedacht hat.

Wir wenden uns zur Geometrie des Boethius, wie sie von den
Handschriften uns überliefert ist. Zwar sind und waren die Hand-
schriften weder in Bezug auf die Anzahl der Bücher noch auf den
Text durchweg übereinstimmend. Es gibt und gab Geometrien des
Boethius in fünf Büchern^), in vier Büchern'-), in drei Büchern'^), in
zwei Büchern. Letztere sind wohl allgemein als die besten Hand-
schriften anerkannt, und ein drittes Buch, welches in älteren Druck-
ausgaben des Boethius damit vereinigt vorkommt, in den Manuscripten
aber keineswegs dem Boethius zugeschrieben wird, sondern nur
Beweis der Geometrie, demonstratio artis geometricae, ohne
Namensnennung des Verfassers heisst^), ist unter allen Umständen
jüngeren Ursprunges. Sein Inhalt ist bunt zusammengewürfelt, und
es haben ganze Stücke aus der Arithmetik des Boethius selbst darin
nachgewiesen werden können. Die zwei Bücher der Geometrie leiden
nun allerdings auch au einer Buntheit, welche auffallen muss, und
welche keineswegs mit dem übereinstimmt, was ein moderner Be-
arbeiter des Euklid liefern würde. Sind wir aber berechtigt, dem
Aehnliches zu erwarten? Wir glauben nicht. Griechische Arithmetik
war, wie wir gesehen haben, den Römern nicht grade neu. Griechi-
scher Geometrie in irgend gegliederter Aufeinanderfolge, euklidischer
Strenge der Beweise sind wir noch nicht begegnet. Auch jene Be-
arbeitung der Stereometrie in dem Veroneser Palimpseste (S. 526)
schliesst sich vermuthlich nur an ein Excerpt des Euklid, nicht an
den wirklichen Euklid an, und ein Excerpt muss Boethius vor sich
gehabt haben, denn wie wollte er sonst die gesammten Elemente in
zwei, drei, vier, fünf Bücher fassen, wenn wir die Gliederung zulassen
wollen, welche die meisten Bücher der Geometrie des Boethius an-
gibt? Es kann also die Geometrie des Boethius zu der des Euklid
gewiss nicht in dem gleichen Verhältnisse gestanden haben, wie die
Arithmetik desselben zu der des Nikomachus. Auch Boethius selbst
in der Einleitung zur Geometrie gestattet uns keineswegs solche

^) Math. Beitr. Kulturl., Anmerkung 399. ^) Friedleins Münchner Codex
m aus dem XI. — XII. S. ^) Z. B. das alte Exemplar, welches im Reichenauer
Bibliothekskatalog von 821 beschrieben ist. ■*) Chasles, Äperi;u hist. 463,
deutsch 5-25. Math. Beitr. Kulturl. 197.

Die spätere mathematische Literatur der Römer. 541

Ansprüclie zu erlieben: ,,Da ich, mein Patricier, auf Dein Ansuchen,
da Du von den Geometern wohl die meiste Uebung besitzest, auf
mich genommen habe, das, was von Euklid über die Figuren der
geometrischen Kunst dunkel vorgetragen wurde, auseinanderzusetzen
und für einen leichteren Eingang zuzubereiten, so glaube ich zuerst
den Begriff des Messens erläutern zu müssen"'). Die Figuren geo-
metrischer Kunst, das ist es, was Boethius auseinandersetzen will,
und über die Figuren der Geometrie handelte, was Gerbert ge-
meinschaftlich mit der Astronomie des Boethius in Mantua fand
(S. 536), und was grade durch diese Benennung die Urheberschaft
des Boethius näher legt. Wenn dann Cassiodorius, der noch weniger
Mathematiker war als Boethius, daraus entnimmt, es sei eine Ueber-
setzung des Euklid gewesen, die jener verfasste, wenn ein Abschreiber
in der Ueberschrift sagt: „Es beginnt die Geometrie des Euklid von
Boethius einleuchtender ins Lateinische übersetzt"^), eine Ueberschrift,
die schon ihrem Wortlaute nach nicht von Boethius herrührt, wie
überhaupt auf eine Ueberschrift niemals ein grösseres Gewicht zu
legen ist als nach der Richtung, dass sie die Ansicht der Zeit der
Abschrift uns kundgibt; so ist Boethius uns an beidem unschuldig.
Er wollte nur die Figuren geometrischer Kunst auseinandersetzen.
Er that es, indem er nach Definitionen den Inhalt des I. Buches der
Elemente vmd weniges aus dem III. und IV. Buche aussprach^),
ohne dass der geringste Beweis die Wahrheit des Ausgesprochenen
bestätigte. Dann sagt er*), er wolle das bisher wörtlich aus Euklid
Uebersetzte theilweise wiederholen, um in der Beleuchtung einzelner
Beispiele dem Leser Freude zu bereiten. Wesentlich aus dieser Stelle
ist der Schluss gezogen worden-'), die Vorlage des Boethius sei
selbst schon ein recht dürftiger griechischer Auszug aus den Ele-
menten gewesen, und dieser Meinung schliessen wir uns an. Was
alsdami Boethius als seine Zusätze liefert, ist freilich eigenthüm-
licher Art. Es ist die Auflösung der drei Aufgaben: über einer
gegebenen Strecke ein gleichseitiges Dreieck zu beschreiben; von
einem gegebenen Punkte aus eine Gerade von gegebener Länge zu
ziehen; von einer grösseren Strecke eine kleinere abzuschneiden. Das
sind die drei ersten Sätze des I. Buches der Elemente, und der Text
stimmt fast wörtlich mit dem Euklidischen überein. Welcher wirk-
lichen Euklidausgabe Boethius diese Stücke entnahm, das können

1) Boetius (ed. Friedlein) pag. 373, 21 — 24. ^) Incipit geometria
Euclidis a Boetio in latinum lucidius translata (ed. Friedlein, pag. 373).
^) Eine genauere Vergleichung bei Weissenborn 1. c. S. 196 und 204.
*) Boetius (ed. Friedlein) pag. 389, 18—23. ^) Von H. Th. Martin.

542 27. Kapitel.

wir nicht entscheiden. Die Annahme^), es sei die Theonsche Aus-
gabe gewesen, und Boethius habe den Euklid nur für den Erfinder
der Sätze, Theon dagegen für den der Beweise gehalten, die um so
unbedenklicher zu entnehmen seien, hat jedoch viel für sich. Jeden-
falls hat er ohne weiteres sein genannt, was nur aus einer anderen
Quelle stammte, als das unmittelbar vorher Uebersetzte, eine Unbe-
fangenheit, welche bei Boethius fast als schriftstellerische Eigen-
thümlichkeit gelten kann, wie sein Werk über die Tröstungen be-
weist^). An die drei Aufgaben schliesst sich nun die merkwürdige
Stelle an^): „Doch es ist Zeit zur Mittheilung der geometrischen
Tafel überzugehen, welche von Architas, einem nicht gemeinen
Schriftsteller dieser Wissenschaft für Latium zurecht gemacht wurde,
wenn ich zuerst wie viele Gattungen von Winkeln und Linien es
gebe vorausgeschickt und weniges über Flächen und Grenzen gesagt
haben werde." Er erfüllt letzteres Versprechen wieder durch einige
Definitionen und kommt dann zu der berühmt gewordenen Stelle
vom Abacus.

Fingerzahlen, digiti, wurden nach ihm von den Alten alle
Zahlen unterhalb der ersten Grenze, limes, d. h. bis 9 genannt*).
Gelenkzahlen, articuli, heissen die Zahlen, welche in der Ordnung
der Zehner und so fort ins Unendliche sich befinden. Zusammen-
gesetzte Zahlen sind alle zwischen der ersten Grenzzahl 10 vmd
der zweiten Grenzzahl 20 gelegenen und die übrigen der Reihe nach
mit Ausnahme der Grenzzahlen selbst. Diese nebst den Fingerzahlen
heissen nichtzusammengesetzt, incompositi'').

Er fährt dann fort: „Männer von alter Einsicht, welche der
pythagoräischeu Schule angehören, und als Forscher über platonische
Weisheit mit merkwürdigen Spekulationen sich beschäftigten, haben
den Gipfelpunkt der ganzen Philosophie in die Eigenschaften der
Zahlen gesetzt. In der That, wer wird die Maasse des musikalischen
Einklangs verstehen, wenn er glaubt, sie hingen nicht mit Zahlen
zusammen? Wer wird unbekannt mit der Natur der Zahlen die aus
Sternen zusammengesetzten Sternbilder der Himmelsfeste erkennen
oder den Aufgang und Untergang der Thierzeichen erfassen? Was
endlich soll ich von der Arithmetik und Geometrie sagen, die selbst
nicht in nichtnennenswerther Gestalt erscheinen, so wie die Eigen-
schaften der Zahlen verloren gehen? Doch davon ist in der Arith-
metik und in der Musik zur Genüge die Rede gewesen, kehren wir

') Weissenborn 1. c. S. 206 ügg. -) Usener 1. c. pag. 51 — 52.
^) Boetius (ed. Friedlein) pag. 393, 6 — 10. ■•) Die Engländer nennen in
ihren Lehrbüchern der Rechenkunst heute noch die Einer digits. ^) Boetius
(ed. Friedlein) pag. 3'J5, 3 — 16.

Die spätere mathematische Literatur der Römer. 543

daher zu dem zurück, was jetzt zur Sprache kommen soll. Die
Pythagoräer haben sich, um bei Multiplikationen, Divisionen und
Messungen nicht in Irrthümer zu verfallen (wie sie in allen Dingen
voller Feinheiten und Einfälle waren) einer gewissen gezeichneten
Figur bedient, welche sie ihrem Lehrer zu Ehren die pythagoräische
Tafel, mensa Pythagorea, nannten, weil die ersten Lehren in den so
dargestellten Dingen von jenem Meister ausgegangen waren. Von
den Späteren wurde die Figur Abacus genannt. Sie beabsichtigten
damit das, was tiefsinnig erdacht worden war, leichter zur all-
gemeinen Kenntniss zu bringen, wenn man es gewissermassen vor
Augen sähe und gaben der Figur die hier folgende merkwürdige
Gestalt"').

Wir haben diese ganze Stelle wörtlich aufgenommen, um jeden
Zweifel verschwinden zu lassen, wie Boethius, der sich hier wieder-
holt auf seine früheren Schrift;en bezieht, über den Ursprung der
von ihm gezeichneten Figur denkt: es ist eine pythagoräische Erfin-
dung, aber freilich keine altpythagoräische, denn sonst würde nicht
der Forschungen über platonische Weisheit jener Angehörigen der
pythagoräischen Schule gedacht sein können. Also Neuplatoniker
oder vielleicht Neupythagoräer haben nach der Ansicht unseres
Schriftstellers die Figur gebildet, welche zuerst Tafel des Pythagoras,
dann Abacus genannt wurde. Sie wurde Abacus genannt, unter-
schied sich mithin von dem früher als solcher vorhandenen Rechen-
brette, und der Unterschied liegt in der Art der Benutzung.

Kolumnen, feste oder gezeichnete, hatten zwar auch die alten
und ältesten Rechenbretter, aber deren Ausfüllung beim Rechnen
erfolgte mittels Marken, deren jede die Einheit der betreffenden der
Kolumne oder der Kolumnenabtheilung angehörenden Rangordnung
bezeichnete. Jetzt war eine wesentliche Aenderung eingetreten.
,,Man hatte Apices (^Kegelchen?) oder Charaktere von verschiedener
Gestalt" =^).

Jede dieser Marken war mit einer Bezeichnung versehen, welche
ihr den Werth einer der neun Fingerzahlen beilegte, und diese
Bezeichnung wird nun im fortlaufenden Texte genau so abgebildet
wie es auf dem vorher gezeichneten Abacus der Fall war. Damit ist
also widerspruchslos bewiesen, dass die Zeichen gleichen Alters und
gleichen Ursprunges wie der sie umgebende Text sind, und nicht
erst nachträglich auf die vorher von derartigen Zeichen freigewesene
Tafel eingeschmuggelt werden konnten. Wohl aber wäre es mög-

^) Boetius (ed. Friedlein) pag. 395, 25—396, 16. -) Boetius (ed.
Friedlein) pag. 397, 2—3.

544 27. Kapitel.

lieh, dass es sich so mit gewissen eigenthümlichen Wörtern ver-
hielte, die nicht im Texte, sondern einzig nnd allein auf der Figur
sich finden.

Wir würden der ganzen Untersuchung einen selbst für die
Wichtigkeit, welche ihr innewohnt, unverhältnissmässig grossen Raum
widmen müssen, wenn wir fortführen wörtlich zu übersetzen oder
gar zu erläutern. Wir wollen nur kurz berichten, dass Regeln der
Multiplikation und der Division nachfolgen, jene breiter und deut-
licher angelegt, diese dunkler, wie der Verfasser selbst fühlt, wenn
er sagt: „Ist es irgendwie dunkel gehalten, so müssen wir dem
fleissigen Leser die Einübung überlassen"^). Bei der Multiplikation
kommen die Einzelfälle zur Sprache, welches Produkt also entstehe,
wenn Zehner mit Hunderten, mit Tausenden u. s. w. vervielfacht
werden. Bei der Division erscheint die complementäre Divi-
sionsmethode, von der ankündigend (S. 492) die Rede war. Das
Complement, die Differentia des Boethius, ist die Zahl, um welche
ein Divisor kleiner ist als die nächste nichtzusammengesetzte Zahl,
letzteres Wort in dem oben definirten Sinne genommen. Der Divisor
16 z. B. hat bis zu 20 die Differenz 4, der Divisor 78 bis zu 80
die Differenz 2, der Divisor 623 hätte bis zur nächsten nicht zu-
sammengesetzten Zahl 700 die Differenz 77. Nun wird mit dem
vergrösserten Divisor dividirt, und jedesmal dem Reste das Produkt
des Quotienten in die Differenz ergänzend wieder beigefügt, bis man
fertig ist. Man wird leicht erkennen, dass diese Methode, wenn
auch mehr Theildivisionen als die gewöhnliche erfordernd, weit zu-
verlässiger ist, weil hier, wo mit einer einfachen Zahl die Theil-
division vorgenommen wird, niemals der Fall eintreten kann, dass
irrthümlich ein zu grosser Quotient angesetzt würde. Eine etwas
abgeänderte Anordnung der complementären Division tritt ein, wenn
der Divisor aus Hundertern und Einern besteht. Man soll
alsdann die Einer des Divisors zunächst unberücksichtigt lassen, da-
gegen auch vom Dividenden eine Einheit höchster Ordnung bei Seite
lassen, damit nachträglich das Produkt des Quotienten in die Einer
des Divisors bis zu jener Einheit ergänzt und die Ergänzung dem
erstgewonnenen Divisionsreste beigefügt werde.

Fragen wir nun wiederholt, woher diese Dinge stammen mögen,
so sollte man vermuthen, wir würden in erster Linie die auf den
Apices befindlichen Zahlzeichen über ihren Ursprung befragen. Wir
werden diese Frage jedoch erst im 33. Kapitel stellen. Jetzt be-
merken wir, dass die Apices selbst ungemein an die Pythmenes oder

') Boetius (ed. Friedleiii) pag. 400, 28—30.

Die spätere mathematisclie Literatur der Römer. 545

Stammzalilen des Apollonius erimiern, und das Multipliziren der ver-
schiedenen Rangordnungen an die von Jenem gegebenen Einzelvor-
schriften (S. 332). Ein Fortschritt ist ja in der Benutzung der
Apices unbedingt enthalten, aber doch ein solcher, den wir späteren
Alexandrinern zutrauen dürfen. Ob das Divisionsverfahren Erfindung
eines Römers war? Wir wissen es nicht, wenn auch unser Gefühl
sich dagegen sträubt, einen römischen Geist als so erfinderisch in
mathematischen Dingen annehmen zu sollen. Wir können nur wieder-
holt auf die Dinge hinweisen, welche wir zur complementären Multi-
plikation (S. 492) in Beziehung gesetzt haben, dass subtraktive
Zeichen entschieden römisch sind, dass von Nikomachus muthmass-
lich Rechnungsvortheile gelehrt wurden, welche dem complemen-
tären Verfahren ähneln. Boethius selbst scheint Alles einer und
derselben Vorlage entnommen zu haben, einem lateinisch schrei-
benden Architas. Auch von diesem soll erst weiter unten
die Rede sein, wenn wir die Geometrie des Boethius zu Ende be-
sprochen haben.

Jetzt nämlich, nachdem das Rechnen d. h. Multipliziren und
Dividiren gelehrt worden, kommt der Verfasser zum zweiten Buche
und in ihm zur rechnenden Geometrie, zu welcher der Abschnitt
vom Abacus eine Einleitung bildete, vielleicht nach dem entfernten
Muster des Nikomachus (S. 525). Wir finden uns auf völlig be-
kanntem Boden. Wir haben die Geometrie der römischen Feld-
messer vor uns, in einigen Dingen wieder etwas tiefer gesunken und
von den wenigst genauen heronischen Vorschriften Gebrauch machend.
So z. B. finden wir die Flächenberechnung des gleichseitigen Drei-

17
ecks^) durch die nicht verstandene Formel d^ — on^^' ^^^ finden

Gebrauch gemacht von der schlechten Annäherung zur Fläche eines
unregelmässigen Vierecks^) durch Bildung des Produktes der arith-
metischen Mittel von je zwei einander gegenüberliegenden Seiten.
Auch die Vieleckszahlen als Vielecksflächenräume kommen hier vor.
Bei dem Achtecke ist nur die aus zwei Quadraten verschränkte
Figur gezeichnet. Bei dem Fünfeck und Sechseck sind falsche
Formeln angewandt. Dagegen ist hier die deutliche Spur der all-
gemeinen Formel für die rte meckszahl vorhanden, welche wir bei
Epaphroditus (S. 518) nur muthmassten ^). Die Vorlage für dieses
zweite Buch scheint im Allgemeinen Frontinus verfasst zu haben*).
Als Ausnahme wohl ist der Satz vom Durchmesser des Innenkreises

^) Boetius (ed. Friedlein) pag. 404, 14 — 405, 10. °) Boetius (ed.
Friedlein) pag. 417, 16—28. ^) Boetius (ed. Friedlein) pag. 423, 1 — 7.
*) Boetius (ed. Friedlein) pag. 402, 27—403, 2 und 428, 16—19.

Cantoe, Geschichte der Mathematik I. a. Auli. 35

546 27. Kapitel.

des rechtwirikligen Dreiecks (S. 517) dem Architas zugeschriebeii,
nachdem er vorher durch Euklid hinzuerfunden worden sei^).

Auf eben diesen Architas bezieht sich Boethius noch einmal
zum Schlüsse des zweiten Buches, um nach den Regeln der rechnen-
den Geometrie die Bruchrechnung zu erörtern. Die ganze Stelle
gehört sammt der Tabelle, welche ihr beigefügt ist, noch immer zu
dem Dunkelsten, was man besitzt. Nur eins ist einleuchtend: warum
nämlich grade am Schlüsse der Geometrie diese Lehre vorgetragen
wird^). Das geschieht und muss geschehen, weil nunmehr die Astro-
nomie folgte, in welcher Bruchrechnungen in grösster Menge noth-
wendig wurden. Wie der Abacus zwischen den beiden Büchern der
Geometrie den Uebergang von der eigentlichen theoretischen Geo-
metrie zur Feldmesswissenschaft bildete, so bildet jetzt die Bruch-
rechnung den weiteren Uebergang zu den uns verloren gegangenen
Büchern der Astronomie. Es zeigt sich somit, dass die Geometrie
des Boethius nach vorwärts und rückwärts Beziehungen zu den drei
anderen mathematischen Schriften desselben Verfassers darbietet.

Es ist daher nur eine einzige Wahl gestellt: entweder die ganze
Geometrie des Boethius mit dem Inhalte, über welchen wir berichtet
haben, ist echt oder aber sie ist das Werk eines Fälschers, der
mit vollbewusster Absicht den Anschein sich gab, als sei er
Boethius. Man hat diese letztere Meinung zu vertheidigen gesucht^)
und sich dabei auf Einzelheiten gestützt. Man hat nämlich zu zeigen
gesucht, dass die Redeweise der Arithmetik zu der der Geometrie
in Widerspruch stehe, dass somit wenn erstere von Boethius herrühre,
letztere nur untergeschoben sein könne. Solche Widersprüche sind,
wir geben es zu, vorhanden, aber sie sind ganz von der gleichen
Natur wie derjenige, welchen wir (S. 406) 'bei Theon von Smyrna
nachzuweisen im Stande waren, der sich in einem und demselben
Werke nicht scheut die Einheit keine Zahl zu nennen und als Zahl
zu benutzen. Will man Boethius dessen für unfähig halten, so muss
man seine geistige Bedeutung zu einer Höhe hinaufschrauben, auf
welche er nach unserer wiederholt ausgesprochenen Ueberzeugung
nie gelangte. Wir geben ferner zu bedenken, dass man zur Mög-
lichkeit einer Fälschung, die spätestens im XL S. vollzogen worden
sein musste — denn aus dieser Zeit rühren unsere ältesten Hand-
schriften, welche die Stelle vom Abacus enthalten, her — anzunehmen
gezwungen ist, dass damals bereits die echte Geometrie des Boethius

') Boetius (ed. Friedlein) pag. 412, 20—413, 9. ") Math. Beitr. Kulturl.
S. 228 — 229. ^) Zuletzt und am scharfsinnigsten Weissenborn in der schon
wiederholt angefühlten Abhandlung ,,Die Boetiusfrage."

Die spätere mathematische Literatur der Römer. 547

verloren gegangen war, trotz der übertriebenen Werthschätzung , die
man dem Manne zu zollen nie aufgehört hatte, oder dass man falls
solches nicht stattfand Wahrscheinlichkeitsgründe dafür geltend zu
machen hätte, warum nur Abschriften der gefälschten Geometrie und
daneben keine der echten sich erhielten.

Sei aber auch die der unsrigen entgegengesetzte Meinung die
richtige^), so kommt immerhin das Schlussergebniss darauf hinaus,
dass der Verfasser der sogenannten Geometrie des Boethius, dass
Pseudoboethius, wie man ihn unter dieser Voraussetzung nennt,
wesentlich feldmesserische Quellen benutzt haben muss, dass er auf
dem Boden griechischer Bildung steht, und somit, wenn auch unter
Herabrückung der Zeit, in welcher seine Schrift entstanden ist, für
die Geschichte späterer römischer Mathematik Verwendung finden darf.

Gehen wir nach dieser Zwischenbemerkung noch einmal und
mit vermehrter Sicherheit zum I. Buche der Geometrie des Boethius
zurück, und zwar zu der Stelle, wo die Uebersetsung des Auszuges
aus den Elementen des Euklid aufhört. Die letzten Sätze, die aus-
gesprochen sind, lauten'^): „Um einen gegebenen Kreis ein gleich-
seitiges und gleichwinkliges Fünfeck zu zeichnen lehren die Geo-
meter. In einen gegebenen Kreis ein Fünfeck zu zeichnen, welches
^'leichseitig und gleichwinklig sei, ist nicht unpassend." Die Fort-
setzung wagen wir nicht zu übersetzen. Sie begründet die unmittel-
bar hervorgehende Behauptung mittels gewisser auf das Verhältniss
von Zahlen herauskommenden Rücksichten, aus denen wir einen guten
Sinn nicht mit Sicherheit zu entnehmen vermögen. Gleichwohl ist
an der Echtheit der floskelhaften Begründung nicht zu zweifeln, da
sie sich wortgetreu in 28 darauf hin untersuchten Handschriften, die
in anderen Punkten Unterschiede gegen einander zeigen, wieder-
findet^^). Dagegen hat keine dieser Handschriften eine Figur damit
verbunden, während die älteren Druckausgaben der Geometrie des
Boethius, wir wissen nicht aus welcher Quelle*), ein in den Kreis
eingezeichnetes regelmässiges Fünfeck mit seinen sämmtlicheu fünf
Diagonalen beigegeben haben. Zumeist aus dieser nichts weniger

^) Wir verweisen für ihre Begründung wiederholt auf Heiberg im Philo-
logus XLIII, 507—519. ^) Boetius (ed. Friedlein) pag. 389, 8—16: Circum
datum circulum quinquangulum aequilaterum et aequiangulum designare geometres
praecipiunt. Intra datum circulum quinquangulicm , quod est aequilaterum atque
aequiangulum designare non disconvenit. Nam omnia, quaecunque erint, nume-
rorum ratione sua constant et propcrtionahiliter alii ex aliis constituuntur circum-
ferentiae aequdlitate multiplicationibus suis quidem excedentes atque alternatim
portionibus suis terminum facientes. ^) Boncompagni im Bulletino Boncom-
pagni 1873, 341 — 356. *) Etwa aus einem griechischen Euklid IV, 11?

35*

548 27. Kapitel.

als authentischen Figur hat man einen Sinn jener dunkeln Worte
abgeleitet, als wenn neben dem gewöhnlichen Fünfeck das Stern-
fünfeck beschrieben werden sollte^), welches Boethius darnach ge-
kannt haben würde. Wir sind gegenwärtig nicht geneigt diese Mei-
nung aufrecht zu halten. Nicht als ob es uns unmöglich schiene, dass
Boethius das schon alte Sternfüufeck gekannt hätte, aber wir trauen
ihm so wenig Geometrie zu, dass er wohl nicht aus eigenen Gedanken
das Pentagramm mit dem regelmässigen Sehnenfünfeck in Verbindung
brachte und bei Euklid konnte er entschieden keine Anregung dazu
erhalten, weder in dem Auszuge noch in dem vermeintlichen Com-
mentare des Theon. Dort fand er höchstens, dass die Winkel eines
aus zwei Diagonalen und einer Fünfecksseite gebildeten Dreiecks
sich wie 1:2:2 verhalten, und das soll möglicherweise in den
dunkeln Worten ausgesprochen sein.

Wir kommen ferner auf ein Anderes zurück, wovon erst andeu-
tungsweise die Rede war. Architas, ein nicht gemeiner Schriftsteller
dieser Wissenschaft, hat nach Boethius die geometrische Tafel d. h.
den Kolumnenabacus mit seinen Kegelchen, für Latium zurecht ge-
macht. Wer war dieser Architas, welcher in dem Zwischenstücke
zwischen dem I. und IL Buche und in dem IL Buche der Geometrie,
im Ganzen an fünf Stellen'-) genannt ist: für die geometrische Tafek
und für die Bruchrechnung; für den Satz vom Durchmesser des
Innenkreises des rechtwinkligen Dreiecks und für die Bildung ratio-
naler Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks von der graden Zahl aus-
gehend, also für die Methode, welche sonst Piaton zugeschrieben
wird; endlich für eine falsche Berechnung der Fläche eines Dreiecks
als doppeltes Quadrat seiner Höhe? Auch hier stehen zwei Meinungen
einander gegenüber. Die Einen halten Architas für den alten taren-
tiner Pythagoräer, auf welchen die üeberlieferung gar vieles mit
Recht und mit Unrecht zurückgeführt habe, und weicher auch in der
Arithmetik und in der Musik des Boethius mehrfach vorkam, so dass
Boethius oder der seinwollende Boethius ihn anzuführen Gründe
hatte. Die Anderen meinen Architas, der lateinisch schrieb, der nach
der Stelle vom Kreisdurchmesser später als Euklid gelebt habe,
könne nicht der Tarentiner sein. Es sei vielmehr ein römischer
Schriftsteller, ein Feldmesser oder dergleichen gewesen, der alsdann
sicherlich vor Verfassung der Geometrie, in welcher er genannt ist,
aber unbestimmt wann gelebt haben muss. Mit dieser Annahme ist
die Geschichte der Mathematik bei den Römern um einen Namen

*) Chasles, Äperru hist. All, deutsch 545— .546. -) Boetius (ed. J'ried-
lein) pag. 393, 7; 408, 14; 412, 20; 413, 'J2; 425, 23.

Die spätere mathematisclie Literatur der Römer. 549

reicher, um den Architas Latinus, aber die Schriften des Mannes
bleiben auch denen, die an ihn glauben, unbekannt.

Wir selbst zählten früher zu den letzteren, sind aber durch eine
neuere Entdeckung zur entgegengesetzten Meinung bekehrt worden.
Man hat nämlich bemerkt^), dass der so auffallende Ausdruck non
sordidus auctor, der von Architas gebraucht wird, von Horatius in
seiner Ode auf Architas von Tarent angewandt wurde-), dass mithin
nur eine Erinnerung an diesen bekannten Vers in jenem Ausdrucke
zu finden ist, und diese ist undenkbar, wenn nicht die Persönlichkeit,
von der die Rede ist, die gleiche wäre. Die Schwierigkeit, dass
Architas nach Euklid gesetzt wird, löst sich durch die seit der
Zeit des Kaisers Tiberius (S. 247) übliche Verwechslung des Mathe-
matikers Euklid mit Euklides von Megara, der ein älterer Zeit-
genosse des Archytas von Tarent wirklich war. Ob endlich die
platonische Formel für " rationale rechtwinklige Dreiecke nicht wirk-
lich ursprünglich dem Archytas angehörte, ist eine Frage, deren
Verneinuug nicht durch zwingende Gründe gefordert wird. Wenn
wir also gegenwärtig annehmen, ein Architas Latinus als Persönlich-
keit sei aus der Geschichte zu streichen, so bleiben wir immerhin
der Meinung, Boethius habe lateinisch zugestutzte Schriften des Ta-
rentiners vor sich gehabt, als er die Worte Latio accomodatam^)
gebrauchte.

Wir haben nun von einigen bekannten Schriften völlig unbe-
kannter Verfasser zu reden. Der älteste von ihnen wird vermuth-
lich derjenige sein, den wir anderwärts den Anonymus von
Chart res genannt haben'*), den man auch wohl für Julius Fron-
tinus gehalten hat. Bei ihm tritt die Dreiecksberechnung aus den
drei Seiten nach der sogenannten heronischen Formel auf, bei ihm
die Formel für rationale Seiten rechtwinkliger Dreiecke, bei ihm der
Satz vom Innenkreise des rechtwinkligen Dreiecks, bei ihm die Be-
rechnung der Kugeloberfläche gleich der vierfachen Fläche des
grössten Kreises, bei ihm das Verhältniss 22 : 7 des Kreisumfangs
zum Durchruesser, kurzum richtige Dinge, welche den Verfasser wohl
noch mehr als die bei ihm gerühmte Latinität in die Blüthezeit
römischer Feldmesswissenschaft hinaufrücken, während der Römer
an den als Flächenformeln benutzten Formeln für Vieleckszahlen
mitten zwischen geometrischen Betrachtungen kenntlich bleibt.

Ein anderes Stück, in demselben Sammelbande in Chartres ent-

*) A lim an, Greek Geometry from Thaies to Euclid pag. HO. ^) Horatius,
Lib. I, Ode 28: iudice te non sordidus auctor naturae verique. ^) Boetius (ed.
Friedlein) pag. 393, 8. *) Agrimensoren S. 132. Vergl. Chasles, Apergu
hist. 457-459, deutsch 517 ^gg.

550 27. Kapitel.

halten, aber wohl nicht von dem Anonymus verfasst'), hat eine
Abhandlung über das Abaeusrechnen zum Inhalte, welche der des
Boethius sehr ähnlich ist, aber noch weniger als die Geometrie des
Anonymus sich datirungsfähig erweist.

Eine andere geometrische des Namens ihres Verfassers ent-
behrende Schrift ist diejenige, welche die Ueberschrift führt: Von
der Ausmessung der Jucharte, de ingeribus metiundis. Sie ist
in der sogenannten Gudianischen Handschrift der Wolfenbüttler
Bibliothek enthalten, mithin im IX. bis X. S. jedenfalls vorhanden
gewesen"^). Mehr wissen wir nicht zu sagen. Der Verfasser, zu seiner
Zeit vielleicht als grosser Mathematiker anerkannt, hat unverstandene
Bruchstücke aus den verschiedensten Vorlagen vereinigt, alte Mängel
getreu übernehmend, neue hinzufügend. Wir haben nicht nöthig
auf dieses bunte Allerlei einzugehen, nur das wollen wir uns be-
merken, dass die Vierecksfläche als Produkt der arithmetischen Mittel
gegenüberstehender Seiten erhalten wird, dass sogar der Kreis qua-
dratisch gedacht ist, indem dessen Fläche sich aus der Vervielfälti-
gung des vierten Theiles des ümfanges mit sich selbst bildet. Es
ist ja nicht schwer, in den laienhaften Gedanken sich zurückzuver-
setzen, welcher den Kreis als krummliniges Viereck mit den vier
Quadranten als Seiten auffasste und weiter annahm, die Fläche ver-
ändere sich nicht, wenn nur die Seitenlängen dieselben bleiben
(S. 510), man habe also nur eben jene Kreisquadranten als Gerade
rechtwinklig aneinander zu setzen, um die Quadratur des Kreises
zu vollziehen. Mathematisch gesprochen lief dieses Verfahren, ver-

möge (-7-) = 'rr^ auf tt = 4 hinaus, oder darauf den Kreisdurch-
messer dem vierten Theile des Kreisumfangs gleich zu setzen. Grade
dieses so ungenaue Verhältniss zwischen Kreisumfang und Durch-
messer wird uns nöthigen der dasselbe enthaltenden Schrift noch
einmal zu gedenken, wenn wir mit den mittelalterlichen Schrift-
stellern uns beschäftigen, zu welchen dieser weise Anonymus jeden-
falls hinüberführt, vielleicht gehört.

Für jetzt verlassen wir den europäischen Boden. Wir müssen
unter allen Umständen zusehen, was in der Heimath älterer Kultur,
in Asien, aus der Mathematik geworden ist, und dass wir grade diesen
Augenblick dazu wählen, jene Umschau zu halten, hat seinen voll-
wichtigen Grund. Wir haben in diesem Kapitel immer deutlicher
den Untergang geometrischen Verständnisses bei römischen Schrift-

') Das hat Weissenborn 1. c. S. 223 gegen uns, mit Berufimg auf
Chasles, den wir hierin missverstanden hatten, mit Recht betont. *) Agri-

mensoren S. 135-138.

Die spätere mathematische Literatur der Römer. 551

stellern verfolgt. Wir haben zu unserem Erstaunen daneben die
üeberbleibsel einer entwickelteren Rechenkunst erscheinen sehen,
verbunden mit Zahlzeichen, aus welchen, wie wir jetzt verrathen
wollen, die gegenwärtig in Europa gebräuchlichen als blosse Umfor-
mungen sich herleiten lassen. Wir haben die Vermuthung durch-
blicken lassen, jene Rechnungsweisen könnten vielleicht griechischen
Ursprunges sein. Nach Griechenland, nach dem geistigen Mittel-
punkte griechischer Mathematik in Alexandria würden wir daher
versuchen müssen auch jene Zeichen rückwärts zu verfolgen, wenn
nicht laute Einsprache zu gewärtigen wäre.

Die Anfechter der Echtheit der Geometrie des Boethius sind zu
diesem von beiden Seiten hartnäckig geführten Streite eigentlich nur
durch die Abacusstelle vermocht. Sie können und wollen, von ihrer
Fälschungstheorie aus, derselben kein höheres Alter als etwa bis in
das X., frühstens IX. S. verstatten. Sie leiten alsdann die Zahlzeichen
und deren Benutzung auf dem Kolumnenabacus aus dem Oriente her:
von den Indern erdacht, durch Araber verbreitet sollen die Zeichen
in Europa sich eingebürgert haben.

Dieser Möglichkeit gegenüber müssen wir die Heimath der Null,
durch deren Vorhandensein das Ziffernrechnen sich wesentlich vom
Kolumnenrechnen, auch von dem mit Apices, unterscheidet, aufsuchen.
Wir begeben uns zu diesem Zwecke nach Indien.

V. Inder

28. Kapitel.
Einleitendes. Elementare Rechenkunst

Zu einer selbst möglicherweise aus zweierlei Völkern, deren
eines die krausen Haare der Australneger besass, gemischten üreiu-
wohnerschaft des heutigen Dekkans wanderte vielleicht 1400 Jahre
V. Chr. der Stamm der Arier ein, die niedriger stehenden Besitzer
des Landes theils vertreibend, theils unterjochend^). In der späteren
Kasteneintheilung des indischen Volkes sind die Nachkommen der
alten Besiegten als die dienende, verachtete Kaste der ^üdras übrig
geblieben, deren Berührung schon befleckte, und die streng ausge-
schlossen waren von den Segnungen einer Bildung, deren Träger
freilich zumeist in den beiden oberen Kasten der Brähmanas und
Kshattriyas, der Priester und Krieger, zu suchen sind, während sie
kaum noch auf die Vai9yas, den bürgerlichen Kern des Volkes sich
erstreckte. Die Sprache der Arier, der Trefflichen nach der späteren
Bedeutung des Namens, ist dieselbe, welche man Sanskrit zu nennen
pflegt. Sie wurde die herrschende Sprache von ganz Vorderindien,
vermochte aber in dieser Ausdehnung sich nicht zu erhalten. Das
Sanskrit verblieb nur als Gelehrtensprache in den Priesterschulen der
Brahmanen, während es als Volkssprache ausstarb, beziehungsweise
durch Töchtersprachen verdrängt wurde.

Zwei Momente mögen bei dieser Verdrängung wirksam gewesen
sein. Einmal die Seltenheit schriftlicher Ueberlieferung, welche so
weit ging, dass Fremde, welche nur kurze Zeit im Lande ver-
weilten, an den Mangel jeder schriftlichen Aufzeichnung glauben
durften, zweitens die jene Seltenheit selbst wohl verschuldende mehr

') Für die allgemeinen Verhältnisse waren unsere Quellen der Artikel
„Indien" von Benfey in Ersch und Grubers Encyklopädie 1840. Reinaud,
Memoire sur l'Inde in den Me'moires de V Academie des Inscriptions et Belles-
lettres XVIII, 2. Paris, 1849. Albr. Weber, Vorlesungen über indische Lite-
raturgeschichte. 2. Auflage. Berliü, 1876. Herr E. Windisch unterstützte uns
bei der Drucklegung der ersten Auflage wesentlich durch Rathschläge für die
Rechtschreibung indischer Namen und Wörter.

556 28. Kapitel.

und mehr hervortretende Centralisation der Gelehrsamkeit bei den
Brahmanen.

Das Volk lebte unter einem heftigen Drucke, welchem die Ein-
führung einer neuen Religion entsprang, des Buddhismus, etwa
seit der Mitte des VI. S. v. Chr. Rasch um sich greifend nach
mühseligen Anfängen wurde der Buddhismus durch den König A^oka
am Beginn des III. S. zur Staatsreligion erhoben, und diese herr-
schende Stellung besass er auch noch zur Zeit des Königs Kanishka
um 50 V. Chr., eines zweiten indischen Fürsten von in der Erinne-
rung der Nachkommen sich fast sagenhaft mehrendem Ruhme. Um
die Zeit von Christi Geburt etwa gelang es dem Brahmanismus in
den Ländern westlich vom Ganges wieder die Oberhand zu gewinnen,
während der Buddhismus weiter nach Osten siegreich fortschritt, be-
ziehungsweise sich dort erhielt.

Der Buddhismus war ebenso'^schreibselig wie der alte Brahmanis-
mus der schriftlichen Arbeit abgeneigt. Eine reiche buddhistische
Literatur hatte sich erzeugt, aber der neu erwachende Brahmanismus
vertilgte schonungslos, wessen er nur habhaft werden konnte, und
das bot eine neue Veranlassung, die Sanskritsprache in Indien selbst
zur Unverständlichkeit zu bringen. Sie behielt nur noch das Wesen
und den Charakter einer heiligen Sprache, als solche allen höheren
Zwecken dienstbar. Religion und Wissenschaft waren an sie geknüpft,
und auch was wir von der Mathematik der Inder wissen, ist wesent-
lich aus Sanskrittexten geschöpft, wenn nicht aus Schriftstellern
anderer Völker erschlossen.

Ein Verkehr Indiens mit dem Westen wie mit dem Osten ist
nämlich für fast alle Zeiten von den ältesten an gesichert. Sind es
insbesondere sprachliche Gründe, welche für die allerältesten Zeiten
den Ausschlag geben müssen, so treten bestimmte Ueberlieferungen
seit dem IV. S. v. Chr. bestätigend hinzu. Nach dem Alexanderzuge
entstanden dicht an den Grenzen Indiens griechische Königreiche,
welche Verbindungen mit dem Mutterlande ununterbrochen aufrecht
erhielten, und mittels deren herüber und hinüber auch Wissenschaft
und wissenschaftliche Berufsthätigkeit in Austausch treten mussten.
Kanishka, den wir vorher erwähnten, schloss ein Bündniss mit dem
Triumvirn Marcus Antonius, und von seinen Truppen befanden sich
unter den Geschlagenen bei Aktium. Indische Gesandtschaften er-
schienen, wie wir in dem griechischer Entwicklung gewidmeten Ab-
schnitte (S. 428) zu erwägen gaben, an dem Kaiserhofe in Rom wie
später in Byzanz. Augustus, Claudius und Trajan, Constantinus und
Julian durften die aus dem fernen Osten kommenden Botschafter
begrüssen. Und keineswegs weniger gesichert ist der Verkehr

Einleitendes. Elementare Rechenkunst. 557

zwisclien Indien und der Ostküste Aegyptens über das indisclie Meer
hin. In den beiden Jahrhunderten, welche zwischen der Regierung
Trajans und dem Jahre 300 liegen, scheint insbesondere der Handel
auf dieser durch Passatwinde begünstigten Wasserstrasse stetig an
Ausdehnung gewonnen zu haben, so dass eine Schwierigkeit die Art
und Weise der Uebertragung zu erklären keineswegs besteht für den
FaU, dass indische Bildungselemente in griechischen, griechische in
indischen Werken sich nachweisen Hessen. Beides ist aber der Fall.

Philosophie und Theologie der alexandrinischen Neuplatoniker
und Gnostiker haben indische Gedanken sich angeeignet. Dass auch
umgekehrt indische Literatur vielfach von griechischen Quellen zeuge,
ist eine Thatsache, welche o-egenwärtig wohl von keinem Sanskrito-
logen mehr in schroffe Abrede gestellt wird. Nur über den Grad
der 'Beeinflussung, stellenweise über die Richtung derselben findet
ein Zwiespalt statt, da ja an und für sich betrachtet Dinge, die an
zwei Orten gefunden werden, falls man an ein selbständiges doppeltes
Auftreten aus diesem oder jenem Grunde zu glauben nicht geneigt
ist, eben so leicht von dem östlichen Fundorte nach dem westlichen
gelangt sein können als umgekehrt.

Wir werden nunmehr prüfen müssen, welcherlei mathematisches
Wissen bei den Indern sich nachweisen lässt, und wie sich dasselbe
zur griechischen Wissenschaft verhält.

Eins schicken wir voraus: die Form indischer Wissenschaft darf
uns, wenn sie von der griechischen noch so weit abweicht, nicht als
Beweis der Selbständigkeit derer gelten, die sich ihrer bedienten.
Ein arabischer Schriftsteller, Albirüni, hat am Anfange des XI. S.
die Erfahrung gemacht, dass Auszüge aus Euklid und Ptolemäus,
welche er indischen Gelehrten mittheilte, von diesen sofort in Verse
so dunkeln Verständnisses umgesetzt wurden, dass er kaum mehr
wiedererkannte, was er selbst sie gelehrt hatte ^). Nicht viel anders
scheint das Verhältniss der indischen Heilkünstler des Mittelalters zu
Hippokrates aufzufassen^).

Wir haben von dunkeln Versen gesprochen. Es ist das eine
besondere Eigenthümlichkeit indischer Gelehrten, dass sie wissen-
schaftliche Werke in Versen zu verfassen liebten. Es hängt das
offenbar mit der brahmanischen Neigung zusammen dem Gedächtnisse
zu .vertrauen und Aufzeichnungen zu vermeiden. Nicht unwichtige
Folgen ergeben sich aber daraus. Einmal ist die indische Prosodie
eine auf sehr feste Regeln gegründete, so dass Irrthümer in einem

^) ßeinaud, Memoire sur l'Inde pag. 334, Anmerkung 2. ^) E. Haas in
der Zeitschr. der deutschen morgenländischen Gesellsch. XXXI, 647—666.

558 28. Kapitel.

alten Texte unter Umständen ausser aus dem Sinne aucli aus holpern-
dem Versmaasse erkannt werden können. Zweitens aber hat, wie
wir schon sagten, die Versform häufig Dunkelheit erzeugt und so
die Nöthigung zu ausführlichen Erklärungen der für die Schüler fast
unverständlichen Schriften mit sich getragen, Erklärungen, die selbst
dazu dienen den älteren Text in unzweifelhafter Reinheit zu be-
wahren, weil sie fortlaufende Commentare bilden, Wort für Wort
des Textes wiederholen, zur Sache selbst aber meistens recht wenig
bieten, indem sie sich mit blossen Umschreibungen zu begnügen
pflegen.

Die indische Prosodie, sagten wir, sei auf sehr feste Regeln ge-
gründet. In der That besitzt sie Versmaasse sehr verschiedener Natur,
von denen wir zwei nennen müssen, das Sloka- und das Ärya-
Metrum. Letzteres diente den Mathematikern seit Aryabhatta, dessen
Zeitalter wir gleich angeben werden, ausschliesslich. Früher soll
man des Sloka-Metrums sich bedient haben, und dieser Umstand
ist zur Datirung eines arithmetischen Bruchstückes benutzt worden,
welches im Mai 1881 in Bakhshäli, in dem nordwestlichsten Indien,
in der Erde vergraben aufgefunden worden ist. Es wird angenommen,
das Rechenbuch von Bakhshäli^), wie wir es nennen wollen, sei
im dritten oder vierten nachchristlichen Jahrhundert verfasst, wenn
auch die aufgefundene Niederschrift auf Birkenrinde erst zwischen den
Jahren 700 und 900 entstanden sein dürfte. Von dem Inhalte des
Rechenbuches von Bakhshäli reden wir am Anfange des 29. Kapitels.

Eigentlich mathematische Schriftsteller scheint es nach der gegen-
wärtigen Kenntniss, die wir von der Sanskritliteratur besitzen, in
Indien nicht gegeben zu haben. Astronomie mid Astrologie fanden
dagegen ihre berufsmässigen Vertreter, und da diese genöthigt waren
mathematische Vorkenntnisse vorauszusetzen, so entwickelten sie das,
was ihnen unentbehrlich war, in Einleitungskapiteln oder in gelegent-
lichen Abschweifungen. So hielten es wenigstens die drei vorwiegend
mathematischen Astronomen, deren Werke wir besitzen.

Aryabhatta geboren 476 n. Chr. in Pätaliputra am oberen
Gangeslaufe schrieb ein Werk Aryabhättiyam betitelt, dessen dritter
Abschnitt der Mathematik gewidmet ist"'').

Brahmagupta geboren 598 schrieb „das verbesserte System
des Brahma", Brahma- sphnfa-siddhänta, aus welchem das 12. und
18. Kapitel der Mathematik angehören.

') The Bakshali Manuscript von Rudolf Hoernle im Indian Antiquary
XVII, 33-48 und 275—279 (Bombay, 1888). -) Eine Uebersetzung von

L. Rodet im Journal Asiatique von 1879. (Sörie 7, T. XIII.)

Einleitendes. Elementare Rechenkunst. 559

Bhäskara Acärya, d. h. Bhäskara der Gelehrte, schrieb
„die Krönung des Systems" Siddhäntagiromaui, dessen zwei für uns
wichtige Kapitel mit besonderer Ueberschrift LUävati (die Reizende)
und Vijaganita (Wurzelrechnung) genannt sind^). Bhäskara ist 1114
geboren.

Die Geburtsdaten dieser drei Schriftsteller sind vollständig sicher,
da sie aus eigenen Angaben der betreffenden Männer, welche in ihren
Werken aufgefunden worden sind, hergestellt werden konnten ''^).
Wir fügen dem hinzu, dass andere Astronomen oder Mathematiker,
welche wir noch nennen werden, insgesammt viel jüngeren Datums
als Aryabhatta sind, dass ein astronomisches Werk, von dem wir so-
gleich reden wollen, auch nicht älter als frühestens aus dem IV. oder
V. S. nachchristlicher Zeitrechnung ist.

Wir meinen den Sürya Siddhänta oder das Wissen der
Sonne ^), indem Sürya (die Sonne) ihre Siddhänta (Erkenntniss,
Wissenschaft, System) dem Asura Maya d. h. dem Dämon Maya
offenbart, der es niederschreibt. Wer dieser dämonische Schriftsteller
selbst sei, wann er gelebt hat, ist nur durch eine ziemlich kühne
Vermuthung erschliessbar. In dem Werke selbst kommen nämlich
unzweifelhaft griechische Ausdrücke vor, welche in der indischen Ver-
kleidung leicht erkannt worden sind. Wenn Kendra die Entfernung
eines Planeten von einem Störungsmittelpunkte bedeutet, so ist das
eben das griechische ^ ex xevrgov, wenn liptä oder liptikä die Winkel-
minute heisst, so ist das Ismov das Geschabte, das Bruchtheil, Ab-
leitungen die trotz der Stammverwandtschaft indischer und griechi-
scher Sprache angenommen werden müssen, indem für kendra und
liptä eine unmittelbar indische Herkunft nicht zu ermitteln ist. Dazu
kommt, dass einzelne Lehren des Sürya Siddhänta griechisches Ge-
präge tragen. Die Ostwestlinie für einen Punkt wird mittels der
zwei Schattenbeobachtungen gleicher Länge am Vormittage und am
Nachmittage gewonnen, welche wir bei Vitruvius und Hyginus
(S. 499) kennzeichnen mussten. Anderes scheint auf den ptolemäischen
Almagest hinzuweisen. Grade diese Annahme vereinigt sich sodann

') Die mathematischen Kapitel von Brahmagupta und von Bhäskara sind
in einer englischen üebersetzung vorhanden, welche wir als Colebrooke citiren:
Algebra whith arithmetic and mensuration from the Sanscrit of Brahmegupta
and Bhaseara translated hy H. Th. Colebrooke. London, 1817. ^) Bhaü
Daji, On the age and authenticity of the worJcs of Varähamihira, Brahmegupta,
Bhattotpala and Bhaskardchärya in dem Journal of the Asiatic society 1865
(New Series I, pag. 292-418). ^) Herausgegeben mit englischer Üebersetzung
von Burgess und Anmerkungen von Whitney in dem Journal of the American
Oriental Society Vol. VI (New-Haven, 1860).

560 28. Kapitel.

mit einer höchst merkwürdigen Thatsache: dass nämlich ägyptische
Könige aus der Ptolemäerfamilie in indischen Inschriften als Tura-
maya vorkommen mit eigenthümlicher Verketzerung des Namens.
Man hat deshalb vermuthet^), auch der Astronom Ptolemäus sei zu
einem Turamaya geworden, der volksthümlich sich weiter in einen
Asura Maya verketzerte. Zu einer solchen sagenhaften Personen-
veränderung bedarf es einiger Zeit und so kann der Sürya Siddhänta
nicht allzurasch nach Ptolemäus Leben d. h. nach dem II. S. n. Chr.
verfasst sein. Andererseit hat Varähamihira von dem Surya Sid-
dhänta Gebrauch gemacht und dessen Blüthezeit fällt nach der Aus-
sage eines noch späteren Astronomen Bhatta Utpala nach 505,
dessen Tod einem anderen Berichterstatter Amaräja zufolge auf 587.
Beide Daten vereint lassen uns in Varähamihira einen jüngeren Zeit-
genossen von Aryabhatta finden, und der Sürya Siddhänta muss dem
entsprechend zwischen Ptolemäus und Varähamihiras Lebzeiten d. i.
etwa im IV. oder V. S. entstanden sein.

Varähamihira^) gibt übrigens den Ursprung mancher seiner
Kenntnisse mit ehrlicherer Gewissenhaftigkeit an, als es sonst bei
Indern der Fall zu sein pflegt. Er bezieht sich für die Namen der
Sternbilder, welche er benutzt, geradezu auf den Yavane9varäcärya
d. h. auf den ionischen oder griechischen Meister, indem die Yavana
sicherlich Griechen bedeuten. Bei ihm und anderen Astronomen und
Astrologen ist sodann von Romaka Pura d. h. von Rom und von
Yavana Pura, d. h. der Stadt der lonier nämlich von Alexandria
die Rede, lauter Momente, welche den alexandrinisch-indischen Be-
ziehungen entstammen und die Abhängigkeit indischer Astronomie
auch von alexandrinischem Wissen bestätigen, wie andern theils ein
Zusammenhang ältester indischer Sternkunde mit Babylon (S. 91)
nicht abzuweisen sein dürfte.

Wir haben ausserordentlich wenig für uns Brauchbares dem
Sürya Siddhänta entnehmen können, eigentlich nichts weiter, als dass
ein griechischer Einfluss auf indische Wissenschaft damals schon,
mithin vor Aryabhatta feststeht. Wir haben daneben einige weitere
Nauien indischer Astronomen kennen gelernt. Wir lassen hier andere
folgen. Von einiger Bedeutung dürften ^ridhara und Padmanäbha
gewesen sein. Beide sind bei Bhäskara erwähnt, bei Brahmagupta
noch nicht, haben daher vermuthlich in der Zwischenzeit zwischen
diesen beiden gelebt. Es kommt dazu Paramädi9vara, der Com-

') Älbr. Weber, Zur Geschichte der indischen Astrologie in den Indischen
Studien II, 243. ^) The Panchasiddhäntilcü of Varciha Mihira ed. by G. Thi-
baud and Mahämahopädhyäya Sudhäkara Dvivedi. ßenares, 1889.

Einleitung. Elementare Rechenkunst. 561

inentator Aryabhattas, welcher später als Bhaskara gelebt hat, welchen
er kennt. Ferner kommen Bhäskaras Commentatoren hinzu, wie
Gangädhara, der 1420 lebte, Süryadäsa um 1540, Gane9a um
1545, Ranganätha um 1640, Räma Krishna vielleicht um die-
selbe Zeit, jedenfalls nicht viel älter, imd Andere. Sie alle lassen
uns rathlos in der wichtigsten Frage, welche wir ihnen so gern vor-
legen würden, in der Frage: Und was war vor Aryabhatta?

Sollen die Inder mit mathematischen Kenntnissen erst zu einer
Zeit vertraut geworden sein, welche später liegt als diejenige, in
welcher die Nachblüthe alexandrinischer Wissenschaft unter Pappus
und Diophant bereits zu Grabe getragen war? Es genügt, die ge-
stellte Frage von der Höhe der allgemeinen Bildungsstufe aus, welche
das Volk der Inder erreicht hat, sich wiederholt zu vergegenwärtigen,
um zur Verneinung zu gelangen. Aber worin die älteren Kenntnisse
bestanden haben, davon wissen wir ungemein wenig. Sogar wo uns
in nicht-mathematischen Schriften Aufgaben berichtet werden, deren
Alterthum kaum bezweifelbar ist, zwingt die Jugend des Berichtes
zum Eingeständniss, dass die Methoden der Auflösung jener Aufgaben
möglicherweise um viele Jahrhunderte später entstanden oder ein-
geführt sein können als die Aufgaben selbst. Wir haben in Rom es
gesehen, dass die Festlegning der Ostwestlinie, eine alterthümliche
Aufgabe, ein geradezu priesterliches Geschäft, bald so, bald so vor-
genommen wurde; wir haben durch einen günstigen Zufall, das Be-
streben eines Schriftstellers Hyginus nach Vollständigkeit, von drei
Methoden offenbar aus verschiedenen Zeiten stammend Kenntniss ge-
wonnen*, wir haben eine Datirung der drei Methoden versucht, ver-
suchen können. Wie aber, wenn Hyginus uns nur das jüngste Ver-
fahren mitgetheilt hätte, wenn Vitruvius ganz darüber schwiege,
würden wir die berichtete Methode als die der ältesten Zeiten aner-
kennen müssen? Vergegenwärtigen wir uns nun noch die schon be-
rührte Fähigkeit der Inder, Fremdländisches rasch in die einheimische
Form zu giessen, so kommen wir nothgedrungen zu der Ueberzeugung,
es werde in vielen Fällen nur spät Eingeführtes oder mindestens
durch Einführungen wesentlich Verändertes sein, wovon uns berichtet
wird, so weit wir auch in Aufsuchung mathematischen Stoffes zu
greifen geneigt sind.

Daraus folgt aber die Unmöglichkeit eine chronologische Ueber-
sicht der indischen Mathematik zu geben, und wir werden in jeder
Beziehung uns besser stehen, wenn wir versuchen eine Gruppenein-
theilung des indischen mathematischen Wissens nach dem Inhalte vor-
zunehmen. Es wird dabei in ein helleres Licht treten, was als Leit-
faden durch diesen ganzen Abschnitt benutzt werden kann: ein ge-

Cantob, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 36

562 28. Kapitel.

wisser Gegensatz zwischen griechisclier und indischer Denkungsart
und schöpferischer Kraft.

Die Griechen waren das vorzugsweise geometrische Volk,
sie waren es in solchem Maasse, dass wir den einengenden Zusatz:
des Alterthums uns füglich erlassen dürfen. An den Indern werden
wir die vorzugsweise rechnerische Begabung zu bewundern haben.
Bei ihnen ist dem entsprechend muthmasslich die Heimath einer
staunenerregenden Entwicklung der Rechenkunst zu suchen. Und
umgekehrt tritt uns mit der einzigen Ausnahme einer selbst auf
Rechnung gegründeten Trigonometrie keinerlei indische Geometrie
gegenüber, deren Spuren wir nicht mit Leichtigkeit nach Alexandria
zurückverfolgen könnten, insbesondere zurückverfolgen zu derselben
Quelle, aus welcher griechische Geometrie auch nach Westen, nach
Rom, abfloss, zu Heron dem Feldmesser. Mit der Algebra endlich
wird sich uns ein Gebiet eröffnen, das beiden Begabungen zugänglich
war. Die Griechen gingen von einer geometrisch eingekleideten
Algebra aus, welche sie bis zur Auflösung unreiner quadratischer
Gleichungen fortführten, nur allmälig des geometrischen Gewandes
sich entäussernd. Spuren griechischer Algebra müssen mit griechi-
scher Geometrie nach Indien gedrungen sein und werden sich dort
nachweisen lassen. Aber entweder stiess die griechische Algebra in
Indien auf eine einheimische oder vielleicht aus Babylon frühzeitig
eingedrungene Schwesterwissenschaft, mit der sie sich vereinigte, oder
sie entwickelte sich dort rechnerisch, also recht eigentlich algebraisch
bis zu einer Höhe, die sie in Griechenland niemals zu erreichen ver-
mocht hat.

Bei der nunmehr zu beginnenden Besprechung indischer Rechen-
kunst tritt uns vor Allem das Zifferrechnen gegenüber, welches
nach vielfach verbreiteter Ueberlieferung indischen Ursprungs ist.
Ein arabischer Schriftsteller des X. S., Mas'üdi, erzählt'), unter
Brahmas, des ersten indischen Königs, Regierung habe die Wissen-
schaft ihre grössten Fortschritte gemacht. Man habe damals in den
Tempeln Himmelskugeln abgebildet; die Regeln der Astrologie, des
Einflusses der Sterne auf Menschen und Thiere seien festgestellt
worden; die vereinigten Gelehrten verfassten den Sindhind (d. h. den
Siddhänta), das Buch der Zeit der Zeiten; astronomische Tafeln
wurden zusammengestellt; endlich erfand man die neun Zeichen, mit
welchen die Inder rechnen. In diesem Berichte spukt offenbar
indischer Nationalstolz, welcher den Sürya Siddhänta wie Alles was
mit Sternkunde in engerer oder weiterer Verbindung steht als ein-

') Reinaud, Memoire sur l'Inde pag. 324.

Einleitendea. Elementare Rechenkunst. 563

heimisch betrachtet wissen und^darum in ein graues Alterthum hin-
aufrücken will. Noch deutlicher zeigt sich die gleiche Eigenschaft
in der Fortsetzung des Berichtes, der Mas^üdi von indischer Seite zu-
getragen wurde, so dass er nur als Sprachrohr uns erscheint. Die
Inder, heisst es nämlich weiter, hätten nach Aryabhatta einen Alma-
gest verfasst, aus welchem Ptolemäus sein Werk gleichen Titels ent-
nommen habe, eine Umkehrung der Thatsachen, die ihres Gleichen
sucht. Gegenwärtig haben wir es indessen mit den Ziffern zu thun,
und da scheint gegen das, was man Mas'üdi erzählt hat, kein Wider-
spruch sich zu erheben. Aehnlich lauten auch andere Berichte. So
heisst es in einer um 950 an der Nordküste von Afrika entstandenen
rabbinischen Abhandlung^): die Inder haben neun Zeichen erfunden
um die Einheiten anzuschreiben. Weitere Bestätigung finden wir bei
dem Byzantiner Maximus Planudes, dessen bezügliche Aeusserungen
(S. 476) mitgetheilt worden sind, in welchen auch der Erfindung der
Null besonders gedacht ist.

Ob freilich die Null gleichen Alters ist mit den anderen Zahl-
zeichen, diese Frage möchte eher zu verneinen als zu bejahen sein.
Es scheint fast nachweisbar, dass die ältere indische Zahlenschreibung
der Null noch entbehrte, welche erst später hinzuerfunden wurde.
Das erste bekannte Vorkommen der Null in einer Urkunde ist erst
aus dem Jahre 738 bekannt^).

Die Insel Ceylon hat ihre Kultur von Indien her erhalten, sei
es schon im V. S. v. Chr., sei es im III. S., als König' A9oka den
Buddhismus auch dorthin über das Meer trug. Auf Ceylon wurde
aber im Gegensatze zum Festlande, wo ein Fortschritt wenigstens
in manchen Jahrhunderten mit grösster Deutlichkeit hervortritt, die
Bildung vollständig stationär, und eine am Anfange unseres Jahr-
hunderts noch auf Ceylon bei den Gelehrten übliche Zahlenschreibart
kann sehr wohl ältesten indischen Ursprunges sein^). Während das
Volk sich der gewöhnlichen europäischen Ziffern bedient, welche mit
den Kolonisten der letzten Jahrhunderte eingewandert in der ver-
änderten Gestalt, welche sie durch diese erhalten hatten, sich unweit

') Es ist ein Commentar von Abu Sahl ben Tamim in hebräischer Sprache
zu der bekannten kabbalistischen Schrift Sepher Yecira und handschriftlich in
Paris vorhanden. Reinaud, Memoire sur l'Inde pag. ö65. ^) E. Clive Bay-
ley, On the genealogy of modern numerals in dem Journal of the royal asiatic
Society. New series XIV, 335-376 (1882) und XV, 1—72 (1883). Ueber die
Urkunde von 738 vergl. XV, 27. ^) Die Untersuchungen des dänischen Ge-
lehrten Rask über diesen Gegenstand stammen aus dem Jahre 1821. Vergl.
ßrockhaus, Zur Geschichte des indischen Zahlensystems in der Zeitschrift für
die Kunde des Morgenlandes IV, 74—83.

36*

554 . ^^- Kapitel.

der alten Heimath wie fremd neu einbürgerten, haben die Gelehrten
folgendes Verfahren aufbewahrt. Sie besitzen neun Zeichen für die
verschiedenen Einer, ebensoviele für die Zehner, ein Zeichen für
Hundert, eins für Tausend und schreiben mittels dieser 20 Zeichen
sämmtliche Zahlen von 1 bis 9999, indem die Hunderter mid Tau-
sender dadurch ausgedrückt werden, dass man die Anzahl derselben
vervielfachend den Zeichen für 100 und 1000 vorsetzt. So schreibt
man z. B. 7248 mit sechs Zeichen, nämlich 7, 1000, 2, 100, 40, 8. Vier
Zeichen nämlich 7000, 200, 40, 8 würden genügen, wenn man auch
für die einzelnen Hunderter und für die einzelnen Tausender wie für
die Zehner besondere Zeichen, im Ganzen demnach 36 Zeichen be-
sässe, und das wird auch den allergelehrtesteu Einwohnern nach-
gerühmt. Das ist freilich ein Verfahren, welches dem, was man
indische Rechenkunst zu nennen pflegt, weit weniger gleicht, als
z. B. altägyptischer hieratischer Zahlenbezeichnung.

Eine Aehnlichkeit gibt sich nur darin zu erkennen, dass jene
singhalesischen Zeichen nichts anders sein sollen als abgekürzte Zahl-
wörter. Auch die alten indischen Ziffern, d. h. die Zeichen von eins
bis neun, wie sie ursprünglich aussahen und nicht wie sie in der
späteren indischen Schrift sich verändert haben, sollen nichts anderes
gewesen sein als die Anfangsbuchstaben der betreffenden neun Zahl-
wörter, wobei wohl zu beachten ist, dass im Sanskrit eine Ver-
schiedenheit der neun Anfänge obwaltet, wie sie in anderen indo-
germanischen Sprachen nicht stattfindet, so dass in diesen ein einfacher
Anfangsbuchstabe nicht genügen würde, das Zahlwort unzweideutig
zu bestimmen. Man denke nur an die deutschen Zahlwörter sechs
und sieben; an die lateinischen sex und Septem, aber auch an qnatuor
und quinque] an die griechischen f| und imd. Allerdings wechselten
im Laufe der Jahrhunderte auch die Buchstaben ihre Formen, und
es scheint^), als ob Buchstaben des IL S. n. Chr. vorzüglich zur
Ziffernbildung gedient hätten. Aus ihnen leiten sich am Unge-
zwungensten die Zeichen ab, welche die Apices des Boethius heissen,
welche auch bei den Westarabern ims noch begegnen werden. (Siehe
die lithographirte Tafel am Ende des Bandes.) Freilich ist diese
Meinung nicht die allgemeine, und wir dürfen nicht verschweigen,
dass andere Forscher von hoher Glaubwürdigkeit^) nicht viel von jener
Buchstabenableitung halten. Die Apices seien allerdings indischen
Ursprunges, stammten aber von nichtalphabetischen Zahlzeichen aus

^) So hat Woepcke im Journal Äsiatique von 1863, pag. 75 bemerkt.
') B um eil, Elements of South- Indian Palaeography. Mangalore, 1874,
pag. 47 — 48.

Einleitendes. Elementare Rechenkunst. 565

Höhleüinsclirifteii des IL S. n. Chr. Für uns geht mithin als ge-
sichert hervor, was beiden widersprechenden Annahmen gemein-
schaftlich ist: dass im II. S. Zahlzeichen, gleichviel welcher ursprüng-
lichen Entstehung, in Indien vorhanden waren, und von da nach
Alexandria gekommen sein können, welche zur Ableitung der Apices
vollkommen genügen.

Die Inder bedienten sich sehr verschiedener Bezeichnungsarten
der Zahlen, von denen wir reden müssen. Eine solche wird von
Aryabhatta berichtet, der sich ihrer im ersten Kapitel, und nur im
ersten Kapitel des Aryabhattiyam bediente^). Zu deren Verständniss,
wie überhaupt für das Folgende sind wir genöthigt, weniges über
das Alphabet der Sanskritgrammatik einzuschalten.

Es besteht aus 25 Consonanten in fünf Abtheilungen, deren jede
als ein Varga bezeichnet zu werden pflegt. Es sind das die Kehl-
laute, die Gaumenlaute, die Zungenlaute, die Zahnlaute, die Lippen-
laute. Die fünf Buchstaben, aus welchen jeder Varga besteht, sind
der harte und der weiche, jeder von beiden ohne und mit Aspiration
sich unmittelbar folgend, und der Nasenlaut, Unterschiede, die dem
europäischen Ohre fast unmerklich sind, insbesondere was die Nasen-
laute betrifft, da wir den Lippennasenlaut allerdings als m zu unter-
scheiden wissen, die Nasenlaute der vier ersten Vargas dagegen sämmt-
lich als n hören. Nach den 25 Consonanten kommen vier Halbvokale
y, r, /, V. Als 30. bis 32. Buchstabe erscheinen drei Zischlaute, das
Gaumen-c, das Zungen-s//, das Zahn-s. Als 33. Buchstabe wird
das li gezählt. Dazu treten 14 Vokale und Diphthongen gleichfalls
von unseren europäischen Gewohnheiten weit abweichend. Vokale
sind nämlich a, i, u, ri, li ein jeder in kurzer und in gedehnter
Aussprache vorhanden. Diphthonge sind e, ai, o, au. Von diesen
Buchstaben werden die Vokale und Diphthongen nur dann durch den
anderen Lauten gleichberechtigte Zeichen geschrieben, wenn sie für
sich allein eine Silbe ausmachen, also in der Regel nur am Anfange
eines Wortes oder gar einer Zeile. Folgt hingegen der Vokal auf
einen Consonanten, so wird er durch kleinere Nebenzeichen aus-
gedrückt, welche über oder unter dem Consonanten angebracht werden,
etwa wie in den semitischen Sprachen. Das kurze a bedarf jedoch
keines Zeichens, indem es ein für allemal inhärirt, d. h. indem jeder
der Buchstaben von h bis h, wenn kein anderer Vokal ihm folgt,
er aber der letzte Consonant einer Silbe ist, als mit kurzem a be-
haftet ausgesprochen wird. Stehen zwischen zwei Vokalen, die einem

^) Lassen in der Zeitschr. f. d. Kunde des Morgenlandes II, 419—427.
Rodet, Legons de calcul cV Aryabhatta (Journal Aslatique 1879) pag. 8.

566 28. Kapitel.

oder auch zwei Wörtern angehören können, mehrere Consonanten,
so werden diese in zusammengesetzter Form geschrieben, indem Theile
eines jeden einzelnen Consonanten zu einem oft sehr fremdartig aus-
sehenden Buchstaben vereinigt werden.

Aryabhatta gibt nun den Consonanten durch ihre fünf Vargas
hindurch die Zahlen werthe 1 bis 25. Thm ist also li == \, lilt = 2,

^ = 3, m = 25. Die Halbvokale, die Zischlaute und das h

bedeuten die hier sich anschliessenden Zehner, also y = 30, r == 40,
. . .h = 100. Diese Bedeutungen finden statt, wenn der betreffende
Buchstabe mit nachfolgendem kurzen oder langen a verbunden aus-
gesprochen wird. Die weiteren Vokale des Alphabets, ohne Rücksicht
auf Länge und Kürze, imd dann noch die vier Diphthonge verviel-
fachen den Consonanten, welchem sie angehängt sind, mit aufeinander-
folgenden Potenzen von 100. So ist also ga = 3, gi = 300,
gu = 30000, ge ist eine 3 mit 10 Nullen, gau eine 3 mit 16 Nullen.
Zwei verbundene Consonanten sind als mit demselben Vokale begabt
anzusehen, und ihr Werth ist zu addiren. So ist hvi z. B. aufzu-
lösen in M -{.vi = l- 100 + 60 • 100 = 6100.

Die Aehnlichkeit mit dem Systeme der singhalesischen Gelehrten
ist nicht zu verkennen. Die Vokale und Diphthonge stellen hier die
Zeichen für Einheiten höheren Ranges vor, welche durch voraus-
gehende Consonanten gewissermassen als Coefficienten vervielfacht
werden. Positionsarithmetik dagegen ist diese Bezeichnung nicht,
und wenn wir bei unserer Schilderung von Nullen sprachen, so ge-
schah dieses, um uns unseren Lesern in kürzester Form verständlich
zu machen, nicht aber weil die Methode selbst es verlangte. Es
wäre übrigens falsch, wenn man die Folgerung ziehen wollte, Arya-
bhatta habe überhaupt die Positionsarithmetik nicht gekannt. Das
Gegentheil geht vielmehr, wie wir sehen werden, aus seinen im zweiten
Kapitel des Aryabhattiyam enthaltenen Vorschriften für die Aus-
ziehung der Quadrat- und Kubikwurzeln hervor^).

Positionsarithmetik ist auch die Grundlage zweier anderer Systeme.
Das eine soll den Mathematikern des südlichen Indiens an-
gehören, ein Erfinder wird jedoch nicht angegeben^). Die einzelnen
Ziffern werden hier durch Buchstaben ausgedrückt, und zwar jede
einzelne nach Belieben durch verschiedene Buchstaben. Die Ziffern
1 bis 9 entsprechen nämlich der Reihe nach erstens den neun ersten
Consonanten, also dem Varga der Kehllaute und den vier ersten
Gaumenlauten; zweitens dem 11. bis 19. Consonanten, also dem Varga
der Zungenlaute und den vier ersten Zahnlauten; drittens den vier

>) Rodet 1. c. pag. 19. ") Math. Beitr. Kultur!. S. 68.

Einleitendes. Elementare Rechenkunst. 567

Halbvokalen, den drei Zischlauten, dem h und einem in Südindien
nocli vorkommenden cousonantiscken //•. Der Varga der Lippenlaute
bedeutet die Zijffern 1 bis 5. Endlich die noch übrigen Buchstaben,
nämlich der Nasenton der Gaumenlaute und der Zahnlaute, sowie
alle initiale Vokale und Diphthonge sind Nullen. Völlig bedeutungs-
los dagegen sind durch Nebenzeichen geschriebene oder inhärirende
Vokale und Diphthonge, ebenso wie die zuerst auszusprechenden
Theile zusammengesetzter Consonanten, deren letzter allein als werth-
gebend in Geltung tritt. Die so geschriebenen Zahlen werden alsdann
gemäss der hier wirklich vorkommenden Nullen nach den Regeln
des Stellungswerthes gelesen. Die Möglichkeit, eine und dieselbe
Zahl nach dieser Methode auf verschiedene Weise darzustellen, ist
eine fast imbegrenzte und gewährt durch den Sinn der jedesmal ge-
wählten Worte nicht bloss eine wahre Gedächtnisshilfe, sondern auch
die Benutzbarkeit im fortlaufenden Versmaass unter Einhaltung der
strengen Regeln indischer Prosodie.

Noch geeigneter zu solcher Benutzung in Versen erscheint die
zweite hier zu erwähnende Methode einer symbolischen Positions-
arithmetik^), die ziemlich weite Verbreitung erlangt hat, da sie
bei den Indern, wie in Tibet, wie bei den Eingeborenen der Insel
Java vorkommt. Es werden dabei für die Einer und auch für manche
zweiziffrige Zahlen gewisse symbolische Wörter gewählt, welche als-
dann mit Positionswerth zusammengesetzt werden. Die Reihenfolge
ist die der Sprache in den Zahlen unter Hundert, nicht die der Schrift.
Das Zahlenschreiben befolgt, wie wir wissen, das Gesetz der Grössen-
folge. Die Sprache ist nicht immer so folgerichtig, und so lässt sie
im Sanskrit wie im Deutschen, wie im Arabischen, in dem Gebiete
unterhalb von Hundert das kleinere Element dem grösseren voraus-
gehen z. B. dreiundsiebzig, trisaptati. Ebenso macht es diese sym-
bolische Bezeichnung, welche wir um dieser Eigenthümlichkeit willen
lieber eine Aussprache der Zahlen mit Stellungswerth, als eine
Schreibweise nennen möchten. So heisst aMhi (der Ocean, deren es
vier gibt) die Zahl 4, siirya (die Sonne mit ihren zwölf Wohnimgen)
die Zahl 12, agvin (die beiden Söhne des Sürya) die Zahl 2 und
aMhisiiryägvinas in seiner Zusammensetzung 2124. Da mehr als ein
Wort für jede einzelne Zahl zur Verfügung steht, für 4 z. B. auch
Jcrita (die erste der vier Weltperioden), ausserdem die mehrziifrigen
Zahlen auch nach verschiedenen Gruppen getheilt werden können
(z. B. 2124 = 2 • 12 • 4 = 2 • 1 • 24 = 2 • 1 • 2 • 4) so ist hier die

^) Nouveau Journal Äsiatique XVI, 12, 25 und 34—40, sowie Journal
Asiatique 6. sörie, I, 284—290 und 446.

568 28. Kapitel.

Combinationsfahigkeit eine gleichfalls ausserordentliclie, und die Ein-
fücfung in das Versmaass ist damit so erleichtert, dass mau es be-
greiflich findet, dass Astronomen wie Brahmagupta mit Vorliebe -
grade der symbolischen Zahlenbenennung in ihren didaktischen Ge-
dichten sich bedienten.

Ein derartiges bewusstes Spielen mit den Begriffen der Stellungs-
arithmetik mit Einschluss der Null erklärt sich am leichtesten in
der Heimath dieser Begriffe, für welche uns Indien bereits gilt. Als
mit der Stellungsarithmetik in offenbarem Zusammenhange und ver-
muthlich als Vorbereitung zu derselben zu betrachten stossen wir in
Indien auf eine Reihe eigenthümlicher Zahlennamen, wie keine andere
Sprache der Erde sie besitzt, die westlicher als Indien sich ent-
wickelte. Bei den Griechen waren Namen für 1, 10, 100, 1000,
10 000 verbanden, aus denen die der höheren Einheiten sich zu-
sammensetzten. Bei den Römern war die Anzahl selbständiger Namen
noch beschränkter, da 10000 bereits zur Zusammensetzung nöthigte.
Das Gleiche findet, wie wir vorausschickend bemerken, im Arabischen
statt. Das Sanskrit besitzt dagegen von 100 Millionen an die Ge-
wohnheit durch Beifügung des Wortes mahd (gross) eine Verzehn-
fachung vorzunehmen , z. B. arbuda = 100 Millionen , mahärbuda
= 1000 Millionen; j)a(?wa = 10000 Millionen, mahäpadma = 100000
Millionen u. s. w., aber sonstige wirkliche multiplikative Zusammen-
setzungen wie decem millia, ixarovtaxig^vQLOi kommen nicht vor,
und die eigenthümlich gebildeten Wörter erstrecken sich^) bis zur
Bezeichnung der 1 mit 20 Nullen akshaiihini und der 1 mit 21 Nullen
nmJiäJishaidünL Es ist mit Recht bemerkt worden, dass diese Aus-
sprechbarkeit jeder einzelnen Rangordnung deren Gleichberechtigung
ganz anders zu Bewusstsein bringe, als die griechischen und römi-
schen Zusammenfassungen in Tetraden und Triaden es gestatten, dass
hier eine Wurzel der Stelluugsarithmetik zu Tage trete'-). Aber frei-
lich müsste man, um ein voUgiltiges Urtheil fällen zu können, genau
wissen, wie alt jene Sanskritwörter sind, wie alt dann wiederum die
Erfindung der Null, und beides wissen wir nicht. Was die Wörter
betrifft, so erstreckt sich Zweifel über ihre Anzahl wie über ihren
Klang, da Bhäskara z. B. in der Lilävati ganz andere Zahlwörter
als die obigen angibt, die sich bis zur 1 mit 17 Nullen erstrecken,
und auch andere Formen noch berichtet werden^). Noch zweifel-

*) Pihan, Expose des signes de numeration usites chez les peuples orientuux
anciens et modernes. Paris, 1860, pag. 59. *) Woepcke im Journal Äsiatique
für 1863, pag. 443, Anmerkung 1. ^) Colebrooke pag. 4, Note 4 und Albr,
Weber, Vedische Angaben über Zeittlieilung und hohe Zahlen iu der Zeitschr.
der deutsch, morgenländ. Gesellsch. XV, 132—140.

Einleitendes. Elementare Rechenkunst, 569

hafter stellen wir der zweiten Frage gegenüber, wann die Null er-
funden worden sei. In Indien selbst haben wir keinen Beleg für
das Vorhandensein der Null, der höher hinaufreichte als der Sürya
Siddhänta. Fremde Quellen reichen gleichfalls nicht höher hinauf,
da wir allgemein gestellten Fragen (S. 84) doch nicht die Bedeutung
von Quellen geben dürfen. Eine negative Erscheinung lässt uns an
viel älterem Vorkommen überhaupt zweifeln. Wenn die indischen
Zahlzeichen es waren, wie wir annehmen, die um das II. S. n. Chr.
durch indisch- alexandrinischen Verkehr nach Westen drangen, um
dort zu Apices zu werden, so ist undenkbar, dass die Null und mit
ihr die Positionsarithmetik nicht auch zugleich herübergekommen
wäre, falls sie vorhanden waren. Das Kolumnenrechnen mit den
Apices setzt alsdann noth wendig voraus, dass in Indien selbst die
Null erst nach dem IL S. entstand. Ist aber dieser Schluss richtig,
dann ist es auch wahr, dass die der frühesten religiösen Literatur,
den sogenannten vedischen Schriften bereits angehörenden hohen
Zahlwörter älter als Null und Stellungswerth sind und vielleicht, wie
oben gesagt wurde, zu deren Erfindung leiteten. Gesichert freilich,
und damit schliessen wir diese Bemerkungen, ist nur das Vorkommen
der Null etwa seit 400 n. Chr. Eine äthiopische Inschrift aus dem
IL oder III. S. n. Chr., in welcher man die Zahlen 6383 und 11103
erkannt haben wilP), ist zu undeutlich, um als sicheres Beweismittel
für ein so altes Vorkommen der Null gelten zu können.

Wie die Inder rechneten, bevor das Stellensystem
ihnen bekannt war, würde in mancher Beziehung sich als von
geschichtlicher Bedeutung erweisen können. Leider befinden wir uns
hier im dichtesten Dunkel. Nicht die leiseste Andeutung ist zu
unserer Kenntniss gelangt, dass bei den Indern vor Zeiten ein
Fingerrechnen oder ein instrumentales Rechnen stattgefunden hätte.
Sollen wir daraus den Schluss ziehen, dass ähnliche Hilfsmittel dem
Inder fremd waren? dass die Inder vielmehr, unterstützt durch die
bequemen Zahlennamen, und ihrer Natur nach zu in sich gekehrtem,
von der Aussenwelt abgewandtem Grübeln geneigt, wesentlich Kopf-
rechnen übten, welches naturgemäss sich nicht zu verändern
brauchte, als die dem gesprochenen Worte abgelauschte Positions-
arithmetik erfunden ward? Das ist nicht unmöglich und findet viel-
leicht Unterstützung in gewissen Verfahren, von welchen wir noch
zu reden haben, und welche an das Zahlengedächtniss ziemlich hohe
Anforderungen stellen. Es ist aber auch ein Anderes möglich, wo-
rauf wir weiter oben bereits einmal hingewiesen haben. Unvoll-

*) Corpus Inscriptionem Graecorum III, 5108.

570 28. Kapitel.

kommeneres kann bis zur Vergessenheit durch Vollkommeneres ver-
drängt werden, und bei den ludern fand vielleicht diese Verdränsuns
bezüglich der Rechnungsverfahren statt, so zähe die üeberlieferung
auch die Aufgaben festgehalten haben mag, deren Ausführung ver-
langt wurde.

Das Rechnen der Inder seit Einführung des Stellen-
werthes ist theils aus indischen Werken selbst bekannt, theils und
zwar hauptsächlich aus dem Rechenbuche des Maximus Planudes,
welches ausdrücklicher Angabe des Verfassers gemäss nach indischen
Quellen bearbeitet ist. Wir kommen jetzt auf die Dinge zu reden,
an welchen wir bei unserer ersten Besprechung jenes Werkes (S. 477)
rascher vorübergehen durften. Wir heben in erster Linie die Aus-
führung der Subtraktion hervor, welche unter der Voraussetzung,
dass eine Stelle des Subtrahenden einen höheren Werth als die ent-
sprechende Stelle des Minuenden besitzt, nach zwei Regeln gelehrt
wird. Man borgt entweder die zur Ergänzung des Minuenden noth-
wendigen 10 Einheiten des betreffenden Ranges von der nächst-
höheren Stelle, oder man gleicht die Vergrösserung des Minuenden
dadurch aus, dass man auch den Subtrahenden, und zwar in der
nächsthöheren Stelle um 1 vergrössert. Um also 821 — 348 zu finden
sagt man entweder: 8 von 11 lässt 3, 4 von 11 lässt 7, 3 von 7
lässt 4, also Rest 473 oder aber: 8 von 11 lässt 3, 5 von 12 lässt 7,
4 von 8 lässt 4 mit demselben Ergebnisse wie vorher.

Die Multiplikation wird in sehr unterschiedenen Verfahren
gelehrt. Wir erwähnen nur beiläufig der Zerlegung des Multipli-
kators in Faktoren, mit welchen nach einander multiplizirt wird,
der Auffassung des Multiplikators als Summe aber auch als Differenz
von Zahlen, die eine im Verhältnisse leichtere Vervielfältigung zu-
lassen, Methoden also, welche dem Kopfrechnen vorzugsweise dienen.
Beim schriftlichen Rechnen ist darauf Rücksicht genommen, dass
der Inder vielfach mit einem Griffel auf einer mit Sand bestreuten
Tafel rechnete und rechnet, dass also das Weglöschen einer Zahl
und ihr Ersetzen durch eine andere nicht dem ganzen Exempel ein
unreinliches, hässliches Aussehen verschafft. Die einzelnen Theil-
produkte können demzufolge beginnend mit der höchsten Stelle des
Multiplikandus, über welche das erste und hauptsächlichste Theil-
produkt geschrieben wird, gebildet werden. Jedes hinzutretende
folgende Theilprodukt vereinigt sich mit dem schon dastehenden
Ergebnisse zu einem neuen, dessen Ziffern an die Stelle der rasch
verwischten früheren Ziffern treten, bis schliesslich das Produkt über
dem Multiplikandus, oder gar statt dessen erscheint, da man auch
wohl so weit geht, die Ziffern des Multiplikandus selbst wegzulöschen,

Einleitendes. Elementare Rechenkunst. 571

sobald jede derselben so weit in Betracbt gezogen wurde, als es für
das Gesammtergebniss notbwendig ist. Eine die nacbträglicbe Kon-
trole nicbt zur Unmöglichkeit machende Multiplikation wurde wahr-
scheinlich gerade so ausgeführt, wie wir noch heute in Europa ver-
fahren. Meistens jedoch wurden dabei alle Zwischenoperationen dem
Gedächtnisse überlassen. Das gab dasjenige Verfahren, welches
Tat st ha (es bleibt stehen) oder Vajräbhyäsa (blitzbildend) ge-
nannt wurde ^). An einem Beispiele mit allgemeinen Buchstaben-
symbolen erläutert sich dieses Verfahren wie folgt. Es ist

(«0 + 10 • «1 + 100 • a, -f ■ ■) X (&ü + 10 . &, -f 100 . &2 H )

= «0^0 + 10(ö'o&i + ai\) -f- 100(ö5o&2 + «!&! + aM -\ •

Nach dem so zu Tage tretenden Gesetze verschaffte man sich jede
Rangziffer sogleich vollständig genau und mit Zurechnung dessen,
was von früheren Ziffern hinzutreten musste, also ohne irgend weitere
Verbesserung nöthig zu machen. Eine andere Methode möchten wir
das grade Gegentheil der eben geschilderten nennen, insofern sie dem
Gedächtnisse auch gar nichts ausser dem gewöhnlichen Einmaleins
zumuthet. Die Vorbereitung besteht in der Herstellung einer schach-
brettartigen Figur-), deren einzelne Felder durch gleichlaufende von
rechts oben nach links unten geneigte Diagonalen nochmals in je
zwei Dreiecke abgetheilt sind, in welche dann die Einer beziehungs-
weise Zehner jedes Einzelproduktes zu stehen kommen. Die Addi-
tionen erfolgen nach den durch jene Diagonalen gebildeten schräg-
liegenden Kolumnen. Die Multiplikation 12 X 735 = 8820 sieht
mithin folgendermassen aus:

7 3

/7 /3 /5

V /

/4 / 6

Bei der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation findet
die sogenannte Neunerprobe statt, welche in dem zahlentheore-
tischen Satze begründet ist, dass die Ziffernsumme einer Zahl durch
9 getheilt den gleichen Rest wie die Zahl selbst liefert. Wir kommen
auf diese Probe später im 35. Kapitel zurück.

Die Division ist wenigstens in den uns überkommenen Quellen
sehr stiefmütterlich behandelt. Bei dem Abziehen der den einzelnen
Quotientenziffern entsprechenden Theilprodukte wird vom Wegwischen
vorhandener Ziffern, vom Ersetzen derselben durch andere Gebrauch

Note 1

^) Colebrooke pag. 6, Note 1 und pag. 171, Note 5. ^) Ebenda pag. 7,
1.

572 28. Kapitel.

gemacht. Am wichtigsten erscheint die freilich nur negative also
nicht unzweifelhaft feststehende durch neue Entdeckungen möglicher-
weise umzuwerfende Thatsache, dass noch keine Spur eines Ver-
fahrens angetroffen worden ist, welches den complementären Ope-
rationen der Römer zu vergleichen wäre.

Ist schon an und für sich zu vermuthen, dass das Rechnen mit
ganzen Zahlen historisch weit hinaufreiche, so ist es sagenmässig,
und zwar an sehr grossen Zahlen geübt, bis in die Jugendzeit des
Reformators der indischen Religion zurückzuverfolgen. Der Lalita-
vistara, dessen Abfassungszeit freilich durchaus unbekannt ist, be-
schäftigt sich mit der Jugend des Bodhisattva. Er bewirbt sich bei
Dauclapäni um dessen Tochter Gopä, deren Hand ihm aber nur unter
der Bedingung zugesagt wird, dass er einer Prüfung in den wich-
tigsten Künsten sich unterziehe. Die Schrift, der Ringkampf, das
Bogenschiessen, der Sprung, die Schwimmkunst, der Wettlauf, vor
Allem aber die Rechenkunst liefert den Inhalt dieser von dem Jüng-
linge mit glänzendem Erfolge bestandenen Prüfung. In der Arith-
metik erweist er sich sogar geschickter als der weise Arjuna und
gibt Zahlennamen an bis zu tallakshana d. i. eine 1 mit 53 Nullen.
Das sei aber nur ein System, und über dieses System gehen noch
fünf oder sechs andere hinaus, deren Namen er gleichfalls angibt.
Jetzt fragt man ihn, ob er die Zahl der ersten Elementar-
theilchen berechnen könne, welche aneinandergelegt die Länge
eines Yojana erfüllen, und er berechnet die Zahl mittels folgender
Verhältnisszahlen: 7 Elementartheilchen geben ein sehr feines
Stäubchen, 7 davon ein feines Stäubchen, 7 davon ein vom Winde
aufgewirbeltes Stäubchen, 7 davon ein Stäubchen von der Fussspur
des Hasen, 7 davon ein Stäubchen von der Fussspur des Widders,
7 davon ein Stäubchen von der Fussspur des Stieres, deren 7 auf
einen Mohnsamen gehen; 7 Mohnsamen geben einen Senfsamen,
7 Senfsamen ein Gerstenkorn, 7 Gerstenkörner ein Fingergelenk;
12 von diesen bilden eine Spanne, 2 Spannen eine Elle, 4 Ellen
einen Bogen, 1000 Bögen einen Kro9a, deren endlich 4 auf einen
Yojana gehen. Letzterer besteht also in unserer modernen
Schreibweise aus 7^® -32 -12 000 Elementartheilchen, d. h. aus
108 470 495 616 000 solchen Theilchen. Wenn nun auch die im Lalita-
vistara angegebene Zahl von dieser richtigen abweicht, so hat doch
nachgewiesen werden können^), dass eine Entstehung der falschen
Zahl aus der richtigen wahrscheinlich sei, und es ist auch die stoff-
liche Verwandtschaft der Aufgabe zur Sandrechnung des Archimed

*) Woepcke im Journal Asiatique für 1863, pag. 260 — 266.

Höhere Rechenkunst. Algebra. 573

gebülirend hervorgelioben worden. Wäre also gesicliert, was freilich
nicht der Fall ist, dass der Lalitavistara vor 300 v. Chr. entstand,
so bekäme damit die (S. 307) angedeutete weitere Annahme Wahr-
scheinlichkeit, Archimed sei mit seiner Aufgabe als einer schon
älteren bekannt geworden, die er dann aber immerhin nicht unwesent-
lich veränderte.

Nächst den ganzen Zahlen kommen Brüche in den Rechnungen
vor. Wir begegnen bei den Indern sowohl Stammbrüchen als auch
Brüchen, deren Zähler von der Einheit verschieden sind. Die Schreib-
weise t)esteht darin, dass der Zähler über dem Nenner steht, ohne
dass sich ein horizontaler Bruchstrich dazwischen befände. Bei dem
Rechnen mit Brüchen kommt es hauptsächlich auf die Einführung
eines gemeinsamen Nenners an, bei dessen Auffindung mancherlei
Vortheile zur Uebung kommen. Natürlich fällt die Nothwendigkeit
der Zurückführung auf gemeinsamen Nenner bei den Sexagesimal-
brüchen weg, welche vorzugsweise den indischen Astronomen ge-
dient haben und ihnen wohl nicht minder als den Griechen unmittel-
bar aus der babylonischen Heimath zugeflossen sein dürften, so dass
ein gräko-indischer Einfluss hier nicht nothwendig anzunehmen ist.

29. Kapitel.

Höhere Rechenkunst. Algebra.

Wir haben im vorigen Kapitel uns mit dem Inhalte des gewöhn-
lichsten, allgemeinst bekannten Rechnens der Inder beschäftigt.
Wenn wir zu ihren höheren Kenntnissen uns wenden, haben wir
zuerst das (S. 558) gegebene Versprechen einzulösen und von dem
Rechenbuche von Bakhshäli zu reden. Leider ist es in jeder
Beziehung Bruchstück. Es fehlen, man weiss nicht wie viele, aber
vermuthlich zahlreiche Rindentafeln am Anfang wie am Ende, auch
einige solche in der Mitte, und die vorhandenen Tafeln sind auch
nichts weniger als wohlerhalten, so dass nur Mangelhaftes mitzu-
theilen ist, ein so glänzendes Zeugniss es auch für den Ordner des
Fundes bildet, dass es ihm überhaupt gelang, einen gewissen Zu-
sammenhang herzustellen. Der Name des Verfassers fehlt. Die
Aufgaben sind Textaufgaben. Das Zahlenrechnen ist bei ihrer Be-
handlung als bekannt vorausgesetzt. Brüche werden so geschrieben,
dass der Zähler über dem Nenner ohne tremienden Bruchstrich steht,
wie es auch bei anderen, späteren Schriftstellern (s. oben) der Fall
blieb. Ganze Zahlen werden als Brüche mit dem Nenner 1 ge-
schrieben. Bei gemischten Zahlen tritt die ganze Zahl als solche

über den Bruch, also 1=1^- Die Zahlen, welche zu einer Ope
3

574 29. Kapitel.

"" 3

ration vereinigt werden, sind meistens durch gerade Linien eingerahmt;
dann folgt das unserem Gleichheitszeichen entsprechende Wort pha-
lain oder abgekürzt pha und dann das Ergebniss.

Beim Addiren steht yuta, abgekürzt yu^ hinter den Summanden

1 ^^

pha 12 heisst A _|_ ^ = 12.

Beim Subtrahiren steht das Subtraktionszeichen hinter dem
Subtrahenden, und zwar in Gestalt eines Kreuzes -f- . Es ist als
alte Form von Ica gedeutet worden, der Abkürzung von Jcanita = ver-
mindert.!

Multiplikation wird nicht bezeichnet. Das Nebeneinanderstehen
von Zahlen zeigt an, dass ihr Produkt gemeint ist; z. B.

heisst — X ," = 20.

0 1

5 32

8 1

pha 20

Ferner heisst

1 1 1

111

3+ 3+ 3+

1 2

die Zahl 1 oder — solle drei-

mal als Faktor auftreten und -r hervorbringen.

27 °

Die Division fordert das dem Divisor nachgesetzte Wort bMga
= Theil abgekürzt hhä.

Die Einheit heisst immer rüpa, die unbekannte Zahl sunya^ und
letztere wird durch einen ziemlich starken Punkt • bezeichnet. Das
gehört zum Merkwürdigsten im ganzen Rechenbuche. Sunya bedeutet
nämlich wörtlich leer und wird auch für die gleichfalls durch einen
Punkt dargestellte Null gesagt. Der der doppelten Anwendung von
Wort und Zeichen zu Grunde liegende Gedanke ist offenbar richtig
in Folgendem erkannt worden^): Eine Stelle muss ein für alle Mal
leer bleiben, wenn ihre Ausfüllung nicht vorhanden ist; sie muss
also auch zunächst leer bleiben, wenn und so lange ihre Ausfüllung
noch unbekannt ist.

Die Auflösungen der gestellten Aufgaben erfolgen mitunter durch
Zurückführung auf die Einheit. Wir führen ein Beispiel an^).
B gibt 2 mal so viel als A, Co mal so viel als B, D 4: mal so
viel als C; sie geben zusammen 132; was gab Ä? Man setze 1
(rüpa) für die Unbekannte (sunya). Nun ist ^ = 1, .ß == 2, C = 6,
D = 24, ihre Summe = 33. Durch diese angenommene Summe 33
wird die wirkliche Summe 132 dividirt; der Quotient 4 lässt er-

') Hoernle im Indian Antiquary XVII pag. 35. ^) Ebenda pag. 45.

Höhere Rechenkunst. Algebra. 575

keimen, was Ä gab. Man könnte die Behandlung auch als durch
falschen Ansatz vermittelt bezeichnen.

Arithmetische Reihen und deren Summirung sind bekannt. Ein
Reisender^) legt am ersten Tage 2 Wegeinheiten zurück, jeden folgen-
den Tag 3 mehr. Ein zweiter Reisender legt am ersten Tage 3 Weg-
einheiten zurück, jeden folgenden Tag 2 mehr. Wann treffen sie
zugleich an einem Punkte ein? Seien a^, d^ für den ersten, a^, d.^ für
den zweiten Reisenden Anfangsgeschwindigkeit und tägliche Vermeh-
rung derselben, x die Zahl der Tage bis zur Begegnung. Die Forde-
rung der Aufgabe lautet:

«1 + («1 + (k)-\ h («1 + (^ — 1) (h)

= «2 + («2 -\- d.^) -\ 1- («2 + (ä; — 1) d^)

oder

. [2a, + (x-l)d,]^ = [2a,-{-(x-l)d,]^,

woraus sofort x = ^^ ~ j + 1 folgt, und so scheint auch die ohne

vorhergegangene Herleitung ausgesprochene Regel des Rechenbuches
es vorzuschreiben.

Neben bestimmten Aufgaben sind unbestimmte vorhanden.
Wir führen wieder ein Beispiel an^). Man sucht eine Zahl, welche
um 5 vermehrt oder um 7 vermindert jeweils ein Quadrat gebe.
Aus x-\-b = if und x — l = ^^ folgt 12 = i/^ — ^^ = (?/ — ^) (2/ + ^)-
Für y — ^ und y -\- s werden nun irgend zwei Faktoren des Pro-

duktes 12 gesetzt, z. B. y — z = 2 und y -\- s = -^ = Q. Daraus
folgt y = A, z = 2j ic = 11, wie es im Rechenbuche unter Andeu-
tung der vollzogenen Rechnung auch herauskommt.

Wir wenden uns nun zu dem höheren arithmetischen Wissen
derjenigen Schriftsteller, deren Namen und Zeitalter wir genau zu
bestimmen im Stande waren. Etwas höher steht schon das Erheben
einer Zahl zur zweiten und dritten Potenz, sowie die Ausziehung
von Quadrat- und Kubikwurzeln. Den Indern gehörte freilich
Potenzerhebung und Wurzelausziehung noch zu den elementaren
Operationen, deren sie demzufolge 6 zählten, shaävidham die sechs
Rechnungsverfahren ^). Die zu Grunde liegenden Formeln waren, wie
nicht anders zu erwarten steht, die der Binomialentwicklungen

(a + hf = «2 + 2ab -f h', (a -f- bf = «^ + ^a^b -j- Saö^ -f b^^
Aryabhatta weiss schon von den zwei-, beziehungsweise dreistelligen
Abschnitten zu reden, in welche man die Zahlen zum Zwecke der

^)Hoernle im Indian Antiquar y XVII pag. 42. ^) Ebenda pag. 44.
^) Vergl. L. Rodet in der Abhandlung: L'algebre d'Al Khärizmi et les methodes
indienne et grecque. Journal Äsiatigue. 7ieme särie XI, 21 (1878).

576 20. Kapitel.

beiden Wurzelausziehungen zu theilen habe^), was uns gestattete zu
behaupten (S. 566), er müsse die eigentliche Stellungsarithmetik ge-
kannt haben. Wurzel überhaupt, auch in der Bedeutung der Wurzel
einer Pflanze, heisst niüla oder pada'^ varga bedeutet eine Reihe
gleicher Gegenstände, dann ein Quadrat im geometrischen wie im
arithmetischen Sinne des Wortes; ghana ist ein Körper; und durch
Zusammensetzung dieser Ausdrücke gewann man die Namen Quadrat-
wurzel, varga müla, und Kubikwurzel, ghana nitlla^).

Ist nach unserem Dafürhalten die Erfindung der Null eine
indische, so ist das Rechnen mit der Null schon zu Brahmaguptas
Zeit Gegenstand besonderer Vorschriften gewesen •''). Null getheilt
durch Null ist nichts. Zahlen getheilt durch Null geben Brüche
mit Null als Nenner. Das sind freilich dürftige Bestimmungen, mit
welchen nicht viel zu machen ist. Ganz anders weiss Bhäskara Be-
scheid, wenn er sagt: Diese Grösse, nämlich der Bruch, dessen Nenner
Null ist, lässt keine Aenderung zu, mag auch Vieles hinzugesetzt oder
weggenommen werden. Findet doch gleichermassen in der unend-
lichen und unveränderlichen Gottheit kein Wechsel statt zur Zeit wo
Welten zerstört oder geschaffen werden, wenn auch zahlreiche Ord-
nungen von Wesen aufgenommen oder hervorgebracht werden^). Der
Commentator Krishna erläutert den Gegenstand mit den Worten: Je
mehr der Divisor vermindert wird, um so mehr wird der Quotient
vergrössert. Wird der Divisor aufs äusserste vermindert, so ver-
grössert sich der Quotient aufs äusserste. Aber so lange er noch
angegeben werden kann, er sei so und so gross, ist er nicht aufs
äusserste vergrössert; denn man kann alsdann eine noch grössere
Zahl angeben. Der Quotient ist also von unbestimmbarer Grösse
und wird mit Recht unendlich genannt^). Es ist auffallend genug,
dass bei so verständiger Auffassung Bhäskara an anderer Stelle^)
das Rechnen mit der Null in haarsträubender Weise missbraucht
und dass auch seine Erklärer nichts dabei zu erinnern wissen. Eine
Zahl soll nämlich aus folgenden Angaben gefunden werden: Ihr
Quotient durch Null vermehrt um die Zahl selbst und vermindert
um 9 wird zum Quadrat erhoben, alsdann die Wurzel dieses Qua-
drates hinzugefügt und die Summe mit Null vervielfacht, so soll 90

herauskommen. Die Rechnung ist folgende: -- -\- x — 9 ist immer
noch — , das Quadrat .- • Dazu -^ addirt gibt -^ + -5- und nach
Vervielfältigung mit der Null x^ -{- x == 90, woraus x = 9 folgt!

') L. Rodet, Legons de calcul d' Aryalihata pag. 9 und 18 flgg. ^) Cole-
brooke pag. 9, Note 2 und pag. 12, Note 1. ") Ebenda pag. 339—340.
•') Ebenda pag. 138. s) Ebenda pag. 137, Note 2. ") Ebenda pag. 213.

Höhere Rechenkunst. Algebra. 577

Wir sind mit diesem Beispiele schon zur Algebra der Inder
übergegangen, welche trotz des wenig bestechenden Einganges, den
wir gewählt haben, sich uns in überraschender Entfaltung vorstellen
wird. Doch bevor wir uns mit ihr beschäftigen, haben wir zu be-
merken, dass die Inder Rechnungsaufgaben mitunter auch in nicht
algebraischer Weise lösten, und dass für einzelne Regeln besondere
Namen üblich waren, theils auf das Verfahren, theils aber auch weit
weniger folgerichtig auf den Inhalt der Aufgaben sich beziehend.

Unter den ersteren nennen wir die Umkehrung, vüöma Icriyd,
bei welcher die Reihenfolge der Operationen, welche vorzunehmen
waren um zur gegebenen Zahl zu gelangen, gradezu umgekehrt wird.
Aryabhatta gibt in der 28. Strophe seines mathematischen Kapitels^)
die Regel in seiner lakonischen Weise: „Multiplikationen werden
Divisionen, Divisionen werden Multiplikationen; was Gewinn war
wird Verlust, was Verlust Gewinn; Umkehrung." Um dieser Kürze
die poetisch anmuthende Form gegenüberzustellen, welche Bhäskara
namentlich in dem Lilävati überschriebenen Kapitel anzuwenden
liebt, lassen wir ein Beispiel aus diesem Kapitel folgen^): „Schönes
Mädchen mit den glitzernden Augen sage mir, so du die richtige
Methode der Umkehrung verstehst, welches ist die Zahl, die mit 3

3
vervielfacht, sodann um des Produktes vermehrt, durch 7 getheilt,

um — des Quotienten vermindert, mit sich selbst vervielfacht, um

52 vermindert, durch Ausziehung der Quadratwurzel, Addition von
8 und Division durch 10 die Zahl 2 hervorbringt." Die Rechnung
nimmt hier den Gang

(2 • 10 — 8)- + 52 = 19G, 1/196 = 14 und 14 • 1~ • 7 ■ y : 3 = 28

als Anfangszahl.

Eine zweite Regel ist das Verfahren mit der angenommenen
Zahl, ishta larman] es ist genau dasselbe Verfahren, welches Avir
(S. 39 und 41) als Methode des falschen Ansatzes bei den Aegyptern
kennen gelernt haben, mit dem einzigen Unterschiede, dass jetzt als
bewusste Methode auftritt, was ehedem fast instinktiv geübt wurde.
So sollen^) 68 erhalten werden, indem man eine Zahl verfünffacht,

— des Produktes abzieht, den Rest durch 10 dividirt und — , - und

— der ursprünglichen Zahl addirt. Im Rechenbuche von Bakhshäli
wäre versuchsweise 1 für die ursprüngliche Zahl gesetzt worden.

^) L. Rodet, Legons de calcul d'Äryabhata pag. 14 und 37 — ."8. ') Cole-
brooke pag. 21. ^) Ebenda pag. 23.

Cantob, Geseliichte der Matlionintik I. 2. Aufl. 37

578 29. Kapitel.

Bhäskara wählt versuchsweise 3 und erhält so 15, 10, 1 und

l + A + A + A_i^.

17 .

Man muss also mit — in 68 dividiren und den Quotient 16 mit 3

multipliziren um die Zahl 48 zu finden. Der Commentator Gaue^a
bemerkt dazu ganz richtig, dass bei dieser Methode nur Multiplika-
tionen, Divisionen und Additionen oder Subtraktionen von Bruch-
theilen der Ergebnisse vorkouimen dürfen.

Die Regeldetri kommt bei Aryabhatta vor^), dann in mehreren
Regeln direkten und indirekten Ansatzes zerspaltet und zur Regel
mit mehreren Verhältnissen erweitert bei Brahmagupta, bei ^ridhara,
bei Bhäskara. Wir geben wieder einige Beispiele. „Eine weisse
Ameise bewegt sich in einem Tage um die Länge von 8 Gersten-
körnern weniger ~ eines solchen vorwärts; sie kriecht in 3 Tagen
um — Finger zurück; in welcher Zeit wird sie unter diesen Ver-
hältnissen ein Yojana weit vorrücken"^)? Die Verhältnisszahlen sind
8 Gerstenkörner == 1 Finger, 24 Finger = 1 Elle, 4 Ellen = 1 Stab,
8000 Stab = 1 Yojana und so findet man 98 042 553 Tage. Die
Aufgabe: „Eine 16jährige Sklavin kostet 32 Nishkas, was wird eine
20jährige kosten"^)? wird nach umgekehrter Proportion behandelt,
weil „der W^erth lebender Geschöpfe (Sklaven und Vieh) sich nach
deren Alter regelt". Das ältere ist das billigere.

Von den Regeln, deren Name an die behandelten Gegenstände
erinnert, nennen wir die Zinsrechnung, bei welcher ebenso wohl
die Anrechnung von Zinsesziusen*) als der Zinsfuss von 5 Procent
monatlich"'') auffallen mag.

Wir neimen ferner die Mischungsrechnung von Esswaaren^),
wo um eijie gegebene Summe etwa Reis und Bohnen im Verhältnisse
von 2 zu 1 Maasstheilen gekauft werden will, während der Preis
dieser Gegenstände einzeln bekannt ist. Dem Gedanken nach können
wir eben dazu auch die Aufgaben rechnen, welche wir Brunnen-
aufgaben genannt haben (S. 363), die aber bei den Indern keinen
ähnlichen Namen führen').

Hierher sind auch die Aufgaben über Reihen zu zählen^).

') L. Rodet, Lcrons de calcul d' Aryabhaia pag. 14 und 37. -) Cole-
brooke pag. 283, Note 2. ^) Ebenda pag. 34. *) L. Rodet, Le^ons de
calcul d'Aryabhata pag. 14 und 36—37. ^) Coleb rookc pag. 39. ^) Ebenda
pag. 43. ') Ebenda pag. 42 und 282, Note 1. «) L. Rodet, Legons
de calcul d'Aryabhata pag. 12 — 13 und 32 — 36. Colebrooke pag. 290 ügg.
und 51 flgg.

Höhere Rechenkunst. Algebra. 579

Äryabhatta, Bralimagupta imd Bhäskara lehren die S^^mmi^mlg der
arithmetischen Reihe sowie anch der von 1 an aufeinander folgenden
Quadratzahlen und Kubikzahlen. Mit geometrischen Progressionen
hat Bhäskara, hat auch Prithüdaka, ein Erklärer des Brahmagupta,
sich beschäftigt^). Die Ergebnisse gehen in keiner Beziehung über
diejenigen hinaus, welche wir bei den Griechen theils genau nach-
weisen konnten, theils voraussetzen mussten, weil wir sie bei Epa-
phroditus in offenbar erst nachgeahmter Form wiederfanden, während
kein Zweifel obwalten kann, dass schon Epaphroditus mehr als ein
Jahrhundert früher als Aryabhatta gelebt haben muss.

Eine besondere Gruppe von Aufgaben bilden endlich die Ver-
setzungen. Wemi man nicht als älteste Spur derselben bei den
Indern die 24 Namen gelten lassen will, welche den Abbildungen
des Vischnu je nach der Ordnung, gemäss welcher er in seinen vier
Händen die Keule, die Scheibe, die Lotosblume und die Muschel hält,
beigelegt wurden^), so muss man jedenfalls jene Kapitel der indischen
Prosodie hierher rechnen''), in welchen die verschiedenen Möglich-
keiten gezählt werden, weiche bei Versen von gegebener Silbeumenge
in Bezug auf Länge und Kürze der einzelnen Silben auftreten, eine
Aufgabe, welche auf Versetzungen theilweise unter einander gleicher
Elemente führt. Formeln der Combinatorik ohne Beweise zusammen-
gestellt finden sich bei Bhäskara''). Dort ist die Zahl der Combi-
nationen ohne Wiederholung zu bestimmter Klasse angegeben, dort
die Zahl der Permntationen mit lauter ungleichen oder theilweise
gleichen Elementen, dort die Summe, welche entsteht, wenn man
alle Permutationsformen als dekadisch geschriebene Zahlen betrachtet
und zu einander addirt, lauter Dinge, welche in dieser Vollkommen-
heit gewiss keinem Griechen jemals bekannt waren, wenn auch, wie
wir gezeigt haben, die Meinung aufzugeben ist, als sei den Griechen
die Combinatorik überhaupt durchaus fremd gewesen.

Gehen wir nun zu der eigentlichen Algebra der Inder über, so
haben wir erstens von ihren Bezeichnungen und Benennungen, zwei-
tens von ihrer Auflösung bestimmter Gleichungen, drittens von ihren
zahlentheoretischen Kenntnissen zu reden.

In den Bezeichnungen und Benennungen ist bei den Indern
selbst ein Fortschritt zu erkennen, welcher sie von unvollkommenen
Anfängen zu einer Höhe führt, welche die Entwicklung, zu welcher
Diophant diese Dinge brachte, ziemlich tief unter sich lässt.

') Colebrooke pag. 55 und 291, Note. ^) Ebenda pag. 124, Note 1.
ä) Albr. Weber, Ueber die Metrik der Inder. Indische Studien VIII, be-
sonders S. 326 — 328 und 425 flgg. *) Colebrooke pag. 49 und 123—127.

37*

580 29. Kapitel.

Äryabliatta^) nennt die unbekannte Grösse einer Aufgabe: Kügelchen,
fjuliM, die bekannte Grösse: mit Zeicben versehene Münzen, riipaliä.
Das letztere Wort ist ohne die Anhängsilbe lid, welche im Sanskrit
sehr häufig wiederkehrt, als rüpa geblieben, das gleiche Wort, welches
im Rechenbuche von Bakhshäli die Einheit bedeutete; für die Unbe-
kannte tritt bei Brahmagupta schon das allgemeinere Wort: so viel
als {quantimi tantum), yävattävat ein. Einen Vergleich mit dem ägyp-
tischen hau, dem Diophantischen «ptöfio'g unterlassen wir, als zu un-
bestimmter Natur. Die Inder besassen für beide Gattungen von
Grössen, für die bekannte wie für die unbekannte, Zeichen, die in
den Anfangssilben jener Wörter rü und yd bestanden, mithin erst
eingeführt worden sein dürften, als gulilid zu Gunsten von ydvattdvnt
abgängig geworden war. Sollten derartige Grössen addirt werden,
so wurden die zu vereinigenden Ausdrücke ohne weiteres einander
nachgesetzt, wie es von Diophant auch geschah. Bei der Subtraktion
ist ein Unterschied zwischen der griechischen und der indischen Be-
zeichnung, welcher zu Gunsten der letzteren ausschlagen möchte.
Wir wissen, dass Diophant das Subtraktionszeichen qi dem Abzu-
ziehenden vorsetzte, dass bei ihm nur von Differenzen, von abzüg-
lichen aber keineswegs von negativen Grössen die Rede war (S. 441).
Anders die Inder. Bei der Subtraktion wird über den Zahlencoefficient
des Abzuziehenden, seien es rü oder yd um die es sich handelt,
ein Pünktchen gemacht. Das ist ein so wesentlicher Fortschritt
gegen das Kreuz der Subtraktion, von welchem (S. 574) die Rede
war, dass er nicht genug hervorgehoben werden kann. Das jüngere
Pünktchen ist kein Zeichen der Operation, sondern der Zahlenart.
Es verwandelt die Subtraktion in eine Addition anders gearteter,
entgegengesetzter Grössen. Es sind wirklich positive und negative
Zahlen mit denen man operirt. Die positiven Zahlen heissen dhana
oder sva, die negativen ri7.ia oder Tishaya, erstere mit der Bedeutung
Vermögen, letztere Schulden bedeutend-). Ja die Erläuterung
des Gegensatzes positiver und negativer Zahlen durch den Gegen-
satz der Richtung einer Strecke ist dem Inder nicht fremd ^).
Diophant blieb bei der Bezeichnung der ersten Potenz der Unbe-
kannten nicht stehen. Ebensowenig thut es der Inder. Allein auch
hier ist eine sehr wesentliche Verschiedenheit zwischen beiden Be-
zeichnungen. Diophant addirt (S. 440) seine Exponenten; die Inder
multipliziren sie, wenn nicht das Wort ghatd besonders anzeigt,
dass eine Addition vorgenommen werden soll. Die zweite Potenz
4

') L. Rodet, Legons de calcul d'Äryahhaia pag. l.'j und iJ'J — 40. ") Cole-
brooke pag. 131, Note 1. •') Ebenda pag. 71, § 106.

Höhere Rechenkunst. Algebra. 581

wird durch varga abgekürzt in va, die dritte durch glimm abgekürzt
zu glia bezeichnet, Wörter, die uns oben bei der Wurzelausziehung
schon bekannt geworden sind. Dann heisst der angedeuteten Regel
gemäss va va, va gha, va va va, gha glia die 2 • 2 = 4 te, 2 • 3 = 6 te,
2 • 2 • 2 = 8te, 3 . 3 = 9te Potenz, und die zwischenliegenden 5. und
7. Potenz der Unbekannten führen die Namen und Zeichen va gha
ghata, va va glia gliatn. Ueber diese Potenzbezeichnung hinaus hat
sich aber der Inder auch noch zu einer Bezeichnung der irratio-
nalen Quadratwurzel einer Zahl mit Hilfe des Wortes liarana,
geschrieben /.a, emporzuschwingen gewusst. Die Bedeutung dieses
Wortes, welches mit dem Zeitwort machen in Verbindung steht,
deutet allerdings darauf hin, dass hier das indische Zeichen einem
griechischen Begriffe nachgebildet sei, dass man die Länge sucht,
welche eine gewisse Oberfläche als ihr Quadrat macht; denn wenn
der Grieche hier auch können zu sagen liebt, so steht dem doch
der Ausdruck o a^to rrig aß d. h. das von der Strecke aß gemachte
Quadrat zur Seite ^). Der Inder hat ferner ein Zeichen der Multipli-
kation in dem den Faktoren nachzusetzenden Worte hhävita, das Her-
vorgebrachte, geschrieben hhä. Dieselbe Silbe war (S. 574), als An-
fang eines anderen Wortes, Divisionszeichen. Er hat endlich eine
unterscheidende Bezeichnung für mehrere Unbekannte, indem nur die
erste, häufig alleinige Unbekannte ydvattdvat heisst, während die
übrigen nach Farben unterschieden werden-): die schwarze MlaJca,
die blaue nilaJia, die gelbe pltalca, die rothe Joliitalm, die grüne liari-
faJca regelmässig durch die Anfangssilbe bezeichnet, eine Bezeichnungs-
weise, deren ganz allgemeine Uebung zu dem Rückschlüsse geführt
hat, es müssten auch die indischen Zahlzeichen ursprünglich Anfangs-
silben der betreffenden Zahlwörter gewesen sein. Als Beispiel der
eben erwähnten mehrere Unbekannte umfassenden Schreibweise ma«"
yd Id blid gelten d. h. die Unbekannte mit der Schwarzen in Ver-
vielfachung oder X mal y. Die Gleichsetzung zweier Zahlen vollzog
Diophaut durch das Wort i'aot, mitunter zu t abgekürzt. Auch dem
Inder fehlt nicht ein W^ort dieser Bedeutung: in Gleichgewicht
tulyaii, heissen die beiden Glieder, pahshau^), aber sie bedürfen dessen
beim Schreiben nicht. Sie setzen die einander gleichen Ausdrücke
unmittelbar unter einander ohne jedes vermittelnde Wort, allerdings
auch ohne Gleichheitszeichen. Sie scheuen es dabei nicht eine nega-
tive Zahl allein die eine Seite einer Gleichung bilden zu sehen, wenn
sie auch freilich rein sinnlich genommen dieselbe selten allein sehen.

*) L Rodet, Legons de calcul d'Äryabhata pag 31. ^) Colebrooke
pag. 139 und 348 flgg. ^) L. Rodet, L'algebre d'Al-Khärizmi pag. 17.

582 29. Kapitel.

indem meistens die niclit vorkommenden (Jlieder mit dem Coeffi-
cienten 0 behaftet angeschrieben werden. Soll also bei Brahmagupta
aus lOa; — 8 = a;^ + 1 <^ie Folgerung — 9 = x^ — lOx gezogen
werden^), so sehreibt er 0^^ + 10-» — S = lx^-]-Ox-{-l und dann
erst — 9 = X' — 10 ic oder in indischer Weise

yd va 0 yd 10 rii 8 und dann rn 9

yd va 1 yd 0 rü 1 yd va 1 yd 10.

Negative Wurzeln einer Gleichung waren, wenn auch nicht
streng verpönt, doch auch nicht gestattet; man darf vielleicht sagen,
sie wurden mit Bewusstsein ihres Vorkommens beseitigt: „Absolute
negative Zahlen Averden von den Leuten nicht gebilligt."

Damit sind wir aber schon bei der Auflösung bestimmter
Gleichungen angelangt. Die Inder behandelten solche von ver-
schiedenen Graden. Eme Grundoperation ging immer voraus. Nach-
dem nämlich der Ansatz vollzogen war, zog man entsprechende Theile
von einander ab; Vielfache des Quadrats der Unbekannten, Vielfache
der Unbekannten, Bekanntes wurden bei der dafür ungemein be-
quemen indischen Anordnung von einander subtrahirt, imd man
nannte dieses sdma rvdhanam d. h. Abziehung des Aehnlichen. Mit
Fug und Recht hat man diesen Ausdruck neben das diophantische
„Gleichartiges von Gleichartigem" (S. 442) gestellt^). Es ist gewiss
nicht zu weit gegangen, wenn man behaiijjtet von den Wörtern sdma
gödJianani und dxb ofioiav ö[ioia sei das Eine die Uebersetzung des
Andern, und warum wir geneigt sind Diophant als selbständigen
Schriftsteller zu betrachten, haben wir früher (S. 435) erörtert. Hier
wäre somit schon eine von den verheissenen Spuren griechischer
Algebra auf indischem Boden, hier eine Spur indischen Fortschrittes
in Gestalt ihrer Anordnung. Aryabhatta hat in seiner 31. Strophe
ein merkwürdiges Beispiel aufgestellt^): „Theile bei entgegengesetzter
Bewegung die Entfernung durch die Summe der Geschwindigkeiten,
bei übereinstimmender Bewegung theile die Entfernung durch die
Differenz der Geschwindigkeiten; die zwei Quotienten sind die Be-
gegnungszeiten der beiden in der Vergangenheit oder Zukunft", das
ist die allgemein gestellte Aufgabe der beiden Couriere, wie
richtig erkamit worden ist. Hat aber Aryabhatta diese Aufgabe
gleichungsweise gelöst in der Weise, wie wir soeben zu erörtern an-
gefangen haben, oder hat er nur eine von auswärts erhaltene Regel
wiederholt? Eine bestimmte Antwort lässt sich noch nicht geben.

1) Colebrooke pag. 346 — 347, § 49. ^ Ebenda pag. 217, § 140.

3) L. Rodet, L'algebrc d' Al-Khärizvii pag. 49. *) L. Rodet, Lerons de ctdcul
d'Äryahhata pag. 15 und 41 - 42.

Höhere Rechenkunst. Algebra. 583

Jedeufalls ist bei Bralimagupta die Gleichung als solche vorhanden.
Viermal der zwölfte Theil einer um 1 vermehrten Zahl wird
um 8 vergrössert, um die um 1 vermehrte Zahl zu finden'). Die
Zahl yd wird um 1 vermehrt zu yd 1 ru 1. Dann theilt man

durch 12 und vervielfacht mit 4 zu - — , vermehrt um 8 zu

— • Das soll aber dem yd l ra 1 gleich sein, mithin ist:

yd 1 ril 25
yd 3 rd 3.

Der Ansatz ist soweit vollendet ujid nun heisst es weiter: Der Unter-
schied der Unbekannten ist yd 2; hierdurch der Unterschied der be-
kannten Zahlen nämlich 22 getheilt gibt die Zahl 11. Bhäskara hat
mit Vorliebe Textaufgaben behandelt, deren Form dem poetischen
Gewände, in welchem das Ganze erscheint, sich trefflich anpasst.
Wie er das Kapitel der Rechenkunst Lilävati, die Reizende, genannt
hat, und von den glitzernden Augen der Schönen (S. 577) im Zu-
sammenhang mit dem ümkehrungsverfahren zu reden wusste, so
stellt er auch folgende auf eine Gleichung ersten Grades führende

Frage ■^); ,,Von einem Schwärm Bienen lässt — sich auf einer Ka-
dambablüthe, auf der Silindhablume nieder. Der dreifache Uuter-

schied der beiden Zahlen flog nach den Blüthen eines Kutaja, eine
Biene blieb übrig, welche in der Luft hin und herschwebte gleich-
zeitig auo;ezogen durch den lieblichen Duft einer Jasmine und eines

o o o
Fandamus. Sage mir, reizendes Weib, die Anzahl der Bienen.'' Er

ahmt übrigens selbst nur (j'ridhara darin nach, auf welchen folgende

Aufgabe ihrer wesentlichen Form nach zurückzuführen ist^): „Bei

verliebtem Ringen brach eine Perlenschnur; der Perlen fiel zu

Boden, - blieb auf dem Lager liegen, — - rettete die Dirne, - nahm

'5 '^ '^ ' 6 '10

der Buhle an sich, 6 Perlen blieben aufgereiht; sage, wie viel Perlen
hat die Schnur enthalten?"

Bisher trat nur eine Unbekannte auf. Eine Aufgabe, welche
mehrere Unbekannte bestimmt wissen will, ist diejenige, welche
Aryabhatta in seiner 29. Strophe uns erhalten hat*): „Die Summe
einer gewissen Anzahl von Grössen je um eine derselben vermindert,
alle vereinigt, man theilt durch die um 1 verringerte Anzahl der

') Colebrooke pag. :;44, § 45. '■') Ebenda pag. '24 — 25, § 54. ^) Ebenda
pag. 25, Note 5. ■*) L. Rodet, La^ons de calcul d'Aryabhata pag. 14 — 15 und
38—39.

584 29. Kapitel.

Grössen, mau hat die Summe." Wir fürcliten keinen Widersprucli,
wenn wir in dieser Aufgabe und in dem Epantlieme des Thymaridas
(S. 148) so nahe Verwandte erkennen, dass an einen Zufall nicht zu
denken ist. Vollkommen ist zwar die Uebereinstimmung nicht.
Nennen wir ö^ wieder die Summe der ?j Unbekannten a:, , x<^,--Xa
und die Differenzen s — a^i = (/j, s — rr^ = (/g? - • • s — Xn = ä^ so

^1 + f^2 + • • + f^„

behauptet Aryabhatta, es sei s == —^-z^ und fügt hinzu,

dass durch einzigweise Subtraktion von fZ^, d^, • • • d,^ von dem so
gefundenen s die Unbekamiten x^, x^^ • • ■ Xn erhalten werden können ;
aber nur um so wahrscheinlicher wird dadurch, was auch durch die
selbst nur mangelhaft bekannte, jedenfalls aber sehr frühe (S. 147)
anzusetzende Lebenszeit des Thymaridas an die Hand gegeben
wird, dass dieser Pythagoräer der Erfinder war, als welchen Jamb-
lichus ihn ausdrücklich nannte, dass Aryabhatia in echt indischer
Weise, genau so wie Albirüni es uns schildert (S. 557), das Erlernte
unkenntlich zu machen wusste. Ist aber diese Folgerung gerecht-
fertigt, so ist eine neue Spur griechischer Algebra in Indien auf-
gedeckt, und damit immer grössere Sicherheit gewonnen, dass wirk-
lich auf diesem Gebiete die Inder von den Griechen lernten, keines-
wegs aber umgekehrt, und dass die Inder alsdann nur, wie wir
wiederholt erklären, in dem ihrer Geistesrichtung besonders zusagen-
den Gedankenkreise überraschende Fortschritte auf eigenen Füssen
machten.

So glauben wir auch deutlich die griechische Auflösung der
quadratischen Gleichung, wie Heron (S. 377), wie Diophant
(S. 443) sie übte, in der mit ihr nicht bloss zufällig übereinstimmen-
den Regel des Brahmagupta zu erkennen^): „Zu der mit dem Coeffi-
cienten des Quadrates vervielfachten absoluten Zahl füge das Quadrat
des halben Coefficieuten der Unbekannten. Die Quadratwurzel dieser
Summe weniger dem halben Coefficienten der Unbekannten getheilt
durch den Coefficienten des Quadrates ist die Unbekannte." D. h. aus

aa;^ 4- bx == c folgt x =

Bei Aryabhatia ist die gleiche Auflösmigsmethode wenigstens
vorausgesetzt"), da die in seiner 20. Strophe gelehrte Auffindung der
Gliederzahl einer arithmetischen Reihe aus Summe, Differenz und
Anfangsglied die vorhergehende Möglichkeit eine unreine quadratische
Gleichung auflösen zu können in sich schliesst.

^) Colebrooke pag. 346, § 48. ^) L. Rodet, Legons de calcul d'Arya-
bhata pag. 13 und 33.

Höhere Rechenkunst. Algebra. 585

^ridhara hat Brahmaguptas Regel verbessert^), indem er die
gegebene Gleichung statt mit a sogleich mit 4 a vervielfachen lässt,
wodurch die Möglichkeit Brüche unter dem Wurzelzeichen zu erhalten
verschwindet; aus ax^ -\- hx = c erhält er nämlich

4:a^x^ -}- AaJjx = \ac oder {^aoßf -\- 2b • {2ax) = Aac,

also auch (2ax + l)f = Acic -{- V- und x = "'^ ^ Die Er-

gänzung des quadratischen Theiles, welche in Wirklichkeit dahin
führt statt eines quadratischen Gliedes und eines Gliedes mit der
ersten Potenz der Unbekannten nur das Quadrat eines Binoms ersten
Grades als unbekannt aber bestimmungsfähig zu erhalten, wird seit
Brahmagupta „Wegschaffung des mittleren Gliedes" madhyama
Jiaraiiam, genannt").

Der wichtigste Fortschritt, welchen die Lehre von den unreinen
quadratischen Gleichungen schon bei Brahmagupta vollzogen hat, be-
steht aber darin, dass die drei verschiedenen Formen (S. 443)

ax^ -\-hx = c, hx -{- c = ax^, ax' -\- c = 'bx
verschwunden sind, wie es vermöge der Gewohnheit mit negativen
Zahlen zu rechnen gestattet war.

Nun ist Bhäskara noch wesentlich über Brahmagupta hinaus-
gegangen. Er kennt die bei den Quadratwurzeln sich ergebenden
Doppelsinnigkeiten und Unmöglichkeiten. Er fasst sie in die
RegeP): „Das Quadrat einer positiven wie einer negativen Zahl ist
positiv, und die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl ist zwiefach,
positiv und negativ. Es gibt keine Quadratwurzel aus einer negativen
Zahl, denn diese ist kein Quadrat." Dementsprechend kennt er die
paarweise auftretenden Wurzeln einer quadratischen Gleichung, gibt
sie aber aus dem oben angegebenen Grund, dass „absolute negative
Zahlen von den Leuten nicht gebilligt werden", nur dann an, wenn
beide Wurzelwerthe positiv ausfallen und keinen Durchgang durch
ein Negatives voraussetzen; er folge dabei Padmanäbha'^). Folgende
Beispiele mögen die Meinung der einschränkenden Klausel erläutern^).
„Der 8. Theil einer Heerde Affen ins Quadrat erhoben hüpfte in
einem Haine herum und erfreute sich an dem Spiele, die 12 übrigen
sah man auf einem Hügel mit einander schwatzen. Wie stark war
die Heerde?" Hier gibt es zwei Auflösungen: 48 und 16. „Das
Quadrat des um 3 verminderten 5. Theils einer Heerde Affen war in
einer Grotte verborgen, 1 Affe war sichtbar, der auf einen Baum
geklettert war. Wie viele waren es im Ganzen?" Bhäskara sagt 50

^) L. Rodet, L'algebre iV Äl-Khärizmi pag. 71. -) Ebenda pag. 76.
Colebrooke pag. 135. *) Ebenda pag. 218, § 142. ^) Ebenda pag. 215—217.

586 29. Kapitel.

oder 6, aber der zweite Wurzelwertli dürfe nicht genommen werden.
Ein Commentar erklärt uns, wie das gemeint sei. Man könne den
5. Theil von 5, oder 1, nicht um 3 vermindern, ohne dass, wenn
auch nur vorübergehenderweise, die absohite negative Zahl — 2
auftrete.

Bhaskara hat auch an anderer Stelle^) gezeigt, wie mit Hilfe
der Formel

i^oTW = V^+^f^ + l/»Z^^

Quadratwurzeln aus Summen rationaler und irrationaler Zahlen ge-
zogen werden können, und hat die Wurzelausziehung auf noch ver-
wickelter zusammengesetzte Grössen wie

/lO -f 1/24 + "|/40 + 1/60 = >/2 + 1/3 -1- /ö
ausgedehnt. Er erklärt diese Darstellung ausdrücklich für seine Er-
findung, welche aber einer sehr behutsamen Benutzung bedürfe
widrigenfalls man zu falschen Ergebnissen geführt Averde; die Er-
zielung eines solchen beweise alsdann, dass eine Wurzelausziehung
eben nicht gelinge, und alsdann müsse man sich damit begnügen
statt der einzelnen vorkommenden Irrationalitäten deren Näherungs-
werthe in Rechnung zu haben.

Das Rechnen mit Irrationalgrössen führt Bhaskara ferner zu
der Aufgabe, Brüche rational zu machen"). Man soll Zähler und
Nenner mit einem dem Nenner ähnlichen Ausdrucke vervielfachen,
bei welchem nur das Vorzeichen einer Irrationalzahl entgegengesetzt
gewählt wird, und soll dieses Verfahren so lange fortsetzen, bis man
wirklich im Stande sei die noch geforderte Division zu vollziehen.

Endlich ist bei Bhaskara noch ein letzter grosser Fortschritt
vorhanden. Er hat auch Gleichungen von höherem als dem zweiten
Grade in Angriff genommen^). So z. B. x^ ~\- \2x = Qx^ -f" 35. Er
zieht CiX^ -{- 8 auf beiden Seiten ab und gewinnt so

x'—Qx^+ 12a;— 8 = 27,
wo beiderseits vollständige dritte Potenzen erscheinen, nämlich
{x — 2)^ == 3"'. Die Kubikwurzelausziehung gibt ihm x — 2 = 3,
woraus endlich a; = 5 folgt. Aehnlich behandelt er

x"^ — 2{x^-\- 200a;) = 9999.
Er addirt auf beiden Seiten 4a;^ -f- 400a; + 1 und gewinnt dadurch
nach vollzogener Umformung {x^ -f- 1)^ = (2 a; -f" 100)^. Quadrat-
wurzelausziehung führt zu der selbst noch quadratischen Gleichung

') Colebrooke pag. 149 — 155. Die Bemerkung über falsche Ergebnisse
pag. 155, § 51. ä) Ebenda pag. 147, § 34—35. ") Ebenda pag. 214—215.

Höhere Rechenkunst. Algebra. 587

x^ -\- 1 =2x -{- 100, aus welcher a;= 11 folgt. „In diesem FaUe
bedarf es des Scharfsinnes" sagt Bhäskara, und man kann ihm diese
kleine Ruhmredigkeit nicht verargen. Es ist nicht unmöglich, dass
Diophant, welcher gleichfalls eine kubische Aufgabe gelöst hat
(S. 447), den Austoss auch zu diesen Untersuchungen gab, aber
wieder ist ein ungeheures Mehr auf Seiten Bhäskaras zu verzeichnen.
Er hat einen Kunstgriff erdacht, den er uns ausdrücklich kennen
lehrt, und der richtig gehandhabt zu einer Methode der Gleichungs-
auflösung werden konnte.

So ist wohl nach beiden Seiten hin gerechtfertigt, was wir über
die Algebra bestimmter Gleichungen angekündigt haben: dass Manches
davon griechischer Herkunft zu sein scheint, dass die Inder mit dem
ihnen fremd Zugetragenen stauueuswerthe eigene Leistungen zu ver-
binden wussten.

Noch bedeutender ist es, was die Inder in der Zahlentheorie
leisteten, in welcher sie uns zum ersten Male Gelegenheit geben
werden, wirkliche allgemeine Methoden kennen zu lernen. Zwei Be-
merkungen müssen wir vorausschicken. In den indischen Schriften,
welche uns bekannt sind, kommen die altpythagoräischen Zahlen-
betrachtungen nicht vor. Den Begriff vollkommener oder befreundeter
Zahlen aufzustellen, ist, so viel wir wissen, keinem Inder in den Sinn
gekommen. Auch figurirte Zahlen kommen als solche kaum vor, jeden-
falls nicht in der Ausdehnung, in welcher Diophant sich mit ihnen
beschäftigte. Nur die Summirung
1 _J_ - _L r< _1_ _!. **('* + ^) it(u -f l)(n-|-2) (n + 1)' - (« -f 1)

als Anzahl der Kugeln in einem dreieckigen Haufen ist seit Ar^^a-
bhattas 21. Strophe') bekannt, aber von Fünfeckszahlen oder gar
;;« eckszahlen ist nirgend die Rede. Einen Griechen und Indern ge-
meinschaftlichen Gegenstand der Untersuchung, muthmasslich von
Jenen zu Diesen gelangt, bildet nur die Auffindung rationaler recht-
winkliger Dreiecke^). Das ist das Eine, was wir uns merken wollten.
Zweitens aber ist ein noch viel grimdsätzlicherer Widerstreit zwischen
indischer und griechischer Zahlentheorie vorhanden. Für die unbe-
stimmte Analytik ist nämlich die Bedingung ganzzahliger Auf-
lösungen massgebend, eine Forderung, welche Diophant (S. 447)
niemals stellt und nur ausnahmsweise erfüllt. Das sind so wesent-
liche Gegensätze, dass wir auf diesem Gebiete fast nur selbständige
Leistungen im Westen wie im Osten zu erwarten haben.

') L. Eodet, Legons de calcul d'Ari/abhata pag. 13 und 35. *) Cole-
brooke pag. 306, § 35 und pag. 340, § 38.

588 29. Kapitel.

Gehen wir jetzt darauf aus, einen Ueberblick über die indiseben
Leistungen in der unbestimmten Analytik zu gewinnen, und beginnen
wir mit den unbestimmten Gleichungen ersten Grades. Schon
Äryabhatta hat sich in der 32. und 33. Strophe seines mathema-
tischen Kapitels mit solchen Gleichungen beschäftigt ') und dabei
eine Methode in Anwendung gebracht, der Brahmagupta wahrschein-
lich den Namen Zerstäubung, hiffalca, beigelegt hat, unter welchem
sie sich auch bei Bhäskara auseinandergesetzt findet"). Bhäskara
beginnt ihre Darstellung mit der Aufgabe, das gemeinschaftliche
Maass zweier Zahlen zn finden. Diese löst er, wie sie eben gelöst
werden muss, wie Euklid verfuhr, wie auch Bhäskara sehr wohl
selbständig erdacht haben oder von selbständigen indischen Vor-
männern übernommen haben kann. Er vollzieht fortlaufende Divi-
sionen des früheren Divisors durch den bei Theilung mittels des-
selben verbliebenen Rest, und der letzte dieser Reste ist der gesuchte
grösste gemeinsame Divisor der beiden gegebenen Zahlen. Durch
ihn verkleinert werden sie feste Zahlen, driäha, oder theilerfremd,
ein Begriff, den Brahmagupta dui'ch die Namen niccheda oder nira-
pavartu dem deutschen Worte entsprechender bezeichnet^). Soll nun
eine Zerstäubungsaufgabe gelöst werden, so muss vor allen Dingen
Dividend, Divisor und Additive durch dieselbe Zahl verkleinert
werden können. „Misst die Zahl, welche für Dividend und Divisor
das Maass ist, die Additive nicht, so ist die Aufgabe schlecht ge-
stellt." Die Meinung dieses Satzes, von welchem übrigens so wenig
wie von der eigentlichen Methode ein Beweis gegeben ist, besteht
darin, dass wenn ax -{- h = cy in ganzen Zahlen lösbar sein soll,
jeder Theiler des Dividenden a und des Divisors c auch in der Addi-
tiven h enthalten sein muss, dass es also möglich sein muss, durch
Verkleinerung der vorgelegten Gleichung mittels des grössten ge-
meinsamen Theilers von a und c diese beiden Coefticienten theiler-
fremd zu machen. Denkt man sich diese Vorbereitung getroffen, so
muss bei der nunmehr erfolgenden Aufsuchung des grössten gemein-
samen Theilers der neuen a und c nach dem euklidischen Ketten-
bruchverfahren schliesslich der Rest 1 auftreten. Die einzelnen
Quotienten der aufeinanderfolgenden Divisionen seien g, , q^f '''(In,
die entsprechenden Reste r,, r^, • ■ • r„, wo also r„ = 1 sein muss.
Man schreibt die Quotienten in ihrer Reihenfolge in eine Zeile und
fügt am Schlüsse noch die Additive h und eine Null bei, so dass
diese letztere eingeschlossen n -f- 2 Zahlengrössen in einer Zeile

') L. Rodet, Lerons de calcul d'Äryabhata pag. 15 und 42-46. ^) Cole-
brooke, pag. 112 flgg. ^) Ebenda pag. 330, Note 3.

Höhere Rechenkunst. Alorebra.

589

neben einander stehen. Nun vervielfacht man das drittletzte Glied
mit dem vorletzten und addirt das letzte, streicht das letzte ganz
und ersetzt das drittletzte durch die eben gefundene Zahl. Mau hat
mithin jetzt eine Zeile von n -\- 1 Zahlengrössen vor sich, an vrelcher
man das eben erläuterte Verfahren, welches die Anzahl wieder um
eins verringert, wiederholt. Das setzt man so fort bis schliesslich
nur zwei Zahlen in der Zeile sich befinden, und nun hat man zwei
Fälle zu unterscheiden. War n grad, so ist von beiden Zahlen die
erste y, die zweite x. War n ungrad, so muss man die erhaltenen
Werthe von a und von c abzählen, um die richtigen y und x zu
finden. Eine Verminderung des gefundenen y um den Betrag eines
Vielfachen von ff, während von x das Gleichvielfache von c abgezogen
wird, ist in beiden Fällen gestattet.

Ein Beispiel, welches zu einem graden n führt, ist')
lOOic + 90 = 63i/.
Die Division 100 : 63 gibt den Quotienten q^ =^ 1 und den Rest
»■j == 37. Die folgenden Quotienten und Reste sind q2 = l, r2 = 2G]
Qä = 1; ''s = 11; ?4 = 2, r^ = 4; Qr, = 2, r^ -^3; ^« = 1, r^ = 1,
mithin n = 6. Die zu bildenden Zahlenreihen sind:

1 , 2 , 2 , 1 , 90 , 0. 1 • 90 + 0 = 90

1,
1,
1,
1,

1,
1,

1 , 2 , 2 , 90 , 90.
1 , 2 , 270 , 90.
1 , 630 , 270.
1 , 900 , 630.
1 , 1530 , 900.
2430 , 1530.

Nun zieht man 24 ■ 100 von y, 24
kleineren Werthe a; = 18, y = 30.
Zu einem ungrad en n führt"):

2 • 90 + 90 = 270
2- 270+ 90 = 630
1 • 630 + 270 = 900
1 • 900 + 630 = 1530
1 • 1530 + 900 = 2430
X = 1530 y = 2430
63 von X ab und erhält die

60a; + 16 = 13y. Hier ist

nämlich q^ = 4, t\ = 8; q2 = 1? ''2 = 5;

•? »3 ==

(h= 1;

»4 = 2; g'5 = 1, i'r, = 1 und n
f olgenderm assen :

4, 1, 1, 1, 1,16,0.

4 , 1 , 1 , 1 , 16 , 16.

4, 1, 1,32,16.

4, 1,48,32.

4 , 80 , 48.

368,80. 13 — 80 =

5. Die RechnuDu* stellt sich daher

1-16 + 0 = 16

1 . 16 + 16 = 32

1 . 32 + 16 = 48

1 . 48 + 32 = 80

4 . 80 + 48 = 368

= x 60 — 368 = — 308 = y

1) Colebrooke pag. 115, § 255. -') Ebenda pag. 116, § 257.

590 29. Kapitel.

Diesmal addirt man G • 60 zu y, 6 • 13 zu x mid erhält die Werthe
X =^1\, y = 52.

Die Zerstäubungsmetliode stimmt, wie vielfach bemerkt worden
ist, in ihrem ganzen Gange mit der Methode der Auflösung unbe-
stimmter Gleichungen ersten Grades durch Kettenbrüche überein,
wie sie in jedem Lehrbuche der Zahlentheorie erörtert ist; wir können
den Nachweis ihrer Richtigkeit füglich übergehen. Wir übergehen
auch die unbestimmten Gleichungen ersten Grades mit mehr als zwei
Unbekannten, welche Aryabhatta wie Brahmagupta schon kannten^)
und in wesentlich der gleichen Art behandelten, wie die Zerstäubungs-
methode es für zwei Unbekannte vorschreibt.

Wir gehen zu den unbestimmten Gleichungen zweiten
Grades über. Brahmagupta behandelt hier zuerst solche Gleichungen,
welche nur das Produkt der beiden Unbekannten unter sich als qua-
dratisches Glied enthalten und dann erst solche, in welchen die
Quadrate der Unbekannten vorkommen^). Bhaskara schlägt den ent-
gegengesetzten Weg ein, indem er zuerst mit Aufgaben von der Form
ax^ -\~ h = c\f-^ dann erst mit solchen wie xy = ax -{- l>y -\- c sich
beschäftigt''). Bei der Auflösung dieser letzteren bedient er sich
entweder des Verfahrens die eine Unbekannte, etwa ?/, ganz will-
kürlich anzunehmen und alsdann x = - — — zu setzen, wobei frei-

a — y '

lieh ganzzahlige Lösungen nur in Folge günstigen Zufalles auftreten,
oder aber er geht von einer auffälligen Verbindung geometrischer
und algebraischer Anschauungen aus, die zugleich Methode und Be-
weis derselben enthalten. (Figur 81.) In dem Rechtecke ABCD

sei die Basis AB = x, die Höhe BC=y,
^ ^ so ist die Fläche xy. Ist nun BJi = a,

^ AG==h, ^Q ist CBEF = ax, AG HB
= hy und ax -\- hy =

Gnomon CFIGABC -\- BEIE,
G oder da BEIH = ab, so ist

Fig. 81.

Gnomon CFIG ABC = ax -\- hy — ah.
Zieht man diesen Gnomon von dem ursprünglichen Rechtecke
A B CB = xy ab, so bleibt das Rechteck BFI G = xy — ax — hy -f- ah,
welches als aus den Seiten x — h und y — a bestehend auch die

') li Rodet, Lieqons de calcul cVAryahhata pag. 15 und 43. Colebrooke
pag. 348 — 360: Equation of several coloiirs. '■') Colebrooke pag. 3G1 — 362
Equation involving a factum und 363 — 372 Square affectcd hy coefficient.
*) Ebenda pag. 170 — 184 Affectcd Square, 245 — 267 Varieties of quadratics,
268—274 Equation involving a factum of unJcnoivn quantities.

Höhere Rechenkunst. Algebra. 591

Fläche (x — i) • {y — «) besitzt. Nacli dem Wortlaute der Aufgabe
ist aber xy — ax — hy -\- ab = c~\- ah, mitbiu ist aucb (x — b) ■ Q/ — a)
== c -f- (ib. Man hat also uur nöthig c ~\- ab iu zwei Faktoren,

etwa m und -^- — zu zerlegeu und den einen mit x — b, den anderen
mit y — a zu identificiren. So entsteht entweder x — b = ,

■^ VI '

y — a = m oder y — a = -^ — , x — b = m : beziehungsweise

entweder x = —^ — ^ — IL^d y = a 4- m oder

7 1 c -{- a{b -\- m)
X = b -{- m, y = — ■ ^^ — '

und die Lösungen werden ganzzahlig, wenn m ein ganzzahliger Faktor
von c ■\- ab ist.

Wir haben bei dieser Auseinandersetzung des griechischen
Wortes Grnomon uns bedient. Bei Bhäskara entspricht demselben
kein eigenthümlicher indischer Ausdruck. Er spricht vielmehr nur
von dem Unterschiede der Rechtecke AH CD und BF IG. Wir
haben die nicht unbedeutende Abweichimg von dem Urtexte uns ge-
stattet, um damit unsere Auffassung kund zu geben, dass wir nicht
umhin können, in diesem nichts weniger als indischen Verfahren
griechische Erinnerimgeu zu vermuthen.

Die indische Auflösung der Gleichungen von der Form
axr -\- h = cif hier ausführlich mitzutheilen, würde uns viel zu weit
führen. Wir begnügen uns mit wenigen Andeutungen. Bhäskara
kennt das, was wir quadratische Reste^) und das, was wir ku-
bische Reste"") nennen, insofern als er weiss, dass es Zahlen von
gewissen Formen gibt, die Quadrate und Kuben sein können, und
andere, bei welchen das Entgegengesetzte stattfindet. Er lehrt in
der cyklischen Methode^), wie die Gleichung ax' -\- 1 = y' ge-
löst Averde, ausgehend von einer beliebigen empirisch gegebenen
Gleichung aA"-{-Ii = (.P, welche uur so gewählt worden ist, dass
die keinen quadratischen Faktor enthaltende Zahl B so klein als
möglich ausfällt, ein Verlangen, zu dessen Erfüllung es genügte y a

C
uäherungsweise in Bruchgestalt etwa als ^ zu suchen, und Zähler

und Neiuier dieses Bruches in der versuchsweise aufzustellenden Glei-
chung ihren Platz anzuweisen. Aus der für B ausgesprochenen Be-
dingung folgt von selbst ihre Theilerfremdheit gegen A. Besässen
nämlich A mid B einen gemeinsamen Theiler 8, so müsste derselbe

1) Colebrooke pag. 262—263, § 202—204. -) Ebenda pag. 265, § 206.
^) Ebenda pag. 175 ^gg.

592 29. Kapitel.

wegen aÄ^ -\- B = C^ aucli in C enthalten sein. In Ä^ wäre d^,
ebendasselbe aucb in C^ und schliesslich auch in i> enthalten. Nun

setzt man — ^-^ — = A^, wobei durch Zerstäubung ^^ nebst A^ ganz-
zahlig gefunden werden, und zwar wählt man von den unendlich
vielen möglichen Werthen von 5, einen solchen, der 5;,^ — a kleinst-

möglich macht. Setzt man hierauf -^-~^ — = B^^ so ist B^ eine

ganze Zahl. Der indische Schriftsteller gibt allerdings dafür so
wenig wie für die vorhergehende Theilerfremdheit zwischen A und

B einen Beweis, aber die »Sache ist richtig. Aus ' -^^i^^'^^ — = A^ folgt

nämlich

BA, - C c B'A,^ -2BCÄ^ -^ C^- aA^-

B^A^- -2BCA, -i- B (BA^^ — 2CA^ + V

A' \ A'

Nun ist Zy" — a eine ganze Zahl, also muss das Gleiche für den zu-
letzt erhaltenen Ausdruck gelten, und das kann, weil, wie wir sahen,
B gegen A theilerfremd ist, nur dann der Fall sein, wenn A^ in
BAy- — 2(7^1 -f- 1 ganzzahlig enthalten ist. D. h.

B — ^^i ~ A^

ist eine ganze Zahl. Ersetzt man rechts B wieder durch C'^ — aA^,

so zeigt sich

-D C"^ « — a^-^ 2_ 2C^ -|_ 1 /CJ.. — 1\2 .„

Br = ^-^ ±. ^^ = (— V-j - ciA,'

oder aA,^ + i?, = i^^-)' = C,\

Auch Ci = — ~ muss als rationale Quadratwurzel der ganzen

Zahl aA^^ -\- B^ selbst ganzzahlig sein. Somit ist aus der lauter
ganze Zahlen enthaltenden Gleichung aA^ -\- B = C" eine neue Glei-
chung aAj^ -\- Bi == C^ hervorgegangen, in der wieder nur ganze
Zahlen vorkommen. Man kann nun in gleicher Weise andere und
andere ähnlich geformte Gleichungen ableiten, man kann aber auch
gewonnene Gleichungen nach einem anderen Satz vereinigen. Dieser
Satz lautet^), dass au^ -|- ?>j = v^ und au,^ + ^2 = '^2^ ^i^ Folge-
rung au^^ •\- 63 = v^ gestatten, wo u^ = u^v^ + M2^i> ^3 = ^1^2?
V3 ^ au^u^ -\- VyV^. Durch solche Veränderungen mid Divisionen,
wo immer sie möglich sind, kann man bis auf eine Gleichung
ax^ -^ \ z= y^ geführt werden und hat alsdann die Aufgabe gelöst.

') Colebrooke pag. 171, § 77—78.

Höhere Rechenkunst. Algebra. 593

Allerdings wird dieses indische Verfahren nicht stets zum Ziele
führen, namentlich nicht nach ganz vorschriftsmässigen Regeln die
Wurzeln der Gleichung ax^ -\- 1 ^ y^ finden lassen. Vieles bleibt
dem Takte des Auflösenden überlassen. Mit Recht sagt auch Bhäs-
kara an einer anderen Stelle^): „Die Regeldetri ist Arithmetik, die
Algebra aber ist makelloser Verstand. Was wäre dem Scharfsinnigen
unbekannt?" Wird übrigens bei der Gleichung ax" -\- 1 = y'^ kein
Gewicht auf die Ganzzahligkeit der Lösungen gelegt, so kann immer
ohne weiteres ein genügendes Wurzelpaar angeschrieben werden^).
Aus aA^ -{- i? = C^ in Verbindung mit der noch einmal gesetzten
unveränderten Gleichung ergibt sich nämlich nach der erwähnten
Vereinigungsregel: a ■ (2ÄCy -\- B'^ = (aÄ'^ + 0'^)'- und daraus

/2ACY ,1 /aA2+ CY
« • \-B-) + ^ - l B-^l ■

TJeberblicken wir alle diese Untersuchungen, welche natürlich,
so algebraisch begabt wir die luder uns denken mögen, die Kraft
der bedeutendsten Geister in Jahrhunderte weit auseinander liegenden
Zeiten in Anspruch genommen haben können, so ist ein nicht un-
bedeutendes Interesse mit der Frage verknüpft, wo denn die Wurzel
aller zahlentheoretischen Untersuchungen für die Inder lag^)? Die
unbestimmten Gleichungen zweiten und höheren Grades sind wohl
nichts weiteres gewesen als siegreiche Erfolge einer Spekulation,
welche wachgerufen war durch Aufgaben, die nur auf unbestimmte
Gleichungen vom ersten Grade geführt hatten. Diese aber waren
vermuthlich astrologisch-chronologischer Natur.

Die Astronomen, welche, wie wir uns erinnern, alle diese Gegen-
stände in eingeschalteten Kapiteln ihrer Astronomien zu behandeln
pflegten, haben wenigstens, je weiter wir im Datum zurückgehen
könueu, um so ausschliesslicher die Zerstäubungsrechnung auf um-
gekehrte Kalenderaufgabeu angewandt, auf die Frage, wann gewisse
Constellationen am Himmel eintreten, wann also bedeutungsvolle
Uebereinstimmung verschiedener Cyklen erreicht wird? Das sind,
wie man leicht einsieht, Fragen, bei denen es darauf ankommt, aus
gegebenen Resten, welche eine unbekannte ganze Zahl bei Division
durch bekaimte ganze Zahlen gibt, jene Zahl selbst zu erkennen.

Ist aber diese ganze Klasse von Aufgaben indisch? Wir können
die Frage weder bejahen noch verneinen. Zu beidem fehlt die nöthige
Reichhaltigkeit gesicherter alterthümlicher Quellen. Wir können nur

') Colebrooke pag. 276. -) Ebenda pag. 172, § 80—81. ^) Mit dieser
Frage hat sich Hankel S. 197 beschäftigt, wenn auch nicht unter Ziehung
aller Folgerangen, die sich ergeben können.

Cantor, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 38

594 29. Kapitel.

darauf hinweisen, dass die Beantwortung dieser Frage nicht früher
wird o-eo-ehen werden können, als bis man entschieden haben wird,
ob die altindische Sternkunde lange bevor griechische Einflüsse sich
o-eltend machen konnten landesursprünglich oder fremden Ursprunges,
ob sie, wenn letzteres der Wahrheit entsprechen sollte, chinesischer
oder babylonischer Herkunft war. Wir fühlen uns nicht befugt in
dieser hochwichtigen Streitfrage das Urtheilsrecht uns anzumassen.
Nur auf einige wenige Punkte sei aufmerksam gemacht, die unter
den Entscheidungsgründen keinenfalls fehlen dürfen. Fehlen darf
nicht die Berücksichtigung der Sexagesimalbrüche, welche mit Wahr-
scheinlichkeit unmittelbar aus Babylon nach Indien herüberkamen
(S. 573). Verschwiegen darf nicht werden, dass astrologische Deu-
tungen, dass Amulette und Talismane grade in Babylon zu Hause
waren, dass andrerseits Zahlenspielereien den Babyloniern ebenso an-
gehörten. Und dieser letzte Gedanke wird auch nicht in den Hinter-
grund gedrängt werden dürfen, wenn wir anknüpfend an diese Be-
merkungen jetzt noch einige Worte über eine Spielerei zu sagen ge-
denken, welcher immerhin einiger mathematische Werth innewohnt.
Wir meinen die magischen Quadrate, bhadra ganita. Ueber
diesen Gegenstand^) schrieb Näräyana, ein von Gane^a citirter
Schriftsteller-, Gane9a selbst verfasste 1545 seinen Commentar zu
Bhäskarä. Das sind freilich recht späte Daten, aus welchen auch
nur Vermuthungen auf eine ältere Zeit sich nicht stützen lassen.
Solchen liegt nur die Thatsache zu Grunde, dass in Indien das
Schachspiel erfunden worden ist^), während die Zerlegung in
schachbrettartige Felder der Bildung magischer Quadrate, deren
Wesen wir (S. 480) erörtert haben, nothwendig vorausgehen musste.
Die einzige ausführliche Mittheilung ist um anderthalb Jahrhunderte
jünger als selbst Gane^a. Sie findet sich in einem 1(391 gedruckten
Berichte über das Königreich Siam^). Allerdings ist sie in ihrer
Ausführlichkeit von grosser Zuverlässigkeit, indem sie die Methode
kennen lehrt, nach welcher die Inder ein magisches Quadrat von
uugrader Felderzahl anzufertigen wussten. Dass sie auch magische
Quadrate von grader Zellenzahl zu bilden verstanden, behauptet
Laloubere, der Verfasser jenes Reiseberichtes ebenfalls, gibt aber die
betreffende Methode nicht an*). Bei der mathematisch nicht gar
hoch anzuschlagenden Tragweite des Gegenstandes verzichten wir,
wie schon früher, auf nähere Darlegung.

^) Colebrooke pag. 113, Note *. ^ Lassen, Indische Alterthumskunde
IV, 905. ßoiiu, 1862. ^) La Loubere, Du royaumc de Siam, Tom. TT, pag. 237,
266 sqq., 273. Amsterdam, 1691. *) S. Güntlier, Vermisciite Untersuchungen
z. Ge.schicbte d. matlieinat. Wissenscliaften Kap. IV, S. 188 — 191. Leipzig, 1876.

Geometrie und Trigonometrie. 595

30. Kapitel.
Greometrie nud Trigonometrie.

Wir gelieu zur Besprechung indisclier Geometrie über, in welcher
wir nur einen Ableger alexandrinischer und zwar heronischer Geo-
metrie erkennen (S. 562). So viel ist ja an sich klar, dass, wenn
unsere Behauptung richtig ist, die luder seien geometrischen Ent-
wicklungen gegenüber ebenso unzulänglich begabt gewesen, wie reich
veranlagt für Alles was Rechnen heisst oder damit zusammenhängt,
dass alsdann auch nicht die in strenger Beweisführung mittels scharf-
sinniger Constructionen sich aufbauende reine Geometrie des Euklid
dort Aufnahme finden konnte, sondern nur die angewandte Geometrie
des Heron, die theils mit der Zerlegung einer zu messenden Figur in
andere einfachere an die Augenscheinlichkeit, theils mit den Zahlen-
beispielen an den im Rechnen geübten und Rechimngsergebnisse will-
fährig als Prüfungs mittel zulassenden Verstand sich richtet.

Als Quellen für indische Geometrie dienen nicht bloss die wieder-
holt von uns benutzten Zwischenkapitel der astronomischen Schriften
des Aryabhatta, des Brahmagupta und Bhäskara, sondern auch Schriften
von geometrisch -theologischem Charakter, wie sie, abgesehen von
einigen ägyptischen Inschriften, in keiner Literatur sich wiederfinden.
Wir meinen die ^ulvasütras. Der indische Gottesdienst, peinlich
genauen Vorschriften folgend, kann der geometrischen Regeln nicht
entbehren. Wenn der Altar nicht genau in der anbefohlenen Gestalt
erbaut ist, wenn eine Kante nicht rechtwinklig zur anderen steht,
wenn in der Orientirung nach den Himmelsgegenden ein Fehler statt-
fand, so nimmt die Guttheit das ihr dargebrachte Opfer nicht an,
ein dem Inder schrecklicher Gedanke, da für ihn jedes Opfer ein
förmlicher Vertrag mit der betreJBFenden Gottheit, eine Art von
Tauschgeschäft ist, und er somit auf Erfüllung seines bei dem Opfer
gehegten Wunsches sich nicht die geringste Rechnung machen kann,
sofern seine Gabe verschmäht würde. Die rituellen Vorschriften,
soweit sie auf die Opfer überhaupt sich beziehen, sind in den soge-
nannten Kalpasütras enthalten, und zu jedem Kalpasütra scheint als
Unterabtheilung ein ^ulvasütra gehört zu haben, welches eben jene
geometrischen Vorschriften lehrte, und deren drei in auszugsweiser
Uebersetzung zugänglich gemacht sind^).

') The S'ulcasütms hy G. Thibaut. Beprinfed from the Journal Asiatic
Society of Bengal, Fait I fm- 1875. Calcutta 1875. Ausser auf diese (als Thi-
baut zu citireude Pchrift) verweisen wir auf unsere daran anknüpfende Abhand-

38*

596 30. Kapitel.

Die Verfasser derselben heissen Bauclliuyana, Apastamba und
Kätyäyaua. Leider sind dieselben ilirem Zeitalter nach kaum an-
nähernd zu bestimmen. Von Katyäyana sagt der Verfasser der
neuesten indischen Literaturgeschichte: „Die Bildung des Wortes durch
das Affix äyana führt uns wohl in die Zeit ausgebildeter Schulen
(ayana)? Wie dem auch sei, damit gebildete Namen finden sich in
den Brähmana selbst nur selten vor, resp. nur in den spätesten
Theilen derselben, und bekunden daher im Allgemeinen schon stets
eine späte Zeit"^). Das Gleiche wie für Katyäyana gilt selbstver-
ständlich auch für Baudhäyana, und von einem Träger eines derartig
gebildeten Namens, von A^valäyana, wird sogar die Zeitgenossenschaft
mit dem Grammatiker Pänini behauptet, welcher vielleicht erst
140 n. Chr. lebte-). Ist also die Zeit, um welche es sich hier handelt,
wesentlich höher als die der Aryabhatta und Brahmagupta, so reicht
sie immer nicht so weit hinauf, um uns zu gestatten, geschweige
denn zu nöthigen, von einer altindischen Geometrie zu reden; ja
selbst wenn wir der Ansicht uns anschliessen wollen, dass zwischen
Erfindung und Niederschrift der in den ^ulvasütras gegebenen Regeln
ein durch mündliche Ueberlieferung auszufüllender langer Zeitraum
gelegen habe^), können wir die Ueberlieferung selbst nicht als eine
unveränderliche anerkennen. Freilich wird an der Hand des bei
alledem sehr dürftigen Quellenmaterials jede Aenderung nur mittelbar
zu erschliessen sein, indem wir den Nachweis einer solchen Menge
von üebereinstimmungen zwischen den endgiltig uns überlieferten
Methoden zur Auflösung an sich vielleicht uralter Aufgaben mit
griechischer Wissenschaft führen, dass an Zufälligkeit nicht mehr
gedacht werden kann.

Unter den auf die Errichtung von Altären bezüglichen Aufgaben
handelt es sich, wie wir schon andeuteten, zunächst ujn deren Orien-
tirung und deren genau rechtwinklige Herstellung. Die ostwestliche
Linie, welche dabei abgesteckt werden muss*), führt den Namen
]n-uci^ und wir haben (S. 559) schon berührt, dass deren Richtung
im Sürya Siddhänta^) genau nach der Methode gefunden wird, welche
wohl aus griechischer Quelle zu Vitruvius und zu den römischen
Feldmessern gelangte. Ist die Präci gefunden, so werden rechte
Winkel abgesteckt", und zwar mit Hilfe eines Seiles. Die Länge
dieser ostwestlich gezogenen Strecke sei 36 Padas. An ihren beiden

lung: Gräkoindische Studien, Zeitschr. Math. Phys. XXII, Histor.-literar. Ab-
theilimg (1877).

') Albr. Wober, Indische Literaturgeschichte (2. Auflage. Berlin, 1876),
S. 58. *) Ebenda S. 236. ») Thibaut S. 44—45. *) Ebenda S. 9—10.
^) Surya Siddhänta S. 239.

Geometrie und Trigonometrie. 597

Endpunkten wird je ein Pflock in den Boden eingeschlagen^). An
diese Pflöcke befestigt man die Enden eines Seiles von 54 Padas
Länge, in welches zuvor, 15 Padas von einem Ende entfernt, ein
Knoten geschlungen wurde. Spannt man
nun (Figur 82) das Seil auf dem Erd-
boden, indem man den Knoten festhält,
so entsteht ein rechter Winkel am Ende
der Präci. Dass das Verfahren richtig
ist, und auf dem rechtwinkligen Drei- ^. g^

ecke von den Seiten 1 5, 36, 39, oder in

kleinsten Zahlen ausgedrückt 5, 12, 13 beruht, ist einleuchtend. Ein-
leuchtend ist aber auch, dass es in der Keuntniss des pythagoräischen
Lehrsatzes wurzelt, dass es die Seilspannung genau in der gleichen
Weise anwendet, wie Heron dieselbe benutzte (S. 358 Figur 64), wie
wahrscheinlich die altägyptischen Harpedonapten bei Lösung der
gleichen Aufgaben verfuhren (S. 64). Man hat nun die Wahl; man
kann annehmen, es sei die Art, wie die Ostwestlinie abgesteckt wurde,
wie der rechte Winkel auf dem Felde konstruirt wurde, von den
Indern nach Westen gedrungen oder von Alexandria aus nach Indien
übertragen worden; man kann auch, bis die Aehnlichkeiten in geo-
metrischen Verfahren und Begriffen mehr und mehr sich häufen, an
zwei von einander unabhängige Erfindungen denken.

Nächst der richtigen Orientirung und Scharfkantigkeit des Altars
hat seine Gestalt eine hohe Wichtigkeit. Sie hat allerdings im Laufe
der Zeiten gewechselt. Formen annehmend, welche für jeden nicht-
indischen Geist an das Lächerliche streifen. Welcher Europäer kann
sich hineindenken, einen Altar in der Figur eines Falken oder irgend
eines anderen Vogels, eines Wagenrades u. s. w. zu errichten? Dabei
treten jedoch zwei mathematische Gesetze auf^), jedes eine besondere
Gruppe von Aufgaben erzeugend.

Wird ein Altar von gegebener Gestalt vergrössert, so muss die
Gestalt selbst in allen ihren Verhältnissen dieselbe bleiben. Man
muss also erstens verstehen eine geometrische Figur zu bilden,
einer gegebenen ähnlich und zu derselben in gegebenem Grössen-
verhältnisse stehend.

Die Fläche des Altars von normaler Grösse ist ferner ohne
Rücksicht auf seine Gestalt stets dieselbe. Man muss also zweitens
verstehen eine geometrische Figur in eine andere ihr flächeugleiche
zu verwandeln.

') Albr. Weber, Indische Studien X, 364 und XllI, 233flgg. '^) Thi-
baut S. 5.

598 30. Kapitel.

Gleich das erste Gesetz malint ims mit EntscliiedeDlieit an die
Würfelgestalt, welche das Grabmal für Glaukos besitzen sollte, wäh-
rend es auf Geheiss des Königs Minos in doppelter Grösse aufzuführen
war (S. 199). Euripides hat, wie wir uns erinnern, das vielleicht
sagenhafte Geheiss in einer Tragödie verwerthet, und Euripides lebte
485 — 406, mehr als 70 Jahre bevor der Alexanderzug geregeltere
indisch-griechische Beziehungen hervorrief. Wir fügen hinzu, dass
eine indische astronomische Handschrift den Ursprung ihrer Wissen-
schaft nicht bloss auf einen ionischen Meister Yavane9varäcärya
zurückführt (S. 560), sondern neben diesem eine Persönlichkeit des
Namens Minaräja anführt'), ein Name, der täuschend an den König
Minos zu erinnern geeignet ist.

Ein wesentlicher Unterschied besteht allerdings zwischen der
Aufgabe, welche König Minos seinem Architekten stellte, und der
Aufgabe, welche bei der Inhaltsveränderung indischer Altäre vor-
kommt. Jener sollte den Kubikraum verdoppeln, hier kommt es nur
auf die Oberfläche an, so weit die ^Julvasütras uns Auskunft geben.
Es galt also nur eine Vervielfachung einer ebenen Figur zu voll-
ziehen, oder mit anderen Worten eine Quadratwurzel zu finden, was
bei Griechen wie bei Indern ebensowohl geometrisch als arithmetisch
geschah. Die Würfelvervielfältigung hätten die Inder arithmetisch
gleichfalls vollziehen können, da, wie wir gesehen haben, Aryabhatla
Kubikwurzeln auszuziehen wusste; geometrisch dagegen überstieg
diese Aufgabe indische Kräfte bei weitem, indem die Curven, mittels
welcher die Würfelvervielfachung geleistet werden kann, die Kegel-
schnitte, die Conchoide und wie sie alle heissen, den Lidern durch-
aus unbekannt geblieben zu sein scheinen.

Für die geometrische Ausziehuug der Quadratwurzel gibt Baudh-
äyana folgende Regeln^): Das Seil, quer über das gleichseitige Recht-
eck gespannt, bringt ein Quadrat von doppelter Fläche hervor. Das
Seil, quer über ein längliches Rechteck gespannt, bringt beide Flächen
hervor, welche die Seile längs der grösseren und kleineren Seite
gespannt hervorbringen. Diesen zweiten Fall erkenne man an den
Rechtecken, deren Seiten aus 3 und 4, aus 12 und ö, aus 15 und 8,
aus 7 mid 24, aus 12 und 35, aus 15 und 36 Längeneinheiten bestehen.

Das ist nun ojffenbar der pythagoräische Lehrsatz, erläutert an
Zahlenbeispielen. Das zuletzt genannte Dreieck mit den Katheten
15 und 36 ist vorher schon einmal in den kleineren Zahlen 12 und 5

') Brockhaus in den Verhandlungen der königl. siichs. Gesellschaft der
Wissenschaften zu Leipzig. Thilolog.-histor. Klas.se IV, 18— 19 (IS.'i'J). -) Thi-
baut S. 7, 8, 0.

Geometrie und Trigonometrie. 599

geiianut, offenbar ohne dass Baudhayana dieser Wiederholung sich
bewusst war, ein Zeugniss dafür, dass er den Gegenstand seiner Dar-
steUung nicht durchaus beherrschte, sondern mindestens theil weise
Hergebrachtes vortrug, welches er nicht verstand. Der pythagoräische
Lehrsatz ist aber nicht als einheitlicher Satz vorgetragen, sondern in
zwei Unterfällen, je nachdem die beiden Katheten gleicher Länge
sind oder nicht. Es ist wahrscheinlich (S. 172), dass Pythagoras bei
dem Beweise seines Satzes ebenso verfuhr. Ferner tritt bei Baudh-
ayana der pythagoräische Lehrsatz nicht an einem Dreiecke auf,
sondern an durch die Diagonale getheilten Rechtecken. Genau das-
selbe haben wir von Heron mittheilen müssen (S. 366), der in der
Geometrie wie in der Geodäsie das rechtwinklige Dreieck erst auf
das Quadrat und das Rechteck folgen lässt und in den beiden Vier-
ecken die Diagonale untersucht. Sollten auch diese Uebereinstimmungen
rein zufällige sein?

Die Anwendung dieser Sätze in den ^ulvasütras ist der doppelten
Gattung von Aufgaben entsprechend, welche bei Herstellung eines
Altars sich darbieten, eine doppelte. Es kann eine Strecke verändert
werden sollen, so dass ihr Quadrat sich im Verhältnisse l : n ver-
grössert, es kann auch eine Figur in eine andere gleichen Lihaltes
umgewandelt werden sollen. Die Auffindung der Seite eines 2, 3,
10, 40 mal so grossen Quadrates, als ein gegebenes ist, geschieht
durch allmälige, sich wiederholende Anwendung des pythagoräischen
Lehrsatzes, indem von dem gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecke
ausgegangen und die Hypotenuse eines Dreiecks immer als die eine
Kathete eines folgenden Dreiecks benutzt wird, dessen andere Kathete
der des zuerst betrachteten Dreiecks gleich ist. Dabei erscheinen
Namen für ]/2, Yo u. s. w., gebildet durch Zusammensetzung der
Zahlwörter mit dem von uns früher (^S. 581) erörterten Worte
karana^), also dviJcaram = ]/ ^ , frikarani =yo, daeakarani = Y 10 ,
catvariiiraikarani = 1/40 u. s. w.

Bei den Verwandlungen von Figuren in einander ist die Auf-
findung des einem Rechtecke gleichen Quadrates bei Baudhayana-)
sehr interessant, weil sie nur des pythagoräischen Lehrsatzes sich
bedient, dagegen von Anwendung des Hilfsmittels, welches im
14. Satze des II. Buches der euklidischen Elemente geboten ist,
d. h. von der Fällung einer Senkrechten aus einem Punkte einer
Kreisperipherie auf den Durchmesser, absieht (Figur 83). Von dem
Rechtecke ÄBCD wird zunächst vermittelst AE = AB ein Quadrat

1) Thibaiit S. 16. ^) Ebenda S. 19.

I£

^{^^ 30. Kapitel.

AD FE abgeschnitten. Der Rest EFCB wird durch GH halbirt
und die obere Hälfte GHCB unten rechts als BFIK angesetzt.
So ist AB CT) in einen Gnomon AGHFIKA verwandelt, oder,
wie Baudhavana sagt, der des Wortes Gnomon
sich so wenig bedient wie Bhaskara, bei welchem
wir (S. 500) die gleiche Figur nachwiesen, in
den Unterschied der beiden Quadrate AK LG
und FIL H , und dieser Unterschied ist mit
Hilfe des pjthagoräischen Lehrsatzes leicht in
die Gestalt eines Quadrates zu bringen. Bei
einem griechischen Schriftsteller ist diese in zwei
Schritten vollzogene Umwandlung uns nie be-
^ig 83 gegnet , doch zweifeln wir , grade wegen der

Zwischenrolle, die der Gnomon spielt, nicht daran,
dass man eine hervorragende Aehnlichkeit mit griechisch-geometrischen
Gedanken anerkennen werde.

Die Quadratwurzelausziehung, welche geometrisch genau erfolgt,
muss arithmetisch sich mit einer Annäherung begnügen, und zwar
wird, wenn die Quadratwurzel zum Zwecke praktischer Ausmessungen
gezogen worden ist, eine solche Annäherung genügen, welche auf
dem Felde keinen bemerklichen Unterschied gegen die strenge Wahr-
heit mehr hervorbringt. So benutzten Baudhäyana und ^Vpastamba

1/2 = 1-4- -1 z — -. — „7 • Erinnern wir uns hier an die bei

' ' 3 ' ;^ • 4 3 ■ 4 • 34

Theon von Smyrna (S. 408) angegebenen Näherungswerthe für "|/2.
Sie heissen der Reihe nach j ; .s^> x? p? ^^^*^ dieser letztere AVetth
kommt uns hier in der Form 1 -|- ^ "^ 3"^4 ^^^^ durch eine Summe

von Stammbrüchen dargestellt wieder zu Gesicht. Wir sagten damals,
er habe auf aussergriechischem Boden eine Rolle gespielt, und wir
erkennen diese Rolle nunmehr darin, dass er Veranlassung gab, eine
von ihm als Voraussetzung ausgehende grössere Annäherung zu er-

/17\- 1 17

zielen. Die Quadrirung U -j = ^^v^ lässt nämlich erkennen, dass ^^^

zu gross ist. Soll aber das Quadrat um — kleiner werden, so muss

-jT das doppelte Produkt des gefundenen Theiles -^ der. Quadrat-
wurzel aus 2 in die negative Ergänzung sein, falls man von dem
Quadrate jener Ergänzung absehen zu können glaubt, uud nun ist ^

17 1

getheilt durch 2 mal — nichts anderes als ^-^ "^ > Avelches Baudh-
o 12 3 • 4 • 34 '

Geometrie und Trigonometrie.

601

äyana wirklich abzieht, so dass hiermit die Eutstehimg des Werthes

1/2 = 1 + 1 +

hinlänglich erklärt sein dürfte^).

S '3-4 3 • 4 • 34

Arithmetisch und zugleich geometrisch interessant sind die Auf-
Ifjsungsversuche der ^'ulvasfitras für die Aufgabe, Flächeugleichheit
zwischen quadratischen und kreisrunden Figuren hervorzubringen^),
eine Aufgabe, die noch mehr als andere geeignet erscheint, geschicht-
liche Zusammenhänge nachweisen zu lassen, weil eben hier vermöge
der Natur der Aufgabe von vorn herein auf volle Genauigkeit ver-
zichtet werden muss, und bei blossen Annäherungen — mögen die Er-
finder sie als Annäherungen oder als genau richtige Werthe betrachtet
haben — eine Nothwendigkeit grade dieses oder jenes bestimmte Er-
gebniss zu erhalten nicht vorhanden ist. In den ^'ulvasütras ist
nicht die Quadratur des Kreises gelehrt, sondern umgekehrt die Auf-
gabe gestellt, ein gegebenes Quadrat in einen Kreis zu verwandeln,
eine Aufgabe, welche man füglich Cir-
culatur des Quadrates wird nennen
können. Die Lösung ist folgende ^).
(Figur 84). Die Diagonalen ÄC, BD
des Quadrates AB CD werden gezogen
und durch ihren Durchschnittspunkt E
die Gerade KI parallel zu den Seiten
AD und BC des Quadrates. Von E
als Mittelpunkt aus wird mit der halben
Diagonale EA als Halbmesser ein Bogen
beschrieben, der die über / hinaus ver-
längerte KI in F schneidet. Nun wird
das Stück IF in G und H in drei
gleiche Theile zerlegt und EH als Halbmesser des gesuchten Kreises
betrachtet. Es lohnt sich zuzusehen, ob es nicht möglich wäre,
diese Construction in ein Rechnimgsresultat umzusetzen

Wir gehen davon aus, dass, indem FI in drei gleiche Theile
zerlegt wird, dadurch die Wahrscheinlichkeit entsteht, es sei FI = o
angenommen worden, oder es sei EA = EI -\- 3 gesetzt, d. h.
EI • ]/2 = EJ + 3 und daraus EP —6 EI =^9, EI=3-}-yi8.

Das ist annähernd EI = 7 und EA ^10 oder |/2 = — , ein in

der That gar nicht übler Werth, wenn es auch noch nicht gelungen
ist, ihn bei irgend einer anderen Gelegenheit, sei es bei Indern, sei

Figur 84.

') Dem Grundgedanken nach stimmt diese Darstellung ziemlich genau mit
der vonThibaut zuerst versuchten Wiederherstellung überein. Thibaut S. 13 — 15.
^) Ebenda S. 26—28. ^) Ebenda S. 26—28.

502 ^^- Kapitel.

es bei Griechen, nachweisen oder auch nur muthmassen zu können.
Ist aber diese Meinung richtig, dann ist die Seite des Quadrates 14,
seine Diagonale 20, der Durchmesser des gleichflächigen Kreises 16,

und die Kreisfläche demnach 14^= (16 — 2)'^==(l6— -^j • Darin

ist aber eine doppelte Regel enthalten. Erstens: Die Circulatur

8
des Quadrates benutzt als Kreisdurchmesser — der Diagonale des

Quadrates '). Zweitens: Die Quadratur des Kreises benutzt als

7
Quadratseite - des Kreisdurchmessers.

Wir erinnern daran, dass schon das altägyptische Handbuch des
Ahmes eine ähnliche Vorschrift, allerdings, was man gewiss nicht
ausser Augen lassen darf, mit anderen Zahlen enthält, indem dort

8
als Seite des dem Kreise flächengleichen Quadrates des Kreisdurch-
messers gilt. Wir erinnern uns um so mehr daran, als der Versuch
nahe liegt durch andere Annahme des Näheruiigswerthes für ]/2 die
indische Construction mit der ägyptischen Zahl in Einklang zu
bringen. Diese üebereinstimmung lässt sich aber nur mittels

|/2 = ^ erzielen, eine uns sehr unwahrscheinliche Annahme. Unsere
8

7
Hypothese, die Quadratseite sei bei den Indern — des Kreisdurch-
messers gewesen, gewinnt aber selbst eine Bestätigung in einer arith-
metischen Kreisquadratur, welche Baudhäyaua lehrt, allerdings mit

7 . .

der Zahl -^ sich nicht begnügend, sondern ihr eine Correctur bei-
fügend.

Baudhäyana schreibt nämlich vor, den Kreisdurchmesser mit

8 + 8":^ - r^ + S^-.-^ ^'^ vervielfachen, um die Seite des
dem Kreise gleichflächigen Quadrates zu erhalten. Die Correctur
-}- stammt daher, dass Baudhäyana offenbar

8-29 8 -29 -6 ' 8 ■ 29 • 6 • 8
nicht von )/2 = - = 1 + y + j-j + 3~TT^ seinen Ausgangspunkt
zur Umsetzung der Construction in eine Formel nahm, sondern von
dem oben erörterten Werthe ]/2=l-\-„-\- 5— r — 6 "^ ^^^ = ,n^ '

Es war EA = EI y2, FI = EI {\/2 - 1) , HI=EI-^~^,

EH = EIA-IH=EI-^^^^^, EI = ~~- EU, und für die

3 ' 2 4-y2

') Genau diese Regel wird uns bei Albrecht Dürer wieder begegnen.

Geometrie und Trigonometrie. 603

doppelten Strecken d. h. Quadratseite und Kreisdurchmesser gilt

3
2 + 1 2

derselbe Zahlenfaktor 7,-7^- Mit Hilfe von ^2 = ^ gelit der-

selbe aber über in

1224 7 1 ^ _4_ ^ *^

131)3 S ' 8 • 29 8 ^29^ "' 8 • 29 • 6 • 8 8^1)^6" 8 ■ 1393 '

dessen letzter Theil als nahezu — r des ihm vorangehenden selbst

schon sehr kleinen Bruches vernachlässigt ist^).

Eine andere Zahlenregel für die Quadratur des Kreises fiudet
sich übereinstimmend bei Baudhujana, Apastamba und Kätyayana:
^jTheile [den Durchmesser] in 15 Theile und nimm 2 weg, das [was
übrig bleibt] ist ungefähr die Seite des Quadrats." Um auch diese
Regel nach Form und Inhalt zu verstehen, müssen wir wieder auf
Heron von Alexandria zurückgreifen, der (S. 369) die Höhe eines

gleichseitigen Dreiecks berechnete, indem er von der Seite und ^

d. h. — abzog und damit die Annäherung -^ l/S = ,' voUzoa;. Was
lo ° *=• 2 ' 15 ^

also die Qulvasutras verlangen, ist, unter Benutzung genau desselben
Näherungswerthes, dessen Heron und dessen seine römischen Nach-
ahmer wie Columella u. s. w. sich bedienten, die Annahme der Quadrat-
seite als -^|/3 des Durchmessers, oder als das |/3- fache des Halb-
messers des gleichflächigen Kreises. Die Quadratfläche oder die ihr
gleiche Kreisfläche ist somit das 3 -fache Quadrat des Halbmessers
und liefert ;r = 3. Aber auch diese Annahme ist uns ja keineswegs
neu! Auch sie fanden wir (S. 375) bei Heron benutzt und erinnerten
damals an die mit grösster Wahrscheinlichkeit babylonische Herkunft.
In Indien selbst ist der Werth tt = 3 aus sehr alterthümlichen
Schriften bestätigt worden^).

So haben sich ims bei Durchmusterung der ^ulvasütras der Be
rührungspunkte zwischen indischer und alexandrinischer Geometrie
mehr und mehr dargeboten. Da war es die Anwendung der Seil-
spanuuug bei praktisch feldmesserischen Operationen, da war es die
Benutzung des pythagoräischen Lehrsatzes, und zwar vom Rechtecke
ausgehend, da war es die Figur des Gnomon, da waren es haupt-
sächlich einige Näherungswerthe wie 1/2=,,, y^ = jy, 3r = 3,
welche einen Zusammenhang der beiderseitigen Entwicklungsweisen

') Der Gedanke, die Constructionsregel mit der Zahlenformel in Einklang
zu bringen, rührt von Thibaut her. *) Thibaut, On the S'uryaprajnapti.

Journal Asiatic Sockty of Bengdl , Vol. XLIX, Part. I, pag. 120 Note * (1880),

604 30. Kapitel.

der Geometrie über die blosse Möglichkeit weit erhoben. Die Durch-
musterung der Schriften von Aryabhatta, von Brahmagupta, von
Bhäskara wird noch mancherlei in dieser Beziehung hinzufügen, ohne
auch nur einen triftigen Gegengrund gegen unsere Behauptung auf-
kommen zu lassen, die wir nunmehr wiederholen, es sei die alexan-
drinische Geometrie in einer Zeit, die später liegt als das Jahr
100 V. Chr., nach Indien eingedrungen, und es sei nicht anzunehmen,
dass der umgekehrte Weg der Beeinflussung stattfand, für welchen
sonst ein entsprechend früheres Datum, d. h. die Zeit vor dem
Jahre 100 v. Chr. anzusetzen wäre. Hätte aber diese Nothwendig-
keit schon ihre Schwierigkeit, so kommt hinzu, dass Herons Geo-
metrie, mag sie auch von den reinen Theorien des Euklid, des
Archimed, des Apollonius noch so sehr abweichen, fest in Alexandria
wurzelte und, wie wir hinlänglich gezeigt zu haben glauben, zu
ihrer Erklärung ausser der ägyptischen Elemente, welche ebendort
zu Hause waren, nur griechisch -mathematischen Wissens bedurfte.
So fehlt jeder zureichende Grund, auch noch indische Einflüsse auf
Heron annehmen zu sollen, während umgekehrt wir die indische
Geometrie nur auf indischer Grundlage nicht begreifen, wenigstens
in ihrem AVachsthume nicht begleiten können.

Sehen wir uns doch Aryabhattas geometrisches Wissen an. Der
Körper mit sechs Kanten, d. h. die dreieckige Pyramide ist bei ihm
das halbe Produkt aus der Grundfläche in die Höhe ^). Wir vermuthen
als Ursprung dieser grundfalschen Formel, der Verfasser habe das
arithmetische Mittel zwischen der Grundfläche und der als Nulldreieck
betrachteten Spitze als ein Mitteldreieck betrachtet, über welchem
ein Prisma gleicher Höhe mit der Pyramide gebildet den gewünschten
Körperinhalt darstellte, eine Anschauung, welche der ägyptischen
Dreiecksflächenberechnung ähnelt. Der Kugelinhalt ist bei ihm Pro-
dukt der Fläche des grössten Kreises in die Quadratwurzel derselben^),
wieder ein Unsinn, welcher in der kaum halbgeometrischen Auffassung
wurzelt, der Würfel derselben Seite, welche als Quadrat die Kreis-
fläche darstellt, müsse den Inhalt der körperlichen gleichmässigen
Rundung, das ist eben der Kugel liefern. Daneben weiss aber
Aryubhatta, dass 62 832 : 20 000 das Verhältniss des Kreisumfanges
zum Durchmesser ist^), oder er kennt jt = 3,1416. Ist es denkbar,
dass derartige Anschauungen mit einem Näherungswerthe, der den
archimedischen an Genauigkeit übertrifft, zugleich vorkommen und
sämmtlich einheimisch sein sollen? Die Berechnung des Parallel-

') L. Rodet, Legons de calcul d'AryabJuita pag. 10 und 20. *) Ebenda
pag. 10 und 20—21. ^) Ebenda pag. 11 und 23.

Geometrie und Trigonometrie. 605

trapezes wird gelehrt, dessen parallele Seiten genau so wie im Hand-
bucbe des Ahmes (S. 56) zur RecMeu und Linken, nicht oben und
unten gezeichnet sind^), und unmittelbar anschliessend wird in aller-
dings etwas dunklem von dem indischen Commentator missverstau-
denem-) Wortlaute verlangt, jede auszumessende Figur der Ebene
solle in Trapeze zerlegt werden, ein Verfahren, welches Ahmes,
welches die Tempelpriester von Edfu übten (S. 68). Wir denken,
das sind wieder einige Bausteine zur Herstellung dessen, was von
Geometrie nach Indien gelangt war, Bausteine, denen ihr Ursprung
deutlich anzusehen ist.

Wir kommen zur weit umfangreicheren Geometrie Brahmaguptas^).
Sie ist eine rechnende Geometrie, eine Sammlung von Vorschriften,
Raumgebilde zu berechnen wie bei Heron von Alexandria. Zu Anfang
heisst es, die Fläche des Dreiecks und Vierecks werde in rohem
Ueberschlag gewonnen als Produkt der Hälften von je zwei Gegen-
seiten. Das ist die alte ägyptisch-heronische Formel, ist zugleich die
Auffassung des Dreiecks als Viereck mit einer verschwundenen Seite
und geht nur in einer allerdings wesentlichen Beziehung weiter
darin, dass die üngenauigkeit des Verfahrens ausdrücklich betont
wird, welche Heron ohne allen Zweifel auch erkannte, aber in dem
uns erhaltenen Texte nicht hervorgehoben hat. Damit man ja an
dem Ursprung nicht zweifle, gibt der gleiche Paragraph die genaue
Fläche des Dreiecks aus den drei Seiteu nach der heronischen Formel.
Als genau gilt auch die Formel für das Viereck, wenn von den Faktoren
unter dem Wurzelzeichen jeder die um eine Seite verminderte halbe
Seitensumme darstellt, wenn also |/(s — a) ■ (s — &) • (s — c) • (.9 — d)
gebildet wird, wo s = ^^ — 2 ^^ bedeutet und a, &, c, d die

Viereckseiten sind. Im folgenden Paragraphen lehrt Brahmagupta
aus den Seiten eines Dreiecks die Abschnitte finden, welche eine ge-
zogene Höhe auf der Grundlinie bildet. Genau so lehrt Heron das-
selbe. Wir können unmöglich so fortfahrend alle einzelneu Para-
graphe der Reihe nach durchgehen. Wir begnügen uns mit einzelnen
Bemerkungen.

Eine Rechtecksseite wird Seite, die andere Aufrechtstehende ge-
nannt, die Diagonale vollendet mit beiden ein rechtwinkliges Dreieck,
auf welches der pythagoräische Lehrsatz Anwendung findet; das ist
heronisch. Die obere Seite eines Vierecks wird als Scheitellinie mit
besonderem Namen belegt*); das ist wieder ägyptisch -heronisch.

') L. Rodet, Legons de calcul d'Aryabhattn pag. 10 und 21. *) Ebenda
pag. 22. ■•') Colebrooke pag. 295—318. *) Ebenda pag. 72, Note 4 und

pag. 307, § 36.

606 30. Kapitel.

Der Name selbst miikJia oder vadana bedeutet Oeffnung, Mund. Der
Durchmesser des Umkreises eines Dreiecks ist der Quotient des Pro-
duktes zweier Seiten getheilt durch die auf der dritten Seite errichtete
Höhe; das stimmt wieder mit Heron'). Die Figuren sind nicht an
den Ecken mit Buchstaben bezeichnet, sondern mit den die Längen
angebenden Zahlen an den Seiten selbst-, so verfuhr Heron in seiner
praktischen Geometrie, und nur er von allen Griechen. Der Kreis-
durchmesser beziehungsweise das Quadrat des Halbmessers mit 3
vervielfacht sind für die Praxis Umfang und Inhalt des Kreises; die
genauen Werthe werden durch die Quadratwurzel aus den 10-fachen
zweiten Potenzen jener Zahlen gefunden"). Das will sagen, in roher
Weise ist jc = 3 und genau jt = ]/lO .

Den ersteren Werth haben wir oben (S. GOo) besprochen. Der
zweite kommt uns hier zum ersten Male vor. Es ist der Versuch
gemacht worden, zu ermitteln, wie man auf diesen Näherungswerth
gekommen sein mag'^). Die Seite des regelmässigen Sechsecks in
dem Kreise von dem Durchmesser 10 war von Alters her als 5, der
ganze Umfang somit als 30 bekannt. Nun wird behauptet, der Um-
fang des demselben Kreise einbeschriebenen Zwölfecks sei als y'OGö,
der des 24ecks als /PSi, der des 48, des 96ecks als >/986, als ]/987
gefunden worden, und so habe man sich veranlasst gefühlt, die
Grenze }^1000 = 10 • ]/lO als nach unendlich oft wiederholter Ver-
doppelung der Seitenzahl erreichbar anzusehen. Diese Wiederher-
stellung wäre eine ungemein glückliche zu nennen, wenn es gelänge
ebenso, wie in den Commentaren zu Brahmagupta an dieser Stelle
der Kreisdurchmesser mehrfach als 10 angenommen ist, auch jene
Wurzelgrössen, von denen behauptet wird, sie seien für die Umfange
der Vielecke von immer verdoppelter Seitenzahl gesetzt worden, in
indischen Schriften nachzuweisen. So lange aber dieses nicht ge-
schieht, bleibt jener Werth n = yiO so räthselhaft wie er allen
Geschichtsforschern zu erscheinen pliegte, und wir theilen zur Be-
stätigung dieser Behauptung noch zwei Erklärungsversuche mit.
Da ist behauptet worden''), entsprechend dem Näherungswerthe

y^rfb = a + 2/+-I sei |/1Ö = 3|,
bei Archimed aber sei n = ?>Y) und so sei Jt = "j/lO zu Stande

') Colebrooke pag. 229, § 27 = Heron Liber Geoponicus cap. 58 (ed.
Hultsch) pag. 214. '') Ebenda pag. 308, § 40. '^) Hankel S. 216—217.

*) L. Rodet, tSur les mcthodes d'approxmalion chez les ancüns in dem Bulletin
de la Sociefe watMmatique de France T. VII (1879).

Geometrie und Trigonometrie. 607

gekommen. Das heisst docli: man ersetzte 3y durcli ylO , einen

rationalen Werth durch einen irrationalen, und das kommt in der
ganzen Geschichte der Mathematik nirgends vor. Die andere Erklä-
rung^) geht davon aus, dass Brahmagupta wusste^), dass der Pfeil h„,
welcher zwischen der Seite .s,^ und dem Kreisumfang sich befindet,

durch die Formel h^ = — [(Z — Vd'- — slj gegeben ist. Im Sechs-
ecke insbesondere ist

= i[rf_|/rf._^']=|[2_>/3

und hätte man das Recht, ^ als Näherun gs werth für ys anzunehmen,

so wäre h^ = 79' ^^ ferner allgemein S2« = K -\- ~ s„ , so wäre

auch S12 = ^6 + -7- ^6 = j^^ und (125i,)- = lOcP. Aber 12 s^o = U12
ist der Umfang des Sehnenzwölfecks, und so hätte man erhalten
^/^., = (7j/lO, d. h. jc =]/iO bedeutet, man habe den Kreis als mit
dem Sehnenzwölfeck zusammenfallend angesehen. Sehr sinnreich,

/ — 5

wenn nur ]/ 3 = — irgendwo Beglaubigung fände.

Heronisch ist es wieder, wenn unter Anwendung von Propor-
tionen Höhen mit Hilfe von Schattenlängen gemessen werden -X
Von Interesse ist uns dann noch die stereometrische Aufgabe, den
Rauminhalt einer abgestumpften quadratischen Pyramide zu finden,
für welche Brahmagupta drei Lösungen angibt, eine für Praktiker,
eine für annähernde, eine für genaue Rechnung*). Der Praktiker
begnüge sich mit dem Produkte der Höhe in das Quadrat des Mittels
zwischen den Seiten an der unteren und oberen Fläche des Stumpfes.
Annähernd richtig, fährt Brahmagupta fort, sei das Produkt der
Höhe in das Mittel der Grundflächen. Wir gehen wohl nicht fehl,
wenn wir darin eine Bestätigung unserer oben ausgesprocheneu Ver-
muthuug über die .Entstehung der falschen Formel für den Raum-
inhalt der dreieckigen Pyramide bei Aryabhatta erkennen. Richtig
sei, wenn man den Inhalt des Praktikers um den dritten Theil des
Unterschiedes der Inhalte des Praktikers und des annähernd Rech-
nenden vergrössere. Dieser letzte Ausspruch ist vollkommen wahr.
Heissen a^ und a.> die Seiten der beiden quadratischen Grundflächen
und ist h die Höhe des Pyramidenstumpfes, so ist richtig dessen

*) Hunrath, Ueber das Ausziehen der Quadratwurzel bei Griechen und
Indern. Hadersleben 1883. S 25. ') Colebrooke pag. 310, § 42. ^) Ebenda
pag. 317. Section IX, Mensure bij shadoic. *) Ebenda pag. 312—213, § 45— 4r,.

G08 30. Kapitel.

"l + <*1 ^2 4" '*2 T-k

Inhalt = h :; Der Praktiker rechnet aber nach Brahma-

gupta h • \-^—^~) ; annähernd richtig sei h • — - — und nun ist

/, . °1±^±^ = ,. . (?L± %)^ + 1. [,, . ^J _ ,. . («Li».)] .

Wir sind oben mit sehr kurzen Worten über die Flächenformel
Brahmaguptas für das Viereck hinweggegangen, welche als beson-
deren Fall die heronische Dreiecksformel einschliesst. Dass die Vier-
ecksformel als eine allgemeine nicht gelten kann, ist ersichtlich.
Gleichwohl hat Brahmagupta in jenem ersten Paragraphen seiner
geometrischen Lehren in keiner Weise ausgesprochen, dass er der
Formel nur bedingte Zulässigkeit für gewisse Vierecke, catiirarra,
zuschreibe. Man hat in verschiedener Weise sich dieser Schwierig-
keit gegenüber einen Ausweg zu bahnen gesucht. Man hat an-
genommen, Brahmagupta, ein hervorragend geometrischer Geist, habe
eigentlich nur vom Sehnen viereck reden wollen; auf dieses bezögen
sich auch einige andere Sätze, deren wir hier Erwähnung zu thun
unterlassen, und Brahmagupta sei nur aus Kürze dunkel geblieben ').
Man hat im schroffen Gegensatze dazu und an dem Wortlaute der
Regel bei Brahmagupta festhaltend ihn beschuldigt, er habe die
Regel, die er an einem besonderen Vierecke entdeckt habe, wirklich
auf alle bezogen-). Man hat dagegen wieder von anderer Seite in
Brahmaguptas Text Alles finden wollen, was zum Verständniss nöthig
sei. Im 26. Paragraphen lehre nämlich Brahmagupta die Berech-
nung des Durchmessers des Umkreises, und darin liege ausgesprochen,
dass die gemeinten Vierecke einen Umkreis besässen; im 38. Para-
graphen definire er „die Aufgerichteten und die Seiten zweier recht-
winkliger Dreiecke wechselweise mit der Diagonale vervielfacht sind
vier unähnliche Seiten eines Trapezes; die grösste ist die Grundlinie,
die kleinste die Scheitellinie, die beiden anderen sind die Seiten", und
diese Definition, der man trotz ihrer Dunkelheit einen guten Sinn
abzugewinnen wusste, bilde einen zweiten Kern der ganzen Unter-
suchung, welche aber nur für Vierecke von den Gattmigen stichhaltig
sei, wie sie hier näher bestimmt wurden'^). Auch dieser Meinung
ist man entgegengetreten: Brahmagupta werde doch nicht in § 38
erst definiren, was er seit § 21 benutze; er werde den Gang seiner
Untersuchung doch nicht so eingerichtet haben, dass man besser

*) Chaales, Apercu hist. pag. 420 sqq., deutsch 4G5 flgg. -) Arneth,

Geschichte der reineu Mathematik S. 145 ligg. (Stuttgart, 1852.) ^) Hankel

S. 210—215.

Geometrie und Trigonometrie. 609

daran thue, sie von hinten nach vorn als in der Folge zu lesen, wie
er sie niederschrieb; er werde doch endlich nicht als Formel für das
Tetragon, das Viereck also, aussprechen, was er vom Trapeze meinte;
und nach diesen freilich nicht ungewichtigen Einwürfen hat man
versucht zu zeigen, wie Brahmagupta rechnend und durch Induktion
von der ihm bekaimten Dreiecksformel aus zu der entsprechenden
Yierecksformel gelangte, deren bedingte Giltigkeit ihm nur nach und
nach klar wurde ^). Diese sehr verschiedenen Auffassungen können
uns nur bestimmen, die Dunkelheit des ganzen Kapitels bei Brahma-
gupta von § 21 bis § 38 als eine bisher noch nicht vollständig ver-
nichtete zu erklären. Wir glauben dabei noch immer an die Richtig-
keit einiger aus der Formel von § 26 und der Definition von § 38
gezogenen Schlüsse, möchten aber doch nicht so zuverlässig behaupten,
jede Schwierigkeit sei damit verschwunden.

Wir meinen freilich, ein Theil der Schwierigkeiten sei durch
unglückliche üebersetzuug entstanden, welche das Wort Trapez an-
wandte, wo es nach dem Sinne, welchen man diesem Worte beizu-
legen gewohnt ist, nicht angewandt werden durfte. Caturveda Pri-
thüdakasvämin, ein Scholiast des Brahmagupta, der selbst vor Bhäskara
lebte, der ihn anführt'), gibt zu dem die Flächenformel enthaltenden
§ 21 eine wichtige zu wenig berücksichtigte Erläuterung^): Dreierlei
Dreiseite gebe es, fünferlei Vierecke und als neunte ebene Figur den
Kreis; die Dreiseite seien gleichseitig, gleich für zwei Seiten und
ungleichseitig; die Vierecke seien gleiche, paarweise gleiche, mit
zweien gleiche, mit dreien gleiche und ungleiche Vierecke. Man
sieht wohl: von Parallelismus, von Trapez und dergleichen ist dabei
ausdrücklich wenigstens nicht die Rede, und wenn man die fünf
Gattungen von Vierecken aus den Beispielen, die derselbe Prithüda-
kasvämin beifügt, zu bestimmen sucht, so findet man, dass das gleiche
Viereck das Quadrat, das paarweise gleiche das Rechteck ist; dass
unter dem mit zweien gleichen und mit dreien gleichen gleichschenklige
Paralleltrapeze zu verstehen sind, deren kleinere Parallelseite in dem
zweiten Falle auch noch den beiden gleichen Schenkeln gleich sein
soll. Die fünfte Gattung von Vierecken, nämlich die unter gewissen
anderen zu erfüllenden Bedingungen ungleichen Vierecke sind im § 38
definirt. Nun sieht man, welche heillose Verwirrung entstehen musste,
sobald man die Vierecke letzter Gattung Trapeze nannte, statt irgend
ein anderes Wort, z. B. unser ungleiches Viereck zu wählen. Man

') Weissenborn, Das Trapez bei Euklid, Heron und Brabmagupta im
Supplementhefte der bistor.-literar. Abtblg. der Zeitschr. Math. Phys. XXIV (1879).
") Coleb rooke pag. 245, § 174 und Note 5. ') Ebenda pag. 295, Note 1.

Cantob, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 39

610

30. Kapitel.

sieht aber nocli mehr. Man sieht, dass die fünf Gattungen von
Vierecken keineswegs richtig gewählt sind. Sie erschöpfen den Be-
griff des Vierecks durchaus nicht. Aber darin sehen wir nur einen
weiteren Beweis für den ausländischen Ursprung der indischen Geo-
metrie. Die Fünfzahl der Vierecke ist vielleicht selbst auf griechische
Erinnerung zurückzuführen, da Euklid in der 30. bis 34. Definition
des I. Buches seiner Elemente ebensoviele Gattungen unterscheidet:
Quadrat, Rechteck, Rhombus und Rhomboid, unregelmässiges Vier-
eck, in seinen Gattungen freilich jeder Möglichkeit einen Platz zu-
weisend. Nun waren den Indern nur Sätze über die fünf unberech-
tigten Vierecksarten, welche Piithüdakasvämin uns nennt, bekannt
geworden; nur mit ihnen also hatte man sich zu beschäftigen.
Es waren das in den vier ersten Gattungen grade die Vierecke,
welche Heron mit Vorliebe behandelt hat, das Quadrat und das
Rechteck und das gleichschenklige Trapez, die Liebliugsfigur schon
der alten Aegypter. Was die Zerfällung der Trapeze in solche mit
zwei und mit drei gleichen Seiten betrifft, so kann man verschiedener
Meinung sein. Mau kann meinen, da bei Heron verschiedene Gattungen
von Paralleltrapezen gefunden worden waren, deren Unterscheidungs-
grundlage man nicht verstand, so habe man auf eigene Faust neue
Gruppen gebildet; man kann aber auch an einen griechischen Ur-
sprung denken, da beispielsweise Hippokrates von Chios (S. 197)
sich mit Paralleltrapezen mit drei gleichen Seiten vielfach abquälte
und es daher wohl möglich ist, dass Spätere auch noch um diese
Figur sich kümmerten, ohne dass wir unmittelbar davon wissen.
Kehren wir jetzt zu § 26 Brahmaguptas zurück. Wenn darin von
dem Halbmesser des Umkreises zuerst jedes Vierecks mit ausdrück-
licher Ausnahme des ungleichen Vierecks die Rede ist, so
sind eben nur die vier ersten Gattungen gemeint, und diese vier sind

zweifellos Sehuenvierecke, mid wenn in dem-
selben Paragraphen fortfahrend auch die
Berechnung des Halbmessers des Um-
kreises der fünften Vierecksgattuug
gelehrt wird, so ist wieder zweifellos auch
für diese Gattung die Eigenschaft als Sehnen-
viereck damit in Anspruch genommen.

Jene ungleichen Vierecke der fünften

Gattung entstehen aber gemäss § 38 auf

folgende Weise. Man denke (Figur 85)

zwei rationale rechtwinklige Dreiecke aus

Cg, h und C'i, 62, H gebildet. Man vervielfache die

^„.^^

\2ä

\ i8

Aß

IJf 1

tf&\

Fig 85.

den Seiten
Seiten des

ersteren zuerst mit L\, dann mit Cg, so sind auch

Geometrie und Trigonometrie. 611

^1^1? ^2^17 ^'Q ^^^^ ^i^ij ^2^2? ^'^2 Seiten zweier rechtwinkliger
Dreiecke. Diese beiden setzt man mit den rechten Winkehi als
Scheitelwinkeln aneinander, so dass c^(\ als Fortsetzung von C.2C., und
qC'g als Fortsetzung von c^C^ erscheint, beziehungsweise dass
Cj 6'j -\- C.2 Tg und c^ C\ + ^2 Q ^^^i sich senkrecht durchkreuzende
Gerade bilden, welche als Diagonalen eines leicht zu vollendenden
Vierecks auftreten. Gegenseiten dieses Vierecks sind, wie wir schon
wissen, hC^ und /iG,; das andere Paar Gegenseiten heisst leicht
ersichtlich Hc^ and Hc^ . Alle vier Vierecksseiten sind von einander
verschieden, sind ungleich; das Viereck ist aber aus vier rationalen
rechtwinkligen Dreiecken zusammengesetzt, uud je zwei Scheiteldrei-
ecke sind einander ähnlich. Diese ungleichen Vierecke sind unter
denen der fünften Gattung verstanden, und die Gleichheit der Summe
je zwei gegenüberstehender Winkel kennzeichnet sie als Sehnenvier-
ecke. Zu ihrer Bildung sind also Zusammensetzungen rechtwinkliger
Dreiecke iiothwendig, welche Heron gekannt hat (S. 369), und für
welche er in seiner Geometrie des eigenen Kunstausdruckes zusammen-
hängender rechtwinkliger Dreiecke, rgiycova oQ^oyahna rjvcofxsva^ sich
bediente. Durch ähnliche Zusammensetzung ist aus den beiden recht-
winkligen Dreiecken 5, 12, 13 und 9, 12, 15 an der Kathete 12 das
in allen Beziehungen rationale berühmte Dreieck 13, 14, 15 ent-
standen, welches Heron kannte, welches auch den Indern vielfach als
Beispiel diente.

Vor der Zusammensetzung rationaler rechtwinkliger Dreiecke
müssen wir aber auch die Kenntniss rationaler rechtwinkliger Drei-
ecke selbst als vorausgehend vertreten finden. Heron hat sich mit
solchen beschäftigt; auch bei Brahmagupta fehlen sie nicht, der, wie
wir schon (S. 587)" andeuteten, zweimal darauf zurückkommt, zuerst
in seinem geometrischen Kapitel und dann eingeschaltet zwischen
dem Rechnen mit irrationalen Quadratwurzeln, wo die Regel am

deutlichsten ausgesprochen ist'). Man solle a, -y[-j hj und

Y ( -1 — h ft) als Seiten wählen, wobei a und h ganz beliebige Werthe

haben. Diese Formel, welche die unter dem Namen des Pythagoras
und des Piaton bekannten Sonderfälle durch 6=1 und 6 = 2 in
sich schliesst, ist genau so bei keinem Griechen uns begegnet.
Dieser Umstand ebenso wie die Stelle, wo die Regel sich ausgesprochen
findet, geben ihr ein mehr indisches Gepräge, aber die Aufgabe,
welche durch sie ihre Lösung fand, dürfte griechisch sein, dürfte,
wenn man den Ausdruck gestatten will, in Indien nur noch mehr
algebraisirt worden sein, als sie es schon war.

') Colebrooke pag. 340, § 38.

39'

612 30. Kapitel.

Wir denken nictt, dass alle diese kleineren und grösseren Ueber-
einstimmungen zwischen Heron und Brahmagupta der Annahme unseres
Grundgedankens entgegenwirken können, und fragen nun, was aus
einer so aus der Fremde eingeführten Lehre im Lauf der Zeiten
werden musste? Wesentliche Fortschritte dürfen und können wir bei
einem nicht geometrisch angelegten Volksgeiste nicht erwarten. Im
Gegentheil, manches anfänglich Verstandene muss verloren gegangen
sein. Nur Aufgaben einer algebraischen Geometrie werden den indi-
schen Geist ansprechend weitere Pflege erfahren und sich vielleicht
in einem Umfange erhalten haben, der das bei Brahmagupta Vor-
handene überragt. Die Geometrie des Bhäskara^) erfüUt diese unsere
Erwartung.

Bis zu Bhäskara ist vor allen Dingen der Rest des Verständ-
nisses der Formel für die Vierecksfläche verloren gegangen. In einem
Vierecke mit denselben Seiten, sagt er, gibt es verschiedene Diago-
nalen. „Wie kann Jemand, der weder eine Senkrechte noch eine der
Diagonalen angibt, nach dem Uebrigen fragen? oder wie kann er
nach der bestimmten Fläche fragen, wemi jene unbestimmt sind?
Ein solcher Fragesteller ist ein tölpelhafter böser Geist. Noch mehr
ist es aber der, welcher die Frage beantwortet, denn er berücksichtigt
nicht die unbestimmte Natur der Linien in einer vierseitigen Figur"''*).

Hinzugekommen ist die Kreisverhältnisszahl n ==y , welche als für

3927
Praktiker genügend erklärt wird, während der feinere Umfang -^— r mal

dem Durchmesser sei^). Hier ist allerdings etwas räthselhaft. Das
erste Verhältniss ist das archimedische, das zweite das von Aryabhatta

62 832

in der Form , benutzte, während diesem die archimedische Zahl

aU \j\J\)

nicht bekannt oder, was noch auffallender wäre, nicht mittheilens-
werth gewesen zu sein scheint, und doch soll es die Methode Archi-
meds gewesen sein, welche zu dem genaueren Werthe geführt hat.
Archimed, erinnern wir uns, Hess vom Sechsecke ausgehend die
Seitenzahl des eingeschriebenen Vielecks sich immer verdoppeln, bis
er zum 06 eck gelangte (S. 288). Ganega, der Commentator Bhäskaras,
berichtet uns, man sei vom Sechsecke durch stete Verdoppelung der

Seitenzahl bis zum 384 eck vorgeschritten und habe so 3t==;- —

'^ 1250

gefunden. Bhäskara bedient sich übrigens auch noch einer anderen

754

Annäherung*), nämlich ^ = ^ == 3,141 6(36 . . . Hinzugekommen

') Colebrooke pag. 58—111. ^) Ebenda pag. 73. ^) Ebenda pag. 87.
*) Ebenda pag. 95, § 214.

Geometrie und Trigonometrie. 613

sind ferner einige Aufgaben über rechtwinklige Dreiecke, welche
unsere Aufmerksamkeit verdienen. Sie finden sich nicht, wie die
bisher angeführten Dinge, in der Lilävati, sondern in dem Vija Ganita
genannten algebraischen Kapitel. Es wird verlangt, die Seiten eines
rechtwinkligen Dreiecks zu finden, wenn neben der Summe derselben
erstens das Produkt der beiden Katheten oder zweitens das Produkt
der drei Seiten gegeben ist^). Die erstere Aufgabe ähnelt nämlich
ebensowohl der heronischeu Aufgabe vom Kreise, bei welcher Summen
von Stücken verschiedener Dimensionen gegeben sind (S. 376), als
der des Nipsus aus Hypotenuse und Fläche, d. h. also halbem Pro-
dukte der Katheten die Dreiecksseiten selbst zu finden (S. 517).
Bhuskara löst die erste Aufgabe wie folgt. Ist tiC^>=j), so ist

Da nun c^ -{- Cj^ -{- h = s gegeben ist, so folgt Cj -|- r^ — Ä = " und

Die Katheten findet man noch einzeln, indem von (<^i+^2)"'='(~^. j
der Werth 4^^2=47} abgezogen wird; so entsteht nämlich

(^l-^.>> = ili —

und daraus c^ — Cg , welches in Gemeinschaft mit q -|- c^ die Katheten
liefert. In der zweiten Aufgabe ist r^ ■ r-, . h = p und Cj -|- c, -\- Ji = s
gegeben. Aus s — A = c, -j- Cg erhält man

s'-2sh + Ji^=cl + c^ + 2c,c, = A^+ ¥,

mithin ist s^ — 2sh = , und 2s]i^ — s^h = — 2p. Daraus findet

man li , daraus s — h = Ci -)- c.^ und y- == 4fjf2j ^^^ i^^n ist es

wieder leicht q — c.^ und endlich die Katheten zu finden. Das sind
Methoden, welche der von Nipsus angewandten entschieden ähneln,
so wenig in Abrede gestellt werden soll, dass Bhäskaras Aufgaben
die bei weitem verwickeiteren sind. Hinzugekommen sind endhch
einige Beweise geometrischer Sätze durch Rechnung, und einige auf
Anschauung beruhende, wenn man letztere als Beweise gelten lassen
darf. Ein Beispiel beider Auffassungen bildet der Beweis des pytha-
goräischen Lehrsatzes, der sich in dem Vija Ganita vorfindet"). Das
eine Mal wählt man die Hypotenuse zur Grundlinie, auf welche

') Colebrooke pag. 225— 226, §151—152. -) Ebenda pag. 220 -222, § 146.

614

30. Kapitel.

(Figur 86) von der Spitze des rechten Winkels aus eine Senkrechte
geföllt wird, und weist auf die Eigenschaft der zwei so entstehenden
rechtwinkligen Dreiecke hin, mit dem ursprünglichen Proportionali-
täten zu bilden. So kommen, wenn h^ und
/<2 die Stücke der Hypotenuse h heissen, die je
au (\ und Cg anstossen, die Verhältnisse heraus

c, h, -. c, h.,

— = — und Y" = ~ 7

und daraus foloit

Fig. 86.

Fig. 87.

Der andere Beweis, welcher, wie im 34.
Kapitel sich zeigen wird, mehr als 200 Jahre
vor Bhäskara schon bekannt war, konstruirt
(Fig. 87) über jede Seite des Quadrates der
Hypotenuse nach innen zu das rechtwinklige

Dreieck. „Sehet!" Damit begnügt sich Bhäskara und erwähnt nicht

einmal, dass die Anschauung

liefre. Ganz ähnlicher Natur sind^Beweise, welche der Commentator
Gane^a zu Sätzen Bhaskaras beigebracht hat^). Die Dreiecksfläche
wird erhalten als Rechteck der halben Höhe und der Grundlinie.

Fig. 88.

Fig. 89.

(Fig. 88.) Sehet! Die Kreisfläche wird erhalten als Rechteck des
halben Durchmessers in den halben Kreisumfang. (Figur 89.) Sehet!
Diese Beweisform, welche bei Brahmagupta nirgend auftritt, muss
wohl als indisch betrachtet werden. Sie ist mit der algebraischen
Beweisform verbunden ungemein charakteristisch für die Fassungs-
kraft jener Geometer. Rechnen in nahezu unbegrenzter Möglichkeit
oder Anschauen, darüber kommen sie nicht hinaus. Das Eine wie
das Andere ist zum Beweise schon bekannter Sätze gleich gut anzu-
wenden, die Rechnung ist strenger, die Berufung auf unmittelbare
Anschauung vielfach überzeugender. Aber kann letztere zur Erfindung

*) Coleb rooke pag. 70, Note 4 uutl pag. 88, Note 3.

Geometrie und Trigonometrie. 615

neuer Sätze führen? Kann es erstere^ wenn nicht eine gewisse Summe
geometrischer Sätze als Ausgangspunkt vorhanden ist, unter welchen
der pythagoräische Lehrsatz einer der wichtigsten ist? Kann der
pythagoräische Lehrsatz gefunden worden sein von einem Beweise
ausgehend wie die beiden durch Bhäskara uns überlieferten? Wir
denken, dass diesen Fragen die verneinende Antwort nicht fehlen
wird. Dann aber kommen wir immer und immer zu dem gleichen
Schlüsse: Geometrisches in ziemlich bedeutender Menge tritt ver-
wandter Art, vielfach sogar in voller Uebereinstimmung in Alexandria
und Indien auf. In Alexandria können wir es mit Bestimmtheit in
einer zum Theil sehr viel früheren Zeit nachweisen als dieses in
Indien möglich ist. In Alexandria haben wir es als Frucht orga-
nischer Entwicklung reifen sehen, in Indien ist die Entstehungsweise
mehr als räthselhaft. Folglich muss eine Uebertragung von Alexan-
dria nach Indien angenommen werden, eine Uebertragung, die natür-
lich nicht ausschliesst, dass indische Mathematiker des überkommenen
Stoffes sich in ihrer Weise bemächtigten, ihn misshandelten oder be-
handelten, wie sie es eben verstanden, bald einen Rückgang, bald
einen Fortschritt zu Wege bringend. •

Am Unzweifelhaftesten sind die Fortschritte, welche der der
Rechnung am meisten bedürftige Theil der alten Geometrie bei den
Indern gemacht hat, die Trigonometrie^). Hier ist zwar von

Griechenland aus sicherlich die archimedische Verhältnisszahl "„" der

Kreisperipherie zum Durchmesser nach Indien gedrungen (S. 612).

Vielleicht mag auch griechischen Ursprunges

sein, wie die Höhe h eines Kreisabschnittes, sein

utJiramajyä nach indischem Sprachgebrauche,

mit der Sehne s und dem Kreishalbmesser r

in Verbindung steht, wir meinen (Figur 90)

die leicht abzuleitende Gleichung

2Är — h^=~ oder s = 2 yiiJp^^^Ji) .

Aber ihre ganze weitere Rechnimgsweise be- FigToo.

ginnend von dem Maasse der Linien im

Kreise ist so ungriechisch wie möglich, also vermuthlich indischen

Ursprunges.

Allerdings zerlegt der Inder, wie wir schon früher betont haben,

^) Vergl. ausser Coleb rooke den Sürya Siddhänta und das von Rodet
übersetzte Kapitel des Aryabhatta. Ferner Asiatic researches (Calcutta) II, 225;
daraus Arneth, Gescbichte der reinen Mathematik S. 171 — 174. Woepcke^
Sur le mot kardaga et sur une methode indienne pour calcider les sinus in den
N. ann. math. (1854) XIII, 386-394.

616

30. Kapitel.

gleich dem Griechen und wahrscheinlich babylonischer Sitte folgend
den ganzen Kreisumfang in 360 Grade oder in 21 600 Minuten, da
jeder Grad gleich 60 Minuten ist; aber wenn dann der Grieche den
Halbmesser gleichfalls in 60 Theile mit sexagesimal fortschreitenden
Unterabtheilungen zerlegt, so fragt der Inder, wie gross der Kreis-
bosen in Minuten sei, zu Avelchem der Halbmesser sich zusammen-
biegen lässt. Er vollzieht eine Arcufication der graden Linie und
muss dazu des schon bei Aryabhatta vorkommenden Werthes 7r = 3,1416
sich bedient haben, denn nur dami folgt aus 2jrr = 21600 Minuten,

r = — — = 3437,7 • • • in ganzen Zahlen am nächsten r = 3438 Mi-

nuten, wie der Inder rechnet. Es ist nicht unmöglich, dass der Ge-
danke der Arcufication darin wurzelt, dass die Trigonometrie der
Inder wie der Griechen in astronomischen Aufgaben ihren Ursprung
hat, also zunächst eine sphärische Trigonometrie war, in welcher nur
Bogen vorkommen, wenn auch im Uebrigen, wie wir noch bemerken
werden, von sphärisch -trigonometrischen Aufgaben keine Rede ist.
Von r = 3438 Minuten als erster Thatsache ausgehend wurde
nun die ähnlicherweise ^n Minuten umgebogene Länge anderer Geraden
im Kreise gesucht. Die Sehne, welche einen Bogen bespannt, wurde
jyä oder ßva genannt, welche Wörter auch die Sehne eines zum
Schiessen bestimmten Bogens bezeichnen. Die halbe Sehne hiess dann
jyärdha oder ardhajyä und wurde unter letzterem Namen auch zum
halben Bogen in Beziehung gesetzt. Sie war nichts anderes als was
die spätere Trigonometrie den Sinus jenes Bogens genannt hat.
Auch den Sinus versus unterschied man, wie schon
bemerkt, als iitkramajyd ^ sowie den Cosinus als
liotijyd. Man wusste zugleich aus dem aus Sinus,
Cosinus und Halbmesser bestehenden rechtwinkligen
Dreiecke , dass (sin a)'- -\- (cos a^ = r- = (3438)^ .
Da nun die Sehne von 60*^ dem Halbmesser oder
3438 Minuten gleich ist, so musste ihre Hälfte oder
in moderner Schreibweise sin 30^ = -— = 1719 Mi-
nuten sein. Man war nun im Stande, aus dem Sinus
eines Bogens den des halb so grossen Bogens

'^ zu finden, da (Figur Ol) 2 sin -_ die Hypotenuse

eines rechtwinkligen Dreiecks bildet, dessen beide Katheten sin u
und sin vers cc sind. Folglich musste (2 sin ,, ) == (sin a)^ -j- (sin vers «)-
sein. Aber sin vers a = r — cos a und sin a' -\- cos a" = r^ in Be-
rücksichtigung gezogen wird auch (2 sin ^)= 2r^— 2r ■ cos a und

Geometrie und Trigonometrie. 617

sm-

= ]/v (*' — cos a) = ]/l719 (3438 — cos a)

So verschaffte man sich vielleicht die Zahlen, welche im Sürya
Siddhanta unter Anderen angegeben sind: sin 15" = 890 Minuten,
sin 7° 30' =449 Minuten, sin 3M5' = 225 Minuten. Aber 3M5'
sind selbst 225 Minuten, also bei soweit fortgesetzter Bogenhalbirung
fiel der Sinus mit dem Bogen zusammen, war ihm an Länge
gleich, sofern man es bei der Genauigkeit von einer Minute bewenden
Hess, und um so mehr musste diese Gleichheit für noch kleinere
Bögen und deren Sinus stattfinden d. h. es musste sin a = « sein,
wofern a <C. 225' war. Damit war dem Bogen von 225' oder, wie
wir auch sagen können, dem 96. Theile des Kreisumfanges eine be-
sondere Wichtigkeit beigelegt, welche ihn würdig machte durch einen
besonderen Namen ausgezeichnet zu werden. Man nannte seinen Sinus
und ihn selbst den geraden Sinus, Icramajyä.

Wenn wir uns ausdrückten, man habe vielleicht von sin 30'' aus-
gehend durch Bogenhalbirung sin 225'= 225' gefunden, so gebrauchten
wir dieses einschränkende Wort, weil möglicherweise auch der um-
gekehrte Weg eingeschlagen wurde. Die archimedische Verhältniss-

zahl — war gefunden worden, indem man das 96 eck als mit dem

umschriebenen Kreise nahezu zusammenfallend sich dachte; daraus

360* 360**
könnte man Veranlassung genommen haben, auch sin -r— = --— zu

'-''-' ' yb yb

setzen und zum voraus diese Annäherung als genügend zu betrachten.
Sei dem nun, wie da wolle, jedenfalls spielte von nun an der
Bogen von 225' wie dessen Vielfache und die Sinus derselben in der
indischen Trigonometrie eine Rolle, deren Wichtigkeit zur Genüge
hervortreten wird, wenn wir sagen, dieser Bogen bildete die Bogen-
einheit einer Sinustabelle, die sich von 3^* 45' bis 90*^ in 24
Werthen erstreckte. Die Auffindung der Sinusse der durch Zusammen-
setzung von Bögen gebildeten grösseren Bögen erfolgte nach ähn-
lichen Methoden, wie Ptolemäus sie im Almageste gelehrt hat. Nach-
dem die Tabelle gebildet war, erkannte man vermuthlich empirisch
das Zahlengesetz, dass

sin ((h + 1) 225') — sin {n - 225') = sin (n • 225') — sin ((« - 1) 225')

sin (w • 225')
225

war, und benutzte nunmehr diese Interpolationsformel, um die Tabelle
selbst jeden Augenblick herstellen zu können. Bhaskara ist sogar
bei dieser Tabelle nicht stehen geblieben. Er hat die Sinusse und
Cosinusse in Bruchtheilen des Halbmessers des Kreises angegeben :

618 30. Kapitel.

• onc 100 „c,;., 466 . .0 10 10 6568

Sin 225 = j^ , cos 225 = ^^ ; smV=^^, cos l'' = ^^^ ,

wo jedesmal die betreffenden Theile des Halbmessers gemeint sind;
er hat die Berecbimng einer Sinustabelle gelehrt, deren Bögen von
Grrad zu Grad fortschreiten. Damit steht vielleicht eine in der Lila-
vati^) mitgetheilte Formel in Verbindung, welche die Sehne s aus
dem Kreisumfange P, dem Durchmesser d und dem Bogen B finden

lehrt: s = ^ — — ^^ ^ — , eine Formel, deren Ableitung noch nicht

~F^-B{P-B)

euträthselt ist, welche aber eine ziemlich genügende Annäherung
liefert.

Trigonometrie als Berechnung von Dreiecksstücken eines be-
liebigen Dreiecks mit Hilfe von Winkelfunktionen scheinen die Inder
nicht gekannt zu haben. Sie führen vielmehr fast alle Aufgaben auf
ebene und zwar auf rechtwinklige Dreiecke zurück und konnten so
mit ihren planimetrischen Kenntnissen ausreichend die verschiedenen
vorkommenden Fragen beantworten.

Als wesentlicher Fortschritt, den die Trigonometrie in Indien
machte, bleibt darnach das übrig, was wir oben besprachen: die
Sinustabelle. Die Sehnen waren verdrängt durch ihre Hälften. Aber
man kann fast hinzusetzen, dass dieser ungemein glückliche Wurf
den Indern wie durch einen Zufall gelungen ist, denn die Tragweite
der vollzogenen Abänderung ergab sich nicht ihnen, sondern erst
ihren Nachfolgern, den Arabern.

') Colebrooke pag. 94, § 213.

VI. Cliinesen.

31. Kapitel.
Die Mathematik der Chinesen.

„Wissen, dass man es weiss, von dem was man weiss, und
wissen, dass man es nicht weiss, von dem was man nicht weiss,
das ist wahre Wissenschaft." So soll Coufucius, der chinesische
Weise, dessen Lebensdauer von 551 bis 479 angesetzt wird, zu seinen
Schülern gesagt haben'). Von China selbst dürfte nach dieser
Definition kaum eine Wissenschaft möglich sein, denn weder was
wir über dieses Reich wissen, noch was wir nicht wissen, ist von
Zweifel befreit.

Europäischer Nachforschung hat man mit geringen Ausnahmen,
welche sich auf Männer bezogen, die keineswegs mit der kritischen
Vorbereitung eines Gelehrten von Fach ausgerüstet waren, zu allen
Zeiten Hindernisse in den Weg zu legen gewusst. Was uns über
Chinas Vergangenheit erzählt wird, stammt ausschliesslich von der
Benutzung chinesischer Quellen durch Chinesen her. Der Chinese
aber liebt das Alte. Seine Anhänglichkeit an dasselbe geht so weit,
dass er Neuerungen, wo möglich, als Rückkehr zu Altem und
Aeltestem darstellt, und wenn ein anderer Ausspruch des Confucius,
er habe neue Schriften nicht verfasst, er habe nur die Alten geliebt,
erläutert und verbreitet"), vielleicht der persönlichen Bescheidenheit
des Redners entstammt, so ist jedenfalls von Anderen diese Auf-
fassung dahin überboten worden, dass sie für alt ausgaben, was
durchaus neuen und neuesten Datums war.

So gibt es kaum eine Erfindung, welche nicht mit dankbarer,
vielleicht häufig ganz unbegründeter Erinnerung an bestimmte Per-
sönlichkeiten eines längst entschwundenen Alterthums geknüpft wird.
Die Schrift, nach der Ansicht einer Gelehrtenschule in namenlose
Vorzeit hinaufreichend, soll nach der Ansicht einer zweiten Schule
von Kaiser Fu hi um 2852 v. Chr. herrühren, und ein fürstlicher

^) Paul Perny, Graynniaire de la langue chinoise orale et ecrite. Paris.
T. I, 1873. T. II, 1876. Der hier citirte Ausspruch II, 24.3, Note I. ^) Peruy
II, 263.

622 31. Kapitel.

Gelehrter Prinz Huäy nän tse gibt (189 v. Chr.) gar an, die Schrift
sei durch Tsang kie, den Minister des Kaisers Huang ti 2637 v. Chr.
auf Befehl des Kaisers erfunden worden')' Auf Fü hl wird auch
das dekadische Zahlensystem zurückgeführt"), welches er abgebildet
auf dem Rücken eines aus den Fluthen des gelben Stromes auf-
tauchenden Drachenpferdes sah und dessen Bedeutung erkannte. Die
chinesische Tusche soll unter Kaiser Oü wäug 1120 v. Chr. schon
bereitet worden sein"^). Confucius soll sich zum Schreiben damit
eines Pinsels aus Antilopenhaar bedient haben, während Pinsel aus
Hasenhaar durch Möng tien 246 v. Chr. erfunden wurden, einen
General, welcher auch eine Art von Papierbereitung lehrte und zu-
gleich die Aufsicht über die Erbauung der chinesischen Mauer führte,
eine Vereinigung von Thatsachen, in welcher wir fast eine Ironie
der Geschichte zu erkennen geneigt sind. Wir würden noch anderen
eben so glaubhaften oder unglaubwürdigen Nachrichten begegnen,
wenn wir weiter griffen. Wir wollen lieber an der Hand chinesischer
Quellen einen Blick auf die Geschichte des Reiches der Mitte werfen'').
Wilde Jäger waren die Ureinwohner Chinas. Zu ihnen wanderte
zwischen dem XXX. und XXVII. S. von Nordwesten her das „Volk
mit schwarzen Haaren" ein, Hirten, die sich bald dem Landbau wid-
meten und eine gewisse Kultur schon mit sich brachten. Sie hatten
ein Wahlkaiserthum, welches bis um 2200 währte. Nun folgten in
meistens lang am Ruder bleibenden Erbfolgen verschiedene Dynastien.
Die Dynastie Hin regierte 500 Jahre. Sie wurde von der Dynastie
Chang gestürzt, diese um 1122 durch die Dynastie der alten Tcheöu
entthront. Die Tcheöu waren ein Stamm, der unter den Chang von
der alten Gemeinschaft sich trennte und westlich sich ansiedelte.
Dort erstarkten sie so weit, dass seit 1200 Kämpfe zwischen ihnen
und den Unterthanen der Chang begannen, die in dem genannten
Jahre 1122 mit der Ersetzung des letzten Chang-Kaisers Cheou sin
durch Oü wäng endigten. So wurde dieser letztere Kaiser aller
wieder vereinigten Stämme und gab ihnen ein neues Gesetzbuch, den
Tcheöu ly, welchen sein Bruder Tcheöu kong verfasst haben soll,
während eine andere Sage den Tcheöu ly wenige Jahre später (1109)
im sechsten Regieruugsjahre von Then wäng entstanden sein lässt'').
Die Dynastie der Tcheöu blieb im Besitze der kaiserlichen Macht
bis 221, also volle 900 Jahre.

') Perny II, 2 — 4, 7, 9. ^) Biernatzki, Die Arithmetik der Chinesen
in Grelles Journal für reine und angewandte Mathematik (1856). LH, 59—94.
Die hier angezogene Stelle auf S. 92. '^} Perny II, 92. ■») Unsere Quelle war
namentlich die Einleitung des zweibändigen Werkes: Le Tcheöu Ly ou riles de
Tchtou traduit par Ed. Biot. Paris, 1851. ^) Perny II, 303.

Die Mathematik der Chinesen. 623

In diese lange Periode fällt eine Einwanderung von vielleicht
hodiv^ichtigem Einflüsse auf die chinesische Kultur. Eine jüdische
Kolonie liess sich jedenfalls im VI. S. in China nieder'), also etwa
zur Zeit, die kurz vor die Geburt des Confucius fällt, die etwa die
Blüthezeit eines andern chinesischen Weisen Laö tse war, welcher
604 — 523 gelebt hat. Bei Laö tse, von welchem übrigens auch weite
Reisen nach Westen, vielleicht bis Assyrien, erzählt werden, findet
sich muthmasslich eine Spur der Berührung mit diesen Einwanderern
in dem dreieinigen Namen Y hy wy, welche er dem Taö, d. h. dem
höchsten Wesen, beilegt und in welchem man Jehovah, den der war,
ist und sein wird, hat erkennen wollen.

Auf die Tcheöu folgt Tsiu sehe huäng ty, der sich durch eine
Anordnung aus dem Jahre 213 v. Chr. den Beinamen des Bücher-
verbrenners verdiente-). Ob er nur eine neue Schrift allgemein
einführen wollte, um der wachsenden Verwirrung ein Ende zu machen,
die darin ihren Ursprung hatte, dass allmälig die allerverschiedensteu
Verschnörkelungen der Schriftzeichen Eingang gewonnen hatten, ob
er, was dem, der der Gründer eines neuen Herrschergeschlechtes zu
werden beabsichtigt, weit ähnlicher sieht, alles vernichtet wissen
wollte, was auf die frühere Geschichte sich bezog, damit nicht der
Geschmack der Alten über die neueren Einrichtimgen ein Verdam-
mmigsurtheil spreche oder gar die Staatskunst des Kaisers tadle,
jedenfalls wurde der Befehl des Kaisers vollzogen, so genau es mög-
lich war, und Stösse von zusammengehefteten Bambusbrettchen mit
eingeritzten Schriftzeichen, die Bücher der alten Chinesen, wurden
den Flammen überantwortet.

Der Kaiser starb 211. Seinem Geschlecht verblieb die Regierung
nicht. Die Dynastie der Han folgte 197, und der ihr angehörige
Hoei ti hob 191 das Verbrennungsedikt wieder auf. Ja unter einem
der nächsten Regenten dieses Hauses Hiao wen ti 170 — 156 suchte
man nach Werken, welche der Vernichtung entgangen waren, und
fand solche in ziemlicher Menge. Bruchstücke des Tcheou ly sollen
damals entdeckt und der kaiserlichen Büchersammlung einverleibt
worden sein, welche sodann zwischen 32 und 6 v. Chr. durch den
gelehrten Minister Lieou hin noch interpolirt wurden, um, wie es
heisst, gewissen damals zu treffenden Einrichtungen den Stempel
hohen Alters aufzudrücken. Die Dynastie der Han ging 223 n. Chr.
zu Ende.

Wieder haben wir ein für chinesische Kulturverhältnisse ungemein

') Perny II, 2G5, 305, 312. ^) Vergl Tcheöu ly I, pag. XIII flgg. mit
Perny II, 34—36.

624 31. Kapitel.

bedeutsames Ereigniss aus dieser Zeit zu erwähnen. Im Jahre 61
n. Chr. fand der in Indien verfolgte Buddhismus in China Eingano-,
wo er insbesondere unter der niederen Bevölkerung sich unaufhalt-
sam und mit so dauerndem Erfolge verbeitete, dass noch jetzt die
grosse Masse der etwa 500 Millionen Menschen, welche chinesisch
reden, ihm anhängt.

Es kann unsere Aufgabe nicht sein auch nur skizzenhaft der
nun folgenden Dynastien zu gedenken. Höchstens, dass wir erwähnen
wollen, wie unter den Sung im Jahre 1070 ein politisch-literarischer
Streit an eine Auslegmig sich knüpfte, welche Waug ngan chi, der
Minister des Kaisers Chin tsong, einigen Stellen des Tchedu ly gab.
Damals ging man so weit die Ursprüuglichkeit jenes Werkes völlig
zu leugnen und es für eine Fälschung des Lieou hin, also etwa aus
den drei letzten Jahrzehnten vor dem Beginne der christlichen Zeit-
rechnung, zu erklären. Dass man nicht einen noch späteren Zeit-
punkt für das unterschobene Werk annahm, war wohl vorzugsweise
in der Lebenszeit der Commeutatoren des Tcheou ly begründet. Man
kannte damals hauptsächlich drei solcher Commentatoren: Tching tong
dem I. S. n. Chr., Tchin khang tching dem II. S., Kiu kong yen dem
VIII. S. angehörig, von welchen insbesondere der zweite zur Siche-
rung des Originals seit seinem Leben dienen konnte, weil sein Com-
mentar über das ganze Werk fortläuft und stete Vergleichungen mit
den Sitten und Regeln, mit den Würden und Obliegenheiten seiner
Zeit anstellt^). Hundert Jahre nach jenem Streite trat ein vierter
Commentator Wang tchao yu hinzu, und nun am Ende des XII. S.
verfocht auch der gelehrte Tchu hi wieder die volle Echtheit des
Tcheöu ly.

Auf die Sung folgte ein fremdes Herrschergeschlecht. Mongolen
drangen in China ein und gaben dem Reiche eine Dynastie, welche
1275 — 1368 den Kaiserthron besetzt hielt, bis sie, die sogenannte
Dynastie Yuen, verdrängt wurde durch die einheimische Dynastie
Ming 1368 — 1644. Im Gefolge der Mongolen kamen, wie mit Be-
stimmtheit bekannt ist, arabische Gelehrte an den Kaiserhof von
China, ihre wieder ganz anders geartete Wissenschaft mit sich führend,
freilich nicht die ersten Araber, welche in China erschienen, denn
schon 615 n. Chr., 713, 726, 756, 798 waren arabische Gesandt-
schaften dorthin gelangt, das heisst Handeltreibende, deren Anführer,
um mehr beachtet und geachtet zu sein, sich als Abgeordnete des
Herrschers der Araber aufspielten. Der Name, unter welchem die
Araber erwähnt werden, ist Ta schi, das ist Täzy, der persische Name

1) Tcheöu ly I, pag. LX— LXI.

Die Mathematik der Chinesen. 625

derselben'). In die Mougolenzeit fallen auch die Reisen des Vene-
tianers Marco Polo, dessen Berichte bei der 1295 erfolgten Heim-
kehr auf unverdienten Unglauben stiessen. Erst unter der Ming-
dynastie suchten andere Europäer dem Beispiele des Wundermannes,
der von seinem Umsichwerfen mit grossen Zahlen oder von seinen
Reichthümern den Beinamen Messer Millione erhalten hatte, zu folgen
und in das schwer zugängliche Reich einzudringen.

Dem Jesuitenmissionar Matthias Ricci gelang es 1583 zuerst
Zugang zu finden und in seinem Unternehmen, das Christenthum zu
predigen, nennenswerthe Erfolge zu erreichen. Er machte sich zu-
gleich auch als tüchtiger Astronom am Kaiserhofe geltend, so dass
ihm, bis er 1620 China wieder verliess, die Leitung des Kalender-
wesens übertragen wurde, eine früher in China erbliche Würde, und
von nun an blieb China ein der katholischen Mission geöfihetes Land,
so dass dieselbe mehr und mehr erstarkte, so dass Missionsprediger
Kenntnisse genug von Land und Leuten, von Sprache und Schrift
sich erwarben, um in umfangreichen Werken davon handeln zu können,
um auch ihrerseits den Chinesen europäische Wissenschaft mitzu-
theilen. Wissen wir doch, dass Julius Aleni, der von 1613 bis
zu seinem 1649 eintretenden Tode in China verweilte, in der Landes-
sprache einen Auszug aus den Elementen des Euklid und eine prak-
tische Geometrie verfasste"). Jean Fran9ois Gerbillon löste ihn
ab 1686 — 1707, in welchem Jahre er in Peking starb. Er verfasste
eine Geometrie nach Euklid und Archimed in chinesischer und in
tartarischer Sprache"^). Das änderte sich auch nicht als die Maudschu,
erst mit den Chinesen in Krieg verwickelt und zurückgeschlagen,
von einer der in C'hina nicht seltenen Gegenregierungen, die in China
gegen den Kaiser sich erhob, zu Hilfe gerufen wurden, und ein
Maudschu Schun tchi nach mehrjährigen Kämpfen 1647 die noch
jetzt vorhandene Dynastie der Tsiug gründete. Unter dieser Dynastie,
insbesondere unter Kaiser Kang hi, wurde vielmehr das Verhältniss
zwischen dem Kaiserhofe und den Missionären ein immer engeres.
Schon unter Kang hi's Vorgänger war Adam Schaal aus Köln,
gleich Ricci, Aleni und Gerbillon Mitglied des Jesuitenordens, gleich
ihnen Astronom und Missionär, in China ansässig geworden. Nun
folgte ein fünfter Jesuit, der Holländer Ferdinand Verb lest, den

') B retschnei der, On the hnowledge possessed by the Chinese of the Arabs
and Arabian Colonies. London, 1871, und A, v. Kremer, Culturgeschichte des
Orients II, 280. Wien, 1877. -) Cartegcjio inedito di Ticonc Bralie, Giovanni
Keplero etc. con Giovanni Antonio Magini puhhlicato cd ilhistrato da Antonio
Favaro. Bologna, 1886. pag. 108 Note 4. ^) Poggendorff, Biographisch-
literarisches Handwörterbuch zur Geschichte der exacten Wissenschaften I, 877.

Cantor, Geschichte der Mathematik I. 2. ÄuÜ. 40

626 31. Kapitel.

Kaiiff hi zum Präsidenten des Collegiums für Astronomie ernannte,
derselbe Kang hi, der in mannigfachster Weise seine Liebe für Wissen-
schaft bethätigte und z. B. ein Wörterbuch der damals vorhandenen
Schriftzeichen anfertigen Hess, welches in 32 Bänden 42 000 Zeichen
enthält'). Es folgten im XVIII. S. Männer wie Pater Premare,
Pater Gaubil, deren Werke für die Kenntniss Chinas unentbehrlich
geworden sind, wenn ihnen auch anhaftet, was wir zu Anfang dieses
Kapitels angedeutet haben, dass sie den Erzählungen chinesischer
Berichterstatter und chinesischer Bücher ein allzubereites Ohr zu
leihen liebten. Am Anfange des XIX. S. erfolgte ein Umschlag, als
1805 die katholische Mission eine Landkarte einer chinesischen Pro-
vinz nach Rom zu schicken wagte. Das alte Misstrauen, die alte
Feindschaft gegen die Fremden erwachte, welche kaum durch die
englischen und französischen Waffen zu Ende der fünfziger Jahre
gebändigt, sicherlich nicht vernichtet worden ist.

Der Ueberblick, welchen wir, selbstverständlich auf Quellenwerke
zweiter Hand allein uns stützend, hier gegeben haben, soll uns mehr-
fache Zwecke erfüllen. Er soll uns gestatten im Verlaufe dieses
Kapitels der Dynastien als Zeitbestimmungen uns zu bedienen. Er
soll zweitens in ein helles Licht setzen, dass die Kultur des Reiches,
mit welchem wir uns zu beschäftigen haben, doch nicht so sehr
gegen auswärtige Einflüsse abgeschlossen war, als man in gebildeten
Kreisen Europas zu wähnen pflegt, dass vielmehr in dem Zeitraum,
welcher mit dem VL vorchristlichen Jahrhundert beginnt, der Reihe
nach jüdisch-babylonische, dann indische, dann arabische, dann euro-
päische Wissenschaft die Gelegenheit hatte in China einzudringen,
eine Gelegenheit, welche kaum jemals unbenutzt verlaufen sein mag.
Er soll drittens uns bemerklich machen, dass den chinesischen Zeit-
angaben für schriftstellerische Ueberreste nicht immer Glaube beizu-
messen ist, dass es häufig absichtliche Rückverlegungen sind, von
Chinesen selbst wenigstens im Eifer gelehrter Streitigkeiten als solche
verunglimpft und ihres Ansehens für unwürdig erklärt.

Steht es doch um die Glaubwürdigkeit chinesischer Berichte
überhaupt nicht sonderlich, und ohne auf Gründe psychologischer
Art uns einzulassen, die man weder behaupten noch verwerfen sollte,
ohne sich auf eigne Kenntniss des betreffenden Volkscharakters
stützen zu können, wollen wir nur ein Moment hervorheben: das ist
die buddhistische Neigung zur Anwendung grosser Zahlen, welche
in China ihren Gipfelpunkt erreichte und in dem Namen Sand des

') Stanisl. Julien in dem Journal Äsiatique vom Mai 1841. 3ieme serie
XI, 402.

Die Mathematik der Chiuesen. 627

Ganges, heiig ho cha, welcher dem 10''^ beigelegt wurde^), ihren
Ursprimg deutlich an den Tag legt.

Man könnte ferner aus dem Umfange vorhandener chinesischer
Encyklopädien den Rückschluss ziehen, dass viel Unwahres in den-
selben mit in Kauf genommen werden muss. Wemi uns gesagt wird,
dass eine solche Encyklopädie, welche den Namen Yim lo tä tien
führt, aus beinahe 15 000 Bänden bestehe^), so kann uns das schon
ein Kopfschütteln entlocken. Wenn nun aber gar eine neue Ency-
klopädie, zu deren Herstellung Kaiser Kien long den Befehl gab, auf
160000 Bände veranschlagt worden ist, von welchen über 100 000
bereits vollendet seien ■^), so ruft diese Mittheilung in uns persönlich
keineswegs das Gefühl demüthiger Bewunderung hervor, welches den
Berichterstatter offenbar durchdringt. Wir kommen vielmehr selbst
unter Beschränkung der Stärke der Bände auf das Geringfügigste
und unter Ausdehnung der durch Blumenreichthum der Sprache trotz
der ungemein raumsparenden Wortschrift erzielten Raumverschwen-
dung auf das Unerträglichste nur zu dem einen Gedanken: Wie viel
muss in einer solchen Encyklopädie unwahr sein, da für ein Volk,
welches seinen Stolz darein setzt um das Ausland sich nicht zu
kümmern, so viel Wahres gar nicht vorhanden sein kann.

Wir werden freilich, trotz dieser Bekenntniss unserer ungläubigen
Voreingenommenheit, getreulich wieder berichten, was aus ver-
schiedenen chinesischen Werken für die Geschichte der Mathematik
bei jenem Volke ermittelt worden ist, überall so weit als möglich
der Zeitangabe folgend, welche die Chinesen selbst liefern, aber wir
verargen es keinem unserer Leser, wenn ihn die erheblichsten Zweifel
an unsere Gewährsmänner erfüllen sollten. Man wird es um so be-
greiflicher finden, dass wir europäischer Uebertreibungen, die chine-
sischer als die Chinesen selbst der Sternkunde jenes Volkes ein
Alter von 18 500 Jahren beilegen wollen, nur mit diesem einen
Worte gedenken*).

Einem Minister des Kaisers Huang ti, welcher 2637 v. Chr. re-
gierte, wurde, wie wir (S. 622) gesehen haben, nach einem Berichte
die Erfindung der Schrift beigelegt. Ein anderer Minister desselben
Kaisers, Cheöu ly, wird als Erfinder des Rechenbrettes, swän pdn,

') Ed. Biot, Table generale d'un ouirage chinois intituU Souan-fatong-tsori
ou Colleetion des rcgles du ealcul im Journal Äsiatique vom März 1839 Sieme
Serie, VII, 195. ^) Perny I, 10. '') Ebemla II, 7. *) G. Schlegel, Urano-
graphie chinoise. Wir selbst kennen das Werk nur aus den dessen Tendenz
ablehnenden Recensionen von Jos. Bertrand {Journal des Savans 1875) und
von S. Günther (Vierteljahrsschrift der Astronomischen Gesellschaft, XII. Jahr-
gang, Heft 1).

40*

628 31. Kapitel.

genannt^), und unter ebendemselben soll das erste aritlimetisclie
Werk, die neun arithmetischen Abschnitte, Kicou tschang, ver-
fasst worden sein'-), welches in fast allen nachfolgenden arithme-
tischen Werken als die erste Grundlage der Wissenschaft des
Rechnens genannt wird, und welches schon Tcheou kong, von
welchem noch nachher die Rede sein wird, um 1100 v. Chr. im
Auge gehabt haben soll bei einer Vorschrift^): die Söhne der Fürsten
und des hohen Adels in den sechs Künsten zu unterweisen, nämlich
in den fünf Klassen gottesdienstlicher Gebräuche, in den sechs ver-
schiedenen Arten der Musik, in den fünf Regeln für Bogenschützen,
in den fünf Vorschriften für Wagenlenker, in den sechs Anweisungen
zum Schreiben und endlich den neun Methoden mit Zahlen zu rechnen.
Wieder Huäng ti ist es, dem die Einführung eines (jOjährigen Cyklus
nachgerühmt wird^).

Zum besseren Verständniss dieser Berichte müssen wir Einiges
hier einschalten. Die Chinesen theilen ihre Zeit nach den Grund-
zahlen 12 und 10 ein. Zwölf Stunden bilden ihnen den Tag, und
der Zehn bedienen sie sich zur höheren Zeiteintheilung''), nachdem
eine in den heiligen Schriften vorkommende siebentägige Zeitgruppe
wieder verloren gegangen ist^). Aus den beiden Grundzahlen 12
und 10 vereinigt soll nun die Zahl 60 jener Jahrescyklen entstanden
sein. Jedes der 60 Jahre hat seinen besonderen Namen, das erste
kiä, das zweite tse u. s. w., weshalb der ganze Cyklus kia tse ge-
nannt wird. Die auf einander folgenden Namen dieser Jahre weiss
jeder Chinese auswendig, und er sägt daher über sein Alter befragt
ohne weiteres: ich bin in dem so und so genannten Jahre des gegen-
wärtigen oder des vergangenen, des vorvergangenen Cyklus geboren.
Eine anderweitige Anwendung dieser Namen bietet die Geometrie,
indem die einzelnen Punkte einer Figur durch sie unterschieden
werden, in derselben Weise wie Griechen imd Römer es durch die
Buchstaben ihres Alphabetes zu erreichen wussten.

Wir haben ferner vom Rechenbrette swan pän gesprochen^).
Von demselben handelt der swan fä töng tsöng in 6 Bänden von je
2 Büchern. Der Swan pän besteht aus in einen Rahmen einge-
spannten Drähten, welche insgesammt durch einen Querdraht in zwei
Abtheilungen zerfallen, deren kleinere 2, deren grössere 5 Kugeln
trägt, also abgesehen von einer sehr überflüssigen Kugel in jeder

') Perny I, 108. «) Biernatzki 1. c. S. 62. ^) Ebenda S. 67. *) Ebenda
S. 62. ^) Perny I, 104. ^) Ebenda I, 107. ') Abbildungen desselben bei
Dubalde, Ausluhrliche Beschreibung des chinesischen Reiches und der grossen
Tartarei, übersetzt von Mosheiui. Rostock, 1747, Bd. III, S. 350, und bei
Perny I, 108.

Die Mathematik der Chinesen. 629

eiiizehien Abtheiluiig genau in der Weise hergerichtet sincl^ wie wir
den Abaeus der Römer (S. 493) bescliriebeu haben. Die meisten
Swän päns besitzen 10 Drähte. Es soll auch solche von 15 und
mehr Drähten geben. Einem Zeichnungsfehler dürfen wir es viel-
leicht zuschreiben, wenn eine Abbildung nur 9 Drähte aufweist^),
während wir allerdings selbst der Ausnahmsbildung eines echt chine-
sischen Swän pän mit 11 Drähten begegnet sind^). Wie ausnahms-
los die Chinesen sich ihres Swän pän bedienten, ist schon daraus zu
entnehmen, dass in den Lehrbüchern der eigentlichen Rechenkunst
über Addition und Subtraktion gar keine Vorschriften gegeben sind''),
doch wohl nur, weil man diese Rechnungsarten mit der Hand und
nicht im Kopfe auszuführen gewohnt war. Für das Multipliziren
imd Dividiren sind dagegen Regeln vorhanden. Ersteres beginnt bei
der Vervielfachung der grössten Zahlentheile, letztere wird durch
wiederholte Subtraktion ausgeführt.

Da auch unter Huäng ti die Anwendung der Schrift auf arith-
metische Dinge uns erwähnt wird, so müssen wir hier von der
Zahlenschreibung bei den Chinesen reden. Wir dürfen dabei
wohl zweierlei als bekannt voraussetzen: erstens dass die chinesische
Sprache der Beugungsformeu durchaus entbehrt, so dass alle syn-
taktischen Beziehungen der Wörter eines Satzes zu einander nur
durch die gegenseitige Stellung sowie durch eigens dazu vorhandene
Partikeln ausgedrückt werden müssen, zweitens dass die Schrift der
Chinesen keine Lautschrift oder Silbenschrift, sondern eine ursprüng-
lich bildliche ßegriffsschrift ist, deren Zeichen cursiv geworden und
ihrer ursprünglichen Gestalt entfremdet nunmehr aus 214 Schlüsseln^)
durch das reichhaltigste Verbindungsverfahren hergestellt werden
können. So wuchs die Anzahl chinesischer Zeichen bis auf die
42 000 des Wörterbuches Kaisers Kang hi, während freilich die vier
sogenannten klassischen Bücher der Chinesen nicht mehr als die
Keuntniss von 2400 Zeichen von ihrem Leser verlangen^). Das sind
immer noch viel mehr als eigentliche chinesische Stammwörter vor-
handen sind, deren mau neuerdings 304 zählt, welche sich durch
verschiedenartige Betonung auf 1289 erheben*'), aber naturgemäss
weitaus nicht hinreichen jedem Begriffe ein eigenes Wort zuzuwenden,
so dass 20, ja 30 chinesische Schriftzeichen durch dasselbe Wort
ausgesprochen werden, beziehungsweise dass man dasselbe Wort,

^) Perny I, 109 und 110. ") Das lldräthige Exemplar gehört der ethno-
graphischen Sammlung des Missionshauses in Basel an. ^) Biernatzki S. 72.
*) Perny H, 103. *) Stanisl. Julien im Journal Asiatique vom Mai 1841,
pag. 402. ^) Perny I, 34— y 6.

530 ^1- Kapitel.

weil es 20 bis 30 Bedeutungen besitzt, bald so bald so zu schreiben
übereingekommen ist.

Diese Armutb der Sprache nöthigte nun bei den Zahlwörtern
Verbindungen weniger Elemente eintreten zu lassen, imd die Elemente
wurden nicht anders als wie bei den übrigen Völkern gew'ählt, denen
wir bisher unsere Aufmerksamkeit zuwandten: das Zehnersystem der
Zahlbildung ist auf das Folgerichtigste festgehalten. Der Mangel an
jeglicher Beugung Hess ja nicht einmal Wortverschmelzungen wie
z. B. unser dreissig zu; die Wortelemeute drei und zehn mussten
unverändert sich zusammensetzen. Eben dieselben Wortelemente
mussten zu der Bildung des Zahlwortes dreizehn ausreichen, und so
ergab sich für die Chinesen als sprachnothwendig, was überall sonst
mehr oder weniger Willkür war: man musste je nachdem der Name
einer kleineren Zahl dem einer grösseren voranging oder folgte bald
multiplikativ bald additiv verfahren, und vermöge des Gesetzes der
Grössenfolge, welches dem des Zehnersystems im Allgemeinen noch
vorgeht, ergab sich die Regel von selbst aus säu = 3 und che = 10
additiv che sän ==10-|-3=^13, multiplikativ sän che == 3 X 10 = 30
zu bilden. Die Schrift hat nun bei den Chinesen dieselbe Methode
festgehalten. Sie unterscheidet sich freilich von der dem Europäer
geläufigen Reihenfolge insofern als der Chinese seine Wörter von
oben nach unten zu Zeilen, die Zeilen von rechts nach links zu Seiten
vereinigt^), aber diese Anordnung als bekannt vorausgesetzt schreiben
sich die Zahlwörter in der That so, wie es eben angedeutet wurde
(die Zahlzeichen und Beispiele vergleiche auf der am Schlüsse des
Bandes beigefügten Tafel). Es gibt allerdings Wörter und Zeichen,
welche noch weit über 10000, ja über das multiplikativ herstellbare
10 000 mal 10000 sich erheben — wir haben vorher in 10'"^ ein
überzeugendes Beispiel davon kennen gelernt — aber eben jenes Bei-
spiel mit seinem Ursprungszeugnisse an der Stirne lässt vermuthen,
was berichtet wird, dass die altchinesische Gewohnheit nicht über
10 000 als höchste einfache Rangordnung sich erhob. Eine Bestäti-
gung liefert die früher von uns (S. 80) erwähnte Unterscheidung des
Heilrufes, der einem Grossen des Reiches noch 1000, dem Kaiser
noch 10 000 Jahre wünscht.

Ausser den Zahlzeichen, von deren Benutzung wir bisher ge-
sprochen haben, und welche die altchinesischen heissen mögen,
gibt es merkwürdigerweise noch mehrere andere Schreibarten. Wir
meinen nicht eine officielle verschnörkelte Form, welche zur Ver-
hinderung von Fälschungen in öffentlichen Aktenstücken mit Vorliebe

') Abel Kcmusat, EUmens de la grammaire chinüisc (Piiris, 18ü2) pag. 523.

Die Mathematik der Chinesen. 631

angewandt wird, noch eine cursive flüchtigere Form, in welcher die
Gestaltung der einzelnen Zeichen sich mehr und mehr verwischt
hat; diese Zeichen sind beide nur als das aufzufassen, als was wir
sie benannten, als Formverschiedenheiten. Wir meinen dagegen
Zahlenanschreibungen, welche einem ganz anderen Grundgedanken
folgen, und zwar unter Benutzung von selbst zweierlei Zeichen,
welche wir Kaufmannsziffern und wissenschaftliche Ziffern
nennen wollen, und deren Form gleichfalls auf der Tafel am Schlüsse
des Bandes zu vergleichen ist. Die Kaufmannsziffern wie die wissen-
schaftlichen Ziffern werden horizontal neben einander geschrieben in
derselben Richtung wie die indischen Ziffern, also so dass die höchste
Ordnung am weitesten links erscheint. Die Kaufmannsziffern an
Form den altchinesischen nahe verwandt sollen nie gedruckt er-
scheinen^), sondern nur im täglichen Gebrauche des Lebens ihre An-
wendung finden. Die miiltiplikative Ziffer, welche also angibt, wie
viele Zehner, wie viele Hunderter u. s. w. gemeint sind, tritt nur
äusserst selten links von dem Zeichen der betreffenden Einheit auf,
dann nämlich wenn keine Einheiten von anderer Ordnung vorkommen,
also z. B. wenn 3000 oder 400 geschrieben werden soll. Sonst
werden die Rangziffern und Werthziffern in zwei Zeilen über ein-
ander geschrieben, jene in der unteren, diese in der oberen Zeile,
bis auf die Einer, welche wegen nicht vorhandenen Rangzeichens in
die untere Zeile hinabrücken. Eine zweite und noch wichtigere
Eigenthümlichkeit dieser Kaufmannsziffern besteht in dem Zeichen
der Null, für welche ein kleiner Kreis in Anwendung tritt um anzu-
deuten, dass Einheiten einer gewissen Ordnung, welche aber selbst
nicht weiter angedeutet wird, sondern aus den Nachbarzifferu ein-
leuchtet, nicht vorhanden sind.

Gewichtige Gründe sprechen dafür, dass hier erst spät von aus-
wärts Eingeführtes, nicht ursprünglich Vorhandenes vorliegt. Das
geht eben aus dem gegenseitigen Verhältnisse von Sprache und Schrift
bei den Chinesen hervor. Die Schrift konnte verschiedene Zeichen
für gleichlautende Wörter besitzen um den verschiedenen Sinn der-
selben zu erkennen zu geben, aber sie fügte kein durch die Nachbar-
werthe überflüssiges Null hinzu.

Noch weniger kann in China eine vollständige Stellungsarith-
metik erfunden worden sein. Wenn die Zahl 36 z. B. chinesisch
durch die drei Wörter drei-zehn-sechs ausgesprochen wurde, so konnte
der Chinese von sich aus unmöglich auf den Gedanken kommen, beim

') Ed. Biot, Sur la connaissance que les Chinois ont eu de la valeur de
Position des chiffns im Journal Asiatiquc vom December 1839, pag. 497 — 502.

632 ^1- Kapitel.

Schreiben das Wort zehn aus der Mitte heraus fortzulassen, welches
er noch immer lesen sollte. Er konnte nicht auf diesen Gedanken
kommen, weil bei ihm nicht, wie bei anderen Völkern, das Au-
schreiben der Zahlen ohnedies ein aus dem Rahmen der gewöhn-
lichen Lautschrift heraustretendes war, weil alle Schrift vielmehr,
wie wir schon sagten, für ihn Begriffschrift war, mochten es Wörter
einer oder einer anderen Bedeutung sein, die aufgezeichnet werden
sollten.

Nichts desto weniger hat, wie die Zeichen, welche wir wissen-
schaftliche Ziffern nennen, beweisen, die Stellungsarithmetik mit
einem eigenen System von Zeichen, welches viel durchsichtiger ist
als die bisher besprochenen, in China Eingang gefunden. Man be-
zeichnet nämlich die Eins durch einen senkrechten oder wagrechten,
die Fünf entsprechend durch einen wagrechten oder senkrechten
Strich und verbindet diese beiden Elemente zur Bezeichnung von
6 bis 9, während 1 bis 5 durch Wiederholung der Eins, Null durch
einen kleinen Kreis geschrieben werden. Wenn wir zum voraus schon
diese Bezeichnungsweise als eine jedenfalls spät eingeführte schildern
durften, so entspricht dem die Thatsache, dass dieselbe nicht früher
als in einem Werke des Jahres 1240 etwa erscheint^), in dem Su
schu kieou tschang (neun Abschnitte der Zahlenkunst) des Tsin kiu
tschau, der unter der Dynastie Sung gegen Ausgang derselben lebte.
Andere Beispiele gehören gar der Zeit der Mongolen (1275 — 1368)
erst an^), so dass wir von den neun Abschnitten der Rechenkunst
unter der Sungdynastie bis zu dem Werke gleichen Namens des
Huäng ti den weiten Weg von fast 4000 Jahren zurückverfolgen
müssen, um uns wieder an der Stelle zu befinden, von welcher aus
wir diese Abschweifung begamien.

Und selbst jener Ausgangspunkt war ein zu später, denn noch
vor Erfindung des Rechenbrettes, vor Verfassung des ersten arith-
metischen Lehrbuches muss ja ein Rechnen, muss der Begriff der
Zahlen festgestanden haben. Die chinesische Ueberlieferung lässt
uns auch für jene allerältesteu Zeiten nicht im Stich. Mit Knötchen
versehene Schnüre in Verschlingungen gezeichnet bilden die beiden
Tafeln hö tu und lo schu''). Auf der ersteren (Figur 92) sind durch
die je einer Schnur angehörigen Knoten die Zahlen 1 bis 10, auf der
zweiten (Figur 93) die 1 bis 9 dargestellt. Weiss sind die ungraden
Zahlen gezeichnet, denn das Ungrade ist das Vollkommene wie der
Tag, die Hitze, die Sonne, das Feuer. Die graden Zahlen dagegen

*) Biernatzki S. 72 und 69. ^) Ed. Biot im Journul Asiatique für
December 1839. ^) Perny II, .5—7.

Die Mathematik der Chinesen.

633

sind scliwarz, denn das Grade ist das Unvollkommene, wie die Nacht,
die Kälte, das Wasser, die Erde. Mau hat neuester Zeit darauf auf-
merksam gemacht'), dass die Anordnung der Zahlen 1 bis 9 auf

'Fia. 92.

Fig. 93.

Fig. 93 das magische Quadrat ebenderselben Zahlen darstelle. Diese
Tafeln sollen nun — wie? ist uns wenigstens ganz unersichtlich —
in der Urzeit Chinas dazu gedient haben in der Verwaltung der
öffentlichen Angelegenheiten benutzt zu werden, und Kaiser Fü hi
um 2852 soll sie erst durch seine 8 aufgehängten Zeichen pä kua
ersetzt haben, gewöhnlich kurzweg die Kuas genannt. Sie bestehen
aus bald ganzen, bald gebrochenen Linien, jene das Vollkommene,
diese das Unvollkommene bezeichnend, in dieser Bezeichnung also
mit dem ho tu und lö schu übereinstimmend, wie auch darin mit
ihnen übereinstimmend, dass wir uns unter Zuhilfenahme der vor-
handenen Berichte auch nicht die geringste Anschauung von der
Anwendungsart der Kuas zu bilden vermögen^). Nur schwach ver-
muthend möchten wir darauf hinweisen, dass der Swän pän aus den
Knotenschnüren vielleicht seine Entstehung o-enommen oder zu der
einen Ursprung suchenden Rückerfindung jener Urbilder geführt
haben kann, dass ferner in den gezeichneten Tafeln ho tu und lö
schu wie in den kuä eine Art von Zahlensymbolik auftritt, welche
uns daran erinnert, dass wir schon früher (S. 95) auf Ueberein-
stimmungen zahlenträumerischer Gedankenverbindungen zwischen chi-

^) Dr. Gram hat dieses bemerkt. Vergl. Zeuthen, Forelacsning over
mathematikens Historie. Oldtid og Middeldlder. Kopenhagen, 1893. S. 274.
°) Ueber die Kuas vergl. Le Chou hing un des livres sacres chinois traduit par
le P. Gaubil revu et corrige par M. de Guignes. Paris, 1770, an sehr ver-
schiedenen Stellen, die im Register s. v. koua zu entnehmen sind. Dass man
in den Kuas einmal ein chinesisches Binärsystem erkannt haben wollte, führen
wir beiläufig an. Vergl. Math. Beitr. Kulturl. S. 48 49.

634 31- Kapitel.

nesisclien und pythagoräischen Lehren aufmerksam machen mussten,
welche wohl einen geistigen wie örtlichen Mittelpunkt ihres Daseins
in Babylon besassen.

Wir gehen weiter zum Tcheou ly über, jenem Gesetzbuche,
welches auf Oü wang oder dessen nächste Nachfolger zwischen 1122
und 1109 zurückgeführt wird. In ihm sind alle jene zahlreichen
Würdenträger des chinesischen Hofstaates mit ihren Obliegenheiten
genannt, welche sicherlich in späterer Zeit vorhanden waren, wenn
auch vielleicht nicht in früher, da, wie wir uns erinnern, der Tcheou
ly von Chinesen selbst als eine Fälschung aus den letzten oO Jahren
V. Chr. angesehen worden ist. Unter diesen Würdenträgern er-
scheinen mehrere^), welche in der Geschichte der Mathematik Er-
wähnung finden müssen. Da sind erbliche Würden eines Hofastro-
nomen, fong siang schi, und Hofastrologen, pao tschang schi. Da
ist ein Obermesser, liang jin, betraut mit der Tracirung der Mauern
der Paläste wie der Städte. Da ist ein eigener Beamter des Mess-
apparates, tu fang schi, der mit dem tu kue'i genannten Instrumente,
das ist mit einem Schattenzeiger, den Schatten der Sonne und der-
gleichen bestimmen muss. Die bedeutsamste Stelle, welche wir des-
halb der französischen Uebersetzuug entnehmen, lautet: „Wird eine
Hauptstadt angelegt, so ebnen die Erbauer, tsiang jin, den Boden
nach dem Wasser, indem sie sich des hängenden Seils bedienen. Sie
stellen den Pfosten mit dem hängenden Seile auf. Sie beobachten
mit Hilfe des Schattens. Sie machen einen Kreis und beobachten
den Schatten der aufgehenden Sonne und den Schatten der unter-
gehenden Sonne." Das hängende Seil aber wird uns dahin erläutert,
es befänden sich 8 Seilstücke am oberen Theile des Pfahles befestigt,
4 längs der Kanten, 4 in der Mitte der Seitenflächen, und wenn diese
8 Seilstücke sämmtlich dicht am Pfahle herunterhängen, so sei seine
senkrechte Aufstellung gewährleistet.

Für jeden Leser dieses Bandes muss hier mancherlei auffallen:
die Nivellirung nach der Wasserfläche, die Bestätigung des Senk-
rechtstehens eines Pfahles durch hängende Seilstücke, die Benutzung
eines Schattenzeigers, die Beobachtung des Schattens der auf- und
der untergehenden Sonne zur Orientirung nach den Himmelsgegenden,
das sind alles Dinge, die uns in Alexandria oder aus Alexandria
stammend in Rom begegnet sind, die mindestens im Jahre 100 v. Chr.
im Westen bekannt waren und uns nun im fernsten Osten zu Gesicht

1) Tcheou ly Buch XXVI, Nr. 15 und 18; Buch XXX, Nr. 6 — 10;
Buch XXXIII, Nr. üü; Buch XLIIl, Nr. 19 llgg. Letztere Stelle T. II, pag. 553
der Ucbersetzuns:

Die Mathematik der Chinesen. 635

kommen. Es dürfte kaum einen anderen Ausweg geben, als ent-
weder mit den heissspornigsten Sinologen anzunehmen, die ganze
Mathematik und Astronomie sei altchinesische Erfindung und sei von
dort zu den Völkern des Westens gelangt, oder aber mit den
Zweiflern unter den Chinesen selbst die Entstehung des Tcheou ly
in eine Zeit kurz vor Christi Geburt herabzulegen und zu schliessen,
es müsse damals schon aus Alexandria über Indien, wo wir auch ein
sehr einfaches Wassernivellement hätten nachweisen können^), oder
wieder aus Babylon, dessen mathematische Vergangenheit uns von
Abschnitt zu Abschnitt merkwürdiger und erforschungsbedürftiger
wird, dergleichen nach China gedrungen sein. Diese Zwangswahl
wird unseren Lesern noch mehr als einmal im Laufe dieses Kapitels
sich aufdrängen, auch wenn wir nicht darauf aufmerksam machen,
hat sich ihnen vielleicht schon geboten, als wir vom GO jährigen
Cyklus des Huäng ti sprachen. Wir haben in der letztangeführten
Stelle des Tcheöu ly: „Sie machen einen Kreis und beobachten den
Schatten der aufgehenden Sonne und den Schatten der untergehenden
Sonne" das uns wohlbekannte Orientirungsverfahren erkannt. Dass
wir in dem vielleicht auch anderer Deutung fähigen Wortlaut nicht
mehr hinein als heraus lesen, beweist eine Stelle eines mathematischen
Werkes, mit welchem wir uns jetzt beschäftigen müssen.

„Wenn die Sonne zu erscheinen beginnt, errichte eine Beob-
achtungsstange und beobachte den Schatten. Beobachte den Schatten
aufs Neue, wenn die Sonne untergeht. Die beiden Hauptschatten-
punkte, welche sich entsprechen, bezeichnen Ost und West. Theile
deren Entfernung hälftig und ziehe eine Linie nach der Beobachtuugs-
stange hin, so wirst Du Süd und Nord bestimmt haben." So un-
zweideutig spricht sich der Tcheou pei aus'-^).

Der Tcheou pei oder tcheou pei swan king, d. h. heiliges Buch
(king) der Rechnung (swan), welches genannt ist Beobachtungsstange
(pei) im Kreise (tcheou), besteht aus zwei Theilen, welche sich scharf
unterscheiden lassen. Im ersten wie im zweiten Theile wird zwischen
zwei Männern, von denen der eine den Lehrer, der andere den Schüler
darstellt, ein wissenschaftliches Gespräch geführt, welches auf den
Schattenzeiger sich bezieht. Aber die beiden Redner wechseln. Im
ersten Theile sind es Tcheou kong und der Gelehrte Schang kao,
und sie beziehen sich auf die Kenntnisse, welche Kaiser Fü hi und

*) L. Rodet, Legons de calcul d'Aryahhata pag. 27 — 28. -; Ed. Biot,
TraducHon et cxamen d'un ancien oiivrage chinois intitule Tcheou pei, litterale-
iiient: Style ou sigiial dans une circonference im Journal Äsiatique vom Juni 1841,
pag. 593 — 639. Die hier angeführte Stelle der künftig als Tcheou pei zu
citiienden Uebersetzung auf pag. 624.

636 31- Kapitel.

der nicht mmder sagenberühmte Kaiser Yu besessen haben. Im
zweiten Tbeile wird ein Yung fang von einem Tcbin tsoe unter-
richtet. Die Redner des I. Theils sind Persönlichkeiten aus dem
Anfange der Tcheou-Dynastie, welche um 1100 v. Chr. gelebt haben
sollen. Die Redner des II. Theils kennt man nicht, doch ist hier
ein Citat aus lu schi tschun tsieou des Lu pu oei vorhanden*),
welcher letztere bekannt ist als Minister des Kaisers Tsin sehe huäng
t}' des Bücherverbrenners, also um 213 v. Chr. lebte. Drei ältere
Commentatoren werden für beide Theile genannt, deren ältester Tchao
kun hiang von den Einen in die Dynastie der östlichen Han etwa
auf 200 n. Chr., von den Anderen erst in die Dynastie der Tsin im
IV. S. gesetzt wird. Was man von den Commentatoren und von
dem auf die Tcheöu- Dynastie zurückgeführten Alter des I. Theiles
weiss — von dem II. Theile wird ohne genau bestimmte Zeitangabe
nur gesagt, er sei jünger als der I. — ^ stammt aus einer Vorrede,
welche 1213 n. Chr. unter der Dynastie Sung verfasst worden ist.
In einem anderen Werke wird ferner noch berichtet'^), der Tcheöu
pei sei unter der Dynastie Thang, dann wieder unter der Dynastie
Smig „einer Durchsicht" unterworfen worden. Was man aber unter
Durchsicht zu verstehen habe, geht daraus hervor, dass zugestanden
wird, man habe bei der letzten 120 Zeichen, mithin Wörter, ver-
ändert und 60 weggelassen.

Fassen wir diese Angaben zusammen, so steht freilich die heutige
Gestalt des Werkes nur in einem Alter von noch nicht sieben Jahr-
hunderten fest. Nimmt man an, es seien damals und früher vxnter
den Thang wirklich nur unwesentliche Verbesserungen getroffen
worden und die Commentatoren seien richtig datirt, so kommt man
auf die Zeit zwischen 213 v. Chr. und etwa 300 n. Chr., innerhalb
welcher der II. Theil entstanden sein müsste, ohne dass irgend eine
Nöthigung vorläge, sich der früheren Grenze mehr zu nähern als der
späteren. Man könnte also z. B. eine Gleichzeitigkeit des IL Theils
mit jenem Lieou hin annehmen, welcher den Tcheöu ly gefälscht haben
soll. Was endlich den I. Theil betrifft, so müssen wir es unseren
Lesern überlassen, ob sie der Ueberlieferung, welche ihn von Tcheöu
kong selbst herrühren lässt, Glauben schenken Avolleu. Uns scheint
ein Beweis, gestützt darauf, dass Tcheöu koug redend eingeführt ist,
gestützt ferner auf eine Vorrede, die mehr als zwei Jahrtausende
nach Tcheöu kong geschrieben ist, nicht unumstösslich festzustehen,
und mau gestattet uns vielleicht trotz unserer vollständigen Unbe-
kanntschaft mit der chinesischen Sprache den Hinweis, dass bei der

') Tcheöu pei pag. 616. -) Ebenda pag. 597.

Die Mathematik der Chinesen. 637

eigenthümliclien DoppelbedeutuDg von tcheou als Kreis und als Name
einer Dynastie es nicht so gar weit entfernt lag, ein Werk von der
Beobaebtungsstauge im Kreise dem Tcheöu zuzuschreiben. Dann
freilich rückt auch das Datum des I. Theiles so weit herab, dass er
nur vor der Lebenszeit des ersten Commentators entstanden sein
niuss, möglicherweise auch nicht weit von der Zeit um Christi
Geburt entstand.

Der I. Theil ist kurz genug, um die wichtigsten Lehren des
Schang kao in Uebersetzung hier anzufügen. Schaug kao spricht:

„Die Wissenschaft der Zahlen stammt vom Kreise und vom
rechtwinkligen Vierecke.

Der Kreis stammt von dem rechtwinkligen Viereck, und das
rechtwinklige Viereck stammt vom Kreise.

Der kuu d. h. das Winkelliueal stammt von 1) mal 9, welches
81 gibt.

Theile den kuu.

Mache die Breite keou d. h. den gekrümmten Haken gleich 3.

Mache die Länge kou d. h. die Hälfte gleich 4.

Der kiug yu, d. h. der Weg der die Winkel vereinigt, die Dia-
gonale, ist 5.

Nimm die Hälfte des rechtwinkligen Vierecks aussen herum, es
wird ein kuu sein.

Vereinige sie und behandle sie gemeinschaftlich mit dem Rechen-
brette, so wirst Du genau 3, 4, 5 erhalten.

Die zwei kuu bilden zusammen die Grösse 25. Das ist was mau
die Vereinigung der kuu nennt.

Die Wissenschaft, deren Yu sich einst bediente, um was unter
dem Himmel sich befindet zu regeln, beruht auf diesen Zahlen,"

Hier folgen im Originale drei Figuren, welche in der Ueber-
setzung, deren wir uns bedienen, nicht abgebildet, sondern nur be-
schrieben sind ^). Sie sollen die Theorie des rechtwinkligen Dreiecks
klar machen. Die erste Figur heisst „Figur des Seiles" und wird
folgendermassen geschildert. In einem in 49 Theile getheilten grossen
Quadrate befindet sich eingezeichnet ein aus 25 Theilen bestehendes
zweites Quadrat. Dieses zweite Quadrat ist selbst in vier recht-
winklige Dreiecke und ein inneres Quadrat zerlegt. Man kann nicht
sagen, dass die Klarheit dieser Schilderung nichts zu wünschen übrig
lasse. Wir entnehmen ihr, die Figur des Seiles habe so ausgesehen:

^) Tcheou pei pag. 601, Note 1. ßiernatzki S. 64 — 66 hat eine
deutsche Uebersetzung nach englischer Vorlage, von welcher die unsrige sehr
abweicht. Von den hier erwähnten Figuren sagt er kein Wort.

638

31. Kapitel.

Fig- 94.

(Figur 04). Ist diese Auffassung richtig, danu stellt das zweite
Quadrat mit seiner Zerlegung die Figur dar (Figur 87), deren Blias-
kara um 1150 sich bediente (S. 014), etwa 60 Jahre
vor der Durchsicht des Tscheou pei in der Sung-
Dynastie.

Da wir den Lauf unserer wörtlichen Wiedergabe
doch einmal unterbrochen haben, so sei auf einiges
aus dem bisherigen Texte hingewiesen: auf den pytha-
goräischen Lehrsatz an dem Dreiecke von den Seiten
3, 4, 5; auf den Namen der Diagonale für die Hypotenuse welcher
zeigt, dass der Satz am Rechtecke und nicht am Dreiecke bekannt
geworden war; auf den weiteren Namen Seil für Hypotenuse, welcher
täuschend an die Seilspannung der Inder erinnert, wenn wir keine
andere Verwandtschaft suchen wollen. :

Nach jenen Figuren folgen nun weitere Lehren, wie man den
hm, also das Winkellineal, benutzen soll. Eben hingelegt diene es
zum Gradmachen, umgekehrt zur Höhenmessung, verkehrt zur Tiefen-
messung, ruhend zur Messung der Entfernung. Der hm für den
Kreis, d. h. der Zirkel, diene zur Herstellung des Kreises, der
Doppelkuu zur Herstellung rechtwinkliger Vierecke. Die rechtwink-
lige Figur entspreche der Erde, die runde dem Himmel. Der Himmel
sei der Kreis, die Erde sei das Quadrat.

Dieser letztere Satz bedarf gar sehr der Erläuterung. Vielleicht
ist es richtig, was ein Missionär, welcher lange in China war, zur
Erklärung gesagt hat^), Himmel und Erde seien symbolisch für die
Zahlen 3 und 4; andrerseits gehöre die Zahl 3 zum Kreise, dessen
Umfang als dreifacher Durchmesser galt, 4 naturgemäss zum Qua-
drate, und so sei die weitere Vergleichung des Himmels mit dem
Kreise, der Erde mit dem Quadrate zu Stande gekommen.

Es folgen noch einige philosophische uns unverständliche Redens-
arten, und nun schliesst Schang kao: „Das Wissen stammt vom ge-
krümmten Haken, der gekrümmte Haken vom Winkellineal, das
Winkellineal mit Zahlen vereinigt regelt und leitet alle Dinge."
Tcheöu kong sprach: „Das ist wundervoll!"

Hiermit schliesst der I. und, wie man behaupten will, ältere
Theil des Tcheou pei. Es folgt der IL viel ausführlichere Theil.
Wir brauchen ihm eine weit weniger eingehende Aufmerksamkeit
zuzuwenden, theils wegen des allgemein anerkannten verhältnissmässig
späten Datums seiner Entstehung, theils weil es sich in ihm mehr

') Tcheou pei pag. 602, Note 1 mit Bezirliung auf eine Bemerkung des
Pater Gaubil.

Die Mathematik der Chinesen. 639

um astronomisclie Verwertliung der Beobachtungsstange handelt.
Nur zwei Bemerkungen scheinen uns von Wichtigkeit.

ErstHch, dass die Verhältnisszahl des KreisuDifangs zum Durch-
messer stets als 3 gerechnet wird^). Das bestätigt jene Bemerkung,
warum 3 die Zahl des Kreises sei, erinnert zugleich an die nach
unserer Vermuthung altbabylonische Umfangsformel. Aus den Durch-
messern 238000, 317333^, 357000, 396666^, 4363334-, 476000,

810000 sind die Umfange 714000, 952000, 1071000, 1190000, 1309000,
1428000, 2430000 gefolgert, und in einem Beispiele heisst es aus-

drücklich: „Nimm einen Durchmesser von 121t^ Füssen, verviel-
fache mit 3, Du erhältst 365--r Fuss."

Dieses letztere Beispiel-) führt uns zu unserer zweiten Bemer-
kung. Der Kreisumfang wird bei den Chinesen nicht in 360 Grade,

sondern in 365— Grade eingetheilt, und die Chinesen kennen die

Jahreslänge des Sonnenjahres von 365- Tagen. „Unter 4 Jahren

sind, wie man weiss, drei von 365 Tagen mid eines von 366 Tagen;

daraus weiss man, dass das Jahr im Mittel aus 365-- Tagen besteht."

Eine deutlichere Bestätigung unserer Ansicht, dass die Kreiseinthei-
lung in 360 Grade nichts anderes bezwecke als die von der Sonne
am Himmel scheinbar durchlaufenen Wege sichtbar zu machen (S. 92),
dürfte sich kaum finden lassen. Wenn die Chinesen diese Bedeutung
der Gradeintheilung überliefert bekamen mid nachträglich die mit

der Wahrheit besser übereinstimmende Jahreslänge von 365 Tagen

erfuhren oder erkannten, dann, aber auch nur dann, konnten sie dem
allem Zahlengefühle Hohn sprechenden Gedanken verfallen, den Kreis

nunmehr selbst in 365— Grade zu zerlegen, damit wieder jeder Grad

einen Tagesweg darstelle. Ausserdem sprechen mittelbare Spuren
dafür, dass den Chinesen die Kreistheilung in 360 Grade gleichfalls
einmal bekannt war, denn nur von ihr aus erklärt sich die Anwen-
dung der Zahl 60 in dem sechzigjährigen Cyklus, nur von ihr aus
die 30 Speichen in dem Rade des Kaiserwagens in der Tcheou- Dy-
nastie, wie eine Abbildung sie zeigt ^).

') Tcheou pei pag. 613, 614, 626. Auf pag. 614 ist zwar zu dem Durch-

2
messer 267666— der Umfang 833000 statt 803000 angegeben, doch dürfte diese
3

einzige Ausnahme auf einem Druckfehler im Journal Äsiotiqne beruhen.

2) Ebenda pag. 625. Vergl. auch pag. 638—639. ^) Tcheou ly II, 488.

640 31. Kapitel.

Leider ist der Tcheou pei die einzige mathematische Abhand-
hing der Chinesen, welche durchaus übersetzt uns vorliegt. Für
alle übrigen Schriften sind wir gezwungen, uns auf nothdürftige
Auszüge zu beziehen, von welchen nur einer eine halbwegs genügende
Inhaltsanzeige des Werkes liefert, aus welchem er stammt und zu-
gleich das Alter dieses Werkes zweifellos angibt. Die anderen Be-
richte leiden meistens an Unklarheit und lassen es selbst fraglich
erscheinen, welches Werk von verschiedenen, die den gleichen Namen
führen, eigentlich gemeint sei?

Kieou tschang oder die neun Abschnitte war (S. G28) der
Titel des ältesten arithmetischen Werkes. Kieou tschang swan su
d. h. Arithmetische Regeln zu den neun Abschnitten schrieb alsdann
etwa ein* Jahrhundert vor der christlichen Zeitrechnung ein gewisser
Tschang tsang. Dieses Werk behauptet „die von den kaiserlichen
Hofmeistern unter der Dynastie Tcheou befolgten arithmetischen
Grrundsätze zu enthalten. Jedoch gibt es sich nicht für ein neues
Originalwerk aus, sondern nur für eine revidirte und verbesserte
Auflage eines viel älteren Buches, dessen Verfasser unbekannt ist.
Das Werk hat bis heute mehrere neue Auflagen erlebt, ist jedoch
jetzt sehr selten geworden; es hat aber viele Commentatoren unter
namhaften chinesischen Gelehrten gefunden" ^). Gegen Ende der
Dynastie Sung um 1240 schrieb Tsin kiu tschau, welchen wir
(S. 632) als den Schriftsteller nannten, bei welchem die sogenannten
wissenschaftlichen Ziffern zuerst erwähnt werden, sein su schu kieou
tschang oder die neun Abschnitte der Zahlenkunst. Werke ähn-
lichen Titels von noch anderen Verfassern folgten vielfach. Wenn
wir uns nun der chinesischen Rückverlegungen erinnern, welche dem
Götzen des nationalen Eigendünkels mit persönlicher Bescheidenheit
das Opfer der eigenen Erfinderfreude zu bringen verlangten und in
diesem Verlangen offenbar nirgend auf Widerstand stiessen; wenn
uns dann ein Auszug aus den neun Abschnitten gegeben'"), aber mit
keiner Silbe gesagt wird, welches von den vielen Werken, die diese
Ueberschrift tragen, zu Grmide gelegt sei, welchen geschichtlichen
Werth kann das für uns haben? Doch wohl keinen anderen, als dass
wir dem Auszuge das alte vielleicht auf Tschang tsang, vielleicht
noch weiter hinauf zurückzuverfolgende Vorhandensein von neun
Abschnitten glauben, ohne jedoch annehmen zu dürfen, diese Ab-
schnitte hätten von jeher dieselben 246 Aufgaben enthalten, oder es
sei auch nur sicher, dass die Namen der Abschnitte sich nicht ver-
ändert hätten.

^) Wörtlich aus Biernatzki S. 07. '^) Biernatzki S. 73—76.

Die Mathematik der Chineseu. 641

Die Namen „Viereckige Felder" für den ersten, „Reis und Geld"
für den zweiten, „verschiedene Theilungen" für den dritten Ab-
schnitt') erinnern ungemein an Namen indischer Abschnitte, ge-
bildet nach irgend einer Hauptaufgabe, an welche die anderen an-
knüpfen, wenn auch nicht immer im Inhalt ihr gleichend. Gleich
im ersten Abschnitte findet sich die Regel für die Dreiecksflüche
als Produkt der Grundlinie in die halbe Höhe. Die Kreisfläche zu
berechnen wird nach sechs der Form nach verschiedenen Arten ge-
lehrt: „Man multiplizire den halben Durchmesser mit dem Radius,
oder nehme ein Dritttheil vom Quadrat des halben Umkreises, oder
ein Zwölftel vom Quadrate des Umkreises, oder ein Viertel vom drei-
fachen Quadrate des Durchmessers, oder ein Viertel vom Produkte
aus Durchmesser und Umkreis, oder endlich das dreifache Quadrat
des Radius." Man sieht sofort, dass die fünf letzten Regeln sämmt-
lich auf jt = 3 herauskommen. Die erste allein ist mit tc = l
gleichbedeutend und höchst auffallend dadurch, dass sie in einem
Athem von dem halben Durchmesser und dem Radius spricht. Wir
möchten daher hier einen Druck- oder Uebersetzungsfehler annehmen
und lesen ,.man multiplizire den halben Umkreis mit dem Radius",
eine Vorschrift, welche sonst fehlen würde, und welche nicht mit
TT = 3 in Widerspruch steht.

Das genauere Verhältniss des Kreisumfansjes zum Durchmesser
war einem Schriftsteller Tsu tschung tsche, der dem Ende des

22
VI. S. angehören soll, als jt = -- bekannt und Liu hwuy-) be-
nutzte TT = -— •

Der 9. der neun Abschnitte beschäftiot sich mit 24 geometrischen
Aufgaben, welche mittelst des rechtwinkligen Dreiecks gelöst werden.
Ueber die Methode lässt uns der Auszug im Unklaren, doch dürfte
wohl der pythagoräische Lehrsatz angewandt sein, der im Tcheou pei
uns gleichfalls begegnet ist. Von den Körpermessungen im 5. Ab-
schnitte ist uns nur ganz allgemein berichtet, die angewandten
Formeln scheinen mithin zu besonderen Anmerkungen eine dringende
Veranlassung nicht geboten zu haben. Aus den übrigen Abschnitten

') Die wörtliche Uebersetzung der Namen der sechs weiteren Abschnitte
fehlt leider in unserer A'orlage, und wir sind nicht im Stande sie selbst zu
übertragen. Bei Biernatzki sind dieselben geschrieben, wie folgt: 4. ScJiaou
kwang , 5. Schang kung, 6. Keun schu, 7. Yin null, 8. Fang tscMng, 9. Keu
ku. ") Dessen Lebenszeit anzugeben sind wir nicht im Stande. Biernatzki
sagt nämlich S. 63 — 74, er habe früher als Tsu tschung tsche gelebt, und
S. 68, er habe im VII. S. gelebt, und sein Werk sei im VIII. S. neu aufge-
legt worden!

CantoR, Geschichte der Mathematik 1 2. Aufl. 41

642 31. Kapitel.

erwähnen wir Gesellscliafts- und Vermiscliungsrechnungen im o. und
6. Abschnitte, Ausziehung von Quadrat- und Kubikwurzeln im 5. Ab-
schnitte, Gleichungen im 8. Abschnitte.

Die Geometrie dürfte wohl den schwächsten Theil chinesischer
Mathematik gebildet haben, kaum über die niedrigsten Anwendungen
des Satzes vom rechtwinkligen Dreiecke sich erhebend; denn wenn
Ko schau king um 1300 unter den Mongolen die sphärische
Trigonometrie erfunden haben soll, welche in einem Werke aus
der Dynastie Ming wiederholt dargestellt sei^), so klingt das doch
sehr nach arabischen ins Chinesische nur übersetzten Schriften.

In der Lehre von den Gleichungen dagegen müssen wir den
Chinesen selbstthätiges Vorgehen nachrühmen, denn hier finden wir
in der That Fortschritte, welche weder auf indischem Boden uns
bekannt geworden sind^ noch überhaupt anderswo so frühzeitig ge-
macht wurden. Hauptquelle für die Lehre von den bestimmten wie
von den unbestimmten Gleichungen sind Schriften desselben Tsin
kiu tschau aus der Mitte des XlII. S., welchen wir auch unter den
Verfassern von Neun Abschnitten der Rechenkunst nannten. Die
Lehre von den bestimmten Gleichungen findet sich in dessen Auf-
stellung der himmlischen Monade, leih tien yuen yih '^), und ist erläutert
durch Le yay jin king, welcher während der Mongolenzeit gelebt
hat'^). Die Monade, yuen, ist das durch ein l^esonderes Schriftzeichen
dargestellte Symbol der ersten Potenz der unbekannten Grösse, also
das yävattävat der Inder. Auch die Zahl, welche als ein Gegebenes
in der Gleichung auftritt, die rüpa der luder, hat einen Namen täe.
Die Zeichen für yuen und täe werden rechts von den betreffenden
Zahlencoefficienten geschrieben. Die Gleichungen sind vor dem An-
schreiben geordnet und zwar so, dass die unbekannten Dinge den
bekannten gleich gesetzt sind. Ein Gleichheitszeichen tritt dabei
nicht auf, ist vielmehr aus der blossen Stellung ersichtlich. Die
unterste Reihe mit rechts stehendem täe enthält die bekannte Zahl,
die darüber befindhche mit rechts stehendem yuen die Unbekannte,
die nächsthöhere ohne weiteren Zusatz enthält die zweite Potenz der
Unbekannten u. s. f. Eine fehlende Potenz der Unbekannten muss,
da di§ Höhe der Potenzen nach dem Stellungswerthe zu entnehmen
ist, durch Null angedeutet werden. Von den beiden Wörtern täe und
yuen kann Eines, beliebig welches fehlen, da die Verständlichkeit
dadurch noch nicht aufgehoben ist. Positive und negative Zahlen
werden durch die Farbe des Druckes unterschieden. Erstere druckt
man roth, letztere schwarz. So heisst z. B. unser \4iX'' — '21 x = 17

') Biernatzki S. 70. ^) Ebenda S. 84 flgg. ») Ebenda S. 70 und 84,

Die Mathematik der Chinesen. 643

auf chinesisch, wenn wir die Benutzung unserer Ziffern beibehalten
und die Farben durch die links beigesetzten Anfangsbuchstaben ,. (roth)
und , (schwarz) unterscheiden:

,14

.14

,00

.00

oder

s 27 yuen

.27

, 27 yuen

r\l täe

rl7

täe

AI •

Es scheint dabei eine Annäherungsmetliode für Gleichungen höherer
Grade bestanden zu haben, in welcher man eine Aehnlichkeit mit der
sogenannten Horner'schen Näherungsmethode entdecken will'), die
aber wenigstens in unserer Vorlage zu dürftig behandelt ist, als dass
wir es wagten, diese Meinung zu stützen oder zu widerlegen.

Die Lehre von den unbestimmten Gleichungen scheint unter dem
Namen grosse Erweiterung, Ta yen, zuerst von Sun tse in
dunkeln Versen beschrieben worden zu sein^), und dieser Verfasser
wird gegenwärtig in die Dynastie Hau im III. S. n. Chr. gesetzt. Be-
sondere Anwendung fand die Regel Ta yen durch Yih hing, eineu
Geistlichen unter der Dynastie Thang, welcher 717 das Werk Ta yeu
lei schu darüber verfasste, vmd dieses Werk hat wieder unser Tsin
kiu tschau neu bearbeitet. Das Hauptbeispiel heisst in wörtlicher
Uebersetzung: „Dividirt durch 3 gibt Rest 2; schreibe 140. Dividirt
durch 5 gibt Rest 3; schreibe 63. Dividirt durch 7 gibt Rest 2;
schreibe 30. Diese Zahlen addirt geben 233, davon subtrahirt 210
gibt 23 die gesuchte Zahl. Für 1 durch 3 gewonnen setze 70. Für
1 durch 5 gewonnen setze 21. Für 1 durch 7 gewonnen setze 15.
Ist die Summe 106 oder mehr, subtrahire hiervon 105 und der Rest
ist die gesuchte Zahl."

Man hat nun vollständig zutreffend darauf aufmerksam gemacht"),
dass dieselben Divisoren 3, 5, 7 mid dieselben gewonnenen Zahlen
70, 21, 15 mit deren Anwendung zur Auffindung von 23 auch in
einer griechischen Aufgabe vorkommen, deren Text in einer Hand-

') Matthiesseu , Grundzüge der antiken und modernen Algebra der
litteralen Gleichungen. Leipzig 1878, S. 964—965. 2) Biernatzki S. 77 ^gg.
Vergl. besonders L. M.itthi essen, Vei-gleichung der indischen Cuttaca- und
der chinesischen Ta yen-Regel in der Zeitschr. f. math. u. natuvw. Unterricht
(1876) VII, 78—81. Ebenderselbe hatte schon 1874 in der Zeitschr. Math. Phys.
XIX, 270 — 271 die Ta yen-Regel erklärt, die vor ihm nie verstanden worden
war. ■■') Matthiesseu in der Zeitschr. f. math. u. naturw. Unterricht. Vergl.
Nikomachus (ed. Hoche) pag. 152—153 und Friedleins Anzeige dieser Aus-
gabe in der Zeitschr. Math. Phys. (1866) Bd. XI, Literaturzeitung S. 71.

41*

644 31. Kapitel.

Schrift aus dem Ende des XIV. oder Anfang des XV. S. sicli erhalten
hat, während ein Verfasser nicht genannt ist. Es ist nicht unmöglich,
dass die chinesische Aufgabe und ihre Auflösung etwa durch arabische
Vermittlung irgend einem Byzantiner bekannt geworden sein kann,
der sie sich aufnotirte. Ein umgekehrter Gang, dass also hier wie
so vielfach im Westen Bekanntes nach China drang, ist kaum anzu-
nehmen, weil nur im chinesischen Texte die Begründung des Ver-
fahrens angedeutet ist, freilich schwer zu verstehen, aber doch zu
verstehen, wie die Erfahrung gezeigt hat.

Der Sinn ist nämlich folgender. Soll eine Zahl x gefunden
werden, welche durche w/^, «?2, 7n^ getheilt die Reste r^, r^, r.^ liefere,
so sucht man drei Hilfszahlen A^j, h.j, fcg, welche Multiplikatoren,
tscJting su, genannt werden, imd deren jede vervielfacht mit ihrer
Erweiterungszahl, yen su, d. h. mit dem Produkte derjenigen m,
welche einen anderen Index als das betreffende h führen, und dann
getheilt durch ihre bestimmte Stammzahl, ting mit, d. h. das dritte
m den Rest 1 liefern. So gibt unsere Aufgabe unter Anwendung
von Congruenzen: d • 1 ■ k^ ^ l (med 3); 3 • 7 • ^^ ^ 1 (mod 5);
3 • 5 • Z^g ^f 1 (mod 7). Daraus werden nun gewonnen: aus 3 die
Zahl Jc^ = 2 oder 5 ■ 7 • 2 = 70; aus 5 die Zahl l, = 1 oder 3 • 7 • 1
= 21; aus 7 die Zahl Ä'o = 1 oder 3 ■ 5 • 1 = 15. Wie diese Zahlen
gewonnen wurden, ist auch nicht andeutungsweise gesagt, die Ver-
muthung liegt daher am nächsten, man werde sich durch Probiren
geholfen haben. Nun wird jede der gewonnenen Zahlen ni^m-^h^ = 70,
m^nioli^ = 21 , ni^m^ylio = 15 mit dem entsprechenden Reste i\ = 2 ,
r^ = 3 , ^3 = 2 vervielfacht und ihre Summe 140 + 63 + 30 = 233
gebildet, von welcher man die Stamm er Weiterung, yen mu, d. h.
das Produkt der drei m, 3 • 5 • 7 = 105, so oft als möglich abzieht
und hat damit

gefunden, wie z. B.

^ = 2 • 70 + 3 • 21 + 2 • 15 — 2 • 105 = 23.

Es steht eben so fest, dass dieses Verfahren von der indischen Zer-
stäubung, mit welchem man es zu vergleichen liebte, bevor man es
verstand, durchaus verschieden ist, als dass es eine wahre Methode
genannt zu werden verdient, deren Erlinder mit dem glücklichsten
Scharfsinne ihrer Aufgabe zu Leibe zu gehen wussten^).

') Matthiessen hat 1. c. mit Recht hervorgehoben, dass die Methode
ta yen mit derjenigen, welche Gauss in den Disquisitiones arithmeticae §32 — 36
gelehrt hat, übereinstimme. Vergl. Dirichlet, Zahlentheorie § 25 (III. Auflage.
1879, S. 56—57).

Die Mathematik der Chinesen. 645

Etwas später als Tsin kiu tscliau lebte Tscliu schi kih^ welcher
1303 den kostbaren Spiegel der vier Elemente, Sse yuen yith hiJm,
veröffentlicbte. Hier finden sich die lihn bei Berechnung von Zahlen
bis zur achten Potenz als eine alte Methode. In unseren Ziffern
sehen dieselben folgendermassen aus:

1
1 1

1 2 1

13 3 1

14 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

17 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

Es sind^) die den Arabern freilich seit dem Ende des XI. S.
bekannten Binomialcoefficienten zu der Gestalt geordnet, welche
man in Europa seit dem Ende des XVII. S. das arithmetische
Dreieck genannt hat. Das hier auftretende Wort lihn wird auch
bei der früher erwähnten Annäheruugsmethode zur Auflösung von
Gleichimgen höherer Grade mehrfach benutzt und hat dadurch
Anlass zu dem gleichfalls erwähnten Deutungsversuche dieser Methode
gegeben.

Das arithmetische Dreieck ist auch in einem letzten Werke
wiedergefunden worden, von welchem wir einigermassen eingehender
unterrichtet sind, da wenigstens die Inhaltsangabe desselben in
Uebersetzung vorhanden ist^). Wir meinen die Grundlagen der
Rechenkunst, swan fa long tsong, welche unter Wan ly aus der
Dynastie Ming 1593 dem Drucke übergeben worden sind. Es heisst
in demselben, jene Zahlenanorduung finde sich schon in einem älteren
Werke des U schi, aber unser europäischer Gewährsmann fügt aus-
drücklich hinzu, dieser Name sei ein so gewöhnlicher, dass Folge-
rungen aus demselben nicht zu ziehen seien, und so wissen wir nicht
einmal, ob dieser U schi früher oder später als Tschu schi kih ge-
lebt hat. Im Swan fa tong tsong werden noch mancherlei andere

22
Dinge gerühmt, so die Anwendung der Verhältnisszahl jr = — , das

^) Bicrnatzki S. 87 — 89. -) Ed. Biot im Journal des Savants 1839

]Dag. 270—273 und besonders im Journal Asiatique für März 1839 pag. 193 — 217.
Die Bemerkung über U schi pag. 194.

646 31. Kapitel.

Vorkommen von Dreieckszalilen und Pyramidalzahlen, magische Qua-
drate, Multiplikationen unter Anwendung von dreieckigen Feldern,
also vielleicht so, wie wir sie (S. 571) bei den Indern in Uebung
fanden. Wir berichten genauer nur über eine Messmigsaufgabe,
welche Verwandtschaft mit in Europa vorkommenden Verfahren
(S. 517) an den Tag legt. Die Höhe eines zugänglichen Baumes wird
zu kennen verlaugt'). Man entfernt sich von dessen Fusse um eine
gemessene Strecke, stellt eine Signalstange auf und entfernt sich
dann noch weiter, bis mau mittels eines hohlen Rohres die Spitze
der Stange und des Baumes in einer geraden Linie sieht. Die Höhe
des Auges über den Boden wird nun zu 4 Fuss geschätzt und als-
dann die Höhe des Baumes mit Hilfe ähnlicher rechtwinkliger Drei-
ecke berechnet.

Wir sind der Zeit schon sehr nahe, in welcher die europäischen
Missionäre an dem Hofe des den Wissenschaften ergebenen Kaisers
Kang hi freundliche Aufnahme fanden. Er schätzte in ihnen die
höhere Bildung, welche er, sich darin als kein Nationalchinese ver-
rathend, wohl anerkannte. Aber einen chinesischen Gelehrten Mei
wuh gan, einen Anhänger der verjagten Ming-Dynastie und trotz-
dem wegen seines Wissens bei dem fremden Kaiser wohlgelitten,
wurmte das Uebergewicht dieser Europäer. Er behauptete"-), von den
durch sie eingeführten Theorien sei die bei weitem grösste Mehrzahl
den Chinesen schon Jahrhunderte früher bekannt gewesen, und dieses
nur aus Unkunde mit der heimischen Literatur übersehen worden.
Ja aus China stamme alle Wissenschaft, übersetzt sei sie zu den Be-
wohnern anderer Länder gedrungen und habe dort weiter gelebt,
während sie in China selbst seit der grossen Bücherverbrennung
aufgehört habe sich zu entwickeln, wie sie begonnen hatte. Jetzt
suchte man wieder eifriger und allgemeiner nach den alten Schriften
und fand sie.

Wie viele deren echt, wie viele unecht waren, wer kömite diese
Frage ohne die eingehendsten Kenntnisse der verschiedensten Art
beantworten? Für die mathematischen Schriften muss nothwendiger-
weise neben den sprachlichen Merkmalen höheren oder niedrigeren
Alters, vielleicht noch vor diesen der Inhalt zur Beantwortung bei-
tragen, und diesem Inhalte, soviel uns davon bekannt geworden ist,
entnehmen wir die gleiche Folgerung, Avelche (S. 627) als vor-
läufige Ansicht schon von uns geltend gemacht worden ist, als wir
die Ursprungs- und Echtheitsfrage zuerst aussprachen. Wir glauben
nicht an eine hohe Entwicklung der ursprünglichen chinesischen

^) Journal Äsiatique für März 18'6'J, pag. 212. -) Bieruatzi S, 60—62.

Die Mathematik der Chinesen. (347

Mathematik. Wir glauben vielmelir, dass das Meiste aus verschiedenen
Quellen, unter welchen die babylonische wohl nicht die mindest er-
giebige gewesen ist, dorthin zusammenfloss. Wir gehen aber andrer-
seits auch nicht so weit, dass wir den Chinesen jede einzelne Leistung
auf mathematischem Gebiete absprechen. Die Algebra scheint wie
den Indern so auch den Chinesen das ihrem Geiste angemessene
Arbeitsfeld geboten zu haben, und auf diesem Felde wuchsen Früchte,
denen wir bis auf Weiteres die chinesische Heimath abzuerkennen in
keiner Weise gerechtfertigt sind. Die Methode der grossen Erweite-
rung zur Auflösung gleichzeitig bestehender unbestimmter Gleichungen
ersten Grades dürfte die edelste dieser Früchte sein.

VII. Araber.

32. Kapitel.
Einleitendes. Arabische Uebersetzer.

Wenn in den l)eiden vorigen Abschnitten der Ursprung der
Kenntnisse, Avelclie bei den Indern und Chinesen nachweislich waren,
unsere Kritik herausforderte und uns die Hoffnung kaum gestattet
ist, dass bei den einander schnurstracks entgegenstehenden Schul-
meinungen in dieser Beziehung unsere Auffassung von allen Lesern
getheilt des Charakters einer wenn auch durch Gründe gestützten
doch wesentlich persönlichen Meinung entkleidet werde, so verhält
es sich ganz anders mit der arabischen Mathematik').

Dass ein Volk Jahrhunderte lang jedem Kultureinflusse von
Seiten seiner Nachbarvölker unzugänglich war, dass es selbst in
jener ganzen Zeit keinen Einfluss üben konnte, dass es dann plötzlich
seinen Grlauben, seine Gesetze und mit diesen seine Sprache weiten
Ländern aufzwang, Avelche an Ausdehnung kaum von dem Macht-
bereiche anderer Eroberer erreicht worden sind, ist für sich eine so
regelwidrige Erscheinung, dass es wohl der Mühe lohnt, ihren Ur-
sachen nachzuforschen, dass aber zugleich mit ihr die Gewissheit
gegeben ist, die plötzlich auftretende anderen Entwicklungen eben-
bürtige Geistesreife könne aus sich selbst unmöglich zu Staude ge-
kommen sein.

Muhammed floh im September ß'22 aus Mekka. Er starb im
Juni 632. Zehn Jahre hatten ausgereicht, ihn auf der Flucht aus

^) Wir folgen in diesem Abschnitte in der Anordnung des Stoffes wesent-
lich Hankel's arabischen Kapiteln S. 223—293. Von Büchern allgemeinen In-
haltes, deren wir uns ausser den auch von Hankel benutzten bedient haben,
seien besonders erwähnt: G. Weil, Geschichte der islamitischen Völker von
Mohammed bis zur Zeit des Sultan Selim übersichtlich dargestellt. Stuttgart 1866,
und Alfr. v. Kremer, Kulturgeschichte des Orients unter den Chalifen.
Wien 1877. Suter, Das Mathematikerverzeichniss im Fihrist des Ibn Abi
Ja kiib an-Nadim. Uebersetzang mit Anmerkungen in Zeitschr. Math. Phys. XXXVII,
Supplementheft. Wir citiren diese Werke als Kremer, Weil und Fihrist,
Bei der ersten Auflage hat uns auch ein inzwischen allzufrühe aus dem Leben
geschiedener Orientalist, Heinrich Thorbecke, in ausgiebigster Weise
unterstützt.

652 32. Kapitel.

seiner Vaterstadt, ihn kämpfend mit wechselndem Erfolge, ihn endlich
auf dem Gipfel seiner Macht zu sehen, und, was nur Wenigen gleich
ihm beschieden war, er starb auf einem Höhepunkt angelangt. Seine
Nachfolger — Chalifen — setzten das von ihm begonnene Werk fort,
die Glaubenssätze, welche Muhammed als ihm offenbart verkündigt
hatte, mit dem Schwerte in der Hand zu verbreiten. Nicht eigent-
liche Eroberung war der nächste Zweck der Kriege. Die Annahme
der neuen Religion durch die Bekriegten genügte den Siegern in
erster Linie, und auch wo der Glaubensfeldzug mit Ländererwerb
endigte, blieb der erste Beweggrund an manchen Erscheinungen
sichtbar. Der Fremde war nicht länger der Unterworfene, als er
selbst wollte. Mit dem Uebertritte zum Islam erlangte er das Bürger-
recht, trat er in die Rechte der herrschenden Nation ein^), nur
Eines fehlte ihm: Stammesgemeinschaft, da der Muselmann auf die
alte Nationalität verzichten musste, der neuen nicht von selbst an-
gehörte. Aber auch diesem Mangel konnte er abhelfen. Er trat
meistens zu dem herrschenden Stamme, zu dessen Anführer oder zur
regierenden Dynastie in das Klientelverhältniss. In der nächsten
Generation waren seine Nachkommen schon vollständig den neu ge-
wonnenen Freunden gleichartig und galten bald als echte Araber,
denen sie in Sprache und Sitte so schnell als möglich sich anzu-
schliessen bedacht waren. Diesen durch den Uebertritt zu erwerbenden
Vortheilen vereinigt mit der geschichtlichen Thatsache, dass in vielen
Ländern, gegen welche die ersten Züge der Mohammedaner sich
wandten, religiöse Gleichgiltigkeit, in anderen Verkommenheit und
Widerstandslosigkeit ihnen gegenübertrat, vereinigt mit der weiteren
Thatsache, dass nationalarabische Volkstheile an den verschiedensten
Orten des Ostens längst vor dem Auftreten des Propheten verbreitet
waren, welche auch den Stammesgegensatz zwischen Siegern und Be-
siegten zu lindern sich eigneten, mag eine wesentliche Rolle bei der
raschen Ausbreitung des Islam zugefallen sein. Eben diese Art der
Ausbreitung erklärt es aber, dass die arabische Sprache in fast un-
glaublich kurzer Zeit als herrschende Sprache sich aufdrängen, dass
z. B. noch nicht volle 200 Jahre nach Muhammed unter dem Cha-
lifen Almamün, welcher uns noch oft beschäftigen wird, ein Statt-
halter in Persien seinen Wohnsitz haben konnte, der nicht ein Wort
persisch verstand^).

Den geistig kräftigeren Elementen, welche an der Religion ihrer
Väter hingen und nicht zum Uebertritte zu bewegen waren, sondern
das blieben als was sie erzogen worden waren, meistens nestorianische

') Krem er II, 147. '^) Ebenda 150, Anmerkung 1.

Einleitendes. Arabische Uebersetzer. 653

Christen und Juden, wurde freilich dem Wortlaut des Gesetzes nach
mit Bedrückung mannigfacher Art gedroht. Schon Chalife Omar
634—644, derselbe, welcher das Jahr 622 der Flucht Muhammeds
als Hidschra zum Anfang einer neuen Zeitrechnung schuf, erliess
das Verbot, dass kein Jude oder Christ in Staatskanzleien angestellt
werde ^). Harun Arraschid 786—908 befahl, alle Kirchen in dem
Grenzgebiete niederzureissen und verordnete, dass die Nicht-Musel-
männer sich einer besonderen Kleidung zu bedienen hätten''). Aber
viele dieser Gesetze standen nur auf dem Papiere und wurden massen-
haft umo-auQ'en. Wenn wir hören, dass Harun Arraschid selbst einen

OD '

nestorianischen Christen Dschibril ihn Bachtischü' zum Leibarzt
hatte, der sich bei ihm jährlich auf 280 000 Dirham (das sind über
M. 200 000) stand»), wenn Chalife Almuktadir 869—870 das Verbot
Anderscfläubige anzustellen mit der Klausel versah: es sei denn als
Aerzte oder Geldwechsler, so wird uns der Grund nicht lange ver-
borgen bleiben, warum man so schonend in mancher Beziehung
verfuhr.

Unter den echten Arabern war die Schreibkunst noch wenig
verbreitet. Es ist zweifelhaft, ob Muhammed selbst in späteren
Jahren sie sich aneignete^). Gewandtheit mit dem Schreibrohre um-
zugehen besassen noch lange Zeit nur Christen und Juden, und so
musste man wohl oder übel sich ihrer bedienen. Namentlich die
nestorianischen Christen waren es, die das staatliche Rechnungswesen
fast allein besorgten und ebenso als Aerzte unentbehrlich waren.
Auch Juden, Perser, Inder betrieben die praktische Medizin, aber
das christliche Element war entschieden vorherrschend. Erst der
grosse Räzi, dessen Todesjahr auf 932 fällt, eröffnet den Reigen der
mohammedanischen Aerzte^). Dagegen war schon unter den persi-
schen Sassanidenkönigen im V. S. ungefähr in der Stadt Dschundai-
säbür in der Provinz Chuzistan eine von Nestorianern geleitete und
besuchte medizinische Schule gegründet worden. Diese Schule wurde
durch die Eroberung in ihrer Blüthe keineswegs gehemmt, aus ihr
gingen die besten und berühmtesten Aerzte ihrer Zeit hervor, aus
ihr insbesondere die Leibärzte der Chalifen, und wir haben an einem
Beispiele gesehen, wie dieselben bezahlt wurden. Die ungeheuren
Geldsummen, welche rasch ihren Besitzer zu wechseln pflegten, bilden
überhaupt ein kennzeichnendes Merkmal der damaligen Verhältnisse,
und man hat gewiss mit Recht auf diesen Umstand hingewiesen^),
um die Raschheit der Entwicklung, die eben so grosse Jähe des

1) Weil S. 20. -) Krem er IT, 167. ^) Ebenda 179. ') Weil S. 3.
^) Krem er II, 183. ^) Ebenda 190.

654 32. Kapitel.

Verfalls der orientalisch-arabisclien Bildung zu erklliren. Wo nicht
bloss der Beherrscher der Gläubigen über ungezählte Schätze ver-
fügte, wo nur als ein Beispiel unter vielen von einem Kaufmanue in
Al-Basra unter Al-Mahdi 775 — 785 uns berichtet wird, der ein täg-
liches Einkommen von 100 000 Dirham (beinahe 30 Millionen Mark
jährlich!) besass, so begreifen wir, welche Treibhaustemperatur durch
solche Mittel den Fleiss anzufeuern geschaffen wurde.

Eine ungemein fruchtbare übersetzende Thätigkeit begann,
sobald das Arabische die allgemeine Literatursprache geworden war').
Aus dem Syrischen, aus dem Persischen, aus dem Griechischen, aus
dem Indischen wurden durch eingeborene Andersgläubige werthvolle
Werke in das Arabische übertragen. Die Regierungen der Chalifen
Almausür 754 — 775, Härim Arraschid 786 — 809, Almamün
813 — 833 sind für solche Thätigkeit ganz besonders günstig gewesen,
und hier beginnt auch die Geschichte der Mathematik bei den Arabern.

Vielleicht sollte man zu Gunsten einer Persönlichkeit noch um
einige Chalifate weiter hinaufgreifen bis zu dem Omaijaden 'Abd
Almelik 684—705, während die drei obengenannten dem Geschlechte
der Abbasiden angehörten. Unter 'Abd Almelik, welcher gleich den
anderen Omaijaden in Damaskus residirte, war ein Christ von echt-
griechischer Herkunft, Sergius, Schatzmeister, und dessen Sohn Jo-
hannes von Damaskus folgte in noch jugendlichem Alter wahr-
scheinlich dem Vater bei dessen Tode in dieser Stellung nach. Bald
aber zog er sich nach dem Kloster Saba zurück, wo er nach den
Einen 760, nach den Andern gar erst 780 starb ^). Wir haben
früher (S. 434) gesehen, dass ihm, dessen schriftstellerische Thätig-
keit allerdings auf theologischem Gebiete liegt, nachgerühmt wird,
er sei in der Geometrie so bewandert gewesen wie Euklid, in der
Arithmetik wie Pythagoras und Diophantus, aber das ist auch Alles,
was wir von ihm als Mathematiker wissen.

Die Abbasiden folgten im Ghalifate auf die Omaijaden im
Jahre 750 in der Person des grausamen, undankbaren, rachsüchtigen
und meineidigen Abü'l 'Abbas, dessen blutgetränkte Regierung nur
vier Jahre dauerte"'). Wir erwähnen aus dieser Zeit nur eine Neuerung.
Die Heiligkeit des Nachfolgers des Propheten gestattete nicht mehr
einen unmittelbaren Verkehr zwischen ihm und dem Volke. Ein Träger
seiner Befehle musste die Vermittelung hinfort übernehmen, und ein
solcher Träger, arabisch Wazir, wurde demgemäss ernannt. Wir
stehen jetzt wieder an dem Regierungsantritte Almansürs, der nach
den verschiedensten Richtungen eine neue Zeit einleitete und wie

') Krenicr II, 1G9. -) Ebenda 402. •') Weil S. 131.

Einleitendes. Arabische üebei'setzer. 655

zum äusseren Zeichen derselben seinen Wohnsitz von Damaskus nach
Bagdad an den Tigris verlegte, an die Stelle, wo im Umkreise nur
weniger Meilen einst Babylon und Ktesiphon mächtigen Königen
zum Mittelpunkt ihrer Herrschaft gedient hatten. Der Handel be-
lebte sich sichtlich. Die Schifffahrt im persischen Meerbusen imd
darüber hinaus brachte den Kaufleuten namentlich von Al-Basra an
der Mündung des mit dem Euphrat vereinigten Tigris jene Reich-
thümer, von denen vorübergehend die Rede war, brachte ihnen
Menschenkenutniss und Welterfahrung und Wissen der mannig-
fachsten Art.

Al-Basra wurde jetzt der Ort, von wo auch geistige Güter der
Reichshauptstadt zugeführt wurden^). 'Amr ibn 'Ubaid lebte in
Al-Basra, ein Philosoph von sittlicher Reinheit und geistiger Grösse,
der sich tief erbittert über die schmachvolle Regierungsweise der
letzten Omaijaden lebhaft mit politischen Umtrieben beschäftigte und
für seiuen Theil an dem Sturze wenigstens eines Tyrannen aus jenem
Geschlechte emsig mitwirkte. Als die Dynastie vollends beseitigt
war, trat er zu dem Abbasiden Almansür in nahe Beziehungen, und
dieser verehrte ihn wie einen väterlichen Freund. Wahrscheinlicher-
weise waren es die Lehren des ^Amr ibn 'Ubaid, welche die kultur-
freuudlichen Anwandlungen Almansürs in Thaten überführten. Auf
Almansürs Befehl entstanden Uebersetzungen, von denen wir an-
deutungsweise gesprochen haben. Aus dem Griechischen, vielleicht
freilich erst mittelbar aus syrischen Bearbeitungen, übertrug man
medizinische Schriften^); aus dem Pehlewi, die ursprünglich indischen
Thierfabeln des Bidpai, welche in der zweiten Hälfte des VI. S. der
Leibarzt des persischen Königs Chosrau Anöscharwäu, desselben, der
den flüchtigen Lehrern der athener Hochschule eine Heimath geboten
hatte (S. 469), in jene Sprache übersetzt hatte ^) 5 aus dem Sanskrit
lernte man den Sind bind kennen, welchen Al-Fazuri arabisch
herausgab*), und sobald einmal, sagt der arabische Geschichtsschreiber,
der uns dieses erzählt, diese Werke in die Oeffentlichkeit gedrungen
waren, las mau sie und studirte mit Eifer die darin behandelten
Gegenstände.

Wir sind namentlich über das, was den Siudhind betrifft '), aufs

') Kvemer II, 410 — 412. ') Wenrich, De auctorum Graecorum ver-

sionihus et commentariis Syriacis, Arabicis, Armeniacis Persicisquc. Leipzig 1842,
pag. 13 — 14. ^) Wüstenfeld, Geschichte der arabischen Aerzte und Natur-

forscher. Göttingen 1840, S. 6, Nro. 7 und S. 11, Nro. 21. *) Kremer U, 442.
") Vergl. Woepcke im Journal Asiatique vom 1. Halbjahr 1863, pag. 474 &gg.
Auch die von uns nachher zu gebenden Erläuterungen finden sich bei Woepcke^
welcher sich hier zum Theil auf Coleb rooke stützt.

656 32. Kapitel.

Beste unterrichtet durcli eine in der Einleitung zu einem astrouo-
misclien Werke enthaltene Erzählung. Aus dieser berichtet nämlich
ein anderer Araber wie folgt: „Allmsaiu ibn Muhammed ihn Hamid,
bekannt unter dem Namen Ibn Aladami, erzählt in seinem Tafel-
werke, bekannt unter dem Namen der Perlenschnur^), dass im
15(). Jahre der Hidschra vor dem Chalifen Almansür ein Mann aus
Indien erschien, welcher in der unter dem Namen Siudhind bekannten
Rechnungs weise, die sich auf die Bewegungen der Sterne bezieht,
sehr geübt war, und zur Auflösung der Gleichungen Methoden, die
sich auf die von einem halben Grade zu einem halben Grade be-
rechneten Kardagas stützten, und ausserdem mannigfache astronomische
Verfahren zur Bestimmung der Sonnen- und Mondfinsternisse, der
Coascendenten der Zeichen der Ekliptik und anderer äbnlieher Dinge,
insgesammt in einem aus einer gewissen Zahl von Kapitebi bestehen-
den Buche besass. Das Buch wollte er ausgezogen haben aus den
Kardagas, welche den Namen eines indischen Königs Figar tragen,
und welche auf eine Minute genau berechnet waren. Almansür
ordnete an, dass man dieses Buch ins Arabische übersetze und dar-
nach ein Werk verfasse, welches die Araber den Planetenbewegungen
zu Grunde legen könnten. Diese Arbeit wurde dem Muhammed ibn
Ibrahim Alfazari anvertraut, welcher darnach ein Werk verfasste,
das bei den Astronomen der grosse Sindhind heisst. Das Wort
Sindhind bedeutet nämlich in der Sprache der Inder ewige Dauer.
Insbesondere die Gelehrten jener Zeit bis zur Regierung des Chalifen
Almamün richteten sich darnach. Für diese wurde ein Auszug davon
durch Abu Dscha'far Muhammed ibn Müsä Alchwarizmi angefertigt,
welcher sich dessen auch zur Herstellung seiner in den Ländern des
Islam berühmten Tabellen bediente. In diesen Tafeln stützte er sich
für die mittleren Bewegungen auf den Sindhind und wich für die
Gleichungen und Deklinationen davon ab. Er stellte seine Gleichungen
nach der Methode der Perser und die Deklinationen der Sonne nach
der Weise des Ptolemäus auf. Er schlug auch in diesem Werke
schöne von ihm erfundene Näherungsmethoden vor, welche aber
wegen gewisser augenscheinlicher Irrthümer, die das Werk enthält,
und die des Verfassers Schwäche in der Geometrie zeigen, unzuläng-
lich sind. Diejenigen Astronomen der genannten Zeit, welche der
Methoden des Sindhind sich bedienten, schätzten das Werk sehr und
verbreiteten es rasch weiter. Noch heute ist es sehr gesucht von

') lljii AI ad am! lebte um 900. Sein Tafelwerk wurde 920 nach seinem
Tode von einem Schüler herausgegeben. Ä'otices et extraits de manuscrits de la
biblioth. VII, 126, Anmerkung 3.

Einleitendes. Arabische Uebersetzer. 657

denjenigen, welche sieh mit der Berechnung der Gleichungen der
Planeten beschäftigen."

Wir müssen diesem Berichte mannigfache Erläuterungen bei-
fügen. Der Name Sindhind ist nichts anderes als eine offenkundige
Verketzerung von Siddhänta, und es ist also nur die Frage, welches
von den diesen Namen führenden astronomischen Werken der Inder
gemeint sei. Da es im Jahre 156 der Hidschra, welches mit dem
Jahre 773 n. Chr. übereinstimmt, nach Bagdad gekommen ist, so
stehen später verfasste Siddhäntas natürKch ausser Frage. Genauere
Antwort gestattet sodann die Nennung des Königs Fi gar. Es ist
sehr wahrscheinlich, dass Figar aus Vyäghra entstand, dass aber
Vyäghra selbst eine Abkürzung aus Vyäghramuka ist, dem Namen
des Königs, während dessen Regierungszeit Brahmagupta 628 seinen
Brähma-sphuta-siddhänta (S. 558) verfasste. Berücksichtigt man end-
lich die gleichfalls allgemein zugestandene Verketzerung Kardaga
aus kramajyä, so dürfte folgende Vermuthung zur fast sicheren
Thatsache sich gestalten: Im Jahre 773 kam durch einen Inder ein
Auszug aus dem astronomischen Lehrgebäude des Brahmagupta nach
Bagdad, und dieser Inder nannte seine Quelle nicht mit dem wahren
Namen des Verfassers, sondern nach dem Könige, unter welchem das
Werk verfasst war, darin vielleicht nur die Fragen des Chalifen be-
antwortend, welcher die fürstliche Macht so verstand, dass Alles nach
dem benannt werden müsse, unter dem es geleistet wurde.

Die arabischen Personennamen, welche in dem Berichte
und auch sonst uns bereits vorgekommen sind, erheischen gleichfalls
eine erläuternde Bemerkung'). Die Araber bedienten sich verhältuiss-
mässig sehr wenig zahlreicher Namen. Um so sicherer trat es ein,
dass viele gleichnamig waren, und zur Unterscheidung wurde alsdann,
verbunden durch das Wort ihn = Sohn, auch der Vatersname genannt,
Muhammed ihn 'Abdallah (der Sohn des 'Abdallah) war ein anderer
als Muhammed ihn 'Omar (der Sohn des 'Omar). Waren auch die
Väter gleichnamig, so konnte wiederholt durch ibn eingeführt auf
den Vater des Vaters zurückgegangen werden u. s. w. War eine Ver-
wechslung nicht möglich, so Hess man nicht selten dem Namen des
Vaters gegenüber den des Sohnes weg und sprach nur von dem
Sohne 'Omars oder von dem Sohne 'Abdallahs. Auch umgekehrt
hat man durch den Sohn auch wohl den Vater näher bezeichnet, der
nun abü = Vater des nachfolgend Genannten hiess. Ein Muhammed
also, der einen 'Omar zum Vater, einen 'Abdallah zum Sohne hatte,

^) Wüstenfeld, Geschichte der arabischen Aerzte und Naturforscher.
S. X— XIII.

Cantoe, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 42

658 ' 32.tKapitel.

vereinigte die Namen beider Blutsverwandten mit dem eignen und
hiess dementsprechend Abu 'Abdallah Muhammed ihn "^Omar. Man
findet dabei die eigenthümlichsten Verbindungen und Weglassungen.
So konnte voti dem Vater eines bekannten Mannes, von dem Sohne
des Vaters eines Dritten die Rede sein, ohne dass der Name des
eigentlich Gemeinten überhaupt ausgesprochen wurde. Abu Marwän
war Marwäns Vater, gleichgiltig wie er hiess; Ibn Abu Marwän war
der Sohn von Marwäns Vater, d. h. Marwäns Bruder. Der Araber
hat nun ferner die Gewohnheit auch Eigennamen den Artikel al vor-
zusetzen, welcher mit Abu sich zu Abü'l vereinigt und auch andere
Veränderungen erleidet, z. B. vor einem anfangenden R sich in ar
verwandelt. Dass dieser Artikel um so weniger bei Beinamen fehlen
durfte ist einleuchtend. Wir erinnern als Beispiele an die Chalifen-
namen al Mansür = der Siegreiche, ar Raschid = der auf richtigen
Weg Geleitete, al Mamün = der durch Vertrauen Beglückte. Die
Beinamen, vielfach zur genaueren Bestimmung der gemeinten Persön-
lichkeit beitragend, sind verschiedener Gattung. Sie können sich auf
geistige oder körperliche Vorzüge oder Mängel dessen beziehen, dem
sie beigelegt wurden; sie können von dem Geburtsorte oder Wohn-
orte des Betreffenden herrühren; sie können eine religiöse Sekte be-
zeichnen, welcher er angehörte; sie können den Stand oder die Be-
schäftigungsweise der Persönlichkeit selbst oder des Vaters angeben.
Wir werden durch diese Erläuterung darauf vorbereitet, arabische
Schriftsteller mit einem für unsere Gewohnheiten übermässig langen
Namen auftreten zu sehen, aber auch darauf, dass man, um die
Länge zu vermeiden, sich gern nur der Beinamen bediente. So ist
in obigem Bruchstücke schon von Alhusain ibn Muhammed ibn Ha-
mid die Rede und dabei erwähnt, man nenne ihn gemeiniglich Ibn
Aladami. So kommt ebendort Abu Dscha'far Muhammed ibn Müsä
Alchwarizmi vor, d. h. Muhammed, der Vater des Dscha'far, der Sohn
des Müsä aus der Provinz Chwarizm, und wir werden sehen, dass
Alchwarizmi der Name blieb, unter welchem dieser Schriftsteller in
weiteren Kreisen bekannt wurde.

Wir kehren nach dieser Abschweifung zu der unmittelbar vor-
her ausgesprochenen Behauptung zurück, dass 773 ein Auszug aus
dem uns bekannten Werke des Brahmagupta nach Bagdad kam. Die
arabische Ueberarbeitung durch Alchwarizmi muss um 820 etwa
stattgefunden haben. Aber schon vorher wurde jener Auszug von
Arabern benutzt. Ja'küb ibn Tärik schrieb schon 777 Tafeln ge-
zogen aus dem Sindhind'). Aehnliche Tafeln fertigte Hafs ibn

>) Hankel S. 230— 2bl. Fihrist 33.

Einleitendes. Arabische Uebeisetzer. 659

'Abdallah aus Bagdad, und Ahmed ihn 'Abdallah Habasch
genaunt al Häsib = der Rechner aus Merw stellte um 830 drei ver-
schiedene astronomische Tafeln her, eine nach arabischen Beobachtungen,
eine nach den Lehren der Perser, eine nach den Methoden der Inder ^).
Auf ein noch späteres Datum weisen nach indischer Methode berechnete
Tafeln des Abü'l''Abbäs Fadl ihn Hätim aus Nairiz in Persien ^)
um 900 und die Perlenschnur des Ihn Aladami aus der gleichen
Zeit. Ob jedoch alle diese Anwendungen indischer Methoden auf
der einmaligen Einführung im Jahre 773 beruhten, ob spätere Ver-
bindungen zwischen arabischen und indischen Gelehrteii vorhanden
waren, wenn wir von den Reisen absehen, welche Mas'üdi (f 956)
und Albirüui (f 1038) in Indien machten und ausführlich beschrieben
haben, ob schon vor 773, damals als Muhammed ihn Käsim unter
dem Omaijaden Welid I., 705 bis 715, bis an den Indus vordrangt),
indische Wissenschaft in mündlicher Uebertragung zu den Arabern
gelangt war, das sind Fragen, zu deren Bejahung wir freilich keinen
überlieferten Anhaltspunkt haben, deren vollständige Verneinung aber
uns fast noch kühner erscheinen möchte.

Ungleich gesicherter ist jedenfalls die Art und Weise, in welcher
griechische Wissenschaft in sich wiederholenden Wellen den arabischen
Boden durchtränkte. Ganz Syrien in den gebildeten vorzugsweise
christlichen Kreisen ist fast als griechische Kolonie zu denken. Aus
der Schule von Antiochia ging jener Nestorius hervor, welcher 428
bis 431 Patriarch von Konstantinopel war, und dessen Anhänger seine
Heimathsgenossen waren und bis auf den heutigen Tag geblieben
sind. In Emesa und Edessa waren nestorianische Schulen, in welchen
man nicht aufgehört hatte, Hippokrates und Aristoteles zu studiren.
Als dann bei der Amtsentsetzung des Nestorius wegen seiner als
ketzerisch verurtheilten Ansichten diese Anstalten in eine Art von
Verruf kamen und die zu Edessa 489 ganz aufhörte, da verschwand
das Studium griechischer Medizin nicht etwa ganz, es zog sich nur
weiter zurück nach Dschundaisäbür in der Provinz Chuzistän, wie
wir (S. 653) gelegentlich gesagt haben. Die spätere Omaijadenresidenz
selbst, Damaskus, besass unter ihren Einwohnern Männer von grie-
chischer Herkunft und griechischer Bildung. Damascius von Damaskus
(S. 467) stand um 510 an der Spitze der athenischen Hochschule,

^) Abulpharagius, Historia dynast. ed Pococke. Oxford 1663, pag. 161
der lateiniscben Uebersetzung. Vergl. auch Gaus sin in den Anmerkungen zu
den Häkimitischen Tafeln des Ibn Junis. Notices et extraits de manuscrits de
la BibUotJieque nationale VIT, 98, Anmerkung 2. *) Notices et extraits etc.

VII, 118, Anmerkung 2. ^) Weil S. 97. Woepcke im Journal Asiatique

vom 1. Halbjahr 1863, pag. 472.

42*

660 32. Kapitel.

entsprechend wie Johannes von Damaskus in der zweiten Hälfte des
VIII. S. Vertreter griechischer Denkungsart in der Heimath war.
Auch in Persien fehlte es keineswegs neben alten an neueren Be-
ziehungen zu Griechenland. Der Hof jenes Sasaniden, Chosrau I.
Anoscharwän war^ woran wir eben (S. 655) erinnert haben, von 531
bis 533 etwa die Zufluchtsstätte der aus Athen vertriebenen letzten
Peripatetiker gewesen^ und wenn dieselben auch der Heimath sich
wieder zuwandten, sobald der Friedensvertrag von 533 es ihnen ge-
stattete, die Samen, welche sie einmal ausgestreut hatten, gingen
doch nicht alle in der fremden Erde zu Grunde. So war also, als
durch Verhältnisse, auf die wir aufmerksam gemacht haben, eine
Neigung der ChaKfen erwachte, Schriftsteller anderer Völker in
arabischer Sprache kennen zu lernen, an Männern kein Mangel,
welche Griechisches aus schon vorhandenen syrischen und persischen
Uebersetzungen , aber auch aus der Ursprache zu übertragen im
Stande waren.

Die ersten griechischen Mathematiker, welche den Arabern
mundgerecht gemacht wurden, waren Ptolemäus und Euklid^).

Für beide werden wir auf die Regierungszeit Arraschids ver-
wiesen, dessen Wezir Ja! ja ihn Chälid der Barmekide die grosse Zu-
sammenstellung übersetzen Hess. Der erste Versuch scheint jedoch
nicht von sonderlichem Erfolge begleitet gewesen zu sein. Vielleicht
entstammt ihm die sprachwidrige Verbindung des arabischen Artikels
al mit dem griechischen Superlativ p-syiörrj, welche in deni Worte
Al-Midschisti (Almagest) ein höchst ungerechtfertigtes, aber durch
die lange Dauer des Besitzes unantastbar gewordenes Bürgerrecht
erlangte. Erneuerte Durchsicht und Verbesserung dieser üebersetzung
erfolgte noch unter desselben Chalifen Regierung durch Abu Hasan
und Salmän, dann durch Haddschädsch ihn Jüsuf ihn Matar^
welcher letztere auch als erster üebersetzer der euklidischen Elemente
genannt wird. Euklid scheint er sogar zweimal, zuerst unter Arra-
schid, dann unter Almamün, vorgenommen zu haben, da von den
beiden Bearbeitungen unter dem Namen jener Chalifen die Rede ist
als von einer harünischen und einer mamünischen^).

Wir stellen uns keineswegs die Aufgabe, alle arabischen üeber-
setzer zu n^tmen, oder die griechischen Schriftsteller über Mathematik
sämmtlich anzugeben, welche von jenen übersetzt worden sind. Die

') Gartz, De interpretibus et explanatoribus Euclidis ardbicis. Halle 1823,
pag. 7, und Wenricli, De auctorum Graecorum versionibus etc. pag. 177 und 227.
*) Ueber diese und andere Euklidübersetzungen vei'gl. Klamroth, Ueber den
arabischen Euklid (ZeitscLr. der morgenländ. Gesellschaft XXXV, 271 — 326,
Leipzig 1881).

Einleitendes. Arabische Uebersetzer. 661

Einen wie die Anderen dürften nicht einmal alle bekannt sein, selbst
für solche, welche mit dem gediegensten Einzel wissen an die Unter-
suchung dieses Gegenstandes herangetreten sind. Die Anzahl der
noch nicht katalogisirten oder ungenügend beschriebenen, jedenfalls
von Mathematikern von Fach noch nicht durchgesehenen arabischen
Handschriften, welche auf unsere Wissenschaft sich beziehen, in
Bibliotheken des Ostens wie des 'Westens — wir nennen insbesondere
die reichhaltigen spanischen Sammlungen — ist eine ungemein grosse
und verbietet dadurch jedes abschliessende Wort, mag es um Ueber-
setzer oder um Originalschriftsteller sich handeln. Nur einige wenige
Uebersetzer sind unter allen Umständen zu erwähnen.

Hunain ihn Ishäk mit dem ausführlichen Namen Abu Zaid
Huuain ihn Ishäk ihn Sulaimän al 'Jbädi^) gehörte dem christlichen
arabischen Stamme der 'Jbäd an. Er kam schon mit guter Vorbildung
nach Bagdad, machte dann Reisen in die griechischen Städte, wo er
deren Sprache sich aneignete, und kehrte über Al-Basra, wo er sich
noch im Arabischen vervollkommnete, nach Bagdad zurück. Jetzt
begab er sich an die Uebersetzung einer ganzen Reihe griechischer
Naturforscher und Philosophen, auch des Ptolemäus, dessen Almagest
er bearbeitete. Andere Schriftsteller, wie die meisten Werke des^
Euklid, die Schrift des Archimed von der Kugel und dem Cjlinder,
den Autolykus Hess er unter seiner Aufsicht durch seinen Sohn Abu
Ja'küb Ishäk ihn Hunain") übersetzen. Der Vater starb, durch
den Bischof Theodosius wegen Gotteslästerung aus der Gemeinde
ausgestossen, 873, der Sohn 910 oder 911. Beiden fehlten bei aller
philologischen Gewandtheit, deren sie sich rühmen durften, die sach-
lichen Kenntnisse, ohne welche es nun einmal nicht möglich ist, eiu
mathematisches Buch zu übersetzen, und so bedurften ihre Arbeiten
gar sehr der fachkundigen Verbesserung.

Diese wurde ihnen durch Täbit ihn Kurrah^). Abü'l Hasan
Täbit ihn Kurrah ihn Marwän al Harräni wurde 836 zu Harrän in
Mesopotamien geboren. Er war zuerst Geldwechsler, wandte sich
aber dann der Wissenschaft zu und erwarb sich in Bagdad ausge-
zeichnete Kenntnisse, sowohl als Mathematiker und Astronom, als
auch in der griechischen Sprache, welcher er wie der syrischen und
arabischen mächtig war. Ein erneuerter Aufenthalt in seiner Vater-

^) Wüstenfeld, Geschichte der arabischen Aerzte und Naturforscher S. 26,
Nr. 69. Wenrich 1. c. pag. 228 glaubte fälschlich die Almagestübersetzung
dem hier gleich folgendeji Ishäk ibn Hunain zuschreiben zu müssen. Vergl.
Steinschneider in d. Zeitschr. Math. Phys. X, 469, Anmerkung 2. ^) "Wüsten-
feld, Geschichte der arabischen Aerzte und Naturforscher S. 29, Nr. 71.
=*) Ebenda 1. c. S. 34, Nr. 81. Fihrist 25—26.

662 32. Kapitel.

Stadt war für Täbit mit Misslielligkeiten verknüpft. Er gehörte
nämlich der Sekte der Sabier au, theilte aber deren Ansichten nicht
in der geforderten Strenge und wurde deshalb ausgestossen. Nun
kehrte er abermals nach Bagdad zurück, welches er nicht wieder
verliess. Dort starb er 901 in höchstem Ausehen bei dem Chalifen
Almutadid^), 892 — 902, der ihn seines nächsten Umganges würdigte.
Wir werden es im 34. Kapitel mit Täbit als Originalschriftsteller
zu thun haben. Unter seinen Uebersetzungen nennen wir Schriften
des Apollonius von Pergä, des Archimed, des Euklid, des Ptolemäus,
des Theodosius.

Etwa gleichzeitig mit Täbit zwischen 864 und 923 ist Kustä
ihn Lükä zu nennen"), ein christlicher Philosoph und Arzt, der von
seinen Reisen durch die griechischen Städte eine Menge Bücher mit
nach Hause brachte, deren Uebersetzung er sich angelegen sein liess.
In seinen eigenen Schriften soll Reichthum an Gedanken neben Kürze
der Ausdrucksweise zu bewundern sein. Er übersetzte die Sphärik
des Theodosius, astronomisch- geometrische Schriften des Aristarch
von Samos, des Autolykus, des Hypsikles, den Gewichtezieher des
Heron von Alexandria, mit grosser Wahrscheinlichkeit auch den
(Diophant.

Die ganze zweite Hälfte des X. S. erfüllt Abü'l Wafä Muhammed
ihn Muhammed Al-Büzdschäni 940 — 998 aus Büzdschän^), der als
Uebersetzer des Diophant zu nennen ist. Er verliess schon mit
20 Jahren seine Heimath, um nach 'Irak überzusiedeln, wo er speku-
lative und praktische Arithmetik vermuthlich bei zwei Oheimen, Geo-
metrie bei zwei anderen Lehrern studirte. Unter der spekulativen
Arithmetik ist das zu verstehen, was die Griechen Arithmetik
nannten, also Zahlentheorie und Algebra, unter der praktischen
Arithmetik die eigentliche Rechenkunst, die Logistik der Griechen,
wobei jedoch keineswegs jetzt schon mit Bestimmtheit ausgesprochen
werden will, dass er beide nach griechischen Mustern erlernt habe.

Die griechischen Schriftsteller, deren Werke wir als von Arabern
übersetzt namhaft zu machen hatten, sind neben den grossen Meistern
Euklid, Archimed, Apollonius, Heron, Diophant hauptsächlich solche,
welche den sogenannten kleinen Astronomen (S. 418) der Griechen
ausmachten. Die Araber hatten für diese Schriften, deren Studium
zwischen die Elemente des Euklid und den Almagest einzuschalten

») Weil S. 194—198. *) Wüstenfeld 1. c. S. 49, Nr. 100. Wenrich

1. c. S. 178. Steinschneider in der Zeitschr. Math. Phys. X, 499. 3) Eilhard
Wiedemann, Zur Geschichte Abul Wefas. ZeitHchr. Math. Phys. XXIV, histor.-
litorar. Abthlg. S. 121—122 (1879), Fihrist 39—40.

Einleitendes. Arabische Uebersetzer. 6ß3

ist, gleichfalls einen besonderen Sammelnamen, sie nannten sie die
mittleren Bücher^).

Man muss nicht glauben, dass damit die Reihe griechischer
Mathematiker, von denen man weiss, dass ihre Schriften arabische
Uebersetzer fanden, abgeschlossen sei, und ebensowenig, dass es eine
einfache Sache sei, aus arabischen Citaten klug zu werden. Wenn
es natürlich ist, dass Eigennamen, bei welchen man sich, auch wenn
man die Sprache des Volkes, dem ihre Träger augehörten, kennt, gar
häufig nichts denken kann oder Falsches sich zu denken versucht ist,
beim Uebergang in fremde Literaturen verdorben werden, so haben
die Araber ein besonderes Geschick an den Tag gelegt, Namen un-
kenntlich zu macheu. Sind nun vollends die arabischen Schriften
nicht im Urtexte bekannt, sondern selbst wieder in Gestalt von Ueber-
setzungen ins Lateinische, welche seit dem XII S. angefertigt wurden,
so ist das Unmögliche an Verketzerungen fast das Gewöhnliche. Aus
Heron ist Iran und Yrinius geworden'-), aus Menelaus Milleius,
aus Archimed bald Arsamites, bald Arsanides, bald Archime-
nides u. s. w. ^).

Einen Vortheil bilden diese Umgestaltungen, sobald sie einmal
erkannt sind; sie geben die Möglichkeit, lateinischen Uebersetzungen
oder Bearbeitungen griechischer Schriftsteller, welche dieselben ent-
halten, auf den ersten Blick anzusehen, dass nicht der griechische
Grundtext, sondern die Zwischenbehandlung eines Arabers die Vor-
lage des letzten Uebersetzers bildete, dass also nothwendigerweise der
betreffende griechische Schriftsteller als einer von denen betrachtet
werden muss, deren Werke auf arabische Mathematik Einfluss üben
konnten. So müssen beispielsweise die Arbeiten des Zenodorus
den Arabern bekannt gewesen sein, weil in einer lateinischen Ab-
handlung über die isoperimetrische Aufgabe, welche handschriftlich
in Basel vorhanden ist^), der Name Archimenides vorkommt.

Von anderen Schriftstellern, welche den Arabern bekannt waren,
nennen wir neben Jamblichus und Porphyrius, deren Studium bei
den Syrern niemals aufgehört hat, insbesondere Nikomachus ''), dessen
arabische Quellen selbst gedenken. Ebenso dürfen wir eine Bekannt-
schaft mit Pappus vermuthen, da Pappus der Rumäer doch wohl nur
irrthümlich statt der Alexandriner gesagt ist.

*) Steinschneider, Die mittleren Bücher der Araber und ihre Bearbeiter.
Zeitschr. Math. Phys. X, 456—498 (1865). ^) Zeitschr. Math. Phys. X, 489, An-
merkung 60. ^) Steinschneider in der Hebräischen Bibliographie Juli-
August 1864 (Bd. VII, Nr. 40) S. 92—93, Anmerkung 20. *) In dem Sammel-
bande F. II, 33 der basler Stadtbibliothek. ^) Zeit.schr. Math. Phys. X, 463, An-
merkung 24 überNikomachus und auf derselben Seite im Texte: Pappus der Rumäer.

664 32. Kapitel.

Die Uebersetzungstliätigkeit war auch von einer vielfach com-
mentirenden begleitet, auf die wir aber, da sie immerhin einige An-
sprüche an das Selbstdenken des Commentators erhebt, bei den
Originalarbeiten zu reden kommen. Wir haben, bevor wir diesen uns
zuwenden, nur eine Bemerkung noch zu machen.

Die Schriftsteller, von welchen als Uebersetzern seither die Rede
war, gehörten sämmtlich dem Morgenlande an. Das Morgenland war
es aber nicht allein, welches der Islam sich unterwarf, in welchem
arabisch gesprochen mid arabisch gelehrt wurde, und wenn wir gelten
lassen, was für die früheren Abschnitte unsere Richtschnur bildete,
dass es wesentlich auf die Sprache ankommt, nicht auf das örtliche
Beisammenwohnen, um die Zugehörigkeit zu einem Kulturverbande
zu Stande zu bringen, so werden wir neben den Ostarabern auch
Westaraber berücksichtigen müssen, welcher letztere Name für die
arabisch redenden Bewohner der afrikanischen Nordküste, Spaniens
und Siciliens in Anspruch genommen wird.

Längs der afrikanischen Küste ^) verbreitete sich der Islam unter
der Regierung Welid I., 705 — 717, vornehmlich durch die Tapferkeit
zweier Feldherrn, des Müsä und des Tärik. Letzterer war es auch,
der sein Waflfenglück über das Mittelmeer hinübertrug und im Mai 711
auf spanischem Boden jene steile Höhe besetzte, die nach ihm Täriks
Höhe, Dschebel Tarik, Gibraltar genannt ist. Von diesem festen
Punkte aus wurde Spanien bald zum grössten Theile unterworfen.
Aber die grosse Entfernung von der Chalifenhauptstadt gab dem
Emir, d. h. dem Befehlshaber von Spanien, die Gelegenheit sich selb-
ständiger zu gehaben, als Statthalter der näher gelegenen Provinzen
es wagen durften. Nachdem die Abbasiden zur Macht gelangt waren,
kam es zur vollständigen staatlichen Trennung, indem Emir "^Abd
Arrahmän ein Omaijade 747 eine eigene spanische Omaijadendynastie
gründete-), welche Versuche des Chalifen Al-Mahdi 776 — 777 Spa-
nien wieder zu unterwerfen, mit Glück zurückwies^). Auch das afri-
kanische Küstengebiet trennte sich vom Mutterlande. Seit dem An-
fang des IX. S. entstand'^) dort ein Reich mit der Hauptstadt Fez,
und dieses war, kaum gegründet, kräftig genug selbst wieder erfolg-
reiche Kolonisten nach Sicilien auszusenden, wo auch wieder eine
selbständische moslimische Dynastie ihren Herrschersitz aufschlug.
Wir haben zum Glück uns nicht mit den Kämpfen und Feindselig-
keiten zu beschäftigen, welche zwischen den einzelnen Dynastien
herrschten. Gift und Dolch ebenso wie offene Empörungen Hessen

*) Weil S. 97 ügg. '') Ebenda S. 140 ügg. ») Ebenda S. 150. ■•) Ebenda
S. 297-336 die moslimischen Dynastien in Afrika und Sicilien.

Arabische Zahlzeichen. Muhammecl ihn Müsä Alchwarizmi. 665

bald einzelne Persönliclikeiten , bald ganze Gescblechter in der Herr-
schaft wechseln und auch den Sitz der Herrschaft mehrfach verlegen.
Uns genügt die Thatsache der fast unaufhörlichen Kämpfe zur
Stütze der weiteren Thatsache, dass auch wissenschaftlicher Neid
zwischen den Arabern des Ostens und des Westens eine Scheidewand
errichtete, welche es verhinderte, dass manches, welches den Einen
eigenthümlich geworden war, in derselben Form von den Andern
übernommen wurde, und was wir damit meinen, wird wohl klar,
wenn wir die Jahreszahl 773, welche das Auftreten indischer Astro-
nomie in Bagdad bezeichnet, mit der Zahl 715 der Eroberung des
Westreiches, oder auch nur mit der 747 des Beginnes des spanischen
Omaijadenreiches vergleichen. Wir werden sofort an diese Datenver-
gleichung erinnern müssen, wenn wir nunmehr an die Ausbreitung
des Zahlenrechnens als ersten Theil arabisch-mathematischen Original-
schriftstellerthums gelangen und dabei wieder zuerst von den Zahl-
zeichen der Araber reden.

33. Kapitel.
Arabische Zalilzeiclieii. Muliamined ibu Mnsä Alchwarizmi.

Die Schreibkunst der Araber') in der Zeit, zu welcher sie für
die Geschichte der Mathematik unsere Aufmerksamkeit beanspruchen
dürfen, war nicht weit her (S. 653). Von einer alten Schrift mit
groben starken geradaufstehenden Zeichen, welche von späteren ara-
bischen Gelehrten selbst diesem Aussehen nach den Namen einer ge-
stützten säulenartigen Schrift erhalten hat, sind nur geringe üeber-
reste vorhanden. Ob Zahlzeichen darunter vorkommen, ist uns nicht
bekannt. Eine neue Schrift, welche zunächst dazu angewandt wurde,
den Koran zu schreiben, entwickelte sich um die Mitte des VII. S.
Die Schreibkunst gelangte bei diesem heiligen Zwecke bald zu
höherem Range, gewerbsmässige Abschreiber bildeten sich aus, und
da diese besonders zahlreich und geschickt in dem 639 am Euphrat
erbauten Al-Küfa auftreten, so erhielt die Schrift den Namen der
kufischen. Am Anfange des X. S. veränderte sich diese doch immer
noch grobe und rohe Schrift, welche man mit einem Stifte oder einer
ungespaltenen Röhre zu schreiben pflegte, besonders unter dem Ein-
flüsse des 940 verstorbenen Wezirs Ihn Mukia zu jener flüchtigen.

^) Vergl. Silvestre de Sacy, Grammair e arahe. Paris 1810 und die von
Gesenius verfassten Artikel Arabische Schrift S. 53 — 56 und Arabische Lite-
ratur S. 56 — 69 im V. Bande von Ersch und Grubers Encyklopädie.

666 33. Kapitel.

abfferuudeten Currentschrift, welche heute noch im Oriente dient und
in Druckwerken nachgeahmt wird. Sie führt den Namen Nes-chi-
schrift oder Schrift der Abschreiber, und wurde, seit man sich ge-
spaltener Rohrfedern zu ihrer Darstellung bediente, immer feiner und
eleganter. Schreibkünstler wie Ibn Bauwäb (f 1032), wie der be-
rühmte Jäküt (f 1221) glänzten. Spanien bewahrte seinen eigenen
Schriftzug, der sich bis jetzt in Westafrika, in dem sogenannten Magrib,
erhalten hat*, er ist von einer alterthümlichen Steifheit und Unge-
fälligkeiti).

Die Buchstaben des arabischen Alphabetes waren ursprünglich
nach Reihenfolge und Aussprache wohl übereinstimmend mit den
22 Lauten, welche auch anderen semitischen Alphabeten angehören
und diese ältere Anordnung führt den Namen Abudsched durch
Verbindung der drei ersten Laute, wie man Abece und Alphabet sagt.
Als die Nes-chicharaktere sich bildeten, verliess man die alte Reihen-
folge, um die Buchstaben nach ihrem Aussehen zu ordnen, d. h. so,
dass die einander ähnlichen Schriftzeichen neben einander gestellt
wurden.

Dass die Schreibart der Zahlen bei den vielfachen Ver-
änderungen der ganzen Schrift sich nicht gleich bleiben konnte, ist
nicht mehr als natürlich. Vor Allem liebten es die Araber, die Zahl-
wörter selbst vollständig zu schreiben, eine Methode, wenn man das
Methode nennen darf, welche selbst in einem Lehrbuche der Rechen-
kunst noch beibehalten ist, das zwischen 1010 und 1016 in Bagdad
verfasst wurde ^).

Aus ihr wohl entstanden die einem arabisch -persischen Wörter-
buche entnommenen sogenannten Diwäniziffern, welche nur abge-
kürzte Zahlwörter sein sollen^). Am klarsten stelle sich dieses durch
den Umstand heraus, dass in Zahlen, die aus Hundertern, Zehnern und
Einern bestehen, die Einer zwischen den Hundertern und Zehnern
ihren Platz finden, wie es in der Aussprache auch sei (S. 567).

Ausserdem bedienten sich die Araber ihrer in der Reihenfolge
Abudsched geordneten Buchstaben in derselben Weise wie die
übrigen Semiten, um die Zahlen von 1 bis 400 darzustellen. Freilich
ist die genannte Reihenfolge nicht aller Orten ganz streng festgehalten
worden. Der gleiche Buchstabe, der in Bagdad 90 bedeutete, hatte
im nördlichen Afrika den Werth ßO, 300 wechselte an eben diesen
Orten mit 1000 u. s. w.'^), und man hat daraus den Schluss gezogen,

^) Krem er II, 314. *) Käfi fil Hisäb des Abu Bekr Mohammed ben

Alhusein Alkavkhi, deutsch von Ad. Hochheim. Halle, 1878. ^) Silv. de
Sacy, Grammaire arabe I, 76, Note a und Tabelle VIII. ^) Woepcke im
Journal Asiatique vom 1. Halbjahr 1863 pag. 463, Note 1 und 464.

Arabische Zahlzeichen. Muhammecl ibn Müsä Alchwarizmi. 667

diese vou den Arabern als wesentlicli arabisch bezeichnete Darstel-
lungsweise der hurüf aldschummal, d. h. der Zahlen werthe der Buch-
staben nach ihrer alten Reihenfolge, könne erst entstanden seiu,
nachdeui Afrika islamisirt war, also nach 715. Damit stimmt auch
eine Notiz überein ^), welche dem Chalifen Welid L, unter dessen
Regierung jene Ausbreitung nach Westen erfolgte, das Verbot nach-
erzählt, in die öffentlichen, wie wir uns erinnern meist von Christen
geführten Bücher griechische Einträge zu machen mit Ausnahme der
Zahlen, weil arabisch eins, oder zwei, oder drei, oder acht ein halb
nicht geschrieben werden könne. Eine Ausnahme, welche natürlich
nur so gedeutet werden kann, dass damals um 700 die Bezeichnung
der Zahlen in abgekürzter Buchstabennotation anders als mit griechi-
schen Buchstaben noch nicht stattfand. Die Schwierigkeit Hunderte
von 500 an zu bezeichnen, scheint man anfänglich ähnlich über-
wunden zu haben, wie zum Theil bei den Hebräern (S. 114) durch
gleichzeitige additive Benutzung von zwei oder gar drei Buchstaben.
Später, vielleicht erst vom XI. S. an'-), ersann man ein neues Mittel.
Wie nämlich im Hebräischen gewisse Buchstaben existiren, welche
in zweierlei Aussprache mit und ohne Aspiration vorhanden sind,
so gibt es auch im Arabischen sechs Charaktere von doppelter Laut-
bedeutung. Man unterscheidet dieselbe durch Punkte, welche des-
halb diakritische Punkte genannt werden. Diese sechs neuen punk-
tirten arabischen Buchstaben wurden nun den 22 schon vorhandenen
beigefügt und lieferten in dieser Weise nicht nur Zeichen für die
Hunderte 500 bis 900, sondern, da jetzt ein Zeichen überschüssig
war, auch noch für 1000. Die Vereinigung mehrerer Buchstaben zu
Zahlen geschah nach dem Gesetze der Reihenfolge linksläufig, wie es
die Schrift morgenländischer Völker mit sich brachte.

So war für das Volksbedürfniss, für das Schreiben und Lesen
von Zahlen im fortlaufenden Texte ausreichend gesorgt, insbesondere
da den Arabern bei ihrer allmäligen Ausbreitung auch noch eine
Möglichkeit offen stand, die Möglichkeit sich der in dem eroberten
Lande schon vorhandenen, dort volksthümlich gewordenen Zahlzeichen
zu bedienen, von der sie wirklich da und dort Gebrauch machten'').

Das Rechnen, dessen Kenntniss am langsamsten unter den eigent-
lichen Arabern sich entwickelte, stellt andere Anforderungen. Theils
war es ein schwieriges nur Geübten mögliches Kopfrechnen, bei
welchem vielleicht die Darstellung der Zahlen an Fingern als Hilfs-

') Theophanes, Chronographia (ed. Franc. Combefis). Paris, 1655,
pag. 314. -) Silv. de Sacy, Grammaire arabe I, 74, Note b. ^) Woepcke
im Journal Asiatique vom I. Halbjahr 1863 pag. 236 — 237.

658 33. Kapitel.

mittel diente. Sind wir auch über die Zeit durciiaus im Unklaren,
wann ein solches Fingerrechnen stattfand, so wissen wir aus einem
kleinen Lehrgedichte eines Verwaltungsbeamten Scham s addin al
Mau.sili^), dass es bei Arabern in Uebuug war. Genau nach der
gleichen Folge, wie Nikolaus Rhabda es seine Landsleute lehrte
(S. 479 — 480), wurden die Einer und Zehner an der linken, die
Hunderter und Tausender an der rechten Hand dargestellt.

Theils aber lernten die Araber beim Rechnen den indischen
Stellungswerth der Ziffern kennen. Darüber kann bei der über-
einstimmenden Aussage aller arabischen Quellen Zweifel nicht be-
stehen. Am deutlichsten spricht sich Albirüni darüber aus. Dieser
Schriftsteller-) ist von arabischem Geschlechte im nordwestlichen
Indien zur Welt gekommen und so von Kindheit auf mit der Landes-
sprache vertraut geworden. Er brachte lange Jahre in Lidien zu,
studirte im Sanskrit geschriebene Werke, stellte astronomisch-geogra-
phische Beobachtungen an, denen namentlich auffallend genaue
Breitenau gaben für die von ihm bestimmten Orte verdankt werden,
und schrieb ein grosses Werk über Indien, welches in jeder Beziehung
zu den bedeutendsten Erscheinungen der arabischen Literatur ge-
hört. Albirüni starb im Jahre 1038 oder 1039. Er sagt uns^),
die Inder hätten nicht die Gewohnheit ihren Buchstaben eine Bedeu-
tung für das Rechnuugwesen zu geben, wie die Araber es thäten,
welche ihre Buchstaben nach dem Zahlenwerthe anordneten. Die
Inder bedienten sich vielmehr gewisser Zahlzeichen, die aber ver-
schiedener Art seien, wie denn auch die Gestalt der Buchstaben bei
den Indern von einer Landesgegend zur andern wechsle. Die von
den Arabern angewandten Zahlzeichen seien eine Auswahl der ge-
eignetsten bei den Indern vorhandenen. Auf die Form komme es
nicht an, wenn man nur die innen wohnende Bedeutung kenne. Ferner
sagt uns Muhammed ihn Müsä Alchwarizmi^), derselbe, welcher für
Almamün die indische Astronomie bearbeitet hat (S. 656) und dessen
schriftstellerische Leistungen uns noch in diesem Kapitel ausführlich
beschäftigen müssen, es herrsche in Bezug auf die Zeichen Ver-
schiedenheit unter den Menschen, eine Verschiedenheit, welche zumal
bei der 5, der 6, der 7 und der 8 hervortrete, doch liege darin kein
Hinde rniss.

Sieht man sich so vorbereitet die arabischen Handschriften an,
so findet man wesentliche Abweichungen zwischen den Zahlzeichen

^) Uebersetzt von Aristide Marre im Bulldino Boncompagni (1868) I,
310 — 312 ■■*) Kremer II, 424. ^) Woepcke im Journal Asiatique vom

I. Halbjahr 1863 pag. 275 flgg. •*) Trattati d'aritmetica pubblicati da Bald.
Boncompagni I, pag. 1 — 2.

Arabische Zahlzeichen. Mubammecl ihn Müsä Alchwarizmi. 669

der Ostaraber und der Westaraber. Der Vergleich der auf
der Tafel am Ende unseres Bandes ausgeführten Zeichen lehrt, dass
die hauptsächlichsten Abweichungen in den Zeichen für 5, 6, 7 und
8 stattfinden, während 1, 4, 9 ziemlich gleich aussehen, 2 und 3 nur
aus horizontaler Lage in vertikale übergingen. Das kann uns nicht
grade überraschen. Wohl aber überrascht es uns, dass die arabischen
Zahlzeichen so ungemein abweichen von den Devanagarizifiern und
dass sie viel eher den Vergleich aushalten mit den Apices, beziehungs-
weise mit indischen Zeichen des II. bis III. S. Das gibt zu denken!
Als immer wahrscheinlicher drängt sich die Vermuthung auf, es
könne der ganze historisch so dunkle als merkwürdige Vorgang
folgender gewesen sein^):

Um das II. S. n. Chr. kamen indische Zahlzeichen nach Alexan-
dria, von wo sie sich in ihrer Anwendung beim Kolumnenrechnen
nach Rom aber auch wohl nach dem Westen Afrikas verbreiteten.
Die Erinnerung an die indische Herkunft mag wach geblieben sein.
Im VIII. S. lernten die Araber des Ostens die indischen Zahlzeichen
in bereits wesentlich veränderter Gestalt mit der inzwischen dazuge-
tretenen Null kennen. Die Null nannten sie as-sifr^ das Leere, als
Uebersetzung von sitmja, wie die Null bei den Indern heisst (S. 574).
Im Westen nahm man zwar die Null auf, blieb aber, und wäre es
nur im bewussten Gegensatze zu den Ostarabern, den alten Zeichen
treu, deren indischen Ursprungs man sich eben so wohl als ihres
alexandrinischen Stempels noch lange erinnerte, und die man jetzt
Gubärziffern nannte, d. h. Staubziffern ^) im Gedächtnisse der
indischen Weise auf mit Staub bedeckten Tafeln zu rechnen.

Wenn wir behaupten dürfen, jene doppelte Erinnerung sei lange
nicht verloren gegangen, so beziehen wir uns dafür auf drei Stellen
ziemlich später arabischer Rechenbücher^). In allen dreien ist die
Form der Gubärziffern neben der der ostarabischen, welche letztere
den Namen der indischen führen, aufgezeichnet; in zweien sind die
Gubärziffern beschrieben, d. h. ihre Aehnlichkeit mit arabischen Buch-
staben und Buchstabenvereinigungen ist hervorgehoben, so dass man
sie deutlich erkennen kann; in allen dreien sind dann auch die Gu-
bärziffern als indische Formen bezeichnet. Das eine Rechenbuch er-
zählt in dieser Beziehung: „Ihr Ursprung bestand darin, dass ein
Mann aus dem Volke der Inder feineu Staub nahm, welchen er auf
eine Tafel von Holz oder anderem Stoff oder auf irgend eine ebene

^) Diese Theorie rührt von Woepcke her. Journal Asiatique vom
I. Halbjahr 1863 pag. 69—79 und 514—529. ^) Ebenda pag. 243. ^) Ebenda
pag. 58 — 68.

670 33. Kapitel.

Fläche ausbreitete, und dass er darauf verzeielinete was ihm beliebte
an Multiplikationen, Divisionen oder sonstigen Operationen, und hatte
er die Aufgabe vollendet, so schloss er die Tafel wieder fort bis
zum Gebrauche." Eben dieses Rechenbuch leitet aber, und das ist
beweisend auch für die andere Erinnerung, die ganze Erörterung
durch die Bemerkung ein, die Pythagoräer seien die Männer der
Zahlen gewesen.

Mögen die Vermuthungen, mit deren Hilfe hier ein einheitlicher
Ueberblick zu gewinnen gesucht wurde, richtig sein oder nicht, das
Vorhandensein der ostarabischen wie der Gubärziffern wird dadurch
nicht beeinträchtigt, und wir müssen nun Schriftsteller verschiedener
Zeiten und verschiedener Heimath kennen lernen und von ihnen
erfahren, was sie in der Mathematik geleistet haben, auch wie sie
rechneten.

Der erste arabische Schriftsteller, mit welchem wir es zu thun
haben, ist Muhammed ihn Müsä Alchwarizmi. Er hat, wie
wir wissen, im ersten Viertel des IX. S. gelebt. Er war einer der
Gelehrten, welche der Chalif Almamün so sachgemäss zu beschäftigen
wusste, indem er einen Auszug aus dem sogenannten Sindhind an-
fertigen, eine Revision der Tafeln des Ptolemäus vornehmen, Beob-
achtungen zu diesem Zwecke in Bagdad und in Damaskus austeilen,
endlich die Messung eines Grades des Erdmeridians ausführen Hess ^).
Die astronomischen Tafeln Alchwarizmis gehen uns nicht weiter au,
als dass wir hervorheben müssen, dass sie von Atelhart von Bath,
einem englischen Mönche, welcher um 1120 die erste Uebersetzung
des Euklid aus dem Arabischen in das Lateinische anfertigte (vergl.
Kapitel 40), gleichfalls in lateinischer Sprache bearbeitet worden
sind^). Eingehend müssen wir uus dagegen mit zwei Schriften
Alchwarizmis beschäftigen, in welchen er zuerst die Algebra, dann
die Rechenkunst behandelt hat, deren Reihenfolge wir in unserer
Besprechung aber umkehren.

Beide wurden hoch geschätzt und, wie wir sehen werden, nicht
ohne Grund. Beide sind, oder waren in verhältnissmässig neuer Zeit
im arabischen Texte vorhanden. Die Algebra freilich ist allein in
diesem Urtexte veröffentlicht, während für die Rechenkunst man lange
auf das Nachsprechen eines selbst arabischer Quelle entstammenden
Lobes beschränkt war: das Buch übertreffe alle anderen an Kürze
und Leichtiskeit und beweise den Geist und Scharfsinn der Inder in

1) Kremer II, 442—443. «) Math. Beitr. Kulturl. S. 268—269. Wüsten-
t'eld, Die Uebersetzungen arabischer Werke in das Lateinische. Abhandlungen
der königl. Gesellsch. d. Wissensch. zu Göttingen. Bd. XXII (1877) S. 20—23,

Arabische Zahlzeichen. Muhammed ibn Müsä Alchwarizmi. 671

den herrlichsten Erfindungen'). Ein '[lateinisches Manuskript, 1857
in der Bibliothek zu Cambridge entdeckt und im Drucke heraus-
gegeben-), erwies sich aber als Uebersetzung des vermissten Werkes,
und der Umstand, dass trotz nachträglichen eifrigen Suchens kein
zweites Exemplar dieser Uebersetzung ausser dem Codex von Cam-
bridge hat aufgefuuden werden können, vereinigt mit der Thatsache
der Uebersetzung der astronomischen Tafeln desselben Verfassers
durch Atelhart von Bath, haben die Vermuthung entstehen lassen^),
der gleiche Uebersetzer habe auch die Arithmetik lateinisch be-
arbeitet, eine Vermuthung, welche wenigstens so weit grosse Wahr-
scheinlichkeit für sich hat, als man auf einen Landsmann und Zeit-
genossen des iktelhart, wenn nicht auf ihn selbst als Uebersetzer
wird schliessen dürfen.

Die Schrift beginnt mit den Worten: „Gesprochen hat Algo-
ritmi. Lasst uns Gott verdientes Lob sagen, unserem Führer und
Vertheidiger.'' Der Name des Verfassers Alchwarizmi ist also hier
in Algoritmi übergegangen, und fast in dieser letzteren Form nur
noch etwas weniger der Urform gleichend, nämlich als Algorithmus
hat das Wort Jahrhunderte überdauert*) und bezeichnet jetzt jedes
wiederkehrende zur Regel gewordene Rechnungsverfahren. Das Be-
wusstsein der eigentlichen Bedeutung des Wortes ist in diesem
modernen Algorithmus gänzlich verloren gegangen, aber das Gleiche
gilt bereits für das XIIL S., wo man schon durch allerlei sprachliche
Taschenspielerkünste sich bemühte ein Verstäudniss des Wortes zu
gewinnen^). Da sagt einer, das Wort kommt von alleos fremd und
garos Betrachtung, weil es eine fremde Betrachtungsweise ist. Nein,
sagt der zweite, es kommt von argis griechisch und mos Sitte, es
ist eine griechische Sitte. Der dritte kommt zu ares die Kraft und
ritnios die Zahl. Ein vierter sieht in algos ein griechisches Wort,
welches weissen Sand bedeute, und daher der Name, denn die Rech-
nung ritmos wurde auf weissem Sande geführt. Wieder ein anderer
legt sich das Wort auseinander in algos die Kunst und rodos die
Zahl. Manchen war durch Ueberlieferung vielleicht das Bewusstsein

^) Casiri, Bibliotheca aruhico-hispana Escurialensis I, 427 (Madrid, 1760).
*) Die Schrift bildet das I. Heft der von dem Fürsten Bald. Boncompagni
herausgegebenen Trattati d'aritmetica. ^) Vergl. einen Aufsatz von Chasles in
den Comptes Bendus de l'academie des sciences XLVIII, 1058 vom 6. Juni 1859.
*) In dem Algorithmus den Namen Alchwarizmi erkannt zu haben, ist das
grosse Verdienst von Reinaud {Memoire sur l'lnde pag. 303 sq.), der schon
1845 diesen Gedanken aussprach, also lange bevor die Entdeckung des Cam-
bridger Codes die Vermuthung in Gewissheit verwandelte. ^) Math. Beitr.
Kulturl. 2G7.

672 33. Kapitel.

geblieben, es bandle sieb um den Namen eines Mannes, aber dieser
biess ibnen bald Algorus von Indien, bald König Algor von Kastilien,
bald Algus der Pbilosopb. Neuere Gelehrsamkeit bat sieb, ebe die
riebtige Ableitung bekannt war, mit scbeinbarem Recbte fast am
weitesten von der Wabrbeit entfernt, indem sie in äbnlicber Weise wie
bei Almagest eine Zusammensetzung des arabiseben Artikels al mit
dem griecbiscben aQiQiii.g, die Zabl, vermutbete und das dazwiseben-
getretene g als spracblicbe Absonderlicbkeit betrachtete, die einer
Erklärung nicbt fähig sei, auch nicht bedürfe, da man bei dem
Uebergange aus dem Griechischen durch das Arabische in das Latei-
niscbe auf Alles gefasst sein müsse. Es können Einen solche Ver-
irrungen nicht erstaunen, wenn man berücksichtigt, dass durch
neckischen Zufall alle anderen Formen des Namens unseres arabi-
schen Gelehrten, die bekannt geworden sind, dem Algorithmus lauge
nicht so verwandt klingen wie das zuletzt veröffentlichte Algoritmi.
Als solche Formen erwähnen wir Alchoarismiis^), Alkauresmus, ja
sogar Aldiocharithmus ^).

Eine Frage könnte noch erhoben werden dahin gebend, welche
den Namen Alchwarizmi führende Persönlichkeit den Urtext zu jener
lateinischen üebersetzuug geliefert habe? Wir nahmen an, es sei
Muhammed ibn Müsä Alchwarizmi gewesen, aber eine zweite Per-
sönlichkeit konnte gleichfalls als Verfasser gelten. Albirüni, nach
unserer früheren Darstellung (S. 668) dem Nordwesten Indiens ent-
stammend, hatte nach anderer Meinung seine Heimath in einem
kleinen Orte Birün der Landschaft Chwarizm, und diese Meinung,
wenn auch muthmasslich irrig, war verbreitet genug ihm den Namen
Alchwarizmi bei manchen zuzuziehen^). Ausserdem weiss man von
ihm, dass er ein Rechenbuch verfasst hat^), einiger Zweifel konnte
daher entstehen, ob der erste, ob der zweite Alchwarizmi sich in
jener Schrift redend einführe. Die Sicherung in dem Sinne beruht
auf dem Umstände, dass nur von dem ersten, nicbt von dem zweiten
Alchwarizmi eine Algebra geschrieben worden ist, mid dass der Ver-
fasser des Rechenbuches nach jenem Anrufen und Preisen des Lenkers
der Dinge, welches er echt arabisch noch weiter fortsetzt als wir es
oben mittbeilten, nach Erörterung der Verschiedenheit der Zahl-
zeichen unter den Menschen, auf welche wir ebenfalls (S. 668) uns
schon bezogen haben, fortfährt wie folgt ^): „Und ich habe schon in
dem Buche Aldscbebr und Almukäbala, d. h. der Wiederherstellung

^) Libri, Histoire des sciences mathcmatiques en ItaUe I, 298. ^) Reinaud,
Memoire sur VInde pag. 375. ^) Wüstenfeld, Geschichte der arabischen
Aerzte und Naturforscher S. 75, Nr. 129. "*) Reinaud, Memoire sur rinde
pag. 303. '^) Trutlati d'aritinetica I, 2.

Arabische Zahlzeichen. Muhammed ihn Müsä Alchwanzmi. 673

und Gegenüberstellung, eröffnet, dass jede Zahl zusammengesetzt sei,
und dass jede Zahl sich über eins zusammensetze. Die Einheit also
wird in jeder Zahl gefunden, und das ist es, was in einem anderen
Buche der Arithmetik ausgesprochen ist. Weil die Einheit Wurzel
jeder Zahl und ausserhalb der Zahl ist." Der Anfang dieses Satzes
bis zu der „einem anderen Buche der Arithmetik", in alio lihro arith-
niefico, entnommenen Bemerkung über die Ausnahmestellung der Ein-
heit findet sich aber nahezu wörtlich iu der Algebra des Muhammed
ihn Müsä^). Wir sind also in der That berechtigt, hier unter dem
Namen des Muhammed ihn Miisä Alchwarizmi über jenes Rechen-
buch weiter zu berichten, für ihn in Anspruch zu nehmen, was aus
dem letzten Theile der hier mitgetheilten Stelle unzweifelhaft her-
vorgeht, dass wer so schrieb, in der Zahlenlehre der Neupythagoräer
wohl geschult sein musste, welche er nicht aus indischen Quellen
kennen lernen konnte, dass unter jenem anderen Buche der Arith-
metik die spätere sogenannte spekulative Arithmetik im Gegensatze
zur praktischen Arithmetik (S. 662) gemeint ist, dass dem Verfasser
darüber Kenntnisse zu Gebote standen, welche unmittelbar oder
mittelbar auf Nikomachus, vielleicht auch auf Theon von Smyrna,
der am deutlichsten betont hat, die Einheit sei keine Zahl (S. 406),
zurückgehen.

Nun wird das eigentliche Rechnen gelehrt, das Zahlenschreiben,
das Addiren, bei welchem ein besonderes Gewicht auf den Fall ge-
legt ist, dass die Summe der Ziffern an einer Stelle 9 übersteigt; die
Zehner sollen alsdann der folgenden Stelle zugerechnet und an der
ursprünglichen Stelle nur das geschrieben werden, was unterhalb 10
noch übrig bleibt. „Bleibt nichts übrig, so setze den Kreis, damit
die Stelle nicht leer sei; sondern der Kreis muss sie einnehmen, da-
mit nicht durch ihre Leerheit die Stellen vermindert werden und die
zweite für die erste gehalten wird"-). * Bei der Subtraktion wie bei
der Addition soll man bei der höchsten Stelle, also links anfangen,
dann zur nächstfolgenden übergehen, weil dadurch die Arbeit, so
Gott will, nützlicher und leichter werde. Die eigentliche Schwierig-
keit der Subtraktion für Anfänger, die Behandlung des Falles, dass
eine Stelle des Subtrahenden durch eine höhere Zahl als die ent-
sprechende Stelle des Minuenden erfüllt ist, wird nicht mit einem
Worte berührt. Die dritte Operation ist das Halbiren, welches in

^) The algebra of Moliammed ben Musa (ed. Rosen). London, 1831, pag. 5,
§ 3: J also ohserved that every niimler is composed of units and that any number
may he divided into units. ^) Si nihil remanserit pones circulum, ut non sit
differentia vaeua: set sit in ea circulus qui occupet ea, ne forte cum vaeua fuerit,
minuantur differentiae, et putetur secunda esse prima. Trattati d'arithmetica I, 8.

Cantoe, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 43

674 • 3^- Kapitel.

der umgekehrten Ordnung bei der niedersten Stelle zu beginnen bat.
Das Verdoppeln. hingegen, die vierte Operation, beginnt wieder von
oben. Die Hervorhebung von Halbirung und Verdoppelung als
besonderen Rechnungsarten ist sehr bemerkenswerth. Indisch ist sie
nicht, wenigstens finden wir sie weder bei indischen Origiualschrift-
stellern, noch bei dem nach indischem Muster arbeitenden Maximus
Planudes. Nach dem heutigen Stande des Wissens können wir nur
an unmittelbaren oder durch Griechen vermittelten ägyptischen Ein-
fluss denken. Die Multiplikation wird nach der Weise ausgeführt,
welche wir (S. 570) bei den Indern kennen gelernt haben; das Pro-
dukt wird jeweil über die betrefi'ende Ziffer des Multiplikandus ge-
schrieben und verbessert, wenn eine nach rückwärts folgende Stelle
des Multiplikandus mit der Multiplikatorziffer vervielfacht eine Ver-
besserung nöthig macht. Von der Richtigkeit der genannten Ope-
rationen überzeugt man sich durch die Neunerprobe. Die Division
wird nach dem gleichen Gedanken wie die Multiplikation ausgeführt,
nur natürlich in umgekehrtem Gange. Die Schreibweise ist die, dass
der Dividend unter sich den Divisor, über sich den Quotienten erhält
und erst über dem Quotienten die aufeinanderfolgenden Veränderungen
erscheinen, welche mit dem Dividenden durch Abziehung der Theil-
produkte vorgenommen werden. Der Divisor bleibt übrigens an
seiner Stelle unter dem Dividenden nicht stehen, sondern rückt
fortwährend von links nach rechts zurück. So liefert die Division
46 468 : 324 den Quotient 143 und den Rest 136. Fasst man die
umständliche Beschreibung') in eine kurze, vielleicht durch den Ver-
fasser, vielleicht durch den Uebersetzer weggelassene Musterrechnimg
zusammen, so würde sie folgendermassen ausgesehen haben:

136
,24
110
22
140
143
46468
324
324
324.
Von einer complementären Division ist keine Spur zu finden. Im

') Trattati d'arUinetica I, 14 — 16.

.Arabische Zahlzeiclien. Muhammed iljn Mllsä Alchwarizmi. 675

Anschlüsse an die Division kommt der Verfasser zu den Brüclien
und bemerkt, die Inder hätten sieh der öOtheiligen Brüche bedient,
welche er dann schliesslich ausführlich erklärt und das Rechnen an
und mit denselben erläutert.

Wir schalten hier eine Bemerkung über arabische Brüche ein,
von welcher wir zwar nicht die volle Ueberzeugung besitzen, dass
sie bereits für die Zeit des Muhammed ihn Müsii Geltung habe, aber
auch für das Gegentheil keinerlei Gründe kennen, indem es mehr um
etwas Sprachliches als der Rechenkunst Angehöriges sich handelt.
Die Araber unterschieden nämlich stumme Brüche von aus-
sprechbaren^). Aussprechbar sind die Brüche mit den Nennern
2 bis 9 oder anders gesagt: es gibt arabische Wörter für Halbe,
Drittel, . . . Neuntel. »Stumm sind Brüche mit Nennern, welche
nicht 2 bis 9 sind oder aus diesen multiplikativ zusammengesetzt
werden können, wie etwa Sechstel des Fünftels statt Dreissigstel.

Ein stummer Bruch ist also z^. B. -— und muss umschreibend durch

ein Theil von 13 Theilen ausgedrückt werden. Man hat die Aehn-
lichkeit mit dem Aussprechbarmacheh der Brüche durch Verwandlung
in eine Summe von Stammbrüchen bei den Aegyptern (S. 31) her-
vorgehoben'''), und wenn wir uns kein bestimmtes Urtheil über die
Triftigkeit dieser unter allen Umständen höchst scharfsinnigen Ver-
gleichung zutrauen, so unterlassen wir doch nicht sie zu wiederholen
und im voraus darauf aufmerksam zu macheu, dass uns noch eine
weitere Vergleichung, möglicherweise eine ägyptische Erinnerung
durch mündliche Ueberlieferung von Jahrtausenden in diesem Kapitel
aufstossen wird.

Von einem Rechenbrette oder etwas, was demselben irgendwie
gleicht, ist bei Alchwarizmi keine Rede, und ebenso erfolglos wird
unser Suchen darnach bei älteren arabischen Schriftstellern bleiben.
Von Alkindi, der seine wissenschaftliche Thätigkeit um 850 ent-
faltete, wird zwar eine Schrift erwähnt, deren Titel in richtiger
Uebersetzung über die Linien und das Multipliziren mit der Zahl
der Gerstenkörner^) lautet, aber daraus ein Rechnen auf Linien oder
zwischen Linien mit Hilfe von Gerstenkörnern entnehmen zu wollen,
dürfte allzukühn sein.

Die zweite Schrift des Alchwarizmi, welcher wir uns jetzt zu-
wenden, ist die, wie wir schon gesagt haben, vor der Arithmetik des-
selben Verfassers entstandene Algebra '^), das erste Werk, so viel mau

^) Käfi fil Hisäb (deutsch von Hochheim) Heft I, S. 11, Anmerkung 4,
und Behaeddins Essenz der Rechenkunst (deutsch von Nesselmann) S. 4.
^) Herr L. Rodet in einem Privatbriefe. ^) Fihrist, 11. *) Eine alte latei-

43*

676 33. Kapitel.

weiss^ in welchem dieses Wort selbst als Titel erscheint. Ja, wenn
mau arabischen Notizen, die theils* in einem Werke des XII. S.,
theils in Randbemerkungen zu einer Handschrift von Alchwarizmis
Algebra niedergelegt sind^), Glauben beimessen darf, so ist es das
erste Werk, in welchem jenes Wort vorkommen kann, denn vor
Alchwarizmi habe kein Araber je über den dadurch' bezeichneten
Gegenstand geschiieben. Wir müssen demnach sicherlich an dieser
Stelle von dem Worte Algebra reden").

Eigentlich sind es zwei Wörter Aldschebr walmukäbala,
welche Alchwarizmi vereint als Titel benutzt hat. Dschebr ist re-
stauratio die Wiederherstellung, mukäbala ist oppositio, die Gegen-
überstellung. Allein mit diesen Wortübersetzungen ist gewiss für
niemand, der den Sinn der Wörter in der Mathematik noch nicht
gekannt hat, etwas verdeutlicht. Trotzdem fand es Alchwarizmi
nicht für nothw endig, die Wörter, die ihm als Ueberschrift dienten,
zu erklären, und, was noch mehr sagen will, in dem eigentlich theo-
retischen Theile -seines Buches kommen diejenigen Operationen, welche
dschebr und mukäbala genannt werden, gar nicht vor. Wir werden
noch Folgerungen aus diesem höchst merkwürdigen Thatbestande
ziehen. Einstweilen erläutern wir auf die Erklärungen späterer araT
bischer Schriftsteller uns stützend die Meinung unseres Verfassers.

Wiederherstellung ist genannt, wenn eine Gleichung der Art
geordnet wird, dass auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens nur
positive Glieder sich finden; Gegenüberstellung sodann, wenn Glieder
gleicher Natur auf beiden Seiten weggelassen werden, so dass
Glieder dieser Art nach vollzogener Gegenüberstellung nur noch auf
der einen Seite vorkommen, wo sie eben im Ueberschusse vor-
handen waren.

Alchwarizmi nimmt, wie gesagt, in seinem theoretischen Theile,
wo er zuerst die Auflösung der Gleichungen lehrt, stillschweigend
an, die betreffenden beiden Vorbereitungsoperationen seien bereits
vollzogen, und er unterscheidet darnach 6 Arten von Gleichungen,
welche wir schreiben würden:

ax^ = hx, ax^ = c, hx = c, x^ -\- hx = c, x^ -\- c = bx,

x'^ = hx -\- c.

nische Uebersetzung ist abgedruckt bei Libri, Histoire des sciences mathema-
ti(jues en Italic I, 253.-297. Wir verstehen unter Mohammed ben Musa, Algebra
immer die von Fried r. Rosen besorgte mit englischer Uebersetzung begleitete
Ausgabe. London, 1831.

') Mohammed ben Musa, Algebra pag. VII. ^) Mohammed ben
Musa, Algebra pag. 177 — 188 und Nesselmaun, die Algebra der Griechen
S, 45 — 5:i.

Arabisclie Zahlzeichen. MiLhammed ibn Müsil Alchwarizmi. 677

Er gibt sodami für jede dieser Gleicliimgeii Regeln, welche er zu-
gleieli an ZaMeubeispielen erläutert.

Wir wollen die Auflösung von x'^ -{- c = hx hier beispielsweise
übersetzen, weil sie in mehreren Beziehungen die wichtigste ist^).
„Quadrate und Zahlen sind gleich Wurzeln; z. B. 1 Quadrat und
21 an Zahlen sind gleich 10 Wurzeln desselben Quadrates, d. h. was
muS^ der Betrag eines Quadrates sein, welches nach Addition von
21 Dirhani gleichwerthig wird mit 10 Wurzeln jenes Quadrates?
Auflösung: Halbire die Zahl der Wurzeln; ihre Hälfte ist 5. Ver-
vielfache dieses mit sich selbst; das Produkt ist 25. Ziehe davon
die mit dem Quadrate vereinigten 21 ab; der Rest ist 4. Ziehe
die Wui'zel; sie ist 2. Ziehe dieselbe von der halben Anzahl der
Wurzeln, welche 5 war, ab; der Rest ist 3. Das ist die Wurzel des
gesuchten Quadrates und das Quadrat selbst ist 9. Oder Du kannst
jene Wurzel zu der halben Anzahl der Wurzeln addiren; die Summe
ist 7. Das ist die Wurzel des gesuchten Quadrates, und das Quadrat
selbst ist 49. Wenn Du auf ein Beispiel dieses Falles stössest, ver-
suche die Lösung durch Addition, und wenn diese nicht den Zweck
erfüllt, dann wird Subtraktion es sicherlich thun. Denn in diesem
Falle können beide — Addition und Subtraktion — augewandt
werden, was in keinem anderen der drei Fälle, in welchen die Anzahl
der Wurzeln halbirt werden muss, gestattet ist. Wisse auch, dass,
wenn in einer Aufgabe dieses Falles das Produkt der Vervielfachung
der halben Anzahl der Wurzeln in sich selbst kleiner ausfällt als
die Zahl der Dirham, welche mit dem Quadrate verbunden ist, die
Aufgabe unmöglich ist; ist aber jenes Produkt den Dirham selbst
gleich, dann ist die Wurzel des Quadrates gleich der Hälfte der An-
zahl der Wurzeln allein ohne jede Addition oder Subtraktion." In
Zeichen würden wir das so schreiben, dass aus x' -\- c = hx sich .

ergebe, also mit zwei möglichen Werthen, vorausgesetzt, dass ( — ) > c;
bei c > (-^j sei die Aufgabe unmöglich; bei c = (~-j gebe es nur

einen Werth x = ~

Nachdem die verschiedenen Grleichungsformen aufgelöst sind,
wendet sich Alchwarizmi zum geometrischen Nachweise der Richtig-
keit des betreffenden Verfahreub. Auch hier wollen wir nur einen
Fall, etwa x- -\- bx = c hervorheben'^), um zu zeigen," wie die Sache

^) Mohammed ben Musa, Algebra pag. 11 12. -) Ebenda pag. 13—16.

678

33. Kapitel.

gemeint sei. Das Zahlenbeispiel lautet x^ -\- lOx = 39. Man zeicline

(Figur 95) ein Quadrat aß und an jede Seite desselben ein Recliteck,

so entstellt, wenn man noch 4 kleine Quadratchen an den Ecken

, - beifügt, ein grösseres Quadrat öe. Soll die erste

Figur aß das Quadrat x^, sollen die 4 Rechtecke

y, 7], K, 9 die 10a; vorstellen, so ist die Breite

10 5

a
ß

jedes solchen Rechteckes —

quadratchen betragen zusammen 4 • ( -]

und die 4 Eck-
25.

Fig. 95.

Das grössere Quadrat 8e ist also a;'^ + IOä; + 25
oder 64, weil x^ + löx = 39 ist. Die Seite des
grösseren Quadrats ist mithin ]/64 = 8. Eben diese Seite ist aber

auch rc -j- — , folglich a; = 8 — 5 = 3 oder als Formel geschrieben

=|/4-(iy+-

beziehungsweise x

i/(i-r+

Fig. 96.

Alchwarizmi erklärt dann ebendenselben Fall mit Hilfe eines Gno-
mons. Er legt nämlich (Figur 96) an aß == x^ das 10a; in Gestalt
nur zweier Rechtecke y, 8 an 2 Seiten an, so dass
ein aus aß, y und d bestehender Giiomon gebildet
ist, welchem zur Vollendung des Quadrates s^ nur

ein Eckquadrat von der Seite . = 5, mithin von

der Fläche 25 fehlt. Das grössere Quadrat ist nun-
mehr wieder x^ + 10a; + 25 = 39 -f 25 = 64 und
seine Seite ]/64 = 8. Ebendiese ist aber auch
X -\- 6 und so wieder a: = 8 — 5 = 3.

Wir bleiben in unserem Berichte hier zuvörderst stehen, um an
das Bisherige die erforderlichen Bemerkungen zu knüpfen. Wir
haben gesehen, dass Alchwarizmi seine Schrift Aldschebr walmukä-
bala nannte. Als im Mittelalter lateinische Uebersetzungen ange-
fertigt wurden, übernahm man erst einfach die beiden Wörter, welche
man nur mit lateinischen Buchstaben schrieb^), und welchen man
allenfalls die Uebersetzung realauratio et oppositio beifügte, die dabei
mitunter in der Reihenfolge wechselten, so dass sie oppositio et re-
stauratio hiessen. AUmälig ging von den beiden arabischen Wörtern
das zweite verloren, das erste blieb allein in der Form algehra übrig,
und nun geschah das Entgegengesetzte wie bei algoritlmms. Dort
vergass man, dass es ein Mann war, der so hiess, und suchte das
Wort zu übergetzen, hier vergass man, dass es ein übersetzungs-

') Libri, Histoire des sciences matheniatiqucs en Italic I, 253.

Arabische Zahlz eichen. Muhammed ibn Miisä Alchwarizmi. 679

fälliges Wort war, welclies mau vor sich hatte, und hielt dlgebra für
den Namen eiiies Mannes. Von einem Araber Geber sollte die
Kunst herrühren, behauptete im XIV. S. ein Florentiner, Rafaele
Canacci^), und andere schrieben das gläubig ab, nicht selten den
Erfinder in jenem Astronomen Dschäbir ibn Aflah aus Sevilla ver-
mutheud, der gemeiniglich Geber genannt wird und mehrere Jahr-
hunderte nach Alchwarizmi erst lebte-). Im Spanischen ist die Be-
deutung und das Wort selbst annähernd erhalten in Algebrista, der
Chirurg^).

Wir haben ferner gesehen, dass Alchwarizmi jene Wörter dscliebr
und mukdbala zwar in der Ueberschrift gebraucht, aber nirgend er-
klärt hat, wiewohl der blosse Wortlaut ganz gewiss nicht ausreicht,
um die technische Bedeutung zu verstehen. Die Folgerung ist da-
durch geradezu aufgezwungen, dass Alchwarizmi, mag er auch der
erste arabische Schriftsteller über seinen Gegenstand gewesen sein,
doch keinesfalls einen für seine Landsleute neuen Gegenstand be-
handelte, dass vielmehr durch mündliche Lehre, entnommen aus per-
sönlichen Uebertragungen fremdländischen Wissens oder aus Schriften,
die in nicht -arabischer Sprache verfasst waren, schon bekannt ge-
wesen sein muss, was Herstellung und was Gegenüberstellung sei.

So sind wir zu der Frage gelangt, aus welcher Sprache die ara-
bische Lehre von den Gleichungen sich abgeleitet hat und wann
diese Ableitung erfolgte. Die letztere Frage zu beantworten reicht
das bekannte Quellenmaterial nicht aus. Wir können nur behaupten,
die Einführung der Algebra müsse hinlänglich lange Zeit vor Alchwa-
rizmi stattgefunden haben, um die Möglichkeit zu gewähren, dass
jene Begiiffe und die für dieselben erfundenen Kunstausdrücke untej*
den Fachleuten — denn für solche schrieb Alchwarizmi — schon
landläufig geworden sein konuten. Aber woher war damals die
Algebra gekommen? Zwei Quellen stehen uns, so weit wir sehen, zu
Gebot. Was Alchwarizmi gibt kann griechischen, kann indischen
Ursprungs sein, kann vielleicht einer aus beiden Quellen gemischten
Strömung sein Dasein verdanken, wie wir- ja auch in seinem Rechen-

') Cossali, Origine, trasporto in Itdlia, primi proffressi in essa deW algebra.
Parma, 1797. I, 35. *) Hankel S. 248, Note **. Dieser Geber darf ja nicht
verwechselt werden mit dem Alchymisten Abu Müsä Dschäbir, der gleichfalls
als Geber in der Literargeschichte genannt wird und ein Schüler des Dscha'for
as-Sädik (699 — 765) war, mithin vor Mubammed ibn Müsa Alchwarizmi gelebt
hat. Vergl. Wüstenfeld, Geschichte der arabischen Aerzte und Naturforscher
S. 12, Nr. 25. ^) Llegäron ä un piieblo, donde fue Ventura hallär ä un Algehrista
con quien se curö el Sanson desgraciado. Bon Quixote, Parte UI, L. V, c. 15
am Ende. Hier ist augenscheinlich Algebrista der Chirurg, der Zerbrochenes
wieder einrichtet.

680 33. Kapitel.

buche überwiegend Indisches und daneben einzelne griechische Spuren
vorfanden. Wir wollen zu zeigen versuchen, dass, wenn die Algebra
überhaupt als eine Mischung zu betrachten ist, jedenfalls griechische
Elemente in ihr weitaus vorherrschen. >

Schon die beiden Verfahren der Herstellung und Gegenüber-
stellung, welche voraussetzen, dass auf beiden Seiten der Gleichung
nur Positives stehe, wenn der Ansatz vollendet ist, können nicht
indisch sein, weil die Inder von dieser Bedingung nichts wissen.
Es kann hier nur auf Griechisches gemuthmasst werden, und ver-
gleichen wir unsere Auszüge aus Diophant (S. 442), so finden wir
ganz genau die Vorschrift der Herstellung und Gegenüberstellung,
in welcher nur keine Namen für jenes Verfahren angegeben sind,
Namen die mithin jünger und muthmasslich arabischer Herkunft
sein werden. Bei Diophant finden wir ferner grade die drei* Formen
unreiner quadratischer Gleichungen, welche unser Araber kennen
lehrt, wieder mit einem kleinen Unterschied, auf den wir noch zu
redien kommen. Vergleichen wir weiter.

Alchwarizmi hat für die in den Gleichungen auftretenden Grössen
verschiedene Namen. Die Unbekannte heisst schal, die Sache, oder
dschidr, die Wurzel. Das Quadrat der Unbekannten heisst mal, Ver-
mögen, Besitz. Die bekannte Grösse wird als die Zahl benannt.
Der Name des Quadrats kann nun sehr wohl aus dem griechischen
^i;t/a(iitc, Möglichkeit, Vermögen übersetzt sein, während es aus dem
indischen varga, die Reihe, unter keinen Umständen abgeleitet werden
kann^). Das Wort schal für die Unbekannte entspricht weder dem
indischen yävattävat, noch dem ägcQ^xog des Diophant. Letzteres
war freilich nicht mehr zu verwenden, wenn man ihm schon eine
andere Bedeutung gegeben hatte, wenn man ganz zweckmässig die
bekannte Grösse der Gleichung, die fiovccg des Diophant, die rüpa
der Inder Zahl genannt hatte. Der Name schal, Sache, für die Un-
bekannte erinnert, wenn man ihn nicht als in der Natur der Fragen
begründet einheimisch entstanden lassen sein will, nur an das ägyp-
tische hau, welches gleichfalls Sache heisst und für die Unbekannte
gebraucht wird, eine Aehnlichkeit, auf welche wir oben (S. 675) vor-
bereitet haben ''^). Nun bleibt noch dschidr, die Wurzel, für die Un-
bekannte erklärungsbedürftig. Man hat darin eine Uebersetzung des
indischen müla erkannt. Das ist ganz gewiss richtig für die Bedeu-

^) üeber alle diese Namen vergl. Hankel S. 264, Note *, wo freilich
weder Alles angegeben ist, was wir hier mittheilen, noch die gleichen Folge-
rungen gezogen sind. -) Die Vergleichung zwischen schai und hau haben wir
in dem Aufsatze: „Wie man vor vierthalbtausend Jahren rechnete" in der Bei-
lage zur Allgemeinen Zeitung vom 6. September 1877 ausgesprochen.

Arabische Zahlzeichen. Muhainmed ibn Müsä Alchwarizmi. 681

tung von dschidr als Quadratwurzel einer Zahl, welche bei den
Griechen stets jilsvQa, die Seite, hiess. Aber ob nicht zugleich an
das Qt^T] des Nikomachus, welches in der Arithmetik des Boethius
sich mit erweiterter Bedeutung als radix wiederfindet^), erinnert
werden darf, ist eine doch wohl aufzu werfende Frage. Es könnte
QL^t] selbst eine Uebersetzung von müla sein, wenn wir an die in-
dische Beeinflussung Alexandrias im IT. S. uns erinnern; es könnte
müla aus Qi^rj übersetzt worden sein, wenn wir an die alexandri-
nische Beeinflussung Indiens denken; es könnte dschidr dem einen
wie dem andern Worte sein Dasein verdanken! So, viel scheint da-
raus hervorzugehen, in diesen Wortvergleichungen werden. wir den
Schlüssel zu dem uns beschäftigenden Geheimnisse nicht finden.

Täuschen wir uns nicht, so liegt dieser Schlüssel in den Figuren,
welche Alchwarizmi zur Begründung seiner Auflösungen der unreinen
quadratischen Gleichungen gezeichnet hat, oder vielmehr in den
Buchstaben, welche er zur Bezeichnung dieser Figuren verwendet^).
Alchwarizmi beweist Algebraisches geometrisch; das ist von vorn
herein griechisch, nicht indisch, da dem Inder grade das entgegen-
gesetzte Verfahren Gewohnheit ist. Geometrisches algebraisch .zu be-
handeln, und nur eine unbestimmte quadratische Gleichung

xy = ax -{- hp ^ c

(S. 590) geometrische Erörterung fand, welche uns an einen grie-
chischen Ursprung grade dieser Gleichungsauflösung denken liess.
Alchwarizmi bezeichnet ferner seine Figuren mit Buchstaben; das ist
wieder griechisch, nicht indisch. Und nun vollends mit welchen
Buchstaben bezeichnet er sie? Allerdings mit arabischen Buchstaben,
aber mit solchen, welche eine bunte Reihenfolge in dem späteren
arabischen Alphabete darstellen und auch durch die Reihenfolge
Abudsched nicht ganz erklärt sind, während sie durch griechische
Buchstaben nach dem Gesetze gleichen Zahl werthes, sofern man die
Buchstaben als Zahlen betrachtet, ausgedrückt die vollständig richtige
griechische Reihenfolge zeigen, und auch darin griechisch sich geben,
dass sie das ?r und l ausschliessen. Welchen Grund könnte ein
Araber gehabt haben, seinen beiden Zeichen, welche die Zahlenbedeu-

*) JRadiccs autem proportionem voco numeros in super iore dispositione descrip-
tos, quasi quihns omnis summa supraiiidae comparationis inniiatur (Boetius
ed. Friedlein pag. 60 1. 1-3). *) Der den Charakter einer Methode an sich
tragende Gedanke auf die Buchstaben einer Figur und deren Reihenfolge zu
achten, um die Herstammuug einer Lehre zu erkennen, rührt von Hultsch
her, der ihn in seiner Abhamllung über den heronischen Lehrsatz, Zeitschr.
Math. Phys. IX, 247 zuerst in Anwendung gebracht hat.

532 23- Kapitel.

tung 6 und 10 haben und so den als ausgeschlossen von uns ge-
nannten entsprechen, also den ?f-Laut und den ^'-Laut, nicht zu be-
nutzen? Keinen, so viel wir sehen. Der Grieche hatte solche Gründe.
Das =r war ihm im Gewöhnlichen überhaupt kein Buchstabe mehr,
und das i, wie wir uns erinnern, dem einfachen Striche allzuähulich.
Der ein griechisches Muster benutzende Araber folgte ihm, aber auch
nur dieser.

Wir behaupten auf diese Begründung gestützt: Zum mindesten
die geometrischen Nach Weisungen für die Auflösung unreiner qua-
dratischer GleichjLingen bei Muhammed ihn Müsä Alchwarizmi sind
griechisch, und damit gewinnen auch frühere Behauptungen erneute,
für manchen Leser vielleicht erhöhte Wahrscheinlichkeit, die Be-
hauptung jene Auflösung der Gleichung xy = ax + ^>y + c bei
Bhäskara sei griechischen Ursprungs, die Behauptung, die griechische
Algebra habe von Euklid zu Heron, vielleicht zu Diophant in voll-
kommen selbständiger Entwicklung sich ausgebildet.

Wie Alchwarizmi zu griechischer Algebra gekommen sein kann,
darüber vollends ist nach der allgemeinen kulturgeschichtlichen Ueber-
sicht, welche wir im vorigen Kapitel zu geben uns gedrungen fühlten,
kein Zweifel. Die griechischen Gelehrten, die am persischen Hofe
erschienen waren, gehörten einer Zeit an, welche wohl anderthalb
Jahrhunderte nach Diophant fällt, und durch sie kann und wird
manches aus Diophant, beziehungsweise aus Kenntnissen, wie sie in
griechischer Sprache uns nur bei Diophant erhalten sind, mitgeführt
worden sein. Wir erinnern ferner daran, dass Johannes von Da-
maskus im VIII. S. zum arabischen Hofe in Beziehung stand, jener
Mann (S. 654), der mit Pythagoras und Diophant verglichen worden
ist, vielleicht doch mehr als eine Floskel seines Lobredners, vielleicht
ein Hinweis darauf, dass die Gegenstände pythagoräischer wie dio-
phantischer Arithmetik und Algebra ihm geläufig waren.

Es fehlt freilich bei Alchwarizmi neben Dingen, in welchen er
als Schüler griechischer Algebraisten sich erweist, auch nicht an
Dingen, in welchen er sich wie von den Indern, so auch von ihnen
zu unterscheiden scheint, nicht an solchen, in welchen er über sie
hiuausgeht. Die Griechen, und wie die Griechen so auch die Inder
(S. 584), bereiteten eine unreine quadratische Qleichung, etwa

ac(r -\- hx = c,

zur Auflösung dadurch vor, dass sie dieselbe mit dem Coefficienten
a des quadratischen Gliedes, unter Umständen auch mit dem Vier-
fachen desselben 4 a vervielfachten. Alchwarizmi schlägt den ent-
gegengesetzten Weg ein, er lässt seine Gleichimg durch jenen Coeffi-

Arabisclie Zahlzeichen. Muhammed ibn Müsä Älchwarizmi.

6Si

cienten dividiren^) und bringt sie so in die in seinen Lösungen vor-
gesehene Form x^ -{- hyX = Cj^. Wir erinnern uns ferner, dass es
unmöglicli war, den bestimmten Nachweis zu führen, Diophant habe
gewusst, dass manche unreine quadratische Gleichungen zwei von
einander verschiedene positive Wurzelwerthe • besitzen (S. 446).
Älchwarizmi spricht ausdrücklich von den beiden Wurzeln der
Gleichungen x^ -\- c = hx (S. 677). Das dürfte doch wohl auf
indischen Einfluss zurückzuführen sein, so dass damit das Wort
Mischung, dessen Möglichkeit wir für. die arabische Algebra in sehi*
einschränkende Klauseln einschlössen, sich für dieses eine indische
Element rechtfertigen könnte.

Indisch ist auch wohl die nur uneigentlich der Algebra zuge-
theilte Regel de tri, Avelche in der Fortsetzung von Alchwarizmis
Werke auftritt-) und ähnlich bei griechischen Schriftstellern uns
nicht bekannt ist.

Gehen wir in unserem Berichte weiter, so kommen wir zu einem
unzweifelhaft wieder griechischen Quellen entstammenden Kapitel mit
der Ueberschrift die Messungen, misähät^). Einzelheiten mögen
unsere Behauptungen bestätigen. Älchwa-
rizmi spricht den pythagoräischen Lehr-
satz aas und will ihn beweisen. Zum
Beweise dient ihm (Figur 97) das in acht
gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke
zerlegte Quadrat, die Figur, deren wir als
Figur 34 zum Verständniss der berüchtigten
platonischen Menonstelle (S. 205) bedurf-
ten, welche auch von Pythagoras muth-
masslich zum Beweise seines Satzes in
dem ersten Falle, dass das vorgelegte recht-
winklige Dreieck die Hälfte eines Quadrates war, benutzt wurde, eine
Muthmassung, die selbst wieder zu gesteigerter Wahrscheinlichkeit
gelangt, wenn wir die dazu dienende Figur als eine griechische wirk-
lich nachweisen können. Das können wir aber trotz des arabischen

') The Solution is the same wlien two Squares or three, or more or less he
specified; you reduce tliem to one Single Square and in the same proportion you
rcduce also the roots and simple numhers, ivhicli are connected thereicith (Mo-
hammed ben Musa, Algebra pag. 9). '■') Mohammed ben Musa, Algebra
pag. 68—70. ^) Ebenda pag. 70—85. Eine französische üebersetzung die;-;es
einen Kapitels hat Aristide Marre nach Rosens englischer üebersetzung in
den N. ann. math. V, 557—570 gegeben. Später hat er sie nach dem arabischen
Grundtexte verbessert zum erneuerten Abdruck bringen lassen in Annali di
matematica piira ed applicata T. VII. Roma, 1866.

084 . 33. Kapitel.

Fundortes wieder mit Hilfe der Buchstaben. Unter den 12 Figuren,
welche überhaupt in dem Kapitel der Messungen vorkommen, ist
eine (ein durch einen vertikalen Durchmesser getheilter Kreis) ohne
jede Bezeichnung. Zehn Figuren sind durch an die Seiten bei-
geschriebene Längenmaasse bezeichnet. Die einzige zum pythagoräi-
schen Lehrsatze gehörige Figur trägt Buchstaben an den Ecken und
zwar solche, die nach unserer vorerwähnten Methode ins Griechische
übertragen eine richtige Reihenfolge der gewählten Buchstaben
geben ^). Vierecke, heisst es alsdann weiter, sind von fünf Arten:
Quadrate, Rechtecke, Rhomben, Rhomboide, unregelmässige Vierecke.
Das sind ganz genau die fünf euklidischen Vierecke im Gegensatze zu
den indischen (S. 609 — 610). Alchwarizmi unterscheidet dabei Länge
und Breite der Figuren, unter ersterer die grössere, unter letzterer
die kleinere Abmessung verstehend. Das ist wieder, alexaudrinisch
und von ägyptischer Zeit her in Gebrauch (S. 365). Die Aufgabe
wird gestellt: in ein gleichschenkliges Dreieck, dessen beide gleiche
Schenkel 10 und dessen Grundlinie 12 zur Länge hat, ein Quadrat
einzuzeichnen. Die Höhe des Dreiecks ergibt sich ihm als 8, die

Quadratseite als 4— • Genau dieselbe Aufgabe mit denselben Maass-
zahlen findet sich bei Heron^), denn darin wird man doch wohl eine
Verschiedenheit nicht erkennen wollen, dass Heron von seinem gleich-
schenkligen Dreiecke nur die Grundlinie mit 12, die Höhe mit 8 be-
kannt gibt, woraus man die beiden gleichen Seiten mit je 10 berechnen
könnte, wenn Heron es auch unterlässt. Eine gewisse Verschieden-
heit bietet nur die Art der Berechnung der Quadratseite, die in dem
arabischen Texte deutlicher ist als in unserem griechischen Wort-
laute. Heron nämlich verschafft sich ohne weitere Begründuug die
Quadratseite, indem er das Produkt von Höhe und Grundlinie durch
die Summe von Höhe und Grundlinie dividirt; Alchwarizmi dagegen
rechnet — ob nach griechischer Vorlage lassen wir dahingestellt —
dieselbe Formel erst algebraisch aus, indem er die Quadratseite als
Unbekannte wählt und die vier Stücke, in welche die Einzeichnung
des Quadrats das ursprüngliche Dreieck zerlegt, ihrer Fläche nach
einzeln berechnet, welche alsdann zusammen der bekannten Gesammt-.
fläche gleich gesetzt werden. Allerdings fehlen auch in dem Kapitel
der Messungen gewisse Dinge, welche wir sonst bei Schriftstellern,
die unmittelbar an Heron sich anlehnen, zu finden gewohnt sind.

^) Rosen hat zwar B wo wir ^ haben, doch ist dieses offenbar Wirkung
eines Schreibfehlers, indem die beiden entsprechenden arabischen Buchstaben
sich nur durch ein kleines Pünktchen unterscheiden. .-) Heron (ed. Hultsch)
pag. 74—75.

Arabische Zahlzeichen. Muhammed ihn Müsä Alchwarizmi. 685

Die näherungsweise Berechnung des gleichseitigen Dreiecks unter

Benutzung von ]/3 = -7, die heronische Dreiecksformel aus den drei

Seiten, jene altägyptischen Annäherungswerthe für Vielecksflächen
als Produkte der arithmetischen Mittel von je zwei Gegenseiten lehrt
Alchwarizmi nicht. Von Stereometrischem hat nur der Inhalt einer
abgestumpften quadratischen Pyramide, deren Grundfläche die Seite 4,
die Abstumpfungsfiäche die Seite 2 besitzt, während die Höhe 10 ist,
Beachtung gefunden. Die Berechnung selbst kann nach griechischem
Muster geführt sein, wiewohl grade diese Zahlen in keiuem der be-
kannten herouischen Beispiele vorkommen. Auch ein indisches Ele-
ment ist übrigens mit Bestimmtheit in diesem Kapitel nachzuweisen.
Die Verhältnisszahl 7t wird nämlich in dreierlei Grössen augegeben.
22 . .

Davon werde "- „im praktischen Leben angewandt, wiewohl es nicht

ganz genau sei; die Geometer besitzen zwei andere Methoden", und

diese sind die indischen 71 = yiO und 71 = „aaoo'

Nun kommt ein letzter wieder ganz verschieden gearteter Ab-
schnitt, an Länge ziemlich genau die Hälfte des ganzen Buches aus-
machend^) und dadurch den Beweis liefernd, dass in den Augen des
Verfassers hier Avohl der Schwerpunkt seiner Aufgabe liegen mochte.
Es handelt sich um die ungemein verwickelten, um nicht zu sagen
verworrenen Bestimmungen über Erbrecht, über Freimachung von
Sklaven und dergleichen, welche in dem Koran, dem bürgerlichen
nicht minder als religiösen Gesetzbuche der Araber, enthalten waren,
und welche mit ihren sich oft widersprechenden Forderungen nicht
selten eine Entscheidung nöthig machten, die von dem Rechte und
der Rechnung gleichmässig abwich, weil es unthunlich schien, nur
das Eine zu Gunsten des Anderen zu verletzen. Aufgaben wie jene
römische Erbschaftsfrage von der Wittwe, die nach dem Tode des
Mannes Zwillinge zur Welt bringt, sind in diesem Abschnitte nicht
enthalten, was ja zum voraus keineswegs sicher war, da möglicher-
weise auch diese Doktorfrage einem arabischen Rechenkünstler hätte
bekannt werden können und dann gewiss seine Sammlung kitzlicher
Fälle zu bereichern beigetragen haben würde. Aber wenn auch
A ehnlichkeiten und Uebereinstimmungen mit dem römischen Rechte
bei den Arabern nachzuweisen sind, ableitbar aus der langen Geltung
römischen Rechtes in Palästina und Syrien, im Erbrecht finden sich
keine Vergleichungspunkte. Es ist ganz unabhängig von fremden
Einflüssen auf ausschliesslich semitischem Boden entstanden, und nur

') Mohammed ben Mu«a, Algebra pag. 86 — 174.

636 ^3- Kapitel.

die hebräische Gesetzgebung, die ebenso wie die arabische auf eine
altsemitische gemeinsame Rechtsauffassuug zurückreicht, hat hierbei
mitgewirkt^). Dieser Abschnitt der Algebra ist also arabisch durch
und durch und ist als Grrundlnge zahlreicher späterer besonderer
Schriften zu betrachten, welche geradezu von den Erbtheilungen
und den dabei vorkommenden Rechnungen ausschliesslich
handeln. Ibn Chaldim, ein arabischer Gelehrter, der von 1322 bis
1406 im Occidente lebte, hat diesen Theil der mathematischen Wissen-
schaften unter dem Namen al farä 'id, d. h. gesetzlich festgestellte
Bedingung, ausführlich geschildert und Schriftsteller genannt, welche
sich mit demselben besonders beschäftigten-). Gleiches findet sich
bei Hadschi Chalfa^), einem Bibliographen des XVII. S.

Wir haben die beiden Lehrbücher Alchwarizmis, sein Lehrbuch
der Rechenkunst und das der Zeit nach ältere der Algebra, verhält-
nissmässig sehr ausführlich besprochen. Die ganz aussergewöhnliche
Wichtigkeit, welche beide Schriften für die Entwicklung der abend-
ländischen Mathematik gewonnen haben, wird noch nachträglich
dieses längere Verweilen rechtfertigen. Schon jetzt dürfte aber unsere
Rechtfertigung von dem Gesichtspunkte aus geliefert sein, dass uns
nimmehr die Grundlage genau bekannt ist, welche durch den ersten
arabischen Schriftsteller über Mathematik natürlich aus fremdem
Stoffe geschaffen war, eine Grundlage, auf w^elcher seine Landsleute
nun fortbauen konnten und mussten, mochten sie gleich ihm die schon
zubehauenen Steine den Trümmern einer fremdländischen Bildung ent-
nehmen, oder mochten sie selbst ganz Neues schaffend ihre Be-
fähigung mehr als blosse Aufbewahrer angeeigneten Gutes zu sein
glänzend bewähren.

Was das Verhältniss betrifft, in welchem gemischt Griechisches
und Indisches von Alchwarizmi aufgenommen und verarbeitet wurde,
so lässt sich dasselbe kurz dahin angeben, dass als indisch vornehm-
lich die Rechenkunst, als griechisch dagegen, wenn auch nicht unter
Ausschliessung jeglicher aus Indien stammender Veränderung, die
Algebra sowie die Geometrie, mit anderen Worten die .eigentliche
wissenschaftliche Mathematik sich erweist.

Diese fast gegensätzliche Scheidung der beiden Richtungen,
welche bei Muhammed ibn Müsä Alchwarizmi sich einigermassen
verwischte, scheint auch fast zwei Jahrhunderte nach ihm im All-
gemeinen noch bemerklich gewesen zu sein. Erzählt doch der be-

') Kremer I, b21 — 532. ^) Ibn Khaldoun, Prolegomcnes in den No-

tices et extraits des ntanuserits de Ja BiblioUieque imperiale T. XXI, Partie 1,
pag. 21—25 und 138—140. -) Haggi Halifa, Bd. IV, S. 393 flgg.

Arabische Zahlzeichen. Muhammed ihn Müsä Alchwarizmi. 687

rühmteste unter allen arabischen Aerzten Abu 'Ali Husaiu ibn
AbdaUäk ibn .Husain ibn Ali as-Schaicli ar-Ra'is Ibn Sinä oder
Avicenna, wie man ihn gewöhnlich nennt, er habe^) in seinem
zehnten Lebensjahre — das war zwischen 990 und 995 n. Chr. — in
Buchara von einem Lehrer Unterricht im Lesen des Koran und in
den Wissenschaften erhalten und habe bald den Gegenstand allgemeiner
Bew'underung gebildet; dann habe der Vater ihn zu einem Manne
geschickt, der mit Kohl handelte, und der in der indischen Rechen-
kunst wohl erfahren war, damit er von diesem lerne.

Selbst Muhammed ibn Müsa hat neben seiner Algebra noch eine
Schrift verfasst, in welcher er nach höchster Wahrscheinlichkeit
Gegenstände sehr ähnlicher Natur nach einer weniger wissenschaft-
lichen als praktischen Methode, die auch bei den Indern, wenn auch
etwas abweichend (S. 577) uns begegnet ist, behandelte-). Wir kennen
freilich nur die Ueberschrift des uns verlorenen Buches Ueber die
Vermehrung und Verminderung, fil dscham' wattafrik, und aus
diesem Titel selbst Hesse sich gar nichts entnehmen, wenn er nicht
häufiger vorkäme, einmal begleitet von der Abhandlung, der er als
Ueberschrift dient, und aus deren Inhalt man auf den der gleich-
betitelten aber nicht mehr vorhandenen Arbeiten schliessen zu dürfen
glaubt. So ergänzt man sich die Schrift über die Vermehrung und
Verminderung des Alchwarizmi, so die des Sind ibn Ali, des Sin an
ibn Alfath. Von diesen beiden war der erstere einer der Astro-
nomen, welche Chalif Almamün zugleich mit Alchwarizmi in Diensten
hatte, und ebenso wie von diesem, ebenso wie von dem vielleicht
nicht viel späteren Sinän ibn Alfath ist auch von ihm eine Schrift
über indische Rechenkunst ausgegangen^). Die zur Ergänzung dienende
Schrift ist in einem dem Mittelalter entstammenden lateinischen Texte
vorhanden*) und ist betitelt: Liher augmenti et diminutionis vocatus
numeratio divinationis ex co quod sapientes Indi posnerunt, quem
Abraham compüavit et secimdum l'ibrum qiii Tndorum dictus est com-
posuit. Ob dieser Abraham, wie man vermuthet hat, der sonst unter
dem Namen Ibn Esra bekannte gelehrte Jude ist, der 1093 bi^
1168 lebte, ob ein Araber Ibrahim sich darunter verbirgt, ist noch
immer nur so weit ausser Zweifel gestellt, dass jede dritte Möglich-
keit ausgeschlossen und die Muthmassung auf Ibn Esra als inneren

') Wüstenfeld, Arabische Aerzte und Naturforscher S. 64 — 75, Nr. 128
Abul Pharagius Eistoria Dynast, (ed. Pocock) pag. 229 der lateinischen Ueber-
setzung. '■*) Woepcke in dem Journal Asiatique I. Halbjahr 1863, pag. 514.
^) Ebenda 490. *) Libri, Histoire des sciences mathematiques en Italie 1,

304 — 371. Ueber einige dunkle Stellen vergl. Schnitzler, Zeitschr. Math.
Phys. IV, 383—389.

688 33. Kapitel.

Gegeugründen nicht widersprechend nachgewiesen ist^). Unzweifel-
haft dagegen ist es, dass das gelehrte Verfahren den Indern zuge-
schrieben ist, da ihrer nicht bloss in der üeberschrift gedacht wird,
sondern auch im Texte, wo der Verfasser wiederholt, er habe dieses
Buch nach denjenigen Erfindungen zusammengestellt, welche die
Weisen der Inder über die Rechnung der Annahme gemacht haben-,
es sei nützlich für den, welcher es beachte und sich bemühe und
beharre und dessen Meinung verstehe.

Die eigentliche Methode zu erläutern, wollen wir die erste Auf-
gabe hier mittheilen: „Ein gewisser Besitz {c.ensus), von welchem man
dessen Drittel und dessen Viertel weggenommen hat, lie^s 8 als Rest.
Wie gross war der Besitz? Die Methode der Rechnung desselben ist,
dass Du aus 12 eine Wagschale (lancem) bildest. Der dritte und
der vierte Theil entstehen daraus. Du nimmst den dritten und vierten
Theil weg, welche 7 betragen und 5 bleibt übrig. Stelle 8 gegenüber,
nämlich den Rest des Besitzes, und es wird klar, dass Du um 3 in
der Verminderung geirrt hast. Diese bewahre. Sodann nimm Dir
eine zweite Wagschale, welche durch die erste theilbar sei, etwa 24;
nimm ihren dritten und vierten Theil also 14 weg, 10 bleibt übrig.
Stelle 8 gegenüber, den Rest des Besitzes. Es wird klar, dass Du
um 2 in der Vermehrung geirrt hast. Vervielfache jetzt den Irr-
thum 2 der zweiten Wagschäle mit der ersten Wagschale 12 zu 24,
sodann vervielfache den Irrthum 3 der ersten Wagschale mit der
zweiten Wagschale 24 zu 72. Addire nun 24 und 72, weil der eine
Irrthum in der Verminderung, der andere in der Vermehrung war;
wären dagegen beide in der Verminderung oder in der Vermehruug
gewesen, so müsstest Du die kleinere Zahl von der grösseren abziehen.
Nachdem Du die 24 und 72 addirt hast, deren Summe 96 ist, addire
auch die zwei Fehler 2 und 3; sie geben 5. Nun theile 96 durch 5,
um zu erfahren, welche Zahl es sei, aus welcher die Aufgabe

stammt, und es kommt 19— heraus."

Unmittelbar anschliessend fährt der Verfasser fort als Regel,
offenbar aber im Gegensatze zu dem erst gelehrten Verfahren, vor-
zuschreiben: „Man nehme 12 als die unbekannte Zahl, aus welcher
die Wegnahme des dritten und vierten Theiles 5 hervorbringt und
frage nun, womit wird 5 vervielfacht, um 12 hervorzubringen? Das

2 . .2 1

giebt 2^ : vervielfache also die 2- mit 8 und es entsteht 19 -•"

"^6 5 5

^) Steinsclineider in der Zeitschr. Math. Pys. XII, 42 und im Supple-
mentheft zur historisch-literarischen Abtheilung des XXV. Bandes derselben
Zeitschrift.

Arabische Zahlzeichen. Muhammed ibn^üsä Alchwarizmi. 689

Das ist genau die islita karman der Inder, das Verfahren mit der
angenommenen Zahl (S. 577), von welchem die Hauptregel als eine
Abart sich erweist, auf welche wir gleich zurückkommen.

Die Methode der Vermehrung und Verminderung wird noch an
vielen anderen Beispielen gelehrt und das Ergebniss häufig mittels
noch anderer Rechnungsweisen gefunden. Darunter ist auch das
Umkehrungsverfahren ^) unter dem sonderbaren Namen der Wort-
rechnung, regula sermonis. Auch dieses 'haben wir bei den Indern
kennen gelernt, und es kann uns als Bestätigung dienen, dass Abraham
mit Recht auch die Methode der Vermehrung und Verminderung eben-
denselben zuschreibt.

Die Abweichung der letzteren von dem Verfahren mit der an-
genommeneii Zahl besteht, wie wir sahen, darin, dass dort nur ein
einmaliger Versuch genügt, während hier zwei falsche Ansätze ge-
bildet werden, wodurch sich auch der Name regula elcJiaiayn, Regel
der zwei Fehler, rechtfertigt''^), welchen die Methode bei späteren
abendländischen Schriftstellern führt. Dass sie auch Methode der
Wagschalen heisst und in eigenthümlicher Schreibweise auftritt,
werden wir noch im 37. Kapitel zu besprechen haben. Ihre alge-
braische Begründung ist sehr einfach. Es sei ax = h , folglich

X = — Nun setzt man einmal x = n. , das andremal x = «, und

erhält an^ = 6 — Cj, an.^ =^ + 62? ^^ h ^^^ ^-j. ^i^ beiden Fehler
sind, der erstere in der Verminderung, der zweite in der Vermehrung.

Jetzt soll X = ~ — ?_Il A.^i ^em, und das ist auch der Fall, indem

ei'>h + ^2^1 = ^«2 — ^% = — . a (w^ — Wi) = - (^1 + e,)

ist. Der Fall, dass beide Fehler in der Verminderung, oder beide in
der Vermehrung ausfallen, kann entsprechend bewahrheitet werden.
Somit gehört auch diese Methode zu dem Grundstocke mathe-
matischer Wahrheiten, welcher in der Zeit des Muhammed ihn
Müsä Alchwarizmi, also im ersten Drittel des IX.'S., Eigenthum der
Araber war. Wir werden nun bei einzelnen Schriftstellern, von
denen wir zu reden haben, sehen, welche Vermehrungen theils als
neuerdings erworbenes fremdes Wissen, theils als eigene Erfindung
hinzutreten.

') Libri 1. c. 313. -) Diese richtige Uebersetzung bei Hankel S. 259,

Anmerkung.

Cantok, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 44

690 2*- Kapitel.

34 Kapitel.

Die Mathematiker unter den Abbasiden. Die Geometer unter

den Bnjiden.

Als der Zeit uacli Nächste fordern die sogenannten drei Brüder
unsere Aufmerksamkeit^). Müsä ibn Scbäkir war in seiner Jugend
Räuber gewesen, d. b. hatte wohl zu einer der räuberischen Horden
gehört, welche damals wie noch jetzt Unsicherheit der ^Vüstengegend
hervorbrachten, ohne dass die persönliche Ehrenhaftigkeit der ein-
zelnen Mitglieder in arabischer Auffassung dadurch beeinträchtigt er-
schiene. Dementsprechend nahm Müsä später am Hofe des Chalifen
Almamün eine hohe Stellung ein und erwarb sich die Gunst des
Herrschers in solchem Maasse, dass dieser nach Müsäs Tode sich die
Erziehung der drei hinterlassenen Söhne Muhammed, Ahmed und
Alhasan angelegen sein Hess. Der Name des ältesten: Muhammed
ibn Müsä ibn Schäkir kann, wenn der Vatersname nicht von dem
des Grossvaters begleitet ist,. leicht zur Verwechslung mit Alchwarizmi.
führen, um so leichter, als alle drei Brüder tüchtige Astronomen und
Mathematiker wurden. Von ihnen stammt die sogenannte Gärtner-
construction der Ellipse mittels eines an zwei Punkten festgehaltenen
und durch einen Stift gespannten Fadens gemäss dem Berichte eines
Arabers Alsidschzi, welcher zu Ende des X. S. lebte und, selbst
Mathematiker von Bedeutung, am Schlüsse dieses Kapitels uns be-
schäftigen wird. Eine geometrische Schrift ist in mittelalterlicher
lateinischer U^bersetzung auf uns gekommen'). Sie führt den Titel
Liber trium fratrum de geometria und beginnt mit den Worten: „Verba
filiorum Moysi, filii Schiae, id est Mahumeti Hameti et Hason'' oder
nach anderer Lesart in einem zweiten Codex „Verba filiorum Moysi,
filii Schaker, Mahumeti Hameti Hasen" und darnach ist die Bezeich-
nung der drei Brüder, beziehungsweise der drei Söhne des Müsä ibn
Schäkir geworden, unter welcher die Verfasser genannt zu werden
pflegen. Manches Interessante findet sich dort, wenn auch wenig
Neues, da fast Alles, um nicht zu sagen Alles, auf griechische Vor-
lagen zurückgeführt werden kann. Auch eine durch Bewegungs-

') Vergl. Mohammed ben Musa, Algebra. Vorrede pag. XI, Anmerkung.
Fihrist, 24—25. -) Vergl. Hultsch in der Zeitschr. Math. Phys. IX, 241— 242

und 247 in dem Aufsatze „Der heronische Lehrsatz über die Fläche des Drei-
ecks als Funktion der drei Seiten", und Jahresbericht .über Mathematik im Alter-
thuni für 1878 — 79 von Max Curtze. Ein von Ebeudiesem besorgter Abdruck
des Buches in den Nova Acta der Leop.-Car. Akademie. Halle 1885.

Die Mathematiker unter den Abbasiden. Die Geometer unter denBujiden. 691

geometrie erzielte Dreitheilung des Winkels dürfte griechischen Ur-
sprunges sein. Vorzugsweise die heronische Formel für die Dreiecks-
fläche aus den drei Seiten hat die Aufmerksamkeit eines Forschers
auf sich gezogen, der den Beweis obwohl einigermassen von dem
heronischen verschieden doch als abhängig von demselben erkannte
und insbesondere aus dem Buchstaben, mit welchem die Eckpunkte
der Figur bezeichnet sind, den Nachweis führte, dass diese Figur
einem griechischen Muster nachgebildet sein müsse, so eine vielfach
mit Erfolg anwendbare (S. 681) neue kritische Methode zur Ermitte-
lung des Ursprungs mathematischer Untersuchungen erfindend. Viel-
leicht war es Muhammed, der älteste der drei Brüder, welcher die
Kenntniss des heronischen Satzes nach Bagdad brachte, während
allerdings andere heronische Schriften schon zu Alchwarizmis Zeiten,
wie wir aus manchen bei diesem auftretenden Dingen schliessen
durften, bekannt gewesen sein mögen. Jedenfalls weiss man von
einer Reise nach den griechischen Gebieten,' welche jener machte,
und dass es auf der Rückkehr von dieser Reise war, dass er Täbit
ibu Kurra kennen lernte, welchen er aufforderte ihn nach Bagdad
zu begleiten, und so kam auch dieser letztere an den Chalifenhof,
und wurde in das Astronomencollegium Almutadids aufgenommen.
Von dem Leben (826 — 901) und der reichen Uebersetzungsthätig-
keit des gelehrten Täbit ihn Kurra haben wir (S. 662) gesprochen.
Wir haben es jetzt mit ihm als Originalschriftsteller zu thun, und
da finden wir eine Abhandlung von ihm, welche unsere Aufmerksam-
keit zu fesseln ein entschiedenes Anrecht besitzt ^). Der Gegenstand
ist ein zahlentheoretischer und zwar ein solcher, der nur der grie-
chischen, nicht ebenso der indischen Zahlentheorie angehört. Täbit
sagt auch in den Einleitungssätzen, dass es Betrachtungen seien,
welche der pythagoräischen Lehre angehörten, dass einiges über das
zu Behandelnde bei Nikomachus und Euklid sich finde; er geht
endlich, wieder nach seinen eigenen Worten, über diese beiden hinaus
und liefert somit für uns das erste Beispiel einer wirklich arabischen
Leistung auf mathematischem Boden. Es handelt sich um vollkommene
Und um befreundete Zahlen. Für die Bildung der ersteren hat Euklid
die Regel angegeben (S. 253 — 254), Nikomachus sie wiederholt.
Die zweiten hat nach Jamblichus schon Pythagoras gekannt und die
Zahlen 220 und 284 als Beispiele aufgestellt, wie Freunde sein
sollen, ein jeder dem andern ein zweites Ich (S. 156). Aber wie rnan

^) Notice sur une theorie ajoutee par Thähit ben KorraJi ä Varithmetique
speeulative des Grecs von Woepcke im Journal Asiatique für October und No-
vember 1852 pag. 420—429.

44*

692 ' -^4. Kapitel.

solche befreundete Zahlen finde, darüber äussert sich auch Jam-
blichus nicht. Täbit ihn Kurra hat eine solche Vorschrift gesehen,
welche mit der Euklids zur Bildung der vollkommenen Zahlen in
Zusammenhang steht und dadurch sich als den Kern der Aufgabe
enthüllend kennzeichnet. Sind

_p =^ 3 • 2^^ — 1 , 3 = 3- 2«-i — 1 , r = 9 • 22«-i — 1

insgesammt Primzahlen, so sind ^4 = 2"-j9-g und B = 2" - r
befreundete Zahlen. Bei ;? = 2 ist j) = 11 , ^ = 5, r = 71 und
A = 220, 5 = 284.

Die befreundeten Zahlen haben übrigens von da an nicht auf-
gehört den Arabern bekannt z:u sein. In einer mystischen Schrift
über die Zwecke des Weisen hat El Madschriti, der Madrider
(f 1007) die Vorschrift, man solle die Zahlen 220 und 284 auf-
schreiben und die kleinere wem man will zu ess^n geben und selbst
die grössere essen; der Verfasser habe die erotische Wirkung davon
in eigener Person erprobt^), und Ibn Chaldün weiss gleichfalls von
den wunderbaren Kräften eben dieser Zahlen, als Talismane gebraucht,
zu erzählen-).

Alsidschzi berichtet- auch kurz über eine Dreitheilung des Winkels
durch Täbit ibn Kurra. Figur und Wortlaut stimmen so nahe mit
einem Satze aus dem IV. Buche des Pappus überein ^), dass an einer
genauen Benutzung dieses Schriftstellers nicht zu zweifeln ist, auch
scheint Täbit kein Hehl daraus gemacht zu haben, dass er nicht der
Erfinder sei, da Alsidschzi ausdrücklich sagt, -er wolle in seinem
Berichte über Winkeldreitheilungen von den Sätzen der Alten aus-
gehen, worunter sehr wohl die Griechen verstanden sein können^).

Wieder zu Almutadid stand ein geometrischer Schriftsteller
Alnairizi'') in Beziehung, den wir also hier zu nennen haben. Er
verfasste einen Commentar zu den euklidischen Elementen, als dessen
grösstes Verdienst zu loben ist, dass dort werthvolle Bruchstücke
der in der Ursprache verlorenen Erläuterungen von Heron und
Simplicius (S. 354) erhalten sind').

^) Steinschneider, Zur pseudoepigrapliisclien Literatur insbesondere der
geheimen Wissenschaften des Mittelalters S. 37 (Berlin, 1862).. ^) Notices et

extraits des manuscrits de la hihliotheque imperiale T. XXI, Partie 1, paig. 178 — 179
(Paris, 1868). ^) Pappus IV^ 32. Die Figur vergl. (ed. Hultsch) pag. 275.

*)• L'algebre d'Omar Alkhayami (ed. Woepcke)^ Paris 1851, pag. 118. Die üeber-
einstimmung Täbits mit Pappus hat Woepcke hervorgehoben ibid. pag. 117, An-
merkung **. '") Fihrist 35. ') Alnairizis Commentar wird von Besthorn
und Heiberg herausgegeben. Ueber die Eukliderklärungen von Heron und von
Simplicius vergl. auch Fihrist 22 und 21.

Die Mathematiker unter deu Abbasiden. Die Geometer unter den Bujiden. 693

Die Zeitfolge fülirt uns zu einem Manne, welcher in ganz anderer
Richtung arbeitete, und dessen Name untrennbar verbunden ist mit
der Geschichte der Einführung- der trigonometrischen Funktionen im
Abendlande, zu Albategnius, wie die Uebersetzer ihn genannt
haben ^). Muhammed ihn Dschäbir ihn Sinän Abu Abdallah al Battani
führt seinen Beinamen nach Battän in Syrien, wo er geboren ist,
uud welchem er zur Berühmtheit verholfen hat. Jlr stellte 878—918
in Ar-Rakka astronomische Beobachtungen an, welche von seinen
Landsleuten als die genauesten gefeiert worden sind, die irgend jemand
gelungen seien, der unter dem Islam gelebt hatte, und mit nicht ge-
ringerem Lobe haben sie seine Schrift über die Bewegung der Sterne
bedacht, welche im Xu. S. durch einen Uebersetzer Plato von Ti-
voli, der uns seiner Zeit noch beschäftigen wird, unter der üeber-
schrift De motu oder De scientia stellarum in lateinischer Sprache
bearbeitet wurde. Aus dieser Uebersetzung soll das Wort simis als
Name einer trigonometrischen Funktion in die Mathematik aller
Völker eingedrungen sein. Der Ursprung des Wortes wäre dann
nach aller Watrscheinlichkeit folgender-). Die Benennung der Sehne
war im Sanskrit jyä oder jiva, die der halben Sehne ardhajyä (S. 616).
AUmälig wurde, da man nur die halbe Sehne trigonometrisch ver-
werthete, das kürzere jiva auch für diese benutzt und drang so zu
den Arabern, welche es in seinem Wortlaute, wie sie ihn verstanden,
übernahmen und ^schiba schrieben. Genau dieselben Consonanten,
welche arabisch dschiba zu lesen sind, lassen aber auch die Lesung
dschaib zu, welches ein wirkliches arabisches Wort» ist und den Ein-
schnitt oder Busen bedeutet. Nun wird angenommen, die Ueberliefe-
rung, dass man, für den Araber sinnlos, dschiba lesen müsse, sei
verhältnissmässig frühzeitig abhanden gekommen, und die Lesart
dschaib sei dafür die regelmässige geworden. Jedenfalls übersetzte
Plato von Tivoli dschaib durch das ganz richtige Wort sinus, welches
von nun an sich forterbte. Neueste Untersuchungen"') stellen diese
ganze Kette von Vermuthungeu wieder sehr in Zweifel. In der Ueber-
setzung des Plato von Tivoli soll das Wort Sinus überhaupt nicht
vorkommen. Nur im Abdrucke derselben von 1537 stehe einmal
simis versus, wahrscheinlich aus einer Randbemerkung Regiomontans,
des Besitzers der abgedruckten Handschrift, irrthümlich in den Text
hereingekommen. Dass übrigens die Araber das indische kramajyä

1) Hankel S. 241 und 281. ^) Die hier folgende Hypothese stammt von
dem pariser Orientalisten Munk her. Vergl. W-oepcke in dem Journal Asiatique
1863, I. Halbjahr,- pag. 478, Anmerkung. ^) Max Koppe, Die Behandlung der
Logarithmen und der Sinus im Unterricht. Osterprogramm 1893 d^s Andreas-
Realgymnasiurfls zu Berlin. S. 32 — 34.

094 ^1- Kapitel.

in der Form kardaga übernommeu liaben, welches ilinen den 96. Tlieil
des Kreisumfanges bedeutete, ist schon (S. 657) erwähnt worden.

Den Sinus wendet nun Albattäni. im III. Kapitel seiner Stern-
kunde, welches eine Trigonometrie enthält, regelmässig an und zwar,
was einen nicht hoch genug anzuerkennenden Portschritt gegen die
Inder bezeichnet, im Vollbewusstsein des Gegensatzes gegen die im
Almageste benutzten ganzen Sehnen mit dem ausdrücklichen Zusätze,
dass man so in der Rechnung das fortwährende Verdoppeln erspare.

Und ein anderer nicht weniger bedeutsamer Gegensatz gegen die
griechische Trigonometrie tritt bei Albattäni noch schärfer als bei
den Indern hervor. Die trigonometrischen Lehrsätze haben das Ge-
präge einer geometrischen Entstehungsweise durchaus verloren und
den Charakter algebraischer Formeln angenommen. So berechnet

Albattäni aus der Gleichung = D zunächst sin op ==

COS 9 yi -f /)2

und sucht alsdann q) in den Siiiustafeln auf. Auch der Quotient

-^ — - spielt bei ihm eine gewisse Rolle. Wenn nämlich m die Höhe
sm qp •

der Sonne bedeutet und ein Schattenmesser von der Höhe h bei dieser
Sonnenstellung einen Schatten von der Länge l auf die Horizontal-
ebene wirft, so ist l = h ■ -. — ~- Albattäni hat nun berechnet, wie

' sm qp '

gross l bei constantem Ji = 12 sein wird, wenn (p = 1", 2*^, 3" . . .
und so eine Tabelle erhalten, aus welcher umgekehrt mittels der
Schatteulänge die Sonnenhöhe gefunden werden konnte, eine Art von
kleiner Cotangemtentabelle.

Albattäni kennt selbstverständlich alle Dreiecksformeln, welche
im Almageste zur Anwendung kommen, aber darüber hinaus auch
noch die Formel, welche die Verbindung zwischen den drei Seiten
und einem Winkel des sphärischen Dreiecks herstellt:
cos a = cos h ' cos c -\- sin h • sin c • cos A

, , , , TT (> • < cOä^ (l> — c) — i^ös a

und kennt deren Umiormung zu sm vers A = ^r— =^ — ^ ,

^ sin 0 • sin c '

welche die Multiplikation zweier Cosinusse im Zähler des Ausdruckes,

welcher als Funktion des Winkels A erscheint, uunöthig macht.

Dem Anfange des X. S. gehört Ahmed ibn Jussuf ^) an, der

in Aegypten lebte. Unter seinen zahlreichen Schriften hat diejenige,

welche über die Verhältnisse handelt, einen geschichtlichen Einfluss

geübt, von welchem im 41. Kapitel im folgenden Bande die Rede

sein wird.

^) Steinschneider in der Zeitschr. Math. Thys. X, 492 (18G5) und Biblio-
tJiecu mathcmatica 1888, 111 — 112. •

Die Mathematiker unter den Abbasiden. Die Geometer unter den Bujiden. 695

Von Al-Basra war, wie wir ims erinnern (S. 655), der Anstoss
ausgegangen, der den Chalifen Almamün zu einem Beförderer der
Philosophie und der Mathematik machte. In derselben an Bildungs-
elementen der verschiedensten Länder reichen Handelsstadt schemt
in der zweiten Hälfte des X. S. eine Art von wissenschaftlichem
Geheimbund entstanden zu sein^), dessen Mitglieder in Gemeinschaft
arbeiteten, wenigstens in Gemeinschaft veröffentlichten, was sie für
nothwendig zur Bildung des Geistes und des Charakters hielten.
Diese Abhandlungen der lauteren Brüder müssen wir bis zu
einem gewissen Grade der Besprechung unterziehen. Von den, wie
gesagt, anonymen Verfassern ist es doch gelungen, einige zu ent-
räthsehi^), und unter diesen dürfte Almukaddasi der bekannteste
sein, ein anderer hiess Zaid ihn Rifä'a. Die Abhandlungen selbst
verbreiteten sich rasch sehr weit, ja sogar bis zu den Westarabern
Sjjaniens drangen sie durch El Madschriti oder durch dessen
Schüler El Karmäni, von welchem letzteren, der 1066 über 90 Jahre
alt in Cordova starb, eine Studienreise nach dem Oriente bekannt
ist''). Und trotz dieser Thatsache, welche eine packende Bedeutung
der Schriften zu erweisen scheint, hat die arabische Kritik selbst
wenig Gutes ihnen nachzurühmen gewusst. Zaid sei ein unwissender
Schwindler, sagte ein Zeitgenosse^), und das ürtheil eines gelehrten
Schaich, der die Abhandlungen einer genauen Durchsicht unterworfen
hatte, lautet: Sie ermüden, aber befriedigen nicht; sie schweifen herum,
aber gelangen nicht an; sie singen, aber sie erheitern nicht; sie weben,
aber in dünnen Fäden; sie kämmen, aber machen kraus; sie wähnen
was nicht ist und nicht sein kann^).

Was den mathematischen Inhalt der Abhandlungen betrifft, so
können wir dieses harte Urtheil kaum ein allzustrenges nennen, und
wenn wir trotz dieses geringen Werthes ihrer erwähnen, so geschieht
dieses, weil in dem Mancherlei, in den zusammengestoppelten und
gekoppelten Dingen, wie ein anderer Araber rügend sagt, doch ge-
schichtlich verwerthbare Körner haben aufgefunden werden können.
Von den vollkommenen Zahlen heisst es*"), sie kämen in jeder Zahlen-
stufe nur einmal vor, 6 unter den Einern, 28 unter den Zehnern,

') Vergl. Dieterici, Die Proi)ädeutik der Araber im X. Jahrhundert.
Berlin 1865! Flügel, Ueber die Abhandlungen der aufrichtigen Brüder und
treuen Freunde in der Zeitschr. der morgenl. Gesellschaft XIII, 1 — 38 (Leipzig
1859). Sprenger ebenda XXX, 330—335 (Leipzig 1876). -) Flügel 1. c. S. 21.
^) Ebenda S. 25. Wüstenfeld, Arabische Aerzte und Naturforscher S. 61,
Nr. 122 und S. 80, Nr. 137. *) Sprenger \. c. S. 333. ") Flügel 1. c. S. 26-
^) Propädeutik der Araber S. 12. Dass dort statt 8128 fälschlich 7128 steht, ist
wohl nur Druckfehler?

ggg 34. Kapitel.

496 unter den Hundertern und 8128 unter den Tausendern. Das
stimmt genau mit einer Bemerkung des Jambliclius überein ^) und
stellt zusammengehalten mit dem, was wir aus der Einleitung zu
Täbits Abhandlung über befreundete Zahlen beibrachten, ausser
Zweifel, dass die Schriften des Jamblichus, welche in Syrien nie auf-
gehört hatten gelesen zu werden (S. 663), um 900 auch den Arabern
überhaupt gut bekannt waren. Um so .auffallender ist eine Bemer-
kung, welche durch keine andere Ueberlieferung gestützt ist: die
meisten Völker hätten nur 4 Zahlstufen," ' aber die Pythagoräer, die
Männer der Zahlen, kannten 16 Stufen derselben tausend tausend
tausend tausend tausend"). Wir können das nur dahin verstehen,
dass während im Arabischen die selbständigen Zahlwörter sich nicht
auf andere Rangeinheiteu als auf 1, 10, 100, 1000 erstrecken, die
Pythagoräer solche Namen bis 10^^ besassen. Wenn diese Auffassung
richtig und die Aussage wahrheitsgetreu, so ist der Zusammenhang
zwischen Indern und Neupythagoräern in Dingen, die auf das Zahlen-
system Bezug haben, um einen neuen Beleg reicher, und die Hypo-
these des Eindringens indischer Zahlzeichen in jene griechische
Schule wird immer wahrscheinlicher.

Wir haben (S. 663) gesehen, dass die Araber jedenfalls mit den
Arbeiten des Zenodorus bekannt waren. Auch dafür haben wir hier
eine Bestätigung in der Bemerkung, die Kreisfigur habe einen weiteren
Umfassung als alle vielwinkligen Figuren mit gleich lauger Umfassungs-
linie ^), und wir können jetzt noch einen Schritt weiter gehend ver-
muthen, aus Pappus habe man die Kenntniss grade dieser Unter-
suchungen geschöpft. Im V. Buche des Pappus hat, wie wir uns
erinnern (S. 418), die Abhandlung des Zenodorus Platz gefunden, und
an die Einleitung eben des V. Buches eriimern aufs lebhafteste
folgende Sätze ^): „Viele Thiere schaffen von Natur schon Werke.
Das ist ihnen ohne Unterricht eingegeben. So die Bienen, die sich
Häuser schaffen. Sie bauen Häuser in Stockwerken von runder Ge-
stalt wie Schilde, eins über das andere. Die Oeffnungen der Häuser
machen sie alle mit sechs Seiten und Winkeln. Dies thun sie mit
sicherer Weisheit, denn es ist die Eigenthümlichkeit dieser Figur,
dass sie weiter ist als das Viereck und das Fünfeck."

Eine Stelle, welche auf falsche Flächenberechnung sich bezieht,
haben wir schon früher (S. 162) erwähnt. Sie heisst folgendermassen-'^):
„In einem jeden Gewerk erfasst den Zweifel, der dasselbe ohne

^) Jamblichus in Nikomäclium (ed. Tennulius) pag. 46. ^) Propä-
deutik der Araber S. 6. «) Ebenda S. 42. *) Ebenda S. 32. ^) Ebenda
S. 34—35.

Die .Mathematiker unter den Abbasiden. Die Geometer unter den Bujiden. 607

Mathematik zu verstehen unternimmt, oder nut mangelhafte Kenntnisse
davon hat und sich darum nicht kümmert. Man erzählt, jemand hätte
von einem Manne ein Stück Landes für 1000 Dirham gekauft, das
100 Ellen lang und ebensoviel breit sei. Darauf sprach der Verkäufer:
Nimm statt dessen zwei Stück, ein jedes 50 Ellen lang und breit,
und meinte, damit geschehe jenem sein Recht. Sie stritten nun vor
einem Richter, der .nicht Mathematik verstand, und dieser war irriger
Weise derselben Ansicht, dann aber stritten sie vor einem anderen
Richter, der der Mathematik kundig war, und der entschied, dass dies
nur die Hälfte seines Anrechts wäre." Wir machen mit wenigen
Worten auf einen verhältnissmässig weitläufig behandelten Gegenstand')
aufmerksam, auf Verhältnisse der Abmessungen, welche zwischen
den einzelnen Strichen stattfinden sollen, aus welchen die Buchstaben-
zeichen gebildet werden, und derjenigen, welche die Natur. bei den
einzelnen Theilen des menschlichen Körpers uns zum sinnlichen Be-
wusstsein bringt, letzteres ein Gegenstand, mit welchem auch Vitru-
vius (S. 508) sich beschäftigt hat. Wir erwähnen endlich noch eines,,
welches nicht ohne Interesse ist, magische Quadrate^). Die magischen
Quadrate aus 9, 16, 25, 36 sind hergestellt; dass es auch Quadrate
von 49, 34, 81 gebe, wird gesagt; das Quadrat 9, heisst es, erleichtere
die Nativität (?). Wir können hier so wenig als es uns früher (S. 594)
gelang, dem Ursprünge dieser eigenthiimlichen xlmulette auf die Spur
kommen. Wir bemerken nur, dass sie bei den Arabern unter dem
Namen ivafli in der Zauber- und Vorbedeutungskunde eine nicht un-
bedeutende Rolle gespielt haben ^), und dass unserem Gewährsmanne
zufolge jeder der sieben Planeten» einen ihm eigenthümlichen ivafh
besass, vielleicht eben jene sieben den lauteren Brüdern bekannte
Quadra'te von 9 bis 81? Am ausführlichsten soll darüber der unter
dem Namen El Bünif) berühmte arabische Mystiker geschrieben
haben, welcher in Bona geboren dieser Stadt unter den Arabern die
gleiche Verherrlichung gab, welche sie als Heimath des heiligen
Augustinus bei den Christen besass. El Büni starb 1228.

Die Schnftsteller Alchwarizmi, die drei Brüder, Täbit ibu Kurra,
AI Battäni waren an dem Hofe der Abbasiden ihren gelehrten Be-
schäftigungen nachgegangen. Unter demselben Chalifengeschlechte
war die Verbindung der lautern Brüder entstanden. Aber wenn auch
Abbasiden fortfuhren, die Chalifeu zu heissen, von einer Regierung

*) Propädeutik der Araber S. 133—137. ^) Ebenda S. 43—44. ^) No-
tices et extraits des manuscrits de la hibliotheque imperiale T. XXI, 1. Partie,
pag. 180, Note 4 (Paris 1868). ' *) Hammer-Purgstall, Literaturgeschichte
der Araber 2. Abtbeilung,*Bd. VII, S. 402, Nr. 7944.

698 34. Kapitel.

derselben, ja auch nur von einem Einflüsse auf die Wissenseliaft durch
Gelehrte, in deren Kreise sie weilten, die Zügel des Reiches den
stärkeren Händen ihrer Heerführer, der sogenannten Emir Alumarä
überlassend, war nachgerade keine Rede mehr^). Und die Emire
selbst schienen allmälig die Schlaffheit ihrer Drahtpuppen, welche
Gebieter hiessen und Sklaven waren, ererbt zu haben. Das Chalifat
schrumpfte nach und nach bis auf das Weichbild von Bagdad zu-
sammen. Eine kriegerische Horde unter dem Befehle eines Bujiden
d. h. eines Nachkommen von Abu Schudscha'^ Büjeh, welcher selbst
seine Abstammuug von den alten Perserkönigen herleitete, zos^ gegen
Bagdad heran und bemächtigte sich der Stadt. Der Chalif musste
945 dem Bujiden Muizz Eddaula den Sultanstitel verleihen und ihm
alle weltliche Macht abtreten. Dieses neue Geschlecht wusste zunächst
mit neuer Kraft die Herrschaft wieder aufzurichten und auszudehnen,
doch dauerte es nicht lange, so entbrannten unter den Bujiden Fami-
lienkämpfe um die Gewalt, wie sie unter den Omaijaden, wie sie unter
den Abbasiden stattgefunden hatten, und nach einem Jahrhunderte,
im Jahre 1050, hatten die Bujiden ihrer Unfähigkeit den Sturz zu
verdanken. Die Seldschukeusultane lösten sie ab.

Die Wissenschaft ist in diesem Jahrhundert, von der Mitte des
X. bis zur Mitte des XL S., keineswegs zurückgegangen. Im Gegen-
theil sind es einige der hervorragendsten Mathematiker, welche wir in
jener Zeit aufzuzeichnen haben. Der Bujide Adud ed Daula 978—983
rühmte sich selbst astronomische Studien gemacht zu haben. Sein
Sohn Scharaf ed Daula, derselbe, unter welchem die Familienzwistig-
keiteu zuerst entbrannten, errichtete in dem Garten seines Palastes
zu Bagdad eine neue Sternwarte und berief dorthin um 988 eine
ganze Vereinigang von Fachmännern^). Unter ihnen waren Abü'l
Wafä, Alkuhi und As-Sägäni.

Abü'l Wafä Muhammed ihn Muhammed ihn Jahjü ihn Ismail
ihn Al-Abbäs Albüzdschäni'^) wurde, wie wir (S. 662) schon
sagten, 940 in Büzdschän, einem kleinen Orte des persischen Gebirgs-
landes Chorasan geboren, derselben Gegend, welche so vifele arabische
Mathematiker hervorgebracht hat. Er erfreute sich, bald Abü'l
Wafä, bald Albüzdschäni genannt, unter den Arabern des grössten
Ruhmes und drei Jahrhunderte später sagt von ihm Ihn Challikän,
der über berühmte Männer im Allgemeinen, nicht bloss über berühmte
Gelehrte schrieb, er sei ein weitbekannter Rechner, eine der glänzenden

') Weil S. 219—226. ^) Hankel S. 242 nach Al)ulpliaragius Histor.

dynast. (ed. ^ocock) pag. 216 der Uebersetzung. ^) Woepcke'in dem Jour-
nal Äsiati^ue für Februar und März 1855 pag. 243,flgg.

Die Mathematiker unter den Abbasiden. Die Geometer unter denBujiden. 699

Leucliten der Geometrie gewesen, es seien ihm in dieser Wissenschaft
wunderbare Entdeckungen gelungen. Er starb 998. Seine Schriften
sind ungemein zahlreich. Eine, welcher er den Titel Almagest bei-
legte, dadurch selbst kundgebend, nach wessen Muster er gearbeitet
habe, enthält die in der Geschichte der Astronomie berühmt gewordene
Stelle, über welche bis auf den heutigen Tag die Meinungen gespalten
sind, ob darin die Entdeckung der sogenannten Variation enthalten
sei oder nicht ^). Uns kümmert nur der Mathematiker, und auch als
solcher hat Abü'l Wafä grosse Verdienste. Er war einer der letzten
arabischen Uebersetzer und Commentatoren griechischer Schriftsteller,
und wir müssen aufs lebhafteste bedauern, dass grade Ton dieser
Thätigkeit gar keine unmittelbare Spur sich erhalten Jiat. Der Ge-
lehrte, welcher mit Diophant sich so eingehend beschäftigte, dass er
nicht bloss ihn übersetzte, ihn erläuterte, sondern ein besonderes
Schriftchen mit den Beweisen der bei Diophant und in seinen Er-
läuterungen zu demselben enthaltenen Lehrsätze füllte, muss viel
Wissenswerthes für uns auf diesem Gebiete vereinigt haben. Sein
Commentar zur Algebra des Muhammed ibn Müsä Alchwarizmi würde
uns wohl der Mühe überhoben haben, vermuthungsweise dem Ur-
sprünge der dort enthaltenen Lehren nachzuspüren. Sein Commentar
zur Algebra des Hipparch ist ein eben so gerechter Gegenstand
unserer Neugier, da wir hier ja nicht einmal die unzweifelhaft wichtige
Abhandlung kennen, zu welcher er gehört. Aber leider sind von
diesen algebraischen Commentaren nur die Ueberschriften uns be-
wahrt. Eine Zusammenstellung dessen, was Rechnungsbeamten uoth-
wendig ist, hat sich wenigstens theilweise erhalten, ist aber nur in
einem dürftigen Auszuge bekannt gemacht-), was Bedauern erregen
kann, da ausdrücklich bemerkt ist, in jenem ganzen Werke seien
wesentliche Unterschiede gegen andere arabische Rechenbücher auf-
fallend, es sei z. B. nicht, eine einzige Ziffer darin angewandt.

Dagegen ist ein genügend ausführlicher Bericht über geometrische
Leistungen veröffentlicht'^), zu welchem wir ims jetzt wenden. Von
Abul Wafä selbst rührt das aus zwölf Kapiteln bestehende Buch
der geometrischen Constructionen freilich nicht her. Es ist
vielmehr die persische Uebersetzung eines Vorlesungsheftes, welches,
wie es scheint, auf Grund von öffentlichen Vorträgen Abü'l Wafäs
durch einen begabten aber doch nicht Alles verstehenden Schüler
angefertigt Avorden ist, imd somit kann Abü'l Wafä unmöglich für

') R. Wolf, GeschicMe der Astronomie S. .53 und 204. *) Woepcke

in dem Journal Asiatique für Februar und März 1855 pag. 246-251. ^) Ebenda
pag. 318—359.

700

34. Kapitel.

die Mängel verantwortlicli gemacht werden, welche bei der mehr-
fachen Ueberarbeitung nur allzuleicht sich einschleichen konnten.
Man hat mit Recht drei Gruppen von Aufgaben aus diesem Buche
hervorgehoben, welche geschieh Jülich und sachlich unsere Aufmerk-
samkeit verdienen. Eine erste Gruppe beschäftigt sich mit der Auf-
lösung von Aufgaben unter Anwendung nur einer Zirkelöfi'nung, ein
Gegenstand, der, wie wir (S. 421) erkannten, schon für Pappus oder
für einen griechischen Bearbeiter seiner Sammlung ein wohlbekannter
war. Abü'l Wafä hat die' Bedingung theils aussprechend, theils sie
stillschweigend verstehend nicht weniger als 18 Paragraphe mit
solchen Aufgaben gefüllt^). In einer zweiten Gruppe handelt es
sich um Zusammenlegung von Quadraten zu einem neuen Quadrate,
so dass die Methode auch Praktiker befriedigen könne, welche die
geometrische Anschauung der Rechnung vorziehen. Man wird aus
einigen wenigen Beispielen am deutlichsten erkennen, wie das gemeint
ist. Ein Quadrat soll gezeichnet werden von der dreifachen Grösse
eines gegebenen Quadrates^). Man findet die Seite als Hypotenuse
eines rechtwinkligen Dreiecks, welches die Seite und die Diagonale

des gegebenen Quadrates
als Katheten besitzt. Da-
gegen lehnen sich aber die
Praktiker auf; mit einer
solchen Auflösung, welche
ihre Sinne nicht überzeuge,
könnten sie nichts anfangen.
Abü'l Wafä befriedigt sie
nunmehr durch folgende
Construction (Figur 98).
Er zeichnet die drei einander, gleichen Quadrate hin und halbirt zwei
davon durch. Diagonalen. Die vier so entstehenden gleichschenklig
rechtwinkligen Dreiecke legt er nun um das dritte Quadrat herum,
so dass die Hypotenusen Verlängerungen der vier Quadratseiten in
der Art bilden, dass an jeder Ecke eine und nur eine Seite verlängert
ist. Endlich verbindet er die rechtwinkligen Spitzen dieser Dreiecke
unter einander und hat so das gewünschte Quadrat fertig. Man
möchte fast erwarten, als Beweis jene Aufforderung „Sieh!" zu lesen,
welche indische Geometer ähnlichen Constructionen nachzuschicken
für genügend hielten. Ja, eine Construction, welche wir (S. 614) als
in Bhäskaras Schriften vorhanden erörtert haben, welche mit Wahr-

Fig. 98.

^) Woepcke in dem Juit/rnal Asiatique für Februar und März 1855 pag.
226. *) Ebenda pag. 349— 350.

Die Mathematiker .unter den Abbasiden. Die Geometer unter denBujiden. 701

scheinlichkeit (S. 638) in China aufgefunden worden ist, kommt bei

Abü'l Wafa vor^). Zwei Quadrate sollen zu einem dritten vereinigt

werden. Man zeichnet sie (Figur 99) auf einander, so dass eine Ecke

und die Richtung zweier Seiten beiden gemeinsam ist.

Verlängert man darauf die beiden freiliegenden Seiten

des kleinen Quadrates bis zum Durchschnitte mit den

Seiten des grösseren Quadrates, so ist die Summe der

gegebenen Quadrate zerlegt in ein Quadratchen, dessen

. Seiten gleich dem Unterschiede der Seiten der ur-

. ... -fio- yy.

sprünglich gegebenen Quadrate sind, und in zwei

Rechtecke, auf der Figur einander zum Theil überdeckend, deren
jedes durch eine Diagonale ■ in zwei rechtwinklige Dreiecke zerfällt.
Die vier rechtwinkligen Dreiecke um das Quadratchen herumgelegt
bilden (Figur 87) das verlangte grosse- Quadrat. Es ist unmöglich,
bei so übereinstimmenden Figuren so eigenartigen Gedankens nicht
einen thatsächlichen Zusammenhang anzunehmen. Wir stehen nicht
an, der Meinung uns anzuschliessen-), dass wiewohl icbü'l Wafä fast
zwei Jahrhunderte vor Bhäskara lehrte, und wiewohl es leicht mög-
lich war, dass Arabisches von den islamisirten Indusländern aus sich
weiter verbreiten konnte, dennoch hier nicht daran zu denken ist,
Bhäskara habe die Construction aus arabischer Quelle. Nur das
persönliche Anrecht Bhäskaras an die Figur und ihre Benutzung
geht verloren, wie wir von vornherein bemerklich machten, aber ihr
indischer Stempel dürfte ihr erhalten bleiben, erhalten mit so viel
älterer Datirung, dass sie schon den Praktikern, d. h. muthmasslich
indischen Handwerkern, Baumeistern, mit welchen Abü'l Wafä ver-
kehrte, bekannt war. Die dritte Gruppe von Aufgaben hat die Be-
schreibung regelmässiger Vielflächner zum Zwecke. Wir wissen, dass
Euklid (S. 259) und Pappus (S. 417) jeder in seiner Weise sich eben-
damit beschäftigt haben. Abü'l Wafä schliesst sich so ziemlich an
Pappus an^), und bestrebt sich nur auf der Kugeloberfläche die
Eckpunkte des gedachten nicht förmlich einbeschriebenen Vielflächners
zu bestimmen. Mit anderen Worten: er theilt die Kugeloberfläche in
regelmässige, einander gleiche sphärische Vielecke. Diese drei Haupt-
gruppen von Aufgaben erschöpfen indessen nicht sämmtliche zwölf
Kapitel. Das Ende des 6., das ganze 7., der Anfang des 8. Kapitels
sind verloren, und der erhaltene Rest schliesst ausser dem von uns
bisher Hervorgehobenen noch manche wissenswürdige Einzelheit ein.
Wir erwähnen nur zwei Sätze. Im 2. Kapitel im 6. Paragraphen imd

^) Woepcke in dem Journal Asiatique für Februar und März 1855 pag.
346 u. 350—351. ^) Ebenda pag. 235—238. *) Ebenda pag. 241 u. 352—358.

702

34. Kapitel.

wiederkehrend im .3. Kapitel im 13. Paragraphen ist die Aufgabe, ein
regelmässiges Siebeneck zu construiren^), näherungsweise so gelöst,
dass die Hälfte der Seite des einem Kreise einbesohriebenen gleich-
seitigen Dreiecks als Seite des demselben Kreise einbeschriebenen
regelmässigen Siebenecks gilt, ein Verfahren, welches durch Jahr-
hunderte durch sich fortgeerbt hat. Im 1. Kapitel im 21. und 22. Pa-
ragraphen sind punktweise Constructioneii der Parabel gelehrt-), denen
wir uns nicht erinnern bei früheren Schriftstellern begegnet zu sein.
Von einem Punkte C der Parabelaxe aus (Figur 100), der um die«
doppelte Brennweite 2AF= AC vom Scheitelpunkte entfernt ist.

als Mittelpunkt und mit der CA als Halbmesser wird ein Kreis be-
schrieben und in einem Punkte P der Axe die Senkrechte TL er-
richtet. Auf ihr nimmt man PM = AL ab, so ist M ein Punkt
der Parabel. In der zweiten Coustruction verlängert man (Figur 101)
die Parabelaxe über den Scheitel hinaus um den Parameter 4c = AG.
Mit der Entfernung von G bis zu einem beliebigen Punkte P der
Axe als Durchmesser beschreibt "man einen Kreis, an P dessen Be-
rührungslinie und ihr parallel durch A die L^ Lc, . Senkrechte von
L^ und L2 auf jene Berührungslinie treffen sie in den Parabelpunkten
il/i und M2.

Andere Verdienste hat sich Abu'l Wafä in der Trigonometrie
erworben. Von ihm rührt eine Methode zur Berechnung von
Sinustafeln her^), welche den Sinus des Winkels von ^ Grad mit
einer Genauigkeit liefert, welche sich bis zur Einheit der 9. Decimale
erstreckt. Er geht aus von der Vergleichung

sin (a -(- /3) — sin « < sin a — sin (a — ß) .

*) Woepcke in dem Journal Asiatiquc für Februar und März 1855 pag.
329 und 332. *) Ebenda pag. 326. =*) Woepcke in dem Journal Asiatique
für April und Mai 1860 pag. 298—299.

Die Mathematiker unter den Abbasiden. Die Geometer unter den Bujiden. 703

Er beweist dieselbe niclit, aber es ist einleucbtend, dass sie Giltig-
keit hat, sofern die Winkel a — ß, a, ol -\- ß sämmtlich dem ersten
Kreisquadranten angeboren, weil, sofern

0 < cos /3 < 1 aus sin (« + /3) + sin (a — /3) = 2 • sin a • cos /3
sofort sin {a. -\- f) -\- sin (a — /3) < 2 sin a und daraus jene Verglei-
cbung hervorgeht. Setzt man die Vergleichung nach rechts wie nach
links fort, so erhält man:

sin (a + 3/3) — sin (a + 2/3) < sin {a + 2/3) - sin (a + /3) <

sin (a -|- ^) — sin a < sin a. — sin (a — /5) < sin (a — /i) — sin {a — 2/3)

< sin (a — 2/3) — sin (a — 3^)
und daraus:

sin (a -j- 3/3) — sin (a -(- 2 /3) < sin (a + /3) — sin a < sin a — sin (a — /3)

sin [a -j- 2/3) — sin (a + /3) < sin (« + /^) — sin « < sin (a — /3) — sin (a — 2 /3)

sin(o:-|-/3) — sin« ==sin(a-f"i3)~sina<sin(o: — 2/3) — sin(oc— 3/3).

Addirt man die drei Formeln, so entsteht:

sin {a -[- 3/3) — sin a < 3 [sin (a H- /3) — sin a\ < sin a — sin (a — 3/3)

oder endlich

Y [sin(a -j- 3/3) — sina] <sin(a + i3) — sina<-— [sin a — sin(a — 3/3)] .

Nun kann man sin 36*^ und sin 60" durch Quadrat wurzelausziehung
in beliebiger Genauigkeit finden und durch Quadratwurzelausziehung,
die weiter jeden beliebigen Grad von Genauigkeit gestattet, auch zu
den Sinussen der stets halbirten Winkel gelangen. So kommt man

, o- 36" , 60" j . 18» , . 16"

ZU den binussen von -,^ und von -~ oder zu sm -— - und sm -^^ ,

64: lao 6i, öZ '

16"

zwischen denen sin —^ = sin 30' enthalten sein muss. Nun setzt

15" 1" .

man a = -^ ß = — , so nimmt die letzterhaltene Vergleichung die
Gestalt an:

18^

][^i^

15"-
32^

< sin 30'

. 15" ^ 1

12"

■ . 15" . 12""

«1^32-'"'lJ2

Ausser sin 30' ist darin nur noch sin „- unbekannt, welches aber
auch mit beliebiger Genauigkeit berechnet werden kann vermöge
— = 4-(-„- — ;-) und somit ist eine neue fortlaufende Ungleichung

< sin

15"
32

+ T

. 18"

15"
32

15""
32

12^
32

< sin 30'

704 34. Kapitel.

herstellbar, in welcher der grössere wie der kleinere Werth bekannt
ist, in welcher ausserdem beide nicht weit von einander abweicheu,
also auch beide dem zwischenliegenden Werthe nahezu gleich sind.
Um so genauer wird daher dieser Zwischenwerth als arithmetisches
Mittel der beiden äusseren Werthe gelten dürfen, und diese Annahme
macht dem entsprechend Abü'l Wafä, d. h. er setzt

. o^, . 15», 1 r . 18" . 120]

sm 30 = sm .^^ + ^ [sm - - sm 3, J •

Noch wichtiger in ihren Folgen war eine Neuermig, welche
Abü'l Wafa in die Grnomonik einführte. Wir haben bei AI Battani

(S. 694) der Gleichung l = li- ^ - erwähnt, in welcher /. die horizon-
tale Schattenlänge, li die Höhe eines senkrecht stehenden Schatten-
messers, cp die Sonnenhöhe bedeutete. Abü'l Wafä beobachtete nun')
den Schatten /, welchen ein horizontal in einer vertikalen Wand be-
festigter Schattenmesser Ji auf jener vertikalen Wand bildet, und

welcher die Gleichiing l = h ■ — - erfüllt. Er nahm h zu 60 Theilen

° cos qp

an und berechnete die Schatten, umhra versa in den lateinischen
Bearbeitungen, d. h. also die trigonometrischen Tangenten der Winkel
g), welche er in einer Tafel vereinigte, von welcher er auch bei
anderen Aufgaben als der gnomonischen, bei der sie entstanden war,
Gebrauch machte. Denn ihm ist nachträglich') „die umbra eines
Bogens eine Linie, welche von dem Anfangspunkte des Bogens
parallel dem Sinus geführt wird in dem Intervalle zwischen diesem
Anfange des Bogens und einer von dem Mittelpunkte des Kreises
nach dem Ende des Bogens gezogenen Linie ... So ist die umbra
die Hälfte der Tangente des doppelten Bogens, welche enthalten ist
zwischen den zwei Geraden, welche vom Mittelpunkte des Kreises
nach den Endpunkten ^es doppelten Bogens geführt werden". Da
ist, wie wir sehen, der allgemeine Begriff der Tangente ganz fertig,
da ist, der Name dieser Function vorbereitet, da ist auch , wie schon
gesagt wurde, die regelmässige Anwendung derselben in den ver-
schiedensten trigonometrischen Aufgaben.

Der zweite Astronom, den wir, als an die Sternwarte im Palast-
garten des Bujiden berufen, genannt haben, war Alkühi^). Waid-
schan ibn Bustam Abu Sahl Alkühi führt den Beinamen, unter
welchem er vorzugsweise bekannt ist, nach dem Bergland Al-Küh
in Tabaristän. Von ihm rühren astronomische Beobachtungen des_

^) Hankel S. 284—285. ^) M. Steinschneider, Lettere intorno ad ol-
eum matcmatici del medio evo a D. Bald. Boncompagni. liom, 1863, pag. 31 sqq.
Fihrist 40.

Die Mathematiker unter den Abbasiclen. Die Geometer unter den Bujiden. 705

Jahres 988 her, welche er aber iu ziemlich hohem Alter angestellt
haben muss. Eine Jugendschrift Alkühis hat nämlich auf seinen
Wunsch der Sohn des Täbit ibn Kurra durchgesehen und verbessert
und dieser, welcher den Namen Sinän führte, auch selbst für einen
in der Wissenschaft des Euklid sehr bewanderten Gelehrten galt,
starb schon 943, mithin 45 Jahre vor jenen Bagdader Beobachtungen.
Alkühis wichtigste geometrische Leistungen, welche bekannt sind,
liegen auf einem Gebiete, welches durch Griechen, besonders durch
Archimed und durch Apollonius von Pergä bereits urbar gemacht,
doch erst von den Arabern gründlich und erfolgreich bebaut worden
ist: auf dem Gebiete der Lösung solcher geometrischen Aufgabeu,
die analytisch behandelt zu Gleichungen von höherem als dem
zweiten Grade führen.

So kennen wir von Alkühi einen Satz, der sich auf die Drei-
theilung des Winkels bezieht^). So kennen wir von ihm eine Auf-
lösung dreier zusammengehöriger Aufgaben^): 1. einen Kugelabschnitt
zu finden, der einem gegebenen Kugelabschnitte inhaltsgleich, einem
anderen ähnlich sei; 2. einen Kugelabschnitt zu finden, der mit einem
gegebenen Kugelabschnitte gleiche gekrümmte Oberfläche besitze und
einem anderen gegebenen Kugelabschnitte ähnlich sei; 3. einen Kugel-
abschnitt zu finden, der zu zwei gegebenen Kugelabschnitten in dem
Zusammenhang stehe, dass er denselben Inhalt wie der eine, eine
gleich grosse gekrümmte Oberfläche wie der andere besitze. Von
diesen Aufgaben kommen die beiden ersten im 11. Buche von Archi-
meds Schrift über Kugel und Cylinder im Satze 6 und 7 vor,
während die dritte und schwierigste von Alkühis eigener Erfindung
ist. Er löst sie mit Hilfe einer gleichseitigen Hyperbel und einer
Parabel, deren Durchschuittspunkte die Unbekannte ausmessen lassen.
Er fügt auch eine strenge Erörterung der Bedingimgen bei, unter
welchen allein die Aufgabe lösbar ist, also das, was die Griechen
den Diorismos nannten, und was die Nachahmer der Griechen im
Allgemeinen — die Araber nicht ausgeschlossen — keineswegs mit
gleicher Regelmässigkeit zu beachten pflegten. Diesen Leistungen
Alkühis gegenüber wissen wir endlich'^), dass es ihm nicht gelang
eine Aufgabe zu bewältigen, welche auf die Gleichung

x^ + 13yrK + 5 = lOic^
führte.

Der dritte Name, welchen wir nannten, war As-Sägäni, der
aus Sägän in Chorasan Herstammende^). Ahmed ibn Muhammed

^) L'algcbre d'Omar Allihayami (ed. Woepcke) pag. 118. ^) Ebenda
pag. 103—114. 3) Ebenda pag. 54. ^) Hankel S. 243.

Cantok, Geschichte der Mathematik 1. 2. Aufl. 45

706

34. Kapitel.

As-Sägäni Abu Hamid al Usturlabi d. h. aucli der Verfertiger von
Astrolabien genannt, starb 900. Er war, wie der zweite Beiname
zu folgern gestattet, besonders geschickt in der Anfertigung jener
astronomischen Winkelmessungsvorrichtungen, welche den üebergang
von der Dioptra des Heron zu dem modernen Theodolit bilden. Von
mathematischen Leistungen ist uns nur ein Satz über Kreissegmente
bekannt^), welcher mit der Dreitheilung des Winkels in einigem
Zusammenhange steht.

Die Sätze des Tabit ibu Kurra, des Alkühi, des As-Sägani,
welche auf Winkeldreitheilung sich beziehen, stehen insgesammt in
einer grösseren Abhandlung über den gleichen Gegenstand'''), welche
Abu Sa'id Ahmed ihn Muhammed ihn Abd Al-Dschälib As-Sidschzi
verfasst hat, ein Schriftsteller, der gewöhnlich unter seinem Heimaths-
namen Alsidschzi, mitunter aber auch statt dessen als Alsin-
dschäri genannt zu werden pflegt''), und welcher etwa 30 Jahre
vor der Abfassung jener Abhandlung in Schiräs eine mathematische
Handschrift niederschrieb, die das Datum 972 tragend der Pariser
Bibliothek angehört. Die Aufgabe der Winkeldreitheilung wird durch
Alsidschzi zunächst auf einen Satz zurückgeführt, der mit den anderen,
welche er der Reihe nach unter den Namen ihrer Erfinder herzählt,
zwar nicht übereinstimmt, aber doch zu ihrer aller Beweisen aus-
reicht. Der Peripheriewinkel M (Figur 102) sei nämlich der dritte

Theil des Centri winkeis DCK, wenn
^J9 DEXEC+ EC' = CD\ Weil näm-

lich CD = CA, so sei GD'^ = CÄ'
= CE^ -]- AE X EK = CE' + DE
K X EM. Nun war E so gewählt, dass
Gü' = CE'' + DEx EG, folglich
muss EM = EG sein. In dem gleich-
schenkligen Dreiecke GE3I sind dem-
nach je zwei Winkel = a, und der
^®" ^ ^' Aussen winkel DEG dieses Dreiecks ist

= 2«. Der Winkel bei D ist wegen der GleichschenkHgkeit von
BGM wieder =a und der Winkel DGK = 3a als Aussenwinkel
des Dreiecks GDE. Die erste Aufgabe der Winkeldreitheilung ist
daher auf die zweite zurückgeführt, einen Punkt E von der ge-
wünschten Eigenschaft zu finden. Die Alten, sagt Alsidschzi, lösten
diese mittels Bewegungsgeometrie ^); er selbst thut es, indem er mit

') L'algcbre d'Omar Allchayami pag. 119. ^) Ebenda pag. 117 — 125.
') Hankel S. 246, Anmerkung **. *) L'algebrc d'Omar Alkhayami pag. 120.
Aus dieser Stelle stammt die Kenntniss des Wortes Üewegungsgeometrie.

Zalilentheoretiker, Rechner, geometrische Algebraiker v. 950 etwa bis 1100. 707

dem der Figur schon angehörenden Kreis eine gleichseitige Hyperbel
in Verbindung setzt, welche durch C hindurchgeht und den Kreis-
halbmesser als Halbaxe besitzt. Er beruft sich dabei ausdrücklich
auf einen Satz (den 53sten) des I. Buches der Kegelschnitte des
Apollonius. Eine in Leiden befindliche Handschrift enthält ferner
eine Abhandlung Alsidschzis, welche mit der Zeichnung von Kegel-
schnitten sich beschäftigt^). Andere geometrische Abhandlungen
Alsidschzis beziehen sich endlich der Hauptsache nach auf Durch-
schnitte von Kreisen mit Kegelschnitten-), welche letztere demnach
ein Lieblingsgegenstand der Untersuchungen des Verfassers gewesen
sein müssen.

35. Kapitel.

Zalilentheoretiker, Rechner, geometriselie Algebraiker
von 950 etwa bis 1100.

Ganz anderer Richtung gehören die Arbeiten einiger Gelehrten
der gleichen, wohl auch noch etwas früherer Zeit an, von welchen
wir jetzt reden wollen. An deren Spitze steht der anonyme Ver-
fasser einer Abhandlung, welche, wie wir am Schlüsse des vorigen
Kapitels gesagt haben, Alsidschzi 972 abschrieb. Die Abhandlung
ist durchaus zahlentheoretischen Lihaltes und hat es hauptsächlich
mit der Bildung rationaler rechtwinkliger Dreiecke zu thun'').
Primitive Dreiecke, deren Seiten theilerfremd zu einander sind,
werden dabei von abgeleiteten unterschieden. Im primitiven Drei-
ecke müsse, so wird behauptet, die Hypotenuse immer ungrad und
Summe zweier Quadrate sein. Die Ungradheit wird noch näher dahin
bezeichnet, dass die Hypotenuse stets von der Form 12 m -\- 1 oder
12 m -\- 5 sei. Die Formen, denen Quadratzahlen und Summen von
Quadratzahlen angehören können, mit anderen Worten ein Theil der
Lehre von den quadratischen Resten, werden erörtert. Die Aufgabe,
welche von nun an der Geschichte der Arithmetik erhalten bleibt:

') Journal Äsiatique für Februar und März 1855 j)ag. 222. Woepcke
hat diese Abhandlung Alsidschzis, sowie zwei andere ähnlichen Inhalts, d. h.
gleichfalls über Kegelschnittzirkel, von Alkühi und von Muhammed ibn Hosein
in den Notices et extraits des mannscrits de la BibliotMque nationale XVII zur
Veröffentlichung gebracht. Vergl. A. von Braunmühl, Historische Studie
über die organische Erzeugung ebener Curven in dem Katalog der Mathema-
tischen Ausstellung zu Nürnberg 1892. ^) Notices et extraits des manuscrits de
la Bibliotheque du roi XIII, 136 — 145. '') Woepcke, Becherches stir plusieurs
ouvrages de Leonard de Fise in den Atti delV Accademia Pontificia de nuovi
Lineei 1861, T. XIV, pag. 211—227 und 241—269.

45*

708 35.- Kapitel.

ein Quadrat zu finden, welches um eine gegebene Zahl ver-
grössert oder verkleinert wieder Quadratzahleu gibt, wird
gestellt und gelöst. Das dürften die wichtigsten Sätze dieses Bruch-
stückes sein, dessen Anfang leider verloren gegangen ist und mit
ihm der Name des arabischen Verfassers. Ein Araber war er un-
zweifelhaft, wie aus einer Stelle hervorgeht, in welcher er sich selbst
als den Erfinder preist, aber nicht ohne hinzuzufügen: der Ruhm
davon gehört Gott allein, ein gradezu kennzeichnender Ausdruck,
dessen nur Araber sich zu bedienen pflegten. Vielleicht kann man,
wenn auch nicht mit gleicher Bestimmtheit behaupten, der Verfasser
habe am Studium des Diophant sich gebildet. Bei diesem Schrift-
steller nämlich ist, wie mit Recht betont worden ist^), die erste
Quelle jener Aufgabe von den drei in arithmetischer Progression
stehenden Quadratzahlen, ist zugleich eine Auflösung mit Hilfe ratio-
naler rechtwinkliger Dreiecke zu finden^).

Abu Muhammed Alchodschandi aus der Stadt Chodschanda
in Chorasan war vermuthlich im Jahre 992 noch am Leben, da eine
astronomische Beobachtung eines Abu Mahmud Alchodschandi
aus diesem Jahre bekannt ist und die Namen allzu nahe überein-
stimmen, um an zwei Persönlichkeiten denken zu dürfen'^). Von ihm
rührt ein Beweis des merkwürdigen zahlentheoretischen Satzes her,
dass die Summe zweier Würfelzahlen nicht wieder eine Würfelzahl
sein könne, dass x^ -\- y^ == ^^ rational unlösbar sei. Leider kennen
wir den Beweis nicht. Es wird uns nur gesagt, dass derselbe mangel-
haft gewesen sei, ebenso wie Untersuchungen des gleichen Verfassers
über rationale rechtwinklige Dreiecke.

Der Berichterstatter ist der Schaich Abu Dscha'far Muhammed
ihn Alhusain, welcher nach dem Tode Alchodschandis — denn es
ist von ihm mit dem Zusätze „Gott sei ihm barmherzig" die Rede —
seine eigene Abhandlung über rationale rechtwinklige Dreiecke ver-
öffentlicht hat^), in welcher er übrigens nicht sehr weit über den
anonymen Arithmetiker, mit welchem wir es eben erst zu thun hatten,
hinausgeht, in mancher Beziehung sogar hinter ihm zurückbleibt.
Auch diese Abhandlimg ist vermuthlich von Alsidschzis Hand abge-
schrieben''), doch müsste, wenn die verschiedenen Jahreszahlen, die
uns berichtet sind, namentlich die der astronomischen Beobachtung
Alchodschandis, welche doch seinem Tode beziehungsweise der Ab-
fassung der erst nach seinem Tode vollendeten Abhandlung des Ibn

^) Woepckc 1. c. S. 252. ^) Diophant (Tannery) III, 19, S. 182 uud
V, 8, S. 330. *) Woepcke, Becherches sur plusieurs ouvragcs de Leonard de
Pise in den Atti dell'Accadcmia ponteficia de nuovi Lincci. 1861. XIV, 301—302.
*) Ebenda pag. 301—324 und 343—350. ^) Ebenda pag. 324.

Zahlentheoretiker, Rechner, geometrische Algebraiker v. 950 etwa bis 1100. 709

Alhusain vorangegangeii sein müsste, auf Richtigkeit Anspruch er-
heben, ein weiter Zwischenraum von mehr ak 20 Jahren die in
einem Bande vereinigten Abschriften aus derselben Feder trennen,
deren eine 972 datirt ist, die andere erst später als 992 entstanden
sein könnte. Wenn wir sagten, dass Ihn Alhusain nicht selten hinter
dem Anonymus zurückbleibt, so bezieht sich dieses auf einige oiFen-
kundige Fehler, die bemerkt worden sind, wo er höchst wahrschein-
lich eine Vorlage, nach welcher er arbeitete, nicht verstanden hatte ^).
Sollte, fügen wir fragend bei, diese Vorlage die uns unbekannte
Schrift Alchodschandis über rationale rechtwinklige Dreiecke gewesen
sein, an welcher das nach Ibn Alhusains Meinung Mangelhafte eben
darin zu suchen wäre, dass der Tadler es nicht richtig auffasste?
Sollte grade die Schrift des Alchodschandi nach Verlust der Anfano-s-
paragrajibe als anonymer Traktat übrig geblieben sein? Mehr als
diese Fragen können wir nicht äussern, doch scheinen sie nicht
schlechterdings verneint werden zu können. Ibn Alhusain unter-
scheidet, wie der Anonymus, primitive und abgeleitete Dreiecke, be-
nutzt aber andere Wörter, um diese Unterscheidung auszusprechen.
Bei dem Anonymus heisst das primitive Dreieck asl, bei Ibn Alhusain
awwali; das abgeleitete Dreieck heisst dort far oder mafrü', hier
täbi' ^). Ibn Alhusain gibt ausdrücklich als Zweck der ganzen Unter-
suchung die Lösung der Aufgabe an: ein Quadrat zu finden, welches
um die gegebene Zahl vergrössert oder verkleinert wieder ein Quadrat
werde^). Es ist bemerkenswerth, dass eine geometrische Erläuterung
der gegebenen Auflösung von ähnlichen Grundgedanken Gebrauch
macht, wie wir sie bei Muhammed ibn Müsa Alchwarizmi verfolo-en
konnten, da wo es um die Auflösung der unreinen quadratischen
Gleichung mit einer Unbekannten sich handelte. Es ist weiter be-
merkenswerth, dass Ibn Alhusain bei dieser Auseinandersetzung sich
ausdrücklich auf den 7. Satz des IL Buches der euklidischen Ele-
mente bezieht. Bei der den Arabern am Schlüsse des X. S. ganz
allgemeinen Verehrung des Werkes ist freilich mit einer gelegent-
lichen Anführung desselben nichts weniger als ein Ursprungszeugniss
für dasjenige, um dessen willen Euklid beigezogen ist, verbimden; aber
wenn wir die Beweisführung selbst ansehen, so kann die mehrfach
benutzte Figur des Guomon xms mindestens zweifelhaft lassen, ob wir
für den Ursprung nach Indien, ob wir nach Griechenland zurück-
schauen, ob wir an Abu 1 Wafäs dem Augenschein genügende Con-
structionen denken sollen, um so mehr als, wie wir schon bemerkten.

1) Woepckes Bemerkungen pag. 307, 317, 323. ^) Woepcko, liecherchcs
etc. pag. 320. ^) Ebenda pag. 350 flgg.

710

35. Kapitel.

Fig.

n
)3.

ähnliche Aufgaben bei Diophant, bisher aber nicht in indischen
Schriften aufgefunden worden sind und Abul Wafa (S. 699) der
Erläuterung der diophantischen Schriften seine beste Kraft zugewandt

zu haben scheint. Die Katheten
AB = c^ und BC=c^ eines ratio-
nalen rechtwinkligen Dreiecks (Fi-
gur 103), dessen Hypotenuse h heissen
^oll, werden aneinander gesetzt und
über ihrer Summe, aber auch über
der grösseren Cj wird ein Quadrat
beschrieben. Die beiden freiliegen-
den Seiten BE, DE des letzteren
Quadrates werden bis zum Durch-
schnitte mit den Seiten des Quadrates
über der Summe AC = c^ -\- c.^ ver-
längert. Aus dieser Construction geht
die Zerfällung des grossen Quadrates in folgende 4 Theile hervor: AE
(das Quadrat von cj, EH (das Quadrat von c^ und CE sowie ZE (die
beiden Rechtecke zwischen c^ und Cg). Ist nun 2c-^^c^ = Je, so folgt
wegen q^ -|- c^^ == h^, dass (c^ -f- Cg)^ = h'^ -{- h sei. Aber auch li^ ~ h
ist ein Quadrat. Schneidet man nämlich von B gegen A hin und
von D ebenfalls gegen A hin Stücke BT=DK=c^ ab, so ist das
(Quadrat AE zerlegt in das Quadrat KT und die beiden Rechtecke
DM, BL, von welchen das Quadrat LM abzuziehen ist. Mit
anderen Worten, es zeigt sich

AE-\- LM
oder

oder

(q - c,)^ == (c,^ + €,') - 2c,c, ^¥-h

und mau findet also Zahlen, welche die verlangte Eigenschaft be-
sitzen in den Quadraten der Summe der beiden Katheten, der Hypo-
tenuse und der Differenz der beiden Katheten eines rechtwinkligen
Dreiecks, während das doppelte Produkt der beiden Katheten die
Zahl ist, um welche das erstere Quadrat grösser, das letztere kleiner
als das mittlere ist. Entsprechend heiset es bei Diophant: „In jedem
rechtwinkligen Dreieck bleibt aber das Quadrat der Hypotenuse auch
dann noch ein Quadrat, wenn man das doppelte Produkt der Katheten
davon abzieht oder dazu'addirt"'). Nun gibt es Methoden aus zwei
beliebigen Zahlen a und h ein rationales rechtwinkliges Dreieck ent-

2BL = KT

i' + Ca' ~2cyC, = (ci —c^f

') Diophant (Taniiery) pag. 182, (Wertheim) S. HO und fast gleich-
lautend (^Tannery) pag. 326, (Wertheim) S. 203.

Zahlentlieoretiker, Reebner, geometrische Algebraiker v. 950 etwa bis 1100. 711

stehen zu lasseu, und solche Methoden werden in der anonymen Ab-
handlung, werden von Ihn Alhusain gelehrt; z. B.

a -]- b ab , a'^ -\- b'

Setzt man diese Werthe ein, so wird h = 2c.c., ^^ ^'^ -, und

' ^ - a — b

(a+b . ab \a ^ r«!±J^? I (« + b)ab
\ 2 ± a — b) ~ L2(a — b)J ~ a — b

oder indem alle Seiten mit 2(a — h) vervielfacht werden

c^=a^ — ¥, c, = 2ah, h = «-' + 6^

und die beiden ganzzahligen Endgleichungen

(,,2 _ z>2 _|_ 2ai>y = (a' + b'Y + 4«6(a2 _ 6-)
nebst

(rr' — 6^ _ 2«^,)2 _ (^,^2 _j_ /y.)2 _ 4,<^(^2 _ ^ti^j_ .

Beide Abhandlungen stimmen noch in einer weiteren Beziehung über-
ein. Sie enthalten Zahlentabellen, gebildet in Folge von Versuchen
— freilich von auf eine theoretische Betrachtung gestützten Ver-
suchen — welche der zunächst in Behandlung tretenden Aufgabe
rationale rechtwinklige Dreiecke zu finden genügen. In keinem der
bisherigen Abschnitte dieses Bandes haben wir das Vorhandensein
genau solcher Tabellen erwähnen können, wenn wir auch auf manche
eine Vergleichung gestattende Dinge stiessen. Vergleichen lässt sich
schon die altägyptische Zerlegungstabelle der Brüche mit ungradem
Nenner und dem Zähler 2 als Summe von Stammbrüchen; vergleichen
lassen sich die Tabellen der Quadrat- und Kubikzahlen in Seukereh,
vergleichen die Eimnaleiustafel bei Nikomachus, die kleine Liste
der Diametralzahlen bei Theon von Smyrna; und auch bei den Indern
fehlt es nicht an nächstverwandten Vergleich ungsstücken, denn die
den ^ulvasütras entlehnten Beispiele rechtwinkliger Dreiecke (S. 598)
sind vielleicht ein Auszug aus einer solchen Tabelle, von deren Vor-
handensein wir sonst nichts wissen. Das sind Anhaltspunkte, welche
man, wenn es einst gelingen soll auf Grundlage reichhaltiger Quellen-
kunde die Frage nach dem ersten Ursprünge dieser arabischen Unter-
suchungen zur Entscheidung zu bringen, nicht wird übersehen dürfen.
Endlich gehört ebendahin das, was wir eine Art von Kenntniss qua-
dratischer Reste genaimt haben, und was uns (S. 591) bei Indern
schon bekannt geworden ist, was von einem Araber ausdrücklich als
indisch benannt worden ist.

Wir meinen den berühmten Arzt und Naturforscher Ibn Sinä,
gewöhnlicher in abendländischer Umformung Avicenna genannt.
Wir haben (S. 687) über die Erziehung dieses merkwürdigen Mannes

712 ^^- Kapitel.

«•esproclieii und über den Kecheuunterriclit, welchen er zwischen 990
und 995 von einem Gemüseliändler erhielt. Unter den zahllosen
händereichen Schriften, welche Avicenna trotz seines häufig wechseln-
den Aufenthaltes, trotz der Staatsgeschäfte, welche er als Wezir des
Emirs Schams ed Daula zu Hamadän auszuüben hatte, trotz seiner
grossartigen ärztlichen Thätigkeit verfasst hat, befindet sich eine
handschriftlich in Leiden aufbewahrte spekulative Arithmetik^), d. h.
also nach unserer früheren Erläuterung dieses Wortes eine Art
Zahlentheorie nach griechischem Muster. Zwei Stellen derselben sind
allein in Uebersetzung veröfi'entlicht, beide dem III. Buche angehörend.
„Will man nach der indischen Methode", besagt die eine Stelle,
„Quadratzahlen auf ihre Richtigkeit untersuchen, so ist unvermeidlich
1, 4, 7 oder 9. Dem 1 entspricht 1 oder 8; dem 4 entspricht 2
oder 7; dem 7 entspricht 4 oder 5; dem 9 entspricht 3, 6 oder 9."
Die andere Stelle fügt dann hinzu: „Eine Eigenschaft der Kubik-
zahlen besteht darin, dass ihre Untersuchung nach der indischen
Rechenkunst, ich meine die Probe, von welcher diese Rechenkunst
Gebrauch macht, immer 1, 8 oder 9 ist. Ist sie 1, so sind die Ein-
heiten der zum Kubus erhobenen Zahl 1, 4 oder 7; ist sie 8, so sind
sie 8, 2 oder 5; ist sie 9, so sind sie 3, 6 oder 9." Beide an sich
nicht ganz leicht verständliche Stellen sind gewiss richtig dahin er-
klärt worden, es handle sich in ihnen um die Neunerprobe bei
Potenzerhebungen, und man hat sie dementsprechend verwerthet,
um in Uebereinstimmung mit der Aussage des Maximus Planudes
(S. 571) aber ohne unmittelbare Bestätigung durch einen der indi-
schen Schriftsteller, welche uns bekannt sind, eben diese Probe als
indisch zu erweisen. Man kann auch auf eben diese Stellen sich be-
ziehen, um die Kenntniss quadratischer und kubischer Reste bei den
Indern zu bestätigen. Offenbar sagt nämlich Avicenna zuerst nichts
anderes, als was wir in modernen Zeichen

(Qn ± ly = 1, (9w + 2y = 4,

(9w + Sy = (9n -\- 9y = 9, (9n + 4)^ = 7

immer für den Modulus 9 schreiben würden; und in der zweiten

Stelle sind nach den gleichen Modulus 9 die Congruenzen enthalten

(9w -f ly = (9n + 4)^ EEE (9n + 7)=^ = 1,
(9n 4- Sy = (9w + 2)3 = (9n + 6y = 8,
(9w + 3)'^ EEE (9w + 6)3 = (9n + 9)^ = 9.

Zurückverweisung nach Indien wird uns auch ])ei Albirüui ge-
wiss nicht in Erstaunen setzen, der ein Zeitgenosse des Avicenna

') Wocpcke im Journal Asiatique für 1863, I. Halbjahr pag. 501—504.

Zahlentheoretiker, Rechner, geometrische Algebraiker v. 950 etwa bis 1100. 713

lange Reisen in Indien, wie wir wissen (S. 668), gemaclit hat.
Albiruni nimmt gegen die bisher besprochenen Persönlichkeiten ins-
gesammt eine Ausnahmestellung ein. Er gehörte nämlich nicht zu
den gelehrten Hofkreisen von Bagdad, sondern ruhte in Gazna von
seinen Reisen, am Hofe des kunstsinnigen Fürsten Mahmud des
Gaznawiden, der an Machtfülle wie an Fürsorge für die Wissenschaften
mit den Herrschern von Bagdad wetteiferte. Albiruni hat in seiner
Chronologie ganz gelegentlich die Summe der geometrischen Schach-
felderprogression, die mit 1 beginnend auf jedem folgenden Felde
Verdopplung vorschreibt, angegeben ^) als Beispiel, wie man eine und
dieselbe Zahl, um jeden Irrthum unmöglich zu machen, in drei ver-
schiedenen Arten niederschreiben könne: mit indischen Ziffern, um-
gerechnet in das Sexagesimalsystem und durch die hurüf aldschum-
mal oder (S. 667) Buchstaben mit Zahlenwerth. Jene Zahl sei
(((162)2)2)2 _ 1 und betrage 18 446 744 073 709 551 -619. Man
finde sie nach folgenden beiden Regeln. Erstens: Das Quadrat der
Zahl eines von den 64 Feldern ist gleich der Zahl des Feldes,
welches von dem vorgenannten eben so weit entfernt ist als jenes
von • dem ersten. Ist also 16 die Zahl des 5. Feldes, so muss
16^ = 256 die Zahl des 9. Feldes sein wegen 9 — 5 = 5 — 1 .
Zweitens: Die um 1 verringerte Zahl eines Feldes ist die Summe
der Zahlen der vorhergehenden Felder. Wenn 32 die Zahl des
6. Feldes ist, so muss 31 die Summe der Zahlen der 5 früheren
Felder sein, oder 31 = l-|-2 + 4-|-8 + 16. In einem anderen
Werke, dem Buche der Ziffern, kommt Albiruni auf den gleichen
Gegenstand zu reden und lehrt die Berechnung nach einem Kunst-
griffe, der sich an die obigen beiden Regeln anschliesst, welche auf
den Fall des ganzen Schachbrettes angewandt nichts anderes besagen
als man solle die Zahl eines gedachten 65. Feldes berechnen und
von ihr 1 abziehen. Wenn Glieder einer geometrischen Reihe a, ae,
ae^, . . . ae" vorliegen, so kann die Gliederzahl grad oder ungrad
sein, je nachdem n ungrad oder grad ist. Im ersteren Falle ist das
Produkt der äussersten Glieder a X ae'"* + ^ gleich dem Produkte
zweier mittleren Glieder ae'" X ne"' + ^', im zweiten Falle ist jenes
Produkt der äussersten Glieder « X ae^»» gleich dem Produkte eines
Mittelgliedes in sich selbst (ae"')^. Nennen wir nun die Zahlen,
welche jedem Schachbrettfelde entsprechen, durch die das Feld be-
zeichnende in römischen Ziffern dargestellte Zahl, so liefern uns die
Felderzahlen I, II, III, . . . LXV eine Reihe von ungrader Gliederzahl

') Ed. Sachau, Algebraisches über das Schach bei Biruni. Zeitschr. der
deutsch, morgenl. Gesllsch. (187G) XXIX, 148—156.

714 35. Kapitel.

und demgemäss I X LXV = (XXXIII)'. Aber die Zahl I ist 1, ver-
vielfaclit also nicht, und somit ist LXV = (XXXIII)^ und XXXIII
heisst das erste Mittel. Ebenso findet man XXXIII = (XVII)- und
XVII heisst das zweite Mittel. Ferner ist XVII = (IX)^, IX = (V)^
und IX und V heissen drittes und viertes Mittel. Auch ein fünftes
Mittel III, ein sechstes II wird durch V = (III)'^, III = (11)'^ gefunden
und nun gerechnet. Das sechste Mittel II ist 2, das fünfte III ist
22= 4; das vierte V wird 4^= 16, das dritte IX demnach 162 = 256;
weiter wird das zweite Mittel XVII nothwendig 256^ = 65 536 und
XXXIII oder das erste Mittel 65 536^ = 4 294967 296. Diese Zahl
endlich quadrirt gibt LXV wovon 1 abgezogen die früher erwähnte
Summe liefert. Ohne diesem Kunstgriff jeden Werth absprechen zu
wollen, sind wir doch nicht im Staude Folgerungen daraus zu ziehen,
denn eine genaue Bekanntschaft mit den Gesetzen der geometrischen
Reihe wird niemand den Griechen so wenig wie den Indern ab-
sprechen können'). Ob das Buch der Ziffern, in welchem Albiruni
den Kunstgriff gelehrt hat, jenes Lehrbuch der Rechenkunst ist,
welches wir als von ihm verfasst gelegentlich (S. 672) erwähnten,
können wir nur vermuthungsweise aussprechen.

Auch in der Geometrie war Albiruni thätig und zwar auf dem
Gebiete, welches, wie wir an mehreren Beispielen schon gesehen
haben, die Araber um das Jahr 1000 so vielfach beschäftigt hat,
auf dem ebensowohl algebraisch als geometrisch zu nennenden Ge-
biete der Auflösung solcher Aufgaben, für welche der Kreis und die
Gerade nicht ausreichen, mit Hilfe von Kegelschnitten. Ob freilich
Albiruni die Auflösungen der durch ihn gestellten Aufgaben selbst
kannte, ist uns unmittelbar nicht berichtet-, die Thatsache der Auf-
gabenstellung aber, eine Sitte, Avelche jedem Leser des Archimed,
der sie auch ausübte, wohl bekannt sein musste, lässt darauf
schliessen. Albirimis Aufgaben haben die Dreitheilung des Winkels
zum Gegenstande-).

Abü'l Dschüd, mit seinem ganzen Namen Abü'l Dschüd
Muhammed ibn Allait Alschanni, ein tüchtiger Geometer aus der-
selben Zeit, hat sich erfolgreich mit der Auflösung der Albirünischen
Aufgaben beschäftigt. Durch den Durchschnitt einer Parabel mit
einer gleichseitigen Hyperbel hat er die Aufgabe geli'jst'') von einem
Punkte A ausserhalb einer Strecke BC eine Verbindungslinie AD
nach einem derartigen Punkte D dieser Strecke zu ziehen, dass

') S. Günther, Zeitsclir. Math. Phys. XXI. Historisch-literar. Abtheilung
S. 57 — 61 findet in der Analogie zwischen Albiriinis Kunstgrift' und dem Ver-
fahren in Archimeds Sandrechnung eine bedeutsame Hinweisung. ^) L'algchre
cVOmar Alkhayami pag. 114 und 119. ') Ebenda pag. 114 — 115.

Zahlentheoretiker, Rechner, geometrische Algebraiker v. 950 etwa bis 1100. 715

ABx ßC -^ BU' = JBC~ werde. Ein anderes Mal löste er die
Aufgabe^), an welcher Alkübi (S. 705) sich vergebens versucht hatte,

nnd welche als Gleichung geschrieben x^ -\- 13-rr -f- 5 = lOx'^

heisst. Wieder eine andere Leistung Abu 1 Dschiids bezieht sich auf
die Einzeichnung des regelmässigen
Neunecks in einen Kreis '^). Albi-
rüni hatte im 7. Satze des 7. Ka-
pitels des IV. Buches seiner Geo-
metrie, wie uns berichtet wird, den
Satz ausgesprochen, die Construction .
des Neunecks beruhe auf einer Glei-
chung zwischen einer Unbekannten
einerseits und deren Würfel und
einer Zahl andrerseits und hatte den
Nachweis dieses Satzes verlangt.
Abü'l Dschüd lieferte denselben wie
folgt. Es sei (Figur 104) AB die

" . l^ig- 104.

gesuchte Neunecksseite und das

Dreieck gleichschenklig über ihr mit der Spitze auf dem Kreisumfang

beschrieben. Dann sei AB = AD = DE = EZ aufsetragen und

AT±BC, ZK±AC gezogen. Der Winkel bei C ist ^' = 20",

die Winkel bei B und A je = 80". Daraus folgt

^ DAE = 80° - 20« = 60«,
-^DEA ebenso gross, also auch -^ ADE = QO^ und das Dreieck
ADE ist gleichseitig. In dem ferneren gleichschenkligen Dreiecke
DEZ ist ^ EDZ = 180« - 60« — 80« = 40«, ^ EZD ebenso gross
und «^ DEZ = 180« — 2 • 40« = 100«. Folghch

^ZEG= 180« — 100« - 60« = 20« = <^ ZGE,
und somit auch Dreieck CZE gleichschenklig, d. h.

CZ= ZE = ED = DA = AB = AE.
Aus der Aehnlickeit der Dreiecke CZK und CAT folgt

CZ:CK= CA :CT,
daraus CZ : 2CK = CA : 2CT oder AB : CE = CA : {CD + OB)
und auch AB : {AB -\- CE) = CA : {CA -\- CD -j- CB) oder

AB:AG=AC'. {CD ^2AC).
Nun setzt Abü'l Dschüd AC = BC als Einheit, AB als ünbekaimte,
wofür wir x schreiben, und somit folgt aus dem letztgeschriebenen

^) L'algäbre d'Omar Älkhayami pag. 54—57. ^) Ebenda pag. 1-25—126.

716 35. Kapitel,

Verhältnisse 1 = x{2 -\- CD). Aus der Aelinlichlveit der Dreiecke
ABC und BDA Aveiss man aber ferner AG: AB =^ AB : BD oder
BD = x\ . Folglich ist CD = BC~ BD=1 - x\ und die Glei-
chung, aus welcher x zu ermitteln bleibt, nimmt die Gestalt

1 = x(ß — X-)

beziehungsweise schliesslich x^ -{- 1 = dx an, wie Albiruui behauptet
hatte. Diese Gewandtheit eine geometrische Aufgabe in eine Glei-
chung umzusetzen verleiht endlich einer Angabe volle Glaubwürdig-
keit, es habe Abu'l Dschüd „eine besondere Abhandlung über die
Aufzählung von Gleichungsformen verfasst und über die Art
und Weise die meisten derselben auf Kegelschnitte zurückzuführen,
freilich ohne vollständige Erörterung ihrer Fälle und ohne Scheidung
der möglichen Aufgaben von den unmöglichen, sondern nur so, dass
er die Entwicklungen gab, zu welchen er durch Betrachtung be-
sonderer zu jenen Formen gehörender Aufgaben geführt wurde" ^).

Wir werden sehen, wie es einem Nachfolger Abü'l Dschüds um
1080 gelang das Kajiitel einer geometrischen Algebra zum Abschlüsse
zu bringen, müssen aber vorher wieder zum Beginne des XL S. zu-
rückkehren, um zweier Schriftsteller zu gedenken, welche dem
rechnenden und dem rein algebraischen Theile der Mathematik vor-
zugsweise ihre Aufmerksamkeit zuwandten, Alnasawi und Alkarchi.

Abü'l Hasan Ali ihn Ahmed Alnasawi war aus Nasa in der
Landschaft Chorasan. Wir sind in die Lage versetzt seine Lebens-
zeit ziemlich genau angeben zu können, indem wir wissen^), dass
er für die Finanzbeamten des Bujiden Madschd Addaulah, welcher
997 — 1029 regierte, ein Rechenbuch in persischer Sprache heraus-
gab, und dass er auf Wunsch von dessen Nachfolger, also wohl kurz
nach 1030, eine zweite neue Bearbeitung in arabischer Sprache voll-
endete, welche letztere er muthmasslich aus dem Grunde, weil er
den Fürsten damit zufrieden stellen wollte, den befriedigenden
Traktat nannte. Wir erinnern uns, dass um 820 das erste arabische
Lehrbuch der Rechenkunst, von welchem wir Kenntniss haben, durch
Muhammed ihn Musä Alchwarizmi verfasst worden ist, dass dasselbe
sich ungemein folgewichtig erwies. Andere Schriften ähnlicher Natur
werden uns da und dort genannt, zum Theil auch in Alnasawi«
Vorrede.

Alkindi''^), der philosophischste Kopf seiner Zeit, gleich be-

^) L'algcbrc d'Oinur Alkhayami pag. 82. -) Woepckc im Journal

Asiatiquc für 1863, I. Halbjahr, pag. 492. ^) Wüstenfeld, Arabische Aerzte
und Naturforscher S. 21—22, Nr. 57, und Flügel in den Abhandlungen für die
Kunde des Morgenlandes Bd. I, Abhandlung 2. Leipzig, 1859.

Zahlentheoretiker, Rechner, geometrische Algebraiker v. 950 etwa bis 1100. 717

rühmt als Mediziner wie als Astronom und Mathematiker, ein Günst-
ling der Chalifen Almamün und Almlitasim, der bis in das letzte
Viertel des IX. S. gelebt haben muss, weil er eine Uebersetzung des
Kusta ihn Lüka aus dem Griechischen des Hypsikles zu verbessern
den Auftrag hatte, hat, wie Alnasawi uns erzählt, ein Rechenbuch
verfasst, welches diesem jedoch einen confusen und übermässig breiten
Eindruck machte. Dasselbe Urtheil fällt er über ein Rechenbuch
Alantäkis, des Antiochiers, welcher 987 gestorben ist. Alkal.
wadäni am Ende des X. S. wird als zu schwierig bezeichnet; er gebe
Regeln, welche nur für solche Personen nothwendig seien, welche
mit den feinsten Aufgaben sich beschäftigen, und aus der gleichen
Zeit nennt Ahiasawi noch verschiedene andere Verfasser von Lehr-
büchern der Rechenkunst, einen Abu Hanifa, einen Küschjär,
welchen er bei allem Lobe doch diesen oder jenen kleinen Tadel
nicht erspart. Die Schriften dieser Vorgänger sind, wenn überhaupt
noch vorhanden, jedenfalls nicht in Uebersetzungen veröffentlicht,
und nur den befriedigenden Traktat Alnasawis kennen wir aus einem
kurzen Auszuge, der kaum mehr als Ueberschriften der einzelnen
Kapitel enthält ').

Wir entnehmen ihm, dass Verdoppelung und Halbirung als be-
sondere Rechnungsarten gelehrt wurden. Wir entnehmen ihm die
Multiplikation und Divison „nach indischer Weise", wormiter die
Methoden verstanden sind, die wir auch durch Maximus Planudes als
indische kennen. Der Multiplikator, beziehungsweise der Divisor
rückt unter dem Multiplikandus oder dem Dividendus weg von der
Linken zur Rechten. Beide Operationen beginnen dort, d. h. an der
höchsten Stelle, die Theilprodukte werden nach und nach addirt oder
subtrahirt und die nöthigeu Verbesserungen und Veränderungen ent-
sprechend angebracht, beim wirklichen Rechnen vermuthlich so, dass
man die unrichtige Zahl wegwischte und die richtige dafür hinschrieb,-
in den Beispielen des Lehrbuches so, dass die richtigen Zahlen über
die unrichtigen gesetzt sind, welche dadurch selbst für vernichtet
gelten. Die Zahlzeichen sind die ostarabischen. Auf diese, sagt
Alnasawi, hätten die meisten Personen, welche mit der Rechenkunst
sich beschäftigten, sich geeinigt, doch sei volle Uebereinstimmung
nicht vorhanden. Mit Bruchtheilen verbundene Zahlen werden in
drei Zeilen unter einander geschrieben; in der obersten Zeile stehen
die Ganzen, in der zweiten der Zähler, in der dritten der Nenner
des Bruches; sind keine Ganzen vorhanden, so wird, um Miss Ver-
ständnissen vorzubeugen, eine Null in die oberste Zeile gesetzt.

^) Woepcke im Journal Asiatique für 1863, I. Halbjahr, pag. 496—500.

718

35: Kapitel.

So heisst also

1 =

1 «" 1

lö y

~^' == 15 —
11 19

Die Recliiiuiigsaufgaben erstrecken sich in den drei ersten Büchern
bis zur Ausziehung der Kubikwurzeln aus mit Brüchen vereinigten
ganzen Zahlen. Das vierte Buch ist dem Rechnen im Sexa-
gesimalsysteme gewidmet. Von complementären Rechnungsverfahren
keine Spur!

Abu Bekr Muhammed ihn Alhusain Alkarchi ist ein Schrift-
steller ganz anderen Charakters, Von ihm besitzt man zwei Schriften^
welche einander fortsetzen, nämlich als ersten Theil ein Rechenbuch:
Al-Käfi fil hisäb, Das Genügende über das Rechnen, und als zweiten
Theil eine Algebra: Al-Fachri^). Der Name dieses zweiten Theils
ist muthmasslich dem einer Persönlichkeit nachgebildet, zu welcher
Alkarchi in naher Beziehung gestanden zu haben scheint. Abu
Gälib war es, welcher den Beinamen Fachr al mulk, Ruhm des Reiches,
führte und welcher Wezir der Wezire gewesen sein muss zur Zeit
als die beiden Schriften verfasst wurden, die zweite nach ihm den
Titel Al-Fachri erhielt. Dadurch ist aber die Zeit, in welcher Al-
karchi schrieb, ganz genau bestimmt. Abu Galib nahm als Statt-
halter von Bagdad, wo Alkarchi lebte, die höchste Rangstufe seit
1010 oder 1011 ein. Ebenderselbe wurde, ein Beispiel orientalischen
Schicksalswechsels, 1015 oder lOlG auf Befehl des Sultans hin-
gerichtet. So bleiben nur die fünf dazwischenliegenden Jahre, in
welchen Alkarchi ihm Schriften als Wezir der Wezire zugeeignet
haben kann. Das hervorragend Wichtige an den Werken Alkarchis
besteht darin, dass er theils eingestandenermassen, theils mittelbar
aus dem Inhalte zu erschliessen der Hauptsache nach auch in der
Rechenkunst nicht aus indischen, sondern aus griechischen Quellen
geschöpft hat, so einen Gegensatz bildend gegen die Alnasawi u. s. w.,
welche indische Rechenkunst lehrten und lehren wollten. Wir müssen
um so mehr hier einen bewussten Gegensatz zweier Schulen,
nicht bloss ein Abweichen des vereinzelten Alkarchi von der allge-
meinen Gewohnheit erkennen, als, wie wir uns erinnern (S. 699),
Abü'l Wafä in der zweiten Hälfte des X. S. ein Rechenbuch ver-
fasst hat, in welchem die indischen Ziffern keine Anwendung fanden
und Alkarchi selbst sich Schüler des uns im üebrigen unbekannten

') Der Kät'i fil hisab des Alkai'chi ist deutsch von Ad. Hochlieinr
(Halle, 1878 — 80) herausgegeben, der Fachri auszugsweise französisch von
VVoepckc (Paris, 1853). Unsere biographischen Notizen gründen sich vorzugs-
weise auf Hochheims einleitende Notizen zum I. Heft des Käfi fil hisab.

Zahlentheoretiker, Rechner, algebraische Algebraiker v. 950 etwa bis 1100. 719

Albusti nennt ^). Freilicli ist die von uns ausgesprochene Behaup-
tung selbst nicht in aller Schärfe, sondern nur in der Beschränkung
anzunehmen, welche wir ihr gegeben haben. Abü'l Wafä, den wir
zur griechischen Richtung beizuzählen die mannigfachsten Gründe
haben, war, wie wir annahmen, in seiner Anschauungsgeometrie durch
und durch indisch. Muhammed ibn Müsä Alchwarizmi rechnete nach
indischen Vorschriften, und in seinem Lehrbuche der Rechenkunst
vernahmen wir griechische Anklänge (S. 673). Vollständig den
gegenseitigen Einfluss auszuschliessen, gelang es weder der einen
noch der anderen Schule, wenn sie es überhaupt beabsichtigte. So
wird uns trotz der vorwiegend griechischen Schulung Alkarchis
Indisches in seinen Schriften nicht in Erstaunen setzen dürfen, vor-
ausgesetzt, dass es in homöopathisch kleinen Mengen auftritt, und
diese Voraussetzung trifft ein. Indisch müssen wir wohl jedenfalls
die Neunerprobe nennen^), indisch das was von quadratischen Resten,
wir meinen von den Endziffern, welche eine Quadratzahl besitzen
kann, gesagt ist''), indisch ist uns die Lehre von der Regeldetri^).
Aber damit schliesst die Summe nachweisbaren indischen Einflusses
ab, wenn wir nicht etwa den Ursprung von MultipHkationsmethoden''),
welche auf Zerlegung eines Faktors in ünterfaktoren oder auf Be-
trachtung derselben als Summe oder Differenz von Zahlen, welche
eine leichte Multiplikation zulassen, hinauslaufen und welche aller-
dings bei den indischen Schriftstellern uns ebenso begegneten, aber
einem Griechen nicht minder einfallen konnten, ausschliesslich nach
Indien verlegen wollen. So bedeutsam diese Dinge sind, so stellen
sie doch nur einen geringfügigen Theil des Inhaltes des Kafi fil
hisäb uns dar, geringfügig namentlich gegen das, was mit grösster
Zuversicht auf griechische Quellen zurückgeführt werden muss. Da
finden wir Multiplikationsmethoden, welche an die des Apollouius,
des Archimed, wie sie von Pappus, von Eutokius uns berichtet
werden, welche an die des Heron vielfach erinnern"). Da finden
wir die Definition der Multiplikation selbst fast wörtlich wie bei
Euklid''). Da finden wir wieder genau nach Euklid die Aufsuchung
des grössten gemeinschaftlichen Divisors'^), genau nach ihm eine aus-
führliche Proportionenlehre ^), welche gewissermassen als theoretische
Grundlage der nachher vom Standpunkte praktischen Geschäftsbe-
dürfuisses erörterten Regeldetri vorausgeschickt ist. Da finden wir
Stammbrüche und Brüche von Brüchen, wie sie bei Heron nicht zu

1) Kafi fil hisäb Heft I, S. 4. ^) Ebenda 1, 8. =*) Ebenda IT, 13.
*) Ebenda JI, 16. •') Ebenda I, 6 flgg. s) Ebenda I, 5, 6; II, 7. ') Ebenda
I, 4. «) Ebenda I, 10—11. '■') Ebenda II, 15-16.

720 35- Kapitel.

den Seltenlieiteu gehören*), und wobei, beiläufig bemerkt, zwischen
jenen stummen und aussprechbaren Brüchen unterschieden wird,
deren Bedeutmig wir bereits (tS. 675) erörtert haben. Da ist die
liechnung mit Sexagesimalbrüchen , insbesondere die Ausziehung von
Quadratwurzeln aus solchen, wie sie bei Ptolemäus und bei Theon
von Alexandria in Uebung war^). Da finden wir in dem geome-
trischen Kapitel auf Schritt und Tritt griechische Definitionen und
Sätze ^), den ptolemäischen Satz vom Sehnenviereck'*), die heronische
Dreiecksformel aus den drei Seiten'') u. s. w. Da finden wir einzelne
Wörter, welche gradezu Uebersetzungen griechischer Ausdrücke sind,
wie die aussprechbaren und nicht- aussprechbaren Quadratwurzeln
(^jjTov und ä^oyov)''), wie die Grenze {oQog, lateinisch limes, auch
tei'minus)') um bei Sexagesimalbrüchen die Ordnung zu bezeichnen,
oder sagen wir vielleicht entsprechender um das Reihenglied anzu-
geben, bei welchem man stehen zu bleiben wünscht.

In diesem Lehrbuche nun, dessen Reichhaltigkeit aus unseren
nur besonders für den Ursprung zeugende Dinge berücksichtigenden
Notizen zur Genüge erhellt, ist von Verdoppelung und Halbirung als
besonderen Rechnungsarten nirgend die Rede und wird, was noch
weit merkwürdiger ist, nicht ein einziges Mal von Zifi'ern irgend
welcher Art gesprochen. Alle und jede Zahlen, welche in dem Texte
vorkommen, sind vielmehr in ganzen ausgeschriebenen Worten ange-
geben. Selbst die umständlichsten Rechnungen führt Alkarchi nur
in dieser Weise aus, so dass eine rasche Uebersicht ganz imd gar
nicht möglich ist, man sich vielmehr immer in die Lage eines durch
das Ohr allein Lernenden versetzt fühlt. Die Frage, wie Alkarchi,
ein Mann von glänzendem Scharfsinne, wie uns insbesondere sein
zweites Werk beweisen wird, die indischen Rechenmethoden, deren
Unkenntniss bei ihm, dem Zeitgenossen und Ortsgenossen des Alna-
sawi, zur Unmöglichkeit sich gestaltet, so sehr unterschätzen konnte,
dass er nicht mit einem Worte ihrer erwähnte, enthält eine so
schwere Anklage, dass uns eben die Nothwendigkeit ihr zu begegnen,
auf die oben ausgesprochene Vermuthung führte. Wir glauben nicht
Unkenntniss oder Unterschätzung der indischen Methoden bei einem
Alkarchi annehmen zu dürfen. Wir sehen hier bewussten, grund-
sätzlichen Schulgegensatz, der aus Verbissenheit selbst das Vortrefi-
lichste sich entgehen lässt, wenn es seinen Ursprungsstempel so
deutlich auf der Stirue trägt, wie dieses bei den indischen Zahl-
zeichen der Fall war.

') Käfi m hisäb I, 7, 14 und häufiger. ^) Ebenda II, 10 und 15. •'') Ebenda
II, 18 ügg. *; Ebenda U, 20. •') Ebenda II, 23. «) Ebenda 11, 12. ') Ebenda 11, 4.

Zalilentheoretiker, Rechner, geometrische Algebraiker v. 950 etwa bis 1100. 721

Ist es die Heimathszugehörigkeit gewesen, welche den Einen in
diese, den Anderen in jene Schulrichtuug bannte? Wir wissen es
]iicht. Vielleicht müssen wir an eine unerwartete Rückwirkung theo-
logischer Streitigkeiten denken, an den Gegensatz von Sunniten und
Schi^iten, von Orthodoxen und Mutazeliten, der die ganze arabische
Geschichte beeinflusst hat und zwischen 1020 und 1030 öffentliche
Disputationen veranlasste, die so regelmässig in grosse Raufereien
ausarteten, dass sie gänzlich verboten wurden^).

Wir würden uns nicht übermässig erstaunen dürfen und es keines-
wegs als Beweis gegen den von uns vermutheten alexandrinisch-
römischen Ursprung gelten lassen, wenn die complementären Rech-
nungsverfahren der Multiplikation und der Division Alkarchi bekannt
geworden wären in einer Zeit, zu welcher, wie wir sehen werden,
diese Methoden auch im christlichen Abendlande an Verbreituns se-
wannen. Dem ist indessen nicht so, und nur zwei leise Spuren,
welche zwar nicht an jene Verfahren selbst, aber an den Weg, der
zu ihnen führt, etwas erinnern, sind uns aufgestossen. Wir führen
die Stellen, weil Gegner unserer Meinungen sie vielleicht in ihrem
Sinne verwerthen möchten, wörtlich an.

„Wisse nun, dass man die Zahlen in zwei Klassen theilt, nämlich
in einfache und zusammengesetzte. Die einfachen Zahlen sind solche,
die nur einer Ordnung angehören, und die zusammengesetzten solche,
die zwei oder mehreren Ordnungen angehören"'^).

Das klingt ungemein nach Boethius und ganz und gar nicht
nach der 13. und 14. Definition des VII. Buches der Euklidischen
Elemente, wo die Primzahlen einfach heissen, und zusammengesetzt
solche Zahlen, die in Faktoren sich zerlegen lassen. Die zweite Stelle
ist um ein Blatt früher in der Handschrift des Käfi fil hisäb zu
finden. Dort heisst es:

„Was die Ordnungen anlangt, so sind diese drei: Einer, Zehner
und Hunderter. Das aber, was über diese hinausgeht, ist auf sie
aufgebaut wie die Eintausender, die Zehntausender, die Hundert-
tausender, [die Eintausendtausender], die Zehntausendtausender, die
Hunderttausendtausender. Alle diese ruhen auf dem Fundamente der
drei ersten, indem mit der Eins der Ausdruck Tausend entweder ein-
mal oder zweimal oder dreimal verbunden ist, indem dann zweitens mit
der Zehn der Ausdruck Tausend entweder einmal oder zweimal oder
mehrmal verbunden ist. Und so ist jede Zahl, welche einer anderen
als diesen drei Ordnungen angehört, wenn Du den Ausdruck Tausend
von ihr wegnimmst, entweder ein Einer, Zehner oder Hunderter"^).

') Weil S. 225. 2) Käfi fil hisab I, 5. ») Ebenda I, 4.

Cantor, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 46

722 35. Kapitel.

Das sind offenbar Triaden, wie der Römer sie besass, wie das
eliristliche Abendland sie nacbahmen wird, und nicbt griechische
Tetraden. Man darf aber nicht vergessen, dass diese zweite Aehn-
lichkeit auf sprachlichem Boden beruht, dass die Araber gleich dem
Römer, gleich dem Deutschen zehntausend zusammensetzen mussten,
während die Griechen noch ihre einfache Myrias gebrauchten, und
dass so Triaden gar wohl an den verschiedenen Orten und imab-
hängig von einander sich ausbilden konnten, Tetraden nur in
Griechenland.

Alkarchi hat auch mancherlei, was bei ihm zuerst unseren Blicken
sich darbietet und vielleicht seiner eigenen Erfindung angehört. Er
benutzt neben der Neunerprobe eine Elferprobe'). Er nimmt als
angenäherte Quadratwurzel für ]/a^ -\- r , wo der Rest r übrig bleibt,
nachdem die nächste Quadratzahl abgezogen wurde, mithin jeden-
falls r < 2a + 1 ist, den Werth a 4- 7, — r-r- Er hat unter den
' ' ' 2 a -}- 1

geometrischen Rechenbeispielen Formeln^), welche zwar an heronische
Beispiele etwas erinnern, aber doch nicht mit denselben zur Deckung
zu bringen sind, oder sich aus ihnen ableiten lassen-*). Der Grund

der Näherungsformel l/a'^ + r = a + ^^ — r^ dürfte, wie allerdings
o r I ' 2a -\- 1 ' °

erst im 41. Kapitel im nächsten Bande genauer erwiesen werden

kann, folgender sein. Wenn a und die nächste ganze Zahl « -{- 1

beide quadrirt werden, so ist die Differenz der Quadrate

(a + 1)' — a^ = 2a -\- 1 .

Wächst also die Quadratzahl um 2a -{- 1 , so wächst die Wurzel um
1,- und Anwendung einer Proportion lässt weiter folgern, dass einem
Wachsthum der Quadratzahl um r ein Wachsthum der Wurzel um

^ — j— j entsprechen müsse. Neueste Forschungen'^) haben es in
hohem Grade wahrscheinlich gemacht, dass schon Archimed von geo-
metrischer Grundlage aus den Näherungs werth a -\- - — r-— ebensowohl
als den a-\- ~ kannte, ja dass er sogar der fortlaufenden Ungleichung

2 a

« dz ^ > 1/«' ± »' > « +

2a^ * -^- ^ -^ 2a + 1

1) Käfi iil hisäb I, 9. '') Ebenda II, 14. 'j Ebenda IT, 24, 25, 26, 28

die Formeln für Kreissegmente, für Kreibbögen, für die Durchmesser des Um-
und des Innenkreises regelmässiger Vielecke, für den Körperinhalt der Kugel.
*) Hultsch, Die.Näherungswerthe irrationaler Quadratwurzeln bei Archimedes.
Nachrichten von der königl. Gesellsch. der Wissensch. und der Georg- Augusts-
Universität zu Göttingen vom 28. Juni 1893, besonders S. 399.

Zahlentheoretiker, Rechner, geometrisclie Algebraiker v. 950 etwa bis 1100. 723

sich bediente, um die in der Kreismessung vorkommenden Quadrat-
wurzelwerthe zu erhalten.

Die ganze Bedeutsamkeit des Mannes, mit welchem wir uns be-
schäftigen, tritt in seinem zweiten Werke, im Al-Fachri, hervor, in
welchem er andrerseits auch wieder als unbedingten bewundernden
Schüler der Griechen, insbesondere des Diophant sich erweist, welch
letzterer an häufigen Stellen mit Namen erwähnt ist. Al-Fachri
besteht selbst aus zwei Abtheilungen, einer ersten, welche die Theorie,
wenn man so sagen darf, enthält, nämlich die Lehre vom algebraischen
Rechnen und die Auflösungen sowohl bestimmter als unbestimmter
Gleichungen, und einer zweiten, welche eine Aufgabensammlung dar-
stellt. In beiden Abtheilungen finden wir, wie gesagt, Diophant in
umfassendster Weise benutzt, aber in beiden Abtheilung-en auch
Dinge, welche über Diophant hinausgehen. Indische Methoden zur
Auflösung der unbestimmten Gleichungen ersten wie zweiten Grades
wird man dagegen vergebens suchen.

Diophant hat z. B. Namen der 2. bis zur 6. Potenz der Unbe-
kannten additiv aus dvvamg und xvßog zusammengesetzt. Ganz
ähnlich verfährt Alkarchi, dem mal das Quadrat der Unbekannten —
mitunter auch allerdings irgend eine Grösse^) — bezeichnet, Jcdb den
Würfel und dann weiter durch sich regelmässig wiederholende Addition
mal mal, mal Icdb, kdb Jcdb, mal mal kdb, mal hdb lidb, Jcdb kdb kdb
u. s, w. ins Unendliche die folgenden Potenzen der Unbekannten.
Alkarchi lehrt das Rechnen mit solchen allgemeinen Grössen, zu welchen
genau so wie bei Diophant auch die Brüche mit der 2., 3., u. s. w.
Potenz der Unbekannten als Nenner treten, in ausführlicher und klarster
Weise. Diophant hat solches Rechnen mehr vorausgesetzt als gelehrt.
Alkarchi behandelt nach den Rechnungsverfahren an den Potenzen
der Unbekannten oder den ihnen inversen Ausdrücken auch Irratio-
nalitäten-). Freilich bleibt er hier bei den einfachsten Fällen stehen
und nähert sich nicht von weitem den von den Indern auf diesem
Felde erzielten Ergebnissen, sodass man nicht nöthig hat, an einen
fremden Einfluss zu denken, um das Vorkommen von Gleichungen
wie ]/8 + |/I8 = |/5Ö oder >/54 — >/2 = ]/l6 zu erklären. Ein
weiterer Abschnitt beschäftigt sich mit Reihensummirungen^). Die
hier auftretenden Sätze sind Alkarchi offenbar von anderer Seite zu-
gegangen, imd er hat nur für manche derselben Beweise geliefert,
sei es algebraische, sei es geometrische, für manche künftige Beweise
versprochen, ein Versprechen, welches er in einem Commentare zum
Al-Fachri zu lösen gedachte, den er selbst zu schreiben beabsichtigte*).

1) Fakhri 48. '') Ebenda 57—59. ') Ebenda 59—62. *) Ebenda 6^ 7.

46*

724

35. Kapitel.

B
B>

Der fremde Ursprung der Summenformebi gelit z. B. unzweifelhaft
aus der Summirung der Quadratzalilen

12 _|. 22 + 3^ + . • • + 1-^ = (1 + 2 + 3 + . . . + r) (|r + I)

liervor, welclie Alkarchi mittlieilt, aber nicht beweisen zu können
eingesteht. Als Anhaltspunkt zur Beantwortung der Frage nach der
Heimath dieser Formel weisen wir darauf hin, dass es genügt,

1 + 2 + 3 + • • • + r = ^^^^
zu setzen, um sofort

12 + 2^ + 32 4. . . . 4. ^2 _ (I. _^ |)(, ^ 1),,

ZU erhalten, eine Form, welche Archimed nicht, wohl aber Epaphro-
^ ^ ditus benutzt hat^). Für die Summirung der

Kubikzahlen

P + 2=^ + 3^H !-»•'= (1 + 2 + 3H h»f

gibt Alkarchi einen geometrischen Beweis,
dessen Gedankengang folgender ist 2). Im Qua-
drate AG (Figur 105) sei die Seite

^^= 1 + 2 + 3H \-r,

und nun schneidet man von diesem Quadrate
einen Gnomon B'BCDD'C'B' ab, dessen
Breite BB' = r ist. Die Fläche desselben ist offenbar

2rAB — r^=2r- *^" ^ — r^ = r^ (r + 1 — 1) = r^ .

Es ist einleuchtend, dass, wenn B'B" = r — 1 gewählt wird, ein
zweiter Gnomon losgetrennt werden kann, dessen Fläche {r — 1)^
sein muss, und dass in dem ganzen Quadrate r — 1 derartige immer
kleiner werdende Gnomone entstehen, deren letzter von der Fläche
2* ist, und weggenommen noch ein Quadratchen 1^ übrig lässt. Da
aber 12 = 13^ so ist auch

13 _|. 23 + 3=^ H \- r' = (l + 2 + 3H h rf.

Jetzt kommt Alkarchi zu den sechs Gleichungsformen, welche wir
(S. 676) bei Muhammed ibn Müsä Alchwarizmi besprechen mussten,
und setzt bei dieser Gelegenheit auseinander, was dschebr und mukä-
bala sei"'). Er versteht dabei das Wegheben gleichartiger Grössen
auf beiden Seiten der Gleichung, welches wir im Einverständnisse mit
späteren Schriftstellern mukäbala genannt haben, bereits unter dschebr.

B"'J)" JJ'

rig. 105.

') Agrimensoren ß. 128. ^) Fakhri 61. Vergl. Hankel- S. 192 An-

luerkung, der in dem Beweise ein durchaus indisches Gepräge erkennen will.
^) Ebenda 63—64.

Zahlentheoretiker, Rechner, geometrische Algebraiker v. 960 etwa bis 1100. 725

Ihm ist mukabala vielmehr nur die endgiltig zur Auflösuug vorbe-
reitete Gleicliuug in einer der sechs Formen. Unter den Beispielen,
welche Alkarchi behandelt, ist auch x^-\-lOx==o{) und x^-{-21=10x.
deren beider, wie wir uns erinnern, Mchwarizmi sich bedient hat.
Alkarchi hat für sie eine doppelte Auflösung, die eine geometrisch,
die andere nach Diophaut, wie er sich ausdrückt, und diese letztere
besteht in der Ergänzung zum Quadrate. Die Gleichung x"-{- 10a;=39
wird also aufgelöst durch die Umwandlung in

x"- -{- 10x-\- ö"' = 39 + 5'^ , oder {x -f 5)'-^ = 8^ ,
woraus x -\- ö = S , x = 3 gefolgert wird. Bei der Gleichung
^- -|- 21 == 10^ ist das Verfahren folgendes:

a;2 + 21 + {aß - 10a; + 25) = 10^ + (x^~ lOrc + 25),
(^2 _ loo; + 25) = 10a; -{- (x^^ - lOx -{- 25) - {x' + 21) = 4 = 21

Aber x^ — 10 + 25 ist ebensowohl (x — 5)- als (5 — xY, also ist
X — 5 = 2 und 5 — x = 2 eine Auflösung und entsprechend x=l
und X = S.

Das Auffallende bei der Behandlung dieser letzteren Gleichung
ist, dass Alkarchi auch von ihr des Ausdrucks „nach Diophants Art"
sich bedient. Das ist die von uns (S. 446) angekündigte Stelle,
welche als Zeugniss angerufen werden könnte, um damit zu belegen,
dass auch Diophant bereits die beiden Wurzeln von Gleichungen der
Form ax^ -\- c = hx gekannt habe. Vielleicht geht man alsdann
nicht zu weit, wenn man die Worte Alkarchis ganz buchstäblich
auffasst und sogar die Zahlenbeispiele

x2-|- lOa; = 39, a;^ -f 21 = 10a;,
die nach Diophants Art aufgelöst werden, als wirklich diophantisch
annimmt, womit freilich dem Ursprünge von Alchwarizmis Algebra
noch genauer beigekommen wäre als bisher. Die ganze Annahme ist
aber uns selbst noch nicht recht glaubhaft, sie müsste denn durch
andere noch nicht bekannt gewordene Zeugnisse in ihrer Wahrschein-
lichkeit verstärkt werden können. Nicht griechisch war unter allen
Umständen die eine geometrische Darstellung Alkarchis für die Auf-
lösung der Gleichung x^ -f- 10a; = 39.

Alkarchi gibt zwei geometrische Darstellungen unmittelbar ein-
ander folgend. Zuerst lässt er (Figur 106) — 1 1 _ _,

die Strecken x und 10 gradlinig an ^ ^

einander setzen und den Mittelpunkt

der letzteren Strecke angeben. Unter Berufung auf einen „bekannten
Satz des Euklid"^), worunter der 6. Satz des II. Buches der Elemente

1) Fakhri 65.

726 35. Kapitel,

verstandeu ist (S. 249), folgert er sodauu

Nun sei aber {{0 -{- x) x = 39 , also

64 = (y + ic) , 8 = 5 + ic , a; = 3 .

Diese Beweisführung kann sehr wohl alter griechischer Ueberlieferuug
sein, kann bis auf Euklids nächste Nachfolger, wenn nicht auf ihn

selbst, zurückgehen. Nim
lässt aber Alkarchi eine
zweite geometrische Dar-
stellung folgen. Die
Strecken (Figur 107)
CD = x\ DE= \0x,
deren Summe 39 sein
muss, werden geradlinig aneinander gesetzt. Ueber DE wird das
Quadrat AB ED errichtet, dessen Fläche folglich 100 x^ ist. Nun
bildet man über CD ein Rechteck CDTZ = 100 iC", d. h. man macht
CZ = 100, das Rechteck CZJE ist folglich

100 (ic^ + 10:r) = 100 • 39 = 3900
und ebensogross ist das Rechteck ABIT. Ist jetzt S die Mitte von
IE, so ist ähnlich wie im vorigen Beweise

IB xEB -\- ES''=BS'' oder 3900 + 50^ = (lOa; + 50)',

woraus

10a: + 50 = 80 , 10a; = 30 , x- = 39 - lO.r = 9

folgt. Dieser Beweis, das können wir zuversichtlich aussprechen,
rührt von keinem Griechen her. Niemals hätte ein solcher eine
Strecke als x'^, eine andere als 10a; bezeichnet und aneinander gesetzt,
niemals die weiteren Folgerungen gezogen. Auch die Buchstaben
der Figur, wenn wir die Transcription, in welcher sie allein uns be-
kamit geworden sind, für zuverlässig halten dürfen, bestätigen durch
das unter ihnen vorkommende /, dass sie mindestens von keinem
Griechen aus der klassischen Zeit ihrer Geometrie herrühren können.
Hier ist uns vermuthlich arabische Zuthat geboten, wahrscheinlich
eine Erfindung von Alkarchi selbst. Die Gleichung x^ -\- ax = h
kann aber auch so behandelt werden, dass x'^ unmittelbar hervortritt,
ohne durch Quadrirung des zunächst gesuchten x gefunden zu werden^).
Nachdem

x' -{- ax -{- "^ = h -\- ^ und a; -f y = ]/ft + ^
') Fakhri 65.

Zahlentheoretiker, Rechner, geometrische Algebraiker v. 950 etwa bis 1100. 727
gefolgert sind, sieht man sofort, dass

«x+i'=«|/6+^=i/«=6+(iT-

Andererseits ist

x^+ «a; + y = 6 + y,

und zieht man davon den Werth von ax -\- - ab, so bleibt

=1 + ^- Ya^y + [g

Alkarchi gehört ferner wohl die Auflösung der dreigliedrigen
Gleichungen von den Formen

ax^P -\- hx^' = c, ax^p -\- c = hx^ , hx^ -\- c = ax^i' ,
welche als auf quadratische Gleichungen zurückführbar dargestellt
werden, an^). Die theoretische Abtheilung schliesst sodann mit noch
zwei Aufgaben. Deren erste bildet der istikrä, d. h. wörtlich das
Weitergehen von Stelle zu Stelle. Gewöhnlich versteht der Araber
darunter ein auf Kenntniss aller besonderen Fälle beruhendes in-
duktives UrtheiP), hier aber ist etwas Anderes gemeint: die Aufgabe
ein Monom, Binom oder Trinom, welches formell keine Quadratzahl
ist, durch Annahme eines bestimmten Werthes der Unbekannten zum
Quadrate zu machen, also die unbestimmte Gleichung

mx'^ -f- nx -\- p = y^
zu lösen. Alkarchi setzt als Bedingung voraus, es müsse m oder p
eine Quadratzahl sein, dann wählt er y als Binom, dessen einer Theil
entweder ]/ma;^ oder Yp ist, so dass die ausgeführte Quadrirung
von y gestattet, ein Glied auf beiden Seiten zu streichen, entweder
das nach x quadratische oder das constante. Die zweite der beiden
Schlussaufgaben des theoretischen Theiles fordert die Auffindung eines
Faktors, welcher mit a -f- ]/ö vervielfacht die Einheit hervorbringe.
Die Aufgabensammlung, welche in fünf Abschnitte zerfallend die
zweite praktische Abtheilung bildet, ist nach der Schwierigkeit der
Aufgaben als einzigem Eintheilungsgrunde geordnet. Man trifft also
in ihr in bmiter Mannigfaltigkeit bestimmte und unbestimmte Auf-
gaben von den verschiedensten Graden. Alkarchi benutzt, wie sich
erwarten las st, bei seinen Auflösungen nur positive Zahlen. Nega-
tive Gleichungswurzeln sind ihm ein Beweis der Unmöglichkeit der
betreffenden Aufgaben, und, was einigermassen auffallen darf, auch
der Wurzel werth 0 wird von ihm ausgeschlossen^). Die bestimmten

^) Fakhri 71 — 72. -) L'algelrre d'Omar Alkhayami pag. 10, Anmerkung.

*) Fakhri pag. 78 und 11.

728 35. Kapitel.

Aufgaben höherer Grade gehören sämmtlich jenen dreigliedrigen auf
quadratische Gleichungen zurückführbareu Formen an. Die unbe-
stimmten Aufgaben sind theilweise dem Diophant entlehnt, und ein
Commeutator Ibn Alsirädsch hat am Schlüsse des 4. ilbschnittes
der Aufgaben ausdrücklich bemerkt: „Ich sage, die Aufgaben dieses
Abschnittes und ein Theil derer des vorhergehenden Abschnittes sind
ihrer Reihenfolge nach den Büchern Diophants entnommen. So
geschrieben durch Ahmed ibn Abu Bekr ibn 'Ali ibn Alsirädsch
x\lkalanisi. Schluss/'^) Andere Aufgaben rühren dagegen, wie es
scheint, von Alkarchi selbst her, und unter diesen mögen späterer
Rückbeziehungen wegen zwei besonders angeführt werden, die in
moderner Schreibart x'^ -\- 6 = y' und x^ — 10 = if heissen'''). Zur
Auflösmig der ersteren setzt Alkarchi y = x -\- 1 , zur Auflösung
der zweiten y = x ~ \ und erhält so für jene ic^ = 4 , tf = ^ , für

diese a.^=30— , i/^ = 20— • Man sieht, dass Alkarchi die ge-
brochenen Auflösungen unbestimmter Aufgaben keineswegs scheut,
sondern gleich Diophant nur irrationale Werthe verpönt. An sich
interessant ist es, dass Alkarchi die Auflösbarkeit von

-h (ax — h) — X? = if
behandelt und ihre Bedingung in der Zerlegbarkeit von \-~\ -\- h
in die Summe zweier Quadrate erkannt hat^). Die Auflösung von

+ (ax — b) — x^^ y^
nach X liefert nämlich

- = ±1+1/(^ + 6)-/,

wo die oberen, beziehungsweise die unteren Vorzeichen in der Auf-
gabe und in der Auflösmig zusammengehören. Kann man nun

— + & in zwei Quadrate zerlegen, so setze man diese y- -f- z^ und

bekommt dadurch

^ = + Y + ^!.

In zwei Aufgaben bedient sich Alkarchi zweier Unbekannten, welchen
er besondere Namen beilegt*). Das eine Mal heisst ihm die erste
Unbekannte Sache, die zweite Maass; das andere Mal benutzt er
neben Sache noch Theil. Ganz Aehnliches findet sich auch in einem
anonymen muthmasslich gleichfalls dem XL S. entstammenden arabi-

0 Fakhri 22—23. ^) Ebenda 84 (Aufgaben II, 22 und 23). =') Ebenda

113 (Aufgabe IV, 32). ■•) Ebenda 139—143 (Aufgaben III, 5 und G).

Zahlentheoretiker, Rechner, geometrische Algebraiker v. 950 etwa bis 1 100. 729

sehen Aufsatze über Winkeldreitheilung^). Dass hierin ein Hinaus-
geheu über Diophant enthalten ist, leuchtet ein, da dieser, wenn er
auch unter Umständen Hilfsunbekannte eingeführt hat, für dieselben
stets nur die gleiche Benennung und Bezeichnung wählte wie für die
Hauptunbekannte und durch den verbindenden Text dafür sorgte,
dass eine Verwechslung nicht eintrete. Den Buchstaben gegenüber,
welche die Inder für von einander zu unterscheidende Unbekannte in
fast beliebiger Anzahl zu setzen gewohnt waren, ist Alkarchis Ver-
fahren ein untergeordnetes.

Ob auch hier ein absichtliches Vernachlässigen dessen, was die
Inder über die Griechen hinaus geleistet haben, ob ein wirkliches
Nichtwissen anzunehmen sei, dürfte schwerlich ermittelt werden
können. Wahrscheinlicher ist uns jedoch das letztere, weil auch in
solchen arabischen Schriften, die ausgesprochenermassen indischen
Schriften nachgebildet sind, die Methoden der Inder, Gleichungen
mit mehreren Unbekannten aufzulösen, mag es um bestimmte oder
um unbestimmte Aufgaben sich handeln, regelmässig fehlen.

Wir haben gesagt, dass die bestimmten Gleichungen, welche
Alkarchi löst, sofern sie den 2. Grad übersteigen, stets solche sind,
welche auf Gleichungen des 2. Grades sich zurückführen lassen.
Bestimmte cubische Gleichungen hat er nicht behandelt, und eben-
sowenig lässt sich eine Spur finden, dass irgend ein anderer Araber
dieser Zeit sich in algebraischer Weise erfolgreich mit denselben
beschäftigt hätte. Nur geometrisch treten sie mit Glück an diese
Aufgabe heran.

Wir haben an der Wende des X. zum XL S. Männer wie Abii'l
Dschüd mit cubischen Gleichungen sich abarbeiten sehen, bald in
einzelnen Fällen ein Ergebniss erzielend, bald der Schwierigkeiten,
die sich ihnen entgegenstellten, nicht Meister werdend. Noch andere
Mathematiker des XL S. haben im Chalifenreiche ähnliche Aufgaben
sich gestellt, unter welchen uns Almähäni und Abu Dscha'far
Alchäzin von einem, wie wir gleich sehen wollen, sehr befugten
Berichterstatter gelobt werden. Ersterer versuchte vergebens die
archimedische Aufgabe, eine Kugel in Abschnitte von gegebenem
gegenseitigem Raumverhältnisse zu theilen, welche er in eine Kuben,
Quadrate und Zahlen enthaltende Gleichung umgesetzt hatte, durch
Auffindung der Gleichungswurzeln zu lösen ^). Letzterer fand, dass
Kegelschnitte genügten das zu zeichnen, was zu errechnen nachgrade
als Unmöglichkeit galt^). Unser Berichterstatter ist Alchaijämi

^) Journal Äsiatique für October und November 1854 pag. 381 — 383.
L'algcbre d'Omar Alkhayami pag. 2. ^) Ebenda 3,

730 -^6. Kapitel.

d. h. der Nachkomme des Zelteiiverfertigers, mid er wusste endlich
die Lehre zum Abschlüsse zu bringen. Er gehört schon einer Zeit
an, die jenseits der Periode liegt, bis zu welcher wir (S. 698) der
Schicksale des Chalifates in flüchtigen Umrissen gedacht haben.

Die Dynastie der Abbäsiden dauerte unter dem Namen und dem
Scheine des Chalifates noch fort, aber die Bujideu, die eigentlichen
Machthaber, waren seit der Mitte des XL S. gestürzt, und an ihre
Stelle traten Männer aus dem Geschlechte Seldschuks, die aus der
Steppe der Kirgisen gekommen neue frische Kräfte mitbrachten, noch
unverbraucht in der Verfeinerung und Verweichlichung städtischen
und höfischen Lebens^). Togrulbeg der Enkel Seldschuks zog 1050
halb gerufen von dem Chalifen Alkä'im und achtlos des Widerspruchs
der Bujidensultans Al-Melik Ar-Rahim in Bagdad ein. Mehrjährige
Kämpfe endeten zu seinem Gunsten, und der ihm verliehene Ehren-
titel „König des Ostens und des Westens" gewann wenigstens für
die Umgegend der Hauptstadt einige Wahrheit. Auf Togrulbeg folgte
1063 sein kriegerischer Neffe Alp Arslan, auf diesen 1073 — 1092
dessen Sohn Melikschäh. Den beiden letztgenannten Sultanen stand
als Wezir Nizäm Almulk zur Seite, und dieser war der Jugendfreund
unseres Omar Alchaijärai^). Noch ein dritter Jüngling, Al-Hasau ihn
As-Sabbäl, war mit beiden zusammen aufgewachsen.

Die jungen Männer hatten sich gegenseitige Unterstützung zu-
geschworen, wenn einer von ihnen zu Ehren und Ansehen käme.
Nizäm Almulk war in der Lage, sein Versprechen einzulösen, und es
lag nicht an ihm, wenn es anders kam, als die Phantasie der Freunde
es sich ausgemalt hatte. Al-Hasau ibn As-Sabbah, der eine Stelle
als Kämmerer erhalten hatte, suchte seinen beginnenden Einfluss
zum Schaden Nizäm Almulks selbst zu verwenden, wurde durch diesen
wieder vom Hofe verdrängt, begab sich nach Aegypten und kehrte
von dort später als schi'itischer Parteiführer nach Persien zurück,
woher er stammte. In der Burg Alamüt, deren er sich 1090 be-
mächtigte, gründete er den Orden der Haschischesser (Haschischin),
welche unter dem berückenden Einflüsse jenes gefährlichen Reizmittels
zu allen Verbrechen bereit waren, die ihr Führer ihnen anbefahl, den
Märtyrern ewige paradiesische Genüsse versprechend, und welche so
den Namen ihres Ordens gleichbedeutend mit Meuchelmördern machte,
eine Bedeutung, die der abendländischen Verketzerung ihres Namens
Assassini beigeblieben ist.

Alchaijämis Leben war weniger stürmisch. Eine eigentliche Hof-
stellung scheint er ausgeschlagen zu haben und nur als Astronom

') Weil »S 226 flgg. -) L'algchre d'Omnr Alkhayami Frefacc pag. IV— VI.

Zahlentheoretiker, Rechner, geometrische Algebraiker v. 950 etwa bis 1100. 731

für Melikschah thätig gewesen zu sein, in welcher Eigenschaft er
1079 eine Kalenderreform zu Wege brachte. Sie bestand darin, dass
man zum persischen Sonnenjahre von 365 Tagen zurückkehrte und
alle vier Jahre ein Schaltjahr von 366 Tagen eintreten Hess, zum
8. Schaltjahre aber nicht das 4., sondern das 5. Jahr nach dem letzten
Sch9,ltjahre wählte. So bekam man für 33 Jahre die Dauer von
25 X 365 + 8 X 366 Tagen und mithin 1 Jahr = 365'' 5'' 49"' 5', 45
in einer Uebereinstimmung mit der Wirklichkeit, welche grösser ist
als bei allen sonstigen Kalendereinrichtungen ^). Auch Alchaijämi
scheint in die religiösen Zwiespalte zwischen Schielten und Sunniten
etwas verwickelt gewesen zu sein. Wenigstens berichtet eine ihm
freilich nicht freundliche Feder, er habe, nicht aus Frömmigkeit,
sondern durch ein fast zufälliges Zusammentreffen, die jedem Moslim
gebotene grosse Pilgerfahrt gemacht, sich aber bei der Wiederkehr
nach Bagdad gegen allen wissenschaftlichen Verkehr abgeschlossen
und habe dann in die Heimath nach Chorasan sich zurückgezogen.

Sein Ruhm als grosser Mathematiker blieb unbeeinträchtigt, und
noch in der Mitte des XVII. S. hat Hadschi Chalfa, welcher sich sonst
begnügt, den Titel der Bücher nur anzugeben, welche er in seinem
umfassenden bibliographischen Werke aufzählt, ein nicht unbedeuten-
des Stück der Algebra Alchaijämis zum Abdrucke gebracht.

'Omar Alchaijämi rechtfertigt durch seine Algebra vollständig
den Ruhm, welcher bei seinen Landsleuten ihm nachblieb. Er war
der erste, welcher die Unterscheidung der Fälle, die dadurch,
dass nur positive Glieder in den Grleichungen vorkommen dürfen, sich
ergeben, auch für die cubische Gleichung durchführte, und sodann,
nicht, wie es die Griechen schon mehrfach gethan hatten, diese oder
jene geometrische Aufgabe löste, sondern mit diesen Gleichungen
als solchen sich vollbewusst beschäftigte. Es ist wahr, er blieb
hinter dem Erreichbaren in manchen Beziehungen zurück. Er sah
nicht, dass es cubische Gleichungen von der Form x'^ -\- hx = ax'' -\- c
gibt, welche durch drei positive Wurzeln erfüllt, eine Aehnlichkeit
mit jenem Falle ax^ -\- c = hx der quadratischen Gleichung an den
Tag legen, welcher zwei positive Wurzeln zulässt^). Er glaubte, die
cubi sehen Gleichungen könnten überhaupt nicht durch Rechnung
gelöst werden, sondern man müsse mit der Construction von einander
durchschneidenden Kegelschnitten sich begnügen^). Ihm entgingen
manche Wurzelwerthe, welche durch Zeichnung sich eigentlich hätten

*) R. Wolf, Geschichte der Astronomie S. 331, wo der Name Alchaijämis
als Omar-Cheian angegeben ist, eine ältere Lesart, deren wir uns in Anschluss
an Woepcke nicht bedienen. -) L'algcbre d'Omar AWiayami XVI und 65,

Anmerkung. *) Ebenda 11 und 12.

732 35. Kapitel.

kundgeben müssen, dadurch, dass er von den Kegelschnitten, die er
zur Construction verwandte, immer nur einen Arm zu zeichnen
pflegte^). Er nahm es auch nicht sehr genau mit dem Diorismus
der einzelnen Fälle ^), d. h. mit der Untersuchung der Zahlen werthe,
welche die einzelnen in den Gleichungen vorkommenden Coefficienten
annehmen müssen, um die Möglichkeit einer Construction, wir würden
sagen um eine positive Gleichungswurzel hervorzubringen. Er hielt
biquadratische Gleichungen auf geometrischem Wege für unlösbar''').
Aber diese Mängel sind doch nur geringfügige gegen den ungemein
grossen Fortschritt, überhaupt Gleichungen von höherem als dem
zweiten Grade systematisch bearbeitet und in Gruppen zerlegt zu
haben. Fragen wir, welcher Mathematiker irgend eines Volkes noch
vor dem Jahre 1100 triuome cubische Gleichungen von quadriuomen
unterschied, unter jeden wieder zwei Gruppen bildend, je nachdem
dort das Glied 2. oder 1. Grades fehlte, hier die Summe von drei
Gliedern einem, oder die Summe von zwei Gliedern der der beiden
anderen gleichgesetzt war, so wird man uns sicherlich nur den
einzigen Namen 'Omar Alchaijämi als Antwort zu nennen wissen,
und das genügt, dem Manne seine hervorragende Stellung in der Ge-
schichte der Algebra zuzuweisen.

Es scheint, als sei noch ein anderes Verdienst ihm zuzuschreiben,
die Kenntniss der Binomialentwicklung für den Fall ganzzahliger
positiver Exponenten. Er sagt nämlich: „Ich habe gelehrt, die Seiten
des Quadratoquadrats, des Quadratocubus, des Cubocubus etc. bis zu
beliebiger Ausdehnung zu finden, was man vorher noch nie gethan
hatte. Die Beweise, welche ich bei dieser Gelegenheit gab, sind
einzig arithmetischer Natur und gründen sich auf die arithmetischen
Abschnitte der euklidischen Elemente"*). Diese Behauptung kann
kaum anders verstanden werden, als dass die Ausziehung der Quadrat-
wurzel sich stütze auf die Entwicklung von (a -f- l)f, die der Kubik-
wurzel auf die Entwicklung von (a -|- &)^, die der wten Wurzel auf
die Entwicklung von {a -\- h)'", eine Auffassung, zu deren Bestätigung
es dienen kann, dass Alchaijämi unmittelbar vor der augeführten
Stelle von den Methoden der Inder die Quadrat- und Kubikwurzel zu
finden geredet hat und nur deren Art vermehrt zu haben sich rühmt.

Wir reihen diesen Bemerkungen noch eine geometrische Aufgabe
an, welche von einem ungenannten bearbeitet worden ist, der nach
der ganzen Behandlungsweise jedenfalls der Zeit und der Schule an-
gehört, deren Hauptvertreter wir soeben kennen gelernt haben. Es

0 L'algebre d'Omar Alkhayami 68. ') Ebenda XVII— XVIII. =*) Ebenda 79.
*) Ebenda 13.

Der Niedergang der ostarabischen Mathematik. Äegyptische Mathematiker. 733

handelt sich um die Construction ^) eines Paralleltrapezes von drei
einander gleichen gegebenen Seiten und von zugleich gegebenem
Flächeninhalte. Diese an griechische wie an indische Vorbilder (S. GIO)
erinnernde Aufgabe führt zu einer Gleichung des 4. Grades von der
Form x'^ -\- hx = ax^ -\- c und wird mittels des Durchschnittes eines
Kreises und einer Hyperbel gelöst.

36. Kapitel.

Der Niedergang der ostarabisehen Mathematik.
Äegyptische Matliematiker.

Wieder verlangen die politischen Ereignisse, dass wir einen
Augenblick bei ihnen verweilen. Wir stehen an dem Zeitpunkte,
von welchem an durch zwei Jahrhunderte, in runden Zahlen von
1100 bis 1300, jene Kämpfe wütheten, welche in ihrer Gesammtheit
die Kreuzzüge genannt worden sind, welche aber mehr als einmal
durch Zeiten unterbrochen waren, in welchen friedlichster Verkehr
zwischen den Feinden stattfand. Das waren die Zeiten, in welchen
die europäische Christenheit in dauernde unmittelbare Beziehung zur
ostarabischen Bildung trat, eine Beziehung, welche von grösster
Wichtigkeit werden musste. Nicht für die Kultur der Araber tritt
uns die ganze Bedeutung der Kreuzzüge hervor. Wenigstens in den
Wissenschaften, um deren Geschichte wir uns zu kümmern haben,
sind die Araber von 1100 den Gelehrtesten des christlichen Abend-
landes so imgemein überlegen, dass sie nichts, wir würden noch
schärfer betonen gar nichts, von jenen lernen konnten, wenn nicht
vielleicht eine an sich unbedeutende Kleinigkeit uns nachher noch
die Vermuthung erwecken dürfte, es habe auch hier sich bewährt,
dass keine Wirkung ohne Gegenwirkung zu denken ist. Jedenfalls
aber werden wir an den Einfluss der Kreuzzüge vorwiegend in Europa
zu erinnern haben.

Die Kriege gegen die Andersgläubigen, vornehmlich in Palästina
und Aegypten ausge fochten , waren nicht die einzigen, welche das
arabische Ostreich in diesem Zeiträume beschäftigten. Daneben
dauerten wie unter allen Dynastien unaufhörliche Kämpfe gegen die
Provinzen fort, die unter kühnen Feldherren und Gegenfürsten bald
sich losrissen, bald zu Paaren getrieben wurden. Daneben hatte man
des Andranges der Mongolen sich 7u erwehren^), die im ersten Viertel
des XTTT. S. unter Dschingiz-chän die östlichen Grenzen des Reiches

1) L'alißhre d'Omar Alkhatjami 116. ^) Weil S. 249— 255.

734 36. Kapitel.

überflutheten. Wieder war es der Hilferuf eines ohnmächtigen Cha-
lifen, der dem Eroberer den kaum mehr nothwendigen Vor wand gab,
sich in dieser Richtung weiter auszudehnen. Schon 1220 wurde
Chorasan, jene Geburtsstätte zahlreicher Mathematiker, von den Mon-
golen besetzt. Wieder 36 Jahre später, 1256 drangen die Mongolen
unter Hülägü abermals weiter vor, und 1258 fiel Bagdad. Der Chalife
Almustasim wurde mit vielen Prinzen seines Hauses getödtet, das
Chalifat hörte auch dem Namen nach auf, wie es seit lange schon
der That nach so gut wie nicht bestand.

Unter Hülagüs Begleitern war ein Mann, der einst vom Chalifeu
schwer beleidigt vielleicht zu den Anstiftern jenes Kriegszuges ge-
hörte, jedenfalls unter die Günstlinge des mongolischen Führers
zählte und auch für uns von hervorragender Bedeutung ist: Nasir
Eddin^). Der Name Na.sir Eddin d.h. Vertheidiger der Religion ist
nur Beiname. Eigentlich hiess er Abu Dscha'far Muhammed ibu
Hasan al Tüsi aus Tüs, wo er 1201 geboren wurde. Er starb 1274.
Seine Gelehrsamkeit umfasst die allerverschiedensten Gegenstände.
Philosophie und Arzneikunde, Naturgeschichte und Geographie haben
ihm Stoff zu Abhandlungen gegeben, neben welchen ein Gesetzbuch
der Perser sich kaum sonderbarer ausnimmt als ein Werk über die
Punktierkunst. Die Ilchänischen Tafeln, welche den Titel von den
Fürsten erhalten haben, unter welchen Nasir Eddin die Beobachtungen
anstellte, von den sogenannten Grosschanen, sind das Werk, um dessen
willen Nasir Eddin in seiner Heimath den grössten Ruhm genoss.
Die Beobachtungen sind auf der Sternwarte in Maräga angestellt,
deren Gründung 1259 unmittelbar nach der Einnahme von Bagdad
vollzogen wurde. Die dort erbeuteten Schätze des letzten Chalifen
fanden zum Theil ihre Verwendung bei der Erbauung der grossartigen
Anstalt, deren Kostspieligkeit nahezu im Stande gewesen wäre, noch
im letzten Augenblick die Inangriffnahme zu verhindern, wenn nicht
Nasir Eddin es verstanden hätte, Hülägü zu bereden. Nach Fertig-
stellung der Sternwarte diente sie als Sammelplatz zahlreicher Astro-
nomen, welche Hülägü herbeirief. Von mathematischen Schriften
Nasir Eddins werden solche über Algebra, über Arithmetik und über
Geometrie genannt. Von grosser Bedeutung ist die Abhandlung
Nasir Eddins über die Figur der Schneidenden^), d. h. über

') lieber Nasir Eddin vergl. einen Aufsatz von Wurm in v. Zachs
Monatlicher Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmelskunde (1811)
Bd. XXIII, S. 64—78 und 341—361. ^) Nasir Eddins Schuld al kattd, wie

der arabische Name lautet, ist 181)2 durch Alexander Pascha Karatheodory
herausgegeben worden. Suter gab ein Referat in der Bibliothcca mathemaüca
1803, 1 — 8, an welches wir uns theilweise wörtlich anschliessen.

Der Niedergang der ostarabischen Mathematik. Aegyptische Mathematiker. 735

den Satz des Menelaos. Er hat auf denselben eine ganz vollständige
ebene und sphärische Trigonometrie aufgebaut, welche hier zum ersten
Male als Theile der reinen Geometrie erscheinen, d. h. nicht mehr
bloss als Einleitung zur Astronomie dienen. In der ebenen Trigono-
metrie kennt er den Sinussatz, in der sphärischen sind ihm die sechs
Hauptformeln des rechtwinkligen Dreiecks vertraut, er löst aber
auch alle sechs Fälle des schiefwinkligen Dreiecks, sofern man nicht
geschmeidige Formeln verlangt, sondern sich damit zufrieden gibt,
dass gezeigt Avird, man könne, wenn diese oder jene Stücke gegeben
sind, diese oder jene andere Stücke finden. In diesem Sinne führt
Nasir Eddin auch den Fall der drei Winkel auf den der drei Seiten
zurück, üeber die wichtige Frage, welche Verbreitung diese Tri-
gonometrie fand, und ob sie den ganzen Einfluss übte, den sie zu
üben im Stande war, fehlen noch Untersuchungen. Weit bekannter
als Nasir Eddins Trigonometrie war jedenfalls seine Bearbeitung der
Euklidischen Elemente. Er hat an seiner Vorlage mancherlei zu
ändern gewagt, und insbesondere findet sich bei ihm ein Versuch,
die Parallelentheorie von den ihr innewohnenden Schwächen zu
befreien^).

Erläuterungen zu Euklid wurden dagegen auch später noch ge-
schrieben, und als Verfasser von solchen wird der Perser Kädizä-
deh Ar-Rumi genannt"), der auch den Namen Maulänä Salaheddin
Musä ihn Muhammed führte, und von welchem ein Leben des Euklid
nach griechischen Quellen herrührt, welches handschriftlich noch vor-
handen sein soll. Kädizädeh Ar-Rümi starb 1412 oder 1413. Er ge-
hörte zu den Astronomen, welche wieder ein neuerer Eroberer an
einen neuen Mittelpunkt zusammenrief.

Timür^), gewöhnlich Tamerlan genannt, ein Häuptling des Tar-
tarenstammes Berlas, schuf sich am Schlüsse des XIV. S. ein neues
Reich. Wenn er auch 1393 in Bagdad einzog, seine Hauptstadt
hatte er in Samarkand, welche rasch emporblühte und Sammelplatz
für Handel und Gewerbe, für Künste und Wissenschaften wurde.
Timür selbst, noch mehr sein Sohn Schähruch bemühten sich, dieses
Ergebniss hervorzubringen, und mm gar der Enkel Muhammed ibn
Schähruch Ulüg Beg, geboren 1393, ermordet 1449, war selbst ein
hervorragender Astronom und verfertigte in Gemeinschaft mit Anderen
astronomische Tafeln von hohem Werthe*). Zu seinen Hilfsarbeitern
gehörte vorzugsweise Ar-Rümi, der auch als Lehrer des Ulüg Beg

1) Wallis, Opera II, 669—673. Kästner, Geschichte der Mathematik I,
374 — 381. ^) Gartz, De interpreübus et exiüanatoribus Euclidis Arabicis etc.
pag. 30-31. ^) Weil S. 421flgg. *) Sedillot hat 1853 die Einleitung zu
diesen Tafeln iu französischer Uebersetzung herausgegeben.

736 36. Kapitel.

angeführt wird. Der Sohn Ar-Rüniis Mahmud ihn Muhammed ibn
Kadizädeh Ar-Rümi genannt Miram Tschelebi schrieb 1498 Er-
Uiuterungen zu jenen Tafeln').

Zu dem Ulüg-Beg'schen Gelehrtenkreise ist auch Dschamschid ibn
Masud ibn Mahmud der Arzt mit dem Beinamen Gijät eddin Al-Kaschi
zu zählen, welcher eine Abhandlung „Schlüssel der Rechenkunst" ver-
fertigte, welche handschriftlich vorhanden ist, und deren Vorrede auch
übersetzt worden ist^). Der Verfasser kündigt in der Vorrede einige
der Sätze au, welche er mittheilen wird. Dazu gehört die Summen-
formel der auf einander folgenden Kubikzahlen von 1 an, wie sie
unter den Arabern uns bei Alkarchi bekannt geworden ist (S. 724),
aber auch die Summenformel für die mit der 1 beginnenden auf
einander folgenden Biquadratzahlen, welche hier überhaupt zum ersten
Male auftreten dürfte. Gijät eddin Al-Käschi setzt

I4_^2^_|.34_j [-^4_[^a + 2 + 3_^--fO-i_|_ (-1^2 + 3-1 \-r]

X[12_^ 22+32 H \-r'],

eine allerdings sehr umständliche Form, deren Zurückführung in die

einfachere Gestalt

6r^-f 15r*+ lOr^— r
30

er nicht zu vollziehen im Stande gewesen zu sein scheint, jedenfalls
nicht vollzogen hat. In jener Vorrede rühmt sich der Verfasser auch
eine Methode erfunden zu haben, um die Sehne, die zu dem Bogen
von 1** gehört, in beliebiger Annäherung zu erhalten, weil es doch
nicht möglich sei, in genauer Weise die Sehne eines Bogens aus
der Sehne des dreifachen Bogens abzuleiten. Die Unmöglichkeit
der algebraischen Auflösung cubischer Gleichungen galt
also damals auch bei den Arabern noch für ausgemacht.

Die Näherungsmethode Al-Käschis ist uns höchst wahrscheinlich
bekannt, denn sein Name dürfte in der wohl durch falsche Stellung
der sogenannten diakritischen Punkte veränderten Lesart Atabeddin
Dschamschid zu erkennen sein, von welchem Miram Tschelebi in
dem obengenannten Commentare zu den Ulüg Beg'schen Tafeln uns
eine solche Methode mittheilt'). In modernen Zeichen stellt die Me-
thode sich etwa folgendermassen dar. Es sei x^ -\- Q = Fx aufzu-

') Journal Asiatique für 1853, serie 5, T. II, 333—356. ^) Woepcke,

Fassages relatifs ä des sommations de scries de cubes. Roma 1864, pag. 22 — 25.
*) Journal Asiatique von 1853, serie 5, T. II, pag. 347, Die Vermuthung Ata-
beddin = GijTit Eddin hat gestützt auf die Ansicht mehrerer Orientalisten
Uaukel S. 292, Anmerkung* ausgesprochen. Die Näherungsmethode selbst
hat er S. 291 an einem Beispiele durchgeführt.

Der Niedergang der ostarabischen Ma'thematik. Aegyptische Mathematiker. 737

lösen, wo P und Q positive Zahlen und F gegen Q sehr gross sein
soll, woraus alsdann folgt, dass x entsprechend klein, also auch x^
gegen Q sehr klein gewählt, die Gleichung zu erfüllen vermag. Dem
entsprechend wird, indem wir das Aehnlichkeitszeichen rv) benutzen,
um angenäherte Gleichheit auszudrücken, neben

auch xoo^

sein. Liefert jene Division einen Quotienten a und den Rest 72, so
ist Q = a ■ P -\- R. Der genaue Werth von x wird jedenfalls > a
sein, etwa = a -\- ß . Alsdann ist

Die Division — ^ — möge den Quotienten b, den Rest S liefern, sodass
II = hP -\- S — a^ . Weiter setzen wir x = a-\-h-{-y . Daraus folgt

Die letztere Division "L wird nun abermals vollzogen.

Sie liefere den Quotienten c mit dem Reste T oder

T=S^{a + hy -a^ — cP.
Ein weiterer Annäherungsversuch x = a-{-h-{-c-\-8 führt demnach zu

=.« + & + , + ^H,(^+H^±i)!^(^^l^

C\J a -\- h -\- c -\ ^^—^ ^—^ ^— ! — ^ u. s. w.

Die Brauchbarkeit dieser Methode, bei welcher es nur auf Divi-
sionen durch einen und denselben Divisor P und auf Berechnung der
dritten Potenzen von a, von a -\- h , von a -\- h -\- c u. s. w., also
von den auf einander folgenden Näherungswerthen von x, ankommt,
ist eine ziemlich bedeutende und hat nur, wie man, um allzuhoch-
gespannten Meinungen entgegenzutreten, • hervorheben muss, den »einen
Mangel, dass ein einzig auf die gegebene Gleichungsform unter der
Bedingung eines gegen Q sehr grossen P beschränktes Verfahren
damit gelehrt ist. Ist letztere Bedingung nicht erfüllt, oder ist die
Form der Gleichung nicht x^ -\- Q = Px , so lässt die Methode sich

Caktok, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 47

738 36. Kapitel.

nicht anwenden. Es muss vielmehr alsdann wesentlich anders ver-
fahren werden, und ob ein Araber, der, wie wir wissen, nur mit
positiven Zahlen rechnete und deshalb so viele verschiedene Gleichungs-
formen unterscheiden musste, auch in jenen abweichenden Fällen
sich zu helfen wusste, ist uns im höchsten Grade unwahrscheinlich,
da nicht einmal andeutungsweise von solchen anderen Fällen die
Rede ist.

So tief wir schon herabgerückt sind, bis zu einer Zeit, welche
schon später als die Einnahme von Byzanz durch die Türken liegt
und eigentlich erst im folgenden Bande dieses Werkes besprochen
werden dürfte, so wollen wir doch in ähnlicher Weise, wie wir dieses
für die Mathematik der Chinesen uns gestattet haben, lieber jetzt
eine zeitliche als später eine räumliche Abweichung von einem ein-
heitlich angelegten Plane uns gestatten. Man muss nun einmal die
Entwicklung der Mathematik auf asiatischem Boden unter die zu
betrachtenden Dinge vollwerthig einrechnen, wird aber entschieden
besser daran thun, sie ein für allemal von Anfang bis zu Ende zu
verfolgen, als sie der Entwicklung auf europäischem Boden je und je
einzureihen.

Jahrhunderte hindurch haben die Araber des Ostens einen
mächtigen Vorsprung vor den Europäern, die theil weise bei ihnen
in die Schule gehen. Mit den Männern, welche wir zuletzt genannt
haben, hört jeder Fortschritt bei den Einen auf, während er bei den
Anderen zu immer rascherer Gangart sich gestaltet. Und auch die

TD O

Empfänglichkeit der Araber auf mathematischem Gebiete war dahin.
Das zeigt uns der letzte orientalische Schriftsteller, von dem wir
nunmehr zu reden haben, Behä Eddiu^). Dieser Mathematiker lebte,
wie ein in arabischer Sprache verfasstes biographisches Wörterbuch
berichtet, 1547 — 1622. Er war, was aus einzelnen Stellen seines
Rechenbuches mit Bestimmtheit hervorgeht, Schi'"ite und demnach
wahrscheinlich geborener Perser oder doch in Persien ansässig, was
mit der Angabe, er sei in Ispahan gestorben, im Einklang steht.
Der Titel des von ihm herrührenden Werkes lautet Essenz der Rechen-
kunst, Chuläsat al hisäb, weil es die Essenz der Bücher älterer Schrift-
steller sei, die er vereinigt habe. Den Inhalt bildet ein Gemenge
von arithmetischen, algebraischen, geometrischen Dingen in bunter
lleihenfolge, mid nicht minder bunt ist das Gemenge, wenn wir die
einzelnen Dinge auf ihren .Ursprung uns ansehen und Griechisch-

*) Beha Eddins Essenz der Rechenkunst, arabisch und deutsch heraus-
gegeben von Nesselmann. Berlin 184.S. Biographisches in den Anmerkungen
auf S. 74 -75.

Der Niedergang der ostarabischen Mathematik. Aegyi^tisclie Mathematiker. 739

abeudländisches mit Indiscliem, mit Arabischem regellos» wechselnd
erkennen. Nur Eines muss man nicht erwarten: dass Behä Eddins
Sammelgeist es verstanden hätte, jeder Heimath die edelste Frucht
zu entnehmen, welche sie zeitigte. Griechisch erscheint die Behauptung,
die Einheit sei keine Zahl, erscheint das ganze Kapitel der Messungen
mit einer Ausnahme. Griechisch ist die Auffindung der vollkommenen
Zahlen, der Summe von Quadrat- und Kubikzahlen. Ebendahin weist
uns wohl die complementäre Multiplikationsmethode (S. 492), welche
Behä Eddin kennt und folgendermassen lehrt: „Addire die beiden
Faktoren und nimm den Ueberschuss über 10 zehnfach und dazu das
Produkt der Ueberschüsse der 10 über jeden Faktor"^). Er dehnt die
Regel, welche, wie er ausdrücklich hervorhebt, nur für zwei Faktoren
zwischen 5 und 10 Geltung hat, auch mit einigen geringfügigen Ab-
änderungen auf andere Faktoren aus. Die complementäre Division
ist dagegen auch in Behä Eddins Essenz nicht eingedruno-en, und an
abendländische Zuthat erinnert bei der Division nur das Ziehen von
Vertikallinien, welches freilich zur Vermeidung von Irrthümern Jeder-
mami erfinden konnte, welches aber auch ein Ueberbleibsel von
Kolumnen sein kann, welche in Europa benutzt wurden. An Heron
werden wir in dieser spät entstandenen Sammlung durch Höheu-
messungen aus Schattenlängen und mit Hilfe von Beobachtungsvor-
richtungen'-) erinnert, an ihn durch die Aufgabe die Breite eines
Flusses zu messen. Die Ausführung dieser Messung selbst erfolgt
in einer uns noch unbekannten Art: „Stelle Dich an das Ufer des
Flusses und beobachte sein anderes Ufer durch das Diopterlineal;
dann kehre Dich um, so dass Du durch dasselbe eine Stelle des
Bodens siehst, während das Astrolabium an seinem Platze bleibt;
nun ist der Abstand zwischen Deinem Standpunkte und jener Stelle
gleich der Breite des Flusses"^). An Indien erinnert uns das Ziffer-
rechnen, die Neunerprobe, die Regeldetri, die Rechnung des doppelten
falschen Ansatzes, die Rechnung durch Umkehrung der Reihenfolge
und Ausführung der zu vollziehenden Operationen, die Netzmulti-
plikation"^), welche letztere besonders deutlich gelehrt wird, während
zwei andere Multiplikationsmethoden nur genannt, aber nicht erläutert
werden, so dass der Sinn, der mit der Multiplikation des Umgürtens
und des Gegenüberstellens zu verbinden ist, räthselhaft bleibt.
Wenn wir diese Dinge griechisch-abendländisch, beziehungsweise
indisch nannten, so ist unsere Meinung keineswegs die, als habe
Behä Eddin aus jenen entfernten Quellen selbst geschöpft. Er hat

') Beha Eddin S. 9. '') Ebenda S. 35—36. '•') Ebenda S. 3Ü— 37.

•') Ebenda S. 12.

47*

740 36. Kapitel.

zuverlässig- nur Scliriften seiner Heimath benutzt. Aber in jene sind
früher oder später die Einschiebungen schon erfolgt und zwar, wie
es uns wenigstens vorkommt, die der Kolumnenüberbleibsel, möglieher-
Aveise der complementären Multiplikation, vielleicht auch der praktisch-
feldmesserischen Aufgaben erst nach den Kreuzzügen. Arabische
Originalquellen lieferten daneben die Unmöglichkeit, der Gleichung
x^ -\- y^ = z^ zu genügen^) oder eine Quadratzahl zu finden, welche
um 10 vermehrt oder vermindert wieder eine Quadratzahl liefere.
Einheimisch war, so weit wir wissen.

Einheimisch kann auch die Vorschrift sein, den Kreisumfang
durch einen Faden zu messen^), sowie wir die falsche Regel den
Raum einer Kugel vom Durchmesser d durch

{(i-Ä)-Ä(i-u)-n[(i"Ä)-Ä(i-fJ])

zu berechnen^) einheimischem Missverständnisse später Zeit zur Last
legen möchten. Augenscheinlich ist nämlich der für den Kugelinhalt

angegebene Ausdruck gleichbedeutend mit ( — ^1 = ( ^1 d. h. mit

dem Kubus des vierten Theils des Kreisumfanges, und bei aller Ver-
wandtschaft mit der falschen Berechnung des Kugelinhaltes durch
Aryabhatta (S. 604) ist doch die Verschiedenheit wieder zu bedeutend,
um ein Abhängigkeitsverhältniss anzunehmen. Weit eher möchten
wir an die spätrömische Kreisflächenausmessung (S. 550) uns erinnert
fühlen. Einige geometrische Namen sind sowohl nach Bedeutung als
Ursprung zweifelhaft, einige wenigstens in letzterer Beziehung. Einer
Art von Trapez, welche Gurke genannt wird, stehen wir ebenso
rathlos gegenüber wie der Commentator, der da sagt: „Eine Beschrei-
bung dieser Art von Trapezen ist in keinem Buche zu finden, die es
erläuterte; vielleicht wird Gott nach dieser Zeit es lehren"*). Woher
stammt die Spitzenfigur, das ist ein Steruzehneck, dessen Seiten
nur bis zu ihrem gegenseitigen Durchschnitt, nicht darüber hinaus
gezeichnet sind, so dass das Innere der Figur leer bleibt? Hängt
der Name Figur der Braut, welcher dem pythagoräischen Dreiecke

') Beha Eddin S. 56, Nr. 4. Diese Nummer bezieht sich auf sieben von
Behä Eddin in seinen Schhissworten S. 55 — 56 zusammengestellte Aufgaben,
welche er als solche bezeichnet, die „seit alter Zeit als unauflösbar übrig
blieben, sich empörend gegen alle Genies bis zu dieser Frist". Mit der Beleuch-
tung jener Aufgaben hat sich gelegentlich Genocchi beschäftigt in Tortolini,
Annali dt scienze mateni'äiche e fisiche VI, 297 — 304 (1855). ^) Ebenda S. 31.
") Ebenda S. 33. '') Ebenda S. 29 und 66, Anmerkung 17.

Der Niedergang der ostarabischen Mathematik. Aegyptische Mathematiker. 741

beigelegt wird'), etwa mit tulismanischer Verwendung desselben zu-
sammen, ähnlich wie wir solche von magischen Quadraten berichtet
bekommen? Das sind Fragen, die ihrer Beantwortung noch harren.
Im Ganzen aber dürften unsere Leser von Behä Eddins Essenz der
liechenkuust den Eindruck erhalten haben, dass hier ein Rückschritt,
oder jedenfalls mindestens ein Stehenbleiben der Wissenschaft zu be-
merken ist, welche vorher ruckweise vorgeschritten war.

Man hat mit Fug und Recht als ein kennzeichnendes Merkmal
der arabischen Mathematik den Umstand hervortreten lassen^), dass
sie durchaus von Fürstengunst abhängig war, dass es einzelne
Herrscher waren, die zur Astronomie eine Vorliebe an den Tag
legten, und dass unter ihnen Astronomen und Mathematiker erstanden,
sonst nicht. Es ist vielleicht nicht minder kennzeichnend, dass keine
einzige Herrscherfamilie ohne solche der Wissenschaft huldigende und
dienende Vertreter war. Die ersten Abbasiden wie die Bujiden,
seldschukische wie mongolische Fürsten, wie endlich jenen Enkel
Tamerlans haben wir rühmend zu nennen gehabt. Es war, als wenn
der auch nur vorübergehende Besitz von Bagdad die Geister mit
Wissensdrang erfüllte und Bagdad so wirklich die Stadt des Heils
war, als welche ihr Name sie bezeichnete. Und in anderer Beziehung
war es, als wenn derselbe Besitz, jenem Kleinode der nordischen
Sage vergleichbar, für den, der sich desselben bemächtigte, den Keim
des Unheils in sich getragen hätte, so rasch verfielen die auf einander
folgenden Herrscherfamilien dem Fluche der Zwietracht und des Ver-
wandtenmordes.

Folgende Zeitpunkte traten uns in unserer ausführlichen Dar-
stellung vor Augen, deren wir nur noch einmal unter Erwähnung
der wichtigsten Namen uns erinnern wollen. Unter den Abbasiden
in dem etwa 150 Jahre dauernden Zeitraum vom letzten Viertel des
VIII. bis zum ersten Viertel des X. S. ist es der Hauptsache nach
Aneignung indischer und mehr noch griechischer Mathematik, letztere
in zahlreichen Uebersetzuugsarbeiten sich äussernd, welche wir einem
Muhammed ihn Müsä Alchwarizmi, einem Täbit ihn Kurra, einem
Albattäni nachzurühmen haben. Bei ihnen beginnt daneben eine
zahlentheoretische und eine trigonometrische Selbstthätigkeit, welche
indessen gegen den Uebersetzungseifer zurücktritt. Ihm sind wir zu
besonderem, zu um so grösserem Danke verpflichtet, als, wie wir
noch sehen werden, die griechische Mathematik höherer Natur dem
Abendlande wesentlich durch arabisiche Kanäle zugeführt wurde, jeden-
falls von da aus weit früher bekannt wui'de, als die Neuentdeckung

') Beha Eddin S. 71, Anmerkung 33. *) Hankel S. 252.

742 36. Kapitel.

der Originaltexte es ermögliclite. Ja in einzelnen Fällen sehen wir
uns heute noch auf arabische Uebersetzungen zum alleinigen Ersätze
für die verloren gegangenen Originalien angewiesen. Um das Jahr
1000 herum gruppiren sich sodann unter bujidischem Schutze die
grossen Schriftsteller, welche wieder durch zahlentheoretische, aber
auch durch geometrische und vorzugsweise durch algebraisch- geo-
metrische Forschungen die Wissenschaft vermehrten, ein Abü'l Wafä,
welcher daneben noch eine gewisse Stetigkeit nach rückwärts her-
stellend zu den Uebersetzern gehört, ein Alkühi, ein Alsidschzi, ein
Alchodschandi, ein Abü'l Dschüd, ein Alkarchi. Ihnen gleichzeitig
vertrat Albirüni uns die Blüthe des gaznawidischen Hofes. Im letzten
Viertel des XI. S. begünstigen seldschukische Sultane 'Omar Alchaijami,
den systematischen Algebraiker, dem zuerst mit vollem Bewusstsein
die Schwierigkeit der cubischen Gleichung entgegentrat, und dem die
Geometrie nur dienendes Werkzeug für seine Zwecke wurde. Die
Schule Nasir Eddins knüpfte in der Mitte des XIII. S. an die von
mongolischen Fürsten errichtete Sternwarte zu Maräga ihr Bestehen,
und eine Schule des XV. S. hatte zu Samarkand in dem tartarischen
Fürsten Ulüg Beg Gönner und Mitglied zugleich. Die beiden letzten
Schulen gehörten mehr der Geschichte der Astronomie als der der
Mathematik an, und nur Gijät eddin Al-Käschi verdiente für uns be-
sondere Berücksichtigung wegen einer sinnreichen Näherungsrech-
iiung zur Auflösung kubischer Gleichungen von einer gewissen ge-
gebenen Form.

Der Höhepunkt der Mathematik war für die Araber des Ostens
etwa auf 1050 zwischen die Namen Alkarchi, Alchaijami anzusetzen.
Von da an ging es bergab, erst mit theilweise neuen kleinen Er-
hebungen, dann in trostlose Oede sich verflachend, als deren Sohn
allein Behä Eddin am Ende des XVI. und Anfang des XVII. S. uns
noch beschäftigen durfte.

Die äussersten Grenzen des ostarabischen und des westarabischen
Kulturbereiches sind durch ungeheure Entfernungen von einander ge-
schieden und gewähren dadurch und durch die politische Trennimg,
mitunter verstärkt durch religiöse Gegensätze, die Möglichkeit und
die Nothwendigkeit gesonderter Betrachtung der beiderseitigen Ent-
wicklungen. Minder streng lässt sich aber die Sonderung für die an
einander stossenden Bezirke beider Reiche durchführen, und insbe-
sondere hätte von den beiden Persönlichkeiten, welche jetzt noch die
ägyptische Mathematik uns vertreten sollen, mindestens die zweite
als im Osten geboren und herangebildet mit gleichem Rechte wie
hier im vorigen Kapitel behandelt werden können. Das macht, dass
die ägyptischen Fürsten Schi'iten waren und darum den sunnitischen

Der Niedergang der ostarabischen Mathematik. Aegyptische Mathematiker. 743

Abbasiden viel schroffer, deu gleichfalls schi'itischen Bujideu dagegen
kaum feindlich gegenüberstanden, so dass nuter diesen ullmälig Be-
ziehungen vorkommen, welche noch unter den ersten Bujiden zu den
Unmöglichkeiten gehören.

Ihn Jünus von Kairo, seinem ausführlichen Namen nach Abü'l
Hasan 'Ali ibn Abi Sa'id Abderrahmän, starb 1008, war also in der
Blüthezeit seines Wirkens Zeitgenosse des Abü'l Wafu, ähnelte in
seinen astronomisch-trigonometrischen Leistungen ebendemselben und
scheint doch von dessen Arbeiten in keiner Weise Notiz genommen
zu haben, sei es, dass er sie wirklich nicht kannte, sei es, dass er
sie nicht kennen wollte. Die ägyptischen Herrscher Al-'Aziz,
975—996, und Al-Häkim, 996 — 1021, waren für Ibn Jünus frei-
gebige Gönner. Sie sorgten für seine wissenschaftlichen Bedürfnisse
durch Erbauung und Ausstattung einer Sternwarte, durch Anlage
einer Büchersammlung u. s. w. Er arbeitete auf ihr Geheiss seine
astronomischen Tafeln aus, welche Al-Häkim zu Ehren die häkimi-
tischen Tafeln genannt wurden^) und in der Geschichte der Astro-
nomie eine rühmliche Stellung eimiehmen. Für die Geschichte der
Mathematik ist weniger daraus zu entnehmen, höchstens die Auf-
lösung einiger Aufgaben der sphärischen Trigonometrie und die un-
bewiesene Näherungsformel

. .„ 1 8 . /0\o , 2 16 . /15\o

«^^ 1 = Y • y • ^^^ 1 8 7 +3-15 «^^ (ig) ■

Das sind aber keine grundsätzlichen Neuerungen, und ob er bei Be-
nutzung des Wortes Schatten um den Quotienten des Sinus eines
Winkels durch den Cosinus desselben Winkels zu benennen wirklich
vollständig unabhängig von Abü'l Wafä verfuhr, mag dahingestellt
sein. Gewiss ist, dass er insofern unter Jenem blieb, als er seine
Schattentafel nie zur Berechnung anderer Winkel als wirklicher
Sonnenhöhen verwerthete, während Abü'l Wafä, dessen Tod fast
10 Jahre früher als die letzte von Ibn Jünus angestellte Beobach-
tung eintrat, die Verallgemeinerung des Schattenbegrifles, wie wir
wissen (S. 704), vollzogen hat.

Der zweite Schriftsteller, welchen wir hier der Besprechung
unterziehen, ist in Al-Basra geboren und nur im Mannesalter in
Aegypten eingewandert. Sein vollständiger Name lautet Abu 'Ali al
Hasan ibn al Hasan ibn Alhaitam, kürzer als Ihn Alhaitam be-
zeichnet, mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit derselbe

1) Der Anfang ist von Gaus sin übersetzt und erläutert in den A'otices et
extraits de la bibliothcqiie nationale T. VII, pag. 16 — 240. Die ungedi-uckte
Uebersetzung der späteren Kapitel durch Sedillot hat Delambre für seine
Histoire dt- Vantronomie du moyen-age benutzt, Vea-gl. Hankel S. 244, 282, 288.

744 36. Kapitel.

grosse Gelehrte, dessen Optik von lateinischen Uebersetzern mit dem
Verfassernamen Alhazen überschrieben ist'). Dürfen wir diese
Identität festhalten, so bleibt allerdings aus der Optik, so bedeutend
ihr Werth für die Geschichte der angewandten Mathematik ist, für
uns nur eine Aufgabe merkwürdig, nämlich die den Spiegelungs-
punkt eines kugelförmig gekrümmten Spiegels zu finden, von welchem
aus das Bild eines an einem gegebenen Orte befindlichen Gegen-
standes in ein gleichfalls an einem gegebenen Orte befindliches Auge
geworfen wird, eine Aufgabe, welche analytisch behandelt zu einer
Gleichung des 4. Grades führt ^). Den aus Al-Basra gebürtigen Ibn
Alhaitam haben wir jedenfalls, und zwar noch zur Zeit als er im
Osten lebte, als Verfasser einer in einem Vatikancodex noch vor-
handenen Abhandlung über die Quadratur des Kreises anzuer-
kennen^), von welcher ungemein zu bedauern ist, dass sie noch
keinen Bearbeiter gefunden hat, weil sie die erste Abhandlung dieses
Titels seit Archimed ist, *9^on deren Erhaltung wir Keimtniss haben,
und weil nach der Bedeutung des Verfassers zu urtheilen sicherlich
interessante Versuche darin zu erwarten sind, dem Werthe der Kreis-
fläche so nahe als möglich zu kommen.

Ebenderselbe Ibn Alhaitam hat auch ungemein zahlreiche
sonstige Schriften zu Stande gebracht, von welchen wenigstens eine
geometrische zur Uebersetzung gelangt ist, die zwei Bücher der
gegebenen Dinge ^). Der Verfasser sagt darüber in der Einlei-
tung: „Das I. Buch enthält vollkommen neue Dinge, deren Gattung
nicht einmal von den alten Geometern gekannt war, und das 11.
enthält eine Reihe von Sätzen, welche denen ähneln, die in dem
I. Buche von den gegebenen Dingen des Euklid zu finden sind, ohne
jedoch selbst in jenem Werke vorzukommen." Was hier von dem
IL Buche gerühmt ist, entspricht allerdings der Wahrheit, nicht so
was Ibn Alhaitam als den Werth des I. Buches ausmachend schildert.
Allerdings sind solche Sätze, wie sie im I. Buche enthalten sind, und
welche kurzweg als Ortstheoreme, wenn nicht gar als Porismen im
euklidischen Sinne des Wortes bezeichnet werden müssen, den Alten,

^) Wüstenfeld, Arabische Aerzte und Naturforscher S. 76 — 77, Nr, 130.
L'algcbre d'Omar ÄlJchayami pag. 73 — 76, Anmerkung ***, und Narducci,
Intorno ad una traduzione italiana fatta nel secolo decimoquarto dcl trattata
d'ottica d' Alhazen, matemalko del secolo undecimo ed ad altri lavori di qucsto
scicnziatü im Bulktinn Bnnannpagni IV, 1 — 48 (1871). ''') Chasles, Aper^'u
hist. pag. 498, deutsch S. 576. ^j Bulletino Boncompagni IV, 41 sqq. *) Nouveau
Journal Asiatique XIII, 485 ügg. (1834). Scdillot, Materiaux pour servir ä
l'Mstoire comparie des scicnccs mathcmatiqucs cJiez les Grecs et les Oricntaux
pag. 379—400. Chasles, Apcr^iu hist. pag 498—501, deutsch S. 577—581.

Der Niedergang der ostarabischen Mathematik. Aegyptische Mathematiker. 745

d. h. deu Griechen bekannt gewesen. Die euklidischen Porismen
sind aber den Arabern bekannt gewesen, wenn sie auch von ihnen
für unecht, d. h. nicht von Euklid verfasst, gehalten wurden^). Wir
wissen nicht, ob das Gleiche von den kleineren Schriften des Apol-
lonius von Pergä gilt, welche sonst auch der Ruhmredigkeit Ihn
Alhaitams ihr Verbot entgegenzustellen berechtigt gewesen wären,
jedenfalls aber ist seine Ueberhebung keine minder unerlaubte an-
gesichts der Sammlung des Pappus, von der wir wiederholt gesehen
haben, dass sie Arabern des X. S. bekannt war. Wir müssen daher,
wollen wir einen so tüchtigen Gelehrten, wie Ibn Alhaitam es jeden-
falls war, nicht der absichtlichen Unwahrheit verbunden mit grosser
Unvorsichtigkeit bezichtigen, zu der Annahme uns bequemen, die
Sammlung des Pappus sei für die grosse Mehrzahl auch der arabi-
schen Gelehrten doch zu hoch gewesen und sei darum wenig bekannt
geworden, beziehungsweise bald wieder in Vergessenheit gerathen.
Die Oerter, von welchen Ibn Alhaitam handelt, sind übrigens aus-
schliesslich Kreise und gerade Linien, gehören mithin zu den ein-
fachsten, welche überhaupt vorkommen. Wir nennen einige von den
Sätzen des I. Buches: 6. Zieht man von zwei gegebenen Punkten
aus Gerade, die beim Durchschnitte einen gegebenen Winkel bilden,
so liegt der Durchschnittspunkt auf einer gegebenen Kreislinie. —
7. Zieht man von zwei gegebenen Punkten aus Gerade, die bei ihrem
Durchschnitt einen gegebenen Winkel bilden, verlängert man darauf
die eine Gerade so, dass das Verhältniss der Strecke vom Anfangs-
punkte bis zum Durchschnitte zu ihrer Verlängerung ein gegebenes
sei, so liegt der Endpunkt auf einer der Lage nach gegebenen Kreis-
linie. — 8. Zieht man von zwei gegebenen Punkten gleichlange
sich in ihrem Endpunkte treffende Strecken, so liegt der Durch-
schnittspunkt auf einer der Lage nach gegebenen Geraden. — 9. Zieht
man von zwei gegebenen Punkten aus Gerade, deren Längen bis zum
Durchschnittsp unkte in gegebenem Verhältnisse stehen, so befindet
sich der Durchschnittspunkt auf einer der Lage nach gegebenen
Kreislinie. — 19. Zieht man an einen Punkt der kleineren von zwei
sich innerlich berührenden Kreislinien eine Berührungslinie bis zum
Durchschnitt mit der umgebenden Kreislinie und verbindet man
diesen Durchschnittspunkt gradlinig mit dem Berührungspunkte der
beiden Kreise, so ist das Verhältniss der beiden Strecken gegeben.
Mit dem 11. Buche mösen folgende Muster uns bekannt machen:
2. Die Gerade, welche von einem gegebenen Punkte aus gezogen von
einem gegebenen Kreise ein der Grösse nach gegebenes Stück ab-

') Fihrist 17 unter Vergleichung von Suters Anmerkung 49 (Fibrist 49).

746 37. Kapitel.

schneidet, ist der Lage nach gegeben. — 5. Zieht mau von einem
gegebeneu Punkte eine Gerade zum Durchschnitt mit eiuer gegebeueu
Strecke, so dass das begrenzte Stück der Geraden mit dem einen
Abschnitte der Strecke eine gegebene Summe bilde, so ist die Gerade
der Lage nach gegeben. — 12. Zieht man an einen gegebenen Kreis
eine Berührungslinie bis zum Durchschnitte mit einer gegebenen
Geraden, und ist die so begrenzte Berührungslinie der Länge nach
gegeben, so ist sie es auch der Lage nach.

Ihn Alhaitam wurde nicht wegen seiner theoretisch-wissenschaft-
lichen Leistungen, sondern um praktischer Dinge willen nach Kairo
berufen. Er hatte sich nämlich geäussert, er halte es für leicht,
am Nil solche Einrichtungen zu treffen, dass der Fluss jedes Jahr
gleichmässig austrete, ohne dass Witterungsverhältnisse einen Ein-
fluss übeu könnten. Diese Zusage zu erfüllen, Hess Al-Häkim ihn
kommen, ging ihm bis zur Vorstadt von Kairo entgegen und empfing
ihn überhaupt mit den grössten Ehren. Ibn Alhaitam zog hierauf
guten Muthes mit zahlreichen Gefährten nilaufwärts, bis er zu den
ersten Nilfällen bei Syene gelangte, wo er erkannte, dass er zu vor-
eilig Sicherheit an den Tag gelegt hatte, und dass die Verwirklichung
seines Planes unmöglich war. So musste er sich zu entschuldigen
suchen, so gut es eben ging, und als er, nunmehr in anderen Staats-
arbeiten beschäftigt, sich auch hier Fehler zu Schulden kommen Hess,
musste er sich verbergen, um Al-Häkims Zorne zu entgehen. Erst
nach dessen Tode kam er wieder zum Vorschein und führte ein
wesentlich schriftstellerisches Leben. Er starb 1038.

Das sind die beiden Männer, welche die ägyptische Mathematik
für uns kennzeichnen sollten. Wir gehen zu der Entwicklung
imserer Wissenschaft in Spanien und in dem gegenüberliegenden
westlichen Theile der afrikanischen Nordküste, in Marokko, über.

37. Kapitel.
Die Mathematik der Westaraber.

Von der Entstehung eines selbständigen arabischen Reiches in
Spanien im Jahre 747 unter dem Omaijaden Abd Arrahmän haben
wir gelegentlich (S. 664) gesprochen. In unaufhörlichen Kämpfen
gegen die westgothischen Christen sowie gegen afrikanische Araber
erhob sich seine Dynastie bei 300jährigem Bestände zu unsterb-
lichem Ruhme, rieb sich aber auch vollständig auf^). In die Zeit

*) Aschltach, Geschichte der Omaijaden in Spanien Bd. II. Frankfurt
a. M., 1830.

Die Mathematik der Westaraber. 747

der Omaijaden fällt die Entstehung aller jener glänzenden üeberreste
maurischer Baukunst, die noch heute den Anschauer mit Bewunde-
rung erfüllen sollen, und die nach den Berichten solcher Schriftsteller,
welche sie in ihrer ganzen Pracht sahen, die Wundermärcheu der
Tausend und eine Nacht zur Wahrheit stempelten. Besonders 'Abd
Arra^Tmän III. und sein, Sohn Al-Hakam IL, welche von 912 bis 97G
regierten, spielten eine glänzende Rolle in der Geschichte der I^nt-
wicklung westarabischer Kultur. Eine Bibliothek von 600 000 Bänden
entsteht in ihrem Palaste in Cordoya. Ein Bibliotheksverzeichniss
in 44 Bänden unterstützt die Benutzung. Gelehrte sammeln sich,
aber, wie wir nicht für überflüssig halten, besonders zu betonen,
ausschliesslich Moslims, denn 'Abd Arrahmän, der Vertheidiger des
Glaubens, wie er sich nennen Hess, würde so wenig wie sein Sohn
fremde christliche Schüler geduldet haben. Dieselben beiden Fürsten
fanden ihre Freude in der Herstellung baulicher Denkmale ihres
Glanzes und der hohen Vollkommenheit, bis zu welcher arabische
Kunstfertigkeit gelangt war. Mag Manches nach früheren praktisch
gewordenen und ihres geometrischen Grundes verlustig gegangenen
Regeln hergestellt worden sein, so ist doch schlechterdings nicht
möglich, dass eine solche Architektur sich nur empirisch entwickelte.
Die Baumeister, und wenn nicht sie selbst, so doch diejenigen, bei
welchen sie sich in gegebenen Fällen Raths erholten, mussten Mathe-
matiker sein.

Freilich steht uns mehr als dieser zwingende Schluss nicht zu
Gebote. Von westarabischen mathematischen Schriften bis zum
XI. S. ist nichts veröffentlicht. Von Namen sogar steht uns kein
älterer als Abü'l Käsim Maslama ihn Ahmed Almadschriti') zu
Gebote, der uns schon zweimal gelegentlich vorgekommen ist. Er
wollte (S. 692) die befreundeten Zahlen in ihrer Wirkung kennen
gelernt haben. Er oder sein Schüler Alkarmäni, von welchem
letzteren Reisen in den Orient bekannt sind, sollen die Abhandlungen
der lauteren Brüder in Spanien eingeführt haben (S. 695). Alkar-
mäni war übrigens vorzugsweise Chirurg. Die mathematische Lehr-
thätigkeit Almadschritis in Cordova, der Residenz der Emire, fällt
in die Regierung Al-Hakam IL imd dessen Nachfolgers. Er starb 1007.
Von seinen Schülern haben Ibn as-Saffär und Ibn as Samh el
Muhandis Al-Garnäti, der erste in Cordova dann in Däuia, der
zweite in Granada eigene Schulen eröffnet, in welchen Mathematiker

^) Wüstenfeld, Arabische Aerzte und Naturforscher S. 61, Nr. 122.
Steinschneider, Pseudoepigraphische Literatur u. s. w. S. 28 flgg. und
73 ügg.

748 '^7. Kapitel.

und Astronomen gebildet wurden^). Der Geometer von Granada
starb 1035 in einem Alter von 5G Jahren.

Die Thatsache, dass die letztgenannten ausserhalb Cordova sich
niederliessen; beruht gewiss zum Theil auf den Unruhen, welche seit
1008 in Cordova an der Tagesordnung waren und mit wechselndem
Glücke der Parteien bis 103G dauerten, um mit dem Tode Hischams
des letzten Omaijaden zu endigen. Eiii einheitliches spanisch- ara-
bisches Reich hat es seit dieser Zeit nicht mehr gegeben^). Kleine
Gebiete, theils als Freistädte, theils unter besonderen Fürsten,
bildeten sich und gingen zu Grunde, sich gegenseitig befehdend und
dabei die christlichen Nachbarn wechselweise zu Hilfe rufend, welche
bei solcher Gelegenheit nicht ermangelten, eine Stadt, eine Provinz
nach der anderen den Moslimen abzunehmen und für sich zu be-
halten. Seit der Mitte des XIII. S. war nur noch das Königreich
' Granada dem Islam unterworfen. Später als um diese Zeit wird
uns aber auch kein westarabischer Mathematiker in Spanien begegnen.
Nur von Bewohnern der afrikanischen Küstengegenden werden wir
in jener späten Zeit zu reden haben und brauchen uns deshalb um
die langjährigen Kämpfe nicht zu kümmern, welche erst kurz vor
dem Jahre 1500 mit dem gänzlichen Sturze arabischer Herrschaft
auf spanischem Boden, mit der Einnahme von Granada am 2. Januar
1492 durch Ferdinand den Katholischen endigten, denselben Fürsten,
für welchen Christoph Columbus Amerika entdeckte. An diesem
Tage entstand, wenn man so sagen darf, das Sultanat von Marokko
als Ersatz für das westarabisch-spanische Reich.

Der erste Schriftsteller, von welchem wir seit dem Beginne der
Zersplitterung zu reden haben, lebte im XI. S. in Sevilla. Es war
Abu Muhammed Dschäbir ibu Aflah^), gewöhnlich Geber ge-
nannt, von dessen Namen man, wie wir uns erinnern (S. G79), eine
Zeit lang das Wort Algebra herzuleiten sich gewöhnt hatte. Die
Araber nannten ihn auch wohl Alischbili d. h. den von Sevilla.
Er gehörte zu den hervorragendsten Astronomen seiner Zeit, ver-
fasste aber, wie so viele seiner Zeitgenossen, auch mystische Schriften,
an deren Inhalt er nicht minder fest glaubte als seine Leser. Seine
Lebenszeit ist dadurch festgestellt, dass sein Sohn in Spanien mit
dem berühmten Moses Maimonides persönlich verkehrte, was nur um
das Jahr 1100 herum möglich war. Ibn Aflah selbst muss also in
der zweiten Hälfte des XI. S. am Leben gewesen sein. Sein Haupt-
werk, eine Astronomie in 0 Büchern, wurde im XII. S. durch einen

') Wüstenfeld, Arabische Aerzte und Naturforscher S. ü2, Nr. 123 und
S. 64, Nr. 127. '^) Weil S. 284—296. ■■■) Steinschneider, Pseudoepigra-
phische Literatur u. s. w. S. 15 ügg. und 70 flgg.

Die Mathematik der Westaraber.

749

Uebersetzer, dessen Name noch häufig von uns genannt werden muss,
durch Gerhard von Cremona (geboren 1114, gestorben 1187) ins
Lateinische übertragen]), und diese lateinische Bearbeitung erschien
1534 im Drucke. Das erste Buch^) enthält eine vollständige Tri-
gonometrie, welche mit Vorbedacht an die Spitze gestellt wird, um
Wiederholungen zu vermeiden. Der Verfasser legte, sofern er von
Nasir Eddin (S. 73.5) unabhängig gewesen sein sollte, was uns aber
mindestens als zweifelhaft gilt, eine Probe geistiger Selbständigkeit
ab, indem er es wagte, in dieser Trigonometrie von dem altherge-
brachten Gange des Ptolemäus, von der Regel der 6 Grössen (S. 386
und 392) abzuweichen und sogar polemisch gegen den alten Meister
der Sternkunde an den verschiedensten Stellen vorzugehen, was die
Albattäni, die Abü'l Wafä, die Ibn Jünus, welche in ihrer Lebens-
zeit Ihn Aflah vorangehen, niemals auch nur versuchten. Ibn Aflah
stützt sich bei seinen Beweisen — und dass er solche gibt, ist eine
weitere rühmliche Eigenthümlichkeit, durch welche er von den
übrigen arabischen Astronomen sich unterscheidet — auf eine Regel
der vier Grössen, welche in folgendem Satze besteht. Es seien
(Figur 108) Pj I\ sowie Q^^ Q^ zwei Bögen grösster Kreise, welche in

Fig. 109. Fig. 110.

A sich schneiden. Von P^ und Pg werden die Bögen grösster Kreise
1\ Qi und Pg Q.^ senkrecht zu A Q^ Q.^ gezogen, so verhält sich
sin AF^ : sin P^ Q^ = sin Al\ : sin Pg Q.^- Nun sei (Figur 109) das
bei H rechtwinklige sphärische Dreieck ABH vorgelegt, in welchem
^ BAH = a, BH== a, AB = h heisse. Man. verlängert AB und
AH bis zur Länge von 90" nach C und E, so ist A der Pol von
CE, also der Bogen CE das Maass des Winkels a und der Bogen
AE senkrecht auf EC. Die Regel der vier Grössen liefert jetzt als
13. Satz das Verhältniss sin AC : sin CE = sin AB : sin BH oder
sin 90" : sin « = sin h : sin a, mithin sin a = sin h • sin a. An einer
anderen Figur (Figur llOj, bei welcher wieder ABH ein bei H

') B. Boncompagni, Della vita e delle opere di Gherardo Cremonese.
Roma, 1851, pag. 13. *) Delambre, Ilistoire de l'astronovüe du moyen-acje
pag. 179—185. Hankel S. 285—287.

750 37. Kapitel.

rechtwinkliges sphärisclies Dreieck darstellt und AH = h und ^ABU
= ß genannt ist, werden BA und BH bis nach E und F ver-
längert, so dass

BE = BF = 90% EF = ß und -^ ^Fi; = BEF = 90»
werden. i^£^ und HA treffen sich verlängert in D, so ist wegen

^ BHD = BFD = 90«
jener Funkt i) der Pol von FE, also BH^^dif. Die Regel der
vier Grössen liefert, weil jetzt AE und HF" senkrecht zu EF sind,
■das Verhältniss: sm B A : sin AE = sin D H : sin Ä^i'' oder

sin (90'^ — &) : sin (90" — h) = sin 90" : sin (90" — a),

also cos h == cos a ■ cos h der Inhalt des 15. Satzes. In derselben
Figur ist aber das Dreieck BFA bei E rechtwinklig, die Anwendung
des 13. Satzes ergibt deshalb sin BE = sin BA- sin BAE d. h.

sin (90" — ß) = sin (90" — h) • sin a oder cos ß = cos h • sin a

als Inhalt des 14. Satzes. Letzterer Satz ist weder bei Ptolemäus
noch bei einem arabischen Vorgänger des Ihn Aflah zu finden und
wird deshalb häufig unter Anwendung des Namens, unter welchem
dieser Gelehrte, wie wir sagten, bekannt zu sein pflegt, der Geber-
sche Lehrsatz genannt. Dass wir vorzogen, hier regelmässig von
Ibn Aflah zu reden, hat seinen Grund darin , dass es mehrere nach
Zeit, Ort und wissenschaftlicher Thätigkeit ungemein verschiedene
Persönlichkeiten gegeben hat oder gegeben haben soll, welche alle
Geber genannt werden, so dass Verwechslungen sehr leicht sind.
Es ist mit grossem Rechte als überraschend bezeichnet worden, dass
Ibn Aflah, in der sphärischen Trigonometrie ein gradezu kühner
Neuerer, in der ebenen Trigonometrie um keinen Schritt weiter ge-
gangen ist als Ptolemäus, dass er sogar Sinus und Cosinus anzu-
wenden hier vermeidet und noch in griechischer Weise mit den
Seimen der doppelten Winkel sich begnügt. So war noch für Ibn
Aflah offenbar die sphärische Trigonometrie weitaus die Hauptsache
und eine eigentliche ebene Trigonometrie nur zur Vollständigkeit
der Betrachtungen vorhanden, aber nicht der wichtige Theil der
Mathematik, zu welchem sie erst durch Regiomontan 14G3
werden sollte.

Wir haben gesagt, dass Gerhard von Cremoua die Astronomie
des Ibn Aflah etwa in der zweiten Hälfte des XII. S. übersetzte. Er
hat die dazu nöthigen Kenntnisse in dem den Arabern bereits ab-
gerungenen Toledo sich erworben, wo um jene Zeit eine wahre Ueber-
setzungsschule vorhanden war. Raimund, Erzbischof von Toledo
zwischen 1130 und 1150, stand geistig an ihrer Spitze. Nicht als

Die Mathematik der Westaraber. 751

ob er selbst dabei thätig gewesen wäre, aber er veranlasste Do-
miuicus Gondisalvi in Gemeinschaft mit einem jüdischen Schrift-
gelehrten, Johannes von Luna oder Johannes von Sevilla
(Johannes Hispalensis) genannt^), arabische Bücher und zwar haupt-
sächlich solche, die sich auf aristotelische Philosophie bezogen, zu
bearbeiten. Die Bearbeitung erfolgte auf einem Umwege, der nicht
ohne Folgen blieb. Zunächst wurde nämlich aus dem arabischen
Texte ein castilianischer und erst aus diesem wieder ein lateinischer
Text hergestellt. Ueberlegt man nun, dass der arabische Text durch
nicht über alle Zweifel erhabene Uebersetzungskuust dem Griechischen
entnommen war, so lässt sich denken, welcherlei aristotelische Philo-
sophie aus solchen dreifacher Verpfuschung ausgesetzt gewesenen
lateinischen Darstellungen dem Mittelalter zur Kenntniss kam.
Weniger schlimm waren die Veränderungen, welche solche Schriften
erlitten, die wenigstens von Ursprung her arabisch waren und ihrem
Inhalte nach nicht so dunkel wie philosophische Gegenstände, selbst
in der Sprache eines Aristoteles, es einem Laien gegenüber immer
sein mussten. Wir denken hierbei an diejenigen arabischen mathe-
matischen Schriften, welche durch Johannes von Sevilla, welche
etwas später durch Gerhard von Cremona übertragen wurden.

Von wem die Originalien herrühren, wissen wir nicht. Wo sie
verfasst wurden, ob im Westen ob im Osten, ist uns gleichfalls un-
bekannt. Ebenso wenig wissen wir, ob wir gut daran thun grade
in diesem Zeitpunkte, also gegen die Mitte des XII. S., von ihnen
zu reden. Unsere Berechtigung entnehmen wir einzig dem Um-
stände, dass sie damals in Toledo vorhanden gewesen sein müssen
und jedenfalls zu den geschätzten Schriften gehörten, weil sonst doch
wohl nicht sie übersetzt worden wären, wenn eine Auswahl auch
berühmterer Werke zu Gebote gestanden hätte. Die übersetzten
Schriften sind ein Lehrbuch der Rechenkunst und eine Algebra.

Jenes wird in scheinbarem Widerspruche zu unseren eben ge-
äusserten Bemerkungen von dem Uebersetzer Johannes von Sevilla
dem Alchwarizmi zugewiesen. Incipit prologus in libro alghoarismi
de practica arismetrice a magistro Johanne yspalensi lautet der Anfangt).

') Nouvelle Biographie universelle XXVI, 565 (Paris, 1858). Jourdain,
Becherches critiques sur Vage et Vorigine des traductions latines d'Äristote.
2. edition. Paris, 1843, pag. 115 flgg. hält den Namen Jobannes Hispalensis
für entstellt aus Johannes Hispanensis de Luna d. b. Jobannes der Spanier aus
Luna. Ebenda pag. 117^ Anmerkung 1 ist eine Stelle aus einer Widmung des
Jobannes an Raimund abgedruckt, durch welche seine Lebenszeit gesichert ist.
-) Trattati d'aritmetica puhhlieati da Bald. Boncompagni II (und letztes IlefL)
pag. 25 (der durch beide Hefte durchlaufenden Pagination).

752 37. Kapitel.

Ist aber, woran wir zu zweifeln keinen Grund haben, die Schrift,
welche wir früher als Rechenbuch des Muhammed ihn Müsä
Alchwarizmi geschildert haben, echt, so kann es diese ijich't sein.
Der gleiche Schluss gilt freilich auch in uuigekehrter Reihenfolge,
allein wir glauben jene schon besprochene als die ältere, die von
Johannes von Sevilla bearbeitete als die jüngere betrachten zu müssen,
weil jene einfacher und kürzer, diese mehr als dreimal umfangreicher,
weitschweifiger, ausführlicher ist, und somit eher den Charakter
einer späteren Bearbeitung einer älteren Vorlage aufweist, während
jene nicht wohl als Auszug aus dem grösseren Buche gedacht werden
kann, weil sie einzelne die unmittelbare Abhängigkeit ausschliessende
Abweichungen von demselben wahrnehmen lässt. So heisst es z. B.
in der kürzeren Fassung die Zahlzeichen für 5, 6, 7, 8 würden ver-
schiedentlich gebildet; in der längeren wird dasselbe von 7 und 4
behauptet. In der kürzeren Fassung ist die Algebra des Verfassers
erwähnt; und dieses Citat, auf welches wir uns (S. 673) stützen
durften, um die Persönlichkeit des Verfassers festzustellen, fehlt in
der längeren Fassung u. s. w. Das Rechenbuch des Johannes von
Sevilla, wie wir es von jetzt an mit dem Namen des Uebersetzers
benennen wollen, da der eigentliche Verfasser nicht zu ermitteln zu
sein scheint, enthält nun sehr mannigfache interessante Dinge, theils
solche, welche schon gegenwärtig für ims von Interesse sind, theils
solche, welche ihre Bedeutung für uns erst gewinnen, wenn es sich
um die Entwicklung der Wissenschaft im christlichen Abendlande
handelt. Wir werden alsdann, im 40. Kapitel, auf die Schrift des
Johann von Sevilla zurückverweisen, schildern sie aber gegenwärtig
schon, um nicht eine Zersplitterung eintreten zu lassen.

Der Verfasser lehnt sich durchweg so viel als möglich an die
luder an, welchen er z. B. die Erfindung der Sexagesimalbrüche zu-
schreibt^). Von ihnen hat er wohl auch die näherungsweise Aus-
ziehung der Quadratwurzel mit Hilfe von Decimalbrüchen'^), natürlich
nicht in einer Schreibart, wie sie den modernen Decimalbrüchen zur
erhöhten Bequemlichkeit ihres Gebrauches anhaftet, aber dem Ge-
danken nach damit übereinstimmend. Es werden der Zahl, aus
welcher die Wurzel gezogen werden soll, 2n Nullen angehängt, und
die sodann gefundene Wurzel gilt als Zähler eines Bruches, dessen
Nenner aus einer mit n Nullen versehenen Einheit besteht. Die
Auflösung quadratischer Gleichungen') wird an drei Beispielen ge-
lehrt, den drei bekannten Fällen entsprechend. Das erste Beispiel

') Trattati d'aritmetica pubblicati da Bald. Boncompagni II. pag. 49.
*) Ebenda pag. 87—90. ^) Ebenda pag. 112.

Die Mathematik der Westaraber. 753

ist wieder das althergebrachte x^ -f 10a; == 39. Für den zweiten
Fall ist dagegen x^ -}- 9 = 6x als Beispiel aufgestellt, eine merk-
würdige Wahl insofern als bei dieser Gleichung wegen

nur eine einzige Wurzel x = S auftritt, so dass man wohl fragen
möchte, ob die Wahl eine absichtliche, ob eine durch eigenthümlichen
Zufall dieses Ergebniss liefernde war? Am Schlüsse der Schrift') ist
das magische Quadrat

4 — 9-2

8—1 — 6

mit die einzelnen Zahlen in Beziehung zu einander setzenden Strichen
hergestellt, aber ohne jeden erklärenden Text. Negativ heben wir
hervor, dass complementäre Rechnungs verfahren, wie wir sie schon
mehrfach vergeblich gesucht haben, nicht vorkommen. Einige latei-
nische Ausdrücke scheinen zwar an jene Rechnungsverfahren zu er-
innern, aber es ist nur Schein.

Da kommt das Wort differentia mehrfach vor, auch bei der
Division, aber es bedeutet nur die Stelle, bis zu welcher man vor-
beziehuugs weise zurückrückt. Das gleiche Wort im gleichen Sinne
hat auch der üebersetzer der kleinen Abhandlung, welche wir als
die des Alchwarizmi selbst anerkennen, angewandt. Da braucht
Johannes von Sevilla die Wörter digitus und articidus, Finger- und
Gelenkzahl, genau in dem gleichen Sinne, in welchem diese Wörter
in der Geometrie des Boethius zur Anwendung kamen (S. 542). Wir
könnten als Ergänzung darauf hinweisen, dass auch in einer mittel-
alterlichen üebersetzung der Algebra Alchwarizmis das Wort articulns
für Gelenkzahl im antiken Sinne, aber ohne das Wort digitus vor-
kommt"^). Aber es wären Trugschlüsse, aus diesen Uebersetzungen,
von deren Entstehungsweise wir gesprochen haben, den Wortlaut des
Urtextes wiederherstellen zu wollen und dabei an jeden einzelnen
Ausdruck sich festzuklammern. Jene üebersetzer des XII. S., die
anderen so gut wie Johannes von Sevilla, benutzten eben die Wörter,
welche in ihrer Zeit die weiteste Verbreitung hatten, sofern sie mit

') Trattati d'aritinetica pubblicati da Bald. Boncompagni II. pag. 136.
*) Libri, Histoire des sciences maihematiques en Italic I, 265. Die Stelle ent-
spricht in Rosen's englischer Üebersetzung pag. 21.

Cantor, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 48

754 37. Kapitel.

dem Sinne des Arabischen, hier z. B. mit Einern und Zehnern, sich
deckten. Sie wollten ja nicht historische Untersuchungen anstellen
und darum den Wortlaut des Gegebenen so genau als möglich fest-
halten. Sie beabsichtigten vielmehr den verbreitungswerthen Inhalt
zur Kenntniss ihrer des Arabischen nicht mächtigen Landsleute zu
bringen und mussten darum darnach streben, bereits bekannter leicht
verstandener Ausdrücke sich zu bedienen. Nur wo etwas dem Be-
griffe nach ganz Neues vorkam, wurde mit mehr oder weniger
Geschick dem Wortlaute nach übersetzt. So nennt Johannes von
Sevilla bei den quadratischen Gleichungen das Quadrat der Unbe-
kannten res, die Unbekannte selbst radix^), ersteres eine schlechte
Uebersetzung von mal, letzteres eine gute von dschidr, während an
einer anderen Stelle die Unbekannte tantum quantum^) heisst, uner-
klärlich genau dem yävattdvat der Inder entsprechend, für welches
bei keinem Araber eine buchstäbliche Uebersetzung bekannt ist.

Wir könnten schliesslich noch räthselhafter Buchstabenfolgen
gedenken, welche nur dadurch zu lesbaren Wörtern werden, dass
man annimmt, es sei jeder Vokal durch den ihm nachfolgenden
Consonanten ersetzt worden, und man müsse die entsprechende
Rückverwandlung z. B. von xnxm in uny,t)i, von dxp in dno vor-
nehmen''').

Die von Gerhard von Cremona übersetzte Abhandlung*)
kündigt sich selbst an als das Buch, welches nach dem Gebrauche
der Araber algebra und almucdbala und „bei uns" (apiid nos) Buch
der Wiederherstellung (Über restauracionis) genannt wird, zu Toledo
aus dem Arabischen in das Lateinische übersetzt durch Magister
Gerhard von Cremona. Das Original muss als eine andere Bearbei-
tung des von Alchwarizmi in seiner ähnlich betitelten Schrift be-
handelten Stoffes angesehen werden. Die Beispiele

x^ -\-lOx = m, ^'-^-f 21 = 10:r,

letzteres mit seinen beiden Wurzelwerthen x = 1 und a; = 3 treten
auf. Geometrische Beweise der drei Fälle der quadratischen Glei-
chungen fehlen nicht. Sonstige bedeutsame Verschiedenheiten nöthigen
aber an einen anderen Verfasser des arabischen Textes als an Alchwa-
rizmi zu denken. Sehr wichtig erscheint z. B. der Umstand, dass
die Auflösungen der drei Formen quadratischer Gleichungen in Ge-
stalt von Gedächtnissversen gelehrt sind '). Das ist durchaus indische
Sitte, während sie den Arabern, so viele uns deren bisher zur Rede

') Trattati, d'aritmetica II. pag. 112. -) El)enda pag. 118. •"•) Ebcntla
pag. 126. '') B. noiicompagui, Dclla vitu e delle ojoere di Gherardo Cremoncse
pag. 28—51. ^) Kljenda p.ig. in, .'J2, 34.

Die Mathematik der Westaraber. 755

kamen, fremd ist. Und doch köunen grade diese Verse nicht aus
indischen Mustern übersetzt sein, denn die Inder — wir wiederholen
hier früher Gesagtes — wussten gar nichts von drei Formen qua-
dratischer Gleichungen, weil sie vermöge ihrer Fähigkeit mit nega-
tiven Zahlen zu rechnen nur eine quadratische Gleichung

ax^ -\- hx = c
mit bald positiven, bald negativen Coefficienten in Behandlung
nahmen. Dieser Widerspruch scheint zu der Annahme zu nöthigen,
der Verfasser des durch Gerhard von Cremona übersetzten Buches
sei ein Gelehrter gewesen, welcher selbständig vorgehend die indische
Sitte auf arabische, um nicht gradezu zu sagen auf griechisch-
arabische Gegenstände anwandte. Er muss mit indischen Werken
bekannt gewesen sein, muss ihnen das entnommen haben, was er
für besonders brauchbar hielt, während er gleichzeitig von den unter
den Arabern längst eingebürgerten drei Fällen nicht Hess, sei es,
dass er sie wirklich für noth wendig hielt, sei es, dass er als echter
Araber anhängend an dem durch Alter der Ueberliefermig Geheiliscten
doch nicht allzu grosse Neuerungen wagte. Waren es doch neben
den Gedächtnissversen noch andere ungemein überraschende Dinge,
welche er seinen Landsleuten bot: eine algebraische Schrift durch
Abkürzungen und übereinkommliche Zeichen, wie die Inder sie
benutzten.

Fast ganz indisch ist die Bezeichnung abzuziehender Grössen
durch einen unter die Benennung angebrachten Punkt ^), indisch da-
rum wahrscheinlich auch die Darstellung der Benennung selbst durch
den Anfangsbuchstaben des Benannten, sei es, dass es um die Un-
bekannte, oder um ihr Quadrat, oder um die absolute Zahl der Auf-
gabe sich handelte^). Welcher Buchstaben das Original sich be-
diente, ist nicht mit voller Sicherheit zu behaupten, indem Gerhard
von Cremona einen Beweis scharfsinnigen Verständnisses als Ueber-
setzer ablegend, oder aber in Toledo über den abkürzenden Ursprung
der im Urtexte gebrauchten Buchstaben richtig belehrt, die Anfangs-
buchstaben der lateinischen Wörter gewählt hat, deren er selbst sich
bedient, der Wörter: radix für die Unbekannte, census für das
Quadrat derselben, dragma für die absolute Zahl, doch ist die
Wahrscheinlichkeit eine bedeutende, es seien diese Wörter die Ueber-
setzungen von dschidr, mal, dirham, deren Abkürzungen uns noch
im Laufe dieses Kapitels in westarabischen Werken begegnen werden.
In dem Gebrauche von census fär mal hat Gerhard von Cremona

') B. Boncomijagni, Bella vita e äelle ox^cre di Gherurdo Cremonese
pag. 38 — 39. -) Ebeoda pag. 3G sqq.

48*

756 37. Kapitel.

richtiger übersetzt als Johannes von^Sevilla, welcher res dafür sagte,
während eine Uebereinstimmung beider in den Wörtern digitus und
articulus herrscht, die auch Gerhard von Cremona anwendet^).

Wer der arabische Gelehrte war, welcher Gedächtnissverse,
welcher Abkürzungen und fast algebraische Zeichen zuerst anwandte,
ist uns, wir wiederholen es, nicht bekannt, denn die Vermuthung er
habe Sa'id geheissen^), steht auf nicht so festen Füssen, dass wir
ihr Vertrauen schenken möchten. Dagegen kennen wir die Namen
westarabischer Schriftsteller, welche vor dem Ende des XIII. S. —
ob vor oder nach dem Aufenthalte Gerhards von Cremona in Toledo
wissen wir nicht — lebten und welche ähnlich verfuhren. Der
Berichterstatter über die Namen ist Ibn Chaldün, jener Schrift-
steller des XIV. S., von dem wir eine Stelle über befreundete Zahlen
schon (S. 692) benutzt haben. Er erwähnt^) ein algebraisches Werk,
welches unter dem Titel: Der kleine Sattel im Magrib, also im
afrikanischen Nordwesten geschrieben worden sei, und aus welchem
Ibn Albannä einen x4uszug verfertigt habe. Von diesem Auszuge
von der Hand des in der zweiten Hälfte des XIII. S. wirkenden Ge-
lehrten haben wir nachher zu reden. Vorläufig bleiben wir bei dem
Berichte Ibn Chaldüns, welcher forfahrend erzählt, Ibn Albannä habe
auch einen Commentar: Die Aufhebung des Schleiers zu dem
kleinen Sattel geschrieben. Dieses Werk sei ungemein werthvoll,
aber schwierig für Anfänger. Ibn Albannä habe sich dabei an zwei
Vorgänger angelehnt: an „die Wissenschaft des Rechnens" von Ibn
Almuni'"m und an „den Vollkomm*eneu" von Alahdab. Er habe
die Beweisführungen dieser beiden Werke zusammengefasst imd noch
andres, nämlich die technische Anwendung von Symbolen bei diesen
Beweisen, welche zu gleicher Zeit einen doppelten Zweck erfüllen,
die abstracte Schlussfolge und die sichtbare Darstellung, worin eben
das Geheimniss und die Wahrheit der Erklärung von Lehrsätzen der
Rechenkunst durch Zeichen bestehe. Es kann nicht wohl ein Zweifel
obwalten, dass diese an sich etwas dunklen Worte richtig auf Dinge
bezogen worden sind, wie sie etwa in der Vorlage des Gerhard von
Cremona vorkamen, und dass diese in mindestens mittelbarer Ab-
hängigkeit von Ibn Almun"^im oder Alahdab stehen müsste, wenn
der Beweis erbracht werden könnte, dass diese Schriftsteller bis auf
das XII. S. also bis reichlich hundert Jahre vor Ibn Albannä zu-
rückgreifen.

Ibu Albannä, d. h. der Sohn des Baumeisters'^), ist 1252 oder

') B. Boncompagni, Della vita e delle opere di Gherardo Cremoncse
pag. 38. ') Ebenda pag. 56. ^) Journal Asiatique für October und November
1854 pag. ;j71— 372. *) Aristide Marre, Biographie d'Ibn Albannä in den

Die Mathematik der Westaraber. 757

1257 in Marokko geboren. Der Vater stammte, wie es scheint, aus
Granada. Der vollständige Name unseres Gelehrten war Abü'l
Abbas Ahmed ibn Muhammed ibn 'Otmän Al-Azdi Al-Marräkuschi
ihn Albannä Algarnati. Er hat eine grosse Zahl von mathemati-
schen und anderen Schriften verfasst, welche in seiner Lebensbe-
schreibung aufgezeichnet sind. Auffallenderweise fehlt in diesem von
einem Laudsmanne Ibn Albannäs herrührenden Verzeichnisse die
durch Ibn Chaldün so hoch gestellte Aufhebung des Schleiers, fehlt
in ihm auch der Auszug aus dem kleinen Sattel. Grade dieser
letztere Auszug, talchis nennt ihn Ibn Chaldün, dürfte uns aber
erhalten sein. Ein arithmetisch-algebraisches Werk unter dem Titel
„Talchis des Ibn Albanna" ist nämlich in der Bodleyanischen Bi-
bliothek aufgefunden und in französischer üebersetzung des ara-
bischen Textes dem Drucke übergeben worden^). Da Name und
Inhalt mit der von Ibn Chaldün erwähnten Schrift in vollem Ein-
klänge stehen, so ist an der thatsächlichen Uebereiustimmuhg kaum
zu zweifeln, eine Zweifellosigkeit, welche sich nur noch steigert, wenn
dem Leser von Zeile zu Zeile zwingender die Nothwendigkeit er-
läuternder Zusätze sich aufdrängt, so dass er begreift, dass Ibn Al-
bannä selbst die Aufhebung des Schleiers unternahm.

Spätere Gelehrte folgten seinem Beispiele, erläuterten aber nicht
das ursprüngliche Hauptwerk des kleinen Sattels, sondern den Aus-
zug, den Talchis, wie wir von nun an mit dem jetzt gebräuchlich
gewordenen Fremdnamen sagen wollen. Es gibt mehrere Commen-
tare zum Talchis, es gibt auch Werke, welche ohne sich als Com-
meutare zu geben als solche benutzt werden können, weil sie dessen
Auseinandersetzungen weiter ausführen, und von diesen ist eines,
dem XV. S. angehörend, durch eine gedruckte üebersetzung zugäng-
lich. Wir werden über manches Dunkle im Talchis besser aus jenem
späten Werke uns unterrichten, vorher aber wenigstens einige Stellen
des Talchis selbst reden lassen.

Ibn Albannä imterscheidet Rangordnungen der Zahlen unter
dem Namen mukarrar und takarrur^). Der Sinn ist der, dass
Gruppen von je 3 Ziffern von rechts nach links abgetheilt werden,
die Gruppe der Einheiten, der Tausender, der Tausendtausender u. s. w.
Bildet man lauter einzelne Kolumnen für jede Ziffernordnung und
begrenzt dieselben oben durch einen kleinen Bogen

Ätti dell'Äccadcmia pontificia de Nuovi Linea unter dem Datum des 3. December
1865 (Bd. XIX). Steinscbneider, Eectification de quelques erreurs etc. Bulle-
tino Boncompagni X, 313—314 (1877).

') Le Talkliys d'Ihn Albannä publie et traduit par Aristide Marre. Rome,
1865. -) Talkliys pag. 3 und 9.

758 S'^- Kapitel.

(ein kleines Gewölbe oder Dacli), so sind grössere Dächer über drei
Kolumnen zu spannen und damit jene Gruppeneintheilung versinn-
licht. Jede vollständige Gruppe von drei Kolumnen bildet einen
takarrur-, mukarrar dagegen ist die Gesammtzahl der Kolumnen, in
welche eine gegebene Zahl sich einträgt. Der mukarrar ist der
dreifache takarrur einer Zahl nebst der Zahl der links überschiessen-
den Kolumnen, welche nur 2, 1 oder 0 betragen kann. So ist der
mukarrar von 5 000 000, welches 2 takarrur imd noch 1 Kolumne
braucht =3x2+1 = 7. Der mukarrar von 30000 ist = 3 X
1-1-2 = 5, der mukarrar von 400000 000 ist 3x3 + 0 = 9.

Wir sehen hier aufs deutlichste Kolumnenrechnen und
Zifferrechnen vereint, aber wir sehen es erst hier gegen Ende
des XIII. S., und es ist uns persönlich kaum fraglich, dass wir statt
von einer Vereinigung der beiden Verfahren von einem Uebergreifen
des Kolumnenrechnens in das Zifferrechnen zu reden haben, dass hier
abendländischer Einfluss erhärtet ist, der grade an der afrikanischen
Küste unabweisbar war. Hatten doch z. B. in Bugia die grossen
italienischen Kaufleute schon vor dem Jahre 1200 eigene Handels-
comptoire, eigene Zollbeamte, und war doch damit die Anwesenheit
von im Rechnungswesen geübten Persönlichkeiten mit Nothwendig-
keit verbunden. Was aber dasselbe Bugia den Arabern war, schildert
ein spanischer Araber aus Valencia, welcher 1289 jene Gegend be-
reiste, mit beredten Worten^): „Bugia ist ein grosser Seehafen und
eine befestigte Stadt, deren Name in der Geschichte berühmt ist.
Sie ist auf steilen Höhen und in einer Schlucht angelegt, die Mauern
ziehen sich bis ans Meer. Die Festigkeit der Häuser kommt der
Zierlichkeit ihrer Formen gleich. Vorwerke schützen sie, so dass
der Feind vergebens einen Angriff versuchen würde. Die Wuth der
kriegerischen Horden würde an diesen Mauern zerschellen. In Bugia
steht eine Moschee, deren Pracht alle bekannten Gotteshäuser über-

') Einen Auszug aus dem Reisebericht des AI 'Abderi hat Cherbonneau
in dem Journal Äsiatique für 1854, II. Halbjahr, pag. 144-176 herausgegeben.
Die Beschreibung von Bugia S. 158.

Die Mathematik der Westaraber. 759

trifft^ und dereu Minaret sowohl vou dem Meere als von dem Land
aus gesehen wird. Gleichsam Mittelpunkt der Stadt erfreut dieses
entzückend schöne Bauwerk ebensosehr den Blick, wie es die Seele
mit einem Gefühle unsäglicher Glückseligkeit erfüllt. Die Einwohner
versäumen nie ihren fünf durch das Gesetz vorgeschriebenen Gebeten
dort zu genügen, und sie unterhalten die Moschee mit grösster Sorg-
falt, weil sie ihnen gewissermassen als Versammlungsort dient, und
selbst gleich einem belebten Wesen den Menschen Gesellschaft leistet.
Bugia ist eine der ältesten Hauptstädte des Islams und ist bevölkert
mit berühmten Gelehrten." ^

Wir kehren zum Talchis zurück. Bei Gelegenheit der Addition
werden die Summenformeln für die Reihen der Quadrat- und der
Kubikzahlen angegeben^). Bei Gelegenheit der Subtraktion kommt
der Rest zur Rede, welcher entsteht wenn von irgend einer Zahl 9,
8 oder 7 so oft als möglich abgezogen wird''). Die Auffindung dieser
Reste, welche alsdann als Proben bei Rechnungen angewandt werden,
wie wir es von der Neunerprobe der Inder schon wissen, beruht bei
der 9 auf dem Satze 10" e^ 1 (mod. 9), bei der 8 auf den drei
Sätzen 10^ = 2, 10^ = 4, 10^ = 0 (mod. 8). Somit ist der Rest
einer Zahl nach 9 ihrer Ziffernsumme gleich, der Rest nach 8 der
Einerziffer nebst dem Doppelten der Zehuerziffer noch vermehrt durch
das Vierfache der Hunderterziffer. Umständlicher ist das Verfahren
den Rest nach 7 zu finden. Ibn Albannä begründet es mit den
Sätzen, welche nach moderner Schreibweise

10^ ^3, 10^ = 2, 10^ EE-: 6, 10^ eee 4, 10'^ eee 5, 10<^ eee 1 (mod. 7)

heissen und setzt hinzu „von da au beginnt die Reihenfolge aufs
Neue". Man hat also von der Rechten zur Linken fortschreitend
unter die einzelnen Ziffern der zu prüfenden Zahl der Reihe nach
1, 3, 2, G, 4, 5 sich stets wiederholend niederzuschreiben, die be-
treffenden Ziffern mit diesen Werthen zu multipliciren und die
Summe dieser Produkte zu bilden, welche dann selbst wieder nach
7 zu prüfen ist. Die Zahlen 1, 3, 2, G, 4, 5 besser zu behalten er-
setzt man sie durch die gleichwerthigen Buchstaben des älteren ara-
bischen Alphabetes, welche durch Einschiebung von Vokalen zu
zwei nicht ganz richtig geschriebenen Wörtern sich verbinden lassen,
deren Bedeutung etwa die eines ein Aufzubewahrendes bergenden
Grabens ist.

Bei der Quadratwurzelausziehung unterscheidet Ibn Albannä
zwei Fälle ^), ob nämlich, nachdem "j/a^ -\- r c\J a gefunden ist, der

^) Talkhys pag. 5—6. ^) Ebenda pag. 9. ^) Ebenda pag. 53.

760 •^'^- Kapitel.

Rest sich als kleiner bezieliimgsweise als gleich, oder aber als grösser
als der schon gefundene Wurzeltheil erweist. Ist r ^ a so soll man

]/a^ -\- 'T = a -\- —- , dagegen hei r > a lieber

setzen. Wir erinnern daran, dass Alkarchi (S. 722) der letzteren
Formel sich bedient hat, ohne auf das Grössenverhältniss zwischen
a und r Rücksicht zu nehmen. Die Methode des doppelten falschen
• Ansatzes lehrt Ihn Albannä als das

Verfahren mit Hilfe der Wag-
schalen und sagt, es beruhe auf
Geometrie^). Er zeichnet eine Figur
(Figur 111), welche bei einem Com-
mentator die etwas abweichende
Gestalt Figur 112 besitzt, und
Avelche die eigenthümliche Schreib-
weise gestattet, auf welche wir
(S. 689) zum voraus hingewiesen
j-ig 112. ' haben. Seine Vorschrift ist, wenn

wir uns unserer früheren Buchstaben
bedienen, folgende. Die Zahl h, welche der Gleichung ax = h zu-
folge herauskommen muss, schreibt man in die obere Einbiegnng.
Die Zahlen n^^ und n^, welche die beiden Ansätze für die Unbekannte
sind, schreibt man zwischen die Parallelen rechts und links, oder,
wie Ihn Albaimä sagt, man legt sie auf die beiden Wagschalen. Die
Fehler e^ und c.^ werden auf derselben Seite, wo schon n-^^, beziehungs-
weise Mg steht, über oder unter die beiden die Wagschale darstellen-
den Parallelen geschrieben, je nachdem sie positiv oder negativ sind.
Dann wird der Fehler rechts mit der Annahme links, die Annahme
rechts mit dem Fehler links vervielfacht und beide Produkte addirt,
wenn die Fehler von entgegengesetzter Natur waren, das kleinere
vom grösseren subtrahirt, wenn die Fehler gleichartig waren. Wie
man mit den Produkten verfuhr, verfährt man ferner mit den Fehlern,
man addirt ungleichartige, man bildet die Differenz von gleichartigen.
Man dividirt endlich die aus Fehlern ivid Annahmen gebildete Zahl
durch die aus den Fehlern allein erhaltene, so ist der Quotient die
Unbekannte. Der Ausspruch, dass die Methode des doppelten falschen
Ansatzes auf Geometrie beruhe, ist einigermassen auffallend. Man
hat versucht, denselben zu erklären und hat zwei sehr von einander

') Talkhys pag. 26—27.

Die Mathematik der Westaraber.

761

Hg. 113.

abweichende Auswege ermittelt. Entweder erklärt man die Sache
mit der Klangverwandtschaft des Wortes handasa, welches Geometrie
heisst, und Jiindi indisch'); beide hiessen ursprünglich „indische Kunst",
wie denn auch in der That die Methode des doppelten falschen An-
satzes indischen Ursprunges sei, Oder aber man scheut den gewich-
tigen Einwurf, dass sodann übrig bleibe die unleugbar vorhandene
Bedeutung von Geometrie für handasa zu rechtfertigen, und zwar
aus derselben Klangverwandtschaft zu
rechtfertigen, während die arabische
Geometrie nichts weniger als indischen
Ursprunges ist, und man geräth als-
dann auf den Versuch, die Methode
graphisch, also geometrisch zu ver-
sinnlichen'). Von Ä aus trage man
(Figur 113) nach Pj und nach P^ die
falschen Annahmen ÄP^ = v^ und
Ä Pg = «2 auf. Ist nun der Sinn der
beiden Fehler e^ und fg derselbe, so
errichtet man Pi<?i = e^ und P<^Q2 = €2
senkrecht zu AP^P^ nach derselben Seite; sind e^ und e^ ungleich-
artig, so zieht man jene Senkrechten nach entgegengesetzten Seiten
der Geraden AP^P^. Jedenfalls verbindet man Q^Q^ gradlinig und
bestimmt den Durchschiiittspunkt B mit der AP^P^. Alsdann ist
AB der richtige Werth der Unbekannten. Das ist gewiss ungemein
scharfsinnig und im Ergebnisse auch richtig, auch in eine Formel
umgesetzt übereinstimmend mit der gegebenen Vorschrift. Ob aber
in der Figur wirklich eine zwingende Aehnlichkeit mit der von Ibn
Albannä gezeichneten Wage zu finden ist, ob, wenn Ibn Albannä oder
einem seiner Vorgänger eine solche geometrische Begründung zu eigen
gewesen wäre, sie sich nicht bei einem Commentator hätte erhalten
müssen, das sind Fragen, deren erste ebensowenig unbedingt bejaht,
wie die zweite unbedingt verneint werden dürfte. Wir selbst sehen
daher keinen der beiden Auswege als den richtigen und begnügen
uns mit dem Eingeständnisse, keine Erklärung für Ibn Albaunäs Aus-
spruch, das Verfahren mit Hilfe der Wagschalen beruhe auf Geometrie,
zu wissen.

Es ist kennzeichnend für den Talchis, dass für alle in ihm ent-
haltene Regeln keinerlei Zahlenbeispiele gegeben sind, dass vielmehr

1) Woepcke in dem Journal Asiatiqtic für 1863, I. Halbjahr, pag. 605 flgg.
=) Matthiessen, Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen
Gleichungen S. 924—926.

762 37. Kapitel.

nur in ganz allgemeinen Worten die Vorschriften ausgesprochen
werden, ein wissenschaftlicher Vorzug dieses Werkes, welchen in
solcher Ausschliesslichkeit kein anderes von denen, welche uns bisher
zur Kenntniss gekommen sind, theilt. Um so nöthiger aber, wir
wiederholen es jetzt, war für die gleichzeitigen Leser, und noch für
Leser späterer Jahrhunderte ein Commentar zum Talchis oder eine
scheinbar selbständige weitere Ausführung des gleichen Gegenstandes.

Zu einer solchen gehen wir jetzt über. Sie ist verfasst von
Alkais ädi^), einem Andalusier oder nach anderer Aussage Granader,
welcher 148G oder 1477 gestorben ist. Ebenderselbe hat auch einen
Commentar zum Talchis verfasst, aus welchem aber nur eine Stelle
veröffentlicht ist"), auf welche wir uns (S. 670) bezogen haben, um
zu beweisen, dass bei Arabern die Erinnerung stets wach blieb, dass
die Pythagoräer die Männer der Zahl gewesen seien. Der Titel des
Werkes, mit welchem wir es gegenwärtig zu thun haben, ist in ver-
schiedenen Angaben bekannt. Li der einen Handschrift heisst es
„Aufhebung der Schleier der Wissenschaft des Gubär", in einer
anderen „Enthüllung der Geheimnisse der Anwendung der Zeichen
des Gubär", in einem Verzeichnisse von Handschriften „Enthüllung
der Geheimnisse der Wissenschaft von den Zeichen des Gubär".
Gubär, ursprünglich Staub, wie wir uns erinnern (S. 060), heisst
hier so viel wie Tafelrechnen mit Ziffern im Gegensatze zum Kopf-
rechnen. Ob dabei die Gubärziffern des Westens oder ob die ost-
arabischen Ziffern in Anwendung kommen, ist sehr gleichgiltig,
wenigstens gibt es in der pariser Bibliothek eine Abschrift des
Alkalsädi, in welcher nur ostarabische Ziffern vorkommen, und die
gleichwohl das Wort Gubär in ihrem Titel an der Spitze trägt. Das
Werk, oder vielmehr der Auszug aus dem Werke von Alkalsädi selbst
angefertigt, welchen wir allein besitzen, besteht aus vier Büchern,
deren erstes die Arithmetik der ganzen Zahlen enthält, das zweite
die Brüche, das dritte die Wurzeln, das vierte die Auffindung der
Unbekannten. Es ist in französischer Uebersetzung gedruckt^).

Gleich das L Buch ist ungemein lehrreich für Jeden, Avelcher
sich mit der Form des arabischen Rechnens bekannt machen will,
die vielfach von dem heute Gebräuchlichen abweicht, z. B. darin,
dass die Rechnungsergebnisse bei der Addition, der Subtraktion und

') Woepcke im Journal Asiatique für October und November 1854 pag.
358—360. Hädschi Chalfa nennt ihn überall Alkalsäwi. *) Woepcke im

Journal Äsiatique für 1863, I. Halbjahr pag. 58 — 62. ^) Woepcke, Tra-

duction du traitc d'arilhmctiqiie d'Abul Hasan Ali bin ]\Iolianimed Alkalsädi in
den Atti dclV Accademia pontißcia de' Nuovi Lincei 1859, Bd. XII, pag. 230 — 275
und 399—438.

Die Mathematik der Westaraber. 763

der Multiplikation nach oben angeschrieben werden, der neueren
Gewohnheit geradezu entgegengesetzt und ein unbefangenes Weiter-
schreiben an einem Blatte, wenn der Text durch eine Rechnung
unterbrochen wird, verhindernd, weil der Araber vor Beginn der
Rechnung erst im Kopfe überschlagen muss, wie viel Raum er etwa
gebrauchen werde, wie weit unten auf der Seite also er die Rechnung
werde beginnen müssen. Folgende Beispiele dürften nunmehr leicht
verstanden werden, wenn wir noch bemerken, dass bei der Addition
das Ueberschiessende unter die Ziffer nächsthöheren Ranges ange-
schrieben, nicht im Kopf behalten wird, und dass ähnlicherweise bei
der Subtraktion ein für den Minuenden zu borgendes 10 dem Sub-
trahenden als Einheit der nächsten Ordnung wieder zugesetzt wird')
(S. 570).

Die Addition 48 -f- 97 = 145 schreibt sich demnach:

145

Die Subtraktion 725 — 386 = 339 schreibt sich:

339

725
386
11

Die Subtraktion heisst tarh, einem von taraha = wegwerfen abge-
leiteten Stammworte, also gleichen Stammes mit Tara, welches als
Verpackung, die bei der Berechnung des Werthes oder des zu ver-
zollenden Gewichtes einer Waare u. s. w. nicht mit eingerechnet, son-
dern abgezogen wird, in Gebrauch geblieben ist. Die Multiplikation
73 X 52 = 3796 erfolgt „in geneigter Weise", wenn zunächst 70x50
4- 3 X 50 dann unter Weiterrückung des Multiplikators 73 auch
70 X 2 -{- 3 X 2 gebildet und Alles addirt wird. Das Exempel sieht

dann so aus:

3796
6
14
15
35^

_! ^^

^) Additionen vergl. 1. c. pag. 233, Subtraktionen pag. 235, Multiplikationen
jDag. 237.

764 37. Kapitel.

Es werden noch mancherlei andere Mnltiplikationsverfaliren ge-
lehrt. Ohne aaf alle eingehen zu wollen, erwähnen wir nur, dass
die sogenannte netzförmige Multiplikation als Multiplikation dschadwal
vorkommt^) und dass bei einem Verfahren der Stellenzeiger der mit
einander zu vervielfachenden Einzelziffern, ihr ass oder Exponent
berücksichtigt wird^). Die complementäre Multiplikation, welche wir
bei Behä Eddin nachweisen konnten, findet sich dagegen bei Alkalsadi
nicht. Ebensowenig findet sich bei ihm die complementäre Division.
Die Division ist überhaupt gegen die Multiplikation etwas dürftig
behandölt und nur nach der einen uns von früher bekannten Weise
gelehrt^), dass der fortrückende Divisor unter, die Theilreste über
den Dividend geschrieben werden, der Quotient wieder unter den
Divisor, nachdem ein Strich dazwischen gezogen wurde. Das Beispiel
924 : 6 = 154 sieht also so aus :

924

666

154
Ob man dabei den Divisor auf einmal oder in Faktoren nach ein-
ander berücksichtigt, ob man also gleich durch 15 dividirt, oder erst
durch 5 und dann nochmals durch 3, übt auf das eigentliche Ver-
fahren eine Wirkung nicht aus.

Aus dem IL Buche von den Brüchen sind die von einander
abhängigen Brüche besonders bemerkenswerth, eine Art von Zahlen-
verbindung, welche die neuere Mathematik aufsteigende Kettenbrüche
zu nennen pflegt. Auch frühere Schriftsteller haben dieselben Formen,
aber Alkalsadi setzt ihre Entstehung durch wiederholte Division mit
Hilfe der Faktoren eines Divisors am deutlichsten auseinander^).

253
Soll etwa ^^ in eine solche abhängige Bruchform gebracht werden,

80 zerlegt man zunächst 280 in 5x7x8 und dividirt mit 8 in 253.
Das geht 31 mal und lässt 5 als Rest. Man schreibt den Rest als
Zähler, den Divisor 8 als Nenner. In den früheren Quotient 31 wird
wiederholt mit 7 dividirt und der Quotient 4 nebst dem Reste 3 er-
halten. Dieser neue Rest nebst dem eben gebrauchten Divisor kommen
über und unter dem schon gezogenen Bruchstriche rechts, aber durch
einen kleinen Zwischenraum getrennt neben die von vorhin vorhan-
denen Zahlen zu stehen. Nun dividirt man mit 5 in den Quotient 4,
das geht 0 mal und 4 bleibt Rest, worauf man mit diesem Reste
und dem Divisor 5 nach der schon einmal befolgten Regel verfährt.

') Alkalsadi pag. 244. *) Ebenda pag. 239. •') Ebenda pag. 249—252.
■•) Ebenda pag. 256 De la denomination und pag. 2G5 FracUons relatives.

Die Mathematik der Westaraber. 765

Es ist also — = - — = — r oder, wie man gegenwärtig schreibt,

, 3 +-8"

= A + T

Vermuthlich dürfen wir hier, wie bei den Brüchen des Diophant mit
gemischtzahligeu Zählern (S. 447) eine späte Nachwirkung altägypti-
scher Gewohnheit (S. 34) erkemien. Bruchbrüche ^) sind solche

4 3 5i TTT i.1 60., , ,, 5!3'4

wie — von — von — , dessen Werth -— - ist und welcher -^\-^\—

geschrieben wird.

Im III. Buche von den Wurzelausziehungen begegnen wir inter-
essanten Näherungsverfahren ^). Auch Alkalsädi unterscheidet, ob bei
Ausziehung der Quadratwurzel )/«''* -\- r der erste Rest r < a oder
r>a. Im ersteren Falle setzt auch er wie Ibn Albannä (S. 760)

' ' ' 2a

aber im zweiten Falle nicht wie jener

sondern

Als noch genaueren Näherungswerth gibt er, ohne Fälle zu unter-
scheiden,

_\2a/

2a ~

V«' + *• = « 4- ^

(«+Ä)

an. Alkalsädi weiss auch, dass ^j -f- ]/g mit p — Yq sich zu einem
rationalen Produkte vervielfacht und benutzt diese Kenntniss zur
Umwandlung^) von .

"^ in w jp —Vq)

P + yq p — a

Weitaus das Wichtigste in diesem Buche ist aber für uns das Auf-
treten eines Wurzelzeichens, insbesondere wenn man es mit den
Zeichen des IV. Buches zusammenhält, und an die früher begründete
Annahme denkt, dass diese symbolischen Bezeichnungen bis jenseits
Ibn Albannä hinaufreichen. Wurzel, insbesondere Quadratwurzel heisst
bei den Arabern dschidr (S. G80), und dieses Wort wurde vor den
betreffenden Zahlen, aus welchen die Quadratwurzel zu ziehen war,

') Alkalsädi pag. 265 Fraction divisee en parties, ^) Ebenda pag.

402—405. ^) Ebenda pag. 413.

766 37. Kapitel.

ausgeschrieben. Jetzt tritt statt des ganzen Wortes der Anfangsbuch-
stabe dschim desselben auf. Das würde freilich allein eine eigent-
liche Zeichenschrift nicht begründen, sondern eine Abkürzung sein
können. Aber der Buchstabe -^ steht nicht vor — d. h. also, da wir
es mit arabischen Texten zu thun haben, zur Rechten — der be-
treffenden Zahl, sondern über derselben und durch einen Horizontal-
strich von derselben getrennt^). Die Horizontalstriche fehlen auch
mitunter, wenn nicht in der Mehrzahl der Fälle, und insbesondere

die beiden Beispiele ]/20f und 3]/ 6 entbehren denselben im Origi-
nale. Ein die Wurzelgrösse allenfalls vervielfachender Zahlencoefficient
steht noch über dem Wurzelzeichen. Mit Anwendung unserer Ziffern
sieht also ein derartiger Ausdruck so aus:

]/48 = 48 ]/204 = y20 3 1/6= 6.

Symbole finden sich, sagten wir, noch häufiger im IV. Buche,
welches dem Aufsuchen der Unbekannten gewidmet ist. Schon bei
der Regeldetri^) werden drei ein Dreieckchen bildende Punkte .*.
zwischen je zwei Zahlen der Proportion gesetzt und die unbekannte
Grösse durch ein dschim bezeichnet. Man vermuthet, es sei dieses
dschim nicht als Anfangsbuchstabe von dschidr gedacht, sondern als
Anfangsbuchstabe des Zeitwortes dschahala = nicht kennen, des
Stammwortes für madschhül, welches gewöhnlich in dem Sinne „un-
bekannte Grösse" gebraucht wird. So ist 1: 12 = 84 :x geschrieben:

^ .-. 84 .-. 12 .-. 7 .
In der eigentlichen Algebra kommen folgende Symbole vor^): Die
Unbekannte selbst schal oder dschidr genannt wird durch ein schin (j^ ,
das Quadrat der Unbekannten mal durch ein mim -«, der Cubus der
Unbekannten ka'b durch ein käf ^ geschrieben, welche über den
zugehörigen Zahlencoefficienten stehen. Ein Zeichen der Addition
ist nicht vorhanden, unvermittelte Aufeinanderfolge genügt, um die
additive Vereinigung der so geschriebeneu Glieder zu veranlassen.
Die Subtraktion bedient sich des Wortes illä (ausser) "^J links von
welchem der Richtung der Schrift gemäss das Abzuziehende ge-
schrieben wird. Das Merkwürdigste endlich ist ein Gleichheitszeichen.
Wir erinnern uns, dass in manchen Handschriften des Diophant der
Anfangsbuchstabe t von l'öoi gleich hiess (S. 442). Gleichseiu heisst
auf Arabisch 'adala, wird aber nicht etwa durch seinen Anfangs-

') Alkalsadi pag. 407 — 414 nnd Journal Asiatique für October U.November
1854 pag. ;JG2— 364. ^) Alkalsadi pag. 415. Journal Asiatique 1. c. jiag. 3G4.
'•') Alkalsadi pag. 420— 4-"J. Jouniol Äsiutiqtcc 1. c. pag. 3G5— 3G7.

Die Mathematik der Westaraber. 767

buchstaben, sondern durch ein finales bim J, mit welchem das Wort
abschliesst, ersetzt, eine Bezeichnung, welche noch mehr als die
übrigen das Wesen blosser Abkürzung abgestreift und das eines Sym-
bols angenommen hat. So schreibt also Alkalsudi 3ic"^ = 12jc -f- ^3
in folgender Weise:

6 3 ^j::

und —x^-{-x = 1y in folgender Weise:

Y ' ^^ 1 2'
endlich den Ausdruck 2x -\- 8x^ — (p ~\~ ^^') durch

6bVS 2

In einzelnen Handschriften ist auch das illä (ausser) ähnlich wie das
'adala (gleich sein) durch eine auffallende Abkürzung, durch die End-
silbe lä "^ ersetzt, wodurch das algebraische Aussehen der Formeln
noch erhöht wird. Wir haben schon des Stellenzeigers oder des
Exponenten ass erwähnt, der bei Alkalsädi vielfach vorkommt. Er
tritt auch bei der Multiplikation von Potenzen der Unbekannten in
Gebrauch, und zwar immer in der Einzahl des Wortes, nicht in der
Mehrzahl isäs. Es heisst also nicht „der käfb hat 3 isäs", sondern
„der ass des kä'^b ist 3" und ähnlich auch bei höheren Potenzen.

Einer nicht genau bestimmbaren Zeit gehört noch ein kleines
Rechenbuch an, dessen Uebersetzung ebenfalls veröffentlicht ist^).
Jedenfalls ist es später als die Lebenszeit des darin citirten-) Ihn
Albannä entstanden, und vor Ende des XVI. S., da die Handschrift,
aus welcher es übersetzt ist, am 26. Januar 1573 vollendet wurde ^).
Das Schriftchen heisst Einleitung zum Staub- (gubäri) und Luft-
(hawä'i) Rechnen. Letzterer Ausdruck scheint hier ganz vereinzelt
aufzutreten und ist wohl mit Recht als Kopfrechnen im Gegensatze
zum Ziffernrechnen verstanden worden, wenn auch sonderliche Kopf-
rechnungsmethoden nicht beschrieben werden. Abgesehen von der
sehr geringfügigen Abänderimg, dass bei der Addition wie bei der
Multiplikation nicht nur ein Horizontalstrich über den unter einander-
gestellten Zahlen sich findet, sondern auch ein zweiter Horizontal-
strich unter jenen Zahlen, während das Rechnungsergebniss doch
wieder oben hingeschrieben wird, ist nur eine kleine Neuerung bei

') Introdudion au calcul gohäri ci Jimväi traduit par F. Woepcke. Atti
flelV Accadcmia Fontißcia de Kuovi I.incei (186G) XIX. ") pag. 5 des Sonder-
abzugs. ^) pag. 18 des Sonderabzugs.

768 ''^'^- Kapitel.

der Subtraktion zu bemerken^). Soll nämlich eine Ziffer höheren
Werthes g im Subtrahenden von der im Range entsprechenden Ziffer
niedrigeren Werthes h im Minuenden abgezogen werden, wo man also
10 borgen muss, so sei es gieichgiltig, ob man g von 10 + ^ ab-
ziehe, oder aber li von g und den Rest von 10. Mit anderen Worten
der Verfasser weiss, dass

{lO + l)-g=10-{g-lc).
Fassen wir wieder in Kürze zusammen, was wir von westarabi-
scher Mathematik kennen gelernt haben, so ist ein Unterschied gegen
die ostarabische Mathematik namentlich in dreifacher Beziehung wahr-
nehmbar. Sie ist erstens einseitiger. Sie hat zweitens erst in späterer
Zeit Schriftstücke geliefert, welche auf uns gekommen sind. Sie
wurde drittens mindestens seit dem XIT. S. dem christlichen Europa
durch in Spanien angefertigte Uebersetzungen bekannt, ihre einseitige
arithmetisch -algebraische Entwicklung, welche hauptsächlich unser
Augenmerk fesselte, Hess sie auf diesem Gebiete Fortschritte machen,
von welchen bei den Ostarabern nichts zu bemerken ist. Es bildete
sich allmälig eine förmliche algebraische Schreibweise aus, welche
auch 'den Uebersetzungen in die lateinische Sprache sich mittheilte,
und welche somit den Europäern gestattete, schon im XII. S. die
Lehre von den Gleichungen in grösserer Vollkommenheit kennen zu
lernen, als wenn sie deren Entwicklung einzig im Oriente bei dem
durch die Kreuzzüge hervorgerufenen Zusammentreffen mit arabischer
Kultur verfolgt hätten. Was die Rechenkunst, den elementareren
aber weitest verbreiteten Tb eil der Mathematik betrifft, so sehen wir,
wie sie im Westen immerhin einige äussere Verschiedenheiten von
Zeit zu Zeit sich aneignete, wie wahrscheinlich durch italienische
Kaufleute Elemente nichtarabischer Methoden, Spuren des Kolumneu-
rechnens oder mit anderen Worten eines gezeichneten Abacus, sich
eingemischt zu haben scheinen, Spuren, welche wir aber freilich erst
vom XIII. S. an bemerken konnten. Eines nur finden wir in keiner
Weise, und dieses negative Ergebniss ist zu wichtig, um nicht fort
und fort darauf aufmerksam zu macheu: wir finden kein comple-
mentäres Rechnen, nicht die complementäre Division, nicht einmal
die complementäre Multiplikation, während doch gerade die Multipli-
kation emsig gepflegt und nach verschiedenartigeren Verfahrungs-
weisen gelehrt wurde, als sie es eigentlich verdient.

') pag. 3 des Sonderabzugs.

VIII. Klostergelelirsanikeit des

Mittelalters.

Cantok, Geschichte der Mathematik I. 2. Auti. 49

38. Kapitel.
Klostergelehrsamkeit bis znm Ausgange des X. Jahrlmiulerts.

Wir müssen den Faden wieder anknüpfen da, wo wir ihn ab-
gebrochen haben, um aus Europa hinüberzuschweifen nach dem Osten
und die Summe zu ziehen aus dem, was asiatische Völkerschaften im
Laufe der Jahrhunderte aus dem mathematischen Wissen zu machen
wussten, welches ihnen, wie wir in verschiedenen Kapiteln nachzu-
weisen gesucht haben, wenigstens was die geometrischen Theile und
nicht unwesentliche Bruchstücke der algebraischen Theile betrifft, von
Griechenland aus überkam. Die Araber, das haben wir insbesondere
gesehen, mit ihrer frischen Wüstenkraft, sie, die sich, zum Unheile
ihres Reiches, zum Heile für die Wissenschaft, in den verschiedensten
Zeiträumen mit nicht minder empfänglichen, nicht minder geistig
unverbrauchten Elementen vermischten und ihnen sich untei'werfen
mussten, waren die treuesten Erben. Sie haben das ihnen anvertraute
Gut nicht nur zu bewahren, auch zu vermehren gewusst. Wohin
die Araber, so lange ihr Reich im Wachsen begriffen war, der Er-
oberungspfad .führte, dahin nahmen sie ihre Wissenschaft mit, Krieger
und Lehrer zugleich. Wo die Araber sich eindringenden Herrschern
beugten, gaben sie diesen als ersten Tribut ihre Bildung. Wo die
Araber aber nicht unterjocht, sondern verdrängt wurden, da nahmen
sie 'auf der Flucht ihre Kenntnisse wieder mit fort, welche rasch sich
anzueignen die Sieger noch nicht fähig waren. Das deutlichste Bei-
spiel zeigt uns Spanien, wo mathematische Wissenschaft verkümmerte,
nachdem die letzten Araber vom spanischen Boden verdrängt waren.

Jenen mittelasiatischen Steppen Völkern, die dem Dschingizchän
und Tamerlan gehorchten, fehlte es an Bildungsfähigkeit keineswegs,
und die Möglichkeit war einmal vorhanden, dass Stamm- oder Sitten-
verwandte derselben verhältnissmässig frühe in Griechenland selbst
mit altgriechischer Bildung bekannt geworden wären. Eine andere
Möglichkeit war die, dass der tränkische Stamm von griechisch-arabi-
scher Bildung durchdrungen worden wäre. Beide Möglichkeiten haben
sich nicht erfüllt. Theodosius der Grosse wehrte am Schlüsse des

4Ü*

772 38. Kapitel.

IV. S. den Strom der Völkerwauderuug von den •Balkanländern ab,
so dass er erst bei der apenniniseben Halbinsel den westlicben Lauf
in einen' südli eben verwandeln konnte. Die Scbaaren Attilas, Dscbin-
gizcbäns Mongolen am näcbsten verwandt, blieben gleicbfalls nördlicb
in ibrer Ueberfiutbung Europas, die im V. S. kurz aber gefabrdrobend
sieb ergoss. Und als 732 ein westarabiscbes Heer die Pyrenäen
überscbritten batte und eine Scblacbt darüber zu entscheiden batte,
ob Cbristentbum ob Islam siegen sollte, da gelang es Karl Martel
bei Poitiers seine Fabnen aufrecbt zu erbalten.

Wir baben keineswegs die zwecklose Absiebt, Vermutbungs-
gescbicbte zu scbreiben und darüber in Ausführungen uns zu ergeben,
welche Wendung die Entwicklung der Wissenschaften, in erster Linie
der Mathematik, genommen hätte, wenn nur eines jener Ereignisse
anders ausgefallen wäre, genug, es war so, wie wir sagten. Griechischer
Einfluss, unmittelbarer wie durch Araber vermittelter, blieb den in
Europa ausserhalb Griechenland und Italien angesiedelten Stämmen
fremd, wenn wir von Spanien absehen, dessen Ausnahmestellung wir
oben einige Worte gewidmet haben. Nur was durch römische
Zwischenträger eingeführt werden konnte, kam der nordischen Mathe-
matik, um uns dieses wenn auch im Einzelnen nicht immer zutreffenden
Sammelnamens zu bedienen, zu gut. Wir wissen aus den Kapiteln,
in welchen wir mit den Kömern uns besonders beschäftigten, wie
blutwenig das war, wenn auch immerhin mehr, als man lange Zeit
meinte. Wir müssen jetzt verfolgen, wie jenes Wenige in fast noch
absteigender Reihenfolge da und dort zu erkennen ist, bis seit den
Kreuzzügeu, also seit dem XII. S., die europäische Wissbegier sich
bungris abwandte von den stets leereren Säcken römisch-klösterlicher
Speisekammern, um an den vollen Speichern arabischer Gelehrten
sich so zu sättigen, dass die Ueberladung merklich wird, dass nicht
alles verdaut werden konnte.

Vorläufig befinden wir uns noch in der Zeit, welche an unseren
römischen Abschnitt sich anschliesst, am Ende des VI. S. Damals
wurde 570 in Carthagena Isidorus geboren^). Seine Mutter war
die Tochter eines gothischen Königs, eine seiner Schwestern soll den '
Thron des Königs Levigild getheilt haben. Seine übrigen Geschwister
waren sämmtlich hohe kirchliche Würdenträger. Bei solchen Ver-
bindungen kann es nicht Wunder nehmen, dass Isidorus schon nach
kaum zurückgelegtem 80. Lebensjahre im Jahre 601 Bischof von
Sevilla wurde, eine Stellung, die er bis zu seinem Tode 636 bekleidete.
Aber Isidorus Hispalensis, wie er von seinem Wohnsitze beisst, recht-

') Math. Buitr. Knlturl. S. 277—279.

Klostergelehrsamkeit bis zum Ausgange des X. Jahrhunderts. 773

fertigte nachträglich die Wahl, die ihn getroffen hatte. Seine Bered-
samkeit machte, um das Wort eines Schülers über ihn zu gebrauchen,
seine Zuhörer erstarren. Beinamen wie „Zierde der katholischen
Kirche", wie „der hervorragende Gelehrte" wurden ihm beigelegt,
und zweimal 619 und 633 wurde ihm die Ehre zu Theil, bei einem
Concil den Vorsitz zu führen. Seine Schriften waren zahlreich, doch
haben wir es nur mit einem Werke zu thun, einer Art von Encyklo-
pädie in 20 Büchern, welche er verfasste, und in welcher er sicli
wenn nicht der Form so doch dem Inhalte nach streng an die schon
vorhandenen römischen Encyklopädieu eines Martianus Capella, eines
Cassiodorius Senator anschloss, welche er von nun an ersetzte, fast
verdrängte.

Die Ursprünge, Origines, oder auch die Etymologien ist der
Titel des Werkes. Isidorus liebt es nämlich, die Erklärung des Sinnes
eines Ausdruckes aus dessen sprachlichem Ursprünge zu entnehmen
und so bilden Wortableitungen einen grossen Theil des umfassenden
Werkes. Gleich zu Anfang ist die Wissenschaft als aus 7 Theilen
bestehend augegeben. Es sind dieselben Theile, dieselbe Reihenfolge,
welche wir bereits kennen. Es ist das Trivium: Grammatik, Rhe-
torik, Dialektik und das Quadrivium der mathematischen Wissen-
schaften: Arithmetik, Musik, Geometrie, Astronomie. Die Kapitel 21
bis 24 des T. Buches handeln von den Abkürzungszeichen der Alten,
doch würde man fehl gehen, wenn man hier die Apices suchen
wollte. Sie sind ebensowenig behandelt wie gewisse musikalische
Zeichen, deren die Römer sich doch unzweifelhaft bedienten. Nur
im XV. Buche, Kapitel 15 und 16 von den Ackermaassen und von
den Reisemärschen und im XVI. Buche, Kapitel 24, 25, 26 von den
Gewichten^ von den Maassen, von den Zeichen der Gewichte^) finden
sich Maassvergleichungen und in dem letztgenannten Zeichen von
Gewichtstheilen. Es sind das dieselben von den altrömischen sich
unterscheidenden Namen und Zeichen, deren auch Victorius sich be-
dient hatte (S..495), die auf dem Abacus in der Geometrie des Boethius
vorkommen, dem man deshalb nicht ein späteres Datum als die
Lebenszeit des Isidorus zuschreiben darf-), sondern nur als die des
Victorius, eine Noth wendigkeit, welche durch die Lebenszeit des
Boethius selbst reichlich erfüllt ist. Jene vorerwähnten Kapitel -des
I. Buches der Origines enthalten dagegen Erklärungen von mancherlei
grammatischen Zeichen, von Sternchen, von besonderen Anführungs-

^) Diese 5 Kapitel sind abgedruckt bei Hui t seh, Metrologicorum Scripto-
rum Bdiquiae \l, 106—123. Auf pag. 114 lin. 6—12 findet sich eine Ableitung
von siclus aus dem hebräischen sicel. ^) Friedlein, Zahlzeichen und elemen-
tares Eechuen u. s. w, S. 59.

774 38. Kapitel.

zeichen für biblische Stellen und dergleichen mehr. Das III. Buch
handelt von den vier mathematischen Wissenschaften, unter welchen,
wie Isidorus sagt, die weltlichen Schriftsteller alle mit Recht die
Arithmetik vorangestellt haben; denn sie bedürfe zu ihrer Darlegung
keiner anderweitigen Vorkeimtnisse, wie es bei der Musik, der Geo-
metrie, der Astronomie der Fall sei. Diesem Beispiele folgend schickt
auch Isidorus die Arithmetik voraus, deren Ursprung und Uebergang
zu den Römern er in den vielfach angeführten Worten schildert:
„Man hält dafür, dass Pythagoras bei den Griechen die Wissenschaft
der Zahl zuerst aufgeschrieben habe, dass sie alsdann von Nikomachus
weitläufiger behandelt wurde; den Römern wurde sie durch Appuleius
und Boethius bekannt." Im 3. Kapitel erklärt Isidorus die lateinischen
Zahlennamen in einer Weise, welche dem Leser mitunter als Spott
erscheinen müsste, könnte man nicht die feste Ueberzeugung von dem
ernstesten wissenschaftlichen Streben des Isidorus haben. Da soll
decem, zehn, von dem griechischen deö^sveiv, zusammenbinden, her-
kommen, weil die Zehn alle niedrigeren Zahlen erst vereinige. Da
stammt centum, hundert, von xaz^Gog, das Rad, warum, wird nicht
gesagt. Da wird mille, tausend, aus multitudo, die Menge, erklärt.
Glücklicherweise wird der undankbare Gegenstand bald wieder ver-
lassen, und die folgenden Kapitel bringen die bekannten ünterschei-
dmigen der Zahlen in gerade und ungerade, in vollkommene und
überschiessende, in nach gegebenen Verhältnissen proportionale, in
lineare Zahlen, Flächenzahlen und Körperzahlen u. s. w. Die Zahl
hat für Isidorus eine solche Würde, dass er einem anderen kirchlichen
Schriftsteller folgend in die Worte ausbricht^), welche von ihm aus
sich durch die verschiedensten Schriftsteller weiter vererbt haben:
„Nimm die Zahl aus allen Dingen weg, und alles geht zu Grunde.
Raube dem Jahrhundert die Rechnung und die Gesammtheit wird
von blinder Unwissenheit ergriffen, und nicht kann von den übrigen
Thieren unterschieden werden, wer die Verfahren des Calculs nicht
kennt."

Aber wie ha,t man denn gerechnet, wird im Stillen jeder Leser
fragen? Darüber gibt Isidorus keinerlei Auskunft. Nur an einer
Stelle sagt er uns, wie uns scheint, wie zu seiner Zeit nicht mehr
gerechnet wurde. Im X. Buche, welches nicht weiter in Kapitel ab-
getheilt bestimmt ist, Wörter zu erklären, welche selbsfe in ziemlich
alphabetischer Ordnung aufeinander folgen, heisst es in der 43. Nummer
unter calculator: a calculis i e. lapillis minutis, quos antiqiii in manu

') Or ig in es Lib. III, cap. 4, § 4: Tolle nunicrmn rebus omnibus et omnia
percunt. Adime seculo compiUum et cuncta üjnorantia cacca compleetitur, nee
differri potest a cetcris animalibiis qui ealculi ncscit rationem.

Klostergelehrsamkeit bis zum Ausgange des X. Jahrhunderts. 775

tenentes componcbant nmncrmn, also Rechneu von Reclienpteunigen
d. li. kleinen Steinchenj welche die Alten in der Hand zu halten
und die Zahlen daraus zusammenzulegen pflegten.

Was in dem III. Buche von Geometrie, Musik und Astronomie
vorkommt, ist noch dürftiger als das Arithmetische, auch in dieser
Beziehung an die Vorgänger des Isidorus erimiernd. Die grosse
Menge, auch der her ahmten Gelehrten, wusste von diesen Theilen
der Mathematik wenig mehr als einige Wort- und Sacherklärungeu
und musste es dabei bewenden lassen. Auch Isidorus macht hierin
keinerlei Ausnahme.

Das war, wie wir schon gesagt haben, das Werk, welches für
lange Zeit die eine Hauptquelle des' Wissens bildete, aus welcher die
Nachkommen schöpften, während die Werke des Martianus C'apella,
des Cassiodorius Senator in den Hintergrund traten und nur Macro-
bius und Boethius einer Gunst sich erfreuten, welche dem Einen für
seine grössere Selbstäudigkeit, dem Anderen für seine grössere Aus-
führlichkeit in der Thafc gebührte.

Mehr vielleicht als durch seine Schriften machte sich Isidorus
durch seine Fürsorge für den Unterricht verdient. Die Regel de*s
heiligen Benedict von Nursia hatte die Aufnahme von Kindern *als
Klosterzöglingen vorgesehen und Klosterschulen zum Bedürfnisse ge-
macht. Isidorus stiftete seit seiner Erhebung zum Bischöfe gleich-
falls eine Art von Schule, in welcher die nothwendigsten Lehrgegen-
stände eingeübt wurden.

Etwa ein Jahrhundert nach der Geburt von Isidorus von Sevilla
erblickte der Mann das Licht der Welt, zu welchem wir uns jetzt zu
wenden haben, und der uns nach dem fernsten Norden von Europa
führen wird: Beda, genamit der Ehrwürdige, venerabilis ^). Die Ge-
schichte dieses Mannes und seiner folgereichen Leistungen ist so un-
trennbar mit der Geschichte der Bekehrung der britischen Inseln ver-
bunden, dass wir noth wendig etwas weiter ausholen und bei dieser
einen Augenblick verweilen müssen.

Irland war schon in der ersten Hälfte des V. S. von Gallien aus
bekehrt worden. Klöster entstanden dort, in welchen, getreu den
Ueberlieferungeu des heiligen Benedict und des Cassiodorius (S. 529),
geistliche und weltliche Schriftsteller, lateinische sowohl als grie-
chische, zum Gegenstande des Studiums gemacht wurden. Dazu ge-
hörte besonders das Kloster Bangor, von welchem in der zweiten

') Karl Werner, Beda der Ehrwürdige und seine Zeit. Wien, 1875.
Vergl daneben auch die Vorreden von Giles zu dem I. und VI. Bande seiner
Ausgabe von Bedas Werken: Venerabilis Bedae opera q\iae supersunt omnia.
London, 1843. 12 Bände 8".

776 38. Kapitel.

Hälfte des VI. S. der heilige Columban auszog, neue Klöster an ver-
schiedenen Orten gründend, so das Kloster Luxeuil in Burgund, so
Bobbio in Oberitalien, wo er selbst 615 starb. Andere irische Mönche
zogen dieselbe Heerstrasse des Glaubens durch Jahrhunderte hindurch.
Die Klöster, welche von Columban, von seinen Landsleuten Gallus,
Pirmin und Anderen in Deutschland, in der Schweiz, in Norditalien
eino;erichtet worden waren, erhielten so immer frischen Zuzug, und
in zierlichen irischen Buchstaben entstanden an den verschiedensten
Orten saubere Abschriften des gemischtesten Inhaltes. Die Klöster
irischen Ursprungs wetteiferten so in ihren bildungsfreundlicheu Be-
strebungen mit denen der Benedictiner, da und dort mit ihnen ver-
schmolzen.

Gleichfalls von Irland aus ging ein früher Zug von Missionären
hinüber nach der nahe gelegenen grösseren Insel, nach Schottland
und England. Allerdings war ihr Wirken dort nicht von nachhaltigem
Erfolge. Nachdem am Anfange des V. S. bereits Ninian im südlichen
Schottland das Christen thum verbreitet hatte, wurde es nach der
erobernden Einwanderung der Angeln und Sachsen um 450 theils
wieder vernichtet, theils in die Gebirge zurückgedrängt. Unter Papst
Gregor dem Grossen begann von Rom aus 596 der wiederholte Ver-
such, jene Lande zu bekehren, und bald war Canterbury der Sitz
eines Erzbischofs, und der König von Kent nahm den neuen Glauben
an. So gab es auf der britischen Hauptinsel zwei Kirchen, die
ältere und die jüngere, örtlich von einander getremit, in Gewohnheiten
und Einrichtungen mehrfach von einander abweichend, namentlich in
• einem Punkte, der von Wichtigkeit wurde, so geringfügig der Streit-
punkt an sich uns erscheinen mag.

Die südliche, römische Festordnung verlangte, dass die Feier des
Osterfestes als des Festes der Auferstehung frühestens am Abend des
14. Nisam, spätestens am Abend des 20. Nisam jüdischer Rechnung
beginne. Die nordische, britische Ordnung wollte das Fest zwischen
um einen Tag früher gelegenen äussersten Grenzen feiern.

Es kam im Jahre 664 zu einer öffentlichen Disputation über
diesen Gegenstand unter dem Vorsitze Königs Oswin, und dieser ent-
schied zu Gunsten der römischen Auffassung, Es lässt sich denken,
dass solche Vorgänge ein reges Interesse für den Gegenstand erwecken
mussten, über den man öffentlich gestritten hatte, ein Interesse, das
in letzter Linie dem Rechner und seiner Kunst zu gute kommen
musste. Der nun geeinigten Kirche festeren Zusammenhalt zu geben
schickte Papst Vitalian, nachdem der Bischofssitz in Canterbury 660
erledigt war, zwei neue hochbegabte Männer, Theodor als Bischof,
Hadrian als seinen Rathgebcr. Theodors persönliche wissenschaftliche

Klostergelehrsarakeit bis zum Ausgange des X. Jahrhunderts. 777

Neigungen begegneten sich mit dem eben hervorgeliobenem Interesse,
sei es, class wir darin eine Gunst des Zufalles zu erblicken haben,
sei es, dass bei seiner Wahl Rücksicht darauf genommen worden
war. Er achtete streng darauf, dass für den ihm untergebenen angel-
sächsischen Klerus neben der heiligen Schrift und der mit dem Stu-
dium desselben zusammenhängenden sachlichen und sprachlichen Unter-
weisungen auch Metrik, Astronomie und kirchliche Festrechnuug
Gegenstände des klösterlichen Unterrichts wurden. Sprachstudien
waren nicht weniger gefördert. Es gab zu Bedas Zeiten, also wenige
Jahrzehnte nach Theodors um 690 erfolgten Tode Männer in Eng-
land, welche des Griechischen und Lateinischen eben so gut wie
ihrer eigenen Muttersprache kundig waren. Leider waren die grie-
chischen Werke, welche sie lasen, nicht solche, wie wir sie zum
Besten der mathematischen Wissenschaften wünschen müssten.

Wie wir früher gesagt haben. Alles, auch das Griechische, kam
von Rom, imd griechische Mathematik war in Originalwerken darunter
offenbar gar nicht vertreten. Es war schon verhältnissmässig sehr
viel, dass überhaupt eine gewisse Neigung zur Erledigung kirchlich-
mathematischer Fragen anders als auf von auswärts eingetroflene
Anordnung hin in den damals an der schottisch englischen Grenze
gegründeten Klöstern grossgezogen wurde, eine Neigung, die von da
aus, wie wir sehen werden, durch Schüler jener Klöster über Frank-
reich und Deutschland sich fortsetzte, während in den älteren irischen
Klöstern z. B. an solche Fragen kaum gedacht wurde.

Um jene Zeit 674 und 682 war es, dass durch Biscop, einen
edeln Than, der als Mönch und Abt den Namen Benedict erhielt,
dicht an der Grenze Schottlands, wo Tyne und Were unweit von
einander in das Meer sich ergiessen, zwei Klöster erbaut und
St. Peter und Paul geweiht wurden. Der Einrichtung der Klöster
war durch Biscop, der vielfach Reisen nach Rom machte und stets
neue Bücherschätze, Reliquien, Gemälde zur Ausschmückung der Kirche
von dort mitbrachte, die Regel des Benedictinerordens zu Grunde ge-
legt. In dieser Gegend ist Beda 672 geboren, in diesen Klöstern
wurde er erzogen, hier verbrachte er den Verlauf seines ganzen
Lebens in ruhiger Emsigkeit, hier starb er am 26. Mai 735, am Feste
Christi Himmelfahrt.

Beda hat als ein Hauptwerk eine Kirchengeschichte hinterlassen,
welche bis zum Jahre 731 hiuabreicht, und an deren Ende er das
Verzeichniss derjenigen Schriften gibt, welche er bis dahin — bis zu
seinem 50. Lebensjahre, wie er sagt — verfasst hat. Dadurch ist einer-
seits die Zeit seiner Geburt genau bestimmbar geworden^), anderer-

') Werner, Beda S. 81.

778 38. Kapitel.

seits auch möglich geworden, viele ihm früher wohl beigelegte und
unter seine Werke aufgenommene Schriften als unecht wieder zu ent-
fernen, da er unmöglich neben den Pflichten eines Messepriesters, die
er zu erfüllen hatte, neben dem Unterrichte der zahlreichen Schüler,
■welche er heranbildete, in den vier Jahren, um welche er nur die
Anfertigung jenes Verzeichnisses überlebte. Vieles schriftstellerisch
geleistet haben kann. Zwei Werke sind in dem Verzeichnisse als
von Beda herrührend anerkannt, die in einem gewissen geistigen Zu-
sammenhange stehen. Das eine, eine physische Weltbeschreibung,
führt den Namen De natura rerum, über die Natur der Dinge. Es
ist nach Plinius bearbeitet, wie Beda selbst an einzelnen Stellen er-
klärt. An die AVeltkunde schliesst sich sodann die Zeitkunde an,
der die Abhandlung De temporibus, über die Zeiten, gewidmet ist.
Diese Schrift giebt im 14. Kapitel selbst ihr Datum an, sie ist 703
verfasst.

Eine ausführlichere Bearbeitung führt den Titel: De tem/porum
ratione, über Zeitrechnung. Sie ist mindestens 14 Jahre später als
die kürzere Fassung vollendet, da sie dem Abte Huaetberct zugeeignet
ist, welcher erst 716 in diese Stellung eintrat. In der Vorrede beruft
sich Beda ausdrücklich auf die beiden genannten Schriften von der
Natur der Dinge und von den Zeiten. Sie seien nach dem Urtheile
derjenigen, welche sie zu benutzen Gelegenheit hatten, allzugedrängter
Schreibweise gewesen, als dass sie den Nutzen hätten stiften können,
den er beabsichtigte. Namentlich die Osterrechnung scheine einer
weittäufigeren Auseinandersetzung zu bedürfen, und so habe er sich
denn entschlossen, ein. derartiges Lehrbuch der Zeitrechnung seinen
Schülern zu übergeben. Als Quellen, welche Beda dabei benutzte,
hat man Macrobius und Isidorus nachweisen können^). Für Anderes
sind ims seine Quellen unbekannt, wo er der älteste Schriftsteller ist,
von welchem eine ausführlichere Darstellung des Gegenstandes sich
erhalten hat. Wir meinen damit gleich das 1. Kapitel der Zeitrech-
nung, von welchem wir schon (S. 491) ankündigend gesprochen haben.
Es galt sonst auch wohl für eine selbständige Abhandlung unter dem
Titel „Ueber die Fingerrechnung", bis es auf Grund einiger Hand-
schriften des britischen Museums an diesen seinen rechtmässigen
Platz gel)racht wurde. Das gleiche Schicksal theilte das 4. Kapitel,
welches für eine Abhandlung „Ueber die Rechnung mit Unzen" galt'-).
Das 1. Kapitel beziehungsweise die ganze Schrift über Zeitrechnung
leitet Beda mit den Worten ein: „Wir hielten es für nöthig, erst in

') Werner 1. c. S. 122 und 125. *) Beda (ed. Giles) VI, 1:^9—342 das
Werk De ternporum ratione. Dessen Caput 1. De computo vel loquda digitorum
pag. 141—144 und Caput 4. De ratione unciarum pag. 147—149.

Klostergelehrsamkeit bis zum Ausgange des X. Jahrhunderts, 779

Kürze die überaus nützliclie und stets bereite Gescliickliclikeit der
Fingerbeugungeii zu zeigen, um dadurcli eine möglich grösste Leicbtig-
keit des Rechnens zu geben-, dann, wenn der Geist des Lesers vor-
bereitet ist, wollen wir zur Untersuchung und Aufhellung der Reihe
der Zeiten mittels Rechnung kommen." Und einige Seiten später
lieisst es: „Bezüglich der oben bemerkten Rechnung kann auch eine
gewisse Fingersprache gebildet werden theils zur Uebung des Geistes,
theils als Spielerei." Man sieht hier einen scharfen Gegensatz^). Die
Fingersprache ist, wenn auch Geistesübung mit ihr verbunden ist,
nicht mehr und nicht weniger als Spielerei. Das Fingerrechnen ist
eine Nothwendigkeit. Man hat gewiss mit Recht mehrfach aus diesen
Stellen gefolgert, dass zu Bedas Zeiten ein Fingerrechnen, man Avürde
wohl besser sagen ein Kopfrechnen mit Unterstützung durch die zur
besseren Erinnerung an die allmälig sich ergebenden und im Gedächt-
nisse festzuhaltenden Zahlen vorgenommenen Fingerbeugungen, all-
gemein in Uebung war. Beda lehrt in ausführlicherer Darstellung,
wie man von der linken Hand beginnend und zur Rechten fort-
schreitend die einzelnen Zahlen darstellen solle. Er lehrt es im
Grossen und Ganzen in Uebereinstimmung mit Nikolaus von Smyrna
(S. 479 — 480), in Einzelheiten von ihm abweichend, so dass eine un-
mittelbare Abhängigkeit dieses letzteren Schriftstellers von Beda, an
und für sich nicht recht wahrscheinlich, nur um so weniger anzunehmen
sein dürfte^). Allein wenn nun der Schüler so vorbereitet ist, wenn
er seinem Gedächtnisse überall, wo er geht und steht, mit den
Fingern zu Hilfe kommen kaimi — denn das ist ja die Bedeutung der
solertia pronipfissima, der stets bereiten Geschicklichkeit — wie ver-
fuhr man dann eigentlich?

Wir sind nicht im Stande, aus Bedas Schriften diese gewiss
wichtigste Frage zu beantworten. Beda sagt nicht eine Silbe über
die Rechnungsverfahren selbst. Nur zweierlei können wir als Schluss-
folgerung ziehen. Erstens, dass Beda bei seinem Schweigen nur an
die verhältnissmässig sehr einfachen Rechnungen (hauptsächlich Addi-
tionen, Subtraktionen, Multiplikationen und Divisionen durch 4) dachte,
welche bei der kirchlichen Zeit- und Festrechnung vorkamen, und
Avelche in der That leicht im Kopfe auszuführen waren. Zweitens
können wir ihm unmittelbar entnehmen, dass es eine weitverbreitete
Sitte war, die er schilderte. Er sagt nämlich, der heilige Hieronymus
müsse schon das Verfahren des Fingerrechnens gekannt haben, da
gewisse Anspielungen desselben nicht anders zu verstehen seien.

^) Stoy, Zur Geschichte des Rechenunterrichtes 1,38 (Jena 1878) hat wohl
zuerst dux'ch Nebeneinanderstellung der beiden Ausdrücke darauf aufmerksam
gemacht. °) Auch diese Bemerkung hat Stoy 1. c. S. 36—37 gemacht.

780 38. Kapitel.

Beda hat demgemäss bei Hierouyinus das Finger rechnen wieder-
erkannt, mit welchem er vertraut war und seine Schüler vertraut zu
machen beabsichtigte. Eine Quelle muss also vor dem Tode des
Hieronymus d. h. vor 420 vorhanden und wahrscheinlich in latei-
nischer Sprache vorhanden gewesen sein. Eine andere Frage ist die,
ob an eine geschriebene Quelle die Lehren sich anknüpften. Uns
scheint es fast natürlicher, an eine durch Jahrhunderte sich fort-
setzende mündliche üeberlieferung der Fingerbeugungen zu glauben,
wie das Rechnen unter Anwendung der Finger sich unzweifelhaft nur
durch mündliche Lehre fortpflanzte. Diese unsere letztere Behauptung
ist in der Natur der Dinge begründet, hat aber ausserdem eine
wesentliche Unterstützung in der Thatsache, dass wie Beda und Nikolaus
von Smyrna so auch jener Araber, der in Versen die Fingerstellungen
lehrte (S. GG8), über das wirkliche Rechnen keine Silbe verliert.

Ist diese Lücke schon für das Rechnen mit ganzen Zahlen vor-
lianden, so kann man zum voraus versichert sein, dass ein umfassendes
Bruchrechuen erst recht nicht gelehrt wird. In der That findet sich
in dem 4. Kapitel über die Rechnung mit Unzen kaum mehr als die
Eiutheilung des aus 12 Unzen bestehenden Asses und der Unze selbst,
ein Beleg, wenn ein solcher verlangt würde, für den unmittelbar
römischen Ursprung des Ganzen. Beda bemerkt, der Begriff als Ge-
wicht habe den Ausgangspunkt gebildet, dann aber sei abgeleitet
davon nur der Begriff des Ganzen und seiner Theile übrig geblieben.
Wenn man von einem Ganzen sein Sechstel wegnehme, so nenne
man den Rest dextans u. s. w. Auch die Zeichen für die Brüche
fehlen nicht. Solche waren, wie wir wiederholt zu bemerken hatten,
seit Jahrhunderten in Gebrauch. Es hat wohl die Bedeutung des
einen oder des anderen Bruchnamens sich verändert; es haben neue
Namen sich eingeschoben; die Zeichen haben sich abgerundet, sind
neuen Namen entsprechend neu hinzugetreten, aber begrifflich Neues
tritt uns nicht entgegen.

Die Osterrechnung, der eigentliche Mittelpunkt der Zeitrechnung,
gründet sich bei Beda wie bei (kssiodorius, wie bei Anderen (S. 533)
auf die 19jährige Wiederkehr des Zusammenfallens von Sonnen- und
Mondzeiten und stellt, wie wir oben andeuteten, an die Rechenkunst
des Schülers, der nur diese Aufgabe zu lösen beabsichtigte, keine
übermässige Anforderung, sodass die Erfüllung der auf einem Aus-
spruche des heiligen Augustinus beruhenden Vorschrift ^), es müsse in
jedem Mönchs- und Nonnenkloster wenigstens eine Person vorhanden

') Ilisfoire Uttcraire de la France par des rcligieux Bmcdictins VI, 70, und
Sickel, die Lunarbuchstaben in den Kaiendarien des Mittelalters. Sitzungsber.
d. Wiener Akademie. Philosopb.-histor. Klasse XXXVIII, 153 (1875).

Klostergelehrsanikeit bis zum Ausgange des X. Jahrhunderts. 781

sein, welche es verstelle, die Ordnung der kirchlichen Feste und
damit den Kalender für das laufende Jahr festzustellen , nicht grade
schwer war.

Dasselbe Jahr 735, in welchem Beda starb, war das Geburtsjahr
Alcuins'). Er war ein vornehmer Angelsachse und hiess mit
heimathlichem Namen Alh-win, d. h. Freund des Tempels, woraus
ebeu Alcuin entstanden ist. Fast noch häufiger nannte er sich selbst
Albinus. Sein Lehrer war Egbert von York, ein naher Freund
Bedas, wie aus einem vertrauten Briefe Bedas an ihn über kirchliche
Verhältnisse hervorgeht. Egbert legte an der mit einer reichen Bi-
bliothek ausgestatteten Schule seines Bischofssitzes das neue Testa-
ment aus, die übrigen Fächer waren seinem Verwandten Aelbehrt
anvertraut, zu welchem Alcuin in enge Beziehungen trat. Er be-
gleitete ihn noch als Jüngling auf einer wissenschaftlichen Reise
nach Rom, dem Hauptmarkte für die Erwerbung von Handschriften,
er wurde sein Nachfolger in der Leitung der Yorker Schule, als Ael-
behrt 766 nach Egberts Tode den erzbischöflichen Stuhl bestieg.

Alcuin erzählt uns selbst, worin der Unterricht an der Schule
bestand. Die Geheimnisse der heiligen Schrift wurden erläutert.
Daneben wurden Grammatik, Rhetorik, Dialektik, Musik und Poesie
gelehrt. Auch die exakten Wissenschaften kamen nicht zu kurz.
Astronomie und eigentliche Naturgeschichte, die Osterrechnung bil-
deten besondere Lehrgegenstände, die in gleichem Inhalte uns auch
bei Beda begegnet sind, und die von Alcuin muthmasslich nicht viel
anders gelehrt wurden als es bei seinen Vorgängern aufwärts bis zu
Isidorus, zu Cassiodorius, zu Victorius der Fall gewesen war.

Er wurde durch die gleichen Werke römischer Gelehrsamkeit
unterstützt, welche in der Büchersammlung von York sämmtlich vor-
räthig waren. Hat doch Alcuin in dem Gedichte^), in welchem er
der Unterrichtszweige gedenkt, auch ein Verzeichniss von solchen
Schriften gegebeii, die in York zu finden waren;

Finden wirst dort du die Spur der alten Väter der Kirche,
Finden was für sich der Römer im Erdkreis besessen
Und was Griechenlands Weisheit lateinischen Völkern gesandt hat.
Auch was das Volk der Hebräer aus himmlischem Regen getrunken,
Oder was Afrika hat hellüiessenden Lichtes verbreitet.

^) Karl Werner, Alcuin und sein Jahrhundert. Paderborn, 1876. Kurz,
aber übersichtlich ist Dümmlera Artikel „Alkuin" in der Allgemeinen deutscheu
Biographie I, 343—348 (1875). ^) Poema de Pontificibus et Sanctis ecclesiae
Eboracensis (d. h. von York) in den Monumenta Alcuiniana (ed. Watten -
bach et Dümmler). Berlin, 1873 als VI. Band der Bibliotheca rerum Ger-
manicantm. Der Studienplan ist geschildert v. v. 1431 sqq. (S. 124 — 125), das
Bücherverzeichuiss v. v. 1534 sqq. (S. 128).

782 38 Kapitel.

Natürlich ist bei dem letzten Verse vorwiegend au Augustinus zu
denken, bei dem auf Grieclienland bezüglichen au ihn selbst den
scharfsinnigen Aristoteles — i^se acer Aristoteles — welche beide im
weiteren Verlaufe ausdrücklich genannt sind. Kaum festzustellen
dürfte freilich sein, ob aristotelische Originalschriften, ob, worauf
die Bemerkung Griechenlands Weisheit sei den Lateinern zugesandt
eher zu deuten scheint, nur die lateinischen Bearbeitungen durch
Boethius vorhanden waren. Von römischen Schriftstellern waren
nach Alcuins Aussage unter vielen anderen Victorinus, wahrscheinlich
der Grammatiker dieses Namens aus dem IV. S., vielleicht aber auch
der Schriftsteller, den wir als Victorius kennen gelernt haben,
Boethius, Plinius vertreten. Beda wird neben diesen als ebenbürtiger
Schriftsteller genannt.

Erzbischof Aelbehrt starb 780, und nun wurde Alcuin nach Rom
gesandt, um für dessen Nachfolger die päpstliche Bestätigung einzu-
holen. Auf dieser Reise traf er in Parma mit Karl dem Grossen
zusammen, welcher ihn schon vorher sei es persönlich, sei es durch
den Ruf der Gelehrsamkeit, der um den Yorker Schulvorsteher sich
weiter und weiter verbreitete, kennen gelernt hatte. Karl wünschte
ihn bei sich zu haben, um den Stand des Wissens in Deutschland
auf eine bessere Stufe zu bringen, und nach Einholung der Erlaub-
niss seiner Vorgesetzten folgte Alcuin der kaiserlichen Einladung 782.
Nach achtjährigem Aufenthalte an dem Kaiserhofe, der übrigens nicht
an einem und demselben Orte sich aufhielt, sondern bald da, bald
dort seinen Sitz hatte, kehrte Alcuin nach der Heimath zurück, dann
wieder zu Karl, der ihn nicht missen wollte, und als Alcuin ge-
brechlich und von häufigen Krankheiten heimgesucht das beschwer-
liche Leben eines wandernden Hofstaates nicht länger mitmachen
konnte, wurde ihm die ersehnte Zurückgezogenheit in einer Art, wie
er sich dieselbe keineswegs gedacht hatte. Karl der Grosse schickte
ihn 796 als Abt nach dem Kloster St. Martin in Tours, dessen
Mönche einer strengeren Zucht als unter dem grade verstorbenen
Abte in hohem Grade bedürftig waren. Alcuin hat hier eine be-.
rühmte Klosterschule gegründet, aus welcher zahlreiche Lehrer her-
vorgingen, die alsdann in gleichem Simie, wie sie erzogen und unter-
richtet worden waren, an anderen Orten wirkten. Alcuin hat auch die
grossartige Büchersaramlung in Tours ins Leben gerufen. So waren
seine letzten Lebensjahre reich erfüllt. Er starb den 19. Mai 804.

Die Bedeutung, welche Alcuin für die Geschichte der Mathematik
besitzt, liegt auf zweifachem Gebiete. Sie ist zu suchen in seinen
Verdiensten um das Unterrichtswesen und in seiner schriftstellerischen
Thätigkeit.

Klostergelehrsamkeit bis zum Ausgange des X. Jahrliunclerts. 783

Wir haben Alcuin am Morgen seines Lebens als Lehrer in York
wirken sehen. Wir haben von den nachhaltigen Erfolgen andeu-
tungsweise gesprochen, die seine Lehrthätigkeit in Tours am Abende
seines Lebens gehabt hat. Lehrer war er auch am Hofe Karl des
Grossen. War doch der Kaiser selbst, der an Wissenslust es Allen
zuvorthat, kaum des Schreibens kundig, und so der Schule nur dem
Alter nach entwachsen. Die Rohheit der Zeit brachte das nun ein-
mal mit sich, und ihr müssen wir es auch zuschreiben, wenn wir
dem Gelehrtesten der Gelehrten, wenn Avir Alcuin selbst fast nichts
nachrühmen können als eine Aneignung fremden Stoffes. Der Ver-
kehr Alcuins mit den hochgestellten Schülern und Schülerinnen
musste selbstverständlich ein anderer sein als er in der Klosterschule
gebräuchlich war, ein anderer auch als er zwischen denselben Per-
sönlichkeiten und sonstigen Hofbeamten herrschte. Damit grössere
Zwanglosigkeit gestattet war, legte Alcuin allen Mitgliedern der
Schule, den Kaiser und sich selbst nicht ausgenommen, Beinamen
bei, die der Bibel oder dem Alterthum entnommen waren. Der
Kaiser war König David oder König Salomo, Alcuin war Flaccus,
die geistreiche Guntrada, Karls Geschwisterkind, war Eulalia genannt
u. s. w. Damit aber der mitunter trockene Lehrgegenstand den Schülern
nicht zuwider würde, kleidete der Lehrer die an sich ernsthaft ge-
meinten Fragen nicht selten in das Gewand scherzhafter ßäthsel,
mitunter sogar dem derben, unfeinen Ton huldigend, welcher am
Karoliugerhofe zu Hause war. Der von Alcuin auf solche Weise er-
theilte Unterricht fand begeisterten Anklang. Um so dringender
wurde Karls Wunsch ähnlich gebildete Lehrer seinem Volke zu
geben. Ein Capitulare von 789 aus Aachen datirt bestimmt, die
Domstifte und Klöster sollen öffentliche Knabenschulen unterhalten,
in welchen der Unterricht in den Psalmen, in Noten, im Gesang, im
(Jomputus, in der Grammatik ertheilt werden solle ^). Wir haben
absichtlich das Fremdwort Computus hier beibehalten, um es zweifel-
haft zu lassen, ob nur der vorzugsweise sogenannte com^puttis, d. h.
die von uns mehrfach besprochene Osterrechnung gemeint sein mag,
oder, wie es uns viel wahrscheinlicher däucht, da von einem Lehr-
gegenstaude für irgend welche Knaben, nicht für angehende Mönche
die Rede ist, das Rechnen ■ überhaupt. Wenige Jahre später beruft
Karl Theodulf als Bischof von Mainz (794) aus Italien, ihn an die
Spitze einer Domschule zu stellen. Für den Unterricht darf nichts
genommen werden, als was von den Eltern freiwillig gegeben wird.
Dass die Kinder aber zur Schule geschickt werden, bleibt nicht dem

') Werner, Alcuin S. 35.

784 38. Kapitel.

freien Willen der Eltern überlassen. Mit Strafen werden diese zur
Erfüllung ihrer Pflicht angehalten. Mit der Volksschule tritt- der
Schulzwaug ins Leben ^).

Wir haben von Alcuins schriftstellerischer Thätigkeit zu reden
und bringen unter diesem Titel Aufgaben zur Sprache^ von denen
es allerdings nicht sicher ist, ob sie Alcuin angehören. Dass sie ein
altes Gepräge tragen, mag schon daraus entnommen werden, dass
sie früher in den Druckausgaben nicht bloss von Alcuins, sondern
auch von Bedas Werken Aufnahme fanden, während sie diesem Letzt-
genannten wohl unter keinen Umständen angehören"-). Die Zuwei-
sung an Alcuin beruht auf mehreren Gründen, deren jeder einzeln
für sich nicht sonderlich schwerwiegend ist, die jedoch in ihrer Ge-
sammtheit vielleicht genügen, den Ausschlag zu geben. Wir haben
erst davon gesprochen, dass Alcuin es liebte, bei seinem Unterrichte
eine gefällige, oft scherzhafte Form der Fragestellung oder der Beant-
wortung zu wählen, letztere Form insbesondere nach griechischem
Muster des Atheners Secundus aus dem L und IL S. n. Chr., von
welchem einige Alcuinische Fragen und Antworten ethischer und
kosmographischer Art wörtlich entlehnt erscheinen^). Die Räthsel-
form ist aber auch die der Aufgaben zur Verstandesschärfung,
prqpositiones ad acuendos iuvenes. Man hat ferner darauf aufmerksam
gemacht, dass deren Schreibweise überhaupt mit der Alcuins über-
einstimme*). Man hat weiter auf einen Brief Alcuins an Karl den
Grossen sich bezogen, in welchem der Briefsteller sagt, er schicke
gleichzeitig einige Proben arithmetischen Scharfsinnes zur Erheite-
rung^) und hat vermuthet diese Proben seien eben jene Aufgaben,
insgesammt oder theilweise. Dem gegenüber hat man freilich ein-
zuwenden gewusst''), unter Proben arithmetischen Scharfsinnes zur
Erheiterung habe Alcuin ganz anderes verstanden, nämlich Anwen-
dung zahlentheoretischer Begriffe auf Bibelerklärung, wie sie in
einzelnen seiner Briefe und Schriften vorkommen. So habe, nach
ihm, Gott, der Alles gut schuf, sechs Wesen geschaffen, weil 6 eine
vollkommene Zahl sei; 8 aber ist eine mangelhafte Zahl,

1-f 2-f 4 = 7<8,
und „deswegen geht der zweite Ursprung des Menschengeschlechtes
von der Zahl 8 aus. Wir lesen nämlich, dass in Noahs Arche acht

') Lorenz von Stein, Das Bildungswesen des Mittelalters, IL Auflage,
S. 66 (Stuttgart, 1883). ") Bedae Opera (ed. Giles) Bd. VL Vorrede S. XllJ.
*) Werner, Alcuin S. 18. *) Giles 1. c. ^) Monumenta Alcuiniana, EpisUda
112, pag. 459: Misi aliquas figuras Ariihmeticac sahtilüatia laelitiae causa.
«) Hankel S. 310-311.

Klostergelehrsamkeit bis zum Ausgange des X. Jalirhnnderts. 785

Seelen gewesen, von welchen das ganze Menscliengesclileclit ab-
stammt, um zu zeigen, der zweite Ursprung sei unvollkommener als
der erste, welcher nach der Sechszahl geschaffen wurde" ^). Beispiele
solcher Zahlenmystik könnten gehäuft werden. Man könnte an einen
Brief Alcuins erinnern, in welchem von den Zahlen 1 bis 10 gesagt
wird, welche Beziehungen zu Gegenständen der heiligen Schrift sie
haben-). Man könnte bis auf Isidorus zurück ■') merkwürdige Ge-
dankenverknüpfungen verfolgen, in deren Nachahmung Alcuin die
Zahl 153 der Fische, welche Petrus auf einen Zug fing"^), zu er-
klären weiss, ausgehend von

153 = 3 • 3 • 17 == 1 -f 2 + 3 H [-11

in Verbindung mit 51 = 50 -f- 1 u. s. w.^). Wir lassen es dahinge-
stellt, ob diese Verweisungen, mögen sie selbst dem, was Alcuin au
Karl schickte, einen anderen Inhalt geben können als nach der zu-
erst ausgesprochenen Vermuthung, in Widerspruch stehen zu der
Annahme, Alcuin habe die Aufgaben zur Verstandesschärfung zu-
sammengestellt. Wir geben zu bedenken, dass, wer nach der einen
Richtung mit Zahlenspielereien, die ihm freilich mehr als das, die
ihm heiliger Ernst waren, sich beschäftigte, auch nach der anderen
Seite Freude an Zahlenbetrachtungen haben und erregen konnte.

Wir wenden uns zur Erörterung dessen, was die Handschriften
zur Entscheidung der Frage, von wem die Aufgaben der Verstandes-
schärfung herrühren, beizutragen vermögen? Rechenräthsel, welche
einander insgesammt ähnlich sehen, finden sich in den allerver-
schiedensten Handschriften vor*'). Wohl die älteste solche Hand-
schrift ist diejenige, aus welcher die uns hier beschäftigenden Auf-
gaben zum Abdrucke gelangt sind^). Sie gehört, wenn nicht alle
Zeichen der Schriftvergieichung trügen, dem Ende des X. oder An-
fange des XL S. an, in runder Zahl dem Jahre 1000 an, und stammt
aus dem Kloster Reichenau, welches auf einer Rheininsel am Aus-
gange des Bodensees durch den Irländer Pirmin um 725 gegründet
worden war und wie wir uns erinnern (S. 537) schon 821 im Besitze
einer schönen ordnungsgemäss aufgezeichneten Büchersammlung sich
befand. Die Handschrift ist eine Sammelhandschrift und beginnt mit

') Monuinenla ÄIcuiniana, Epist. 259, i^ag. 818 — 821. "') Ebenda Episi.
260, pag. 821—824. ^) Isidorus, De numeris cap. 27. Auf diese Quelle ist
zuerst aufmerksam gemacht bei Werner, Gerbert von Aurillac. Wien, 1878,
S. 66, Anmerkung 2. *) Evangelium Johannes XXI, 11. °) Werner, Alcuin
S. 153. *') Herrn. Hagen, Antike und mittelalterliche Eäthselpoesie. II. Aus-
gabe. Bern, 1877. S. 29 — 34. ') Ueber die Handschrift vergl. Agrimensoren
S. 139—143.

Cantob, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 50

786 38. Kapitel.

Alcuins Erläuterungen zur Genesis, welche durch den in einer Wid-
muno-sformel enthaltenen Namen ihren Verfasser selbst verrathen.
Die Erläuterungen schliessen mitten auf der Vorderseite eines Blattes,
und nun folgen ohne irgend welche Raumunterbrechung enge sich
auschhesseud die Aufgaben zur Verstandesschärfung: incipinnt capi-
tula propositionum ad acuendos iuvenes von dem gleichen Schreiber
auf das Pergament gebracht. Ein Verfasser ist nicht angegeben,
aber eben deshalb hat man gefolgert, Alcuiu sei es, weil die Un-
mittelbarkeit des Anschlusses zu dieser Behauptung aufmunterte,
welche in den schon angegebenen allgemeinen Betrachtungen Unter-
stützung fand.

Eines kann mit Bestimmtheit gesagt werden: die Handschrift
rührt nicht von dem sachverständigen Sammler der Aufgaben her,
möge er Alcuin oder wie immer geheissen haben, sondern von einem
Mönche, der als Schreibkünstler geschickter war denn als Kechner,
sonst würde er nicht so verhältnissmässig häufige Fehler in den
Zahlen sich zu Schulden haben kommen lassen, wie sie nur einem
Abschreiber, nicht Einem, der selbst rechnet, vorkommen können.
Auch dieser Umstand dient dazu, die Entstehung der Samoilung in
eine Zeit hin aufzurücken, die älter ist als das Jahr 1000, und wir
machen darum von der nun einmal durch den Herausgeber^) von
Alcuins Werken hergestellten üeberlieferung Gebrauch, jene Aufgaben,
die in einer Geschichte der Mathematik unter allen Umständen be-
sprochen werden müssen, unter Alcuins Namen einzureihen. Sollten
spätere Untersuchungen je einen anderen Verfasser an das Licht
ziehen, so werden sie den Umstand doch sicherlich nicht zu ent-
kräften im Stande sein, dass er vor 1000 gelebt haben muss, dass
also die Aufgaben ein Bild klösterlicher Gelehrsamkeit vor diesem
Zeitpunkte uns bieten. Glänzend freilich ist das Bild nicht, aber
doch nicht so farblos wie nach den dürftigen Nachrichten, welche
wir über das mathematische Wissen eines Isidorus, eines Beda allein
zu geben im Stande waren, erwartet werden möchte.

Es sind algebraische und geometrische Aufgaben, welche hier
auftreten, daneben solche, die nicht durch Rechnung, sondern mehr
durch einen witzigen Einfall gelöst werden können, und überall wo
es möglich ist von einer Geschichte der betreffenden Aufgaben zu
reden, d. h. ihr früheres Vorkommen zu bestätigen, sind es immer
römische Quellen, auf welche man hinweisen muss. Von diesen Auf-

') Abt Frobenius von St. Emruerau in llegensbury 1777. Sein weltlicher
Niiine v.ar Frobenius Forster. Er lebte 1709 — 1791. Vergl. Allgemeine
tltnitsche Biographie NU, 1G.3. Die Propositiones ad acuendos iuvenes sind ab-
goilruckt in Alcuini Opera (ed. Frobenius) II, 440—448.

Klostergelehrsamkeit bis zum Ausgange des X. Jahrhunderts. 787

gaben seien einige hier erwähnt. Die 6. Aufgabe ist eine von denen
mit nicht mathematischer Auflösung. Zwei Männer kauften für 100
solidi Schweine, je 5 Schweine zu 2 solidi. Die Schweine theilten
sie, verkauften dann wieder 5 für 2 solidi und machten dabei ein
gutes Geschäft, wie ging das zu? Sie hatten die 250 Schweine,
welche sie gemeinschaftlich besassen, in zwei gleiche Heerden von
je 125 Schweinen getheilt, so dass der eine alle fetteren, der andere
alle weniger fetten Schweine vor sich hertrieb. Der erste verkaufte
120 von seiner Heerde, indem er 2 für einen solidus gab, der zweite
verkaufte gleichfalls 120, indem er 3 für einen solidus gab. That-
sächlich wurden 5 Schweine für 2 solidi hergegeben. Der Erlös des
ersten betrug üO, der des zweiten 40 solidi, und damit war die Aus-
lage gedeckt, während den Händlern noch 10 Schweine, je 5 von
jeder Werthsorte, übrig blieben. — Die 8. Aufgabe ist eine Brunnen-
aufgabe, wie sie so häufig seit Heron uns begegneten. — Die 23.
und 24. Aufgabe lehren die Fläche eines viereckigen und eines drei-
eckigen Feldes nach denselben Näherungsregeln messen, deren die
Geometrie des Boethius (S. 545) und die Vorschrift zur Juchartaus-
messung (S. 550) sich bedienen : das Viereck gilt als Produkt der
halben Summen einander gegenüberliegender Seiten, das Dreieck als
Produkt der halben Summe zweier Seiten in die Hälfte der dritten
Seite. — An die Juchartausmessung erinnert auch die 25. Aufgabe
von dem runden Felde, dessen Fläche gefunden wird, indem der Um-
fang 400 durch 4 getheilt und der Quotient quadrirt, d. h. ;r = 4
angenommen wird. — V7ir könnten noch recht vielerlei Aufgaben
vergleichen und meistens Dinge erkennen, welche den römischen
Ursprung wahrscheinlich machen. Nur drei Aufgaben heben wir
noch hervor. Die 26. Aufgabe führt die Ueberschrift De cursu cbnks
bc fugb lepprks. Nach Vertauschung von Consonanten mit ihnen
im Alphabete unmittelbar vorhergehenden Vokalen, wie sie (S. 754)
auch bei Johannes von Sevilla an gewissen Stellen sich als noth-
wendig erwies, wird daraus De cursu canis ac fuga leporis. Es ist
die allbekannte Aufgabe von dem Hunde, welcher dem Hasen nach-
läuft, während der Hase 150 Fuss voraus ist, dagegen nur 7 Fuss
weite Sprünge macht, der Hund aber 9 Fuss weit springt. Zum
Zwecke der Auflösung wird 150 halbirt und daraus mit Recht ge-
folgert, dass der Hund den Hasen in 75 Sprüngen einholen werde.
— Die 34. Aufgabe lautet wie folgt: Wenn 100 Schefiel unter
ebenso viele Personen vertheilt werden, so dass ein Mann 3, eine

Frau 2 und ein Kind -- Scheffel erhält, wie viele Männer, Frauen

und Kinder waren es? Die Antwort ist 11 Männer, 15 Frauen,

50*

788 38. Kapitel.

74 Kinder. Das ist die erste unbestimmte Aufgabe in lateinischer
Sprache, die uns vorkommt. Es ist dabei bemerkeuswerth, dass der
Text der Aufgabe die Möglichkeit nicht ganzzahliger Auflösungen
ausschliesst, dass von den gauzzahligen Auflösungen nur eine ange-
geben ist, dass die Art wie dieselbe gefunden worden sei, auch nicht
einmal angedeutet ist. — Noch interessanter ist die 35. Aufgabe.
Ein Sterbender verordnet letztwillig, dass, wenn seine im schwangeren

9
Zustande zurückgelassene Wittwe einen Sohn gebäre, der Sohn —

3 . . 3 1

oder ~, die Wittwe y„ oder -- des Vermögens erben solle-, gebäre

7 . . 5

sie aber eine Tochter, so solle diese --- , die Wittwe — des Ver-
mögens erben. Das ist dem Inhalte, wenn auch nicht den bestimmten
Zahlen nach, die in den Pandekten enthaltene Theilungsfrage, deren
römische Auflösung wir (S. 523) kennen gelernt haben. Der Sammler
der Aufgaben zur Verstandesschärfung hat sich in der von ihm ge-
gebenen Auflösung als einen Mann erwiesen, der in den Sinn letzt-
williger Verfügungen einzudringen nicht im Stande war, als einen
Nachahmer der Römer, der unmöglich selbst Römer gewesen sein
kann. Er löst deshalb auch die Aufgabe so verkehrt, als sie über-
haupt allenfalls gelöst werden kann. Er sagt: Um Mutter und Sohn
zu befriedigen, bedarf es 12 Theile, um Mutter und Tochter zu be-
friedigen, gleichfalls, zusammen also 24 Theile. Davon erhält in
erster Linie der Sohn 9, die Mutter 3, in zweiter Linie die Mutter 5,
die Tochter 7, die Theilung vollzieht sich also in dem Verhältnisse,

dass die Mutter '—^.— = - , der Sohn ^ = ^ , die Tochter ~. der

24 3 ' 24 8 ' 24

Hinterlassenschaft zu beanspruchen hat. — Wir haben unsere Aus-
wahl mit einer Scherzfrage begonnen, welche durch Rechnung allein
nicht zu lösen ist. Mit der Erwähnung ähnlicher Aufgaben wollen
wir schliessen, nachdem wir die mathematisch interessanteren durch-
gesprochen haben. Da dürfte vor allem die 18. Aufgabe unsere
meisten Leser wie eine Erinnerung aus der Kinderzeit anheimeln.
Es ist die Aufgabe von dem Wolfe, der Ziege und dem Krautkopfe,
welche in einem Boote, dessen Fährmann nur einen Reisenden gleich-
zeitig befördert, über einen Fluss gesetzt werden sollen, so dass nie-
mals Ziege und Krautkopf oder Ziege und Wolf, also niemals zwei
Feinde allein auf einem Ufer sich befinden sollen, während der
Führer mit dem Boote unterwegs ist^). Noch ein zweites Räthsel,

') Wenn Hagen 1. c. S. 31 und Anmerkung 22 dieses llätlisel als in den
Annales Stadcnses vorkommend bezeugt, so ist damit für dessen Alter gar nichts
gewonnen, da diese Annalen erst um 1240 geschrieben worden sind.

Klostergelehrsamkeit bis zum Ausgange des X. Jahrhunderts. 789

welches mit eiuigen anderen zusammen miter der besonderen Ueber-
schrift: „Räthsel zum Lachen" am Schlüsse der Handschrift vereinigt
ist, hat bis auf den heutigen Tag sich erhalten; es bezieht sich auf
die von der Sonne verzehrte Schneeflocke, welche an dem im Winter
blattlosen Baum haftete^).

So bergen die Aufgaben zur Verstandesschärfung mannigfachen
Stoff in sich, der unverwüstliche Lebenskraft in Volkskreisen wie in
halbwegs wissenschaftlichen Schulbüchern au den Tag gelegt hat.
So befinden sich unter ihnen Aufgaben, welche auch nach rückwärts
eine verfolgbare Geschichte besitzen, andere, welche zu immer erneuten
Versuchen auffordern, die noch nicht gelungene Rückverfolgung zu
vollziehen. Fragen wir uns, welche mathematische Anfordermigen
die Aufgaben an den, welcher der Lösung sich befleissigte, stellten,
so sehen wir, dass er geometrisch nicht mehr zu Avisseu brauchte,
als einige wenige dem praktischen Feldmesser gebräuchliche Formeln,
algebraisch nicht mehr als die Behandlung der Gleichungen vom
ersten Grade, dass W^urzelausziehungen nicht vorkommen, sondern
nur die vier einfachen Rechnungsarten und diese fast ausschliesslich
an ganzen Zahlen.

Aber Avie führte jene Zeit, wie führte Alcuin, wenn wir voraus-
setzen dürfen, die Sammlung rühre von ihm her, die Rechnungen
aus? Wir haben (S. 779) bei Beda die gleiche Frage mit dem Zeug-
nisse des Nichtwissens abgelehnt, wir sind bei Alcuin bis zu einem
gewissen Grade in derselben Lage, aber nur bis zu einem gewissen
Grade. Zwei Stellen aus Alcuins Schriften führen nämlich zur Ver-
muthung, er habe das Kolumnenrechnen und die Apices gekannt,
welche wir bei Gelegenheit der Geometrie des Boethius beschrieben
haben. Beide Stellen finden «ich in Schriftstücken, welche wir schon
angeführt haben, ohne jedoch diese bestimmten Sätze und deren Be-
deutung hervortreten zu lassen. Wir haben den Unterrichtsplan,
welchen Egbert an der Yorker Domschule einhalten Hess, aus einem
Gedichte Alcuins, welches zwischen 780 und 796, wahrscheinlich
sogar zwischen 780 und 782 entstand^), angegeben. Den 1445. Vers
dieses langathmigen Gedichtes haben wir nachholend hier noch an-
zugeben: Egbert lehrte „diversas numeri species variasque figuras",
auseinandergehende Arten der Zahl und deren verschiedene Gestalten.
Wir möchten so übersetzen, weil wir entschieden glauben, dass der
Genitiv numeri nicht minder zu variasque figuras als zu diversas

*) Vergl. Max Curtze in einer Recension unserer Agrimensoren in der
Jenaer Literaturzeitung vom 12. Februar 1876. °) Ueber die Datirung vergl.
Wattenbach in den Monumenta Alcuiniana S. 80.

790 '^'^- I^apitel.

species gehört, und ist diese Meinung richtig, so kannte nicht bloss
Alcuin verschiedene Gestalten der Zahlen, so waren dieselben ein
regelmässiger Uuterrichtsgegenstand in York, muthniasslich wenn
nicht zuverlässig auch später in Tours. Was aber konnten jene ver-
schiedenen Gestalten der Zahlen sein? Wir sehen nur zwei Mög-
lichkeiten der Erklärung. Entweder sind die Apices gemeint, wie sie
in der Geometrie des Boethius beschrieben sind, oder die Dreiecke,
Vierecke, Vielecke der Zahlen, die man aus der Arithmetik des
gleichen Verfassers kannte. Beide Möglichkeiten sind vorhanden,
imd eine endgiltige Entscheidung wird wesentlich von der Auffindung
neuen Materials abhängen.

Dass wir jetzt schon dazu hinneigen, die Kenntniss der Apices
als richtigere Erklärung anzunehmen, dazu berufen wir uns auf die
zweite »Stelle. Wir haben eines Briefes gedacht, in welchem Alcuin
von arithmetisch-mystischen Erklärungen zu biblischen Texten Ge-
brauch macht. In eben diesem Briefe heisst es'): „Ebenso sehen
wir die Reihenfolge der Zahlen in Gelenken, gleichsam gewissen
Einheiten, durch endliche Gestaltungen znm Unendlichen wachsen.
Denn die erste Reihenfolge der Zahlen ist von 1 bis zu 10, die
zweite von 10 bis zu 100, die dritte von der Huudertzahl bis zur
Tausendzahl." Das ist, abgesehen von der Boethiusstelle die älteste
Anwendung des Wortes articulus, Gelenk, für Zahlen, und zwar für
Zahlen, welche die Rolle von Einheiten gleichsam spielen, d. h. etwas
anders ausgesprochen runde Zahlen sind. Das ist zugleich die Her-
vorhebung der drei Hauptordnungen, in welche die Zahlen von 1 bis
1000 zerfallen, oder wieder etwas anders ausgesprochen der römi-
schen Triaden. Wir glauben hier eine zweite Erinnerung an die
Geometrie des Boethius erkennen zu dürfen, zugleich auch eine neue
Bestätigung deren Echtheit, wenn Begriffe, deren Vorkommen als
Zeichen der ünechtheit gelten oder wenigstens Veranlassung geben
die Ünechtheit nachweisen zu Avollen, bis vor das Todesjahr Alcuins
804, in welchem allerspätestens jener Brief geschrieben ist, hinauf-
gerückt erscheinen.

Sei dem, wie da wolle. Eines können wir fortfahrend feststellen;
eine Stetigkeit der Lehren, welche von dem Kloster St. Martin bei
Tours ausgingen und an bestimmte Persönlichkeiten als Träger der-
selben sich anknüpften. Sehen wir, auf welche Weise dieselben nach

') Monumenta AIcuiniana, Epist. 259, pag. 820. Item progressioncm nuiue-
rorutn articulis, quasi (ßiibusdam unitatibus, ad infinita crescere x>cr quasdam
finitas formas videmus. Nam j^rima progressio numcrorum est ab uno usque ad
decem. Secunda a decem usque ad centum. Tertia a centcnario numeru usquc
ad mülenarium.

Klostergelehrsamkeit bis zum Ausgange des X. Jahrhunderts. 791

Deutschland gelaugteu. In der Mitte des VIII. S. war in Fulda ein
Kloster, begleitet von einer Klosterscliule entstanden. Ratgar, der
dritte Abt dieses Klosters 802 —814 schickte, um die Schule auf die
Höhe der Zeit zu bringen, drei junge Mönche nach St. Martin bei
Tours, dass sie dort Alcuius Unterricht genössen und ßo zu voll-
endeten Lehrern würden. Einer dieser jungen jedenfalls unter den
begabtesten Klosterzöglingen ausgesuchten Männer war-Hrabanus
Maurus^), der erste Lehrer Deutschlands, primus praeceptor Gcr-
maniae, wie er genannt worden ist. Die Verdienste desselben um
die deutsche Sprache, welche er zu einem lateinisch-deutschen Bibel-
glossar anwandte, wie die meisten seiner zahlreichen Schriften liegen
weit ausserhalb des Bereiches unserer Untersuchungen. Wir würden
uns nur mit den Schriften über die sieben freien Künste zu be-
schäftigen haben, welche er in mindestens ebenso vielen Theilen be-
handelt hat, wenn dieselben uns erhalten wären. Leider ist dieses
nicht der Fall. Die Arithmetik, die Musik, die Geometrie sind ver-
loren gegangen. Statt einer eigentlichen Astronomie ist ein in
Gesprächsform gehaltener Computus auf uns gekommen-), welcher,
wie zahlreiche Stellen beweisen''), im Jahre 820 verfasst ist. Dieser
Computus ist ziemlich genau nach Bedas chronologischen Arbeiten
gebildet und enthält kaum etwas für die Geschichte der Mathematik
Wissenswerthes, so dass man ihn wohl in negativer Weise verwerthet
hat, um zu schliessen, ein Abacus und dergleichen könnten damals
nicht Lehrgegenstände gewesen sein, weil auch gar nicht davon die
Rede sei. Wir überlassen es unseren Lesern, wie viel Gewicht sie
auf das Nichtvorhandensein einer Beschreibung in einer Schrift legen
wollen, welche in innigem Zusammenhange mit anderen Schriften
stand, die sämmtlich verloren gegangen sind, unter ihnen eine Geo-
metrie, in welcher nach der Erfahrung, die wir bei Boethius machten,
jene Beschreibung gewohnheitsmässiger war als in einem Computus,
der niemals eine solche enthalten hat. Zu einer Bemerkung nöthigt
uns die Unparteilichkeit. In einem Kapitel des Computus des Hra-
banus erscheinen in auffallendem Zusammenhange die Wörter digitus
und articulus*). Sie betreffen nicht, wie man zunächst vermuthen
könnte, Finger- und Gelenkzahlen, sondern eine eigenthümliche Ge-
dächtnisshilfe an den Knöcheln der Hand. Von älteren Schriften
sind bei Hrabanus genannt: die Arithmetik des Boethius''), die
Origines des Isidorus^), die Osterrechnung des Anatolius'). Zwei

^) Werner, Alcuin S. 101—109. ^) Abgedruckt in Baluze, Miscel-
lanea I, 1 — 92. Paris, 1678. ^) Ebenda pag. 43, 51 und häufiger. ■*) Ebenda
pag. 70 — 71. De redüu et computo articulari utrarianque epactarum solis et lunac.
^) Ebenda pag. 7. '^) Ebenda pag. 8. '') Ebenda pag. 33.

792 38. Kapitel.

Jahre nachdem Hrabaiius seinen Computus verfasst hatte, wurde
er zum Abte seines Klosters gewählt und stand ihm 20 Jahre hin-
durch bis 842 mit wirksamem Eifer vor. Dann zog er sich in ein
stilleres Leben zurück, welches er jedoch 847 wieder aufgeben musste,
um Erzbischof von Mainz zu werden. Als solcher starb er 856.

Männer der Fuldaer Schule trugen ihrerseits die Wissenschaft
weiter, welche Hrabanus Maurus und seine Genossen aus Tours mit-
gebracht hatten. Walafried Strabo, 806 in Allemanien geboren,
wurde 842 Abt zu Reichenau. Aus den Schriften dieses 849 ver-
storbenen Mannes und anderen gleichzeitigen Werken ist 1857 durch
Pater Martin Marty in Einsiedeln eine Abhandlung „Wie man vor
1000 Jahren lehrte und lernte" zusammengestellt worden, worin die
Stelle vorkommt: „Im Sommer 822 begann ich unter Tattos Leitung
das Studium der Arithmetik. Zuerst erklärte er uns die Bücher des
Consuls Manlius Boethius über die verschiedenen Arten und Einthei-
unücen, sowie über die Bedeutung der Zahlen; dann lernten wir das
Rechnen mit den Fingern und den Gebrauch des Abacus nach den
Büchern, welche Beda und Boethius darüber geschrieben haben."
Leider stammt diese Erzählung nicht aus einem wirklich vorhandenen
Tagebuch, sondern wurde vom Verfasser als seinen persönlichen ge-
schichtlichen Ansichten entsprechend Strabo in den Mund gelegt^),
so dass man eine Beweiskräftigkeit dieser, wenn auf Angaben aus
dem IX. S. gestützten, unwiderlegbaren Erzählung nicht zu behaupten
vermag.

Ein anderer Schüler Hrabans war Heiric von Auxerre, der selbst
wieder in Remigius von Auxerre^) seinen Nachfolger sich heran-
bildete. Schon vorher hatte Remigius in dem Kloster Ferrieres
den Unterricht von Servatus Lupus, einem Zöglinge des Klosters
St. Martin bei Tours, genossen und so aus doppelter Vermittlung
die wissenschaftlichen Anregungen Alcuins in sich aufgenommen.
Remigius muss daher, wenn Einer, als mittelbarer Schüler Alcuins
gelten, und er selbst trat nach 877 an die Spitze einer Schule, deren
spätere grosse Bedeutung uns nöthigt, ihres Stifters zu gedenken.
Es war eine Schule zu Paris, und zwar eine Schule, die nur als
solche, nicht in Verbindung mit einem Kloster eingerichtet wurde.
Aus ihr entwickelte sich später die Pariser Universität. Aber
vor seiner Pariser Lehrthätigkeit machte sich Remigius um das
Schulwesen einer Stadt verdient, welche uns im nächsten Kapitel
von Wichtigkeit sein wird, um das Schulwesen von Rheims, wohin

') Vergl. einen Brief von P. Marty an U. Suter in Zeitschr. Math. Phys.
XXIX. Histor -literar. Abthlg. S) Werner, Alcuin S. 110.

Klostergelehrsamkeit bis zum Ausgange des X. Jahrhunderts. 793

er durch den Erzbischof Fulco berufen worden war. Remigius
starb 908.

Führten diese Männer die Lehren und das Lehrverfahren der
Schule von St. Martin bei Tours in östh'cher und nördlicher Rich-
tung weiter, freilich ohne dass ihre Bemühungen von glänzendem
Erfolge begleitet gewesen wären, indem vielmehr von der Mitte des
IX. S. an die Zahl derer, welche realen Lehrgegenständen sich zu-
wandten, mehr und mehr wieder abnahm, zuletzt aus einzelnen Per-
sönlichkeiten nur bestehend, so knüpft sich an einen anderen Zög-
ling derselben Mutteranstalt eine südlich gewandte Fortleituug, an
Odo von Cluny^). Ein Edelmann, der am Hofe Wilhelm des
Starken des Herzogs von Aquitanien lebte, hatte lange kinderlos
seine Nachkommenschaft, wenn ihm solche würde, dem Dienste des
heiligen Martin zugelobt, und so war über die Bestimmung des
jimgen Odo schon verfügt, als er um 879 geboren wurde. Im Knaben-
alter in das Kloster St. Martin aufgenommen, genoss er den Unter-
richt des Scholasticus, d. i. des Stiftslehrers Odalric. Nicht ganz im
Einklang mit seinen Lehrern, welche ihn länger bei weltlichen Lehr-
gegenständen festhalten wollten als es ihm behagte, verliess er Tours
und begab sich zu Remigius nach Paris. Nach einiger Zeit kehrte
er nach Tours zurück, wo aber das zügellose Leben, welches unter
den dortigen Mönchen eingerissen war, ihn mit Widerwillen erfüllte.
Nun zog er sich in die Cisterzienser- Abtei Baume zurück, welche
mit verschiedenen anderen Klöstern im engsten Zusammenhange
stand, und wurde 927, als der gemeinsame Abt Berno dieser Klöster
starb, auf die letzt willige Verordnung des Verstorbenen hin zum
Abte von Cluny gewählt. Mit eiserner Strenge führte er dort die
Herrschaft, so dass sein Kloster und die damit verbundene Schule
bald allgemein als Musteranstalten an Zucht und Ordnung galten, und
er selbst bald da bald dorthin gerufen wurde, um gleiche Reformen
einzuführen (wie z. B. nach dem am Anfange des X. S. in der Auvergne
gegründeten Kloster Aurillac, dessen dritter Abt er war, wie 937
nach dem Mutterkloster des Ordens auf Monte Casino), oder um
mannirfache Streitigkeiten zu schlichten. Odo starb 942 oder 943.
Ein wahrscheinlich dem XII. S. angehörender unter dem Namen des
Anonymus von Melk bekannter Schriftsteller, welcher in 117 Kapiteln
in überaus trockenem aber dadurch nur um so vertrauenswertherem
Tone einzelne Mönche nennt und deren Werke angibt, hat im
75. Kapitel zwei Schriften Odos gerühmt^): ein Werk über die Be-

^) Math. Beitr. Kulturl. S. 292 — 302. "Werner, Alcuin S. 112 — 114.
^) Dialogum satis utilem de 3Iusica arte coviposuit. Scripsit praeterca Jibrum

794 38. Kapitel.

scliäftiguugeii von liöclister Trefflichkeit und ein ziemlich branchbares
Zwiegespräch über die Kunst der Musik. Als Datum jener Schrift
gilt 926, also die Zeit, welche der Erwähluug Odos zum Abte vor-
anging, was die Wahrscheinlichkeit der Richtigkeit der Angabe nur
erhöht. Viele mittelalterliche Abhandlungen über Musik haben hand-
schriftlich sich erhalten, nicht grade wenige davon sind auch ge-
druckt, und darunter sind mehrere, welche Odo von Cluny als Ver-
fasser beigelegt werden. Eine solche Abhandlung, in verschiedenen
Abschriften erhalten, entspricht der von dem Anonymus von Melk
gegebenen Beschreibung insofern, als sie allein von allen in Gesprächs-
form abgefasst und wirklich „ziemlich brauchbar" ist. Eine Hand-
schrift dieser musikalischen Abhandlung stammt aus dem XIII. S.
und gehört der Wiener Bibliothek an.

In demselben Bande, in welchem das Gespräch über Musik zum
Abdrucke kam^), ist auch eine andere Schrift nach einem Wiener
Codex des XIII. S. veröffentlicht, ob nach demselben, welcher jenes
Gespräch enthält, ist nicht angegeben. Diese andere Schrift führt
den Titel: „Regeln des Abacus von dem Herrn Oddo" und würde,
wenn sie wirklich mit Recht Odo von Cluny beigelegt werden darf^),
von ungemeiner geschichtlicher Bedeutung sein. Leider ist eine Ge-
wissheit dafür so wenig vorhanden, dass die meisten Geschichts-
forscher, welche in neuerer Zeit sich mit diesen Fragen beschäftigt
haben, auch diejenigen, welche unseren Ansichten bezüglich der Ent-
wicklung der Rechenkunst am nächsten stehen, weit mehr der Auf-
fassung sich zuneigen, die Regeln des Abacus seien nicht so gar
lange vor Entstehung ihrer Niederschrift aus dem XIII. S. von irgend
einem anderen späteren Oddo oder Odo nicht vor dem XL oder XII. S.
zusammengestellt, eine Meinung, für welche man allenfalls auch auf
den Umstand sich beziehen könnte, dass Odo von Cluny, wie wir
oben sahen, bei seinem eigenen Bildun£Cs<Tan<?e dem Verweilen bei
ähnlichen Dingen sich widerwillig zeigte. Ohne diese Gründe als
zwingend anzuerkennen, da man gar oft als Schüler andere Ansichten
von dem zu Erlernenden oder zu Vernachlässigenden hat als später
als Lehrer, können wir doch ebenso wenig eine unbedingte Wider-

jtraestantissimum monacMsque utiUssimum, librnm vidclicct Occuputiomnn. Als
Randzahl steht daneben 926.

^) Scriptores ecdesiastici de musica herausgegeben durch Abt Martin
Gerb er t von St. Blasien. St. ßlasien, 1784. I, 252—264 der Dialog über Musik,
ibid. 296 — 302 liegulae Domini üddonis suptr abacum. -) Th. H. Martin,
Origine de notre Systeme de numeration ecrite in der licvuc arcMölogique von
1856, S. 33 des Sonderabzuges hat wohl zuerst diese Autorschaft vertreten, eine
Ansicht, der wir uns iu den Math, ßeitr. Kulturl. anschlössen.

Klostergelehrsamkeit bis zum Ausgange des X. Jahrhunderts. 795

legimg führen. Wir wollen daher der Unparteilichkeit das Opfer
bringen, diese Regeln erst im 40. Kapitel unter dem XII. S. näher
zu beschreiben, wo ihnen immer noch mnnche Schlüsse entnommen
werden können.

Wir wenden uns gegenwärtig zu einer Schrift, welche gesicher-
terer Entstehung eine Anzahl von Jahren vor 985 geschrieben ist
und von Abbo von Fleury herrührt^). Abbo ist in Orleans ge-
boren, hat an den uns bekannten Schulen von Paris und Rheims,
zuletzt in seiner Vaterstadt Orleans studirt, und trat darauf in das
Benedictinerkloster Fleury ein. Nachdem er ihm eine Anzahl von
Jahren angehört hatte, trat er eine zweijährige Reise nach England
an, und von dort zurückgekehrt wurde er Abt seines Klosiers. Als
solcher scheint er zu Gewaltmassregeln, die sein leicht aufbrausender
Zorn ihm eingab, geneigt gewesen zu sein, und er starb wirklieh
eines gewaltsamen Todes auf einer Reise, wie die Einen sagen auf
Anstiften eines seiner Mönche ermordet, wie die Anderen sagen in
einem auf dem Wege entstandenen Raufhandel. Sein Todesjahr war
1003 oder 1004. Auch die Angaben über die Reise nach England
wechseln von den Jahren 960 — 962 bis zu den Jahren 985 — 987.
In England hat Abbo grammatische Untersuchungen angestellt, welche
er als Quaestiones grammaticales niederschrieb. Unter die gramma-
tischen Untersuchungen geriethen auch Betrachtungen über die ge-
heimnissvolle Bedeutung der einzelnen Zahlen, welche aber Abbo
ziemlich kurz abthut, weil er, wie er sagt, ausführlich darüber in
einem Büchlein gehandelt habe, welches «r einst durch die Bitten
seiner Klosterbrüder bezwungen zu dem Rechenbuche des Victorius
über Zahl, Maass und Gewicht herausgegeben habe^). Da nun ein
Commentar zu dem Rechenknechte des Victorius (S. 495) sich auf-
gefunden hat, welcher zwar namenlos ist, aber in den ersten Ein-
leitungszeilen genau dieselbe Redewendung von den nöthigenden
Bitten der Klosterbrüder, dieselbe Inhaltsangabe über Zahl, Maass
und Gewichte aufweist, welcher Zahlenmystik bis zum Ueberdrusse
breitschlägt, welcher handschriftlich nicht später als im XI. S. ent-
standen sein kann, welcher aber auch nicht früher als in karolin-
gischer Zeit verfasst sein kann, weil darin von dem Grammatiker
Virgil von Toulouse und von der erst unter Pipin eingeführten Ein-
theilung des Solidus in 12 Denare die Rede ist, so hat man aus

^) Christ, Ueber das Argumentum calculandi des Victorius und dessen
Commentar. (Sitzungsberichte der \. bair. Akademie der Wissenschaften zu
München, 1863, I, 100—152.) Ueber Abbos Persönlichkeit S. 118. -) In libel-
lulo quem prceihus fratrum coaetus de numero mensura et pondere olim edidi
super calculum Victorü.

796 38, Kapitel.

allen diesen scharfsinnig entdeckten Merkmalen die Folgerung ge-
zogen, dass man es nur mit dem Commeutare des Abbo von Fleury
zu thun haben könne, von welchem dieser spätestens 987 sagte, dass
er ihn einst, olim, also gewiss ziemlich viele Jahre früher verfasst
habe. Man konnte mit einigen Erwartungen an diesen Commentar
eines Mannes herantreten, welchen ein Zeitgenosse, Fulbert von
Chartres, den hochberühmten Lehrer des ganzen Frankenlandes
genannt hat'), und welcher in den einleitenden Worten sich seiner
Eigenschaft als Rechenlehrer gewissermassen rühmt. Seit seiner
frühesten Jugend beklage er, dass die Kenutniss der freien Künste
schwinde und kaum noch auf Wenige sich beschränke, die habsüchtig
ihrem Wissen einen Preis stellen. Daraus, nicht aus Stolz noch aus
Neid möge man es ableiten, wenn er auf die Gemüther der weniger
Unterrichteten durch Uechenunterricht wirke"). Abbo nemit an ver-
schiedenen Stellen die älteren Schriftsteller, deren Werke ihm ge-
dient haben. Martianus Capella und Boethius werden des Oefteren
angeführt, neben ihnen Chalkidius und Macrobius. Er war mit
Schriften des Priscian bekannt, in welchen von den Zahlen die Rede
ist, mit Isidorus und Beda, wohl auch noch mit anderen Quellen, die
uns nicht mehr erhalten sind. Leider sind nur einzelne Stellen des
umfassenden Commentars abgedruckt, und in diesen ist die Ausbeute
keineswegs den Erwartungen entsprechend. Man kann allenfalls
einen Abschnitt über Zahleubezeichumig an und mit den Fingern
erwähnen, in Avelchem der sprachliche Ausdruck reiner sei als bei
Beda, von welchem überdies einzelne Abweichungen stattfinden; es
scheine, dass Abbo hier eine ältere Quelle ausschrieb^). Ob über
das Rechnen mit ganzen Zahlen Anweisungen bei Abbo gegeben sind,
lässt sich aus den veröffentlichten Musterstückeu nicht nachweisen,
die Vermuthung spricht allerdings dafür. Aber besonders Auffallendes
muss dort in dieser Beziehung nicht zu finden gewesen sein, sonst
hätte der Auszug dessen muthmasslich gedacht. Nur über eines
sind wir unterrichtet, dass das Hersagen des Einmaleins in
Wörtern der Vulgärsprache untermengt mit deutschen Klängen —
z. B. cean, wohl für zehn — noch immer in den Schulen stattfand^),
eine an sich ganz wissenswürdige Bemerkung, welche aber für die
Frage, die wir schon wiederholt gestellt haben, ohne sie jemals
sicher beantworten zu können, für die Frage, wie die Klosterschule
jener Zeit mit ganzen Zahlen rechnen lehrte, kaum einen Beitrag zu

*) Sumtnae phüosophiae Äbbas et omni divina et saccukiri auctoritate tolius
Franciae magister famosissimus. ■) Christ 1. c. S. 121. ') Ebenda S. 125^126.
^) Ebenda S. 108—109.

Gerbert. 797

einer Beantwortung liefert. Das Einmaleins war stets und ist zu
einem bequemen Reclinen nothwendig, es ist seit den Griechen immer
dabei benutzt worden, aber es ist nicht das Rechnen selbst. Es gibt
uns nicht einmal Auskunft darüber, wie man Zahlen vervielfachte,
deren eine mindestens grösser als 10 ist, geschweige denn dass es
von den anderen Rechnungsverfahren uns unterrichte.

Ueber dieses Rechnen mit ganzen Zahlen erhalten wir erst Aus-
kunft, wenn wir zu einem Schriftsteller uns wenden, der viel be-
sprochen einen geistigen Mittelpunkt seiner Zeit gebildet hat, und
der unsere ganze Aufmerksamkeit nunmehr in Anspruch nehmen
soll: Gerbert.

39. Kapitel.
Gerbert.

• So interessant das Leben Gerberts ist^), werden wir uns mit
einem nur sehr kurzen Ueberblicke über dasselbe begnügen müssen,
und würden noch kürzer uns fassen, wenn seine Leistungen nicht
zum Theil nur dann verständlich wären, wenn mau die Kenntniss der
Verhältnisse, unter welchen sie entstanden sind, besitzt. Gerbert
muss in der ersten Hälfte des X. S. wahrscheinlich von armen Eltern
in der Auvergne unweit des Klosters Aurillac geboren sein. Dort
wuchs er dann auf, erzogen durch den Scholasticus Raimund, der
selbst ein Schüler Odo's von Cluny war, und durch den nachmaligen
Abt Gerald. Etwa 967 verliess Gerbert das Kloster mit Einwilligung
seiner Obern, um den Grafen Borel von Barcelona, den eine politische
Reise an dem Kloster vorbeigeführt hatte, in seine Heimath zu be-
gleiten, und dort in der spanischen Mark gewann er sich in Hatto,
dem Bischof von Vieh, einen väterlichen Freund, bei welchem er
weitere Studien machte, sich auch in der Mathematik vielfach mit
Nutzen beschäftigte'^).

Das ist Alles, was wir über den Unterrichtsgang Gerberts aus
dem Munde seines Schülers Richerus wissen, der, so wenig zuver-
lässig er als Geschichtsschreiber im Allgemeinen sich erweist, doch
in dieser Beziehung unser Vertrauen verdient, da er seineu Lehrer

1) Math. Beitr. Kulturl. Kapitel XXI und XXK, S. 303—329. Olleris,
Oeuvres de Gerbert, Clermont-Fd. et Paris 1867. XVII— CCV. Karl Werner,
Gerbert von Aurillac, die Kirche und Wissenschaft seiner Zeit. Wien, 1878.
*) Richerus, Histor. III, 43 {Monument. German. Script. III, 617) . . . Hattoni
episcopo instruendiim cominisit. Apud quem ctiam in mathesi plarimum et effica-
citer siuduit.

798 39. Kapitel.

aufs Höchste verehrend lieber zu viel als zu wenig gesagt haben
würde, wenn er mehr gewusst hätte. Er hätte es uns z. B. nicht
verschwiegen, wenn Gerbert sich bei Hatto Kenntnisse in der
arabischen Sprache erworben hätte, wenn er die Gefahren nicht
scheuend, welche den Christen in den arabischen Städten bedrohten
und gerade damals unter den glaubenseifrigsten Emiren unvermeid-
liche und unübersteigliche Hindernisse bildeten (S. 747), unter die
Gelehrten jenes Volkes sich gemischt hätte, um deren Wissen sich
anzueignen.

So zerfällt von selbst die Notiz, welche einen Zeitgenossen
Gerberts, den Chronisten Adhemar von Chabanois, zum Verfasser
hat. Dieser erzählt nämlich: „Gerbert war aus Aquitanien von niederer
Geburt. Er war seit seiner Kindheit Mitglied des Klosters des heiligen
Geraldus von Aurillac. Er durchwanderte der Weisheit wegen erst
Frankreich, dann Cordova. Er wurde dem König Hugo bekannt und
mit dem Bisthume Bheims beschenkt. Dann lernte Kaiser Otto ihn
kennen, worauf er das Bisthum Rheims verliess und Erzbischof Von
Uavenna wurde. Als später Papst Gregor, der Bruder des Kaisers
starb, wurde derselbe Gerbert scheinbar seiner Weisheit wegen vom
Kaiser zum römischen Papste erhöht. Da veränderte er seinen Namen
und hiess seit der Zeit Sylvester"^). In dieser fast mehr als kurzen
Lebensgesöhichte ist Wahres und Falsches in buntem Wechsel ge-
mengt, und falsch ist offenbar die Durchwanderung von (Jordova,
welche zu der Frankreichs in Gegensatz gestellt ist. Man hat eine
Erklärung dazu darin gefunden^), dass für Adhemar, der, ähnlich wie
es auch bei Richer der Fall ist, in Frankreich erträglich, ausserhalb
Frankreich ganz und gar nicht Bescheid wusste, Cordova das ge-
sammte Land jenseits der Pyrenäen bezeichnete, die spanische Mark
mit eingeschlossen, in welcher Gerbert thatsächlich seinen Aufenthalt
nahm, so dass also ein eigentlicher Widerspruch gegen das von Richer
uns wahrheitsgetreu Bezeugte nicht vorhanden sei.

Wohl liegt dagegen ein ausdrücklicher Widerspruch gegen die
Beschränkung des Aufenthaltes Gerberts auf die spanische Mark in
den Worten eines anderen Chronisten: Gerbert habe mit Bestimmt-
heit den Abacus den Saracenen geraubt und die Regeln gegeben,
welche von den schwitzenden Abacisten kaum verstanden werden'^).
Allein dieser Berichterstatter ist aus mancherlei Gründen zu verwerfen.
Wilhelm von Malmesbury lebte als englischer Chronist aus der Mitte

') Monument. Gertnan. VI, 130. ^) Büdinger, Ueber Gerberts wiasen-

scliaftliche und ijolitische Stellung. Marburg, 1851, S. 8. ^) Ahacum certc a

tSaracenis rapicns regulas dedü quae a sudantibus abacistis vix intelUguntur.

Gerbert. 799

des XII. S. nach Zeit mid Ort in einer Umgebung, in welcher durch
die üebersetzungen arabischer Schriftsteller z. B. des Rechenbuchs
des Muhammed ihn Müsä Alchwarizmi die Vermuthung nahe gelegt
wurde, ' ein irgendwie vereinfachtes Rechnen könne nirgend anders
als bei den Arabern entstanden sein. Ferner ist seine Glaubwürdig-
keit, so weit es um Gerbert sich handelt, eine so geringe als nur
irgend möglich. Er verbrämt die Geschichte von dem Raube des
Abacus mit den tollsten Zaubermärchen, die deshalb nicht wahrer
sind, weil sie später da und dort Glauben fanden^). Er verwechselt
mitunter sogar Gerbert mit Papst Johann XV. Kurz er ist alles eher
als ein zuverlässiger Zeuge, wo er allein und gar in Widerspruch zu
den zahlreichsten sonstigen Erwägungen aussagt.

Um 970 begleitete Gerbert den Bischof Hatto und den Grafen
Borel nach Rom, wo er durch den Papst Johann XIII. dem deutschen
Könige Otto I. vorgestellt wurde, und auf dessen Wunsch ihu als
Lehrer irgendwo anzustellen erwiderte, er wisse zu diesem Zwecke in
der Mathematik zwar genug, aber nicht in der Dialektik. Um darin
sich weiter auszubilden ging nun Gerbert mit Ottos Einwilligung
nach Rheims, wo er vermuthlich zehn Jahre, von 972 bis 982, ver-
weilte und eine anfangs gemischte Stellung einnahm, welche bald
vollständig in die eines Stiftlehrers überging. Zu den Männern,
welche ihn damals in der Dialektik, vielleicht auch noch in der
Grammatik unterrichteten, welchen er aber dafür schon mathematischen
Unterricht ertheilte, gehörte nach aller Wahrscheinlichkeit Constau-
tinus, der von einem späteren Aufenthaltsorte den Namen Constan-
tiuus von Fleury erhalten hat.

Wir sind wieder durch Richerus in die Lage versetzt, den Lehr-
plan genau schildern zu können, welchen Gerbert als Scholasticus
in Rheims einzuhalten pflegte^). Zuerst wurden die Schüler an
philosophische Auffassung gewöhnt. Die Hilfsmittel waren griechische
Werke in lateinischer Uebersetzung, zumeist in der des Consul
Manhus, d. h. des Boethius. Darauf folgte die Rhetorik verbunden
mit dem Lesen lateinischer Dichter, und nach ihr eigentlich dialek-
tische Uebungen, die unter der Leitung eines besonders dazu an-
gestellten Lehrers stattfanden. Von dieser Abtheilung der Unterrichts-
gegenstände unterscheidet Richerus alsdann ganz besonders die
mathematischen Fächer, auf welche Gerbert viele Mühe verwandte.
Er begann mit der Arithmetik als dem ersten Theile, liess darauf
die Lehre vom Monochorde und die ganze Musik folgen, ein für

') Doellinger, Papstfabeln des Mittelalters. München 18G3. '^) Riche-
rus, Histor. III, 46 — 54. Das letzte dieser Kapitel handelt vom Abacus {Monu-
ment. Gennan. Script. III, 618)

800 39. Kapitel.

Frankreich fast ganz neues Kapitel der Wissenscliaften, und lelirte
alsdann die Astronomie, deren schwer verständlichen Inhalt er durch
mancherlei Vorrichtungen zu erläutern wusste. Richerus nennt die
wichtigsten astronomischen Apparate, deren Gerbert sich bediente.
Sie weisen ebenso wie das beim Unterrichte in der Musik gebrauchte
Monochord ausschliesslich auf griechisch-römische Quellen hin^).
Die dem mathematischen Unterricht von Gerbert zu Grunde gelegte
Bücher nennt Richei-us nicht.

Sollen 'wir daraus den Schluss ziehen, es seien überhaupt Bücher
dabei nicht benutzt worden? Es will fast so scheinen. Wenigstens
wird sonst einigermassen unbegreiflich, wie in späterer Zeit jener
Constantinus, den wir eben genannt haben, an Gerbert die Bitte um
schriftliche Mittheilung des früher Gelehrten richten konnte. Damit
ist freilich keineswegs ausgeschlossen, dass Gerbert selbst, als Lehrer,
sich an schon vorhandene Schriften anlehnte, Schriften jedenfalls
griechisch-römischen Ursprunges gleich den Kenntnissen, welche ihren
Inhalt bildeten. Wir müssen annehmen, es se% die Arithmetik des
Boethius darunter gewesen, nicht aber die übrigen SchriÄen des
gleichen Verfassers, sondern nur Auszüge und Bearbeitungen derselben
von uns freilich nicht näher bekannten Persönlichkeiten. Diese Meinung
wird wesentlich unterstützt in ihrem negativen Theile durch den Um-
stand, dass Gerbert, wie wir noch sehen werden, erst viel später mit
der Astronomie und vielleicht mit der Geometrie des Boethius be-
kannt wurde, in ihrem positiven Theile durch das letzte Kapitel von
Richers Erzählung, in welchem von der Geometrie und von dem
Rechenunterrichte die Rede ist.

„Bei der Geometrie wurde nicht geringere Mühe auf den Unter-
richt verwandt. Zur Einleitung in dieselbe Hess Gerbert durch einen
Schildmacher einen Abacus, d. h. eine durch ihre Abmessungen ge-
eignete Tafel anfertigen. Die längere Seite war in 21 Theile ab-
getheilt, und darauf ordnete er Zeichen, 9 an der Zahl, die jede Zahl
darstellen konnten. Ihnen ähnlich Hess er 1000 Charaktere von Hörn
bilden, welche abwechselnd auf den 27 Abtheilungen des Abacus die
Multiplikation oder Division irgend welcher Zahlen darstellen sollten,
indem mit deren Hilfe die Division oder Multiplikation so compen-
diös von statten ging, dass sie bei der grossen Menge von Beispielen
viel leichter verstanden als durch Worte gezeigt werden konnte. Wer
die Kenntniss davon sich vollständig erwerben will, der lese das Buch,
welches Gerbert an C den Grammatiker schrieb. Dort findet er es
zur Genüge und darüber hinaus beschrieben."

») liüdinger 1. c, S. 38—4-2.

Gerbert. 801

Fragen wir uns sogleich, bevor wir weitergelieu, ob diese Stelle
in Einklang zu bringen wäre mit der Aunalime, Wilhelm von Malmes-
bury hätte mit seiner allein dastehendenBehauptung vondem arabischen
Ursprünge des Abacus doch Recht. Wir müssen mit entschiedenstem
Nein antworten. Das Rechnen als Theil der Geometrie ist nicht
arabisch. Kolumnen sind, wenigstens in der zweiten Hälfte des X. S.
soweit wir irgend wissen, nicht arabisch. Der Gebrauch von nur
neunerlei Zeichen, also ohne die Null, ist nicht arabisch. Das Alles
stimmt aber vollkommen zur Geometrie des Boethius, wenn dieselbe,
wie wir schon verschiedentlich zu beweisen gesucht haben, echt ist
und zwar nicht allgemein aber doch in engsten Gelehrtenkreisen
innerhalb der Klöster nachwirkte.

Wir fügen hinzu, dass diese Nachwirkung grade in der Zeit,
um welche es sich gegenwärtig handelt, auch an einem anderen Orte
nachweislich ist, wo Gerbert nicht lebte, wohin seine Lehre, die
Lehre eines damals noch unbekannten einflusslosen Mönches, so rasch
unmöglich gedrungen sein kann. Ein Mönch mit Namen Walther ^)
ist gerade damals in Speier aufgewachsen, von wo er den Beinamen
Walther von Speier erhielt. Er schrieb dann dort als Subdiacouus,
und zwar im Jahre 983, ein umfangreiches Gedicht über das Leben
des heiligen Christoph^). Im ersten Gesänge schildert er den Studien-
Q-ang, welchen er selbst durchgemacht hatte. Die Einrichtung des-
selben geht auf Bischof Baldrich zurück, der 970 — 987 dem Bisthume
vorstand und, von St. Galleu dahiugekommen, die Unterrichts weise
seines früheren Aufenthaltes mitbrachte. Was also Walther von
Speier 983 schildert, ist nichts anderes als die Art und Weise, in
welcher vor 970, mithin zu einer Zeit, während welcher Gerbert
noch in der spanischen Mark sich aufhielt, in St. Gallen
unterrichtet wurde. Von dort gilt also Folgendes:

Et postquam planas Umabant rite figuras
Intervallorum mensuris et spatiormn
Ordine compositis, cubicas effingere formas
Nituntur, mediumque vident incurrere triplum.
Collatum primi distantia colUgat una,
Alterius mwieros proportio continet aequa,
Hespuit haec ambo mediatrix clausa sub imo.
Ordinibus MatJiesis gaudcbat rite paratis,
Haec missura tibi solatia, clare Bol'ti.

Inde Äbaci metas defert Geometrica miras,
Cumque cliar acter ibus intens certamina lusus

^) Wattenbach, Deutschlands Geschichtsquellen im Mittelalter (4. Aus-
gabe 1877) I, 263. ^) Abgedruckt in Beruh. Pez, Thesaurus Anecäof. II, .*?,
pag. 29—122. Die für uns wichtige Stelle pag. 42.

Cantok, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 51

802 39. Kapitel.

Ocyus oppositum reäigens corpus niimerorum
In digitos projyere disjierserat articulosque.

Inde superficies ponens ex ordine plures .

Trigona tetrugonis coniunxit pentagonisquc,
Strenua Pyramidum speciem ductura suh altuin.
Tum laterum viiras erexit ut ipsa figuras,
Arripiens radium f^emetretas fecit agrorum,
Quos quodam refluus confudit tempore Nilus!
Tradidit et varias in secto pulvere metas.

Die ganze Stelle bezieht sich, wie wir um jedes Missverständniss
auszuschliessen von vornherein bemerken, auf das Zahlenkampf ge-
nannte Spiel, welches Boethius im Gefängnisse zu seinem Tröste er-
dacht habe (S. 539). Aber wichtiger als der wesentliche Inhalt der
Stelle sind die für den Verfasser nebensächlichen für uns das Haupt-
augenmerk bildenden Anspielungen. Wir erlauben uns, die in ent-
setzlichem Latein verfasste dem schwülstigen »Stile des Martianus
Capella augenscheinlich nachgebildete Schilderung zunächst zu über-
setzen: „Nachdem sie die ebenen Figuren regelrecht genau auszuführen
verstanden mit nach der Ordnung zusammengesetzten Maassen der
Zwischenräume und der Strecken, bestreben sie sich cubische Ge-
staltungen zu bilden, und sie sehen, dass dieselben auf ein dreifaches
Mittel hinauslaufen. Eine und dieselbe Entfernung verbindet das,
was durch das erste Mittel zusammengebracht ist; gleiches Verhältniss
hält die Zahlen des zweiten zusammen; diese beiden Dinge verwirft
die Mittlerin, welche unter dem letzten verschlossen ist. An regel-
recht bereiteten Ordnungen erfreute sich die Mathematik, Dir, be-
rühmter Boethius, diesen Trost zuschickend. Hierauf bringt die Geo-
metrie die wundersamen Linien des Abacus herbei und mit den
Zeichen die Kämpfe des Spieles beginnend hatte sie schnell Ordnung
hineinbringend die gegenübergestellten Körper der Zahlen in Finger-
und in Gelenkzahlen zerstreut. Hierauf stellte sie mehrere Oberflächen
ordnungsmässig hin, verband Dreiecke mit Vierecken und Fünfecken
eifrig die Gestalt der Pyramide zur Spitze zuzuführen. Dann errichtete
sie Figuren der Seiten wundersam wie sie selbst, machte den Maass-
stab ergreifend die regellosen Grenzen der Felder, welche zu einer
Zeit zurückströmend der Nil vermengt hat, und sie überlieferte die
verschiedenen Linien im Staube gezeichnet."

Wir sehen hier die Kenntniss der drei verschiedenen Mittel-
grössen, des arithmetischen, des geometrischen und des harmonischen
Mittels, letzteres allerdings nur negativ geschildert als weder gleiche
Entfernuna; noch aieiches Verhältniss zu den äusseren Gliedern auf-
weisend. Wir hören die seit Herodot unendlich oft Aviederholte Er-

Gerbert. 803

Zählung vou der Verwiscliung der Ackergrenzen durch den aus den
Ufern getretenen Nil und von der so vermittelten Erfindung der
Geometrie. Wir erkennen in der letzten Zeile einen Halbvers des
römischen Satyrendichters ^), der sich in dieser Umgebung recht ver-
lassen vorkommen muss. Wir vernehmen, dass die Geometrie den
Abacus herbeibringt und die Zahlen in Finger- und Gelenkzahleu
zerstreut. Das sind aber gerade dieselben Begriffs objekte, welche
Gerbert vereinigt benutzt hat, und sie weisen mit Nothwendigkeit
darauf hin, dass damals an verschiedenen Orten die Erinnerung an
ein Werk vorhanden gewesen sein muss, welches in seiner Anordnung
an dasjenige mahnt, welches für uns die Geometrie des Boethius ist,
und dass die Quelle, aus welcher diese Erinnerung geschöpft war,
eine römische gewesen sein muss. Dabei sehen wir sogar von der
Anrufung des Boethius selbst in unserer Stelle ab, wiewohl mau in
ihr eine gewisse Gedankenbeziehung zu einem Ausspruche der Chronik
von Verdun^) erkennen möchte. In dieser Chronik ist nämlich Gerbert
ein zweiter Boethius genannt, wodurch, wenn nicht die Quelle alles
seines Wissens doch jedenfalls so viel gesichert ist, dass die damalige
Zeit gewohnt war, Boethius als den allgemeinen Lehrer insbesondere
für mathematische Gegenstände zu betrachten.

Damit sind wir wieder zu Gerbert zurückgelangt, dessen Lehr-
thätigkeit in Rheims, wie wir sagten, bis etwa 982 gedauert hat.
Etwa ein Jahr vor dem Ende dieser Zeit, um Weihnachten 980, war
Gerbert als Begleiter des Bischofs Adalbero von Rheims in Ravenna
am Hofe Otto H., den er gleich seinem Vater für sich einzunehmen
wusste. Er zeichnete sich in einer öffentlichen Disputation über
philosophisch-mathematische Gegenstände, welche er gegen einen der
ersten Dialektiker der Zeit bestand'^), und aus welcher er wenn nicht
als Sieger doch unbesiegt hervorging, indem der Kaiser am späten
Abend wegen Ermüdung der Zuhörer den noch andauernden Rede-
kampf unterbrach, rühmlichst aus, und muthmasslich in Folge dieser
zum Kaiser angeknüpften Beziehungen wurde Gerbert als Abt an das
Kloster Bobbio versetzt, jenes reiche Kloster an der Trebbia, wo
der irische Glaubensprediger Columbau gestorben ist, wo handschrift-
liche Schätze aller Art den wissensdurstigen Geist empfingen, wo
insbesondere damals der Codex Arcerianus vorhanden war, die Samm-
lung römischer Feldmesser, von welcher früher (S. 513) die Rede war.
Gerbert hat, das werden wir noch nachweisen, diese Sammlung in
Bobbio studirt und in Verbindung mit anderen römischen Schrift-

') Persius Satyr. I, 132: Nee qui abaco numeros et secto in pulvere metas
seit. 2) Monument. German. VI, 8. ^ Werner, Gerbert S. 46— 55.

51*

304 39- Kapitel.

steilem, deren Persönliclikeit sich niclit genau feststellen lässt, zur
Grundlage einer eigenen Geometrie gemaclit, welche während des
Aufenthaltes in Bohbio entstand.

Dieser Aufenthalt währte allerdings nicht lange. Otto II. starb
am 7. December 983. Er allein war Gerberts Freund gewesen, während
Papst Johann der XIV. gradezu als dessen persönUcher Gegner auf-
gefasst werden muss. An diesem letzteren hatte mithin Gerbert
nichts weniger als eine Stütze in den Kämpfen, welche er, der auf-
a;edrungene Fremdling, als Abt von Bobbio zu bestehen hatte. Wider-
spenstigkeit der untergebenen Mönche, Anfeindungen umwohnender
Grossen, welche Güter des Klosters an sich gerissen hatten, ver-
einigten sich, Gerbert den dortigen Aufenthalt zu verleiden, und kurz
nach dem Tode Otto II. war er wieder in Rheims, in der Umgebung
seines dort lebenden Freundes, des Bischofs Adalbero. Seiue äusseren
Geschicke, welche mit der politischen Geschichte der damaligen Zeit
in engstem Zusammenhange stehen und namentlich durch das freund-
schaftliche Verhältniss, welches Gerbert an die noch lebenden weib-
lichen Persönlichkeiten der deutschen Kaiserfamilie, an die Mutter
Theophania und an die Grossmutter Adelheid des jungen Otto III.
fesselte, beeinflusst worden sind, sind ungemein wechselnd. Wahr-
scheinlich 985 ist Gerbert vorübergehend in Mantua gewesen, und
von dort schrieb er an Adalbero über wissenschaftliche Funde, welche
ihm geglückt seien ^), er möge sich nur Hoffnung machen auf acht
Bücher des Boethius über Astronomie und ganz Ausgezeichnetes über
Figuren der Geometrie und nicht minder Bewundernswerthes, was er
allenfalls noch finden werde. Das ist die Stelle, auf welche man
sich zu beziehen pflegt, um das Vorhandensein der Geometrie des
Boethius in jener Zeit zu begründen (S. 536), um zugleich zu be-
gründen, dass Gerbert dieselbe in Bobbio noch nicht zu seiner Be-
nutzung gehabt haben kann, und noch weniger in der früheren Zeit
seines ersten Rheimser Aufenthaltes.

Wahrscheinlich 990 im Lager Hugo Capets, welcher damals
Laon belagerte, schrieb Gerbert einen anderen dem Mathematiker
nicht uninteressanten Brief an Remigius von Trier ^). Es ist aller-

^) Oeuvres de Gerbert (ed. Olleris) Epistola 76, pag. 44: et quos post re-
perimas speretis: id est VIII voluniina Boetii de astrologia pracclarissima quoque
figurarthm geometriae ahaque non minus admiranda si reperimus. '*■') Ebenda

Epistola 124, pag. G8. Wir geben die üebersetzuug aus Math. Beitr. Kulturl.
S. 318 nach Friedleins Verbesserungen des lateinischen Textes. Friedleins Ueber-
setzung dagegen [Zeitschr. Math. Phys. X, 248, Anmerkung**] halten wir am
Anfange für ganz falsch, während der Schluss nicht ncnnenswerth von dem
unsrigen abweicht.

Gerbert. 805

dings nur eine im Texte recht sehr verderbte Antwort auf zwei ver-
loren gegangene Anfragen und darum nicht mit aller Bestimmtheit
herzustellen. Die wahrscheinlichste üebersetzung lautet: „Das in
Bezug auf die erste Zahl hast Du richtig verstanden, dass sie sich
selbst theilt, weil einmal eins eins ist. Aber deshalb ist nicht jede
sich selbst gleiche Zahl als ihr Theiler zu betrachten; z. B. einmal
vier ist vier, aber deshalb ist nicht vier der Theiler von vier, sondern
vielmehr zwei, denn zwei mal zwei sind vier. Ferner das Zeichen 1,
welches unter der Kopfzahl X steht, bedeutet X Einheiten, welche
in sechs und vier zerlegt das anderthalbmalige Verhältniss gewähren.
Dasselbe Hesse sich auch an zwei und drei sehen, deren Unterschied
die Einheit ist."

Wieder um einige Jahre später fällt, wahrscheinlich in den Spät-
sommer 994, ein Brief Otto III. an Gerbert ^), der inzwischen 991
zum Metropolitan von Rheims gewählt worden war, wozu ihn schon
988 der sterbende Adalbero bezeichnet hatte, der aber seiner unter
Widerwärtigkeiten der verschiedensten Art errungenen Stellung nicht
froh werden konnte. Gerbert hatte offenbar an Otto geschrieben
und ihm Verse zugeschickt, oder gefragt, ob Otto welche zu machen
verstehe, denn nur so hat der Schluss von Ottos Brief einen Sinn,
worin es ohne jeden Zusammenhang mit Vorhergehendem heisst, dass
er bisher keine Verse gemacht, wenn er aber diese Kunst mit Er-
folg erlernt haben werde, wollte er so viele Verse senden als Frank-
reich Männer zähle. Für uns hat nur eine frühere Stelle des Briefes
Bedeutung, in welcher Otto die dringende Einladung an Gerbert er-
gehen lässt, persönlich zu kommen, in ihm der Griechen lebendigen
Geist zu erwecken und ihm das Buch der Arithmetik zu erklären,
damit er, vollkommen durch die Beispiele desselben belehrt, etwas
von der Feinheit der Altvorderen verstehe. Mit grösster Wahrschein-
lichkeit ist als das Buch der Arithmetik, von welchem hier die Rede
ist, die Arithmetik des Boethius erkannt worden, und die Thatsache,
dass jenes Werk damals am Kaiserhofe vorhanden war, ist durch das
Auffinden einer etwa gleichaltrigen, zwar lückenhaften aber sehr
richtigen Handschrift zur Gewissheit geworden^). Otto war 987 der
Schüler Bernwards, des Bischofs von Hildesheim. Der Domschatz
dieser alten Stadt bewahrt aber unter dem Namen des Über matJic-
maticalis des heiligen Bernward eine durch diesen verbesserte wenn
nicht gar durchweg mit einer älteren Handschrift verglichene Ab-

') Oeuvres de Gerbert (ed. Olleris) Epistola 208, pag. 141 — 142. Vergl.
Werner, Gerbert S. 93. -) Der Über maihematicalis des heiligen Bernward im
Domschatze zu Hildesheim, eine historisch-kritische Untersuchung von H. D üker.
Beilage zum Programm des hildesheimer Gymnasium Josephinum für 1875.

806 39- Kapitel.

Schrift der Aritlimetik des Boethius, an deren damaligem Vorhanden-
sein demnach nicht der leiseste Zweifel übrig bleibt^). Ob Otto be-
reits durch Bernward mit dem Inhalte des Werkes bekannt gemacht ■
Gerbert noch um die nähere Erläuterung zu bitten beabsichtigte, ob
er das Werk nur von Hörensagen oder durch ohne Hilfe unternommene
und deshalb fruchtlos gebliebene eigene Durchsicht kannte, das sind
Fragen untergeordneten Ranges, auf welche eine Antwort schwerlich
gefunden werden möchte. Gerbert nahm die Einladung an und sagte
dabei anknüpfend an Ottos eigene Worte: „Wahrlich etwas Göttliches
liegt darin, dass ein Mann, Grieche von Geburt, Römer an Herrscher-
macht, gleichsam aus erbschaftlichem Rechte nach den Schätzen der
Griechen- und Römerweisheit sucht" ''^).

Davon, dass auch andere Weisheit möglich sei, dass Araber sich
um die Mathematik verdient gemacht hätten, ist hier, wo es so nahe
lag, den künftigen Lehren, welche Gerbert dem jungen Fürsten er-
theilen sollte und wollte, diesen erhöhten Reiz fremdartigen Ursprunges
zum voraus zu verleihen, mit keinem Buchstaben die Rede, so wenig
wie an irgend einer anderen Stelle der von Gerbert herrührenden
Briefe oder Werke. Es ist wahr, Gerbert redet um 984 während
seines zweiten Rheimser Aufenthaltes zu zwei verschiedenen Persön-
lichkeiten^), zu Bonafilius dem Bischöfe von Girona und zu seinem
alten Lehrer dem Abte Gerald von Aurillac, von einer Schrift des
weisen Josephus, des Spaniers Josephus über Multiplikation
und Division der Zahlen, welche Adalbero zu besitzen wünsche, und
welche ersterer oder letzterer zu besorgen gebeten wird, letzterer
mit Berufung darauf, dass der Abt Guarnerius ein Exemplar in
Aurillac zurückgelassen habe. Allein dass dieser „Spanier" ein Araber
gewesen sei, ist aus seinem Namen ebensowenig wie aus sonstigen
Gründen zu schliessen. Die Sprache, in welcher der Betreffende
schrieb, war ohne Zweifel nicht die arabische, sondern die lateinische,
denn was hätte sonst Adalbero mit dem Buche anfangen können,
weshalb hätte Guarnerius es in Aurillac zurücklassen sollen zu einer
Zeit, in welcher gewiss Kenntuiss der arabischen Sprache in den
Klöstern vergeblich gesucht worden wäre? Wenn nicht Alles täuscht,
so ist hier der Angelpunkt, um welchen weitere Forschungen nach
dem weisen Josephus sich werden drehen müssen, nachdem andere

^) Dass in der zweiten Hälfte des X. S. die Aritlimetik des Boethius in
Deutschland genau bekannt war, ist durch eine Stelle des Schauspiels Hadrian
der Hrotsvitha von Gandersheim gesichert, welche bei Günther, Ge-
schichte des mathematischen Unterrichts im deutschen Mittelalter (Berlin 1887)
S. 83 — 85 in der Note abgedruckt ist, *) Oeuvres de Gerbert (ed. Olleris)

Epistola 209, pag. 142. ^) Ebenda Epistola 55, pag. 34 und Epistola 63, pag. 38.

Gerbert. 807

Versuche') sclilecliterdiugs zu keinem Ergebnisse geführt haben.
Man wird Handschriftenkataloge insbesondere von spanischen und
südfranzösischen Bibliotheken nach lateinisch geschriebenen Stücken
mathematischen Inhaltes eines Josephus durchmustern müssen. Ein
solcher Katalog aus dem XVIII. S. giebt z. B. an'), der Codex CXV
der ehemaligen (jetzt in Paris befindlichen) Bibliothek des Erzbischofs
Charles de Montchal von Toulouse enthalte eine vielleicht von Jose-
phus verfasste Geometrie. Diese Spur dürfte weitere Verfolgung
verdienen.

Auf ein arabisches Werk ist wahrscheinlich nur ein aus wenio-en
Zeilen bestehender Brief zu beziehen"), welcher dem gleichen Zeit-
räume wie die beiden ebenerwähnten Briefe angehören dürfte, und
in welchem Gerbert von einem gewissen Lupitus von Barcelona,
um welchen er selbst sich keinerlei Verdienst erworben habe, vermöge
seines hohen Geistes und seiner freundlichen Sitten das von ihm
übersetzte Buch über Sternkunde erbittet und sich zu jeglichem
Gegendienste bereit erklärt. Jenes Buch kann nicht leicht ein anderes
als ein arabisches gewesen sein. Aber auch dieses hat Gerbert wohl
nie früher und ebensowenig auf seinen Brief hin zu Gesicht bekommen,
wenn man diesen Schluss aus dem Umstände ziehen darf, dass, wie
in früherer so in späterer Zeit mit einer einzigen weiter unten zu
berührenden Ausnahme, keinerlei Spuren arabischer Sternkunde bei
Gerbert erkennbar sind. Dergleichen bedurfte es freilich auch nicht
für die Dinge, welche Gerbert vornahm, und welche von trigono-
metrischen Rechnungen, einem Gegenstande, bei welchem der Gegen-
satz zwischen griechisch-römischen und arabischen Lehren sich be-
sonders gezeigt haben müsste, vollkommen frei waren. Solcher be-
durfte er z. B. nicht durchaus bei der Herrichtung einer Sonnenuhr
in Magdeburg, welche er zwischen 994 und 995 vollzog, und zu deren
Richtigstellung er Beobachtungen des Polarsternes machte^).

Das Wanderleben Gerberts hatte mit der Reise nach dem Kaiser-
hofe keinen Ruhepunkt erreicht. Bald sehen wir ihn nach Frankreich
zurückkehren, um' auf der Synode zu Mouson sein Recht auf das
Bisthum Rheims persönlich zu vertheidigen, bald finden wir ihn in

') Zur Geschichte der Einführung der jetzigen Ziffern in Europa durch
Gerbert. Eine Studie von Professor ür. H. Weissenborn, Berlin 1892.
^) Bern, de Monfaucon, Bibliotheca bibliothecarum manuscriptarum 1, 902.
Wir wurden durch M. Curtze auf diese Angabe aufmerksam gemacht. ") Oeuvres
de Gcrbert (ed. Olleris) Epistola 60, pag. 36. ^) In Magdaburgh orologium

fecit, ülud rede constituens considerata per fislulam quadam Stella nautarum duce
sagt darüber Thietmars Chronik L. VI, cap. 61. Thietmar f 1019 als Bischof
von Merseburg. Vergl. Werner, Gerbert S. 221.

308 ^9- Eapitel.

Ottos Heerlager auf einem Feldzuge gegen slavische Stämme an Elbe
und Oder^ bald übersclireitet er im Gefolge Otto III. die Alpen, um
dem wüsten Regimente ein Ende zu machen, welclies in Rom herrschte
und dem deutschen Könige sowohl Aergerniss bereitete als die er-
wünschte Gelegenheit zur Einmischung gab. Am 9. Mai 996 starb
Papst Johann XV., unter dem Drucke der Nähe des deutschen Heeres
wurde Bruno aus dem sächsischen Fürstenhause als Gregor V. zum
Papste gewählt, am 21. Mai krönte der neue Papst bereits Otto in Rom
zum Kaiser. Gerbert blieb auch nach des Kaisers Abreise in Rom als
Rathgeber des noch jugendlichen Papstes. Er erfüllte diese Aufgabe
so pflichtgetreu, dass er 998 mit dem Bisthume Ravenna belohnt
wurde, und im folgenden Jahre erfüllte sich der Schicksalsspruch:

Scandit ah R Gerbertus in B, post Papa viget B,
der ihm in dreifacher Erhebung ein dreifaches B verheissen hatte,
von Rheims nach Ravenna, von Ravenna nach Rom! Gregor V.
starb am 5. Februar, Gerbert feierte am 2. April 999 seine Inthro-
nisation unter dem Namen Sylvester IL Er verwaltete den päpst-
lichen Stuhl fast genau vier Jahre lang bis zu seinem Tode, der am
12. Mai 1003 erfolgte.

Die letzten sieben Lebensjahre Gerberts, welche er demnach
politisch und kirchlich überaus beschäftigt in Italien zubrachte, gaben
ihm daneben Gelegenheit zu schriftstellerischer Thätigkeit. Er ver-
fasste eine freilich nur aus zwölf Hexametern bestehende Inschrift zu
einem Denkmale des Boethius, mit welchem Otto III. zu Pavia auf
seine Veranlassung das Grab des in den Klosterschulen beliebtesten
Schriftstellers schmückte^). Er schrieb muthmasslich um 997 eine
Abhandlung über das Dividiren, welche dem Constantinus von Fleury
gewidmet ist und als jene Schrift betrachtet wird, von der Richer
spricht, indem er diejenigen, welche die Division und die Multiplika-
tion grosser Zahlen erlernen wollen, auf das Buch verweist, welches
Gerbert an C. den Grammatiker schrieb. Als Papst sogar fand
Gerhert Zeit, einen astronomischen Brief an einen anderen Constan-
tinus als den eben genannten zu schreiben^). Als Papst erhielt er
einen Brief geometrischen Inhaltes von Adalboldus über die Ausmessung
des Kreises und der KugeP), in dessen Schreiber man wohl berechtigt
ist, Adelbold von Utrecht zu erkennen, einen Gelehrten, der in
vielen Sätteln gerecht, Schriften über Musik*), aber auch ein Ge-
schichtswerk hinterlassen hat, welches an Thietmars Chronik sich

^) Werner, Gerbert S. 328. ^) Oeuvres de Gerhert (cdit. Olleris) pag.
479: Gerhertus Constantino Miciacensi Äbbati, ') Ebenda pag. 471 — 475.

*) Werner, Gerbert 8.61).

Gerbert. ^ 809

anlehnt^). Vielleicht in die gleiche Zeit fällt ein Schreiben Gerherts
an denselben Adalboldus über einen geometrischen Gegenstand, von
dem wir noch zu reden haben. Gelegenheit bietet uns die Gesammt-
besprechung der mathematischen Schriften Gerberts, zu welcher
wir jetzt übergehen, und bei welcher wir erst die geometrischen,
dann die arithmetischen Dinge behandeln.

Die Geometrie'^) Gerberts ist in mehreren lückenhaften, sodann
in einer bis gegen das Ende vollständigen dem Stifte St. Peter in
Salzburg angehörenden Handschrift erhalten. Deren Entstehungszeit
dürfte ziemlich genau bestimmbaj** sein. Im Jahre 1127 wurde das
Kloster St. Peter durch einen furchtbaren Brand zerstört. Damals
konnten nur wenige Schriftstücke gerettet werden, und Codex a. V. 7,
welcher die Gerbertsche Geometrie enthält, befindet sich nicht unter
den als geborgen bekannten. Von da an wurde nur um so emsiger
an der Wiederbeschaffung einer Bibliothek gearbeitet, und es existirte
bereits wieder um IIGO ein Katalog, der sich erhalten hat. In ihm
kommt aber vor: Hermannus contracus (sie!) super astrolabium,
d. i. dasjenige Werk, mit welchem Codex a. V. 7 beginnt. Da nun
eine anderweitige Abschrift des gleichen Werkes, die mit jenem
Katalogeintrag gemeint sein könnte, in St. Peter nicht vorhanden ist,
so glauben wir uns um so berechtigter, eben jenen Codex darunter
zu verstehen und anzunehmen, er sei zwischen 1127 und 1160 ge-
schrieben, als alle Zeichen der Schriftvergleichung hiermit in Ein-
klang stehen.

Die Glaubwürdigkeit dieser sauberen, unserer Auseinandersetzung
zufolge nicht später als höchstens 1150 mithin nicht ganz anderthalb
Jahrhunderte nach Gerberts Tode entstandenen Abschrift, welche in
ihren Anfangsworten sich selbst als Geometrie des Gerbert benennt,
ist mit Rücksicht auf Einzelheiten und insbesondere auf die ungemein
verschiedenartigen Gegenstände, welche in ihr zur Rede kommen,
angezweifelt worden. Es ist nicht zu verkennen, dass kleine Wider-
sprüche, Wiederholungen und dergleichen den Eindruck hervorbringen,
es sei Einzelnes vom Abschreiber verfehlt worden, der z. B. ein Ka-
pitel, das im Urtexte zuerst an einer Stelle vorkam, dann durch den
Verfasser anderswohin gebracht und an der früheren Stelle durch-
strichen wurde, zweimal abgeschrieben haben kann. Dagegen sind
jene grossen Verschiedenheiten behandelter Dinge umgekehrt darnach
angethau, die Echtheit der Gerbertschen Geometrie vollauf zu be-
glaubigen. Wir haben (S. 515) uns darüber ausgesprochen, was bei
römischen Feldmessern zu finden war. Geometrische Definitionen

^) Werner, Gerbert S. 222. *) Agrimensoren Ö. 150 ügg.

glO 39. Kapitel.

und einfachste Sätze der Geometrie der Ebene, Maassvergleichungen
und feldniesserische Vorschriften, geometrische Reohnungsaufgaben
und die Lehre von den figurirten Zahlen, das Alles bildete, meistens
nachweislich aus Heron übernommen, den Gegenstand ihrer unselb-
ständigen Schriftstellerei. Genau dasselbe finden wir in Gerberts
Geometrie, müssen wir in ihr finden, wenn Gerbert zu sammeln und
durch gleichmässige Schreibweise zu vereinigen trachtete, was ihm in
Bobbio, sei es durch den Codex Arcerianus, sei es durch andere
Quellenschriften, bekannt geworden war. Namentlich für den dritten
Theil der Gerbertschen Geometrie ist der Nachweis geführt worden'),
dass geradezu nichts in demselben steht, was nicht dem Codex Arce-
rianus entnommen sein kann, insbesondere wenn es gestattet wird,
über den Inhalt einer in jenem Codex nachweislich vorhandenen
Lücke Vermuthungen aufzustellen, für welche es selbst wieder an
anderweitigen Begründungen nicht fehlt. Am schlagendsten für die
Benutzung des Codex Arcerianus ist wohl das Auftreten jenes Schreib-
fehlers aus Nipsus (S. 517), wo das Wort hypotenusae hinter podis-
mus ausgefallen ist, im 42. Kapitel der Gerbertschen Geometrie.
Aber Gerbert war kein gewöhnlicher Abschreiber. Er bemerkte,
dass hier nicht Alles in der Ordnung war, und um den Sinn der
Stelle zu retten, legte er im 10. Kapitel die Definition nieder, die
schräg von oben nach unten, oder von unten nach oben gezogene
Linie heisse Hypotenuse oder auch Podismus-). Ja er freute sich
dieser Definition so sehr, dass er im 12. Kapitel verschiedentlich
Podismus sagte, wo Hypotenuse gemeint ist. Es war allerdings ein
unfehlbares Mittel, die Richtigkeit einer Nipsusstelle zu wahren, wenn
man ihr zu Liebe eine neue Worterklärung schmiedete, wenn mau,
um dieser Eingang zu verschafifen, das neue Wort sofort in Gebrauch
nahm. Aber wenn mifehlbar, so war das Mittel selbst nichtsdesto-
weniger ein Fehlgriff und nur dann möglich, wenn Gerbert die Geo-
metrie des Boethius nicht vor Augen hatte, als er auf ihn gerieth.
Li der Geometrie des Boethius findet sich eine Parallelstelle zu jener
verstümmelten Aufgabe des Nipsus, in welcher das fehlende Wort
der Hypotenuse vorhanden ist^). Wer beide Schriftsteller kannte
und so genau kannte, wie es für die damalige Zeit angenommen
werden muss, in welcher die geringe Menge des Wissensstoffes eine

^) Agrimensoren S. 229, Anmerkung 304, ^) Oeuvres de Gerbert (edit.

Olleris) pag. 417: lila autem quae, obliqua iusum sive susuin dedueta, hebetis
vel acuti anguli effedrix vidchir hypotenusa id est obliqua sive podismus
nominaiur. ^) Boetius (ed. Priedlein) pag. 111: Nunc vero qua ratione

per hypotenusae podismum cathetos et basis summa pedalis reperiri valent, demon-
strare studeamus.

Gerbert. 811

volle Aufnahme desselben möglich mid nöthig machte, konnte mit
offenen Augen nicht übersehen, dass bei Nipsus das betreffende Wort
ausgefallen war.

Darum haben wir oben behauptet, Gerbert könne in der ersten
Rheimser Periode die Geometrie des Boethius nicht studirt haben,
darum setzen wir mit Rücksicht auf die Möglichkeit, dass Gerbert
eben jenes Werk 985 in Mantua auffand, die Niederschrift seiner
eigenen Geometrie auf die Jahre 981 bis 983 an, die er als Abt in
Bobbio zubrachte. Ist freilich in Mantua nur die Astronomie des
Boethius gefunden worden, und rührte, was dem Wortlaute nach
denkbar ist, das ganz Ausgezeichnete über Figuren der Geometrie
von irgend einem anderen Schriftsteller her, so ist fürs Erste jene
Behauptung dahin zu beschränken, Gerberts Geometrie könne nicht
früher niedergeschrieben sein als damals, wo er zwischen 981 und
983 den Codex Arcerianus benutzen konnte. Aber auch unter der
Voraussetzung dieser letzteren Annahme haben wir Gründe, welche
das „nicht früher'' in ein „zu jener Zeit" zu verwandeln geeignet
sind. Nach seiner fluchtartigen Abreise von Bobbio schrieb nämlich
Gerbert einen dringenden Brief an einen der wenigen Mönche, welche
ihm dort zugethan waren, mit der Bitte, ihm schleunigst und ins-
geheim die Abschrift einiger besonders genannter Werke besorgen
zu lassen. Die Astronomie des Manilius, die Rhetorik des Victorinus,
die Abhandlung des Demosthenes über Augenkrankheiten sind die
verlangten Schriften^). Ist es wahrscheinlich, dass Gerbert unter-
lassen hätte, auch um eine Abschrift der feldmesserischen Schriften,
ja vorzugsweise um diese, sich zu bemühen, wenn damals seine Geo-
metrie noch nicht geschrieben gewesen wäre? Es ist dieses eine
Erwägung, welche, wenn auch nicht vollständig beweiskräftig, uns
doch mindestens erwähnenswerth erscheint.

Wir haben die unmittelbare Quelle wenigstens einer grossen
Abtheilung von Gerberts Geometrie im Codex Arcerianus erkannt.
Andere Quellen gibt er selbst an. Er nennt wenigstens folgende
Schriftsteller: Pythagoras im 9. und 11. Kapitel, Piatons Timaeus im
13. Kapitel, des Chalkidius Commentar zu dieser letzteren Schrift im
1. Kapitel, Eratosthenes im 93. Kapitel, den Commentar des Boethius
zu den Kategorien des Aristoteles im 8, Kapitel und endlich die
Arithmetik des Boethius in der Vorrede, im 6. und im 13. Kapitel.
Wir können es dahingestellt sein lassen, ob alle diese Citate Gerberts

') Oeuvres de Gerbert (edit. Olloris) Epistola 78, pag. 45: Äge ergo et, te
solo conscio, et tuis sumptibus, fac ut mihi scribantur M. Manilivs de astrologia,
Victorinus de rhetorica, Demosthenis ophtahnicus.

812 3^- Kapitel.

eisener Gelehrsamkeit entstammen oder selbst wieder zum Theil ab-
geschrieben sind, jedenfalls wird mau andere Namen, Namen, welche
nicht nach Griechenland und Rom verweisen, vergeblich suchen. Der
mittlere Theil der Gerbertschen Geometrie, Kapitel 16 bis 40, dem
Räume nach ein starkes Viertheil des Werkes, enthält kein Citat und
hat bisher noch nicht zurückgeführt werden können. Es ist die
praktische Feldmessung, welche hier gelehrt wird, in Vorschriften
Höhen, Tiefen und Entfernungen zu messen^).

Da begegnet uns, um nur einiges zu nennen, im Kapitel 16 eine
Methode, nach welcher der Beobachter stehend und durch ein unter
45 Grad geneigtes Astrolabium visirend eine Höhe messen soll. Da
lehren die Kapitel 21 und 22, theilweise auch 24, Höhenmessungen
aus dem Schatten. Im 22, Kapitel ist als einzige (S. 807) angekün-
digte Verwandtschaft zu Arabischem das auch ausschliesslich in der
Snlzburger Handschrift an dieser Stelle vorkommende Wort hdlhidada
zu bemerken, welches zweimal, das zweite Mal in der Form alhidaäa,
vorkommt^). Wir deuten uns diese einzige Ausnahme als eine von
den (S. 809) erwähnten kleinen Abschreibersünden. Das Wort wird
in der Vorlage Randbemerkung gewesen und in den Text herüber
genommen worden sein, ganz ähnlich wie es in einer Archimedhand-
schrift mit dem Worte Ellipse ging, dessen Archimed sich zuverlässig
nicht bedient haben kann. Im 24. Kapitel knüpft sich dann wieder
ganz in römischer Weise eine Methode an, bei der von der Misslich-
keit eines Verfahrens gesprochen wird, welches den Beobachter
zwingt, sein Gesicht glatt an die Erde zu drücken. Da erinnert an
Epaphroditus (S. 517) und an Sextus Julius Africanus (S. 411) eine
im Kapitel 31 gelehrte Höhenmessung mit Hilfe eines massiven
rechtAvinkligen Dreiecks von den Seitenlangen 3, 4 und 5. Wieder
eine den Hilfsmitteln nach verschiedene Höhenmessuug ist sodann
die im Kapitel 35, welche wir die Messung mittels der festen Stange
nennen wollen, da sie darauf hinausläuft, eine Stange von bekannter
Höhe in den Boden zu befestigen und alsdann rückwärts gehend den
Punkt aufzusuchen, von welchem aus die Sehlinie aus dem Auge des
Beobachters nach der Stangenspitze in ihrer Verlängerung die Spitze
des zu messenden Gegenstandes, eines Thurmes oder dergleichen, er-

^) Agrimensoren S. 162 — 165. *) Das arabische Wort al-'idada bedeutet
eigentlich einen Thürpfosten, dann als technischer Ausdruck ein Lineal Die
Engländer gebrauchen seit Ende des XVI. S. das Wort in der Verketzerung
atJielida. Weigand, Deutsches Wörterbuch, 2. Auflage 1876, ist der Meinung,
aus diesem athelida sei unter Vereinigung mit dem vorgesetzten Artikel the das
sonst in seiner Ableitung unerklärliche Theodolit entstanden. Vergl. K. Zöpp-
nitz in den Annalen der Physik und Chemie, Neue Folge XX, 175—176 (1883).

Gerbert. 813

reicht. Kapitel 38 und 39 messen Flussbreiten, die Aufgabe des
Nipsus wie vor ihm des Heron. Kapitel 40 endlich kennzeichnet
sich selbst als militärische Methode zur Höhenmessung. Zwei Pfeile
werden, ein jeder an eine lange Schnur befestigt, gegen die Mauer
abgeschossen, auf deren Höhenmessung es abgesehen ist, und zwar
richtet man den einen Schuss nach der Spitze, den anderen nach dem
Fusse der Mauer. Die beidemal abgewickelten SchnurlänQ;en geben
Hypotenuse und Grundlinie eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen
Höhe zu berechnen nunmehr keine Schwierigkeit mehr hat.

Solche Methoden werden nicht auf einmal erfunden, werden am
allerwenigsten von einem blossen Theoretiker erfunden, wie es Gerbert
trotz seines bewegten Lebens, das ihn in Feldlager und auf Wande-
rungen durch Feindesland führte, immerhin war. Und noch ein
weiterer Grund spricht gegen die Möglichkeit, ihn selbst als Erfinder
anzunehmen. Er sagt stets „die Höhe u. s. w. wird gemessen", nie-
mals „ich messe" auf diese oder jene Weise, und ein ähnliches Wort
der Aneignung würde Gerbert wohl mindestens eben so sicher bei
diesen Aufgaben ausgesprochen haben, wie er Kapitel 13 höchst un-
bedeutende Bemerkungen durch die Worte einleitet: „Ich glaube unter
keiner Bedingung schweigend an Ausblicken vorbeigehen zu sollen,
welche, während ich dies schrieb, die eigene Natur mir eröffnete" '^).
Ein dritter Grund, welcher erst im folgenden Bande im 42. Kapitel
zur vollen Geltung kommen kann, besteht darin, dass verschiedene
dieser Messungsmethoden etwa 200 Jahre nach Gerberts Tode bei
einem Schriftsteller auftreten, für welchen man eine unmittelbare
Abhängigkeit von Gerbert weit weniger anzunehmen geneigt sein
dürfte, als eine beiden gemeinsame Abhängigkeit von einer noch
älteren, jedenfalls römischen Quelle, mag deren Urheber Frontinus
oder Baibus geheissen, oder einen anderen bekannten oder verschollenen
Namen geführt haben. Von dieser Annahme aus steigert sich die
Wichtigkeit von Gerberts Geometrie nach zwei Seiten hin. Sie lehrt
uns nicht bloss, was durch Jahrhunderte hindurch von Methoden der
Feldmessung sich erhalten hat, sie füllt uns auch eine empfindliche
Lücke in unserer Kenntniss der römischen Verfahrungs weisen aus.

Was den ersten Theil dieser Geometrie betrifft, so haben wir
schon auf die Definition von podismus aufmerksam gemacht, welche
in ihm sich befindet. In ihm kommt auch das Wort coraustus füi'
Scheitellinie vor, den griechisch-römischen Ursprung bezeugend. Andere

') Oeuvres de Gerbert (edit. Olleris) pag. 425: Sed nequaquam süentio
puto transeundum quod interim dum haec scriptitarem ipsa mihi natura obtulit
speculandum.

814 39. Kapitel.

Bemerkungen lassen sich an Definitionen und einfachste Sätze der
Geometrie kaum knüpfen. Sie sind uns höchstens als Stilprobe von .
Werth, in welcher die dem Verfasser eigene behäbige Breite hervor-
tritt, ein Bestreben, recht klar zu sein, welches er aber niemals dadurch
bethätigt, dass er Sätze kürzer fasste und den Sinn Verwirrendes weg-
liesse, sondern stets so, dass er von dem Seinigen beifügt.

Mit dem dritten Theile haben wir uns oben so weit beschäftigt,
dass wir seine Quellen enthüllten. Einige wenige Gegenstände müssen
wir noch aus ihm hervortreten lassen. Wir haben (S. 372 — 373) die
heronische Construction des regelmässigen Achtecks ausgehend von dem
Quadrate besprochen; wir haben (S. 520) -die Figur, an welcher die
Richtigkeit der Construction sich nachweisen lässt, bei Epaphroditus
wiedergefunden; wir haben sie (S. 545) bei Boethius auftreten sehen.
Gerbert hat die Construction selbst im Kapitel 89 aufbewahrt, die
Figur dagegen nicht abgebildet, weder bei Gelegenheit der Construction,
noch bei Gelegenheit der Achteckszahlen. Ueberhaupt fühlte Gerbert
offenbar deutlicher als die römischen Schriftsteller, die ihm als Vor-
lage dienten, dass die Lehre von den figurirten Zahlen nur gewohn-
heitsmässig in die Geometrie aufzunehmen sei, nicht eigentlich dort
ihren richtigen Platz habe; der ganze Gegenstand war ihm klarer.
Er hat nicht eine einzige Figur in seinen arithmetischen Kapiteln
benutzt. Er hat für die Fünfecks- und Sechseckszahlen die richtigen
Formeln angegeben, wo Epaphroditus und Boethius sich Rechenfehler
zu Schulden kommen Hessen. Bei Gerbert finden wir in Kapitel 55
die allgemeine Formel, um aus der Seite die Polygonalzahl, in Ka-
pitel 65 diejenige, um aus der Polygonalzahl die Seite zu entnehmen;
bei ihm zweimal in Kapitel 60 und 62 die Formel, welche die Pyra-
midalzahl aus der Seite und der Polygonalzahl entstehen lässt. Die
Summirung der Reihe der Kubikzahlen ist dagegen nicht in Gerberts
Geometrie übergegangen. Es kann wohl sein, dass Gerbert den be-
treffenden Paragraphen des Epaphroditus nicht verstand, wie er im
Codex Arcerianus auf ihn stiess, und wer möchte ihm das verübeln,
da gerade jener Paragraph dort eine so verderbte Gestalt angenommen
hat^), dass er kaum zu verstehen ist, es sei denn, man wisse schon
nach welcher Formel Kubikzahlen sich summiren und ermittle rück-
wärts aus dieser Kenntniss die richtige Lesart.

Man hat die arithmetischen Kapitel von Gerberts Geometrie als
Zeugniss für die Unechtheit der ganzen Schrift augerufen. Gerbert,
das haben wir in dem biographischen Theile dieser Erörterung gesagt,
hat auch als Papst noch einen Brief von Adelbold von Utrecht

') Agrimensoren S, 127—128.

Gerbert. 815

erhalten. In demselben ist, wie oben angedeutet, von der Ausmessung
des Kreises und der Kugel die Rede, deren Körperinbalt, crassitudo,

dadurch gefunden werde, dass von dem Kubus des Durchmessers „7
abgezogen, beziehungsweise — genommen werden. Ein anderer Brief

des Adelbold an Gerbert ist verloren gegangen, dagegen ist Gerberts
Antwort erhalten und z. B. in der Handschrift des Salzburger St. Peter-
stiftes, welche für Gerberts Geometrie massgebend ist, hinter der
Geometrie und in unmittelbarem Anschluss an jenen Brief Adelbolds
über den Kugelinhalt vorhanden. Daraus hat sich die Vermuthung
gebildet, hier liege wohl die Antwort auf ein späteres Schreiben vor,
und mit Rücksicht auf die Aufschrift des erhaltenen Briefes Adel-
bolds „an Gerbert den Papst" musste man sie in die letzten Lebens-
jahre Gerberts setzen. Adelbold hatte, wie wir aus Gerberts Antwort
ersehen, Skrupel darüber bekommen, dass das Dreieck in seiner"
Fläche zweierlei Ausmessung besitzen sollte. Er konnte nicht be-
greifen, wie das gleichseitige Dreieck, dessen Seite die Länge 7 be-
sitzt, ebensowohl den Flächeninhalt 28 (= — r-j als auch den Flächen-
inhalt 21 (= -^ j besitze. Gerbert erläutert ihm die Sache ganz

richtig. Der wirkliche geometrische Flächeninhalt, sagt er, ist 21
und er gibt dabei die Regel: die Höhe des gleichseitigen Dreiecks

sei immer um — kleiner als dessen Seite. Die andere Zahl 28, fährt

Gerbert fort, sei nur arithmetisch als Fläche zu nehmen
und besage, man könne in das Dreieck 28 kleine Qua-
drate mit der Längeneinheit als Seite einzeichnen,
freilich so, dass Ueberschüsse über das Dreieck er-
scheinen, wie der Augenschein (Figur 114) am deut-
lichsten lehre. Gerbert, sagte mau nun, hat also hier „. ,,,

' <-> I Flg. 114.

deutlich für die Geometrie verworfen, was in Ger-
berts sogenannter Geometrie gelehrt ist, mithin ist letztere unecht.
Dieser Einwurf ist vollkommen nichtig. Wir wollen nicht bloss
darauf hinweisen, dass es eine und dieselbe Handschrift aus der Mitte
des XIL S. ist, welche beide Schriftstücke für Gerbert in Anspruch
nimmt, noch darauf, dass die Geometrie unseren Auseinandersetzungen
zufolge etwa 20 Jahre älter als der Brief an Adelbold ist, und dass
in 20 Jahren Ansichten auch über wissenschaftliche Dinge sich klären
und ändern können. Wir geben vielmehr namentlich zu bedenken,
was wir oben schon auf den Inhalt der arithmetischen Kapitel selbst
uns stützend gesagt haben, dass Gerbert diesen Abschnitt seiner
Geometrie als das erkannte, was er war, und ihn wohl überhaupt

816 ^^- Kapitel.

nur darum aufnalim, weil er auch iu seinen Musterwerken sich an
ähnhcher Stelle vorfand. Ja man kann umgekehrt den Brief eine
willkommene Bestätigung der Geometrie nennen, wenn Adelbold,
dessen Anfrage ja verloren ist, grade auf Gerberts Geometrie, wie
wir vermuthen, sich berief, um die falsche Zahl 28 neben der als
richtig bekannten Zahl 21 durch ein Zeugniss zu stützen, welches
von dem, an welchen er seine Anfrage richtete, nicht zurückgewiesen
werden konnte. Zu dieser Vermuthung führen nämlich die Anfangs-
worte von Gerberts Brief hin^): „Unter den geometrischen Figuren,
welche Du von uns entnommen hast, war ein gleichseitiges
Dreieck, dessen Seite 30 Fuss lang war, die Höhe 26 Fuss, die
Fläche gemäss der Vergleichung von Seite und Höhe 390." Diese
Figur nebst den genannten Zahlenwertheu ist nämlich in Gerberts
Geometrie der Inhalt von Kapitel 49.

Zugleich zeigt sich in der That eine Ansichtsänderung Gerberts.
Während er in dem aus Epaphroditus entnommenen Kapitel der Geo-
metrie noch |/3 = — rechnete, sagt er jetzt, wie wir gesehen haben,
im Verlaufe des Briefes, die Höhe des gleichseitigen Dreiecks sei
immer um — kleiner als dessen Seite, und darin steckt der Näherungs-
werth ]/3 = — , dessen Vorkommen bei irgend einem früheren Schrift-
steller wir nicht zu bestätigen im Stande sind, während er (S. 211)
Baumeistern der Perikleischen Zeit bekannt gewesen zu sein scheint,
vielleicht auch in den Bauschulen erhalten blieb, weil er bequemerer
Rechnung als der heronische Näherungswerth, wenn auch weniger
genau als jener ist.

Diese Schriften Gerberts, von welchen wir bisher gehandelt
haben, waren geometrischen Inhaltes. Zwei andere beziehen sich
auf Rechenkunst. Zunächst ist aus zwei dem «XL und dem XII. S.
angehörenden Handschriften durch den letzten Herausgeber von Ger-
berts Werken eine Abhandlung: Regel der Tafel des Rechnens,
EcguJa de ahaco computi überschrieben und als von Gerbert her-
rührend bezeichnet zum Drucke befördert worden^). Der Titel dieser
ausführlichen Abhandlung ist nicht ohne Interesse in der Richtung,
dass in ihm das Wort Computus unzweifelhaft nicht als Osterrech-
nung, sondern als Rechnen im Allgemeinen zu übersetzen ist, eine
erweiterte Bedeutung, deren Möglichkeit wir (S. 783) betonten. Er
findet seine Beglaubigung, wenn eine solche nöthig erschiene, in einer

') In his geometricis figuris, quas a nohis sumpsisti, erat trigonus quidam
aequilaterus, euius erat latus XXX pedes, catlieius XXVI, secundum collationem
lateris et catheti area CCGXC. ^) Oeuvres de Gerbcrt (ed. Olleris) pag. 311—^48.

Gerbert 817

Aeusserung eines Scliriftstellers des XL S., der im folgenden Kapitel
von uns besproclien werden muss, Bernelinus. Dieser redet nämlich
von der „Regel" des Papstes^). Wir können rasch über den Inhalt
der Regel hinauskommen, wenn wir denselben als in wesentlicher
Uebereinstimmung mit den seiner Zeit im 27. Kapitel geschilderten
rechnenden Abschnitten der Geometrie des Boethius anerkennen. Die
Multiplikationsregeln sind so weit fortgesetzt, dass höchstens 27 Ko-
lumnen des Abacus in Anspruch genommen werden, wodurch eine
Uebereinstimmung mit Richers Schilderung des Rechenbrettes,
welches Gerbert in Rheims seinem Unterrichte zu Grunde legte,
hergestellt ist. Allerdings scheint ein nur flüchtiger Blick auf die
Regel dieser Bemerkung zu widersprechen. Wo z. B. die Multipli-
kation von Einern in Zehner, in Hunderter u. s. f. gelehrt wird,
heisst es ausdrücklich es gebe 25 Fälle, und ähnlich, wenn der Mul-
tiplikator und ihm entsprechend der Multiplikandus von höherer
Ordnung gedacht sind. Da könnte man auf das Vorhandensein von
nur 26 Kolumnen zu schliessen sich versucht fühlen, wenn man zu
erwägen vergisst, dass die zählenden Ziffern beider Faktoren für sich
ein zweizififriges Produkt zu liefern im )Stande sind, also in der That
das Vorhandensein einer bei 'manchen Multiplikationen freibleibenden
bei anderen zu benutzenden 27. Kolumne voraussetzen. Das Dividiren
ist das complemeutäre, sofern der Divisor aus Zehnern und Einern
besteht. Besteht derselbe aus Hundertern und Einern, so wird wieder,
wie bei Boethius, eine Einheit höchster Ordnung des Dividenden für-
sorglich beseitigt und dann zunächst durch die Hunderter des Divisors
getheilt, als wären sie von Einern gar nicht begleitet. Das Bruch-
rechnen bildet den Schluss und wendet diejenigen Brüche an, welche
wir als ursprünglich römische Duodecimalbrüche wiederholt in Frage
treten sahen.

Die ganze Schrift ähnelt in ihrer breitspurigen Stilistik der
Geometrie Gerberts. Sie trägt, wie wir fast überflüssiger Weise be-
merken, in jeder Zeile ein durchweg römisches Gepräge. Man kann
sogar einiges Erstaunen darüber an den Tag legen, dass nur die ge-
meinen römischen Zahl- und Bruchzeichen vorkommen, dass weder
im fortlaufenden Texte, noch auf den Zeichnungen des Abacus, welche
in der Handschrift jüngeren Datums sich vorfinden, jene Apices be-
nutzt sind, welche doch nach Richers nicht misszuverstehender
Schilderung Gerbert in Rheims zu benutzen pflegte. Das lässt einigen

^) Oeuvres de Gerbert (ed. Olleris) pag. 357: Si clomini papae regula de
liis subtilissime scripta tantum sapientissmis non esset rcscrvata, frnstra me ad
has compclleres scrihendas.

Cantoe, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 52

818 39. Kapitel.

Zweifel in die Meinung setzen, Gerbert habe grade während seiner
Rheimser Lehrzeit die Regel aufgeschrieben, beziehungsweise seinem
dortigen Unterrichte zu Grunde gelegt, eine Meinung, welche in
weiterem Widerspruche gegen unsere (S. 800) begründete Ansicht
steht, Gerbert habe dort überhaupt nicht nach einem den Schülern
in die Hände gegebenen Buche das Rechnen gelehrt, in Widerspruch
auch gegen die Worte Richers, man solle Gerberts Buch an C. den
Grammatiker zu Rathe zu ziehen. Konnte Richer so schreibeu, wenn
die ausführliche Regel älteren Datums als das Buch an Constantinus
war, in welchem wir sogleich eine wesentlich kürzere Darstellung
kennen lernen werden? Musste Richer die Regel, weim sie in Rheims
in Gebrauch war, nicht unbedingt kennen, während seine Worte die
Vermuthung erwecken, er wenigstens habe nur von einer Schrift
über Rechenkunst aus Gerberts Feder gewusst? Aehnliche nur noch
stärkere Bedenken sind einer Berner Handschrift der Regel ent-
nommen worden^). Die Vermuthung, jene Handschrift gehöre dem
IX. S. an, sie sei also längere Zeit vor Gerberts Geburt geschrieben,
hat sich allerdings als irrig erwiesen. Die Zeit der Niederschrift
wird nicht über das X. S. hinaufzurücken sein^), und somit könnte
das Original allenfalls um 970 entstanden sein. Aber aus dem Berner
Codex geht deutlicher als aus dem dem Drucke der Regel zu Grunde
gelegten hervor, dass man überhaupt nicht eine Abhandlung, sondern
deren zwei vor sich hat, eine über das Multipliziren und Dividiren
mit ganzen Zahlen, eine zweite über das Bruchrechnen, und da nur
von einer Schrift Gerberts die Rede sein könnte, so wäre mindestens
die zweite Abhandlung einem Verfasser zuzuweisen, der spätestens
als Gerberts Zeitgenosse lebte, der durch seine Duodecimalbrüche
sich als Schüler römischer Rechenkunst zu erkennen gibt, und der
mit diesen Brüchen die complementäre Division ausübt! Das dürfte
denn doch fast mehr als alle von uns schon beigebrachten Gründe
den Beweis des römischen Ursprunges der complemeutären Division
liefern, und wie sehr damit der ganzen Frage nach der Herkunft der
Apices die Spitze abgebrochen ist, wissen unsere Leser zur Genüge.
Alle vorgetragenen Bedenken werden von denjenigen nicht ge-
theilt, freilich auch nicht widerlegt, welche die Echtheit der Regel')
auf das Buch an Constantinus selbst stützen zu können glauben.
Büchlein über das Dividiren der Zahlen, libellus de numerorum

') Gerbert und die Rechenkunst des X. Jahrhunderts von Dr. Alfred
Nagl (Wien, 1888, Sonderabdruck aus Bd. IIG der Sitzungsberichte der phil.-
hiöt. Klasse der Wiener Akademie). '^) So das Ergebniss genauer Erwägungen
von Herrn Del i sie in Paris. '*) Oeuvres de Gerbert (ed. Olleris) pag. ö82.

Gerbert. 819

divisionc, ist die Ueberschrift der Abhandlung^), welche durch einen
Brief an Constantinus eingeleitet, kürzer und weniger klar, als die
Regel es thut, den genau gleichen Gegenstand behandelt gleichfalls
ohne der Zahlzeichen auch nur mit einer Silbe zu gedenken. Uer
Einleitungsbrief lautet in seinen ersten wichtigen Sätzen wie folgt ^):
„Der Stiftslehrer Gerbert seinem Constantinus. Die Gewalt der
Freundschaft macht fast Unmögliches möglich, denn wie würde ich
versuchen, die Regeln der Zahlen des Abacus zu erklären, wenn Du
nicht, Constantinus, mein süsser Trost der Mühen, die Veranlassung
bötest? So will ich denn, obwohl etliche Jahrfünfe vergano-en sind,
seit ich weder das Buch in Händen hatte noch in üebung war,
einiges in meinem Gedächtnisse zusammensuchen, und es zum Theil
mit denselben Worten, zum Theil demselben Sinne nach vorbringfen."
Es geht daraus hervor, dass Gerbert zu Constantinus auch wohl
früher schon in dem Verhältnisse des Lehrers zum Schüler gestanden
haben muss, weil er sonst nicht den Titel Stiftslehrer mit seinem
Namen in Verbindung gebracht hätte, was er ausserdem nur dreimal
in den uns bekannten Briefen that^). Wir wissen auch, dass die
Bekanntschaft beider aus den Jahren 972 bis 982 herrührt, aus der
Zeit, in welcher Gerbert wechselweise lernend und lehrend aus der
Stellung des Stiftsschülers in die des Stiftslehrers übersprang, um
dann wieder für einzelne Stunden in die erstere zurückzukehren. An
jene Zeit erinnert Gerbert offenbar mit den Worten, es seien etliche
Jahrfünfe, aliquot histra, vergangen, und diese Zeit von mindestens
15 bis 20 Jahren zu der des Rheimser Aufenthaltes hinzugefügt
liefert etwa das Jahr 997, in welchem (S. 808) der Brief an Con-
stantinus höchst wahrscheinlich geschrieben ist. Seit einigen Jahr-
fünfen, sagt Gerbert, habe er weder das Buch in Händen noch irgend
Uebung gehabt, und der letzte Theil dieses Satzes bezieht sich zu-
verlässig nicht auf Uebung im Rechnen, sondern im Rechenunter-
richte, denn das ist es, was Constantinus von ihm verlangte. Ein
Buch zum Rechenunterrichte war es also auch, welches als seit
vielen Jahren vermisst bezeichnet ist. Damals, als Gerbert noch in
Rheims lehrte, ja da hatte er das Buch, damals liess er auch die
Vorschriften sich aber- und abermals von den Schülern hersagen,
sagte er sie ihnen vor, stets dieselben Ausdrücke gebrauchend, und

^) Oeuvres de Gerbert (ed. Olleris) pag. 349 — 356. -) Math. Beitr.
Kulturl. S. 320 verbessert nach dem in der Ausgabe von Olleris abgedruckten
gereinigten Texte. ■'') Oeuvres de Gerheit (ed. Olleris) Epistola 11: Gerbertus
quondam scolasticus Ayrardo suo scdutem (pag. 7). Epistola 17: Hugoni suo
Gerbertus quondam scolasticus (pag. 10). Epistola 142: Gerbertus Scolaris ablas
Memigio monaco Trevcrensi (pag. 78).

52*

820 39 Kapitel.

nur dadurch wird es ihm möglich, auch jetzt noch theils mit den-
selben Worten wie damals theils dem Sinne nach das Gleiche aus
dem Gedächtnisse wieder herzustellen. Und so sind wir nun zu der
letzten Frage gelangt: Was für ein Buch war es denn, von welchem
Gerbert redet? Man hat vermuthet, die „Regel" sei damit gemeint.
Wir haben die Gegengründe entwickelt, welche uns gegen diese Ver-
muthung einnehmen. Sollten sie als entscheidend angesehen werden,
dann muss es freilich ein anderes Buch gewesen sein, überhaupt kein
von Gerbert selbst verfasstes, für welches er auch wohl eine, andere
Bezeichnung gehabt hätte, als kurzweg das Buch, librnm. Auch das
Buch des weissen Josephs des Spaniers kann es nicht wohl gewesen
sein, da dieses im Jahre 984, wie wir sahen (S. 806), von Rheims
aus gesucht wurde. Aber über diese negative Bestimmung, welches
Buch es nicht war, das Gerbert vermisste, kommen wir freilich nicht
hinaus. Die „Regel" ist sodann von Gerbert als Papst — wie der
Ausspruch des Bernelinus gleichfalls verstanden werden kann — ver-
fasst worden, erst nachdem das Büchlein für Constantinus aus dem
Gedächtnisse zusammengeschrieben war. Gerbert, nehmen wir au,
beabsichtigte, nachdem er den Gegenstand sich wieder vollständig-
gegenwärtig gebracht hatte, ihn endgiltig und in genügender Klarheit
für jeden Leser abzuschliessen. Doch gleichviel. Diese kleinen Mei-
nungsverschiedenheiten sind im Grunde sehr geringfügig gegenüber
von der Aufgabe, die uns bleibt: zu zeigen, welche Bedeutung
Gerberts Lehren von Anfang au besessen und mehr und mehr ge-
wormen haben.

Die realistischen Studien^) waren mehr und mehr aus den
Klöstern verschwunden, in welchen sie unter Alcuins unmittelbarem
und mittelbarem Einflüsse ein, wie es schien, ewiges Bürgerrecht
sich erworben hatten. Nur ganz vereinzelt waren noch Mönche zu
finden, welche weltliches Wissen besassen oder nach solchem strebten.
Büchersammlungen von mehr als 15 oder 20 Bänden gab es nur in
den wenigsten Klöstern. Die Bücher selbst waren ihrer Seltenheit
wegen einzeln an Kettchen befestigt. Der Abt hatte nicht einmal
das Recht sie nach auswärts zu verleihen, ausser nach bestimmten
anderen Klöstern, welche einen Mitbesitz an den Büchern genossen.
Nun trat Gerbert auf. Er gab dem Unterrichte zu Rheims, wo die
Erinnerung an Remigius, der einst jene " Schule zu Ausehen brachte,
fast verloren gegangen war, ein neues Leben. Er lehrte freilich nicht
wesentlich Neues, aber er lehrte es mit neuem Erfolge, und der Er-

') Oeuvres de Gerhcrt (ed. Olleris): Vie de Gerbcrt pag. XXIV— XXXllI
ist eine selu- hübsche Uehersicht über den Geisteszustand der Zeit.

Gerbert, 821

folg wuchs nocli mit der Zunahme der persönlichen Bedeutung des
Lehrers. Gerbert hatte allen Anfeindungen zum Trotze die höchste
Stufe kirchlicher Würden erstiegen. Er war ein Papst an Sitten-
reinheit einzig dastehend unter den Päpsten seines Jahrhunderts,
Avelche in wüster Sinnlichkeit dem heiligen Charakter ihrer Stellung
Hohn boten, so dass ihr Regiment mit Recht als eine Pornokratie
hat verunglimpft werden können. Ganz natürlich, dass jetzt die
Gerbert'sche Schule an Ansehen gewann. Der Glanz des Lehrers
strahlte auf seine früheren Zöglinge zurück, gab ihnen selbst eine
höhere Weihe. So würde es unzweifelhaft, wenn vielleicht auch nur
mit kurz andauerndem Erfolge, gewesen sein, wenn die Lehren
Gerberts weniger klar, weniger nützlich, weniger vortrefflich gewesen
wären. Um wie viel mächtiger musste die Wirkung sein wo der
innere Werth dem äusseren Rufe gleich kam, wo unter päpstlicher
Fahne zur Modesache wurde, was verdiente keiner Mode unterworfen
zu sein. Jetzt regte es sich wie auf ein gegebenes Zeichen aller
Orten. Die Bibliotheken wurden wieder zahlreicher. Neue Abschreiber
vervielfältigten die selten gewordenen Schriften. Der Unterricht, und
was für uns allein in Betracht kommt, auch der mathematische
Unterricht nahm an Umfang zu.

Gerberts Geometrie scheint freilich trotz oder vielleicht wegen
ihrer verhältnissmässig höheren wissenschaftlichen Bedeutung eine
rechte Wirkung nicht erzielt zu haben. Die geometrische Unwissen-
heit war, wie wir mehrfach hervorgehoben haben, bei Römern und
folglich auch bei Schülern der Römer eine noch dichtere als die
arithmetische. Der Boden war in diesem Gebiete noch weniger zu-
bereitet fruchtbaren Samen aufzunehmen. Was wir wenigstens von
mönchischen Versuchen in der Geometrie vor Gerbert kennen, be-
schränkt sich auf eine Zeichnung^), welche ein Schreiber des X. oder
XL S. einem Auszuge aus der Naturgeschichte des Plinius beifügte,
und in welcher man eine graphische Darstellung unter Zugrunde-
legung des Coordinatengedankens erkannt hat. Wir stellen nicht in
Abrede, dass hier der Anfang zu einer Betrachtungsweise vorhanden
ist, die am Ende des XIV. S. au Wichtigkeit und Verbreitung ge-
wami und das Wort latitudines, welches Plinius noch als Breite
braucht, mit dem Sinne der Abcissen begabte, aber in der Zeit, in
welcher jene Figur entstand, fällt es uns schwer an das Bewusstsein
ihrer Tragweite zu glauben. Auch von Nachfolgern Gerberts in

') S. Günther, Die Anfänge und Entwicklung? stachen des Coordinaten-
principes in den Abhandlungen der naturf. Gesellsch. zu Nürnberg VI. Separat-

322 39. Kapitel.

o-eometrischen Unters ucliungen ist so wenig bekannt, dass wir es
füo-licli liier anschliessen können. Das Wenige bescliränkt sich
uämlicli auf ein^) von Franco von Lütticli verfasstes Werk in
6 Büchern über die Quadratur des Kreises.

Eine Chronik^) berichtet, die Schrift über die Quadratur des
Kreises sei dem Erzbischof Hermann gewidmet, und da Hermann H.,
der allein in Frage steht, von 1036 bis 1055 Erzbischof von Köln
war, so würde dadurch die Entstehungszeit jener Schrift in sehr enge
Grenzen eingeschlossen. Die in Rom erhaltene Handschrift nennt
den Namen des Erzbischofs, dem das Werk zugeeignet ist, nicht,
und so erscheint jene Angabe immerhin zweifelhaft. In der Vorrede
sagt Franco, die Kenntniss der Kreisquadratur von Aristoteles aus-
gehend habe sich, wie man behaupte, unzweifelhaft bis zu Boethius
erhalten^), dann sei Alles so sehr verloren gegangen, dass alle Ge-
lehrten von Italien, von Frankreich und von Deutschland hierin
Fehler machten. Unter denen, welche sich vergebliche Mühe gaben,
sei Adelbold gewesen, dann Wazo, der grösste der Gelehrten*) und
Gerbert, der Wiederhersteller der Wissenschaft. An anderen Stellen
wird auf Reginbold und Racechin'') Bezug genommen. Auch der
Arbeiten des Boethius über Kreisquadratur wird wiederholt gedacht ''"),
au deren Vorhandensein also damals kein Zweifel obwaltete. Man
hat die Vermuthung ausgesprochen, es sei dabei an eine Stelle aus
den Erläuterungen des Boethius zu den Aristotelischen Prädicamenten
gedacht worden, in welcher freilich nur von der Möglichkeit oder
Unmöglichkeit der Kreisquadratur die Rede ist'). Franco zeigt sich
in der ganzen Schrift als gewandten Rechner, dem namentlich die
Anwendung von Brüchen — die durchweg römische Duodecimalbrüche
sind — keine Schwierigkeit bereitet. Sein geometrisches Wissen da-
gegen ist so gering, dass nicht einmal die Kenntniss des pythago-
räischen Lehrsatzes bei ihm anzunehmen ist. Die geschichtliche Aus-
beute ist dem entsprechend eine hauptsächlich arithmetische. Wir

erfahren, dass Reginbold ]/2 durch — ersetzte^), ein Werth, den

') Ang. Mai, CJassici autores e vaticanis codicibvs editi III, 346 — 348.
Roma, 1831, Teröifentlichte Bruchstücke davon. Dr. Winterberg gab das ganze
Werk heraus. Zeitschr. Math. Phys. XXVII (1882), Suppleoientheft S. 137—190.
Wir citiren Franco mit der betreffenden Seitenzahl. *) Sigebert Gembl.
Chron. ad. ann. 1047 bei Pertz Mon. VIII, 359. Vergl. Prantl, Geschichte der
Logik im Abendlande II, G8, -Anmerkung 278. '') Ems itaque scientiam Jiaud
dubium ferunt usque ad Boetium pcrdurusse. Franco 143. *) Wazo starb 1048
als Bischof von Lüttich. ') Franco 158 und häufiger. «) Ebenda 166, 184.
'') Heiberg hat im Philologus XLIII, 520 die betreffende Stelle zum Abdruck
gebracht *) Franco 158.

Gerbert. 823

(S. 408) Theon von Smyrna kannte, den (S. 600) wahrscheinlicli
auch Inder benutzten. Wir hören ^), dass die Kreisfläche bald als

7
Quadrat von y des Durchmessers, bald als Quadrat des vierten Theils

der Peripherie betrachtet wurde. Beide Verfahren sind uns bekannt,
jenes aus Indien (S. 602), dieses aus spätrömischen Feldmessern

(S. 550). Ferner hält Franco selbst^) — des Durchmessers für die

Seite des dem Kreise flächengleichen Quadrates, rechnet also mit

Dass die Kreisfläche des Kreises vom Durchmesser 14 durch die
Zahl 154 dargestellt werde, zeigt Franco^), indem er den Umfang,
welche!!: die Länge 44 habe, in 44 gleiche Theile zerlegt und jeden
Endpunkt eines TheiJes mit dem Kreismittelpunkt verbindet. So
entstehen 44 Dreiecke, welche paarweise in entgegengesetzter Rich-
tung aneinander gelegt je ein Rechteck, im Ganzen deren 22 liefern
mit den Seitenzahlen 1 imd 7. Auch diese Beweisführung erinnert
so sehr an die des Inders Gane9a (S. 614), dass man versucht wird,
nach einer beiden gemeinschaftlichen Quelle zu fahnden.

Sollen wir hier, wo eui Nachfolger von Gerberts Geometrie ge-
nannt werden musste, nochmals auf die vielbesprochene Geometrie
des Boethius zurückkommen, auf die Meinung von deren Uuechtheit,
von deren Entstehung in der unmittelbar auf Gerbert folgenden Zeit
am Anfange des XI. S.? Ist es denn jetzt, wo wir mit dieser Zeit
in mathematischer Beziehung bekannter geworden sind, noch immer
denkbar, dass ein Fälscher auftrat, diese Schrift zusammenzustellen,
deren Werth weit hinter dem von Gerberts Geometrie zurückbleibt V
Und warum? Um durch das Ansehen des Boethius zu stützen, was
durch den Mund eines Papstes kund geworden war! Oder will man
etwa zu der Erklärung greifen, jener Fälscher sei ein Gegner Gerberts
gewesen, und seine Absicht habe darin bestanden, Gerbert als einen
Menschen hinzustellen, welcher nur fremdes geistiges Eigenthum sich
aneignete? Auch dieser Erklärungsversuch würde keineswegs genügen.
Gerbert, der erwählte aber nicht bestätigte Erzbischof von Rheims,
hatte Feinde von so hämischem Thun, Papst Sylvester IL nicht mehr.
Und wollte man die Entstehung der Geometrie des Boethius in jene
etwas frühere Zeit verlegen, wie käme es, dass niemals von dieser
Angrifi"swaffe Gebrauch gemacht wurde? Gerberts Feinde haben mit
ihren Mitteln nie gespart. Noch auf der Synode von Mouson im
Juni 995 überhäufte man ihn mii Anklagen. Nur zwei Anklagen finden

') Franco 145. ') Ebenda 187. ^) Ebenda 152.

824 'iO- Kapitel.

wir nirgeud erwähut, uiclit class er bei den Feinden der Christenheit in
die Lehre gegangen sei, nicht dass er fremdes Wissen unter eigenem
Namen gelehrt habe. Und so ist auch hier die gleiche Schwierig-
keit, welche wir wiederholt betont haben, aufs Neue hervorgetreten.
Das Vorhandensein der Geometrie des Boethius als einer
späteren Fälschung ist unverständlich.

Das Kolumnenrechnen fand mit Gerberts wachsendem Ansehen
allgemeine Verbreitung. Wir dürfen uns mit der so allgemeinen
Behauptung nicht begnügen, wir müssen ihr näher treten. Sie wird
uns die Gelegenheit geben, die Männer zu nennen, welche aus Ger-
berts Schule hervorgegangen jene Verbreitung vollzogen, wird uns
zugleich Gelegenheit geben, zu sehen, wie seit 1100 etwa, seit dem
Beginn der Kreuzzüge, wirklich Arabisches in das Abendland ein-
drang, wie ein eigenthümlicher Kampf um das Dasein zwischen der
alten und neuen Rechenkunst sich entspann, zwischen dem Kolumnen-
rechnen und dem Ziflferrechnen, deren jedes seine Vertreter besass.
Man hat sich daran gewöhnt, diese Vertreter als Abacisten und
Algorithmiker zu bezeichnen, und unter diesen Sammelnamen
wollen wir sie kennen lernen.

40. Kapitel.
Abacisten und Algorithmiker.

Bei den Versuchen den Abacus mit den eigenthümlichen Zeichen,
die wir Apices nennen, nach aufwärts zu verfolgen, ist in früheren
Werken stets von einer räthselhaften Handschrift der Kapitular-
bibliothek von Ivrea die Rede gewesen^), welche nach der An-
sicht eines im Allgemeinen zuverlässigen Handschriftenkenners von
einer Hand des X. S. herrührte oder gar, wie eine nachgelassene
Notiz desselben Gelehrten meinte, am Hofe Karl des Grossen ge-
schrieben ward^). Es sei eine Anweisung zum Dividiren in arabi-
schen Ziffern. Alle diese Angaben sind nun freilich wesentlichen
Abänderungen zu unterwerfen. Genaue wiederholte Untersuchung
der Handschrift') hat ergeben, dass sie erst dem XI. S. angehört.

*) Friedlein, Gerbert, die Georaetrie des Boetius und die indischen
Ziffern. Erlangen, 1861, S. 41, Anmerkung 20 hat zuerst die Mathematiker auf
diese Handschrift aufmerksam gemacht. ^) Bethmann im Archiv der Gesell-
schaft für ältere deutsche Geschichtskunde, herausgegeben von Pertz IX, 623
und XII, 594. "') Reifferscheid in den Sitzungsberichten der philosoph.-histor.
Klasse der k. Akademie der Wissenschaften. Wien, 1871. Bd. 68, S. 587—589
die Beschreibung des Codex LXXXIV, die dem XI. S, angehöre. Dann ,,f. 87.
88 Allerlei von späteren Händen".

Abacisten und Algorithmiker. 825

mithin in die Zeit fällt, welche wir in diesem Kapitel') zu besprechen
haben, in die Zeit nach Gerbert, wenn auch vielleicht nicht viel später
als er. Der Inhalt ist ein eigenthümlicher.

Zuerst ist als Aufgabe gestellt, 1 111 111 537 durch 809 zu divi-
diren, wobei der Quotient 1 373 438 erscheint und 195 übrig bleibt.
Aufgabe und Auflösung sind theils in Worten, theils in römischen
Zahlzeichen geschrieben. Dann folgen 19 Hexameter, welche auf das
Rechnen auf dem Abacus sich beziehen, welche aber vollständifj zu
verstehen uns nicht gelungen ist. Hieran schliesst sich die Wieder-
holung der Aufgabe und ihre Auflösung im Kolumnensysteme ge-
schrieben, aber ohne dass senkrechte Striche die einzelnen Rang-
Ordnungen trennten. Zwölf Kopfzahlen genügen den Abacus anzu-
deuten. Ueber ihnen steht der Dividend, unter ihnen der Divisor,
unter diesem der Rest, unter diesem wieder der Quotient, sämmtlich
in richtiger Ordnung, so dass also bei Nieder Schreibung des Divisors
809 unter der Kopfzahl der Zehner ein freier Raum blieb. Die
Kopfzahlen des 12 reihigen Abacus sind durch römische Zahlzeichen
angegeben, die sämmtlichen anderen Zahlen durch Apices. Endlich
folgt wieder nur in Worten und ohne durch irgend ein Beispiel
Unterstützung zu finden die Vorschrift, wie man bei der Division
durch einen aus Hundertern, Zehnern und Einern bestehenden un-
unterbrochen dreiziffrigen Divisor — tres sint divisores niillo interposito
— verfahren solle in offenbarer Anlehnung an die „Regel" Gerberts.
Alles zusammen füllt nur eine einzige Seite und dürfte, wenn auch
nicht so alt wie die Einen hofften, die Anderen fürchteten, doch
einiges Interesse nicht entbehren, so dass ein vollständiger richtiger
Abdruck des kurzen Stückes immerhin wünschenswerth erscheint.

Ein Schüler Gerberts war Bernelinus, der in Paris ein durch
den Druck veröffentlichtes Buch über den Abacus geschrieben hat^).
Bernelinus beruft sich (S. 817) auf die Regel des Papstes Gerbert,
die freilich nur für die Weisesten geschrieben sei, und darauf, dass
sein Freund Ameliüs, auf dessen Andrängen er sein Werk verfasse,
es verweigerte, an die Lothringer sich zu wenden, bei welchen diese
Lehren in höchster Blüthe ständen. Nur diese beiden Erwägungen
vereinigt hätten ihn zum Schriftsteller gemacht. Er beginnt sodann
mit der Schilderung des Abacus und zeigt darin seine Selbständig-
keit, denn Gerbert selbst hat weder in der Regel noch in der Ab-
handlung für Constantinus eine solche Schilderung an die Spitze zu

^) Unsere Angaben beruhen auf einem Facsimile, welches Fürst Bald.
Boncompagni die grosse Güte hatte, für uns in Ivrea durchpausen zu lassen.
^) Oeuvres de Gerbert (ed. Olleris) pag. .357 — 400 Liher Ahaci. Die Anfangs-
"worte lauten: Incipit praefatio libri ahaci quem iunior Bernelinus edidit Parisiis.

826 ^^ Kapitel.

stellen für iiötbig gehalten, ein Umstand, welchen wir uns nur so
erklären können, dass Gerbert den Abacus nicht als etwas Neues
oder Schwieriges betrachtete, sondern als ein alt- und allbekanntes
Hilfsmittel, während die Divisionsregeln allerdings wenig bekannt
gewesen sein müssen. Der Abacus war, nach Bernelinus, eine vorher
nach allen Seiten sorgsam geglättete Tafel und pflegte von den Geo-
metern mit blauem Sande bestreut zu Averden, auf welchen sie auch
die Figuren der Geometrie zeichneten. Bis zur Höhe der eigentlichen
Geometrie wolle er sich aber nicht erheben, er bemerke nur, dass zu
rechnerischen Zwecken die Tafel in 30 Kolumnen abgetheilt werde,
von welchen 3 für die Brüche aufzubewahren, die übrigen 27 nach
Gruppen von je 3 zu bezeichnen seien. Die erste Kolumne wird
nämlich durch einen kleinen Halbkreis abgeschlossen, die zweite und
dritte zusammen durch einen grösseren, alle drei gemeinsam durch
einen noch grösseren. Bernelinus sagt zwar nicht Kolumnen, sondern
Linien, lineas, aber er meint es so, wie wir es ausgesprochen haben,
da ja ein Abschluss von einer, von zwei, von drei Linien durch an
Grösse verschiedene Halbkreise nicht gedacht werden kann, sondern
nur von Kolumnen. Li jeder Dreizahl von Kolumnen, deren es un-
endlich viele geben kann, ist eine Kolumne der Einer, eintf der
Zehner und eine der Hunderter zu unterscheiden, welche der Reihe
nach mit S und il/, mit Z), mit C bezeichnet wecden sollen. C sei
nämlich Anfangsbuchstabe von centnm, D von deccm, M von nionas

— Bernelinus schreibt dafür fälschlich monos — oder von miUc,
S endlich von singularis. Li den Zahlzeichen spiegele die Gruppirung
nach drei Kolumnen sich gleichfalls ab, da ein Hozizontalstrich, titulns,
über dem I, dem X, dem C dieselben vertausendfache. Der Beschrei-
bung der Kopfzahlen, welche über sämmtliche Kolumnen sich fort-
setzen und mit den Bezeichnungen der in jeder Dreizahl unter-
schiedenen Rangordnungen nicht zu verwechseln sind, lässt sodann
Bernelinus die Schilderung und Abbildung der neun Zahlzeichen
folgen. Es sind die Apices, welche hier auftreten, wenn uns dieses
Wort ein für allemal die betreffenden Zeichen vertreten soll, von
denen schon so viel die Rede war. Ausserdem könne man sich auch
griechischer Buchstaben bedienen, und hier enthüllt Bernelinus wieder-
holt, wie vorher durch Anwendung des ungriechischen monos, eine
mangelhafte Kenntniss dieser Sprache. Die Zahl 6 lässt er nämlich
durch ZI .bezeichnen, während bekanntlich s^ das richtige Zeichen wäre.

— Das Einmaleins schliesst sich an, bei welchem eine zunächst sehr
auffallende Lücke sich darbietet: die Produkte gleicher Faktoren,
also 1 mal 1, 2 mal 2, 3 mal 3 bis 9 mal 9 fehlen, warum? ist
nicht gesagt. Wir können nur einen Grund vermuthen, darin be-

Abacistcn und Algorithmiker. 827

stehend, dass die Quadririmg einziffriger Zalileu, und nur um diese
handelt es sich, in dem Grade eine Ausnahmerolle spielte, als die
sogenannte regula Nicomachi (S. 404) zur Ausführung derselben all-
gemeiner bekannt war, als irgend andere Regeln. Dass freilich jene
Regel besonders erwähnt werde, muss man aus unserer fast zaghaft
ausgesprochenen Meinung nicht schliessen wollen. Bei der Multipli-
kation der einzelnen Rangeinheiten bedient sich Bernelinus der
Wörter Finger- und Gelenkzahl. Eine Erklärung würde man auch
hier vergebens suchen, doch steht dal)ei die Veranlassung auf festerem
Boden. Wir wissen durch Beispiele aus den verschiedensten Zeiten,
dass jene Wörter so bekannt waren, dass jede Erläuterung überflüssig
erscheinen musste. Als Ende des ersten Abschnittes, der also bis
zur Multiplikation einschliesslich sich erstreckt, ist die Ausrech-
nung von 12^, von 12^, von 12*, von 12'', von

12 + 12- + 123 ^ 12' + 125

zu betrachten, wobei wir vielleicht in Erinnerung bringen dürfen,
dass 12 die Grundzahl des römischen Bruchsystems ist.

Der zweite Abschnitt handelt von der einfachen Division,
d. h. von denjenigen Theilungen, bei welchen der Divisor ein Einer
oder ein einfacher Zehner ist. Drei Fälle sind dabei imtergchieden,
der erste wenn der Divisor der Reihe nach in allen Stellen des
Dividendus enthalten ist und nur bei den Einern allenfalls ein Rest
bleibt, wie z. B. 668 getheilt durch 6; der zweite, wenn Reste auch
bei früheren Stellen bleiben, beziehungsweise wenn der Divisor einen
höheren Werth hat als einzelne Stellen des Dividendus, so dass zwei
Stellen des Dividendus zur Vornahme der Theilung gemeinsam be-
trachtet werden müssen, wie z. B. 888 getheilt durch 5 oder 333 ge-
theilt durch 6; endlich der letzte Fall, wenn der Divisor ein Zehner
ist, z. B. 1098 getheilt durch 20. Die Divisionen können dabei mit
oder ohne Differenz, d. h. als complementäre Division oder ge-
wöhnlich vollzogen werden. Auf dem Abacus werden dabei vier
Horizontallinien gezogen, welche von oben nach unten die erste,
zweite, dritte, vierte Zeile heissen mögen. Auf die erste Zeile schreibe
man den Divisor, beziehungsweise bei der Division mit Difi'erenz
auch seine Ergänzung zu 10, oder im dritten Falle zu 100. Die
zweite Zeile enthält den Dividendus, die dritte ebendenselben noch
einmal geschrieben, die vierte den Quotienten. Die Zahl der zweiten
Zeile bleibt im ganzen Beispiele unverändert. Die Zahlen der da-
runter folgenden Zeilen werden, wie es der Sand des Rechenbrettes
leicht gestattet, fortwährend verändert. Die Division 668 : 6 sieht
z. B., wenn das Auslöschen und Ersetzen von Ziffern durch Durch-

828

40. Kapitel.

streichen derselben bildlicli dargestellt werden darf, folgender-
massen aus:

Division 668 : 6
mit Differenz

6
4

-f

6
0

0
1

8
2

1
1

Division 668 : 6
ohne Differenz

Der Wortlaut der Rechnung ist bei der Division mit Differenz
folgender: 10 in 600 geht GO mal, aber 4 mal 60 oder 240 sind
wieder beizufügen; 10 in 200 geht 20 mal, aber 4 mal 20 oder 80
sind wieder beizufügen, und nun schreiben wir statt 60 -|- 40 -f- 80
ihre Summe 180 und sagen weiter 10 in 100 geht 10 mal mit einer
nöthigen Ergänzung 4 mal 10 oder 40, welche mit 80 zusammen
120 liefert. Jetzt ist 10 in 100 wieder 10 mal enthalten, und die
Ergänzung 4 mal 10 oder 40 gibt mit 20 zusammen 60. Man dividirt
weiter 10 in 60 geht 6 mal, die Ergänzung ist 4 mal 6 oder 2-1.
Mithin sagt man geht 10 in 20 weitere 3 mal mit der Ergänzug
4 mal 2 oder 8. In der einheitlichen Kolume sind jetzt vorräthig
8 4- 4 -f- 8 oder 20. Zehner sind wieder hergestellt und 10 in 20
geht 2 mal. Die Ergänzung 2 mal 4 oder 8 ist durch 10 nicht
mehr theilbar, nur noch durch 6, wobei 1 als Quotient, 2 als Rest
erscheint. Alle Quotiententheile vereinigt geben so den Gesammt-
quotient 60 + 20 + 10 + 10 + 6 + 2 + 2 + 1 = 111 nebst dem
Reste 2. Wir wollen nicht versäumen, hier gelegentlich auf die
nicht unwichtige, wenn auch nur negative Thatsache hinzuweisen,
dass die hier beschriebene Ordnung des Divisors, des zweimal an-

Abacisten und Algorithmiker. 829

gescliriebenen Dividenden, des Quotienten bei keinem Araber
vorkommt.

Der dritte Abschnitt ist der zusammengesetzten Division
gewidmet, welche auch wieder ohne Differenz oder mit Differenz aus-
geführt wird. An neuen Gedanken ist hier so wenig zu gewinnen,
als au neuen Ausführungsmethoden, es ist eben nur wieder die
Unterscheidung in viele Fälle, wie sie dem Geübten, insbesondere
dem mathematisch denkenden Geübten sehr überflüssis; erscheint, wie
sie aber dem Schüler eines ersten Rechenunterrichtes wünschenswerth,
ja unentbehrlich sich erweisen mag.

Ein vierter Abschnitt lehrt das Rechnen mit Brüchen, natürlich
mit Duodecimalbrüchen der uns bekannten Art. „Lasse uns denn
zu der Abhandlung über die Gewichtstheile und ihre Unterabthei-
lungen kommen, und wundere Dich nicht, wenn darin Richtiges mir
entging, denn die Unbequemlichkeit der Weinlese beschäftigt meine
Seele mannigfaltig, auch habe ich als Muster kein Werk als das des
Victorius, und dieser ist bei dem Bestreben kurz zu sein, ausser-
ordentlich dunkel geworden"^). Wir haben diese Stelle ihrem Wort-
laute nach eingeschaltet, um an ihr die Richtigkeit einer Bemerkuno;
über den Calculus des Victorius zu erweisen. Das Vorhandensein
jenes Rechenknechtes (S. 495) kann nun und nimmermehr als Zeug-
niss dafür angerufen werden, dass der Zeit, in welcher er entstand,
das Rechnen auf dem Abacus fremd gewesen sei. Wir finden hier
in Bernelinus einen Mann, der dieses Rechnen selbst lehrt, der es
mit einer Klarheit lehrt, welche die Darstellungen Gerberts über-
trifft, und derselbe Bernelinus sieht in dem Calculus des Victorius
nichts weniger als einen überwundenen Standpunkt. Er findet ihn
ausserordentlich dunkel, also schwierig und verkennt nicht die Noth-

wendigkeit mehr zu thuu als nur hinzuschreiben, dass ~ mal — sich
zu multipliziren. Er erläutert vielmehr, man müsse den einen

Bruch als Einheit betrachten, von welcher so viele Theile zu nehmen
seien, als der andere ausspreche-), und erörtert dieses an ver-
schiedenen Beispielen, darunter an solchen, bei welchen die nur be-
grenzt vorhandenen Duodecimalbrüche nicht gestatten anders als nur
mittels eines gesprochenen Bruches zu verfahren, wie z. B. duella

*) Nunc itaque ad unciariim minutiarumque tractatum veniamus, in quo si
quid me veritas praeterierit miniine mireris, cum et vindemiarum importunitate
mens animus per diver sa quaeque rapiatur , et nullius praeter Victorü opus
habeam exemplar, qui, dum hrevis studuit fieri, factus est obscurissimus. ^) Quae-
libet unciarum vcl minutiarum in quamcumque unciarum vel minutiarum fucrit
ducta totam partem illius in qua ducitur quaerit, quota ipsa est assis.

830 40. Kapitel.

multij)lizirt iu triens. Unter duella verstellt man 8 scripulae, deren
24 auf eine uncia oder auf — des as als Grundeinheit gelien; unter
triens verstellt man 4 Unzen. Wir würden also römiselie Gedanken-
folge so viel als möglich uns aneignend sagen: — sei mit — zu ver-
vielfachen und gebe -^ oder -— von --, beziehungsweise — Unze.

Weil ferner die Unze 24 Skrupeln hat, so ist ihr — so viel wie

24 2

-_ = 2—- Skrupeln. Aber 2 Skrupeln heissen emisescla und so ist

das Produkt eine emisescla und ihr Drittel. Auch Bernelinus kommt
zu diesem Ergebnisse. Duella in trientem ducta fit emisescla et
emisesclae tertia sagt Bernelinus. Die Rechnung, die ihn dahin führt,

mündet darin, es sei -^ der duella zu nehmen, aber grade diese letzte

Ausführung unterschlägt er. Das Bruchrechnen war in der That,
wie an der kurzen Auseinandersetzung, die wir hier gaben, erkannt
werden wird, ein schwieriges, wäre sogar für uns noch schwierig,
wenn wir in derselben Gewohnheit befangen wären, die Brüche nicht
durch Zähler und Nenner, sondern unter Anwendung von Namen
auszusprechen, welche zwar dem Geübten beim Hören sogleich ver-
ständlich sind, aber zur Rechnung immer erst wieder in die Begriffe
verwandelt werden müssen, mit welchen sie sich decken.

Ist es, fragen wir, denkbar, dass Gerbert für das ganzzahlige
Rechnen, welches solchen erheblichen Schwierigkeiten nie ausgesetzt
war, arabische Methoden sich angeeignet und in seiner Schule ver-
breitet hätte, dass er dagegen das weit anlockendere Rechnen mit
Sexagesimalbrüchen vernachlässigt und weder selbst angewandt noch
einem einzigen Schüler mitgetheilt hätte? Wir können unseren Un-
glauben damit begründen, dass die ersten Uebersetzungen aus dem
Arabischen sich sofort der Sexagesimalbrüche bemächtigten (S. 675),
dass die ersten nachweislichen Bearbeitungen (S. 752) es ebenso
machten.

Bernelinus lehrt in Anschluss an die Multiplikation der Brüche
auch noch deren Division, welche er complementär ausführt, indem
er den Divisor zur nächsten ganzen Einheit ergänzt, und sodann den
Quotienten jedesmal neu verbessert, nachdem die nothwendige Richtig-
stellung der Theilreste eingetreten ist.

Wir haben nur eines noch unserer Darstellung hinzuzufügen,
beziehungsweise zu verhüten, dass man ihr etwas entnehme. Berne-
linus, sagten wir, bilde die neun Apices ab. Man darf daraus nicht
schliessen wollen, dass sie im weiteren Verlaufe der Schrift benutzt

Abacisten und Algorithmiker. 831

werden. Nur auf dem Abaeus konnte ohne Null oder — wovon wir
später auch ein Beispiel kennen lernen werden — ohne abwechselude
Verwendung von Apices und römischen Zahlzeichen ein regelmässiger
Gebrauch der Apices stattfinden. Bernelinus hat aber in seinem
Werke nirgend einen Abaeus gezeichnet, kann sich also in der einzig
in Worte gefassten Darstellung der Regebi und der Beispiele nur
römischer Zahlzeichen bedienen. Wenn wir oben bei der Division
den Abaeus wirklich abbildeten, so haben wir uns damit eine Untreue
der Berichterstattung zu schulden kommen lassen; wir haben zur
grösseren Deutlichkeit gezeichnet, was Bernelinus nur erklärt, dessen
Nachahmung er seinen Lesern zumuthet, ohne ihnen ein Muster vor-
zulegen.

Um die Zeit des Bernelinus hat auch Guido von Arezzo sich
mit dem Abaeus beschäftigt, der um 1028 eine Abhandlung über die
Kunst der Rechnimg auf der mit Sand bedeckten Tafel verfasste^).

Erhalten hat sich ferner die Abhandlung über den Abaeus von
Hermannus Contractus^). Sie ist kurz und bündig, lehrt das
Multipliziren und Dividiren auf dem Abaeus, dessen vier wagrechte
Zeilen unterschieden werden, während von einer gruppenweisen Ver-
einigung der Kohimneu zu je dreien Abstand genommen ist, auch
eine Beschränkung der Anzahl dieser Kolumnen nicht stattfindet, von
denen vielmehr gesagt ist, dass sie, jede die vorhergehende um das
Zehnfache übersteigend, in das Unendliche sich erstrecken^). Das
Dividiren ist einfach oder zusammengesetzt und kann in beiden Fällen
mit oder ohne Differenz vollzogen werden. Hermann hat, wie wir
von Radulph von Laon, einem Schriftsteller des XII. S., der uns
gleich nachher beschäftigen wird, erfahren, nächst Gerbert- am meisten
für die Verbreitung des Kolumnenrechuens gethan. Es hat darum
Interesse hervorzuheben, dass von anderen Zahlzeichen als den ge-
wöhnlichen römischen bei ihm mit keiner Silbe die Rede ist.

Hermannus Contractus hat noch zwei andere Schriften verfasst,
deren wir trotz ihres nicht eigentlich mathematischen Inhaltes kurz
gedenken möchten. Er hat über jenes eigenthümliche Zahlenspiel,
die Rhytmomachie, geschrieben. In der Beschreibung einer dem XI.
bis XII. S. entstammenden Handschrift dieser Abhandlung ist der
Anfang derselben abgedruckt*), welcher die Erfindung dem Boethius

^) Nouveau traue de Diplomatique par deux religieux de la congregation de
S. Maur T. IV, preface, pag. VII. Paris, 1759. -) Aus einem Karlsruher und
einem Münchener Codex veröffentlicht durch Treutlein im Bulletino Boncom-
pagni X, 643 — 647 (1877). ^) Sicque in ceteris unaguaquc linea decuplum aliam
superante usque in infmitum progreditur. *) Catalogue uf the extraordinary col-
lectioH of splendid manuscripis of G. Libri. London, 1859, pag. 1Ö3, Nr. 483.

832 40. Kapitel.

zuweist, iu Uebereiustimmung, wie wir uns erinnern (S. 802), mit
Waltlier von Speier. Diese Uebereinstimmung kann uns übrigens
nicht verwundern, wenn wir uns ins Gedäcbtniss zurückrufen, dass
Speier von St. Gallen her seinen Studienplan erhielt, kurz zuvor
Walther dort erzogen wurde, und zugleich berücksichtigen, dass auch
in Reichenau ein strenger Abt ebendaher das Regiment führte kurz
bevor Hermann in die Schule trat.

Hermann hat ferner zwei Bücher über den Nutzen des Astro-
labiums verfasst, welche in dem Salzburger Codex aus der Mitte des
XII. S., welcher die Haupthaudschrift von Gerberts Geometrie uns
darstellte (S. 809), den Anfang jenes so wichtigen Sammelbandes
bildet^). Die Echtheit der Bezeichnung könnte, wenn man jenem
Codex allein Glauben zu schenken Bedenken trüge, noch besonders
nachgewiesen werden. Das 2., 3. und 4. Kapitel des H. Buches'^)
beschäftigt sich nämlich in einer muthmasslich von Macrobius ab-
hängigen Fassung mit der seiner Zeit durch Eratosthenes vollzogenen
Messung des Erdumfanges. Der Verfasser will aus dem Umfange
den Durchmesser berechnen und sich dabei der archimedischen

22 . ' 7

Verhältnisszahl -y bedienen, d. h. er hat - des Erdumfanges von

252 000 Stadien zu ermitteln. Dazu ist eine mittelbare Methode an-
gewandt^), welche auch im 56. Kapitel von Gerberts Geometrie, wir
wissen freilich nicht aus welcher Quelle, hat nachgewiesen werden

21 1

können^). Es wird nämlich, um ^ zu erhalten, zuerst „- des Um-

21
fanges abgezogen, dann von jenen — der dritte Theil genommen:

„Gegeben ist der Umkreis 252000. Sein — beträgt 11 454 _ und •

1 91 1

Durch Abziehen bleibt 240 544 und „, deren Drittel mit SOlSl^r

7
und -- den Durchmesser liefert." Das waren freilich Brüche, wie

sie Bernelinus z. B. nie geschrieben hätte, wie sie aber auch bei
einem griechischen Schriftsteller, der Stammbrüche zu brauchen ge-
wohnt war, nicht vorgekommen wären. Es waren Brüche, welche
darauf hinweisen, dass, wer sie schrieb, das Bewusstsein hatte, man
könne Bruchrechnungen auch anders als an den römischen Minutien

Vergl. auch E. Wappler, Bemerkungen zur Rhytmomachie in Zeitsclor. Math.
Phys. XXXVir, Histor.-literar. Abthlg. S. 1—17 (1892).

^) Agrimensoren S. 176. ') Ebenda S. 177. ^) Ein Schreiben Meinzos von
Constanz an Hermann den Lahmen, herausgegeben von E. Dümmler im Neuen
Archiv der Gesellschaft für ältere deutsche Geschichtskunde V, 202 — 206.
■') Oeuvres de Gerbert (ed. Ulleris) pag. 453.

Abaeisten und Algorithmiker. 833

oder zwölftheiligen Brüchen vollziehen^ ohne jedoch vollständig in das
andere Verfahren eingedrungen zu sein. Um so unverständlicher
musste das so Herausgerechnete einem Leser erscheinen, welcher
neben ganzen Zahlen nur römische Minutien kannte. Ein solcher
Leser war aber Meinzo der Stiftslehrer von Constanz. In
einem Briefe, der, wie man Grund hat anzunehmen, spätestens im
Anfange des Jahres 1048 geschrieben ist, wandte er sich um die ihm
nöthige Erklärung an Hermann, und damit ist der Beweis geliefert,
dass Hermann wirklich der Verfasser jener Kapitel, beziehungsweise
der sie enthaltenden und unter seinem Namen auf uns gekommenen
Schrift über den Nutzen des Astrolabiums ist. Auf diesen Nachweis
einiges Gewicht zu legen haben wir aber einen sehr triftigen Grund,
indem die genannte Schrift unverkennbar unter arabischem Einflüsse
verfasst ist, und arabischer Einfluss durch dieselben deutlichen An-
zeigen auch in einem anderen Texte der Bücher über das Astrolabium
zu Tage tritt, welcher im Uebrigen an Verschiedenheiten gegen die
auch im Druck bekannten Texte nicht arm ist^). Einigermassen
verstümmelte, aber immer noch erkennbare arabische Wörter, wie
walzachora, almuchantarah , almagrip, almeri, walzagene u. s. w.
kommen nämlich an den verschiedensten Stellen jener Bücher vor'"^)
und fordern die Frage heraus, wie Hermann dazu kam, dieser Wörter
sich zu bedienen?

Lassen wir Hermanns Leben rasch an uns vorüber gehen ^).
Dem schwäbischen Grafen Wolverad wurde 1013 ein Knabe Hermann
geboren, welcher mit sieben Jahren, also 1020, der Schule, wahr-
scheinlich in Reichenau, übergeben wurde, wo ein Verwandter von
Hermanns Mutter mit Namen Rudpert als Mönch lebte. Hermann
selbst wurde im Alter von dreissig Jahren, 1043, unter die Zahl der
Mönche aufgenommen. Er lehrte mit herzgewinnender Liebenswürdig-
keit, welche ihm Schüler von den verschiedensten Orten herbeizog.
Er starb nur 41 Jahre alt am 24. September 1054. Von sehr früher
Zeit an waren seine Gliedmaasseu schmerzhaft zusammengezogen,
wovon ihm der Name Hermannus Contractus geworden ist. Er
sass immer in einem Tragstuhle, er konnte ohne Hülfe nicht einmal
seine Lage ändern, ja er konnte nur mit Mühe verständlich sprechen.

Es ist nicht denkbar, dass Hermann in Gesundheits Verhältnissen,

*) Catalogue of the extraordinary eollection of splendid mcmuscripts ofG. Libri.
London 1859, pag. 103, Nr. 483. ^) Jourdain, Becherches critiques sur Vage

et l'originc des traductions latines d'Äristote. 2. edition. Paris 1843, pag. 146.
ä) "Wattenbach, Deutschlands Geschichtsquellen im Mittelalter (4- Ausgabe
1877) II, 3G— 40 unter Benutzung von Heinr. Hansjakob, Herimann der
Lahme. Mainz 1875.

Cantor, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 53

834 40. Kapitel.

wie wir sie scliilderu mussten, noch vor seinem 30. Jahre — später
ist es gar nicht möglich — Reisen gemacht haben sollte, von welchen
er die Kenntniss der arabischen Sprache mitgebracht hätte. Es ist
nicht denkbar, dass von solchen Reisen nirgend, auch nicht andeutungs-
weise die Rede wäre. Er müsste also das Arabische, wenn er dessen
mächtig war, in Reichenau selbst sich angeeignet haben. Das setzt
voraus, dass es dort entweder Persönlichkeiten gab, welche Unterricht
in jener Sprache zu ertheilen befähigt waren oder aber eine geschrie-
bene Sprachlehre und ein desgleichen Wörterbuch, beides Annahmen,
welche sich nicht wohl vertheidigen lassen. Dazu kommt, dass von
Kenntnissen Hermanns im Arabischen keiner seiner zahlreichen älteren
Lobredner etwas weiss, dass nur seit dem XV. S. die Behauptung sich
findet, Hermann habe Schriften des Aristoteles aus dem Arabischen
ins Lateinische übersetzt, eine Behauptung, die nach aller Wahrschein-
lichkeit auf einer Verwechslung beruht^). Ein solcher Uebersetzer
war nämlich ein gewisser Hermanus Alemannus, der unmöglich der-
selbe sein kann wie der unsrige, da er von Persönlichkeiten spricht,
die erst dem XHL S. angehören. In der Vorrede zur Uebersetzung
der Poetik des Aristoteles insbesondere nennt er den Bischof Robert
von Lincoln mit dem dicken Kopfe, Robertus grossi capitis Lincol-
niensis episcopus, welcher 1253 starb, zwei Jahrhunderte später als
der Mönch von Reichenau. Alle diese Gründe zusammengenommen
lassen die gerechtesten Zweifel obwalten, ob Hermann der Lahme der
arabischen Sprache mächtig war, mächtig gewesen sein kann, und
da auf der anderen Seite kein Zweifel möglich ist, dass arabische
Ausdrücke in seinen Büchern über das Astrolabium vorkommen, so
ist nur ein Ausweg aus diesem Dilemma: dass Hermann jene Bücher
unter Benutzung von damals bereits vorhandenen lateinischen Ueber-
setzungen arabischer astronomischer Schriften anfertigte, denen er
jene verketzerten Kunstausdrücke entnahm '**). Dass es in der That
solche Uebersetzungen gab, wenn auch vermuthlich nur in sehr ge-
ringer Anzahl, wissen wir. Wir wissen', dass Lupitus von Barce-
lona ein astronomisches Werk übersetzt, dass Gerbert nach dieser
Uebersetzung Verlangen getragen hat (S. 807), und dieses oder ein
ähnliches mag Hermanns Quelle gewesen sein.

Dem XL S. gehören noch verschiedene andere Schriftsteller au,
welche über den Abacus und verwandte Gegenstände schrieben, oder

') Jourdain 1. c. pag. 135 — 147. Chapitre III, § XI: IJ' Hermann surnomme
Contractus et d' Hermann l'Allemand. J^Jrreurs des biograpJtes ä leiir egard.
*) Ebenda pag. 147: 11 est plus naturel de croire qu'il composa ses deux traites
d'apres les traductions qui avaient cours alors, mais qu'il ne fit aueitne version
de l'arahe.

Abacisten und Algorithmiker. 835

in ihren Klöstern schreiben oder abschreiben Hessen^). Zu denen,
welche Abschriften aller Art anfertigen liessen, gehören Werner und
Wilhelm von Strassburg, sowie Fulbert von Chartres, und
es ist gar nicht unmöglich, dass unter des letzteren Einflüsse jene
Handschrift des Anonymus von Chartres entstand, der wir (S. 549)
einige Bemerkungen gewidmet haben. Fulbert von Chartres hat selbst
Verse über die Duodecimalbrüche, versus de uncia et partibus eins,
verfasst"). Als grosse Astronomen werden genannt Engelbert von
Lüttich, Gilbert Maminot von Lisieux, Odo Stiftsherr von
Tournai. Ueber den Abacus schrieben Heriger von Lobbes,
einem bei Lüttich gelegenen vielgerühmten Kloster, Heibert von
St. Hubertus in den Ardennen, Franco von Lüttich, den wir
schon (S. 822) als Geometer kennen lernten. A.uch Rudolf von
Lüttich und Regimbold von Coeln werden aus der unmittelbar
auf Gerbert folgenden Zeit als Mathematiker gerühmt"). Viele, ja
die meisten Pflanzstätten mathematischer Bildung, von welchen die
hier genannten Persönlichkeiten ihren Namen, aus welchen sie ihr
Wissen erhielten, liegen in ziemlich engem Kreise um Lüttich herum,
damals dem geistigen Mittelpunkte von Lothringen und bestätigen
so ein Wort des Bernelinus: bei den Lothringern blühe die Kunst des
Abacus*).

Wir überspringen nun fast ein Jahrhundert, um von einem
Manne zu reden, der am Anfange des XH. S. thätig war, und
dessen Schrift über den Abacus gegenwärtig veröffentlicht ist und
uns Gelegenheit zu vielfachen Bemerkungen gibt. Wir meinen
Radulph von Laon, der 1131 gestorben ist''). In Laon war um
1100 eine hochberühmte Klosterschule, welche ihre Blüthe nament-
lich Anselm verdankte, der Leuchte Frankreichs, wie seine
Bewunderer ihn nannten, dem Lehrer des fast noch bekannteren
Abelard. Radulph war Anselms Bruder und, wie er, Lehrer an der
Klosterschule, bevor er zum Bischöfe eingesetzt wurde. Er schrieb,
wie gesagt, über den Abacus, und eine Einleituugsstelle beschäftigt
sich mit der geschichtlichen Entwicklung der Rechenkunst auf dem
Abacus*^): „Jetzt ist zu besprechen, welcher Wissenschaft diese Vor-
richtung hauptsächlich dient. Der Abacus erweist sich als sehr uoth-
wendig zur Untersuchung der Verhältnisse der spekulativen Arith-
metik; ferner bei den Zahlen, auf denen die Tonweisen der Musik

1) Math. Beitr. Kulturl. S. 332. ') Werner, Gerbert S. 64, Anmerkung 4.
^) Ebenda S. 77. •*) Oeuvres de GerheH (edit. Olleris) pag. 357. ^) Histoirc
lüteraire de la France VII, 89 sqq., 143. Der arithmetische Tractat von Radulph
von Laon, herausgegeben von A. Nagl im Supplementhefte zu Zeitschr. Math.
Phys. Bd. XXXIV (1889). '') Com2:>t. Bend. XVI, 1413, Anmerkung 1.

53*

836 40- Kapitel.

beruhen-, desgleiclieü für die Dinge, welche durch die emsigen Be-
mühungen der Astronomen über den verschiedenen Lauf der Wandel-
sterne gefunden sind und über deren gleiche Umdrehung dem Weltall
gegenüber, wenn auch ihre Jahre je nach dem Verhältnisse der un-
gleichen Kreise sehr verschiedenes Ende haben; weiter noch bei den
dem Piaton nachgebildeten Gedanken über die Weltseele und zum
Lesen all der alten Schriftsteller, welche ihren scharfsinnigen Fleiss
den Zahlen zuwandten. Am allermeisten aber zeigt der Gebrauch
dieser Tafel sich bequem und wird von den Lehrern der Kunst be-
nutzt bei Auffindung der Formeln der geometrischen Disciplinen und
bei Anwendung derselben auf die Ausmessung der Länder und Meere.
Allein die Wissenschaft, von der ich eben rede, ist fast bei allen Be-
wohnern des Abendlandes in Vergessenheit gerathen, und so wurde
auch diese Kunst des Rechnens beim Aufhören der Kunst, als deren
Hilfsmittel sie erfunden worden war, nicht gar gross beachtet; ja
sie kam in Misskredit, und nur Gerbert, genannt der Weise, ein
Mann von höchster Einsicht, und der vortreffliche Gelehrte Hermann
und deren Schüler pflanzten Einiges bis zu unseren Zeiten fort; in
ihnen zeigt sich noch ein schwacher Abfluss jener Quellen der ge-
nannten Wissenschaft."

Es sind hier der zu Radulphs Zeit vorhandenen wissenschaft-
lichen Ueberzeugung folgend Sätze ausgesprochen, welche durchweg
mit den Ansichten in Einklang stehen, welche wir schon die ganze
Zeit her vertreten haben: Der Abacus ist sehr nothwendig zum Ver-
ständniss der Platoniker; die Mathematiker bedienten sich seiner
hauptsächlich bei Berechnungen aus dem Bereiche der Feldmesskunst,
und als diese letztere Kunst schwand, da wurde auch der Abacus
fast vergessen; Gerbert und Hermann und ihre Schulen haben nicht
etwa den Abacus neu eingeführt oder gar erfunden, sie haben die
halbwegs vergessene Kunst nur in einiger Erinnerung erhalten. Von
Arabern, bei welchen die Kunst geblüht haben könnte, ist auch bei
Radulph mit keinem Worte die Rede. Wir schalten hier vorgreifend
ein, dass auch von einem anderen Schriftsteller ein sehr beredtes
Schweigen zu melden ist, dass auch Atelhart von Bath, welcher
um 1130 über den Abacus schrieb, in dieser Abhandlung der
Araber nicht erwähnt hat, er, der vollkommen Arabisch kannte
und Uebersetzungen aus dem Arabischen vollzogen hat, dass er da-
gegen des Zusammenhanges des Abacus mit der Geometrie sich
wohl bewusst war^).

*) Chasles in den CowiJt. Eend. XVI, 1410—1411 und XVII, 147. Die
ganze Abhandlung ist vcvöffontlicht ini Bulletino Boncompagni XIV, 91 — 134

Abacisten und Algorithmiker. 837

Radulph begnügt sich nicht, der Verbreitung, des Verschwindens,
des Anffrischens des Abacus zu gedenken; er spricht auch über
dessen Erfindung und Einrichtung, und dabei bedient er sich der
Apices, die wir nur der Bequemlichkeit halber in unserer Ueber-
setzung durch die gewöhnlichen Zahlzeichen wiedergeben'): „Bei der
Zeichnung dieser Tafel, wie wir zu sagen augefangen haben, wird
die Menge der Zwischenräume in drei mal neun eingetheilt, d. i. nach
der Gestalt eines Würfels, welcher die Länge drei auch nach der
Breite und Höhe in gleichen Abmessungen vermehrt. Und da die
Assyrer für die Erfinder dieses Instrumentes gehalten werden, welche
der chaldäischeu Sprache und Buchstaben sich bedienten, und beim
Schreiben rechts anfingen und nach links fortfuhren, so besfinnt o-e-
mäss des den Erfindern in fortgesetzter Verbreitung schuldigen An-
sehens die Zeichnung dieser Tafel zur Rechten und setzt ihre Läno-e
nach links fort. Die Zwischenräume selbst sind aber so miterschieden,
dass, während jeder einzelne seinen oberen Abschluss hat, auch je
drei von dem Anfange bis zum Ende der Tafel durch obere Ab-
schlüsse endigen, so dass, indem je drei Zwischenräume immer durch
einen Halbkreis geschlossen sind, auf der ganzen Länge der Tafel IX
obere Abschlüsse gefunden werden. Der erste Abschluss dreier
Zwischenräume ist mit dem Zeichen der Einheit überschrieben, welche
mit chaldäischem Namen igin heisst; 1 stellt die Gestalt eines latei-
nischen Buchstaben dar. Man erkennt, dass dieses deshalb geschieht,
damit jene drei Zwischenräume, welche das Zeichen der Einheit vor-
bemerkt haben, bezeugen, dass sie dadurch den ersten Rang erlangt
haben. Der zweite Abschluss von drei Zwischenräumen trägt dieses
Zeichen der zwei 2, welches bei den vorgeuannten Erfindern and ras
heisst, damit durch diese Wendung, erklärt werde, jene drei Zwischen-
räume, über welchen es geschrieben ist, nehmen den zweiten Rang
für sich in Anspruch. Der dritte Abschluss von drei Zwischenräumen
lehrt, dass er den dritten Rang einnehme, dadurch, dass er mit
folgender Gestalt der drei 3 bezeichnet ist, welche bei den Chaldäern
ormis genannt wird. Aehnlich bezeugt auch der Abschluss der
vierten Ordnung, dass er den vierten Rang behaupte, indem über ihn
dieses Zeichen 4 der vier geschrieben ist, das bei den Erfindern als
arbas gilt. Nicht weniger kündigt die fünfte Ordnung an, sie halte
den fünften Rang ein, weil sie diese Gestalt 5 der fünf trägt, welche
quimas heisst. Ebenso gehabt sich die sechste Ordnung als sechste,

(1881) unter Vorausschickung gelehrter biographischer und bibliographischer
Untersuchungen des Fürsten Bald. Bouconipagni , ebenda pag. pag. 1—90.
^) Journal Asiatique 1863, I. Halbjahr, pag. 48—49, Anmerkung 3.

838 ^^- Kapitel.

weil sie als Aufschrift das Zeichen 6 oder sechs hat, welches caltis
heisst. Auch die siebente ist durch folgende Gestalt 7 der sieben
bezeichnet, welche zenis heisst. Die achte hat folgende Form 8
der acht, welche man temeniam nennt; und die neunte ist mit dieser
Figur 9 der neun bezeichnet, welche bei den Erfindern celentis
genannt wird. Bei der letzten Ordnung wird auch die sipos ge-
nannte Figur 0 angeschrieben, welche, wiewohl sie keine Zahl bedeutet,
doch zu gewissen anderen Zwecken dienlich ist, wie im Folgenden er-
klärt werden wird."

Wir werden Radulphs Beispiel folgend auch erst nachher von
dem sipos und seiner Benutzung reden. Anderes vorausschicken. Es
könnte zvmächst auffallen, dass Radulph wiederholt von der Länge
der Tafel redet, wo wir die Breite genannt erwarten. Allein wie
Heron im Anschlüsse an ägyptische Uebung (S. 365) Breite die
kleinere, Höhe die grössere Abmessung nannte, ohne auf die Lage
selbst zu achten, so ist für Vitruvius nur derselbe Gegensatz bei der
Anwendung der Wörter Breite und Länge massgebend^), und Radulph
steht mit Beibehaltung dieser alterthümlichen Sitte durchaus auf
römischem Boden. Der mit 27 Kolumnen ausgestattete Abacus
musste mehr breit als lang erscheinen, die Breite deshalb als Länge
benannt werden.

Eine zweite Bemerkung bezieht sich auf den assyrischen oder
chaldäischen Ursprung, den Radulph für den Abacus, für die Apices
und für deren Namen in Anspruch nimmt. Wir pflichten entschieden
der Meinung bei, welche hierin ein Anlehnen an griechische Er-
innerungen findet^), die manche astronomische und anderweitige
Kenntnisse von den Chaldäern ableiteten. Warum sollte Radulph
statt der Assyrer nicht die Araber oder die von diesen stets als Er-
finder der Zahlzeichen gerühmten Lider genannt haben, wenn er von
ihnen wusste? Sein Schweigen ist mithin als Beweis anzusehen, dass
ihm und mit ihm gewiss den Zeitgenossen, vor welchen er durch
Gelehrsamkeit sich auszeichnete, ein Vorkommen des Abacus bei den
Arabern gerade so unbekannt war wie bei uns.

Drittens müssen wir zu jenen räthselhaften Wörtern uns wenden,
die uns von Radulph als desselben chaldäischen Ursprunges wie der
Abacus genannt werden. Wir haben (S. 544) von Wörtern gesprochen,
welche nicht im Texte, aber auf dem Abacus zwischen dem I. und
II Buche der Geometrie des Boethius vorkommen und dort möglicher-
weise erst nachträglich ihren Platz gefunden haben. Es sind dieselben,

*) Agrimensoren S. 67 und 19(3, Anmerkung l-2<). -) Wot'pckc im Jour-
nal Äsialique für 1863, I. Halbjahr, pag. 49.

Abacisten und Algorithmiker. 839

die wir hier nach Radulph mitgetheilt haben. Dieselben finden sich
in zehn Versen eines lateinischen Pergamentcodex des Vatican'):

Ordine pnmi(/erto sibi nomen possidet Ig in.
An d ras ecce locum precindicat ipse secundum.
Ormis post numerus non compositus sibi immus.
Denique bis hinos succedens indicat Arbas.
Significat qiiinos ficto de nomine Quimas.
Sexta tenet Calcis perfecto munere gaudens.
Zenis enim digne septeno fulget lionore.
Octo heatificos Temenias cxprimit unus.
Terque notat trinum Celentis nomine ritlimum.
Hinc scquitur Sij^os est, qui rota namque voeatur.

Der Sinn dieser Verse, welche vielleicht nur als Gedächtnissverse zu
betrachten sind, welche die Einprägung jener fremdartigen Wörter
erleichtern sollen, dürfte aus folgendem Uebersetzungsversuche'^) sich
ergeben:

Igin führet das Zeichen in erster Stelle zum Namen.

Auf den zweiten der Plätze erhebet Andras den Ansprach.

Dann als erste einfache Zahl folgt Ormis auf jene.

Zweimal zeiget die zwei das jetzt nachfolgende Arbas.

Quimas bildet die fünf mit ausersonnenem Namen.

Ihrer Vollkommenheit freut sich die CaJcis an sechsester Stelle.

Siebenfältiger Ehre erglänzet am würdigsten Zenis.

Und die glückselige Acht zeigt nur Temenias einzig.

Dreimal schreibet die Drei das Zeichen mit Namen Celentis.

Aehnlich gestaltet dem Rade ist, was hier Sipos ich nenne.

Eben dieselben Wörter finden sich bei einem etwas jüngeren
Zeitgenossen Radulphs, von dem wir noch zu sprechen haben, Ger-
laud, und bei verschiedenen Schriftstellern bis in das XIV. S. herab").
Meistens fehlt das Wort sipos. Hat nun Kadulph recht, wenn er
die Wörter aus dem Chaldäischen herstammen lässt, und sind sie in
der That ebenso» alt, eben so lange in Gebrauch als der Abacus, oder
wenigstens als die Apices? Würde die letzte Frage noch weiter ein-
geschränkt auf die Zeit der Neubelebung und allgemeinen Verbreitung
des Abacus- oder Kolumnenrechnens, so wäre sie entschieden mit
Nein zu beantworten. Gerbert, Beruelinus, Hermann der Lahme be-
nutzten jene Wörter nie, und sie sind doch als die hervorragendsten
Lehrer zu betrachten. Auch aus keinem anderen Schriftsteller des '

*) Vat. Univ, 5327, wie wir freundlicher Mittheilung von Prof. L. Gegen-
bauer entnehmen. Die gleichen Verse nur unter Weglassung des auf celentis
bezüglichen hat Chasles, Aper9u bist. pag. 473, deutsch S. 540, aus dem Codex
von Chartres veröffentlicht, in welchem auch die Geometrie des Anonymus von
Chartres (S. 500) steht. '-) Math. Beitr. Kulturl. S. 244. ■') Oeuvres de Gerbert
(edit. Oller is) pag. 578—579.

840 40- Kapitel.

XI. S. wird das Vorkommen jener Wörter uns berielitet, und erst
im XII. S. scheinen sie aufzutreten. Damit aber^ verbunden mit dem
Umstände, dass der Text des Boethius die Wörter ebensowenig ent-
hält, gewinnt die Wahrscheinlichkeit das üebergewicht, dass sie auf
dem dort vorhandenen Abacus erst nachträglich beigeschrieben worden
seien, beigeschrieben im XII. S., nachdem die Handschriften selbst
schon ein Jahrhundert etwa gefertigt waren. Würde das Aussehen
der Handschriften dieser Annahme allzusehr widersprechen, dann
wären freilich mindestens im XL S. die Wörter nachgewiesen, und
dann würde die Beantwortung der Frage, ob sie noch älter seien,
sich möglicherweise anders gestalten, da wir hier deren Verneinung
wesentlich aus dem vollständigen Fehlen vor dem XII. S. abgeleitet
haben. Werfen wir noch für die Bejahung das Gewicht von Radulphs
Behauptung, die wir doch nicht so ganz leicht nehmen dürfen, in
die Wagschale, so stehen wir vor ziemlich gleich schwer wiegenden
Gründen, zwischen welchen ohne Weiteres eine Entscheidung nicht
rathsam erscheint.

Vielleicht sind die Wörter selbst geeignet den Zweifel zu lösen?
Ein Assyriologe will fünf derselben als assyrisch erkannt haben')-,
igin sei iscJdin, arhas sei arha, quinias sei %amsay zenis wohl in der
gleichfalls vorkommenden Form zehis sei schibit, temenia sei schnmunu.
Es gehört immerhin eine gewisse Phantasie dazu, um diese Verwandt-
schaften als offenkundig anzuerkennen. Ärhas, qxiimas, temenias sind
allerdings als semitisch wohl von allen Untersucheru anerkannt
worden, aber ohne dass Einigkeit darüber stattfände, ob das Arabische,
das Hebräische oder das Aramäische die Grundformen geliefert habe,
worauf es natürlich nicht wenig ankommt, wenn das Alter und die
Ueberlieferungsweise der Wörter geprüft werden wollen. Mit der
semitischen Ursprungserklärung der anderen Wörter geht es nicht so
leicht. Man hat sie freilich insgesaramt arabisch deuien wollen, aber
fraget nur nicht wie, möchte man ausrufen. Caltis, 6 und zenis, 7
sollen als cadis und sehis aus der entsprechenden arabischen Cardinal-,
igin, 1 aus der arabischen Ordinalzahl stammen; ormis, 3 und celen-
tis, 9 sollen ihren Werth vertauscht haben, alsdann aber wieder
arabische Klänge geben, und andra, 2 soll diesem Ursprünge gleich-

') Lenormant, La legende de Semiramis, pi-emier memoire de mytlwlogie
comparutiüc pag. 62 in den Mänoires de VÄcadcniie lioydle des sciences et helles-
lettres de Belgique. T. XL (Bruxelles 1873). Friibere Untersuchungen vergl. bei
Vincent in Lionville, Journal de mathematiques IV, 261 und in der Revue
archeologique II, 601; Math. Beitr. Kulturl. S. 245—246; Wo-epcke im Journal
Asiatique für 1863, I. Halbjahr, pag. 51; Oeuvres de Gerbert (edit. Olleris) pag.
579—581.

Abacisten und Algorithmiker. 841

falls niclat widersprechen, vorausgesetzt dass mau das arabische Wort
schlecht geleseu habe. Audere, weniger leicht mit Verstümmelungen
und Werthvertauschuugen zufrieden, haben zwar igin aus dem He-
bräischen, dem Persischen, der Berbersprache, andras aus dem He-
bräischen, dem Arabischen, zcnis aus dem Hebräischen abgeleitet,
aber, wie wir durch die Nebeneinanderstellung der beigezogenen
Sprachen andeuteten, wieder in fast unlösbarem Widerspruche zu
einander, einig nur in dem Verzichte auf jegliche Erklärung für ormis,
caJcis, celei'itis. Semitisch also, den Schluss können wir allenfalls
ziehen, sind die fremden Zahlwörter nicht ausnahmslos. Man hat
auch versucht, einige der Wörter, welche besondere Schwierigkeiten
bereiten, ormis und cclcntis, aus dem Magyarischen herzuleiten'). Eine
andere Richtung schlugen alsdann Gelehrte ein, welche den hebräischen
Ursprung von arhas, qnimas, tenicnias als mit der alesandrinischen
Heimath der sämmtlichen von ihnen als neupythagoräisch vermutheten
Wörter Avohl vereinbarlich zugaben, dagegen die anderen aus dem
Griechischen ableiteten, und zwar aus Wörtern, welche Begriffen ent-
sprachen, die in der That in der Zahlensymbolik der späten Pytha-
goräer mit den betreffenden Zahlen im Zusammenhang stehen. lyin
soll aus 1] yvvi], axdras aus ccvdQsg, ormis aus oq^t] entstanden sein,
weil die 1 das Weibliche, die 2 das Männliche, die 3 die Vereinigung
beider bedeute; caicis, welches auch in den Formen caltis und chalcus
vorkommt, sei nach einer Meinung y.alörrjg, weil die 6 dem Begriffe des
Vollkommenen und des Schönen entspreche, während die andere Meinung
clialcus, xaXxovg damit rechtfertigt, dass laXxovg und ovyyCa Syno-
nyma seien, die Alten aber nach einer Behauptung des Cassiodorius
in einem Briefe an Boethius^) für 6 auch Unze sagten. Eine Ab-
leitung von zenis als Tochter des Zeus beruht daraufj dass die 7 bei
Theon von Smyrna Athene genannt wird''), eine dem Sinne nach
ähnliche von celentis aus ösXijvrj darauf, dass 9 die Zahl der Jungfrau
ist*), die Mondgöttin aber sich vor Allen der Jungfräulichkeit erfreut.
Andere dagegen wollen celentis von QrjXvvrog weibisch, oder vielmehr
unter der Annahme, das Anfangs-« eines Wortes köime, auch wenn
es verneinende Bedeutung habe, wegfallen, von dQrjkvvrog nicht
weibisch, kräftig, ableiten, weil die 9 den Begriff der Kraft in sich
schliesse. So steht eine nicht unbedingt zu verwerfende Anzahl von

') Fr. Th. Koppen, Notizen über die Zahlwörter im Abacua des Boethius
(in dem VI. Bande der Melanges Greco-Bomains tire's du Bulletin de l'Acad.
imper. des scienccs de St. Feter slow g). *) Variae I, epist. 10: Senarium viro,
quem non immerito perfecfum docta Äntiquitas definuit, unciae, qui mensurae
primus gradus est, appeUatione signavit. ^) Theon Smymaeus (ed. Hill er)
pag. 103, liu. 1 — 5. *) Theologumena (ed. Ast) pag. 58, lin. 12 flgg.

842 4:0. Kapitel.

Erklärungen der fremdkliugeuden Zahlwörter Radulphs zu Gebote.
Weiter aber als bis zur Ablehnung der unbedingten Verwerfung
möchten wir unsere Zustimmung doch nicht erstrecken und betrachten
das Räthsel als immer noch nicht mit Gewissheit aufgelöst, gern
bereit eine zuverlässigere Deutung jeuer Wörter freudig zu begrüssen,
welche auch die Frage nach der Zeit der Entstehung endgiltig be-
antworten würde.

Wir gehen nunmehr mit Radulph zu dem letzten Zeichen des
s/pos über, zu dem Kreise mit angedeutetem Mittelpunkte, jene Figur
„welche, wiewohl sie keine Zahl bedeutet, doch zu gewissen anderen
Zwecken dienlich ist, wie im Folgenden erklärt werden wird." (S. 838).
Radulph erfüllt das gegebene Versprechen treulich ^). Der vorsichtige
Abacist — providus dbacista — wird, sagt er, unter den anderen
Zeichen auch ein nach Art eines Rädchens — in niodum rotidae —
gestaltetes sipos sich auf Marken — in caJcidis — anfertigen, und
nun erläutert er deren Gebrauch. Wir begnügen uns, ohne wörtlich
zu übersetzen, auf den Kernpunkt hinzuweisen. Wenn die Multipli-
kation mehrziffriger Zahlen mit einander vorgenommen wird, so
kommt es darauf an, immer zu wissen, avo man mit dem Vervielfältigen
halte. Ist dieses schon uothwendig, wofern alle Zwischenrechnungen
stehen bleiben, so ist es noch weit unerlässlicher, wenn, wie wir von
Bernelinus gelernt haben, ZilBfern fortwährend verändert wurden. vSei
es dass man auf dem Sande neue Zeichen schrieb, sei es dass man
auf dem vom Schildmacher hergerichteten Abacus neue Marken auf-
legte, in beiden Fällen war dem vor Augen befindlichen Theilergeb-
uisse nicht anzusehen, welchem Augenblick der Rechnung es ent-
stamme. Da trat das sipos in seine Rechte. Man rückte nämlich
eine solche Marke längs den Ziffern des Multiplikators von der Rechten
zur Linken fort, um anzugeben, mit welcher Stelle man gerade ver-
vielfache; um aber auch zu wissen, welchen Abschnitt der Verviel-
fältigung jeder Multiplikatorsziffer mit dem ganzen Multiplikandus
man schon ausgeführt habe, liess man gleichzeitig eine zweite sipos-
Marke längs des Multiplikandus fortrücken. Man sieht somit: das
sipos ist keine Null, ist, wie Radulph ganz richtig bemerkt, überhaupt
kein Zahlzeichen, sondern nur ein Rechnungsbehelf ähnlich dem
Pünktchen, dessen auch wohl in der heutigen Zeit Rechner beim
Dividiren sich bedienen, sowie beim Multipliziren vielziffriger Zahlen
mit einander, vorausgesetzt dass sie diese letztere Rechnung so voll-
ziehen, dass alle Zwischenrechnungen bis zum Hinschreiben der ein-
zelnen Ziffern des Gesammtproduktes im Kopfe vorgenommen werden.

*) Woepcke im Journal Asiatique für 1863, I. Halbjabr, pag. 246—247,
Anmerkung 1.

Abacisten und Algorithmiker. 843

Dass beim sipos eiu Kreis das Pünktclien uiiiscbliesst, ist vielleicht
nur die Zeichnung einer runden Marke überhaupt und die Aehnlich-
keit mit dem Zeichen der Null eine durchaus zufällige. Was das
Wort sipos betrifft, so ist es kaum weniger zweifelhafter Bedeutung
als die anderen Wörter, von welchen wir oben gesprochen hal)en,
denn wenn die Einen es mit dem as-sifr (leer) der Araber, Andere
es mit dem sapJo (Gefäss) der Hebräer in Verbindung setzen, leiten
noch Andere, offenbar hier weit mehr in Uebereinstimmung mit der
Verwendung des sipos, es von il)r](pog (Kechenmarke) ab. Man ist
sogar so weit gegangen') zu fragen, ob nicht das arabische as-sifr
selbst als Lehnwort mit dem griechischen ipfj(pog in Zusammenhang
zu bringen sei.

Wir können hier einschaltend auch das Wort ahacista liervor-
heben, durch welches Radulph den auf dem Abacus Rechnenden be-
nennt. Der Name^) geht mindestens bis auf Gerbert zurück, der
sich in seiner Geometrie desselben bedient, und seine Nachfolger ge-
brauchen bald dieses Hauptwort, bald ein von demselben aljgeleitetes
Zeitwort ahacizarc^) , welches Rechnen auf dem Abacus bedeutet.
Die Hochschätzuug Gerberts als desjenigen, welcher das Rechnen mehr
als jemals früher zum Gemeiugute gemacht hat, spricht sich in dem
gleichfalls einmal aufgefundenen Worte gerhertista^) für Rechner aus.

Jüngerer Zeitgenosse Radulphs war, wie wir schon sagten,
Gerland ■''). Er war Schüler des von dem Bisthum Besan^on ab-
hängigen Benediktinerklosters in der Stadt gleichen Namens. Er
wirkte selbst dort als Stiftslehrer, dann als Prior in den Jahren Hol
und 1132. Im Jahre 1148 begleitete er nebst Theodorich von Chartres
den Erzbischof Adalbero von Trier zu einem Reichstage nach Frankfurt
und führte mit seinem Reisegefährten während der Rheinfahrt ein
glänzendes Wortgefecht. Er schrieb unter Anderem einen Computus,
d. h. wie wir wissen, eine Anleitung zur Osterrechnung, und eine
Abhandlung über den Abacus, die in einer Karlsruher Sammelhand-
schrift aus dem Xll. S., die also jedenfalls kurz nach der Abfassung
der Abhandlung entstanden sein muss, sich erhalten haf").

Wir heben nur Weniges als bemerkenswerth aus ihr hervor.
Gerland benutzt die fremdartigen Zahlwörter beim Rechnen selbst:

1) Karl Krumbacher, Woher stammt das Wort Ziffer (chiüre)? in deu
Etudes de phüologie neogrecque publiees par M. Jean Pnichari. Paris, 1892.
Dagegen Derselbe, Noch einmal das Wort Ziffer, in der Byzantinischen Zeitschrift.
Leipzig, 1893. *) Math. Beitr. Kulturl. S. 331. ^) Franco 185. ^) Oeuvres
de Gerbert (ed. Olleris) pag. XXXYII aus dem Codex von Moutpellier Nr. 491.
^) Boncompagni im Bulktino Bo>tcompagni X, 658 — 656. *) Zum Drucke be-
fördert durch Treutlein in dem Bulletino Boncompagni X, 595—607.

844 40. Kapitel.

Ig'm pone iuxta andrani, setze igln neben nndras u. s. w. Er be-
nutzt ferner fortwäbrend einen gezeichneten Abacus, dessen einzelne
Kolumnen Bogen, arcns, heissen und einen oberen Absehluss durcb
einen Kreisbogen finden. An einer einzigen Stelle vereinigt er, wie
Bernelinus, wie Radulpb es vorsebrieben, überdies Gruppen von drei
Kolumnen unter einem grösseren Kreisbogen und von diesen, dreien
selbst wieder zwei unter einem mittelgrossen Bogen; allein dabei
macht sich eine Verschiedenheit gegen Bernelinus geltend, denn Ber-
nelinus will (S. 882) den mittelgrossen Bogen über die Zehner- und
Hunderterkolumne gezeichnet haben, worin ein guter Sinn liegt, der
der Unterscheidung von Einern und Nichteinern der betreffenden
Gruppe, Gerland dagegen vereinigt, man weiss nicht wozu, die Einer-
und Zehnerkolumne unter einem mittelgrossen Bogen. Die Zahl der
Kolumnen ist 12, also auch nicht mit jenen Vorgängern in Ueber-
einstimmung. Eine andere Handschrift von Gerlands Abacusregeln
hat 15 Kolumnen, und überhaupt ist der Wechsel in diesen Anzahlen
ein sehr häufiger und nur darin beschränkt, dass die Kolumnenzahl
stets durch 3 theilbar die Bildung von Triaden gestattet^); neben
27 kommen beispielsweise auch 30 Kolumnen vor, muthmasslich so
zu erklären, dass neue Gruppen von je 3 Kolumnen mit den Wörtern
/(jin bis celentis überschrieben waren und dann noch eine zehnte
Gruppe hinzugenommen wurde, um die üeberschrift sipos verwerthen
zu können, deren Sinn allmälig verloren ging, als man mit der wirk-
lichen Null der Araber bekannt wurde. Beim Dividiren lehrt Ger-
land nicht das complementäre, sondern das unmittelbare Verfahren
sowohl an dem Beispiele 120:3 als an dem Beispiele 100:11, bei
welchem letzteren das übrig bleibende 1 zur Fortsetzung der Division
in Duodecimalbrüche verwandelt wird.

Greifen wir jetzt aus der zahlreichen Menge von dem Verfasser
und der Abfassungzeit nach nicht genau bestimmbaren Schriften
über den Abacus noch einige heraus, die uns bemerkenswerther er-
scheinen und möglicherweise in die Zeit gehören, bis zu welcher
wir gelangt sind. Dem XII. S. entstammen nach der Ansicht der
Meisten Oddos Regeln des Abacus^), welche nach anderer Mei-
nung auf Odo von Cluny zurückzuführen sind (S. 794). Diese Regeln
beginnen wieder mit einer an geschichtlichen Erinnerungen reicheu

') Compt. Bend. XVI, 1405. ^) Scriptores ecdesiastici de musica (ed. Mart.
Gerbert). St. Blasiert, 1784, I, 296-302: Begulae Domni Oddonis super dbacum.
Vergl. Math. Beitr. Kulturl. S. 295—302. Die wichtigsten Gründe, welche für
eine späte Lebenszeit Oddo's sprechen, bei R. Peiper auf S. 21G — 220 des
Supplementheftes zu Zeitschr. Math. Phys. XXV (1880) und bei A. Nagl, Ger-
bert und die Rechenkunst des X. Jahrhunderts S. 33.

Abacisten und Algorithmiker. 845

Einleitung: „Will Einer Kenntniss des Abacus haben, so muss er
Betrachtungen über die Zahlen sieh aneignen. Diese Kunst wurde
nicht von den modernen Schriftstellern erfunden, sondern von den
Alten, und wird deshalb von Vielen vernachlässigt, weil sie durch
die Verworrenheit der Zahlen sehr verwickelt ist, wie wir aus der
Erzählung unserer Vorfahren wissen. Erfinder dieser Kunst war
Pythagoras, wie uns mitgetheilt wird. Deren üebung ist bei einigen
Dingen nothwendig, weil ohne Kenntniss derselben kaum irgend
Jemand es in der Arithmetik zur Vollkommenheit bringen, noch die
Lehren der Calculation d. h. des Computus verstehen wird. Hütten
doch unsere heiligen Weisen niemals die für die heilige Kirche noth-
wendigen Regeln auf das Ansehen jener Heiden gestützt, wenn sie
gefühlt hätten, es sei eine müssige Kunst, die jene lehrten. Will
z. B. einer die Bücher Bedas des Ehrwürdigen über den Computus
lesen, so wird er ohne Besitz dieser Kunst wenig Nutzen erzielen
können. Eben sie ist in dem Quadrivium, d. h. in der Musik, Arith-
metik, Geometrie und Astronomie so nothwendig und nützlich, dass
ohne sie fast alle Arbeit der Studirenden zwecklos erscheint. Wir
glauben, dass sie vor Alters griechisch geschrieben und von Boethius
ins Lateinische übersetzt wurde. Aber das Buch über diese Kunst
ist zu schwer für den Leser, und so haben wir einige Regeln hier
auseinandergesetzt."

Wir sehen hier in den geschichtlichen Anga'ben eine ziemliche
Uebereinstimmung mit denen Radulphs, jedoch so, dass keiner der
beiden Schriftsteller eine Abhängigkeit von dem anderen verräth, die
Allgemeinheit der Ueberlieferung also durch ihre ähnlichen Behaup-
tungen nur um so sicherer bestätigt wird. Wenn Radulph die Noth-
wendigkeit des Abacus zum Verständniss Piatons betont, führt Oddo
das Rechnen auf demselben auf Pythagoras zurück. Wenn Radulph
ihn der Geometrie dienen lässt, ist er bei Oddo dem ganzen Qua-
drivium ein nützliches Hilfsmittel. Wenn Radulph die Kunst in
Misskredit, fast in Vergessenheit gerathen lässt, bis Gerbert und
Hermann sie erneuerten, spricht Oddo die Meinung aus, Boethius
habe darüber eine Schrift aus dem Griechischen ins Lateinische über-
setzt, aber dieses Buch sei zu schwierig, und deshalb setze er seine
Regeln auseinander. Die letztere Bemerkung Oddos verdient unsere
ganz besondere Aufmerksamkeit, da es schwer fällt, dieselbe nicht
auf die Geometrie des Boethius zu beziehen. Dann sind aber nur
zwei Fälle denkbar. Entweder behandeln wir Oddo hier am un-
richtigen Orte, er schrieb vor Gerbert und kannte die Geometrie des
Boethius, dann ist deren Echtheit wieder mit einer gewichtigen
Stütze versehen. Oder Oddo lebte nach Gerbert, dann ist nicht

846 40- Kapitel.

abzusehen, wie er dessen balinbrecliende Thätigkeit so ganz übergeben
konnte, falls er docb einmal gescbicbtlicbe Bemerkungen machte,
wenn sie nicht buchstäblich wahr waren, wenn es nicht allgemein
bekannt war, dass auf die Geometrie des Boethius die ganze Lehre
zurückzuführen und Gerbert nur der Erneuerer sei, als welcher
liadulph ihn pries, und das führt alsdann zu denselben Schlüssen,
wie vorher.

Die Benennung der Einer und Zehner als Finger- und Gelenk-
zahlen, der Kolumnen als Bögen, die Vereinigung von je drei Bögen
zu einer mit einem grösseren Bogen überspannten Gruppe, das Auf-
treten der Apices, das sind lauter Dinge, die Oddo mit vielen gemein
hat. Die Zahlennamen igln u. s. w. kommen bei ihm nicht vor, und
das könnte Anlass geben, ihn für einen Zeitgenossen eines früheren
als des XII. S. zu halten. Bei der Multiplikation unterscheidet er die
beiden Faktoren als Summe, summa, und Grundzahl, fundamentum,
wovon jene oben, diese weiter unten geschrieben wird. Das Produkt
kommt zwischen beide Zeilen zu stehen^). Dabei findet zwischen
den Faktoren Gegenseitigkeit statt: „Mag man 5 mal 7 oder 7 mal
5 nehmen, so entsteht XXXV." Der Gegensatz der Schreibweise in
diesem Satze, die Darstellung einziffriger Zahlenwerthe durch Apices,
mehrziffriger durch römische Zahlzeichen, ist die naturgemässe Folge
des Nichtvorhandenseins der Null, ohne welche die Apices die längste
Zeit über nur dami Stellenwerth erhielten, wenn sie einem Abacus
eingezeichnet waren.

Ein einziges Beispiel vom Gegentheil ist bis jetzt bekannt ge-
worden^). In einer Handschrift der alexandrinischeu Bibliothek zu
Rom, welche um das Jahr 1200 herum entstanden ist, findet sich
nämlich auf zwei eigenthümlichen kreisrunden Figuren eine ziemliche
Menge von Zahlen, theils einziffrige, theils zweiziffrige. Sie sind mit
geringfügigen Ausnahmen durch Apices geschrieben, die zu diesem
Zwecke offenbar Stellungswerth erhielten. Dass aber dem
Schreiber die Null noch nicht bekannt war, oder, was auf das
Gleiche herauskommt, dass er sie noch nicht zu gebrauchen wagte,
geht mit Bestimmtheit daraus hervor, dass mitten zwischen den
Apices die römischen Zeichen für X und XX vorkommen.

Doch wir kehren zu Oddo zurück. Nach den Multiplikatioüs-

') Summa vocatur quod. in summitate arcuum; fundamentum atitem quid-
quid r^ferius dif^ponilur. Et quod ex utroque numero inocedit viultiplicato intcr
duas Hncas ponüiir. '^) Enrico Narducci^ Inlorno ad un manuscritto della
Bibliotheca Ahssandrina contcnenie gli apici di Boezio senz' ahaco e con valore di
posizione in den Memorie deW Accademia Reale dei Lincei, Classe di scicnze
fisiche, matemaiithe e natarali. Serie .3. Vol. 1. Seduta dell' 8. aprile 1877.

Abacisten und Algorithmiker. 847

regeln gelangt er zur Division und untersclieidet , wie wir es schon
bei Boethius gefunden haben, die einfache, die zusammengesetzte und
die unterbrochene Division, je nachdem der Divisor einstellig ist,
mehrstellig in aufeinander folgenden Kolumnen, oder mehrstellig,
aber so, dass dazwischen eine Kolumne leer bleibt. Der Dividend
steht hier in der Mitte, der Divisor oben, der Quotient imten^), und
es ist nicht zu verkennen, dass hier eine völli«; gleichmässige An-
Ordnung wie bei der Multiplikation gewählt ist, die das Produkt
zwischen beide Faktoren stellt. Allerdings sind wir geuöthigt, die
Stellung aus Oddos Worterkläruugen zu entnehmen, denn die Zeich-
nung eines Abacus kommt bei ihm nicht vor. Er vollzieht die Di-
visionen unmittelbar, nicht complementär, und überhaupt fühlt er
sich bei der übernommenen Aufgabe, die Division in ihren drei Fällen
schriftlich erklären zu müssen, nicht wohl. Schon bei der zusammen-
gesetzten Division sagt er: „das Alles lässt sich viel leichter mit
einem einzigen Worte mündlich als schriftlich abmachen"^). Nach
der Division folgen die Brüclie, d. h. wie immer Duodecimaltheile
des as. Oddo prunkt dabei mit einer gewissen Gelehrsamkeit, er sagt
dragma sei griechisch, sichel hebräisch u. s. w., eine Gelehrsamkeit,
welche er, wie richtig bemerkt worden ist'"), sich leicht in dem ety-
mologischen Werke des Isidorus von Sevilla verschaffen konnte. Er
dividirt sodann 1001 durch 1000 und verwandelt die zunächst übrig
bleibende Einheit in immer kleinere Bruchtheile, bis deren Anzahl
1000 übersteigt und eine Fortsetzung der Division zulässt. Die Ver-
wandlung selbst, aufeinander folgende Multiplikationen erfordernd,
wird auf dem Abacus ausgeführt. Schliesslich kann man freilich
nicht weiter zu noch niedrigeren Einheiten übergehen. Da hört
denn auch die Division auf, und man könne am Ende sich nicht
wundern, wenn bei den Bruchtheilen etwas übrig bleibe, da auch
andere Künste in vielen Punkten wacklig seien*).

„Nur der die Dinge gemacht und bewahrt mit schützendem Walten
Ist mit jedwelcher Macht allein für vollkommen zu halten."
Herum vero partns, qni sohis cuncta titetur,
Cum Sit cunctipotens, perfctus solus habetur.

Eine anonyme Schrift über den Abacus •'), einer Münchener
Handschrift aus der Mitte des XII. S. entstammend und folglich

') Qiiiclquid dividendum est in abaco in medio ponitur ; divisorcs 2^^'(^^P0-
nuntur; denominationes autem, Iwc est partes divisae supponmdur. -) Quae
omnia magis unicae vocis aUoquio quam scripta advertuntur. *) Fried lein in
der Zeitschr. Math. Phys. IX, 326. *) Nee mirandum est aliquid de minutiis

superesse, cum alias artes in multis videam vacillare. ^) Abgedruckt im Bulldino

§48 ^^- Kapitel.

spätestens gleichzeitig mit Eadulphs oder mit Gerlands Arbeiten ent-
standen, zieht unsere Aufmerksamkeit dadurch auf sich, dass sie
einige Kunstausdrücke enthält, mit welchen wir noch nicht bekannt
sind. Sie nennt nämlich das unmittelbare Divisionsverfahren das
der goldenen Division, das complementäre das der eisernen,
jenes, weil es leicht zu verstehen und über die Annehmlichkeit des
Goldes hinaus ergötzlich ist, dieses dagegen weil es allzuschwer ist
und gewissermassen die Härte des Eisens überbietet'). Die Apices
sind einmal gezeichnet und griechische Buchstaben als mit ihnen
abwechselnd auftretend genannt, ähnlich wie es bei Bernelinus der
Fall war, und eine andere Aehnlichkeit mit diesem Schriftsteller be-
steht darin, dass für 6 nicht der richtige griechische Buchstabe
angegeben ist, allerdings auch nicht 2J, sondern ein grosses latei-
nisches S. Weitere Aehnlichkeiten mit Bernelinus könnten noch
darin gefunden werden, dass im ganzen Verlaufe der Schrift die
Apices nicht weiter benutzt werden, dass kein Abacus gezeichnet ist,
dass aber die Regeln mit ungemeiner Klarheit an Beispielen erläutert
werden, bei welchen durchgängig nur römische Zahlzeichen in An-
wendung kommen. Die Zahlenbeispiele selbst sind nicht die gleichen
bei beiden. In dieser Beziehung sind überhaupt die Abacisteu sehr
unabhängig von einander.

Es ist uns nicht erinnerlich, dass irgend zwei derselben in der
Benutzung des gleichen Zahlenbeispiels zusammenträfen. Dagegen
ist uns ein Beispiel Gerlands in seiner ganzen Einkleidung bei einem
Algorithmiker begegnet, welcher spätestens am Ende des XII. S.
gelebt hat.

Unter Algorithmikern verstehen wir diejenigen Schriftsteller,
welche ihre unmittelbare Abhängigkeit von arabischen Vorbildern
durch Vorkommen des bald missverstandenen Wortes algorithmus,
durch Anwendung des Stellenwerthes der Ziffern mit Einschluss der
Null, durch Nichtanwendung des Abacus, durch den beiden letzten
Eigenthümlichkeiten entsprechende Rechnungsverfahren an den Tag
legen. Wozu indessen in allgemeinen Sätzen die Erkennungszeichen
algorithmischer Schriften erörtern, deren beide hervorragendsten wir
in früheren Kapiteln einzeln besprochen haben, die lateinische
Uebersetzung des Rechenbuches des Muhammed ihn Müsä
Alchwarizmi (S. 671 flgg.) und die an dasselbe Werk sich

Boncompafjni X, 607— G25. Ueber die Handschrift vergl. Treutlein ebenda
pag. 591 unter 2.

') Ebendd. pag. 609: Bicuntur aurcae divisiones eo quod ad intelligendum
faciles et super auri gratiam sint' deledabiks; sicut contra ferreae que sunt
nimis graves quasi ferri duriciam prcponderantcs.

Abacisten und Algorithmiker. 849

anlehnende ausführliclie Schrift des Johannes von Sevilla
(S. 751 flg.)?

Wir müssen einen Blick auf die allgemeinen Verhältnisse werfen,
welche die Entstehung dieser Uebersetzungen hegleiteten. Gerbert
war für uns am Ende des X. S. vor allen Dingen der glänzende
Lehrer gewesen, der den Unterricht in den mathematischen Wissen-
schaften, so viel oder wenig aus römischen Quellen ihm davon zur
Kenntniss gelangt war, neu belebte. Auch der Geschichte der
Philosophie gehört der Philosoph auf dem Stuhle St. Peters an^).
Nicht bloss das Rechnen auf dem Abacus wurde von seinen Schülern,
als sie selbst zu Lehrern geworden waren, über Frankreich, Deutsch-
land und Itahen verbreitet, von wo sie einst zu den Füssen des
Rheimser Stiftslehrers gepilgert waren, es machte überhaupt um die
Mitte des XL S. ein neuer Aufschwung des wissenschaftlichen Denkens
sich geltend. Laiifrank, am Anfang des Jahrhunderts in Pavia ge-
boren, in Frankreich herangebildet, führte die Dialektik in die Theo-
logie ein und Hess den Sinn für aristotelische Schriften erstarken.
Freilich kannte man sie zunächst nur aus Bearbeitungen des Boethius,
aber da und dort waren doch immer einzelne Männer zu finden,
welchen das Griechische geläufig genug war, ihnen zu gestatten, die
Urquelle aufzusuchen, und so entstanden jetzt schon einige wenige
neuere Uebersetzungen. Die dadurch genährte und wachsende Nei-
gung mit Allem bekannt zu werden, was Aristoteles, dessen Name
mehr und mehr den Inbegriff aller Wissenschaft darstellte, geschrieben
hatte, trat besonders in zwei Ländern hervor: in England, wohin
Lanfrank als Erzbischof von Canterbury gekommen war, und in
Italien, wo gleichfalls eine bestimmte Persönlichkeit, Anselm der
Peripatetiker, nicht zu verwechseln mit dem Bruder Radulphs von
Laon, den geistigen Mittelpunkt der neuen Bewegung bildete. Deutsch-
land betheiligte sich erst, nachdem, man kann fast sagen, Missions-
reisende für die dialektischen Studien es durchzogen hatten, wozu
eben jener Anselm der Peripatetiker gehörte.

Aber wie sollte man die Begierde nach der Kenntniss aristo-
telischer Schriften stillen? Griechische Texte waren nur in seltensten
Handschriften zugänglich. Man erfuhr, dass die Araber eifrige Philo-
sophen waren, dass auch sie keinen der Alten höher schätzten, als
Aristoteles, dass bei ihnen Uebersetzungen und Erläuterungen in
Menge zu finden waren. Arabisches war schon früher, jedenfalls
schon am Ende des X. S. ins Lateinische übersetzt worden. Wir

*) Herrn. Reuter, Geschichte der religiösen Aufklärung im Mittelalter I,
78 &gg. Berlin, 1875.

Cantor, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. 54

850 40. Kapitel.

erinnern an die Uebersetzungen astronomisclier Schriften, welche
Lupitus von Barcelona angefertigt, Gerbert zu besitzen gewünscht
hat, wir erinnern an die Vorlage Hermann des Lahmen für seine
Bücher über das Astrolabium. Wir bemerken bei dieser Gelegenheit,
dass wir somit es keineswegs an sich für unmöglich halten, dass
Gerbert bei seinem Aufenthalt in der spanischen Mark durch Ueber-
setzungen auch mit arabischer Rechenkunst hätte bekannt werden
können, sondern dass wir nur durch den allerdings entscheidenden
Umstand bewogen sind, diese Kenntniss in Abrede zu stellen, dass
gar nichts zwischen Gerbert und den Arabern gemein ist, durchaus
gar nichts in der Anordnung wie in der Ausführung der Rechnungen
als nur neun Ziffern ohne das zehnte Zeichen der Null, und dass
diese Gemeinschaft sich uns hinreichend mittels der Geometrie des
Boethius erklärt, während jeder andere Erkläruugsversucli an der
verhältnissmässigen Geringfügigkeit des Gemeii^chaftlichen neben
den weit überwiegenden Verschiedenheiten scheitert.

Jetzt suchte man, etwa vom Jahre 1100 an, noch mehr der
arabischen Bearbeitungen griechischer Schriftsteller habhaft zu werden
und sie in das Lateinische zu übertragen. Dazu kommt ein anderer
Umstand, der, scheint es uns, nicht übersehen werden darf, wenn es
sich darum handelt, ein geistiges Bild jeuer Zeit zu entwerfen und
die niehr und mehr sich geltend machende Einwirkung arabischer
Wissenschaft auf das Abendland zu schildern. Mit dem Jahre 1100
beginnen die Kreuzzüge. Jeder wissenschaftliche Zweck war den-
selben fremd, aber wissenschaftliche Erfolge haben sie gehabt. Wir
haben (S. 733) berührt, dass die Kreuzfahrer im Oriente auf eine
ihnen überlegene Bildung stiessen, dass zwei Jahrhunderte lang der
Verkehr ein meistens feindlicher, aber in längeren Pausen auch ein
nachbarlich freundlicher war. Wie ehedem nestorianische Christen
die Aerzte der Chalifeu gewesen waren und zur Einführung griechi-
scher Wissenschaft unter die Araber das meiste beigetragen haben,
so bildete jetzt wieder medizinisches und astrologisches Wissen den
Freipass, auf welchen hin arabische und jüdische in arabischer Schu-
lung gebildete Aerzte und Sterndeuter an den christlichen Höfen er-
schienen. Sie kamen von Osten her, aber auch Spanien stellte seine
Männer, und Sicilien lieferte für ganz Unteritalien im XH. und mehr
noch im XHL S. den belebenden geistigen Sauerstoff.

Für Italien waren die Kreuzzüge noch in mehreren anderen Be-
ziehungen von nicht zu unterschätzenden Folgen^). Die Menschen-

^)De Choiseul-Daillecourt, De l'influence des croisades sur Vetat des
peuples de VEurope. Paris, 1809.

Abacisten und Algorithmiker. 851

masse, welche in den Kreuzzügen sich nach Osten wälzte, die Einen
getrieben von heiligem Glaubenseifer, die Anderen beseelt von dem
Wunsche die äusseren Vortheile zu geniessen, zu welchen die Kreuz-
nahme berechtigte, die Dritten mit fortgerissen von dem allgemeinen
Zuge, bezifferte sich auf viele Millionen. Die meisten nahmen ihren
Weg über Italien; nicht wenige kehrten bis dahin, aber auch nur
bis dahin zurück. Der kaufmännische Geist der Italiener wusste aus
dieser Strömung vielfach Nutzen zu ziehen. Italiener — Lombarden
wie mau sie gewöhnlich nannte — erschienen in den Mittelpunkten,
wo Kreuzfahrer sich sammelten, boten gegen werthvolles Pfand und
hohen Zins ihre Geldhilfe an, welche gern in Anspruch genommen
ihnen gestattete, aus dem Gewinne ganze Strassen zu bauen, die bis
auf den heutigen Tag sich nach ihnen beneniien. Die zurückkehren-
den Kreuzfahrer Hessen sich nicht minder ausnutzen. Sie brachten
Beutestücke mit, die sie in Geld umsetzten, um den üppigeren Nei-
gungen zu genügen, welche sie insbesondere in Bezug "auf Speisen
und Kleidung angenommen hatten. Und wieder waren es die Italiener,
die vorzugsweise es auszubeuten wussten, dass die Gewürze, die Seide
des Orients zu Lebensbedürfnissen geworden waren. An der Nord-
küste Afrikas, wie in Aegypten, wie an dem Strande des ehemaligen
Tyrus entstanden italienische Handelsplätze, überall in nächster Be-
ziehung zu arabischen Kaufleuten und, wie wir (S. 758) schon an-
gedeutet haben, hier nicht ohne Einfluss auf das Wissen derselben,
andrerseits jedenfalls auch von ihnen Samen erhaltend, dessen Keimen
wir im nächsten Bande dieses Werkes verfolgen müssen, wenn wir
in den reichen italienischen Städten uns umsehen, deren Bürger die
Feder nicht bloss zum Eintrag gewinnbringender Handelsgeschäfte
in ihre kaufmäunisch geführten Bücher, sondern auch zu streng
wissenschaftlichen Arbeiten zu benutzen wussten und sich zu Trägern
mathematischer Fortentwicklung machten.

Wir haben einen der ersten Schrif steller, der nachweislich mit
der Uebersetzung mathematischer Schriften aus dem Arabischen sich
beschäftigte, schon einigemal genannt: Atelhart von Bath^). Sein
Hauptwerk „Fragen aus der Natur" enthält Bemerkungen, welche
vermöge der Persönlichkeiten, auf die sie sich beziehen, nur in den
ersten 30 Jahren des XII. S. niedergeschrieben sein können, und so-
mit zur Feststellung der Lebenszeit ihres Verfassers führten. Atel-
hart hat, um zur Kenntniss der arabischen Sprache zu gelangen, weite
Reisen gemacht. Er ist in Kleinasien, in Aegypten, in Spanien ge-

^) Jourdain, Reclierches sur les anciennes iraductions latines (VAristote
(2ieme Edition) pag. 27, 97—99, 258—277.

54*

852 40. Kapitel.

wesen, überall die gleichen wissenschaftliclien Zwecke verfolgend und
um ihretwillen tausend Gefahren trotzend. Wir wissen schon, dass
Atelhart die astronomischen Tafeln des Muhammed ihn Müsa Alchwa-
rizmi übersetzt hat, dass von ihm eine lateinische Bearbeitung der
euklidischen Elemente \) nach dem Arabischen herrührt (S. 670). Ob
Atelhart es war, welcher die Uebersetzung des Rechenbuches Alchwa-
rizmis anfertigte, konnte nicht mit Bestimmtheit festgestellt werden.
Merkwürdig wäre es um deswillen, weil Atelhart auch über den
Abacus geschrieben hat (S. 836) und somit Abacist und Algorithmiker
in einer Person wäre.

Als Schüler Atelharts bezeichnet sich selbst Ocreat der Ver-
fasser eines Auszuges aus einer arabischen Schrift über Multipli-
kation und Division in den Einleitungsworten: Prologus H. Ocreati
in Helceph ad Adelhardum Baiotensem magistrum simm^). Man möchte
zunächst an Atelhart von Bath als Lehrer denken. Dann müsste es
aber Adelhardum Bathonensem heissen. Die Form Baiotejisem zwingt
einen im übrigen unbekannten Atelhart von Bayeux anzunehmen.
Ferner hat man in Helceph den Namen des arabischen Schriftstellers
erkennen wollen, von welchem die durch Ocreatus (der Gestiefelte?)^)
ausgezogene Abhandlung herrührte. Man ist jedoch zu der nach-
träglichen sehr anmutheuden Meinung gekommen, es sei Helceph die
Verketzerung von AI hdfi, die genügende Untersuchung, und Ocrea-
tus' Vorlage sei ähnlich betitelt gewesen wie die Schrift Alkarchi's,
von der wir unter dem Namen AI Mß fil liisdh gehandelt haben
(S. 718 flg.)- Wir erinnern uns, dass wir dem Auszuge Ocreatus'
(S. 404) die Bemerkung entnahmen, Nikomachus habe das Quadrat
a- mittels emer Art complementärer Multiplikation sich zu verschaffen
gewusst. Ob diese Angabe der arabischen Vorlage entstammt, ob
sie durch Ocreatus etwa einer damals noch vorhandenen Bearbeitung
des Nikomachus von Appuleius entnommen wurde, ist durchaus nicht
zu entscheiden. Ein Johannes Ocreatus wird in dem englischen
Handschriftenkataloge als Euklidübersetzer genannt. Ob dieses auf
einem Missverständnisse beruht, wäre an Ort und Stelle zu untersuchen^).

') Vergl. darüber einen Aufsatz von Weissenborn in dem Supplemeut-
hefte zur historisch-literarischen Abtheilung der Zeitschr. Math. Phys. Bd. XXV
(1880). ^) Jourdain 1. c. pag. 99, Anmerkung 1 hat auf diese in einer Pariser
Handschrift des XIII. S. enthaltene Abhandlung hingewiesen. Zum Abdrucke
gelangte sie im Supplementhefte der histor.-literar. Abthlg. Zeitschr. Math. Phys.
Bd. XXV (1880) mit einer Einleitung von C. Henry, welcher wir die von L.
Rodet herstammende im Texte folgende Vermuthung über Helceph ent-
nehmen. ^) Auf diese mögliche Bedeutung des Namens hat uns W. Watten -
baeb aufmerksam gemacht. *) Catalog. Mss. Angl. Tom. II pag. 247 Nr. 8639.

Abacisten und Algorithmiker. 853

Am Anfange des XII. S. lebte auch Plato von Tivoli oder
Plato Tiburtinus^), der Uebersetzer des Albattuni, durch welchen,
wie man früher annahm, das Wort Sinus (S. 693) in die Trigonometrie
eingeführt worden sei. Ausser Albattänis Astronomie hat Plato auch
verschiedene astrologische Schriften übersetzt. Eine derselben unter dem
Titel: Astrologische Aj^horismen von oder an Almansür hat Plato in
Barcelona angefertigt und im Jahre 530 der Hidschra, d. h. 1136 n. Chr.
beendigt'-). Auch eine aus dem Hebräischen des Abraham Savasorda
durch Plato übersetzte praktische Geometrie, welche in mehrfachen
Handschriften vorhanden ist, trägt ein Datum 510 arabischer Zeit-
rechnung d. h. also 1116 und ist als ältestes Zeugniss seiner Wirk-
samkeit aufgefasst worden. Andrerseits ist die Zuverlässigkeit dieser
Zeitangalje trotz der Uebereinstimmung der Handschriften in dieser
Beziehung angezweifelt worden^), weil Savasorda, von welchem ver-
schiedene geometrische Schriften sich erhalten haben, in welchen es
an gegenseitigen Beziehungen nicht fehlt, sich niemals auf jene prak-
tische Geometrie beruft, welche, wenn das Datum der Uebersetzung
bereits 1116 wäre, sicherlich seine älteste Arbeit sein müsste und
ihrem Inhalte nach keineswegs verdient verleugnet zu werden. Die
mathematisch wichtigste Schrift, welche Plato aus dem Arabischen
übersetzt hat, ist die Sphärik des Theodosius.

Noch ein Uebersetzer, an welchen wir uns zu erinnern haben,
ist Gerhard von Cremona*). Zufolge einer sehr alten biographi-
schen Notiz über denselben ist Gerhard 1114 in Cremona geboren,
wurde frühzeitig von philosophischen Studien angezogen und fand
insbesondere an der Astronomie seine Freude. Das Bedauern, der
grossen Zusammenstellung des Ptolemäus nicht habhaft werden zu
können, vereinigt mit der, wir wissen nicht wie, erlangten Kenntniss,
dass dieses Werk in arabischer Sprache vorhanden sei, führte Gerhard
nach Toledo, wo er 1175 die Uebersetzung des Almagestes aus dem
Arabischen in das Lateinische vollendete^). Aber das war, wenn auch
die Veranlassung, doch keineswegs die einzige Frucht seines Toledoer
Aufenthaltes. Eine fast unglaublich grosse Menge von Schriften aller
Art wird uns genannt, welche Gerhard aus dem Arabischen in das

Wüstenfeld, Die Uebersetzungen arabischer Werke in das Lateinische
Seite 23.

^) B. Boncompagni, Delle versioni fatte da Piatone Tiburtino traduttore
del secolo duodecimo. Roma, 1851. ^) Vergl. Steinschneider in der Zeitschr.
Math. Phys. Bd. XII, S. 26. ^) Ebenda S. 18. *) B. Boncompagni, Della
vita e delle opere di Gherardo Cremonese traduttore del secolo duodecimo e di
Gherardo da Sabbionetta astronomo del secolo decimoterzo. Roma, 1851. *) Ebenda
pag. 18.

854 4=0. Kapitel.

Lateinisclie übertrugt), so dass wir unter Erwägung des Todesjahres
Gerhards, welches auf 1187 fiel, kaum annehmen dürfen, dass alle
seine Uebersetzungen erst nach der des Almagestes angefertigt
worden sein sollten. Unter den mathematischen Schriften, welche
Gerhard bearbeitet haben soll, sind 15 Bücher des Euklid genannt,
jedenfalls seine Elemente und die beiden Bücher, welche lange als
14. und 15. Buch mitgeschleppt wurden. Genannt wird Euklids
Buch der gegebenen Dinge, die Sphärik des Theodosius, ein Werk
des Menelaus. Daneben geometrische Schriften von arabischen Ver-
fassern, von den drei Brüdern, von Täbit, aber auch die Algebra des
Alch warizmi ^). Da Gerhard, wie wir wissen, eine Algebra übersetzt
hat (S. 754), welche erhalten ist und als von der des Muhammed ihn
Müsä verschieden sich erwies, so ist entweder in jener alten Notiz
ein kleiner Irrthum vorhanden, oder wir müssen annehmen, Gerhard
habe neben der Algebra des Muhammed ihn Müsä auch jene andere
vollkommnere übersetzt, die nur in dem genannten Verzeichnisse
fehle, eine Annahme, welche darin ihre Stütze findet, dass jenes Ver-
zeichniss auch sonst nicht ganz vollständig ist und medizinische
Schriften des Räzi, des Ibn Sina, des Albucasis vermissen lässt, von
deren Uebersetzung durch Gerhard uns anderweitig berichtet wird'^).
Vielleicht darf man darauf gestützt auch einen Algorithmus des
Meister Gerhard, der handschriftlich in London sich befindet^),
unserem Gerhard von Cremona überweisen. Das wäre alsdann der
erste Algorithmus von bekanntem abendländischem Verfasser, den
wir zu nennen hätten.

Auch Rudolf von Brügge, der im Jahre 1144 das Plani-
sphärium des Ptolemäus nebst den Erläuterungen eines gewissen
Molsem dazu bearbeitete^), gehört unter die Uebersetzer des XII. S.

Den Algorithmus des Johannes von Sevilla müssen wir
wiederholt an dieser Stelle in Erinnerung bringen , um nochmals
einige Einzelheiten zu betonen, die, wenn auch nicht so wesentlich
wie das Vorkommen des Wortes Algorithmus, der Null") und da-
gegen das Nichtvorkommeu eines Abacus, doch als kennzeichnend
genug sich erweisen, um sofort die Verschiedenheit der Quellen für
Abacisten und Algorithmiker hervortreten zu lassen. Der Algorith-
raiker nennt die Inder, der Abacist nicht. Der Algorithmiker schildert
Verdoppelung und Zweitheilung als besondere Rechnungsverfahren,

^) B. Boncompagni, Gherardo Crem. pag. 4—7 und 12. '^) Ebenda pag. 5:
Lihcr alchourismi de iebra et ahnucahula tractatus I. ^) Ebenda pag. 12.
*) Ebenda pag. 57. ^) Chasles, Apergu Mst. pag. 511, deutsch S. 595. ") Wie
langsam übrigens die Null sich einbürgerte vergl. Wattenbach, Anleitung
zur lateinischen Palaeographie. 4. Auflage. Leipzig, 1886. S. 104.

Abacisten und AJgorithmiker. 855

bevor er zur Multiplikation und Division übergeht, der Abacist nielit.
Der Algorithmiker lehrt Wurzelausziehungen, der Abacist nicht. Der
Algorithmiker benutzt Sexagesimalbrüche nach indischem, der Abacist
Duodecimalbrüche nach römischem Vorbilde. Allen diesen Ver-
schiedenheiten gegenüber, zu welchen wir noch beifügen können, dass
die Zahlwörter igin u. s. w., welche bei Abacisten vorkommen, bei
Algorithmikern, so viel wir wissen, nie gefunden worden sind, ist
es nur die üebersetzung von Einer und Zehner durch digitus und
articulus, welche Algorithmikern und Abacisten gemeinsam ist. Aber
wir wiederholen hier, was. wir früher gesagt haben (S. 754), der
Algorithmiker bediente sich dieser Wörter, weil nur sie in seiner
Zeit landläufige waren. Er dachte dabei so wenig an üebernahme
von Ausdrücken aus einem ganz anderen Gedanken- und Bildungs-
kreise, wie da wo er irgend eines Zahlwortes sich bediente. Ihm
hiess digitus Einer, articulus Zehner genau mit der gleichen Unbe-
fangenheit wie Septem sieben, viginti zwanzig. Es gab ihm in latei-
nischer Sprache keine anderen Wörter für diese Begriffe als die ge-
nannten, und er fühlte sich weder verpflichtet, noch berechtigt, neue
Wörter einzuführen, wo es nur um alte Begriffe sich handelte. Der
Algorithmiker stellt, das bleibt unter allen Umständen wahr, eine
spätere Entwicklung dar als der Abacist, und hat, wenn Aehnlich-
keiten auch anderer Art auftreten, sicherlich aus seinen abendländi-
schen Vorgängern geschöpft.

Ein Beispiel solcher Art scheint ein Algorithmus zu gewähren,*
der einer nicht später als 1200 geschriebenen früheren Salemer, jetzt
Heidelberger Handschrift entstammt^). Er enthält die sämmtlichen
wesentlichen Merkmale der Algorithmiker, aber darüber hinaus die
complementäre Multiplikation^) fast in derselben Form, wie
wir sie früher (S. 492) hauptsächlich der Aehnlichkeit des Gedankens
mit der complementären Divison wegen als römischen Ursprunges
vermuthet haben. „Ziehe, so schreibt der Verfasser vor, die Differenz
des einen Faktors von dem anderen Faktor ab, der Rest gibt die
Zehner, dann multiplizire die Difierenzen beider Faktoren mit ein-
ander, und Du hast die Summe der ganzen Zahl.'' Wir haben frei-
lich diese complementäre Multiplikation, die der Formel

a • & = 10 (a - (10 - h)) + (10 - d) ■ (10 — h)
gehorcht, bei keinem älteren Schriftsteller, weder bei irgend einem
Abacisten noch bei einem Araber gefunden, nur Ocreatus Regel des
Nikoraachus ist ihr einigermassen verwandt, aber um so gewisser
scheint es uns, dass nur ein römisch gebildeter Rechner sich ihrer

1) Abgedruckt in der Zeitschr. Math. Phys. X, 1—16. ^) Ebenda S. 5.

856 40. Kapitel.

bedienen konnte. Darin beirrt uns auch der Umstand nicht, dass
die complementäre Division bei unserem Verfasser nicht Eingang
gefunden hat. Wohl fand solchen, wie schon (S. 848) angekündigt,
ein Rechenbeispiel Gerlands. Gerland stellt die Aufgabe: unter elf
Krämer die Summe von 100 Mark zu vertheilen^) und findet als
Quotient 9 nebst Bruchtheilen, die in den bekannten duodecimalen
Untereinheiten ausgesprochen werden. Unser Algorithmiker hat die
Division von 100 Librae durch 11 vollzogen und jeder Theilhaber
ist ihm ein Krämer, institor^y Die eine bei der Division übrig-
bleibende libra verwandelt er nun freilich nicht in Zwölftel, sondern
er setzt sie gleich 40 solidi. Der weitere Rest von 7 solidi wird in
nummi verwandelt, deren 12 einen solidus ausmachen. Wieder bleiben
bei der Division 7 nummi übrig, und für diese solle man Eier kaufen,
deren die Krämer bei der Mahlzeit sich erfreuen werden. Für jeden
nummns erhält man 13 Eier, im Ganzen also 91, und theilt man
auch diese wieder durch 11, so bleibt abermals ein Rest von 3 Eiern.
Die soll man dem zum Lohne geben, der die Theilung vollzogen hat,
oder sie gegen Salz umtauschen, welches vermuthlich zu den Eiern
gegessen werden soll.

Andere Algorithmiker aus der Zeit, welche wir hier besprechen,
also bis etwa zum Jahre 1200, sind gewiss noch mannigfach in hand-
schriftlichen Texten vorhanden, aber im Drucke nicht veröffentlicht
worden. Spätere Schriften der gleichen Natur müssen wir zur Be-
'handlung uns aufbewahren, wenn wir das XIII. S. zu schildern haben
werden, und mit noch späteren Perioden fällt erst die Erinnerung
an den Ursprung des Abacus zusammen, die z. B. in Bildwerken aus
dem Jahre 1500 etwa nachzuweisen wäre.

Wir schliessen hier unsere Darstellung zunächst ab. Das Jahr
1200 ist für die Geschichte der europäischen Mathematik ein allzu-
wichtiges, um nicht durch das Ende eines Bandes ihm auch äusser-
lich die Bedeutung beizulegen, welche es verdient. Mit dem Jahre
1200 ist das christliche Abendland im Besitze der Rechenkunst aus
den verschiedensten Quellen, im Besitze der Null und des durch sie
ermöglichten vollen Stellenwerthes der Ziffern. Die Algebra als
Lehre von den Gleichungen ersten und zweiten Grades ist durch
Gerhard von Cremona zugänglich geworden. Die Geometrie des
Euklid, die Astronomie des Ptolemäus, Schriften des Theodosius, des
Menelaus sind in lateinischen Uebersetzungen vorhanden. Das Be-
wusstsein, wo weitere griechische Schriften erhaltbar sein müssen.

^) Bulletino Boncompagni X , 604 : Sint XI institores et dividantur inter
eos G marcae. ^) Zeitschr. Math. Phys. X, 7: Exemplum Ubrarum G.

Abacisten und Algorithmiker. 857

die zum voraas begründete Wertliscliätzung derselben macht sich
mehr und mehr geltend. In diesem Augenblicke auftretende mathe-
matische Geister trafen in eine glückliche Zeit. Zum ersten Male
war ihnen wieder genügender Stoff gegeben, mit welchem ihre Er-
findungsgabe sich beschäftigen, von welchem aus sie wesentliche Fort-
schritte machen konnten. Und wie das im Winde fliegende Samen-
körn meistens ein Fleckchen Erde findet, in welchem es sich ent-
wickelt, so hat die Schöpfungskraft dafür gesorgt, dass kaum jemals
Gedanken zu Grunde gehen, die dem geistigen Luftzuge einmal an-
gehören. Es finden sich zur rechten Zeit die rechten Mümier. Zwei
Namen seien hier ankündigend genannt, welche die Träger der neu
sich entfaltenden Wissenschaft für uns werden: Leonardo der
Pisauer und Jordanus Nemorarius.

Aasuchet 21.

Abacist 476. 798 824 - 848. 852. 854. 855

Ähacista 479 798. 842. 843

Abacizare 843

Äbacus 49 — 51. 93-95. 120—124. 305
411. 493. 494. 527. 542 .543. 545. 548
550. 551. 569. 628—629. 675. 739. 757
758. 773. 789. 791. 792. 798. 800 — 802
816—818. 819. 824 825 826. 827. 828
831. 834. 835. 836. 837 838. 839. 842
843. 844. 845 846 847. 848. 849. 854
856.

Äbacus in Graeco 305.

Abax 120—121.

Abbasiden 654. 655. 664.

Ahbo von Fleury 795—797.

Abel Arrahmän 664. 746.

Abd Arrahmän III 747.

'Abd AlmeUk 434. 654.

Abdera 178.

Abelard 835.

Abmessung, grössere, durch ein Kunstwort
benannt 58. 365. 394. 684 838.

Abraham, der Patriarch 48. 85. 86. 96.

Abraham Snvasorda 778.

Abschnitt 361. 369.

Abu Dscha'fnr Alchäzin 729.

Abuäsched 666.

AbiA, Gälib 718.

Abu Hanifa 717.

Abu Hasan 660.

Abu Jaküb Ishäk ibn Hanein 661.

AbiVl Äbbäs Fadl ibn Hätim 659.

Abü'l Abbäs 654.

Abü'l Bschüd 714-716 729. 742.

Abulpharogius 247 434 469. 470. 659.
687. 698.

Ahu'l Wafä 662 698—704 709. 718.
719. 742 743 749.

Abu Mi'tsd Dschäbir 679.

Abu Sahl ben Tamim 563,

Abu Schudschu 'Büjeh 698.

Abzügliche Zahlen 441

Achteck 363. 372—373. 520. 545. 814.

Achterprobe 759.

Agoka 556. 563.

Agvaläyana 596.

Adalo = gleichsein 766.

Adalbero von Rheims 803. 804 805. 806.

Adalbero von Trier 843.

Adam 210.

Addition, Alter derselben 8.

Additionsverfahren 629. 673. 763.

Adelhold von Utrecht 808 814 815. 816

822.
Adelheid 804.

Adhemar von Chabanois 798
Adrastus 405.
Adud ed Daula 698.
Adulitische Inschrift 245.
Aegypter 19 — 71 76. 85. 86. 109. 111.

125. 128—130. 135. 152. 155. 194. 196.

201. 203. 256. 295. 313. 314 610. 675.
680. 684 711. 742—746. 765. 838.

Aegyptischer Aufenthalt des Anaxagoras
176. des Demokritus 140. 179. des
Eudoxus 140. 202. des Piaton 140.

202. des Piithaqoras 138-141. 176.
des Thaies 125. 126. 128—130. 176.

Aehnliche Winkel 127. 129.

Aehnliche Zahlen 173. 211 253. 256.

AehnHchkeit 56. 58.

Aehnlichkeitspunkte 423.

Aelbehrt 781. 782

Aerztesrhnlen der Nestorianer 653. 659.

Aeschylus 177.

Aethiopien 19.

Agana 84.

Agatharchus 177.

Agenor 85.

Agrargesetzgebung 513.

Agrimensoren 516.

Agrippa 505.

Alias 103.

Ahmed ihn Abdallah Habasch = AI Hä-
kb 659.

Ahmed ibn Jussuf 694.

Ahmes, der König 21.

Ahmes, der Verfasser eines mathemati-
schen Handbuchs 22 23. 24. 28. 36.
41. 47. 52. 53. 54 55. 56. 57 59. 60.
64 68. 69 84 152. 256 261. 297. 352.
36.5—366. 375. 396 435. 449. 470. 602.
605. 675.

859

Aiguillon 395.

Akademie 201. '203. -206-207. 222—237.

238. 312. 401.
AI Ahderi 758.
Alahdab 756.
AlantäU 717.
AI 'Aziz 743.

AI Basra 654 655. 695. 743.
Albategnius = AI Battcmi 693.
AI Battdni 693—694. 697. 704. 741. 749
Albinus = AJcuin 781
AI B'iruni 557. 584. 659 668. 672. 712

—714. 742.
Albucusis 854
AI Büni 697
AI Busti 719.

AI Buzdschäni = Abu'l Wafd 698.
Akhaijämi, s. 'Omar Alchaijämi.
Alchoarismus 672.
Alchoeharithmus 672.
^Z Chodsehandi 708 709. 742. _
J.Z Chwarizmi s. Muhammed ibn Müsä

AI Chwarizmi.
J.?mm 781—790. 791 792.
^Z (fcc/tebc 672. 676. 679. 724.
Aleni 625.

Alexander s. Ptolemaeus XL
Alexander d. Gr. 86. 90 141. 233. 238.

239. 244.
Alexander Aphrodisiacus 380

Alexander Severus 409. 523.

Alexandria 68. 107. 109. 244—245. 281.
312. 318. 343. 346. 348. 381. 399.

Alexandrinische Bibliotheken 246. 398.
462. 469. 470.

Alexandrinische Literaturperiode 245. 397.

AI fard id 686.

AI Fazän 655. 656.

Algebra 672 676 679. 748. 754.

Alfiebraische Auffassung bei den Griechen
148. 376—377. 426. 427. 435.

Algebrista 679.

Älgoritmi 671. 672.

Algorithmiker 476. 824. 848—856.

Algorithmus (Ableitungs versuche des
Wortes) 671—672. 678.

Algorithmus linealis 524.

AI Hakam IT 747.

AI ilakim 743. 746.

AI Harrdni = Täbit ibn Kurra 661.

AI ilasan ihn as-Subbdh 730.

AI Hdsib 659.

Alh-win = Alcuin 781.

Alhazen = Ibn AUiaiiam 744.

Alhidada 812.

Alischbili 748.

J.Z ^•a/'^ /"«Z Tn'Srtö 666. 675. 718 722. 852.

Alk'aim 730.

Alkalsädi 762 — 767.

J.ZÄ;aZfmül 762.

Aljcalwadäni 717.

Alkarchi 666. 716. 718-729.742.760.852.

172.

394.

853.

668.

25.

666.

AI Karmdni 695. 747.

Alkauresmus 672.

J.Z JTmc?/ 675.

Alkinous 165. 166.

^Z ZifÄi 698. 704 - 705 715. 742.

Allman 65. 125. 131. 134. 142. 157.

180. 549.
AI Madschriti 692. 695. 747.
Almngesst 90. 303. 318. 285. 387-
404. 418. 474. 559. 563. 617. 660.
854. 856.
AI Mdhäni 729.
AI Mahdi 654. 664.
AI Mawün 652. 654. 656. 658. 660.

670. 695. 717.
AI Mansür 654. 655. 656. 658.
AI Melijc ar Bnlnm 730.
AlmucabaluJi 754.

AI mukdbala 672. 676. 679. 724. 7
Almukaddasi 695.
AI Muktadir 653.

Almufitdsjm 734.

AI 3Iiitädid 662. 691. 692.

AI Mutasim 717.

AI Nairizi 692.

AI Nasawi 716—718. 720.

aUyov 169. 180. 254. 440. 720.

Alp Arslan 730.

Alphabetische Beihenfolge 111. 565

AI Sindschdri = As-Sidschzi 706.

Altai 75.

AI Tust = Nasir Eddin 734.

Amardja 560.

^»msj's 128.

Amelius 825.

Amenemhat I 64. 359.

Amenemhat III 21. 22. 65.

Ameristus 136.

Amethistus 136.

Ammonius 428.

!Amr t&n 'Ubaid 655.

Amthor 297.

Amyklas von Heraklaea 231.

Analemma 395. 414.

Analysis 207—209. 217. 222. 228. 234.

Analogieen 154. 226.

äi/aqpopixo? (ies Hrjpsikles 344—345.

Anatolius, Bischof von Laodicea 429. 791.

Anatolius, Neuplatoniker 429.

Anaxagoras von Klazomenae 176—177.
178. 184. 189. 200. 250.

Anaximander von Milet 102. 135.

Jwaxiwenes 102. 135. 176.

Andras 837 figg.

Anfangsbuchstaben als Bezeichnung die-
nend 110. 194. 440. 441 442. 488. 564.
580. 581. 666. 755. 756. 766. 767.

Angelsachsen 10.

Anharmonisches Verhältniss 423.

AnnaltS Stadenses 788.

Anonymus von Byzanz s. Feldmesser
von Byzanz.

860

Anonymus von Chartrrs 549. 839.
Anonymus von Melk 793. 794.
Änselm der Peripatetiker 849.
Anselm von Laon 835.
Ansse de ViUoison 144. 175. 189. 430.
Anthemius von Trolles 468.
Anthologie 432. 47G.
Antiphon der Historiker 140.
Antiphon der Mathematiker 189—190.

191. 256. 286. 288.
Antoninus 387. 400. 523. 524.
Antonius 399. 556.
Antonius Diogenes 144.
dögiOTOV 148. 440.
Ajjagogischer Beweis 208. 209. 234. 286.

290. 325.
Apastamhn 596. 600. 603.
Apepa 22
Apices 543. 544. 545. 548. 551. 564. 565.

569. 669. 773. 789. 790. 817. 819. 826.

830. 831. 837. 846. 848.
Apices mit Stellungswerth ohne Null 846.
ApoUodor 125.
Apdllodorus der Bechenmeister 144. 168.

305.
Apollodotus 168.
Apollonius Epsilon 315. 318.
Apollonius von Pergne 183. 214. 231.
' 232. 277. 318-319. 342. 343. 344 398

426. 531. 604.
Apollonius von Perqae's Kegelschnitte

183. 231. 232. 274. 289. 319—327. 334.

383. 398. 415. 419. 462. 463. 468. 662.

705. 707.
Apollonius von Perqae's kleinere Schriften

327-333. 416. 419. 423. 424. 425. 468.

545. 719. 745,
Apollonius von Tyana 144.
Apophis 22.
Aporie 241.

Apotome 255. 332 (Bedeutung als Irra-
tionalzahl).
dnoTO^r'i (geometrisch) 369. 516.
Appuleius von Madaura 400. 524. 525.

528. 531. 774. 852.
Araber 162. 281. 292. 387. 404 434. 469.

481. 557. 562 624. 626. 642. 644. 651

—768. 771. 772. 798. 801. 806. 807.

824. 829. 830. 833. 834. 836. 838. 841.

850. 851. 852 853. 854. 855.
Arabische U eher Setzungen griechischer

Werke 2T2. 283. 325. 328. 332. 346.

354. 385. 387. 654. 660-663. 735.

741 — 742.
Aratus 380.
Arhas 837 ^gg.
ciQßrjlog 283.
Arcerius 513.
aQxai 305.
Archimedes von Syrakus 183. 198. 213.

246. 247. 251. 252. 280 — 281. 293.

319. 325. 333. 334. 341. 350. 354. 355.

377. 386. 398. 435. 463. 466. 468. 531.

535. 604. 625. 662. 663. 719. 744. 812.
Archimed's Kreismessuno 285 — 288. 301

—303. 329. 334. 444. 606. 612. 617. 744.
Archimed's Kronenrechnung 295 — 297.

310. 433. 722 723.
Archimed's Kugel und Cylinder 213. 229.

246. 247. 252. 293 — 294. 299. 338.

383. 661. 705. 729.
Archimed's Quadratur der Parabel 289

-290. 308—309.
Archimed's Binderproblem 297. 432.
Archimed's Sandesznhl 306 - 308. 572

—573. 714.
Archimed's Sehneckenlinien 183. 291 —

292. 298—299. 334. 519. 724.
Archimed's Wahlsätze 283 — 285. 337.
Archimenides = Archimed 663.
Architas Latinus 211. 542. 545. 546.

548-549.
Archytas von Tarent 155. 199. 202. 211.

213. 215 — 217. 221. 222. 223. 226.

230. 240. 422. 548—549.
Arcufication 61 S.
Arcus 844. 846.
Ardhajiä 616. 693.
Arenarius 306.
Arier 555.
Aristaeus der Aeltere 232. 233. 236.

320. 419.
Aristaeus der Jüngere 233.
Aristarchus von Samos 306. 418. 662.
Aristophanes 120. 166. 479.
Aristoteles 90. 107. 108. 128. 180. 190.

196. 238-242. 243. 245. 246. 354. 394.

399. 426. 463. 535. 659. 751. 782. 822.

834. 849.
Aristoteles Analyt. post. 257.
Aristoteles Analyt. prot. 170. 171.
Aristoteles Ethic. 188.
Aristoteles Kategor. 151. 811.
Aristoteles Mechan. Quaest. 240 — 242.
Aristoteles Metaphys. 47. 61. 143. 147.

149. 157. 162. 203. 206. 239.
Aristoteles Physica 150. 151. 191. 240.

381. 426.
Aristoteles Problem. 239. 240.
Aristoteles Sophist. 185.
Aristoxenus von Tarent 142. 146. 243. 508.
Arithmetik (Göttin) 491. 528.
Arithmetik = Zahlentheorie 145. 212. 239.
Arithmetik des Boethius 531. 535. 536.

537. 538. 539. 542. 546. 548. 681. 800.

805. 806. 811.
aQi&iirjriy.ä des Diophant 436.
Arithmetica speciosa = Buchstabenrech-
nung 442.
Arithmetik (praktische) der Araber 662.

673. 687.
Arithmetik (spekulative) der Araber 662.

673. 712.
Arithmetisches Dreieck 645.

861

dQi&^ol cxrjficctoyQcccp&svTsg 539.

dgtd'fiog = unbekannte Zahl 440. 580. 680.

Arjuna 572.

Arkadius 4G2.

Arneth 250. 276. 608. 615.

ccgnsdcov 359.

Arsamites = Archimed 663.

Arsanides = Archimed 663.

Arsinoe 312.

Artabasdes 479.

^ries liberales 507. 527. 773. 791.

Articuli 542. 753. 756. 790. 791. 802.

803. 827. 846. 855.
ccQxioi 148.
Äryabhatta 558. 560. 561. 563. 565. 566.

575 — 576. 579. 580. 582. 583. 584.

587. 588. 590. 595. 596. 604. 607. 612.

615. 740.
Aryabhättiyam 558. 565. 566.
As eine (Jeivichtseinheit 490. 780.
Aschbach 746.

Asklepius von Trolles 203. 409.
Asl 709.

Ass = Stellenzeiger 767.
As-Sdyäni 698. 705-706.
Assassini 730.

As-Sidschzi 690. 692. 706- 707. 742.
As-sifr 669. 843.
Assurbanipal 112.

Assyrer^ Erfinder desAbacu 837. 838. 840.
J..S« 400. 430.
Astrolabien 706. 739. 812.
Astrologische Aphorismen Almansurs 863.
Astronomie, Erfindung derselben 61. 90.
Astronomie des Boethius 535. 536. 537-

541. 546. 800. 804. 811
Astronomische Brüche 371. 475. 490.
Asura Maya 559. 560.
Asychis 21.
davfififtQOv 254.

Asymptoten 180. 218. 277. 322. 335.
Atabeddin = Gijät eddin Alkuschi 736.
Atelhart von Bath 670. 671. 836. 851—852.
Atelhart von Bayeux 852.
Athbasch 112.

^fZten 109. 167. 176. 189. 244. 348.
Athenaeus von Kyzikus 235.
Athenaeus 311.
Atilius Fortunatianus 283.
Atomistiker 162. 164. 185.
Attalus 324. 325. 399.
Attila 772.

Aufgabe des Pappus 423.
Aufsteigende Kettenbrüche 34. 447. 764

— 765.
^M^wr 498. 501.
Augustinus 697. 780. 782.
Augustus 428. 505. 507. 514. 556.
Aurillac 793. 797. 806.
^«smesstm^ der Jucharte 550.

Autdlykus 278. 344. 418. 662.

auTOg £<pß: 141.

Avicenna 687. 711—712. 854.

-(lM,•^<;aZ^ 709.

Axiome 207. 210

Ayana 596.

Ayrardus 819.

xl^feÄJew 8.

Bdbylonier 10. 7.5—104. 109. 122. 135.

141. 147. 155. 169. 174. 226. 345. 375.

388. 404. 430. 490. 560. 562. 573. 594.

603. 623. 626. 634. 655.
Babylonischer Aufenthalt des Pythagoras

141.
Buchet de Meziriac 436. 442.
Badie = Kubus (sumeriscli) 83.
Baehr 504.
Bagdad 655.
Baillet 470.
Bailly 103
Baktrien 76.

Baibus (Feldmesser) 514. 516. 523. 813.
Baibus (Oberwegemeister) 505. 514.
Baldrich 801.
Balsam 318.
Baluze 791.
Bangor 775.

Barhebraeus = Abulpharagius 470.
Barlaam 475.
Barocius 464 471.
Basilides von Tyrus 343.
Baudhäyana 596. 598. 599. 600. 602. 603.
Baume 793.
Bayley 121. 563.
Berfa Venerabilis 491. 775 — 780. 781.

782. 784. 789. 791. 792. 796. 845.
-Betr 113.
Befreundete Zahlen 156. 213. 587. 691.

692. 696. 747. 756.
Se/i« Eddin 675. 738—741. 764.
J5e7örer 468.
Belisar 529.
I?e?os 86.
Belzoni 66.
Benary 9.
Benecke 204.

Benedict von Nursia 529. 775.
Benfey 555.
Berenike 321.
jBej-^er 313. 346.
Be?-f/7i 408.
Bernard 328.
Bernelinus 817. 820. 825—830. 831. 832.

835. 839. 844. 848.
Bernhardy 312.
Berno 793.

Bernward von Hildesheim 805.
Berosus 95. 102. 135.
J5erfi« 77. 93.

862

Bertrand 627.

Berührungen des Apollonius 328.

419. 42"3. 424.
Beschränkung des Zahlenbegriffes

123. 630.
Besthorn 354. 692.
Beta als Beiname 314.
Bethmann 824.

Beioegungsgeo7netrie215.'61ö.3öl.(j'30.
Beweisführung durch Atischauung
130. 133. 595. 613. 614. 638 700.
709—710. 719.
Bhaskara Acdrya 559. 560. 561.
576. 577. 578. 579. 583. 585. 586.
588. 590. 591. 593. 594. 595. 600.
612-614. 617-618. 638. 682. 700.
Bhatta Utpala 560.
Bhaü Daji 559.
Biancani = Blancanus 239.
Bianchini 437.

Biblische Schriften 16. 19 79. 80
96. 100-102. 112. 115. 784—785
Bienayme 148.
Biering 198.
Biernatzki 109. 622. 628. 629. 632.

640. 641. 642. 643. 640.
Bikelas 471.
Binarsysteiji 10. 633.
Binomialcoefficienten 645 732.
Binomiale 255. 332.
Biot, Ed. 622. 623. 624. 627. 631.

635. 645.
Biot, J. B. 91.
Birs Nimrud 91.
Biscop 777.
Bissextiles Jahr 504.
Blass 181. 198. 203. 206. 280. 380.
Blume 496. 525.
Bobbio 776. 803. 804 810. 811.
Boeckh,A. 117. 150. 154. 164. 171.

321. 380. 381.
Boeckh, L. 222.

Boethius 211. 400. 490. 524. 525.
533 — 548. 551. 564. 681 721.
773 774. 775. 782. 787. 789. 791.
796. 799. 800. 801. 802. 803. 804.
808. 810. 811. 814. 822. 831. 841.
846. 850.
Boethus 380.
BogenabscMuss von Kolumnen 758.

837. 844. 846.
Bogenlinien 199. 219. 231.
Boissier 506.
Bolaner 10.

Bombelli 486. 487. 491. 493.
Bonafilius 806.

Boncompagni 387. 547. 668. 671.
751. 752. 753 754. 755. 756. 825,
843. 853. 854.
Bonjour 380.

Borel von Barcelona 797. 799.
Brähmav.as 555.

329.

79.

706.

71.

701.

568.
587.
604.
701.

87.

637.

632.

384.

J35.

531.
753.
792.
805.

845.

^26.

749.
837.

Brahmaniswus 556.
Brahma- sphuta-siddhänta 558. 657.
Brahmaqupta 558. 560. 568. 576. 578.
579. 580. 582. 583. 584. 585. 587. 588.
590. 595. 596. 604. 605. 607 — 611.
612. 614. 657.
Brandes 380.
Brandis, Gh. A. 240.
Brandis, J. 88. 95.
Brennpunkte 323. 324. 328. 423.
V. Braunmühl 707.
Brennspiegel 311. 328. 468.
Bretschneider 124. 125. 134. 136. 163.
166. 167. 178 181. 183 185. 188. 189.
190. 194. 196. 215. 217. 219. 224. 228.
■ 233. 235. 344. 382. 383.
Brockhaus 563. 598.
Brockmann 533.
Bruchrechnungstabelle des Archytas 546.

548.
Bruchzerlegungstabellen 25—31. 38. Ent-
stehung derselben bei den Aegyptern
28—30. 33.
Bruchbrüche 765.
Brüche 24. 31. 33. 78 79. 118. 490. 495.

573. 675. 717—718. 764. 765. 780.
Brüche, aussprechbare 31. 675. 720.
Brugsch 44. 58. 63
Brunck 432.

Brunnenaufgabe) t. 363. 433. 578. 787.
Bryson von Heraklaea 190. 191. 256.
Buchbinder 268

Buchstaben zur Bezeichnung unbekannter
Grössen 194. 240. 331. 426 440. 580.
581. 755 767.
Buddha 572.

Buddhismus 556. 563. 624 626.
Büdinger 798 800
Bugia 758 — 759.
Bujiden 698.
Bullialdufi 405.
Bunte 280. 311.
Buramaner 10.
Burgess 559.
Burja 240. 241.
Burnell 564.
Busiris 138 139.
Buzengeiger 293.
Byzanz 109.

Cabasilas 474.

Caecilius Africanus 523.

Caesar 398 503-505 506. 521.

Calculi 493. 774.

Calculus des Victorius 495 795.

Caltis 838 flgg.

Camerer 172.

Canacci 679.

Ganarische Inseln 394.

von Gappelle 240. 241.

863

Caraibische Sprachen 9.

cardo 498. 499. 502.

Casiri 671.

Cassiodorius 400. 506. 524. 525. 529- 532.

533. 534. 535. 536. 538, 539. 773. 775.

780. 781. 84L
Castelli 254.

Caturvedu s. Prithudaka.
Caussin 471. 659. 743.
Gavedoni 501.
Cean = zehn 796.
Cedrenus 85.
Celentis 838 ügg.
Gelsus, Ingenieur 514. 516. 523.
Celsus, Jurist s. Juventius Celsus.
Census 688. 755.
Ceylon 563. 564. 566.
Xa = Strick (ägyptisch) 63.
Chafra 20.
Chaiqnet 138. 140. 148. 150. 151. 155.

163. 164. 171, 222.
Chalcis 103.

Chaldäa 19. 48. 75. 76. 77. 85. 86. 91.
Chaldäer == Sterndeuter 98. 496.
Ghalif = Nachfolger G52.
Chalkidius 796. 811.
ChalJcus 122. 123.
Chammuragas 84.
Champollion 4=4:. 45.
Chang-Dynastie 622.
C/m.s/es 264. 270. 274. 320. 332. 392. 420.

421. 423. 540. 548. 549. 608. 671. 744.

836. 839. 854.
üheoü ly 627.
Gheou sin 622.
Gherionneau 758.
Chinesen 10. 15. 50. 80. 86. 91. 93. 95.

169. 428. 594. 621—647. 701. 738.
Chin tsony 624.

Ghioniades von Konstantinopel 474.
de Ghoiseul- Daillecourt 850.
Ghosrau I Anoscharwän 469. 655. 660.
Christ 495. 795. 796.
Christensen 271.
Christoph Columbus 748.
Chronik von Verdun 803.
Chrysippus 242. 346.
Chrysococces 4=14:.
Chufu 20.
Cicero 110. 179. 202. 281. 293. 381. 426.

503. 522.
Circulatur des Quadrates 601. 602.
Ciisoide 334. 339—340.
Claudius 428. 556.
Clausen 193.

Clemens Alexandrinus 62. 179.
Codex Arcerianus 513. 514. 515. 516.

517. 518. 521. 522. 525. 810. 811. 814.
Colebrooke 437. 559. 568. 571. 576. 594.

615. 655.
Columban 776. 803.
Columella 508—510. 603.

Combinatorik 236—237. 242—243. 255.

329. 346. 424-425. 535. 579.
Commandinus 171. 395. 415. 464.
Commentare zum Almagest 412. 413. 414.

458—461.
Commentare zu Euklid 354 395. 396.

414. 464-466. 469. 474. 692. 735.
Commentare zu Nikomachus 400. 430 —

431. 469.
Complanation eines 'f heiles der Kugel-
oberfläche 422.
Complementäre Division 492. 544. 545.

572. 674. 718. 721. 739. 764. 817. 818.

827. 828. 830. 831. 848.
Complementäre Multiplikation 404. 492.

545. 572. 718. 721. 739. 740. 764.

8.52. 855.
Computus == Rechnen im Allgemeinen 774.

783, 816.
Computus paschalis s. Osterrechnung.
Gonchoide 183. 334-338. 417. 598.
Concilium von Nicaea 532.
Gonfucius 621. 622. 623.
Gonstantin d. Gr. 428. 429. 432. 433.

434. 556,
Gonstantin Krephalas 432.
Gonstantinus von Fleury 799. 800. 808.

818. 819. 820. 825.
Gonstantinus Miciacensis 808.
Coordinoten 6(i. 322. 357 — 358. 394.

497. 821.
Gorassprache 9.
Coraustus 516. S13.
Cordova 747. 748. 798.
Corssen 488. 490.
Cosinus 616. 750.
Cossali 433. 679.
Gotangententafel 694.
Crassitudo 815.
Gribrum 317.

Qridhara 560. 578. 583. 585.
Cristini 499.
Gruma 501.
Qüdras 555.

gulvasutra 595—603. 711.
Guritr auf gäbe 582.
Gurtze 536. 690. 789. 807.
Gurven doppelter Krümmung 216. 382.

421. 422.
Cykleu 533.

Gyklische Anordnung 481.
Gyklische Methode 591-593.
Gyklische Quadratzahl 189.
Ctßinder schnitt 239. 384-385.
Cyrillus 462.

Daedala, die grossen 88.
Baedulus 140. 152. 336.
Dänen 9. 12.
Dajacken 12.

864

Damascius von Damaskus 4G7. 469. G59.

Damasias 127.

Damaslus G54. 655,

Daraga 121.

Baten des Arcliimed 292.

Baten des Euklid 268—270. 384. 467.

744. 854.
Becantare 495.
Bechales, Milliet 136.
Becimalsystem , Ursprung desselben 7.

8. 240.
Becimana quintaria 498.
Beeimanus 498. 499. 502.
Becker 125.
Decussatio 488.
ösööfifvcc 268.
Bee 272. 273.
Befinitionen 207. 209. 263. 283. 292. 345.

351. .353. 354. 361. 362. 363. 515. 527.

609. 610. 719. 720. 721. 809. 810. 813.
Be Gelder 405.
Begree 121.
Belambre 743. 749.
BeUsches Problem 199. 219. 220.
Belisles 818.
Bellt- seh 81. 84. 88.
Bemaratus von Korinth 487.
Bemetrius von Alexandria 387.
Bemme 210.
Bemokritus von Abdera 62. 125. 139.

140. 177. 178—180. 185. 232. 355.
Bemosthenes 811.
Bemotisclie Schrift 43.
Bendera 63. 64.
Bescartes 423.
Betermination s. Diorismus.
Betief sen 162.
öiatgeaig 272.

Biameter = Biagonale 205.
Biametralzahlen 407—409. 431. 445. 711
Dj'eZs 125.

Bieterici 162. 481. 698.
Bifferentia 544. 673. 753.
Digfjii 542. 753. 756. 791. 802. 803. 827.

846. 855.
Dt^rife 542.

Bikaaearckus 243. 279. 355.
Binostratus 183. 184. 185. 231. 233—234.

286. 291.
Biodor 19. 21. 61. 86. 91. 97. 140. 178.

179. 280. 311.
Biodorus, Mathematiker 414.
Biogenes Laertius 47. 108. 122. 125. 126.

127. 128. 131. 135. 140. 142. 143. 144.

167. 168. 178. 179. 180. 185. 189. 200.

202. 203. 207. 216. 225. 236. 305.
Biokies 294. 334. 338—340. 346. 379. 397.
Biokletian 412.
Bionysius von Syrakus 202.
Bionysius, bei Heron vorkommend 354.
Bionysius, Freund des Biophant 439. 441.
Bionysodorus von Amisus 383.

Biophantus von Alexandria 345. 433 —

456. 459. 462. 463. 475. 5l8. 525. 580.

581. 582. 584. 587. 654. 662. 680. 682.

683. 699. 708. 710. 723. 725. 728. 729.

765. 766.
Bioptra 243. 279. 351. 355 356. 357.

359-360 364. 501. 505. 508. 706.
Biorismus 197. 206. 224. 252. 294. 325.

673. 374. 705. 728. 732.
Birham 677. 755.
Birichltt 644.
Biväniziffern 666.
Bivision zur Bildung von Zahlwörtern

benutzt 11—12.
Bivision 34. 460. 571. 629. 674. 717.

764. 817. 818. 825. 827. 828. 831. 844.

847. 848.
Bivisio aurea = gewöhnliche Bivison 848.
Bivisio ferrca = complementäre Bivision

848.
Bodekaeder 163. 164. 165. 224.
BöUinger 799.
Bominicus Gondisalvi 751.
Bomitianus 512.
Boppelmayr 437.
Borer 109.

Borischer Dialekt 281. 282. 294.
Bositheus 282.
Bragma 755. 847.
Drei Brüder 690—691. 854.
Dreieck 54. 127. 133. 134. 292. 466. 548.
Dreieck, gleichschenkliges 54. 68. 69. 127.

133. 165.
Dreieck, gleichseitiges 133. 165. 361. 510.

516. 545. 815.
Dreiecke, aneinanderhängende 133. 361.

362. 369. 611.
Dreieckszahl 149. 157. 158. 236. 239. 297.

403. 431. 455. 587. 646. 815.
Dreitheilungen 401.
Dreitheilung eines Winkels 100. 184.

284-285. 300 337 — 338. 417. 691.

692. 705. 706. 714. 729.
Drcsler 198. 199.
Dridha 588.
Droysen 514.

Dschäbir ibn Aflah 679. 748 — 750.
Dschadwal 764.
Dschafar as Sudik 679.
Dschahala 766.
Dschaib 693.

Bschamschid s. Gijät eddin Alkäschi.
Bschibril ihn Bachtischu 653.
Bschidr 680. 681. 754. 755. 765. 766.
Bschingizchän 733. 771. 772.
Bschundaisäbür 653. 659.
Büker 805.
Buella 494
Biimichen 63. 64. 67.
Bummler 781. 832.
Bürer, Albrecht 602.
Buhalde 50. 628.

865

Duhamel 208.

Duodecimalbrüche 489 — 490. 494. 495.

508. 512. 780. 817. 827. 829. 830. 832.

833. 844. 847. 855. 85Ü.
Duodecimalsystem 10. 827.
Dupuis 210.
Dupuy 468.

Durchsclmittspunktevon Cur ven 324: 325.
Duris 125.
dvvufiig 196. 440. GSO. 723.

Ebene Oerter 235.

Eberhard 480.

Ebers 22.

Edfu 67. 68.- 69. 352. 359. 365. 605.

Egbert von York 781. 789.

Eglaos 312.'

ddog = Glied 442. •

Ejectura 516.

Einheit keine Zahl 147. 406. 472. 546.

673. 739.
Einmalemstabelle 46. 402. 495. 539. 711.

796. 826.
Eisenlohr 23, s. Papyrus Eisenlohr.
Ekbatana 91.
hßlrj&siacc 369. 516.
fxftvo? gqpoc 141.
i;Zam 84.
Elementardreieck 165. 166. 167. 172.

197. 212.
Elemente. der Arithmetik 401.
Elementenschreiber avsser Euklid 188.

189. 196 — 197. 224. 235. 247. 260.

355.
Elf erprobe 722.
Elieser 96.
i'^tl 311.
EUatbau 84.
fiAtjrers 156.
Ellipse 58. 160. 232. 269.. 275. 276. 291.

294. 295. 466. 690. 812.
ifißaöov 516.
Einbadiim 516.

Empedokles von Agricjent 162.
Encyklopädien 507. 527. 530. 536. 773.
Engelbert von Lttttich 835.
Ennodius 533.
Epacte 533.
Epanthtm des Thymaridas 148. 426.

433. 584.
Epaphrodiius 514. 515. 517—521. 545.

579. 724. 812. 814.
f'cpodog 148.
Epigonenzeit 333 — 346.
Epigramme algebraischen Inhalts 271.

297. 432. 433. 435.
Episemen 117. ■
Eratosthenes von Kyrene 198—199. 213.

215. 218. 219. 220. 222. 231. 232. 243.
Cantob, Geschichte der Mathematik I. J. Aufl.

247. 278. 312—318. 333. 344. 345. 355.

380. 416. 419. 811., 834. •
Erbtheilungen 522—524. 685—686. 788.
Erde, eirund 506. ^
Etrusker 486. 487." 488. 496. 501. .507.
Etymologien lateinischer Zahlicörter 774.
Eudemus von Pergamum 319. 324.
Evdemus von jRliodns 108. 124. 134. 142.

159. 160. 180. 188. 192. 194. 195. 196.

213. 215. 217. 243—244. 316. 332.
Eudoxus 379.

Eudöxus von Knidos 140. 183. 184. 199.

219. 220. 221. 225—231. 235. 246. 254.

257. 260. 261. 263. 279. 340.
Euklid von Megara 247. 549.
Euklid 68. 115. 134. 168. 233. 246-280.

282. 286. 289. 290. 300. 316. 317. 318.

319. 320. 325. 333. 334. 344. 354. 355.

356. 377. 379. 383. 386. 392. 401. 419.

423. 426. 432. 465. 525. 527. 531. 541.

546. 548. 549. 557. 604. 654. 660. 662.

682. 705. 726. 735. 745.
Euklidische Eorm 260 — 262.
Euklidische Irrationalität 255. 332.
Euklids Elemente 130. 132. 151. 153.

154. 156. 170. 172. 178. 208. 224. 228.

247—263. 290. 332. 409. 416. 417. 418.

419. 423. 432. 455. 458. 459. 466. 526.

527. 531. 535. 536. 540. 541. 547. 588.

595. 599. 610. 625. 660. 691. 692. 701.

709. 719. 721. 725. 732. 735. 852. 854.

856.
Eu^hranor 226."
Euripides 176. 199. 200. 598.
Eustathius 121.
Eutin g 115.
Eutokius von Askalon 108. 132. 198. 213.

214. 215. 217. 218. 219. 222. 231. 278.
280. 286. 294. 303. 315. 316. «319. 329.
334. 339. 348. 349. 383. 395. 414. 468.
719.

Evolute 326.

Eioald 9.

Examios 125.

E^jjxoora 392.

Exhaustion 192. 209. 229. 234. 257—258.

290. 292. 295. 306. 333.
Experiment, mathematisches 143. 158.

165. 169. 174. 227-^228.
sv&vyQKfifitnög 147.

Fabricius 246. 312. 316. 31 8. 344. 382. 458.

Fachr al mulk 718.

Fachri 718.

Fälschung der Geometrie des Boethius

s. Pseudoboethius.
Fälschungen im IL S. v. Chr. 398.
Faktorenzahl 213.
Falscher Ansatz 39. 41. 449 — 450. 574

—575. 577—578. 688. 760—761.

S66

Falsche Sätze scherzweise aufgestellt 295.

Falsche Umkehrunrf eines Satzes i5i — 452.

Far 709.

Favaro 254. 499. 626.

Favorinus 135.

Fehlen allgemeiner Methoden 333.

Felder einthtiliwg 31. 53. 313. 502. 511.

Feldmesser von Byzanz 133. 347. 348.

471—472. 475.
Feldmesser 134. 355.
Feldmesskunst 279. 352. 353. 355. 356

-359. 378. 409—411. 472. 475. 496.

499—502. 506. 512. 516. 625. 634. 635.

646. 739. 810. 812. 813.
Feldmesswissenschuft 378. 475. 506. 545.

810.
Fenchu 111.

Ferdinand der Katholische 748.
Fermat 436.
Ferramcntum 501.
Ferrieres 792.
Feuertelegrei'phie 411.
Fiejar 656. 657.
Figur der Braut 740.
Figur der Gesundheit 166. 195.
Fie/urenbezeichnung 55. 152. 194. 195.

606. 628. 678. 681. 684.
Figuren der geometrischen Kxmst 536. 541.
Figurirte Zahlen 403. 539.
Fihrist 651. 661. 662. 675. 692. 745.
Finalbuchstaben 115. 440.
Fingerrechnen 6. 48. 93. 119—120. 479

—480. 491—493. 528. 569. 668. 778. J79.
Fingersprache 779.
Fitlejerzcihlen s. digiti.
Fischer 98.
Flächenanlegunei 160. 164. 249. 252. 269.

274—276. 320.
Flächenb'ercchmmg 54—57. 69. 152. 256.
Flächenberechnune/, falsche 161. 162. 516

— 517. 696-697.
Flächenzahl 147. 153. 253. 256. 403. 774.
Flaschenzug 311.
Flauti 217.
Flikjel 695. 716.
Flurkarten 506.
Flussbreite zu messen 357. 409 — 411. 502.

739. 813.
Fong siang schi 634.
Formcdeoni 92.

Franco von Lüttich 822—823. 835. 843.
Französische Bauernregel 492.
Friedlein 65. 93. 110. 136. 181. 204. 206.

235. 340. 342. 411. 429. 464. 475. 486.

487. 489. 495. 524. 537. 539. 540. 643.

773. 804. 824. 847.
Frobenius Förster 786.
Frontinus 512. 513. 514. 516.545.549.813.
Fünfeck 67. 101. 102. 165. 166. 195.

363. 364.
Fünfeckszahl falsch berechnet 518. 545.
Fü hl 95. 621. 622. 633. 635. 814.

Fulbert von Chartres 796. 835.
Fulco 793.
Fulda 791. 792.

Gärtnerconstructiun der Ellipse 690.

Galen, der Arzt 201.

Galenus = Pediasimus 475.

Galilei 254.

Gallus 776.

Ganega 561. 578. 594. 614. 823. •

Gangädhara 561.

Gartz 246. 660. 735.

Gaubil 50.' 626. 633. 638.

Gauss 145. 302. 644.

Gazzera 501.

Geber 679. 748.

Geber scher Lehrsatz 750.

Gedächtnissverse 754.

Gegenbauer 839.

yiyov£^= er blühte 247.

Geiger 5.

Gelenkzahlen s. articuli.

Gellius Aulus 506.

Gelon 282. 307. 311.

Geizer 127.

Gematria 96. 97. 115. 116. 117. 528.

Geminus von Bhodos 108. 132. 145. 231.

232. 319. 320. 334. 338. 378—382. 388.

397. 465.
Genocchi 740.
Geodäsie utiterschieden von Geometrie 239.

257. 279. 334.
Geograjihie 313. 394.
Geographische Länge und Breite 346.

357-358. 394.
Geometrie, Frfindunej derselben 19. 21.

22. 61—62. 125. 361. 362. 803.
Geometriemit einer Zirkelöffnung 421. 700.
Geometrie des Boethius 531. 535. 536.

537. 538. 539. 540—548. 551. 753. 773.

789. 803. 804. 810. 811. 814. 838. 840.

845. 850.
Geometrischer Ort 134. 209. 217. 235. 266.

267. 268. 270. 316. 326.
Geometrische Versinnlichung von Zahlen-

grössen 152.
Gerald 797. 806.

Gerbert, Abt von St. Blasien 794. 844.
Gerbert (Papst Sylvestvr LI) 536. 541.

797—824. 825. 830. 831. 832. 834. 836.

839. 843. 845. 846. 849. 850.
Gerbertista 843.
Gerbillon 625. . •

Gerhard von Cremona 749. 751. 754—756.

853—854.
Gerhardt 205. 415. 416. 421. 476. 479.
Gerland 839. 843. 844. 848. 856.
Gerling 186.
Geschichte der Mathemalilc 103. 108. 124.

235. 236. 243—244. 379. 835. 836. 845.

867

Gesellschaftsrechnungen 39. 295 - 297. 57«.

641. G42.
Gesenius 665.

Gesetz der Grössenfolge 14. 45. 77. 81.
110. 113. 114. 116. 117. 630.

Gewichte zi eher 350. 420.

Ghana 576.

Gijät eddin ÄlkäscM 736 — 737. 742.

Gilbert Maminot von Lisieux 835.

Qiles 775. 784.

Giordano 420.

Giseh 44.

Glaisher 424.

Glaukos 199. 200. 598.

Gleichgetvicht der Ebenen 308.

Gleichheitsseichen sf. 442. 766. 767.

Gleichungen ersten Grades mit einer Un-
bekannten 37. 478. 583.

Gleichungen ersten Grades mit mehreren
Unbekannten 148. 271. 583-584. 728.

Gleichungen zweiten Grades mit einer
Unbekannten 249. 252. 270. 346. 376
— 377. 438. 443—447. 576. 582. 584
■ —586. 682—683.

Gleichungen höherer Grade, die auf den
2. zurückführbar sind 727. 72s. 729.

Gleichungen dritten und höheren Grades
294. 300-301. 338. 447. 586—587.

642. 643. 645. 705. 729. 731—733. 736
—738. 742.

Gleichungen , unbestimmte ersten Grades

297. 448. 588—590. 643 — 644. 647.

787—788.
Gleichungen, unbestimmte zweiten Grades

364. 407. 424. 448—450. 575. 590- 593.

72& 740.
Gleichungen, unbestimmte höheren Grades

448.
Gleichungen, unbestimmte mit mehr als

zwei Unbekannten 590. 647.
Gnomon 102. 135. 150—153. 178. 180.

239. 403. 461. 5(J0. 508. 590 — 591. 600.

603. 709. 724.
Göthe 171.

Goldner Schnitt 166. 167. 228.249. 251. 277.
Goldne Zahl 533.
Golenischeff 23.
Goodwin 51.
Gordianus 428.
Gow 115. 210. 217. 419.
Grade Zahlen von ungraden unterschieden

27. 148. 149. 150. 212. 401. 774.
Grad und Ungrad, ein Spiel 148.
Grade der Kreistheilung 92. 99. 103. 121.

344. 388. 639.
'Gradmessung 313. 345. 670. 832.
Graeko-Italer 485. 486. 487.
Gram 633.

Gregor d. Gr. 525. 776.
€rregor V. 798. 808.
Gregory 246. 248. 262. 272. 278. 384.
Griechen 11. 15. 48. 51. 86. 95. 96. 102.

107-482. 485. 492. 504. 507. 508. 531.

562. 579. 580. 582. 587. ^34. 659-663.

680-682. 686. 692. 705. 709. 719. 725

—726. 729. 731. 739. 771. 772. 799.

800. 816. 832. 838. 841.
Grössenverhätnisse menschlicher Köri^er-

Jheile 201. 508. 697.
Groma 500—501. 505.
Gromatici 501.

Grundzüge des Archimed iJOS.
Gruppe 155. 222. 223.
Gruppirung von Zahlzeichen 45.
Grynacus 464.
Guarnerius 806.
Gubärziffern 669. 762. 767.
Günther 92. 167. 301. 367. 424. 480. 481.

502. 594. 627. 714. 806. 821.
Guido von Arezzo 831.
Guichart 120.
de Guignes 50. .633.
Guldin'sche Hegel 421.
Gundubad 534.
Gurke 740.

Haas 557.

Habakuk 97.

Eadricm 432. 523.

Hadschi Chalfa 683. 731. 762.

Hädschädsch tbn Jüsuf ibn Matus 660.

Haebler 90. 103.

Hafs ibn 'Abdallah 658 — 659.

Hagen 785. 788.

Hcüc = Abschnitt (ägyptisch) 56. 69.

Hakimitisclie Tafeln 743.

Halbiren 47. 304. 674. 717. 720.

Halhidada- 812. .

Halley 318. 327. 328. 384. 3S6.

Halma 378. 387. 394. 458. 459.

Hammer- Pur gstull 697.

Handasa = Geometrie 761.

Han-Bynastie 623. 643.

Hankel 4. 7. 9. 14. 112. 115. 132. 171.

172. 181. 191. 193. 206. 208. 221. 246.

262. 263. 392. 433. 437. 448. 593. 606.

608. 651. 658. 679. 680. 689. 693. 698.

704. 705. 706. 724. 736. 741. 743. 784.
Hansjakob 833.
Harmonikulen 385.
Harmonische Proportion 151 — 152.
Harmonische Theilung 323. 325.
Harpedonapten , aQTtiöoväittai = Seil-
spanner 62. 179. 355. 359. 597.
Harun ar-Raschid 653. 654. 658. 660.
Hatto, Bischof von Vieh 797. 798. 799.
Hau = Haufen (ägyptisch) 37. 366. 426.

435. 580. 680.
Hawdi 767.
Heath 433. 440. 441.
Hebelgesetz .241.
Hebräer 76. 96. 111. 112. 114—117. 135.

162. 385. 399. 623. 626. 667. 686. 773.

868

Heiberg 246. 247. 264. 268. 274. 278.

279. 282. 283. 284. 289. 292. 297. 301.

311. 318. 339. 354. 383. 414. 465. 468.

535. 539. 692.
Heiric von Auxerres 792.
Heibert von St. Hubert in den Ardennen

835.
Helceph 852.
Helikon 220.
Heimund 75.

Heng ho cha = Sand des Ganges 627.
Henry 459. 852.
Heraklides 280. 319.
Heriger von Lobbes 835.
Hermann G. 616.

Hermann IL, Erzhischof von Cöln 822.
Hermannus Alemannus 834.
Hermannus Cuntractus 809. 831 — 834.

836. 839. 845. 850.
Hermotimus von Kolophon 235.
Herodianische Zeichen 110. 119. 122. 179.
Herodianus 110.
Herodorns 190.
Herodot 19. 21. 23. 49. 51. 54. 60. 88.

91. 102. 119. 120. 121. 125. 126. 135.

139. 304. 802.
Heronische Frngp 349.
Heronas 349. 469.

Heron d. Aeltere = Heron von Alexan-
dria 349.
Heron d. Jüngere = Feldmesser von By-

zanz 348. 471.
Heron, Lehrer des ProMus 348. 464.
Heron von Alexandria 61. 109. 151. 211.

214. 218. 230. 282. 303. 340. 347—378.

380. 395. 397. 401. 411. 414. 420. 426.

435. 444. 445. 465. 472. 505. 508. 509.

510. 515-517. 525. 528. 545. 562. 584.

595. 597. 603. 604. 605. 606. 607. 610.

611. 613. 662. 663. 682. 684. 692. 706.

719. 739. 787. 813. 838.
Herons Ausmessungen 303. 363. 366. 367.
■ 369. 373. 375. 433.
Herons Buch des Landbaues 363. 367.

368. 369. 371. 425. 453. 478. ,
Herons Geodäsie 362. 369. 475.
Herons Geometrie 361—362. 365. 369.

457. 475.
Herons Geometrie anderes Buch 364. 376.

444. 454. 509. 510. 521.
Herons Stereometrie 362 — 363. 372. 373.

374. 457.
Heronische Dreiecks formel 359 — 360. 361.

362. 367. 516. 549. 605. 608 685. 690.

691. 720.
Hertzberg 463. 469.
Herzog 112.
Hesychius 88.
Heteromeke Zahl 149. 150. 153. 170 —

171. 223.
Hiao wen ti 623.
Hidschra 653.

Hieratische Schrift 43. 45. 46.

Hieroghiphin 43. 44. 45.

Hieron' 281. 295. 311.^,

Hieronymus von Mhodos 128.

Hierom/mus 779. 780.

Hiksos'21. 22.

Hiller 312. 315. 405.

Himly 86.

Himmelsglobus 311.

Hincks 80.

Hindi = indisch 761.

Hindukusch 76.

Hin-Dynastie 622.

Hipparch von Nicaea-91. 242. 345 — 346.

357. 370. 378. 380. 383. 385. 388. 394.

463. 699. •

Hinzuzufügende Zahlen 441.
Hippasus 164. 224. 226.
Hippias von Elis 136. 181-184. 233. 291.
Hippokrates, der Arzt 181 557. 659.
Hippokrates von Chios 181. 188-189.

192-200. 206. 213. 217. 229. 234. 254.

256. 257. 285. 355. 610.'
Hippopede 184. 229. 230. 337. 340.
Hischäm 748.
Hitzig 97.

Hoche 400. 462. 463. 469. 643.
Hochheim 666. 675. 718.
Höhemessung 243. 357. 411. 517 — 518.

812. 813; s. Schattenmessung.
Hoeiti 623.

Hoernle 558. 574. 575.
Hof mann 127.
Hohlfeld 171.
Homer 111. 119. 121. 140.
Horapollon 46.
Horatius 10. 222. 522. 549.
Hörn 225.
Homer 643.
Horus 67. 147.
Ho tu 632. 633.
Housel 321.

Hrabanus Maurus 791—793.
Hrotswitha von Gandershtim 806.
Huaetberct 778.

Huäng ti 622. 627. 629. 632. 635.
Huäy nän tse 622.
Hugo, bekannt mit Gerbert 819.
Hugo 164.

Hugo Capet 798. 804.
Hüldgü 734.
Hultseh 11«. 153. 180. 210. 278. 296.

311. 341. 347. 352. 359. 382. 412. 413.

414. 415. 418. 421. 459. 465. 468. 500.

508. 522. 681. 690. 722. 773.
Humboldt, Alex. v. 98. 313.
Hunain ibn Ishäk 661.
Hunrath 302. 607.
Hunu = Feldmesser (ägyptisch) 63.
Hurüf aldschummal 667. 713. »

Hydrostatisches Prineip 310.
Hyginus, Astronom 514.

869

Hyginus, Feldmesser 499. 500. 514. 559.

*561.
Hyginus, Müitärschriftsteller 514.
Hypatia 462—463.
Hyperbel 160. 217. 218. 282. 269. 276.

290. 294. 383. 707. 714. 733.
HypsikUs von Alexandria 233. 247. 328.

342—345. 370. 388. 403. 434. 456. 467.

518. 526. 662. 717.

7 hei Figurenbezeichnung vermieden 195.

215.. 315. 316. 410. 681 — 682. 684. 726.
Ibdi = Quadrat (sumerisch) 82.
Ibn Aladami 656. 659.
Ihn Älbannä 756—762.
Ibn Älhaitam 743—746.
Ibn Alhusain 7Ö8-711.
Ibn Alniunim 756.
Ibn Alsirddsch 728.
Ibn as-Saffdr- 747.
Ibn as-Samk 747.
Ibn Bautodb 666.
Ibn Chaldün 686. 692. 756. 757.
Ibn GhalUTcan 698.
Ibn Esra 687.
Ibn Jünus 743. 749.
Ibn Mukla 665.
Ibn Sind = Avicenna 687.
IbruMm 687.

Ideler 225. 293. 3a8. 392. 503. 532. 533.
Igin 837 flgg.
Ilchdnische Tafeln 734.
lila = ausser 766. 767.
Imaginäre Zahlen 375. 443. 444. 585.
Incommensurables 254.
Inder 15. 91. 92. 399. 428. 476. 551.

555—618. 627. 635. 638. 642. 647. 655

^657. 668—670. 680—681. 684. 685.

686. 691. 696. 700. 701. 710. 713. 717.

719. 729. 739. 752. 755. 838. 855.
Indisch- Alcxandrinische Beziehungen 399.

428. 557. 559. 560. 565. 569. 581. 582.

584. 598. 600. 603—605. 610. 615.
Indus 75.
Innenkreis des rechhoinkligen Dreiecks

517. 545. 548. 549.
Interusurium 522.
Involution 423.
Iran 76.

Iran = Heran 663.
Irenaeus 117.
Irrationales 142. 154. 170. 171. 172. 180.

185. 200. ,2i0 — 211. 223 — 224. 239.

254 — 255. 270. 311. 332 — 333. 444.

445. 468. 508. 586. 723.
■Isaak Argyrus 474.
Ishta karrnan bll. 689.
Isidorus, fälschlich angenommener Gatte

der Hypatia 462.
Isidorus von Alexandria 467.

Isidorus von Bidet 218. 231. 468.
Isidoviis von Sevilla 400. 524. 772—775.

778. 781. 785. 786. 791. 796. 847.
Isis 147.
Isisfest 379—380.
iaoi 442. 581. 766.
Isokrates 60. 62. 138 140.
Isoperimetrie 167. 341—342. 418. 696.
latOQia ngog IIv&ayÖQOV 144.
Italien 109. 137.
Ivrea, Handschrift von 824 — 825.

Jacobs 432.

Jahjd ibn Chalid 660.

Jaiir 40. 92. 313—314. 491. 503—504.

628. 635. 639.
Jaküb ibn Tdrik 658.
Jäkiit 666.
Jawblichus, Fhilosoph 103. 104. 108. 121.

144. 147. 155. 156. 164. 175. 189. 200.

226. 317. 404. 427. 429-432. 435. 445.

454. 463. 663. 691. 692. 696.
Jamblichus, Romanschriftsteller 104.
V. Jan 526.
Janus 491. 503.
Java 567.
Jehova lli3. 623.
Jid 616. 693.
Jiurdha 616.
Jiva 616. 693.
Johann XIII. 799.
Johann XIV. 804.
Johann XV. 799. 808.
Johannes von Damaskus 434. 654. 660. 682.
Johannes Hispalensis = Johannes von

Luna' 7.51.
JoJmnnes Hispancnsis = Johannes von

Luna 751.
Johannes von Jerusalem 434. 456.
Johannes von Luna 751—754. 756. 787.

849. 854.
Johannes Fhiloponus s. Phildponus.
Johannes von Sevilla = Johannes von

Luna 751.
Jomard 44.
Jonier 109.

Jonisches Alphabet 111. 117.
Jordanus Neniorarius 857.
Joseplms 48. 85.

Josephus der Spanier 806. 807. 820.
Josephus der Weise 806.
Jourdain 751. 833. 834. 851. 852.
Jugtrum 511.

Jidianus s. Salvianus Julianus.
Julianus Apostata 429. 434. 462. 556.
Julien 62&. 629. ,

Julius Paulus 523.
Junier 514.

Justinian 468. 469. 471.
Juvenalis 491.

870

Juventius Celsus 523-.
Juxtaposition 44. 78. 113. 119.
Jyotisham 91.

K, Zeichen für Cardo 498.

Kdh 723. 766. 767.

Kdbhäla 96.

Kddizädeli ar-JRümi 735. 736.

Kaempf 86. 88.

Kaestncr 473. 73.5.

KccXafiog 359.

Kalender der Bömer 12. 489. 503-504.

KallimacJms 312. 314.

Kallisthenes 90.

Kalpasütra 595.

xafiTriUat yQccupictL s. Bogenlinien.

Kanghi 626. 646.

Kanishha 556.

Kanon 201.

Kanopus, Ediktvon 40. 245. 313 — 314.381.

Karana 581. 599.

Karatheodory 734.

Kardaga 656. 657. 694.

^arZ rf. (?rosse 782. 783. 824.

:ffarZ Jfarfe? 772.

Karnah 44.

Äassi 84.

Kasteneintlieilung 555.

Kategorientafel 149. 171. 223.

Kätyuyana 596. 603.

Kegelschnitt 180. 183. 231 — 232. 274
—278. 384. 598. 707. 731—733

Z^e^Z 525.

Keilschrift 77.

Kelten 9.

Kendra = rj iyi ksvtqov 559.

ZeoM 637.

.JTepZer 293.

Kerbholz 45.

xatira 409—411.

KettenbrucJialgorithnms 253. 302 303.
409. 588. 590.

Ä"Äe = ungefähr eine Viertelstunde (chi-
nesisch) 91.

iTia <se 628.

Kieou tschan = c?tc weww Abschnitte 628.
632. 640.

Kiessling 144. 432.

JßeM Zöw^ 627.

Ki'nion 203.

iim^ 1/it 637.

Kirchhoff 117.

Kissaerdynastie 84.

Äi'tt yfcow.r/ ?/€« 624.

Klamroth 660.

Kleiner Astronom 418.

Kleiner Sattel 756.

Kleobuline 125.

Kleopatra 399.

Klosterbibliothelcen 529. 537. 540. 781.
782. 785. 820.

Klostersclmlen 775. 781. 782. 783. 789.
790. 791. 792. 796. 799. 800. 801. 820.

iC%eZ 242. 422.

Ä^^Mgre 468.

Kneucker 86.

Knoche 171. 224. 228. 229. 330. 165. 466.

xo;^il(.a 311.

Kodrus 202.

KoehJer 110.

Koeppen 841.

Körperliche Oerter 235. 236. 419.

Körperzahl 153. 253. 403. 774.

A'oM 10.

KO^Aoyco^'^o^' 341.

Konoide und Sphäroide, Bücher des
Archimed über 282. 288. 291. 294-295.

KononvonSamos 282. 291. 292. 320—321.

Konstantinopel erobert durch das Kreuz-
heer ^lo-., durch die Osmanen 481. 738.

Kopfrechnen 495. 569. 570. 767. 779.

Kopp 527.

Koppe 693.

xo^wöro? ygccfiiiri 516.

jiOßvqDTj 365. 516.

iTos 102. 103.

Ko schan Jcing 642.

V.66V.IVOV 317.

Kosmische Körper 142. 163. 164.

Kotijiä 616.

Krähenindianer 12. .

Kramajid 617. 657. 693.

Krates von Mallus 380.

A^ms 57. 67. 92. 100. 101. 128. 129. 132.
133. 167. 190—191. 196. 517. s. Innen-
kreis.

Kreisabschnitt 361. 510.

Kreisberührungen 292. .

Kreisbogen 361. 366—367. 371.

Kreistheilung 92. 103.

V. Kremer 434. 625. 651. 652. 653. 654.
655. 666. 668. 670. 686.

Kreuzzüge 473. 733. 740. 768. 772. 824.
850. 851.

Kronenrechnung 295—297. 310. 433. 508.

Kr ümmungsmittelpunkt 326.

Krumbacher 843.

Krummhiegel 297.

Krummlinige Winlcel 250. 415.

Kschattriyas 555.

Ktesihim Sil. 348. 350.

Kuas 50. 633.

Kubatur der Konoide und Sphäroide 295.

Kubikwurzel 204. 301. 333. 424. 566.
575- 576. 598. 642. 718. 732.

Kubikzahl 82—83. 154. 155. 253. 403.
440. 452. 519. 520. 521. 539. 579. 711.
712. 814.

Kubische lieste 591. 712.

Künssberg 225.

Kufische Schrift 665.

871

Kugel 164. 167. 224. 604. 740. 815.

Kugel lind Cy linder, Bücher des Archi-
med über 213. 229. 246. 247. 252. 293
—294. 299. 315. .'583. 661. 705. 729.

Kugeloberfläche 293. 549.

Kngehchnitt 293. 204. 295. 299. 338. 383.
705. 729.

Kusch 76.

Kuschiten 76.

Küschjär 717.

Kustd ihn Lükd 662. 717.

Kuttaka 588—590. 643. 644.

Kiiü 637. 638.

Hußos 440. 723.

Kyrus 88. 125.

Kyzikenns von Athen 235.

Kyzikus 225.

Lachmann 496. 514.

Lacroix 246.

Längster Tag 91. 94.

Laertius a. Diogenes.

Lakedaemon 435.

Lalitavistara 572. 573.

La Loubere 594.

Landkarten 394—395.

Lanfrank 849.

Lad tse 623.

Larsam 81.

Lassen 91. 565. 594.

Latitudines 821.

Latus rectum 321.

Lautere Brüder 481. 695 — 697. 747.

iau</t 21. 22.

Laydrd 100."

Legendr e 145.

Leibniz 10. 205.

Xsiipig 441.

ilTjfifta 229.

Lemmen des Pappus 264. 265.

Lenormant 89. 96. 111. 840.

Leodamas von Thasos 181. -207. 222. 224.

ieOM 224. 355.

Leonardo von Pisa 513. 857.

Leonas 464.

Lepsius 21. 40. 45. 49. 53. 67. 68. 69.

81. 89. 91. 313.
LetrQnne 123.
Levigild 772.
icvi/ 113.
Xex Falcidia 522.
ieic Genucia 522.*
jDe ^/a?/ ,?w Äm^r 642.
Liang jin 634.

Liber augmenti et diminutionis 688—689.
Libri 672. 676. 678. 687. 689. 753. 831. 833.
Lieou hin 623. 624. 636.
Lihu 645.

Lildvati 559. 577. 583. 613. 618.
iimes 720.

Lineae 826.

Liniae ordinatae 515.

Lineal 54.

Lineare Oerter 235.

Liptä = XstitÖv 559.

iwt /«c?(y 641.

imws 280. 486. 526.

Loculus Archimedius 283.

Loftus Sl.

Logistik = Rechenkunst 145. 239. 305.

Lombarden 851.

Loria 30.

Xo sc/«w 632. 633.

Lucian 157. 166. 201. 400. 525.

Lunida Hippocratis 192.

Lupitus von Barcelona 807. 835. 850.

itt 2Jtt aei 636.

Luxeuil 776.

Lykurg MO.

Lysanias 312.

3Iaassvergleichun(/en 52. 82. 352. 361.

362. 364. 366. 515. 572. 773. 810.
Machinula 501.
Macrobius 48. 491. 503. 526. 775. 778.

796. 832.
Madhyama haranam 585.
MadschhuJ 766. "
Maerker 229. 330.
Ma/rw 709.

Magdeburger Sonnenuhr 807.
ilfa^je 97. 428.
■Magisches Quadrat 480-481. 594. 633.

646. 697. 741. 753.
Magnus 305.
Magrib 666.
Ma/iZer 127.

Mahmud der Gaznaioide 713.
ikfai 822.

ilfo/er 207. 241. 395. 465. 466.
MflZ 680. 723. 754. 755. 766.
Malaien 12.
Malchus 428.
Mamerkus 136. 181.
Mamertinus 136.
Mandscha 625.

Mangelhafte Zahlen 156. 402. 4^3. 784.
Manilius 811.
Manitius 344. 381.
Manuel .Moschopulos 480—481.
Maraga 734.
Marcellus 281.
Ifarco Po?o 625.
Mariette 111.
Marinus von Neapolis 268. 384. 464.

466. 467.
Marinus von Tyrus 394.
Marquart 493.
Jfarre 668. 683. 756.
Marryat 502.

872

Martianus CapeJla 491. 527—528. 530.

773. 775. 796. 802.
Martin 120. 153. 157. 163. 210. 342.

347. 348. 354. 385. 405. 457. 467. 471.

489. 538. 541. 794.
Martij 792.
Masoreteyi 116.

Maspero 19. 20. 21. 40. 43. 75. 76. 84. 97.
Massiver rechter Winkel 63. 411. 517. 812.
Maiudi 562. 563. 659.
fia&rjficiTa 204.
Ma^hematikerverzeichniss 124. 136. 137.

162. 175—176. 180. 181. 188. 200. 213.

222. 223. 224. 225. 226. 228. 231. 233.

234. 235. 244. 246. 379.
Mathematische Zeichen 13. 37. 194. 441.

442. 580. 581. 642. 643. 755. 765. 766.

767.
Matthiessen 252. 270. 643. 644r 761.
Maximum und Minimum 252. 294. 325

— 326. 334. 341-342. 384. 418. 420.

423—424.
Maximus Planudss 4^32. 437. 475 — 478.

480. 563. 570. 674. 712. 717.
Mayas 8.
Mechanik 221. 223. 240—242. 279. 283.

308—311. 395. "420.
Mechanik des Boethius 535.
3Iediallinie 255. 332.
Medien 76.
Mehrfache Lösung einer quadratischen

Gleichung 446. 585. 677. 683. 725.
Meinzo von Constam 833.
3Iei ivuli gan 646.
(irjyiog 365. 394.
Melampus 140.
Melikscluüi 730. 731.
Memjilvs 66. .

3Iena 20. 40.
Menaechmus 183. 199. 213. 214. 217—218.

221. 231—233. 277. 315. 337.
Menant 78. .
Menelaus von Alexandria 385 — 387. 388.

392. 397. 418. 419. 503. 513. 663. 735.

854. 856.
Menephtah J 51.
Menes 20.
Menge ^£68.
(irjVLGKog 192.
Menkara 20.
Merit = Hafen (ägyptisch) 54. 55. 56.

194. 365.
Merx 102. 113. 114.
Mesolabimn 315.

Mesotaeten 1.54. 226. 416. 425. 801. 802.
Messühat 683-685.
Messer Millione G25.
Messstange 502.

Messung mittels der festen Stange 812.
Metrodorus 432. 434.
Mexiko 8.
(H.-HQVS i(otQovo^üV(j,tvog 418. 662.

Milet 102. 125 ügg.

Militärische Höhemnessung 813.

Milleius = Menelaus 663.

Million 78. 79. 114.. 116.

Minaräja 598.

Ming-D>inastie 624. 642. 645. 646.

J/mos 199. 598.

Minuten 388.

Minutien = Vuodecimalbrüche 832—833.

Miram TscheleU 736.

Mischungsrechnung von Esswaren 578.

Missionäre 625—626. 646.

Mittlere Bücher 663..

Mizraim 19.

3Inesarchus 137.

Müdestus 349. 354.

3Iönchslehen 529—530. 531—532.

Mohammed Bagdadinus 272.

3Iohnkornlänge 306.

Molinet, Claude du 48. 493.

3Iolltvcidc 242. 301. 302.

3Iolsem 854.

31ommsen 487. 488. 489. 490. 514. 525.

liovdq 431. 440. 680.

3Iondchen 192—194.

3Iongolen 624. 632. 642. 733. 771. 772.

3Iung tien 622.

Monochord 143. 155. 800.

De Montchal 807.

3Ionte Gasino 529. 793.

De Montfaucon 305. 807.

3Iontucla 95. 241. 310. 318. 344. 379.

474. 475.
Moraspiel 51.
3Iorgen als Feldmaass 53.
Moses 3Iaimonides 748.
3Iüller, Ottfried 487.
3Iuhammcd 651. 653.
Muhammed ihn Käsim 659.
Muiiammed ihn Müsä Alehivarizmi 656.

658. 668. 070—689. 697. 699. 709. 716.

719. 724. 725. 741. 751. 752. 753. 799.

848. 852. 854.
Muhammed ihn 3Iiosä ihn Schäkir 690.

M^hurta == -- Tag (indisch) 91. 92.

31uizz Eddaula 698.

3£uk(trrar 1hl. 758.

3fukha 606.

Müla = Wurzel {inAisch) 576. 680-^681.

3Iultiplikation, Alter derselben 8.

3IuHip^ikationsv er fahren 303—304. 331

— 332. 402. 404. 416. 425. 459-460.

544. 570—571. 629. G46. 674. 717. 719.

739. 763. 764. 827. 831. 842. 846.
3'Limk 693.
V. Murr 437.
3'Insd, Feldherr 664.
3Iüsd ihn Schakir 690.
3Iusaeus 140.

3Iuseum in Alexandria 246.
Musik des Boethius 535. 537. 538.. 542.

873

Musik der Welten 146. 406.

Husikalische Proportion 155. 404.

Musikalische Schriften eus dem Mittel-
alter 794.

Musikalische Zahlenlchre 142. 145. 279.
395. 508.

Musikcdische Zeichen 773.

Nadika = „^ Tag (indiscli) 91.
bü

Näherung swerthe von y 2 169. 210—211.

302. 368. 372. 407--409. 445. 600. 601.
602. 603. 822.

Näherunqswerthe vonY^i 211. 287. 302.

303. 368. 369. 517. 603. 607. 685. 816.
Nacjl 818. 835. 844.

Namen bei den Arabern 657 — 658.

Namen bei den Römern 514. 515.

Naramsin 84.

Närdyana 594.

Narducci 744. 846.

Nasir Eddin 734—735. 742. 749.

Navarro 222.

Naxatra 92.

Nebi = Hohp'flock (ägyptisch) 63.

Nebka 20.

Nebukadnezar 87. 91.

Nectanabis 225.

Negative Gleichungswurzeln 582. 586. 727.

Negative Zahlen 441. 580. 581. 582. 586.

642-643. 755.
Nen = nicht (ägyptisch) 69.
Neokleides 224.
Neptun 85.
Ner = 600 (sumerisch) 88. 89. 93—95.

123. 496.
Nerva 506. 512. .
Nes-chi Schrift 666.
Nessehnann 103. 116. 120. 145. 226. 254.

271. 297. 344. 379. 400. 401. 403. 406.

407. 431. 432. 433. 436. 437. 440. 442.

448. 452. 454. 459. 463.' 675. 676. 738.
Nestorius 659.

Netzmultiplikation 571. 739. 764.
Neue Akademie 399.
Neuneck im Kreise 715.
Neunerprobe 571. 674. 712. 719. 722. 759.
Neuplatoniker 427 — 432. 463. 473. 530.

535. 543. 836.
Neupythagoräer 399. 435.. 473. 543. 670.

673. 696. 841.
Neuseeländer 10.
Niccheda 588.
Niebulir 525.
Niederbretagner 10.
Nietzsche 107.
Nicolaus Bhabda von Smyrna 479 — 480.

491. 668. 779. 780.

Nikomachus von Gerasa 147. 154. 155.

158. 159. 212. 317. 349. 400—404. 405.

406. 407.. 425. 426. 427. 430. 432. 434.

444. 492. 519. 524. 525. 528. 531. 535.

5.38. 539. 540. 545. 643. 663. 673. 681.

691. 711. 774. 8.52. 855.
Nikomedes 183. 334—338. 346. 379. 397.

416.
Nikon 293.

Nikoteles von Kyrene 320.
Nil, Austreten des 19. 60—62. 125. 746.

802. 803.
Niloxenus 128.
Ninian 776.
Ninive 76. 99. 112.

Nipsus 514. 515. 517. 613. 810. 811. 813.
Nirapavarta 588.
Nissen 486. 497. 498. 500.
Nizum Almulk 730.
Nizze 282. 291. 320. 382. 384.
Noah 19. 87.
Nokk 278. 340. 382. 383.
Nordamerikanische Naturvölker 502.
Null 69. 84. 118. 158 — 159. 476. 551.

563. 567. 569. 576. 631. 669. 717. 801.

831. 842. 843. 846. 848. 850. 854.
Null als Gleichungsivurzel vermieden 727.
Nunia 490. 491. 503.
Numeri figurati 539.

Obelisk Ä7 4:.

Ocreatus 404. 852. 855.

Octodecivial System 10.

Odalric 793.

Oddo's Segeln des Abacus 794. 844-847.

Odo von Cluny 793. 794. 797. 844.

Odo von Tournay 835.

Oerter auf der Obertlächc 273—274. 419.

422.
Oestliche Han-Dynastie 636.
Ofterdinger 208. 272.
Oinopides, der Philosoph 88.
Oinopides von Chios 140. 175. 178. 181.
Oktadm des Archimed 305—306. 330.
(OKVtößoov 330.
Okytokion 330.
Olleris 797. 820. 843.
Omaijaden 654. 655.
"Omar 469. 470. 653.
Vmar Alchaijdmi 729—732. 742.
Omar-Gheian ^='Omar Alchaijdmi 731.
Oppermann 301.

Op)pert 75. 79. 85. 87. 89. 94. 101. 103.
Oppohitio 676.
Optilc 279. 395. 418. 744.
Opuntius s. Philippus Opuntius.
Ordinaten 515.
Orestes 462.

Orientirung 14. 20. 63; 497—500. 559.
" 561. 595. 596. 597. 634—635.

874

wQiofiivov 148.

Ormis 837 ß.gg.

Orontes 93.

OQOS 345. 720.

Orpheus 140.

OQ&ia 321.

Ortstheorem 265. 266. 267. 745.

Osiris 147.

Osseten 10.

Osterrechnmi'i 495. 532. 533. 776. 778.

780. 781. 783. 791. 843. 845.
Osivin 776.
Ottajano 420.
0«o 7. 799.
0«o II. 804.

Otto JJ/. 536. 804. 805. 806. 808.
Oll iväng 95. 622. 634.
Ovidius 336.
Oxus 75.

TT = |/8 473.

TT = 3 100. 375. 603. 606. 639. 641.

n = (^j 602. 823.
TT = 3— 508. 602.

157
TT = 3,1416

„17

120

•641.

330. 604. 612. 616, 685.
394. 212.

= 288. 354. 375. 376. 508.

549. 606. 607. 612. 615. 641.

685. 832.

= (^Y ö"^- 1^0- ^'^ö- 3'^^- ^^-■

= y'lO 606. 607. 685.
= (IT = 3.24 823.

- V^Y ^ ^'"^^^ ■ ■

787. 823.

512.
645.

740.

7t = 4 550.

Pada 576.

Padmandbha 560. 585.

Palaeologen 474 — 475.

Palimpsest von Verona 526. 540.

Pahnyra 113.

Pamir Ib.

Pamphüe 126.

Pänini 596.

Pao tschang schi 634.

Pappus von Alexandriti 108. 109. 183.

185. 208. 212. 214. 232. 233. 235. 247.

260. 264. 265. 266. 267. 273. 274. 277.

284. 292. 303. 315. 316. 319. 320. 327.

328. 329. 330. 331. 335. U37. 341. 348.

3.50. 382. 386. 395. 400. 412—427. 435.

453. 456. 457. 458. 4.59. 465. 512. 663.

692. 696. 700.. 701. 719. 745.
Papyrus Eisenlohr 20 — 47. 52 — 60.
Papyrus Sallier 51.
Parabel 160. 217. 218. 232. 274. 289

—290. 294. 308-309. 328. 383. 468.

702. 714.
Parabehirlel 218. 231.
Paraboloid 58.
■na^äSo^og yQajiixrj 387.
Paranellinien 98. 160. 262 — 263. 292.

395—396. 466. 515. 735.
Parallelogramm der Kräfte 241.
Parallellrapez, gle'chschenJcliges 56. 6().

1^)2-193. 361. 365.
Paralleltrapcz mit H gleichen Seiten 192

— 193. 197—198. 609. 610. 733.
Paramädigvara 560.
De Paravey 80.
Parilienfest 500.
Pariser Gemme 493.
Parmenides 467.
Partsch 505.
Pascal .520.
Passahfest 532.
Pdfaliputra 558.

Patrikius 349. 354. 457—458. 463. 517.
Pausanias 88.
Pediasimus 475.
Peiper 539. 844.

Pena 382. • ' .

Pendlebury 424.
Pentagramm 166. 195.
Perigenes 103.

PeriUes 110. 166. 176. 201. 245. 816.
Peripatetiker 107. 142. 204. 238. 243. 245.

718QLGOOL 148.

Perny 621. 622. 623. 627. 628. 629. 632.

Perseus 183. 340. 379.

Persius 803.

PerspeUive 67. 177. 295. 395.

Pertz 822.

Peruaner 50.

Peiaw 379.

Petesuchet 21. '

Pdesuehis 21.

Peine 23.

Pe0 801.

Pfahlhauten am Pfäffikon-See 14.

Pheidias, Künstler 201.

Pheidias, Vater des Archimed {?) 281.

Philipp von Macedonien 158. 201.

Philippus von Mende 235.

Philippus Opuntius 157. 235. 297. 456.

Philo von Alexandria 115.

PÄt'Zo wo« Ttiana 307.

Phüolaus 148. 150. 154. 164. 171.

Philoponus 188. 190. 220. 469.

Philosophie der Mathematik in der

Akademie 206—207.
Phöniker 76. 85. 111—113. 125.

875

Phönix 85.

Photius 315.

Phiflai 111.

Pick 492.

Pietschmannld. 20. 21. 40. 43. 75. 76. 84. 97.

Pikan 567.

Pipin 795.

Pipping 380.

Piremus = Heraungelun aus der Säge

(ägyptiscli) 58.
Pirmin 776. 785.
Planisphucrium 395.
PZaio fow Ticoli 693. 853.
P?afon 95. 140. 143. 145-. 1(31. 171. 182.

199. 200. 201 — 222. 223. 225. 228. 231.

235. 236. 238. 245. 246. 255. 301. 314.
354. 361. 362. 399. 401. 405. 535. 548.
836. 845.

Piaton, Briefe 202.

Platon, Charmides 304.

Piaton, Euthydemus 146.

Platon, Gesetze 61. 204. 212. 213. 235.

Platon, Gorgias 146.

Platon, Hippias maior 182.

Platon, Hippias minor 182.

Platon, Lysias 148.

Platon, Menon 159. 172. 204—206. 207.

210. 683.
Platon, Nebinhuhlcr 176. 177. 178.
Platon. Parmenides 207.
Platon, Phaedon 164. 212.
Platon, Phaedrus 47. 6l.
Platon, Philebus 171.
Platon, Protagoras 182.
Platon. Republik 147. 157. 168. 203.

210. .331.
Platon, Sop>Mst 467.
Platon, Theaetet 170. 196. 200. 223—224.
Platon, Timaeus 143. 153—154.197.212.

224. 811.
TcXätog 365. 394.
Pifiutus 491. 496.
Plectoidische Überfläche 422.
TtXsvgd 681.
Plinius 21. 90. 102. 128. 135. 152. 162.

383. 491. 503. 504. 505. 507. 778. 821.
Plotinus 428. 503. 528. -
Plutarch 95. 128. 142. 147. 157. 160.

165. 168. 171. 177. 180. 220. 221. 222.

236. 243. 280. 431. 454.
noöio^og 516.
Podismus 516. 810. 813.
Poggendorff 240. 625.

Pol eines sphärischen Bogens 392.

Pol der Gonclioide 335. 337.

Politische Arithmetik 479.

Polos 102.

Polybius 122. 161. 304. 380.

Polyeder s. Vielfläcliner.

Polygonalzahlen 158. 236. 297. 345. 403.

4:34. 454 — 456. 515. 518 — 519. 520.

539. 515. 549. 587. 814.

Polygonal zahlen, Schrift des Biophant

über 436. 454—456.
Pohjklet 201.
Polykrates, Eedner 139.
Pumpeius 381.
Porisma 264—267.

Porismen des Biophant 436. 451-452.
Porismen des Euklid 264. 267—268. 392.

419. 423. 745.
Porphtjrius 85. 90. 108. 110. 141. 155.

175. 427. 428. 429. 663.
Pusclger 240. 241.
Posidonius von Alexandria 381.
Posidonius von Rhodos 381.
Potentia 196.

Potenzen der -unbekannten Zahl 440. 580
■ —581.

Potenzgrössen 196.
Potone 236.

Pott 4—13. 45. 50. 53. 86. 93.
Poudra 395.
Präci 596.
Praecisura 516.
Prantl 822.
Premare 626.
Primzahlen 149. 253. 317 - 318. 401.

432. 473.
Princip der virtuellen Geschioindigkeß 241.
Priscianus 296.
Prisse d' Avenues 66.
Prithüdaka 579. 609. 610.
Problem 261.

Produkt der Summen ztoeier Quadrat-
zahlen 451.
Projcctionsmetlioden 395. 414.
Proklus Biadochus 65. 108. 124. 127.

128. 130. 131. 134. 136. 142. 145. 150.

159. 160. 161. 162. 165. 168. 171. 173.

178. 180. 181. 182..183. 191. 200. 207.

211. 224. 228. 229. 230. 232. 241. 246.
247. 248. 250. 259. 260. 261. 263. 264.
265. 266. 272. 311. 328. .332. 337. 340.
341. 348. 355. 378. 379. 382. 384. 395.
414. 429. 458. 463—466. 528.

Proportionenlehre 36. 67. 146. 1^ — 155.

212. 223. 226-228. 251. 257. 263. 316.
402. 404. 416. 425. 539. 694. 719.

Proportionaltheile 392.

Propositiones ad acuendos juvenes 784

— 789.
Protagoras 182. 186.
Protarch 343.
ipafifiirrjg 306.
Psellus 472—473.
ipjjcpog 843.

ipricpocpoQia v.ax 'Ivdovg 476.
^psvSäQicc 263.
Pseudoboethius 539. 546. 547. 551. 823

—824.
Ptolemaeus Euergetes 198. 199. 231. 245.

312. 313. 318. 321. 504.
Ptolemaeus. Lagi Soter 215.

876

Ptolenuieus PJdladdpJms 115. 245.
Ptolemaeus Phüopator 315. 318.
Ptölemaeus IX 347.
Ptolemaeus XI 08
Ptolemaeus XIII 348.
Ptolemaeus Hephaestio 315.
Ptolemaeus, Claudius 90. 91. lO'J. 118. 303.

365. 378. 383. 385. 387—396. 397. 404.

406. 413. 414. 428. 458. 465. 531. 535.

557. 560. 563. 617. 656. 660. 661. 662.

670. 720. 749. 750. 853. 854. 856.
Ptolemaeischer Lehrsatz 388. 720.
Punktirkimst 98. 734.
Pyramidahahlen 236. 456. 515. 519. 520.

587. 646. 814.
Pyramidenwinkel, Constanz desselben 20.
nvQStov 328. 338.
Pythagoras 88. 137—175. 176. 205. 211.

226. 255. 354. 361. 362. 399. 400. 404.

428. 430. 434. 485. 528. 531. 535. 543.

599. 654. 682. 683. 691. 774. 811. 845.

Pythagoräer 65. 95. 121. 137. 141—175.

"l85. 187. 189. 190. .195. 197. 200. 203.

222. 226. 239. 277. 320. 332. 431. 520.

584. •

Pythagoräisch er ^Lehrsatz 142. 166. 167.

168. 172. 205. 249. 597. 598. 599. 600.

605, 613—614. 637—638. 641. 683.
Pytliagoräisches Dreieck 64. 102. 158.

159. 168. 169. 311. 450. 508. 637. 638.

740. 812.
Pythmen 331—332. 431. 544.

Qa = Höhe (ägyptisch) 58. 365.
Qet = Äehnlichkcit (ägyptisch) 58.
Quadrat 54. 165. VIQ, 196.
Quadratische Beste i07. 591. 707. 712. 719.
Qtiadratrix 183 — 185. 233 — 234. "291.

337. 338. 417. 421—422.
Quadratur der Ellipse 291.
Quadratur des Kreises 57. 100. 177. 183.

185. >B9 — 191. 192 — 194. 196. 234.

256. 473. 601. 602. 603. 744. 822—823.
Quadratur der Parabel 229. 282. 288.

289—290. 308-309.
Quadratwurzel 55. 68. 3 70. 223. 224.

287 — 288. 302 — 303. 353. 368 — 369.
■ 375. 414. 424. 460—461. 468. 477—478.

566. 575—576. 581. 598. 600. fi07. 642.

720. 722. 732. 740. 752. 759—760. 765.
Quadratzahl 82. 149. 151. 152. 153. 154.

155. 157. 158. 159. 189. 196. 224. 253.

298—299. 403. 407. 431. 440. 449. 450.

451. 468. 520. 579. 711. 712.
Quadratzuhl , welche um eine gegebene

Zahl vergrössert oder verkleinert wieder

Quadratzahl ist 708-711.
Quddruvium 538. 773. 845.
Quatuordecimani 532.

Quimas 837 flgg.

Quinarsystem 8. 9. 10.

■Quincke 14.

Quintilian 161. 341. 491. 510—512. 527.

Qioijni 50.

Ba-ä-us 22.

Baab 186

Bacechin 822.

Bad des Aristoteles 241—242.

Badix 681. 754. 755.

Badulph von Laon 831. 835—843. 844.

845. 848.
Ba-tn-mut 22.

Bäthselfragen 783. 784. 788. 789.
Baimund, Stiftslehrer von Atirillac 797.
Baimund, Erzhifichof von Toledo 750.
Bama Krishia 561. -576.
Baml = Punktirkunst 98.
Bamses IL 54. 60. 66. 67.
Bandbemerkungen dringen in einen Text

ein 262. 349. 693. 812.
Banganätha 561.
Bask 563.
Bat gar 791.

Bationale Gleichungsicurzeln allein ge-
stattet 443—445.
Bationale rechtwinklige Dreiecke 173.

175. 211 — 212. 255 — 256. 361. 362.

368. 450. 451. '452. 453. 454. 516. 548.

587. 598. 708—712.
Bationalmachen von Brüchen 586. 765.
Baumcoordinaten 394.
Baivlinson 82.
Bnzi 653. 854.
Bechenbrett s. Abacus.
Bechoibuch von Achmim 23. 30. 470—471.
Beehcnbuch von Bakhshdli 558. 573—575.
^ bll. 580. 581.
Bechenknecht 495.
Bechncn mit Marken 6. 50 — 51. 94.

476. 775.
Bechnende Geometrie = L'eldmesstvissen-

schaß 505.
Bechnung auf. der Linien 524.
Bechteck 54. 102.
Bechter. Winkel 64. 100. 102. 128. 132.

150. 152. 178. 180. 196. 356. 358—359.

596. 597.
Bectification des 'Kreises 100. 234. 285

—288. 338. 604.
Bedewendungen,mathematischederAegt/p-

ter 23. 24. 28. 31. 69. 71. 261. 36.5*
. —366; der Araber 680. 766. 767;

der Griechen 147. 148. 196. 261. 365

—366. 440. 516; der Inder 571. 574.

576. 577. 580. 581. 582; der Bömer

495. 516.
Begeldetri 479. 578. 593. 683. 719. 739.

766.

877

Begimhcrtus von Eeichenau 537.
Regimlold von Cöln 822. 835.
Regivmontanus 437. 693. 750.
jRegula elchatayn 689.
Regula Nicomachi 404. 492. 545. 827.

852. 855.
Regula quator qiiantitatum 749.
Regula sermonis 689.
Regula sex quantitatum 386. 392. 735.

749.
Reichenau 537. 540. 785. 792. 832.
Reiffersclieid 525. 824.
Reihen 148.
Reihe, arithmetische 40 — 41. 81. 149.

155. 298. 299. 345. 362. 431; 519. 575.

579. 584. •
Reihe, geometrische 40r 42. 81. 149. 155.

253. 290. 579.
Reihe der Biqiiadratsahlcn 736.
Reihe der Kubikzahlen 519 — 520. 579.

724. 739. 759, 814.
Reihe der Quadratzahlen 298 — 299. 519.

579. 724. 736. 739. 759.
Reimer 198. 199. 437.
Reinaud 428. 555. 557. 562. 563. 671. 672.
Reisen griechischer Philosophen: des

Anaxagoräs 176; des Demokritos 179;

des Eudoxus 225; des Oinopides 178;

des Piaton 202—203; des Pythagoras

138—141; des Thaies 126.
Religiöse Gegensätze bei den Arabern

720. 721. 730. 742—743.
Remigius von Auxerrc 792. 820.
Remigius von Trier 804. 819:
Remusat 630.
Repräsentation 522.
Res 754. 756.
Restauratio 676. 754.
Qrjtov 169. 254. 720.
Reuter 849.

Rhabda s. Nikolaus Rhabda.
Rheitns 792. 798. 799. 805. 806. 807. 808.

811. 817. 818. 819. 820.
Rhind 20.

Rhodos 346. 348. 358. 381. 394. 398.
Ricci 625.
Richardson 98.

Richerus 797. 798. 799. 800. 817. 818.
Richter 328.
Riese 487.

Rinder problcm des Archimed 297. 432.
Qitn 681.

Robert von Lincoln 834.
Rodet 30. 36. 38. 42. 442. 446. 558. 565.

566. 575. 576. 577. 578. 580. 581. 582.

583. 584. 585. 587. 588. 590. 604. 605.

606. 615. 635. 675. 852.
Roediger 479.
Römer 11. 12. 15. 348. 381. 385. 397.

398. 428. 470. 485—551. 556. 579. 596.

603. 629. 634. 685. 740. 772. 787. 788.

799. 800. 803. 806. 855.

Römische Reichsvermessung 504 — 505. .
Roth 136. 137. 173.
■Rohde 104. 247.
RomaJca Pura 560.
Romulus 490. 503.
Rosen 676. 684. 753.
Rossi 501.
De Rossi 486.

RotJüaiif 203. 204. 205. 206. 210. 223. 224.
i)e Rouge 51.
Rudolf von Brügge 854.
Rudolf von Lüttich 835.
Rudorff 4S6.
Rudpert 833.
Rupa 574. 580. 642. 680.

Saba 434. 654.

Sachau 712.

Sacrj 665. 666. 667.

Sätze des Metielaus 386. 392—393.

Sqfech 63.

Said 756.

Salaminisclie Tafel 122 — 123. 124. 304.

411.
Salemer Algorithmus 855 — 856.
caXivov 284. 285.
Sallier 51.
Salmän 660.
Salvianus Julianus 523.
Sdma QÖdhanam = ccnh onoCcov ofioia 582.
Samarkand 735.
Sammekvörter, verschieden nach der Art

des Gezählten 5.
2aiiip (iTiovxciQrjg 474.
Sandbestreute Tafel 120. 121. 123. 124.

527. 570. 571. 669 — 670. 671. 717.

827. 831.
Sandrechnung des Archimed 306^ — 308.

572. 714.
Sanskrit 556. 557. 564. 565—566.
Saph 843.

Sar = 3600 (sumerisch) 88. 89. 95.
Sargon I 84. 90. 97.
Saryukin 84.
Sasuchet 21.
Sasyches 21. 22.
Satz von den 6 Grössen 251. 386. 392

—393. 735.
Savilius 262.
Sayce 84. 90. 99. .
Schaal 625. .
Schachbrettartige Multiplikation s. Netz-

multiplikation.
Schachsjiitl 594. 712.
Schcdiruch 735.
Schal 680.

Schaltjahr iO.niS- SU. 381. 504.533.731.
Schams Addin al Mansill 668.
Schamsaldin von Bukhara 474.

878 . Register.

Sdiamsaldin von Samarkanä 474. Sekunden 388.

Schains ed Daula 712. Seldscliük 730.

Schang kao 635. 637. 638. ' Seldschuken 698.

Schapira 80. ari^sta sk xfjg naQdßolrig 323.

Scliaraf ed Daula 698. Semes = Schlägel (ägyptisch) 63.

Schasu 21. Semiten 20. 7€.

Schatten = Tangente 704. 743. Semuncia 494.

Schattemn essungen zu Höhebestimmungen Senkereh, Tafeln von 81 — 83. 89. 711.

128. 134. 363. 364. 518. 607. 739. 812. Sepher Yecira 96. 563.

Schattenseiger 102. 103. 135. 499. 500. Segem '= Vollendung (ägyptisch) 34—36.

634. 635. 694. 704. 807. Seqt = Äehnlichmachung (ägyptisch) 58.
Schaubach 176. 129. 134. 396.

Scheffel als Feldmaass 53. Serenus von Antissa 383 — 385.

ScheiteUinit 55. 56. 605. Sergius 434. 654.

Scheitelwinkel 127. Servatus Lupus 792.

Schenkel 86. Sesostris 54. 60..

Schepss 537. ' Seti I 66. 201. 3o8.'

Schiapurelli 2-25. 229. • Sexagesimalbrüche 79. 85. 303. 345. 370.

Schiefe Ebene 420. 388. 459—461. 475. 477. 478. 489—490.

Schlagintweit 92. 573. 594. 675. 720. 752.- 830. 856.

Schlegel 627. Sexagesimalsystem 10. 81. 85. 86. 89. 90.
Schmidt, J. 498. 92. 93. 94. 95. 628. 635. 639. 713. 718.

Schmidt, Max C. P. 231. Sexcenti = unendlich viele 496.

Schmidt, M. 330. . Sextus JuUus Africamis 409—411. 812.

Schnitt des rechtwinkligen Kegels 231. Shadvidham= 6 Bechnungsverfahrcnblb.

232. 319. Sicel 773. 847.

Schnitt des spitzwinkligen Kegels 231. Sicilien 109. 117. 136.

232. 319. Siciliquus 494.

Schnitt des stumpfivinkligen Kegels 231. Sickel 780.

232. 319. Siclus 773.

Schnitzler 687. Siddhänta 559. 562. 657.

Schöll-Pinder 470. 479. Siddhdntariramani 559.

oxoivCov 359. Sieb des Kratosthenes 317 — 318. 473.

oxoivog 359. Sieben als ' unbestimmte Vielheit 86.

Schraube 311. Sieben freie Künste s. artes liberales.

Schraubenfläche 422. Siebeneck im Kreise 292. 702.

Schraubenlinie 382. 421. Siebenerprobe 759.

Schreibfeh ler im Codex Areerianus 517.810. Sigebert 822.

Schrift, Erfindung derselben 13. Signal 357.

Schrumpf 6. *SWms Italiens 280.

/ScAmZ^ 433. 436. 447. • Simplicius 190. 194. 354. 381. 382. 394.

&7«<« <c/«' 625. 469. 504. 692.

Schwerpunkt 308—309. 420. 421. ^'maw ihn Alfath 687.

Schwimmende Körper des Archimed 310. Sinun ibn Täbit 705.

Sciotherum 499. • Äwci ifc« ÜZ? 687.

Scriverius 513. Sindhind 562. 655. 656. 657. 658. 670.

Scyllacium 529. ä'wms 616. 693. 694. 750. 853.

Scythianus 428. Sinus von 225' 6i7.

Sechseck 67. 92 — 93. 100. 193. 363. 364. Sinussatz der ebenen Trigonometrie 735.

509—510. Sinustafeln 617. 694. 702—704. 743.

Sechseckszahl falsclibcrechnet bis. b4:6.i:ili. Sinus versus 616. 693.

Sechs Gleichungsfälle 676. 724. Sipos 838 flgg.

Sechsersystem 10. Skandinaven 10.

Sechzig als unbestimmte Vielheit 87 — 88. Smith' 100.

Sechzigstel 392. Ämoi = Alisrechnung (ägyptisch) 31.

Secundiis von Athen 784. Smyrna 109.

SediZZof 735. 743. 744. Sokrates 189. 202. 203. 205..

>S'e/ie<.' 614. 700. . Solon 110. 122. 123. 140. 202.

Sehnentafel 346. 370. 385. 388—392. ■ Sopater 429.

Seidel 312. Sophienkirche in Konstantinopel 468.

Seilspannumg 62. 63. 64. 99.- 358—359. Sophisten 182—183: 189—190. 205. 242.

597. 638. Soranzo 305.

879

Sosigenes 504.

SosiJcrates 125.

Boss = 60 (sumerisch) 88. 89. 95.

Spanische Omaijaden 664. G65. 746 — 747.

Species 442.

Spengel 108. 192.

Speusippus 203. 236. 456.

SpMrik liö. 278 — 279. 383. 385. 418.

419. 701.
Spärische Spirale 422.
Sphärische Trigunumetrie 385. 392 — 393.

616. 642. 694. 735. 745-750.
Spirale, Maschine 311.
Spirallinien 183. 282. 291—292. 298. 334.

337. 417. 422.
Spiren 183. 230. 340.
Spirische Schnitte 230, 340.
Spitienfigur 740.
Sprenger 695.
S. Q. 516.

St. Emmeran in Begensburg 786.
St. Gallen 801. 832.
St. Martin bei Tours 782. 790. 791. 792.

793.
St. Peter in Salzburg 809. 815. 832.
Stammbrüchc 24. 25. 45. 46. 47. 114.

118. 155. 304. 366. 470—471. 490. 573.

675. 711. 719. 832.
Stammhrüche, algebraische 440. 723.
11. Stein 784.
Steinhart 183.
Steinschneider 98. 661. 662. 663. 688.

692. 694. 704. 747. 748. 757. 853.
Stella 501.
Stellwngüwerih der Zahlzeichen 83. 116.

117. 118. 566. 567. 568. 569. 576. 668.

739.
Stereographische Projection 395.
Stereometrie 57. 144. 212. 216. 217. 229.

256. 334. 362. 363. 373—375. 500. 526.

604. 607. 608. 685. 740.
Stern {Ludivig) 22. ,

Stern, Winl-dkreuz 355. 356. 501. 634.
Sternvieleck 166. 547—548. 740.
Stesichorus 136.

Stetigkeitsbegriff' 185-186. 191.
Stobaeus 88. 142. 149.
Stoeber 514.
Gxoix^Ia 188. 247.
GrOLiiia y.coviy.u 288.
Stoy 49. 118. 119. 123. 479. 779.
Strabon 62. 85. 88. 140. 141. 202. 225. 383.
Studemund 195. 526.
Su schu kicou tschang 632.
Subtraktion zur Bildung von Zahlwörtern

benutzt 11. 489.
Sulitr aktionsverfahren 570. 629. 673. 763.

768.
Suchet 21.
Suetonius 491.
Suidas 88. 93. 102. 135. 224. 312. 412.

413 458. 462.

Sumerier 75. 76. 77. 84.

Sun tse 643.

Sung-Dynastie 624. 632. 636. G.-iS.

Sunya 574. 669.

Sürya 559.

Sürifa Siddhänta 559 — 560. 569. 596.

615. 617. •
Süryadäna 561.
Susemihl 244.

Sutek = Leiter (ägyptisch) 42.
Suter 651. 734. 745. 792.
Swän fä töng tsüng 628.
Swdn pdn 627. 628-629. 633.
Sylvester II = Gerbert 808. •
Symmachus 533. 534. 537. 538.
Symbolische Positionsarithmetik 567— 568.
Gvvayayri 415.
Synesius 462.
Synkellos 88.

Synode von Mouson 807. 823.
Synthesis 208. 217. 218.
Syrahus 280. 281. 293.
Syrer lf4.
Syrianus 463. 464.

Täbi' 709.

Täbit ibn Kurra 156. 661—662. 691—692.

696. 697. 705. 706. 741. 854.
Tacitus 487.
Tadmor 113.
Tue 542.

Tageseintheilung 91 — 92.
Takarrur Ibl. 758.'
Talchis = Auszug (arabisch) 757.
Talent' 122. 123.
Talmud 101. 162.
Talus 152. 336.
Tamerlan 735. 771.
Tangente 704. 743.
Tannery 144. 147. 186. 187. 210. 236.

243. 278. 304. 330. 383. 387. 433. 435.

426. 472. 473. 479. 520.
Tantum, quantum 754.
Tad 623.
Tara 763.
Taraha 763.
TarÄ 763.
Tdrik 664.

Tarquinius Priscus 490.
Ta sc/n' 624.
Ta«o 792.
Ta yen 643.
Ta2/Zor 488.
Täzy 624.

Tcliao kun hiang 636.
Tcheou- Dynastie 622. 636. 640.
Tcheou = Kreis (chinesisch) 635. 637.
Tcheou kong 622. 628. 636. 637. 638.
Tcheou ly 622. 623. 624. 634. 635. 636.

880

Tcheou pei 635—639. 640. 641.

Tchin kJiang tching 624.

Tchin tofig 624.

Tchintsoe 636. ■

Tchu lii 624.

xiXBLOi 156.

Temenias 838 ^gg.

Temnonides 226.

Templum 496. 497. 498. 501. 504.

Tennulius 432.

Tepro = Mund (ägyptisch) 54. 55.

Terentianus Maurus 506.

Terminus 720.

Ter quem 318.

Tessareskaidekusiten 532 .

Tefa 20.

Tetraden des Apollonius 330 — 331.

Tfrpaycöv/^otJffo; 183.

TgTQaycovog 196.

TetroMys 95.

Teu/^eZ 505.

Ti^a/cs wow Jf«7e« 125 — 135. 139. 160.

176. 196.
Thang-Bynastie 636. 643.
Theaetet von Athen 181. 222. 223—224.

233. 235. 246. 260. 261. 332.
Theilerfremde Zahlen 588. 591. 592.
Theilung der Figuren Euklids 272 — 273.
Themistios 126. 190.
Then ivdng 622.
Theodolit 356. 706. 812.
Theodor, Bischof von Canterbury 776

—777.
Theodor Tschahuchenvon Klazomenae 479.
Theodorich 529. 530. 533 534. 535.
Theodorich von Chartres 843.
Theodorus von Kyrene 170. 188. 200.

202. 213.
T/uodonis Meliteniota 474.
Theodorus von Samos 152.
Theodosius I 412. 458. 462. 771.
Theodosius von Tripolis 382—383. 386.

418. 419. 662. 853. 854. 856.
Theodulf von Mainz 783.
Theon von Alexandria 118. 262. 263. 303.

341. 388. 393. 404. 412. 413. 433. 434.

458—461. 462. 465. 477. 542. 548. 720.
Theon von Smyrna 85. 108. 143. 144.

145. 147. 149. 153. 157. 158. 173. 219.

220. 243. 302. 316. 385. 400. 404—409.

425. 427. 431. 435. 445. 546: 600. 673.

711. 823. 841.
Theophancs 667.
Theophania 804.

Theophratus von Lesbos 108. 180. 243.
Theorem 261.
Thevenot 350.

Theydius von Magnesia 234. 355.
Thibaut 92. 560. 595. 596. 597. 598. 599.

601. 603.
Thittmar, Bischof von Merseburg 807. 808.
Thorbccke, Aug. 529. 530.

Thorbecke, Heinr. 651.

Thot 40. 47.

Thrasyllus von Mende 400. 405.

Thukydides 161.

Thurot 310.

Thymaridas 147—148. 426. 430. 433..

440. 584.
&vQ£og = Schild für Ellipse 278.
Tiberius 247. 400. 405. 549.
Tihct 567.

Tim = Seil (sumerisch) 99.
Timaeus von Lokri 143. 163. 167. 202.
Timür = Tamerlan 735.
Titulus 826.
Titus 512.

Tina = 10000 (altslavisch) 80.
T(ir'lH.UTa 388.
Toyrulbeg 730.
Toledo 750.
roTiog 217.
Torelli 282. 330.
Tosorthros 20.
Trajan 385. 428. 432. 506. 512. 513.

514. 521. 523. 525. 556.
Treutlein 831. 843.
TQiXotö^ia ycoviag = Dreitheilung des

Winkels 184.
Trigonometrie 58. 346. 370 — 372. 386.

388—393.615—618.642. 694. 734—735.

749—750.
Trinitätsbegriff 401 .

Triseciion = Dreitheilimg des Winkels 184.
rgiGTiäaiog 311.
Trivium 538. 773.
Trugschlüsse Euklids 263.
Tsdng ki'e 622.
Tschang tsung 640.
Tschu schi kih 645.
T bin- Dynastie 636.
Tsin kiu tschau 632. 640. 643. 645.
Tsin sehe hudng ty, der Bücherverbrenner
, 623. 636.
Tsing-Dynastie 625.
Tsu tsehung Uclie 641.
Tu fang schi 634. .
Tu kuei 634.
Tulyau 581.

Tunim = Erhebung (ägyptisch) 42.
Turamaya 560.
Turanier 75. 76.
Tsetzes 203. 280. 281. 311.
Tziphra 476.

Uchatebt = Suchen der Fusssohle (ägyp-
tisch) 58. 194.

Uebcrragung 361. 369.

Ueberschiessende Zahlen 156.402.473. 774.

Uebersichten: Aegyptische Mathematik 69
— 71. Babylonische Mathematik 97.

881

103. Entwicklung der griechischen Verhältnissschnitt des Apollonius 328

Mathematik 104 — 109. Thaies 136. —329. 419. 423.

Pythagoräische Mathematik 173—175. Vermeidung von Zahlzeichen CGG. GO'J.

Mathematik der Akademie 237 — 238. 718. 720.

Matliematik der Epigonenzeit '6'A'ii — 334. Versfüsse 243. 579.

346. 396. Heron 378. Jfappus und Vertex 516.

jütophant 456—457. Römische Blüthe- Vertranim Maurus 507.

zeit 521. Verhältniss der griechischen Vespasian 512.

zur indischen Mathematik 562. Ost- Vestaheiligthum kein Templum 496.

arabische Mathematik 741—742. West- Vettius Valens 332. 396.

arabische Mathematik HJü. ünterschei- Via Quintana 498.

dungsmerkmale zwischen Abacisten und Victorinus 495. 782. 811.

Algorithmikern 854—855. Zustand der Viclorius von Aquitamen 495. 527. 532.

Wissenschaft um l>iUO 856—857
Ulpian 522.

Ulug beg 735. 736. 742.
Uiü^ beg's Tajelwerk 735.
(Jmbra versa 704.
Umkehrungsrechnung 577. 689.
Unbestimmte Vielheit 86 — 88.
Undecimalsystem 10.

773. 781. 782. 795. 829.
Vielecke, einbeschriebene 184. 189—191.

361—362. 363. 370—373. 417. 420.
Vielecke, umschriebene 190.
Vielecke mit einspringenden yVinkeln

195. 341.
Vieleckszahlen s. Polygonalzahlen.
Vielflächner , halbregelmüssige 292 — 293.

Unendlichgross 79—80. 186—187. 239. Vielflüchner, regelmässige 142. 163. 164.

306—307. 496. 576
UnendliCN klein 186—187. 239. 306.
Unger 407.
Universuäc zu Athen 463. 464. 466. 467.

469.
Universität zu Paris 792.
Unmöglichkeit rationaler Lösung von

ic» -f- 7/^ = z'^ 708. 740.
Unreine quauratisclie (Jieichungen in Vigesimalsystem 8 — 9. 113.

3 Fällen behandelt 270. 443. 585. 676. Vijaganita 559. 613.

680. 754. 755. Vincent 50. 120. 297. 347

Unze 494. 780. 830. 841. 411. 471.

Ursprung einzelner Wissenszweige, For- Vipsanius s. Agrippa.

schungen nach demselben 107. Virgilius von Toulouse 795.

U schi 645. Vishnu 579.

Usener 413. 474. 529. 533. 534. 537. 542. Vitalian 776.
Usertesen 11 23.

212. 224. 232—233. 247. 259. 328. 342

—343. 417. 701.
Viereck, dem Dreieck vorausgehend 69.

361. 362. 363. 366. 472. 599. 605. 638.
Vierecke m 5 Arten 609. 610. 684.
Vierecksformel des Brahmagupta 605.

608—611. 612.
Vierzig als unbestiminte Vielheit 87. 95.

356. 409.

Utkramajiä 615. 616.

Vadana 606.

Vaigyas 555.

Vajrdbhyasa 571.

Valerius Maximus 98. 247. 280.

Valkenarius 199.

Varähamiliira 560.

Vitruvius Pollio 102. 142. 162. 168. 177.

295. 310. 311. 315. 383. 500. 507—508.

559. 561. 596. 697. 838.
Vitruvius Mufus 514. 515. 517. 520. 521.
Vokale durch Consonanten ersetzt 754. 787.
Volkmann 244.
Vollkommene Zahlen 48. 156—157. 213.

254. 402. 405. 473. 587. 691. 692. 695

— 696. 774. 784.
Volusius Maecianus 490.
Vorbedeutungsivissenschaft 90. 97 — 98.

428. 593. 692. 697. 741.

Varga = Beihc, {Quadrat (indisch) 576. Vorderasiatische Entwicklung derArith-

680.
Variation 699.

Varro 490. 496. 506—507. 511. 527. 530
Vasengemälde 94. 121 — 122.
Venturi 347. 356.
Veränderliche 266. 267. 269.
Verbiest 625.

Verdoppeln 47. 304. 674. 717, 720.
Vergilius 526.
Verglichen abgenommene Maasse 68. 368. Wafk 697.

375. 545. 550. 685. 787. Wagner 471.

Cantok, Gesoliichto der Mathematik i. 2. Aufl.

metik 427.
Vossius 171. 344. 434. 507.
Vyäghramuka 657.

Wachsmuth 405. 468.
Waeschke 47ü.

882

WagschalenmetJiocle 688. 760—761.

Wahlsätze des Arcliimed 282. 283—285.

Wahrsclieinliclie Lehensdauer 522.

Walafrid Straho 792.

WaUachisclte Bauernregel 492.

Wallis 735.

Walther voti Speier 801 — 803. 832.

Wan ly 645.

Wang n>/an chi 624.

Wang tchao yu 624.

Wapßer 832.

Wassertvage 356. 634.

Wattenbach 781. 789. 801. 833. 852. 854.

Wazo, Bischof von Lüttich 822.

Weber 91. 92. 555. 560. 567. 579. 596. 597.

Wegmesser 508.

Wegschaffunq des mittleren Gliedes 585.

Weigand 812.

Weil 651. 653. 654. 659. 662. 664. 698.

721. 730. 733. 748.
Weissenborn 279. 536. 539. 541. 542. 546.

550. 609. 807. 852.
Welckcr 121.
Welid I 659. 664. 667.
Welschen 10.

Wenrich 339. 655. 660. 661. 662.
Werner 775. 777 778. 781. 783. 784.

785. 791. 792. 793. 797. 803. 805. 807.

808. 809. 835.
Werner von Strasskurg 835.
Wertheim 436.
Wesfaraber 564. 664. 665. 669. 746-768.

772.
Westcrmann 158. 468.
Wezir = Träger (arabiscli) 654.
Whitney 92. 559.
Wiedemann 652.

Wilhehn von Malmesbury 798—799. 801.
Wilhelm von Strassburg 835.
Wilkitis 98.
' Wilkinson 52. 63. 66.
Wilson 428.
Windisch bbb.
Winkel, dessen Name in verschiedenen

Sprachen 15.
Winkel, ähnliehe 127. 129.
Winkel, einspringende 98. 195.
Winkel, hornförmige 250.
Winkelsumme des Dreiecks 132. 133.

160. 472.
Winterberg 822.
Wissenschaftliche Moden 245. 400. 471.

821.
Woche 90.
Woepeke ' löG. 215. 272. 332. 346. 417.

428. 564. 567. 572. 615. 655. 659. 666.

667. 668. 669. 687. 691. 692. 693. 698.

699. 700. 701. 702. 705. 706. 707. 708.

709. 711. 716. 717. 718. 727. 729. 730.

731. 732. 733. 73G. 756. 761. 762. 766.

767. 837. 838. 840. 842.
Woisin 117. 123

Wolf 126. 306. 344. 345. 346. 378. 381.
394. 41.8. 699. 731.

Wolverad 833.

Würfel, eiruskische 488.

Würfelverdoppelung 189. 198—200. 213
— 222. 223. 224. 278. 294. 325. 333.
338. 416. 420. 424. 475. 598; des Archy-
tas von Tarent 215 — 217. 315"; diS
Dinkles- 339 — 340; des Eratosthcnes
315—316. 337. 416; des Eudoxus 219.
231. 315; des Heron 350 — 351. 416;
des Hippokrates von Ghios 198 — 200;
des Menaechmus 217 — 218. 315; des
Nikomedes 335 — 336. 416; des Papx)us
. 416; des Piaton 214—215. 337.

Wüstenfeld 655. 657. 661 662. 670. 672.
679. 687. 695. 716. 744. 747. 748. 853.

Wurm 169. 268. 734.

Wurzelzeichen 765 — 766.

Wyttenbach 164.

Xenokrates 108. 203. 236 238. 242. 305.
Xenophon 203 229.
Xerxes 88.
Xylander 475.

r hy ivy 623.

Yavana 560.

Yavana Pura 560.

Yavanegvardcdrya 560. 598.

Ydvattävat 580. 642. 680. 754.

Yaxartes 75.

Yih hing 643.

York 781. 782. 783. 789

VTiccQh,iq 441.

vnsvavTi'a 226.

VTtSQTSXsiOi 156.

Yrinius = Heron 663.

Yu 636. 637.

Yuen 642.

Yuen-Dynastie 624.

Yukatan 8.

Yün lo td tien 627.

Yimg fang 636.

Zählen, definirt 4

Zahlenbegriff der Griechen 159. 175. 444
—445. 587.

Zahlenkampf 539. 802. '831—832.

Zahlensymbolik 96. 146. 147. 156. 404.
406 430. 528. 530. 632. 633. 638. 784
— 785. 790. 795. 841.

Zahlensysteme 7 — 10. 431. 633.

Zahlentheoretische Aufgaben in geometri-
scher Einkleidung 363 — 364. 425. 452

883

—454. 478. 590. 681. s. Rationale

rechtwinklige Dreiecke.
Zahlwörter 4—13. 44. 110. 113. 489. 544.

564. 567. 568. 572. 630. 631. 632. 666.

696. 721. 774. 838—843. 844. 846.
Zahlzeichen 13. -24: 44—46.77—78.96—97.

110 — 119. 179. 476. 486 — 490. 492.

493. 543. 544. 551. 562. 563. 564. 566.

567. 630. 631. 666. 667. 668—670. 792.
Zaid ihn Rifaa 695.
Zangemeister 488. 493.
Zeichnungen mit geometrischen Anklängen

66. 67.' 98. 100. 372. 639.
Zeising 167.
Zeller 104. 126. 137. 138. 143. 147. 148.

149. 156. 163. 176. 179. 181. 182. 186.

238. 427. 429. 430. 463.
Zenis 838 ^gg.

Zenodorus 340—342. 418. 512. 663. 696.
Zenodotus 340.

Zenodotus, Bibliotheksvorsteher in Alexan-
dria 314.

Zenon von Elea 185—188. 241. 381.

Zenon von Sidon 181.

Zerlegung von Flächen durch Hülfs-
linien 57. 68. 365. 605.

Zßrstäubung 588. s. Kuttaka.

Zeuthen 270. 276. 633.

Zeuxippus 282. 305. 307.

Zins 522. 578.

Zirkel 432.

Zirkel und Lineal, Constructionen mittels
derselben 184. 221. 255. 300. 336. 444.

Zöppritz 812.

Zonaras 281.

Zuckermann 162.

Zulukaffern 7.

Zusammengesetztes Verhältniss 251 252.
386.

Zusammengesetzte Zahlen 542. 721.

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Zahlzeiche

zi vprschieäener Voe

/i'«- aus veradäeilenen Zeiten.

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